BEtKEliY LIBRARY UMivEtsirr .OF CALIFORNIA THE LIBRARY OF THE UNIVERSITY OF CALIFORNIA GIFT OF Prof. G. C. Evans LECTURES DELIVERED AT THE CELEBRATION OF THE TWENTIETH ANNIVERSARY OF THE FOUNDATION OF CLARK UNIVERSITY UNDER THE AUSPICES OF THE DEPARTMENT OF PHYSICS BY VITO VOLTERRA WORCESTER, MASS., SEPTEMBER 7-11, 1909 PUBLISHED BY CLARK UNIVERSITY 1912 STA TROIS SUR QUELQUES PBOGRES REGENTS DE LA PHYSIQUE MATHEMATIQUE PAR M. VITO VOLTERRA SENATEUR DU ROYAUME D'lTALIE PROFE8SEUR DE PHYSIQUE A. L'DNIVERSITE DE ROME PREMIERE LECON Introduction. I. L'analyse et la physique mathematique. II. Com- ment la theorie de Maxwell des tensions dans un champ electrostatique est renfermee dans la formule qui donne la variation d'une integrale triple. III. Deduction des equations de 1'electrodynamique du calcul des varia- tions. IV. Interet et applications de cette deduction ; (a) interpreta- tions mecaniques ; (6) transformation des equations de 1'electrodynamique ; (c) invariants integraux et theoreme de reciprocite ; (e?) Faction stationnaire et 1'action variee en physique mathematique. V. Necessite d'etendre la conception de fonction pour etendre le principe de Faction variee ; comment les theories developpees dernierement s'orientent dans cette direction. VI. Les caracteristiques et le temps regarde comme une coordonnee. Le monde de Minkowski. VII. Interpretation des caracteristiques. Cas du monde a 4, a 3, et a 2 dimensions. Comment le mecanisme des ondes dans le cas des differents mondes isotropes n'est pas le meme. Erreurs qui viendraient de 1'intuition et de 1'analogie. VIII. Chocs et calcul des variations. IX. Cas des milieux anisotropes. Les milieux biaxiques et uniaxiques. Leur difference par rapport au mecanisme des ondes. X. Reduction k des equations syrnetriques. Introduction des imaginaires en physique mathematique. Principe des images. XL Considerations de Minkowski. La transformation de Lorentz. La contraction de Lorentz. La contemporaneite' des evenements. Relations avec le principe de 1'action stationnaire et avec le calcul des variations. Messieurs : Permettez-raoi, avant d'aborder mon sujet, d'exprimer au corps academique de la Clark University toute ma reconnais- sance de 1'honneur qu'on m'a fait en m'appellant a exposer quelques points de physique mathematique devant les mathema- ticiens et les physiciens reunis dans cette circonstance. Laissez-moi ajouter que je suis heureux de me trouver parmi les savants Arnericains dont nous, en Europe, admirons les grandes decouvertes et les grands travaux scientifiques, qui de- viennent de jour en jour plus repandus et plus celebres. J'ai vu les beaux programmes des cours de physique mathe- matique et d'analyse de la Clark University. II serait inutile de repeter des notions qui ont ete deja exposees d'une maniere elevee et systematique, c'est pourquoi je n'envisagerai que 1'evolution de quelques idees et je ne toucherai que quelques points qui ont ete le but de mes recherches personnelles. 1 2 PREMIERE LEQON i I. Si vous demandez a tout mathematician si dans son esprit il fait une distinction entre les theories de 1'elasticite et celles de l'e*lectrodynamique, il vous dira qu'il n'en fait pas, car les types des Equations differentielles qu'il rencontre, et les me- thodes qu'il doit employer pour resoudre les problemes qui se pre"sentent, sont tout a fait les memes dans les deux cas. D'un autre cote" la coincidence des relations analytiques a amene, d'une maniere simple et naturelle, au passage de la the- orie elastique a la theorie electromagnetique de la lumiere et celle-ci, apres bien des tatonnements, a pris, dans le cas des corps en mouvement, la forme desormais classique que Lorentz lui a donnee. Je n'he*site pas a relier ce mouvement d'idees tout a fait moderne a Tesprit philosophique qui s'est degage de la grande ceuvre de Lagrange. Lagrange a ramene la mecanique a une seule formule. De meme les fondateurs des theories generales de la physique mathematique, a 1'exemple de Fourier, ont fait dependre les differents phenomenes d'un certain nombre d'equations gene- rales qui renferment tous les cas possibles et ont reduit la plu- part des difficultes a des difficultes analytiques. C'est ainsi, comme on a repete tant de fois, que les sources des plus grandes decouvertes de 1'analyse ont ete les problemes de la nature. En meme temps on peut dire que tout perfectionne- ment des methodes de 1'analyse a contribue au progres de la physique mathematique. Certains esprits ont besoin d'etre soutenus dans toute re- cherche analytique d'une interpretation qui rattache leurs vues a des phenomenes concrets. D'autre part que de resultats que le calcul a guide* d'une maniere inconsciente et mecanique et qui sont a peu pres nmets si on les envisage au point de vue algebrique, deviennent tout-a-coup d'un grand interet et pren- nent une signification inattendue, des qu'on les interprete par la the*orie physique ! n II ne serait pas necessaire de donner des exemples pour demon- trer la verite tres courante que je viens d'enoncer, mais je ne puis pas me passer de vous exposer un cas typique qui nous PREMIERE LEQON 3 sera utile pour commencer et qui nous amenera en meme temps a envisager le calcul des variations dont nous aurons a parler dans eette lecture. Nous allons voir qu'une conception et une theorie celebre de Maxwell est renfermee dans 1'expression de la variation d'une integrate triple, pourvu qu'on ait appris a lire ce qu'on trouve cache dans cette formule elementaire. Je calcule en effet la variation de 1'integrale triple w T.-*- * V etant une fonction de #, ?/, z. Je suppose que la f onction V change infiniment peu et je suppose aussi que 1'espace $, limite par un contour er, se deplace et se deforme infiniment peu. Pour calculer cette variation il suffit, comme a fait Lagrange en hydrodynamique, d'individualiser les points par des parame- tres independants de la deformation. Par des operations tres elementaires et par des integrations par parties bien connues on trouve, en groupant les termes d'une maniere convenable, ou A 1 = WJ VdS - C (XS *j s M x p ^33733 J'ai designe par jt?, ^, r, les composantes de la rotation de chaque particule du milieu, c'est-a-dire, _l(dSx_d$z\ _ IfdSy dSx} ~ IlT " Bxf ~ 2V dx d F 2By dz Bx 2 dx dy par 7 1X , 7 22 , 7 33 , 7 23 , 7 31 , 7 12 le strain du milieu, c'est-&-dire, dSz 4 PREMIERE LEON Les autres quantity's se calculent facilement moyennant la fonction F, et ses derivees. L'operation que j'ai faite est la plus elementaire de la theorie des variations. Voila maintenant Fenonce de cptte formule : La variation de V integrate triple pent etre regardee comme la somme de trois termes, dont le premier A l depend de la variation de la fonction V, le second A 2 pent $tre interprets comme un travail depense pour le deplacement et la rotation des particules du milieu, et le troisieme A 3 pent etre interprets comme un travail depemepour la deformation du milieu meme. Chaque fois que A l et A 2 seront nuls SP pourra etre egalise a un travail de forces elastiques et, par suite, Tensemble des quantites t lv ^ 22 , f 33 , 23 , * 81 , * ia representera le stress. Or, si nous supposons que P soit 1'energie des forces New- toniennes, par exemple 1'energie electrostatique d'un milieu, A v et A z s'annulent. II suffit pour cela de remplacer P par 1'expression bien connue f /s -- (Grad. ou V est le poteiitiel et p la densite de la distribution des masses. Si Ton calcule le stress on trouve le stress de Maxwell, c'est-a- dire : _ 23 ~ 47r dy dz La formule (1) est beaucoup plus generale, et, comme il est evident, renferme aussi d'autres theories, dont celle de Maxwell n'est qu'un cas particulier. Mais je ne veux pas pousser plus loin dans cette direction, trop de choses il nous reste a dire ou le calcul des variations aura un role tres grand. Je n'ai touche au sujet precedent que pour donner un exemple qui me semble tres suggestif de ce que j'avais dit d'abord d'une maniere generale. PREMIERE LEQON 5 HI J'ai parle tout-a-1'heure des methodes de la mecanique. On doit a Hamilton bien des progres dans cette branche fondamen- tale de la physique mathematique. II me sumt de rappeler que, par le principede Hamilton, toute question de mecanique, lorsque le potentiel existe, peut se ramener a un probleme de calcul des variations. Deux principes ressortent de la : celui de Faction stationriaire et celui de 1'action variee. II n'est pas necessaire d'insister sur le grand role que ce dernier principe a joue dans toutes les recherches successives. Le genie d'un mathematicien tel que Jacobi y a laisse une trace qui ne pourra jamais s'effacer. Les equations de 1'equilibre elastique aussi peuvent se reduire a une question de minimum, en suivant la methode inauguree par Green. De meme la theorie des vibrations des corps elas- tiques peut rentrer dans le domaine du calcul des variations, si Ton envisage le potentiel des forces elastiques et la force vive du mouvement vibratoire. Je vais maintenant examiner la meme question dans le cas de Telectrodynamique. II y a plusieurs recherches bien connues la-dessus et il y a des cours et des traites classiques (il me sumt de citer celui de Boltzmann), ou cette deduction est faite. Dans certains cas particuliers la deduction est presque immediate. Ce que je desire montrer est que, dans le cas le plus general (je suppose que le milieu soit en repos) on peut arriver au but d'une infinite de manieres, c'est-a-dire qu'il y a une grande liberte de choix dans les problemes de calcul des variations qui peuvent amener aux relations generates qu'on envisage. J'entrerai apres, avec quelque detail, sur les applications de cette conception. Je me limite a montrer une voie qu'on peut tenir. 