t
■ Jjur-z^-
\. ^^-U-K-C
#
TABLES
D' I N T E fi ]{ A L E S D E I' [ N I E S.
TABLES
D'INTEGRALES DEFINIES
D. K I i: R i: i\ S D E HA A N.
Publiees par I'Acadi'iiiie Royalc ties Sciences a Amsterdam.
►l-O-fr
AMSTIUIDAJI,
C. G. VAN D E R POST.
1858.
IMPRIMERIE DE IV. J. KJtOBKR,
EMS
L!3
S O M M A I li E.
Page.
PUEIACE I.
Observations et Cokrections, en partie critiques XVII.
Division des Tables .3.
SOMMAIRE DE3 TaBLES ij.
ABUEVi.vrioxs ET Notations 20.
AbUKVIATIONS dans I.E SOM.MAIISK 24.
PllEMlLRE F-VRTIE 25.
DErxi{:ME Paktie j(J7.
TROisiiiMi-; Pautie 485.
►»« <<:< >-
PREFACE.
Dans la construction ile ces Tables d'Inlegrales defiuies j'avais en vue iin objet quadruple.
En premier lieu je voulais ri^unir les uns aupres des autres Ics diflercnts resultats, ^pars par-ci
ct par-l!i, que Ton a\ait obtenus au sujet de ces foiictions, par beaucoup de metliodes intrinsc-
quoment ditTerentes, et pour la plupart plus on moins indirectes, II resultait de cette dispersion
des formules obtenues, que Ton ue pouvait en tirer tout le profit possible, tant pour la pra-
tique, — c'est-i-dire pour les cas, oh Ton pourrait avoir besoin des valours d'une certaine inte-
grale detinie, — que pour la theorie elle-meme, — c'est-S,-dire pour I'emploi de ces formules dans
la deduction d'autrcs integrales detinies, et pour la verification de nouvelles formules de ce genre,
:\ I'egard desqucUcs on pouvait entreteuir des doutes, par rapport a la priorite ou h, roriginalite. I ne
collection d'intcgrales detinies bien orJonnce pent certainement obvier a tons ces iuconveuieuts.
De ce point de vue suivait naturellcment une autre consideration non moins importantc.
Apr^s avoir n;uni les diverses formules, il importait beaucoup de connaitre leur methode de de-
duction: et cela d'autaut jjIus, que plusieurs methodes employees en d'autres temps avec une
confiancc absolue, ne sont maintenant plus :\ I'abri d'objections, en quelques cas tres-fondces.
Des-lors, pour ftre sflr d'un resultat quelconque, il fallait absolument ([ue Ton fut :\ meme de
juger de la validito et de I'exactitude de la methode emplojrc. Or il ne pouvait entrer dans
le plan de redaction de ces Tables, dejii assez voluniineuses, d'ajouter i\ c6t^ de chaque integrale
la methode a I'aide de laquellc on Tavuit dcduite, quand nu'iiie il cftt 6i6 possible de I'indi-
quer d'une manierc courte, precise et certaine : de plus il y a beaucoup de formules, qui peuvent
etrc trouv(?es de ])lus d'une mauii-re. J'ai tache de subvenir ii cette difliculte d'une autre
manierc, qui, !l ce rpic j'cspcrc, ne manquera pas d'approbation. A cote de chaque formule iii-
A
WIS- E> .N.vTii UK. vF.nn. ucn kom>kl. akahf.mie. heel IV.
II
r R 15 F A C E.
teTale se trouvc unc notice bibliogiaphique indiquant, ou Ton pcut en trouvcr la deduction, ou
memo plusieurs dt^ductious diverscs, s'il y en a. Du cette fa?on cliacun est mis en etat de juger
par lui-meme de la validitc des rosultats iudiques, ct de r(5petcr lui-meme les calculs necessaires,
s'il pourrait le juger convenable.
Mais par ces notices bibliographiques elles-memes il ^tait en meme temps possible de remplir
uu troisieme but, celui de donner un tableau bistorique et bibliograpbique de cette branclie dc
I'analyse. Pour que ce tableau fiit coraplet, il aurait fallu que j'eusse pu parcourir tous lesouvrages,
oil pourraient se trouver des intcgrales definies. C'etait une entreprise h peu pres impossible, puisque
d'unc part je u'aurais jamais pu m'assurer de n'avoir omis aucun livre, et que je ne me trourais pas
dans une condition de pouvoir les avoir tous sous les jeux : tandis que d'autre part le travail serait
devenu d'unc telle longueur que je u'aurais pas ose I'entreprendre. Neanmoins je dois confesser
que de ce cute-lii mcs desirs, peut-etre trop ardeuts par I'int&et personnel que je portais natu-
rellement au succcs de mon entreprise, n'ont pas dtc remplis comme je I'avais desire, ni comnie je
I'avais esperc. J'avais demande par la voie dc quelques journaux seientifiques I'envoi des notes ou
des memoires monographiques, qui pourraient exister sur la thi^orie des integrales definies: etj'avoue
avoir assez comptu sur I'interet que les formules, dont je me proposals la recolte, doivent in-
spirer aux Analystes, pour attendre quelques fruits de cette demarche: mais personne n'a repondu
a, I'appel. Tout de'pendait done de moi-meme et c'est par le sommaire des livres, des journaux
et des memoires consultes (pages 20 et 21) que I'on pourra juger jusqu'S, quel point les Tables peu-
vent ctre censees completes. Si toutefois, comme je n'en doute guere, il y a des ecrits, qui portent
sur cette maticre et qui pourUint ne se trouvent pas sur cette liste, qu'on veuille bien trouver
I'excuse de leur omission dans ce que je viens de dire; Tespcce de reprocbe, qui s'y trouvc, n'a
son origine que dans mon desir de rendre mon excuse plus fondee. Quant a ce sommaire, il donne
lieu a quelques observations. Les journaux matbematiques Anglais et Americains y manquent com-
pletement, puisque je n'ai pas eu moyen de m'en procurer I'l^tude : la meme observation se repete
pour les li\res et les monographies de ces pays, que Ton trouve peu ehez nous. J'ai cle bien fach(^
que tel ait ete le cas, puisque bien certainement le fruit de leurs etudes m'eut foumi bien des
donne'es inte'ressantes : toutefois le Journal de Matbematiques pares et appliquees, re'dig^ par M.
J. LiOTjviLLE, nous donne quclques-unes de ces recberches, et j'ai d(i me contentcr de celles-la.
Quant aux Memoires des diverses Academies et Institutions seientifiques, il y avait de ce c6t«-li\
une occasion magnifique et unique pour notre patrie dans la Bibliotlieque de I'Acaddmie Royale des
Sciences a Amsterdam; et comme I'entrce m'y etait ouverte primitiveraent par les soins bienveillants
PREFACE. Ill
de M. \y. Veolik, Secretaire de cette Academic, ct plus tard par les droits acquis par mon titre
de meinbrc, j'ai tuchc de lie rien laisser desirer a cet cgard. Si I'oii preiul la peine de feuilleter
les Tables, ou voiulia Lien admeltre, j'espere, que si tout le- materiel ne s'y trouve pas, c'est
bieii au inoins le plus grand noinbrc des forniules trouvdes, que Ton y rencontre. Je dois
encore ajouler ici qu'en general je n'ai admis dans les Tables que loutes les integrales d^finies,
que j'ai pu trouver evaluees avant la fin de I'annfe 1833, lorsquS j'ai commence la redaction en
tables. Voici un sommaire — par ordre alphabetique des noms d'auteurs — des memoires principaux,
coutenus dans les diverses Collections Academiques et dans les journaux scieutitlques, que j'ai
consultes: on y rencontre bien des noms eminents.
Abel, Cr. 2. 22.
Abria, L. i. 248.
Anidl, Gr. i. 43G. — Gr. G. 187. — Gr. 6. 1.31. — Gr. 10. 225. — Gr. 10. 233. — Gr.
10. 210. — Gr. 10. 217. — Gr. 10. 250. — Gr. 10. 253. — Gr. 10. 155. — Gr.
11. 70.
ISerlrand, L. S. 110.
Besgc, L. 11. 31.
nidoiic, Man. Turin. 1812. 231.
liiercns de Ilaan, Vcrli. Kon. Akad. Amsterdam. Dl. 2. 1)1. 19. — Gr. 13. 1!13.
Bind, C. W. 9. 39. — C. R. 12. 958. — P. 27. 123.
L'jurliiKj, Gr. 21. 20.
boiicoDipafjni, Cr. 25. 71.
Ihsian Uoiiiiel, L. G. 23S. — L. U. 219. — L. 17. 265.
Doolc, Pliii. Trans. 1814. 225. — L. 13. 111.
Catalan, h. 1. 323. — L. 5. 110. — L. G. 310. — L. G. 119. — L. 8. 239.
Caiicliy, JK'm. Paris. 1S23.' 003. — Sav. Etr. I. 1827. p. 3. Notes. — Sav. Etr. I. 1827.
p. 599. — C. R. 11. 1008. — C. R. IG. 122. — P. 19. 511. — V. 2S. 117.
Caijlci/, L. 12. 231. — L. 13. 215. — L. 13. 2G1..
Cclltirier, L. S. 255.
Chcv. Cisa de Grcsij, Mem. Turin. T. 20. 1S21. 209.
Clausen, Ct. 7. 309.'— Gr. 3. 330.
Claiisius, Cr. 31. 123.
Dcdchind, Cr. 45. 370.
IV PREFACE.
Delaunay, L. 2. 355.
DieiKjer, Cr. 3i. 75. — Cr. 37. 3G3. — Cr. 38. 26G. — Cr. 38. 331. — CV. 11. 137. —
Cr. id. 285. — Gr. 8. 450. — Gr. 10. 107. — Gr. 10. 34.1. — Gr. 11. 88. — Gr.
11. Ok — Gr. 12. 81. — Gr. 12. 97. — Gr. 12. 210. — Gr. 12. 400. _ Gr. 12.
416. — Gr. 13. 280. — Gr. 13. 424. — Gr. 14. 223. — Gr. 15. 110.
Dirhsen, Ber. Abh. Berlin. 1848. 120.
Killer, N. C. Petr. 6. 115. — N. C. Petr. 14. 120. — N. C. Petr. IG. 91. — N. C. Pdr.
19. 3. — N. G. Petr. 19. 30. — N. C. Petr. 19. GO. — N. C. Petr. 20. 59. — Act.
Petr. T. 1. 1777. P. 2. p. 3. — Act. Petr. T. 1. 1777. P. 2. p. 29. — Mem. PJters-
bourg. T. G. 1814.
Fuss, Mem. P^ersbourg. T. 11. 1820.
Urunerl, Cr. 8. 146. — Gr. 2. 266. — Gr. 4. 113. — Or. 6. 448. — Gr. 17. 313.
/////, Cr. 3. lOk — Cr. 3. 132. — Cr. 7. 102.
lloppe, Cr. 40. 139. — Cr. 40. 142.
Jacohi, Cr. 10. 101. — Cr. 11. 307. — Cr. 15. 1. — Cr. 32. 8. — L. 10. 229.
Jiirgensen, Cr. 23. 143.
Kauslcr, Mem. Petersbourg. T. 3. 181 1.
Kummer, Cr. 14. 148. — Cr. 17. 210. — Cr. 17. 228. — Cr. 20. 1. — Cr. 25. 1.
Lame, L. 2. 147.
Laplace, Mem. Acad. Paris. 1778. 227. — Mem. Acad. Paris. 1782. 1. — Mem. Inst. 1809.
353. — P. 15. 229.
Lebesgue, L. 15. 215.
Leforl, L. 11. 142.
Legendre, Mem. Inst. 1S09. 416.
Lejeime-Dlrichlel, C. E. 8. 157. — Abh. Berlin. 1835. — Cr. 4. 94. — Cr. 15. 258. — Cr. 17. 57.
Libri, Cx. 7. 224.
Lindmann, K. Uanske Ilaudl. 1850. — Gr. 16. 94. — Gr. 17. 455.
Liouville, Cr. 11. 1. — Cr. 13. 219. — L. 2. 135. — L. 4. 317. — L. 5. 311. — L. 11.
464. — L. 17. 448.
Loballo, Cr. 9. 260. — Cr. 11. 171. — L. 5. 115.
Lobalschewsky, Mem. Kasan. 1835. 1. — Me'm. Kasau. 1835. 211. — Mem. Kasan. 1836.
1. — Cr. 24. 162.
PREFACE. V
Malmstcn, K. Stockli. Handl. 1811. — Cr. 35. 55. — Cr. 38. 1.
Mdsla, Gr. 10. 119. — Gr. 10. 455.
OeUinger, Cr. 'i'o. 13. — Cr. 38. 162. — Cr. 38. 216.
Pioch, Mem. Cour. Bruxelles. T. 25. 1843.
I'lana, Mem. Turin. 23. 1818. 7. — Mem. Turin. 25. 1820. — Mem. Jkux. 10. 1837. —
Cr. 17. 1. — Cr. 17. 1G3. — Cr. 17. 315.
Poisson, IMem. Inst. 1811. 163. — Mem. Paris. 1816. 71. — Mem. Paris. 1823. — P. 16.
215. — P. 17. 612. — P. 18. 295. — P. 19. 404. — P. 20. 222. —P. 19. 60. —
L. 2. 181. — L. 2. 221.
Raahe, Cr. 15. 355. — Cr. 16. 210. — Cr. 23. 105. — Cr. 25. 116. — Cr. 25. 160. —
Cr. 25. 169. — Cr. 28. 10. — Cr. 37. 356. — Cr. 42. 348.
Ramus, Dauske Afii. 7. 265. — Overs. Dausiic Porli. 1844. — Cr. 21. 257.
VVi7//am Roberts, L. 10. 453. — L. 11. 157. — L. 11. 201. — L. 11. 471. — L. 12.
419. — L. 15. 238. — L. 16. 1.
Schaar, N. Mt<m. Bruxelles. T. 23. 1850. 117. — Mem. Cour. Brux. T. 22. 1848.
Schaeffcr, Cr. 30. 277. — Cr. 37. 127.
Schcllbach, Cr. 48. 207.
Scher/i, Cr. 10. 97.
SchlOmilc/t, Cr. 33. 268. — Cr. 33. 316. — Cr. 33. 325. — Cr. 33. 353. — Cr. 36. 268. —
Cr. 36. 271. — Cr. 42. 125. — Gr. 1. 263. — Gr. 1. 360. — Gr. 1. 417. — Gr. 3. 9. —
Gr. 3. 278. — Gr. 4. 23. — Gr. 4. 71. — Gr. 4. 167. — Gr. 4. 316. — Gr. 4. 364. —
Gr. 5. 90. — Gr. 5. 152. — Gr. 5. 201. — Gr. 6. 200. — Gr. 6. 213. — Gr. 7.
38. — Gr. 7. 100. — Gr. 7. 270. — Gr. 9. 5. - Gr. 9. 307. — Gr. 9. 379. —
Gr. 10. 310. — Gr. 10. 421. — Gr 10. 410. — Gr. 11. 63. — Gr. 11. 174. — Gr.
11. 189. — Gr. 12. 198. — Gr. 12. 208. — Gr. IS. 391.
ton Schmidlcii, Cr. 5. 392.
Send, L. S. 1. — L. 8. 489. — L. 9. 193. — L. 9. 436.
Smaasen, Cr. 42. 222.
Slcfimanii, r. 21. 377.
Sicni, Gr. 7. 108.
Svanbcnj, L. 11. 197.
Tchcbiclic//; L. K. 235.
VI P R li F A C E.
Thomson, L. 10. 137.
Tortolini, Cr. 31. 101.
Winc/der, Cr. 45. 102.
Eufin je m'etais encore propose un cpiatrierac but: savoir la critique dcs integrales dciinics,
que je trouvais. Mais de ce c6tc-la surgirent bieu des obstacles. L'ou no pourrait exiger, que
j'eusse fait la revision de tous les calculs, en general assez longs, dont les resultats seulement
rcraplissent tant de volumes: niais la seule et la moindre difficult^ ne se trouvait pas Ih.; une autre
etait d'unc importance bien jjlws grande pour la r(^daction de ces Tables. Ce n'est pas seulement
pourtant contre les aneienncs metliodes, que se sout elev^es des objections dont j'ai parle pr^c^-
demment, mais plusieurs des metliodes nouvelles ou receraraent appliquees ont subi le meme sort.
En un mot telle, metliode employee, et par suite admise par tel Analyste, est rejetee comrae
fayisse par un autre: done les re'sultats obtenus par Tun ne sont pas admis par cclui d'une
opinion coutraire. Fallait-il que je me fusse pose en juge.? Je me suis souvent fait celte question:
mais je n'osais le fuire, je ne croyais pas les fondemens de cette partie de TAnalyse toujours
bases sur des principes d'une telle stabilite, que Ton aurait le droit absolu de juger sans merci
les pensees, les reclierches d'un autre. C'est pourquoi j'ai aussi admis dans les Tables les rdsultats
obtenus par des m(^thodes, que pour moi-meme je ne saurais regarder comme valides. Je m'y
suis resolu d'autant plus volontiers que I'annexion des noms des auteurs, qui ont deduit ces
resultats au moins douteux, donnc pour aiusi dire des poids, qui en indicjuent et en mesurent
la certitude et la validite. Dans cette categorie tombent par exemple toutes les integrales definies,
qui se trouvent Partie I, Section IV, Tables 9G, 07, 98, 102, en tant que les fonctions cir-
culaires directes aient la premiere puissance de la variable pour argument. Ces integrales de
fonctions circulaires directes de x seulement, prises entre les limites zero et I'infini, — dont les
valeurs, entre autres d'apres M. Raabe, ont obteiiu leurs places aux Tables indiquees — sont
evidemment indeterminees selon ma maniere de voir : ueanmoins, d'apres les principes exposes j'ai
cru devoir les admettre dans les Tables. Quiconque parcourt ces Tables pent s'assurer lui-meme, par
I'inspection des citations bibliographiques de I'esactitude et de la validite de la methode de M. Raabe.
II y a encore une autre classe d'integrales deliuies, que je m'occupe " d'etudier, savoir celles qui
contiennent un element /r, que Ton fait diverger vers I'iufiui: jusques a, pr&ent je ue suis pas
toujours du meme avis que plusieurs auteurs, qui en ont fait usage: mais puisque en premier lieu mes
recherches n'ont pas encore atteint le but propose, et que d'un autre cote les Tables ont deji ete
redigees avant la fin de I'annee 1854, j'ai juge i\ propos de ne pas admettre mes resultats dans
PREFACE. Vn
les Tables: pourtaut je dois avertir que les valeurs des integrales mentionnees sont d'une grande
influence sur plusieurs autres integrales definies* dont on acquiert la valeur au moyen d'elles *).
N^anmoins des observations critiques de iiia part ne se font pas desirer: on les trouve la, oii
les resultats divergents de diflerents Matlieraaticiens deinandaieiit un jugcment: la aussi, ou unc
faute de calcul, qui me frappait, rciulait le ri'sultat vicieux.
Voila mes considerations, quant nu but (]ne je me suis propos^ et a la maniere dont j'ai
cherche h, I'atteindre — en recueillant les formule.s deduites par d'autres auteurs. Je jie manquais pas
de reconnaitre bientot, que je me trouvais dans une position favorable pour en deduire des resul-
tats nouvcaux, et je vais m'expliquer dans quelle voie je me suis engage a cet cgard. Eu premier
lieu il ^tait ais6 quelquefois de deduire d'autres integrales par voie d'addition ou de soustractiou
des resultats dejsi, obtenus. D'une autre part plusieurs des sections me semblaient presenter des
lacunes en quelques points, et n'etrc pas assez completes; j'ai t&cbe d'y remedier en transformant
les integrales d($finies d'une autre categoric, par la methode connue de transformation de la variable,
en d'autres forniules telles, qu'elles pussent prendre place Ih, oil ces lacunes se trouvaient h remplir.
II va sans dire que je n'ai pas cu I'intention d'cpuiser toutes les substitutions possibles; j'ajou-
terai seulement que je nc les ai appliquees que la, ou. cettc application etait directement permise,
c'est-i-dire oil dans la determination des limites elles n'offraieut pas des maxima ou des minima,
qui pouvaient donner lieu ^ des incertitudes ou au moins i\ des objections. De jjIus j'ai toujour*
douu^ la preference tl de telles integrales resultantes, qui pouvaient se prefer il la methode sui-
vaute, qui m'a fourni en grande partie les resultats nouveaux, que I'on trouvera dans les Tables.
Celte methode, exposee et appliqu(?e plus amplement dans une //Note sur une mdthode pour
la reduction d'intcgrales ddtinies et sur son application il quelques formules spociales", que I'Aca-
ddmie Royale des Sciences m'a fait I'honneur de faire imprimer dans le deuxieme Volume de
ses M^moircs, revient il celle d'integration partielle. Elle est conteuue dans la formule
j n:t)<l.¥{x)-f{x).V{x)] +1 F(T)(/./-(x) = 0.
a J a 'a
On peut appliqHcr cctte formule de transformation a unc inti^rale deliuie, aussitot que la fouc-
tion iut^gn?o so laisse diviser en deux facteurs dont I'un peut etre considen5 corame la diflcrenticlle
de quelque fonction connue ; car des-lors cctte integrale ddtinie rentre sous la forme du troisiomc
•) Dcpuis coite Nmo a vt( prvscntJc ot s« iroovora dans lo VoUiino VII de ccs Mtfmoires.
