BEtKEliY 
 
 LIBRARY 
 
 UMivEtsirr .OF 
 
 CALIFORNIA 
 
 THE LIBRARY 
 
 OF 
 
 THE UNIVERSITY 
 OF CALIFORNIA 
 
 GIFT OF 
 
 Prof. G. C. Evans 
 

 LECTURES 
 
 DELIVERED AT THE 
 
 CELEBRATION OF THE TWENTIETH ANNIVERSARY 
 OF THE FOUNDATION OF 
 
 CLARK UNIVERSITY 
 
 UNDER THE AUSPICES OF THE DEPARTMENT 
 OF PHYSICS 
 
 BY 
 
 VITO VOLTERRA 
 
 WORCESTER, MASS., SEPTEMBER 7-11, 1909 
 
 PUBLISHED BY CLARK UNIVERSITY 
 1912 
 
STA 
 
 TROIS 
 
 SUR QUELQUES PBOGRES REGENTS DE LA 
 
 PHYSIQUE MATHEMATIQUE 
 
 PAR 
 
 M. VITO VOLTERRA 
 
 SENATEUR DU ROYAUME D'lTALIE 
 PROFE8SEUR DE PHYSIQUE A. L'DNIVERSITE DE ROME 
 

PREMIERE LECON 
 
 Introduction. I. L'analyse et la physique mathematique. II. Com- 
 ment la theorie de Maxwell des tensions dans un champ electrostatique est 
 renfermee dans la formule qui donne la variation d'une integrale triple. 
 III. Deduction des equations de 1'electrodynamique du calcul des varia- 
 tions. IV. Interet et applications de cette deduction ; (a) interpreta- 
 tions mecaniques ; (6) transformation des equations de 1'electrodynamique ; 
 (c) invariants integraux et theoreme de reciprocite ; (e?) Faction stationnaire 
 et 1'action variee en physique mathematique. V. Necessite d'etendre la 
 conception de fonction pour etendre le principe de Faction variee ; comment 
 les theories developpees dernierement s'orientent dans cette direction. 
 VI. Les caracteristiques et le temps regarde comme une coordonnee. Le 
 monde de Minkowski. VII. Interpretation des caracteristiques. Cas du 
 monde a 4, a 3, et a 2 dimensions. Comment le mecanisme des ondes dans 
 le cas des differents mondes isotropes n'est pas le meme. Erreurs qui 
 viendraient de 1'intuition et de 1'analogie. VIII. Chocs et calcul des 
 variations. IX. Cas des milieux anisotropes. Les milieux biaxiques et 
 uniaxiques. Leur difference par rapport au mecanisme des ondes. 
 X. Reduction k des equations syrnetriques. Introduction des imaginaires 
 en physique mathematique. Principe des images. XL Considerations 
 de Minkowski. La transformation de Lorentz. La contraction de Lorentz. 
 La contemporaneite' des evenements. Relations avec le principe de 1'action 
 stationnaire et avec le calcul des variations. 
 
 Messieurs : 
 
 Permettez-raoi, avant d'aborder mon sujet, d'exprimer au 
 corps academique de la Clark University toute ma reconnais- 
 sance de 1'honneur qu'on m'a fait en m'appellant a exposer 
 quelques points de physique mathematique devant les mathema- 
 ticiens et les physiciens reunis dans cette circonstance. 
 
 Laissez-moi ajouter que je suis heureux de me trouver parmi 
 les savants Arnericains dont nous, en Europe, admirons les 
 grandes decouvertes et les grands travaux scientifiques, qui de- 
 viennent de jour en jour plus repandus et plus celebres. 
 
 J'ai vu les beaux programmes des cours de physique mathe- 
 matique et d'analyse de la Clark University. II serait inutile 
 de repeter des notions qui ont ete deja exposees d'une maniere 
 elevee et systematique, c'est pourquoi je n'envisagerai que 
 1'evolution de quelques idees et je ne toucherai que quelques 
 points qui ont ete le but de mes recherches personnelles. 
 
 1 
 
2 PREMIERE LEQON 
 
 i 
 
 I. Si vous demandez a tout mathematician si dans son esprit 
 il fait une distinction entre les theories de 1'elasticite et celles 
 de l'e*lectrodynamique, il vous dira qu'il n'en fait pas, car les 
 types des Equations differentielles qu'il rencontre, et les me- 
 thodes qu'il doit employer pour resoudre les problemes qui se 
 pre"sentent, sont tout a fait les memes dans les deux cas. 
 
 D'un autre cote" la coincidence des relations analytiques a 
 amene, d'une maniere simple et naturelle, au passage de la the- 
 orie elastique a la theorie electromagnetique de la lumiere et 
 celle-ci, apres bien des tatonnements, a pris, dans le cas des 
 corps en mouvement, la forme desormais classique que Lorentz 
 lui a donnee. 
 
 Je n'he*site pas a relier ce mouvement d'idees tout a fait 
 moderne a Tesprit philosophique qui s'est degage de la grande 
 ceuvre de Lagrange. 
 
 Lagrange a ramene la mecanique a une seule formule. De 
 meme les fondateurs des theories generales de la physique 
 mathematique, a 1'exemple de Fourier, ont fait dependre les 
 differents phenomenes d'un certain nombre d'equations gene- 
 rales qui renferment tous les cas possibles et ont reduit la plu- 
 part des difficultes a des difficultes analytiques. 
 
 C'est ainsi, comme on a repete tant de fois, que les sources 
 des plus grandes decouvertes de 1'analyse ont ete les problemes 
 de la nature. En meme temps on peut dire que tout perfectionne- 
 ment des methodes de 1'analyse a contribue au progres de la 
 physique mathematique. 
 
 Certains esprits ont besoin d'etre soutenus dans toute re- 
 cherche analytique d'une interpretation qui rattache leurs vues 
 a des phenomenes concrets. D'autre part que de resultats que 
 le calcul a guide* d'une maniere inconsciente et mecanique et 
 qui sont a peu pres nmets si on les envisage au point de vue 
 algebrique, deviennent tout-a-coup d'un grand interet et pren- 
 nent une signification inattendue, des qu'on les interprete par 
 la the*orie physique ! 
 
 n 
 
 II ne serait pas necessaire de donner des exemples pour demon- 
 trer la verite tres courante que je viens d'enoncer, mais je ne 
 puis pas me passer de vous exposer un cas typique qui nous 
 
PREMIERE LEQON 3 
 
 sera utile pour commencer et qui nous amenera en meme temps 
 a envisager le calcul des variations dont nous aurons a parler 
 dans eette lecture. 
 
 Nous allons voir qu'une conception et une theorie celebre de 
 Maxwell est renfermee dans 1'expression de la variation d'une 
 integrate triple, pourvu qu'on ait appris a lire ce qu'on trouve 
 cache dans cette formule elementaire. 
 
 Je calcule en effet la variation de 1'integrale triple 
 
 w T.-*- * 
 
 V etant une fonction de #, ?/, z. Je suppose que la f onction 
 V change infiniment peu et je suppose aussi que 1'espace $, 
 limite par un contour er, se deplace et se deforme infiniment peu. 
 
 Pour calculer cette variation il suffit, comme a fait Lagrange 
 en hydrodynamique, d'individualiser les points par des parame- 
 tres independants de la deformation. 
 
 Par des operations tres elementaires et par des integrations 
 par parties bien connues on trouve, en groupant les termes 
 d'une maniere convenable, 
 
 ou 
 
 A 1 = WJ VdS - 
 
 C (XS 
 
 *j s 
 
 M x p 
 
 ^33733 
 
 J'ai designe par jt?, ^, r, les composantes de la rotation de 
 chaque particule du milieu, c'est-a-dire, 
 
 _l(dSx_d$z\ _ IfdSy dSx} 
 ~ IlT " Bxf ~ 2V dx d F 
 
 2By dz Bx 2 dx dy 
 
 par 7 1X , 7 22 , 7 33 , 7 23 , 7 31 , 7 12 le strain du milieu, c'est-&-dire, 
 
 dSz 
 
4 PREMIERE LEON 
 
 Les autres quantity's se calculent facilement moyennant la 
 fonction F, et ses derivees. L'operation que j'ai faite est la 
 plus elementaire de la theorie des variations. 
 
 Voila maintenant Fenonce de cptte formule : 
 
 La variation de V integrate triple pent etre regardee comme la 
 somme de trois termes, dont le premier A l depend de la variation 
 de la fonction V, le second A 2 pent $tre interprets comme un 
 travail depense pour le deplacement et la rotation des particules 
 du milieu, et le troisieme A 3 pent etre interprets comme un travail 
 depemepour la deformation du milieu meme. 
 
 Chaque fois que A l et A 2 seront nuls SP pourra etre egalise 
 a un travail de forces elastiques et, par suite, Tensemble des 
 quantites t lv ^ 22 , f 33 , 23 , * 81 , * ia representera le stress. 
 
 Or, si nous supposons que P soit 1'energie des forces New- 
 toniennes, par exemple 1'energie electrostatique d'un milieu, 
 A v et A z s'annulent. II suffit pour cela de remplacer P par 
 1'expression bien connue 
 
 f 
 
 /s 
 
 -- (Grad. 
 
 ou V est le poteiitiel et p la densite de la distribution des masses. 
 Si Ton calcule le stress on trouve le stress de Maxwell, c'est-a- 
 dire : 
 
 _ 
 
 23 ~ 47r dy dz 
 
 La formule (1) est beaucoup plus generale, et, comme il est 
 evident, renferme aussi d'autres theories, dont celle de Maxwell 
 n'est qu'un cas particulier. 
 
 Mais je ne veux pas pousser plus loin dans cette direction, 
 trop de choses il nous reste a dire ou le calcul des variations 
 aura un role tres grand. Je n'ai touche au sujet precedent que 
 pour donner un exemple qui me semble tres suggestif de ce que 
 j'avais dit d'abord d'une maniere generale. 
 
PREMIERE LEQON 5 
 
 HI 
 
 J'ai parle tout-a-1'heure des methodes de la mecanique. On 
 doit a Hamilton bien des progres dans cette branche fondamen- 
 tale de la physique mathematique. II me sumt de rappeler que, 
 par le principede Hamilton, toute question de mecanique, lorsque 
 le potentiel existe, peut se ramener a un probleme de calcul des 
 variations. Deux principes ressortent de la : celui de Faction 
 stationriaire et celui de 1'action variee. II n'est pas necessaire 
 d'insister sur le grand role que ce dernier principe a joue dans 
 toutes les recherches successives. Le genie d'un mathematicien 
 tel que Jacobi y a laisse une trace qui ne pourra jamais s'effacer. 
 
 Les equations de 1'equilibre elastique aussi peuvent se reduire 
 a une question de minimum, en suivant la methode inauguree 
 par Green. De meme la theorie des vibrations des corps elas- 
 tiques peut rentrer dans le domaine du calcul des variations, 
 si Ton envisage le potentiel des forces elastiques et la force 
 vive du mouvement vibratoire. 
 
 Je vais maintenant examiner la meme question dans le cas de 
 Telectrodynamique. 
 
 II y a plusieurs recherches bien connues la-dessus et il y a 
 des cours et des traites classiques (il me sumt de citer celui de 
 Boltzmann), ou cette deduction est faite. Dans certains cas 
 particuliers la deduction est presque immediate. Ce que je 
 desire montrer est que, dans le cas le plus general (je suppose 
 que le milieu soit en repos) on peut arriver au but d'une infinite 
 de manieres, c'est-a-dire qu'il y a une grande liberte de choix 
 dans les problemes de calcul des variations qui peuvent amener 
 aux relations generates qu'on envisage. J'entrerai apres, avec 
 quelque detail, sur les applications de cette conception. 
 
 Je me limite a montrer une voie qu'on peut tenir. 1 Supposons 
 
 uc, dx r+1 dx r+2 ' 
 
 ou les indices peuvent prendre les valeurs 1, 2, 3, et 
 
PREMIERE LEQON 
 
 Regardons x r x v % comme les coordonnees cartesiennes des 
 points d'un espace S et envisageons les deux integrales, 
 
 On voit aisement que leur difference depend des valeurs des 
 fonctions X r , Y r , L r , M r aux limites des integrales. 
 Supposons 
 
 a 
 
 ou rs = sr , 
 x z , et posons 
 
 , r = 1, 2, 3) sont des fonctions de ^, x v 
 
 _ dloga 
 da rt 
 
 _ d log 
 
 2 s a rs u s = ^ r , 2,5 rs v 4 = N r . 
 
 A cause de la propriete precedente 
 
 . + /3 rs L r $N s )dS 
 
 se transformera en 
 
 en ajoutant a cette expression des termes qui dependent des 
 valeurs des fonctions aux limites des integrales. 
 
 Cette relation nous amene tout de suite aux problemes de 
 calcul des variations que nous cherchons. En effet il suffit de 
 prendre Z r X r , N r = L r et Ton deduit que si nous annulons 
 la variation de 
 
 nous trouverons les equations 
 
 f r =0, 
 
 0, 
 
 qui sont les Equations de 1'electrodynamique pour les corps en 
 repos. 
 
 On a done d'une infinite de manures le moyen de ramener 
 les Equations de Telectrodynamique a un probleme du calcul 
 
PREMIERE LEgON 7 
 
 des variations, car les quantites a rs , /3 rs sont tout-a-fait arbi- 
 traires. 
 
 Je dois aj outer que les moyens que je vous ai montre ne sont 
 pas les seals, mais qu'il y en a aussi d'autres. 
 
 IV ' -" ..yU 
 
 Dans 1'histoire des recherches sur les equations de Telectro- 
 dynamique cette reduction a un grand interet, nous en allons 
 voir des applications. 
 
 (a) II y a d'abord la possibilite de donner des explications 
 mecaniques ou des modeles mecaniques de 1'electrodynamique. 
 
 En effet par les principes energetiques la determination du 
 potentiel cinetique, dans toute question physique, est rattachee 
 a un probleme du calcul des variations. Lorsque le potentiel 
 cinetique peut se decomposer en deux termes, dont la difference 
 est 1'energie du systeme (le premier terme etant un polynome 
 de 2 e degre des derivees premieres des parametres qui determi- 
 nent 1'etat du systeme, tandis que le 2 e terme est independent de 
 ces derivees) ; on a tout de suite une interpretation mecanique, 
 car on peut ramener les equations a des equations du type de 
 Lagrange. 
 
 Dans notre cas il a une infinite d'interpretations, et cela ne 
 doit pas nous surprendre. Nous savons depuis longtemps, 
 comme M. Poincare 1'a remarque, que s'il y a une explication 
 mecanique d'un phenomne, il y en a une infinite. 
 
 On peut tres-bien rattacher aux developpements precedants 
 beaucoup de theories, par exemple, celle de Lord Kelvin des 
 milieux gyrostatiques et les theories si celebres et si impor- 
 tantes de Sir Joseph Larmor. 2 
 
 Tout recemment MM. E. et F. Cosserat ont traite, dans un 
 livre interessant, des questions qui ont des rapports avec ce que 
 je viens de dire. 3 
 
 (6) Mais laissons de cote ce point de vue et remarquons que 
 la reduction a une question de calcul des variations peut etre 
 employee pour des buts analytiques, tels que la transformation 
 des equations en coordonnees curvilignes. II suffit a cet effet 
 de rappeler la methode inauguree par Jacobi pour transformer 
 le parametre differentiel de 2 e ordre. C'est par un procede 
 analogue que plusieurs auteurs ont transforme les equations de 
 1'elasticite en coordonnees curvilignes et que Beltrami a pu 
 
g PREMIERE LEQON 
 
 meme se delivrer des conditions auxquelles doivent satisfaire 
 les coefficients du carre de 1'element lineaire lorsque 1'espace 
 est euclidien. 4 
 
 On e"tablit ainsi les fondements de 1'optique dans les espaces 
 ayant une courbure. 
 
 Mais la transformation dont nous venons de parler peut etre 
 obtenue aussi par d'autres precedes plus rapides et plus directs, 
 c'est pourquoi je ne pousserai pas plus loin dans cette direction. 
 
 (<?) Si nous partons des formules que nous avons rappelees 
 tout-a-l'heure, 6 on a, par des calculs tres simples, que 1'expression 
 
 dY, 
 
 peut etre transformed en une differentielle exacte par rapport 
 a , c'est-a-dire en 
 
 00 - f ^A)- 2 , 
 
 et dans la somme de termes qui sont des derives par rapport aux 
 coordonnees x v x v X B . ' 
 
 De lors, si les equations f , = 0, rj t = sont satisf aites, et si les 
 quantites JT,, Y !/# M { a distance infinie deviennent infmiment 
 petites d'un ordre convenable, 1'integrale etendue a tout 1'espace 
 de 1'expression (2) sera nulle d'ou Ton trouve, en integrant 
 par rapport a t 
 
 ou 1'integrale est etendue a tout 1'espace. 
 
 Nous sommes done parvenus a un invariant integral. Mais 
 il y a une autre relation, meme plus interessante encore, qu'on 
 peut e*tablir par les memes procedes. 
 
 Nous aurons 1'occasion de parler dans la leon suivante de 
 Involution du theoreme de Green. 
 
 Cette remarquable proposition, qui a e*te la base la plus fe*- 
 conde des de*veloppements analytiques de presque toutes les 
 
PREMIERE LEQON 9 
 
 branches de la physique mathematique, consiste dans une rela- 
 tion reciproque entre deux solutions du meme systdme d'equa- 
 tions differentielles. J'ai montre autrefois que toutes les 
 equations qui dependent des problemes du calcul des variations 
 peuvent amener a un theoreme de reciprocite qui correspond au 
 theoreme de Green. Je vais 1'obtenir effectivement dans notre 
 cas. II suffit d'envisager deux systemes de valeurs des quantites 
 Xv Y t , LV M t , f t , Tjj, u t , et de les distinguer en leur apposant un 
 ou deux suffixes. Si Ton emploie les meme transformation 
 dont nous avons deja fait usage, on trouve que 
 
 [2 A ( X> T t " - X s " Yl) 
 
 \ fV IIT ' V H T f V <T ft _i_ V f T f 
 
 J V^t+l -^1+2 "" -l 1+2 -"i+l ~~ -* i+l -"i+Z T j: i+2 x 'H-l 
 
 - M^"X, +3 ' + M^"X i+1 ' + M, JX^" - M i+3 'X m ") 
 cos (nxd da; 
 
 ou o- est le contour d'un espace tS et n la normale au contour 
 dirigee vers la region exterieure. Cette relation est justement 
 la relation reciproque que nous avions en vue. On peut la com- 
 parer avec celle qu'on a dans le cas de 1'elasticit^, qui a ete 
 donnee par Betti comme une extension de la formule de Green 
 et dont nous parlerons dans la legon suivante. 
 
 Nous allons toucher maintenant a un point tres delicat et 
 qui, a mon avis, presente beaucoup d'interet, car un domaine de 
 recherches tout-a-fait nouvelles peuvent s'y rattacher. 
 
 Revenons une fois encore a la mecanique et au principe de 
 
 Hamilton, et rappelons la question a laquelle il amene. On a 
 
 s*t f j~ jr \ 
 
 une integrale P= I / (x v x^ , x n ,^, -~,^, t]dt, ou pa- 
 
 *^'o \ Ct/t Ct(/ J 
 
 raissent les fonctions x^ x 2 , , x n de la variable t qui sont les 
 coordonnees du systeme. II faut annuler la variation de P en 
 supposant de donner des variations infiniment petites aux 
 fonctions x^, x% , x n . On trouve des equations ordinaires 
 du deuxieme ordre, auxquelles x v x^ *, x n doivent satisfaire. 
 Supposons que les constantes arbitraires soient determinees, des 
 que Ton donne les valeurs des fonctions x v x v , x n aux limites 
 t Q et t r 
 
 Regardons P comme une fonction des valeurs de x v # 2 , ,^ w , 
 a la limite superieure de 1'integrale. On trouvera une fonction 
 de n variables. La theorie de Hamilton et de Jacobi que 
 
10 PREMIERE LEQON 
 
 Clebsch, Mayer et bien d'autres, ont perfectionnee, est batie 
 sur la recherche des relations qui passent entre cette fonction 
 de plusieurs variables et les integrales des equations differen- 
 tielles qui correspondent au probleine de calcul des variations, 
 et entre ces integrales et 1'equation aux derivees partielles a 
 laquelle doit satisfaire cette fonction de plusieurs variables. 
 
 Cela pose, rappelons les questions de physique mathematique 
 que nous avons envisagees. Qu'est ce qu'il y a de change ? 
 
 Tout peut se reduire aussi a des questions du calcul des 
 variations, mais ce n'est plus avec un nombre fini de variables 
 que Ton a a faire, comme dans la mecanique classique, ou le 
 noinbre des coordonnees du systeme est fini. II faut au contraire 
 envisager un ensemble continu de variables. En effet le milieu 
 ou le phe*nomene se produit est un milieu continu et a chaque 
 point du milieu correspondent des parametres qui individua- 
 lisent 1'etat physique de ce point, de meme que, en mecanique, 
 les coordonnees caracterisent les positions des differents points 
 en mouvement. 
 
 Si nous revenons sur les formules que nous avons rencontrees 
 nous remarquerons que nous avons dans les questions de 
 physique mathematique des integrales qui remplacent les 
 sommes qui paraissent dans celles de la mecanique ordinaire. 
 
 D'autre part 1'extension s'impose et Ton voit bien qu'on a 
 devant soi un nouveau champ de recherches dont le modele est 
 donne par la theorie Jacobi-Hamilton en mecanique, et dont 
 chaque resultat analytique a une interpretation physique. 
 
 v 
 
 Nous allons voir quelles sont les difficultes qu'on rencontre 
 si Ton prend cette voie. Nous envisagerons une question 
 .meme plus generate que celle qu'on trouverait par 1'extension 
 dont nous venons de parler. 6 
 
 Dans les integrales simples il y a les deux limites de 1'inte- 
 grale, mais lorsqu'on passe aux integrales doubles les limites 
 sont formees par des lignes, et, lorsqu'on arrive a des integrales 
 multiples avec un nombre plus grand encore de variables, le 
 champ d'integration est limite par des surfaces ou des espaces 
 a plusieurs dimensions. 
 