1 Supposons uc, dx r+1 dx r+2 ' ou les indices peuvent prendre les valeurs 1, 2, 3, et PREMIERE LEQON Regardons x r x v % comme les coordonnees cartesiennes des points d'un espace S et envisageons les deux integrales, On voit aisement que leur difference depend des valeurs des fonctions X r , Y r , L r , M r aux limites des integrales. Supposons a ou rs = sr , x z , et posons , r = 1, 2, 3) sont des fonctions de ^, x v _ dloga da rt _ d log 2 s a rs u s = ^ r , 2,5 rs v 4 = N r . A cause de la propriete precedente . + /3 rs L r $N s )dS se transformera en en ajoutant a cette expression des termes qui dependent des valeurs des fonctions aux limites des integrales. Cette relation nous amene tout de suite aux problemes de calcul des variations que nous cherchons. En effet il suffit de prendre Z r X r , N r = L r et Ton deduit que si nous annulons la variation de nous trouverons les equations f r =0, 0, qui sont les Equations de 1'electrodynamique pour les corps en repos. On a done d'une infinite de manures le moyen de ramener les Equations de Telectrodynamique a un probleme du calcul PREMIERE LEgON 7 des variations, car les quantites a rs , /3 rs sont tout-a-fait arbi- traires. Je dois aj outer que les moyens que je vous ai montre ne sont pas les seals, mais qu'il y en a aussi d'autres. IV ' -" ..yU Dans 1'histoire des recherches sur les equations de Telectro- dynamique cette reduction a un grand interet, nous en allons voir des applications. (a) II y a d'abord la possibilite de donner des explications mecaniques ou des modeles mecaniques de 1'electrodynamique. En effet par les principes energetiques la determination du potentiel cinetique, dans toute question physique, est rattachee a un probleme du calcul des variations. Lorsque le potentiel cinetique peut se decomposer en deux termes, dont la difference est 1'energie du systeme (le premier terme etant un polynome de 2 e degre des derivees premieres des parametres qui determi- nent 1'etat du systeme, tandis que le 2 e terme est independent de ces derivees) ; on a tout de suite une interpretation mecanique, car on peut ramener les equations a des equations du type de Lagrange. Dans notre cas il a une infinite d'interpretations, et cela ne doit pas nous surprendre. Nous savons depuis longtemps, comme M. Poincare 1'a remarque, que s'il y a une explication mecanique d'un phenomne, il y en a une infinite. On peut tres-bien rattacher aux developpements precedants beaucoup de theories, par exemple, celle de Lord Kelvin des milieux gyrostatiques et les theories si celebres et si impor- tantes de Sir Joseph Larmor. 2 Tout recemment MM. E. et F. Cosserat ont traite, dans un livre interessant, des questions qui ont des rapports avec ce que je viens de dire. 3 (6) Mais laissons de cote ce point de vue et remarquons que la reduction a une question de calcul des variations peut etre employee pour des buts analytiques, tels que la transformation des equations en coordonnees curvilignes. II suffit a cet effet de rappeler la methode inauguree par Jacobi pour transformer le parametre differentiel de 2 e ordre. C'est par un procede analogue que plusieurs auteurs ont transforme les equations de 1'elasticite en coordonnees curvilignes et que Beltrami a pu g PREMIERE LEQON meme se delivrer des conditions auxquelles doivent satisfaire les coefficients du carre de 1'element lineaire lorsque 1'espace est euclidien. 4 On e"tablit ainsi les fondements de 1'optique dans les espaces ayant une courbure. Mais la transformation dont nous venons de parler peut etre obtenue aussi par d'autres precedes plus rapides et plus directs, c'est pourquoi je ne pousserai pas plus loin dans cette direction. ( T t " - X s " Yl) \ fV IIT ' V H T f V (x) =J^ /(f) F (x, |) d%, ou, sons le signe d'integration, parait/(f) donne une dependance lineaire entre la fonction /(f) et la fonction (x) et correspond au cas des fonctions de premier degre. Les problemes de 1'inversion des integrales defmies, ou, comme on les a appeles plus tard, les problemes de la resolu- tion des equations integrales lineaires, correspondent a la reso- lution algebrique des systemes du premier degre. Je suis parti en effet de la consideration qu'une equation in- tegrale est le cas limite d'un systeme d'equations de premier degre avec un nombre infini d'inconnues, et j'ai obtenu la solu- tion dans le cas ou le determinant infini qui constitue le denomi- nateur est egal a I'lmite. M. Fredholm a donne apres la solution lorsque le determinant infini qui est au denominateur est quelconque. Moi et M. Schmidt nous avons envisage aussi des cas ou 1'equation integrale n'est pas lineaire. 12 PREMIERE LEQON Tout cela n'est autre chose que la resolution algebrique des equations de premier degre, ou de degre superieur, transportee du cas d'un nombre fini a celui d'un nombre infini de variables. Plus recemraent encore, comme nous verrons, M. Hadamard a envisag^ le cas d'une fonction de Green qui depend du con- tour du domaine auquel elle se rapporte et a tache d'etudier la question des maxima d'une quantite qui depend d'une surface. 8 La question que j'ai posee tout-a-1'heure de 1'extension de la theorie Jacobi-Hamilton va beaucoup au dela de ces recherches. Entre ces recherches et 1'extension dont je viens de parler il-y-a le meme rapport qui passe entre la resolution algebrique des equations et I'etude des equations differentielles. Beaucoup de chemin il-y-a a faire, mais les memes principes generaux qui ont amene a etablir les fondements de la resolution des equations integrates servent aussi dans ce cas beaucoup plus complique. C'est toujours le passage du fini a 1'infini dans le nombre des variables independantes qui donne la clef pour la resolution des differentes questions. Je desire, avant de laisser ce sujet, donner le type des resultats qu'on trouve lorsque Ton cherche a etendre la theorie de Jacobi- Hamilton a un cas parti- culier d'int6grales doubles. 9 Les Equations differentielles x.) _ dff rf(p ft , x h )_ dff . 1 - ' 1? 2 ' 8) ont une forme qui presente des analogies avec les equations canoniques de la rnecanique et on peut tres aisement les deduire en cherchant a annuler la variation de 1'integrale Soient maintenant TT^ 7r 2 , 7r 3 trois fonctions de x^ x^ x 3 telles que L'integrale xlx + = I etendue a une surface depend seulement de la ligne * qui forme le contour de p l2 par dW dW passent les memes relations que Jacobi a decouvert entre les equations canoniques et son equation aux derivees partielles. Nous voyons que, par la proposition que je viens d'envisager, on a fait un pas : les equations canoniques ont ete remplacees par des equations aux derives partielles (les equations (3)) et 1'equation aux derivees partielles de Jacobi a ete remplacee par une equation d'un type tout-a-fait nouveau, c'est-a-dire 1'equation (4). Je renvoie, pour des developpements, aux beaux travaux de M. Frechet qui a generalise et developpe ces id^es dans quelques memoires interessants. VI Les differentes questions que nous avons traitees rentrent dans le chapitre general de la theorie des ondes. Or il faut remarquer que, dans une autre direction, c'est la consideration des caracteristiques qui a renouvele cette theorie. On n'aurait pu les considerer si on n'avait pense a regarder le temps comme une coordonnee. En Europe le roman de M. Wells, " Le voyage dans le temps," est tres populaire ; je crois qu'ici il le sera autant. II me faudrait repeter ses paroles si je voulais insister sur cette conception tres elementaire. Minkowski tout recemment y est revenu dans un beau et profond memoire et dans une legon populaire qui a montre sous un nouveau jour les idees de M. Lorentz et celles de M. Einstein sur les rapports entre Tespace et le temps. 10 II n'est pas possible de separer la conception du temps de celle de 1'espace et reciproquement. Un lieu est toujours observe dans un certain temps et un temps est determine tou- jours dans un certain lieu. Si 1'espace est rapporte a des coor- donees x, y, z et on appelle t le temps, un point de 1'espace envisage dans un certain temps est individualise par 1'ensemble 14 PREMIERE LEQON des valeurs x, y, 2, , c'est ce que Minkowski appelle un point du monde. L'ensemble de toutes les valeurs possibles de #, y, 2, t est le monde entier. Ce que nous observons dans 1'espace a trois dimensions n'est qu'une ombre ou une projection d'un 'espace avec une dimension de plus. Voila une difficulte. Si Ton veut embrasser le monde entier il faut envisager un espace a quatre dimensions. Mais on peut eliminer cette difficulte par un proce"de bien connu. II suffit de retrancher une dimension a 1'espace ordinaire et imaginer un etre infiniment plat qui habite un espace a deux dimensions. Helmholtz et Clifford nous ont habitues a ces conceptions et ils ont ainsi popularise des idees memes plus difficiles et plus compliquees : celles de la courbure de 1'espace. II est evi- dent que pour un etre a deux dimensions le monde de Min- kowski est a trois dimensions et si Ton simplifie encore et Ton envisage 1'etre vermiforme de Clifford, c'est-a-dire un etre ayant une seule dimension, le monde de Minkowski, pour ce dernier etre, est a deux dimensions. Pour 1'etre infiniment plat le monde sera represente dans 1'espace #, y, t. Qu'est-ce-que verra Fobservateur de Minkow- ski s'il-y a un point en repos? Evidemment il verra une ligne paral- lele a 1'axe t. Au contraire, si le point B a un mouvement uniforme il verra une ligne droite inclinee sur 1'axe t. L'ombre ou la projection du point en mouvement sera obtenue si 1'observateur se meut uniformement avec le plan x, y dans la direction de 1'axe t. Les diffe"rents points x, y^ ou la ligne inclinee rencontre le plan, nous montrent le mouvement du point B. VII Cela pose nous voulons passer a la theorie des ondes pour les milieux en repos. Nous allons rencontrer de nouvelles difficultes et il faut dire des le premier abord qu'il serait facile de tomber en erreur en se laissant transporter par la simple intuition. FIG. 1. PREMIERE LEgON 15 En effet les mecanismes des ondes dans les milieux elastiques a deux ou a trois dimensions sont tres differents, de sorte que si Ton fait la theorie de la propagation d'une onde circulaire pour 1'etre plat on ne fait pas une theorie comparable avec la propagation d'une onde spherique pour 1'etre a trois dimen- sions. 