VIII P II li F A C E.
terme de requation prccedente, et la formule donnera lieu u la detcrminatiou du premier terme, —
qui est une nouvelle int%rale d^finie, en general d'une forme tout-^-fait differeute, — a moins
I,
que le deuxieme terme / {x}. Y {x)] , c'cst-a-dirc pris de la limite o jusqucs a I'autre b, u'ofTre
a
de difficultes ou d'obstacles, qu'il reste continu eutre ces limites, et que sa valeur soit finie et
assignable pour ces limites elles-memes. L'on obsei-vera sans peine dans les Tables les fruits, que
cette methode a portes.
Quant aux resultats — leur uombre est pres de trois mille deux-cent — que j'obtenais ainsi par
une des methodes mentionn&s, et qui n'etaient pas encore trouvds par d'autres, ils se distinguent
par un manque de bibliographic; on y trouve seulement un renvoi vers une autre int(?gralc dclinie, dont
elle a ^t^ deduite en general a I'aide d'une des trois methodes precedentes. Je n'ai pas ajout^ de quelle
methode j'ai fail usage dans chaque cas special, puisqu'en general on pent aisement s'en assurer par
I'observation et par la comparaison de la formule employee et du r^sultat obtenu. De la sorte chacun
peut lui-meme reprendre les calculs necessaires pour s'assurer de I'exactitude d'une telle int^grale definic,
faculte qu'il m'importait beaucoup d'offrir, et qui etait rigoureuseraent necessaire afin que ces
resultats nouveaux pussent etre d'uii racmc poids que les autres, que j'avais recueillis et munis de
leurs passe-ports de bibliographic.
Ensuite j'ai encore a ajouter quelques observations explicatives, et justifiantes au besoin,
sur la redaction et la classification de ces Tables, qui n'ont pas laisse de me causer quelquefois
maint embarras. II me paraissait necessaire en premier lieu que la division filt naturelle, d'une
autre part que la recherche d'une integrale dcfinie put toujours se faire aisement. Mais quiconque
veut se souvenir de la vari^te des formes, qui se fait observer parmi les inl^grales delinics,
recounaitra qu'une division bonne, naturelle et simple n'est pas chose aussi facile, que cela peut
paraitrc au premier abord. L'incertitude sur Ic nombre de formules Ji euregistrer, dont depcndait
naturellement le nombre des Tables, rendait cette division encore plus difficile an commencement,
et j'ai ete oblige de temps en temps a modifier les regies qui me servaient a la classification.
Cast pourquoi I'exposition des principes que j'ai suivis pourra montrer de quelle maniere j'ai
cherch^ i atteindre ce but, aussi pres qu'il m'etait possible.
La premiere division (voir Page 3) en trois Parties est fondee sur le nombre de fonctions, qui
se trouvent sous le signe d'inti'gration di^finie, suivant que ce nombre est d'une seule, de deux
ou de plus de deux.
PREFACE. IX
La deuxicme division en trente-cinq Sections nc donnera guerc lieu a plus de difficulu's.
J'ai pris en consideration les cinq fonctions di verses: Algebriques, Exponentielles, Logarithme?,
Circulaires Directes (autrement dites goniomctriques), Circulaires Inverses : et chaque Section I a ^
contient les integrales delinies, dont I'argument ou la fonction integrec appartient exclusivenient
k une seule de ces fonctions. La Section A'l contient les autres fonctions, telles que fonctions
Elliptiques, le Logaritlime Integral, TExponentielle Integrale, la Sinus lutegrale, la Cosinus Inte-
grale, les fonctions B' {x) et B" (x) de M. IUabe. Les fonctions llyperboliques, qui peuvent
etre representees par des fonctions Exponentielles, ne sont pas admises comme distinctes, et I'ou
trouvera toujours leurs valeurs exprimees a I'aide de ces demicres. Dans la deuxicme Partie,
Sections VII i\ XX, qui contient les integrales defiuies, dont les arguments sont composes de deux
sortes de fonctions differentes, les six sortcs de fonctions mentionnees pr&edemraent se trouvent
combinees doux tl deux en rcspectant I'ordrc donnc a ces fonctions dans la Partie premiere.
Enfin dans la Partie troisieme, le lueme orJre est observe dans les combinaisons rcspectivcs. Elle
contient Sections XXI a XXXIV les integrales delinies d'un argument, qui est compost de trois
sortes differentes de fonctions, et dans la Section XXXV celles, qui en contieunent plus de trois.
Les diverses combinaisons y sont ^ pen pres toutes representees; car, dans la Partie deuxicme
manque sculemcnt la combinaison: Fonctions Circulaires Inverses et Autres j et dans la Partie
troisieme, — si Ton excepte la cat<;gorie de // Autres Ponctions", qui ne s'y trouve que cinq fois —
seulcment la combinaison : Fonctions Exponentielles et Logaritbmes et Circulaires Inverses. II
faut toutcfois fiiire remarquer, que plusieurs de ces Sections ne sont representees que par un petit
nombre d'integrales delinies.
II fallait subdiviser ces Sections en Tables. En premier lieu la consideration des limites,
entre lesquelles Tintegratiou definie doit avoir lieu, s'ofTrait comme argument principal : ces
limites dillerent gcn^ralemcnt aupres des ditlerentes fonctions et done dans chaque Section. Ici ce
sont les limites 0, ± 1 et ± oo , qui sont les plus naturelles, comme pour les fonctions
Algebriques, Exponentielles, Logarilhrnicjues, Circulaires Inverses: 1;\ ce sont au contraire les mul-
tiples et les parties aliquotcs de sr, comme pour les fonctions Circulaires Directes. Dans les Parties
deuxieme et troisiemo ce sont tantot les limites de la premiere categoric, tantot celles de la se-
condc, qui s'olTrent le jdus, sans ordre apparent. Le choix des limites a done dependu en gtW-
ral du nombre des formules, qui venaient s'y soumcttre; les limites, qui ne valaient que pour
un petit nombre d'integrales d(*linies, se trouvant toutes r(5unies sous le nom de ,/Limitcs di-
verses." J'inserc ici un cxtrait du sommaire des Tables pour olfrir un coup d'oeil sur la divisi( ii
B
WIS- F.M ^ATl;l'l^K. verii. DF.n kommu,. akaiumie. hki l IV.
X PREFACE.
il cet ^gard: cet aper^u servira bicn mieux a doiiner une id^e dc cette classification que plusieurs
reflexions ou observations no pourraient le faire.
P. I. S.
Limites.
Liinites.
I.
T.
1—16.
0,1.
P. I. s.
IV.
T.
105—107.
^,^.
T.
17.
-1,1.
s.
V.
T.
108.
0,1.
T.
18 — 28.
, cc.
T.
109.
0, 00.
T.
29, SO.
00 , oc.
T.
110.
diverses.
T.
31, 32.
], (X.
s.
YI.
T.
111.
diverses.
T.
33, 34.
0,p.
p. II. s.
YII.
T.
112.
0,1.
T.
35.
diverses.
T.
113—141.
0, «.
II.
T.
36—39.
0, OD,
T.
142—14.8.
— X , v.-
T.
40.
(X , c».
T.
149.
0,/..
T.
41.
diverses.
T.
150.
/), i cc.
m.
T.
42—44.
0,1.
s.
VlLl.
T.
151—178.
0,1.
T.
45.
diverses.
T.
179—185.
0, «.
IV.
T.
46—52.
«4-
T.
T.
187.
188.
1, -X.
0,p.
T.
53-77.
0,:r.
0,2Tr.
1 1
- Tt , —TT.
4 4
T.
189.
p ,q-
T.
T.
T.
78—86.
87—91.
92.
s.
IX
T.
T.
T.
T.
190. (Log.
191.
192.
193—231.
le Log.) 0,1.
;), y.
0,1.
0, X.
T.
93.
1 1
T.
T.
232—234.
235, 236.
00 , 00.
1, ^.
T.
T.
94.
95.
p-rt ,qiT.
0,1.
T.
237.
0,1.
T.
96—99.
0, (X.
T.
238—243.
1
T.
100, 101.
— X , oc.
3
T.
102.
T.
T.
244—219.
250.
0,^.
0, 2Tr.
T.
103, 104.
0,p.
T.
251, 252.
o,/>.
PREFACE.
XI
Limites.
Limites.
. ir. s.
IX.
T.
253.
X,fi.
P. II. S.
XVI.
T.
362.
0,?..
T.
T.
251.
255.
diverses.
T.
363.
^h
s.
X.
T.
256-
-262.
0,1.
T.
364..
).,(..
T.
263-
-269.
0, 00.
T.
365.
diverses.
T.
270.
1, ex.
S.
XVII.
T.
366.
0,1.
T.
271.
diverses.
s.
XVIII.
T.
367.
diverses.
a
XI.
T.
272.
diverses.
s.
XIX.
T.
368,
369.
1
s.
XII.
T.
273-
-275.
0, :/:.
2
T.
276.
CC , X.
T.
370-
-372.
0,:t.
T.
277.
diverses.
T.
373.
0,2;t.
s.
XIII.
T.
278-
-285.
, CO.
T.
374.
diverses.
T.
28G.
CC , 00.
s.
XX.
T.
375.
diverses.
1
p. III. s.
XXI.
. T.
376.
0,1.
T.
287-
-295.
o-r-
T.
377-
-3S1.
0, ^.
T.
29C.
0,7r.
T.
382.
— 00 , oc.
T.
m
T.
297.
298.
1 1
2 '2
diverses.
s.
xxn.
T.
T.
383.
384.
diverses.
1
s.
XIV.
T.
29!).
0, 00.
T.
385-
-309.
0, oc.
s.
XV.
T.
300.
0, 00.
T.
400.
diverses.
s.
XVI.
T.
301.
0,1.
s.
XXIII.
T.
401.
0, ^.
T.
302.
0, oc.
s.
XXIV.
T.
402.
, oc.
T.
303-
-329.
1
4
1
0.-..
o,„.
s.
XXV.
T.
403-
-109.
0,1.
1
1
0,-...
T.
T.
330-
353-
-352.
-355.
T.
T.
410.
Ill,
412.
T.
350.
0,2 77.
T.
413.
0,71.
T.
357-
-3G0.
1 1
i"2"
T.
T.
414-
420.
-419.
0, «.
00 , 00.
T.
361.
, n ,7.
T.
121.
diverges.
xri
V U E F A C E,
P. TIT. S,
Limitcs.
S. XXVI
T.
422-
-424.
0,1
T.
425.
0, 00
T.
426.
1, a:
T.
427.
diverses.
S. XXVII.
T.
428.
iliverses.
S. XXVIII.
T.
439.
0,1..
T.
430.
0, 71.
T.
431-
-433.
0, :c.
T.
434.
diverses.
P. III.
Limitcs.
s.
XXIX.
T.
435,
, QC.
s.
XXX.
T.
436-
-438.
1
°'2"-
T.
4:ii).
0, *.
T.
440.
diverses.
s.
XXXI.
T.
411.
0, a.
s.
XXXII.
T.
442.
diverses.
s.
XXXIII.
T.
443.
diverses.
s.
XXXIV.
T.
411..
diverses.
s.
XXXV.
T.
445-
-417.
diverses.
Mais a present Ics integrales entre les mi'-mes limitcs, appartenaiit u uiic im"ine Section, de-
vaient entrer dans dcs cadres assez nuances pour ainsi dire, pour pouvoir facilemcut fairc saisir
les distinctions ^tablies entre elles. 11 me semblait qu'il devait y avoir de I'inconvenient dans
des tables Irop ^tenducs, puisqu'alors il serait necessairement plus difficile de trouver une int(?grale
dffinie quelconque, que Ton cliercherait. D'un autre cute il nc fallait pas rendre les tables
trop petites et augmenter ainsi outre mesure le nombre des distinctions devenues par la neces-
sairement minutieuses. La done, oil il etait besoin d'une telle restriction, je me suis boni^ au
nombre d'environ vingt-cinq formules pour cbaque Table; j'ai dH r^gler la classification d'apres
cette limite arbitraire, ct pour cela admettre des distinctions trop minutieuses pour etre univcr-
sellement admissibles. Toutefois ces divisions moins naturelles n'ont 4t4 nccessaires que dans un
petit nombre de cas : quelquefois meme je n'ai pas subdivis^ des Tables d'une eteudue plus grande
(voir, p. a. T. 1, 40, 49, 68, 85, 127, 135, 195, 202, etc.).
En general je me suis demande pour les fonctions Algebriques :
1". si elles ctaient ratiounelles ou irrationnelles : — c'est-il-dire quant a la forme: p. ex.
x^', quoique /) fut fractionnaire, est considere comme rationnel, x''-i au contraire est
considere comme une fonctiou irrationnelle.
2°. si elles etaient entieres ou fractionnaires : — de meme quant a la forme; xp-^ est
considere entier, meme dans le cas que p etait assujetti a la condition de ue pas
surpasser I'unite, mais x—P est regarde comme une fraction.
3°. si elles etaient mouomes ou polynomes. Les formes (a-^-x)'', quoique proprement des
raouomes, ont ete ranges parmi les pnlynomes, et bieu comme dcs puissances de binomes.
P R li; F A C E. XIII
Quelqiiefois la subdivision se r^gle d'apres puissances, et alors aussi d'apres puissances nu-
meriqucs (jjour I'exposant a sp&ial) et puissances alg^briques (pour cet exposant a general).
Aupres des fonctions Exponentielles et Logarithmes la meine distinction de formes rationnelles
ou irrationuelles, de formes entieres ou fractionnaires, de formes monomes ou polynomes est retenue :
cette distinction ofTrant Itl aussi beaucoup de facilite pour la classification.
Quant aux fonctions Circulaires Directes, j'ai toujours considere la Sinus, la Cosinus et la
Tangente comme des fonctions entieres; pour la Cotangcnte, la Secante et la Cosccante j'ai pris
en general lours valeurs fractionnaires exprimees en Sinus et en Cosinus; iieanmoins j'ai pense
devoir quelquefois m'abstenir de cette distinction, quand pour la S3'metrie des resultats il importait
de les reunir dans un meme cadre.
Les fonctions Circulaires Inverses ofTraient pen de difficultes: quelquefois seulement j'ai ete
oblig<? de faire une distinction entre celles, qui avaient pour argument un simple x, et celles dont
I'argument (^tait une fonction quelconque de x.
C'est d'apres les principes exposes que les integrales di^finies sont raugces dans les Tables
respectives: le sommaire (voir Pages 5 i 19) en fait voir le resultat : j'ose esperer que leur emploi
prouvera que I'arrangement est convenable.
Quelqucs mots suffiront pour faire comprendre la construction des Tables elles-memes. En tete
de chaque Table on trouve au milieu son numero, il gauche la description des fonctions integr^es,
i\ droite les limitcs de Tintegration : ce sont les mcmes trois arguments principaux, qui figurent
dans le sommaire des Tables. Alors vieunent les integrales definies elles-memes, numerotees, atin
dc pouvoir facilement les citer: les int(?grales plus generales suivent celles qui sont speciales ou
les cas speciaux des premieres. Or ces cas speciaux des formules g(5ndrales ne sauraient toujours
litre omis comme sous-entendus dans celles-Qi, puisque d'une part les valeurs devieiment pour la
plupart beaucoup plus simples, et que d'un autre cote ces valeurs sp(5ciales de quclque conslante sont
bicn loin d'etre toujours pcrmises. Aupres de chaque formulc sont notees, s'il le faut, les (Equations
de limite auxquelles quelque constante pent ctre soumise: dans le cas contraire les premieres let-
tres dc I'alphabct a, h, c, . . . dJsigncnt en gun(?ral des quantities entieres, les lettrcs ;;, q, r, . . .
au contraire des quantities quelconqucs, entieres ou fractionnaires, rationnelles ou irrationnelles.
Toutcfois toutcs ces quantifies sont rcgardees comme positives, i\ moins que le contraire ne soit
cxpressdment duonciS; x est toujours ri5scrve pour indiqucr la variable de I'uitegration.
Xr\' P R ]£ F A C E.
Dans les valeurs des integrales definies I'on observe diverscs fonctioiis, outre cellos dont il
a L-te question deja a I'occasion de la division des Tables: on les trouve Page 22, 23, avec
ies notations respectives, aiusi que je les ai employees. Ce sont : les quatre fonctions Hyperboli-
ques, — les coefficiens du biuoine, — les factorielles c"/*, laquelle notation exprime le produit
c (c -}-/')( c -f- 2 />).... (c -|- [d — 6] h), — les coefTiciens Bernouilliens B20-1, tandis (jue les
fonctions correspondantes Bo^ dusignent les coefficiens de la serie pour la s^cante, — les trois
series bypergeometriques de M. Kummkr, — la fonction L (a) de 51. Lobatschewskv. De plus la
lettre « designe souvent une quantity arbitraire ou indetenninee, et k une quantite qui devient
iutinie: i est la racine carree de 1' unite negative, la quautitxj ainsi dite imaginaire la plus sim-
ple, — A la coustante du Logaritlime Integral, evaluce a 18 decimales (voir Giil"xert, Arcbiv der
Matheinatik und Pliysik, Th. XI. Seite 323), — e la base des Logarithmes naturels, dvalu^e ti
105 decimales (voir Grcnekt, Arcbiv der Matbematik und Pliysik, Tb. III. Seite 28), — n le
rapport de la circonference du cercle u son diamctre, cvalue a 530 decimales.
Quelquefois on rencontre des sommations, c'est-i-dire des si^ries, soit finies, soit iufinies; elles
a
sont design&s par le signe .5", ou a ct b sont les limitcs enlre lesquelles on doit donuer a I'ar-
b
gument, qui est represente par le lettre n, toutes les valeurs entieres possibles. Lorsqu'il y a des
sommations doubles, la premiere se fait ordinairement suivant I'argument n, la seconde suivant
I'argunient m: la forme des sommations elle-meme en decide toujours aisement.
Encore une observation quant a la notation des fonctions Circulaires Directes. I\ me semblait
plus clair de prendre le signe Sin.^ x pour la seconde puissance de Sin.x, tandis que la Sinus
d'une Sinus de x est designe par Sin. {Sin. x) : on salt que dans les demiers temps on a pro-
pose le premier signe pour la seconde fonction. Encore Sin. x^ ou plutot Sin. {x"^) est ici la Si-
nus de X-. De meme j'ai donni^ la preference aux signcs Arcsin. x, Arccos. x etc. sur les autres
signes -oCj-x — .a;, etc, et cela seulement pour I'exactitude de I'impression, car je craignais ((ue
dans les formules, oil des fonctions Circulaires Directes se trouvaient melees a de^ fonctions Cir-
culaires Inverses, I'on ne confondit entre les deux fonctions absolument diverses -ct—- ^ et „. — .
' Sin. Sm.x
J'insiste sur ces raisons pQur le cboix de ces signes, puisque d'un point de vue purement tbeorique
les autres notations pourraient bien etre preferables.
PREFACE. XV
Comme la publication ile ces Tables est la premiere entreprise de ce geure, jc ue doute pas
qu'elles ne soient sujettes h, des ddfauts: je n'ai qu'a prier ccux, qui en ferout uiic etude par-
ticuliere, de vouloir bien me faire part de leurs observations critiques, (jue je recevrai avec re-
connaissance.
II me reste enfin t\ faire observer, que je dois I'impression de ces Tables, dont la precision
et I'elegance, faisant houneur a la typographic de M. KucJBEa, m'out beaucoup facilite la cor-
rection, h la munificence de 1' Academic Koyale des Sciences, qui a bien voulu les inserer dans
sa collection de Memoires, et en a ainsi rendu la publication possible.
D. BIERENS DE HAAN.
Devenler, Decembre 1855.
Pendant que ces tables d'lutugrales Dclinics etaient livrecs a I'impression jc mc suis occupe
de la theorie de ces fonctions et de la critique des diverses methodes d'cvaluation. Lorsque ce
travail «5tait assez avauc^ j'ai pu confronter mes resultats avec ceux, que j'avais accueillis dans
mes Tables, sans toutefois en avoir alors revistj les calculs, comme je viens de dire plus haul. Le
resultat de cette confrontation n'^tait pas toujoBrs favorable il mes Tables; quclquefois une faute
s'y ctait glisstic par suite d'un signe ou d'une notation mal copi(?s, — ot une transcription totale,
([uatre fois rcpiJtec dnrant la redaction, n'en avait pas diminue le danger; tantot j'avais admis
un n^sultat lui-merae fautif. Et, ce qui nc valait gucre mieux, ces fautes s'etaient u(fcessairc-
mcnt rcpetces dans les nouvelles intcgrales, que j'en avals d(5duites. Par la nature des fonctions
en (jucstion, les formules juxtaposccs ne donnent lieu en gencnil i\ aucuue comparaison mutuelle
i^t sent tout-a-fait independantes les unes des autres, et meme elles se doduisent souvent de for-
mules qui se trouvent ('parses dans toute I'ctcudue de cct ouvrage; de sorte (pic la correction des
(5prcuvcs, — ouvrage naturcllcmcnt asscz (-piueux ct dont je ue pouvais partager les dillicultes aver
un autre, — ne mettait pas ces fautes en ijvidencc. Comme Texactitude pourt;int est de premi(Tc
ncfcessitij pour ces Tables, j'ai pris le parti de faire moi-meme Ic calcul de chaque forraule, ct re
travail, souvent assez pdnible, m'a fourni la lisfc ^uivantc de correct iojis et d'observations criti-
XV] P R 6 F A C E.
ques: elle faillit plusicurs fois me decourager de mon ouvrage, (lui coiitciiait encore tant de fau-
tes, notammcnt dans Ics quarante-trois feuilles deja imprim&s avant cette r(Jvision : toutefois je puis
alleguer en ma faveur que pres de six-cents formules fautivos sont telles par suite d'une faute
qui se trouvait dans un resultat acquis par un autre.
