THE LIBRARY
OF
THE UNIVERSITY
OF CALIFORNIA
PRESENTED BY
PROF. CHARLES A. KOFOID AND
MRS. PRUDENCE W. KOFOID
m
AUSGLEICHUNG
DER
BEOBACHTUNGSFEHLER
NACH DER METHODE
DER
KLEINSTEN QUADRATSUMMEN
Mit
zahlreichen Anwendungen, namentlich auf
geodatische Messungen.
Von
DR. J. DIENGER,
Professor der Mathetnatik an der polytechnischen Scliule
zu Karlsruhe.
MIT IN DEN TEXT EINGEDRU CK T EN HOLZS CHNITTEN.
BRAUNSCHWEIG,
DRUCK UND VERLAG VON FRIEDRICH VIEWEG UND SOHN.
1857.
V o r w o r t.
JJie vorliegende kleine Schrift enthalt eine vollstandige Theorie
der sogenannten Methode der kleinsten Quadrate, wenn dieselbe
atif das Wesentliche reducirt, namentlich der gewohnlich damit
zusammengestellten praktischen Rechnungsmethoden entkleidet
wird. Dass dadurch der Zusammenhang der ganzen Theorie nur
um so klarer vor das A age tritt, ist wohl nicht zu bezweifeln,
und es war dies auch ein Hauptgrund, warum ich gerade so ver-
fahren bin. Den Begriff des mittleren Fehlers habe ich nir-
gends aufgenommen, da der des wahrscheinlichen Fehlers geniigt,
und mir viel natiirlicher erscheint.
Einzelne Beispiele als Erlauterung der Theorie habe ich
schon in die eigentliche Theorie mit einverflochten; ausfuhrlichere
und manriigfaltigere sind dann am Schlusse beigegeben. Ich hatte
in dieser Beziehung vielleicht mehr thun sollen; doch mochte es
fiir den Augenblick an dem Gegebenen geniigen. Weiteres konnte
ja sp'ater nachgeholt werden.
Bei jedem Beispiele ist angegeben worden, woher es entlehnt
wurde, da ich nur wirkliche Beobachtungen aufnehmen wollte.
VI Vorwort.
Dass ich spater vorzugsweise die Ausgleichung der Winkel in
einem geodatischen Dreiecksnetze behandelte, hat iiuch darin sei-
nen Grund, dass diese Aufgabe vollstandig als Beispiel sich durch-
f'iihren liess und eine grosse Anzahl Erorterungen dabei noth-
wendig wurde, welche die ganze Tlieorie aufhellen konnen.
Die aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung benutzten Satze
finden sich in der Einleitung auseinandergesetzt.
I n h alt.
Seite
Einleitung. Satze aus der Wahrscheinlichkeits-
r e c h n u n g.
Erklarung der Wahrscheinlichkeit. Gesetz der grossen Zahlen 1
Mathcmatischer Ausdruck der Wahrscheinlichkeit ...... 3
Wahrscheinlichkeit des ausschliesslichen , oder des gleichzeitigen Eintreffens
von Ereignissen , . . 5
Wahrscheinlichkeit der Ursache . '. . . . . . . . G
Theorie der Ausgleichung der Beobachtungsfehler
nach der Methode der kleinsten Quadratsummen.
. 1. Beobachtungsfehler und dessen Wahrscheinlichkeit. Maass der Genauigkeit 9
. 2. Wahrscheinlichkeit, dass ein begangener Fehler zwischen gegebenen Gran-
zen liege. Tafel des Integrals j cT~ z dz Wahrscheinlicher Fehler . . 15
6
. 3. Berechnung der Unbekannten aus Beobachtungsgleichungen. Gewicht . 19
. 4. Nicht lineare Beobachtungsgleichungen. Bedingungsgleichungen. Arith-
metisches Mittel 23
. 5. Beispiele zur Theorie.
1) Benzenberg's Versuche iiber fallende Korper 27
2) Bestimmung der Schneegranze als Function der Breite .... 28
3) Karmarsch's Bestimmung des specifischen Gewichts von legir-
tem Silber . ,-x .,'-.... 29
4) Ausgleichung von Winkeln um einen Punkt herum 31
. G. Wahrscheinlichste Werthe und wahrscheinlicher Fehler der Functionen
von Beobachtungsgrossen 33
. 7. Wahrscheinlicher Fehler der nach . 3 berechneten Unbekannten ... 40
Wahrscheinlicher Fehler einer linearen Function dieser Grossen ... 44
. 8. Anwendung auf die Beispiele des . 5. Zufiigung einiger allgemeinen
Betrachtungen bei Messungen und Ermittelungen von Langendifferenzen 4G
VIII Inhalt.
Seite
. 9. Wahrscheinlicher Fehler der nach . 4 bestimmten Unbekaimten . . 51
. 10. Ermittelung des wahrscheinlichen Fehlers der Gewichtseinheit ... 59
. 11. Beispiele dazu. Priifung der Instrumente . . . f - . . .... 09
. 12. Wahrscheinliche Granzen, innerhalb derer die so ermittelte Grosse
schwanken kann 75
. 13. Priifung angenommener Hypothesen ' 80
Bessel's Theorie des Repetitionsverfahreus (. 14) 82
Beispiele zur allgemeinen Theorie (. 15).
1) Empirische Formel zur Darstellung periodischer Erscheinungen 95
Anwendung auf die Temperatur 99
2) Bestimmung der geographischen Breite und der Biegung des
Fernrohrs aus Zenithdistanzeii 102
3) Berechmmg der Declination, der geographischen Breite und der
Biegung aus Zenithdistanzen 105
4) Ausgleichung von Seiten und Winkeln in einem Vielecke . . r . Ill
5) Bestimmung des Absorptions - Coe'fficienten von Gasen in Wasser 11G
G) Naherungsweise Berechnung von V x* -\-y* 118
7) Eine Gerade zu zichen, die einer gegebenen krummen Liniemog-
lichst nahe kommt . . . . . . '. . . . ^'^.''i' -I . 121
Berechnung der Wiukel aus den an einer Station gemachten
Beobachtungen (. 1C).
1) Fall blosser Repetitionsbeobachtungen . . . -'. ' ' m ! : ; . ... 124
2) Fall blosser Richtungsbeobachtungen . . . ^ . . t . . -. . . 12G
3) Gemischter Fall . . . V / ? . V / V V % ? V . V '. . 131
4) Vereinigung von Repetitionsbeobachtungen mit verschiedenen In-
strumenten . . . .., ..--.;. ; . >. ... &*, . .... , . . . 133
Gesammtausgleichung der Winkel in einem geodatischen Drei-
ecksnetze (. 17).
1) Ansatz der Bedingungsgleichuugen 135
Verschiedene Arten derselben. Fall mehrerer Grundlinien; ebenso
ganz genauer Winkel . 141
Aufsuchung sammtlicher Bedingungsgleichungen Bessel'sNetz 145
2) Ausgleichung der Winkel im ganzen Netze (. 18) . . . . . 149
a) Bei blossen Richtungsbeobachtungen
b) Bei blossen Repetitionsbeobachtungen 155
3) Einschiebung von Objecten in ein ausgeglichenes Netz .... 157
A n h a n g. Ueber die Bestimmung der Unbekannten aus denjenigen Glei-
chungen, die ,nach der Methode der kleinsten Quadratsummen
gebildet sind . 165
Einleitung.
Satze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung, von denen wir
im Folgenden Gebrauch machen wollen.
I.
Hangt das Eintreten eines Ereignisses von uns ganzlich
unbekannten, oder doch in ihrer Wirkung keineswegs zu berech-
nenden Ursachen ab, so sagen wir, es hange von zufalligen
Ursachen ab, d. h. wir erklaren, wir seien nicht im Stande, zum
Voraus zu bestimmen, ob gerade dieses oder auch ein anderes
Ereigniss unter denselben Verhaltnissen zum Vorschein kommen
werde.
Befinden sich etwa in einerllrne 20 weisse und 10 schwarze
Kugeln, die fur das Gefuhl gar nicht zu unterscheiden sind, und
man greift blindlings in die Urne hinein, um eine Kugel heraus-
zuholen, so ist es im Voraus nicht moglich zu bestimmen, ob ge-
rade eine weisse oder eine schwarze Kugel werde erhalten werden.
Es ist also das Eine, wie das Andere zufallig; freilich muss in
diesem Falle eines der beiden eintreten.
Bleiben wir noch weiter bei diesem Beispiele stehen, so ist
klar, dass man denn doch eher darauf zahlen wird, eine weisse,
als eine schwarze Kugel zu erhalten, einfach darum, weil die
ersteren in grosserer Anzahl vorhanden sind als die letz-
teren. Man pflegt deshalb im gewohnlichen Leben zu sagen, es
sei wahrscheinlicher, eine weisse Kugel zu erhalten, als eine
schwarze. Man bezeichnet hiemit also ein gewissermaassen un-
bestimmtes Gefuhl, es werden, wenn man eine Kugel herausnimmt
und dieselbe sogleich wieder in die Urne zuriicklegt, bei einem
Dienger, Methode der kleiusten Quadratsummeu. 1
2 Einleitung.
sehr vielmal wiederholten derartigen Herausnehmen, im Ganzen
mehr weisse als schwarze Kugeln erschienen sein. Ja
man wird durch das einfache natiirliche Gefiihl darauf geleitet,
auszusprechen, dass bei solchen sehr oft wiederholten Ziehungen
schliesslich doppelt so viele weisse als schwarze Kugeln heraus-
gekommen sein werden, eben weil auch doppelt so viel weisse als
schwarze Kugeln sich in der Urne befinden. Dabei muss man
aber wohl beachten, dass bei einer einmaligen Ziehung ebenso
wohl eine schwarze als eine weisse Kugel zum Vorschein kommen
kann, d. h. dass beide Falle gleich moglich sind. Gleich
wahrscheinlich sind sie aber nicht.
Verallgemeinern wir das Gesagte, so konnen wir nun das
Folgende ausspreclien: Konnen aus ein- und derselben Quelle
(Urne) eine gewisse Anzahl Ereignisse als gleich moglich hervor-
gehen (Erscheinen einer weissen oder einer schwarzen Kugel) und
man theilt alle diese moglichen Ereignisse in zwei Gruppen ab,
wovon die eine , die andere m Falle enthalte (20 weisse und
10 schwarze Kugeln), so darf man darauf zahlen, dass wenn man
sehr vielmal ein Ereigniss hat eintreten lassen, diese eingetretenen
Ereignisse sich so vertheilen werden, dass die Anzahl derselben,
die zur ersten Gruppe gehoren, zu denen der zweiten Gruppe
sich wie n zu m verhalte. Man nennt dies das Gesetz der
grossen Zahlen, muss aber dabei wohl beachten, dass es nur
dann zulassig ist, wenn man den ganzen Hergang als ahnlich
dern oben gewahlten Beispiele ansehen kann.
In derselben Weise lasst sich der Satz fur drei oder mehr
Gruppen aussprechen. Befinden sich etwa in einer Urne 15 weisse,
18 schwarze und 12 griine Kugeln, so darf man annehmen, dass
wenn man blindlings eine Kugel zieht und dann wieder hinein-
legt, nach sehr oftmaligem Wiederholen derselben Handlung die
Anzahlen von gezogenen weissen, schwarzen, griinen Kugeln sich
verhalten werden, wie 15 zu 18 zu 12. U. s. w.
Gesetzt wieder, es befinden sich in einer Urne 29 weisse
und 19 schwarze Kugeln, so wiirden, wenn das Gesetz der grossen
Zahlen sogleich Anwendung finden konnte, unter 48 Ziigen (wenn
Einleitung. 3
jeweils die Kugel wieder in die Urne zuriickgelegt wiirde) noth-
wendig 29 weisse mid 19 schwarze Kugeln sein. Dies ist nun
vielleicht nicht fiir die 48 ersten Ziige der Fall, wohl aber wenn
die 48 Ziige sehr oft wiederholt werden. Wenn deshalb ihrer
zwei mit einander wetten wiirden, so dass A gew'anne, wenn eine
weisse, B, wenn eine schwarze Kugel zum Vorschein kommt, so
miisste, wenn das Spiel lange genug dauern wiirde, bei gleichen
Einsatzen nothwendig A in entschiedenen Vortheil kommen. Soil
Gleichheit im Spiel vorhanden sein, so muss der Einsatz so ge-
regelt werden, dass B in 19 Malen so viel gewinnen kann, als
A in 29 Malen, d. h. A hat 29 zu setzen, wenn B 19 setzt, oder
29 19
von dem Gesammteinsatz tr'agt A , B nur j^-. Da, bei lange
29
genug fortgesetztem Spiele, A auch darauf rechnen kann, - r aller
4o
19
Falle fiir sich zu haben, B nur -rpr, so wird dann wirklich Gleich-
4o
heit im Spiele vorhanden sein. Wollte man dies gleich auf einen
29
einzigen Fall iibertragen, so wiirde man sagen: wenn A =r wet-
ten kann, dass der betrefFende Fall fiir ihn giinstig sei, so kann
19
B nur 73- wetten.
4o
Von diesem Gesichtspunkte aus sagt man nun, die Wahr-
scheinlichkeit, bei einem blindlings geschehenden Zuge eine weisse
29
Kugel zu erhalten, sei j^-, wahrend die, eine schwarze zu erhal-
19
ten, nur ist, und man versteht also unter der Wahrschein-
lichkeit eines kommenden Ereignisses die Anzahl der
fiir das Eintreffen giinstigen Falle, dividirt durch die
Anzahl aller moglichen Falle, immer dabei verstanden, dass
der ganze Hergang ein ahnlicher ist, wie der mit der Urne und
den Kugeln.
Befanden sich in einer Urne 16 weisse, 15 rothe, 18 blaue
Kugeln, so waren die Wahrscheinlichkeiten , bei blindlings ge-
schehendem Hineingreifen eine weisse, oder eine rothe, oder eine
blaue Kugel zu erhalten, beziiglich -775-, TQ-, 77;-
4 Einleitung.
Die Wahrscheinlichkeit , als mathematische Zahl aufgefasst,
71
ist also immer ein positiver achter Bruch, und wenn dieselbe
m
ist, so heisst dies, unter m gleich moglichen Fallen seien ihrer n
fiir das erwartete Ereigniss giinstig.
Konnen also aus derselben Quelle nur zweierlei Ereignisse
stammen, deren Wahrscheinlichkeiten n und n 1 sind, so muss
29 19
nothwendig n -|- n' = 1 sein, wie etwa oben -|- j^- = l war;
konnen nur dreierlei Ereignisse daraus hervorgehen, und sind w,
w', n" die Wahrscheinlichkeiten derselben, so ist n -\- n' -)- n" = 1
u. s. w. Endlich, wenn wieder nur zweierlei Ereignisse aus der
betrachteten Quelle stammen, und w, n' ihre Wahrscheinlichkeiten
sind, so wird man darauf z'ahlen konnen, dass bei sehr vielen
Wiederholungen die Anzahlen der eingetretenen Ereignisse der
beiden Gruppen sich wie n zu n' verhalten werden. So in dem
Beispiele von Nr. I. sind die betreffenden Wahrscheinlichkeiten
^ und ^7-, und man durfte bei sehr vielen Wiederholungen
oO 60
darauf z'ahlen, dass auf je 20 weisse nur 10 schwarze Ziige kom-
men; da aber 20 sich z
der Satz gerechtfertigt.
men; da aber 20 sich zu 10 verhalt, wie ^- zu ^-, so ist damit
m.
Sind unter alien moglichen Fallen auch zugleich alle fiir das
erwartete Ereigniss giinstig, so ist das Eintreffen des letzteren
gewiss, und wenn man gemass II. die Wahrscheinlichkeit des-
selben kennen will, so erhalt man 1 fiir dieselbe, so dass also 1
das mathematische Zeichen der Gewissheit ist. Sind in einer
Urne nur 20 weisse Kugeln, so ist die Wahrscheinlichkeit, beim
20
blinden Hineingreifen eine weisse Kugel zu erhalten, -^-=1, d. h.
x&U
man erhalt gewiss eine solche.
Kennt man ferner die Wahrscheinlichkeit eines kommen-
n
tyy\
den Ereignisses, so ist 1 die Wahrscheinlichkeit des Nicht-
Einleitung. 5
eintreffens des fraglichen Ereignisses. Denn unter n moglichen
Fallen sind ihrer m fur das Eintreffen des Ereignisses, also ihrer
n m fiir das Nichteintreffen giinstig. Somit ist gemass II.
die Wahrscheinlichkeit des Nichteintreffen s = 1 . Sind
n n
in einer Urne 68 Kugeln, von denen 22 weiss sind, so ist die
22 *
Wahrscheinlichkeit, eine weisse Kugel zu erhalten 7^, die eine
bo
solche nicht zu erhalten 1 ^5- = -3-, wie natiirlich, da ja 46
DO DO
anders gefarbte sich in der Urne befinden.
Kann ein Ereigniss eben so leicht eintreffen, als es nicht ein-
treffen kann, so ist die Wahrscheinlichkeit seines Eintreffens =
, da dann die seines Nichteintreffens 1 , d. h. auch = ist.
~& ft ft
IV.
Stammen aus derselben Quelle mehrere Ereignisse A 9 B, C 9 ...
und man kennt die Wahrscheinlichkeit a des Eintreffens von A,
die b von B , so ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder A 9
oder B eintrifft, glcich a -\- b.
Seien etwa in einer Urne 20 rothe, 16 schwarze, 14
gelbe Kugeln, so ist die Wahrscheinlichkeit, eine rothe zu
ziehen r^-, die eine schwarze zu erhalten ^7: ; sucht man aber
ou ou
die Wahrscheinlichkeit, entweder eine rothe, oder eine schwarze
Kugel zu ziehen, so sind jetzt 36 Falle unter 50 giinstig,
36 20 . 16
also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit = FTJ = 5?T i 50*
was den Satz beweist. Sind a, 6, c, ... die Wahrscheinlichkeiten
der Ereignisse A, JB, C 9 . . . , die sammtlich aus derselben Quelle
stammen, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder A 9 oder B,
oder (7, ... eintrifft, gleich a -\- b -|- c -f- . . . . (Natiirlich iiber-
steigt diese Summe menials die Einheit.)
V.
Sind a, b die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B,
so ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide zugleich eintreffen = ab.
$ Kinleitung.
Man habe zwei Urnen, in der einen seien 21 schwarze und
32 weisse, in der anderen 16 schwarze 1 und 25 weisse Kugeln, so
ist die Wahrscheinlichkeit , aus der ersten eine schwarze Kugel
21
zu ziehen = , die aus der zweiten eine solche zu erhalten =
Oo
1 fi
-pr.. Sucht man nun die Wahrscheinlichkeit, beim gleichzeitigen
Hineingreifen in beide Urnen in jeder Hand eine schwarze Kugel
zu erhalten, so wird man beachten, dass jede der 53 Kugeln der
ersten Urne mit jeder der 41 aus der zweiten zusammen erschei-
nen kann, dass also 53.41 Falle des Zusammentreffens zweier
Kugeln gleich moglich sind; aus demselben Grunde sind 21.16
Falle -des Zusammentreffens zweier schwarzer Kugeln moglich,
und mithin ist die Wahrscheinlichkeit, dass gerade ein solcher
w r i i. 21 - 16 21 16
i all erscheme, gleich - , nnd da dies = , so ist da-
53.41 53 41
mit der Satz erwiesen.
Sind a, 6, c, ... die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A,
B , (7, . . . , so ist die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Ein-
treffens aller gleich a be . . . .
Man muss dabei aber wohl beachten, dass die einzelnen Er-
eignisse von einander unabhangig sein miissen, so dass man sie
immer dem gleichzeitigen Ziehen von Kugeln aus verschiedenen
Urnen vergleichen kann.
VI.
Wenn ein beobachtetes Ereigniss von verschiedenen, ur-
spriinglich gleich moglichen Ursachen herriihren kann, und man
ist im Stande, zum Voraus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
(abgesehen von seinem durch Beobachtung wahrgenommenen Ein-
treffen) zu berechnen unter der Annahme, irgend eine bestimmte
dieser Ursachen bestehe, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese
bestimmte Ursache beim wirklichen Eintreffen bestanden habe,
d. h. dass das beobachtete Ereigniss aus ihr hervorgegangen sei,
ein Bruch, dessen Zahler eben die Wahrscheinlichkeit ist, die
man zum Voraus fur das Eintreffen des Ereignisses erhalten
wttrde, wenn man diese Ursache als bestehend annahme, und des-
Einleitung. 7
sen Nenner die Summe aller der ahnlichen Wahrscheinlichkeiten
fur alle urspriinglich gleich moglichen Ursachen ist.
Um den angegebenen Satz zu verdeutlichen und zugleich zu
beweisen, wollen wir uns auf einem Tische n gleiche Felder den-
ken, auf deren jedem sich dieselbe Anzahl s von Kugeln befinde.
Auf dem ersten Felde seien von den 5 Kugeln ihrer mi weiss,
auf dem zweiten ihrer 7?i 2 , . . > auf dem wten ihrer m n \ der Rest
bestehe jeweils aus schwarzen Kugeln. Man lasse nun, ohne dass
ein Besehen erlaubt ist, eine Kugel vom Tische wegnehmen, wo-
bei wir voraussetzen, dass es dern W r egnehmenden gleich bequem
ist, zu einem beliebigen der Felder zu gelangen, und man sehe
eine weisse Kugel weggenommen. Man sucht nun die Wahr-
scheinlichkeit , dass dieselbe gerade von dem rten Felde komme.
Man sieht leicht, dass dieser Fall den allgemeinen ganz gut
darstellt. Die n Felder sind n Ursachen, die alle zum Voraus
gleich moglich und gleich wahrscheinlich sind, da sie alle gleich
viel Kugeln enthalten; die weisse Kugel, die weggenommen wird,
ist das eingetretene Ereigniss. Die Schliisse also, die wir aus
diesem Beispiele ziehen, gelten sofort allgemein.
Abgesehen von dem Eintreten des Ereignisses, ware die
Wahrscheinlichkeit, dass man eine weisse Kugel von dem Isten,
2 ten , . . . Felde erhielte , gleich - , -,.... Nun ist eine
s s
weisse Kugel erschienen, und man fragt bloss nach der Wahr-
scheinlichkeit, dass sie vom rten Felde herkomme. Auf diesem
sind m r weisse Kugeln, wahrend im Ganzen m 1 -(-m2 -) \- m n
weisse Kugeln vorhanden sind; demnach ist die Wahrscheinlich-
keit, dass die erschienene eine von dem rten Felde sei, gleich
i : j . Da aber diese Grosse auch gleich
m.
J^L I ^1 _|_ I m n
s ' s ' ' s
so ist damit unsere Behauptung gerechtfertigt.
Dies sind die Satze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die
wir zu Hiilfe nehmen werden. Anwendungen anderer Art, wenn
sie gleich zum klaren Verstandmss derselben beitragen wiirden,
8 Einleittmg.
konnen hier nicht da von geraacht werden. Zum Voraus wollen
wir, ein fiir alle Male, bemerken, dass wenn zuweilen die gemach-
ten Anwendungen etwas gezwungen erscheinen sollten, man bei
der Natur des Gegenstandes wohl beachten muss, dass es sich
immer nur um das Zulassigste handeln kann. Wir werden jedoch
suchen, die Anwendungen so ungezwungen als moglich zu machen.
Theorie der Ausgleichung der Beobachtungs-
fehler mittelst des Grundsatzes der kleiristen
Quadratsurnmen.
. 1.
Beobachtungsfehler. Wahrscheinlichkeit eines solchen,
als Function seines Werthes. Maass der Genauigkeit der Beob-
achtungen.
Alle Beobachtungen von Werthen gewisser Grossen miissen
wir als mit Fehlern behaftet ansehen, da uns sicher kein Mittel
zu Gebote steht, bestirnmen zu konnen, ob der gefundene Werth
auch wirklich dor wahre Werth, der zu bestimmen war, ist oder
nicht. Wir werden ohnehin auch schon dadurch zu dieser An-
nahme gezwungen, dass mehrfach wiederholte Beobachtung der-
selben Grosse verschiedene Werthe fiir letztere liefert, und wir
also nothwendig jede Beobachtung als fehlerhaft anzusehen haben.
Diese Fehler nun konnen aus zweierlei Ursachen hemihren.
Einerseits namlich konnen Fehlerquellen vorhanden sein, die nach
gewissen Gesetzen wirker, die wir zu erforschen vermogen, wie
etwa bei Winkelmessungen die unrichtige Aufstellung des Instru-
mentes u. s. w. Fehler, die aus diesen Quellen stain men, konnen
(bis auf einen gewissen Grad) mittelst Rechnung gefunden und
also auch verbessert werden, und sind also in Wahrheit keine
Fehler mehr, so dass wir von ihnen hier nicht handeln werden.
Es konnen aber zweitens Ursachen vorhanden sein, deren Wir-
kung, ja deren Dasein wir nicht zu erforschen vermogen, und die
unsere Beobachtungen dennoch fehlerhaft machen; solche etwa
sind bei Winkelmessungen die nicht zu berechnenden Einflusse
10 Wahrscheinlichkeit eines Beobachtungsfehlers.
der Temperatur, nicht angebbare Biegungen einzelner Theile des
Instrumentes, minder grosse Aufmerksamkeit beim Anvisiren oder
Ablesen u. s. w. Diese Ursachen heissen wir, da wir ihre Wir-
kungsvveise und die Gesetze derselben nicht kennen, zufallige,
und die von ihnen herriihrenden Fehler ebenso zufallige Beob-
achtungsfehler. Von diesen letzteren allein soil und kann hier
die Rede sein, und wir werden bloss solche verstehen, \venn wir
kurzweg von Beobachtungsfehlern sprechen.
In Bezug auf diese Beobachtungsfehler nun werden wir an-
nehmen miissen, dass bei guten (d. h. sorgfaltigen) Beobachtun-
gen, und solche nur setzen wir voraus, Fehler desto seltener vor-
kommen werden, je grosser, und desto haufiger, je kleiner sie sind;
ebenso werden wir annehmen miissen, dass positive Fehler (da
die Beobachtung einen zu kleinen Werth ergab) ebenso haufig
vorkommen werden, als gleich grosse negative. Theoretisch
miissen wir annehmen, dass jeder beliebig grosse Fehler mo'glich
sei, und konnen erst sagen, dass ein unendlich grosser Fehler
absolut unmoglich ist. Thatsachlich wird schon ein nur etwas
bedeutender Fehler nicht mehr vorkommen.
Denken wir uns nun, ein und dieselbe Grosse z. B. ein Winkel
sei sehr viele Male beobachtet (gemessen) worden, so werden die
einzelnen Werthe, die man so erhalten hat, sammtlich fehlerhaft
sein, doch wird man darauf zahlen miissen, dass der kleinen Feh-
ler weit mehr vorhanden seien, als der grossen, so dass, wenn
man die Fehler nach ihrer absoluten Grosse sich geordnet denkt,
von Null an bis zu einer gewissen Granze viele, iiber jene Granze
hinaus nur noch wenige vorkommen, man also bildlich sagen
konnte, es seien die Fehler um so dichter geordnet, je kleiner
sie sind. Daraus ergiebt sich nun aber sogleich weiter, dass wenn
man eine einzige Beobachtung macht, man in Bezug auf den da-
bei vorkommenden Fehler eher darauf wird zahlen diirfen, dass
er klein, als dass er gross sei, mit anderen Worten, es ist wahr-
scheinlicher, dass man einen kleinen, als dass man einen grossen
Beobachtungsfehler begehe; moglich freilich sind beide. Fragen
wir somit nach der Wahrscheinlichkeit, bei einer einzigen Beob-
achtung einen gewissen Fehler x zu begehen, so wird diese um
so kleiner sein, als x gross ist, so dass sie sich mit x selbst
andert und also eine Function von x ist. Da ferner nur wenig
Wahrscheinlichkeit ernes Beobachtungsfehlers. 11
verschiedene Beobachttmgsfehler so ziemlich gleich wahrscheinlich
sind, so andert sich jene Function nur wenig, vvcnn x sich um
wenig andert, und 1st mithin eine stetige Function von x. Be-
zeichnen wir sie durch/(#), so muss ferner /( x) =f(x) sein,
da gleich grosse positive und negative Beobachtungsfehler gleich
wahrscheinlich sind; ferner muss diese Grosse mit wachsendem x
rasch abnehmen, indem halbwegs betrachtliche Fehler nur sehr
wenig wahrscheinlich sind; absolut Null wird sie jedoch nur fur
x = oo sein. Daraus folgt, dass fur positive x negativ, fiir
QtjC
negative x aber positiv sein muss, wahrend f(x) imnier positiv ist.
Um nun aber die analytische Form der Function /(#) kennen
zu lernen, werden wir folgende Untersuchungen anstellen.
Wir wollen annehmen, ein und dieselbe Grosse A (ein Win-
kel z. B.) sei sehr viele Male gleich sorgfaltig beobachtet
worden und man habe dafiir die Werthe a\, 2 , . . ., a n gefunden.
Ist nun z der wahre Werth von A, so hat man also die Fehler
z cti, z a 2 , . . ., z a n begangen. Nun waren die Wahr-
scheinlichkeiten, uberhaupt die Fehler z a 1? . . . , z a n zu be-
gehen, dem Vorstehenden gemass: f(z %),/(> a 2 ) ?/( a n );
somit ware die Wahrscheinlichkeit, sie alle (nach einander oder
gleichzeitig ist hier gleichgiiltig) zu begehen (nach Einleitung V.):
f(zai) f(z # 2 ) . . . f(z ), welches Product zur Abkiir-
zung mit P bezeichnet werden moge *). Diese Grosse P hangt
aber von dem Werthe von z, den man nicht kennt, ab; nimmt
z verschiedene Werthe an, so ist dies auch mit P der Fall.
Welch en Werth nun z habe, wissen wir nicht; eben deshalb mils-
sen wir alle moglichen Werthe zulassen. Seien so z l , z$ , z 3 , . . .
eine Reihe auf einander folgender Werthe von z\ P 1? P 2 , . . .
die zugehorigen Werthe von P, so driicken diese letzteren die
Wahrscheinlichkeiten aus, dass je ein bestimmtes System von n
Beobachtungsfehlern zum Vorschein kommen werde. Wir konnen
somit gemass Einleitung VI. die Werthe von z als eben
so viele Ursachen ansehen, aus denen dasselbe Ereigniss, namlich
*) P ist also die zum Voraus berechnete Wahrscheinlichkeit, dass bei n
auf eioander folgenden Beobachtungen der Grosse A die Fehler z a l?
z -^ a z , . . . , z a n eintreten werden.
12 Wahrscheinlichkeit eines Beobachtungsfehlers.
das Eintreffen von n Beobachtungsfehlern, hervorgehen kann; da
dieses Ereigniss nun wirklich eingetroflfen ist, so sind die Wahr-
scheinlichkeiten , dass die eine oder die andere dieser Ursachen
bestanden habe, d. h. dass z l9 z 2 ,... der wahre Werth ,von A sei:
PI P* Pa
P l + P, + . . .' P 1 + P 2 -f . . .' P, + P 2 + . . . '
Die Nenner aller dieser Briiche sind gleich; also ist derjenige der
grosste, der den grossten Zahler hat, somit ist der Werth von z,
dem der grosste Werth von P entspricht, derjenige, den man als
den wahrscheinlichsten Werth von A bezeichnen muss. In
der Unkenntniss des eigentlich absolut wahren Werthes von A
werden wir sodann jenen als wahren Werth anzusehen haben.
Hieraus folgt nun, dass derjenige Werth von z, den die
Gleichung
= 0, Ah. L/X*- ,)/(*-,)... /(*- a.)] = 0,
die das Maximum von P bestiinmt, liefert, der wahrscheinlichst
richtige Werth von A sein wird *). Diese Gleichung giebt
;^Uys^
oder wenn man durch f(z a{) . . . f(z a w ) dividirt:
/'(^-i) | /'(*-;) i | f'(z-a.n)_
/(*-,) +/(*-<,) 7" h /(^~n)
Ist^r^ - ^ = F(z %), d. h. eine bestimmte Function
/($, i)
von z ! , so kann man offenbar die Gleichung (1) auch schreiben
aus der nun z zu bestimmen ist.