11 Pour nous expliquer d'une maniere plus claire, 1'etre plat a perdu une dimension sur nous qui avons trois dimen- sions, mais, par contre-coup, il a perdu aussi de simplicite dans le mecanisme de la propagation des ondes. C'est une circonstance qui constitue evidemment une diffi- culte, mais il est impossible de s'en passer parce que la nature est ainsi. Cette circonstance est bien singuliere, car il arrive trs rare- ment qu'en retranchant une dimension les chosesse compliquent. Si Ton voulait retrouver la meme simplicite qu'on a pour les ondes dans les espaces a trois dimensions, il faudrait laisser de cote 1'etre plat et passer aux ondes pour 1'etre vermiforme ou a une seule dimension, pour lequel le monde de Minkowski est a deux dimensions. En un mot, le mecanisme de la propagation des ondes dans les espaces ayant un nombre impair de dimensions est plus simple que dans ceux qui en ont un nombre pair. Voyons maintenant les choses de plus pres. Envisageons le monde de 1'etre vermiforme. C'est le plan x, t. Si A est un centre d'ebranlement dans un milieu isotrope et la vitesse de propagation des ondes est 1'unite, menons par A les lignes droites inclinees de 45 sur les axes du cote positif de 1'axe t. Pour 1'observateur de Minkowski chaque ebranlement se propa- gera le long des deux lignes droites que nous avons menees, et, eh dehors d'elles, il n'y aura pas d'ebranlement dans son monde. Au point de vue analytique les lignes droites que nous avons menees sont les caracteristiques de 1'equation differentielle de d'Alembert ' 16 PREMIERE LEQON Si nous deplagons d'une maniere uniforme 1'axe x dans la . jC direction t les deux points ou les caracteristiques rencontrent cet axe designent les points qui sont successivement ebranles. Revenons a 1'etre plat, dont le monde de Minkowski est C FIG. 3. 1'espace x, y, t. Soit A un centre d'ebranlement dans un milieu isotrope, la vitesse de propagation etant 1'unite. Menons du cote positif de 1'axe t le cone ayant A pour som- met et ayant les generatrices inclinees de 45 sur 1'axe t. Par analogic et par intuition on serait amene a imaginer que pour Tobservateur de Minkowski chaque e"branlement se pro- pagera le long de la surface du cone et, en dehors de cette surface, il-n'y-aura pas d'ebranlement dans son monde. Mais les choses ne se passent pas ainsi. L'ebranlement remplit tout Finterieur du cone et a 1'exterieur il n'y a pas d'ebranlement. C'est en cela que consiste la complication plus grande du mecanisme dans ce cas, par rapport au cas que nous avons con- sidere precedemment. Si nous voulions passer au cas successif qui se rapporte aux etres a trois dimensions il suffirait revenir a ce qui arriverait si la surface du cone etait la seule partie du monde ou il y aurait ebranlement et, par 1'imagination, augmenter une dimension en plus. Pour distinguer les deux differentes manieres de propa- gation des ondes que nous avons trouvees, nous les designerons par le mots onde sans rtsidu et onde avec rSsidu. Le cone que nous avons considere tout a 1'heure est la surface caracteristique de 1'equation differentielle PREMIERE LEgON 17 5^_5^_5^ =0 dt 2 dx 2 dy 2 Le cone qu'on trouverait dans le cas successif ou, par notre imagination, nous avons augmente une dimension, serait 1'hyper- surface caracteristique de 1'equation differentielle 5^_^__a^_a 2 w = dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 VIII Les lignes et les surfaces caracteristiques, que nous avons considerees tout a 1'heure, jouent un r61e dans la theorie des chocs ou de la propagation des discontinuites. Je laisserai de cote les theories generates qui out ete developpees par Hugo- niot, Christoffel, Hadamard dans le cas de 1'hydrodynamique et de 1'elasticite et je me bornerai a etablir une relation tres simple qui passe entre le calcul des variations, la propagation des dis- continuites et les surfaces caracteristiques. 12 J 'envisage le cas tres simple de 1'equation ^ -- ^ -- ^ = 0, dt 2 dx 2 dy* qui correspond aux vibrations d'une membrane. Le probleme du calcul des variations, dont elle depend, consiste a annuler la variation de 1'integrale Supposons maintenant qu'il-y ait des surfaces a 1'interieur de 1'espace a?, y, , ou, u etant continue, ses derivees peuvent etre discontinues. On peut se demander : Quelles seront les surfaces ou les derives pourront etre discontinues en sorte que la variation de Fsoit toujours nulle? A quelles conditions devront satisfaire les valeurs des derivees des deux cotes des surfaces de discon- tinuite ? La question ne presente pas de difficulte et Ton trouve que les surfaces doivent etre des enveloppes des cones caracte*- ristiques. IX Ce que nous avons dit sur les ondes se rapporte aux milieux isotropes. Les difficultes deviennent enormement plus grandes lorsque Ton envisage des ondeo dans les milieux anisotropes. 18 PREMIERE LEQON La raison consiste en cela que la theorie du centre d'ebranle- ment., que nous avons esquissee pour les milieux isotropes, manque lorsque 1'on passe aux milieux anisotropes biaxiales. II est bien curieux de suivre ce que Lame a fait la-dessus. Ses resultats analytiquement exacts ne peuvent pas donner la theorie du centre d'ebranlement a cause des singularites de sa solution. En effet, supposons de prende les formules que Lame a donne pour le centre d'ebranlement correspondant a un certain point, et menons par ce point les axes optiques. 13 Les composantes des deplacements sont infmies le long des deux droites et, en tournant autour de ces droites, les deplace- ments sont polydromes, c'est-a-dire, si 1'on part de certains points avec une valeur d'une des composantes du deplacement et, en prenant les valeurs qui se suivent avec continuite, Ton tourne autour de 1'axe optique, en revenant au point de depart, on trouve une valeur differente pour la meme composante du deplacement. 14 II faudrait done supposer que le milieu fut sectionne le long de deux regions planes comprises entre les axes optiques, de maniere que les particules du milieu qui se trouvent des deux cotes de ces regions pussent vibrer d'une maniere independante 1'une de 1'autre. Cela ne correspond pas evidemment a 1'idee que nous nous faisons du milieu, qui est celle d'un milieu continu. Lame a tache de demontrer que ces formules sont les seules qui peuvent correspondre a un centre d'ebranlement dans un milieu birefringeant, c'est pourquoi on serait amene a la conclu- sion qu'il n'est pas possible de trouver un centre lumineux dans un tel milieu. II est evident que tout cela n'est pas exact, mais il faut inter- preter les resultats analytiques pour bien comprendre d'ou sort la contradiction. Commenons par specialiser les formules de Lame au cas ou le milieu est uniaxique. On trouve des solutions qui deviennent infinies tout le long jde 1'axe optique. Voila une singularity qui n'est pas compatible avec 1'existence d'un seul centre d'ebranlement, mais poussons les choses davantage et speciali- sons au cas du milieu isotrope. La singularite des deplace- ments, qui consiste dans le fait qu'ils deviennent infinis le long d'une droite, subsiste encore. II ne pourrait done exister un centre lumineux dans un milieu isotrope ! Cela evidemment renferme une contradiction, et d'autre part depuis Euler nous PREMIERE LEQON 19 savons que par les derives de la fonction*^ ^^,ourrepre- sente la distance du centre d'ebranlement on peut calculer les composantes des vibrations sans aucune singularite, excepte dans le centre meme. L'interpretation que Lame a donne a ses formules renferme done une erreur initiale. Voila en quoi elle consiste. Lame ne soupgonnait pas que le mecanisme des ondes pouvait etre de telle nature que 1'onde avait un residu, c'est-a dire, il ne soupgonnait d'autre mecanisme que celui que nous avoris vu qui a lieu pour les milieux isotropes ayant un nombre impair de dimensions. C'est pourquoi il donnait du premier abord a ses formules une forme qui correspondait au mecanisme ou il n'y a pas de residu, et cela devait necessairement 1'amener a une erreur. Ce que nous pouvons en tirer a present, est que le mecanisme des ondes dans le cas des milieux a trois dimen- sions birefringeants biaxiques doit se rapprocher au mecanisme des ondes avec residu et non au mecanisme des ondes sans residu. Excepte la critique negative des resultats de Lame que nous avons expose*e on n'est guere avance plus que lui, car les formules pour le centre lumineux dans les milieux anisotropes biaxiques manqueiit encore. II faut se rappeler que la surface de 1'onde de Fresnel n'a pas ete trouvee comme consequence des vibrations emanantes d'un centre d'ebranlement, mais on 1'a deduite de la propagation par ondes planes et par 1'en- veloppe de ces ondes. Le pas a faire est done grand et difficile et j'aime a le signaler parce qu'il serait bien interessant de le faire. Une nouvelle branche de 1'optique serait rattachee a la solu- tion de cette question. Ce qu'on peut aj outer est que pour le milieu anisotrope uni- axique on peut resoudre le probleme. Je vais en indiquer la voie en peu de mots. Les equations de la lumiere pour les milieux anisotropes sont _ U=~- dy ' Bz ' dz dy -- ou F=- dt 2 dz dx 9 dx dz' ^ tf*^--a? W dP dx dx' dy dx 20 PREMIERE LEQON On peut faire dependre les trois equations d'une seule a laquelle on peut donner une forme tout-a-fait symetrique. Si nous posons _* , a _ A r ~^T * ab * Vbc vca V ab cette equation est la suivante dxf dxf dx* dx \txf dx* dx A ( W ay \, A ( ay \dx* dxf * dx* dx*J ^ *\dx? dx* * dx Les composantes du deplacement w, v, w doivent satisfaire les equations flu = 0, lv = 0, flw = 0, et, reciproquement, toutes les integrales des equations de 1'optique peuvent s'ecrire sous la forme dy dt* ty\ dx dy dz a 2 ^ 2A2i^ , af ~dF, , indF,, , o^\ --5-^A 2 ^ T 3 -h-[a 2 L + 5 2 ^ + ^^ dt 2 Bz\ dx dy dz J &-&, !>,-<&-&, H-f-fl, dz dy dx dz dy dx ou /i>/2'/3 e tan t trois integrales de 1'equation lf= 0. Or, si nous supposons que le milieu soit umaxique, c'est-a- dire b = Ce precede, tout e*tant simple, n'est pas direct. M. Somigli- ana, au contraire, a suivi une voie directe, car il a determine des DEUXIEME LEQON 85 solutions fondamentales qui lui ont servi, en employant la loi de reciprocite, pour determiner les deplacements sans 1'interme- diaire de la dilatation ni des rotations. 4 II n'y-a-pas de difficulte a obtenir un passage entre les resul- tats de Betti et ceux de Somigliana et a montrer que les uns peuvent se deduire des autres. Une autre extension, tout a fait pareille, de la methode de Green, qui se rattache a un probleme tres moderne, se rapporte a la double equation de Laplace et a 1'equation multiple de Laplace, c'est-a-dire a 1'equation A 2 A 2 = et en general 1'equa- tion A 2 A 2 . . . A 2 = 0. Nous verrons sous peu 1'interet de ce probleme. Nous avons deja remarque qu'une fois la formule de Green trouvee pour 1'equation de Laplace, le probleme de determiner une fonction harmonique (ses valeurs au contour etant donnees) n'est pas encore resolu. La formule de Green resout le prob- leme, lorsqu'au contour les valeurs de la fonction et de la derivee normale sont connues. Ses dernieres s'eliminent, comme nous avons deja dit, par la fonction de Green. De meme, dans le probleme de 1'elasticite, s'eliminent au contour les valeurs des deplacements, ou des tensions, par des fonctions analogues. Leur determination se fait d'une maniere complete dans le cas de la sphere et, si Ton envisage le probleme a deux dimensions, dans le cas du cercle. C'est pourquoi le probleme de la sphere et du cercle ont une position privilegiee dans le champ de ces questions. Les cas du plan et de la droite peu- vent etre envisages comme des cas limites. On peut repeter les memes choses dans les cas de 1'equation multiple de Laplace. Passons maintenant aux applications de la methode de Green aux equations de type hyperbolique, et attachons-nous d'abord aux travaux de Kirchhoff. 