Mais en meme temps j'etais contraiut i present de me declarer h, I'egard de la validity de
certains resultats, d(^j?l iudiqurs ci-devant: je Tai fait en les pourvoyant d'un sigue d'interro-
gation ou en les notant comme fautives dans la liste mentioiinee. Parmi les resultats que je n'ai
pas revisfe, se trouvent ceux qui dependent des facultes h un nombre fractionnaire ou uugatif de
termes de Mr. Oettinger, savoir a'^ ' a~''l<^, ainsi que les resultats de M. Lobatschewsky, con-
signes dans un Jlemoire en languc Russe.
Deventer, Mars 1858. B. d. II.
— =»+«M-e=—
OBSERVATIONS ET CORRECTIONS,
EN PARTIE CRITIQUES.
Ad Page 22. Apres les cluflxes de la Constante du Logarilhme lutcgral ajoiitez encore (apres avoir
6t^ le dernier 1): 0000512}', ou les deux dernieres figures ne soiit pas certaines: vojez Grunerts Archiv,
Th, 29. S. 2-10.
Quant aux 530 docimalcs do tt, je les donue ici, non puisque on en fcra usage dans le calcul, niais
comnie uu exemple iutcrcssant de la perfection des methodes daus I'Aualyse, qui nous permcttent une telle
exactitude sans exigcr pour ccla des travaux extraordiiiaires. J'iuserc un tableau des diverses recherches
relatives i cette constante, (pii oH're des donnces curieuses sur les progres de ces methodes dans le cours de
vingt-et-un siccles : encore faut-il observer que les quelques deciuiales des siecles passes ont exige des calculs
bicn autrement longs et ponibles, que les derniers rcsultats.
Anneii. CulcuUitcurs. Die. uik. Ddc. exacles. LiUrature.
250(aJ.C.)Arcliiiucdc
14G1.
15S0
1585
157'J
1597
1619
1G21
1717
llcgiomontanus
Joh. Ilhctiius
Adr. Metius
Fr. Vieta
Adr. Ronianus
liud. van C'eulen
Will. SncUius
Abr. Sliarp 75
.... Machin
1719 de Lagny 128
1790 de Vega Hi
1312 I^uthcrford 208
. , . . (Anoiiynic)
IStt Dalise 205
Clau?cn
1S5;3 Shanks
1853 Kichlcr 353
1851 llichtcr
1853 Uulh.Tf..rd
1855 Richter
1853 Shanks
Ad. Pago 23, I'fc Liirnc, au 1
2 Archimcilis, de dimcnsione circuli.
3 Itcijiomonlaniis, de quadratura circuli adversus Nic. de Cusa.
8 Bhclicu-i, Canon Doctrinae Trianguloruni.
8 Melius, Manuale Geometriae Practicae L. B.
1 I Viela, Canon ifathem. s. ad Triangula. Par 1579.
10 liomanus, In Archimedis Circ. Dimens. Exp. et Aual. AViirzh.
32 L. a Ccttleii, De circulo el adscriptis. Ed. Snellius L. B. 1619.
31 Snellius, Cyclometricus de circ. dimens. L. B. 1621.
72 A. S {harp) Philomath, Geometry iuiprov'd. Lond. 1717.
100 Jones's, Synopsis ralmuriorum.
III. Mem. de Paris 1719, p. l.Jo.
136 N. Act. Tetr. T. 9. Hii=t., p. 11.
l.J2 Phil. Tnns. 18 U. P. 2, p. 283.
151 Manuscrit de la Bibliothcque Kadclilfc :i Oxford.
200 Journ. v. Crelie, Bd. 27. S. 198.
256 Astron. Kachr., N. 181..
318 Proceed. Koyal Society, Jan. 20. 1853, p. 273.
330 Grunert's Archiv, Th. 21. S. 119.
400 Grunert's Arch., Th. 22. S. 173 — corrige. ib., Th. 23. S. 1 7G.
•110 rnicccd. Boyal Society. Jan. 20. 1853, j). 273.
500 (.'ruucrt's Arch., Th. 25. S. 472.
530 i'rocced. Royal S<iciety. Ja». 20. 1853,
uu dc : 5 -j- 2 lisez : q -\- I
p. 273.
WIS- K.M >iTiLriK. m;i;ii. her ko.m>kl. asahejiie. oekl IV.
iVIlI
Onsr.IlVATIONS KT CORKKCTIONS en rAllTIE CRITIQIES.
T.
A'.
OH lieu </'■ .*
^'sc;
r.
A'. au lieu (A- :
//■ifc;
J.
J.j.
i + t
b + C—l
9.
S. 0+4/2
a + t/1
IG.
b — c—\
b — c-\-l
10. 4
Oa+i
19.
1
l:i. 26+ 1
2i!, + 3
2.
^,
5. faiitives-'
2
10.
11. I'\9
»''
a.
2.
— 1
20. =
= (-1)^
l»/i
1,1-1/1
11.
.') h 7. fautives?
U.
12.
4. {l—x)P
(1 — .r)V
20.
(P + 2)
A
— A
IG. +1/3
+ 3J/3
19 i\ 22. fautivos?
27.
i
i
13.
2. (1-0.=)
(l-;r')^
2a
4 a
3. (l-,.')^
(l-.r^)
4.
1.
ny
1 M"
\ 2/
!)'. U- 3
1
U/
a + 6 ,
]0.
fautive ?
14.
3. b — I
^ 1
2
11.
(1+P)"
(1 4- ;.)!-«
5. (l-.r/)
(1 — j;7)P V. .SHiubci
1:5.
ci7(l 4- a)i'
aP(l -fa)'/
li. (1 — A-o) (partout)^
(l-.r-)-
17.
^la\
r(6)r(c-6)
1 -"•)
\ «/
7, 8, 10, 11, IS :\.2
1 . fautives ?
„\nj
r(c)
15.
13. fautive:-'
r-'j.
xv -\- x-f
jr/"' -J- X—P'
It
;t
5.
!+.'•
\—x
*<
''■,,
7i
27.
a
a+l
16.
5. x'- —
:c-^ +
I
6 + 1
12. l/( ) (parlout)
^^{r
1
1
17.
1, 2. fautives: la valeur est 0.
G.
1.
+ -
-^ —
^ -i
•1.
18.
9. ne vaut qu'eutn; a
Ct ±00.
;i.
a— 1
«-|-l
10. qr
'y
i.
(1 +«)-/-'
. ('+'')-'
11. (i + .O"
1 + .r"
a'l
a'—'/
19. (l + .r)2''+> , ^}>^
(1+.')-' . -^i^
5.
pHI+pY
P'i^ H-;')'
24. c — b
c + 6+1
8.
(I (partout)
>•
25. c — 6 + 2
c — i + 1
IS.
5.
I
(— 1)"
19.
26. b — c— 1 , pn
Z, 4'j 4". fautives; la
/.-O+i , :»
7.
—
valeur est 0.
1
11. .1-"
X
«.
- /.
A
12. fautive; elli.- est :
It
^
16.
d.c
.vd.r
3i^^3 '
8.
:5.
b
f,
IS. ± q
±qi
7.
r^/'+' &'n. </ n
ql' Sin. p n
20.
9. "^ , «>/>
}~ , 2a+l>26
y.
1.
l—x
1 — .a"
1
2a
Zac
2.
u2
a+l;2
1
10. a<Z.
2a+ 1 <26
3.
(0^_1)«,-.
(2jj— l)''-i/2
la- 6+ 1 /I
1
12. — .c
+ .r , Cr. 16. 94.
20.
21.
•V.
It;.
17.
:j.
S. —
***
4.
10.
;).
nu lieu df:
a+l
— x^ ,2b
a+2
1
II ;i 13. fautivfs:
OBSKia ATIONS KT C'OlUtKCTlONS KX PAIiTlK CRITIQUES.
XIX
10.
12.
s.
12.
1.
C.
12. b
b-l ,
a X
■n i
b
r
p n. Cus.
271
a
— t)
1
15. =
V>.
+ Tr- , l.i.Gi-.lG.94.
n
= 2
- 1 , + .r
p n. Cosec.
2^7T
9
( 1 — 2?))"- '/— 2 l^-a + l/l
b—l
1
10.
b
2 + '
3 + '
21,
25. nc valciit qii'tiit
rc ct 1.
2S.
5.
<;.
/' —
faiitive?
/' +
10.
11.
22,
I -
>l
2:1. x^
1-.
r
20.
5.
faiitive, cllfi
est 0.
7.
faiilivc, (lie
est TT.
;50.
■K
8, !l, 12. faiitivci.?
IS.
'b^
b c Cos. X
;ji.
ti.
7.
(.'•-1)1+,.
(.1—1)/-
4+c+l 1
T. X. nu lieu <le:
■61. !i. l^/,i_,._i
10. 1 +.r' -t- x'
21. {.V - 1/
22. {x- l)P-i
8, 23. fauHvcs?
-2/.)''2
32. 5.
lisez :
P"' ,1,-c+l
l — x^'+x'
(.c - \)-P
{.c - 1)P
(1 — 2/))M
{2p-]}a!-^
(2/j— l)a-i/-2 1<'-*+i/l
6-1
12,11
1
12. b — -
31. 10. =
35. 2. die est . „ .
(l!?")' ;).22'/+i
6. p <^l est la condition de N'. 5.
7. p- p
19. faiitive.
22. —X- — .r
23. — 2 6)«-i — 2t)a+i
3»'). 7. ajoutez: Schellbach, Cr. -IS. 207.
8. „ Kaabc, Cr. 4S. 137.
11. ... 737 ... ... 777 ...
p b
137. 5, 0, 8. fautive<<.
10. = = (—1)7
13. 27 7
138. I, 5. — p.r, — 7,7- px,qr
i 17. ajoutez: Poisson, P. 20. 222.
2), 22. =- dx =
39. 2. ajoutez: Srhc.llbacli, Cr. IS. 207, oil fautirc.
10. ev^-lr 1 , 71 e>^-lr 1 , 71 + 2.
12. e-'^dx e'dx
10. -f e '/-/'/' ^e(/>— 7)*
10. !jc viuit qu'cutrc — x et + oc.
20. seiilenicnt lo -|- iKs doubles signcs.
qSi« 'i ■"■'
140.
21. (?>V».i
8.
1
25, 20. fautivLS.
TT t
XX
OnSERVATIONS ET CORRECTIOXS EN TAIITIE CRITIQUES.
/'. -V. au lieu lie: lisez:
II. 5. pour p<l: pour p>l elle est oo .
17. (qe'^')"
1.3. K;. _ 1_
]
- +
7
41..
■15.
■Hi. 16
47.
41).
2. a— 1 a
6. fautive?
8. — 2/2 -f- 21-2
6. fautive : a cat 1.
13. ne vaut qu'ciitre et 1.
1
■ 2 "^
17. Tang. Cot.
2, 3. 2a-\-b-^ 2a-|-26 +
4. t^a;
Cos.* r
21. Cos.^a; Cos.'' x.Tang.Px
48. 6.
1 -i- 3 Sin. ^x.CoB.'^x 1 — 3 Sin.« j . Co«. * a:
p. 92. (titre) moiioine. binoine.
16
50.
8. ~l
19. dx
3. b
4.
10. =
12. -Sin.X
2
16. — Sin X
19, 21. 4
24. Cos. '2 a;
25. 1+p
28. 9r(2(/)
29. ^—
27
8, 9. diC
+ 1
Tang. xd.v
6
2 — a
5m. A.
-}- 5Jn. X
8
5m. 2 j;
1—?' V.T.31.N».25.
4ri29)
pn
9
Cos. X
T.
A'. nu lieu lie:
U-ez:
50.
14. Sec.
Cosec.
51.
1
0, 10. fautives?
=
11. =-
= 71
18. 2 1/3
31^-3
52.
Sin.lix. Cos.1 X
1 14
2Sin.l+ix.Cos.9-^x
|(ros.2' — Sin. a)
|(t'os.- X — 5m. ^ t)
19. ==
1
53.
18. Sin.Px
<S'm.P-i .»
n
22. -»
\2
54.
2. q—l
.^-2
7. (2 a — l)^p^
(2a— 1;J —p-
15. 2p+ 1
2/'+'
55.
12, 16 a IS. Partouta>
6.
56.
4. 1«I2
2"/'-
8, 9. Z» + 2
i+1
10 :\ 12. Cos.x
Cos.'^i X
a + b
16. + -1
a-b
2 +^
57.
1. 2a — 6
b — 2a
5. 2a— 26
2b — 2a
an
1
2
14. I'-i
1-4
58.
2. ne vaut que pour b
= — 1.
3 li 7. ne valcut que pour c = 0.
59.
7, 12 ii 15. fautives?
60.
2, 3. a (partont)
an
4. 2?j + l
2n— I
9. fautive.
61.
14. ==
= —
62.
4, 5, 7, 8. fautives?
63.
1. q.v
4:qx
1
2. = -
= —a
a
1
4. pn
-» 71
2^^
OBSERVATIONS ET COIIRECTIONS EN PAIITIE CRITIQUES.
r.
C3.
6I-.
r)5.
60.
<i7.
iiS.
09.
70.
71.
72,
A*. an lieu de:
8. p _ 1
1 1 . Cos. 2 X
8. Cos.lx
Ik Cos.r+i-'^.v
10. 7,
15. 2
■I, 5. =
• Cos^ X
10.
1 —
21. ] +a'
22. 1 -f-f(*
2, 3. 1 -p
■1. —2)1
1.3. 7p»7' +7
11, l.j. O/j' 7'
2. =-.
;5. 2
1. 1—3
2(). Tawjf X
27. l-«, )-Ha+l
30. 1.
9. -ASin.i
p-q
Cos^'ix
Cos. 2 iT. Cos. ' X
Sin.P+1-^ .c
P
'S
_ 1
"~ 2
r.
74.
N.
3.
au //cu de:
2
75. 20. 3— p'-
2 k -{-Sin.-n
XXI
2a
7 r : c est le co-
bl^{a + b)'
efficient de tout le rest e.
F'
E
(i' Kf-
1—3
— 1 + a*
1— a^ V.T.23.N'.2
1+p V.T.31.N'.22.
— 2A — ,S2«.;i
3p'<?-' + 3
2p252
3
1 —
2
A 5t'«. A — I
3, 4, 11 i\ M. fautives?
20. — to».».B .Cos.''x
8, 4, 7 i 10, 12 >i 14, 17. fautives?
2 m— 1
1
16. 2n+l
18, 19. =
1, 11. n"/a
(i. !•
7. fautive.
13 li 15. Cos.x
11. 2b + I
21, 23. 2 I,/ 3
74. ]. F (
2" 2
3
Cos.'i X
1
3 1.-3
76. 4.
20. a
'
p3 '(l_p2)p
1
5. —
1— p*
— 5i«.U
a — 6+1
1_ 1_
p(l_p»)'l_p =
1
1
P
U. p
I—;,'
^^2
13. (p4-7_1),-(,+1) (p_5_i;,i__fp+y)
18. S{n.^!i
20. 4
77. 1, 2. pour k
78. 3. 22a
4. — 1
30
Sill, ft
2
pour A
22a+l
14. fautive: il y manque lo factcur : .r.
15. (—1)" (—1)"-'
79. 8. a*/! a'—i/i
82. 19. }'a+l }>.2''
83. 1. = - =
12, 13. nc valent riu'ciitre et - t.
2
Sin.^
pa-\
Sin. i
14. Sin.
84. 15, 20. p"
25. Cos. 2 c j:
85. 10, 11. = =7t
21.. )2a ' )a
30. 2 2p<7
32. fautive, sn valour est oc.
86. 5. = 2 = 1
ex
-wri
OBSERV.VnOXS ET COKUECTIOXS EX rAK'IIE ('R[T1Q1;ES.
lisez :
A'. 6t« lieu (Ic:
13. ]•: f
11, 15. l'--\-q, l>'—q /)•- + g-, p-" — '/-
1 1. /)' 7 p^ — (jf-
1.5. 5 |/ 9^ Ix--
87. 15. = = TT
88. 8. fautivc, sa vak-ur est d.
SO. 10, 12. a — 1 a+ 1
1.5. 2 7ra 2 rr
10. =
It
IH). 21. -
2
71
23. -
12. =
]. b — Z
fa + b
d.v =
U.3.
1 r
/; — a
■1
/> — 1
Dt.
!)f>.
1)7.
08.
00.
101.
102.
104..
105.
2 la
2. nc vaut que pour a = x.
4. fautive.
14. = = a
0. a .V n .V
6. 1 71
r) __ — o
1 :\ 6, 12, 14. fimtives.
1 ;i 8. fautives.
7 a 9. fautive.5.
1 a 1. l/.S'i;i , l^^Cos. Sin. \^ , Cos. l-^
5, 6. fautives.
1, 2. (,'■ q
1, 3, 5 u 13. fauii^c?.
4. 2Cos.\a 2Co^.\u
7 u 0. (-Sin. 11, g) {Sin.v,q)
10 a 12. 5/n.U <:os.2 P.
14. Sin. It i7n. *<
3»/2
411-1-1/2
T.
100.
10
A'. au lieu lie:
l+5{n.V„.
2 Cos.?.
/««; -•
5-?i.2«-i ;.
108.
21.
Sin. ^
5.
1
-7/''-
(i.
Siii.-^^p
10.
71
^ ~ 16
Sin.ii ^ ISinjA Sin.ti.Siti.-).
Cos.). ' \Siii.:ij 2 Co?.?.
Sin. II
— 2>,— ip
100.
110.
112.
71-
~ 10
2, 3, 7 a 10. fautivc.?: dies sout 00.
2. fautivc: ellc est y .
'\4/'/H-2m— I
1. 3 a
0. ue vaut quVutie ct cc.
7, 1:1. faufivus.
J (I
11. .- . ./
1 l"/i
3.
Sin." 'i i"-
ila
da
113.
8.
jT:
d,-t
9.
e"^
t-^i
15.
a -\- 1> i
a — bi
17.
ajoutez:
Raabe, C'r.
48. 160,
111.
4.
=
= 2—"
115.
10.
olez (f-
110.
1.
fautive,
1
1
5.
3
~ 3
S.
■in
I)
9.
a
V
117.
3.
258
252
4.
1C80
240
11,
12, 11.
I
T. A nil lieu lie:
117. 1!J. .<,'
23. 2a-j- 1
Mil. I. j-2
OBSERVATIONS ET CORRECTIOXS
li.sez :
i:X PAllTIE CKITIQUES.
Will
1
.)
<." — 2
;5,
4. r (7)
s.
^— /•
1:1(1.
1.
= —
S.
l(i
1:1].
5.
(■).
S.
.3 5ft'.-^
0.
•irr^
\z.
«-■'
19.
•S/w.
«■■» Y. T. 117. N". 5.
1- (7 + 1) V. T. 117.
N\ ii;, 17.
12
— f9J:
+ e-'/-r
2S«c.'
1
fof.
/2;i\
1 '.I, :2 1 . ««",«-''•', |,A.T <•'/', e-7-r, (2 in-', y -r
\ ^ /
, (in if'^ ^= a- i- <^ ! , « arbitrairc.
122. 1. —(,'-' + e-'
<;. ,r rr^
7, H. chaiigcz Ics coctliciL-nts p -|- r/ et /» — i/
(laiis les nunu'ratcurs licz les puissances de
e par li- si^iu^ -j-.
111. .'--r — , .■-■'• + -^''^ + J <^''-' —
2 a — 1
i::!. .-.. 2.t - 1
I ((
8. 2 a -f I 2 a — 1
1 21-. n. — 2 Cos. A, :i :Shi. ). +2 Cos. )., Sin.).
125. s. ?.-f A -
12. .J 2
\ ii 7, 1 7. liMiiivor
Ill, 11. lie Viilcnt (Hit- ptiiir a m'galif.
12, 11. lie valeut (|iic pc>iii- f» iie'^atif.
127. 13. b-a b—c
27. dx ids
T.
A'.
aa
lieu
de:
li.ie::
127.
29.
2
1
2
33.
rr Iq
,fU,
128.
G.
{-\Y
{— 1)7+1 V.T. 11)8. N\ 20
129.
5.
X
.vi
— '/
130.
131.
132.
10. fautivc.
11. ,,
12. (-/;(/)«-'
11, 13. fautives.
8. fautive.
i), 1 0. cliangcz Ic ileiiomiiiateur avce N'. 12, l.">.
10, 13. = = _
1 0. e-P'l El. {p q) ePI Ei. (— p q)
11. + el"i — ePV
131. 2. fautive: sa valeur est I
=i:it:
■■'!
13;:
3. 2p 2
0. (1— c-/'')<;-('y+i;-c (e-v-r— Ij,- n-i <■
14.. otc'z:
li). c—P^-^ e~P^ —
10, 15. ajotilrz: lVau\, Funot. Trniisc.
12. + _
131!
ft-'
IS. dx —
d.v f
19. — C-X
+ «--
2I-, 25. r>-">
,.(i-p).«-
2S. pr, +
;'7 —
1
30. q
('-^)
31. eW
e-}/'..
3. =
= _
1 ''""
VTT
■ 2/.
4/.
5. el'^ — c-'l'
(f-/' — ^V')J
10. t'aiiti\e.