 Dans le cas des integrales simples on a les valeurs d'un cer- 
 tain nombre de parametres aux limites de 1'integrale, et 1'inte- 
 grale meme doit etre regardee comme une fonction de ces 
 
PREMIERE LEQON 11 
 
 valeurs. Dans le cas des integral.es multiples on a les valeurs 
 de certaines fonctions a la frontiere du domaine d'integration, 
 et Ton doit regarder 1'integrale com me une quantite qui depend 
 de toutes les valeurs de ces fonctions sur la frontiere. Le type 
 de dependence change done d'une maniere complete et Ton 
 rencontre evidemment des relations qui ont une signification 
 tout-a-fait nouvelle, en dehors de celles ordinaires qui indi- 
 vidualisent les rapports entre fonctions et variables. 
 
 Mais j'ajouterai qu'il est necessaire de franchir ce pas et que 
 Ton est force d'accepter ces idees, c'est-a-dire d'etendre 1'idee 
 ordinaire de fonction, si Ton ne veut renoncer a jamais a trans- 
 porter dans la physique mathematique, d'une maniere nette et 
 rigoureuse, les conceptions les plus fecondes et les plus gene- 
 rales de la mecanique. 
 
 Dans la direction vers laquelle il faut marcher on est jusqu'a 
 present peu avance. Mais les pas qu'on a fait dans ces derniers 
 temps annoncent que la voie va etre bientot parcourue. 
 
 Permettez-moi de rappeler que, depuis longtemps, j'ai intro- 
 duit 1'idee des quantites qui dependent de toutes les valeurs 
 d'une fonction, ou de la forme d'une ligne ou d'une surface, et 
 que j'ai tache d'en donner en general le developpement ana- 
 lytique, qui n'est au fond qu'une extension du developpement 
 d'une fonction analytique. 7 
 
 Nous aurons 1'occasion de revenir la-dessus dans la derniere 
 
 C b 
 legon, Une integrale definie <f> (x) =J^ /(f) F (x, |) d%, ou, 
 
 sons le signe d'integration, parait/(f) donne une dependance 
 lineaire entre la fonction /(f) et la fonction <j>(x) et correspond 
 au cas des fonctions de premier degre. 
 
 Les problemes de 1'inversion des integrales defmies, ou, 
 comme on les a appeles plus tard, les problemes de la resolu- 
 tion des equations integrales lineaires, correspondent a la reso- 
 lution algebrique des systemes du premier degre. 
 
 Je suis parti en effet de la consideration qu'une equation in- 
 tegrale est le cas limite d'un systeme d'equations de premier 
 degre avec un nombre infini d'inconnues, et j'ai obtenu la solu- 
 tion dans le cas ou le determinant infini qui constitue le denomi- 
 nateur est egal a I'lmite. M. Fredholm a donne apres la 
 solution lorsque le determinant infini qui est au denominateur 
 est quelconque. Moi et M. Schmidt nous avons envisage 
 aussi des cas ou 1'equation integrale n'est pas lineaire. 
 
12 PREMIERE LEQON 
 
 Tout cela n'est autre chose que la resolution algebrique des 
 equations de premier degre, ou de degre superieur, transportee 
 du cas d'un nombre fini a celui d'un nombre infini de variables. 
 
 Plus recemraent encore, comme nous verrons, M. Hadamard 
 a envisag^ le cas d'une fonction de Green qui depend du con- 
 tour du domaine auquel elle se rapporte et a tache d'etudier la 
 question des maxima d'une quantite qui depend d'une surface. 8 
 
 La question que j'ai posee tout-a-1'heure de 1'extension de la 
 theorie Jacobi-Hamilton va beaucoup au dela de ces recherches. 
 Entre ces recherches et 1'extension dont je viens de parler il-y-a 
 le meme rapport qui passe entre la resolution algebrique des 
 equations et I'etude des equations differentielles. 
 
 Beaucoup de chemin il-y-a a faire, mais les memes principes 
 generaux qui ont amene a etablir les fondements de la resolution 
 des equations integrates servent aussi dans ce cas beaucoup plus 
 complique. C'est toujours le passage du fini a 1'infini dans le 
 nombre des variables independantes qui donne la clef pour la 
 resolution des differentes questions. Je desire, avant de laisser 
 ce sujet, donner le type des resultats qu'on trouve lorsque Ton 
 cherche a etendre la theorie de Jacobi- Hamilton a un cas parti- 
 culier d'int6grales doubles. 9 
 
 Les Equations differentielles 
 
 x.) _ dff rf(p ft , x h )_ dff . 1 
 
 - ' 1? 2 ' 8) 
 
 ont une forme qui presente des analogies avec les equations 
 canoniques de la rnecanique et on peut tres aisement les deduire 
 en cherchant a annuler la variation de 1'integrale 
 
 Soient maintenant TT^ 7r 2 , 7r 3 trois fonctions de x^ x^ x 3 telles 
 que 
 
 L'integrale 
 
 xlx + 
 
 = I 
 
 etendue a une surface depend seulement de la ligne * qui forme 
 le contour de <r. Je 1'appelle une fonction de premier degre de 
 la ligne *, et j'ecris 
 
PREMIERE LEgON 13 
 
 dW dW dW 
 
 1 J/^~ ~ \ * 2 3r^ \' 3 J/^. N* 
 
 Entre les equations (3) et 1'equation 
 (4) 
 
 ou Ton a remplace jt? 23 , p zv> p l2 par 
 
 dW dW 
 
 passent les memes relations que Jacobi a decouvert entre les 
 equations canoniques et son equation aux derivees partielles. 
 Nous voyons que, par la proposition que je viens d'envisager, 
 on a fait un pas : les equations canoniques ont ete remplacees 
 par des equations aux derives partielles (les equations (3)) et 
 1'equation aux derivees partielles de Jacobi a ete remplacee 
 par une equation d'un type tout-a-fait nouveau, c'est-a-dire 
 1'equation (4). Je renvoie, pour des developpements, aux 
 beaux travaux de M. Frechet qui a generalise et developpe 
 ces id^es dans quelques memoires interessants. 
 
 VI 
 
 Les differentes questions que nous avons traitees rentrent 
 dans le chapitre general de la theorie des ondes. Or il faut 
 remarquer que, dans une autre direction, c'est la consideration 
 des caracteristiques qui a renouvele cette theorie. On n'aurait 
 pu les considerer si on n'avait pense a regarder le temps comme 
 une coordonnee. En Europe le roman de M. Wells, " Le 
 voyage dans le temps," est tres populaire ; je crois qu'ici il le 
 sera autant. II me faudrait repeter ses paroles si je voulais 
 insister sur cette conception tres elementaire. Minkowski tout 
 recemment y est revenu dans un beau et profond memoire et 
 dans une legon populaire qui a montre sous un nouveau jour les 
 idees de M. Lorentz et celles de M. Einstein sur les rapports 
 entre Tespace et le temps. 10 
 
 II n'est pas possible de separer la conception du temps de 
 celle de 1'espace et reciproquement. Un lieu est toujours 
 observe dans un certain temps et un temps est determine tou- 
 jours dans un certain lieu. Si 1'espace est rapporte a des coor- 
 donees x, y, z et on appelle t le temps, un point de 1'espace 
 envisage dans un certain temps est individualise par 1'ensemble 
 
14 
 
 PREMIERE LEQON 
 
 des valeurs x, y, 2, , c'est ce que Minkowski appelle un point du 
 monde. L'ensemble de toutes les valeurs possibles de #, y, 2, t 
 est le monde entier. Ce que nous observons dans 1'espace a 
 trois dimensions n'est qu'une ombre ou une projection d'un 
 'espace avec une dimension de plus. 
 
 Voila une difficulte. Si Ton veut embrasser le monde entier 
 il faut envisager un espace a quatre dimensions. Mais on peut 
 eliminer cette difficulte par un proce"de bien connu. II suffit 
 de retrancher une dimension a 1'espace ordinaire et imaginer 
 un etre infiniment plat qui habite un espace a deux dimensions. 
 Helmholtz et Clifford nous ont habitues a ces conceptions 
 et ils ont ainsi popularise des idees memes plus difficiles et 
 plus compliquees : celles de la courbure de 1'espace. II est evi- 
 dent que pour un etre a deux dimensions le monde de Min- 
 kowski est a trois dimensions et si Ton simplifie encore et Ton 
 envisage 1'etre vermiforme de Clifford, c'est-a-dire un etre ayant 
 une seule dimension, le monde de Minkowski, pour ce dernier 
 etre, est a deux dimensions. 
 
 Pour 1'etre infiniment plat le monde sera represente dans 
 1'espace #, y, t. Qu'est-ce-que verra Fobservateur de Minkow- 
 ski s'il-y a un point 
 en repos? 
 
 Evidemment il 
 verra une ligne paral- 
 lele a 1'axe t. Au 
 contraire, si le point 
 B a un mouvement 
 uniforme il verra une 
 ligne droite inclinee 
 sur 1'axe t. L'ombre 
 ou la projection du 
 point en mouvement 
 sera obtenue si 1'observateur se meut uniformement avec le plan 
 x, y dans la direction de 1'axe t. Les diffe"rents points x, y^ ou 
 la ligne inclinee rencontre le plan, nous montrent le mouvement 
 du point B. 
 
 VII 
 
 Cela pose nous voulons passer a la theorie des ondes pour les 
 milieux en repos. Nous allons rencontrer de nouvelles difficultes 
 et il faut dire des le premier abord qu'il serait facile de tomber 
 en erreur en se laissant transporter par la simple intuition. 
 
 FIG. 1. 
 
PREMIERE LEgON 
 
 15 
 
 En effet les mecanismes des ondes dans les milieux elastiques 
 a deux ou a trois dimensions sont tres differents, de sorte que 
 si Ton fait la theorie de la propagation d'une onde circulaire 
 pour 1'etre plat on ne fait pas une theorie comparable avec la 
 propagation d'une onde spherique pour 1'etre a trois dimen- 
 sions. 11 Pour nous expliquer d'une maniere plus claire, 1'etre 
 plat a perdu une dimension sur nous qui avons trois dimen- 
 sions, mais, par contre-coup, il a perdu aussi de simplicite dans 
 le mecanisme de la propagation des ondes. 
 
 C'est une circonstance qui constitue evidemment une diffi- 
 culte, mais il est impossible de s'en passer parce que la nature 
 est ainsi. 
 
 Cette circonstance est bien singuliere, car il arrive trs rare- 
 ment qu'en retranchant une dimension les chosesse compliquent. 
 
 Si Ton voulait retrouver la meme simplicite qu'on a pour les 
 ondes dans les espaces a trois dimensions, il faudrait laisser de 
 cote 1'etre plat et passer aux ondes pour 1'etre vermiforme ou a 
 une seule dimension, pour lequel le monde de Minkowski est 
 a deux dimensions. 
 
 En un mot, le mecanisme de la propagation des ondes dans 
 les espaces ayant un nombre impair de dimensions est plus 
 simple que dans ceux qui en ont un nombre pair. 
 
 Voyons maintenant les choses de plus pres. Envisageons le 
 monde de 1'etre vermiforme. C'est le plan x, t. 
 
 Si A est un centre 
 d'ebranlement dans un 
 milieu isotrope et la 
 vitesse de propagation 
 des ondes est 1'unite, 
 menons par A les lignes 
 droites inclinees de 
 45 sur les axes du cote 
 positif de 1'axe t. 
 
 Pour 1'observateur 
 de Minkowski chaque 
 ebranlement se propa- 
 gera le long des deux lignes droites que nous avons menees, et, 
 eh dehors d'elles, il n'y aura pas d'ebranlement dans son monde. 
 
 Au point de vue analytique les lignes droites que nous avons 
 menees sont les caracteristiques de 1'equation differentielle de 
 
 d'Alembert ' 
 
16 
 
 PREMIERE LEQON 
 
 Si nous deplagons d'une maniere uniforme 1'axe x dans la 
 
 . jC direction t les deux points ou les caracteristiques rencontrent 
 
 cet axe designent les points qui sont successivement ebranles. 
 
 Revenons a 1'etre plat, dont le monde de Minkowski est 
 
 C 
 
 FIG. 3. 
 
 1'espace x, y, t. Soit A un centre d'ebranlement dans un milieu 
 isotrope, la vitesse de propagation etant 1'unite. 
 
 Menons du cote positif de 1'axe t le cone ayant A pour som- 
 met et ayant les generatrices inclinees de 45 sur 1'axe t. 
 
 Par analogic et par intuition on serait amene a imaginer que 
 pour Tobservateur de Minkowski chaque e"branlement se pro- 
 pagera le long de la surface du cone et, en dehors de cette 
 surface, il-n'y-aura pas d'ebranlement dans son monde. Mais 
 les choses ne se passent pas ainsi. L'ebranlement remplit tout 
 Finterieur du cone et a 1'exterieur il n'y a pas d'ebranlement. 
 
 C'est en cela que consiste la complication plus grande du 
 mecanisme dans ce cas, par rapport au cas que nous avons con- 
 sidere precedemment. 
 
 Si nous voulions passer au cas successif qui se rapporte aux 
 etres a trois dimensions il suffirait revenir a ce qui arriverait si 
 la surface du cone etait la seule partie du monde ou il y aurait 
 ebranlement et, par 1'imagination, augmenter une dimension en 
 plus. Pour distinguer les deux differentes manieres de propa- 
 gation des ondes que nous avons trouvees, nous les designerons 
 par le mots onde sans rtsidu et onde avec rSsidu. Le cone que 
 nous avons considere tout a 1'heure est la surface caracteristique 
 de 1'equation differentielle 
 
PREMIERE LEgON 17 
 
 5^_5^_5^ =0 
 dt 2 dx 2 dy 2 
 
 Le cone qu'on trouverait dans le cas successif ou, par notre 
 imagination, nous avons augmente une dimension, serait 1'hyper- 
 surface caracteristique de 1'equation differentielle 
 
 5^_^__a^_a 2 w = 
 
 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 
 
 VIII 
 
 Les lignes et les surfaces caracteristiques, que nous avons 
 considerees tout a 1'heure, jouent un r61e dans la theorie des 
 chocs ou de la propagation des discontinuites. Je laisserai de 
 cote les theories generates qui out ete developpees par Hugo- 
 niot, Christoffel, Hadamard dans le cas de 1'hydrodynamique et 
 de 1'elasticite et je me bornerai a etablir une relation tres simple 
 qui passe entre le calcul des variations, la propagation des dis- 
 continuites et les surfaces caracteristiques. 12 
 
 J 'envisage le cas tres simple de 1'equation ^ -- ^ -- ^ = 0, 
 
 dt 2 dx 2 dy* 
 
 qui correspond aux vibrations d'une membrane. Le probleme 
 du calcul des variations, dont elle depend, consiste a annuler la 
 variation de 1'integrale 
 
 Supposons maintenant qu'il-y ait des surfaces a 1'interieur de 
 1'espace a?, y, , ou, u etant continue, ses derivees peuvent etre 
 discontinues. 
 
 On peut se demander : Quelles seront les surfaces ou les 
 derives pourront etre discontinues en sorte que la variation de 
 Fsoit toujours nulle? A quelles conditions devront satisfaire 
 les valeurs des derivees des deux cotes des surfaces de discon- 
 tinuite ? 
 
 La question ne presente pas de difficulte et Ton trouve que 
 les surfaces doivent etre des enveloppes des cones caracte*- 
 ristiques. 
 
 IX 
 
 Ce que nous avons dit sur les ondes se rapporte aux milieux 
 isotropes. Les difficultes deviennent enormement plus grandes 
 lorsque Ton envisage des ondeo dans les milieux anisotropes. 
 
18 PREMIERE LEQON 
 
 La raison consiste en cela que la theorie du centre d'ebranle- 
 ment., que nous avons esquissee pour les milieux isotropes, 
 manque lorsque 1'on passe aux milieux anisotropes biaxiales. 
 II est bien curieux de suivre ce que Lame a fait la-dessus. Ses 
 resultats analytiquement exacts ne peuvent pas donner la theorie 
 du centre d'ebranlement a cause des singularites de sa solution. 
 En effet, supposons de prende les formules que Lame a donne 
 pour le centre d'ebranlement correspondant a un certain point, 
 et menons par ce point les axes optiques. 13 
 
 Les composantes des deplacements sont infmies le long des 
 deux droites et, en tournant autour de ces droites, les deplace- 
 ments sont polydromes, c'est-a-dire, si 1'on part de certains 
 points avec une valeur d'une des composantes du deplacement 
 et, en prenant les valeurs qui se suivent avec continuite, Ton 
 tourne autour de 1'axe optique, en revenant au point de depart, 
 on trouve une valeur differente pour la meme composante du 
 deplacement. 14 II faudrait done supposer que le milieu fut 
 sectionne le long de deux regions planes comprises entre les 
 axes optiques, de maniere que les particules du milieu qui se 
 trouvent des deux cotes de ces regions pussent vibrer d'une 
 maniere independante 1'une de 1'autre. Cela ne correspond pas 
 evidemment a 1'idee que nous nous faisons du milieu, qui est 
 celle d'un milieu continu. 
 
 Lame a tache de demontrer que ces formules sont les seules 
 qui peuvent correspondre a un centre d'ebranlement dans un 
 milieu birefringeant, c'est pourquoi on serait amene a la conclu- 
 sion qu'il n'est pas possible de trouver un centre lumineux dans 
 un tel milieu. 
 
 II est evident que tout cela n'est pas exact, mais il faut inter- 
 preter les resultats analytiques pour bien comprendre d'ou sort 
 la contradiction. 
 
 Commenons par specialiser les formules de Lame au cas ou 
 le milieu est uniaxique. On trouve des solutions qui deviennent 
 infinies tout le long jde 1'axe optique. Voila une singularity 
 qui n'est pas compatible avec 1'existence d'un seul centre 
 d'ebranlement, mais poussons les choses davantage et speciali- 
 sons au cas du milieu isotrope. La singularite des deplace- 
 ments, qui consiste dans le fait qu'ils deviennent infinis le long 
 d'une droite, subsiste encore. II ne pourrait done exister un 
 centre lumineux dans un milieu isotrope ! Cela evidemment 
 renferme une contradiction, et d'autre part depuis Euler nous 
 
PREMIERE LEQON 19 
 
 savons que par les derives de la fonction*^ ^^,ourrepre- 
 
 sente la distance du centre d'ebranlement on peut calculer les 
 composantes des vibrations sans aucune singularite, excepte 
 dans le centre meme. L'interpretation que Lame a donne a ses 
 formules renferme done une erreur initiale. Voila en quoi elle 
 consiste. Lame ne soupgonnait pas que le mecanisme des ondes 
 pouvait etre de telle nature que 1'onde avait un residu, c'est-a 
 dire, il ne soupgonnait d'autre mecanisme que celui que nous 
 avoris vu qui a lieu pour les milieux isotropes ayant un nombre 
 impair de dimensions. C'est pourquoi il donnait du premier 
 abord a ses formules une forme qui correspondait au mecanisme 
 ou il n'y a pas de residu, et cela devait necessairement 1'amener 
 a une erreur. Ce que nous pouvons en tirer a present, est que 
 le mecanisme des ondes dans le cas des milieux a trois dimen- 
 sions birefringeants biaxiques doit se rapprocher au mecanisme 
 des ondes avec residu et non au mecanisme des ondes sans 
 residu. 
 
 Excepte la critique negative des resultats de Lame que nous 
 avons expose*e on n'est guere avance plus que lui, car les 
 formules pour le centre lumineux dans les milieux anisotropes 
 biaxiques manqueiit encore. II faut se rappeler que la surface 
 de 1'onde de Fresnel n'a pas ete trouvee comme consequence 
 des vibrations emanantes d'un centre d'ebranlement, mais on 
 1'a deduite de la propagation par ondes planes et par 1'en- 
 veloppe de ces ondes. Le pas a faire est done grand et difficile 
 et j'aime a le signaler parce qu'il serait bien interessant de le 
 faire. 
 
 Une nouvelle branche de 1'optique serait rattachee a la solu- 
 tion de cette question. 
 
 Ce qu'on peut aj outer est que pour le milieu anisotrope uni- 
 axique on peut resoudre le probleme. 
 
 Je vais en indiquer la voie en peu de mots. 
 
 Les equations de la lumiere pour les milieux anisotropes sont 
 
 _ U=~- 
 
 dy ' Bz ' dz dy 
 
 -- ou F=- 
 
 dt 2 dz dx 9 dx dz' 
 
 ^ tf*^--a? W 
 
 dP dx dx' dy dx 
 
20 PREMIERE LEQON 
 
 On peut faire dependre les trois equations d'une seule a 
 laquelle on peut donner une forme tout-a-fait symetrique. Si 
 nous posons 
 
 _* , a _ A 
 
 r ~^T * ab * 
 
 Vbc vca V ab 
 
 cette equation est la suivante 
 
 dxf dxf dx* dx \txf dx* dx 
 
 A ( W ay \, A ( ay 
 
 \dx* dxf * dx* dx*J ^ *\dx? dx* * dx 
 
 Les composantes du deplacement w, v, w doivent satisfaire 
 les equations flu = 0, lv = 0, flw = 0, et, reciproquement, 
 toutes les integrales des equations de 1'optique peuvent s'ecrire 
 sous la forme 
 
 dy 
 dt* ty\ dx dy dz 
 
 a 2 ^ 2A2i^ , af ~dF, , indF,, , o^\ 
 
 --5-^A 2 ^ T 3 -h-[a 2 L + 5 2 ^ + ^^ 
 dt 2 Bz\ dx dy dz J 
 
 &-&, !>,-<&-&, H-f-fl, 
 
 dz dy dx dz dy dx 
 
 ou 
 
 /i>/2'/3 e tan t trois integrales de 1'equation lf= 0. 
 