5 Le cas qu'il a traite est celui de 1'equation n =d 2 M d*u _3Pu d 2 M = dt* dx* dy* dz* c'est-a-dire celle des potentiels retardes a quatre variables. L'espace avec lequel il a a faire est un espace a quatre di- mensions qui constitue le monde de Minkowski, comme nous avons vu dans la legon precedente, mais, dans sa methode, les 36 DEUXIEME LEgON considerations relatives aux hyperespaces restent cachees. II commence par le theoreme de reciprocite et aprs il prend comme solution fondamentale celle de Euler qui a la forme / v -r / . C'est par la qu'il rejoint le but, de sorte que sa r methode reussit a cause de 1'existence de cette integrale. Comme nous avons remarque dans la lecon precedente, 1'exist- ence de cette integrale est liee au fait que 1'onde spherique dans le cas de 1'espace isotrope a 3 dimensions est une onde sans residu. La formule de Kirchhoff a donne la clef du principe de Huy- ghens. On employait, meme avant Kirchhoff, ce principe, mais on n'en avait pas une conception exacte. En effet les pole- miques et les discussions sur ce principe ont cesse seulement apres que cette formule a ete decouverte. A ce propos il est interessant de revenir sur une question qui a ete agitee entre Fresnel et Poisson, dont nous dirons sous peu quelques mots. Mais il nous faudra d'abord parler d'une formule celebre qui a ete decouverte par Poisson. La formule de Green, lorsque 1'espace qu'on envisage est spherique et le pole est au centre de la sphere, amene a un theoreme bien connu de Gauss, c'est-a-dire que, pour toute fonction harmonique, la valeur au centre d'une sphere est egale a la moyenne de ses valeurs le long de la surface spherique. De meme si nous special- isons la formule de Kirchhoff au cas d'une sphere, le pole etant au centre, on obtient 1'integrale generale de 1'equation Du = que Poisson avait donnee bien avant la formule de Kirchhoff. 6 Poisson avait obtenu cette integrale par des methodes tout-a- fait differentes, qu'on a presque abandonnees maintenant, mais qui out un grand interet, parce qu'elles ont ete d'une fecondite enorme en lui permettant d'integrer un grand nombre d'equa- tions differentielles. La methode de Poisson consistait a de- velopper 1'integrale generale de 1'equation Du = dans une serie de puissances de , et a sommer apres la serie par des integrales definies. Aujourd'hui lorsqu'on veut obtenir 1'inte- grale de Poisson on peut proceder directement sans passer a travers la formule de Kirchhoff et il n'est pas necessaire non plus de suivre Poisson. Les traites rnodernes donnent en effet des methodes tres elegantes et tres simples par lesquelles tout est reduit a trouver 1'integrale de d'Alembert de 1'equation des cordes vibrantes. Tout ce qui se rapporte a 1'equation Uu = DEUXIEME LEgON 37 est renferme dans 1'integrale de Poisson et si Ton salt y lire dedans on y voit paraitre meme le principe de Huyghens dans toute sa generalite et d'une maniere fort claire. C'est ce que Beltrami a montre dans un de ses beaux memoires, ou il a prouve que Poisson possedait au point de vue analytique ce qu'il fallait pour penetrer dans 1'esprit de ce principe. 7 En revanche il n'y croyait pas, comme le prouve la pole- raique qu'il a eu avec Fresnel qui employait largement et d'une maniere intuitive le principe de Huyghens sans en avoir une demonstration complete, tout en le justifiant par un apergu clair et frappant. Yoila un exemple ou 1'esprit d'un physicien a depasse celui d'un mathematicien par 1'intuition du phenomene. Mais 1'in- tuition peut etre dangereuse. En effet on se tromperait si Ton voulait employer les memes considerations intuitives pour 1'equation analogue &u _ &u _ &u = Q dt 2 dx 2 dy 2 ~~ Dans ce cas, comme nous avons montre dans la legon precedente, 1'onde est residuelle et le principe de Huyghens n'existe pas. Au moiris il n'existe pas dans sa forme classique telle que Huy- ghens le concevait. VI Si nous voulons poursuivre dans 1'evolution de la conception fondamentale de Green, il faut passer de 1'equation Du = a quatre variables a celle a trois variables. Ce passage, quoiqu'il en puisse paraitre au premier abord, constitue un pas en avant, parce que le cas de trois variables est plus difficile que celui de quatre variables. La methode de Green telle que Kirchhoff 1'avait transformee pour les equations hyperboliques pouvait etre employee aussi pour 1'equation a trois variables mais il fallait trouver une integrale fondamentale d'une nature tout- a-f ait differente de celle de Euler, dont Kirchhoff avait fait usage. 38 DEUXIEME LEQON En effet 1'integrale qu'il faut remplacer a celle-ci est com- pliquee par des integrate definies. Je vais enoncer le resultat final qu'on trouve par cette voie. 8 Envisageons le monde de Minkowski a trois dimensions et FIG. 12. considerons un cylindre quelconque, ayant les generatrices paralleles a 1'axe t. Prenons un point interne au cylindre et menons le cone caracteristique dont une nappe coupe le cylindre le long d'une ligne s. On peut ex- primer la valeur de 1'integrale au sommet du cone par les valeurs de 1'integrale et de sa derivee normale sur la surface du cylindre, depuis la ligne s jusqu'a Finfini. * Fl0 ' 13 ' D'un autre cot6 nous avons tout-a-l'heure parle* de 1'integrale generale de Poisson. On peut la specialiser en supposant qu'elle soit independante de la coordonnee z. DEUXIEME LEQON 39 Elle donne alors 1'intggrale generale de 1'equation DM = a trois variables et elle s'appelle l'inte*grale de Parseval. Envisa- FIG. 14. geons le monde de Minkowski a trois dimensions et le cone carac- teristique d'un point. II coupe le plan xy le long d'un cercle. La formule de Parseval donne la valeur de 1'integrale au sommet du cone par les valeurs de 1'integrale meme et de sa derivee normale sur le cercle. En rapprochant les deux formules on etait amene a se pro- FIG. 15. poser le probleme de determiner 1'integrale si Ton connait sa valeur et celle de sa derivee normale sur une surface or formee par une partie cylindrique et une partie plane et en general sur une surface quelconque limitee par le cone. 40 DEUXIEME LEQON Pour resoudre ce probleme la methode pure de Green et celle de Green-Kirchhoff font defaut. J'ai du recourir a d'autres methodes, c'est-a-dire j'ai fait jouer, du premier abord, le role principal au cone caracteristique, qui ressortait dans les re- sultats sans paraltre dans les calculs. Or pour donner le role f ondamentale au cone caracteristique il convenait se rapprocher aux methodes que Riemann avait employe dans le cas de deux variables. La methode des caracteristiques, dont nous venons de parler, represente la derniere phase devolution de la conception primi- tive de Green. En effet il faut aussi dans cette methode em- ployer un theoreme de reciprocite et se servir d'une solution qui joue le role de solution fondamentale. Dans le cas de 1'equation Hu = a trois variables la solution est choisie de telle sorte que dans la formule de reciprocite tous les termes etendus a la surface caracteristique disparaissent, et il reste une integrale e"tendue a v ^TJ, < 2 , >/r 2 e*tant des fonctions harmoniques et a, 5, etant nulle au contour et K etant une constante. II faut commencer par trouver les valeurs de K pour lesquels existent 54 DEUXIEME LEgON des solutions < qui ne sont pas nulles. Ce sont les valeurs ex- ceptionnels. L'existence de la plus petite valeur exceptionelle avait e*te prouvee par M. Schwarz, mais c'est dans le grand memoire de M. Poincare sur les equations de la physique mathematique M qui a ete demontre 1'existence de toutes les valeurs exceptionnelles. On peut les regarder comme les racines d'une equation transcendante. Le principe de Lord Rayleigh ne donnait qu'un apergu de la maniere dont les choses se passaient par une extension de la theorie classique des petites vibrations. Mais ce sont les methodes des equations integrates qui ont conduit aux resultats les plus simples et les plus directs. En effet, on voit facilement, que Ton peut remplacer 1'equation differentielle homogene (4), ainsi que la condition = au contour, par une equation integrale lineaire homogene. Comme nous verrons dans la legon suivante, une equation in- tegrale lineaire n'est que le cas limite d'un systeme d'equations lineaires algebriques, lorsque le nombre des equations et des inconnues croit indefmiment. C'est pourquoi la condition pour que 1'equation integrale lineaire et homogene soit satisfaite par une solution qui ne soit pas nulle, se trouve en annullant une expression que Ton peut regarder comme la limite du determinant d'un systeme d'equations algebriques lineaires. Cette expres- sion, que M. Fredholm a appelle le determinant, 35 est une f onction entiere de K, et on a par la que les valeurs exception- nelles sont les racines d'une equation transcendante. Les valeurs < qui verifient 1'equation (4) et qui correspon- dent aux valeurs exceptionnelles de TTsont les solutions excep- tionnelles. II faut tacher d'exprimer la solution generale par une serie de solutions exceptionnelles, en generalisant la methode de Fourier. M. Hilbert, 36 M. Schmidt, 37 et d'autres auteurs ont traite et approfondi d'une maniere generale ces questions. M. Hilbert a pris comme point de depart 1'etude des formes infinies, en les reduisant a la forme canonique. II n'est possible ici de de- velopper ces recherches qui constituent un nouveau et interes- sant chapitre de 1'analyse. 1 Voir la citation dans la note 4 de la Ie9on precddente. * Sur les vibrations des corps e'lastiques isotropes. Acta Math. T. 18. * Teoria dell' elasticita. N. Cimento, 1872-1873. DEUXIEME LEgON 55 4 Sidle equazioni dell'elasticita. Annali di Mat. S. II, T. XVII. 5 Zur Theorie der Lichtstrahlen. Sitz. her. d. Acad. d. Wiss. zu Berlin, 1882. 