*) Man kann zu demselben Ergebniss auch auf iblgendem Wege gelangen:
Der wahre Werth von A (d. h. z) ist unbekannt; n Beobachtungsfehler sind
gemacht worden, deren Werthe freilich andere sein werden, je nachdem ein
anderer Werth von z gewahlt wird ; P ist die zum Voraus berechnete Wahr-
scheinlichkeit des Eintreffens der n Fehler z a x ,..., z a, wenn z der
wahre Werth von A ist; in der Unmoglichkeit, in der wir uns befinden, iiber
jenen wahren Werth zu entscheiden, werden wir uns damit behelien, dass
wir den Werth von z wahlen, fur den die Wahrscheinlichkeit des Erscheinens
von n Beobachtungsiehlern die grosste ist, was unmittelbar -zu obiger Glei-
chung fiihrt.
Wahrscheinlichkeit eines Beobachtungsfehlers. 13
Wir haben aber angenommen, es seien alle gemachten n
Beobachtungen gleich gut; in diesem Falle nun miissen wir voraus-
setzen, dass unter den Beobachtungsfehlern ebenso viele positive
als negative seien, eine Annahme, die um so gerechtfertigter sein
wird, je grosser n ist; zudem miissen wir noch voraussetzen, dass
je gleich grosse positive und negative Beobachtungsfehler vorhan-
den seien. Genauer gesprochen konimt dies darauf hinaus, anzu-
nehmen, es sei die Summe der n Beobachtungsfehler gleich Null,
d. h 7 man habe
*-,+_, + ...+*_<, = <), d. h.^- ", (2)
7&
mit anderen Worten, man nehme das arithmetische Mittel aus
den n gleich guten Beobachtungswerthen als den zulassigsten
Werth der beobachteten Grosse an. Diese Annahme ist eine so
natiirliche, dass sie von langst her gemacht wurde, ehe man nur
an die Methode der kleinsten Quadratsummen dachte, und sie
empfiehlt sich so unmittelbar, dass wir eine jede andere Methode,
die nicht auf dieselbe zuriickweisen wurde, vervverfen wiirden.
Es darf also die Gleichung (!') keinen anderen Werth von z
liefern, als ihn die Gleichung (2) auch giebt, was uns auf eine
nahere Bestimmung der Function F fiihren muss. Es werden
namlich die Gleichungen (!') und (2) zusammenstimmen, wenn
F(z aj) = k(z %), d. h. wenn F(x) kx ist. In diesem
Falle giebt namlich (l') :
k(z aj) + k(z oj) + + k(z a n ) = 0,
welche Gleichung, nach Entfernung des Factors k, mit (2) zu-
sammenfallt. Hiedurch ist nun F (x) als Function von x voll-
kommen bestimmt, da man offeiibar nur eine einzige Form fur
P W
jene Function erhalten kann. Da aber F (x) = . , so ist
/ W
^Q) dlf(x) r kx* .
-JT-+ = kx, d. h. J ^ ' = kx, lf(x) = k I xdx -^ -- f- k 1 ,
j \ x ) Q- J
wo k und k' Constanten sind. Daraus folgt
*' *^
f(x) = e 2 e = ce- ,
wenn wir e*' durch c bezeichnen. Jetzt ist
14 Maass der Genauigkeit.
a, + *_ 2 -j ----- f- *-a,]
und fur z = +2H h ) wird dP ^ wShrend
-r- - zu 7i k P' wird, wo P' den Werth von P bedeutet, den man
erhalt, wenn man z = - - setzt. Da dieser
d 2 P
Werth positiv ist, ferner aber - negativ sein muss, wenn P ein
Maximum sein soil, so folgt hieraus, dass k nothwendig negativ
ist. Setzen wir also k- = 2 h 2 , so baben wir schliesslich
f(x) = ce-*, (3)
wodurch nun die erste Aufgabe gelost ist. Diese Function driickt
also die Wahrscheinlichkeit aus, bei einer Beobachtung einen
Fehler vom Werthe x zu begehen. Sie geniigt alien gemachten
Anforderungen. Fur positive und negative x hat sie denselben
Werth, sie nimmt sehr rasch ab mit wachsendem x und hat ihren
grossten Werth fiir x = 0. Die Grossen c und h hangen von x
nicht ab, sondern sind bestimmte Constanten, die von der Art
der Beobachtung abhangen. Setzt man a? = 0, so ist f(ai) = c 9
und es ist also c die Wahrscheinlichkeit, einen Beobachtungsfehler
= zu begehen. Bei derjenigen Beobachtungsweise, der ein be-
stimmter Werth von h zukommt, wird also die Wahrscheinlich-
keit, einen Fehler zu begehen, zu der einen Fehler x zu be-
gehen, sich verhalten, wie c zu ce~ h * x *, d. h. wie 1 zu e~ * 2 * 2 ;
je grosser nun h ist, desto kleiner ist das letzte Glied, desto ge-
ringer ist also die Wahrscheinlichkeit, grossere Fehler zu begehen,
im Verhaltniss zu Beobachtungsfehlern 0; desto besser also
wird auch die Beobachtungsmethode sein. Daraus folgt, dass h
als Maass fiir die Genauigkeit der Beobachtungsweise die-
Ben kaim. Je besser letztere. desto grosser ist h.
Bestimmung der Constanten c. 15
2.
Bestimmung der Constanten c. Wahrscheinlichkeit, dass ein be"
gangener Fehler zwischen gegebenen Granzen liege. Tafel des
a
Integrals f e~ z * dz. Wahrscheinlicher Fehler.
o
Wir haben gesehen, dass bei einer Beobachtungsweise, deren
Maass der Genauigkeit h ist, die Wahrscheinlichkeit, einen Feh-
ler v begangen zu haben, ist ce~ h * v *\ demnach ist (Einleitung IV.)
die Wahrscheinlichkeit, entweder den Fehler v l9 oder v 2 , oder
t? 3 , . . . begangen. zu haben, gleich
da c und h von v unabhangig sind. Sind also v 1 , v 2 , v 3 , . .
unmittelbar auf einander folgende Werthe, deren Unterschiede
unendlich klein sind, und ist vi der erste, v n der letzte dieser
Werthe, so folgt hieraus, dass die Wahrscheinlichkeit, es liege
der begangene Fehler zwischen Vi und v n , ist
welche Grosse wir durch ce~ h * v * bezeichnen wollen, wo das
Vi
v n
Zeichen e~ h * vZ bedeutet, man solle die Summe all der Werthe
Vi
nehmen, die man bekommt, wenn man in e~ h * v * der Grosse v
alle moglichen Werthe beilegt, die von v = V L bis v = v n liegen.
Ist aber 6 der unendlich kleine Unterschied je zweier solcher auf
einander folgender Werthe, den wir als sich gleich bleibend an-
sehen wollen, so ist bekanntlich:
-^ z = Ce-^dv, also
Daraus folgt nun, dass die Wahrscheinlichkeit, der bei einer
Beobachtung gemachte Fehler liege zwischen Vi und v n , ist
,~h*v*dv
1C Beobachtungsfebler zwischen gegebenen Granzen.
Ganz gewiss liegt er zwischen den Granzen co und
demnach muss nothwendig
,: ./-
/,-
\ h * v *dv = 7, also hat man c = ^=.,
m h y~
und endlich
he
Ferner ist die Wahrscheinlichkeit, der bei einer Beobachtung be-
gangene Fehler liege zwischen den Werthen a und /3, gleich
m . (4)
die, dass er zwischen a und -f- , liege:
o^'dx. (4')
V* J B V*
Man ersieht hieraus, dass die Ermittelung dieser Wahrschein-
lichkeit auf die des bestimmten Integrals (4) zuriickkommt. Sind
dabei a und :
beide positiv, so ist
a
/i /3
, /3>0, fe-v* z dx=fe-^dx fe
a
-
^
< 0, ^<0, /e -****(/ =fe~#*dx =f
a /S
so dass es offenbar geniigt, die Werthe des bestimmten Integrals
a ft $
f e -h z **dx zu bestimmen. Setzt man hier hx = z, also h ^J 1>
o
so ist
Beobachtungsfehlcr zwischen gegebenen Granzen. 17
ah a ah
und ebenso
= ~ Ce-*dz, -=
fi J V n
ah
welch letztere Grosse die Wahrscheinlichkeit ausdriickt, der be-
gangene Fehler liege zwischen a und -f- a, d. h. sein absoluter
Werth ubersteige nicht die Grosse a.
Von ah = bis ah = 2 giebt die folgende, dem ,,Berliner
astronomischen Jahrbuche fiir 1834" entnommene Tafel die Werthe
ah
des Integrals ~=. I e~ z2 dz.
V ft Y
ah =
ah
ah =
ah
ah =
0,00
0,00000
0,42
0,44747
0,84
0,76514
1,26
0,92523
1,68
0,98249
0,02
02256
0,44
46622
0,86
77610
1,28
92973
1,70
98379
0,04
04511
0,46
48465
0,88
78G69
1,30
93401
1,72
98500
0,OG
06762
0,48
50275
0,90
79691
1,32
93806
1,74
98613
0,08
09008
0,50
52050
0,92
80677
1 ; 34
94191
1,76
98719
0,10
11246
0,52
53790
0,94
81627
1,36
94556
1,78
98817
0,12
13476
0,54
55494
0,96
82542
1,38
94902
1,80
98909
0,14
15695
0,56
57161
0,98
83423
1,40
95228
1,82
98994
0,16
17901
0,58
58792
1,00
84270
1,42
95537
1,84
99073
0,18
20093
0,60
60386
1,02
85084
1,44
95830
1,86
99147
0,20
22270
0,62
61941
1,04
85865
1,46
96105
1,88
99216
0,22
24429
0,64
63458
1,06
86614
1,48
96365
1,90
99279
0,24
26570
0,66
64938
1,08
87333
1,50
96610
1,92
99338
0,2G
28690
0,68
6G378
1,10
88020
1,52
96841
1,94
99392
0,28
30788
0,70
67780
1,12
88679
1,54
97058
1,96
99443
0,30
32863
0,72
69143
1,14
89308
1,56
97263
1,98
99489
0,32
34912
0,74
70468
1,16
89910
1,58
97455
2,00
99532
0,34
36936
0,76
71754
1,18
90484
1,60
97635
0,36
38933
0,78
73001
1,20
91031
1,62
97804
0,38
40901
0,80
74210
1,22
91553
1,64
97962
0,40
42839
0,82
75381
1,24
92050
1,66
98110
Dienger, Methode der kleiusten Quadratsummen.
18 Wahrscheinlicher Fehler.
Was nun die Benutzung dieser Tafel anbelangt, so wird ein
Beispiel sie klar machen. Da fiir ah = 1,06, der Werth
ah
o r
-7= / e~**dz = 0,86614, so ist also die Wahrscheinlichkeit, der
V* tf
begangene Fehler sei seinem absoluten Werthe nach nicht grosser
als ijr^-, gleich 0,86614, oder mit anderen Worten, bei 100000
gemachten gleich guten Beobachtungen derselben Grosse wird
man darauf zahlen diirfen, dass fiir 86614 derselben der Fehler
nicht iiber -^ hinausgehe.
Sucht man, mittelst Interpolation, den Werth von ah, fiir
ah
0,47694,
den -^= / e~ z *dz = 0,5 I = \, so ergiebt sich ah =
welchen Werth wir kiinftig durch Q bezeichnen wollen. Daraus
folgt also, die Wahrscheinlichkeit, der Fehler liege zwischen
-J- und -|- -~, sei , d. h. unter sehr vielen Beobachtungen
wird man die Halfte haben, deren Fehler kleiner als y-, und die
andere Halfte, fiir die er grosser als -|-. Man heisst deshalb die
Grosse ~ den wahrscheinlichen Fehler der Beobachtungs-
weise; bezeichnet man ihn mit r, so ist
rh = Q (= 0,47694). (5)
. 3.
Wahrscheinlichste Werthe der Unbekannten, wenn mehr Glei-
chungen als Unbekannte gegeben sind. Gewicht der Beobach-
tungen.
Gesetzt es seien as, y, z, . . . der Anzahl nach n Unbekannte
und es sei
ax-\-by -\-.cz-\-' = F
eine durch Beobachtung zu bestimmende Grosse, so dass etwa
gefunden werde:
Wahrscheinlichste Werthe von Unbekannten, aus Beobachtungen berechnet. 19
fiir a = % , b = j , . . . : F = F ,
a = a 2 , b & 2 , . . . : F = F 2 ,
a = a mt b = b m , . . . : F = F m ,
man also haben wird:
-f-
= F
19
c m z + - = F t
(6)
in welchen Gleichungen m ^> n vorausgesetzt wird; ferner a l5
#1, Ci, ...... ., a m , 6 OT , c w , . . . als genau bekannt angesehen
werden, wahrend F l , F 9 , F 9 , . . ., F m durch unmittelbare Beob-
achtung gegeben sein miissen: so soil nun aus den Gleichungen
(6) das Wahrscheinlichste System der Werthe von as, y, z, . . .
ermittelt werden.
Wir haben allerdings vorausgesetzt, es stammen die Glei-
chungen (6) gewissermaassen aus derselben Quelle; dies ist jedoch
ganz gleichgiiltig. Wenn nur die so eben genannten Bedingungen
erfullt sind, so mag es uns einerlei sein, woher diese Gleichungen
kommen. Ware m = n, so waren die Gleichungen (6) in der-
selben Anzahl wie die Unbekannten, und wiirden also zur Be-
stimmung der letzteren geradezu hinreichen. Dies setzen wir nicht
voraus, sondern nehmen an, es seien mehr der Gleichungen (6)
vorhanden als Unbekannte. Waren nun die Werthe F\ 9 F^... 9 F in
sammtlich genau, d. h. fehlerfrei bestimmt, so wiirden, wenn man
a?, ?/, z, . . . aus den n ersten bestimmte, die iibrigen durch
Einsetzen dieser Werthe erfullt sein miissen. Wegen der unver-
meidlichen Beobachtungsfehler wird dies aber nicht der Fall sein,
und daher entsteht die Frage, wie man nicht die genauen
Werthe von a?, y, z, . . . wohl aber die wahrscheirilichsten
finden konne.
Seien nun h , /^, . . ., h m die Maasse der Genauigkeit, wie
sie den Beobachtungsweisen, die t \ , F^ , . . . , F m ergeben haben,
entsprechen (. 2) ; Vi , v 29 - , v m die hiebei begangenen Beob-
achtungsfehler; !, 2 , . . ., 'e m unendlich kleine Grossen : so sind
die Wahrscheinlichkeiten , die Fehler v i9 . . ., v m zu begehen,
20 Wahrscheinlichste Werthe von Unbekannten, aus Beobachtungen berechnet.
wenn man diese Wahrscheinlichkeiten zum Voraus be-
rechnet (. 2):
V 7t V 7t \ It
mithin die Wahrscheinlichkeit, sie alle zugleich zu begehen (zum
Voraus berechnet) (Einl. V.):
Was nun aber Vi, . . ., v m anbelangt, so sind diese Grossen
gegeben durch die Gleichungen:
t?! = j X -f- &! ?/ -(- Cj * -|- ...__/*!,
v 2 = a 2 # -|- 6 2 y + c 2 2 -f- - - F 2 ,
v m = a m o; -f- b m y + c m z -\- - -- F m
wenn man sich unter x, y, #, . . . die wahren Werthe dieser
Unbekannten denkt. Welches diese wahren Werthe sind, weiss
man nicht, und muss eben deshalb theoretisch alle moglichen
Werthe als zulassig erklaren. Je nachdem man also fiir x, y,
z 9 . . . ein anderes System von Werthen annimmt, erhalt man
auch ein anderes System von Fehlern Vi , . . . , v m , so dass eine
jede solche Annahme als eine Ursache anzusehen ist, aus der als
Wirkung ein gewisses Fehlersystem fliesst. Ein System von m
Beobachtungsfehlern ist eingetroffen , und in der Unmoglichkeit,
die wahre Ursache, d. h. das wahre System von Werthen von
as, y, z 9 . . . zu finden, werden wir diejenige wahlen, die die
grosste Wahrscheinlichkeit fiir sich hat.
Denken wir uns nun unter x, y, z, . . . irgend ein beliebiges
aller moglichen Systeme von Werthen dieser Grossen, so ist die
Wahrscheinlichkeit, dass gerade dieses das rechte ist, nach Ein-
leitung VI.:
worin dasZeichen 2 ... bedeutet, man solle in e
den Grossen v lf . . . v m alle mogliehen Werthe beilegen, die sie
haben konnen, wenn x 9 y, z, . . . von oo bis -j-oo gehen, und
Wahrscheinlichste Werthe von Unbekannten, aus Beobachtungen berechnet. 21
die offenbar auch zwischen oo und -)- oo schwanken, wobei wir
etwa die Werthe von vi so ordnen, dass sie um die unendlich
kleine Grosse e 19 die von v 2 um 2 , . . . wachsen. Lasst man
1 m
7L m
im Zahler und Nenner den gemeinschaftlichen Factor
weg, beachtet, dass
d. h. eine bestimmte unveranderliche Grosse ist, die wir mit A
bezeichnen wollen, so ist also die Wahrscheinlichkeit, eines der
moglichen Systeme von Werthen fiir x, y, z, . . . sei das rechte,
gleich
Daraua folgt, dass wir dasjenige dieser Systeme als das
wahrscheinlichst rechte, oder kurzweg wahrscheinlichste , zu
wahlen haben, fiir welches diese Grosse ein Maximum ist. Sie
ist es aber, wenn
Vi 2 + V* 2 H ----- h * 2 a (8)
ein Minimum ist, wo Vi , v 2 , . . . , v m durch (6') gegeben sind.
Daraus folgt endlich, dass man fiir as, y, z, . * . diejenigen
Werthe zu wahlen hat, die die Grosse (8) zu einem Minimum
machen. Daher riihrt nun der Name der kleinsten Quadrat-
summen.
Nach der Lehre von den Maxima und Minima miissen nun
die partiellen Differentialquotienten nach as, y, z, . . . der Grosse
(8) Null gesetzt werden. Da aber die (8) ist:
so folgt hieraus, wenn man zur Abkiirzung setzt:
+
und nun die (8) nach #, y, z, . . . differenzirt :
(9)
22 Wahrscheinlichste Werthe von Unbekannten, aus Beobachtungen berechnet.
(10)
welche Gleichungen in derselben Anzahl vorhanden sind, wie die
Unbekannten #, t/, 2, . . . . Die Coefficienten wiederholen sich
in eigenthiimlicher Weise. So sind die der ersten Horizontal-
und Verticalreihe gleich u. s. w.
Gesetzt die Beobachtungsweisen, die F ly F 2 , . . ., F m gege-
ben haben, seien alle gleich gut, so hat man AI = h.> - = A m ,
so dass man in (10) diese Grossen weglassen kann und also
bloss hat:
[a*] x + [6]y + \ac\z -\ ---- =
[ae] + \bc-\y
= [e
(10')
Denken wir uns nun gewisse Zahlen g l , g 2 , . . . , g m so be-
stimmt, dass
9\ ' 9-2 ' : 9m = h^ : KJ : . . . : h m 2 , (10")
so ist
gi g^
setzt man diese Werthe in (10) ein, lasst den jetzt gemeinschaft-
lichen Factor h^ weg und multiplicirt Alles mit g l1 so erhalt man:
-\ ==
(H)
Sind nun g l9 g. 2 , . . ., g m ganze (immer positive) Zahlen, so
kann man diesen Gleichungen eine andere Auslegung geben.
Gesetzt n'amlich, man denke sich die erste der Gleichungen (6)
g l mal, die zweite g 2 mal, . . ., die letzte g m inal geschrieben,
d. h. man denke sich g l -[- g 2 -\- " - -)- g m Beobachtungen ge-
maclit, wovon die ersten gi alle FI , die anderen g% alle F 2 , u. s. w.
gegeben haben, betrachte dann alle g 1 -\- g 2 -f~ * * * ~f~ 9m Beob-
achtungen als gleich genau, so miisste man &, y, z, . . . nach
dem Gleichungsschema (10') bestimmen. Darin wiirde alsdann die
Gewicht der Beobachtungen. 23
Grosse [a 2 ] offenbar gleich sein g l mal aj 2 , g. 2 mal 2 2 , . . . bis
g m mal m 2 , d. h. gleich Q/a 2 ] in (11); ebenso [aft] ware gleieh
[gab] in (11) u. s. w., so dass man dieselben Gleichungen bekame
wie (11). Da diese nun richtig sind, so kann man sich die Sache
auch so vorstellen:
Bestimmt man g l9 g 2 , . . . , g m als ganze Zahlen aus (10"),
was immer moglich ist, so ist es dasselbe, als wenn man sagen
wiirde, die Beobachtung, die FI gegeben hat, ist g l \ die, welche
F 2 gegeben hat, g> 2 , . . .; die, welche F m gegeben hat, ist g m
mal zu zahlen. Daher riihrt es dann, dass man gi, g 2 , . . ., g m
die Gewichte der verschiedenen Beobachtungsweisen nennt. Eine
Beobachtung vom Gewichte 10 ist gleich zu achten zehn Beob-
achtungen vom Gewichte 1 , d. h. wenn man lauter Beobachtungen
vom Gewichte 1 einfuhren, also nach (10') rechnen wollte, miisste
man in (6) die dem Gewichte 10 entsprechende Gleichung zehn-
mal schreiben.
Ist H das Maass der Genauigkeit der Beobachtungsweise
vom Gewichte 1 , R ihr wahrscheinlicher Fehler ; 7ij , A 2 , . . . , h m
wie oben; r 1? r 2 , . . ., r m die zukommenden wahrscheinlichen Feh-
ler, so hat man
HR = Q , hi TI = Q , A 2 7* 2 = Q , . . . , h m T m = (
also auch
rs 2 = r 2 2 = , r * = . (12')
9i 9^ 9m
Die Zahlen 7i t , . . . , h m sind absolute Zahlen, wahrend #1 ,.> ^m wie friiher durch unmit-
telbare Beobachtung gefunden sind.
Man wahle nun n beliebige der Gleichungen (13) aus und
bestimme aus ihnen die Werthe von a, y, z, . . ., welche wir
durch Xi , yi , Zi , . . . bezeichnen wollen, so werden diese, statt
a?, y, z, . . . in die ubrigen m n Gleichungen gesetzt, diesen
zwar im Allgemeinen nicht geradezu geniigen, doch, da wir die
Beobachtungen moglichst genau voraussetzen, werden bedeutende
Aenderungen jener Werthe nicht nothig sein, urn jenen Gleichun-
gen zu geniigen. Man setze also
x = x l +x', y = y l -{-y' 9 z = z l + z' , . . . , (14)
so werden #', t v x , z 1 , . . . im Allgemeinen Grossen sein, deren
Producte und hohere Potenzen man vernachlassigen kann. Daraus
folgt nach dem Taylor'schen Satze, dass
wenn man in den partiellen DifFerentialquotienten #1, #1, ^i,
fiir a, y, z>... setzt. Demnach werden die Gleichungen (13) zu
(13')
Vorhandensein von Bedingungsgleichungen. 25
wenn man, wie gebrauchlich , die ersten Seiten der Gleichungen
(13) kurzweg mit gpj, qp 2 , . , r (js,y,z,...) = 0, (16)-
der Anzahl nach r. Mittelst dieser Gleichungen konnte man r
der Unbekannten durch die iibrigen ausdriicken, ihre Werthe in
(8) einsetzen und dann nach diesen bleibenden Unbekannten dif-
ferenziren. Bequemer aber und immer leichter ist es, jede der
Gleichungen (16) mit einem unb'estimmten Factor 2&j, 2^ 2 ,...,2A: r
zu multipliciren und dann die Grosse
r (17)
nach jeder der Unbekannten a& 9 y, z, . . . zu difFerenziren. Da-
durch erhalt man n Gleichungen, die in Verbindung mit den Glei-
chungen (16) zur Bestimmung der n -)- r Unbekannten: x,y 9 z 9 ... 9
k l9 & 2 , . . ., k r dienen werden. Man erhalt so
26
Vorhandensein von Bedingungsgleichungen.
[beg]
zur Bestimraung von x, y , z, . . . . Haben die Gleichungen (16)
nicht die lineare Form, so kann man dieselbe wie oben hervor-
treten lassen. Man bestimme aus n der Gleichungen (6) oder (13)
die naherungsweise richtigen Werthe von a, y, z,... und nehme
wieder die Gleichungen (14) an. Da die Gleichungen (6) in den
allgemeineren (13) enthalten sind, so geniigt es diese letzteren zu
betrachten. Man hat nun die Grosse
dy
dz
nach x* , y' , z', ... zu differenziren und die DifFerentialquotienten
Null zu setzen. Daraus folgt:
Allgemeines arithmetisches Mittel.
27
wo n
(p
und den Differential quotienten
dieser Grossen iiberall #, ?/, z, . . . durch # 1? 7/ 1? ^, .
setzen sind. Die Gleichungen (18) in Verbindung mit
zu er-
dy J ' dz
/7 if V SJ *y
.. = o,
=0,
dy
(19)
dienen zur Bestimmung von #', t/', 2', . . ., ^i, & 2 , . . . , & r .
Sind alle Beobachtungen gleich genau, so sind alle ^r einander
gleich (. 3). Hat man eine einzige Grosse durch directe Beob-
achtungen zu ermitteln , und sind FI , . . . , F m die f iir sie erhal-
tenen Werthe, so hat man fiir (6):
x = Fi, x = F,,. . ., x = F n ,
d. h. die sammtlichen a sind 1, wahrend alle anderen Constanten
Null sind. Also ist
[ga*\ = & + g, -) ----- \- g m , [gab] = 0, [>6] = 0, . . .,
[g F a] ^frF^gsFz+.-.+ gn F m ,
so dass die (11) ist:
(20)
+ ^2 1\ H
1st g l = g 2 = = g m , so hat man hieraus
m
d. h. das arithmetische Mittel, wie natiirlich, da wir dies in . 1
vorausgesetzt. Ehe wir in unseren Untersuchungen weiter-
schreiten, wollen wir zunachst an einigen Beispielen zeigen, in
welcher Weise die vorstehenden Lehren anzuwenden sind.
. 5.
Beispiele zu dem Vorhergehenden.
I. Benzenberg's Versuche iiber die Abweichung frei fallender Kbrper
nach Osten.
Die Resultate dieser Versuche entnehmen wir der Darstellung
von En eke im ,,Berliner astronomischen Jahrbuche" fiir 1834.
28 Beispiele zur allgemeinen Theorie.
S. 285 ff. Die Fallhohe war 262 pariser Fuss; die Resultate
sind in pariser Linien angegeben; eine positive Zahl deutet auf
ostliche, eine negative auf westliche Abweichung. Die Versuche
sind als gleich genau anzusehen.
Nr.
Nr.
Nr.
Nr.
Nr.
1
- 3,0
7
+ H,5
13
+ 18 5
19
+ 7,0
25
- 9,0
2
+ 12,0
8
- 4,0
14
-|-11,0
20
+ 7,5
26
-10,0
3
+ 3,0
9
-f 2,0
15
-f 9,0
21
-f 6,0
27
-H 8,5
4
+ 13,0
10
+ 2,0
1C
- 8,0
22
- 2,0
28
+ 10,0
5
+ 20,0
11
-f 12,0
17
+ 8,0
23
+ 11,0
29
-f 6,5
6
2,0
12
+ 7,0
18
+ 10,0
24
- 4,0
Als wahrscheinlichsten Werth der ostlichen Abweichung hat
man hier das arithmetische Mittel aller 29 Resultate zu wahlen.
Die Summe der positiven Abweichungen ist 189,5, der negativen
42, also ist die ostliche Abweichung =
189,5 42
29
= 5,086.
II. Bestiinmung der Schneegranze als Function der Breite.
Karatz (Meteorologie II, S. 173) nimint an, es lasse sich
die Hohe H der Schneegranze darstellen durch
H = A -f B cos* 9 ,
wo A und B zwei zu bestimmende Constanten und (p die geogra-
phische Breite ist. Er theilt zu dem Ende 10 Beobachtungen
dieser Hohe unter eben so vielen Breiten mit, und berechnet
daraus A und B. Vergleichen wir diese Aufgabe mit dem Frii-
heren, so sind unsere F hier durch fl, x durch A, y durch B
ersetzt; sammtliche a sind 1, die b sind cos 2 qp. Dadurch erhalt
man nun leicht die folgende Tafel (wobei die Maasse in Toisen
gegeben sind, und 1 Toise = 6 pariser Fuss, 1 pariser Fuss
= 144 pariser Linien, 443,296 pariser Linien = 1 Meter) :
Beispiele zur allgemeinen Theorie.
29
Nr.
=
Nr.
(=&) =
S(=F) =
1
286
10,492
33
259,2
10,291
65
190
9,931
2
11
10,487
34
11
10,281
66
168
9,810
3
11
10,458
35
11
10,272
67
11
9,776
4
11
10,480
36
252
10,260
68
11
9,767
5
11
10,505
37
250
10,265
69
11
9,765
G
11
10,497
38
11
10,261
70
11
9,744
7
11
10,467
39
11
10,257
71
11
9,766
8
284
10,464
40
11
10,250
72
11
9,768
9
266,4
10,374
41
11
10,252
73
162
9,746
10
11
10,345
42
240
10,237
74
150
9,663
11
11
10,351
43
it
10,211
75
91
9,662
12
11
10,355
44
11
10,211
76
11
9,646
13
11
10,373
45
11
10,208
77
71
9,640
14
264
10,332
46
11
10,207
78
11
9,667
15
261
10,306
47
11
10,204
79
11
9,662
16
260
10,312
48
11
10,202
80
11
9,681
17
11
10,274
49
11
10,190
81
1
9,672
18
11
10,321
50
11
10,198
82
144
9,637
19
259,2
10,314
51
10,202
83
126
9,532
20
11
10,309
52
11
10,203
84
108
9,439
21
11
10,296
53
11
10,189
85
96
9,385
22
11
10,282
54
216
10,100
86
11
9,383
23
11
10,297
55
11
10,092
87
90
9,333
24
11
10,316
56
11
10,072
88
11
9,306
25
11
10,315
57
i)
10,067
89
11
9,317
26
11
10,302
58
11
10,074
90
64
9,203
27
11
10,289
59
i
10,073
91
11
9,196
28
11
10,289
60
11
10,055
92
63
9,196
29
11
10,271
61
213
10,068
93
11
9,237
30
11
10,300
62
193
9,944
94
11
9,153
31
11
10,288
63
192
9,890
95
11
9,197
32
11
10,273
64
190
9,888
Beispiele zur allgemeinen Theorie. 31
Quadrirt man sammtliche b und addirt die Quadrate, so er-
halt man [6 2 ] = 4595195, ebenso [b /'] = 202413,6, wahrend
r2] = 95, [a 6] ==-[6] = 19959,4, [aF~] = [F]= 952,388, so dass
95 # + 19959,4 y = 952,388,
19959,4* + 4595195 y = 202413,6.
Hieraus folgt
4595195 . 952,388 19959,4 . 202413,6
95 . 4595195 19959,42
_ 95 . 202413,6 -- 19959,4 . 952,388
95 . 4595195 -- 19959,4*
und endlich
S = 8,81297 + 0,0057695 a.
= 8,81297,
= 0,0057695,
IV. Ausgleichung von Winkeki urn e'men Punkt herum.
Es wurden im Punkte M (Fig. 1) gemessen (entnommen den
,,geographischen Bestimmungen im konigl. preuss. Regierungsbe-
zirk Minden von Vorlander", S. 16):
AMB = 52 14/ 89,77" mit dem Gewichte 40,
AME = 201 7 32,96 20,
AMI! = 334 70 22,66 20,
JSMC= 652459,80 30,
BMD = 93 52 36,25 10,
CMD = 28 27 86,20 30,
DME = 55 40 02,30 ,, 30,
DMF = 68 08 96,72 30,
DUG = 100 73 55,94 20,
EMG = 45 33 54,76 40,
FMG = 32 64 40,76 25,
GMH = 88 29 59,62 50.
i Die Winkel sind dabei in neucrer
Theilung (1 rechter =r lOQo, lo = 100',
1' 100'') angegeben, die Gewichte
den Repetitionszahlen proportional (vergl.
. 14).