.XXIV
T. N.
1:30. ]2. -
OBSERVATIONS ET CORRECTIONS UN I'ARTIE CRITIQUES.
ail lieu de:
Use: :
dx
X
dx
18. U.V
137. ], il. faulives.
3. dx
6. e'+ ,Sec^
U. ip-n)
138. 4,7. ajoutez: Poisson, P. :J0. 222, p<^n.
1
; liez les fractions par+
{\—c-^y dx
e^ — , Sec.
(/' + «)
2dx
c — n-\-l
1
( - 9)"
1
"■%'>
12. dx
139. S. c—n
10. (-7)
UO. 11. 7"
13,11. =
15. ;>■;?!/
17, 18. +^},_^) +p},_p}
141. 10, 17. fautives.
22. TT Stt
23. —TT 2 TT
21. e-' (jiartout)
a-r , (a 4- (f»)-p
J 12. 3. n
113. 4, .5. e2ax
TT
5. €', ra?iff. —
2a
8, 9. =
c^
a^-y , (a -f i)i-/>
e-2nx
71
C"^, Tang, —
an a -j- 2
13. — ,
b ' h
a
144. 4. -
\al\
7. —
2°/!
8. =
9. e*
10. 9+1
12. Sin. p —
14."). 3. Sa valeur est - n-.
T. y.
ou lieu de
145. 4,
8. =
G.
4/7
in/l
7.
2"/2
9.
6
12.
24
13.
360
14.
720
15.
7+1
19.
1
lilt::
an a4- 2
Zb ' ^ZV
a
lo-l/l
e-^ \. T. 182. X'. 7.
7-1
Sin.p n -|-
la— 1,1
flOl
8
4
13
G
7-1
21,22. e''V-K( ."j,'^^ e'i^,e-'y,{:lb 71', qrr
ou 7^ = «2 ^2 ^ ]^ « arbitraire.
27. (2 7r}a+l (2 7t)2"+i
MG. 3 ;\ 5. 4p7 4i^p7
4, 5. a2'''-i (a + «— 1)2''/- 1
147. 12, 13. changez les conditions.
148. 1, 5. fautives?
149. 5. (— Ij^JS'l -^(—1)"
8.e-',(e5-^— e-5-r)\2(/2)>
2e-^,(fx-f-26-^— 2)^(/2)-
9. e-* 2e-x
11. 0,2_l)(e-+e— )-2(p> + l)
e^ — 1 1
12.
(/,2_l;(«2r_l.l)_|..2(pi^l)cx e2x— 1
l.'J, 14. = = —
3. fautive.
] 1 . (limite) 7
13. ( „ ) //>
], M. /
150.
151,
7. L"
1
,4+1
IP
11. (-Ij-'^l
13. p+l,p + 3
15. {
2 Iq
-Ip
— I
L".
1 r
p + 2 , ,. + 4
{-
1
152.
153.
1. fautive: sa valeur est oc.
5, G, 20. Ix
X
OBSERVATIONS ET CORRECTIONS EX rAKTlE CRITIQUES.
XXV
T
lj:3.
1 J !•.
15.5.
157.
ir,s.
iV. nil lien tic:
1:5. — .r/' + ?
1
11. = -
2
9. 1680
4,10. ^
8, 9. «/>
n, 12. '-i
3,9. x'',x~^.
Use: :
— a:r-1
+ .r;'+9
240
I
n- 1,1
6—1,1
h
, hn x1, X~'}, {•ZI)7t) ,qTi
100.
101,
162.
163.
IG').
, ou q-
5. 2a —
6. = (-1)"
12. a:-i
4. 1+.I:'
p 1
^- l + p»' 4'
9, 13, Ik I
17. l + x^-
18. = 2
8. 2560
12. 2"+^
13. « + l
la+l/l
II., 15.
a
10. 7+1
lo+l/l
3
o _
4
8, 9. fautivcs.
1,2,5,11. I
4. Z(r
6. 7^
8. -7'
13. F ip,X)
14. <Sin.
a - ^ - <^ I, a arbitniire.
2a— 1
Xb-l
(l + a;»
)*
— 2
1
P
1 + p^
/
2
1+p^
1— .t'
=
1200
2a-|- 2
n
la-I,I
q + 2
la-l/l
On
4
3
■ I
!165.
166.
A'.
au lien Oe:
Usez :
19.
— X
— x^
21.
25.
ln/2
F(p)-
3"/2
27.
28.
2 1/
F{l/(l-p^-).'-}
21*^
3.
(V.^ ,. , Cot.
5in.^ /< , Tanij.
9.
\^ {Cos.'-
l/(C05.>
15,
21.
16. -=
1/1 ■) Ct_*. *> T
2 Sin. A
168.
( 1 — j; ^ Sw, ^ I) ^ *• (1 — d;= c%i. ^ /)
169.
170.
171.
9. ^
11. J,;;
15. (pn-1- 1)/
20. r-''
1. = —
3,4. q-+[lxy
3. ^
I
4. :e
1
6. 2n— 2
14. ePlEi.{pq)
15. Z,l+p7
16. \~pq
1
3. 1 + —
■r (;c
2. Z' (partout)
3. (1 — xP)j<l
. ,\l «
o. J
1
i « + 1
i-i
■i ~
1
(pn+])M
4
q u
1
<?'
2 n + 2
CM Ei. ( — p 7)
lx,\—pii
l+p<7
1
Zr
(1 — a.-?) xP
H
I ( — r ; ellc nc vaut.
qu'entrc — 1 + 1-
y
S/n.'
/.c *• (1 — x)x Lz
19. I
(l.|-;, + 5)(l+7 + rJ
a; 1
X
r (a - /- + p)
(/.r
^r(H:P+*)r(i+7+r)
r(i+p+r)r(i+7+.t)
WIS- EN >\TIIIIK. VEIIII. Iinn liO.M>KL. ARAIilMli:. liF.I.L IV.
X.VVl
OBSERVATIONS ET CORRECTIONS EN PARTIE
CR
[TI
(iUES
T.
.V.
au lie a de:
/ism :
T.
jY. au lieu de:
liitx :
171.
172.
2(J.
9.
1 \ dx
l-.tj l.c
7. foulives.
2/,
1 — j/ a;/x
4/;
177.
15. aq — i
1
19. -
X
2
1
2
a;
1— a;»
173.
1.
f/.r
x d .v
21. .r^-i
a;P->
12. c/.r
— I xdjt
178.
4. 2
.S
2.
4.
■n
1
(2 71)2-.
1
6,7. Ix
— Ix
q>p>0
1
1
179.
3. r.^-i',p
+
1
X-^-P,p-l
8.
- TT
ISO.
5. B'
B"
9.
10.
11.
u.
17.
4
2r/+3,27-i-l
1 + x'-
2.T
1-J>- ""
I 71
2 7 + 3 -T , 2 ./ +
1 A' -
1 + .i-^
T
'. T.
ISl.
1S2.
1(5. (7o<.
17. ii'cst pas
2. {ixy-
5. {ixy
6. -'^-
2p
15. Iq —
:\
sa
place
Tang.
ici.
Ix
lix'-)
a
17k
IS.
5.
3. faulives,
dx
13S. N\ 17.
7r|/-2V.l\13S.N°
(1— .r=)cfar
18,
183.
22, 29
8. 2 92"+!
10. dx = p
(2 7)2<='+l
x ='''
175.
17(1.
13.
9.
12.
1.
l+.r^-
— .1-2.'' +
1 — a;?
1— or
]— a- =
~ 2 jV -1-
l_j?V.T.135.N'
1— .r
27,
184,
14. {Iq')
n. p-q
5, G. .r'',;f
, oil 0-
-I,
>
A-7, X- 1,h IT, QTt
1.
4.
5.
1 — .r*
1 + r^
1
15. Zy
— 1
4,
5. ttT'-'
1
16.
1— <?
1+9
0.
- — TT
I
18. )P(parlout)
y-P
8.
(ix^-)
1S5.
1. Ix
^(l+.^•)
11.
^
— n2
25T
}T7.
G.
9.
13,
1
— TT
2
14. 2 71 p 71
ilx V.T.138.N'
1
2n
npTx
18.
2
10. l+a
14. Zdx
1
a
2
a:d.r
OTiSERYATIONS ET COP.RECTIOXS EN PARTI K CRITIQUES.
X.WII
T. N. a>i lie 'I de:
]S7. 2. JS"
t, 1:3. Ir.
8. _7r> —
12. d.e
15.
~V
IG.
{Ix}'' b
17.
l/(2«+ 1)
18S. 1,
14.. =
2.
= —
liscz :
:e{- i)"-i .
— Ix
^ n'- + \' T. ICO.N'J
12 ^ j
9, et T. ISl. N'. 14.
qdx
1
J- .
' 2
^ -/— = -V.T.20
X a
N'. 1.
I
.. h^+'^^
o
__ 1
dx
7-— px'
l/(2;*+l) V.T.;i8I
N". II.
— .V
U n
l!>2. I, 13. ii'iippiuiicniiiMit ]);is ici: il.iiis I) il ilciit
rtrt- 7'--i.
12.
''7"+
15.
==
189. 2.
<ix
X
10.
— I
11,
12. fiiiitives.
Vi.
(,—px^
1«.
{uy
PJU. I-.
l^{l-ln+\i
.").
N" 1 _ I
— I (
c.
+ A
s.
l/(2;,+ l)
1
10. -.T
193. 1 a 11, 21 u 2n. faulives?
1
- rt
■i
T.
195.
197.
199.
200.
201.
202.
y. au lieu de: lisez:
1 5 a 1 7 . Dans les conditious changez pen y et 7 en p.
20. 125
5. oil s -=
G. a — i
5, 13, Ik fautives.
r-
14. r-
15. =
1
115
a-j-l
25. — 2/i)"'
32. a— I
3<J. -
203.
201.
205.
206.
207.
- 2 n)" +
a + l
b
2 + '
2/. + a
12-1/1
10, 41. 2/. +7
10. l2„l
11, 12. a y dull I'tre I'liiiilr.
9, 10. fautives: elles sout inliiiics.
15. ajoutez: Liouville, P. 21. 71.
3, 4, 1 2 a 18, 26, 27. foutives : elles sont inlinies.
3 u 8, 11,12,15 a 19. fautives : elles sont iufiiiies.
13, 14. a^ — x- x"^ — a'-
20. = = —
1 a. 3. fautives: elles sont infiuii's.
2nT
a
h
17. Cos.\ — — a
b
Ca.
18. Cos.
26.
:«+ 1
~26~
TT — a Cos.
2// 4- I
2l/2
72;^- 1
209.
210.
21;
213.
27. 72^- I)
10. 3a7 2(17
1 a 4. nc \aU'at nu'eatre les lirail^rs — a: et «:■.
1, 2..^ + 2/,.i; i,'-+2/<.r
5. fan live.
1 I a 13. fautives: dies sont inlinies.
5, S a 11. fautives: elles sont intiuics.
II., 15. e-ri {e-P'i — 1)
15. Cos./'.r Cos.px — 1
16. I 2
_ 1
" 2
.. •;,-.- -;\-" -piirtout) (ti.pi)-"-'
11-.
XXVIII
OBSERVATIONS ET COimECTIONS EN PARTIE CRITIQIES.
T. .V. ail lieu de:
211 ;\ 2 IS. lie valent pas.
219. C. =
220. 5, t). t-'"^ -\- e-2"<:
6. f/ + .r>
7 . Cos. 2 a X d x
8. 9. fautivos.
10. dx
11. ■\-pe-<^
!•'). ^j'' (nummt.)
221. 1 u 1, 18 a 20. fautives.
listz;
9' + ^'
(p -f- Cos. 2 a .r) ti x
xd X
1 +7)(?'7
Cus. 2 r c
idx
7. 1 —pe't
10. 2r/
15. Coi.rx
222. 2, 1:3, 1 I. fautives.
n
3.
2.y
7, 11. dr
8, 10. — e-2«<;
223. fautive.
221.. IG a 23. faulivis.
225. o a 10, 22, 21, 20 :\ 33. fautivcs.
16. 2 ll
23. ii'est pas fautive.
22(>. 5, 0. fautive?,
^^^- ^-+'"2. - -^'^2 6
9, 10. sans restrictions pour a.
22S. 2 a C, 8 a 12. fautives, quoique Caucliy ordoiuie
la ditterciitiatidii.
00l)_ 1. 1=
T.
229.
230.
231.
232.
233.
A'. nil lieu de:
1
lisez :
1
231.
:35.
230.
■)l.
10.
4 l^q 21/29
1, 7. i/2 7r |/2a7T
2^6, Sal2. fautivcs, ([uoique Cauchy ordonne
la ilill'iTcntiatiou.
7. Cos.'' 5m. »
■i, 7. r ± (/i q ± ri
14. = ( = (_
19. 20. 3 2
3, 7. r i 7 i (j -iz ri
20. Sin. r t — Sin. r I -|-
22. h — c h-\-\
23. — Ipx 4- -Ipx
21. a + 1 2 a + 1
2 a 1. fautives.
2 a 7, 10 a 13.i fautives, quoique Caucliy orJonuo
3 a 8, 11 a 11. j la diliorentiatiou.
1
5. S
O 1
2
1
2,5. /2n-l \
X \ 1 /
1 ^„ lin-i
-l^2:SCos.\-
1 \ 4
I/:
1 / i\
iq \ ql
~qi^ ~q \ Zq
t+
1
238.
239.
2 I . pour a
8. {1
9. dx
10. (7o.<r.5 X
11. =
hi. + I
1
2. —TilZ
~' ,1 "
19. {1 —
2. +T
3. =
•1.. (_l)2"-i
pour -
a
{2 V, T. 238. N\ 19.
adx
Tang, .r
— I
-n V. T. i'C". N\ 2.
4
u.
Ot/i — 2
(2
(- l)'"-l
22iB— 2
7, 17. fautives; cllcs sout infinies.
15. +(— l)"2a,2;i — 1 } + J'f— 1)" 2a, 2 n
22 - —
""" P 4p
T.
2^0.
.V. an lieu t/c :
4. (1
5 . Cos. n A
7, 8. (2n)2'»+2
, oil c = y — l-^ (7^
OB.'ilCUVA'lIOXS ET CORUECTIOXS EX PAKTIE CRITIQUES.
T. \. nil /iVii (/c;
:io7.
XX1.V
(_ ])'l-l Cys.,,;,
(2«4- l}2™ + 2
1).
1/(1+9=)
211.
"JIS.
I. ue vaut qu'eiiire les limitcs et 2 .r.
12. = — =
qJx
;5
I/- 3
2 13.
14.
da
16.
=
7.
9
S.
3u/3
0.
:t 1
2 2
18.
5m. -^
19.
Sin.-Zj-, =
1
2
Use t ;
7r
(5. -
2
l^-2.H.l
12
Tos.-
Cot.x-\-p''Sm.x.Cos.T,=
!U. 12.
13.
15. 9^
215.
13. rr^
24G.
4. 2n —
1
247.
219.
250.
251.
253.
255.
12 -2'(— I)"
^t q}.
2 »i+ 1
8. fuutive. rile nc vaut que pour Cosh//.'/, et
Hill h p.). nil lieu de Cos. )- et de AVn. k.
9. = 2 =
21. ;/^ — I + 1— p» +
5. oil a <^ 1.
2-1.. p» + ,.7 2r' + /'7
4 , G . (/ A ^ /i
22. lie vaut qu'cutre et 00.
23. fautive jiar suite de N'. 22.
3, 4. (J" i>"
5 il 8. no valent qu'enlre et (x.
9, 10. ne valent que pour r = 1.
2. Sm.^ ).. Sin.\u
3. ZSiii." i,{Cos.i.
Sin.'* ).. Sin.fi
ZSiii.^ u{Cos.l
258.
259.
260.
265.
2(17.
269.
271.
272.
277.
279.
231.
2S2.
283.
•'S6.
91.
293.
296.
297.
301.
1
28. J-
X
1. — 7
2. (— 1)«
5. (2n)2"'+2
15. ip
28. xd.v
24. ZSin.'' }.
1 . 1 + ^
9. = —
S. Zp
1. 2a+ 2
8. = 2
00 n
11. ^
■i. 4
2. (- ir
2p
2"-P+i »■
.r^- — 1
+ "
(2 n + I )-2"'+-'
l+.r^-
P
2a — 2
"? pM^«+">)'-
(-])«-
«
13, 14. -.s\-~~^"- +«=,---
>-^ +
I (7'-+*')
4. -
o
6. otez 1^^ If.
17. =
03 __ _
2
6. — 1
7. e'?t-'>'+J
15. =
23. 9 v^' , = 4
1_
2«
— JT
O
1
e-(,+i)xi-j
iqV^ , = 2
AXX
OBSERVATIONS ET CORRECTIONS EN P.VRTIE CRITIOUES.
T.
303.
30(i.
iV.
13.
au lieu </c;
lisei :
+ ^
8.
00 n^o+i
]
9.
2x)<.
307.
1.
300.
7.
•la
10.
1
2
12.
)''
310.
12.
.r +
311.
5.
I Tancj.
312.
10.
2a+2
11.
2a— 1
313.
5.
T
17.
- iP + '/)
3M.
2.
]C.
316.
9.
n
11.
I
318.
10.
Cot.Px,2u
319.
9.
Sin.
320.
3,
10. 2 ,3'«
18.
d.v'
20.
4
321.
KJ.
ITang.i-
322.
22.
fautive.
325.
1.
8
13.
=
327.
2.
cIj:
329.
l.j.
I Tany. x
Cos. 2 X
22.
Sin.
331.
10.
1
"•J
12.
Sin. p
_ 1
i
1 7j2<»+l
1
4 a-
1
8
)/'-•
X —
I Cot.
2a+ 1
2a4- 1
+ (p + 'y)
8
1
— I
— Cot.P X , JS"
Sin.^
(2 .r-"
Sec. 'Z xd X
o
d xl Tan^.x
I Cot. X
Cos.
I
1,-
?(
T.
N.
au lieu de
333.
8.
(q-\)x
336.
5.
2p-\,lp
338.
G.
1
I)
339.
li.
1
10. -
2
340.
15.
4
344.
8.
-Sin. X
14.
2
345.
14.
71
350.
5.
Sin.'l X +
8.V2.
2.
I Cos. X. d X
7.
)"
353.
16.
Cot. , =
362.
9.
— Siii.x)
303.
8.
^ +
369.
7.
1
0^
372.
2.
1/(1 +a-— 2c
litez:
1
4
1
2
5tn.7 X —
L Sin. X. d.v
Cos. , = 2
— Sn.Kr)
1
ab b
7.
c
V
374.
2.
fautive.
•5,
5. Cos.'^+^
Co.'."-'
375.
11.
oil ;) = Sin. I.
379.
2.
pq-\-a —
P2-|-a— 1
388.
20.
(-1)"-'
(_ i)'i Y. T. 439.
W. 13.
22.
ax
2ax V.T.4S9.NM].
390.
396.
.399.
15, 1(). nc valcut pas, puisque T. 116. H". 4
ne vaut plus pour 7 ^ 2.
c7 — e—<i (ft — e—t
22, 29.
4
2 a 8, 10 i\ 16. faulives?
24, 25.
(c? — e-1)
OBSERVATIONS ET COIIRECTIONS EN TARTIE CRITIQUES.
x.xxr
T.
^'.
au lieu
de:
Use.
40S.
•>,
9. p- <
?'<
400.
■>,
6, 12, 1:3
P'
<
r<
9.
+ (e/"f
— (t'/"r
11.
+ {eP^
+ (- eP^
13.
=
= 1
410.
C.
=
= —
411.
10.
It
n
1-p^
1/(1 -p')
41S.
9.
1 —
1 +
I T* JS^. au Itcu de:
d X
422. S. - ^
lisez:
11. +
34. =
1— .
dx
»»
1
1
2
iT-
423. 24. changez i^ {{ — x-) et (i — j;*).
30. a» C0S.2;. a;=<Sjn.U
439. 15. p 7r (partout) pai
TABLES
13 I N T E G R A I. I] S D E F I N I E S
y> JiJEliEAS I) E HJjy
WIS- k:h iniiLnK. M'.nii. nKn kom^ki.. tK\iiF.Mii:. iir.Ki. 1\'.
DIVISION DES TABLES.
PARTIE PREMIERE :
COSTIE.NT LKS l.NTEGllALES DKS FO.NCTIO.NS A ARGU.ME.NT ll'lM; SELI.E FO.NCTIO.N.
I. ¥. Algebriques T. 1 a 35.
II. F. Exponentielles T. oG ii 41.
III. F. Logarithmes T. 42 ii 4.5.
IV. F. Circulaires Directes T. 46 a 107.
V. F. Circulaires Inverses T. 108 a 110.
VI. Autrcs Foiictions T. 111.
PARTIE DEUXIEME :
CO.NTIE.NT LES INTEGRALES DE.S FO.NCTIO.\.S A AltGl.MEM 1)1- DEUX FO.NCTIO.NS.
VII. F. Algebriques ct Exponentielles T. 112 a 150.
Vll[. F. Algubriques ct Logarittimes T. 151 a 191.
IX. F. Algebriques et Circulaires Directes T. 193 a 255.
X. F. Algebriques et Circulaires Inverses T. 256 a 271-
XI. F. Alg(Tl)riques et Autres Fonctions T. 272.
XII. F. Exponentielles et Logaritlimes T. 273 a 277.
XIII. F. Exponentielles ct Circulaires Directes T. 278 ii 298.
XIV. F, Exponentielles et Circulaires Inverses T. 299.
XV. F. Exponentielles et Autres Fonctions T. 300.
XVI. F. Logarithmes et Circulaires Directes T. 301 a 365.
XVII. F. Logaritlimes ct Circulaires Inverses T. 3G6.
.Will. F. Logaritlimes et Autres Fonctions T. 367.