6 Memoire sur V integration de quelques equations lineaires aux differences partielles. Memoires de 1' Academic des Sciences de Paris, T. III. 7 Sulprincipio di Huygens. Rend. 1st. Lombardo, S. II, T. XXII. 1889. 8 Sulle vibrazioni luminose nei mezzi isotropi. Rend. Ace. dei Lincei, S. V. Vol. I. 2Sem. 9 Voir la citation dans la note 2. 10 Theorie des equations aux derivees partielles lineaires hyperboliques. Acta Math. T. 31. 11 Sulle vibrazioni dei corpi solidi omogenei isotropi. Mem. Ace. di Torino, S. II, T. 47. 12 The propagation of wave-motion in an isotropic elastic solid medium. Proc. of the London Math. Soc. 1904. 18 Sopra alcune formule fondamentali delta dinamica dei mezzi isolropi. Atti. Ace. di Torino, 1907. 14 COULON, Sur Vintegration des equations aux derivees partielles du second ordre par la methode des caracteristiques . Paris, 1902. 15 Sur Vequilibre des corps elastiques multiplement connexes. Annales de 1'ecole normale superieure de Paris, 1907. 16 Le tensioni create in un corpo elastico dalle distorsioni di Volterra e la conseguente doppia rifrazione accidentale. Rend. Ace. dei Lincei, Vol. 18, 1 Sem. 1909. I fenomeni di doppia rifrazione accidentale prodotti dalle tensioni create in un corpo elastico dalle distorsioni di Volterra. Rend. Ace. dei Lincei, Vol. 18, 1 Sem. 1909. 17 Nachrichten von der K. Ges. der Wiss. zu Gottingen aus dem Jahre 1891. 18 Sulla integrazione delta equazione differenziale, A 2n = 0. Ann. di Mat. S. Ill, T. II. 19 Sur Vequation AAw = 0. Bull, de la Societe Math, de France. 20 Sulla deformazione delta sfera elastica. Mem. Ace. di Torino, S. II, T. 47. 1897. 21 Sulle funzioni poliarmoniche. Atti dell' Istituto Veneto, T. 57. 22 Sopra una trasformazione in se stessa delta equazione A A = 0. Atti dell' Istituto Veneto, T. IX, S. VII. 23 London Math. Soc. Proc. 1902. 24 Sulla ricerca delle funzioni poliarmoniche in un' area piana semplicemente connessa, per date condizioni al contorno. Circolo Mat. di Palermo, T. XIII. 1899. 26 Suit' equilibrio delle membrane elastiche piane. Atti Ace. di Torino, T. XXXV. 1899-1900. 26 Voir la citation de la note 8 de la Ie9on precedente. Le travail de M. 56 DEUXIEME LEQON Hadamard a e"t couronne" par 1' Academic des Sciences ainsi que ceux de MM. Lauricella, Korn, et Boggio que nous citerons apres. 27 Equilibria del corpi elastici isotropi. Ann. Scuola Normale di Pisa, Vol. VII. 1895. 28 Sur les equations de I'elasticite. Annales de L'Ecole normale superieure, T. XXIV. 1907. Solution generate du probleme d'equilibre dans la iheorie de Velasticite dans le cas ou les efforts sontdonne's a la surface. Ann. de la Faculte des Sciences de Toulouse, 1908. 29 Sur la deformation infiniment petite d'un corps elastique soumis a des forces donnees. Comptes rendus de 1'Ac. des Sciences, 1901. 80 Sur une nouvelle meihode pour la resolution du probleme de Dirichlet. Vetenskaps-Akad. Stockholm, 1900. 31 La litterature sur ce sujet esfc tres e"tendue. Le memoire de M. Fred- holm : Solution d'un probleme fondamental de la iheorie de Velasticite est public dans Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik, Vol. II. 1906. Pour les autres je renvoie aux : Rendiconti Ace. dei Lincei JST. Cimento, Comptes rendus de TAcademie des Sciences, Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse, etc. 82 Sur Vequilibre des plaques elastiques encastrees. Annales de 1'ecole nor- male superieure, 1908. 88 Sur V integration de Vequation relative a Vequilibre des plaques elastiques encastrees. Acta Math. T. 32. 1909. 84 Circolo Mat. di Palermo, Vol. VIII. 1894. 36 Sur une classe d 'equations fonctionnelles. Acta Math. T. 27. 1903. 86 Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. Gottingen-Nachrichten, 1904, 1905, 1906. 87 Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Math. Annalen, Bd. 63, 64. 1907. TROISIEME LEgON I. La loi de Hooke n'est pas rigoureuse. L'etat d'un systeme depend de toute 1'histoire antecedente. II. Distinction entre la mecanique de 1'heredite et la mecanique de la non heredite. III. Exemple de la tor- sion d'un fil. IV. Expression analytique des quantites qui dependent de toutes lesvaleurs d'une fonction. V. Heredite lineaire. Questions gene- rales sur 1'heredite. VI. Les equations integrates et les systemes des equations de premier degre. VII. Cycles fermes et invariabilite de 1'heredite. Principe du cycle ferme. VIII. Oscillations dues k la tor- sion. Les equations integro-differentielles. IX. Cas general de 1'elas- ticite en ayant egard k 1'heredite. X. Equations de 1'electro-magnetisme en ayant egard k 1'heredite. XI. Extension de la methode de Green. XII. Methodes pour la solution des equations integro-differentielles de 1'elasticite dans le cas des phenomenes de 1'heredite. Role de la nouvelle analyse. La loi de Hooke, qui est la base de la theorie mathematique ordinaire de 1'elasticite, est une loi approximative. Nous avons deja touche a cela dans la lec,on precederite. On peut tacher de se rapprocher des resultats de 1'observation en la modifiant de deux manieres differentes. En effet on peut penser d'abord que les phenomenes de 1'elasticite s'eloignent de la loi de Hooke, parce-que celle-ci etablit des relations lineaires eritre le strain et le stress, tandis que ces elements sont effectivement lies entre eux par des relations qui ne sont pas lineaires. Mais un examen approfondi des phenomenes nous montre que les modifications qu'on pourrait introduire en suivant cette idee ne sont pas suffisantes, car la loi de Hooke s'eloigne des faits naturels par d'autres raisons encore. Envisageons les phenomenes de 1'elasticite residuelle (elas- tische Nachwirkung) . Un corps elastique, lorsqu'il est assujetti a des actions exterieures, ne prend pas une forme definitive d'equilibre, mais il change lentement et tend d'une maniere asymptotique vers une certaine forme. De meme, lorsque les forces exterieures out cesse d'agir, le corps elastique ne revient pas immediatement a la forme naturelle, mais la forme qu'il prend change lentement avec des lois determinees. 67 58 TROISIEME LEgON Ces phenomenes prouvent que, a chaque instant, le strain depend, outre que du stress actuel, des stress qui ont sollicite le corps dans les temps antecedents. C'est pourquoi toute relation qu'on pourrait imaginer existant a chaque instant entre strain et stress actuels ne pourrait pas les representer. II faut done modifier la loi de Hooke en partant du principe que 1'etat actuel du systdme elastique depend de 1'histoire des efforts qui Font sollicite. n / " I It! Avant d'approfondir la question nous allons dire un mot sur la denomination qu'on peut donner aux phenomenes que nous avons envisages. II faut dire d'abord qu'on en trouve des ana- logues dans le magnetisme, dans 1'etude des corps dielectriques, et dans d'autres cas aussi. Les denominations de hysteresis, de tramage et d'autres, dont plusieurs auteurs ont fait usage, peuvent donner lieu a des malentendus en les employant dans le cas general. C'est pourquoi nous designerons tous ces phenomenes par les mots : phenomene dherSditS. Nous nous rattachons par-la a la classification de la mecanique en mScanique de fter&ditS et mScanique de la nonherSdite. M. Picard, dans un bel article qu'il a ecrits url a mecanique classique et ses approximations successives, rema"rque que Ton peut faire cette classification. 1 La mecanique de la non- heredite est celle ou 1'avenir d'un systeme ne depend, a un instant donne, que de son etat actuel, ou, d'une maniere plus generale (si 1'on regarde les forces comme pouvant aussi dependre des vitesses) de 1'etat actuel et de 1'etat infiniment voisin qui precede. La mecanique de 1'heredite est celle ou chaque action laisse un heritage dans le systeme, et 1'etat actuel depend de toute 1'histoire precedente. II est evident que le probleme fondamental de 1'astronomie appartient a la premiere classe, tandis que les questions aux- quelles nous venons de toucher dans 1'article precedent appar- tiennent a la seconde. M. Painleve dans un chapitre interessant consacre* a la mecanique 2 soutient que, sous un certain point de vue, les problemes de nature hereditaire ne sont que des problemes apparents, parce qu'ils ne se pre- senteraient pas, si Ton avait une connaissance plus parfaite de la constitution des corps. Tou jours est-il que, dans le moment actuel, il est necessaire de les examiner et de les appro- TROISIEME LEQON 59 fondir. Dans certains cas les equations auxquelles ils amenent ont ete connues depuis longtemps. II me suffit pour cela de rappeler le beau memoire sur 1'elasticite public par Boltz- mann en 1874 3 ou les equations sont posees, sous certaines conditions, en partant de vues empiriques, et 1'interessant travail de M. Wiechert 4 fonde sur d'autres conceptions qui a paru apres. Je dirai sous peu quelles etaient les difficultes qui se presentaient pour une etude generale de ces equations, et je montrerai que, jusqu'aux derniers temps, il n'y avait pas une analyse qui permettait de les traiter d'une maniere generale et complete. in Pour envisager d'abord les choses d'une maniere elementaire, considerons la torsion d'un fil. Soit = KM+ K^ 2 + KJ&* + .