Bezeichnen wir derKiirze wegen die
zwolf gemessenen Winkel mit I, II,..., XII,
so bestehen zwischen denselben folgende
Gleichungen :
32 Beispiele zur allgemeinen Theorie.
VI=:V IV, VII = 11 I V, X = IX-V1I,
XI = IX VIII, XII = 111 II X*),
welche fiinf Bedingungsgleichungen nothvvendig sind, da in Wahr-
heit nur sieben verschiedene Winkel bestehen. Wir wollen nun
als genaherte Werthe der zwolf Winkel 1,..., XII die oben an-
gegebenen Werthe wahlen, und denselben Correctionen bei-
fugen, die wir durch (1), (2), . . ., (12) bezeichnen wollen, so
dass also etwa I 52 14' 89,77" -f- (1) ist. Alsdann heissen die
Gleichungen (6) des .3 jetzt: 52 14' 89,77"-|-(l)= 52 14' 89,77"
u. s. w., so dass man jetzt die Gleichungsform des . 4 erhalt,
wo cpi = 52 14' 89,77", F l ^ u. s. w. Man sieht also, dass
man folgende Gleichungen hat, denen wir ihreGewichte beifiigen:
(1) = (G.40), (2) = (G.20), (3) = (G.20), (4) = 0(G.30),
(5) = (G. 10), (6)=0 (G.30), (7) = (G.30), (8) = 0(G.30),
(9)=rO(G.20), (10)=rO(G.40), (11)=0(G.25), (12)=0(G.50),
wahrend, wenn man in die Bedingungsgleichungen fur VI setzt
28 27' 86,20" -|- (6) u. s. w., dieselben werden (Alles in Secun-
den ausgedriickt) :
9,75 = ( 5)-f4)-(6), (7) -(2) + (1) + (5) = 4,64, \
(9 )_(7) _ (10) = 1,12, (11) -(10) + (8) == 18,46, (a)
(3) _ (2) (10) (12) = 24,68.
Also muss
40 . (1)2 _p 20 . (2)2 + 20 . (3)2 + 30 . (4)2 -f 10 . (5) + 30 . (6)2
_^ 30. (7)2 -f 30. (8)2 + 20. (9)2-f-40. (10)2 + 25. (ll)2-f-50. (12)2
+ 2 3 [(9)-(7)-(10)-l,12] + 2A 4 [(11) -(10) + (8)- 18,46]
+ 2^ 5 [(3) - (2) - (10) - (12) - 24,68]
ein Minimum sein (wobei wir wie oben 2ki, . . . statt ki geschrie-
ben, was gleichgiiltig ist). Differenzirt man nun nach (1),...,(12)
und setzt die Differentialquotienten = 0, so erhalt man folgende
zwolf Gleichungen:
40.(1) + *2 = 0, 20. (2) k, k b =0, 20.(3) + ^ 5 = 0,
30. (4) k, =0, 10. (5) + ^ +k. 2 =0, 30. (6) ^ = 0,
30. (7) + k,-k.= 0, 30.(8)+^ 4 =0, 20. (9) -f ^ = 0,
= 0, 50. (12) ^ 5 = 0,
*) D. h. CMD = BMD-BMC, D ME AME - A MB BMD,
EMG=DMG-DME, FMGDMGDMF, GMH=AMHAME-EMG.
Wahrscheinlicher Fehler der Functionen von Beobachtungsgrb'ssen. 33
aus welchen Gleichungen, indem man & 1? ..., k$ eliminirt, folgt:
20. (2) + 40. (1) 50. (12) = 0, 20. (3) + 50. (12) = 0,
10. (5) + 30. (4) 40. (1) =.0, 30. (6) 30. (4) = 0,
30. (7) 40. (1) + 20. (9) = 0, 30. (8) 25 . (11) = 0,
40. (10) + 20. (9) + 25. (11) 50.(12) = 0,
d. h.
2. (2) + 4.(1) 5. (12) = 0, 2. (3) + 5'. (12) = 0,
(5) + 3 . (4) - 4 . (1) = 0, (6) - (4) = 0,
3. (7) - 4.(1) + 2. (9) = 0, 6. (8) - 5. (11) = 0,
8. (10) + 4. (9) + 5. (11) 10. (12) = 0,
aus welchen Gleichungen, in Verbindung mit (a) nun folgt:
(1) = 1,71, (2) = 6,11, (3) = 9,54, (4) = 3,32, (5) = 3,11,
(6) = 3,32, (7) = 2,87, (8) = 5,22, (9) = 6,96,
(10) = 5,21, (11) = 6,28, (12) = 3,82,
so dass als wahrscheinlichste Werthe man hat:
AMB = 52 14' 88,06" , I) ME = 55 39' 99,43",
A ME = 201 07 26,85 DMF = 68 09 01,94,
AMH = 334 70 32,20 DMG = 100 73 48,98,
BMC = 65 24 56,48 EMG = 45 33 49,55,
BMD = 93 52 39,36 FMG = 32 64 47,04,
CMD = 28 27 82,88 GMH= 88 29 55,80.
6.
Wahrscheinlichste Werthe und ^wahrscheinliche Fehler von
Grossen, die Functionen sind solcher, welche durch Beobach-
tung unmittelbar gegeben wurden. .. *
Sind N, N' , N" 9 . . . gewisse Grossen, die durch Beobach-
tung unmittelbar bestimmt werden sollen und konnen, und man
hat durch eben diese Beobachtung fiir dieselben die Werthe n,
n* , TI /X , . . . mit den wahrscheinlichen Fehlern r, r 1 , r /x ,...(. 2)
gefunden; ist ferner V eine Function der Grossen N, N 1 ) N", ...,
so ist wohl selbstverstandlich, dass der wahrscheinlichste Werth
von V der sein werde, den man erhalt, wenn man fiir N, -A 7/ ,
N", ... die Werthe w, n', w", . . . setzt. Es handelt sich also
vorzugsweise darum, den wahrscheinlichen Fehler von V zu er-
mijtteln, den man begeht, wenn man fiir N, N' 9 N" 9 ... die an-
Dienger, Methode der kleinsten Quadratsummen. 3
34 Wahrscheinlicher Fehler der Functionen von Beobachtungsgrbssen.
gegebenen Werthe wahlt. Um diese Aufgabe erledigen zu konnen,
miissen wir in der folgenden Weise verfahren.
I. Sei a eine unveranderliche und bekannte Grosse, und
V = aN, d.h. V eine lineare Function vonN der einfachsten Art.
Unsere Aufgabe ist, wie gesagt, den wahrscheinlichsten Werth
von V zu ermitteln, so wie den wahrscheinlichen Fehler des so
gefuudenen Werthes anzugeben. Was N anbelangt, so wird diese
Grosse durch unmittelbare Beobachtung erhalten, und ist fur sie
n gefunden worden mittelst einer Beobachtungsweise, deren vvahr-
scheinlicher Fehler r ist. Vor aller Beobachtung war demnach
die Wahrscheinlichkeit , einen Fehler v zu begehen, nach . 2
gleich
^|e- 5 "' 2 , wo rh = <> [. 2, (5)].
Wahlen wir irgend einen Werth von N, etwa p als den
wahren Werth, so ist n p der Fehler, den man begeht, wenn
man den Werth n erhalt , so dass also v = n p ist. Mit an-
deren Worten, es ist die Wahrscheinlichkeit, statt des wahren
Werthes ft den Werth n zu finden; also den Fehler n ft zu
begehen :
Af- 6 -^(n-^) 2 .
V n
Ein Beobachtungsfehler wurde begangen; er ist theoretisch
ein anderer, je nachdem p eine andere Grosse ist; die Annahme
dieser Grosse ist somit, wie in . 3, als eine Ursache anzusehen,
aus der dann der Fehler n ^ fliesst. Dass also diese Ursache
bestanden, d.h. dass (ein bestimmt gedachter Werth) ft der wahre
Werth von N ist, dafur hat man, nach Einl. VI., die Wahrschein-
lichkeit:
;-,:;; ,-,<._ j . ... ,.
V 71
wo das Zeichen 27 wieder bedeutet, es solle in e~~^ 2 ( n ~"^) 2 der
Grosse ft alle moglichen Werthe beigelegt, und dann die Summe
aller so erhaltenen Grossen genommen werden. Daraus folgt,
daes der Nenner von /* unabhangig ist, und wenn wir ihn mit A
Wahrscheinlicher Fehler der Functionen von Beobachtungsgrbssen. 35
bezeichnen, so ist also die Wahrscheinlichkeit, es sei (der beliebig
gewahlte, aber doch bestimmt gedachte Werth) p der wahre
Werth von A 7 , gleich e~ h ^ n ~f^\ Denjenigen Werth a haben
-oL
wir nun zu wahlen, fiir den diese Grosse ihren hochsten Werth
erreicht, was fiir /* = n der Fall ist, so dass also n der wahr-
scheinlichste Werth von JV ist, wie natiirlich, da wir ihn durch
Beobachtung gefunden, und als solchen Werth also nehmen mils sen.
Ist aber ft der wahre Werth von N, so ist gewiss ap der
wahre Werth von V\ bezeichnet man also den wahren Werth von
V mit |, so ist = ap, also ft = , und die Grosse
ci
welche die Wahrscheinlichkeit ausdriickte, dass p der wahre
Werth von N war, driickt auch die Wahrscheinlichkeit aus, dass
g der wahre Werth von V ist, wenn nur ft = . Setzt man die-
sen Werth ein, so hat man
und wenn s die unendlich kleine Grosse ist, um die die Werthe
von wachsen, man ferner beachtet, dass diese von oo bis -]- oo
schwanken konnen, so ist die Wahrscheinlichkeit, | sei der rechte
Werth von V, gleich
weun man beachtet, dass der Werth des Integrals im Nenner
a ' n ist. Daraus folgt, dass | = no der wahrscheinlich-
ete Werth von F ist, wie vorauszusehen war. Da na | der
Fehler dieser Annahme ist (d. h. wenn | den wahren Werth be-
36 Wahrscheinlicher Fehler der Functionen von Beobachtungsgrbssen.
deutet, so wird n a | der, freilich unbekannte, Fehler sein, den
man begeht, wenn man na fiir V nimmt), so ist die vorhin ge-
fundene Grosse - j= e a 2 also auch die Wahrschein-
aV it
lichkeit, den Fehler na | =v zu begehen. Vergleicht man
dies mit . 2 und .3, so ergiebt sich fiir die Wahrscheinlichkeit,
dieser Fehler liege zwischen a und a:
* ha
7,2
v* 2 r _ z *,
a dv = 7= / e z dz.
VnJ
a
r
/
J
Diese Grosse ist = -r- , wenn
ha ao
- = <>> K = f-
Daraus ergiebt sich, dass wenn r' der wahrscheinliche Fehler
ist, den man begeht, indem man na als wahren Werth von V
nimmt, man haben werde:
r'h ao
- = *> r ' = T-
Da aber ~ === r, so ist also r' = ar, so dass also an der
n
wahrscheinlichste Werth von F, und ar der wahrschein-
liche Fehler dieser Bestimmung ist.
II. Sei V = N -\- N' und seien h , h' so bestimmt , dass
rh = Q, r'h' = Q (. 2).
Gesetzt es seien ft, p 1 die wahren Werthe von N ' , N 1 , so
ware vor aller Beobachtung die Wahrscheinlichkeit, die Feh-
ler n fi, n' ft' zu begehen (die ja begangen werden, wenn
man n, n 1 fiir N, N' findet), nach . 2 gleich
wo , ' zwei unendlich kleine Grossen sind. Die Wahrschein
lichkeit, beide Fehler zugleich zu begehen, ware also (Einl. V.)
7t
Wahrscheinlicher Fehler der Functionen von Beobachtungsgrb'ssen. 37
Daraus folgt nun, wie friiher, dass die Wahrscheinlichkeit der
Annahme, es seien wirklich (die bestimmt gedachten) ft, ft' die
Werthe von JV, N* ist:
Daraus folgt, nebenbei gesagt, wie begreiflich, dass n, n' die
wahrscheinlichsten Werthe von N, N' sind, da f iir ft = n , ft' = w'
diese Grosse ein Maximum ist.
Sind aber ft, ft' die wahren Werthe von N, so ist gewiss
ft -f- ft' der wahre Werth von F, so dass wenn ft -|- ft' = die
obige Grosse auch die Wahrscheinlichkeit ausdriickt, nicht nur
dass ft, ft' die wahren Werthe von N, N' , sondern auch dass
der wahre Werth von V ist, wenn = ^ -j- ft'. Da aber hier-
aus folgt ft' = | ft, und wenn ^, ft' alle moglichen Werthe
durchlaufen, auch alle moglichen Werthe durchlaufen wird, so
kann man auch sagen, es sei die Grosse
wo die 27 sich auf alle moglichen Werthe von ft und beziehen,
die Wahrscheinlichkeit, ft und | seien die wahren Werthe von N
und V. Der Natur der Sache nach konnen ft und | zwischen
oo und -)- oo schwanken, so dass wenn f, a' unendlich kleine
Grossen sind, um welche ft und wachsen, die soeben gefundene
Grosse auch gleich ist
-
Aber
und also
38 Wahrscheinlicher Fehler der Functionen von Beobachtungsgrossen.
die Wahrscheinlichkeit ist, /it und J seien zugleich die wahren
Werthe von N und V. Dabei denken wir uns natiirlich unter ft
und f bestimmte Werthe. Wollen wir also diese Grosse etwas
anders auslegen, so konnen wir auch sagen, sie driicke die Wahr-
scheinlichkeit aus, der gemeinte bestimmte Werth sei der wahre
Werth von V 9 wenn zugleich auch ft der wahre Werth von N
ist. Daraus ergiebt sich nach Einl. IV. leicht, dass man fur die
Wahrscheinlichkeit, | sei der wahre Werth von F, was immer
auch der wahre Werth von N sein moge, erhalte
wo das 27 sich auf alle Werthe von ^ erstreckt, wahrend J unver
andert ist. Demnach ist diese Grosse auch gleich
, 9N
-^ >-(w+^
M'fi'
die nun die Wahrscheinlichkeit ausdriickt, | sei der wahre Werth
von V (was auch N und N' sein mogen).
Daraus ergiebt sich, dass = w -f- n 1 der wahrscheinlichste
Werth von V ist; ist sodann R der wahrscheinliche Fehler die-
ser Bestimmung, so ist
hh'
Wahrscheinlicher Fehler der Functionen von Beobaehtungsgrb'ssen. 39
hh'
da, wenn man - = fiir h in . 2 einsetzt, obige Grosse die
Form F= e ~ h * vZ annimmt*). Aber ~ = r, rrzr 1 ', so dass also
"y it li n
I n j^. n i der wahrscheinlichste Werth von F, und der wahr-
scheinliche Fehler dieser Bestimmung gleich y r 2 -f- r' 2 ist.
III. Sei nun V = a N -}- b N' , wo a und b bestimmte
Constanten sind, so ist nach 1. der wahrscheinlichste Werth von
aN gleich an mit dem wahrscheinlichen Fehler ar, der von bN'
aber bn' mit dem wahrscheinlichen Fehler 6r', so dass nach II.
(da auch aN und bN' von einander unabhangig sind) der wahr-
scheinlichste Werth von V ist an -\- bn' mit dem wahrschein-
lichen Fehler V"ar H
Ist allgemein V = aN +bN' + cN" -] --- , wo a, 6,
, oder a = 7?, so dass also die Wahr-
scheinlichkeit, der bei der Annahme V = n~\-n' begangene Fehler schwanke
zwischen R und +.R, gleich ist. Und eben deshalb ist R der wahr-
scheinliche Fehler jener Annahme.
40 Wahrscheinlicher Fehler der Functionen von Beobachtungsgrbssen.
-f- cN" : an -j- bn' -)- cn u mit dem wahrscheinlichen Fehler:
Hat man V= A -f- aN+ bN' + cN" -| ---- , wo auch A
eine Constante ist, so setze man V A = aN-\- b A T/ -|- c N"-\ ---- ,
und hat als wahrscheinlichsten Werth von V A: an-\-bn'-}-cn"-\-~>
mit dem wahrscheinlichen Fehler V~a 2 r 2 -|- b^r'* -|- c 2 /-"? -f- ,
so dass der wahrscheinlichste Werth von V ist A-\-an-\-bn'-^cn"
-j ---- , mit dem wahrscheinlichen Fehler y r a 2 r 2 -f- 62 r >2_j_ C 2 r //2_j -----
IV. Sei endlich V eine beliebige Function von N 9 N 1 , . . . ,
die wir durch / (iV, N' 9 JV 7 ', . . .) bezeichnen wollen, so werden
wir immer N = n -)- ^/ N, N* = n 1 -\- 4 N' , . . . setzen diirfen,
wo dN 9 4 N' , . . . immer kleine Grossen sind, indem die wah-
ren Werthe von N, N* 9 . . . nur wenig von n, n', . . . verschie-
den sein konnen. Man hat also
wenn man nach dem Taylor'schen Satze entwickelt und bei den
ersten Potenzen von z/JV, 4 N' , . . . stehen bleibt. Nun ist
f(n, n' ', n'', . . .) eine Constante von der Art derer, die in III.
mit A bezeichnet worden; desgleichen sind ~- 9 di*'" Constan-
ten; die wahrscheinlichsten Werthe von 4N, 4N', . . . sind Null
mit den wahrscheinlichsten Fehlern r, r 1 . . . .; daraus folgt nach
III., dass der wahrscheinlichste Werth von V ist/(w, w', w",...) mit
. v.
Bestimmung der~wahrscheinlichen Fehler und des Gewichts der
nach . 3 erhaltenen Werthe von a:, y, z,
Gesetzt es folge aus den Gleichungen (11) des . 3:
X = KI Jr i j #2 -F 2 \~ ' ' ' ~\ ^ m m '
y - - Pi i -- P2 2 - r P m 9 ^1)
= y x F! + y 2 ^2 H + 7m F m ,
Wahrscheinlicher Fehler der Functionen von Beobachtungsgrb'ssen. 41
wo ttj, . . ., a m , /?!, . . ., ft m , . . . keine T* 7 enthalten, und seien
r l5 r 2 , . . ., r m die wahrscheinlichen Fehler von F lt . . ., 7^ m , so
1st nach . 6, III. der wahrscheinliche Fehler von x gleich
V<*i*r\* + 2 2 ^2 2 + + ffi 2 r OT 2 = V[ 2 r2], ebenso der von
# : V"[/3 2 r 2 ] , von z : V[y 2 r*] , u. s. w.
1st dann weiter g das Gevvicht von as, sind gi, gy, , g m
die Gewichte von j^ , . . . , 7^ , so ist nach . 3 :
111 1
also
.
woraus auch
.^
9i
9
Demnach sind die Gewichte von a, y, z, . . . :
w- m m.
Es lasst sich diese Bestimmung aber in anderer bequemerer
Form durchfiihren. Gesetzt namlich, man ziehe aus den Glei-
chungen (11):
m = A l \Fag\ + A, [_Fbg-\ + A, [Peg] -| ,
y = S l [Fag] + B, [P6jr] + S, [Fcg] ^ ,
z = d [Fag] + C, [Fbg] + C 3 [Peg] H ,
(23)
wo AI, A 2 , . . . , J3 l , B 2 9 9 gewisse kein F enthaltende
Grossen sind, so sind die Gewichte von x 9 y, z, . . . einfach
J_ _L J_
A l ' # 2 ' C 3 '
Um diesen Satz zu beweisen, wollen wir etwa das Gewicht
von z bestimmen. Vergleichen wir die Formeln (21) und (23),
so ist offenbar
42 Wabrscheinlicher Fehler der Functionen von Beobachtungsgrbssen.
Vi = Oi ai g l + C 2 h g l + C 3 ^ g l + . ,
y 2 d 02 #2 + 2 1> 2 g. 2 + C 3 c. 2 # 2 + ,
also ist gleich
L *7 J
= ft ((7, [a'0] + ft \_abg-] + C s [acg] -\ ---- )
\_abg-] + C, [6i0] + C 3 [beg-] -\ ---- )
\_aeg] + C, [beg] + C, [<;*<,] -\ ---- )
wie man sich leicht iiberzeugt.
Denken wir uns nun einmal in den Gleichungen (11) an die
Stelle von F geschrieben a, so muss offenbar x = 1 , y = 0,
2 = 0,..-. sein; wird b fur jP geschrieben, so muss x = 0,
y = 1, 2 = 0, . . . sein; schreibt man c fiir F 9 so ist # = 0,
y = 0, ,e = 1 , . . . u. s. w. Daraus folgt also, dass wenn in (23)
fiir F geschrieben wird a, 6, c, . . ., dann z immer Null ist,
ausser fiir F = c, wo z=l sein muss; mit anderen Worten,
es ist
4 [ S 0] + Z [<%] + ft [aflr] + = 0,
ft [aty] + ft [& 2 <7] + ft P0] + ' ' ' = 0.
ft [aejr] + ft [&y] + ft [V] H ---- = 1, .
so dass mithin ~ = (7 3 , und = -^- , wodurch offenbar
L#J 3
obige Behauptung gerechtfertigt ist.
Man sieht leicht, dass fiir die Gleichungen (15) des . 4
ganz dasselbe gilt. Es treten jetzt nur =* , -7^ , ... an die Stelle
dix ay
von a, &, . . . und .F qp an die Stelle der F 9 so dass also etwa
oder auch
Wahrscheinlicher Fehler der Functionen von Beobachtungsgrbssen. 43
und da nun die letzten Theile gar kein F enthalten, so werden
nur die ersteren zur Bestimmung des wahrscheinlichen Fehlers
eintreten (. 6, III.). Da ferner, wenn man nur oben Uberall
j^, jj, ... fur a, 6, . . ., x* ', y 1 9 z* , . . . fur x 9 y, z, . . .
und F
> hm dieMaasse
der Genauigkeit fiir diese Grossen; sind ferner R i9 HI die ent-
sprechenden Grossen fiir x' 9 E 29 H 2 fiir ?/', u. s. w., so ist (. 3):
44 Wahrscheinlicher Fehler der Fuuctionen von Beobachtungsgrbssen.
also
und
hr = h 1 r 1 = .-- = h m r m ==H 1 R 1 = H,It,==H B lt B = ..- = g (.3).
Hat man irgend eine Function von #' ', t/', ,?',... (oder #, y,
#,..., wenn die Gleichungen (11) beniitzt wurden), so setzt man
fur #', ?/', ',... ihre Werthe (21) oder (23) ein und hat dann
diese Function nun als Function der durch unmittelbare Beobach-
tung gegebenen Grossen F dargestellt, so dass mit ihr nach . 6
verfahren werden kann.
Wir wollen dies anwenden auf die Function
wo wohl auch ', ?/', z 1 , . . . fiir #, ?/, z 9 . . . stehen konnte,
wenn man (15) angewendet hatte. Setzt man fiir #, T/, z 9 . . .
die Werthe (23), so ist
K= k Q + MA[^<7] + 4[^6flr] H ---- )
so dass nach . 6, III. der wahrscheinlichste Werth von K der
ist, den man bekommt, wenn man fiir die F ihre bekannten
Werthe, oder kiirzer fiir x, y, z, . . . ihre gefundenen Werthe
einsetzt. Das Quadrat des wahrscheinlichen Fehlers dieser Be-
stimmung ist dann
Wahrscheinlicher Fehler der Functionen von Beobachtungsgrossen. 45
Betrachten wir den ersten Theil und beachten, dass ^r 1 2 r' 1 2 =^ 1 r 2 ,
so ist er, wenn wir diesen gemeinschaftlichen Factor weglassen:
+ V (C, a, + C 2 b, + C 3 c, + . . .) + . . .
+ 2 Ma (A, a, + A, b, + . . .) (JB, a, + B 2 b, + . . .)
+ 2Ma (A l a l + A 2 b, + . . .) (C, a, + C.b, + . . .)
Die ubrigen erh'alt man hieraus, wenn man in g, a, b, c,...
statt des Zeigers 1 setzt 2, 3,..., m. Addirt man sodann alle
Grossen, so sieht man, dass man erhalten wird (wo r 2 wegge-
lassen) :
1) als Factor von k-^:
A, (A, [a 2 ^r] + A 2 [abg] + A, [a eg] + . . .)
+ A, (A, [abg-] + A, [6 2 ^] + A, [bog] + . . .)
+ A B (A, [acg-] + A, [bog] + A 3 [c0] + . . .)
2) als Factor von k 2 2 eben so JB 2 , als Factor von & 3 2 : C 3
u. s. w.; " r :~ '
3) als Factor von 2 ki k 2 :
A (B, [ay] + S, [abg-] + B s [acg} + . . .)
+ 4, (B, [abg} + B., [b*g] + B 3 [beg} + . . .)
oder auch
so dass auch A 2 = B l ist;
4) als Factor von 2& 1 & 8 ebenso^rrzCi, von 2k l k 4 _:A i =D lt .
von 2k 2 k 3 : J3 3 = C 2 u. s. w.,
so dass also das Quadrat des wahrscheinlichen Fehlers von K:
oder wenn man beachtet, dass
A 2 = BI , A 3 =
so ist dasselbe
4G Wahrscheinlicher Fehler der Functionen von Beobachtungsgrbssen.
Beachtet man die Gleichungen (23), so wird man dieses Er-
gebniss auch in folgender Form aussprechen konnen:
Gesetzt man setze statt der zweiten Seiten der Gleichungen
(11) oder (15) beziiglich k ly & 2 , . . ., k n , und finde dann fur #,
y, z, . . . (oder a', y' , z* ', . . .) die Werthe , u, ,..., so ist
r 2 (M + 2" + 3 + )
das Quadrat des wahrscheinlichen Fehlers der Grosse
K = & ; -f- &1 ^ + ^2 y + ^3 2 + ' ' >
wenn man hier fiir a;, y, z, . . . die Werthe aus (11) oder (15)
setzt. Das Gewicht dieser Bestimmung ist mithin
1
Anmerkung. Den Satz des . 6 III. kann man auf die Grosse K nicht
unmittelbar anwenden, d. h. nicht kurzweg sagen: die wahrscheinlichen Fehler
von #, y, ,... seien R, R t , -R 3 , . . so ist der wahrscheinliche Fehler von
K gleich W-Ri 8 H- ^ 8 a ^ 2 a -h fc 3 a J? 3 2 +..., well die Grossen *, y, z, . . .
nicht von einander unabhangig sind, oder vielmehr ihre wahrscheinlichsten
Werthe nicht als wie durch von einander ganz unabhangige Beobachtungen
gegeben angesehen werden konnen. Nur die Grossen F sind in dieser Lage
und nur auf sie konnen also die Satze des . 6 angewendet werden. Es ist
diese Bemerkung sehr wichtig, da gerade hiegegen sehr oft gefehlt wird, wo-
durch natiirlich falsche Resultate erscheinen miissen.
.8.
Beispiele zu dem Vorstehenden. Gewicht des arithmetischen
Mittels.
Nach . 4, Formel (20) ist der wahrscheinlichste Werth einer
Grosse x, fiir die man durch unmittelbare Beobachtung die Werthe
FI, F 2 , . . , F m mit den Gewichten g l , # 2 ? > g m gefunden
hat, gleich
9i t\ + 9*Fi + + 9^ F*
Beispiele zur Bestimraung des Gewichts. 47
Demnach ist das Gewicht dieses Werthes = [#], indem hier
[gaF~\ = [^F~\ und der Coefficient dieser Grosse = -=-r=- ist.
\JJ J
Sind alle Beobachtungen gleich gut, so ist Qjr] mgr, wenn g
das Gewicht der einfachen Beobachtung ist, so dass also ein
Werth, der nach dem Satze des einfachen arithmetischen Mittels
erhalten worden, gleich zu achten ist einer unmittelbaren Beob-
achtung vom mfachen Gewichte der einfachen Beobachtung.
Waren in den Gleichungen (6) des . 2 mehrere davon so
beschaffen, dass die a, 6, c, ... dieselben waren, wahrend die F
verschieden oder gleich sind, so konnte man statt aller dieser
letzteren Gleichungen eine einzige setzen, in der die a, b, c, . . .
die genannten Werthe haben, in der aber das F nach dem Satze
des allgemeinen arithmetischen Mittels [. 4 (20)] aus den ge-
nannten F gefunden wird. Denn es seien etwa die p ersten
Gleichungen (6) in der angegebenen Lage, so dass
% x -{- >! y -\- c z -f- . . . = FI (Gewicht ^) ,
so, behaupte ich, kann man hiefiir die einzige Gleichung
F
setzen. Man sieht namlich leicht, dass dadurch in den Coefficien-
ten der Gleichungen (11) keinerlei Aenderung hervorgebracht
wird, so dass diese Gleichungen ganz dieselben bleiben. Man
kann daher, wenn man nur eine einzige Grosse durch unmittel-
bare Beobachtung zu bestimmen hat, mehrere einzelne Beobach-
tungen zu einem arithmetischen Mittel vereinigen und dann diese
einzelnen arithmetischen Mittel zum endgiiltigen. Ebenso hatte
man in dem Beispiele III. des . 5 diejenigen Werthe von F, die
zu demselben a (b) gehoren, in ein arithmetisches Mittel vereini-
gen dtirfen.
Eine andere Folgerung aus dem soeben Gesagten ist noch
die folgende, wobei allgemein zu bemerken ist, dass wenn m das
Gewicht des nach (2O) in . 4 erhaltenen arithmetischen Mittels ist,
und r der wahrscheiuliche Fehler der einfachen Beobachtung
48 Beispiele zur Bestimmung des Gewichts.
(deren Gewicht = 1 angenominen worden) gemass . 3 der des
arithmetischen Mittels gleich = sein muss, da die Quadrate
V m
der wahrscheinlichen Fehler sich umgekehrt verhalten wie die
Gewichte.
Wir wollen annehmen, es seien zwei Langen L und / mit
demselben Maassstabe A gemessen, und sei etwa -r= m, wo wir
A
uns m als ganze Zahl denken wollen ; gesetzt ferner , der wahr-
scheinliche Fehler beim jedesmaligen Anlegen des Maassstabes
sei r, so ist wohl L = mA, aber es ist nicht etwa der wahr-
scheinliche Fehler von L nach I. in . 6 gleich mr, denn m ver-
tritt hier nicht die Stelle eines constanten Factors, vielmehr ist
i = A + A4-A + ... (mmal) ,
so dass dieser Fall unter III. des . 6 gehort, und mithin der wahr-
scheinliche Fehler von L gleich y r 2 -j- r 2 -j- . .. . = Vm r* = rtf m
== r v T * st * Ebenso * st der wahrscheinliche Fehler in 1: r y .
Gesetzt nun aber, man habe bloss I (einmal) gemessen mit dem
wahrscheinlichen Fehler r y und schliesse daraus durch Rech-
nung (etwa in einem Dreiecksnetze) L = pi, so ist jetzt nach 1.
in . 6 der wahrscheinliche Fehler in L: pr y = r^f~p y %-
= f V^P y ~T Hatte man aber endlich I nicht nur einmal, son-
dern pmal gemessen, so ware der wahrscheinliche Fehler in I,
das man durch den Satz vom arithmetischen Mittel erhalten hat,
gleich ~= y = r y , so dass dann der in L, das durch
Rechnung aus I erhalten wurde, gleich pr y = r y %-- = r y :
ware. Da dies dasselbe ist, wie fur den Fall der directen Mes-
sung von L, so ergiebt sich hieraus folgende Regel:
Will man mittelst Rechnung eine grossere Seite aus einer
kleineren (gemessenen) ebenso genau erhalten, als wenn man
Beispiele zur Bestimmung des Gewichts. 49
jene unmittelbar einmal gemessen hatte, so wird man die kleinere
so viel mal messen, als sie in dor grosseren enthalten ist.
Nach diesen allgemeineren Betrachtungen wollen wir die
Beispiele des . 5 etwas naher betrachten.
Was das erste zunachst anbelangt, so wird, wenn 1 das Ge-
wicht der einfachen Beobachtung ist, 29 das des Resultates sein,
so dass, wenn r der wahrseheinliche Fehler der einfachen Beob-
(Vt
achtung ist, der des Resultates ... sein wird.
Fur das zweite Beispiel ist, wenn wir (24) beachten,
10 a? + 3,52870 y = A, 3,52870 ^ + 2,27504 y = B
2,27504 1 22,7504 3,5287*
6mnach *= 10. 2,27504 -3,52870'' * = 2,27504 =4 ' 53
10 !_ __ 22,7504 3,5287?
62 ~~ 10. 2,27504- 3,528702' e 2 ~ 10
so dass dasGewicht von ^4 = 197,19 ist 4,53, das von 5=2337,06
nur 1,03, wenn 1 das Gewicht der einfachen Beobachtung.
Fur das dritte Beispiel hat man
95 a? + 19959,4 y = A, 19959,4* + 4595195 y = B,
4595195 j.__ 95. 4595195-19959,48 _
* l ~ 95. 4595195 -19959,4*' ^~ 4595195
_ 95 ^_95.4595195-19959,42_ AMfJAR
" 2 ~ 95. 4595195-19959,42' e 2 ~ ~95~
woraus sich zeigt, mit welcher Genauigkeit der Coefficient von a
bestimmt ist. Es rnag noch folgende etwas allgemeinere Betrach-
tung iiber einen speciellen Fall als Anwendung des Vorhergelien-
den hier ihren Platz finden.