 Or, si nous supposons que le milieu soit umaxique, c'est-a- 
 dire b = <?, 1'equation H/= se decompose en une double equa- 
 tion du type de 1'equation de Laplace, d'ou 1'on peut passer au 
 potentiel retarde, c'est pourquoi la solution du centre lumineux, 
 dans ce cas, peut s'obtenir sans difficulte. On peut comparer 
 cette decomposition avec la decomposition de la surface de 
 1'onde. 15 
 
 ^ X ' 
 
 Dans le GOUTS des considerations precedentes nous avons eu 
 Toccasion de remplacer t par V 1 x et nous avons ainsi intro- 
 
PREMIERE LEgON 
 
 21 
 
 duit dans les equations une symetrie qu'on n'avait pas d'abord. 
 Puisque 1'occasion s'en presente nous dirons un mot par rapport 
 a 1'introduction des imaginaires en physique mathe'matique, 
 sans entrer dans aucun detail sur une question qui nous pour- 
 rait en trainer trop loin. 
 
 II n'est pas necessaire d'arriver jusqu'aux vibrations dans les 
 milieux anisotropes pour trouver un resultat pareil a celui que 
 
 nous avons indique. 
 
 se transforme dans 1'equation 
 
 L'equation de Laplace ^ -\ ^ H ^ =0 
 dz? d* dz 2 
 
 en remplagant z par it. 
 
 Dans la theorie meme du potentiel il est utile, quelque fois, 
 de remplacer des masses reelles par des masses situees dans des 
 points imaginaires et 
 ayant le meme potentiel. 16 
 
 Soit A un point quel- 
 conque et a un plan quel- 
 conque, on peut trouver 
 des masses m et une 
 double couche p situee en 
 des regions imaginaires 
 de a ayant le meme po- 
 tentiel que la masse unite ^ 
 situee dans le point A. 
 
 Fetant la fonction po- 
 tentielle due a des masses 
 M, on aura done, par le 
 theoreme de Gauss, que 
 la valeur de Fau point A 
 egalera le potentiel des masses M sur les masses m et sur le 
 double couche /JL. 
 
 C'est ainsi qu'en connaissant Fet la derivee normale de Fsur 
 a, on peut avoir la valeur de T^au point A, et que Ton peut cal- 
 culer 1'integrale generale de 1'equation de Laplace, d'ou Ton tire 
 1'integrale generale de Tequation (5). 
 
 On peut aussi, par un precede analogue, calculer un potentiel 
 symetrique, quand on connait ses valeurs sur 1'axe de symetrie 
 sans recourir a des developpements en serie. Un resultat in- 
 
 FIG. 4. 
 
22 PREMIERE LEQON 
 
 teressant se trouve en transportant le principe des images de 
 1'equation de Laplace a 1'equation (5). 
 
 II suffit de remplacer la metrique individualisee par 1'element 
 
 lineaire dx 2 + dy 2 + dz 2 
 
 dans la metrique individualisee par 1'element lineaire 
 
 dt 2 - dx 2 - dy 2 . 
 
 Les images relatives a des spheres deviennent des images par 
 rapport a des hyperboloides equilateres et Ton peut batir la- 
 dessus une the"orie par rapport aux ondes. 17 
 
 XI 
 
 On doit a Minkowski une transformation des equations de 
 Lorentz de 1'ectrodynamique ou, en remplagant it par a? 4 , on 
 donne une forme symetrique aux huit Equations fondamentales. 18 
 C'est par la qu'il trouve le theoreme de relativite de Lorentz, 
 et, ce sont ces considerations, la base analytique de ses pro- 
 fondes vues sur 1'espace et le temps. 
 
 Nous ne le suivrons pas dans la voie analytique. Nous 
 tacherons de donner le fondement de ses idees par une exposi- 
 tion presque intuitive et dans une forme tres elementaire et 
 nous suivrons pour cela les lignes generales d'une conference que 
 mon collegue M. Castelnuovo a tenue dernierement a Rome. 
 C'est pourquoi nous aliens reprendre les considerations que 
 
 nous avons abandonnees tout- 
 a-1'heure et qui nous seront 
 maintenant tres utiles. 
 
 Envisageant 1'etre vermi- 
 forme, dont le monde a deux 
 dimensions est le plan xt, 
 quelle transformation faudra- 
 t-il faire si 1'observateur 
 meme est en mouvement avec 
 - jb une vitesse uniforme, et s'il 
 
 * veut etudier le mouvement 
 
 JTZO. O. 
 
 relatif ? 
 
 II suffira evidemment, selon les principes newtoniens, de 
 changer 1'axe t dans un axe incline tf en gardant toujours le 
 meme axe x. En effet, tout point A qui a la meme vitesse 
 
PREMIERE LEgON 
 
 23 
 
 uniforme sera represente par une parallele a t' et, par suite, 
 apparaitra en repos. D'autre part les equations de la meca- 
 niquenewtonienne ne changent pas en changeant les coordonnees 
 x, t en x at, t, ce qui correspond, selon les principes de la 
 geometric analytique, a changer les axes #, t dans les axes #, t'. 
 
 Nous pouvons done enoncer : " le principe newtonien de 
 relativite consiste dans la possibilite de changer les axes x, t en 
 a;, t r sans changer 1'expression des lois mecaniques." Ceci dans 
 le cas du monde de Minkowski a deux dimensions. Dans le 
 cas du monde de Minkowski a quatres dimensions la meme loi 
 s'enonce en disant qu'on peut changer les axes a?, y, z, t en x, y. 
 2, ', c'est-^-dire que les equations de la mecanique newtonienne 
 ne changent pas par le groupe de transformations x at, y bt, 
 z ct, t, ou a, 6, c designent trois constantes quelconques. 
 
 Nous allons passer maintenant a la propagation de la 
 lumiere. Supposons que la vitesse de la lumiere soit 1'unite. 
 Conduisons les caracteristiques, dont nous avons parle tout- 
 a-1'heure, c'est-a-dire les bisectrices i, j des axes #, t menees par 
 1'origine, et po- 
 sons le postulat 
 que la vitesse de 
 la lumiere ne doit 
 pas changer quel- 
 que soit la sys- 
 teme auquel on 
 se rapporte. 
 
 II est evident 
 que ce postulat 
 est en contradiction avec le principe de relativite newtonien, 
 car z, j n'etant plus les bisectrices des axes x, t' la vitesse de la 
 lumiere par rapport au nouveau systeme sera changee. 
 
 Comment faut-il done changer le principe de relativite new- 
 tonien pour se debarasser de cette contradiction ? 
 
 On voit tout-de-suite qu'eri changeant Taxe t en t' il faudra 
 changer aussi 1'axe x en a?', de sorte que les droites i,j aient 
 toujours pour equations x 1 = t r . De meme, considerons l'6tre 
 plat et le monde de Minkowski a trois dimensions. Conduisons 
 le cone caracteristique ayant pour equation x 2 + y 2 t 2 = 0. 
 En changeant 1'axe t en t r , interieur au cone, il faudra changer 
 aussi les axes x et y en x 1 et y' de maniere que 1'equation du 
 cone par rapport aux nouveaux axes soit toujours 
 
 FIG. 6. 
 
24 
 
 PREMIERE LEQON 
 
 Enfin si nous passons aux etres a trois dimensions, dont le 
 monde est a quatre dimensions, il suffira de changer les co- 
 ordonnees et le temps de maniere que 1'equation 
 
 se transforme en x' 2 + y ' 2 + z' 2 - t' 2 = 0. 
 
 Nous remplacerons done le groupe de transformations new- 
 tonien dans un groupe de transformations qui ramene 1'expres- 
 sion quadratique a? + y* -f z 2 t 2 en soi-meme. Ce groupe est 
 
 celui qui ne change 
 pas les equations de 
 Lorentz. 
 
 Revenons au cas 
 plus simple. Menons 
 les hyperboles ayant 
 pour equations x 2 
 t 2 = 1. Les unite's 
 de longueur corre- 
 spondantes aux divers 
 espaces rr, x' seront 
 les segments compris 
 FlG - 7 - entre 1'origine et la 
 
 courbe, c'est-a-dire OX, OX' - . Envisageons maintenant deux 
 segments AB, CD de 1'axe x, dont le premier soit en repos. 
 
 II sera represente par une bande parallele a Taxe t. Le 
 second soit en mouvement uniforme, c'est pourquoi il sera 
 represente par une bande in- 
 clinee. Pour comparer les lon- 
 gueurs il faut imaginer deux 
 observateurs dont chacun soit 
 en repos relativement au seg- 
 ment qu'il mesure. 
 
 Pour le premier observateur 
 1'axe des temps est <, 1'axe des 
 espaces est x, 1'unite de lon- 
 gueur OX; c'est pourquoi le 
 resultat de sa mesure sera 
 AB 
 OX' 
 
 Pour le second observateur 
 1'axe des temps sera t' parallele FIG. 8. 
 
PREMIERE LEQON 
 
 25 
 
 
 a la bande CD, 1'axe des 
 espaces x' et 1'unite de 
 longueur OX 1 . Done le 
 resultat de sa mesure sera 
 
 C'D' 
 OX 1 ' 
 
 Les deux segments se- 
 ront egaux si 
 
 AB C'D 1 
 OX OX' ' 
 
 Mais, si c'etait le premier 
 
 observateur qui eut fait 
 
 les deux mesures, il aurait trouve le rapport des deux segments 
 
 donne par 
 
 CD 
 
 AB 
 
 Or, si 1'egalite precedente est satisfaite, on trouve facilement 
 
 CD _ /T-37-2 
 AB~ 
 
 a etant la vitesse du mouvement du segment, d'ou Ton tire, 
 comme consequence, la contraction de Lorentz pour les corps 
 en mouvement. 
 
 Nous avons ete amenes par les considerations precedentes a la 
 question de la contemporaneite des evenements. Soient A, B, 
 C, des points en mouvement uniforme le long d'une droite x. 
 
 Les images, selon Minkowski, dans le monde a deux dimen- 
 sions, seront des droites a, 5, c. 
 
 Menons les caracteristiques i, y, qui representent la propaga- 
 tion de la lumiere. Supposons que chaque observateur possede 
 une horloge ayant une allure uniforme. Pour regler les hor- 
 loges prenons comme etalon celui de Tobservateur A. Lorsqu'il 
 se trouve en A w a 1'instant t^ il fait un signalement lumineux, 
 qui frappe le second observateur lorsqu'il se trouve en B. On 
 reflechit le signalement au premier observateur, qui le revolt 
 lorsqu'il se trouve en A au temps t r Les droites A Q B et BA^ 
 seront respectivement paralleles a i et j. 
 
 On fait la convention qu'a 1'instant ou le second observateur 
 a regu le signalement 1'horloge de B doit marquer le temps 
 
26 
 
 PREMIERE LEgON 
 
 C'est pourquoi la droite AB et toutes les droites qui lui sont 
 paralleles seront les lieux de contemporaneity par rapport a 1'hor- 
 loge etalon A. Or, on voit tres facilement que la droite AB 
 
 FIG. 10. 
 
 est la direction de Taxe des espaces, si Ton prend A comme 
 direction de 1'axe des temps. 
 
 On tire de la, qu'ayant pris comme horloge etalon celui de 
 B, les lieux de contemporaneite auraient ete constitues par 
 les droites paralleles a x b , c'est-a-dire a Taxe des espaces corre- 
 spondant a la direction b prise comme axe des temps. Mais 
 les directions x a , x b ne coincident pas, parce que Tangle x a x b est 
 e*gal a Tangle ab. Done des phenomenes contemporains par 
 rapport a la premiere horloge ne le seraient plus par rapport a 
 la seconde. On pourrait ainsi envisager comme contemporains 
 des evenements quelconques correspondant a des points A, B, 
 pourvu que la droite AB fut inclined moius que 45 sur Taxe x. 
 
 Nous venons de parler de la transformation de Lorentz et 
 de la contraction de Lorentz. Nous finirons en touchant aux 
 relations qui passent entre cette transformation et les questions 
 de calcul des variations qui ont forme le sujet d'une partie de 
 cette lec.on. 
 
 Nous avons montre la derivation des equations de Telectro- 
 dynamique des questions du calcul des variations dans les cas 
 
PREMIERE LEgON 27 
 
 des systemes en re*pos. Mais, M. Lorentz a montre qu'on peut 
 avoir un resultat analogue dans le cas des corps en mouvement, 
 et M. Poincare 19 est revenu la-dessus et il a demontre que la 
 transformation de Lorentz a la propriete de conserver sans 
 alteration Texpression qui parait sous 1'integrale dans la ques- 
 tion de calcul des variations ; c'est-a-dire que ce que Ton peut 
 appeler Faction ne change pas par la transformation de Lorentz. 
 Ainsi le principe de la moindre action donne raison du succes 
 de cette transformation. 
 
 1 Sopra le equazioni fondamentali dell' elettrodinamica. Rend. Ace. del 
 Lincei, Vol. VII. 1 Sem. N. Cimento, S. Ill, Vol. XXIX. 
 
 2 Milier and Matter. Cambridge, 1900. 
 
 8 Theorie des corps deformables. Paris, 1909. 
 
 4 Sulle equazioni generali dell' elasticita. Ann. di Mat. S. II, T. X. 
 
 5 Voir la citation dans la note 1. 
 
 6 Sopra una estensione della teoria Jacobi-Hamilton del calcolo delle variazi- 
 oni. Rend. Ace. Lincei, Vol. VI. 1 Sem. 
 
 7 Rend. Ace. Lincei, Vol. III. 2 Sem. 1887. 
 
 8 Memoires presentes par divers savants k 1'Academie des Sciences de 
 1'Institut de France. T. XXXIII. 
 
 9 Voir la citation dans la note 5. 
 
 10 Die Grundgleichungen fur die elektromagnetischen Vorgange in bewegten 
 Korpern. Gott. Nachr. 1908. Raum und Zeit. Jahresbericht der deut- 
 schen Math. Ver. Bd. 18. 
 
 11 Sulle vibrazioni luminose nei mezzi isotropi. Rend. Ace. Lincei, Vol. 1. 
 2 Sem. S. V. 
 
 12 Sur les vibrations des corps elastiques isotropes. Art. 12. Acta. Math. 
 T. 18. 
 
 18 Lecons sur la theorie math, de Velasticite des corps solides. 22 me Le9on. 
 Paris, 1852. 
 
 14 Sur les vibrations lumineuses dans les milieux Urefringents. Acta. Math. 
 T. 16. 
 
 15 J'ai traite cette question dans mon cours de physique mathematique en 
 1901. 
 
 16 Esercizi di Jisica matematica. Riv. di Mat. T. IV. 
 
 17 Sull' app. del metodo delle immagini alle eq. di tipo iperbolico. Atti del 
 IV. Congr. int. dei Mat. Vol. II. Roma, 1909. 
 
 18 Voir la citation dans la note 10. 
 
 19 Sur la dynamique de I 'electron. Circolo matematico di Palermo, T. XXI. 
 
DEUXIEME LEgON 
 
 Introduction. I. Problemes anciens et modernes de la the*orie de 
 1'elasticite. Mecanique physique et mecanique analytique. II. Loi 
 de Hooke. L'elasticite et la courbure de 1'espace ; recherches de Beltrami ; 
 difficultes qu'on rencontre. III. Problemes statiques et problemes dyna- 
 miques; types d'equations relatives. Methodes pour integrer les equations 
 differentielles. IV. L'e volution de la methode de Green. Recherches de 
 Betti et de Somigliana. L'equation multiple de Laplace. V. Recherches 
 de Kirchhoff. Les polerniques sur le principe de Huygens et les anciennes 
 methodes de Poisson. VI. Les caracteristiques. VII. Les vibrations 
 des corps elastiques, recherches de Tedorie, Love, Somigliana. VIII. Les 
 corps elastiques k connexion multiple ; les distorsions ; les efforts ; nouvelle 
 transformation du theoreme de Green. Le probleme fondamental des dis- 
 torsions. IX. Les verifications experimentales de la theorie de 1'elasticite ; 
 difficulte's ; verification par les distorsions et la biref ringeance accidentelle ; 
 recherches de Corbino et Trabacchi. X. La double e'quation de Laplace ; 
 differentes methodes pour 1'etudier. Recherches de Lauricella, Almansi, Levi- 
 Civita, Boggio, Hadamard. XL Le theoreme d'existence ; les methodes 
 des approximations successives. Le theoreme de Fredholm. XII. La 
 me'thode des solutions simples. Les anciennes methodes et les fondements 
 des nouvelles methodes de Hilbert. 
 
 II serait interessant de pouvoir exposer une histoire generale 
 et synthe*tique des recherches de physique mathematique, c'est- 
 a-dire une histoire de 1'origine et de 1'evolution des differentes 
 conceptions qui se sont suivies dans cette branche de la science. 
 Nous avons des histoires qui ont une grande valeur scientifique 
 et philosophique, mais elles se rapportent en general a quelque 
 chapitre special. 
 
 L'illustre auteur de 1'histoire de la mecanique, M. Mach, le 
 philosophe eminent qui a contribue si puissamment au deve- 
 loppement moderne de la philosophic des sciences, nous a donne 
 des essais qui ont le plus grand interet. 
 
 Todhunter et Pearson ont public* une histoire des recherches 
 sur 1'elasticite tres appreciee, oil les progress de cette theorie 
 sont exposes avec le plus grand soin et le plus grand detail 
 et d'autres auteurs aussi ont illustre des points speciaux, mais, 
 a mon avis, il-y-aurait encore beaucoup a dire. 
 
 II serait instructif de suivre la lutte toujours engaged entre les 
 
 28 
 
DEUXIEME LEgON 29 
 
 theories de 1'emission et les theories ondulatoires, entre les 
 theories atomiques et les anticorpusculaires, entre les explica- 
 tions mecaniques des phenomenes et les theories empiriques, et 
 il serait utile d'examiner les orientations qu'ont pris les differents 
 esprits devant la question des actions a distance, et des actions 
 entre elements contigus. 
 
 La guerre contre la " mythologie me'canique," la naissance et 
 les transformations de 1'energetique sont des Stapes de Tavance- 
 ment scientifique qu'on pourrait examiner une fois encore 
 avec beaucoup de profit. De ces etudes se degagerait 1'esprit 
 de diverses ecoles, et on pourrait dire, de differentes races. On 
 verrait enfin, quelquefois a cote, quelquefois en devangant et 
 le plus souvent en arriere, 1'analyse mathematique se develop- 
 pant peu a peu. Mais nous n'avons pas le temps et il serait 
 trop difficile pour moi-de donner un tableau, meme en raccourci, 
 de ce mouvement d'idees qui, depuis plus d'un siecle, a con- 
 tribue, avec tant de succes, au progres de 1'esprit scientifique 
 et a de nombreuses applications pratiques. 
 
 Je resterai, dans cette legon, entre des limites etroites et j'en- 
 visagerai une branche speciale et aussi d'un point de vue limite. 
 
 Je me bornerai a exposer quelques points du developpement de 
 la theorie de 1'elasticite qui toutefois peuvent donner des exem- 
 ples tres frappants sur quelques-unes des questions dont je 
 viens de parler. 
 
 En meme temps, d'un c6te je me rattacherai a la legon pre*ce- 
 dente, parce que c'est la theorie de 1'elasticite qui a domine 
 pour un certain temps la theorie des ondes, et, d'un autre c6te 
 ce que je vais dire sera une introduction a la leon suivante, 
 soit par rapport aux methodes analytiques, soit par rapport aux 
 idees physiques qui en forment la base. 
 
 J'ai parle tout-a-1'heure du grand quvrage de Todhunter et 
 Pearson, mais mon court aperc,u n'aura rien a faire avec cette 
 histoire detaillee. D'autre part dans le plan de cet ouvrage ne 
 sont pas compris les travaux les plus recents et c'est juste- 
 ment de ces travaux que je desire m'occuper principalement 
 aujourd'hui. 
 
 Depuis Galilee, qui a pose pour la premiere fois le probleme 
 de la flexion d'une poutre, on a tou jours tache d'appliquer les 
 mathematiques aux problemes de 1'elasticite. 
 
30 DEUXIEME LEgON 
 
 On n'avait pas en vue des questions theoriques et on etait 
 bien loin de penser qu'on preparait de cette maniere les bases de 
 1'optique moderne ; on etait amene a ces problemes par des 
 questions pratiques qui interessaient les constructions. 
 
 Apres bien de tatonnements on est parvenu a etablir les 
 equations generales de 1'equilibre et du mouvement des corps 
 elastiques. 
 
 C'est la loi qu'on appelle de Hooke qui a ete le fondement, 
 mais il a fallu d'abord en transformer I'expression primitive 
 pour 1'appliquer au cas general. Nous verrons de plus pres 
 cette loi dans la prochaine legon. 
 
 Bornons-nous maintenant a dire que le merite d'avoir obtenu 
 des equations generales est de Navier, mais il faut associer a son 
 nom ceux de Lame, de Cauchy, de Poisson, de Green, et aussi 
 d'autres. 
 
 Je desire remarquer aussi que ces auteurs ont etabli des equa- 
 tions qui, dans une premiere approximation, correspondent d'une 
 maniere generale a tous les problemes qui peuvent se presenter, 
 et que cela se relie, comme j'ai dit dans la legon precedente, 
 a 1'esprit philosophique qui dominait deja dans la mecanique 
 classique. 
 
 Tout le monde connait la distinction etablie par Poisson entre 
 la mecanique analytique et la mecanique physique qu'il opposait 
 a la premiere. Les forces de liaisons introduites par Lagrange 
 dominent dans la premiere. Les tensions, selon son point de 
 vue, sont des forces de liaison. Par centre, en suivant Poisson, 
 elles sont le resultat des actions moleculaires. La matiere est 
 continue pour la mecanique analytique et elle est discontinue 
 et constitute par des particules pour la mecanique physique. 
 
 C'est Laplace qui a propose de construire les differentes 
 theories physiques sur la base des hypotheses moleculaires et 
 des actions a distance, et Poisson a bati sur cette idee fonda- 
 mentale. 
 
 II faut reconnaitre que la theorie de 1'elasticite a surgi 
 d'abord sur ces dernieres idees. En effet Navier et ses con- 
 tinuateurs sont partis des hypotheses moleculaires, et par des 
 passages a la limite, en remplagant des sommes par des integrales, 
 ils ont atteint les equations differentielles. Ce n'est que plus 
 tard qu'on a employe les methodes de la mecanique analytique 
 et de 1'energetique pour obtenir les equations generales de 1'elas- 
 ticite*. 
 