- et 1'on pourrait essayer d'avoir une approximation plus grande que par la formule (1) en prenant un certain nombre de termes et en determinant par des methodes connues les coefficients K, KV K^ ". Mais de cette maniere on negligerait le phenomene de 1'heredite, car, en etablissant une relation entre la torsion actuelle et 1'action exterieure actuelle, les actions antecedentes n'entreraient pas en jeu. Si Ton veut done que depende de 1'histoire du moment de torsion M il faudra corriger 1'equation (1) en ecrivant w = KM -f , 60 TROISIEME LEgON ou (j> est une quantite qui depend de toutes les valeurs prises par M depuis le temps oo jusqu'a Finstant actuel. On peut simplifier si Ton neglige les actions qui ont ete exercees avant un certain instant , car alors sera une quantite qui dependra de toutes les valeurs prises par M depuis 1'instant t Q jusqu'a 1'instant actuel. En representant le temps par 1'abscisse et le moment de torsion par I'ordonnee d'une courbe on aura une image geometrique de la fonction M(f), et, par suite, on pourra dire que depend de la forme de la courbe qu'on a obtenu. On arrive par la a une conception tout-a-fait analogue a celle que nous avons examinee dans la premiere legon. Souvenons- nous en effet que lorsqu'on a voulu etendre le principe de 1'action variee on a ete oblige de considerer une integrale double comme une quantite qui depend de la ligne qui forme le contour du domaine d'integration, et, en general, de fcoutes les valeurs que certaines fonctions prennent le long de cette ligne. Nous pouvons mettre en rapport maintenant ce que nous venons de dire avec ce que nous avons expose dans la pre- miere legon. Dans le V, nous avons envisage un ensemble infini et continu de variables. Nous avons montre que ces considera- tions ont origine de la conception des quantites qui dependent de toutes les valeurs d'une fonction ou de plusieurs fonctions, et nous avons parle de leur liaison avec les equations integrales. On comprend done que c'est en se rattachant a cette theorie qu'on pourra atteindre la solution des problemes qui se pre- sentent dans la mecanique de 1'heredite. Mais on peut aj outer des ce moment, que les equations integrales ne suffisent pas pour embrasser le cas general des problemes de 1'heredite. II faut passer a des questions tout-a-fait nouvelles beaucoup plus compliquees, que j'appelle les problemes des Equations intS- gro-differentielles. Ces problemes sont d'une nature differente de ceux qui se presentent dans 1'extension de 1'equation de Jacobi que nous avons traitee dans la premiere lee. on ( IV, V). Alors nous avons rencontre" des relations entre les coefficients differ- entielles des fonctions des lignes (les equations (4) de la pre- miere legon), tandis que les equations integro-differentielles que nous trouverons dans les articles suivants sont des relations qui, en meme temps, ont le type des equations differentielles et celui TROISIEME LEgON 61 des equations integrales. En outre 1'union des deux types est telle que les methodes connues qu'on emploie pour les equations differ entielles et pour les equations integrales ne donnent pas la solution, dans les cas generaux, si on les applique separement. Le probleme des equations integro-differentielles se distingue d'une maniere essentielle de ceux des equations differentielles et des equations integrales. Pour le resoudre il faut accoupler les deux me*thodes par une nouvelle analyse. Revenons maintenant a la quantite qui depend de toutes les valeurs de la fonction M(t) depuis la valeur t Q jusqu'a la valeur actuelle t. La premiere question qui se pose est evidem- ment celle-ci : Peut-on exprimer analy tiquement cette relation ? Pour re"pondre il faut examiner la question generale de la representation analytique d'une quantite qui depend de toutes les valeurs d'une fonction (lere lee. on, V). On se heurte ainsi a des difficultes analogues a celles qu'on recontre dans 1'analyse ordinaire lorsque, apres avoir defmi une fonction de la maniere de Dirichlet, on veut passer a son expression analytique, par exemple a la serie de Taylor. II n'est pas necessaire que je rappelle qu'il faut poser des conditions relatives a la deriva- bilite, a la convergence et au reste de la serie, pour que le de- veloppement soit possible. De meme dans le cas d'une quantite qui depend de toutes les valeurs d'une fonction, en posant certaines conditions d'un type analogue, on peut arriver a un developpement qui est tout-a-fait semblable a celui de Taylor. En 1'appliquant a < qui depend de M(f) on trouve (2) < = Avant de continuer nous allons fixer notre attention sur la portee de 1'extension du theoreme de Taylor dont nous venons de parler. En effet il est le premier exemple de 1'application du passage a 1'ensemble infini et continu des variables d'une fonc- tion et par suite il a ete le point de depart des idees successives. Je vais montrer que ce developpement n'est autre chose que le cas limite de la serie de Taylor a plusieurs variables si Ton sup- pose que le nombre de celles-ci croit indefiniment. On le verra aisement en suivant la voie par laquelle j'y suis arrive en 1887. 5 62 TROISIEME LEgON Divisons 1'intervalle ( ,) en n parties h v A 2 , A n , et soient M v My " M n , respect! vement les valeurs de la fonction M(f) pour les valeurs de t comprises entre les intervalles Envisageons d'abord une fonction de h 1 M v hjtfy h 3 M 3 - - h n M n qui s'annulle lorsque ces quantites sont nulles. Si nous de*- veloppons cette fonction en serie de Taylor (les conditions pour la possibilite de ce developpement etant satisfaites) nous trouverons 1'expression Passons maintenant a la limite, enfaisant croitre indefiniment le nombre des intervalles h v A 2 h n , et en f aisant diminuer indefini- ment la grandeur de chacune. Le premier terme qui est constitue par une somme simple, donnera lieu a la limite a une integrale simple, le second terme qui est constitue par une somme double deviendra a la limite une integrale double, et les sommes succes- sives deviendront des integrales multiples d'un ordre toujours croissant. On arrive de cette maniere au developpement prece- dent (2). Ce que nous venons d'exposer n'est que le schema du raisonnement. C'est par des artifices qui sont assez compliques qu'il devient complet et rigoureux. Le developpement d'une quantite qui depend de toutes les valeurs d'une fonction, que nous venons de trouver, conduit facilement a une classification analogue a celle des fonctions des differents degres. II sufifit pour cela de separer les termes de la serie (2) et Ton aura evidemment des expressions de premier, de deuxieme, de troisieme degre. Un grand nombre de questions s'y rattachent, et les plus interessantes sont celles ou les fonctions dont depend- ent ces expressions sont inconnues. C'est par ces considerations que j'ai ete amene depuis 1896 6 a 1'etude de la solution des equations integrales en posant comme fondement une concep- tion analogue a celle qui m'avait conduit au developpement (2), c'est-a-dire a la conception fondamentale du calcul integral. En effet, comme j'ai montre dans ma premiere Note de 1896 7 et comme nous avons annonce dans la premiere legon (voir le V), leur solution decoule de 1'extension du precede pour la resolution des equations algebriques, lorsqu'on suppose que le TROISIEME LEQON 63 nombre des variables croit indefiniment de la meme maniere avec laquelle croit le nombre des termes d'une somme pour donner lieu a une integrale. Nous allons le voir dans le prochain. Si nous appliquons le developpement (2) liquation fonda- mentale de la torsion deviendra : ft> = II est evident que nous considererons 1'histoire complete du moment de torsion en prenant pour limite inferieure des integrales 1 = oo . Admettons maintenant que, dans une premiere approximation, on puisse negliger tous les termes du developpement (2) de <, le premier excepte, alors 1'equation precedente deviendra (3) o)(0 Ce sera done une relation lineaire qui rattachera toujours les deux quantites &> et M> mais cette relation aura perdu le type algebrique (1), en devenant, a cause de 1'heredite, une relation de type integrale. La relation etant lineaire on peut 1'interpre- ter, au point de vue physique, par la propriete qua les effets de la superposition des moments de torsion se somment. En effet, si Ton suppose que cette propriete soit verifiee, 1'equation prece- dente en decoule comme consequence. C'est a cause de cela que nous appellerons TiSredite lineaire celle que nous considerons. Je vais maintenant enoncer les problemes qui se posent, des que la question particuliere que nous avons etudiee, a ete mise sous la forme precedente. (1) Quelle est 1'interpretation du coefficient (, r) ? (2) La fonction <(, r) etant connue, comment peut-on de- terminer M(f) lorsqu'on donne ft>(0 ? (3) Comment peut-on determiner la fonction <(, T) si Ton suppose qu'elle soit inconnue ? (4) Est-il possible d'etendre les conceptions precedentes rela- tives a la torsion, au cas general de Telasticite ? 64 TROISIEME LEQON (5) Est-il possible de les etendre aux phenomenes magne- tiques et dielectriques ? (6) Quels phenomenes rentreront dans le cadre des solutions qu'on trouvera ? Nous allons discuter tres rapidement ces differents problemes. VI II n'y a pas de difficulte pour repondre a la premiere question. En effet on voit aisement que (, T) mesure la torsion qui est induite au temps t par un moment de torsion egal a 1'unite qui s'est exerce dans 1'intervalle de temps (T, T + dr). C'est a cause de cela qu'il faudra supposer que <(, T) decroisse lorsque t T croit. Nous supposerons aussi que (t, r) soit infiniment petit pour t T infiniment grand. En outre si nous prenons comme infini principal t T nous ferons 1'hypothese que (, T) soit infiniment petit d'ordre 1 + e ou e > 0. C'est ainsi que Fintegrale sera convergente si la limite inferieure t Q sera oo . Nous appellerons <$>(, T) le coefficient cVherSditS. Passons maintenant a la seconde question que nous avons posee dans Particle precedent. II faut resoudre Tequation (3) en supposant M(f) inconnue, toutes les autres quantites etant con- nues. On trouve ainsi ce qu'on appelle une equation integrale. En montrant comment on peut arriver a la resoudre nous expo- serons les principes generaux par lesquels on peut resoudre toutes les equations integrales analogues. Comme nous avons dit dans le precedent ces principes sont tout-a-fait analogues a ceux que nous avons employes precedemment pour 1'extension du developpement en serie de Taylor. Voici la voie qu'il faut suivre. Supposons pour simplifier jfiT=l. Divisons 1'intervalle ( ) en n parties h v h%, h n et soient t v t^ > t n , n valeurs de t comprises dans ces intervalles. Ecrivons les equations (4) TROISlfeME LEgON 65 On aura un systeme de n equations avec les n inconnues M(t^) - M(tn). II est evident que si nous passons a la limite, en faisant diminuer indefiniment h v ^ 2 , h n , les equations precedentes se reduisent a 1'equation integrale (3). Done pour resoudre cette equation integrale resolvons d'abord le sys- teme des equations algebriques (4), et apres, dans la solution, passons a la limite, en faisant diminuer indefiniment h v h v h n . On aura de cette maniere tres-aisement la solution de 1'equation integrale. Or, dans le ca.s que nous avons sous les yeux, une circonstance favorable se prdsente, c'est-a-dire, le determinant qui parait au denominateur est egal a 1. C'est pourquoi la solution aura une forme simple, car il ne faudra calculer que les determinants qui sont aux numerateurs en appliquant les regies ordinaires, et chercher apres leurs limites. On trouvera evidemment des formules resolutives ayant la forme Jf(t|) tfctfi)' Pour calculer les coefficients A^i, / = 1, 2, - n) prenons les determinants qui les expriment en fonction des quantites df P comme Tabscisse et Tordonnee d'un point A. Sup- posons que M varie d'une maniere periodique depuis le temps QO . Si a) change aussi periodiquement, avec la meme periode, le point A de*crira un cycle ferme. Cette condition etant TROISr&ME LEQON 67 verifiee, quel que soit la periode du moment de torsion, on deinontre que (t, r) doit etre une fonction de la difference t r. Reciproquement on prouve que, lorsque <(, T) est une fonction de la difference t T, A decrit un cycle ferme, si M change d'une maniere periodique. 