Um den Langenunterschied zweier Orte zu bestimmen, kann
man Nachts auf einerti fiir beide Orte sichtbaren Berge Feuer-
signale aufblitzen lassen, dieselben an beiden Orten gehorig beob-
achten und die genaue Zeit der Beobachtung bemerken. Aus dem
Unterschiede beider Zeiten ergiebt sich dann die Differenz der
geographischen Langen (vergl. etwa mein ,,Handbuch der ebenen
und spharischen Trigonometrie", S. 321).
Will man aber diese Beobachtung am Tage durch Heliotro-
penblitze anstellen, so kann dies so geschehen, dass man sich
durch Gehiilfen an den Ort hin, der von beiden sichtbar ist,
Dienger, Methods der kleiusten Qtiadratsummen. 4
50 Beispiele zur Bestimmung des Gewichts.
Heliotropenblitze geben lasst und zugleich am Chronometer die
Zeit bemerkt. So Hess Gerling (Ausgleichungsrechnungen der
praktischen Geometric, S. 75) sich auf den Frauenberg vom
Meisner (Gottingen) und Feldberge (Mannheim) aus Signale ge-
ben und zwar von vier zu vier Minuten. Der Zeitunterschied
zwischen Frauenberg und Meisner ergab sich aus 256, der von
Frauenberg - Feldberg aus 136 Beobachtungen nach dem Satze
des arithmetischen Mittels. Als wahrscheinlichen Fehler einer
einfachen Beobachtung wahlt Gerling 0,4 Secunden, so dass
also der wahrscheinliche Fehler des ersten Resultates gleich
04 04
' , der des anderen r l ist; mithin der wahrscheinliche
V136
Fehler des Resultates Feldberg -Meisner, als der Summe beider
+ ' und dasGe -
wicht g des ganzen Resultates, wenn 1 das Gewicht der einfachen
Beobachtung, erhalten wird aus
1 1 256 . 136
1: ^ == 0^ : 0,4* 0,4*' 5r== 256 + 136 = * 8 ' 8 '
256 " 136
Gesetzt nun, man habe n Stationen zwischen beide Endstatio-
nen eingeschoben und verfahre in derselben Weise wie vorhin,
um den Zeitunterschied zwischen zwei auf einander folgenden zu
erhalten. Man mache uberall gleich viele (#) Beobachtungen,
und fragt, wie viele solcher es bedarf, um ein Resultat vom Ge-
wichte a zu erhalten.
Hat jede einzelne Beobachtung das Gewicht 1, so ist # das
Gewicht jedes einzelnen Resultates, der wahrscheinliche Fehler
04
desselben also -j= ? m ithin der wahrscheinliche Fehler des End-
V x
resultates (. 6, II. und III.) 0,4 ]/ n *" , das Gewicht dessel-
x
ben also : = , so dass
n -4- 1
sein muss. Je grosser n ist, desto grosser muss, bei gleichblei-
Beispiele zur Bestimmung des Gewichts. 51
bendem a, x sein, so dass die Regel hieraus fliesst, moglichst
wenig Zwischenstationen zu machen.
Dass dieselbe Regel fiirs Nivelliren gilt, ist offenbar.
Anmerkung. Will man die soeben angefiihrte Bestimmung des wahr-
scheinlichen Fehlers zwischen Feldberg - Meisner auf . 6 in aller Scharfe zu-
riickfiihren , so muss man in folgender Weise veriahren. Sei x der Unter-
schied Frauenberg - Meisner, P\ , . . . , F 256 die einzelnen Beobachtungen, so ist
rr i i -rt
x - ' 2 5G * 5 ; ist y der Unterscm * efl Meisner - Feldberg, ,/i , . . . , / I36
f -\- i f
die einzelnen Beobachtungen, so ist y= ' ' 6 , und also das End-
lob
resultat Feldberg - Meisner gleich
. 1
25G 136
wo nun die Fund f durch unmittelbare Beobachtung gegeben sind, wie
. 6 verlangt. Da der wahrscheinlicho Fehler jedes F oder f nun 0,4 ist, so
ist der wahrscheinliche Fehler des Endresultates nach . 0, III.:
V
_i_ _L i _i_ _i_ Ml _i_ i Ml
' 2 2 '" 2 "" 2 ~* 2 ~"~ ' ' ' ' 13G 2 '
wo ^ im Ganzen 25Gmal, dagegen -~^ nur ISGmal vorkommt, so dass
der s el be gleich
ist, wie oben gefunden.
.9.
Bestimmung des Gewichts der aus den Gleichungen (18) und (19)
des . 4 erhaltenen Grossen.
Sind noch Bedingungsgleichungen gegeben, denen die gesuch-
ten Grossen zu geniigen haben, wie dies in . 4 der Fall ist, wo
die Unbekannten den Gleichungen (16) geniigen mlissen, so haben
wir dort schon gesehen, dass die Ermittelung dieser Unbekannten
immer auf die Auflosung von linearen Gleichungen zuriickgefiihrt
werden kann. Stellen wir dies unter einer etwas verschiedenen
Form dar, so wird man sagen konnen, es seien die wahrschein-
lichsten Werthe von n Grossen x l , x. 2 , . . . , x n zu bestimmen,
so dass dieselben genati den Gleichungen
4*
52
Bestimmung des Gewichts bei Bedingungsgleichungen.
der Anzahl nach r , geniigen, wo dann KI , . . . , a n , a, . . . , <3 l9 ... 9
tf w , tf bekannte Grossen sind, wahrend durch unmittelbare Beob-
achtung gegeben ist:
a i x \ ~\~ 1>i a? -\- GI x 4" MI (Gew. gi) ,
g m ),
(26)
und worin die M l , . . . , M m die DifFerenzen F
n r sein,
da jetzt nur n r wirklich Unbekannte vorhanden sind.
Gemass . 3 muss nun die Summe
ein Minimum sein , wahrend zwischen #j , #2 5 noch die (25)
bestehen. Zur Auflosung bieten sich nun zwei Wege dar. Ent-
weder man bestimmt aus den (25) r der Grossen Xi , x. 2 , . . .
durch die iibrigen n r, setzt deren Werthe in (27) und difFe-
renzirt dann diese Grosse nach jeder der bleibenden Unbekann-
ten, indem man jeden DifFerentialquotienten Null setzt; oder man
fiigt, wie in . 4, zu (27) noch die Grosse
+ -) +
hinzu, und difFerenzirt dann nach jeder der ?z Unbekannfcen , in-
dem man wieder jeden DifFerentialquotienten Null setzt. Beide
Wege geben begreiflich dasselbe.
Erste Auflosung.
Gesetzt, es folge aus (25):
A _1_ fi _l_ _i_ T '
A |
4-
(28)
Boistimmung dcs GewicLts bci Bedingnngsgleichungen. 53
wo die Grossen A, B, . . . , L 9 a', . . . , Z' bestimmte Constanten
sind, so werden die Gleichungen (26) nun sein, wenn man die
Coefficienten von a r + i in der ersten, zweiten, . . . derselben mit
(r + l)i, (r + l)a,...; die von ar r+a mit (r -\- 2) l5 (r-f 2) 2 ,...
u. s. w. bezeichnet:
[(r + 1), + a, A, + b, A 2 + c, A 3 + . . .] Xr +,
+ [(r + 2) 2 + 2 + 2 ^1 + *2 4? + <*8 ^3 + ] *r + l
[(r + 2) 8 + a 9 A + ' v -
Da weiter #!,...,#,, durch (28) gegeben sind, so folgt aus
. 7 , wenn man die dortige Grosse K mit jeder der Grossen
x l , . . . , x r vergleicht, dass das Gewicht
von Xi ist
___ _ i _
^%Z#^^
von #2 ist
u. s. w.
Man hatte auch sagen konnen, dass wenn man in (30) statt
der zweiten Seiten gesetzt hatte
1) AD BI, . . ., LI und dann fiir x r +i, . . . , x n gefunden
hatte r -j-i, . . ., | w , das Gewicht von x\ gewesen ware
2) A 2 , jB 2 , . . ., L 2 und die jetzt erhaltenen Werthe von
das Gewicht von # 2
ware
1
u. s. w.
Zweite Auflosung.
In diesem Falle hat man nach . 4 ausser den (25) noch:
,ac]x 3 +...+k l a 1 +k. 2 p l +...+k r 6 1 =[gaM],\
..4*
+^^
aus welchen Gleichungen nun [in Verbindung mit (25)] die Werthe
von x l , #2 , . . . , x n , &i , . . . , & r folgen, und natiirlich fiir xi , . . . , ^ w
dasselbe erhalten wird, wie bei der ersten Auflosung.
Gesetzt nun es f'olge hieraus
Bestimmung des Gewichls bei Bedingungsgleichungen. 55
, = P, \gM\ + P, [gbM] + P s [goM] + ...+ ',,
= Q, [gaM] + Q. 2 [gbM-] + Q, IgcM] + . . . + 2 ,
wo die 81, d 2 , d s , . . . von den zweiten Seiten der Gleichungen
(31) nicht abhangen, so behaupte ich, seien die Gewichte von
1 11
MI , &2 5 #3 > gleich -p- , -~ , -=r- , . . . genau wie in . 7.
Zu dem Ende haben wir bloss zu zeigen, dass die Grosse
AI J r +i -\- B | r + 2 -\- der vorigen Auflosung der Coefficient
von \gaM] in dem Werthe von ^ ist. Nun ist aber
A | ~D \ \ T , I /
X\ .o-l X r _I_ i *~j *-'\ "^r-j-2 ~' ~~ "~ -*-*\ n ]
+ (A, A" + B, B" + C, C" + . . .)
Aber es ist
Q. = Jlaf.a Vb ^c . . .,
J = (r + 1) + ^ a + A 2 b + ^ 3 c + . . .,
II = (r + 2 ) + A a + B 9 b + 5 8 c + . . . ,
woraus leicht folgt, dass der Coefficient von \gaM\ in dem Werthe
von X ist:
C.O"
+ Ci (^ <7' + 5, C" + C, O" + ...) + ...,
wodurch denn obige Behauptung gerechtfertigt ist. Dass aber
dasselbe fiir alle x gilt, die nach (32) bestimmt sind, also auch
fiir # r +i , . . . ist klar und lasst sich auch leicht beweisen. Sucht
man namlich in (30') in dem Werthe von x r + i den CoefScienten
von [g(r -)- V)M\ 9 so wird er gleich A* sein, da nur in gIG die
Grosse g (r -\- l)M vorkommt.
Damit ist dann auch die allgemeinste Aufgabe erledigt. Es
kann sich dabei ereignen, dass die Grossen M der zweiten Seiten
in (26) Null sind. In diesem Falle miisste man allerdings nicht
behalten, sondern etwa allgemeinere Zeichen, A, B, C, . . . fiir
die zweiten Seiten setzen, wie dies in (24) vorgeschrieben worden.
56 Beispiele hiezu.
Wir wollen dies zunachst auf ein einfaches Beispiel anwen-
den. Gesetzt in einem ebenen Vierecke seien f tir die vier Winkel
die Werthe a, /?, y, d erhalten worden, welche man zugleich als
Naherungswerthe dieser Winkel gelten lassen kann; die Gevvichte
dieser Bestimmungen seien g l9
und es ist also
0i ^'i ^ ^2
nach ^ , . . . , o?4 zu diffenziren, so dass a?j , . . . , # 4 , k aus
0! 0J -f- fc = 0, # 2 # s + * 0, g 3 x 3 + k = 0, # 4 a; 4 + k = 0,
#1 + #2 + % + ^ 6
zu bestimmen sind. Will man aber die Gewichte von x l9 . . . , # 4
ermitteln, so setze man
so wird der Coefficient von ^4 in ^ das Gewicht von x l , der
von B in ^ 2 das von x^ u. s. w. geben. Man zieht aus diesen
Gleichungen :
v _ ( A
,,, (- g
010203 + 010204 + 010304 + 020304
tr _ (CA
.+ 010204 + 010304 + 020304
3 ^010304
J. =
010203 + 010204 + 010304 + 020304
(-P g )0103 + (-P O0102 ^010203
010203 + 0f0204 + 010304 + 020304
Die wahrscheinlichsten Werthe von ^, . . ., # 4 finden sich hier-
aus, wenn man A = JB = C=D = Q setzt. Fiir die Gewichte
dieser Grossen erhalt man aber
Beispiele hiezu. 57
01 02 03 + 01 02 04 + 01 03 '/4 + 02 03 04 01 02 08 +01 02 04 +01 03 04 + 02 03 04
0304+0204+0203 0304 + 0104+0103
01 02 03 + 01 02 04 + 01 03 04 + 02 03 04 010203+010204+010304+020304
0204 + 0104+0102 0203+0103 + 0102
In dem speciellen Falle , da y = s ergiebt sich
wo J" den gemeinschaftlichen Nenner bezeichnet, da hier Jj^^
= C-i = 1 , so ist also das Gewicht von a? 4 :
58 Beispiele hiezu.
1 J
ty i/ ty
ebenfalls wie oben.
Wollte man in dem Beispiele IV. des . 5 die Gewichte jeder
der 12 Correctionen, also auch der 12 endgiiltig gefundenen Win-
kel, bestimmen, so miisste man folgende 17 Gleichungen auflosen:
40(1) + k, = A l9 20(2) k,- k, = A 2 , 20(3) -f k 6 = A 3 . 9
30 (4) k L = A, 10 (5) -f k L -f k 2 = A 5 , 30 (6) ^ = ^ 6 ,
30(7) + k 2 k 3 = A 7 , 30(8) -f k* = A 89 20(9) -f jfe s = J 9 ,
(5) - (4) _ (6) = 9,75, (7) - (2) + (1) -f (5) = 4,64^
(9 ) _ (7) -- (10) 1,12, (11) -- (10) + (8) = 18,46,
(3) - (2) - (10) - (12) = 24,68,
und wenn dann die Einheit dividirt wird durch den Coefficienten
von AI im Werthe von (1), den von A 2 im Werthe von (2) , . . . ,
den von ^4 12 im Werthe von (12), so hat man die Gewichte von
(1), (2), . . ., (12), d. h. der 12 zu bestimmenden Winkel. Man
sieht leicht, dass wenn man nur dieee Gewichte bestimmen will,
man in den 5 letzten obiger 17 Gleichungen fur die zweiten Sei-
ten Null setzen kann.
Die in den obigen Rechnungen vorkommenden Grossen g l9
g?9 "> g m miissen als zum Voraus bekannt angesehen werden,
entweder indem ein Resultat durch Anwendung des Satzes vom
arithmetischen Mittel erhalten worden (. 8) , oder sonst wie. Eine
ungefahre Schatzung der Gewichte ist jedoch selten anzurathen,
da man sich hierin sehr leicht tauscht, ja gewisse Beobachtungs-
weisen mit einem Vorurtheile in Bezug auf ihre Giite zu betrachten
pflegt. Es ist daher immer am gerathensten , wo moglich gleich
genaue Beobachtungen anzuwenden, und einfache Beobachtungen
lieber als gleich genau anzunehmen, wenn man auch weiss, dass
sie dies nicht geradezu sind. Sind aber die gi, . . ., g m bekannt,
so kann man, dem Vorstehenden gemass, die Gewichte der ge-
suchten Unbekannten, sowie beliebiger Functionen derselben, in
alien rnoglichen Fallen bestimmen. Kennte man noch den zu
einer Beobachtung vom Gewichte 1 gehorigen wahrscheinlichen
Fehler r, so wiirde man (nach 3), da die Gewichte sich umge-
Wahrscheinlicher Fehler tier Beobachtung vom Gewichte 1. 59
kehrt verhalten, wie die Quadrate der wahrscheinlichen Fehler,
diesen wahrscheinlichen Fehler fiir jede der Grossen, deren Ge-
wicht man keimt, erimtteln konnen. Es handelt sich also endlich
nur noch um die etwa mogliche Bestimmung jener Grosse r.
10-
Bestimrnunir des wahrscheinlichen Fehlers einer Beobachtune;
vom Gewichte 1 aus den gegebenen Beobachtungen.
Seien vvieder wie in .3 AI, /i 2 > ., h m die Maasse der
Genauigkeit der Beobachtungen, deren Gewichte gi, g%, , g m
seien ; sei ferner h das Maass der Genauigkeit einer Beobachtung
vom Gewichte 1, so ist ( 3)
Unter der Annahme nun, dass man fiir h den rechtenWerth
gewahlt habe, ist die (theoretische d. h. zum Voraus berechnete)
Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Eintreffens der Beobach-
tungsfehler v i9 v$ 9 . . ., v m (gemass (7) in . 3):
Diese Grosse andert sich mit dem Werthe von /i, so dass
die Annahme eines beliebigen Werthes von h als eine Ursache
anzusehen ist, aus der als Wirkung obige Wahrscheinlichkeit
fliesst; nach der uns nun bekannten Schlussweise (Einl. VI.) ist
also die Wahrscheinlichkeit, ein gewahlter Werth von h sei der
rechte, gleich
- to "1
wo 2 sich auf alle moglichen Werthe von /* erstreckt. Diese
Werthe gehen aber von bis as , so dass wenn e eine unendlich
kleine Grosse bedeutet, diese Wahrscheinlichkeit ist
60 Wahrseheinlicher Fehler der Beobachtung vom Gcwiehte 1.
In Ermangelung anderweitiger Kenntnisse wircl man nun den-
jenigen Werth von h wahlen^ der diese Grosse zu eineni Maxi-
mum macht. Der Nenner ist eine Constante ; differenzirt man
den Zahler nach h und setzt das Resultat Null, so ist
] e-**Wl = 0,
= 0,
also da nicht h m ~- 1 = 0, nnd nicht g ^M =0, so ist
m 2/*22 0, d. h.
Hat man nach dieser Gleichung h bestimmt, so ergiebt sich
der wahrscheinliche Fehler der Beobachtung vom Gewichte 1
mittelst der Gleichung rh = Q (. 3).
Was nun aber die Summe [i 2 + 2 2 + + gmVm 2 * & e der Kiirze halber mit Q/i? 2 ]
bezeichnet werden moge, so wird diese Summe nothwendig klei-
ner sein als \g v*] , da ja nach eben dem Grundsatze der kleinsten
Quadratsummen die Grosse Q/^o 2 ] das Minimum von [#u 2 ] ist*).
Wollten wir also in (33) fur [#v 2 ] kurzweg [^v 2 ] setzen, so
wiirden wir h sicherlich zu gross, also r zu klein finden, und wir
miisvsen uns also nach einem Verfahren umsehen, das uns nicht
den wahren Werth von Q/v 2 ], den wir wegen Unkenntniss der
wahren Werthe -der Unbekannten nicht ermitteln konnen -- doch
einen mehr richtigen Werth dieser Grosse liefern. Wir beachten
*) Hat man den allgemeinen Fall des . 9 im Auge, so ist
\vo i'iir a; n x 2 , . . . , x n die nach jcnem . gefundeneri Werthe einzusetzen sind,
die, wie oben gesagt, die Grosse zweiter Scite zu cinem Minimum machen.
Wahrscheinlicher Fehler der Beobaclitung vom G-ewichte 1. 61
zu clem Endc, class zur Ermittelung des wahren Werthes von
[#v 2 ]> wie gesagt, die Kenntniss der wahren Werthe der Unbe-
kannten nothig ware. Diese wahren Werthe aber zu bestimmen,
haben wir kein Mittel; wir wissen bloss, dass sie von den be-
stimmten wahrscheinlichsten Werthen der Unbekannten nicht viel
abweichen. Theoretisch jedoch mlissen wir jede beliebige Abwei-
cliung als zulassig erachten, obgleich nicht jede solche Abweichung
gleich wahrscheinlich ist. Fur jede andere Abweichung der wah-
ren Werthe von den wahrscheinlichsten nimmt die Differenz
& v2 ] [0 v o 2 ] aucn einen anderen Werth an, und wir wollen
nun, als den annehmbarsten Werth dieser Differenz den mittleren
Werth aller dieser moglichen Werthe (. 4) wahlen, dabei jedoch
natiirlich darauf Riicksicht nehmen, in wie weit jede einzelne Ab-
weichung mehr oder minder wahrscheinlich ist.
Bestimmung des mittleren Werthes der J)ifferenz \_gv*~\ [#^o 2 ]
Ehe wir hiezu iibergehen konnen, wollen wir diese Differenz
zunachst unter einer etwas anderen Form darstellen. Fassen wir
dabei sogleich den in . 9 betrachteten Fall, als den allgemein-
sten ins Auge, so werden in den Gleichungen (29) nur noch n r
der n Unbekannten vorhanden sein, da die anderen r mittelst der
Gleichungen (25) durch jene n r ausgedriickt sind. Wir wollen
als besonderen Fall einmal annehmen, es sei n r = 3, d. h.
es seien in den (29) nur noch drei Unbekannte, die wir etwa
mit | , v , f bezeichnen wollen. Die durch die Gleichungen (30)
gegebenen wahrscheinlichsten Werthe derselben seien | , v Q9 J >
so dass also
[gill] ! + foil"] v t + [glllll-j g = [gllG],
|
Setzt man nun
wo also z/g, z/i>, z/^; die an f , V Q , ^ anzubringenden Verbes-
serungen sind, BO ist fiir diesen Fall
62 Wahrscheinlicher Fehler der Beobachtung vom Gcwichte 1.
- .93 (Ji & + II, v, + HI, ft, - 6? 3 ) 2
= 80, (I, + 1/^0 +
(nach (a)) .
Also 1st
\3 2 ] ~ \S o 2 ] = 9i (Ii *l + Hi 4
Eqtwickelt man die Quadrate der zvveiten Seiten , so wird
man haben
v -f-
wo ^4 , . . . , .P leicht aus dem Vorigen bestimint werden konnen.
Setzt man nun
so 1st
wo wieder ^4', jB', C' leicht zu bestimmen sind, jedenfalls aber
kein ^/|, z/v, z/J enthalten. Setzt man weiter
A' 4v -f 5'z/S qp 2>
so ist
und wenn endlicl)
Wahrscheinlicher Fehler der Beobachtung vom Gewichte 1. G3
so hat man
Daraus folgt, class wenn n r = i man allgemein wird setzen
konnen :
wo 9! , . . . , cp i lineare Functionen der Verbesserungen der n r
unabhaiigigen Unbekannten in den Gleichungen (29) sind, und
zwar von folgenden Formen:
fp l
()
Da [grv 2 ] &^o 2 ] wesentlich positiv ist, so sind auch ^i,..., ^,-
nur ppsitiv, wie sich ohnehin durch das Endresultat herausstellen
wird.
Es folgt aus den Gleichungen (c), dass wenn man qpi,..., 9?,
kennt, man auch 4as r + i, . . ., ^/^ OT leicht finden kann, so dass
man die ersten Grossen statt der letzteren wird in Betrachtung
ziehen konnen. Es wird nun unsere Aufgabe sein, den mittleren
Werth jeder der Grossen &i(jPi 2 , . . . , k { cp^ zu bestimmen. Zu
dem Ende beachten wir, dass ^# r + i, . . ., ^/c w > a ^ so aucn
9? 1? . . ., (pi alle moglichen Werthe annehmen konnen, dass aber
diese moglichen Werthe keineswegs gleich wahrscheinlich sind.
Es war nun die zum Voraus berechnete Wahrscheinlichkeit
des gleichzeitigen Eintreffens der wahren Beobachtungsfehler
u - v m (. 3)
Wahlt man nun ein System der tp l9 . . ., tp i9 so werden da-
durch gewisse Oj, . . ., v m erscheinen, und sie werden andere
sein, wenn ein anderes System gewahlt wird. Man wird also
auch sagen konnen, es driicke die Grosse (cQ die Wahrscheinlich-
keit aus, dass unter der Annahme eines Systems von Werthen
G4 Wahrscheinlieher Fehler der Beobachtung vom Gewichte 1.
fiir q> 19 . . . , (pi als den rechten Werthen dieser Grossen, die
Beobachtungen F l9 . . . , F m gemacht, also die Fehler v i9 . . . , v m
begangen. worden. Nach der uns nun bekannten Schlussweise
(Einl. VJ.) wird also, da die Beobachtungen F 19 . . ., F m gemacht
worden, die Wahrscheinlichkeit^ das angenommene System sei das
rechte, sein
wo 22 . . . sich auf alle moglichen Werthe von q>i, . . ., qp f be-
zieht, wo man also [gv*] nach (b) zu ersetzen hat. Beachtet man
dass c, e~ * 2 [?o*l kein i sich beziehende)
Grossen sind, so ist dieselbe
+ 00 +00 +CO
I e-V^^dyiJ e~ h * fc * ^ 8 dy. 2 ... I e~
* d i der wahre, was auch qp 2 ,..., (p {
seien, so werden wir, nach der aus . 6, II. uns nun bekannten
Schlussweise nach qp 2 > > , so dass die
Wahrscheinlichkeit, (pi liege seinem absoluten Werthe nach zwi-
schen a und b (b ^> a), ist
b
9 1> r *
* K I e kv dm. (/)
V7t J
&
Dienger, Methode der kleiusten Quadratsummeii. 5
66 Wahrscheinlicher Fehler der Beobachtung vom Gewichte 1.
bk
2 r
Setzt man hier kcp = z, so wird das Integral = -==. I e~ z d
ak
und wenn ak = a', bk = b', so driickt also
die Wahrscheinlichkeit aus, der wahre Werth von ^ liege zwi-
a' 6'
schen tmd -7-, abgesehen vom Zeichen. Man kann deshalb
auch sagen (. 2), dass von m moglichen Werthen von cp 1 ihrer
b'
/ e~**dz zwischen und liegen werden, was um so wah-
rer ist, je grosser m ist.
Wir wollen nun eine ganze Reihe moglicher Werthe von a'
und &' uns denken, gehend von bis co, und die um den unend-
lich kleinen Unterschied s fortschreiten , so werden nach dem
Vorstehenden, von m moglichen Werthen von ^ liegen
n ., 2m r 2m n2
zwischen und T- ihrer r~r= I e~ z dz = e~ u g,
V it g 7 V it
2f
s 2s 2m r 2m .,
T- T- '> 77= e~ z *dz = - 7 =e~ f ,
3e
3 4f_ 2m / _^ 2m
k " k " ~\/~~ J 6 ~ l/~"
was desshalb richtig ist, weil die Granzen der Integrale unend-
lich wenig verschieden sind, sich daher das Integral nur auf ein
einziges Element reducirt. Dabei ist verstanden, dass z. B. die
-^= e~@ *) 2 Werthe von (pi zur Halfte zwischen -r- und -
Wahrscheinlieher Fehler der Beobachtung vom Gewichte 1. 67
und zur Halfte zwischen und -r- liegen. Die Werthe von
qp! 2 sind innerhalb dieser beiden Theile dieselben, und da .diese
Granzen jeweils unendlich wenig verschieden sind, so behalt in-
nerhalb desselben Intervalls qp 1? also auch (p^ immer denselben
Werth. Man wird also sagen konnen, dass es gebe bei m mog-
lichen Werthen von cp l :
2 m
ihrer ^ e~ Q * s Werthe von (p^, jeder = O 2 ,
V it
;' J. 9 vn
deren Summe = ^ e~ 2 . O 2 ,
V 7C
ihrer ==. e~ f * e Werthe von gp! 2 , jeder = (y) ,
V 7t \K/ .
2m _, 2 2
deren bumme = -7= e f s - 7-,
V 7t *
ihrer p= g~ ( 2 *) 2 Werthe von ^j 2 , jeder =:{),
V Tt \ K /
2m r2 ,^ 2 (2f) 2
deren Summe = ^ e *> *' 8 ^ ,
V ?r * 8
ihrer -~r=^e~^ f ^ Werthe von (pi 2 , jeder = Ffrr
y ^ \
%m _ (3f ^ (3f)2
deren Summe = ~j= e ^*/ v y
Die Summe aller Werthe von ?! 2 ist demnach
A; 2 V ^
worin die Vielfachen von s bis zum Unendlichen gehen. Daraus
folgt, dass diese Summe
2m C 8 , w
v/ -7 - 7= / ^ Z^dz = trj
fcy^tJ 2k*
ist. Da die Anzahl der Werthe ra ist, so ist der mittlere Werth
(. 4) = -^yr , worm m nicht vorkommt, und wir uns also m ganz
2 K*
wohl als unendlich denken konnen. Setzt man fur k seinen
5*
C8 Wahrseheinlicher Fehler der Beobachtung* vom Gewichte 1.
Werth, so 1st also der mittlere Werth von cp^: , mithin von
LI fC-^ fl^
ki (pi 2 ' ^77- Daraus ergiebt sich nun, dass der mittlere Werth von
ki < a gleich ~ == = ist.
Demnach werden wir setzen
und zwar mit moglichster Naherung. Da nach (33): [gv 2 ~] =
m . ,
, so ist also
m
-- 0j
woraus
__ m n + r
2 '
welche Gleichung als moglichste Naherung muss angesehen werden.
Wir ziehen daraus:
1) wenn keine Bedingungsgleichungen gegeben sind,
und ihrer n Unbekannte mittelst in Beobachtungen zu bestimmen sind,
man also im Falle des . 7 ist, wobei r =. 0, so wird das Maass der.
Genauigkeit einer Beobachtung vom Gewichte 1 gleich sein J/ ^ - ^ ,
also der wahrscheinliche Fehler dieser Beobachtung
= 0,6744897
m n m n
2) Wenn r Bedingungsgleichungen
zwischen den n Unbekannten gegeben sind, und ausserdem noch
m Beobachtungen, wo also der Fall des . 9 eintritt, so ist das
Maass der Genauigkeit einer Beobachtung vom Gewichte 1 gleich
5-= -C , und der wahrscheinliche Fehler dieser Beobach-
2[>vo 2 ] '
[>*o]
tung = 0,6744897 v - p .
m n-\-r
Kennt man nun den wahrscheinlichen Fehler einer Beobach-
Beispiele hiezu. 69
tung vom Gewichte 1, so kann man leicht den jeder anderen
Beobachtung oder daraus bestimmten Grosse, deren Gewicht man
kennt, ermitteln, indem die Gewichte sich umgekehrt verhalten,
wie die Quadrate der wahrscheinlichen Fehler. Es bleibt uns
freilich noch zu ermitteln, welches Gewicht man der nunmehr
durchgef'iihrten Bestimmung von h beizulegen habe. Vorher aber
wollen wir zunachst einige Beispiele naher betrachten.
. 11.
Beispiele zum Vorstelvenden. Berechnung von [gvo*'].
1) Fiir das erste Beispiel des . 5 findet man, indem man
jeden beobachteten Werth von dem ermittelten Werth abzieht,
folgende Werthe von v:
VI 8,086, v 2 = 6,914, v 3 = 2,086, v 4 = - 7,914,
i> 5 =-- 14,914, t? 6 = 7,086, v 7 = 6,414, v 8 = 9,086,
v 9 = 3,086, v 10 = 3,086, v n = 6,914, v 12 = - 1,914,
VIB = _ 8,414, v u = 5,914, v ls = 3,914, v 1Q = 13,086,
VII = __ 2,914, ^ 18 = 4,914, v 19 = 1,914, v 2Q = - 2,414,
t , 21 = _ 0,914, V M = 7,086, v 23 = 5,914, v 24 = 9,086,
v 96 = 14,086, v w = 15,086, * = 3,414, v 28 = - 4,914,
v 2g = 0,414.
Da sammtliche g = 1, so ist jetzt Q/^o 2 ] = 1612, also da
m = 29 , w = 1 , der wahrscheinliche Fehler einer Beobachtung
vom Gewichte 1 gleich 0,6745 y -^=5,118, und der wahr-
5118
scheinliche Fehler von x: ' = 0,950. Man kann also eins
V29
gegen eins wetten, es liege der wahre Werth von x zwischen
5,086 + 0,950 = 6,036 und 5,086 0,950 = 4,136.