DEUXIEME LEgON 31 
 
 Poisson et Cauchy supposaient que les actions e"taient des 
 forces centrales. On arrive par la, corame il est bien connu, 
 a des resultats qui sont en contradiction avec les observations. 
 Done si Ton veut suivre les methodes de la mecanique physique 
 il faut abandonner 1'hypothese des forces centrales et il faut 
 supposer que les forces interieures dependent de Torientation 
 des molecules. De cette maniere on peut rejoindre le resultat 
 qu'on obtient par 1'hypothese de la matiere continue en appli- 
 quant les principes generaux de 1'energetique. 
 
 II y a eu des tentatifs de conciliation de 1'hypothese des 
 actions centrales avec les resultats de 1'observation, en ayant 
 egard aux mouvements des molecules, mais je n'insisterai pas 
 la-dessus. En me rattachant a ce que nous avons expose dans 
 la legon precedente je dois ajouter que, si Ton cherche a ex- 
 pliquer les actions a distance par des actions elastiques entre 
 elements contigus, comme a fait Maxwell, il faut des le premier 
 moment constituer la theorie de 1'elasticite sur les methodes de 
 la mecanique anaiytique, parce qu'autrement les actions a dis- 
 tance, eliminees d'un cote, reparaitraient de 1'autre. 
 
 n 
 
 J'ai parle tout-a-l'heure de la loi de Hooke. 
 
 C'est cette loi qu'amene a des equations differentielles line- 
 aires, car elle etablit une relation lineaire entre le strain et le 
 stress d'ou vient tout le succes anaiytique de la theorie de 
 1'elasticite. Comme nous verrons on a reussi a transformer les 
 equations differentielles en equations integrales et dans quel- 
 ques cas par cette transformation on a obtenu des resultats d'un 
 grand interet. Les equations integrales aussi qu'on trouve sont 
 des equations lineaires. 
 
 Mais la loi de Hooke n'est qu'une loi approximative. Nous 
 discuterons ce point dans la prochaine lecjon. Ce qu'on peut 
 dire, des a present, est que, si Ton tache de tenir compte des 
 termes d'ordre superieur, c'est-a-dire qu'on suppose qu'entre le 
 strain et les stress il y ait une relation plus compliquee qu'une 
 simple relation lineaire, les equations differentielles cessent 
 d'etre lineaires et les methodes analytiques classiques ne peu- 
 vent plus s'appliquer d'une maniSre directe. 
 
 J'ai parle dans la le^on precedente de la transformation des 
 equations de 1'elasticite et j'ai dit qu'on peut meme supposer 
 que 1'espace ait une courbure. 
 
32 DEUXIEME LEgON 
 
 II suffit pour cela de negliger les conditions auxquelles doivent 
 satisfaire les coefficients du carre de Telement lineaire pour que 
 1'espace soit Euclidien. Beltrami, Cesaro, Padova, et d'autres 
 geometres ont envisage la question de cette maniere. 1 
 
 On esperait par la, en comparant les observations de quelques 
 phenomenes avec les resultats du calcul, qu'on aurait pu tirer 
 des indications sur la valeur de la courbure de notre espace. 
 Ce probleme etait le principal but que Beltrami s'e*tait propose 
 dans la derniere partie de sa carriere scientifique. C'est pour- 
 quoi il a pose la theorie de plusieurs phenomenes physiques dans 
 les espaces courbes. Aucun resultat positif n'a pu cependant 
 en etre tire. Klein a remarque a ce propos que, si effective- 
 ment notre espace avait une courbure, elle serait si petite que 
 les termes de correction qu'on devrait ajouter aux equations 
 ordinaires de 1'elasticite seraient bien probablement masques 
 par les termes qu'on neglige pour rendre les equations lineaires. 
 Toujours est-il que les essais faits par Beltrami pour con- 
 stituer une physique mathematique des milieux ayant une cour- 
 bure a un interet qui depasse la simple curiosite analytique. 
 Peut-etre il-y-a des secrets de la nature caches la dedans. 
 
 HI 
 
 Nous aliens passer maintenant a la question de 1'integration 
 des equations de 1'elasticite, que nous etudierons d'une maniere 
 detaillee. II nous faut faire d'abord quelques distinctions. 
 D'un c6te il faut placer les problemes de 1'equilibre et de 1'autre 
 c6te les problemes du mouvemerit. Les equations differentielles 
 qu'on trouve dans les deux cas appartiennent a des types dif- 
 ferents. Les premieres appartiennent au type elliptique, les 
 autres au type hyperbolique. Pour montrer, par des exem- 
 ples, la distinction entre les deux types j'envisage 1'equation de 
 Laplace qui est elliptique 
 
 et 1'equation des potentiels retardes a trois variables qui est du 
 type hyperbolique 
 
 Dw = ^-^-^ = 0. 
 dt* dx? df 
 
 Nous avons deja vu dans la legon precedente que 1'on peut 
 passer d'un type a 1'autre en supposant le temps imaginaire. 
 
DEUXIEME LEQON 33 
 
 Au point de vue des proprietes fonctionnelles, ce qui caracte"- 
 rise les deux types consiste en ceci : que dans le premier cas 
 (elliptique) les valeurs de u au contour d'un certain champ 
 determinent les valeurs a 1'interieur, et, toute discontinuity ou 
 singularite au contour ne se propage 
 pas a rinterieur. Dans le second cas 
 1'espace individualise par les variables 
 #, /, t doit etre divise, par rapport a 
 chaque point interieur A, en trois 
 regions I, II, III, par le c6ne carac- 
 teristique qui a le sommet dans ce 
 point. Si Ton mene une surface dont 
 A est a I'interieur le cone divise la 
 surface en trois parties 1, 2, 3. La 
 valeur de u au sommet du cone peut 
 etre calculee respectivement par les 
 valeurs de u et de ses derivees dans une des trois parties 1, 2, 3. 2 
 
 En outre les singularites sur les surfaces se propagent a 
 I'interieur. 
 
 Si Ton passe des simples equations que nous avons envisagees 
 aux systemes des equations qui donnent les lois de 1'equilibre 
 et du mouvement des corps elastiques, ces proprietes se con- 
 servent. 
 
 Par rapport aux methodes generates qu'on emploie pour 1'in- 
 tegration des equations differentielles, il faut les ranger en deux 
 grandes classes : 
 
 Celles, qui d'une maniere plus ou moins directe, se rattachent 
 a 1'idee fondamentale de Green, et celles des solutions simples 
 qui ressortent de Fourier. 
 
 On peut aussi distinguer les premieres methodes en methodes 
 pures ou la conception pure de Green suffit toute seule, et dans 
 celles ou la conception primitive de Green a evolue par 1'intro- 
 duction apparente ou cachee (KirclihofT) d'une autre concep- 
 tion : celle des caracteristiques. Les premieres s'employent 
 pour les equations elliptiques, les autres pour les equations 
 hyperboliques. 
 
 II faut enfin aj outer que dernierement toutes ces methodes 
 ont regu un nouvel essor par 1'emploi des equations integrales. 
 La conception de 1'heredite a fait aussi transporter ces methodes 
 dans un nouveau champ dont nous parlerons dans la derniere 
 legon. 
 
34 DEUXIEME LEgON 
 
 IV 
 
 Attachons-nous d'abord a la methode de Green et suivons 
 son evolution. Je vais en decrire en peu de mots les etapes 
 successives. On a eu d'abord la methode pure de Green 
 appliquee a 1'equation de Laplace. 
 
 Deux fonctions quelconques regulieres qui satisfont a 1'equa- 
 tion A 2 = verifient a une loi de reciprocite generale. Si Ton 
 
 prend une de ces fonctions egale a la solution fondamentale -, 
 
 r etant la distance entre un point fini et un point variable, on 
 peut arriver a determiner une fonction harmonique a 1'interieur 
 d'un champ, lorsqu'on connait au contour ses valeurs et celles 
 de sa derivee normale. Ces dernieres disparaissent en intro- 
 duisant la fonction de Green. Le pas suivant qui a elargi tout- 
 d'un-coup la methode de Green, et qui a montre d'une maniere 
 nouvelle la fecondite de sa conception, est du a Betti. En effet 
 il a transporte la methode de Green dans le champ de 1'elasti- 
 cite ou Ton n'a plus une seule equation differentielle, mais un 
 systeme d'equations differentielles. 3 Betti a d'abord etendu le 
 theoreme de reciprocite par la proposition suivante : 
 
 "Si deux systemes de forces exterieures determinent deux 
 systemes de deplacements dans un corps elastique, le travail 
 que le premier systeme de forces fait en donnant au corps le 
 second deplacement est egal au travail que le deuxieme systeme 
 de forces fait par le premier deplacement." Apres avoir decou- 
 vert ce theoreme il fallait 1'employer pour determiner les valeurs 
 des deplacements a 1'interieur du corps elastique, etant donne 
 les valeurs au contour des deplacements memes ou des tensions, 
 les forces de masse internes etant connues. 
 
 Deux voies s'ouvraient pour resoudre ce probleme, dans le 
 cas des corps isotropes, celle que Betti a d'abord suivie et celle 
 que Somigliana a tenue apres. Betti a commence par eliminer 
 les forces de masse, ce qui ne presentait pas de difficultes. II a 
 calcule apres quatre solutions fondamentales, qui lui ont servi 
 pour determiner la dilatation et les trois composantes de la rota- 
 tion de chaque particule du milieu elastique en fonction des de- 
 placements et des tensions au contour. Moyennant ces elements 
 il a montre* qu'on pouvait obtenir les defacements internes. 
 
 >Ce precede, tout e*tant simple, n'est pas direct. M. Somigli- 
 ana, au contraire, a suivi une voie directe, car il a determine des 
 
DEUXIEME LEQON 85 
 
 solutions fondamentales qui lui ont servi, en employant la loi 
 de reciprocite, pour determiner les deplacements sans 1'interme- 
 diaire de la dilatation ni des rotations. 4 
 
 II n'y-a-pas de difficulte a obtenir un passage entre les resul- 
 tats de Betti et ceux de Somigliana et a montrer que les uns 
 peuvent se deduire des autres. 
 
 Une autre extension, tout a fait pareille, de la methode de 
 Green, qui se rattache a un probleme tres moderne, se rapporte 
 a la double equation de Laplace et a 1'equation multiple de 
 Laplace, c'est-a-dire a 1'equation A 2 A 2 = et en general 1'equa- 
 tion A 2 A 2 . . . A 2 = 0. 
 
 Nous verrons sous peu 1'interet de ce probleme. 
 
 Nous avons deja remarque qu'une fois la formule de Green 
 trouvee pour 1'equation de Laplace, le probleme de determiner 
 une fonction harmonique (ses valeurs au contour etant donnees) 
 n'est pas encore resolu. La formule de Green resout le prob- 
 leme, lorsqu'au contour les valeurs de la fonction et de la 
 derivee normale sont connues. Ses dernieres s'eliminent, 
 comme nous avons deja dit, par la fonction de Green. De 
 meme, dans le probleme de 1'elasticite, s'eliminent au contour 
 les valeurs des deplacements, ou des tensions, par des fonctions 
 analogues. Leur determination se fait d'une maniere complete 
 dans le cas de la sphere et, si Ton envisage le probleme a deux 
 dimensions, dans le cas du cercle. C'est pourquoi le probleme 
 de la sphere et du cercle ont une position privilegiee dans le 
 champ de ces questions. Les cas du plan et de la droite peu- 
 vent etre envisages comme des cas limites. On peut repeter 
 les memes choses dans les cas de 1'equation multiple de Laplace. 
 
 Passons maintenant aux applications de la methode de Green 
 aux equations de type hyperbolique, et attachons-nous d'abord 
 aux travaux de Kirchhoff. 5 
 
 Le cas qu'il a traite est celui de 1'equation 
 
 n =d 2 M d*u _3Pu d 2 M = 
 dt* dx* dy* dz* 
 
 c'est-a-dire celle des potentiels retardes a quatre variables. 
 
 L'espace avec lequel il a a faire est un espace a quatre di- 
 mensions qui constitue le monde de Minkowski, comme nous 
 avons vu dans la legon precedente, mais, dans sa methode, les 
 
36 DEUXIEME LEgON 
 
 considerations relatives aux hyperespaces restent cachees. II 
 commence par le theoreme de reciprocite et aprs il prend 
 comme solution fondamentale celle de Euler qui a la forme 
 
 / v -r / . C'est par la qu'il rejoint le but, de sorte que sa 
 r 
 
 methode reussit a cause de 1'existence de cette integrale. 
 Comme nous avons remarque dans la lecon precedente, 1'exist- 
 ence de cette integrale est liee au fait que 1'onde spherique dans 
 le cas de 1'espace isotrope a 3 dimensions est une onde sans 
 residu. 
 
 La formule de Kirchhoff a donne la clef du principe de Huy- 
 ghens. On employait, meme avant Kirchhoff, ce principe, mais 
 on n'en avait pas une conception exacte. En effet les pole- 
 miques et les discussions sur ce principe ont cesse seulement 
 apres que cette formule a ete decouverte. 
 
 A ce propos il est interessant de revenir sur une question qui a 
 ete agitee entre Fresnel et Poisson, dont nous dirons sous peu 
 quelques mots. Mais il nous faudra d'abord parler d'une 
 formule celebre qui a ete decouverte par Poisson. La formule 
 de Green, lorsque 1'espace qu'on envisage est spherique et le 
 pole est au centre de la sphere, amene a un theoreme bien connu 
 de Gauss, c'est-a-dire que, pour toute fonction harmonique, la 
 valeur au centre d'une sphere est egale a la moyenne de ses 
 valeurs le long de la surface spherique. De meme si nous special- 
 isons la formule de Kirchhoff au cas d'une sphere, le pole etant 
 au centre, on obtient 1'integrale generale de 1'equation Du = 
 que Poisson avait donnee bien avant la formule de Kirchhoff. 6 
 Poisson avait obtenu cette integrale par des methodes tout-a- 
 fait differentes, qu'on a presque abandonnees maintenant, mais 
 qui out un grand interet, parce qu'elles ont ete d'une fecondite 
 enorme en lui permettant d'integrer un grand nombre d'equa- 
 tions differentielles. La methode de Poisson consistait a de- 
 velopper 1'integrale generale de 1'equation Du = dans une 
 serie de puissances de , et a sommer apres la serie par des 
 integrales definies. Aujourd'hui lorsqu'on veut obtenir 1'inte- 
 grale de Poisson on peut proceder directement sans passer a 
 travers la formule de Kirchhoff et il n'est pas necessaire non 
 plus de suivre Poisson. Les traites rnodernes donnent en effet 
 des methodes tres elegantes et tres simples par lesquelles tout 
 est reduit a trouver 1'integrale de d'Alembert de 1'equation des 
 cordes vibrantes. Tout ce qui se rapporte a 1'equation Uu = 
 
DEUXIEME LEgON 37 
 
 est renferme dans 1'integrale de Poisson et si Ton salt y lire 
 dedans on y voit paraitre meme le principe de Huyghens dans 
 toute sa generalite et d'une maniere fort claire. 
 
 C'est ce que Beltrami a montre dans un de ses beaux 
 memoires, ou il a prouve que Poisson possedait au point de vue 
 analytique ce qu'il fallait pour penetrer dans 1'esprit de ce 
 principe. 7 
 
 En revanche il n'y croyait pas, comme le prouve la pole- 
 raique qu'il a eu avec Fresnel qui employait largement et d'une 
 maniere intuitive le principe de Huyghens sans en avoir une 
 demonstration complete, tout en le justifiant par un apergu 
 clair et frappant. 
 
 Yoila un exemple ou 1'esprit d'un physicien a depasse celui 
 d'un mathematicien par 1'intuition du phenomene. Mais 1'in- 
 tuition peut etre dangereuse. 
 
 En effet on se tromperait si Ton voulait employer les memes 
 considerations intuitives pour 1'equation analogue 
 
 &u _ &u _ &u = Q 
 dt 2 dx 2 dy 2 ~~ 
 
 Dans ce cas, comme nous avons montre dans la legon precedente, 
 1'onde est residuelle et le principe de Huyghens n'existe pas. 
 Au moiris il n'existe pas dans sa forme classique telle que Huy- 
 ghens le concevait. 
 
 VI 
 
 Si nous voulons poursuivre dans 1'evolution de la conception 
 fondamentale de Green, il faut passer de 1'equation Du = a 
 quatre variables a celle a trois variables. Ce passage, quoiqu'il 
 en puisse paraitre au premier abord, constitue un pas en avant, 
 parce que le cas de trois variables est plus difficile que celui de 
 quatre variables. 
 
 La methode de Green telle que Kirchhoff 1'avait transformee 
 pour les equations hyperboliques pouvait etre employee aussi 
 pour 1'equation a trois variables 
 
 mais il fallait trouver une integrale fondamentale d'une nature 
 tout- a-f ait differente de celle de Euler, dont Kirchhoff avait fait 
 usage. 
 
38 
 
 DEUXIEME LEQON 
 
 En effet 1'integrale qu'il faut remplacer a celle-ci est com- 
 pliquee par des integrate definies. Je vais enoncer le resultat 
 final qu'on trouve par cette voie. 8 
 
 Envisageons le monde de Minkowski a trois dimensions et 
 
 FIG. 12. 
 
 considerons un cylindre quelconque, ayant les generatrices 
 paralleles a 1'axe t. Prenons un point interne au cylindre et 
 menons le cone caracteristique dont une nappe coupe le cylindre 
 
 le long d'une ligne 
 s. On peut ex- 
 primer la valeur 
 de 1'integrale au 
 sommet du cone 
 par les valeurs de 
 1'integrale et de sa 
 derivee normale 
 sur la surface du 
 cylindre, depuis la 
 ligne s jusqu'a 
 Finfini. 
 
 * Fl0 ' 13 ' D'un autre cot6 
 
 nous avons tout-a-l'heure parle* de 1'integrale generale de Poisson. 
 On peut la specialiser en supposant qu'elle soit independante de 
 la coordonnee z. 
 
DEUXIEME LEQON 
 
 39 
 
 Elle donne alors 1'intggrale generale de 1'equation DM = a 
 trois variables et elle s'appelle l'inte*grale de Parseval. Envisa- 
 
 FIG. 14. 
 
 geons le monde de Minkowski a trois dimensions et le cone carac- 
 teristique d'un point. II coupe le plan xy le long d'un cercle. 
 La formule de Parseval donne la valeur de 1'integrale au sommet 
 du cone par les valeurs de 1'integrale meme et de sa derivee 
 normale sur le cercle. 
 
 En rapprochant les deux formules on etait amene a se pro- 
 
 FIG. 15. 
 
 poser le probleme de determiner 1'integrale si Ton connait sa 
 valeur et celle de sa derivee normale sur une surface or formee 
 par une partie cylindrique et une partie plane et en general sur 
 une surface quelconque limitee par le cone. 
 
40 DEUXIEME LEQON 
 
 Pour resoudre ce probleme la methode pure de Green et celle 
 de Green-Kirchhoff font defaut. J'ai du recourir a d'autres 
 methodes, c'est-a-dire j'ai fait jouer, du premier abord, le role 
 principal au cone caracteristique, qui ressortait dans les re- 
 sultats sans paraltre dans les calculs. Or pour donner le role 
 f ondamentale au cone caracteristique il convenait se rapprocher 
 aux methodes que Riemann avait employe dans le cas de deux 
 variables. 
 
 La methode des caracteristiques, dont nous venons de parler, 
 represente la derniere phase devolution de la conception primi- 
 tive de Green. En effet il faut aussi dans cette methode em- 
 ployer un theoreme de reciprocite et se servir d'une solution qui 
 joue le role de solution fondamentale. 
 
 Dans le cas de 1'equation Hu = a trois variables la solution 
 est choisie de telle sorte que dans la formule de reciprocite tous 
 les termes etendus a la surface caracteristique disparaissent, et 
 il reste une integrale e"tendue a <r ainsi qu'une integrale 
 etendue a la parallele a 1'axe t menee par le sommet du cone. 
 
 On elimine cette integrale par une derivation et la valeur au 
 sommet parait a la fin du calcul. 9 
 
 M. Hadamard a modifie ce precede. II a fait usage d'une 
 fonction qui, appliquee directement, conduirait a des termes 
 infinis, mais il a reussi a les faire disparaitre d'une maniere 
 tres adroite et tres elegante par un artifice qu'il a decouvert. 10 
 
 VII 
 
 Les precedes que nous venons d'exposer se rapportent au 
 cas de 1'equation du potentiel retarde, mais si Ton veut en- 
 visager le probleme complet qui se presente dans 1'elasticite 
 il faut examiner aussi les systemes des Equations differentielles 
 qui donnent les lois des vibrations des corps elastiques. II est 
 done ne"cessaire de faire un passage analogue a celui que Betti a 
 fait, lorsqu'il a transporte la methode de Green de 1'equation 
 de Laplace au systeme des equations de 1'equilibre des corps 
 elastiques. Pour le cas des systemes plans ou le monde de 
 Minkowski est a trois dimensions, le grand chemin est tou- 
 jours donne par la methode des caracteristiques. Mais pour le 
 cas ou le monde de Minkowski est a quatre dimensions, il n'est 
 pas necessaire d'employer cette methode. En la suivant on se 
 donnerait une peine inutile. 
 
DEUXIEME LEQON 41 
 
 Je vais en expliquer la raison, en supposant, pour un instant, 
 de vouloir retrouver la formule de Kirchhoff par la methode des 
 caracteristiques. Pour que la chose soit intuitive il suffit de 
 prendre la figure 15, et imaginer la transporter dans un espace 
 a quatre dimensions en ajoutant une dimension a toutes ses 
 parties. 
 
 Or la consideration de a devient inutile dans ce transport, 
 car la valeur de 1'integrale au sommet du cone depend seulement 
 des valeurs de I'inte'grale et de ses derivees sur 1'intersection 
 correspondante a la ligne s. C'est pourquoi il n'est pas neces- 
 saire d'employer un procede ou Ton envisage <r et j$. 
 