XI.X. F. Circulaires Directes et Circulaires Inverses T. 368 ii 374.
X.\. F. Circulaires Directes et Autres Fonctions T. 375,
PARTIE TROISIEME:
CDNTIE.NT LES I.NTEGRAI.ES DES FO.NCTIO.NS A ARGU.ME.NT DE PLISIKLMIS FO.NCTIO.NS.
.\.XI. F. Algebriques et Exponentielles ct Logarithmes T. 376 .t 3S3.
XXII. F. .\ Igdbriques et Exponentielles et Circulaires Directes T. 384 ii 400.
XXIII. K. Algebriques ct Exponentielles ct Circulaires Inverses T. 401.
WIV, F, Algebriques ct Exponentielles et Autres Fonctions T. 402.
-XXV. F. Algebriques et Logarithmes ct Circulaires Directes . . ". . . . T. 403 ii 421.
XXVI. F. Algebriques et Logarithmes et Circulaires Inverses T. 422 a 427.
X.X.VII. F. Alg<'bri(iuc3 et Logaritlimes et Autres Fonctions T. 42S.
.WVHI. I''. Algebriques el Circulaires Directes et Circulaires Inverses. . . . T. 429 ii 434.
X.XI.X. F. Algebriques ct Circulaires Directes ct .\utres Fonctions .... T. 435.
XXX. F. Exponentielles ct Logarithmes ct Circulaires Directes T. 4:i6 ii 440.
XXXI. F. Exponentielles ct Circulaires Directes ct Circulaires Inverses . . T. 441.
XXXFI. F. Exponentielles ct Circulaires Directes et Autres Fonctions T. 442.
.XXXIIi. F. Logarithmes ct Circulaires Directes et Circulaires Inverse;. . . T. 443.
XWIV. I''. Logarithmes et Circulaires Directes ct Autres Fonctions .... T. 444.
.W.VV. F. Algebriques el plusieurs Fonctions T. 445 ii 447.
1*
SOMMAIRE DES TABLES.
1.
F. A
ig
o
/T /
3.
ft 1
4.
it t
5.
ft /
G.
// /
7.
N t
8.
ft f
"J.
ff t
10.
ft t
11.
// /
12.
// 4f
13.
// «
Ik
// //
15.
// /
16.
// «
17.
// '/
18.
// //
19.
// //
20.
// '/
21.
f tf
22.
It II
23.
n ff
24.
ff tf
25.
ft ff
26.
It If
Page 5.
PARTIE PREMIERE.
I. FONCTIONS ALGEBRIQUES. T. 1 a 35.
rat. cnt Lira. et I
// fract. ;\ den. monome nun,,
" " II „ a -\- baf „ „ „ „
" " " " [a + bafi)<i ///,„,/
" " " " (a + hx'')<iaf- ////,/,/
// '/ '/ " {a -\- h .r-Y (a -\- h' x'^Y ^^' ////„,/
'/ /' // " trinome » „ „ „
I II II II II coinpose nun,,
irrat. cnt. .1 fact. (1 — .r)« et (I — .r» )" „ „ „ „
" " (1 —.»")* n „ n n
» fract. li den. raouome n n n n
'I " " " (1 ± XY et (1 ± X'^Y n n n n
II II II II (1 — afl)^ pour a special n n n „
" " " II II n II general nun,,
II n n n compose avec fact, monome n n n n
n n n n n sanS // '/ n n n „
Lim. — 1 et +1
rat. fract. ;\ den. ir" et (1 ± .r)" Lim. et oc
" " '/ '/ 1 4" .«" pour a special •■ n n n
'I " " " '/ " * g($n(?ral n n n „
II II // » (1 ± .r«)'' . ; n n n H
" " " " a fact, monfirae et binomes « » « „
' " " " " " binOmes (1 ± x)" « « « «
" " " u n n n (1 ± •*")'' n „ n „
•I ' n n Irimlme « « « «
HUH autre M\\. polyn6me »«.»,/
S0JI3I.V11U; DI'.S TABLKS.
27. F. Alg. irrat. fract. :i den. binome Lira. et oo
28. // // // // // autre dun n h n n
39. // ti rat. // « den. 1 ± j" Lim. — co et cc
•30. /' " // // // autre den n // n u
81. // /' // II Liin. 1 et cc
32. // " irrat. // // nun
33. // /' ent Lira. 3 et p
34. /' II fract « nun
o5. /' // Lim. (liverses
II. FONCTIOJfS EXPOINENTIELLES. T. 50 a 41.
Expon. Forme c^" l.ini. et oo
II . Autre forme ent. n n n n
n . Forme fract. a, den. binome n n n n
" . II H H n polynome n u n v
II Lim. — orj et 30
" Tjim. diverses
III. FONCnOIVS LOGARITHItllQIES. T. 4'2 i\ 45.
Logar. Forme rat. ent Lim. et 1
/' . // /' fract // nun
II . '/ irrat n n n n
" Lim. diverses
IV. FONCTIONS CIRCIILAIRES DIRECTES. T. 40 a 107.
Circ. Dir. rat. ent Lim. et —
" '/ // fract. a den. raonome v n n n
n n II II n n binome n n u u
II II II n n n compose n n n II
II 11 irrat. " » " d'un /act. monome n n u n
II II II II " ti de deux fact, monomes h n » «
II II 1 II n II ii fact, binomes » u n n
n,
II II rat. eut. a un fact Lim. et —
54. " I' n an. Fact. Sin. "x et un autre i, •/ f n
Page 6.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42. F.
43. //
44. '/
45. //
46. F.
47. "
48. //
49. //
50. //
51. //
52. '/
53. II
\
SO-MMAIKE DES TABLES.
55. F. Circ. Dir. rat. ent. Fact. Cos. "x et uii autre Lim. et -
2
56. " '/ '/ " " . Produit de deux puissances u n n h
57. " '/ /' " " . Trois fact. Sin. ou Cos n » » n
58. // '/ * '/ '/ . Fact, tg "x et autres n » v n
59. " " " " " corap. ^ arg. Ujx n n n »
60. " " " " " >i II autre arg. monome n n n u
61. // /' " '/ '/ '/ '/ arg. biiiome n n n n
62. '/ /' '/ ■' fract. ii num. raoiiorae et den. Sin. °x , Cos, "x . . n n '/ "
63. II II II II II II II II II autre d^n. monome . . n n n «
6'!. " " II II II II II binome et den. monome n n » n
65. " " " " " '/ den. '/ de 1'''' degr^ n n n n
66. '/ " " " " // // '/ de plus haut degre ... nun n
67. II II II II II II II puissance de binomes n n n n
68. // '/ // '/ n II II produit de monome et binomes . . « // // //
69. " '/ " " // II a trinome n n n n
70. '/ /' // '/ II compos. ;\ arg. igx n n n u
71. » " '/ * // // // autre arg » n n n n
72. // '/ '/ irrat. ent n n n »
73. H 'I II II fract. ;\ den. monome „ i, n „
74. '/ '/ " " // '/ // binoinc du l'^'^ degr^ » » n n
75. // // II II II II II II du %'^ II II n II II
76. II II II II II II II produit de monome et binomes . . n ■, „ „
Tl ■ " " " II II compose'e n n n n
78. '/ // '/ rat. ent. monflme Lim. et tt
79. " II II II II trinome „ „ „ „
80. " '/ II 'I II composee n « n »
81. II II II H fract. i\ d(5n. monome «/ « » «
°*. * " " " II II II binome de l""" degre n i, n »
83. H II K II II II II II II 2'^ II /' " " "
84. // * " " // // // ;\ un fact, trinome ■, „ ,i »
85. " '/ '/ // » II II H II II II et autres
86. '/ /' // irrat. «
87. » '/ // rat. ent Lim. et In
88. II II II II fract. ik d(5n. monflrae et bin6me n n n n
88- " " " '/ '/ // // trinfirae i\ Cos » n » »
Page 7.
'/ //
// /' //
SOJIMAIRE DES TABLES
90. F. Circ. Dir. rat. fract. Ti den. trinome u Sin. et Cos Lim. et 2?!
91. « " " irrat. " u n u a
92. '/ " '/ fract Lim. - et —
4 2
7T vr
93. " II » Lim. et -
2 2
94. /' " " Liin. p 7r et qn
95. " " " Lira. et 1
96. " '/ " rat. cut. ti uii fact Lim. et co
97. * " " '/ // // plusieurs fact u n >i »
98. // " '/ II de forme fract » n n »
99. " II II irrat. » n n »
100. " '/ '/ rat. ent. ;i un fact Tiira. — x et :y:
101. // // II II II II deu.x fact « // w *
• ^
102. « " '/ II Lira. - et »
2
10-3. /' '/ // Lim. et />
104. " " . '/ irrat. fract Lim. et X
105. " II II II ent. Lim. A et ,11
106. " " '/ '/ fract. :\ den. rat /- nun
J07. « '/ // // // II II irrat
// /' //
V. FOIVCTIOIVS CIRCCLAIRE.S IIVVERSE.S. T. 108 a I 10.
108. P. Circ. Inv Lim. et 1
109. '/ // " Lira. et 30
110.// '/ // Lim. diverses
VI. DIVERSES FO!VCTIO!V.S. T. 1 I 1 .
111. r. diverses Lim. diversea
PARTIE DEUXlKMi:.
VII. FOlNCTIOiVS ALGEBRIQIES ET EXP0.TE:\TIELLES. T. 112 ;'l 150.
il~- !■'■ Alg. et Expon l.iin. et J
11 .J. /' // rat. ent. • /' /' raonoine e°^ lAm. et oo
l^l-- " " " " * // '/ c^'-''' pour i special ... //•//»
ll-J- " " " " r II II II II II genera' . . n u m >.
Page 8.
116
117, -
US. .
119.
1-Z:i. .
l-Zi.
123. ,
\ir,.
127.
12S.
129.
130.
J.'Jl.
132.
13:5.
131.
135.
136.
137.
13S.
189.
14.0.
111.
142.
143.
144.
145.
lie.
147.
148.
149.
150.
sn:^niviKE des t.vules.
F. Alg. rat. ent. et Expon. raonoine d'autre forme Lira. et »
" monome // /' bin. (?"•'' ± 1 en deii. Num. alg. . . « /- w «
" /' // f/ f // // /' // // " . /' . // et exp. . " " '' "
rr II II II (e"-''"il) ■* en dun n u n n
II n II II £"^±6""^ '/ " . Num. alg. . . II II II II
II II II II II II n II II . II //etexp. " " ' "
// // // (e"^±e— a-^)^ ,'/////<
' '/ II binome // // " en den n u h »
■I II II II II polyn. en den. Num. alg •■ n n n
I II II II II n II " . /■ // et CXp. . . 'II II II
'■ fract. ^.den. monome " " monomeennum ,■ ■■ i, n
" " " " .B" pour a spec. " « polyn. // /' n . n r h
'I " /' " /' // // // ffener. " // " i> n n n i> n
' ' ■ " " X dr- q " I, moniime n n h n
'I ' '■ " " .(,'* '^ if' " " " ■ '■ II II
■■ " (d^^q")'' II ii II II II II II
" " autre den. « // /' r n n n
" '/ " d^n. prod, de polyn. " " « n h i> n
" " " -v l)iii. (;"-^± 1 enden.ilun terme . . -■ /' " /■
" " " monoMie // // h » n plus, termes .
" " " " // e"^ dz e—°^ en (I6u „ , , ,
" " " " " " " " trinumeen den ■'/inn
" " " " " binonic /■ // binome /' " n n n »
irrat. ent. /- n n n n n
fract. " // II ' I) II II
lat. ent. // // sous forme irrat ■■ n n n
" " " " // monoinc Lim. — v. ct :^
" ' " " X I' II binc^meendcn // ,- ,/ .
" " " " " II polynome en dcu " „ „ ■■
' II II I, II n
" fract. „ ,1 deu. il fact. .f«
" " " " " sans fact. A'*'
" irrat. „ „ , ,
" " Lim.div. Oety
" ' Tiim.div.;.)et± r
Page 9.
WIS- EM >.ni(llK. VK.llll 111.11 Kn\|Nhf VKVntMlK. i.i;n I\
SO.MMAIKK DKS TABLES.
VHI. FONCTIONS ALGEBRIQIES
et ho"
151.
F
Alg. ral
. ent.
152.
//
//
"
fract
:\ den. mon. ou b
153.
//
//
ff
II
'/ autre den.
154.
//
n
//
u
'/ d&. binome
155.
//
II
n
M
II n II
156.
//
"
If
1/
II II triiiome
157,
//
n
ff
II
" " bin. xrt.h
158.
//
//
tf
II
" autre d^n. binoir
159.
//
ff
ff
II
" den. trinorae
160.
//
ff
ff
II
101.
'/
ff
//
If
162.
f/
u
irrat. cut.
163.
V
tt
ff
fract.
161'.
//
n
ff
If
165.
//
ff
ff
ff
166.
//
ff
ff
ff
167.
//
"
rat.
ent.
168.
//
ff
ff
ff
169.
//
ff
ff
ff
170.
//
ff
ff
fract.
^ den. inonome
171.
//
ff
ff
tf
" " 1 ± a;
172.
//
ff
ff
ff
// '/ \-iz3fl
173.
//
ff
ff
ff
II II II
174..
//
ff
ff
ff
II II trin6me
175.
//
ff
ff
ft
'/ " prod, de fact
176.
//
ff
ff
ff
'/ // // // II
177.
f/
"
irral
. ft
178.
//
n
rat.
179.
//
ff
ff
fract.
a den. xP
180.
//
ff
ff
II
II II binome
181.
w
ff
ff
II
II II II
is-z.
f/
"
ff
II
II II {a±x^Y
183.
//
ff
ff
n
II autre den.
184.
f/
ff
ff
II
// // "
185.
n
ff
irrat
II
Pa
sre
10.
// '/ //
If It M
„ tf ff
If If ff
ET LOGARITIIMES. T. 151 a lUl.
en num Ijim. et 1
,/ ' Ix
// rf II
" " {I'^r, m'
. ' [uy, (by, (i.v)\ [ixy. . .
II „ [l.cY pour a special ....
II a " f, ,1 general ....
// 'I " ti II II , . . .
II " de forme div. Ti un fact. .
'/ 11 II II :i " deux "
// ■/
II II Ix
" (Z.c)"
" " de fonct. ent
" " // u fract
// den. ix
" " (^-'t
// „ de forme a ± (Zj-)' ....
" ' Ix
'I " [l-^-)' " '■ " "
,1 ., de forme 1 ± {l.v)'' .... ,-„//"
/' // .... H II II II
II II Ix ,1 II II II
„ II d'autre forme » « „ »
(/ II II II II „
II " sous forme irrat .i n « „
Lim. et CO
(IxY „ ,, II ,1
d'autre forme „ „ n «
// // // II
Ix II a II II
d'autre forme » u « «
II 11 II
II II II
186. F,
187. .
188. "
IS'J. »
190. »
1 92. l\
193. "
19i. '/
195. „
196. „
l'.»7. .
19S. ,
199. .
200. „
201.
202. "
203. „
204. «
20.'i. .
206. "
207. "
205. »
209. »
210. .
211. ;
212. "
213.
211.. V
215. •
210. '
217. '■
218. "
219. "
220.
Page
I\.
Alg.
SOMJIAlllE DES TA15LES
Alg. etLog. de fonct. irrat Lim. et oo
" '' " Lim. 1 et 00
" " " Lira.div.Oet^
" " // » ,, pet q
* " de Log Lim. et 1
' « " " " Lim.O ou 1 et n
FONCTIO\.S ALGEBHIQIIES ET CIUCULAIRES DIRECTES. T. 192 a 255.
etCirc. Dir Lira. et 1
" rat. eiit. „ „ „ Lira. et v;
// /' fract. ii den. x * » "en imm.d'un fact, mouome ... « « ■• «
" » II 1 " " II II " I' II de fact. diir. monomes. . « « » „
" " " " ' II II " II 'I poly no me » " " »
» " u II II ajopouraspecial » // « « „ moiiome d'uu fact. ... u n •, ,■
u " " " II II , „ '/ II I, ■! II I, II de fact. diff. . . » u n ,i
,1 " ' I, " I, I' a II II » II u 1- polynome n i „ u
n If II ' '■ •' " .geucr. / /. » „ , monome d'uu fact. SinJ'x. " " " n
,1 » » ' n a " ' ■■ II " II « « II II II Cosfix »
■ II I, H ■ ,, , u ,. " de fact. did". . . , , n „
» ' " a±X r , II II „ „ „ „ „
" " ■' " ./ 1 ± .l' * 1 II II II u " u I' II
" a- -{- .1- ' II II I, u l\ uiic fonct „ » » ,
// It II 1/ H d- X~ II If II II II " „ u t „
" II « II a^x'' II „ ,1,1 „ II , „ n tt , ,
" a " II ' (a ±.7:'')'^ II II a II „ II ,1 II II , n g
» " " /' II biuuine » * n « » « plus. ' » » » »
' ' II trinOme » » » » , monome » » , "
quadrinome •• « - « « »,*,
• " • , prod. d.mon.et bin. « ". * »»«»
" " « » « "poiynomcs , » »» « , , , n
'•'»'» ;r , II « II (ieu. monome Cos. x (Yal. pr.) » * • »
* » " " . 1 -j- .r' « II , 1 I, II Sill. X • « . » » » »
""•"•l-j"'^ » 1 ' ' " " Cos. .r <r » . » » » ,
■I ' II t ' a'' -\- xl/ »»»»» , ',.*»,*
Hum (a' — .r').r » » » » » -. »»..»»»
'■ « „ ' X ,1 , « ' • trinome » » , .
1 u II binome „ » » » » , a -\-bCos.x -\- c . » • . »
II. 2*
SOMMAIUL DRS TAIJLKS.
221. F. Alg. rat. fract. h. lUa. bhiorae etCirc.Dir.eii num. trinome a — b Cos. x -j- c. Lim. et oc
222. // " * It I, „ polynome « « i> « ,< « « ,•
223. " " irrat ent. » " " ",/„,/
224. „ H / fract. fi don. iZ-i; " " " en num.monumea unfact. circ. de j; " /- » .
225. » ,, /. " " /. iT^i/ii- • , • " ■' " " // , " » " " /. » ..
226. u " a « -' monoine " » » " " deux " ' „ » " « » „
227. a r „ , a „ „ ' ■• i, „ " „ binome '',..-„
228. " // » // . -/ » » » „ circ. de .r ....
X
229. II I, „ • // autre den. ,/ // «■ » » « „ „ n
230. // " , d(in. binome /. » // n ^ circ. de a; . . . « an i,
X
231. // " '/ ;/ " /, // II d(Jn II II II a
232. II rat. " „ , u i, num. Sin. x Lim. — cc et «:
233. " // " f, II „ I, II II Cos. X " n II '
234. /' " * " " „ „ „ „ d'autre forme ... " « „ «
235. II II fract. « „ „ Sin. x Lim. 1 et oc
23C. ■/ " // » » „ Cos. X II I' II u
Vil. u I, rat. ent. n , „ cii dt'n Lim. et -r
4
238. ,, " ' ■• ■ " . .. ent Tiim. et -
2
239. ,/ // „ „ „ en den. raon6me n ,. « «
240. ■' " " >• II II „ „ binome n u „ ,r
241. /' " „ »■ „ d'autre forme .... n ' n n
242. "«■•'• sous forme irrat. h den. monome . - " "
243. " '' » „ " « /' n „ I, „ polynome . * „ // "
244. /' ./ » * II „ II ent Lim. (• et it
245. " // II „ " " " en d^n. binome a -\-h . . . . " » n »
246. » " // '■ » .' " " » // a — h . . . . II 11 II II
247. " " // " , " ,/ II II puiss. de binome ... " n n i,
248. " , '- . ' rf " „ , trinume 1 — aCos.x-\-h . „ « ■■ "
249. " II " ' II II II II d'autre forme .... n v u „
250. ,/ " /, II I, ■• Lim. et iir
231. II " N II « „ Lim. et y
252. „ » II „ II „ sous forme irrat Lim. et ?.
253. „ - -/ I, „ , I, " II Lim. ). et ^i
254. II II II fract. n ,i » Lim. div./^ et -{- cc
255. " » » ,1 " ' Lim. diverses
Page 12.
SOMMAIKK DES TAIiLES.
\. FOJrCTIOlVS ALGEBKIQUES ET CIRCrLAlRES INVERSES. T. 25('i il '271.
256. F. Alg. r;it. ent. etCirc.Inv.de .r Lim. (letl
257. " fract. sV den. raonome n u h n „
25S. '/ " " polynome » " » » " h. un fact ,r „ i> f
259. " '- // // // " '/ " " " '/ " '/ plus. "....". If II fi f
260. II ' ■' II " ,- prod, de fact. // « n n n n h n •
261. ,■ ■' irrat. " n n u n n • . . . "
262. » ,, fract. » // " d'autrc forme
263. " » rat. ent. n n '/ de *• I;im. et -^
264). ' " fract. :\ den. monoine " " n d » " v « «
265. /' * /r " „ '' binome n n h n » . . - r n h u
266. " " " ,, II u X [q"^ -\- x^) 'I II II If II ' ■. ,
267. f II " u » ' prod.de binoraes « // i, n h // " • •
268. » » irrat. // // u ff n „ ,/ . „
26'J. » " fract. " " " d'autre forme ////./<
270. # " ■• n If II Lim. 1 et a:
271. » II •! If Tiim. diverses
\I. FOIVCTIONS ALGEBRIQUES ET AITRES FONCTIONS. T. 272.