Da man den wahrscheinlichen Fehler jeder einzelnen Beob-
achtung kennt, so kann man nach . 2 auch die Lage der
Beobachtungsfehler ermitteln. , Jetzt ist das dortige h = =
^ I/" 28 a_ 0,6745 1/ r 1612 _ 1/? 1/"l612
"0^745" V 1612' h = ~j> V 28 = " V * V 28 :
70 Beispiele hiezu.
10,73 a, so dass also die Wahrscheinlichkeit, der begangene
Fehler liege zwischen 10,73 a und 10,73 a gleich ist
2 r
j^ I e~ zZ dz. Setzt man nach einander a (ah) = 0,1, 0,2, . . .,
V 7t *J
so findet man, dass von 100,000 Fehlern ihreni absoluten Werthe
nach zwischen
und 0,1 . 10,73 == 1,073 liegen 11246, also von 29: 3,
in Wirklichkeit 2,
und 0,2 . 10,73 2,146 liegen 22270, also von 29: 6,
in Wirklichkeit 5,
und 0,3 . 10,73 3,219 liegen 32863, also von 29: 9,
in Wirklichkeit 9,
und 0,4 . 10,73 = 4,292 liegen 42839, also von 29 : 12,
in Wirklichkeit 11,
und 0,6 . 10,73 == 6,438 liegen 60385, also von 29: 17,
in Wirklichkeit 16,
und 0,8 . 10,73 = 8,584 liegen 74210, also von 29: 22,5,
in Wirklichkeit 23,
und 1,0 . 10,73 = 10,73 liegen 84270, also von 29: 24,
in Wirklichkeit 25,
und 1,5 . 10,73 = 16,095 liegen 96610, also von 29:. 28,
in Wirklichkeit 29;
auch liegen 13 Werthe von v unter 5,118, 1$ dariiber. Man
sieht, dass die Vertheilung der Fehler der Theorie so ziemlich
entspricht, obwohl wir den wahren Werth von h nicht geradezu
kennen, und ebenso wenig den wahren Werth von x, also die
wahren Beobachtungsfehler auch nicht.
Man konnte sich hierbei die Frage aufwerfen, wie viele
Beobachtungen von derselben Genauigkeit, wie die angegebenen,
wohl nothig sein wiirden, urn den wahrscheinlichen Fehler in x
auf 0,1 statt 0,950 zu bringen. Sei die Anzahl derselben, so
1 r \i"i 2~i i
ist der wahrscheinliche Fehler in x gleich o V^ V \ "77=
1 V a
y fo!-J
Was nun die Gr5sse ^ 2 anbe -
Beispiele hiezu. 71
langt, so kann sie natiirlich nur geschatzt werden; jedoch wer-
den wir naherungsweise haben (. 10)
1612
also
so dass also etwa 2619 solcher Beobachtungen nothig waren.
Endlich kann die Berechnung der Grosse [#?V 2 ] in diesem
und ahnlichen Fallen bedeutend leichter gemacht werden.
1st namlich eine Grosse x mehrfach beobachtet worden, und
man hat deren (wahrscheinlichsten) Werth mittelst des Satzes
(20) in . 4 gefunden, so dass
so ist
= 4" F, also [>o 2 ] = [
14
79
662
11
+ Ifr
92
196
177
19
80
681
11
03
93
237
rt
60
81
672
71
+ 06
94
153
11
+ 24
82
637
644
+ 07
95
197
11
20
83
532
540
+ 8 /
Da die sammtlichen g 1, so erhalt man durch Quadrirung
der Werthe von v und Addition:
[gv Q *] = 0,038053.
Ferner ist hier in der Formel (33') m = 95, n = 2, r = 0,
also ist der wahrscheinliche Fehler der Beobaclitungsweise gleich
0,6744897
gleich y
93
2 . 0,038053
= 0,0136; ferner ist die Grosse h in (33')
, so dass, wenn man in der Tabelle des
. 2 ah = a, also a = j- setzt, man hat
a 1/2 . 0,038053
a y- = a y ^ = 0,0286 . a ,
lit t/O
so dass wenn man a nach einander setzt 0,1, 0,3 . . ., man wird
sagen konnen, dass von 100000 Fehlern liegen zwischen
und 0,1 . 0,0286 = 0,00286 ihrer 11246, also von 95: 10,5,
in Wirklichkeit 7,
dnd 0,3 . 0,0286 = 0,00858 ihrer 32863, also von 95: 31,
in Wirklichkeit 35,
74 Beispiele hiezu.
und 0,5 . 0,0286 = 0,01430 ihrer 52050, also von 95 : 49,4,
in Wirklichkeit 50,
und 0,7 . 0,0286 = 0,02002 ihrer 67780, also von 95: 64,5,
in Wirklichkeit 67,
und 1,0 . 0,0286 = 0,02860 ihrer 84270, also von 95: 80,
in Wirklichkeit 80,
und 1,5 . 0,0286 = 0,04290 ihrer 96610, also von 95: 91,7
in Wirklichkeit 94,
und 2,0 . 0,0286 = 0,05720 ihrer 99532, also von 95: 94,5,
in Wirklichkeit 94.
Ferner liegen unter 0,0136 ihrer 47, iiber 0,0136 aber 48
Fehler, so dass wirklich die Beobachtungen mit der Theorie so
ziemlich ubereinstimmen.
Was die wahrscheinlichen Fehler der beiden Grossen x und
y anbelangt, so ist (. 8)
01 ^fi
der von 8,81297 gleich -^ = 0,004725,
V 8,3
der von 0,0057695 gleich Q' Q136 = 0,00002145.
V401746
3) Wollte man ebenso fur das vierte Beispiel des . 5 ver-
fahren, so waren die dortigen Grossen (1), . . ., (12) geradezu
unsere v, so dass also
[>*] = 40 (1) + 20 (2) H (- 50 (12)*;
dann ware in der Formel (33') jetzt m = 12, n = 12, r = 5,
da man nur 12 Beobachtungen fiir 12 Grossen hat, fur die 5
Bedingungsgleichungen bestehen. Demnach ware der wahrscbein-
liche Fehler einer Beobachtung vom Gewichte 1 gleich
0,6744897 ]/ E^3 . Die wahrscheinlichen Fehler der gemach-
ten Beobachtungen, deren Gewichte 40, 20, . . ., 50, sowie der
Endresultate, deren Gewichte nach . 9 bestimmt werden, finden
sich dann in bekannter Weise.
4) Man kann vermittelst des Vorstehenden auch die Aufgabe
leicht losen, zwei histrumente, die zu denselben Messungen ver-
wendet werden konnen, in Bezug auf ihre verhaltnissmassige
Giite und Brauchbarkeit zu priifen. Wir wollen annehmen, man
Gewicht des Werthes h. 75
habe zwei Theodoliten, die man in dieser Beziehung untersuchen
soil. Man messe nun mit dem einen derselben einen bestimmten
Winkel sehr viele Male, berechne nach . 4 den wahrscheinlich-
sten Werth desselben und dann nach . 10 den wahrschein-
lichen Feliler der Beobachtung vom Gewichte 1, d. h. der ein-
fachen Beobachtung, wenn man alle gemachten Beobachtungen
als gleich genau ansehen kann und jeder das Gewicht 1 beilegt.
Ganz ebenso verfahre man mit dem anderen Theodoliten, wobei
man keineswegs denselben Winkel wie vorhin zu messen hat. Sind
nun r, r( die gefundenen wahrscheinlichen Fehler, so verhalten
sich die beiden, mittelst der zwei Theodoliten durchgefiihrten
Beobachtungsmethoden wie : , in welchem Verhaltnisse nam-
lich die Gewichte stehen, die man den Beobachtungen, die mit
diesen zwei Instrumenten gemacht sind, beilegen muss, wenn man
sie mit einander verbinden will. Kennt man dies nun einmal,
so wird man, wenn man denselben Winkel mit beiderlei Instru-
menten gemessen hat, der einfachen Beobachtung mittelst des
ersten Instrumentes das Gewicht 1, der aber mittelst des zweiten
(f \ 2
J beilegei
Gewicht des durch (33') best-iminten Werthes von ^, also
wahrscheinlicher ^Fehler dieser Grbsse, vorausgesetzt
m sei gross.
Wir haben in . 10 gesehen, dass die Wahrscheinlichkeit,
ein beliebig angenommener Werth von h sei gerade der rechte
Werth dieser Grosse, ist
wo wir zur Abkiirzung die Grosse [d-i, 10 d,..., w c _r, ...
fiir sich arithmetische Reihen bilden, so dass:
w - u = Wi w = w 2 - Wi =...
w f _i u
W c W c _i = W c i W
d C
e d
Setzt man dies in (C 1 ), so erhalt man:
~ w -i = yn x,
wo die ste die vor der wten hergehende Ablesung bedeutet.
Hieraus nun bestimmt man x in folgender Weise. Man di-
vidire die erste Gleichung (D) durch f2y -| -- Jc und addire sie
dann zur zweiten, so fallt u weg; dividirt man nun diese neue
Gleichung mit dem mit (6? c) nmltiplicirten Coefficienten von
w c _i und addirt sie dann zur dritten, so verschwindet 10 <.__!,...,
so dass endlich erhalten wird:
Lw n ^i = M -f- NX,
wo L, M, N bekannte Grossen sind. Wendet man dasselbe
88 Tbeorie des RepetitionsverfaLrens.
Verfahren an, indem man mit der letzten Gleichung (D) anfangt
und nach einander w_i, w a i, - w c \ wegschafFt, so er-
halt man
L'u = W + N'x,
wo Z', M', N' abermals bekannt sind. Zieht man hieraus u,
w n i, und beachtet, dass
-! nx
... /ii
v + *'iH ----- h u -i (w + ^H
also die (^):
w w i nx k
so hat man
M' + N'x M4-Nx
nx + ^~ ~
X ~~
LL'n
woraus, da k eigentlich 0, als wahrscheinlichster Werth von x
folgt:
ML' M'L
x
nLL'+N'LNL'
mit dem Gewichte
nLL' N'L NL' .
so dass der wahrscheinliche Fehler von x ist wegen a = :
\f 2LL'
a V nLL' + N'LNL''
III. Besonderer Fall, da c, d, . . . n eine arithmetische
Keihe bilden.
In der Regel geschehen die Ablesungen so, dass man etwa
von 5 zu 5, oder 10 zu 10 u. s. w. Operationen wieder abliest.
In diesem Falle, den wir besonders betrachten wollen, bilden
c, d, e, . . . eine arithmetische Reihe und es ist d= 2c, e
Theorie des Repetitionsverfahrens. 89
3c, . . ., s = (p l)c, n = pc\ multiplicirt man nun die (D)
mit c und setzt cy -\- 1 = &, so ist
(2& Y)u w c i =f& V)m ex,
u ~\~ 2kwci w 2c i =2(k
- 111 I
^c i n
|-(2* l)w pc _i =
Verfahrt man mit diesen Gleichungen, wie oben fiir die (D)
vorgeschrieben, und setzt nach einander:
1 m
oT T i ' oT i"
^ A; JL AI K J-
1 Jt/1
(E)
Q 7 J_ , ^^2 I
2k
so zieht man aus (D') in der angegebenen Weise:
1
2&-1
ex
C 'T*
so dass
90 Theorie des Repetitionsverfahrens.
Setzt man weiter:
m n .
-- m (p - l)e r=
1 I If
1 ^k
X
t .
-- \- m (p - 3) = M'a
fC 2
m = M
/>
so hat man eben so
I,' = k p = L, M' = 2 (k - -
Demnach ist
mit dem Gewichte
Was ^ p anbelangt, so ist, wie leicht ersichtlich
wo der Kettenbruch die Ghrosse 2 k in seinen Nennern
wiederholt. Sonst ist
1 mal
k r =
1
2k-
wo 2 & in den Nennern r -- Imal wiederholt ist. ,
Um eine Naherung zu erhalten, wollen wir annehmen, n
so wie p seien ziemlich gross, so ist, da k ^> 1, also k i9 k%, . . .,
^p desgleichen ^> 1, die Grosse r , /0 , ^- sehr klein, so
Ajj . . . Ajp (^ A; 1^
i-ic ,|rs I.VpHilioi.sv.Tl.-.hm.s. 91
(hiss wir sie venrnchluHHigen wollcn. Was k f anbelangt, HO wol-
len wif den Ketfenlmidi ((,') ;I!H tf 1 das untere Zeichen zu wfthlen ist,
rnithin nliherungsweise
so dass also, wenn n eehr gross, und ebenso p, (wo w==/>c),
niilierungsweise das Gewicht von as ist:
ac o/ 2
_
5 -
Hat man bloss cine Ablesung zu Anfang und Ende (die ge-
wohnliche Art), so ist p = 1, c = n, mithin sind jetzt die (/>):
1
. -i-H
woraus, indem man u eliminirt:
L = 4wy(ny -f" ^) M =
und indem man w n -i eliminirt:
Also ist jetzt
m n m
~ '
92 Theorie des Repetitionsverfahrens.
mit dem Gewichte
oder da y = = -r- , a = , so ist das Gewicht
n*
Wie wir in dem vierten Beispiele des . 5 gesagt, sind dort
die Gewichte geradezu den Repetitionszahlen proportional genom-
men. Dies setzt voraus, dass man /3 2 gegen na* vernachlassigt;
dann wird freilich die Formel (H') ^u = 2 . Hat man nur
2wa 2 a 2
eine einfache Winkelbeobachtung jgemacht, so war der wahr-
scheinliche Fehler ]/~2 (a 2 -f- /3 2 ); wiirde man denselben Win-
kel nmal einfach beobachtet haben, und hatte dann aus alien
Beobachtungen das arithmetische Mittel genommen, so ware der
wahrscheinliche Fehler des Endresultats (. 8) gleich
ist aber derselbe durch n fache Repetition, ohne Zwischenablesung,
nach der Formel x = gefunden, so ist nach (//') der
wahrscheinliche Fehler = V ^^rj^> = / _x /_ Da
- , / x ,. x
aber immer y ' ^> I / ^ - , so ist das ge-
wohnliche Repetitionsverfahren im Vortheil gegen die
Winkelbestimmung mittelst des Satzes vom arithmeti-
schen Mittel. Ist jedoch /3 2 gegen na 2 zu vernachlassigen, so
ist dieser Vortheil unbedeutend.
Was a und /3 anbelangt, so ist ]/2(a 2 -|-/3 2 ) der wahrschein-
liche Fehler einer einfachen Winkelmessung , den man nach . 10
durch vielfaches Messen von Winkeln ermitteln kann. So fand
Bessel (vergl. ,,Gradmessung in Ostpreussen von Bess el"
S. 73, ,,Astronomische Nachrichten" 1834, Nr. 256) aus 55 Beob-
Theorie des Repetitionsverfahrens.
93
achtungen dreier Winkel: a 2 -f- ft 2 = 4,2052, zugleich schiitzt er
a 2 1
~ = p- , so dass fiir c 5, cy = 1, ^ = 2 wird. Dann ist
2 = 0,7008, 02 === 3,5044, = i, 6 = i.
ex- p' 2
Berechnet man, indem man voraussetzt, die Ablesungen ge-
schehen von 5 zu 5 (c = 5), nach der Formel (F) den Winkel,
so erhalt man nach Bess el:
Gesammtzahl I
der
Repethionen.
Werth des Winkels.
Gewicht.
5
10
15
20
25
30
35
40
m b m
1,783
4,754
8,150
11,669
15,222,
18,784
22,349
25,914
<
\ m lo m
10
5 (^ 15 m) -f- m lo m b
80
4(m. 20 m),-f m 15 ?n 5
90
19(m 25 m) -f 5(w 20 m 5 ) -f- m, 5 m,
555
15(W 30 TO) + 4 ( m 25 O + ^20 ~ ^10
540
71 35 m) + 19 Oso ws) + 5(m. 25 m lo ) + m 20 m 15
3040
5G(m 40 m) -f 15 (w 35 m 5 )-f-4(m 30 w 10 )-}- 25 m, 5
2780
wobei natiirlich die obigen Werthe von k und a ( = ~ J zu Grunde
gelegt sind.
Fiir den Fall der blossen Ablesung zu Anfang und Ende
hatte man natiirlich nach (//) und (II') zu verfahren.
Nach den angegebenen Formeln hat Bess el a. a. O. seine
Repetitionsbeobachtungen berechnet. So theilt er S. 231 folgende
Resultate mit:
94
Theorie des Repetitionsverfahrens.
1835. Aug. 29
Vervi elf altigungen .
Winkel.
30
,, f -
*
5' 59,75"
5
209 1 53,00
10
57 57 50,25
15
266 53 34,25
41o 47/ 10,293"
20
115 49 21,50
25
324 45 20,00
30
173 41 9,00
20,00
5
208 56 13,00
10
57 52 5,00
15
266 47 50,00
20
315 43 40,00
4147 / 10,249 / '
25
324 39 30,00
30
173 35 21,25
35
22 31 16,25
40
231 27 11,75
^
u ^
f's
'? S S jP
_.*i*kr&4 ***-<- *?***^^**
'
>. * S Q
}?{
^^ "&**v*l ' *#" * ^"^
^^*j ^.^C^
lk4****&iiL< +rms ft^
-4*^-.. x -
Gewicht.
18,784
25,914
tH/T-^
?.*$"
if A*
, 4
. -f
/!
, > 2 .
Beispiele zur allgemeinen Theorie.
15-
I. Empirische Formel zur Darstellung periodischer
Erscheinungen.
Eine Menge Erscheinungen in der Natur wiederholen sich in
gewissen Perioden, so die Temperatur des Tages, die Barome-
terstande u. s. w. Um nun dieselben, ihrem Zahlenwerthe
nach, durch eine Formel auszudriicken, wollen wir uns den Um-
fang der Periode in n gleiche Theile getheilt denken (z. B. bei
den Temperaturen den Tag in 24 Stunden), und setzen
/2* \ . fin 6 \
J. = A -4- j sin. I x -4- cci ) -f- a 2 sin. I z x -4- a% I
\ n / \ n /
(34)
wo T den Werth der zu beobachtenden oder durch Rechnung
zu bestimmenden Grosse in dem Zeitpunkte x vorstellt*). Die
Grossen A, a l9 1? . . ., n _i, i sind 2w 1 Constanten,
die aus gemachten Beobachtungen zu ermitteln sind. Dazu
gehoren aber mindestens ebenso viele Beobachtungen; hat man
deren mehr, so muss natiirlich die Rechnung nach . 3 gefiihrt
*) Gesetzt etwa, es handle sich um die Temperatur in einem bestimmten
Augenblicke des Tages, und sei n = 24, so stellte also T die Temperatur
zur Zeit x vor, wo dann die Zeit etwa von Mittag an gerechnet ist. Dasselbe
gilt, wenn es sich um den Barometerstand u. s. w. handelt. Das spater zu
gebende Beispiel wird ohnehin die Sache weiter erlautern.
96 Formel fur periodische Erscheinungen.
werden. Die Formel (34) kann, wie man leicht sieht, auch so
geschrieben werden:
T=A + A l sin. ~ + A, sin. 22. +
. 2(n-
. .
-)- BI cos. 1- JB 2 cos.
(34')
wo A r = a r cos. a r , B r = a r sin. a r , und wenn A, AI, . . . ,
A n l , BI, . . ., B n i bestimmt sind, so kennt man auch die
Constanten in (34). In der Regel begniigt man sich mit einigen
der ersten Glieder der Formel (34), z. B. mit den drei ersten.
Behufs der Bestimmung der Constanten wollen wir nun anneh-
men, es liegen n Werthe von T vor, die^ = 0, 1, 2,..., n 1
entsprechen, wo man also in der Formel (34) nur so viele Glie-
der beibehalt, dass die Zahl der zu bestimmenden Constanten ge-
ringer ist, als n. Die Werthe von T seien 7 7 , . . ., 7 7 n _,, so
dass in (34'):
= A
sn.
B l cos.
= A -f A l sin.
-J- B l cos.
-(- A 2 sin.
-f- B-2-COS.
.
. 4:71
I . 4?r
sn.
1 .
-|- B% cos.
, .
_, = A -f ^ 8W.
4- ^ C05.
(nl)2x
,
U
(n l)4sr
1
,
U .
Nehnien wir alle Beobachtungen vom gleichen Gewichte 1
an, so muss also (. 3) die Grosse
Formel fur periodische Erscheinungen. 97
. 0.2tt 0.2jr .
I H ----- h^i C05 --~H -----
. / . (n 1)2 , (n 1)2 a: ,
+ (4 + A n- ' n -. + ... + J g 1 c 0g > ^ -- 1 ----- T n
ein Minimum sein. Differenzirt man nun nach A, AI, . . .,
BI, . . . und bezeichnet zur Abkurzung durch 27 eine Summe,
die man erhalt, wenn man x nach einander 0, 1, 2, . . ., w -- 1
setzt, so 1st:
.XT' . \
-f- ^! >, sm - r ^2 / i sm - ~ -
i , .
f- ^3| > . sin. - sm. -- h
n ** n n
2 n x . 2nx , ,-, xn 4 JT # %7tx ,
cos. -sin. h JDS / i c s - sm. h-
n n n n
, ^ 9 ,
sin. -- si?i. - -\- A<> >, M. 2 -- k
srn . j^ , x~i - \
-4- BI y. cos. - sm. - -4- B-2 >. sin. - cos. - 4-
^^ ^- J
. ^r^ , A . . l \
A > .cos. -- \-Ai >j Mn. - cos. -- +^2 2^sm. - cos. --
^ n ** n n n n
litx
GOS '
Dienger, Melhode der kleinsten Quadratsummen-
98 Formel fiir periodische Erscheinungen.
Nun 1st aber (vergl. meine ,,Grundzuge der algebraischen
Analysis" S. 88, 89):
71
4:
S \ cos,
^~\ . tf# A X 1 . Ttx XT^ nx A
> , sin. = , / i sin. = U , . . . ; >_j cos. = U ,
* ij n fn *m-.4 n
n
1 cos.
Tt X
. ?r^ . ,
StTl. - 5171. = ^ J>j COS. - -- >. COS. - = 0,
. .
sin. - sin. - = 0. . . . :
n n
ITCX ' 4 ri x -^-i 2 it x . cos. - cos. - =^r U . . . . ;
w n
.
sm. - cos. - = 0, u. s. w.
n n
allgemein
. ^mitx . %m'itx -^ . ^nrntx
sin. - sin. - =0, >, sin. - cos.
cos. cos. = 0,
71 71
X" 1 ^mitx n
>, COS. 2 == ~,
so dass also
x^^, n
(35)
n n
2^1 ^J -LxCOS.^-, q
aus welchen Gleichungen die Constanten bestimmt werden konnen.
Da aber
. 2:r 2(7il)^ lit .. 2(n 2)7t
sin. = sin. * , sin. =sin. . u. s. w.,
n n n n
so lassen sich die Glieder der zweiten Seiten in (35) noch etwas
zusammenziehen, was wir jedoch in der allgemeinen Form unter-
lassen wollen, indem wir uns zugleich zu einem besonderen Falle
wenden, namlich darstellen die
Anwendung auf die Tagestemperatur. 99
Tagestemperatur durch T x = A -f- % sin. (x . 15 -)- ^i)
-)- 2 S ^- (# 30 -|- 03) -f- a Vi. (# . 45 -|- 3 ) ,
wobei T x die Temperatur zur #ten Stunde bedeutet, und oben
2 TT
n = 24, also - - = 15 ist. Kennt man nun T Q9 . . ., 71 8 , d. h.
die Ternperaturen zur Stunde (Mittag), 1, 2, . . . , 23 (wo wir
von Mittag bis wieder Mittag von bis 24 rechnen), so geben
die (35):
24,4= 7' + 7\H ----- |-7i 8 ;
12 A! = T Q sin. -f J\ sin. 15 + T 2 sin. 2 . 15 -f -
T sin. 23 . 150
sn.
m. 60<>
12 B l = T Q cos. + T! cos. 15 + . + T 23 cos. 23 . 15
cos. 30o
-f (T 8 - T 9 - 7' 15 + 71 1
C05. 600
= r o sin. + 7\ sin. 30 + 7 7 2 sm. 2 . 30 +
+ 7' 23 sm, 23 . 30
= (7\ +,^5 -- T 7 -- T n + T L2 + T 17 -- T 19 -- 7! 8 )
sin. 30o ^J :
+ (T, + T, -- T s - Tlo + T u + T u - T 20 -- T 22 )
m. 60o _|_ r 3 - T 9 + T 15 -- T n ,
12B 2 = TO cos. + 7\ cos. 30o -f- . . . -f- T 23 cos. 23 . 30o
= (7\ -- TI -- r 7 + r u + r 13 - r 17 -- r w + r 23 )
cos. 30o
+ (71 -- TI -- T 8 + Tlo + T1 4 -- 2ic - T 2Q + T n )
cos. 60o r T 6 71, - TU,
100
Anwendung auf die Tagestemperatui 4 .
12 =
(7\ + T B - T, -- 7; + r
+ T 17 + 2\ 9 - - T 21 - -
1 2 - ^6 + ^10 " - 2*14 +
Ti CO*. -f TI COS. 45 + -
(Zi - T 3 - T 5 + T 7 + T
+ T 17 - r 19 -- r al +
^ -
18
T 23 COS 23 . 450
n -- r u -f T 16
o.. 450
Da ^! = a x cos. j , ^4 2 ^= a 2 cos. a 2 , B l = aj sm. a x , j8 2
= 2 sm. a 2 , so ergeben sich hieraus leicht ! , a 2 , ttj , 2 .
Als Zahlenbeispiel wahlen wir die Beobachtungcn von Chi-
minello in Padua (,,Kamtz, Meteorologie " I, S. 69), die als
Werthe der Temperaturen f'iir jede Tagesstunde geben (diese
Beobachtungen sind die arithmetischen Mittel aus den taglichen
Beobachtungen im ganzen Jahre):
Stunde 0, T =16,17, Stunde 12, T 12 == 12,19,
13, T 13 = 11,94,
14, f 14 = 11,66,
15, T u = 11,39,
16, Z\ 6 = 11,17,
17, T 17 = 11,10,
18, T 18 = 11,48,
1, I\ = 16,56,
2, T 2 = 16,79,
3, T 3 = 16,75,
4, T, = 16,27,
5, T 5 = 15,61,
., 6, T 6 = 14,86,
7, T 7 = 14,19,
8, T 8 = 13,68,
9, T 9 = 13,12,
10, T 10 == 12,78,
11, r n = 12,48,
Hiernach ergiebt sich
A = 13,7463, A l = 1,6446,
#! = 2,0886,
19, T 19 = 12,12,
20, T 20 = 12,99,
21, T 21 = 14,09,
22, T 22 = 14,93,
23, T 23 == 15,59.
= 0,2211, A B = 0,0731,
= 0,5099, # 3 = 0,0971,
woraus a v = 2,6589, x = 51047'; a 2 = 0,5558, 2 = 66Q33 7 ;
3 = 0,1220, 3 = 233, so dass das Mittel aus alien Tempera-
turen im ganzen Jahre fiir die ate Stunde dargestellt wird
durch
Anwcndung auf die Tagestemperatur. 101
T x == 13,7463 + 2,6589 sin. (x . 15 + 51H7')
-(- 0,5558 sin. (x . 30 + 66 33')
-f 0,1220 sin. (of . 45<> -f 233o).
Was die Gewichte der Grossen J., AI, . . . anbelangt, so
folgt leicht aus . 7, Formeln (23), dass das von A gleich 24,
das jeder anderen Grosse = 12 1st, wenn man die Gleich ungen
(35) mit in Betracht zieht. Behufs der. Berechnung des wahr-
scheinlichen Fehlers hat man nun, nach der eben gefundenen For-
mel fiir x = 0, 1, . . ., 23 die Werthe von T x zu berechnen
und sie mit den durch Beobachtung gegebenen zu vergleichen,
um die in (33') des . 10 eintretenden v zu ermitteln. Zugleich
-ist dort g = 1, m = 24, n = 7, r = 0. Man hat so:
St.
Beobach.
Berechn.
V
gv*
St.
Beobauh.
Berechn.
V
W}
16,17
16,25
0,08
0,0064
12
12,19
12,26
0,07
0,0049
1
16,56
16,65
09
81
13
11,94
11,98
4
16
2
16,79
16,77
2
4
14
11,66
11,65
1
1
3
16,75
16,64
11
121
15
11,39
11,33
G
36
4
16,27
16,27
16
11,17
11,14
3
9
5
15,61
15,67
6
36
17
11,10
11,19
9
81
G
14,86
14,97
11
121
18
11,48
11,54
6
36
7
14,19
14,24
5
25
19
12,12
12,18
6
36
8
13,68
13,58
10
100
20
12,99
13,02
.3
9
9
13,12
13,10
2
4
21
14,09
13,95
14
196
10
12,78
12,75
3
9
22
14,93
14,87
6
36
11
12,48
12,50
2
4
23
15,59
15,65
6
36
0,0569
0,0541
also [<7^o 2 ] = 0,1110, mithin der wahrscheinliche Fehler der
einfachen Beobachtung = 0,6745 \ ^^- = 0,061; von den 24
Beobachtungsfehlern liegen 10 unter 0,06, 8 iiber 0,65, und 6
sind = 0,06, so dass die Vertheilung so ziemlich den theoreti-
schen Erwartungen entspricht. Da H~ = 0,09735, also 1
102 Bestimmung der geographischen Breite a us Zenithdistanzeu.
= = 0,90264, 1 + -7^== 1,09735, so kann (. 12) der wahr-
vu~ vm
scheinliche Fehler schwanken zwischen 0,061 . 0,9026 = 0,054
und 0,061 . 1,0973 = 0,066, was obige Vertheilung der Fehler
noch besser mit der Theorie zusammenstimmen lasst. Allerdings
miisste man, um eine Priifung in dieser Beziehung vorzunehmen,
die einzelnen Beobachtungen vom ganzen Jahre vor sich haben
und hiernach sowohl \_gvo*], als den wahrscheinlichen Fehler, so-
wie die Vertheilung der Fehler berechnen.
II. Bestimmung der geographischen Breite aus Zenith-
distanzen im Meridian, und der Durchbiegung des
angewandten Fernrohrs.
Da die Metalle, aus denen die verschiedenen Theile der
Winkelmessinstrumente verfertigt werden, nicht vollkommen hart
sind, so wird immer unter dem Einfluss der Schwere eine Bie-
gung einzelner Theile stattfinden, welche auf die Richtigkeit geines-
sener Winkel natiirlich von nachtheiligem Einfluss ist. Von sol-
chem ist bei Messung von Zenithdistanzen namentlich die Durchbie-
gung des Fernrohrs nach der Richtung seiner Axe. Man kann
eine seiche ofFenbar vergleiclien mit der Wirkung eines Gewichts,
das an einem Ende des Fernrohrs angebracht wird. Die auf der
Richtung der Axe senkrechte Seitenkraft desselben bringt die
genannte Biegung, die dieser Seitenkraft proportional ist, hervor.
Ist also b die Biegung, wenn das Fernrohr horizontal liegt, so
wird, wenn es um den Winkel h erhoben wird, b cos. h dieselbe
sein; ist also z die Zenithdistanz des Fernrohrs, d. h. der Win-
kel, den die Richtung der Axe mit der Verticalen macht, so ist
h = 90 z, und also b sin. z die Durchbiegung, wobei b posi-
tiv oder negativ sein kann. Beobachtet man also mit einem sal-
chen Fernrohr die Zenithdistanz eines Gestirns, und findet die-
selbe = z, so ist z -j- b sin. z die wahre Zenithdistanz.
Gesetzt nun man beobachte die Zenithdistanz eines Sterns
in dem Augenblicke, da er durch den Meridian geht, und sei z
dieselbe, 8 die Declination des Sterns, b die Durchbiegung des
Fernrohrs in horizontaler Lage, (p die Breite des Beobachtungs-
ortes, so hat man:
Bestimmung der geographischen Breite aus Zenithdistunzen. 103
a) wenn der Stern zwischen Pol und Zenith durch den
Meridian geht
d = (p -\- z -\- b sin. z, = 59 56' 30", also
genau cp = 59 56' SO'' -|- 9* un d haben dann:
sm. 28^23' 4,1" 5,6 (Gew. 46),
y' b sin. 3lo 51' 42,7" = __ 3,4 ( 32),
g>' + 6 m. 57o 18' 58,2'-' = 7,7 ( 42),
q>* 6 0m. 5lo 32' 45,8" _ __ 5^ ( 38).
Vergleicht man mit den (6) in . 3, so ist
cti = 1, 6i = sin. 28o 23' 4,1", g l = 46, /\ = 5,6 ;
oa = 1, ' 6 2 = *w. 31 51' 42,7", # 2 = 32, F 2 = 3,4;
a 3 = 1, 6 3 = sin. 57o 18' 58,2", #, = = 42, F 3 = 7,7 ;
a 4 = l, bt = sin. 5lo 32' 45,8", ^ 38, f\ = 5,6;
woraus
= 158, [gab] = 10,56, [^^2] = 72,36,
rrr 259,40, [gb'F] = 618,82,
also
158 g?' + 10,56 & = 259,40,
10,56 9' + 72,36 = 618,82, 9' = 1,08, b = 8,40,
so dass der wahrscheinlichste Werth von tp ist 59 56' 31,08",
wahrend der wahrscheinlichste Werth der Durchbiegung b =
8,4" ist.