 M. Tedone a montre I'elimination effective de <r en calculant 
 la formule de Kirchhoff par la methode des caracteristiques. 
 II a ete aussi le premier qui, en etendant le meme procede aux 
 equations des vibrations des corps elastiques a trois dimensions, 
 a trouve les formules generates qui correspondent a celle de 
 Kirchhoff. Mais il a demontre qu'on pouvait les obtenir directe- 
 ment en suivant un chemin qui se rapproche a celui de 
 Kirchhoff. 11 Quelque temps apres, M. Love 12 et plus recemment 
 encore M. Somigliana 13 out donne des methodes plus directes 
 et plus completes de sorte que cette branche de la science de 
 1'elasticite a ete etudiee d'une maniere tres profonde. Ce 
 que nous venous de dire se rapporte au cas ou Ton suppose que 
 les ondes se propagent sans resistance. Si Ton tient compte de 
 la resistance on ne peut pas negliger le residu laisse par les 
 ondes. L'equation differentielle est alors Hu = hu et on peut 
 la traiter soit par une methode qui se rapproche a celle de Kirch- 
 hoff, soit par celle des caracteristiques dans les espaces a quatre 
 dimensions. Ce n'est que par cette derniere methode qu'on 
 peut trouver des resultats generaux. 14 
 
 vm 
 
 Nous allons faire maintenant un pas en arriere. Laissant de 
 c6te la question dynamique, revenons au probleme del'equilibre 
 des corps elastiques. 
 
 Une riouvelle branche d'etude a ete developpee tout recem- 
 ment ; celle de 1'equilibre des corps elastiques a connexion 
 multiple. 15 En general les questions de physique mathematique 
 se presentent de manieres differentes suivant les connexions 
 des espaces qu'on envisage. Je commence par rappeler les 
 
42 DEUXIEME LEQON 
 
 lois du mouvement des fluides incompressibles dans un reci- 
 pient rigide ferme. 
 
 S'il n'y a pas de tourbillons, et, si le recipient a une connexion 
 simple, le fluide doit etre necessairement en repos. II peut 
 etre, au contraire, en mouvement si le recipient a une forme 
 tubulaire, c'est-a-dire en general s'il a une connexion multiple. 
 La cause de cette difference vient de ceci. 
 
 S'il n'y a pas de tourbillons il existe un potentiel de vitesse. 
 Or ce potentiel peut etre poly drome dans le cas d'une connexion 
 multiple, mais il doit etre monodrome dans le cas de la connex- 
 ion simple, en supposant que les composantes des vitesses des 
 particules du fluide soient regulieres. 
 
 Des proprietes tout-a-fait analogues ont lieu pour les corps 
 elastiques en equilibre. Avant d'aborder cette etude il faut 
 etablir ce qu'on doit entendre par strain regulier d'un corps 
 elastique. Si les elements qui caracterisent la deformation sont 
 des fonctions monodromes, finies et continues, ayant aussi les 
 derivees du premier et du second ordre par rapport aux coor- 
 donnees, monodromes, finies et continues dans un certain 
 domaine, on dit que dans ce domaine le strain est regulier. On 
 peut donner des formules par lesquelles on tire du strain les 
 deplacements des points du corps elastique. Or, si le strain 
 est regulier, et le corps occupe un espace simplement connexe, 
 les deplacements sont des fonctions monodromes, tandis que, si 
 1'espace est multiplement connexe, les deplacements peuvent 
 resulter poly dromes. 
 
 On peut donner une interpretation mecanique de ce theoreme 
 cinematique sur le strain. La voici: Si un corps elastique, a 
 une forme simplement connexe, n'est pas sujet a de's efforts 
 exterieurs il doit etre a 1'etat naturel, son strain etant regulier. 
 Au contraire, un corps elastique, ayaut une connexion multiple, 
 peut se trouver dans un etat de tension, meme si le strain est 
 regulier et s'il n'est pas sujet a des efforts exterieurs. 
 
 II y a done des cas d'equilibre pour les corps a connexion 
 multiple qui ne se presentent pas pour les autres. Dans ces cas 
 la tension n'est pas produite par des efforts exterieurs. Elle 
 peut s'obtenir en appliquant des distortions. En effet il est bien 
 connu qu'un corps ayant une connexion multiple peut etre 
 sectionne sans qu'il soit divise en parties. Apres avoir sec- 
 tionne le corps deplagons les deux faes de chaque coupure 1'une 
 par rapport a 1'autre, de maniere que les deplacements relatifs 
 
Pi.. I. 
 
DEUXIEME LEgON 43 
 
 des differentes couples des particules (qui adheraient entre elles 
 et que la coupure a separees) soient resultantes de rotations et 
 de translations egales. 
 
 Retablissons enfin la connexion et la continuite en retran- 
 chant ou en ajoutant la matiere necessaire et en ressoudant les 
 parties entre elles. L'ensemble des operations faites pour 
 chaque coupure s'appelle une distortion. Une fois qu'elle a ete 
 executee, le strain est regulier le long de la coupure, ainsi que 
 dans to ate autre partie du corps, de sorte qu'il est impossible 
 de trouver 1'endroit ou la coupure a ete faite si Ton tache de la 
 reconnaitre par quelque singularity de la deformation. Le 
 strain est ainsi partout regulier, mais les deplacements ont une 
 discontinuite le long de la coupure, ce qui constitue au point de 
 vue analytique une polydromie des deplacements. 
 
 Comme une distorsion est determinee par un deplacement 
 rigide relatif des couples des particules qui adheraient avant la 
 coupure, et puisque tout deplacement rigide est decomposable 
 en trois translations et en trois rotations par rapport aux axes 
 coordonnees, on pourra caracteriser chaque distortion par six 
 elements, correspondants aux trois translations et aux trois rota- 
 tions. En supposant qu'un de ces elements soit 1'unite et les 
 autres soient nuls on a une distorsion elementaire. Voici (PI. 1) 
 les modeles en platre des formes prises par des gros tubes de 
 caoutchouc qui ont ete assujettis aux six distorsions elementaires. 
 
 Si on les compare avec les resultats du calcul, les mesures et 
 les observations confirment toutes les particularites que le cal- 
 cul avait prevu. Nous parlerons tout-a-1'heure d'une verifica- 
 tion experimentale qui a une exactitude beaucoup plus grande. 
 
 Nous avons vu que le principe de reciprocite de Green peut 
 se transporter dans la theorie de 1'elasticite et qu'il amene au theo- 
 reme de Betti. Ce theoreme ne subsiste plus lorsque les deplace- 
 ments deviennent polydromes en vertu des distorsions, mais 
 on a alors un nouveau principe de reciprocite, d'un aspect 
 different, qui domine toute la theorie. 
 
 Pour le trouver, composons les tensions qui s'exercent sur les 
 elements d'une coupure des qu'on a fait les distorsions. On 
 obtiendra une force resultante et un couple resultant. C'est ce 
 qu'on appelle Veffort qui s'exerce sur la coupure. En de'com- 
 posant la force et le couple suivant les axes coorclonnes, on aura 
 six elements qui caracterisent chaque effort, ainsi qu'on a six ele- 
 ments qui caracterisent chaque distorsion. Si le corps a une con- 
 
44 DEUXIEME LEQON 
 
 nexion d'ordre w + 1, on peut faire n coupures et Ton a, par suite, 
 6 n caracteristiqu.es des efforts : S v S 2 , $ 6w , et 6 n caracteris- 
 tiques des distorsions : r 2 , s^. Les unes correspondent aux 
 autres, c'est-a-dire /% a s i en prenant comme elements correlatifs 
 les composantes des forces et des translations, des couples et 
 des rotations, par rapport aux memes axes et a la meme coupure. 
 Or, les caracteristiques des efforts s'expriment lineairement par 
 celles des distortions : Si = ^ h E ih s h . Les coefficients E ih sont 
 symetriques, c'est-a-dire E ih = JS M . Voila en qui consiste le 
 theoreme de reciprocite. On peut en obtenir finalement une 
 interpretation mecanique. 
 
 Le probleme fondamental de la theorie des distorsions con- 
 siste a determiner les efforts lorsqu'on connait les distorsions. 
 Le theoreme de reciprocity que nous venons d'enoncer reduit 
 considerablement le nombre des inconnues du probleme. 
 
 Un des cas ou le probleme fondamental peut se resoudre est 
 celui ou le corps est constitue par un reseau de verges recti- 
 lignes ou courbes, ou des ressorts. La theorie qu'on peut de- 
 velopper a ce sujet est analogue a celle de Kirchhoff sur la 
 distribution des courants electriques dans des fils conducteurs, 
 mais les equations sont sextuplees. 
 
 IX 
 
 Je ne quitterai pas la theorie des distorsions sans avoir parle 
 de son application recente pour verifier experimentalement les 
 lois theoriques de 1'elasticite. 
 
 On rencontre deux sortes de difficultes si Ton veut faire des 
 verifications experimentales de la theorie de 1'elasticite. D'un 
 c6te il est presque impossible de distribuer les actions externes 
 qui sollicitent la surface du corps d'une maniere continue sans 
 tomber dans des cas trop simples. D'un autre cote la verifica- 
 tion experimentale n'est pas complete, si Ton se borne a de- 
 terminer la seule deformation apparente du corps, car la chose 
 la plus interessante est de verifier la distribution des tensions 
 internes prevues par le calcul. 
 
 On peut eliminer la premiere difficulte en supprimant toute 
 action exterieure et en assujetissant le corps a des distortions. 
 Alors la deformation est due aux actions seules que les diffe- 
 rentes parties du corps excercent les unes sur les autres. L'autre 
 difficulte s'evanouit, si Ton fait usage d'un corps elastique 
 
PL. II. 
 
DEUXIEME LEgON 
 
 45 
 
 transparent tel que la gelatine. La birefringeance accidentelle 
 donne la distribution des tensions internes. 
 
 C'est ce que MM. Corbino et Trabacchi ont imagine et realise* 
 avec beaucoup de succes. 16 Us ont employe un cylindre creux 
 de gelatine de petite hauteur ou ils engendraient des distorsions 
 en j faisant des fissures radiales ou des fissures a fac.es paralleles 
 et en rapprochant et en soudant apres les fages de la coupure. 
 
 Ils observaient le cylindre avec de la lumiere polarisee qui se 
 propageait dans le sens de 1'axe en projetant a travers un ana- 
 lyseur 1'image du cylindre. 
 
 Voici les dispositions dont ils ont fait usage. B est une 
 cuvette ou Ton posait les cylindres de gelatine assujettis aux 
 
 FIG. 16. 
 
 distorsions, P est un miroir noir (polariseur) qui envoyait 
 verticalement un faisceau de lumiere polarisee. Apres avoir 
 traverse le cylindre le faisceau lumineux e*tait reflechi horizon- 
 talement par un miroir ordinaire S, et il etait concentre par 
 une lentille L sur une machine photographique sans objectif I. 
 Un nicol etait place en A et il fonctionnait d'analyseur. 
 
 Voici (PI. II) les photographies des projections lorsque les 
 nicols sont croises. La premiere se rapporte au cylindre dans 
 lequel on a fait la fissure radiale. On obtient une croix noire et 
 un cercle noir. La figure ne change pas si Ton fait tourner le 
 cylindre autour de 1'axe. Les lignes noires de la croix corre- 
 spondent tou jours aux sections principales des polariseurs croises. 
 
 D'un autre cote M. Corbino a calcule, par la theorie de la bire- 
 fringeance et en appliquant les formules de la theorie elastique 
 
46 
 
 DEUXlfeME LEQON 
 
 des distorsions, 1'intensite Jdes differents rayons de lumierequi 
 sortent du cylindre de gelatine. Si Ton fait I 0, on a liqua- 
 tion des lignes noires. On trouve ainsi trois lignes, c'est-a-dire 
 les deux branches de la croix et un cercle, dont le rayon est 
 
 r- 
 
 R 1 etant le rayon externe et R% le rayon interne du cylindre 
 creux. C'est pourquoi la verification expe"rimentale peut etre 
 
 faite d'une maniere tres ri- 
 goureuse et Ton trouve" des 
 valeurs qui coincident avec 
 une grande exactitude avec 
 celles donne"es par les calculs. 
 Les figures correspon- 
 dent a la distorsion due 
 a une fissure a faces paral- 
 leles. 
 
 Dans ce cas Timage du 
 cylindre change avec Tangle 
 que la coupure forme avec 
 une section principale du po- 
 lariseur. 
 
 On a Timage figure 18 si la coupure est parallele a une sec- 
 tion principale et 1'image figure 19 si elle est inclinee de 45. 
 
 Mais dans le premier cas le calcul montre que les lignes 
 noires sont constitutes par la section meme et par une ligne 
 construite dans la figure 18 a ayant pour equation en coordon- 
 nees polaires r, 6 
 
 FIG. 17. 
 
 cos 2 2 + (1 + 2 cos (9) 
 
 
 - cos 2 
 
 J 
 
 ou e est le rapport 
 
 De meme si Ton calcule quelles doivent etre les lignes noires 
 dans le second cas on trouve la figure 19 a. La comparaison 
 entre les figures 18 et 18 a, 19 et 19 a, montre une coincidence 
 parfaite, et en poussant meme dans la comparaison qualitative et 
 quantitative des re"sultats de 1'observation avec ceux du calcul, 
 jusqu'aux plus petites particularites comme ce serait 1'existence 
 des points noirs M, N, P, Q, R, S, on trouve toujours la corre- 
 
FIG. 1 8 
 
 FIG. 19 
 

 DEUXIEME LEQON 
 
 47 
 
 FIG. 19a. 
 
48 DEUXIEME LEQON 
 
 spondance la plus parfaite. Ces resultats, tout-a-fait nouveaux, 
 prouvent d'une maniere complete et frappante avec quel haut 
 degre de precision la theorie mathematique de 1'elasticite pre- 
 voit tous les faits. On recontfait, en meme temps, la portee 
 pratique des methodes d'analyse modernes et des idees geome- 
 triques, telles que la connexion des espaces. 
 
 x 
 
 Dans le V nous avons deja envisage la double equation de 
 Laplace. Elle joue un role considerable dans la the'orie, de 
 1'elasticite et dans les derniers temps elle a ete le sujet d'un 
 grand nombre de recherches. L'Academie des Sciences de 
 Paris a ete saisie de 1'importance des etudes sur cette equation. 
 Le sujet du prix Vaillant pour 1907 a ete mis sur cette equation. 
 
 Si nous supposons qu'un corps elastique ne soit pas sujet a 
 des forces de masses les composantes des deplacements satisfont 
 a la double equation de Laplace. Cela suffit pour montrer le 
 lien qui existe entre cette equation et la theorie de Telasticite. 
 D'autre part la theorie de 1'equilibre des plaques elastiques se 
 ramene immediatement a la double equation de Laplace a deux 
 variables. Plusieurs voies s'ouvraient pour en faire 1'etude. 
 L'application de la methode de Green, dont nous avons deja 
 parle, donnait d'un cote le moyen de resoudre beaucoup de 
 questions. On pouvait aussi employer les equations integrates 
 comme M. Lauricella a montre, et comme nous verrons tout a 
 1'heure. Mais il y avait aussi une autre methode par laquelle 
 on pouvait faire dependre toute fonction biharmonique (c'est- 
 a-dire qui satisfait a la double equation de Laplace) de" deux 
 fonctions harmoniques. Cette derniere methode a aussi sim- 
 plifie d'une maniere frappante la resolution de plusieurs ques- 
 tions qui se rapportent a la theorie de 1'elasticite. 
 
 Venske en 1891 avait publie sur ce sujet un beau travail ; 
 malheureusement il n'est pas exact dans toutes ses parties. 17 
 Almansi a traite de nouveau la question. 18 Le principe fon- 
 damental d'ou il part est celui-ci : toute fonction biharmonique 
 de trois variables a?, ^, z peut se decomposer en deux termes 
 par la formule 
 
 (1) 
 
 ou bien par 1'autre 
 
 (2) 
 

 DEUXIEME LEQON 49 
 
 <f> v ^TJ, < 2 , >/r 2 e*tant des fonctions harmoniques et a, 5, <? des 
 constantes. Des decompositions analogues ont lieu dans le cas 
 des fonctions biharmoniques de deux variables. M. Goursat 
 aussi est revenu sur ce sujet dans un court apergu qu'il a donne 
 de la question. 
 
 La presence du facteur lineaire ou du facteur de deuxieme 
 degre dans les formules precedentes explique la facilite avec 
 laquelle on peut resoudre les problemes de 1'integration de la 
 double equation de Laplace etant donne les valeurs au contour 
 de 1'integrale et de sa derivee normale dans les cas ou le con- 
 tour est un plan ou une sphere. En effet on peut ramener 
 immediatement ces problemes aux questions correspondantes 
 des fonctions harmoniques. 
 
 De meme les trois composantes des deplacements d'un corps 
 elastique isotrope peuvent etre mises sous la forme 
 
 
 ou les quatres fonctions <^j, < 2 , < 3 , -fr sont des fonctions har- 
 moniques. Almansi a obtenu par-la la solution du probleme 
 de Tequilibre de la sphere elastique d'une maniere directe et 
 presque immediate. 20 
 
 Un autre res ul tat interessant qu'on peut rattacher aux ex- 
 pressions (1) et (2) est le priricipe de 1'inversion applique aux 
 fonctions biharmoniques. 21 M. Levi-Civita Tavait trouve par 
 une autre voie pour le cas de deux variables, 22 et M. Michell 
 aussi a etudie cette question. 23 
 
 Mais 1'application la plus elegante et la plus profonde des 
 formules (1) et (2) a ete faite par M. Almansi. Nous allons 
 en dire un mot. 
 
 Le principe de la representation conforme donne la solution 
 de 1'equation de Laplace a deux variables pour toutes les aires 
 qu'on peut representer dans un cercle, les valeurs au contour 
 etant donnees. La question analogue pour la double equation 
 de Laplace (c'est-a-dire la determination de la fonction incon- 
 nue lorsqu'on connait au contour ses valeurs et celles de la 
 derivee normale) a ete resolue par M. Almansi pour toute aire 
 qu'on peut representer dans un cercle au moyen d'un polynome 
 rationnel et entier. 24 
 
50 DEUXIEME LEQON 
 
 II n'y avait qu'a suivre la meme route pour trouver un re- 
 sultat tout-a-fait analogue dans le cas de 1'equilibre elastique 
 a deux variables, c'est-a-dire des membranes planes, c'est ce que 
 M. Boggio a fait dans un travail interessant. 25 
 
 C'est ainsi, par exemple, que le probleme de 1'equilibre d'une 
 membrane elastique tendue, le contour etant un colimac.on, de 
 Pascal peut etre resolu. 
 
 Ces resultats ne s'etendent pas a 1'espace a trois dimensions, 
 car il est bien connu que les representations conformes dans cet 
 espace sont limitees aux transformations par rayons reciproques; 
 mais il faut remarquer que la methode de Almansi embrasse 
 des cas en dehors des cas classiques ou le contour est forme" par 
 des cercles ou des droites. C'est pourquoi elle ouvre un nou- 
 veau champ de recherches. 
 
 Revenons encore une fois a la methode de Green, appliquee 
 a la double equation de Laplace. 
 
 On peut former une fonction analogue a celle de Green 
 meme dans ce cas. 
 
 C'est une fonction biharmonique dont les valeurs et celles de 
 la de*rive"e normale verifient certaines conditions au contour. 
 MM. Lauricella et Boggio 1'ont employee dans plusieurs cas. 
 M. Hadamard a envisage cette fonction d'un nouveau point de 
 vue. II 1'a regardee comme dependante de la forme du con- 
 tour, c'est-a-dire comme une fonction des surfaces ou des lignes 
 dont il est constitue. De cette maniere il s'est rattache a la 
 conception dont nous avons parle dans la leon precedente, et 
 il s'est propose le probleme des maxima et des minima en con- 
 siderant le contour variable. Cette recherche conduite d'une 
 maniere tout-a-fait nouvelle et par des methodes tres elegantes 
 constitue une partie tres originale et tres interessante de son beau 
 et fondamental travail. 26 
 
 XI 
 
 II serait impossible d'abandonner le champ des recherches 
 dont nous avons parle jusqu'a present sans toucher a une ques- 
 tion qui a ete le sujet d'un grand nombre de travaux dans les 
 derniers temps. 
 
 C'est la question des theoremes d'existence. Ces theoremes en 
 general n'interessent guere les physiciens qui ne s'en soucient 
 pas, tandis qu'ils sont regardes comme fondamentaux par les 
 mathe'maticiens qui tachent, dans leurs theories, de b&tir des 
 
DEUXIEME LEQON 51 
 
 ensembles logiques de propositions. Les enonces des theo- 
 remes d'existence semblent, au premier abord, justifier ce du- 
 alisme, car il se reduisent, dans la plupart des cas, a constater 
 que, certaines conditions etant donnees, il y a des solutions. 
 Mais, si Ton regarde de plus prSs, on reconnait que bien des 
 fois on se trompe en ne les appreciant pas. En effet pour en 
 donner les demonstrations il faut souvent construire effective- 
 ment les solutions dans les cas les plus generaux. C'est 
 pourquoi ces demonstrations sont la source de resultats qui 
 interessent beaucoup les applications et ont une importance 
 theorique et pratique. Nous verrons cela en envisageant dans 
 le meme temps ces theoremes et les solutions generales. Comme il 
 est bien connu ces questions ont presente beaucoup de difficultes. 
 
 Les voies qu'on a tenu pour 1'elasticite se rapprochent de 
 celles qu'on avait suivies pour 1'equation de Laplace. L'appli- 
 cation de la methode de Neumann a ete tentee d'abord par 
 M. Lauricella en partant des formules de M. Somigliana. 27 
 Mais le resultat qu'il a obtenu, a cause des hypotheses qu'il 
 fallait faire sur les coefficients, ne rentrait pas dans le probleme 
 reel de 1'elasticite. Ensuite il s'est toujours plus rapproche 
 de la solution definitive de la question, en se servant de toutes 
 les ressources que lui offrait 1'analyse, par les methodes des 
 approximations successives et des equations integrates. 
 