272. 1''. Alg. et autres fonctions l-iin. divtist::
\II. KONCTIOXS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES. T. 275 a 277.
27.'J. F. Expon. et Log.. Fouct. eut Liiii. U et -a
274. ,, " polyuume en den. // // en num. he , ,, „ ,
275. II n ,1 I' II II 11 If /(/'• ± .''^j
276. » " // // Lim. — x et :/:
277. • , H If Lim. diverges
XIII. FONCTIONS EXPONENTIELLES ET CIHCILAIRE.S DIRECTES. T. 278 il 21)S.
27S. F. E.Npon. e±<'* et Circ.Dir. ent. ii un fact liim. (t et :/:
279. .■ ' „ ,1 „ ,1 '■
280. •• t'-o-^' " " " " . .
281. ' ' end(5n.binr)iiic!ie\p.t'±''-' " " " en num.
282. n » ■' a ,1 „ • ' etennum." //«««... ...
283. 1 . - num. c— '* " " » " ddn. trinfime ....
284. » " (I'tn.i- ou li"'* d'autre forme
Page 13.
SOMM.VIRE I)i:S TVBLKS.
2S5. F.
286.
//
287.
/'
288.
n
289.
290.
tf
291.
11
292.
ff
293.
//
294.
//
295.
//
296.
'/
297.
f*
298.
/'
Expon. d'autre forme
'/ Ji e.xp. circ. dir.
en den. polynome
fi II II
II num.
et Circ. Dir Liin. ct r
II II II ent Liin. — cc et ac
// It
II II
/' en den. Sin. 2.t
" - // a une autre fonct. monome
// // II If plus. " " . . .
" " num
" " d^n
" " // trinome
" de forme irrat
jim
et
2
n
ff
ff
If
"
ff
ff
ff
//
ff
ft
ff
//
ff
If
If
//
"
ft
"
n
ff
ff
ff
n
ff
ff
If
II II II II
H I, II II Lim. et 3T
I, I, „ II Lim. — _ ct v>
II I, I, ,1 Liin. diverses
XIV. FONCTIONS EXPONENTIELLES ET CIRCULAIRES INVERSES. T. 299.
299. r. Expon. et Circ. Inv Lim. et cr
XV, FONCTIOIVS EXPOIVENTIELLES ET AUTRES FONCTIOiVS. T. 500.
300. F. Expon. et autres Fonctions Lim. et oc
XVI. FOIVCTIONS LOGARITHMES ET CIRCULAIRES DIRECTES. T. 501 il 505.
301. F.
Log.
302. //
ft
303. "
II d
30i. "
// f
305. "
ff 1
306. "
ti f
307. "
ff t
308. "
„ ,
309, "
II t
310. '/
If I
311. "
II 1
312. "
n f
313. "
If ft
314. 11
ft If
Page
14.
et Circ. Dir
// deCirc.Dir. ennura. (I Sin. ax)''
II u (I Cos. ax)^
II " (Z tg.ax)^
II II I Sill, ax, I Cos. ax n "
II II (lSin.ax)^,)lCos.axy' " «
// '/ I tg.ax II /'
(Z tg.ax)f' u 11
I tg.a.t n II
(I tg.ax)'' u II
I tg.ax II "
(Z tg.ax)'' II II
II II
II 1/
II It
n
,
II
ent
fi
If
If
If
u
fi
d'au
re
forme . .
f
rat.
en d
ill.
monome .
If
II
"
//
/'
ff
II
If
//
"
ff
ff
fl
If
"
"
It
ff
fl
binome .
ri
ff
ft
ft
//
If
fl
It .
fl
iv fact. mon.
et
bin.
ti
If
„
'/
// /' //
ft
// ,
Lim. et 1
Lim. ct oc
Lira. et
4
/' // If II
II ft If It
ft If ff If
ff If ff II
ff If ft ff
If ff ft ff
ff 't If ff
If ff If If
ff ff ff ft
ft ff fl If
If ff ff ff
SOM.MAIRE DES TAULES.
315. F.Log.deCirc.Dir.en!ium./<y( . -f .f ) etCirc. Dir. rat. en deii him.
■ilG. " /' " " " " '/ cFautre fonnea uiifact.v " » » u •> »
317. " " " '/ " " " i'l cleux fact. " v //»»*.> w
;}18. " " " // " /' " Log. de Log. n v // u „ i, w
•'ili). '/ " II II II II II {llg.xY " " " en den. irrat n
tiiJO. " " " " " " " d'autre forme » » nun « n
'6'Z\. II II II II II II den.fonct. inonomc " " '/ eiit «
."522. " " " '/ " II II II II II II II en den. raonoine "
323. " " II II II II II II II II II " " " d'autre forme ... "
324'. " " '/ '/ '/ " I' " biuume " " " cnt //
325. " " " " " " " '/ " " " " end^n.rat. monome ... «
326. " II II 'I II II II II II II II 'I II " irrat. n ...»
327. " II II 11 II II II II II II II II " " " coroposee ... "
328. " // sous forme irrat. « // n "
329. " " de Giro. Dir. » u n d'autre forme . ^ //
330. " " '/ " '/ en num. ISin.x- » » " ent Lim.
331. '■ '' '' " // '' '/ I Cos, X fi II II If //
332. " " " " " " " .Pr.de/5tH..rctiCos.,r'/ // « «
333. " " " " " " " {ltil„Vj" II II II n II
334'. '/ " et Giro. Dir.. Log. de Circ. Dir. d'autre forme sans fact, circ /-
335. " '/ " '/ '/ II II II II II II avec // // "
33G. II II vwwMm. {I Sin xY et Giro. Dir. rat. en den. monome .... •/
337. " " " '/ (ZCos. .1')" '/ " " II 'I II II .... //
338. " " " '/ (Itg.x)" n II II II II II u .... /'
33'J. // " n II d'autres fonct. cut. // " " nun n .... //
340. " /' '/ // de fonet. fract. « " " nun n .... «
341. " /' '/ " . Produits n n n n n n n .... n
342. n // V // de circ. monome '/ « // « " « binume .... n
343. " '/ /' // // // binome « n n n n n n .... n
344. /' // // II tt a II n n n puiss. dc binomc. . "
345. n II " // ,/ ,/ ,/ „ „ „ ii fact. bin. ct autre. *
346. " /' « // // // // /, „ // trin6rae ....
347. " // " n de circ. monOme // » // de forme irrat
348. '/ " // '/ // // polynfime // n n n n « n
349. " n sous forme irrat. n „ „ ,,
350. '/ " cndifn. monome « « « «
Page 15.
et X
4
// // //
// n n
It
u
n
tf
n
It
/f
f
H
II
//
ft
rr
//
If
ft
u
1/
"
//
tf
//
tf
If
ff
tf
tt
ff
ti
tt
ct
// // II
II tt It
It tt II
I* II If
ti If n
It II It
If It 'I
If If It
If It It
It tf n
II It It
ft tt It
If *i V
n It It
tt /' //
" II It
II ti II
f f tf
so MM VIRK DES TMil.F.S.
;351.r. Log.euden. binome <7 ± (?5i«.ir)^ et Circ. Dir Lini. et -
352. /' " " // d'autre forme biiiomc // // * n » h u
353. // " et Circ. Dir.. Log. deCirc.Dir. sans fact, circ Lim. et -n^
354. » » II I' " II avpo II II ' " ' II
355. " '■ de etCirc. Dir. fract n > r „
356. • , „ ,- [,im. Oet 2n:
n IT
357. ■ (^'i/-i) " * " T>im. et ^
358. /' " [Itg.x)" pour a special u " " » « " u
359. "'11 u II general „ " " n " u "
360. ' " en den. * // •/ n i „ n
361. " / " /, " Lim.Oetp.T
362. II .1 I. Lim. et ;.
IT
363. « '■ II '■ , Lim./. et v
36 1. ,/ „ ,/ Lira. A et ,«
365. " ■ u II 1 Ijim. diverses
XVII. FOiVCTIO>,S LOGARITHMES ET CIRCULAIKE.S IiVVER.SE.S. T. 506.
366. F. Log. etCirc. Inv Lim. et 1
XVIII. FONCTIO^V.S LOG.iRITUilIE.S ET AIITRE.S FOJVCTION.S. T. 507.
367. F. Log. et autres ronctioas Lira, diverses
XIX. FONCTIONS CIRCl'LAIRES DIRECTES ET CIRCIILAIRES INVERSES. T. 508 a 574.
368.F.Circ.l)ir. ent. et Circ. Liv Lim. Oet |^
369. " " " fract. // ,i « « ,■ ,.
370. " ,/ " ent. '■ » « Lim. et tt
371. 11 " // fract. a d^ii. monome •' „ « " „ " ,
372. II " u , „ " polynome ■- • " .,»////
373. ,. ,. , u « Lim. et 27r
374. " ' II II II Lim. diverses
XX. F0I\CT10>S CIRCILAIRES DIRECTES ET AUTRES FO.NCTIOIVS. T. 575.
375. F. Circ. Dir. et autres Fonctions Lim. diverser
Page 16.
SOMMAIRE DES TABLES,
PAIITIE TROISIEME:
XXi. FOKCTIOIVS ALGEBKIQUES ET EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES. T. 576 A 385
et Expon. raonome
376. F. Alg. eut
ii77. . "
et Log. Lim. et 1
• " Lim. et »
378. "
379. "
.380. '■
381. /-
38-2. "
383. "
fiact. a den. rnonome et binume
>/ I) II puiss. de biuome
rat.
irrat.
n II
en d^n. polynome
" Lim. — oc et 00
" Lim. diverses.
XXII
384,. F. Alg. rat.ent
385. "
386. "
387. "
388. "
389. "
390. /'
391. '
392. //
393. II
894. '/
395. "
396. '/
397. "
398. "
399. /■
100. II
FOIVCTIOIV.S ALGEBRIQIIES ET EXPONEiVTIELLES ET CIRCCLAIRES DIRECTES.
T. 384 a 400.
et Expon.
et Circ. Dir.
a;" pour a special
e+'"
monome
polynome
fract. ^ den. x
II II x/a,
,, // a-* -j- a*
irrat. ent.
" fract. Jiddn. \ .r
" '/ 5 autre d^u.
e-x-^
g-axS
d'autre forme "
enden.binome -
monome "
"
II
K
en num. «
II
// II II
II
enddn. polyn. '■
■■
// monome
// (F.polyn.en num
Lim. et -r
Lim. et X
'/ /• If I'
ff ff It •'
f n ," /'
H « V //
// // tf n
// // ft 'I
" It II H
II N If H
II n II II
If If II fl
II
n
X.MIi. FOIVCTIONS ALGEBRIQUES ET EXPONENTIELLES ET CIRCULAIRES INV
Mil. F. AIl
et Expon.
etCirc. Inv.
II H tt I'
II It II II
/. II II II
Lira, diverses.
ERSES. T. 401.
. Lim. et »
XXIV. FOi^CTIONS ALGEBRIQIES ET EXPOIVEIVTIELLES ET Al TRE.S. T. 40'2.
402. F. Alg. et Expon. et autres Fonct. ^. . . . Lim. et co
Page 17. '^
WIS- E?( NATUinh. VI an hkii i%om>kl AKAnF.jiiF. ueei, IV.
soMMviKi; i)i:s r \bles.
XXV. FOKCTIONS ALGEBRIQITES ET LOGARITHMES ET CIRCIJLAIRES DIRECTES
Alg. rat. ent. et Log
" " fract. adeii. biiioine " "
" " '/ " autre den. " "
etCirc. Dir.de Log.
" '/ fract.
" irrat. •/
// rat. ent.
//
V
en
denJ.F
//
//
//
//
//
// y/lo)
//
//
//
//
//
^^q^-\-{Lvy
//
//
//
'/
"
// // // //
//
//
// // .
// //
// //
de
// '/ // //
ff II II II
II II II II
II II II II
n n II If
"If II
n
Liiii. et ,
Lim. et ^
403. F.
1.04. '/
405. "
406. "
407. "
408. II
409. //
410. //
411. //
412. //
413. //
414. //
415. /'
416. n
417. "
418. "
419. //
420. //
421. // /' '/ // // II II II Lim. diverses.
XXVI. FONCTIOIYS ALGEBRIQUES ET LOGARITHMES ET CIRCULAIRES INVERSES. T. 422 427.
//
fract.
II
II
II
//
ent.
II
II
II
//
fract 5. den
:r«
II
II
"
// //
ti
6^±^2
II
II
de
//
// //
N
II
II
II
//
//
// //
It
II
II
II
lax
//
// /'
tf
6" + .c''
II
II
/'
" //
autre den.
II
II
II II. Den.a!*+{/Cos
et '/
et "
// //
'/ monome .
" polynome
1.405—121
. Lira. et 1
xY
. Lira. et TT
. Lim. et 00
// // // //
'/ n II II
II II II II
II II It II
II II II II
Lim. — X et X
422. r. Alg. rat.
423. '/ // irrat.
424. /' //
425. // //
426. '/ //
427. II II
etLog. en num.
// // // //
// // // den.
et Circ. Inv Lim. et 1
// // 1/ II II II
II '/ II II
Lim. et CO
Lim. 1 et 00
Lim. diverses.
XXVII. FOiVCTIONS ALGEBRIQUES ET LOGARITUIIIES ET AUTRES. T. 428.
428. F. Alg. et Log. et autres Fonct Lim. diverses.
XXVIII. FONCTIONS ALGEBRIQUES ET CIRCULAIRES DIRECTES ET CIRCULAIRES IIVVERSES.
T. 429—434.
429. F.Alg.
430. // //
Page 18.
et Circ. Dir.
et Circ. Inv Lim. et g-*
// // // Lim. et TT
SOMJIAlllE DES TABLES.
iil. F. Alg. rat. fract. etCirc. Dir. etCirc. Inv Lim. et »
432. // // irrat. " h, den. binome /////- „ „ v // « // »
1.33. /' " /' '/ '/ autre den. t, „ „ n n ii " w n n
l'3t. " // // /' /' „ ti ,1 Lim. di verses.
XXIX. FOXCTIONS ALGEBRIQUES ET CIRCl LAIRES DIRECTE.S ET AUTRES. T. 455.
t35. F. Alg. et Giro. Dir. et autres Fonct Lim. et «
XXX. FOiXCTIOIVS EXPONEIVTIELLES ET LOGARITllMES ET CIRCCLAIRES DIRECTES.
T. /i56— 440.
t36.
F.
Expon. inondme
et
Lio
437.
//
// //
11
//
133.
//
/' en deu. binorae
II
//
1-39.
//
//
II
//
U.(t.
//
II
//
et Giro.
Dir. eut. . .
ir
. . Lim. et -^
// //
// fract. . .
II n II It
// //
II II . .
If II If II
// //
II ....
. . Lim. et 00
// //
//....
Lim. diverses
WXI. FO>CT10N.S EXPO>EKTIELLES ET CIRCI:LAIRES DIRECTES ET CIRCILAIRES
I!>VERSE.S. T. 411.
III. F. Expon. et Giro. Dir. etGirc. Inv Lim. et x
.\XXII. FONCTIOIVS EXPOIVENTIELLES ET CIRCIIL AIRES DIRECTES ET ATTRES. T. 44'i.
ti^. F. li.spoM. et Circ. Dir. et autres Fonct Lim. diverses.
XXXIII. FONCTIOIVS LOGARITHMES ET CIRCILAIRES DIRECTES ET CIRCULAIRES
INVERSES. T. 443.
I t3. F. Log. etGirc. Dir. etGirc. Inv Lim. diverses.
XXXIV. FOIVCTIONS LOGARITHMES ET CIRCULAIRES DIRECTES ET AUTRES T. 444.
4H-. F. Log. et Girc. Dir. • et autres Fonct Lim. diverses.
XXXV. FOIVCTIO\S ALGEBRIQUES ET PLUSIEURS FO?ICTIONS. T. 445 147.
K'S. F. Alg. rat. ent. et plusieurs Fonct Lim. diverses.
Its. // " " fract. " " " * '•
117. II II irrat " n n n * «
Page 19. • 3*
ABBREVIATIONS ET NOTATIONS.
M^m. Inst.
Mem. Acad.
Sav. Etr.
C. R.
Comm. Petr.
N. C. Petr.
A. Petr.
N. A. Petr.
M^m. Petr.
M^in. Turin.
M^m. Brux.
Mem. Kasan.
Abh. Berlin.
Phil. Trans.
Verh. K. Ak. Wet.
Handl. Stockh.
Danske Handl.
Overs. Handl.
Gott. Stud.
P.
Bull. Phil.
C.
Gr.
L.
Lira. J mag.
Res. Leg.
Exerc.
Eul. Int.
Calc. Int.
Funct. Transc.
Chal.
Transf.
Transf. II.
Page 20.
Paris.
Paris.
Memoires de Flnstitut. — Classe dcs Sciences physiques ct mathem. Paris.
Memoires de TAcaderaie Royale des Sciences. Paris.
Memoires presentes a I'Acad. Royale des So. par divers Savans
Comptes Rendus des Stances hebdomadaires de I'Acad. des Sc
Commentaria Petropolitaiia.
Nova Commentaria Petropolitana.
Acta Petropolitana.
Nova Acta Petropolitana.
Memoires de FAcademie de St. Petersbourg.
Memoires de rAcademie de Turin. ^
Nouv. Mem. de I'Acad. Roy. des Sc. et Belles Lettres de Bruxelles.
Memoires de I'Academie de Kasan.
Abhandlungen der K. Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
Philosophical Transactions.
Verhandelingen der K. Akademie van Wetenschappeii. Amsterdam.
Kongl. Vetenskaps Academiens Handlingar. Stockholm.
Danske Videnskap Akademiens Handlingar.
Overs, over det Kongl. Danske Videnskap. Selskabs Forhandl.
Gijttinger Studien.
Journal de TEcole Polytechnique.
Bulletin de la Societe Philomatique.
Crelle, Journal fur reine und angewandtc Mathematik.
Grunert, Archiv der Mathematik und Physik.
Liouville, Journal de Mathematiques pures et appliquif'es.
A. L. Cauchy, Mum. sur les integrales definies prises eiitre des
limites imaginaires. Paris. Debure. 1825. 4". 69 Pages.
A. L. Cauchy, Resume des Lemons dounecs :\ I'Ec. Polyt. sur le
Calcul Infiuit<5simal. T. I (et seul). Paris. Debure. 1823. 4'. XII et
172 Pages.
Cauchy, Exercices Matht'matiques. Paris. 4''.
R. Dedekind, Ueber die Elemente der Theorie der Euler'schen Inte-
gral. Gottingen. Huth. 1852. 4'. 23 S.
Euler, Institutiones Calculi Integralis. IV Vol. Petrop. 1792 — 1794. 4'.
B. J. Feaux, De functione transcendente, quae littera T ( ) obsig-
natur; sive de integrali Euleriano secundae speciei. Monast. Coppen-
rath 1844. 4". 43 Pages.
Fourier, Theorie Analytique de la Chaleur. Paris. Firmin Didot. 1822.
4'. XXII et 639 Pages.
Ph. P. Helmling, Transformation und Ausmittelung bestimmter Inte-
grale. Dorpat. Laakraan. 1S51. 4'. 35 S.
Ph. P. Helmling, Transformation und Ausmittelung bestimmter Inte-
gral mit besonderer Riicksicht auf grossere Werthe der Granzen und
implicirten Constanten. Mitnu und Leipzig. Reyher. 1854. 4"'. IV
und 146 S.
\BBRtVlATIO.\S ET >0TAT10.\S.
llefr. Kramp, Analyse des refractions astronomiqucs et teirestres. Leii'zic.
Schwickert. 1799. i\ XX et 210 S.
Probab. Laplace, Theorie aualytique des Probabilites. Paris. Courcier. IS 12.
4". 465 Pages et quatre Supplements.
Exerc. A. M. Legendre, E.xercices de Calcul Integral sur divers ordrt-s de
transceudantes et sur les Quadratures. 3 Vol. Paris. Courcier. 1811 —
1818. i".
Int. R. Lobatto, Lessen over de Integraal-Rekening. 1. 'sCJravenh. \ an
Cleef. "VI en 466 Bladz.
Adn. L. Mascheroni, Adnotationes ad Calculem Integralem Euleri. Tioiin.
Galeatis. 1790. r. 72 Pag.
Int. Def. A. Meyer, Expose ele'ment. de la Theorie des Integrales detinies.
Bruxelles. Muquardt. 1831. 8". 513 Pages.
Int. Moigno, Legons de Calcul Integral. I. Paris. Bachelier. lSt-1. 8'.
XL VIII et 7 S3 Pages.
Def. Int. H. Mosely, Definite Integrals (Encycl. Metropol. Re-issue). London.
Griffin. 1849. 4'. 54 Pages.
Ausw. M. Oliin, Die Auswcrthungsmetlioden bestimmter Integrate, so wie die
Theorie der Reiiien und der Integrale des Eourier. Niiinberg. Knrn.
185-2. S\ XII und 437 S.
Chal. S. D. Poisson, Theorie matheraatique de la Clialcur. Paris. Bachelier.
1835. i\ 532 Pag. et Supplement. Paris. Bachelier. 1837. 4'. 72 Pag.