Will man die Genauigkeit dieser Werthe priifen, nament-
lich den von q> , so hat man (. 7) die Gleichungen 158 qp' -|-
10,566 = &/ 10,56 9" + 72,366 = k* aufzulosen und den Coef-
ficienten von k in dem Werthe von qp' zu ermitteln. Derselbe
72 36
ist 158. 72,36* -115565' S da88 daS Gewicht V n *' '^
158 . 72,36 10,562 '
= 156,4. Was den wahrschemlichen leh-
ler der Beobachtung vom Gewichte 1 anbelangt, so ist fur
= 1,08, b = 8,40 (. 10):
Vl = y* + b sin. 28023' 5,6 = 0,53, ' g lVl * = 12,92,
v 2 = 1 7 ' 3
(reflect. 220 4 21,34, 4
,, . - (direct 319 52 28,59, 3
Mail - UUt ' Culm -f reflect. 220 422,62! 4
ob. Culm. S direCt 323 757 ' 22 ' 3
(reflect. 216 48 51,66, 4
:direct 40 4 20,00, 3
28. ob. Culm.
, n , direct 36 48 49,32, 3
8. ob. Culm.
. (direct 40 4 22,93, 3
lm " (reflect 139 52 25,68, 4
Die Aenderungen der Declinationen des Nordsterns ergaben
sich nach Bess el's Tafeln fur den 13. Mai 1820 von der unte-
ren Culmination am 13. Mai an gerechnet: 0,10" fiir die
obere Culmination vom 13. Mai. Sodann von der oberen Cul-
mination am 20. April 1824 an gerechnet:
21. Aprili untere Culmination 0,13",
21. obere -0,26",
25. untere - 1,29",
27. obere - 2,04'V
28. obere -2,32",
29. untere = 2,45",
1. Mai untere - 2,93",
1. obere = 3,03",
Bestimmung der geographischen Breite aus Zenithdistanzen. 107
2. Mai untere Culmination = 3,14",
8. obere - 4,64",
9. untere - 4,77".
Bezeichnet man die Biegung des Fernrohrs, oder die Ver-
anderung der Lage der auf die Ebene des getheilten Kreises
projicirten optischen Axe gegen die Eintheilung, vermoge der
Wirkung der Schwere auf sammtliche verbundene Bestandtheile
des Instruments , bei horizontaler Lage der optischen Axe mit /,
bei verticaler durch g, und nimmt diese Biegung der Schwerkraft
proportional an, so wird bei der Neigung z der optischen Axe
die Biegung durch / sin. z -\- g cos. z ausgedriickt werden , so
dass wenn e der Collimationsfehler , z die abgelesene Zenithdi-
stanz, die wahre Zenith distanz z e -\-f sin. (z e)-\-g cos. (z e)
sein wird. g ist allerdings in der Regel sehr klein, doch wird
man dasselbe nicht unbedingt weglassen diirfen.
Es ist leicht zu iibersehen, dass wenn man die beiden, direct
und reflectirt, beobachteten Zenithdistanzen von einander abzieht,
den Unterschied halbirt, und diese Halfte von 90 abzieht, man
die wahre Zenithdistanz erhalten wird. Da der Collimationsfehler
in beiden Bebbachtungen derselbe war, so ist er aus dem Unter-
schiede weggefallen. Ebenso verhalt es sich mit der Biegung /.
Dagegen wird die von g herriihrende Biegung bleiben*). Ist
ferner n die Anzahl der directen, m der reflectirten Beobachtun-
gen, so ergiebt sich fur das Gewicht des so erhaltenen Resultats
= = , was man in folgender Weise findet: Sei e der wahr-
m -\- n
scheinliche Fehler der einfachen Beobachtung, so ist der der ersten
Zenithdistanz (direct) z gleich ==. (. 8), der der zweiten z'i
V n
-=. , mithin der des Resultats 90<> ^ ~ ^ = 90 |- -f- -|
Vm 2 22
*) 1st namlich a die erste Zenithdistanz, /? die durch Spiegelung gefundene,
so sind die wahren: a e -f / sin. (a e) -\- g cos. ( e) und p e
-f- / sin. Q3 e) -f- g cos. (p e), welche zwei zusammen 180 betragen
sollen. Da also nahe a -}- /S = 180, so ist nahezu sin. ( e) = sin.
(p e\ cos. (pe) = cos. (a e), wodurch die Behauptung bewiesen ist.
108 Bestimmung der geographischen Breite aus Zenithdistanzen.
nach . 6, UI gleich V r~ + r~ = re, also dasGe-
4w ' 4w Amn
A fyY) /YI
wicht dieses Resultats = ; . Kndlich 1st a von verschie-
m-\-n
denem Zeichen, je nachdem der Kreis in Osten oder Westen war.
Hiernach nun hat man aus den 14 Beobachtungen als Zenithdi-
stanzen des Nordsterns:
1) untere Culmination: 40<> 7' 21,60", Gewicht Q-^TTl = 6 > 86 '
2) obere 36 49 1,40, ^~* = 2,
3) obere 36 50 31,15, ^-^J = 2,67,
4) untere 40 5 54,52, 6,86,
5) obere 36 50 30,02, 6,86,
6) untere 40 5 55,53, 6,86,
7) obere 36 50 28,61, 6,86,
8) obere 36 50 28,41, 6,86,
9) untere 40 5 56,08, 6,86,
10) untere 40 5 57,01, 6,86,
11) obere 36 50 27,21, 6,86,
12) untere 40 5 56,42, 6,86,
13) obere 36 50 25,84, 6,86,
14) untere 40 5 58,62, 6,86.
1st nun 5'55,53"+1,29"=139<>54'5,76"
(Gew. 6,86),
S/
: 8820 / 50 // ,
880 22' 18", 51o 31' 48"^ w i e s i c h diese Werthe etwa ungefahr
aus den vier ersten Gleichungen ergeben, und setzt
d = 8820' 50" + z/, d':=:88o22'18"-f-z/', g> = 51<>31'48
so hat man
A _)_ y + 0,765 # = 0,40 (Gew. 6,86),
^ _ ^ __ 0,800^ =. 0,50 ( 2),
4< __ ^ __ 0,800^ = 1,15 ( 2,67),
^//_(_ ^,_)_ 0,765'^= -0,39 ( 6,86),
^/ __ ^ __ o,SOO L- 0,28 ( ),
j< + V + 0,765^= 0,24 ( ),
z/' - ^ 0,800^ = 0,65 ( ),
4< __ 4, __ 0,800^ = 0,73 ( ),
z/' + ^ + 0,765^= 0,37 ( ),
z/' + ^-f 0,765^= 0,08 ( ),
A ^ __ 0,800^ =T 0,24 ( ),
4' + V -0,765 ,(7= 0,72 ( ^ ),
^ ^ + 0,800^ == 0,48 ( ),
^' + ^0,765^= 0,15 ( ).
110 Bestimmung der geographischen Breite aus Zenithdistanzen.
Diese 14 Gleichungen sind die (6) des . 3; setzt man dort
fur x, y, 2, u jetzt z/, z/', i^, g, so ist cti = 2 = 1? alle an-
deren a gleich 0; b t = b 2 = 0, alle anderen b gleich 1; c 1? c 4 ,
Ctf> C 9> c io> C i2> C i4 gleich 1, die iibrigen c gleich - - 1; d l9 d,
d*, 4 d 10 gleich 0,765; d 12 , c? 14 gleich - - 0,765; <2 2 , J 3 , rf 5 , rf] 20' 50,33", ' = 88 22' 18,28", 9 = 51 31' 47,90",
g = 0,17".
Lasst man die zweiten Seiten obiger vier Gleichungen unter
der Form {_gaf"] 9 . . ., [^^^] setzt aber auf den ersten Seiten
die Werthe der Coefficienten em, so erhalt man als Coefficienten
von \_gcF~\ in dem Werthe von ^: 0,01644, so dass das Gewicht
von iff, also das von 10 = 0,14, v n = 0,27, 18 = 0,40,
v l3 = 0,23, v u = 0,16; ^ 4 = g, = - . . == ^r u == 6,86; [gv Q *~]
= 9,6184.
Nun ist in . 10, Formel (33'): wi = 14, = 4,r = 0,
*) Es findet sich [0a 2 ] = 8,86, [graft] = 0, [gac] = 4,86, [jf
3,65, [^& 2 ] = 78,13, [gf&c] = 3,19, [gbd] = 7,31, \_gc^ = 86,99,
= 25,94, tgd*} = 52,78, j^aF] = 1,74, [$r&F] =23,02, [0cF] = 11,08,
= 13,70.
Ausgleichung von Seiten und Winkeln in einem Vielecke. Ill
also der wahrscheinliche Fehler der Beobachtung vom Gewichte
... 1 /~9,6184 I/ 96184
1: 0,6745 y -^-jg- , und der von cp: 0,6745 y = 0,085",
so dass also
A' n) a\, . . ., a' n vernachlassigt:
-f" a/ = a i cos ' AI a 2 cos. (Ai -|- A 2 ) -)-
a w _i cos. (A l -f- + -^-i)
-f- a\ cos. AI a' 2 cos. (Ai -)- A 2 ) -}-
' n _i cos.(A l -| ---- + A n -i)
! sin. A! . A i -\-a 2 sin. (A'i
sin. I 2 sn - -i ~" -2) ~~ ' ' '
a n - l sin. (A 1 -\- -)- ^-i)
-)- a'j sin. A l -- a' 2 sin. (Ai -\- A%) -(-
-f- % cos.^j .A\
112 Ausgleichung von Seiten und Winkeln in einem Vielecke.
oder wenn man die Werthe von A l9 ...,..., a n einfiihrt
(a)
+ y22 X + * * + Yn-i a n -i / -\-d l A l /
h
in welchen Gleichungen freilich A\ , A 1 ^ , . . . , J/ n durch Bogen,
zum Halbmesser 1 gehorig, auszudriicken sind; desgleichen na-
tiirlich auch m. Die a, /3, y, d sind Grossen, die sich aus den
obigen Gleichungen leicht ergeben. Neben diesen streng richti-
gen Bedingungsgleichungen haben wir nun noch die den (6) in
. 3 entsprechenden aufzustellen. Dieselben sind von den Formen
A l -- A\ = A ly ...,! -f- x i =!,..., d. h.
^ = 0, a' n = 0,
und es fragt sich mm nur noch, welches Gewicht diesen Glei-
chungen beizulegen ist. Zu dem Ende muss man auf anderwei-
tigem Wege schon den wahrscheinlichen Fehler kennen, den man
bei den Winkel- und Linienmessungen begeht. Dass man dies,
wenn man etwa denselben Winkel, oder dieselbe Linie vielmal
gemessen hat, aus den. Resultaten selbst entnehmen kann, ist
nach . 10 klar. Wir setzen dies also als bekannt voraus. Ge-
setzt mithin, es sei a der wahrscheinliche Fehler einer einfachen
Linienmessung, d. h. einer .solchen vom Gewichte 1, wo a natiir-
lich in demselben Langenmaasse ausgedriickt ist, wie % , a 2 , . . . ;
sei ferner der wahrscheinliche Fehler einer einfachen Winkel-
messung (mit dem betreiFenden Instrumente) gleich /3 Secun-
den, so wird sich nun das verhaltnissmassige Gewicht der einfa-
chen Linien- und Winkelmessung in folgender Weise feststellen
lassen.
Es sei das Gewicht der einfachen Linienmessung zur Ge-
wichtseinheit angenommen, so dass also a der wahrscheinliche
Fehler der Gewichtseinheit ist. W r as die Winkel anbelangt, so
Ausgleichung von Seiten und Winkeln in einem Vielecke. 113
miissen dieselben in alien analytischen Rechnungen als durch
zum Halbmesser 1 gehorige Kreisbogen gemessen angesehen
werden, und wo in einer Gleichung zusammen Seiten und Win-
kel (oder deren Functionen) vorkommen, so werden letztere im-
mer mit Seiten multiplicirt sein, damit das Product auch Seiten
vorstellen konne. Man wird also die absolute Zahl, welche den
messenden Bogen ausdriickt, als mit der Langeneinheit multipli-
cirt ansehen miissen, wo sie dann eine Lange von derselben Art
wie die anderen vorstellt. Der wahrscheinliche Fehler einer sol-
fin
chen Lange ist alsdann
, welch letztere Grosse den
/3 Secunden messenden Bogen vorstellt. Ist also g das Gewicht
einer einfachen Winkelmessung, so ist (. 3):
Fig- 2. , .
(180 . 60 . 60)2 '
'2 /180 . 60 . 60
A =
20",
4So 22' 30",
= 118o 28' 30",
= 8?o 50' 50",
9 = '
wodurch nun das verhaltnissmassige
Gewicht der einfachen Winkelmessung
gegeben ist *).
Als Beispiel wollen wir annehmen,
es seien in dem Sechsecke Fig. 2 ge-
messen (Gerling, a. a. O. S. 351):
= 36,42 Ruthen
2 = 53,60
a 3 == 70,76
4 = 55,34
5 =: 63,72
a 6 = 57,60
Winkel- und Linien-
messungen beziiglich
von demselben
Gewichte.
*) Wiirden die Bedingungsgleichungen (a) nicht bestehen, so waren
A\ = 0, . . ., a\ = 0, . . . offenbar die wahrscheinlichsten Werthe von
A\, . . ., a\, . . ., so dass dann euie Untersuchung wegen des Gewichts ge-
radezu unnbthig ware. In so fern aber die (a) bestehen, betrachten wir in
ihnen die Grossen , /9, y, so ^ ass man ^ as Gesagte wieder erhalt.
Dicnger, Methode der kleinsten Quadratsummcn. g
114 Ausgleichung von Seiten und Winkeln in einem Vielecke
und es sei der wahrscheinliche Fehler ciner Linearmessung =
0,1 Ruthe, einer Winkeknessung 1 Minute, so wird also, wenn 1
das Gewicht der einfachen Linearmessung, das der Winkelmes-
0,12 /iso . 60 . 60Y /ISO . 60V
sung = .( - - -- \ 0,01 .( - } sem. Smdwie-
der A 2 ', A B ', A 5 ', A 6 ', !', . . ., 6 ' die an A 2 , . . . , 6 anzuhan-
genden Correctionen , so hat man also
AS = 0, A s ' = 0, J 5 ' = 0, A Q ' = je mit dem Gewicht
o,, . (SLSf,
i' =0, a 2 ' = 0, . . ., 6 ' je mit dem Gewicht 1.
Da in den Angaben nur zwei Stiicke fehlen, so muss also
zwischen denselben eine Bedingungsgleichung bestehen, die man
in folgender Weise findet. Man ziehe die Linie 1 4, so wird
das Sechseck in zwei Vierecke eingetheilt, in denen je alle Sei-
ten bis auf eine und alle Winkel bis auf die zwei an der fehlen-
den Seite liegenden gegeben sind. Man kann also nach .11
meiner ,,ebenen Polygonometrie" die Seite 14 in jedem Vierecke
berechnen und wenn man dann die beiden Werthe einander gleich
setzt, so hat man die verlangte Bedingungsgleichung. Nun ist
im Vierecke 1234: Seite 1 4
ferner in 1456: Seite 1 4
= V [6 % s - AQ -f- a 4 cos.(.
so dass also
[cii 2 cos. A 2 -f-fls cos - (A* +^s)] 2 +[2 sin. A 2 3 sin.
sein muss, wo fiir die eintretenden Grossen ihre wahren Werthe
zu setzen sind. Lost man die Quadrate auf, so ergiebt sich:
- 2a 2 a 3 cos.A 3
Setzt man hier j -f- /, . . ., A 5 -f- A b ' fiir %,..., A 5 ,
wo dann mit 1? . . ., A b die oben gegebenen Werthe bezeichnet
sind, vernachlassigt die hoheren Potenzen und Producte der Cor-
rectionen, so ist:
Ausgleichung von Seiten und Winkeln in eiiiem Vielecko. 115
rt'2 2 -f- 3 2 - 2! 2 COS. 4 -\- 2 % 3 COS. (4 -f- 4)
cos. ^1 3 -|- 2aii' + 2%a 2 ' ~h 2a 3 a 3 ' 2ai'a 2 cos. 4
- 2&! a 2 ' cos. 4 -|- 2 rtj 2 S^TZ. 4 . 4' -)- 2 a x ' a 3 cos. (4-f-4)
+ 2! OB' cos. (A* -f- A) 2 % 3 sm. (>4 2 -|- 4,) (A' + 4/)
2a 2 / a 3 cos. ^4 3 2rt 2 %' cos. A 3 -f- 2 2 a 3 sm. A 3 . A B '
= 6 2 -f- 5 2 + a 4 2 - " 2 5 6 COS. 4; -(- 2 6 4 COS. (^ 6 -)- ^5)
- 2 5 a 4 cos. ^4 5 -f 2a 6 V + 2 a^a^ -\- 2a 4 a 4 ' 2 5 / 6 cos.^4 6
- 2 a 5 a e ' cos. ^ 6 + 2 5 a 6 w. ^1 6 . ^ 6 ' + 2 a 6 x a 4 cos. (^4 6 -)- ^4 5 )
+ 2a 6 a 4 ' cos. (J 6 + A 6 ) 2a 6 % w- (A + ^5) (^e' + ^5')
- 2a 5 ' 4 cos. u4 5 2a 5 a 4 ' cos. y! 5 -f- 2a 5 4 s^. A 5 . A 5 '.
4
Hier bedeuten A% , . . ., J^' Bogen zum Halbmesser 1 ge-
horig. Wollte man diese Grossen in Minuten ausgedriickt er-
A ' 7t A ' 71
halten, so hatte man 10 2 A ' .> A ? ., 1Q 1 ' ^.. dafiir zu setzen.
loU . bu loU . bU
Thut man dies und setzt die ubrigen Werthe ein, so ergiebt sich :
= 3,578 0,000247 A*' 0,0017444,' + 0,001485 'A* 1
+ 0,0016724' 0,09723%' 0,02805 a,' 0,05312 V
-f- 0,03857 < -f- 0,09949 a B ' + 0,00634 a 6 '
als Bedingungsgleichung. Zugleich muss
ein Minimum sein, oder da hier ^4 2 ', ... in Bogen ausgedriickt
sind, es muss, wenn diese Correctionen in Minuten sollen gege-
ben sein:
a^ + a,* -\ ----- 1- of + 0,01 (4 2 ' + 4 2/ + 4> 2/ + A 2/ )
ein Minimum sein. Fiigt man hiezu die mit 2k multiplicirte Be-
dingungsgleichung und differenzirt nach %',..., A 6 ', so er-
halt man:
ai / _ 0,09723 k = 0, 0,01 A* 1 0,000247 k = 0,
% / _ 0,02805 k = 0, 0,01.4 3 ' 0,001744 k = 0,
oa' 0,05312 jfe = 0, 0,01 4' -f 0,001485 = 0,
V + 0,03857 & = 0, 0,01 4' + 0,001672 k = 0.
a ' + 0,09949 = 0,
a 6 ' + 0,00634 & = 0,
8*
11G Bestimmung des Absorptions-Coefficienten.
In Verbindung mit der obigen Bedingungsgleichung folgt
hieraus
k = 1,4142
und dann
a\ = 0,138, a', = 0,040, a' 8 = 0,075, a' 4 = 0,045,
a' 5 0,141, a' 6 = 0,009;
A'* = 0,0349' = 2,09", A' 3 = 0,2464' = 14,78",
A*i = 0,2099' = 12,59", A' = 14,18",
so dass also als wahrscheinlichste Werthe zu wahlen sind:
C*( = O
>*=
.,,.
4,6
21,16
0,072884
97,336
447,745
0,3352664
1,542225
7,8
60,84
0,064732
474,552
3701,505
0,5049096
3,938294
12,1
146,41
0,055788
1771,561
21435,900
0,6750348
8,167922
15,2
231,04
0,050722
3511,808
53379,500
0,7709745
11,718800
19,8
392,04
0,045715
7762,392
153695,350
0,9051568
17,922110
24,2
585,64
0,040817
14172,488
342974,300
0,9877717
23,904070
83,7
1437,13
0,330658
27790,137
575634,300
4,1791138
67,193421
Hier 1st also [a*] = 6, [ab] = 83,7, [ac] = 1437,13, [be]
= 27790,137, [62] = 1437,13, [c*] = 575634,3, [a F] = 0,330658,
[bF] = 4,179114, [cF] = 67,193421, so dass man zur Bestim-
mung von 57, y, z hat:
60 + 83,7 y + 1437,13*= 0,330658,
83,70 + 1437,13?/-f 27790,14*= 0,179114,
1437,130 -f 27790,14 y + 575634* = 67,19342,
woraus durch Elimination von xi
1617,089?; + 46453,04* = 2,601396,
46453,04 2/ + 1388462,8* = 72,03308,
und hieraus:
873842 * = 43,507, * = 0,00004979,
woraus dann folgt:
y = 0,0030389, x = 0,085576,
so dass endlich
a = 0,085576 0,0030389 1 + 0,00004979 *.
Berechnet man hiernach die Werthe von a fiir obige Werthe
von t, so erhalt man:
118
Bestimmung des Absorptions-Coefficienten.
t
(beobachtet).
(berechnet).
Differenz.
Quadrat.
4,6
0,072884
0,072348
-j- 0,00053G
0,000000287290
7,8
G4732
G4911
179
32041
12,1
55788
5G093
305
93025
15,2
50722
50889
165
27225
19,8
45715
44925
-f 690
476100
24,2
40817
41192
375
140625
0,000001056312
also ist der wahrscheinliche Fehler der einfachen Beobachtung
0,6744897
= ,0004.
Von den 6 Differenzen sind 2 iiber 0,0004, eine (0,000375)
nahe daran, die drei anderen darunter, so dass unsere Formel,
so weit sich dies bei der geringen Anzahl der Beobachtnngen
erwarten liess, den theoretischen Anforderungen entspricht.
Anmerkung. Die Formel, die Buns en a. a. O. S. 129 aiifstellt, ist
= 0,0871 0,0033242 t -\- 0,0000603 f%
und ist auf einem wesentlich verschiedenen Wege gefunden worden.
VI. Ueber die naherungsweise Berechnung von V x z -|- y*.
Ponce let hat bekanntlich gesucht, die Grosse V # 2 -)- y 2
dadurch naherungsweise zu berechnen, dass er sie = ax -\- by
setzte, wobei er a und b fiir gewisse Granzen des Verhaltnisses
bestimmte. (Ich habe hiebei die Darstellung Schefflers im
zweiten Bande der ,,mechanischen Principien u. s. w." von Mo-
seley, S. 374 vor Augen.) Diese Bestimmung aber muss ge-
nauer mittelst folgender Betrachtungen durchgefiihrt werden.
Man setze
x = r cos.
y = r sin. cp
Niihenmgsweise Berechnung von V (x* -\-y*}. 119
SO ist
V x* -j- ?/ 2 := r, ax -)- by = ?*( cos. qp -)- 6 sm. cos. (pd(p = f cos. i )
xsin. ( = y:
4stn.
x*+y*= 1
a; cos.
welche Forrnel allerdings wesentlich abweicht von der, die Pon-
ce let gegeben*).
Setzt man wieder x = r cos. qp, y = r sin. qp, so ist also
naherungsweise :
. i + yo\ _i_ , gin ( 9l ~^
' 9 * \ 2 ) ' ' 9 l " V 2
v c/ 2
und ihr Werth ist dann:
.
4
62 1.
Liegt z. B. der Werth von zwischen und 1, so schwankt
vC
cp von bis , also ist dann ^ = 0, cp l = r=45, und also
- 22Q3Q / ^ cos. 2230 / -- si
__
_L '. 450
4 ' '
_ 2 am. 45<> -f 4 y sin* 22o30 /
sin. 45o
VII. Eine Gerade zu ziehen, die einer krummen Linie
moglichst nahe kommt.
Gesetzt in einer Ebene sei eine krumme Linie gezogen, de-
ren Gleichung man kenne. Man soil eine Gerade ziehen, die
von x = a bis x = b mit dieser krummen Linie moglichst zu-
sarnmenfalle.
Sei
B
die Gleichung der gesuchten Geraden, so miisste, wenn man hier
x stetig von a bis b gehen lasst, y nach einander die Werthe an-
nehmen, wie sie der Curve entsprechen, vorausgesetzt, es konnte
die Gerade durchweg zusammenfallen mit der Curve. Da dies
122 Eine Gerade einer Curve inoglichst nahe zu ziehen.
nun aber nicht moglich ist, so wird man, wie in Nr. VI, leicht
sehen, dass man A und B nach den Grundsatzen des . 3 zu
bestimmen hat. Man erhalt so zur Bestimmung von A und B
ganz wie vorhin:
b b b
+ Bfxdx = fxydx,
a a a
Afx d x + Bfdx = fy dx,
a a
wo y als Function von x mittelst der Curvengleichung gegeben
ist. Daraus folgt:
A =
(b a) Jxy dx - ^^-J y dx fay dx - \(a -)- b)fy dx
b b
j r &2__a 8 /
I ydx- ^ /
wodurch nun die Gleichung der fraglichen Geraden gefunden ist.
Sucht man die Flache, welche zwischen dieser Geraden, den Or-
dinaten fur x a und x = b und der Abscissenaxe enthalten
ist, so ergiebt sich
La + B)dx = A *~^ a - + B(b a) ==
so dass diese Flache genau ebenso gross ist, als diejenige, welche
zwischen der Curve, denselben Ordinaten und der Abscissenaxe
enthalten ist.
Es versteht sich von selbst, dass man statt einer Geraden
eine parabolische Curve
y =. A -\- Bx ~|~ Cx^ -f-
verlangen konnte, welche dieselbe Eigenschaft des moghchst na-
Eine Gerade einer Curve moglichst nahe zu ziehen. 123
hen Anschliessens haben sollte. Beschrankt man sich auf die
drei ersten Glieder, so hat zur Bestimmung von A, B, C:
Afdx + Bfxdx + Cfx^dx =fydx,
a a a a
b b b b
Afxdx + Bfx^dx + Cfx*dx = fxydx,
a a a a
Afx^dx + Bfx*dx + Cfx*dx =foi*yda:.
Da die von der parabolischen Curve, den Ordinaten fur
a; = a und x = 6, sowie von der Abscissenaxe eingeschlossenen
Flache
b b b b
f(A -f Bx + Cx*)dx = Afdx -f Bj'xdx + Cfx*dx,
a, a a a .
b
so ist diese, vermoge der ersten Gleichung = fydx, vvie vorhin.
"
Da auch
b b
f (A -\- Bx -j- Cx*)xdx = fxydx,
a a
so liegen die Schwerpunkte beider Flachen in derselben Paralle-
len mit $er Axe der y, was auch fiir den friiheren Fall gilt.
Berechnung der Winkel aus den an einem Punkte
(Station) gemachten Beobachtungen.
. 16.
Die gemachten Beobachtungen sind entweder lauter Repe-
titionsbeobachtungen , oder bloss einfache Winkelbeobachtungen,
oder theilweise Repetitions- und theilweise einfache Winkelbeob-
achtungen. Wir wollen deshalb im Folgenden diese verschiede-
nen Arten behandeln und noch einige Aufgaben beifugen, die,
wenn sie auch nicht unmittelbar hierher gehoren, doch in nab em
Zusammenhang mit dem Behandelten stehen.
I. Repetitionsbeobachtungen.
Die Berechnung hat hier offenbar keine Schwierigkeit , wie
aus folgendem Beispiele hervorgeht, das der Gradrnessung von
Bessel" (S. 125) entnommen ist:
Vervielfaltigung : m = 0' 1,5"
5 : m 6 = 231 45 18,0
10 : m 10 = 103 30 40,25 (-f 360)
15 : m 15 = 335 16 3,73 (+ 360)
20 : wisjo = 207 1 26,25 (+ 720), (. % 14)
woraus nun nach den Formeln zu Ende des . 14 der Winkel
berechnet wird. Urn aber die Rechnung etwas zu verein-
fachen, wollen wir fur x zuerst den Naherungswerth x l =.
Berechmmg cines Winkcls aus Richtungsbeobachtungen. 125
2071' 26,25'' +72QQ
- L_ ZL - 460 2i/ 4// W ahlen und setzen x = x l
+ #', SO 1st
w 20 wi = 20 #! + 4,75", m 15 m 5 10^ + 5,75",
mithin (. 14)
, , _ 4 (20 *! + 4,75") + 10*! + 5,75"
Xl ~ ~90~
__ 900! +4.4,75" + 5,75" _
gO - xi - u,^fO ,
a? = #! + a' = 46 21' 4,275",
mit dem Gewichte 11,669.
Hat man fur denselben Winkel mehrere solcher Repetitions-
reihen, so berechnet man aus jeder in derselben Weise den Win-
kel, nebst dem Gewichte. Hat man so gefunden fiir den Win-
kel die Werthe t\ mit dem Gewichte g i9 2 m it dem Gewichte
a n m it dem Gewichte g n , so ist der wahrscheinlichste
Werth desselben (. 4, 8):
' mit dem Gewichte
Nimmt man, wie dies z. B. Gerling ( Ausgleichungsrech-
nungen der praktischen Geometric") immer thut, die Gewichte
den Repetitionszahlen proportional, so kann man geradezu diese
Zahlen als Gewichte setzen (. 5).
Eine hierher passende Aufgabe entnehmen wir dem eben
angefiihrten Werke S. 73. Gesetzt namlich, es sei der Win-
Fig 3 kel x mit einem Theodoliten, des-
sen wahrscheinlicher Fehler (. 12, 4)
bei einfacher Messung 4" sei, durch
25fache Repetition = 36o 48' 44,12"
gefunden; der Winkel y mittelst 30 fa-
cher Repetition und eines Theodoli-
ten vom wahrscheinlichen Fehler 9"
gleich 4817'36,47", so ist der wahr-
scheinliche Fehler von u = x + y zu
ermitteln, dabei die Gewichte den Re-
petitionszahlen proportional gesetzt. Wie bereits in . 11, Nr. 4
126 Berechnung eines Winkcls aus Richtungsbeobachtungen.
gezeigt, ist der einlachen Beobachtung mit dem zweiten Theodo-
2
beizulegen, wenn das der einfachen
.
Beobachtung mit dem ersten gleich 1 ist. Dies vorausgesetzt
hat man also:
x = 36o 48' 44,12" m i t dem Gewichte 25,
4"
also wahrscheinlicher Fehler . _ ,
y 48 17' 36,47" mit dem Gewichte 30 . f-jf,
4" 9"
also wahrscheinlicher Fehler =
y
also u = x -(- y =. 85 6' 20,59" mit dem wahrscheinlichen Feh-
ler + - = 1,828-, also das Gewicht von u:
= 4,788, so dass es also geniigt hatte, mittelst des ersten Theo-
doliten den ganzen Winkel u etwa 5mal zu repetiren, um ihn
ebenso genau zu finden, wie durch seine beiden Theile. (Man
vergl. . 6, 11, . 3.)
II. Einfache Winkel- oder Richtungsbeobachtungen.
1m Vorstehenden haben wir bloss Repetitionsbeobachtungen
betrachtet, und haben nun diejenigen Beobachtungen naher zu
untersuchen, bei denen blosse Winkel- oder Richtungsbeobach-
tungen vorkommen. Dabei nimmt man eine Richtung als die
erste an, und beobachtet durch einfache Einstellung und Able-
sung der Winkel, den irgend eine andere, in demselben Punkte
zu beobachtende Richtung mit der ersten macht. Die Beobach-
tungen selbst stellte Bessel z. B. (,,Gradmessung" S. 69) in
folgender Weise an: Der getheilte Kreis des Instruments wurde
festgeklemmt, die Drehaxe der Alhidade senkrecht gestellt, das
Fernrohr auf einen der zu beobachtenden Punkte gerichtet und
die Angabe der vier Nonien abgelesen. Die Einstellung und
Ablesung wurde bei alien noch zu beobachtenden Punkten gleich-
falls vorgenommen. Dasselbe ging nun in umgekehrter Ord-
Berechnung ernes Winkels aus Richtungsbeobachtungen. 127
nung vor sich, worauf man aus beiden Resultaten das Mittel
nahm. Weitere vier Beobachtungsreihen wurden so vorgenom-
men, indem man den Anfangspunkt der Theilungen um etwa 15,
und dann wieder um dieselbe Grosse verschob. Endlich wurde
das Fernrohr umgelegt, die Alhidade um 180 -f- 15 gedreht,
und in gleicher Weise sechs Beobachtungsreihen angestellt.