 La methode des approximations successives employee par 
 M. Korn M a eu beaucoup de succes. Ce geometre a developpe 
 la solution par des series de puissances d'un parametre qui de- 
 pend des constantes de 1'elasticite, et il a resolu ainsi le prob- 
 leme de 1'equilibre, soit dans le cas ou les deplacements sont 
 donnees au contour, soit dans le cas ou les tensions sont donnees. 
 
 II faut remarquer que, jusqu'a present, la methode de M. 
 Korn est la seule qui ait amene a une solution complete dans 
 ce dernier cas. La maniere elegante par laquelle il a su vaincre 
 la difficulte qui se presentait est remarquable aussi. 
 
 En effet si Ton pose les equations de 1'elasticite sous la forme 
 
 A 2 w + K = 0, A 2 ^ + JT = 0, A 2 ^+ K~ = 0, 
 dx dy dz 
 
 Q _ du dv dw 
 ~~dx ~dy da' 
 
 et Ton suppose que les tensions aux contour soient donnees, les 
 developpements de w, v, w, en series de puissances de K, ont un 
 
52 DEUXIEME LEgON 
 
 point de singularite essentielle pour K 0. MM. E. et F. 
 Cosserat avait deja remarque cette propriete dans la cas particu- 
 lier de la sphere. 29 
 
 C'est pourquoi pour arriver au but M. Korn a envisage des 
 series de puissance dans les domaines de K= 1. 
 
 Depuis quelques annees on a aborde ces questions par la 
 methode des equations integrales. 
 
 L'idee fondamentale tres importante developpee par M. Fred 
 holm a ete d'envisager une fonction harmonique definie dans un 
 domaine a deux dimensions comme le potentiel d'une double 
 couche distribute sur le contour. 30 w( x ) etant la valeur de la 
 fonction harmonique dans un point s 1 de la f rontiere *, et /(s) 
 etant la densite de la double couche, on a la relation 
 
 ou .F(s, Sj) est une fonction reguliere, si le contour est regulier. 
 La determination de la fonction /(s) est done ramenee a la re- 
 solution de 1'equation integrate precedente. Nous parlerons de 
 cette resolution dans la legon suivante. C'est par des prece- 
 des fondes sur les memes principes que Ton peut traiter le cas 
 de 1'elasticite. On est amene par-la a des systemes d'equations 
 integrales. Les difficulty's qu'on remontre ressortent des infinis 
 des fonctions qui paraissent sous les integrales, et elles n'ont 
 pas encore ete vaincues lorsque les tensions sont donnees. 
 
 MM. Fredholm, Lauricella, Boggio, Marcolongo orit publie de 
 savants travaux sur ce sujet, et il faut aussi rappeler les noms 
 de MM. E. et F. Cosserat qui ont ete les premiers a etablir 
 d'interessantes relations integrales. 31 
 
 La double equation de Laplace peut aussi se resoudre par 
 des methodes analogues. M. Korn a employe les approximations 
 successives, 32 M. Lauricella les methodes des equations inte- 
 grales, 33 mais il faut supposer que le contour n'ait pas des points 
 singuliers. 
 
 Prenons le cas particulier de deux variables, en supposant que 
 le contour soit un rectangle, ce qui correspond au probleme de 
 1'equilibre d'une plaque elastique rectangulaire. Le probleme 
 n'est pas abordable par les methodes precedentes. M. Lauri- 
 cella 1'a resolu en revenant aux anciennes methodes, dont Mathieu 
 s'etait servi pour etudier 1'equilibre du prisme rectangle. Ces 
 methodes se rattachent a celles des solutions simples. 
 
DBUXrfeME LEgON 53 
 
 XII 
 
 Nous finirons cette legon en consacrant quelques mots a la 
 methode generale des solutions simples, dont nous venons de 
 parler dans 1'article precedent qui a ete aussi renouvelee tout re- 
 cemment par des fecondes applications des equations integrates. 
 
 On en trouve les premieres traces dans les tentatives par les- 
 quelles on a aborde les equations differentielles aux derivees par- 
 tielles. La solution de la forme f(f)$(x) de liquation des 
 
 cordes vibrantes ~ = --5, ou les variables sont separees, ap- 
 dfi dx 2 
 
 partient a Taylor. 
 
 C'est le premier exemple d'une solution simple. La compo- 
 sition des solutions simples du type de Taylor a amene a la 
 serie de Fourier. Je ne reproduirai pas ici 1'histoire si bien 
 connue de cette decouverte ou les conceptions physiques et 
 analytiques s'entrelacent et ou paraissent les noms celebres de 
 Bernoulli, d'Alembert, Euler, Lagrange. La methode des solu- 
 tions simples, dont nous venons de dormer le type, consiste a 
 trouver des solutions particulieres ou toutes les variables, ou 
 quelques-unes, sont separees. Ensuite en construisant une 
 serie de solutions simples on peut obtenir la solution generale 
 par le calcul des coefficients. Cette methode peut s'appliquer 
 aux differents types d'equations differentielles qu'ils soient 
 elliptiques, paraboliques ou hyperboliques. 
 
 Pour fixer les idees considerons ces dernieres equations, et en 
 particulier le cas des vibrations des membranes planes fixees au 
 contour. Dans le monde a trois dimensions qu'il faut envisager, 
 separons le temps t des coordonnees de Fespace #, ^, et puisque 
 1'eq nation differentielle qu'il faut integrer est, 
 
 d^u^d^u d*u 
 dt* ~~ dx* dy^ 
 
 examinons les solutions ayant la forme 
 
 On a tout de suite que < doit verifier 1'equation 
 
 <f> etant nulle au contour et K etant une constante. II faut 
 commencer par trouver les valeurs de K pour lesquels existent 
 
54 DEUXIEME LEgON 
 
 des solutions < qui ne sont pas nulles. Ce sont les valeurs ex- 
 ceptionnels. L'existence de la plus petite valeur exceptionelle 
 avait e*te prouvee par M. Schwarz, mais c'est dans le grand 
 memoire de M. Poincare sur les equations de la physique 
 mathematique M qui a ete demontre 1'existence de toutes les 
 valeurs exceptionnelles. On peut les regarder comme les 
 racines d'une equation transcendante. Le principe de Lord 
 Rayleigh ne donnait qu'un apergu de la maniere dont les choses 
 se passaient par une extension de la theorie classique des petites 
 vibrations. 
 
 Mais ce sont les methodes des equations integrates qui ont 
 conduit aux resultats les plus simples et les plus directs. 
 
 En effet, on voit facilement, que Ton peut remplacer 
 1'equation differentielle homogene (4), ainsi que la condition 
 <j> = au contour, par une equation integrale lineaire homogene. 
 Comme nous verrons dans la legon suivante, une equation in- 
 tegrale lineaire n'est que le cas limite d'un systeme d'equations 
 lineaires algebriques, lorsque le nombre des equations et des 
 inconnues croit indefmiment. C'est pourquoi la condition pour 
 que 1'equation integrale lineaire et homogene soit satisfaite par 
 une solution qui ne soit pas nulle, se trouve en annullant une 
 expression que Ton peut regarder comme la limite du determinant 
 d'un systeme d'equations algebriques lineaires. Cette expres- 
 sion, que M. Fredholm a appelle le determinant, 35 est une 
 f onction entiere de K, et on a par la que les valeurs exception- 
 nelles sont les racines d'une equation transcendante. 
 
 Les valeurs < qui verifient 1'equation (4) et qui correspon- 
 dent aux valeurs exceptionnelles de TTsont les solutions excep- 
 tionnelles. II faut tacher d'exprimer la solution generale par 
 une serie de solutions exceptionnelles, en generalisant la 
 methode de Fourier. 
 
 M. Hilbert, 36 M. Schmidt, 37 et d'autres auteurs ont traite et 
 approfondi d'une maniere generale ces questions. M. Hilbert 
 a pris comme point de depart 1'etude des formes infinies, en les 
 reduisant a la forme canonique. II n'est possible ici de de- 
 velopper ces recherches qui constituent un nouveau et interes- 
 sant chapitre de 1'analyse. 
 
 1 Voir la citation dans la note 4 de la Ie9on precddente. 
 
 * Sur les vibrations des corps e'lastiques isotropes. Acta Math. T. 18. 
 
 * Teoria dell' elasticita. N. Cimento, 1872-1873. 
 
DEUXIEME LEgON 55 
 
 4 Sidle equazioni dell'elasticita. Annali di Mat. S. II, T. XVII. 
 
 5 Zur Theorie der Lichtstrahlen. Sitz. her. d. Acad. d. Wiss. zu Berlin, 1882. 
 
 6 Memoire sur V integration de quelques equations lineaires aux differences 
 partielles. Memoires de 1' Academic des Sciences de Paris, T. III. 
 
 7 Sulprincipio di Huygens. Rend. 1st. Lombardo, S. II, T. XXII. 1889. 
 
 8 Sulle vibrazioni luminose nei mezzi isotropi. Rend. Ace. dei Lincei, S. V. 
 Vol. I. 2Sem. 
 
 9 Voir la citation dans la note 2. 
 
 10 Theorie des equations aux derivees partielles lineaires hyperboliques. Acta 
 Math. T. 31. 
 
 11 Sulle vibrazioni dei corpi solidi omogenei isotropi. Mem. Ace. di Torino, 
 S. II, T. 47. 
 
 12 The propagation of wave-motion in an isotropic elastic solid medium. Proc. 
 of the London Math. Soc. 1904. 
 
 18 Sopra alcune formule fondamentali delta dinamica dei mezzi isolropi. Atti. 
 Ace. di Torino, 1907. 
 
 14 COULON, Sur Vintegration des equations aux derivees partielles du second 
 ordre par la methode des caracteristiques . Paris, 1902. 
 
 15 Sur Vequilibre des corps elastiques multiplement connexes. Annales de 
 1'ecole normale superieure de Paris, 1907. 
 
 16 Le tensioni create in un corpo elastico dalle distorsioni di Volterra e la 
 conseguente doppia rifrazione accidentale. Rend. Ace. dei Lincei, Vol. 18, 
 1 Sem. 1909. 
 
 I fenomeni di doppia rifrazione accidentale prodotti dalle tensioni create in 
 un corpo elastico dalle distorsioni di Volterra. Rend. Ace. dei Lincei, Vol. 18, 
 1 Sem. 1909. 
 
 17 Nachrichten von der K. Ges. der Wiss. zu Gottingen aus dem Jahre 
 1891. 
 
 18 Sulla integrazione delta equazione differenziale, A 2n = 0. Ann. di Mat. 
 S. Ill, T. II. 
 
 19 Sur Vequation AAw = 0. Bull, de la Societe Math, de France. 
 
 20 Sulla deformazione delta sfera elastica. Mem. Ace. di Torino, S. II, 
 T. 47. 1897. 
 
 21 Sulle funzioni poliarmoniche. Atti dell' Istituto Veneto, T. 57. 
 
 22 Sopra una trasformazione in se stessa delta equazione A A = 0. Atti 
 dell' Istituto Veneto, T. IX, S. VII. 
 
 23 London Math. Soc. Proc. 1902. 
 
 24 Sulla ricerca delle funzioni poliarmoniche in un' area piana semplicemente 
 connessa, per date condizioni al contorno. Circolo Mat. di Palermo, T. XIII. 
 1899. 
 
 26 Suit' equilibrio delle membrane elastiche piane. Atti Ace. di Torino, 
 T. XXXV. 1899-1900. 
 
 26 Voir la citation de la note 8 de la Ie9on precedente. Le travail de M. 
 
56 DEUXIEME LEQON 
 
 Hadamard a e"t couronne" par 1' Academic des Sciences ainsi que ceux de MM. 
 Lauricella, Korn, et Boggio que nous citerons apres. 
 
 27 Equilibria del corpi elastici isotropi. Ann. Scuola Normale di Pisa, Vol. 
 VII. 1895. 
 
 28 Sur les equations de I'elasticite. Annales de L'Ecole normale superieure, 
 T. XXIV. 1907. 
 
 Solution generate du probleme d'equilibre dans la iheorie de Velasticite dans le 
 cas ou les efforts sontdonne's a la surface. Ann. de la Faculte des Sciences de 
 Toulouse, 1908. 
 
 29 Sur la deformation infiniment petite d'un corps elastique soumis a des forces 
 donnees. Comptes rendus de 1'Ac. des Sciences, 1901. 
 
 80 Sur une nouvelle meihode pour la resolution du probleme de Dirichlet. 
 Vetenskaps-Akad. Stockholm, 1900. 
 
 31 La litterature sur ce sujet esfc tres e"tendue. Le memoire de M. Fred- 
 holm : Solution d'un probleme fondamental de la iheorie de Velasticite est public 
 dans Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik, Vol. II. 1906. 
 
 Pour les autres je renvoie aux : Rendiconti Ace. dei Lincei JST. Cimento, 
 Comptes rendus de TAcademie des Sciences, Annales de la Faculte des 
 Sciences de Toulouse, etc. 
 
 82 Sur Vequilibre des plaques elastiques encastrees. Annales de 1'ecole nor- 
 male superieure, 1908. 
 
 88 Sur V integration de Vequation relative a Vequilibre des plaques elastiques 
 encastrees. Acta Math. T. 32. 1909. 
 
 84 Circolo Mat. di Palermo, Vol. VIII. 1894. 
 
 36 Sur une classe d 'equations fonctionnelles. Acta Math. T. 27. 1903. 
 
 86 Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. 
 Gottingen-Nachrichten, 1904, 1905, 1906. 
 
 87 Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Math. 
 Annalen, Bd. 63, 64. 1907. 
 
TROISIEME LEgON 
 
 I. La loi de Hooke n'est pas rigoureuse. L'etat d'un systeme depend 
 de toute 1'histoire antecedente. II. Distinction entre la mecanique de 
 1'heredite et la mecanique de la non heredite. III. Exemple de la tor- 
 sion d'un fil. IV. Expression analytique des quantites qui dependent de 
 toutes lesvaleurs d'une fonction. V. Heredite lineaire. Questions gene- 
 rales sur 1'heredite. VI. Les equations integrates et les systemes des 
 equations de premier degre. VII. Cycles fermes et invariabilite de 
 1'heredite. Principe du cycle ferme. VIII. Oscillations dues k la tor- 
 sion. Les equations integro-differentielles. IX. Cas general de 1'elas- 
 ticite en ayant egard k 1'heredite. X. Equations de 1'electro-magnetisme 
 en ayant egard k 1'heredite. XI. Extension de la methode de Green. 
 XII. Methodes pour la solution des equations integro-differentielles de 
 1'elasticite dans le cas des phenomenes de 1'heredite. Role de la nouvelle 
 analyse. 
 
 La loi de Hooke, qui est la base de la theorie mathematique 
 ordinaire de 1'elasticite, est une loi approximative. Nous avons 
 deja touche a cela dans la lec,on precederite. On peut tacher 
 de se rapprocher des resultats de 1'observation en la modifiant 
 de deux manieres differentes. En effet on peut penser d'abord 
 que les phenomenes de 1'elasticite s'eloignent de la loi de Hooke, 
 parce-que celle-ci etablit des relations lineaires eritre le strain 
 et le stress, tandis que ces elements sont effectivement lies entre 
 eux par des relations qui ne sont pas lineaires. 
 
 Mais un examen approfondi des phenomenes nous montre 
 que les modifications qu'on pourrait introduire en suivant cette 
 idee ne sont pas suffisantes, car la loi de Hooke s'eloigne des 
 faits naturels par d'autres raisons encore. 
 
 Envisageons les phenomenes de 1'elasticite residuelle (elas- 
 tische Nachwirkung) . Un corps elastique, lorsqu'il est assujetti 
 a des actions exterieures, ne prend pas une forme definitive 
 d'equilibre, mais il change lentement et tend d'une maniere 
 asymptotique vers une certaine forme. De meme, lorsque les 
 forces exterieures out cesse d'agir, le corps elastique ne revient 
 pas immediatement a la forme naturelle, mais la forme qu'il 
 prend change lentement avec des lois determinees. 
 
 67 
 
58 TROISIEME LEgON 
 
 Ces phenomenes prouvent que, a chaque instant, le strain 
 depend, outre que du stress actuel, des stress qui ont sollicite le 
 corps dans les temps antecedents. C'est pourquoi toute relation 
 qu'on pourrait imaginer existant a chaque instant entre strain et 
 stress actuels ne pourrait pas les representer. II faut done 
 modifier la loi de Hooke en partant du principe que 1'etat 
 actuel du systdme elastique depend de 1'histoire des efforts qui 
 Font sollicite. 
 
 n / " I It! 
 
 Avant d'approfondir la question nous allons dire un mot sur 
 la denomination qu'on peut donner aux phenomenes que nous 
 avons envisages. II faut dire d'abord qu'on en trouve des ana- 
 logues dans le magnetisme, dans 1'etude des corps dielectriques, 
 et dans d'autres cas aussi. Les denominations de hysteresis, de 
 tramage et d'autres, dont plusieurs auteurs ont fait usage, 
 peuvent donner lieu a des malentendus en les employant dans 
 le cas general. C'est pourquoi nous designerons tous ces 
 phenomenes par les mots : phenomene dherSditS. Nous nous 
 rattachons par-la a la classification de la mecanique en mScanique 
 de fter&ditS et mScanique de la nonherSdite. 
 
 M. Picard, dans un bel article qu'il a ecrits url a mecanique 
 classique et ses approximations successives, rema"rque que Ton 
 peut faire cette classification. 1 La mecanique de la non- 
 heredite est celle ou 1'avenir d'un systeme ne depend, a un 
 instant donne, que de son etat actuel, ou, d'une maniere plus 
 generale (si 1'on regarde les forces comme pouvant aussi 
 dependre des vitesses) de 1'etat actuel et de 1'etat infiniment 
 voisin qui precede. La mecanique de 1'heredite est celle ou 
 chaque action laisse un heritage dans le systeme, et 1'etat 
 actuel depend de toute 1'histoire precedente. 
 
 II est evident que le probleme fondamental de 1'astronomie 
 appartient a la premiere classe, tandis que les questions aux- 
 quelles nous venons de toucher dans 1'article precedent appar- 
 tiennent a la seconde. M. Painleve dans un chapitre 
 interessant consacre* a la mecanique 2 soutient que, sous un 
 certain point de vue, les problemes de nature hereditaire ne 
 sont que des problemes apparents, parce qu'ils ne se pre- 
 senteraient pas, si Ton avait une connaissance plus parfaite 
 de la constitution des corps. Tou jours est-il que, dans le 
 moment actuel, il est necessaire de les examiner et de les appro- 
 
TROISIEME LEQON 59 
 
 fondir. Dans certains cas les equations auxquelles ils amenent 
 ont ete connues depuis longtemps. II me suffit pour cela de 
 rappeler le beau memoire sur 1'elasticite public par Boltz- 
 mann en 1874 3 ou les equations sont posees, sous certaines 
 conditions, en partant de vues empiriques, et 1'interessant 
 travail de M. Wiechert 4 fonde sur d'autres conceptions qui a 
 paru apres. Je dirai sous peu quelles etaient les difficultes qui 
 se presentaient pour une etude generale de ces equations, et je 
 montrerai que, jusqu'aux derniers temps, il n'y avait pas une 
 analyse qui permettait de les traiter d'une maniere generale et 
 complete. 
 
 in 
 
 Pour envisager d'abord les choses d'une maniere elementaire, 
 considerons la torsion d'un fil. 
 
 Soit <w Tangle de torsion et M soit le moment de torsion. 
 
 Dans la theorie ordinaire de 1'elasticite la loi de Hooke nous 
 amene a regarder ft) comme proportionel a M. 
 
 Cela s'ecrit par 1'equation 
 
 (1) = KM, 
 
 ou ./Test un coefficient constant. De cette maniere on etablit 
 une relation approchee ayant lieu a chaque instant entre la 
 torsion et Faction exterieure. Si Ton ecrivait en general 
 
 ou F est le symbole d'une fonction, on pourrait determiner la 
 f onction F de sorte que la representation analytique du pheno- 
 mene fufc plus approchee. C'est ainsi qu'en developpant, par 
 exemple, la fonction F dans une serie de puissances on trou- 
 verait 
 
 ft> = KM+ K^ 2 + KJ&* + .- 
 
 et 1'on pourrait essayer d'avoir une approximation plus grande 
 que par la formule (1) en prenant un certain nombre de termes 
 et en determinant par des methodes connues les coefficients K, 
 KV K^ ". Mais de cette maniere on negligerait le phenomene 
 de 1'heredite, car, en etablissant une relation entre la torsion 
 actuelle et 1'action exterieure actuelle, les actions antecedentes 
 n'entreraient pas en jeu. 
 
 Si Ton veut done que depende de 1'histoire du moment de 
 torsion M il faudra corriger 1'equation (1) en ecrivant 
 
 w = KM -f , 
 
60 TROISIEME LEgON 
 
 ou (j> est une quantite qui depend de toutes les valeurs prises 
 par M depuis le temps oo jusqu'a Finstant actuel. On peut 
 simplifier si Ton neglige les actions qui ont ete exercees avant un 
 certain instant , car alors <f> sera une quantite qui dependra 
 de toutes les valeurs prises par M depuis 1'instant t Q jusqu'a 
 1'instant actuel. En representant le temps par 1'abscisse et le 
 moment de torsion par I'ordonnee d'une courbe on aura une 
 image geometrique de la fonction M(f), et, par suite, on pourra 
 dire que <f> depend de la forme de la courbe qu'on a obtenu. 
 On arrive par la a une conception tout-a-fait analogue a celle 
 que nous avons examinee dans la premiere legon. Souvenons- 
 nous en effet que lorsqu'on a voulu etendre le principe de 
 1'action variee on a ete oblige de considerer une integrale 
 double comme une quantite qui depend de la ligne qui forme 
 le contour du domaine d'integration, et, en general, de fcoutes les 
 valeurs que certaines fonctions prennent le long de cette ligne. 
 
 Nous pouvons mettre en rapport maintenant ce que nous 
 venons de dire avec ce que nous avons expose dans la pre- 
 miere legon. 
 
 Dans le V, nous avons envisage un ensemble infini et 
 continu de variables. Nous avons montre que ces considera- 
 tions ont origine de la conception des quantites qui dependent 
 de toutes les valeurs d'une fonction ou de plusieurs fonctions, 
 et nous avons parle de leur liaison avec les equations integrales. 
 On comprend done que c'est en se rattachant a cette theorie 
 qu'on pourra atteindre la solution des problemes qui se pre- 
 sentent dans la mecanique de 1'heredite. 
 