9 Or, <(, T) etant une fonction de t r, cela signifie que la torsion induite apres un certain temps par un moment donne de torsion depend de la grandeur de cette intervalle de temps et ne depend pas de 1'instant ou le moment a ete applique. Cette propriete pent s'appeler Vinvariabilite de I'he'rSdite', d'ou Ton tire le theoreme que la propriete du cycle ferme amene comme consequence celle de 1'invariabilite de 1'heredite et reciproquement. C'est pourquoi on peut regarder les deux proprietes comme equivalentes. J'appelle le theoreme prece- dent le principe du cycle ferme. Or, si $(, T) = <( T), 1'eq nation integrate ft)(0 = KM(f) - o se transforme facilement dans Tautre Jo ~M(t - et, par la methode que nous avons donnee pour la resolution des equations integrales, on pourra determiner le coefficient d'heredite <^>(^), lorsqu'on connait M(f) et co (). C'est ainsi que la troisieme question est resolue. Done 1'analyse ordinaire des equations integrales suffit pour les problemes que nous avons traites jusqu'ici. VIII Nous montrerons sous peu qu'il est necessaire d'employer 1'analyse des equations integro-differentielles si Ton veut eten- dre a des cas generaux les considerations particulieres que nous avons developpees. Cependant, avant d'aborder cette exten- sion, il sera utile de faire une premiere rencontre des equations de ce type sans abandonner le probleme particulier de la torsion, toutefois nous ne considererons plus la torsion au point de vue statique, comme nous avons fait jusqu'ici. Nous examinerons la question dynamique, c'est-a-dire celle des oscillations du fil. II est evident que, pour passer du cas statique au cas dyna- 68 TROISIEME LEQON mique, il suffit, par le principe de d'Alembert, de remplacer le moment M de torsion par la difference M P?-^, p etant une ut quantite constante. On trouve alors (5) On peut remplacer cette equation par 1'equation reciproque que Ton a par la resolution de 1'equation integrale, Commenc.ons par fixer notre attention sur la nature de 1'equa- tion que nous venons de trouver. Elle est en meme temps une equation differentielle et une equation integrale, car si nous prenons co(t) pour inconnue, cette fonction parait sous une in- tegrale definie et elle est aussi derivee deux fois par rapport a t. Cette equation est done du type intSgro-differentiel. Mais on peut demontrer que, dans cette equation integro-differentielle particuliere, on elimine les derivees en appliquant deux fois 1'integration par rapport a t et on peut ainsi la transformer dans une equation integrale ordinaire. C'est a cause de cela qu'on peut appeler cette equation une equation intSgro-diffSrentielle apparente, parce que sa nature differentielle peut disparaitre et par suite sa double qualite n'est pas essentielle. Nous n'insisterons pas sur cette equation particuliere. Elle nous servira cependant pour faire une remarque interessante au point de vue physique. Nous avons vu dans 1'article prece- dent qu'on pouvait determiner le coefficient d'heredite par la resolution d'une equation integrale qui exprime la relation statique. De meme, on voit facilement qu'on peut determiner le coefficient d'heredite" par voie dynamique en observant les oscillations du fil, et en resolvant 1'equation integrale (5) par rapport a <, si Ton suppose qu'elle soit une fonction de t r. IX Passons maintenant au problem e general de 1'elasticite, en tenant compte des phenomenes d'heredite. TROISIEME LEgON (jy La loi de Hooke etablit des relations lineaires entre les six elements qui individualisent les tensions en chaque point (le stress) et les six elements qui individualisent la deformation (le strain) (lf eme legon, II). Si nous designons par t is et y is (i, s = 1, 2, 3) ces elements, nous aurons les equations, On neglige ainsi les phenomenes d'heredite, car on suppose que la deformation actuelle ne depend que des tensions actuelles, mais si nous voulons tenir compte qu'une tension qnelconque s'exergant dans une particule du milieu elastique fait ressentir son effet sur toutes les deformations futures, il faudra corriger 1'equation precedente, comme nous avons fait dans le cas par- ticulier de la torsion, en ajoutant un terme fa qui depend de toutes les tensions qui se sont exercees sur la particule qu'on envisage depuis le temps oo jusqu'a 1'instant actuel. En sup- posant verifiees des conditions analogues a celles que nous avons admises dans le cas de la torsion, on pourra developper fa dans une serie du type analogue a celle de Taylor et qui se rapproche de la serie que nous avons deja rencontree dans le IV. On aura ainsi une somme infinie de termes constitues successive- ment par des integrales simples, doubles, triples, etc. Si nous faisons 1'hypo these que, dans une premiere approxi- mation, on puisse negliger tous les termes de cette serie, le premier excepte, c'est-a-dire celui qui renferme les integrales simples, 1'equation qui remplacera la relation (6) sera Cette Equation se simplifie si Ton suppose que les actions anterieures a un instant f soient negligeables. Elle devient alors La modification ainsi introduite dans la loi de Hooke change le type des relations fondamentales, car elle les transforme en rela- tions integrales. Toutefois les relations se conservent lineaires, et par suite nous appellerons, comme nous avons fait precedem- ment, herSdite lineaire celle que nous considerons. Au point 70 TROISIEME LEgON de vue physique cette propriete caracterise le principe de la superposition des effets des tensions qui se sont excerces dans tous les instants precedant 1' instant actuel. Ces effets sont reduits proportionnellement aux coefficients is]hk (t, T) qu'on peut appeler les coefficients d'hSredite 1 . Us dependront en gen- eral des variables , T et, en outre, des coordonnees x, y, z de la particule qu'on envisage. II est evident que ces coefficients doivent diminuer lorsque I'intervalle t T croit, et devenir in- urnment petits lorsque t T devient infini. Nous supposerons que, t T etant 1'infini principal, is \ hk (t, T) soient infiniment petits d'ordre 1 + e (e > 0). Les relations fondamentales (7) constituent des systemes d'equations integrales, et il n'y a pas de difficultes a les resoudre par rapport a t hk (f) de la meme maniere par laquelle nous avons resolu une seule equation inte- grale, c'est-a-dire, en remplagant d'abord les integrales par des sommes et en suite passant a la limite. II suffit pour cela sup- poser que le determinant D des quantites a^^ ne soit pas nul. On exprime ainsi les tensions lineairernent par les deforma- tions et 1'on trouve (8) hk Les coefficients A^^ sont les rapports des determinants reci- proques des elements a is{hk du determinant D au meme determi- nant. Les fonctions 4> M , M (, T) se calculent moyennant des operations de quadrature, appliquees aux fonctions ^is\hk-> ana ~ logues a celles que nous avons iridiquees dans 6, VI. Les considerations que nous avons exposees au VI sont appliquables dans ce cas, c'est-a-dire on peut etendre le prin- cipe du cycle ferme. En effet on demontre que, si a toute variation periodique des quantites t^ doivent correspondre des variations periodiques des quantites 7^ avec la meme periode, les coefficients 4>tnu(ti r) doivent etre des fonctions de la difference t T. On tire de la 1'equivalence des proprietes du cycle ferme et de 1'invariabilite de 1'heredite. Lorsque les coefficients islhle sont des fonctions de t T, on peut facilement les calculer, en connaissant les fonctions y kk et t^ par la resolution d'un systeme d'equations integrales. Des que nous avons exprime les tensions t^ par les deforma- tions 7j, (formules (8)) il n'y a plus de difficulte pour ecrire TROISIEME LEQON 71 les conditions d'equilibre. II suffit d'appliquer les conditions indefinies de 1'equilibre elastique, c'est-a-dire : (9) dx dy dz ^31 + ^32 _j_ d*a dx dy dz (ou p est la densit4 et JT, Y, Z sont les forces de masse), et les conditions au contour. cos nx + 12 cos ny + 13 cos nz cos nx 4- 22 cos TM/ + 2 3 cos nz cos nx + ^ 32 cos ny + 33 cos w^ ou JT^, PO-, Z 9 sont les tensions au contour. Ecrivons maintenant les quantites y hk exprimees par les com- posantes des deplacements w, v, w, du corps elastique ; on aura du _ dv _dw dx" 1 22 dy* dz* dv div _^ i ^ _ dw 3i> 32 3y dx dz dy dx Si nous substituons dans les equations (9) et (9') les quantites t hk par les expressions (8), et dans les formules qu'on trouve nous remplagons les quantites y hk par les expressions prece- deiites (9"), les relations (9), (9') deviendront des equations integro-differentielles, car les quantites inconnues w, v, w parai- tront dans ces equations sous des integrales et seront aussi derivees par rapport aux variables #, y, z. Nous voyons done que, si Ton envisage la question generale de 1'elasticite en tenant compte de rheredite", on est conduit aux equations integro-differentielles. Par des considerations tres simples on trouve que ces equations, dans le cas ou le corps elastique est homogene et isotrope, deviennent 72 TROISlfcME LEQON (10) t Jf[f (i, f [V(<, T) A%(T) *"<> |_ ou L et _K" sont des quantites constantes et ^=~+ + . to dy Bz Elles se reduisent evidemment aux equations bien connues de 1'equilibre elastique ordinaire, des que Ton elimine les termes integral.es qui paraissent a cause de 1'heredite. Les equations que nous venons de trouver correspondent aux problemes statiques. Elles sont de type elliptique. II n'y-a- pas de difficulte a determiner celles des vibrations, car il suffit, par le principe de d'Alembert, de remplacer les forces de masse , pZ par les differences 5 M fv a M - - On trouve dans ce cas aussi des equations integro-differentielles, mais le type s'est ainsi transforme en hyperbolique. Avant de proceder dans ces recherches nous voulons aborder le probleme de 1'electromagnetisme pour les corps en repos en ayant egard a 