Wurde man durch Nacht oder andere Umstande verhindert, so
wurde das Fehlende erganzt. Dass man dadurch etwaigen Feh-
lern der Theilung ihre Einwirkung auf das Resultat entziehen
wollte, ist klar. Ein jedes solcher Art erhaltene Resultat wurde
von demselben Gewichte angenommen.
Urn die Frage vollkommen allgemein zu behandeln, wollen
wir annehmen, es seien A, B, C, . . . die wahren Werthe der
Winkel, welche die auf einander folgenden Richtungen mit der
ersten machen (diese Winkel alle in derselben Richtung von
bis 360 gezahlt), x der Fehler, der begangen wird, wenn man
die erste Richtung fur annimmt*) (ein Fehler, der so zu ver-
stehen ist, dass die wahre Richtung um x vveiter zuriickliegt) ;
seien ferner a, 6, c, ... die gemachten Ablesungen fur die
Winkel A, B, (7, ... bei einer ersten Beobachtungsreihe und g^
#i #2 03J die Gewichte von 0, a, 6, c, . . .; #', a', 6', c',...,
# = 9i = 92 = gs = 9, #>' = -
4-^/
-f B'
__ 0,11,
= 0,25,
= - 1,68,
=^ 3,60,
= 2,39,
2,75,
-11B<= 50,61,
Berechnung aus Richtungs- und Repetitionsbeobachtungen. 131
woraus
18,66 A' 10,83 B 1 = 32,38,
- 10,83,4' -f 17,185' = 25,64,
A' = 1,37, B' = 0,63;
A = 7lo 48' 56,37", B = 156 17' 47,37".
III. Richtungs- und Repetitionsbeobachtungen.
Hat man auf derselben Station beiderlei Arten von Winkel-
beobachtungen, so wird man fur die Rechnung die einen in die
anderen verwandeln, also alle zu Eichtungsbeobachtungen, o/ler
alle zu Repetitionsbeobachtungen umformen. Dabei hat man auf
das betreffende Gewicht wohl zu achten. Legen wir die Theo-
rie des . 14 zu Grunde, so ist -^j ^ das Gewicht der einfa-
chen Richtungsbeobachtung , wahrend das des repetirten Winkels
nach den dortigen Formeln sich ergiebt.
Im Bessel'schen Falle war das erstere also . _.,-. = 0,2378.
4,2052
Setzt man die Gewichte der repetirten Winkel den Repeti-
tionszahlen proportional (. 5 u. 14), so wird (. 14) /3 2 veruach-
lassigt; alsdann ist das Gewicht der Richtungsbeobachtung = ,
und das des wmal repetirten Winkels 57. Daraus folgt, dass
^
wenn das Gewicht den Repetitionszahlen gleich gesetzt wird,
das der einfachen Richtungsbeobachtung = 2 zu setzen ist, da
Als Beispiel zur Erlauterung wahlen wir die Bessel'schen
Beobachturigen auf der Station Gilge ( Gradmessung " S. 125).
Die einfachen Beobachtungen sind 6 an der Zahl, die in ein
*) Wirklich ergiebt sich daraus dann das Gewicht des einmal gemessenen
Winkels = 1. Denn letzterer ist die Pifferenz zweier Richtungsbeobachtun-
gen, von denen jede das Gewicht 2 hat, so dass unter Zuziehung von . 6, III.
das Gewicht der Differenz =
132 Beispiel hiezu.
arithmetisches Mittel vom Gewichte 6 . 0,2378 = 1,4268 vereinigt
warden (. 8). Die Gewichte der repetirten Winkel ergeben sich
nach der Tabelle am Schlusse des . 14. So hat man:
Beobachtungen in Gilge.
Winkel Legitten Gilge Lattehwalde: 71 22' 57,7809''
-..(V. (Gew. 22,582),
Lattenwalde Nidden: 46 21' 3,986"
(Gew. 19,819),
Nidden Kallenincken : 43 16' 54,1343"
-> ! * (Gew. 18,206),
rtl 'i' Lattenwalde Kallenincken: 89 37' 57,600"
(Gew. 1,783).
Richtung Legitten: 0' 0,0000" (Gew. 1,4268),
Lattenwalde: 71 22 56,0417 ( ),
Kallenincken: 161 50,6250 ( ).
Setzt man den Winkel Leg. G. Lat. A = 71<> 22' 57,7"
+ A', Leg. G. N. = B = 117044' 1,7" + B', Leg. G. K. = C
= 161 0' 55,8" -(- <7', so hat man, wenn Alles auf Richtungs-
beobachtungen zu reduciren ist, nach II.:
x = (Gew. 1,4268), x -f A = 71 22' 56,0417" (Gew. 1,4268),
x + C = 16lo 0' 50,625" (Gew. 1,4268), A = 71<> 22' 57,7809"
(Gew. 22,5.82), B -- A = 4621'3,986" (Gew. 19,819), C B
= 43o 16' 54,1343" (Gew. 18,206), C A = 89o37'57,6" (Gew.
1,783),
oder, wenn man obige Werthe fur A, B, C einfiihrt, so muss
nach . 3 die Grosse
1,4268 *> + 1,4268 (x + A + 1,6583)2 -f 1,4268 (x + C' +
5,175)2 -f- 22,582 (A 1 0,0809)2 + 19,819 (B' A' + 0,014)2
+ 18,206 ( B' -f C 4 0,034)2 -f- 1,783 (C' - A 1 + 0,5)2
ein Minimum sein, woraus durch Differentiation nach #, A', B', C' :
45,611 A 1 19,819.5' 1,783(7' -f 1,4268 # = 0,628,
- 19,819 A' -f 38,025 B' 18,206 C' = 0,901 ,
1,7834' -- 18,206 ' + 21,416 C' + 1,4268 tf == 7,652,
1,4268 A + 1,4268 B 1 -f 4,2804 x = 9,753 ,
Vereinigung der Beobachtungen mit verschiedenen Instrurnenten. 133
wodurch :
45,135.4' -- 19,819 & 2,258(7' = 3,879,
~ 19,819 A 1 + 38,025 B' 18,206 C' = 0,901,
2,258.4' 18,206 J5' -f 20,9406" == 4,401,
A 1 = 0,052, B 1 = 0,265, C = 0,447;
,4 71 22'57,648", B = 117<>44' 1,435", 0= 161 0' 55,353".
Uebrigens ist die Rechnung dieselbe, vvenn man Alles zu
Repetitionsbeobaclitungen umandern will, da man schliesslich im-
merhin A, B, C erhalt.
IV. Zusatz, betrefl'end die Vereinigung von RepetitionsbefJb-
achtungen mit verschiedenen Instrumenten.
Bei der Theorie der Repetitionsbeobachtungen in . 14 wurde
diejenige Beobachtung zur Gewichtseinheit genommen, deren
wahrscheinlicher Fehler = 1 (eine Secunde) war, und darnach
dann theoretisch die Gewichte der einzelnen Repetitionsbeobach-
tungen ermittelt. Unter Voraussetzung der so erhaltenen Ge-
wichte kann man aber nun nach . 10 aus den gemachten Beob-
achtungen den wahrscheinlichen Fehler einer Beobachtung vom
Gewichte 1 ermitteln. Fallt derselbe = 1 aus, so ist dies ein
Zeichen, dass die theoretisch gemachten Annahmen eintreffen,
a 2
dass also namentlich das Verhaltniss rich tig angenommen ist;
fallt aber der wahrscheinliche Fehler nicht = 1 aus, so miisste
entweder dieses Verhaltniss geandert werden, was immerhin sehr
misslich ist, oder aber man miisste derjenigen Beobachtung, de-
ren Gewicht 1 war, jetzt ein ihrem wahrscheinlichen Fehler ent-
sprechendes Gewicht beilegen. Ist namlich Q der gefundene
wahrscheinliche Fehler der Beobachtung vom Gewichte 1, so
ware das Gewicht der letzteren, statt 1, jetzt nur zu setzen,
so dass die nach . 14 theoretisch bestiinmten Gewichte alle mit
zu multipliciren waren. Da dies aber an dem gegenseitigen
Verhalten nichts andert, so kann man getrost bei den theoretisch
angegebenen Gewichten bleiben, Anders aber verhalt sich die
134 Vereinigung der Beobachtungeu mit verschiedenen Instrument en.
Sache fiir zweierlei Theodoliten. Findet man namlich fiir den
ersten den wahrscheinlichen Fehler der Beobachtung vom Ge-
vvichte 1 gleich p, fiir den zweiten gleich Q', so waren fiir den
ersten die in der Tabelle am Schlusse des . 14 angegebenen
Gewichte mit , fiir den zweiten mit zu multipliciren ; oder
wenn man immerhin die Beobachtung vom wahrscheinlichen Feh-
ler 9 des ersten Theodoliten als Gewichtseinheit beibehalt, also
die Tabelle des . 14 fiir ihn gelten lasst, so muss man die Ge-
wichte jener Tabelle, in so fern sie fiir den zweiten Theodo-
liten gelten soil, mit - multipliciren.
<* \Q /
So erhielt Bess el (,,Gradmessung" S. 137) fiir den ersten
Theodoliten 0,6745.1,3056, fur den zweiten 0,6745.2,8 als
wahrscheinliche Fehler der Beobachtung vom Gewichte 1, so
dass also, unter der Annahme die Tabelle des . 14 gelte fiir
den ersten Theodoliten, die in ihr angegebenen Gewichte mit
/0,6745 . 1,3056\2 .
( - ) r=0,217o zu multipliciren sma, wenn sie auch
V 0,6745 . 2,8 /
fiir den zweiten Theodoliten gelten soil.
Nimmt man die Gewichte den Repetitionszahlen proportional,
und ist dann n das Gewicht des durch rcfache Repetition (Ab-
lesen nur zu Anfang und Ende) mittelst des ersten Theodoliten
gefundenen Winkels so ist n f-^J das durch /zfache Repetition
mittelst des zweiten gefundenen, wo Q und 0' dieselbe Bedeu-
tung haben, wie so eben. (Vergl. . 11, Nro. 4.)
Gesammtausgleichung der Winkel in einem
geodatischen Dreiecksnetze.
I. Ansatz der Bedingungsgleichungen.
. 17.
Berechnet man nun auch nach den in . 16 angegebenen
Methoden die einzelnen Winkel, die in einem Dreiecksnetze vor-
kommen, so konnte es sich ganz wohl ereignen, dass das so er-
haltene Netz keineswegs dem wirklichen entsprache, ja dass Sei-
ten, in verschiedener Weise berechnet, auch verschieden erhalten
wiirden. Die erhaltenen wahrscheinlichsten Werthe der Winkel
an einer Station sind noch keineswegs die wahrscheinlichsten
Werthe dieser Winkel, in so fern sie Theile des ganzen Netzes
sind. Es miissen diese Winkel namlich noch einer Reihe mathe-
matischer Bedingungen geniigen, die in Gleichungen ausgedruckt,
eben die sogenannten Bedingungsgleichungen bilden. Die Bil-
dung dieser Bedingungsgleichungen soil uns nun zunachst be-
sch'aftigen. In dieselben treten bloss die Winkel ein, so dass
aus den gegebenen Richtungen, im Falle Richtungsbeobachtungen
vorliegen, dieselben berechnet werden miissen, was offenbar durch
einfache Subtraction der wahrscheinlichsten Werthe der Richtun-
gen geschieht.
Die nach den Vorschriften des vorigen Paragraphen berech-
neten Werthe der Winkel werden wir nun als genaherte
Werthe ansehen und denselben Correctionen beilegen, die sodann
nach Anleitung des Friiheren zu berechnen sein werden- Dabei
mussen wir jedoch unterscheiden, ob man bloss Winkel- (Repe-
136 Ansatz der Bedingungsgleichimgen.
titions-) Beobachtungen, oder bloss Richtungsbeobachtungen hat.
Den gemischten Fall werden wir nicht mehr erortern, da er nach
. 16, 111. als auf einen der beiden anderen zuriickgefiihrt ange-
sehen werden kann. 1st A ein Winkel, dessen genaherter Werth
AI ist, so komme ihm im ganzen Netze die Correction 4 A zu,
welche wir mit einem einzigen Zeichen zu bezeichnen haben wer-
den, wenn Repetitionsbeobachtungen vorliegen; hat man dagegen
Richtungsbeobachtungen, so sind dazu in der Regel zwei Zeichen
nothwendig. Man hat namlich nach den Vorschriften des . 16
zunachst die genaherten Werthe der einzelnen Richtungen be-
rechnet; legt man denselben nun gewisse (noch zu bestimmende)
Correctionen bei, die Bess el und Bayer fortlaufend durch das
ganze Netz mit (1), (2), . . . bezeichnen, wo die Anfangsrichtun-
gen einer solchen Bezeichnung nicht bediirfen werden, so wird
die Correction eines Winkels durch die Differenz zweier solcher
Richtungscorrectionen auszudriicken sein. So ware (s. Fig. 1),
wenn MA die Anfangsrichtung , die Richtungen MB, MC, . . .
die genaherten Werthe a, 6, ... haben, mit den Correctionen
(3), (4), . . ., der wahre Werth des Winkels CMB gleich b a
-)- (4) (3) u. s. w. Einstweilen mag es geniigen, die Correc-
tionen der Winkel mit 4 A, 4B, . . . zu bezeichnen, unbekiim-
mert darum, ob diese Grossen durch ein oder zwei Zeichen aus-
zudriicken sind.
j, t Drei Arten von Bedingungsgleichungen.
Die erste Art der Bedingungsgleichungen hat dann Statt,
wenn sammtliche Winkel um einen Punkt herum beobachtet wor-
den sind. Seien A, B , . . . , E die genaherten Werthe dersel-
ben (gefunden nach den Vorschriften des . 16), z/^4',
ihre Correctionen im ganzen Netze, so muss also
sein. So viele Male im ganzen Netze sammtliche Winkel um
einen Punkt herum gemessen worden, so viele Bedingungsglei-
chungen der Form (36) hat man, die also sehr leicht anzusetzen
sind.
Ansatz der Bedingungsgleichnngen. 137
Die zweite Art Bedingungsgleichungen, welche wir die Win-
kelgleichungen nennen konnen, entsteht daher, dass dieSumme
der drei Winkel eines jeden Dreiecks eine bestimmte ist (vergl.
meine ,,ebene und spharische Trigonometric" S. 326). Sind A,
B, C die genaherten Werthe der drei Winkel des geodatischen
Dreiecks, s der spharische Excess, so ist
= 180+,
= 180o -f (A+B+C). (37)
Wahlen wir aus Bess el's ,,Gradrnessung etc." S. 143 das
Dreieck Fuchsberg-Wargelitten-Haferberg, in dem der spha-
rische Excess 0,163" ist. Man hat dort:
Winkel an Fuchsberg: 73 11' 36,248" (10),
Wargelitten: 78 2 17,900 -f(l3),
Haferberg; 2846 7,773 + ( 16 ) (19)
180 1,921,
also
18000' 1,921" -f (16) -f- (13) (10) (19) = 180 0' 0,163",
(16) + (13) - (10) - (19) = - 1,758,
wenn die Correctionen in Secunden ausgedriickt sind.
Ein zweites Beispiel entlehnen wir der hessischen Gradmes-
sung (Fischer, hohere Geodasie, III. S. 61), wobei es sich um das
Dreieck Mannheim - Melibocus - Donnersberg handelt. Die Beob-
achtungen ergeben:
Winkel an Mannheim: 93<> 48' 15,22"+ 4 A,
Melibocus: 51 55 00,18 +
Donnersberg: 34 16 49,72 -f-
180 5,12;"
der spharische Exqess des Dreiecks war 3,054", so dass
1800'5,12" -f 4 A -f 4B -f 4C = 180oO / 3,054",
4 A + 4B -f- 4C = 1,066.
Die dritte Art von Bedingungsgleichungen, die wir Seiten-
gleichungen heissen konnen, entsteht daher, dass jede Seite
des Netzes, wie iminer sie auch berechnet werden mag, von dersel-
ben Grosse erhalten werden muss. Die Behandlungsweise die-
ser Gattung wird uns das folgende Beispiel erlautem (Fig. 4, a. f. S.).
138 Ansatz der Bedingungsgleichungen.
In den um den Punkt U herumliegenden Dreiecken, in de-
nen sammtliche Winkel gemessen wurden , hat man folgende
Gleichungen :
Fig. 4.
sn
in. L'G sin. L'CG
sin. L'GC'
sin. L'L C
sin. L'CL'
sin.L'G'L
sin.L'LG''
sin. L'NG'
sin. L'C
sin. L'C
sin. L'L
sin. L' L
sin. L'G'
sin. L' N
sin.L'N
sin. L'G
sin. 1/GpN'
sin. L'GN
sin. TJ NG '
worin natiirlich die Winkel mit ihren wahren Werthen zu neh-
men sind. Multiplicirt man alle diese Gleichungen, so erh'alt man :
sin. L'GC sin. L' CL sin. Lf L G' sin. L' G' N sin. TJ NG
_
~
sin. L' CG sin. L' LC sin. L'G'L sin. L'NG' sin. L'GN
unter welcher Form diese Seitengleichungen immer erscheinen.
Sind nun A, B+*C,!*t die genaherten Werthe der Winkel, de-
ren Sinus im Zahler erscheinen, wahrend A' , B' , G 1 , . . . diesel-
ben Grossen fiir den Nenner sind; d A, 4B 9 4C, . . . ; dA 1 ,
4B', 4C', . . . ihre Correctionen im ganzen Netz, .so hat man
also:
sin. (A -f 4 A) sin. (B -f 4B) sin. (C + 4C) . . .
= sin. (A* + 4 A 1 } sin. '--' ' ' '
sn.
Daraus folgt
log. sin. (A -f 4 A) -f- log. sin. (B + JB)
log. sin. (A'-\-4A f ) log. sin. (B'-\-4B f )
Bezeichnet man allgemein die logarithmische Differenz fur
1" bei sin. x mit D log. sin. x\ sind ferner, wie uberall, d A,
4B, . . . in Secunden ausgedriickt, so wird obige Gleichung:
log. sin. A -f- log. sin. B -\-
log. sin. A' log. sin. B'
+ D log. sin. A . 4 A + D log. sin. B.4B +
D log. sin. A' . 4 A' D log. sin. B 1 .
= 0, (38)
Ansatz der Bedingungsgleichungen. 139
unter welcher Form namentlich Bessel die Seitengleichungen
aufstellt.
Es ist ubrigens auch klar, dass wenn man log. sin. (A-\-4A)
nach dem Taylor'schen Satze entwickelt, man an die Stelle von
D log. sin. A setzen kann: - - log. e . cotg. A u. s. w., wo e
. 60 2
die Grundzahl der natiirlichen Logarithm en ist. Endli'ch kann
man, ohne zu den Logarithmen uberzugehen, zunachst setzen:
sin. (A + 4 A) sin. (B+4B)... =sin.(A'+4A')sin.(B'+4JB')...,
woraus leicht folgt:
sin. A sin. B sin. C (- sin. B sin. C. . . cos. A 4A$
+ sin. A sin. C... cos. B dB -|
= sin. A' sin. B' sin. C 1 f- sin. B' sin. C'...cos.A'4A'Q
-f- sin. A 1 sin.C 1 '...cos.B' 4B'$-\ ,
wo Q -TQA T^TvT- Daraus ergiebt sich, wenn man beiderseits
loU . olH
mit Q sin. A / sin. B 1 sin. (7' ... 'dividirt:
180 . 602 / sin, A sin. Bsin.C... . \
( - AT-- n, - n, 1 + cotg. A . 4 A 4-
n \sin. A' sin. B 1 sin. C 1 ... /
cotg. B . JB -f- cotg. C . 4C -| ( 39 )
- [cotg. A' . 4 A' + cotg. B 1 .4B'\- cotg. C' . 4 C' -| ],
wo man
sin. B sin. C .. . cos. A cos. A
sin. B / sin. C' ... sin. A' sin. A
= cotg. A, u. s. w.
gesetzt hat, indem ja sin. B / sin. (7' ... sin. A 1 nahezu = sin. B
sin. C ... sin. A ist. Unter der Form (39) entwickelt Bayer
die Seitengleichungen. Zunachst wollen wir 'nun zu beiden Ar-
ten ein Beispiel zusetzen. Das erste ist aus B easel's Gradmes-
sung S. 147 und bezieht sich auf Fig. 4, in der man die Glei-
chung (a) hat. Es ist dort:
I/GC = 49<> 43' 40,382"+ (21) -- (28),
L'CL = 67 18 30,506 + (32) (31),
L'LG'=67 37 2,521 + (70),
LG*N = 46 21 3,787 . + (67) (66) ,
L'NG = 6 28 34,609 + (44) (43),
140 Ansatz der Bedingungsgleicbungen.
L'CG = 90 53' 40,054"+ (31) (30),
L'LC = 75 36 39,074 - (69),
Z''Z= 71 22 57,648 -f (66),
Z'A 7 ' = 60 50 1,026 -f- (43) (42),
NGL' = 3 48 2,901 + (28) (27).
Demnach log. sin. x -f- D log. sin. x . 4x:
9,88251328 -f 17,839 {(21) - (28)},
9,96501063 -f 8,804 {(32) (31)} ,
' 9,96598224 -f- 8,761 (70),
9,85948656 + 20,085 {(67) (66)} ,
9,05227427 -f 185,483 {(44) (43)},
8,72526698:
9,99994711 - 0,329 ''{(31) (30)},
9,98615770 - 5,402 (69),
9,97665758 -f- 7,093 (66),
9,94111694 + 11,751 {(43) (42)},
8,82142840 -f- 316,938 {(28) (27)},
8,72530773;
8,72526698
8,72530773
4075,
also endlich ist
:= 407,5 + 17,839 (21) + 316,938 (27) 334,777 (28)
- 0,329 (30) 8,475 (31) -f- 8,804 (32) + 11,751 (42)
197,234 (43) + 185,483(44) 27,178 (66) + 20,085 (67)
+ 5,402 (69) -f 8,671 (70)
die verlangte Seitengleichung.
Das zweite Beispiel ist aus Bayer's Kustenvermessung
S. 275 entnommen. Die Bedingungsgleichung ist:
__ sin. SPG sin. PEG sin. RSG .
= sin. PSG sin. RPG sin. SRG '
SPG = 42<>52' 1,046" -f (100),
PEG = 150 39 1,131 + (99) - (97),
RSG = 41 20 20,089 + ( 90 ) - ( 89 )>
PSG = 56 50 29,415 + (91) - (89),
RPG = 20 17 55,474 + (101) (100),
SRG = 49 19 4,747 + (99) (98),
Ansatz der Bedingungsgleichungen. 141
(log. sin. x -|~ cotg. x . 4x):
9,83269937 + 1,0774 ,(100),
9,69031886 1,7784 {(99) - (97)},
9,81988051 + 1,1367 {(90) - (89)},
9,34289874;
9,92280889 ~f- 0,6533 {(91) - (89)} ,
9,54022315 -f 2,7035 {(101) -- (100)},
9,87986339 -f- 0,8596 {(99) (98)},
9,34289543;
9,34289874
9,34289543
0,00000331
(Zahl dazu) : 1,00000762
1
. '0,00000762 davon der log.: 4,8819610
2 : 5,31443
It
0,19639
(Zahl dazu: -f 1,572),
also endlich
= 1,572 0,4834 (89) + 1,1367 (90) - 0,6533 (91) + 1,7784 (97).
+ 0,8596 (98) 2,6380 (99) + 3,7809 (100) 2,7035 (101).
Ein Beispiel fur den Fall von Repetitionsbeobachtungen zu
geben, halten wir nicht fiir nothig, da der Ansatz nach Vorste-
hendem gewiss leicht ist.
Erorterung einiger besonderer Punkte.
Neben den so eben betrachteten Fallen konnen jedoch noch
einige andere auftreten. Ks ist namlich moglich, dass man in
dem Netze zwei oder mehrere Grundlinien gemessen hat, oder
dass ein Anschluss an sonst schon gemessene Grundlinien Statt
hat. Sind G und 6r' die in Bogen verwandelten Grundlinien,
so wird man in derselben Weise, wie man die Gleichung (a) er-
hielt, eine Gleichung der Form:
142 Fall mehrerer Grundlinien.
sin. G __ sin. (A -f 4 A) sin. (B + 4B) sin. (C -f-
sin. G' ~~ sin. (A'.-\- 4 A) sin. (B' + 4B') sin. (C' -f z/C') . . .
erhalten, wobei wir die gemessenen Grundlinien als durchaus
genau annehmen, indem eine Correction bei diesem fundamenta-
len Elemente zuzulassen schon desshalb nicht rathlich ist, weil
ein Anschluss von anderer Seite her abermals eine neue Correc-
tion nach sich ziehen wurde. Die Geodaten vermeiden es tibri-
gens, zwei Grundlinien in demselben Netze zu messen. Dass
man mehrere Gleichungen wie die obige erhalt , wenn mehr -als
zwei Grundlinien im Netze vorkommen, ist klar; ebenso dass die
Behandlung ganz ahnlich der friiheren ist.
Ein zvveiter Fall kann eintreten, wenn (wie z. B. bei Bayer)
die Grundlinie in zwei Abtheilungen gemessen wurde. Die zwei
Fig 5 Theile waren AB, EG (Fig. 5) , welche
drei Punkte zugleich Stationen waren?
die in der Bildung der Bedingungs-
gleichungen beachtet worden sind. Die
Lange von AB ist 588,509172 Toisen,
von BC: 610,213860 (Kiistenvermes-
sung S. 10). Nimmt man beide Theile
als durchaus genau an, und berechnet
einen aus dem anderen, so erhalt man
die Bedingungsgleichung
AB.sin. BBA sin. BOB"
1 =
BC sin. BAB" sin. BBC
wo fiir sin. AB und sin. BC gleich die Bogen, also auch die
Langen von AB und BC gesetzt wurden. Diese Bedingungs-
gleichung ware den ubrigen beizufiigen, was jedoch Bayer nicht
gethan.
Ein weiter hier zu beriihrender Fall ist der, da man einen
Winkel in das Netz aufhimmt, der schon friiher in einein ande-
ren Netze gemessen und dort ausgeglicljen wurde, und den man
eben deshalb nicht andern mochte. So'z. B. nahm Bayer (Kii-
stenvermessung S. 88 u. 96) auf der Station Trunz (M. in Fig. 6)
den Bessel'schen Winkel Galtgarben- Trunz -Wildenhof (EMF)
auf, der = 41 31' 57,9612" bei Bessel war. Die Anfangsrich-
Fall ganz genauer oder gar nicht gemessener Winkel. 143
tung war Brosowken (A). Bezeichnet man nun die Winkel
BMA, CMA, . . . mit A 9 B, . . ., so hat man also die Bedin-
gungsgleichung
E D = 41 31' 57,9612",
welche man schon bei der nach . 16 auf der Station Trunz
vorgenommenen Ausgleichung zu beachten hatte. Berechnet man
Fig. G. Fig. 7.
so auf dieser Station die Winkel, so wird man dann den Rich-
tungen Galtgarben und Wildenhof (ME und MF) keine Cor-
rectionen im ganzen Netze zufugen.
Endlich kann es sich auch ereignen, dass einer oder meh-
rere der in der Gleichung (a) vorkommenden Winkel nicht un-
mittelbar gemessen wurden, vielmehr aus je zwei anderen zu
schliessen sind. Wie man sich hierbei zu benehmen hat, ist leicht
einzusehen. Sind A -(- 4A,"B -\- 4B zwei gemessene Winkel
eines Dreiecks mit ihren Correctionen im ganzen Netze, s der
spharische Excess des Dreiecks, so ist der dritte in Rechnung
zu ziehende Winkel = 180 + s A B 4 A 4 B.
Wir wahlen zur Erlauterung ein Beispiel aus Bayer's Kiisten-
vermessung S. 271, wobei es sich um die Bedingungsgleichung
(Fig. 7):
_ sin. PZB sin. ZGP sin. GPB .
' sin.ZBP sin. GZB sin. PGB
handelt. Die Beobachtungen waren (Riclitungen) :
144 Beispiel fur den Fall nicht gemessener Winkel.
In B: G = Oo 0' 0,000",
Z= 41 17 44,459 +(52),
P = 49 53 9,6i7 +(53),
In G: Z= 00 20,270,
P = 634 29,250 +(57),
=83 18 1,782 + ( 58 )>
In P: E= 0,000,
B= 9425 19,955 +(49),
G =1474841,008 +(50),
^=17812 24,339 +(51).
Also
= 53 23 21,053
=8347 4,384
ZGB 7= 76 43 32,532
+(50)
-(49),
+(51)
-(49),
+ (58)
E 80 35' 25,188"+ (53) (52),
BPZ=S3 47 4,834 +(51) (49),
92 22 29,572 +(53) + (51) (52)- (49), s = 0,764,-
,764;" 92022' 29,572" (53) (51)+(52)+(49)
= 87o 37/ 31,101" + (49) + (52) (53) (51).
Ebenso GZB = 55o 24' 36,810" (52) (58). Mithin zur
Bildung der Endgleichung nach (39):
PZB = 8?o 37' 31,191"+ (49) _f_ (52) (51) (53),
ZGB = 83 17 41,512 + (58),
GPB = 53 23 21,053 + (50) (49),
ZGB = 83 47 4,384 + (51) (49),
GZB =55 24 36,810 -- (52) (58),
PGB = 76 43 32,532 + (58) (57),
9,99962691 + 0,0415 {(49) (51) + (52) (53)},
9,99701928 + 0,1176 (58),
9,90455594 + 0,7430 {(50) (49)},
9,90120213;
9,99743961 + 0,1089 {(51) (49)},
9,91552527 + 0,6896 { (52) (58)},
9,98823867 + 0,2359 {(58) (57)},
9,90120355;
Aulsuchung sammllichcr Becliugtiiigsglcichungcii. 145
9,90120213
9,90120355
9,99999858 4- 0,9999'MiK
0,0000034 . . . 4,53147 ( 1)
5,31443
9,84590 (1) - - 0,701,
= 0,701 -- 0,5926 (49) ~f- 0,7430 (50) 0,1504 (51)
-f 0,7311 (52) 0,0415 (53) -f 0,2359 (57) 4- 0,5713 (58).
Aufsuchung sammtlicher Bedingungsgleichungen.
Ein hochst wichtiger Punkt 1st nun, keine der Bedingungs-
gleichungen, deren Ansatz im Obigen ausfuhrlich erortert wor-
den, zu iibersehen. Sobald man sich aber klar macht, was dicsc
Bedingungsgleichungen bedeuten und woher sie riihren, ist ein
solches Uebersehen geradezu unmoglich. Die Bedingungsglei-
chungen der ersten Art sind wohl am leichtesten bemerkbar,
ebenso die wegen rnehrerer Grundlinien, oder getreunter Grund-
linie, oder unveranderter Winkel, so dass bloss die Winkel- und
Seitengleichungen zu betrachten bleiben. Nun entsteht irgend
eine Bedingungsgleichung nur insofern, als eine oder mehrerc
Beobachtungen zu viel gemacht wurden; zu viel, weil es nach
mathematischen Gesetzen moglich gewesen ware, das Beobach-
tete aus anderem Beobachteten zu berechnen. Diese mathemati-
schen Gesetze, in Form von Gleichungen ausgesprochen, bilden
eben die fraglichen Bedingungsgleichungen.
Um alle zu erhalten, wird man dabei am besten folgenden
von Bessel (Gradmessung S. 139) angedeuteten Weg einschla-
gen. Man gehe von zwei Anfangspunkten des Netzes aus, z. B.
von den beiden Endpunkten der Grundlinien. Ein nachster Punkt
des Netzes ist nun seiner Lage nach vollkoinmen bestimmt, wenn
die Richtungen der zwei von den ersten Punkten aus an ihn ge-
zogenen Linien in jenen zwei Punkten beobachtet wurden. Wer-
den nun die zwei ersten Punkte vom dritten aus ebenfalls beob-
achtet, so ist ein Winkel zu viel beobachtet, und man erhalt des-
wegen in diesem Dreiecke eine Winkelgleichung, wie (37). Ge-
Dienger, Methode der kleinsten Quadratsummeu. JQ
146 Das Bessol'suhi; Netz als iVi^vrl.
setzt nun, ein \icrter Punkt vverde von alien dreien aus beobach-
tet und sie selbst von ihm aus, so ware der Punkt 4 schon iest-
gestellt, \venn er bloss von 1 und 2 aus beobachtet worden ware;
die Seite 3 4 (Richtung der&elben) ware also nicht nothwendig
- deshalb entsteht eine Seitengleichung wie (a) ; die zwei
Winkel in 4 zu beobachten, ware ebenfalls nicht notbig gewesen,
und man erhalt also nocb zwei Winkelgleichungen, in den Drei-
ecken 124, 234. Geht man in dieser Art weiter, so iiber-
sieht man leicht, dass wcnn ein Punkt von m anderen aus, und
diese auch sammtlich von ihm aus beobachtet wurden, man we-
gen der m 2 iiberfliissigen Seiten m 2 Seitengleichungen,
und wegen der m 1 uberfliissigen Winkei am nciien Punktc
in -- 1 Winkelgleichungen erhalt. Sind nicht sammtlichc Rich-
tungen auch zuriick beobachtet, so fallen einige der letzteren weg.