 Mais on peut aj outer des ce moment, que les equations 
 integrales ne suffisent pas pour embrasser le cas general des 
 problemes de 1'heredite. 
 
 II faut passer a des questions tout-a-fait nouvelles beaucoup 
 plus compliquees, que j'appelle les problemes des Equations intS- 
 gro-differentielles. 
 
 Ces problemes sont d'une nature differente de ceux qui se 
 presentent dans 1'extension de 1'equation de Jacobi que nous 
 avons traitee dans la premiere lee. on ( IV, V). Alors 
 nous avons rencontre" des relations entre les coefficients differ- 
 entielles des fonctions des lignes (les equations (4) de la pre- 
 miere legon), tandis que les equations integro-differentielles que 
 nous trouverons dans les articles suivants sont des relations qui, 
 en meme temps, ont le type des equations differentielles et celui 
 
TROISIEME LEgON 61 
 
 des equations integrales. En outre 1'union des deux types est 
 telle que les methodes connues qu'on emploie pour les equations 
 differ entielles et pour les equations integrales ne donnent pas 
 la solution, dans les cas generaux, si on les applique separement. 
 Le probleme des equations integro-differentielles se distingue 
 d'une maniere essentielle de ceux des equations differentielles 
 et des equations integrales. Pour le resoudre il faut accoupler 
 les deux me*thodes par une nouvelle analyse. 
 
 Revenons maintenant a la quantite <j> qui depend de toutes 
 les valeurs de la fonction M(t) depuis la valeur t Q jusqu'a la 
 valeur actuelle t. La premiere question qui se pose est evidem- 
 ment celle-ci : Peut-on exprimer analy tiquement cette relation ? 
 Pour re"pondre il faut examiner la question generale de la 
 representation analytique d'une quantite qui depend de toutes 
 les valeurs d'une fonction (lere lee. on, V). On se heurte 
 ainsi a des difficultes analogues a celles qu'on recontre dans 
 1'analyse ordinaire lorsque, apres avoir defmi une fonction de la 
 maniere de Dirichlet, on veut passer a son expression analytique, 
 par exemple a la serie de Taylor. II n'est pas necessaire que 
 je rappelle qu'il faut poser des conditions relatives a la deriva- 
 bilite, a la convergence et au reste de la serie, pour que le de- 
 veloppement soit possible. 
 
 De meme dans le cas d'une quantite qui depend de toutes 
 les valeurs d'une fonction, en posant certaines conditions d'un 
 type analogue, on peut arriver a un developpement qui est 
 tout-a-fait semblable a celui de Taylor. 
 
 En 1'appliquant a < qui depend de M(f) on trouve 
 
 (2) < = 
 
 Avant de continuer nous allons fixer notre attention sur la 
 portee de 1'extension du theoreme de Taylor dont nous venons 
 de parler. En effet il est le premier exemple de 1'application du 
 passage a 1'ensemble infini et continu des variables d'une fonc- 
 tion et par suite il a ete le point de depart des idees successives. 
 Je vais montrer que ce developpement n'est autre chose que le 
 cas limite de la serie de Taylor a plusieurs variables si Ton sup- 
 pose que le nombre de celles-ci croit indefiniment. On le verra 
 aisement en suivant la voie par laquelle j'y suis arrive en 1887. 5 
 
62 TROISIEME LEgON 
 
 Divisons 1'intervalle ( ,) en n parties h v A 2 , A n , et soient 
 M v My " M n , respect! vement les valeurs de la fonction M(f) 
 pour les valeurs de t comprises entre les intervalles 
 
 Envisageons d'abord une fonction de h 1 M v hjtfy h 3 M 3 - - h n M n 
 qui s'annulle lorsque ces quantites sont nulles. Si nous de*- 
 veloppons cette fonction en serie de Taylor (les conditions 
 pour la possibilite de ce developpement etant satisfaites) nous 
 trouverons 1'expression 
 
 Passons maintenant a la limite, enfaisant croitre indefiniment le 
 nombre des intervalles h v A 2 h n , et en f aisant diminuer indefini- 
 ment la grandeur de chacune. Le premier terme qui est constitue 
 par une somme simple, donnera lieu a la limite a une integrale 
 simple, le second terme qui est constitue par une somme double 
 deviendra a la limite une integrale double, et les sommes succes- 
 sives deviendront des integrales multiples d'un ordre toujours 
 croissant. On arrive de cette maniere au developpement prece- 
 dent (2). Ce que nous venons d'exposer n'est que le schema du 
 raisonnement. C'est par des artifices qui sont assez compliques 
 qu'il devient complet et rigoureux. 
 
 Le developpement d'une quantite qui depend de toutes les 
 valeurs d'une fonction, que nous venons de trouver, conduit 
 facilement a une classification analogue a celle des fonctions 
 des differents degres. 
 
 II sufifit pour cela de separer les termes de la serie (2) et Ton 
 aura evidemment des expressions de premier, de deuxieme, de 
 troisieme degre. Un grand nombre de questions s'y rattachent, 
 et les plus interessantes sont celles ou les fonctions dont depend- 
 ent ces expressions sont inconnues. C'est par ces considerations 
 que j'ai ete amene depuis 1896 6 a 1'etude de la solution des 
 equations integrales en posant comme fondement une concep- 
 tion analogue a celle qui m'avait conduit au developpement (2), 
 c'est-a-dire a la conception fondamentale du calcul integral. 
 En effet, comme j'ai montre dans ma premiere Note de 1896 7 et 
 comme nous avons annonce dans la premiere legon (voir le 
 V), leur solution decoule de 1'extension du precede pour la 
 resolution des equations algebriques, lorsqu'on suppose que le 
 
TROISIEME LEQON 63 
 
 nombre des variables croit indefiniment de la meme maniere 
 avec laquelle croit le nombre des termes d'une somme pour 
 donner lieu a une integrale. 
 
 Nous allons le voir dans le prochain. 
 
 Si nous appliquons le developpement (2) liquation fonda- 
 mentale de la torsion deviendra : 
 
 ft> = 
 
 II est evident que nous considererons 1'histoire complete du 
 moment de torsion en prenant pour limite inferieure des 
 integrales 1 = oo . 
 
 Admettons maintenant que, dans une premiere approximation, 
 on puisse negliger tous les termes du developpement (2) de <, 
 le premier excepte, alors 1'equation precedente deviendra 
 
 (3) o)(0 
 
 Ce sera done une relation lineaire qui rattachera toujours les 
 deux quantites &> et M> mais cette relation aura perdu le type 
 algebrique (1), en devenant, a cause de 1'heredite, une relation 
 de type integrale. La relation etant lineaire on peut 1'interpre- 
 ter, au point de vue physique, par la propriete qua les effets de la 
 superposition des moments de torsion se somment. En effet, si 
 Ton suppose que cette propriete soit verifiee, 1'equation prece- 
 dente en decoule comme consequence. C'est a cause de cela que 
 nous appellerons TiSredite lineaire celle que nous considerons. 
 
 Je vais maintenant enoncer les problemes qui se posent, 
 des que la question particuliere que nous avons etudiee, a ete 
 mise sous la forme precedente. 
 
 (1) Quelle est 1'interpretation du coefficient </>(, r) ? 
 
 (2) La fonction <(, r) etant connue, comment peut-on de- 
 terminer M(f) lorsqu'on donne ft>(0 ? 
 
 (3) Comment peut-on determiner la fonction <(, T) si Ton 
 suppose qu'elle soit inconnue ? 
 
 (4) Est-il possible d'etendre les conceptions precedentes rela- 
 tives a la torsion, au cas general de Telasticite ? 
 
64 TROISIEME LEQON 
 
 (5) Est-il possible de les etendre aux phenomenes magne- 
 tiques et dielectriques ? 
 
 (6) Quels phenomenes rentreront dans le cadre des solutions 
 qu'on trouvera ? 
 
 Nous allons discuter tres rapidement ces differents problemes. 
 
 VI 
 
 II n'y a pas de difficulte pour repondre a la premiere question. 
 En effet on voit aisement que </>(, T) mesure la torsion qui est 
 induite au temps t par un moment de torsion egal a 1'unite qui 
 s'est exerce dans 1'intervalle de temps (T, T + dr). C'est 
 a cause de cela qu'il faudra supposer que <(, T) decroisse 
 lorsque t T croit. Nous supposerons aussi que <j>(t, r) soit 
 infiniment petit pour t T infiniment grand. En outre si nous 
 prenons comme infini principal t T nous ferons 1'hypothese 
 que </>(, T) soit infiniment petit d'ordre 1 + e ou e > 0. C'est 
 ainsi que Fintegrale 
 
 sera convergente si la limite inferieure t Q sera oo . 
 
 Nous appellerons <$>(, T) le coefficient cVherSditS. 
 
 Passons maintenant a la seconde question que nous avons 
 posee dans Particle precedent. II faut resoudre Tequation (3) en 
 supposant M(f) inconnue, toutes les autres quantites etant con- 
 nues. On trouve ainsi ce qu'on appelle une equation integrale. 
 
 En montrant comment on peut arriver a la resoudre nous expo- 
 serons les principes generaux par lesquels on peut resoudre toutes 
 les equations integrales analogues. Comme nous avons dit dans 
 le precedent ces principes sont tout-a-fait analogues a ceux 
 que nous avons employes precedemment pour 1'extension du 
 developpement en serie de Taylor. Voici la voie qu'il faut 
 suivre. Supposons pour simplifier jfiT=l. Divisons 1'intervalle 
 ( ) en n parties h v h%, h n et soient t v t^ > t n , n valeurs de t 
 comprises dans ces intervalles. 
 
 Ecrivons les equations 
 
 (4) 
 
TROISlfeME LEgON 65 
 
 On aura un systeme de n equations avec les n inconnues 
 M(t^) - M(tn). II est evident que si nous passons a la limite, 
 en faisant diminuer indefiniment h v ^ 2 , h n , les equations 
 precedentes se reduisent a 1'equation integrale (3). Done 
 pour resoudre cette equation integrale resolvons d'abord le sys- 
 teme des equations algebriques (4), et apres, dans la solution, 
 passons a la limite, en faisant diminuer indefiniment h v h v 
 h n . On aura de cette maniere tres-aisement la solution de 
 1'equation integrale. 
 
 Or, dans le ca.s que nous avons sous les yeux, une circonstance 
 favorable se prdsente, c'est-a-dire, le determinant qui parait au 
 denominateur est egal a 1. C'est pourquoi la solution aura une 
 forme simple, car il ne faudra calculer que les determinants qui 
 sont aux numerateurs en appliquant les regies ordinaires, et 
 chercher apres leurs limites. On trouvera evidemment des 
 formules resolutives ayant la forme 
 
 Jf(t|) tfctfi)' 
 
 Pour calculer les coefficients A^i, / = 1, 2, - n) prenons 
 les determinants qui les expriment en fonction des quantites 
 <K^ */) et ecrivons separement les termes de 1 degre, de 2 
 degre, de 3 degre, etc. On trouve ainsi d'abord <j)(t^ tj) et 
 apres des sommes simples, doubles, triples, etc. Si nous faisons 
 maintenant decroitre indefiniment les intervalles h v h v h n 
 on a a la limite, que ces differentes sommes deviennent des inte- 
 grales simples, doubles, triples, etc. 
 
 La formule resolutive qu'on trouve de cette maniere, sera 
 
 ou 
 
 f *CT, e>df P<K f i)*i f 
 
 /. / /| 
 
66 TROISIEME LEQON 
 
 On peut done conclure que T operation de la resolution d'une 
 equation integrale, comme j'ai donne dans mes travaux sur Tin- 
 version des integrales defmies, ne presente pas en general une 
 difficulte essentielle plus grande que la resolution des equations 
 ordinaires de premier degre. Si nous envisageons Tequation 
 ay ant le type, 
 
 f ' 
 
 
 
 <6< 0, 
 
 c'est-a-dire Tequation de Fredholm 8 , ou la limite superieure est 
 constante, la resolution peut se faire par une methode analogue. 
 On la remplace d'abord par le systeme 
 
 on resout ce systeme par la methode des determinants, puis Ton 
 passe a la limite en faisant decroitre indefiniment les intervalles 
 A a , A 2 '"' ^- Dans ce cas il faut calculer le numerateur et le 
 denominateur, tandis que dans le cas precedent le denomina- 
 teur etait egal a 1'unite. 
 
 Nous avons ainsi donne les principes pour la resolution des 
 equations integrales lineaires. C'est par-la que Ton peut re- 
 soudre sans aucune difficulte la seconde question que nous nous 
 sommes pose"e. 
 
 VII 
 
 Nous aliens passer a la troisieme question. 
 
 Pour 1'approfondir nous commencerons par quelques conside- 
 rations preliminaires. 
 
 Dans tous les cas de 1'hysteresis et en general des actions 
 hereditaires la question des cycles fermes joue un role tres 
 important. Considerons le moment de torsion M et Tangle de 
 torsion o> comme Tabscisse et Tordonnee d'un point A. Sup- 
 posons que M varie d'une maniere periodique depuis le temps 
 QO . Si a) change aussi periodiquement, avec la meme periode, 
 le point A de*crira un cycle ferme. Cette condition etant 
 
TROISr&ME LEQON 67 
 
 verifiee, quel que soit la periode du moment de torsion, on 
 deinontre que <j>(t, r) doit etre une fonction de la difference 
 t r. Reciproquement on prouve que, lorsque <(, T) est une 
 fonction de la difference t T, A decrit un cycle ferme, si M 
 change d'une maniere periodique. 9 
 
 Or, <(, T) etant une fonction de t r, cela signifie que la 
 torsion induite apres un certain temps par un moment donne 
 de torsion depend de la grandeur de cette intervalle de temps 
 et ne depend pas de 1'instant ou le moment a ete applique. 
 Cette propriete pent s'appeler Vinvariabilite de I'he'rSdite', d'ou 
 Ton tire le theoreme que la propriete du cycle ferme amene 
 comme consequence celle de 1'invariabilite de 1'heredite et 
 reciproquement. C'est pourquoi on peut regarder les deux 
 proprietes comme equivalentes. J'appelle le theoreme prece- 
 dent le principe du cycle ferme. 
 
 Or, si $(, T) = <( T), 1'eq nation integrate 
 
 ft)(0 = KM(f) 
 
 - o 
 
 se transforme facilement dans Tautre 
 
 Jo 
 
 ~M(t - 
 
 et, par la methode que nous avons donnee pour la resolution 
 des equations integrales, on pourra determiner le coefficient 
 d'heredite <^>(^), lorsqu'on connait M(f) et co (). 
 
 C'est ainsi que la troisieme question est resolue. Done 1'analyse 
 ordinaire des equations integrales suffit pour les problemes que 
 nous avons traites jusqu'ici. 
 
 VIII 
 
 Nous montrerons sous peu qu'il est necessaire d'employer 
 1'analyse des equations integro-differentielles si Ton veut eten- 
 dre a des cas generaux les considerations particulieres que nous 
 avons developpees. Cependant, avant d'aborder cette exten- 
 sion, il sera utile de faire une premiere rencontre des equations 
 de ce type sans abandonner le probleme particulier de la torsion, 
 toutefois nous ne considererons plus la torsion au point de vue 
 statique, comme nous avons fait jusqu'ici. Nous examinerons 
 la question dynamique, c'est-a-dire celle des oscillations du fil. 
 II est evident que, pour passer du cas statique au cas dyna- 
 
68 TROISIEME LEQON 
 
 mique, il suffit, par le principe de d'Alembert, de remplacer le 
 moment M de torsion par la difference M P?-^, p etant une 
 
 ut 
 
 quantite constante. On trouve alors 
 (5) 
 
 On peut remplacer cette equation par 1'equation reciproque 
 que Ton a par la resolution de 1'equation integrale, 
 
 Commenc.ons par fixer notre attention sur la nature de 1'equa- 
 tion que nous venons de trouver. Elle est en meme temps une 
 equation differentielle et une equation integrale, car si nous 
 prenons co(t) pour inconnue, cette fonction parait sous une in- 
 tegrale definie et elle est aussi derivee deux fois par rapport a t. 
 Cette equation est done du type intSgro-differentiel. Mais on 
 peut demontrer que, dans cette equation integro-differentielle 
 particuliere, on elimine les derivees en appliquant deux fois 
 1'integration par rapport a t et on peut ainsi la transformer dans 
 une equation integrale ordinaire. 
 
 C'est a cause de cela qu'on peut appeler cette equation une 
 equation intSgro-diffSrentielle apparente, parce que sa nature 
 differentielle peut disparaitre et par suite sa double qualite n'est 
 pas essentielle. 
 
 Nous n'insisterons pas sur cette equation particuliere. Elle 
 nous servira cependant pour faire une remarque interessante 
 au point de vue physique. Nous avons vu dans 1'article prece- 
 dent qu'on pouvait determiner le coefficient d'heredite par la 
 resolution d'une equation integrale qui exprime la relation 
 statique. De meme, on voit facilement qu'on peut determiner 
 le coefficient d'heredite" par voie dynamique en observant les 
 oscillations du fil, et en resolvant 1'equation integrale (5) par 
 rapport a <, si Ton suppose qu'elle soit une fonction de t r. 
 
 IX 
 
 Passons maintenant au problem e general de 1'elasticite, en 
 tenant compte des phenomenes d'heredite. 
 

 TROISIEME LEgON (jy 
 
 La loi de Hooke etablit des relations lineaires entre les six 
 elements qui individualisent les tensions en chaque point (le 
 stress) et les six elements qui individualisent la deformation 
 (le strain) (lf eme legon, II). 
 
 Si nous designons par t is et y is (i, s = 1, 2, 3) ces elements, 
 nous aurons les equations, 
 
 On neglige ainsi les phenomenes d'heredite, car on suppose que 
 la deformation actuelle ne depend que des tensions actuelles, 
 mais si nous voulons tenir compte qu'une tension qnelconque 
 s'exergant dans une particule du milieu elastique fait ressentir 
 son effet sur toutes les deformations futures, il faudra corriger 
 1'equation precedente, comme nous avons fait dans le cas par- 
 ticulier de la torsion, en ajoutant un terme fa qui depend de 
 toutes les tensions qui se sont exercees sur la particule qu'on 
 envisage depuis le temps oo jusqu'a 1'instant actuel. En sup- 
 posant verifiees des conditions analogues a celles que nous avons 
 admises dans le cas de la torsion, on pourra developper fa dans 
 une serie du type analogue a celle de Taylor et qui se rapproche 
 de la serie que nous avons deja rencontree dans le IV. On 
 aura ainsi une somme infinie de termes constitues successive- 
 ment par des integrales simples, doubles, triples, etc. 
 
 Si nous faisons 1'hypo these que, dans une premiere approxi- 
 mation, on puisse negliger tous les termes de cette serie, le 
 premier excepte, c'est-a-dire celui qui renferme les integrales 
 simples, 1'equation qui remplacera la relation (6) sera 
 
 Cette Equation se simplifie si Ton suppose que les actions 
 anterieures a un instant f soient negligeables. Elle devient 
 alors 
 
 La modification ainsi introduite dans la loi de Hooke change le 
 type des relations fondamentales, car elle les transforme en rela- 
 tions integrales. Toutefois les relations se conservent lineaires, 
 et par suite nous appellerons, comme nous avons fait precedem- 
 ment, herSdite lineaire celle que nous considerons. Au point 
 
70 TROISIEME LEgON 
 
 de vue physique cette propriete caracterise le principe de la 
 superposition des effets des tensions qui se sont excerces dans 
 tous les instants precedant 1' instant actuel. Ces effets sont 
 reduits proportionnellement aux coefficients <j> is]hk (t, T) qu'on 
 peut appeler les coefficients d'hSredite 1 . Us dependront en gen- 
 eral des variables , T et, en outre, des coordonnees x, y, z de la 
 particule qu'on envisage. II est evident que ces coefficients 
 doivent diminuer lorsque I'intervalle t T croit, et devenir in- 
 urnment petits lorsque t T devient infini. Nous supposerons 
 que, t T etant 1'infini principal, <f> is \ hk (t, T) soient infiniment 
 petits d'ordre 1 + e (e > 0). Les relations fondamentales (7) 
 constituent des systemes d'equations integrales, et il n'y a pas 
 de difficultes a les resoudre par rapport a t hk (f) de la meme 
 maniere par laquelle nous avons resolu une seule equation inte- 
 grale, c'est-a-dire, en remplagant d'abord les integrales par des 
 sommes et en suite passant a la limite. II suffit pour cela sup- 
 poser que le determinant D des quantites a^^ ne soit pas nul. 
 On exprime ainsi les tensions lineairernent par les deforma- 
 tions et 1'on trouve 
 
 (8) 
 
 hk 
 
 Les coefficients A^^ sont les rapports des determinants reci- 
 proques des elements a is{hk du determinant D au meme determi- 
 nant. Les fonctions 4> M , M (, T) se calculent moyennant des 
 operations de quadrature, appliquees aux fonctions ^is\hk-> ana ~ 
 logues a celles que nous avons iridiquees dans 6, VI. 
 
 Les considerations que nous avons exposees au VI sont 
 appliquables dans ce cas, c'est-a-dire on peut etendre le prin- 
 cipe du cycle ferme. 
 
 En effet on demontre que, si a toute variation periodique des 
 quantites t^ doivent correspondre des variations periodiques des 
 quantites 7^ avec la meme periode, les coefficients 4>tnu(ti r) 
 doivent etre des fonctions de la difference t T. On tire de la 
 1'equivalence des proprietes du cycle ferme et de 1'invariabilite 
 de 1'heredite. Lorsque les coefficients <t> islhle sont des fonctions 
 de t T, on peut facilement les calculer, en connaissant les 
 fonctions y kk et t^ par la resolution d'un systeme d'equations 
 integrales. 
 