Int. J. L. llaabe. Die Integralrechnung. Ill Th. Zurich. Orel!. 1S39, 1S43.
1847. S\
J. 15. Funct. J.L.llaabe, Die Jacob-Bernoullische Function. Zurich. Orell. 1848.4". 51 S.
Mat. Rogner, Materialien aus der lu'iiieren Analysis. Gratz. Hesse. 1853.
8'. XIV und 4G3 S.
Beitr. O. Schlomilch, Bcitriige zur Theorie bestimmter Integrale. Jena. From-
mann. 1843. i\ 103 S.
\n. Stud. O. Schlomilch, Analytische Studien. II Th. Leipzig. Engelmann. IS4S.
8^ 209 und 197 S.
Int O. Schlomilch, Ilandbuch der Integralrechnung. Greifswald. (Otte. 1S47.
8". 214 S.
Hfih. An. O. Schlomilch, Compendium der iitihern Analysis. Braunschweig. Vie-
weg. 1853. 8^ XVI und 550 S.
Samml. J. A. Schubert, Sammlong von Differential- und Integral-Formeln.
Dresden. Arnold. 1845. S\ XIV und 173 S.
Samml. L. A. Sohnke, Sammlung von Aufgaben aus der Dillerential- und
Integral-Rechnung. Halle. Schmidt. 1850. 8'. VI und 338 S.
Transf. A. F. Svanberg, Observations sur la transformation des Integrales mul-
tiples. Ups. Leffler 1845. 4'. 13 Pag.
.\nal. J. Vieille, Cours compldmentaire d'Analvse et deM(?canique rationnelle.
Paris. Bachelier. 1851. 8°. VII en 400 Pages.
Page 21.
ABBREVIATIONS ET NOTATIONS.
A = 0, 577215 664901 532801.... Constante du Logarithme iutugral.
e = -Z. 7I82S1 8231.59 01.5235 360287 471352 C62497 757247 093099 959574
906967 027724 070630 353547 594571 382178 525160 427427 400....
Base des Logarithines naturels.
7r = 3, 141592 653589 793238 402613 383279 502884 197169 399375 1U5820
97491.4 592307 810406 286208 998628 034825 342117 007982 148086
513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284
102701 938521 105559 014622 948954 930381 964428 810975 665933
446128 475048 233786 783105 271201 909145 648566 923400 348610
454326 618213 393607 260249 141273 724587 OOOCOO 315588 174881
520920 902829 254091 715304 307892 590360 011330 530548 820460
521384 146951 941511 609433 057270 365759 591953 092186 117381
932011 793105 118548 074462 379962 74".)567 351885 752724 891227
938183 011949 129833 673362 440050 043086 021394 88.... Circonle-
rence du cercle doiit Ic diametre est I'uniti?.
i = I ' - 1
Sinus hvperbolique^ ^^^ notations ne sont employees. qu\iu-
tant qu'elles portent sur des constantes: elles
ne sont done pas admises comnie argument
dans les tables, mais dans les formnles, oft
elles se trouvcnt, on y a substitue les va-
Cosinus
Tangente
'D^
n, , , I leurs c'ciuivalentes en exiMncntielies.
Lotangente // ' ' '
■o^
le Logarithme naturel
o
le Logarithme integral
TExponentielle inte'grale j
, _. ■ , / , I Ces fonctions sont comprises sous
le Sinus intuKral >
la denomination d' // autres fonctions.^'
le Cosinus integral
^?^ le coefficient i'™'« de la puissance a'""'' du binome.
c"'' factorielle (Notation de Kramp).
B.>p-i coefficient ou nombre Bernoullien.
Page 22.
ABBREVIATIONS ET NOTATIONS.
p r » . » + 1 r'- \
.f ip, q, r) = 1 + '-- 4- ^ ^7 + . . . \
5 1 •} .q + 2 I .2 1
? ?^ f Notations employees par
"/'(?. ?) = +17^+ 1 . 2 . p . p + 1 "*" ■ ■ 1 Kuramer, Cr. 17. 22S.
^ ^^^ 1 r ^ 1 . 2 ri ,'
B'W=,,^-^x-^'+4( T>r^'"~l{ ty^^'"-'^- \ Notations ...n-
( — 1)«— '/2a + l\ I ployees par Raabe
+ ^^ Ua— J^2°-'''' f Cr. 42. 348 et
x^a-hi /2a\ /2a\ I comprises parmi
B"(x)=-—,—ir^« +.M , ) B,,r2a-i_i( ) ]33.r?«-3+... I , , '
^ ' 2"+' \ ' / *\ 6 y ^ I les nautres fonc-
2a \2a — 1/
L (a)= I rfxiCos.x =ai2— l.^" (— 1)" '"' "^ . Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1836. 1.
J a 1 «2
I IP, .() = I ^ — doi.
Jo l/(l-p»5m.',,) *
P«ge 23.
ABBREVIATIONS DANS LE SOMMAIRE DES TABLES.
r.
Fonction.
Alg.
Alg(?briqne.
Exp.
Exponentielle.
Log.
Ijogarithme.
Circ. Dir.
Circulaire Directe.
Girc Inv.
Circulaire Inverse.
rat.
rationnelle.
irrat.
irrationnelle.
(.■nt.
entiere.
fract.
fractionnaire.
mon.
monome.
bin.
binome.
trill.
trinome.
polyii.
polynome.
num.
numorateur.
den.
denominateur.
fact.
factenr.
prod.
produit.
puiss.
puissance.
comp.
compos('e.
arg.
argument.
PaM 24.
PARTIE PREMIERE.
Page 25.
WIS- EN NATIURK. vmil. DKR KOM>KI . AKADEMIK. OEEL IV
TABLES
0' I N T E G R A L E S D £ F I N I E S
PART IE PREMIKRE.
►+»«*«
F.AIs.rat.cnt. TABLE 1. Lim.Oetl.
/" I . 1 Cauchy, Cours Le?. 32. — Plana, Cr. 17. 1. H observe que Cavalleri a trouvc 2)
J " ''■'■ — p ft Wallis 3).
10
i-^dx =
a -h 1
1.
/
f 2"-n (1(1/1)2
/(I— j-M^-lr = 5 Plana, Cr. 17.
J^ ' 2a + 1 120/1
1(1 — .r) ,r/'-'rf.? = - Oisa do Gi-i'sy. Mem. Turin 1S21. 2n<1. I. \'. 5.
f la-l/l
/(I —J.')"-' .r"-l d.r = 2 Eulcr, Calc. Int. I. S. 3. 13.
J (a+L""
/ (1 — .1-)/' ./'-/'(/.r == ;> -^— = / (1 — ,r) '-/';)•/' d.r Oettinpcr, Cr. 38. 162.
/ 2 Sin. prt f
I
(1 —n-y-Kii- ' t/j;
r(p)r((/) Poisson, P. !'.!. K)i N'. 72. — Jacobi. Cr. 11. 307.
r(p-\- ii) J'Innn. Cr. 17. 1. — Griinert. Gr. i. 2fif..
1/'/' 1 Legendre, l''..\crc. 3. 34. — Sciilomilrh,
=- -yr • - pour p et <] onfiers; Gr 4. 23. — Ci?a ilc Gn'sv, M.'m.
*}" V Turin Ks21. I'Oil. I. N". 2.
_ l''_-'^ J''-' ' OcUin-cr. Cr. 35. 13 — Lobat-
- ],> + ,-l;i P"'"^ '""' /' '^' '/. srliew.sky. Mem. Knsan. 1.S35. 211.
'iigc 27. 4*
F. Als. rat. ent. TABLE 1 suite. Lim.Oetl.
■o
U)(n- x]J'-^ X1-^ J V = ^ "^-^ l-P+g +l h.P±9±^ Cisa de Gr%, Mem. Turin 1821.
7 ' ;^f/ ■ p+l.7 + 1 ■ ;) + 3.5 + 2 20'J. I. N\ 4.
C'est rint^grale Eulerienne de premiere espece T^{p,q) ou p'|- Binet en traite P. 27. 123. —
Lejeune Dirichlet, Cr. 15. 25S. — Scbaar, Mem. Cour. Brux. T. 22.
/>"'' r (p) r (?—;>)
12
13
14.
15
17
IS
19
20
21
22
23
24
25
—x)l-P-^a:P-^'^-'^dx=~ ^^ — — Schlomilch, Stud. 1. 24.
' <?"/' r [q)
Ifii-l/l la±i-I/l c
' la + H-24-lil J^ ' I ,^ , •
••• "^ ( Oettinger, tr.
ja— 1/1 16— a-i;i f ' ^^- l*^-
— A-}''-"-'^:"-' dx = — — =/(! — .r)"~' .(•''—"-' cZ.c
' li + '-Zi Sin.pTT J^ '
—x]l>-J' xP-<dx = ^ ^~^^ IJL-=ffl—,r)p-^x''-J'd.
V
Oettinger, Cr. 38 1G2.
\o\\ \qll
■x'')'/x^-"-^dx =
-x'']i x'^" dx =
2 a . I" + V/i
2?/2
(2a-j-l)?+'/2
2'i/2 2'V2
—x-y'x-<' + Ulc==~ — - Ohm, .Ausw 4y.
l»/l Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 1.— Id., N.
—x'>)P .r'?-! dx = 6/' pour ;; et 7 eutiers ; C. Petr. 16. 91. — Kramp, Hcfr. 3. 70. —
'i'' ' Plana, Cr. 17. 1. - Oettinger, Cr. 35. 13.
r{^)T(p+l) p r.|)r(;;) ■ , <■ , Plana, Cr.
= : = , pour q aussi ues fractions: ,, ,
<?r(H-;>+l) qJ^bpY{^+p)^ 17- 1-
1^'' ll/i 1/'/' 1'/'
^0" + '/' 7.ll+'Vi ^(p+,)^/i
, ,• Oettinger, Cr.
pour p et (j entiers; 3. ^g
/
r f 1°/! 1 1
/(.r«— l)(l~a;)idc = IM j — — > Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1835. 211.
2 1«— 1/1
(1— .i;M°-'a;«*-' t/.r =-. -r Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 14.
Z» (a + l)«'i
1
:r«-' iZa- = — Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 17.
a b
Page 2S.
F. Alg. rat. ent. TABLE 1 suite. Lim. Oetl.
..J. , ,.. ,. I <^^' .r 1.2....fl-l Oettiu.
26) /(«''— a'' + ')S.e«-l dx = ■ -r^r^ ==cy.-,-, , r» — o 7,-t < ger.Cr
7 , , ^ X 1 --''^1 a-\-bff.a + bff+c.a+bg-\2c....a + {b+>^gfy^\^
{a-{-bg).l 9
28) / (l_.r)<'-i(l -!-.«'')'-• j:'/'-! dx = l"-"/'!! *^ ) , — — )SchlOmilcl., Stud. 1. 13
J \nj(p-\-nb)"n I
29) [(l-.r;-i(l-.f')'- ../'-' cii; - l-'/l 2 M(-l)'' , \. ,. , a + c > )
30)/ j(l+a;)P-i(l-.r)v-l-)-(l-f,r)7-l(l_,r)y'-iUr = 2/^ + '?-iBfp,j) Bin<t, 1'. 27. 123. N^ 3
F. Alg. rat. fract. a d6n. mon6me. TABLE 2. Lim. Oetl.
[dx
7-°
1)/ — = 00 Cauchy, Cours Le?. 32.
2)1 I -)' .ra-'d.c=-i- = — = \
; 3:1'' a (b—ay/l' a(l— 2)<-/i J
( i prt
3)l( l)Pdx= ^^ — ) Oettinger, Cr. 35. 13.
Sin. p T
J .TP + o
.(1
2<i-Atl/lp4/r5i„.;t,;t
J XI' 2 5m.p7r
Oetlinger. Cr. 38. 162.
F. Alg. fract. a d.Mi. « ± 6a;\ TABLE 3. Lim. ol 1 ,
1
/xP-'dx fp+W i'p\
Excrc. 5. 4.
« (—1)—'
*) = - T rr pour p entier ; Arndt, Gr. 6. 434.
p+n-^l
Pnge 29.
F. Alg. fract. a den. a ± bx^. TAIJLE 5 suite. Lim. et 1 .
f d.c p
3)1- = I -—, »<!: Cauchy, Exerc. 1627. p. 125.
_//)—.!■ 1— p
/I— .1-P-' Lcgendre, Escrc. 4. 50. — Cauchy, P. 28. 147. I. § C. — Cisa
— dx = A -f Z'(/)) de Grcsy. .Mdm. Turin 1831. 209. I. N°. 28. — Lobatschewsky,
^~-^ Mem. Kasan 1835, 211. — Sclilomilch, Gr. 4. 1G7. — Id., Gr.
U. a. — Id., Stud. I (1.
0; ^ ~ ou p cnticr; Cauchy, Cours Let; 32. — Dicngcr, Gr. 8. 451.
« -j- 1
fi)/^ -dx = A + Ik, pour i- = =o Legendre, Exerc. 5. 12.
')/-; a;'-' J.c = Z'(y>4-7)— Z'(r/) Legendre, Exerc. 4. 50.
1 ^—^
/xi - .vP
,_ dx = Z'(14-;;) — Z'(l-fg) Legendre, Exerc. 4. 50. — Schldniilch, Gr. 4. 1()7.
r. f dx 1 ,p + q
9)/—; = -I Meyer, Int. Def. 95.
Jp+gx V p
[(l—xT^^ r(a)rib-a )
n I— pa: '■ ^ ^^ «(a.i>P). i> a> Schaeffer, Cr. 37. 127.
^^^JT^r;^^'— '■^'''^•'' = 7 (p + 2r-V^ Lindmann, Stockh. Ilandl. 1850.
f dx
1~) / J . ^.j = i ■^ Ohm. Ausw. 2. — Raabe, Int. 13n.
l:j)/^^ — — = 1 Z' (^i-l — ' Z'/^ii^ Legendre, Exerc. 5. 16. — Lindmann, Stockh.
7 1 +.7-» ' ' 4 ' ^ \ 4 ■' Handl. 1850.
[xP — xi laA-V /»4-l,
'*)JTI::;T^-'- = i ^^' (^; -i Z'(^j Walmsten, Cr. 38. 1.
'^^/ nrr^ '^r = - ro^c-. Euler, Calc. Int
Poisson, Me'm. Inst. 1811, 163.
,2 ft
PaKP ••Ul.
It. T. 4, S. 3. 7'i. — Id., N. C. P. 10. 3.
Legendre, Exerc. 5. 4.
F. AlfT. fracl. a dun. a ± bx". TAB. 3 suite. Lim. et 1 .
'j l_.e" '^''a a Mem. Inst. ISOO. 416. N^ 45. - Id., Exerc. 2. 44. - Id., ib. 5. 13.
20) /^-Y3^rf.t^= ^ JA — Z'i'-I J Kaabe, Cr. 25. 100.
^ c?.(;=_JA-}-Z'(p-}— I SclilOndlch, Stud. I. 7.
22)/- = — - -r Cos. -i-— i25in. [- - ■^ Stn.—' —
'j I— .c* b I h b ^ b I b [2 b
Lcbesgue, L.
1 * Zqnn^^ nn ,t i Sons- ' lo. 2lo.
b 6»
IJaabe, Int. 146. — Ohm, Aiisw. 14.
7 •^•"+'-1 P + 7 'y + ;'2 ^
.pj ^'"^^•^- l*'v'L 2»+l 2n + l 1
Diencrcr, Cr. 38. 331.
2"+l \\
■^"i^ f f'"~Ta ^ * ^ ' ^^2^11 V ^"^"S^--- '•■•• '^- '''■
K.Alg.iat. fract. ;'. (It:-ii.(rti6a;^)''. TAHLK 4. Liiii.th-il
» M_a_l\ (i)"
— . Lcgtiulrf, Exerc. 5. N'. 6.
n ! a-\-n
AtO— ' (J J- at
"./(l+^cj^a+i ~ 2»''+Arfa+J)i \zJ(^+lj"^'^aTz^''Tbi[Zu + ]j{^i)^i V?'^
Page 31.
F. Alg. ral. fract.ad('n. (rt±6;c^y^. TABLE 4 suite. Lim.Oetl.
o) f : — = Legendre, Excrc. o. N'. 7.
4)/- c?.f= -^^ — -' Legendrc. Eserc. 4. N". 101.
7 (l+.^•)/' r(/))
5) / ~ dx = B {>i,p) Binct, P. 27. 123.
7 (l+.i-)P+'?
6) I = ,7)2 < 1; Cisa de Gresy, Mem. Turin 1S21. 209. I. §7.— Oettinger.Cr. 35. 13.
J (1 — x)P Sin.p n
,xP dx
J {l — ic)P Sin.pjr I
\ Oettingcr, Cr. 35. 13
f .vPdx _JT (
7 (1— .T)P^ ' '~~ Sin.pnj
fxP + ' c?.v 1 + P /O 71-
J (1 — a;)P 2 Sin. p n
} Oettinger, Cr. 38. 162.
f xP + ''d.v (1 +/))<'/• pir \
J (l-a-y>+'^ ~ la-6 + i/lpA/i ■ Sin.pn]
f x'^-^dx (1 +»)«
n)/;— r = . Legendre, Exerc. 4. 118.
j[\J^pj.)a a— I
■ P^ <1
P
—- 1 ,a >1,;^^ — \ ; Schaeffcr, Cr. 37. 127.
7(1 +/'.'•)'' (a-l)(l+p)'^ ^ • '1
Cxi-^ ( 1 — A'>-i r (q) r (») 1
13 / , , , i d^ = ^^ , ^ ^ r Abel, Cr. 2. 22.
7 (.«+aV+'? r(;)+^7) o? (l-|-a)/'
, f^P - 1 ( 1 —x'fl- 1 de r (») r(o) 1
14 / — ^ = ^; , , 7 , ,„ , Schlomilch, Hoh. Anal. 85
'')} (l+a..)^ - = (r^P^^^'^^
.' (!+«.'■)'■ ^ ^1 \\IP+q U^P+'Z ■/' + '?+ 1 ^ '
/■.,;!'-I(l_.l.V-i-l 00 /a\ 6"'l
17)/ -; '- dx = 2: L — 7 5" Scblamilch, Stud. I. 2K
Boncompagoi,
Cr. 25. 74.
Page 32.
F. Alg. rat. Iract. a den. {a±bx^Y. TABLE 4 suite. Lim. et f
, At2p-2 d.v r (.-Zp—l) r (1— ;j)
10)/ = Legendre, Exerc. 4. 117-
f iE«— • dx
'^^) / 7- == -^ Oettin,
7 (l—xl-Y
prer, Cr. 35. 13.
21)/ . \dx = - .1 -^
J \dp^» x-pj
d-" l—p\
dp^"' p
ff d-i"-^ 1 \
Cauchy, P. I'J. oil.
00
f.rP -\- or . , . /. y
;:5)/ ^ —xQ-^dx = - -^:^- -— SS Euler, N. A. Petr. 3. 3.
7 (1 -^a;9^^ «2 '^'^ -?
el — e q
F.Alg. rat. fract. aden. (a±6a;'^)<'.r«. TABLES. Lim. Oeti.
ficP-i +ar-P
1)1 dx = n Cosec.pn Legendre, Exerc. 4. 90
j 1+^
[xV — x^—P dx
2)1 — ; — = 7r Col. p-TT Legendre, Exerc. 4. 54.
J I -\- X X
f.r-l'—l
3)/- dx = _A-Z'(l-p)
J i — a;
fx-l'—x-t
^J/— dx = Z'(l— (j) — Z'(l— /)) p<l; Legendre, Exerc. 5. 3.
/ 1 — X
/x-P —xP 1
— :; dx = - — 7r Cot. p n
1 — X p
fxP—^ — x-P
6) I dx = 7T Col.pjT Legendre, Exerc. 4. 98. — Scrret, L. S. 1.
f/l—x\P dx
7) 1 1 ~ — j = Tt Cosec. p TT, p<^l ; Oettinger, Cr. 35. 13.
, Ar? —xP dx
[{xP—x-P} (x-l—x-l) ^ Sin. ipjT. Sin. 'an
7 — TT^' — ''^ - '" co.:p,+ Coll '"<'■■«'' '■ '■ "• "■■ '''
I ^j p" +-7;? '■"+■' -' '■/.. = ,, <'■"•! P»C...i,.
J l + .r» Cos.pn+Cos.qn^^ '
Legendre. Exerc. 4. 50. —Id., ib. 5. 3. - Stern, Cr. 21. 377. —
SciilOrailcii, Beitr, IIL 'J.
V. T. 38. N^ 14.
Page 33. 5
WIS- KN NATll'RK. VKIlll. DKIl KOMMil. VKAhEJirE HEEL IV.
F. Alg. lat. fract. a den. (adtbx'yx'. TABLE 5 suite. Lim. et 1 .
11
12
13
11
15
16
17
18
1!)
20
21
22
23
24
25
27
-\-X—l' rt p
dj- = - Sec. — V. T. 38. N'. 10.
Eulcr, Calc. Int. 4. S. 3. W. 71. — Id., N. C. P. 19. 30.
l^ ... - ....
; l+.r» 2 2
j :; d.r = - f^ot.<-j- Legendre, Exerc. 4. 98. — Cauchy, P. 19. 511.
fxp — ,i—P n pn
I ~ — dx = — ~ tg. Legendre, Exerc. 4. 98.
y 1 — x'- a 2
/■^;> x~P 1 7t
I —xdx = [- -Cot. .' pit V. T. 38. N'. 13.