Als Beispiel \\ahlen vvir das Be&seJ'0che Netz (Fig. 8), in
\velchem durch die Pfeile an den Seiten angegeben ist, in wel-
cher Richtung liin die Seiten beobachtet wurden. Wir gehen
dabei von der Grundlinie Trenck-Mcdnicken aus.
1) Fuchsberg ist beobachtet von T und M und zuriick -
eine Winkelgleichung im Dreieck TFM, die I. bei Bessel
(Gradmessung S. 141).
2) Wargelitten, beobachtet von T, M, F und zuriick; 2
Winkelgl., 1 Seitengl., Dreicckc TMW, WTF und dieBriiche
T\V MT TF
JiT" TJ' TIP ( " Bessel).
3) Galtgarben, beobachtet von 7 T , M, F, W und zuriick; 3
Winkelgl., 2 Seitengl. Dreicckc G WF, GTF, GMl<"\ Briiche
FG F W FT FG^ F W FM (V . . . u
~FW TT> FG' FW FM' FG ^
4) Haferberg beobachtet von W, 6r, ,F und zuriick; 2
Winkelgl., 1 Seitengl.; Dreiecke FW1I, FGU; Briiche
F(* F W FII
FW' Til' TG (X--XIIbeiB.)-
5) Condehnen, beobachtet von 6r, F, H und zuriick; 2
Winkelgl., 1 Seitengl.; - Dreiecke GHC, FRC\ Briiche
( U Gil II F XI[ . .
'777 ' 777" en (X1H " xv bei R) '
Das Besselsohf Net/ als Heispiel. 147
6) Wildenhof, beobachtet von , mul zuruck,-c?ovvie zuriick nach
//; iWinkelgl., 1 Soiten^l.; - Dreieck HY7^;Briiche ~, ^ ,
7) Trunz, beobachtet von 14 , 6r und zuriick; 1 Winkelgl.
Dreieck G T W (XVIII bei B.).
10*
148 Das Beiwel'sche Nelz als Beispid.
8) Lattcmvalde, beobachtet von G, 6' und zurtick; 1 Winkelgl.;
Dreieck G CL (XIX bei B,).
Fig. 9,
9) Legitten, beobachtet von C,L e und zuruck; 1 Winkelgl.;
Dreieck CL'L" (XX bei B.).
10) Gilge, beobachtet von L e ,L n und zuriick; 1 Winkelgl.;
Dreieck L e L n G e (XXI bei B.).
Ausgleichung der Winkel im ganzen Dreiecksnetze. 149
11) Kallenincken , beobachtet von 6r e ,7> und zuriick; 1
Winkelgl.; Dreieck KL'G* (XX11 bei B.).
12) Niddan, beobachtet von K, L e , G e , G n und zuriick;
3 Winkelgl., 2 Seitengl. -- Dreiecke L'G'N, GjT> L e G e
jm L^N (XXIU - xxvn bei B ->
13) Algeberg, beobachtet von N und .fiT, und zuriick; 1
Winkelgl.; -- Dreieck AKN (XXV 111 bei B.).
14) Lepaizi, beobachtet von N und A, und zuriick; 1 Winkelgl.;
- Dreieck LNA (XXIX bei B.).
15) Leuchtthurm, beobachtet von Z% N, und zuriick; 1
Winkelgl.; -- Dreieck LL*N (XXX bei B.).
16) Memel, beobachtet von L*L m N, aber nicht zuriick; 1
CM. TD i, L m M NM M.JJ /vvvr i . D .
Seitengl.; - - Bruche -^ , , -- (XXXI bei B.).
Durch diese 31 Bedingungsgleichungen sind sammtliche Be-
dingungen des Bessel'schen Netzes erschopft; andere . kommen
den Messungen gemass nicht vor.
II. Wirkliche Ausgleichung der Winkel ira ganzen Netze.
18.
Die Gesammtausgleichung der Winkel in einem geodatischen
Netze ist eine der Hauptaufgaben der hoheren Geodasie und wir
haben sie desshalb auch mit der ihr gebiihrenden Ausfiihrlich-
keit abgehandelt. Nachdem man einmal sammtliche Bedingungs-
gleichungen angesetzt, unterliegt sie keiner theoretischen Schwie-
rigkeit. Wir werden hierbei berechtigt sein, entweder blosse
Richtungsbeobachtungen oder blosse Repetitionsbeobachtungen vor-
auszusetzen, und wenden uns zunachst zu den ersteren.
Bei blossen Richtungsbeobachtungen.
Behalten wir die in . 16, II. gebrauchte Bezeichnung bei,
so muss die Summer
150 Ansgleichung dor Winkel 1m gan/en Dreiecksnetze.
a)*+gt (a: + B- t>)* + ffs ( a! + C
ausgedehnt nicht nur auf alle Beobachtungsreihen auf einem
Punkte, sondern auf s'arnmtliche Beobachtungsreihen in
alien Punk ten des Netzes, ein Minimum sein. Dabei sind yt,
B 9 C, . . . die wahren Werthe der (lurch diese Grosse bezeich-
neten Richtungen. Bezeichnen wir nun aber durch /I, /?, C, . . .
nicht mehr die wahren Werthe, sondern die nach . 1P>, II. be-
rechneten (genaherten) Werthe dieser Richtungen (Winkel); sind
dann z/^4, z//?, z/(7, . . . die Correctionen dieser Werthe im
ganzen Netz, welche Grossen in obigen Beispielen durch (1),
(2), (3), . . . bezeichnet warden (also eine andere Bedeutung ha-
ben als ^/^4, z/J?, . . . in . 17), so muss die iSumme
in derselben Weise ausgedehnt, ein Minimum sein. Man wird
zunachst nun bemerken, dass die Summe (6) nichts Anderes ist,
als die Gesamrntsum'me aller einzelnen ahnlichen Summen, wie
wir sie in . 16, 11. auf'gestellt liaben, wenn man nur A -(- /4A.
B ~\- d B, . . . an die Stelle von A, /?,... treten lasst.
Zwischen den Grossen 4 A, 4B, 4C, . . . (d. h. (1), (2),
(3), ... nach Bess el's Bezeichnung) bestehen nun eine Reihe
Bedingungsgleichungen, die wir mit
= K-+- aJA -f a'JB + a." d C +
== L + flJA + P'^B -f ft"4C +
= M <4A - JB "4C, (40)
bezeichnen wolleu, and deren Auistellung wir im Vorigen gezeigt
haben. Sind nun - - 2 I, - - 2 II, - - 2 7TJT, . . . gewisse noch
zu bestirnmende Constanten (. 4), mit denen die zweiten Seiten
der (40) multiplicirt und zu (/>) addirt werden, so erhalt man,
wenn man nach #, ,?', . . ., dA, 4B, . . . difFfrenzirt und die
Differentiahjiintienten gleich Null aotzt:
Ausleiehun +
///+...,
Man wird nun bemerken, dass die erste Ab the i lung der
Gleichungen (41) geradezu die sammtlichen ersten Abtheilungen
aller der Gleichungen (34) des . 16 enthiilt, wenn man nur
A -\- 4 A, B -|- ^/7?, . fiir A, .13, . . . setzt. Abgesehen von
den Grcissen I, II, . . . verhalt sich die zvveite A b the i long der
Gleichungen (41) ebenso gegen die zweiten Abtheilungen der
Gleichungssysteme (34). Zieht man also aus den ersten Abthei-
lungen der (41) die Werthe von as, #', . . . und setzt sie in die
zweiten Abtheilungen, so muss, immer abgesehen von' J, / /,
III, . . ., geradezu das System (35) herauskommen, ausgedehnt
auf alle Punkte des ganzen Systems, wenn man in (35) nur
A -f 4 A, B -f 4B, . . . fur A, B, . . . setzt. Hat man also
die (35), wie bereits in . 16 angegeben, so gebildet, dass man
keinen Zeichenwechsel vorgenommen, noch auch etwa beidersei-
tig dividirt hat, so erhalt man:
p(A + JA) + p'(
= m -(_ a I -f ftll ^
y III +
r (A + 4 A) + r< (B +
+ ...,
Da aber die Grcissen .1, B, C\ . . . den Gleichungen (35)
geuu^eu, so hat man endiich
152 Ausgleichung der Winkel im ganzen Dreiecksnetze.
p
4B -f- r" 4 C-\- ... = "/4- /3"/I+ y"Z77+
(42)
aus welchen Gleichungen, in Verbindung mit (40) die Grossen
4 A, 4B, . . . bestimmt werden.
Man wird leicht sehen, dass man die einzelnen Auflosungen
des .16 keineswegs nothwendig der jetzigen allgemeinen voran-
gehen lassen muss. Sind namlich A, B, C,... genaherte Werthe
der durch diese Buchstaben bezeichneten Winkel; z/J., z/j5,
4 C, . . . die denselben zugehorigen Correctionen , so wird man
immerhin die Gleichungen (41) erhalten, aus denen durch Elimi-
nation die (c) folgen. Bestimmt man nun A, B, C, ... so, dass
sie diesen Gleichungen (c) geniigen, wenn man in ihnen z/^4,
4B, . . . , J, II, . . . weglasst [d. h. den Gleichungen (35)], so
erhalt man ganz sicher die (42). Die Bedingungsgleichungen
(40) sind dann freilich unter der Voraussetzung gebildet, dass
die dortigen genaherten Werthe A, B, C, . . . die soeben [aus
(35)] ermittelten sind. Dabei ist zu bemerken, dass wir in . 16
voraussetzen, es sei keinerlei Bedingungsgleichung bereits dort
angewendet worden.
Da die definitive Auflosung der Gleichungen (42) und (40)
die endgiiltig anzuwendenden Correctionen, d. h. die schliesslich
zu benutzenden Winkel des Netzes giebt; diese Gleichungen aber
eine sehr grosse Anzahl Unbekannter enthalten (bei Bess el 70
Correctionen nebst 31 unbestimmten Factoren), so ist es gut,
wenn man sich durch Vorarbeiten im Laufe der Operationen die
Endarbeit erleichtert. Die wirklichen Messungen erfordern immer
viele Zeit, dauern oft Jahre lang, wahrend nach den Formeln
des . 16 bloss die sammtlichen Beobachtunggn auf einer Station
bekannt zu sein brauchen, um die angenaherten Werthe der dort
beobachteten Richtungen zu finden. Verfahrt man nun genau
so, wie in . 16, II. vorgeschrieben worden (so dass man, wie be-
reits bemerkt, die Gleichungen (35) bildet, indem man bloss die
Werthe der &,&,... substituirt, ohne etwa beiderseitig Zeichen
zu andern, abzukiirzen, oder irgend welche Umformung vorzu-
Ausgleichung der Winkel im ganzen Dreiecksnetze. 153
nehmen), so weiss man , class die Endgleichungen (42) auf ihren
ersten Seiten dieselben Coefficienten haben, wahrend f iir A, J3, . .
bloss ihre Correctionen im ganzen Netz eintreten. Setzt man
also die zweiten Seiten der (42), die man erst spater ermitteln
kann, gleich P, Q, R, . . . (Bayer bezeichnet sie durch [1],
[2], . . .), so hat man auf der berechneten Station sofort die
Gleichungen :
p4A+p*4B+ p"4C + . . . = P,
q4A -f tfJB -|- q"4C + . . . = Q,
r 4 A if- f 4B -)- r" 4 C -f . . . = R,
die in derselben Anzahl sind, wie z/J., 4B, 4 C, . . .. Hieraus
zieht man dann sofort die Werthe von 4 A, 4B, 4 C, ... in
P, Q, R, . . . und behalt sich diese Resultate zu weiterem Ge-
brauche vor. - - Wie gesagt konnen P, Q, R, . . . erst bei der
Schlussarbeit, d. h. nach Aufstellung der Bedingungsgleichungen
(40) ermittelt werden. Sind , /3, y, . . . die Coefficienten der
Correction z/Jl in der ersten, zweiten, . . . Gleichung (40), so ist
ebenso vvenn a', /3 X , /, . . . die Coefficienten der Correction JB
in den auf einander folgenden Gleichungen (40) sind, so ist
u. s. w. Setzt man nun diese Werthe von P, Q, R, ... in die
von dA, 4B, dC, . . ., so sind letztere Grossen durch -I, II,
III, . . . ausgedruckt, und wenn man dann fur 4 A, 4B, . . .
in (40), die so eben erhaltenen Werthe einsetzt, so erhalt man
die zur Bestimmung von I, II, III, . . . nothigen Gleichungen.
Als Beispiel hierzu wollen wir das von Bayer (Kiistenver-
messung S. 83) gegebene beifiigen. Es handelt sich dabei um
die auf der Station Brosowken gemachten Beobachtungen. Die
Berechnung derselben nach . 16, II. gab
Buschkau: 0' 0,000",
Stegen: 51 22 37,166 + (12),
Trunz: 93 55 18,384 + (13),
Talpitten: 137 33 28,197 + (14),
154 AiiRgieichung 2 )2 _)_
ausgedehnt auf alle Punkte des Netzes, ein Minimum scin. Ks
versteht sich von selbst, dass wir hier voraussetzen , man habe
t'iir A mehrere Repetitionsreihen, deegleichen f'tir J3, .... An-
genommen nun, man berecbne f'iir A, B, C 9 ... genaherte Werthe
nach . 16, 1., namlich
jeweils mit den Gewichten //, -)- g. -)-..., g^ 1 -(- g^ 1 -\- . . ., ...
und lege diesen so berechneten Werthen die Correctionen im
ganzeii Netze 4 A, 4B, . . . bei, HO muBa also
15(5 Ausgleichung der Winkel im ganzen Dreiecksnetze.
(A + 4A- a^- + ...
...
+ . .. + ...
ein Minimum sein, wenn .4, 7?, . . . die bereits in . 16, I. ge-
fundenen Werthe der so bezeichneten Winkel sind. Daneben be-
stehen nun die Bedingungsgleichungen (40), derenAnsatz in .17
erortert wurde. Verfahrt man mit denselben, wie oben, differen-
zirt dann (d / ) nach 4 A, 4B, . . . , so ergiebt sich:
(0i + 92 + - ) ( A + ^ A) = 9l a, +g 2 2 -f- . ;:"
+ al
W + 9-2 + - ) ( B
d. h. da A, B, . . . den Gleichungen (e) genugen:
Setzt man die hieraus sich ergebenden Werthe von z/>4,
, ... in (40), so erhalt man die zur Bestimmung von 7, 77,
777, . . . nothigen Gleichungen, worauf dann (43) die z/^4, Z/.Z?,
z/(7, . . . geben. Was die Gewichte anbelangt, so wird, so lange
dasselbe Instrument angewandt wird, nach den Vorschriften des
. 16, I. verfahren werden konnen, indem man z. B. durchweg
das Gewicht der Repetitionszahl gleich setzt. Hat man aber ver-
schiedene Instrumente bei den Messungen angewendet, so wird
man sich nach . 16, IV. zu benehmen haben.
Dass man an nicht gemessene Winkel keine Correctionen
anbringen kann, versteht sich von selbst; es konnen aber in (43)
recht wohl Winkel vorkommen, die, streng genommen, nicht in
das Netz gehoren, sondern die etwa nur gemessen worden, um
die sammtlichen Winkel um einen Punkt herum zu erhalten, u. s. w.
Dass man diesen so gemessenen Winkeln trotzdem Correctionen
im Netz zufugen muss, versteht sich wohl ebenso von selbst.
Zum Schlusse dieses Abschnitts wollen wir nun noch Auflo-
sungen von zwei Aufgaben zufugen, die wir ebenfalls der ,,Kii-
Atisgleichung der Winkel im ganzen Dreiecksnet/e. 157
stc'iivcrmessung" von Bayer (S. 379 ff.) entlehnen, mid die zu-
gleich als ausf iihrliche Beispiele zum Vorstehenden dienen konnen.
Einschiebung von Objecten in ein ausgeglichenes Netz.
Will man, nachdem die vollstandige Ausgleichung des gan-
zen Dreiecksnetzes durchgefuhrt ist, Objecte einschieben, d. h.
ihre Lage bestimmen, indem man die Punkte des Netzes nunmehr
als absolut genau annimmt, so verfahrt man in folgender Weise,
Fig. 10. die an zwei Beispielen erlautert
vverden soil.
1) Der Punkt Mutz (Fig. 10)
wurde als Station gewahlt and dort
folgentle Beobachtungen gemacht:
Gransee: ()' 0,000"
Templin: 100 8 2,843 + (1),
Hausberg: 159 22 18,716 + (2)
Prenden: 196 9 54,087 -f (3),
Eichstadt: 262 1 51,132 -)- (4),
t'crner wurde beobachtet Mutz in Gransee, Eichstadt, Prenden,
Hausberg und zwar:
Gransee: Templin 0' 0,000 /x
Mutz 59 48 47,833 -f (5)
Prenden 71 47 42,669
Eichstadt 126 4 11,920
Eiclistadt: Gransee 0,000
Mutz 15 46 32,354 -f (6)
Prenden 65 27 11,321
Prenden: Gransee 0,000
Mutz 4 11 2,893 -f (7)
Templin 43 3 28,705
Hausberg 93 41 18,537
Eichstadt 299 43 37,338
Hausberg: Kiinkendorf 0,000
Prenden 181 34 21,224
Mutz 235 16 30,537 -f (8)
Templin 279 18 41,171,
158 Bcitspiel oilier Ausgleiclmng in eincm kleincren Netze.
wo nun (1), . . ., (8) die in dem be^onderen Netze (s. Fig. 10)
den betreftenden Richtungen beizuf ligenden Oorreetionen sind.
Die iibrigen Richtungen erhalten, alt? Richtungen iin Hatiptnetze,
keine Correction*). Man hat nun iblgende Bedingungsglei-
chungen :
1. Dreieck MGE.
Winkel an M: 97 58' 8,868" (4),
6r: 66 15 24,088 (5),
Ei 15 46 32,354 + (6)
180 5,310 *
s == 0,776
0=z 4,534 (4) -(5) + (6).
II. Dreieck J/A'.P.
Winkel an I/: 6551' 57,045"-f (4) (3),
J0: 49 40 38,967 - - (6),
Pi 64 27 25,556 -f (7)
ISO 1,568
2,033
= - 0,465 - (3) + (4) - (6) + (7).
III. Dreieck MPlL ^
Winkel an Mi 36o47' 35,371"+ (3) (2).
P: 89 30 15,644 - - (7),
Hi 53 42 9,533 + (8)
180 0,548
1,399
= - 0,851 - (2) + (3) - (7) + (8).
*) Hierbei 1st zu bemerkeu, dass die bci Grariscc, . . ., Hausburg ange-
gebeiien Beobachtungcn schon die im ganzcn Netze uusgeglichenen sind;
der Richtung naoh Mutz wurde, obgleich sie auch ira Nctz ausgeglichen war,
doch hier cine Correction beigelegt, da dieselbe nicht eigentlich in das Nctz
gehbrte.
Beispiel finer Aftfgieicbung in einem kleineren Nel/c. 159
,^ sin. E MG sin. EPM sin. EG P
= xh,. EGM sin. EMP sin. EPG '
EMG 9758' 8,868" (4),
EPM = 64 27 25,556 -f (7),
EGP = 54 16 29,251 .
EGM = 66 15' 24,008" (5),
EMP -.= 65 51 57,045 + (4) (3),
EPG = 60 16 22,662.
9,99578526 + 2,947 (4), 9.96158744 -- 9.262 (5),
9,95532774 -f 10,062 (7), 9,96027313 -f 9,434 {(4) (3)
9,90946893 9,93872526
9,86058193 9,86058583
9,86058583
39,0.
= _ 39,0 -f 9,434 (3) 6,487 (4) -f- 9,262 (5) + 10,062(7).
v - mi. JUMP sin. HTM sin. HPT
~ mi. 11PM sin. HM T sin. H TP '
JIMP = 36^ 47' 35,37 l /x + (3) __ (2),
HTM = 76 43 36,564 -f- (1) (2) -f (8),
UP T = 50 37 49,831.
I1PM = 89o 30' 1 5,644" (7),
1LMT == 59 14 15,873 -f (2) (1),
// TP = 31 37 52,812.
9,77737460 +'28,152 {(3) (2)},
9,98824068 + 4,967 {(1) (2) + (8)}
9,88821963,
9,65383491 ;
9,99998375 - 0,182 (7),
9,93414330 -f 12,533 {(2) -- (1)},
9,71970546
9,65383251 ;
160 Beispiel ciner Ausgleichung in einem kleineren Netzc.
.9,65383491
9,65383251
24,0.
= 24,0 -f 17,500 (1) -- 45,652 (2) 28,152 (3) -f 0,182 (7)
+ 4,967 (8).
sin. MPE sin. MHP sin. MTH sin. MGT sin. MEG
VI. l>r=
sin. MEP sin. MPH sin. MET sin. MTG sin. MGE '
MPE =64 27' 25,556"+ (7),
MHP = 53 42 9,533 + (8),
MTH = 76 ^43 36,564 + (1) (2) + (8),
MGT = 59 48 47,833 + (5),
MEG = 15 46 32,354 + (6).
MEP =49o 40' 38,967" (6),
MPH = 89 30 15,644 - - (7),
MET =44 2 9,342 -- (8),
MTG = 20 3 9,901 - (1) (5),
MGE = 66 15 24,088 -- (5).
9,93533299 + 10,062 (7),
9,90631114 + 15,466 (8),
9,98824068 + 4,967 {(1) (2) + (8)},
9,93671045 + 12,248 (5),
9,43436345 + 74,525 (6)
9,22095871;
9,88219096 -- 17,871 (6),
9,99998375 - 0,182 (7),
9,84205310-- 21,777 (8),
9,53514867 57,688 {(1) + (5)},
9,96159122 9,262 (5),
9,22096770;
9,22095871
9,22096770
89,9.
89,9 + 62,655 (1) - 4,967 (2) + 79,198 (5) + 92,396 (6)
+ 10,244 (7) + 42,210 (8).
Beispiel einer Ausgleichung in einem kleineren Netze. 161
Die Beobachtungen waren alle gleich genau; legt man da-
her den Anf'angsrichtungen kerne Correctionen bei *) , was ohne-
hin hochstens bei Mutz geschehen diirfte, so muss
( 1 )2 _|_ .(2)2 + . - . + (8)'
ein Minimum sein. Daraus folgt nun:
(1) = 17,500 V + 62,655 VI,
(2) = III 45,652 V 4,967 FI,
(3) = -- II + III + 9,434 IV + 28,152 F,
(4) = -- 1 + II - 6,487 IV,
(5) = -- 1 + 9,262 IV + 79,198 VI,
(6) = I II + 92,396 FI,
(7) = III + 10,062 IF + 0,182 F + 10,244 FI,
(8) = III + 4,967 F + 42,210 FI.
Substituirt man dies in die Bedingungsgleichungen , so er-
giebt sich:
4,534 = 3,000 I 2,000 II 2,7750 TV + 13,1980 VI,
0,465 = - 2,000 J 4- 4,000 II - 2,000 III 5,8590 IF
- 27,9700 V ' 82,1520 VI,
0,851 = 2,000 II + 4,000 III 0,6280 IV + 78,5890 F
+ 36,9330 FI,
39,000 = - 2,7750 I -- 5,8590 II 0,6280 III -f 318,1000 IF
+ 267,4173 F + 836,6070 VI,
24,000 = 27,9700 II + 78,5890 III -f 267,4173 IF
+3107,5944 F + 1534,7375 FI,
89^900= 13,19801 82,1520 11+ 36,9330 III+ 836,6070IF
+ 1534,7375 F + 20646,2877 VI,
woraus :
1= 1,5438, IF= 0,1462,
11= 0,2510, F = 0,0474,
111= 1,0406, FI= 0,0001.
*) D. h. setzt man in der Grbsse (6) in . 18 alle x Null, und beachtet,
dass A = a, B = 1, . . ., so erlialt man die im Texte angegebeneFormel.
Uebrigens ist dies hier urn so mehr zulassig, als die Beobachtungen in Mutz
als Repetitionsbeobachtungen angesehen sind.
Dienger, Melhode der kleinsten Quadratsummeii. JJ
-1G2
Aehnliches Beispiel.
(1) * - 0,830, (5) =
(2) = 1,123,
(3) = 1,337,
(4) =* 0,344,
2,906,
(6) == 1,284,
(7) = 0,172,
(8V= 0,809.
'so dass endlich:
Station Mutz
0' 0,000",
100 8 2,013,
Gransee
Templin
Hausberg 159 22 19,839,
Prenden 196 9 55,424,
Eichstadt 262 1 51,476.
2) Bestimraung des Monuments auf dem Kreuzberge bei
Berlin (Fig. 11). -- Beobachtungen:
Eichberg: Berlin
Fig. 11.
Kreuzberg
Berlin:
Rauenberg
MUggelsberg
Miiggelsberg
Rauenberg
Kreuzberg
0' 0,0",
2 25 36,7,
+ (l)(6Beob.),
7 23 3,7,
30 31 29,0.
Rauenberg :
Miiggelsberg: Eichberg
Rauenberg
Kreuzberg
0,0,
72 11 37,5,
77 30 39,8
+ (2)(6Beob.),
Eichberg 93 46 28,6.
Eichberg 0' 0,0",
Kreuzberg 145 48 10,3
+ (3) (8 Beob.;,
Berlin 151 2 5,4,
Muggelsberg 233 30 15,8.
0,0,
30 21 51,3,
43.17 9,3,
-f (4) (4 Beob.),
55 42 3,8.
1. 1 =
Berlin
sin. MKB sin. MR K sin. MBR
sin. MB K sin. MKR sin. MRS'
Aehnliches Bcispiel. 16S
MKB = 90o 4/25,9" (2) -f (4),
MRK=Z7 42 5,5 - (3),
MBR == 72 11 37,5.
MBK= 77o 30' 39,8"+ (2),
MKR = 79 22 36,7 + (3) (4),
MRB = 82 28 10,4.
9,99999964 -f 0,1 {(2) (4)},
9,99965044 0,8 (3),
9,97868073
9,97833081;
9,98960011 + 4,7 (2),
9,99249208 ~f 4,0 {(3) -- (4)},
9,99623811
9,97833030;
9,97833081
9,97833030
51.
= 5,1 - - 4,6 (2) - - 4,8(3) + 3,9 (4). .
i-n. MKB sin. MEK sin. MBE
= *m. MB K sin. MKE sin. MEB
MKB = 90o 4/ 25,9"- (2) + (4),
MEK= 28 5 52,3 - (1),
MBE= 93 46 28,6.
MBK= 77o 30' 39,8" + (2) ,
MKE = 108 36 59,6 + (1) (4),
MEB = 30 31 29,0..
9,99999964+ 0,1 {(2) - (4)},
9,67300149 39,5 (1) ,
9,99905692
9,67205803;
11
164 Aehnliches Beispiel.
9,98960011 + 4,7 (2),
9,97665998 7,1 {(1) (4)},
9,70578683
9,67204692;
9,67205803
9,67204692
111,1.
== 111,1 . 32,4(1) 4,6(2) 7,2(4).
Da 6(1) 2 -f 4(2) 2 + 8(3)2 _^_ 4(4)2 e in Minimum sein soil,
so ist:
6 (1) = 32,4 II, 8 (3) = 4,8 I,
4 (2) = - 4,6 I 4,6 //, 4 (4) == 3,9 I 7,2 II,
woraus, wenn man in die Bedingungsgleichungen einsetzt:
5,1 11,9725 I 1,73 II; - 1 11,1 = 1,73 1+ 193,21 II;
1 0,5097* 11= 0,5796; (1) = 3,1298, (2)= 1,2527,
(3) = 0,3058, (4) = 0,5463.
Hiermit wollen wir die zur Erlauterung der allgemeinen
Theorie beigefugten Beispiele schliessen. Wir bemerken zu den
letzteren nur noch, dass es bei denselben wohl nicht auf die Be-
stimmung des Gewichtes ankommt, das man den berechneten Re-
sultaten beizulegeii hat. da es sich vorzugsweise um eine richtige
Ermittelung dieser Resultate selbst handelt, alles Uebrige aber
ziemlich gleichgultig ist.
n
a n g
Ueber die Bestimmung der Unbekannten aus
denjenigen Gleichungen, die nach der Methode
der kleinsten Quadratsummen
gebildet sind.
Die nach dieser Methode gebildeten Gleichungen haben, wie
aus dem Neither Gesagten wohl klar sein wird, in Bezug auf ihre
Coefficienten eine eigenthumliche Bildungsweise, die man etwa in
folgendem Schema aussprechen kann:
] * -\ ---- = [aF],
\b*\y
[bc]y
wenn wir analoge Zeichen wie friiher beibehalten. Fiir unseren
Zweck mag es etwas bequemer sein, folgende Bezeichnung zu
wahlen :
(11) x + (12) y + (18)* + (14) +
(12)* + (22)y + (28)* + (24) H
(13)* + (23) y + (88)* + (84) +
(14) + (24) y + (34)^ + (44) H
(1 F),
(2 F),
(ZF),
(44)
worin also (11) den ersten Coefficienten in der ersten Gleichung,
166 Anhang.
. . ., (mn) den nten Coefficienten in der mien Gleichung vorstellt,
und wo nun
(mn) = (run) (a)
ist, d. h. wo der rate Coefficient der mteri Gleichung gleich dem
mien Coefficienten der nten Gleichung ist. Eben so ist (nF) die
zweite Seite der nten Gleichung. Soil man nun aus den Glei-
chungen (44) die Unbekannten x 9 y, z, it, . . . bestimmen, so
kann man in folgender Weise verfahren. Man ziehe aus der
ersten Gleichung (44) den Werth von x und setze denselben in
die iibrigen Gleichungen ein, wo man zur Abkiirzung setzt:
(22) -
= (82),, (44)-
=(44),,
(11)
(24)-^ = (24)
(11)
,,
(A)
so erhalt man:
(44')
Bestimmt man hier wieder y aus der ersten Gleichung -und
setzt seinen Werth in die iibrigen, so ergiebt sich:
' (33) 2 z -f (34) 2 u -| = (3 F) 9 ,
tjD*' (44")
H = (5^)i
wo zur Abkiirzung gesetzt ist:
Anhang. 167
(84), - = (84),. (56), - = (56),
Wie man hier welter gehen kann, 1st klar. Will man das
Bildungsgesetz allgemein aussprechen, so 1st:
In dieser Weise erhalt man Systeme von immer weniger
Gleichungen, bis endlich nur noch eine Gleichung mit einer Un-
bekannten iibrig ist, die sich unmittelbar ergiebt. Waren z. B.
sechs Unbekannte #, y, z, u, v, w vorhanden, so ergabe sich w
aus der Gleichung:
Allgemein bei n Unbekannten, ergiebt sich die nte, die wir
mit x n bezeichnen wollen, aus
Nun bestimmt nach dem Satze des . 7 (vergl. . 9) der
Coefficient von (n /*') in diesem Werthe von aj n das Gewicht letz-
terer Grosse. Aber es ist
n , w w _ 2
wo nun schon klar ist, dass (nF) nur in dem Theile (?ijP) n _ 2
enthalten sein kann, da das Uebrige (n F) zu seiner Bildung nicht
anspricht. Ebenso ist dann:
168 Anhang.
so dass (nF) auch wieder nur in dem ersten Theile enthalteu
1st. Man ersieht hieraus leicht, dass schliesslich (nF) in (nF) n i
als erstes Glied enthalten ist, so dass mithin in (e) der Coeffi-
cient von (nF) gleich -, r - ist. Daraus folgt nun, dass nach
\ nn )n 1
obiger Bildungsweise :
(nri) n i das Gewicht von x n ist.
Macht man so jede der Unbekannten zur letzten, so erhalt
man ihren Werth und ihr Gewicht in ahnlicher Weise.
/ -