 Des que nous avons exprime les tensions t^ par les deforma- 
 tions 7j, (formules (8)) il n'y a plus de difficulte pour ecrire 
 
TROISIEME LEQON 
 
 71 
 
 les conditions d'equilibre. II suffit d'appliquer les conditions 
 indefinies de 1'equilibre elastique, c'est-a-dire : 
 
 (9) 
 
 dx dy dz 
 
 ^31 + ^32 _j_ d*a 
 dx dy dz 
 
 (ou p est la densit4 et JT, Y, Z sont les forces de masse), et les 
 conditions au contour. 
 
 
 cos nx + 12 cos ny + 13 cos nz 
 cos nx 4- 22 cos TM/ + 2 3 cos nz 
 cos nx + ^ 32 cos ny + 33 cos w^ 
 
 ou JT^, PO-, Z 9 sont les tensions au contour. 
 
 Ecrivons maintenant les quantites y hk exprimees par les com- 
 posantes des deplacements w, v, w, du corps elastique ; on aura 
 
 du _ dv _dw 
 
 dx" 1 22 dy* dz* 
 
 dv div _^ i ^ _ dw 3i> 
 
 32 3y dx dz dy dx 
 
 Si nous substituons dans les equations (9) et (9') les quantites 
 t hk par les expressions (8), et dans les formules qu'on trouve 
 nous remplagons les quantites y hk par les expressions prece- 
 deiites (9"), les relations (9), (9') deviendront des equations 
 integro-differentielles, car les quantites inconnues w, v, w parai- 
 tront dans ces equations sous des integrales et seront aussi 
 derivees par rapport aux variables #, y, z. 
 
 Nous voyons done que, si Ton envisage la question generale 
 de 1'elasticite en tenant compte de rheredite", on est conduit 
 aux equations integro-differentielles. Par des considerations 
 tres simples on trouve que ces equations, dans le cas ou le 
 corps elastique est homogene et isotrope, deviennent 
 
72 TROISlfcME LEQON 
 
 (10) 
 
 t 
 
 Jf[f (i, 
 
 f [V(<, T) A%(T) 
 
 *"<> |_ 
 
 ou L et _K" sont des quantites constantes et ^=~+ + . 
 
 to dy Bz 
 
 Elles se reduisent evidemment aux equations bien connues de 
 1'equilibre elastique ordinaire, des que Ton elimine les termes 
 integral.es qui paraissent a cause de 1'heredite. 
 
 Les equations que nous venons de trouver correspondent aux 
 problemes statiques. Elles sont de type elliptique. II n'y-a- 
 pas de difficulte a determiner celles des vibrations, car il suffit, 
 par le principe de d'Alembert, de remplacer les forces de masse 
 , pZ par les differences 
 
 5 M fv a M 
 
 - - 
 
 On trouve dans ce cas aussi des equations integro-differentielles, 
 mais le type s'est ainsi transforme en hyperbolique. 
 
 Avant de proceder dans ces recherches nous voulons aborder 
 le probleme de 1'electromagnetisme pour les corps en repos en 
 ayant egard a 1'heredite. (5eme question, V.) 
 
 Nous devons partir des equations de Hertz, dont nous avons 
 parle* dans la premiere lecjon, 10 c'est-a-dire des equations 
 
 W^dZ_dY 
 
 dt dy dz ' 
 
 = ^r-if' ( n O 
 
 = ^_^l_47r^, 
 dz dy 
 
 S-\-\\ A v-jj\, v^-*. ~ *- s-t -i I*. A "*-/ Vj\ 0_LJ 
 
 __ 
 dt dx dy 
 
 dt dy Bx 
 
TROISIEME LEQON 73 
 
 ou 3E, 2), 3 ; -X YI ^5 w > v > w son ^ I GS composantes de la polar- 
 isation, de la force et du courant electrique, tandis que 8, 
 2ft, 9^; L, M, N sont les composantes de la polarisation et de la 
 force magnetique. 
 
 Les conditions ordinaires qu'on ajoute aux equations prece- 
 dentes sont des relations algebriques lineaires et entieres entre 
 les composantes de la force electrique et celles de la polarisation 
 electrique, et entre les composantes de la force magnetique et 
 celles de la polarisation magnetique. Mais, si nous tenons 
 compte de 1'heredite, il faudra remplacer ces relations par des 
 relations integrales tout-a-f ait analogues a celles que nous venons 
 de considerer dans le cas de 1'elasticite. Si nous admettons le 
 principe de la superposition des effets dus a des causes qui se 
 superposent nous trouverons des relations integrales lineaires. 
 
 Leur type sera le suivant : 
 
 X (0 = e u X(t) + e 12 F(0 + e 18 Z(0 + x&Haft, T) 
 + F(T)< 12 0, r) 
 
 9 (0 = M-X(9 + e 22 r(<) + 
 
 + Y(r)^(t, r) 
 
 3(0 = 
 
 8 (0 = Mu 
 
 + M(rW n (t, T) 
 
 N(t) + flL(T)+ n (t, T) 
 
 , T) 
 
 En remplaant ces expressions dans les equations de Hertz 
 (11), (11')? nous trouvons aussi dans ce cas des equations in- 
 tegro-differentielles. Par la resolution des equations integrales 
 precedentes nous pourrons exprimer les forces elastiques et 
 magnetiques par les polarisations electriques et magnetiques. 
 On pourra aussi repeter ce que nous avons dit sur le principe du 
 cycle ferme dans les articles precedents. 
 
74 TROISIEME LEgON 
 
 Envisageons maintenant un cas particulier. C'est le cas 
 statique qui est le plus simple qui puisse se presenter, ou 
 
 8, m, % x, 9, 3, 
 
 changent si lentement qu'on peut negliger les quantites 
 
 m. <K &$ 53 
 
 dt' dt* dt' dt* dt' ae' 
 
 et le milieu n'est pas conducteur. Dans ce cas les potentiels 
 electriques et magnetiques existent. 
 
 Soit Vie potentiel electrique, et supposons que les quantites 
 e rs et <f> rs soient nulles si r ^ s. 
 
 On aura alors ['equation 
 
 qui peut etre transformee aisement dans 1'autre 
 
 Cette equation, si Ton neglige Theredite, se reduit a Tequation 
 de Laplace : 
 
 A 2 F=0. 
 
 Nous prendrons 1'equation (12) pour type des equations 
 integro-differentielles elliptiques, comme 1'equation de Laplace 
 est le type des equations differentielles elliptiques. Les me- 
 thodes qu'on emploie pour 1'equation (12) peuvent etre aise- 
 ment etendus aux cas plus compliques. Nous aborderons les 
 conceptions fondamentales de ces methodes dans 1'article 
 suivant. 
 
 XI 
 
 Nous pouvons commencer par supposer que le second mem- 
 bre ne soit pas nul, mais qu'il soit une fonction donnee 
 F(x, y, z, ). Nous designerons alors 1'equation par (12 1 ). 
 
TROISIEME LEgON 75 
 
 Si/= <f) = i|r, 1'equation pourra s'ecrire 
 
 f /(, r) A 2 F(T)<*T = ^. 
 
 
 Alors, en resolvant 1'equation integrale par rapport a A 2 FJ nous 
 
 trouverons 
 
 (13) A 2 F=<K*,y, 2, 
 
 ou ^> est une fonction connue. 
 
 C'est pourquoi le probleme est decomposable en deux prob- 
 lemes distincts, 1 resolution d'une equation integrale, 2 integra- 
 tion de 1'equation differentielle (13), c'est-a-dire de 1'equation 
 de Poisson. L'analyse relative aux equations integrales et 
 celle des equations differentielles suffisent done, pour traiter 
 1'equation integro-differentielle quand < /=^> = A|r. Par suite elle 
 ne constitue pas, dans ce cas particulier, un probleme nouveau. 
 Mais, supposons que les fonctions /, <, ^ ne soient pas egales 
 entre elles, alors les deux analyses des equations integrales et 
 des equations differentielles ne suffisent plus pour resoudre le 
 probleme et il en faut une nouvelle pour atteindre le but. 
 
 Pour approfondir ce que nous venons de remarquer, on peut 
 transformer le probleme d'une autre maniere. Posons 
 
 y, z, -lv & y, z, 
 
 V(x, y, z, t)+ I V(x, y, z, r)$(t, r)dr= V^x, y, z, t), 
 
 */t a 
 
 V(x, y, z, *)+ V(x, y, z, T )^r(e, r)dr = V z (x, y, z, *), 
 
 et resolvons ces equations integrales par rapport a F. Nous 
 aurons, par le procede que nous avons expose, 
 
 V(x, y, z, 0= Fi(z, y, z, 
 
 = Vfa y, z, O+'J V ^ y^ ^ T )*i(^ 
 
 ou les fonctions/!, < r ^ peuvent se calculer par des operations 
 de quadrature. En meme temps nous aurons 
 
 (14) 
 
76 TROISIEME LEgON 
 
 C'est pourquoi notre equation integro-differentielle peut se 
 transformer dans les deux equations integrales: 
 
 (15) Fi(z, y, *, + 
 
 y, 2, e+ (<B, y, 
 
 et dans 1'equation (14). Ces equations sont simultanees et en 
 general ne sont pas separables entre elles. 
 
 Mais si /= <f> = ^ alors V v V^ Fg deviennent egales et par 
 suite 1'equation (14) se reduit a 1'equation de Poisson, tandis 
 que les equations integrales (15) deviennent des identites. 
 
 Supposons done que les f onctions /, </>, ^ ne soient pas egales 
 entre elles et supposons .F= 0. Nous allons donner les re- 
 sultats generaux qu'on peut trouver dans ce cas, et que Ton 
 peut comparer avec les proprietes de 1'equation de Laplace. 11 
 D'abord on peut demontrer qu'a 1'interieur d'un espace S il 
 n'y a qu'une seule fonction F"qui prend des valeurs determines 
 au contour <r du champ & pour les valeurs de t comprises entre 
 
 C'est pourquoi on peut se poser le probleme de calculer la 
 fonction F, ses valeurs au contour etant donnees pour les valeurs 
 de t comprises entre et T. II est evident 1'analogie existant 
 entre ce probleme et le problSme ordinaire de 1'equation de 
 Laplace. 
 
 II est bien connu le role joue par le theoreme de Green. 
 II etablit une liaison de reciprocite entre deux solutions quel- 
 conques regulieres de 1'equation de Laplace. On peut se 
 demander s'il y a un theoreme analogue pour 1'equation integro- 
 differentielle. La reponse est affirmative, mais dans ce cas il 
 faut etablir un lieu de reciprocite entre une solution de 1'equa- 
 tion (12) et une solution de 1'equation adjointe 
 
 (16) 
 
 II faut rappeler a ce propos que dans la theorie de Riemann on 
 generalise aussi le theoreme de Green par 1'introduction des 
 
, TROISIEME LEgON T7 
 
 equations adjointes, mais le type de 1'equation adjointe est dans 
 le eas que nous envisageons completement different. 
 
 Voici la relation de reciprocite, entre une solution reguliere 
 V de 1'equation (12) et une solution reguliere U de 1'equation 
 (16), qui correspond au theoreme de Green dans notre cas, 
 
 (A) H,(5_V, Z7], 0)=0, 
 
 ou 
 
 n etant la normale au contour. 
 
 Pour appliquer cette formule il faut obtenir une solution 
 fond amen tale de 1'equation adjointe, c'est-a-dire une fonction 
 qui la satisfait et devient infinie dans un pole interne au champ 
 jS. Je vais indiquer comment elle peut etre deduite des solu- 
 tions fondamentales connues. Cela nous servira pour montrer 
 de quelle maniere la solution des equations integro-differen- 
 tielles se rattache a la conception fondamentale par laquelle 
 les differentes questions relatives aux equations integrales ont 
 ete resolues, c'est-a-dire a 1'idee de les considerer comme le cas 
 limite des systemes d'equations lineaires. 
 
 Posons en effet le systeme d'equations differentielles simul- 
 tanees 
 
 = 0, 
 
 II est evident que 1'equation integro-differentielle (12) n'est 
 que le cas limite de ce systeme, en supposant que le nombre des 
 inconnues et des equations croissent indefiniment. 
 
 d\ JL , d\ d\ d\ 
 a *-W + 31 ^ + c * l ~W +a ^ 
 
 = 0. 
 
78 TROISlfeME LEgON 
 
 Le systeme adjoint au precedent systeme sera 
 
 (18) + C31 _| + ...=0, 
 
 -- 0. 
 
 Or, il n'est pas difficile de calculer la solution fondamentale de 
 ce systeme ou du systeme (18) en partant de la solution fonda- 
 
 mentale - de 1'equation de Laplace, r etant la distance entre le 
 
 point a?, ?/, z et le pole. C'est ainsi que pour le systeme (17) 
 nous aurons la solution fondamentale 
 
 &t d *- d 2 - 
 
 1 2 . 2 2 
 
 En passant a la limite Ton trouve la solution fondamentale de 
 1'equation (12). On peut faire un calcul analogue pour les equa- 
 tions adjointes (18). C'est par un passage a la limite, tout-a- 
 fait semblable, que Ton a pu trouver 1'equation reciproque (^i). 
 D'autre part on peut 1'obtenir aussi directement. Pour simpli- 
 fier nous n'ecrirons pas explicitement la solution fondamentale 
 de 1'equation adjointe (16), mais supposons de la designer par 
 W. Alors, si nous remplagons Z7par W dans la formule (J.), 
 et si nous retranchons le pole moyennant une sphere, dont on 
 fait diminuer indefiniment le rayon, on arrive a exprimer la 
 valeur de F"dans le pole interne au champ $par les valeurs de 
 VQ\> de ses derivees au contour. Les calculs pour trouver la 
 formule definitive sont tres-compliques, mais, par des circon- 
 stances heureuses qui font evanouir certains termes, la solution 
 se simplifie. Voici la formule definitive 
 
 Oi') r (0) = 1. A H, ([ r, w], ey 
 
 ou F^(^) represente la valeur de V (#, y, 2, f) lorsque a;, y, z 
 sont les coordonnees du p61e et t = 0. Elle est la formule fon- 
 damentale de la theorie et s'etend facilement au cas de 1'equa- 
 tion que nous avons designee par (12 1 ) au commencement du 
 XI. 
 
TROISIEME LEgON 
 
 79 
 
 XII 
 
 Nous avons parle dans la legon precedente de la methode de 
 Betti pour integrer les equations differentielles de 1'equilibre 
 elastique ( IV) et de celle de Kirchhoff ( V). Nous allons 
 montrer que dans le cas de 1'heredite il est possible de donner 
 des resolutions aussi generales. II faut pour cela employer des 
 methodes qui sont une generalisation de celle que nous venons 
 d'exposer par rapport a 1'equation (12) et qui decoulent, par 
 suite, de 1'union des conceptions fondamentales relatives aux 
 equations differentielles et aux Equations integrates. 
 
 Revenons aux relations (8) (9) (9') (9") qui expriment les 
 equations de 1'equilibre elastique dans le cas de 1'heredite. Si 
 nous voulons etablir un theoreme fondamental de re"ciprocite il 
 faut accoupler une solution de ces equations avec une solution 
 d'un systeme adjoint. 
 
 Pour obtenir le systeme adjoint il suffit de remplacer 1'equa- 
 tion (8) par 
 
 en conservant les autres, c'est-a-dire en ecrivant 
 
 t n f cos nx + t l2 ' cos ny + t 13 ' cos nz == .X,/, 
 t 2l f cos no; -f < 22 ' cos ny + t^ cos nz = F^', 
 Z 31 ' cos nx + f 32 ' cos n^ + t^ cos nz = Z^ 
 
 , dv' 
 
 722 = ^T- 
 
 n, '-^' 
 711 = -^' 
 
 , _ 3w' , 3v' , _du r dw f , __ dv[ dd_ 
 
 723 ~~ "^7 77'- 7si ~" 77 ^ ' 7l2 = ~ ^- *- ' 
 
 O V O2 OS OJU 
 
 Le theoreme de reciprocite sera le suivant : 
 
 + Yv' 
 
 dw^ 
 dz 
 
 It/ 
 62; 
 
 TV + Z'w)d8 
 
80 TROISIEME LEQON 
 
 ou S est 1'espace occupe par le corps elastique et <r son contour. 
 Pour appliquer ce theoreme il faut calculer des solutions fonda- 
 mentales. On les obtient facilement dans le cas de 1'isotropie 
 ou les equations prennent la forme (10), 
 
 En effet par des operations de derivation elles amenent a la 
 relation, 
 
 d'ou Ton peut tirer, par la resolution d'une equation integrale, 
 la valeur de A 2 0. Si les forces de masse sont nulles,- 6 est 
 harmonique. 
 
 De meme on peut obtenir, par la resolution d'equations 
 
 . ,, , , -, -, tvfdw dv\ ivfdu dw\ Lfdv du\ 
 
 integrates, les valeurs de A 2 ---- ), A 2 --- , A 2 -- ) 
 
 \dy dzj \dz dx) \dx dyj 
 
 dw dv du dw dv du , , 
 
 et Ion voit amsi que ---- , --- , --- sont har- 
 
 dy dz dz dx dx dy 
 
 moniques, si les forces de masses sont nulles. 
 
 C'est par-la que des solutions fondamentales des Equations 
 adjointes peuvent etre obtenues. En employant la formule de 
 reciprocite (J?) on peut exprimer soit la dilatation et la rota- 
 tion, soit les composantes des deplacements en fonctions des 
 deplacements et des tensions au contour. Dans le cas de la 
 sphere des methodes particulieres peuvent donner directement 
 la solution. 
 
 Avant de finir nous ne dirons qu'un mot sur le cas typique 
 des Equations integro-differentielles hyperboliques analogues a 
 1'equation differentielle de Kirchhoff. 
 
 Envisageons 1'equation 
 
 , y, ,, + 
 
 Si les fonctions /, <, ty sont egales, on peut proceder d'une 
 maniere analogue a celle que nous avons indiquee quand nous 
 nous sommes occupes du probleme dynamique de la torsion, 
 mais lorsque/, </>, ^ ne sont pas egales entre elles, alors il faut 
 commencer par obtenir directement un theoreme de reciprocite. 
 II faut apres calculer une solution fondamentale, et on y arrive 
 
TROISIEME LEgON 81 
 
 par un precede special que nous ne developperons pas ici. 
 Enfin en introduisant la fonction f ondamentale dans la formule 
 de reciprocite on peut etendre la formule (-<4/) du cas elliptique 
 a celui hyperbolique. 
 
 Voila les principaux resultats que nous nous sommes proposes 
 d'exposer par rapport a 1'heredite. 
 
 Us prouvent que, par la theorie des equations integro-diffe- 
 rentielles et des equations integrales, on peut developper d'une 
 maniere generale 1'etude analytique des phenomenes d'heredite 
 sans faire aucuiie hypothdse particuliere sur les fonctions qui 
 la caracterisent, c'est-a-dire les coefficients d'heredite. II est bien 
 connu que dans les questions de physique mathematique et de 
 mecanique il est utile de laisser, autant qu'il est possible, inde- 
 terminees les constantes et de ne les fixer numeriquement qu'au 
 dernier moment, lorsqu'on applique les formules a des questions 
 concretes. C'est a cause de cela que 1'importance de 1'applica- 
 tion de 1'algebre aux questions naturelles a toujours grandi. 
 De meme on voit 1'utilite de laisser indeterminees les susdites 
 fonctions en resolvant les questions d'he're'dite' avec la plus 
 grande generalite possible. On pourra fixer les coefficients 
 d'heredite dans les cas particuliers qui se presenteront ou meme 
 les determiner par la comparaison des formules generales avec 
 les resultats de 1'observation. C'est par-la que ressort le carac- 
 tere essentiel et 1'utilite des methodes qui se rattachent a la 
 conception des fonctions qui dependent de toutes les valeurs 
 d'autres fonctions, d'ou decoulent les methodes employees pour 
 les equations integrales et integro-differentielles. 
 
 Faute de ces methodes, des developpements analytiques pour 
 1'heredite ne seraient pas possibles et il faudrait s'arreter aux 
 premiers pas. 
 
 L'heredite que nous avons consideree est 1'heredite lineaire. 
 Le trainage et les actions consecutives (Nachwirkung) s'ap- 
 prochent de cette sorte d'heredite. II est evident que 1'hysteresis 
 dite electrotecnique n'y rentre pas. II suffit, par exemple, d'en- 
 visager le phenomene de la magnetisation permanente pour s'en 
 convaincre, mais rien n'empeche d'etendre le domaine de la 
 theorie en sortant du cas lineaire. 12 C'est ainsi que nous avons 
 repondu a la sixieme question posee dans le V. 
 
 1 Rivista di Scienza, Vol. 1. Bologna, 1907. 
 
 2 De la methode dans les Sciences. Paris, Alcan, 1909. 
 
82 TROISIEME LEQON 
 
 8 Zur Theorie der elaslichen NacJiwirkung. Wien, Ber. 70. Wiss. Abh. 
 I. Bd. 
 
 4 Gesetze der elastiche Nachwirkung. Wied. Ann. Bd. 50. 
 
 5 Sopra lefunzioni die dipendono da altre funzioni. Nota I. Rend. Ace. del 
 Lincei, Vol. Ill, 3. (Voir note 7 de la premiere Ie9on.) 
 
 6 Sulla inversione degli integrali definiti. Nota I, II, III, IV. Atti 
 dell 'Accademia di Torino. Vol. XXXI. 1896. Rend. Ace. dei Lincei. 
 1 Sem. 1896. Sulla inversione degli integrali multipli. Ibid. Sopra 
 alcune questioni di inversione di integrali definiti. Ann. di Mat. 1897. 
 
 7 Voir en particulier le 3 de la Nota I : Sulla inversione degli integrali 
 definiti. Atti dell' Accademie di Torino, 1896. 
 
 8 Voir la citation de la note 35 de la deuxieme lecon. 
 
 9 Sulle equazioni della elettrodinamica. Rend. Ace. dei Lincei. 1 Sem. 
 1909. 
 
 10 Voir la citation de la note pre'ce'dente. 
 
 11 Sulle equazioni integro-differenziali. Rend. Ace. dei Lincei. 1 Sem. 
 1909. 
 
 12 Sur les fonctions qui dependent d'autres fonctions. Comptes rendus, 
 1906. ler Sem. page 691. 
 
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