1'heredite. (5eme question, V.) Nous devons partir des equations de Hertz, dont nous avons parle* dans la premiere lecjon, 10 c'est-a-dire des equations W^dZ_dY dt dy dz ' = ^r-if' ( n O = ^_^l_47r^, dz dy S-\-\\ A v-jj\, v^-*. ~ *- s-t -i I*. A "*-/ Vj\ 0_LJ __ dt dx dy dt dy Bx TROISIEME LEQON 73 ou 3E, 2), 3 ; -X YI ^5 w > v > w son ^ I GS composantes de la polar- isation, de la force et du courant electrique, tandis que 8, 2ft, 9^; L, M, N sont les composantes de la polarisation et de la force magnetique. Les conditions ordinaires qu'on ajoute aux equations prece- dentes sont des relations algebriques lineaires et entieres entre les composantes de la force electrique et celles de la polarisation electrique, et entre les composantes de la force magnetique et celles de la polarisation magnetique. Mais, si nous tenons compte de 1'heredite, il faudra remplacer ces relations par des relations integrales tout-a-f ait analogues a celles que nous venons de considerer dans le cas de 1'elasticite. Si nous admettons le principe de la superposition des effets dus a des causes qui se superposent nous trouverons des relations integrales lineaires. Leur type sera le suivant : X (0 = e u X(t) + e 12 F(0 + e 18 Z(0 + x&Haft, T) + F(T)< 12 0, r) 9 (0 = M-X(9 + e 22 r(<) + + Y(r)^(t, r) 3(0 = 8 (0 = Mu + M(rW n (t, T) N(t) + flL(T)+ n (t, T) , T) En remplaant ces expressions dans les equations de Hertz (11), (11')? nous trouvons aussi dans ce cas des equations in- tegro-differentielles. Par la resolution des equations integrales precedentes nous pourrons exprimer les forces elastiques et magnetiques par les polarisations electriques et magnetiques. On pourra aussi repeter ce que nous avons dit sur le principe du cycle ferme dans les articles precedents. 74 TROISIEME LEgON Envisageons maintenant un cas particulier. C'est le cas statique qui est le plus simple qui puisse se presenter, ou 8, m, % x, 9, 3, changent si lentement qu'on peut negliger les quantites m. rs soient nulles si r ^ s. On aura alors ['equation qui peut etre transformee aisement dans 1'autre Cette equation, si Ton neglige Theredite, se reduit a Tequation de Laplace : A 2 F=0. Nous prendrons 1'equation (12) pour type des equations integro-differentielles elliptiques, comme 1'equation de Laplace est le type des equations differentielles elliptiques. Les me- thodes qu'on emploie pour 1'equation (12) peuvent etre aise- ment etendus aux cas plus compliques. Nous aborderons les conceptions fondamentales de ces methodes dans 1'article suivant. XI Nous pouvons commencer par supposer que le second mem- bre ne soit pas nul, mais qu'il soit une fonction donnee F(x, y, z, ). Nous designerons alors 1'equation par (12 1 ). TROISIEME LEgON 75 Si/= est une fonction connue. C'est pourquoi le probleme est decomposable en deux prob- lemes distincts, 1 resolution d'une equation integrale, 2 integra- tion de 1'equation differentielle (13), c'est-a-dire de 1'equation de Poisson. L'analyse relative aux equations integrales et celle des equations differentielles suffisent done, pour traiter 1'equation integro-differentielle quand < /=^> = A|r. Par suite elle ne constitue pas, dans ce cas particulier, un probleme nouveau. Mais, supposons que les fonctions /, <, ^ ne soient pas egales entre elles, alors les deux analyses des equations integrales et des equations differentielles ne suffisent plus pour resoudre le probleme et il en faut une nouvelle pour atteindre le but. Pour approfondir ce que nous venons de remarquer, on peut transformer le probleme d'une autre maniere. Posons y, z, -lv & y, z, V(x, y, z, t)+ I V(x, y, z, r)$(t, r)dr= V^x, y, z, t), */t a V(x, y, z, *)+ V(x, y, z, T )^r(e, r)dr = V z (x, y, z, *), et resolvons ces equations integrales par rapport a F. Nous aurons, par le procede que nous avons expose, V(x, y, z, 0= Fi(z, y, z, = Vfa y, z, O+'J V ^ y^ ^ T )*i(^ ou les fonctions/!, < r ^ peuvent se calculer par des operations de quadrature. En meme temps nous aurons (14) 76 TROISIEME LEgON C'est pourquoi notre equation integro-differentielle peut se transformer dans les deux equations integrales: (15) Fi(z, y, *, + y, 2, e+ ( = ^ alors V v V^ Fg deviennent egales et par suite 1'equation (14) se reduit a 1'equation de Poisson, tandis que les equations integrales (15) deviennent des identites. Supposons done que les f onctions /, , ^ ne soient pas egales entre elles et supposons .F= 0. Nous allons donner les re- sultats generaux qu'on peut trouver dans ce cas, et que Ton peut comparer avec les proprietes de 1'equation de Laplace. 11 D'abord on peut demontrer qu'a 1'interieur d'un espace S il n'y a qu'une seule fonction F"qui prend des valeurs determines au contour de ses derivees au contour. Les calculs pour trouver la formule definitive sont tres-compliques, mais, par des circon- stances heureuses qui font evanouir certains termes, la solution se simplifie. Voici la formule definitive Oi') r (0) = 1. A H, ([ r, w], ey ou F^(^) represente la valeur de V (#, y, 2, f) lorsque a;, y, z sont les coordonnees du p61e et t = 0. Elle est la formule fon- damentale de la theorie et s'etend facilement au cas de 1'equa- tion que nous avons designee par (12 1 ) au commencement du XI. TROISIEME LEgON 79 XII Nous avons parle dans la legon precedente de la methode de Betti pour integrer les equations differentielles de 1'equilibre elastique ( IV) et de celle de Kirchhoff ( V). Nous allons montrer que dans le cas de 1'heredite il est possible de donner des resolutions aussi generales. II faut pour cela employer des methodes qui sont une generalisation de celle que nous venons d'exposer par rapport a 1'equation (12) et qui decoulent, par suite, de 1'union des conceptions fondamentales relatives aux equations differentielles et aux Equations integrates. Revenons aux relations (8) (9) (9') (9") qui expriment les equations de 1'equilibre elastique dans le cas de 1'heredite. Si nous voulons etablir un theoreme fondamental de re"ciprocite il faut accoupler une solution de ces equations avec une solution d'un systeme adjoint. Pour obtenir le systeme adjoint il suffit de remplacer 1'equa- tion (8) par en conservant les autres, c'est-a-dire en ecrivant t n f cos nx + t l2 ' cos ny + t 13 ' cos nz == .X,/, t 2l f cos no; -f < 22 ' cos ny + t^ cos nz = F^', Z 31 ' cos nx + f 32 ' cos n^ + t^ cos nz = Z^ , dv' 722 = ^T- n, '-^' 711 = -^' , _ 3w' , 3v' , _du r dw f , __ dv[ dd_ 723 ~~ "^7 77'- 7si ~" 77 ^ ' 7l2 = ~ ^- *- ' O V O2 OS OJU Le theoreme de reciprocite sera le suivant : + Yv' dw^ dz It/ 62; TV + Z'w)d8 80 TROISIEME LEQON ou S est 1'espace occupe par le corps elastique et , ^ ne sont pas egales entre elles, alors il faut commencer par obtenir directement un theoreme de reciprocite. II faut apres calculer une solution fondamentale, et on y arrive TROISIEME LEgON 81 par un precede special que nous ne developperons pas ici. Enfin en introduisant la fonction f ondamentale dans la formule de reciprocite on peut etendre la formule (-<4/) du cas elliptique a celui hyperbolique. Voila les principaux resultats que nous nous sommes proposes d'exposer par rapport a 1'heredite. Us prouvent que, par la theorie des equations integro-diffe- rentielles et des equations integrales, on peut developper d'une maniere generale 1'etude analytique des phenomenes d'heredite sans faire aucuiie hypothdse particuliere sur les fonctions qui la caracterisent, c'est-a-dire les coefficients d'heredite. II est bien connu que dans les questions de physique mathematique et de mecanique il est utile de laisser, autant qu'il est possible, inde- terminees les constantes et de ne les fixer numeriquement qu'au dernier moment, lorsqu'on applique les formules a des questions concretes. C'est a cause de cela que 1'importance de 1'applica- tion de 1'algebre aux questions naturelles a toujours grandi. De meme on voit 1'utilite de laisser indeterminees les susdites fonctions en resolvant les questions d'he're'dite' avec la plus grande generalite possible. On pourra fixer les coefficients d'heredite dans les cas particuliers qui se presenteront ou meme les determiner par la comparaison des formules generales avec les resultats de 1'observation. C'est par-la que ressort le carac- tere essentiel et 1'utilite des methodes qui se rattachent a la conception des fonctions qui dependent de toutes les valeurs d'autres fonctions, d'ou decoulent les methodes employees pour les equations integrales et integro-differentielles. Faute de ces methodes, des developpements analytiques pour 1'heredite ne seraient pas possibles et il faudrait s'arreter aux premiers pas. L'heredite que nous avons consideree est 1'heredite lineaire. Le trainage et les actions consecutives (Nachwirkung) s'ap- prochent de cette sorte d'heredite. II est evident que 1'hysteresis dite electrotecnique n'y rentre pas. II suffit, par exemple, d'en- visager le phenomene de la magnetisation permanente pour s'en convaincre, mais rien n'empeche d'etendre le domaine de la theorie en sortant du cas lineaire. 12 C'est ainsi que nous avons repondu a la sixieme question posee dans le V. 1 Rivista di Scienza, Vol. 1. Bologna, 1907. 2 De la methode dans les Sciences. Paris, Alcan, 1909. 82 TROISIEME LEQON 8 Zur Theorie der elaslichen NacJiwirkung. Wien, Ber. 70. Wiss. Abh. I. Bd. 4 Gesetze der elastiche Nachwirkung. Wied. Ann. Bd. 50. 5 Sopra lefunzioni die dipendono da altre funzioni. Nota I. Rend. Ace. del Lincei, Vol. Ill, 3. (Voir note 7 de la premiere Ie9on.) 6 Sulla inversione degli integrali definiti. Nota I, II, III, IV. Atti dell 'Accademia di Torino. Vol. XXXI. 1896. Rend. Ace. dei Lincei. 1 Sem. 1896. Sulla inversione degli integrali multipli. Ibid. Sopra alcune questioni di inversione di integrali definiti. Ann. di Mat. 1897. 7 Voir en particulier le 3 de la Nota I : Sulla inversione degli integrali definiti. Atti dell' Accademie di Torino, 1896. 8 Voir la citation de la note 35 de la deuxieme lecon. 9 Sulle equazioni della elettrodinamica. Rend. Ace. dei Lincei. 1 Sem. 1909. 10 Voir la citation de la note pre'ce'dente. 11 Sulle equazioni integro-differenziali. Rend. Ace. dei Lincei. 1 Sem. 1909. 12 Sur les fonctions qui dependent d'autres fonctions. Comptes rendus, 1906. ler Sem. page 691. 14 DAY USE RETURN TO DESK FROM WHICH BORROWED ASTRON-MATH-STAT. LIBRARY Tel. No. 642-3381 This book is due before Library closes on the last date stamped below, or on the date to which renewed. Renewed books are^rtfb ject to immediate recall. >