/(aP —x—l') {xlA-x-l) — n Sin. p ,t
^ -^ ^- 'dx = -, ~ , P<1; V. T. 38. N^ 18.
1 — x^ C OS. p TT -{- Cos.qn
fxp -\-x^—P dx "■ ^ p-n
I - , = - Cosec. — Eulcr, Calc. Int. 4. S. 5. N'. 155.
y 1 + .l■^ X q 2q
f.vP-9 + xP + ^ dx n (? 'T \
I , : „ = — Sec. ^—
J 1 + x^P cc 2p 2p (
fxP +1 — .xP-1 d.v TT qn\
I — = — — Tang. — )
J l — x'^P X 2p 2pJ
I T _ Sec. ~
I l+x^P1 X 2pq 2q i
■> ' [ Euler, Calc. Int. 1. S. 3. X'. 7
fXPi^-T-'') XPi9-'-} dx "^ rr, '^' ^\
I = — Tang. — )
j i_.^.2p, ^ 2pq " 2ql
/xl — x—9dx T ^JT 1
— = — Tang. — I
xP — ar-P X 2p ^P f
Cx'i-\-x—'i dx TT qn
I = — bee. —
7 .t/'-j-.i— /^ X 2p 2p
f dx n
I = — V. T
I .v^—P-\-x^+P 4p
f 1 dx _ {r(p)]
J (^x + .r-^)-P X ~ 4r(2p)
/x9-p + xP-9 d X , .„ , «
— = T I^ (;?.? V. T. 39. N". 16.
(a;+ a;- !>'+'? x ^ ^' "
[x^P + x-^P dx V iq-\-p) r (q—p)
\ — — = ^ V. T. 39. N'. 18.
j (a.- + .1-1)2'? a: 2r(2 9)
/"^•a k ^^0 fc ^ ^ Q^
I — ■ • — = l-r , pour k = oo ; Euler, N. C. Petr. 20. 59.
J X — 1 X 6 ^
Eulcr, N. A. Petr. 3. .3. — Poisson, P. IS. 295. N'. 22. —
Caucby, Sav. Etr. 1S27. 599. P. 2. § 5.
= — V. T. 38. N^ 8.
2
Schlomilch, Gr. G. 213.
Page 34.
F.X\g.valJi:xcUd(in.{a±bx'Y{a'±b'x'y'x'. TABLE 6. Lim.Oell.
\\\ = _ \l — ^- -I- - piT) Bertrand, L. S. 110.
2)1 = Cosec. grr Lesjeiulre, Exerr. KlIS. — J5oncompagni, Cr. 25. 74.
'I(l-.v)''l+p.c {l-\-p)1
f l—x" dx 1 « 2"
■M I = - 2 — Serret, L. S. 1.
' j (I + .v,'>+^ 1 —.1- 2°-' 1 "
f .i'7-i dx (1 +a)'?-i ^ '<
'f(l—x)1x-\.a a? ^ /
) Abel. Cr. 2. 22.
7(1- •'■)'-'• '•'-• + ;^)' ' '■ r (7 + r) ;,9 (1 + p)r j
7(1— .i-)'-(l +p.r)« Sm. r/r (1 +P)'- o ^ ' \ « / !,«/ \l + p/ Exerc. 4. 119.
.> P+''~^ ^-^^ _ /, -^ ,u-.-p ^li^J^ZLHIilzi.^) Le-endre.Eserc. +. 115.0U
'](l-x)p {l+qxf ~ ^ '^'^' r(r) '• + /'> 1,P<1,:?+1>0.
^)f--'""7' <^-^' ^ _ 'T I P _ <] I Legendre, Eserc.
7(1 — .r)' (l+P-«)(l+?«) (p -?) Sin. rTT 1(1 + p)" (l + ^l^i "^- ^^''•
■7(1 — .r)'-/' a-/' a -6a- {a — by-P aP Sin. p fr iani = 0,
'r. 42.
3.
f 1 diC p<i'i TiCosec.pit '^1 — />.2 — p....c — p — nlc\la — 6\'=lDicn
.' (l-.i^i-W (rt_J.j;)c+i~"lc/i ap(a_J)e-i-/, ^ c+7)-l. '■+/>— 2.... p + n\n/ \ a j ) ^gg
11) / + a.r= — fosec. o t Legendre, Exerc. 4. 137.
j \\ -ifrpx p-\-xl pi
ffxn'—i r.i'--/'— 1\
12) I — Id.v = Ir Stern, Cr. 21. 377.
/ \ 1 — X I — .T"" /
13)1 ; — ^^ ]dx = ln Legendrc,EKerc.4.56.— Stern, Cr.21. 377.— Arndt.Gr. 10
J \l — .% 1 — x^J
f/bx'^—i 1 \ 1 1 '' /
''^j [r-x^ - Tz::rr= -I '''^^'^ + 6 f ^^' (« +
253.
6— _n\
* / I .■Vrndt, (ir. 1(1. 253. — Scbla-
6— «
railch. Stud. I. 7.
,,,/■/ 1 pxP-^\
Ifi) / r — \dx = //) Legendre. Exerc. 5. 12.— Schli.uiilcii, Stud. 1. 7.— .\rndt, Gr. 10. 253.
j \\ — X 1 — xP!
Page :}5.
r. Alg.rat.fract.ailen.(rt±6x-=)''(a'±6V)''V. TABLE G suite. Lim. ct i ,
. 5. 13.
, — a J- = A, p!!ur «== X ; Legendre, Exerc. 5
1^1 iT* 1 XJ
18)/ ^ — + — , 7^-\dx=^2S Cos. na+l)p I ^ ^
' J \l ^ e^P' -r" 1 +£—"/" .i"/ ona+1 I
/ Dieiiger, Cr. 38. 331.
/■/ eP' e-/" \ » ( — 1)" I
10)/ : r \dx=^2^^ —^ Sin. hi a + 1) p \
'J \l + eT' x" 1 + e—"P' .!■"/ " « + 1 J
F. Alg. rat. fract. a den. trinome. TABLE 7. Lim. et I .
f dx In \
^'/l_.^•J_J;2 ~ 3 1/3/
\ Eulcr, Calc. Int. 4. S. 3. § 105.
[ d X ^ I
7 l+a' + .f2 ~" 3t/3]
f dx 1 Sin. X
3^ / = Arcfa. : Euler, Calc. Int. 4. S 5. 4(1.
'Jl — ZxCos.X + x^ Sin. I ^ I— Cos. I
f dx I
A) I = Legendre, Exerc. 4 105.
\l I +2 X Cos. X + X-' 2 Sin. ).
5) / — - — ^ dx = I (2 Sin. ' ).) Eulcr, Cnlc. Int. 4. S. 5. N. 55.
'J 1 — ZxCos.l + x^ ^
f 1 — a;' , ^ iif.,/i,y> iiiiiio- i 1 Poisson, Mem. Inst. IS 11. 103.
6)/ — ■ dx = Cos.XlrZil+tos.i.)] + ^ISin.K — l j., ^l
1 1 + % X Cos. }. + x''-
f XP + X-P , n: Sin.pi. ., T 1 17 , ^,vi
7)1 dx^~ - . , ,p<l; Legendre, Exerc. 4. 103.
./ 1 + 2 X Cos. X+ x'^ S9.n. p n Sin. l
-)/nd7.^4{-r-r)-m-(T)-m!
.T f •^<^-'^ ,,foM o y /trcco^(— p) Cauchv, Sav. Etr. 1827. 5i)9.
"7l-2p^ + ^^=^^^ ^^^'^2St«.{^rcco«(-i.)}'^^ ■' ■ Suppl. 1.
Page .36.
^Legendre, Exerc.
5. 10.
F. Alg. rat. fract. a don. trinome. TABLE 7 suite. Lini.Oetl,
1 §(<■— 1) nani ,fb+c — n\ fc+n\)\ ,,n„r
») - ^.-f'-^'-*----r^'h-)--(~)}) f
Ces deux formules chez Malmsten, Cr. 3S. 1.
, fi — T Cos.X - r' + ' Cos. ia + l)). + x<'+^ Cos. a A , « Cos. n A
J 3) / — ^^ — r — dx= ^ — — —
' ] \ — 1x Cos. A + .^» w 4- ]
) Dienger, Gr. 8. 45(i.
^ fSm. P. — a:" Sin. [a-\-\)X -\- ^r^+i 5i«. a A ;< Sin. n I
16)1 — ;; — ■dx= 2
o n + 1 ;
-' Sin. a ).
(\ — .?• V' ,/
1 — 'i.qxCos.l + <7* a>
[Sin. I— qa x« Sin. {a + 1) A + oa+i .;,. a-t-i Sin. a I
r (p + 1) « (?T (»j) Sm. n I
q 1 I" (," "1" /' 4" 1)| Lindinanii,
> Slockh. llandl.
/"Cos. A — qx — q^.v" Cos. (a + 1) A -f- ^o+i x^'r i Cos. a A [ 1S50. I.
18) f ; — ■ — - — (\ — .v)P d .r =
\-—1qx Cos. I + 7= X
q , r(«+p + l)/
r (jj + 1) « q" r (w) Co5. ?t ;. ,
19) / :; ' dx = i T Kaabe, Cr. 37. 356.
j 1 — .T* +.1;^ ^
6-1 + .^2a-i-I '^ ^«"«- — ^ ^
^^7l + 2:r«' Co.. A + x-^^=— ^ ^"•'^'•' C''''=- I"'- ^- «• - N^- 186.
a Sin.X. Sin. —
a
^. bl
f .^-4- I 4- .^...+4-1 "^ •>"»• —
^^7l + 2^Co,.iT^'^''^ J- Euler. Calc. M. 4. S 5. N^ 191.
a Sin. X.Sin. —
a
)( ^-^^ dx L_^J'i!^
Jl~ZxCos.X-\.a!* Sin. X i n(n +
"'') / 1 ^ :: — r-: r aa' = r: — ^ 2 — Schlomilch, Gr. 4. 33.
Page 37.
F. Alg. rat. fracl. a den. trinomc compose. TABLE 8. Lim. el 1 ,
f .r'+ y' + a;'-/' ^^^ n p Sin. X. Cos. pX — Cos. ).. Sin, p ). Legendre, Exerc.
J (l -i- 2 X Cos. X + .v^y ' 2Sin.p7t Sin^.X •*■ 108.
5)1 "^ ^ Sinlx-oArcta ^ ^''"- ^' \ legendre,
'Jl+pxCos.X + p^ x^ (1— .^•)? p9Sin.qn.Sin:X \ ^ ^' 1 + p Cos. X\ Exerc. 4. 12
6)ff -^ , ^ \^,_ ^L^l^Pl^]
J \l + 2q.vCos.X + q'^ x^ .v^ -\- 2 q x Cos. X J^ q'^ j ??+• «n.;>jr. 5m. i( Legendre.
rr t + g a;Cog.;. _ a? 4- g Co s. ^ 1] n y
, fl Sin. X X \
^) / \r+V;(^r^^~^ ~ ,^r--. ]d.r = Malmsten, Cr. 3S. 1.
lExerc.4.138.
X-\-x' (1 + .0
fu-''-2^Cos.X + x-Pdx ''^'"•\ 5'^'
y .r7— 2Co«..u+a:-<? x c- P'^ q Sin. u
q Sin. ((. iSm!.^
„ , , 7TStn.\p~
lU) / ^^T-T-; = ^ — '- \ iiulor, N. A. Petr. 3. 3.
f Xi
Cos.X-\-x~') .V pn
q Sin. X. Sin. —
1
P —P
xP + x-P dx _ ai — a 9 tt
qX
>l
Sin.
I .vt -\- x-1 d.v ' V
12 / — tt; r— == Poisson, P. 18. 295, N^ 28.
; .rp + 2 Cos. X + .r-P x g„
p Sin. X. Stn. —
P
Page 38.
F.AIg.iiTat.ent.afact.(l— A-)"ot(l— a;')". TABLE 0. Lim. Oet
[ , ''— « n bn
})p«-'-l(l— x)'o dx=^-Cosec.-— Eulcr, N. A. P. I. 2. p. 3.
a a
/l\~i-^nWi fl 2»V''- n- 9cc nil i ^'
/• (1— 2h)V2 2a-i-i7r /"
3) / X— a+/'+i(l_.r)«-/)-i dx = — = Ix^-P-i ll—x)-" + P+idv
4>)\dx^{\—x'^) = \TT Eulcr, Calc. Int. I. P. 1. S. 1. 8. 340. — Plana, Cr. 17. 1.
5)j{l-x^)''-idx = — ^ - ,^^^, Laplace, Prob. I. 34.
6)/x2<'-lJxi/(l— J-^) = —
Oettinger,
Ci-.3S.16?.
20-1/2 ]
2
Oettinger, Cr. 35. 13.
f la/2 1 ft/2 n
8) /./•2'»(1— .r2)ft-i dx = ,^ 2^r+6+T ^"^^'■' ^"''= ^"'' ^- ^- I-S-l-S- 340.— Oettinger, Cr. .">5. 13.
10/2 lA/2 n
9) = — — - Kramp. Ilefr. 3. 79.
' 20/2 (2 + 2a)*. 2 2 ^■
f 3«'/2 3«-i/2 n
10)/;r2a^i_xi)4+i Jx = - Oettinger, Cr. 35. 13.
f 2«-l|2 lft/2
1 1) / .t^a- 1 (1— a>*)ft-i da; = _,,^^^ Euler, Gale. Int. I. P. 1. S. 1. 8. 340. — Oettinger, Cr. 35. 13.
2«— 1/2 ift/a
l3)Ll— I(l-.r')l+l4. = „^, j"y„ Otttineer, Cr. 35. 13.
{l+(«— 3)/^+/'" _ ' — (a— •^)/^+;>' l Kanius, Overs. Danskc
{ (1 +/))■'-<» (i _p)a-3 Jl'orh. 1S44.
Page 39.
F. AIs'. irrat. ent. a fact, [i—x^y. TABLE 10. Lim. ct 1 .
l)L..-'(l-.*p-rf. = ±.1!L:^+1 . 3A:iL±£±i Euler Calc. Int. I. ]'. 1.
7 ' ac a-\-b .c+b a-^2b .c-{-Zb b. 1. 8. 364.
2) = , Oettinger, Or. 35. 13.
£+£-1/1
a .1
^\1}I ^\b} Legendre, Mem Inst. ISOy.
8) = - , , -, oil b peut etrc fractionnaire; ^^16. N". 55. — Id., Exerc.
7a-|-c\ 2. 56. — Plana, Cr. 17. 1.
bT
f 4_a 1
4)lj'«-i(l— x") a dx= Euler, N. A. P. [. 2. p. 3. — Id , Calc. Int. 4. S. 3. 129.
/*— ° n bn
(1 — x") a a;«-*-i dx= -Cosec. — Euler, Calc. Int. 4. S. i. 131.
a a
gj^,a+i_l (^l-.j;b^<ldx:
/i. a
r 1 1 .c''+W-> (l—x'')±;,+''dx = ; ^LJ'-^ — '^ ' ^ Jc orf
a-\-bd {ag ±bh-{-b gY+djbg ah
/a hy+dl-i ^
(r(:y
16 s'
a,, A,
r ''-,■ 1 (idzt)dn i±a" W'
7 ' «+^^^/Y~Vld="+Y'"" ^*""^''"
/,\c;\
'J ^ ' bd — a [b 7i -\- b g — a g)<:+d/l>9 *_a,i '^
12) L«-l (1—
-xj 9 d^-^ag+bg + bh)c/h « A, a
Page 40.
F. Alg. irrat. ont. a fact. {\—x"y. TABLE 10 suite. Lim. ct 1 .
1 3 / x"-^ il—x'>) 9 dx= L_y_X ' -—-
a a
f o,c lb—aYll> lb 1'''"
14) j.-l (l-.T-»'' dx = (^ l-^
15)L + ^c_,(i_.6)*rf.^^(VtJ?W 1- ^/'
7 ^ ' a^Z-i a — be /+''/! S"=
14 i^
c
1 7) J J-"*-' (1— A-'')y (£.?;= ^—
ab [h 4- g)''f9
1? a
201 L'^ (l-r'.i±>'- d ^ - ^' + ''^'^ ^' +^ 1^ ^'-
20) p (1— .rj s <i^- (^^^,/,^t^)a + c,4s h } i^ab
Ij «
21)J.r^''-> (l-x^J-^ dx= ab.MJ(^,!+^)a-^,9
Les Intdgralcs G a 22 se trouvent toutes: Oettinger, Cr. 35. 13.
23)
i^^a-\ (l_.t'')"-' da, =j Coscc.V^ Eulcr, Calc. Int. T. l.S. 1.8. 352. — Oettinger. Cr. 35. 13
' Sin. "^
a'\ a 1 ar
Page 41. 6
WIS- EN NATUURK. VERH. DEIt KOMMKl . AKADEMIE. DEEL IV.
F. Alg. inat. eiit. a lart. (1— .i")''. TABLE 10 suite. Lim. et 1.
b
•27) / j.«-ic-i (i_.i,.6)-i+'^ c?a- = (—IK '^ Cosec. ^
J ^ b b
Des formules 21—27 voyez Oettingcr, Cr. 38. 1G2.
F. Alg. irrat. fract. a den. monomc. TABLE \ 1 . Lim. et 1 .
/•(l_a:y.-}
2) / ; d X = n Sec. p n
o) I , — a X = nSec. p n
J xP-i 2
'J xP+l' + i (1 + 2p)V2 !«-*+"' /
; Oettinger, Cr. 38. 162.
/■(I— ^^2' — 1
b g lb Is
-p^+c , (]±-]'" ,^/^ Oettinger, Cr. 35.
F.Alg.iiTat.fract.aden.(l±a;)''et(l±a;')«. TABLE 12. Lim.Oetl.
1) / = n Schlomilch, Stud. I. § 2.
7, (l_a;) 2«/2 ^
/" a;°dx 2''/2
2) I = — - 2 Schlomilch, Gr. 5. 90.
7 1/ (1— a;) 3«/2
/■ a ,
3) /ZL_^ = - TT Co5£C. — Euler, N. C. P. 6. 115.
} {l-x)t * ^
Page 42.
F.Alg.irrat.fract.aden.fl ±.'c}°ct(l±a;2)«. TABLE 12 suite. Lim. el 1.
,p<di Legendre, Exerc. 4. 126.
2p V/ti
x'+P+idx (l + 2jo)« + '/^ ,^, , ^ \
IT ibeC. p TT
Oettinger, Cr. 38. 1G2.
, /■ xP—i dx
7)1 = n Sec. pit
']{].— x)P+i ^
, xP-idx 1 — 2p
8) / T = ^ ^ Sec. p n
'/<T
9)/jxi/ = ^ 5-^ ~-r-r Catalan, L. 4. 323.
'j ^\^x^ 4v/27r {r([)}»
10) I ^ = \n Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. { 330, 35G. — Oettinger, Cr. 35. 13.
JV/(1— x^)
U)f—^-^ — = 1 Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. S. 330.
7l/(l-j:^)
19\ i_J^^Jf__ _ 3°-'/^ n Euier^ Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. S. 330. — Oettinger, Cr. 35. 13. —
'/j/(l_.r2) ~ g':2 2 Schlomilch, Stud. I. 2.
r j^ "-' dx _ 20-1/2 Euier_ Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 330. — Plana, Cr. 17. 1. —
'] ,,n .r2) lu/2 Oettinger, Cr. 35. 13.— Dicnger, Cr. 38. 260. — Sclilorailch, Stud. I. 2.
\-\)\dx\/ '^---=\ — S\ -[ (2ji— l)»2n Ohm, Ausw.
'j 1—X^ 1 I 2''/2 J
rcZ.ri^''x l_j/3 / 7r\ 2 1/3^/^ 7t\ ,
15/ , = — F' Co«. — 1 + E' Cos. — Legendr
7,/(l-x») tV^3 \ 12J
f X^P dx TV
Cxv-\dx 2J-/' r(w4-i)r(i— p) /2p-i \
18) / ^ ,^ = ^O^i'_:±_/i'' 5j-„_ ^^ TT ], p <1 ; Lege
7(1— a!»)P 2p— 1 V/tt \ 4 j'''^
C a-2«-l dj; 20/2
19) / -— - = (— 1)»-1 r— — Oettinger, Cr. 35. 13.
7(1— a:»)*-J 2o.l*-i/2 3''-ft/2
Page 43. C*
26.
]re, Exere. 1. 3y.
"^\ ^"t^^^F'fsin.— \ Legendre, Exerc. 1. 40.
2t>'3 \ 12
srciidrr, Exerc. 4. 124.
F.Alp:.irrat.fract.;'Hl(>n.(l ±a;)<'et(l ^x')". TABLE 12 suite. Liiii. et I,
20 / r-r- , =(—!*-• ^ — : , ^ ' Kramn, Refr. 3. SI.
7(l_a,»)6-i ^ ' la/2 16/2 "
^,,i x^^dx , , 30-1/2 „.
^^\/ ( l-.^^)6-| =(-1)^-' i6-./24a-./2 4 Oettinger. Cr. 35. 13.
. l'»/2r2a— 26+2W2 7r
22 =(—1)6-1 !^ __XLj!__ Kramp, Kefr. 3. si.
V y 2a/2 16/2 a *^'
7 ^+7~^-^^
Co.. ?=^.
* ^ B ^.-^
, ^ fq + p \ \2 2,
(1_,.)2 2Cos. (^^^.^^
Serret, L. 8. 1,
oi/i. I n
(1— a;2) 2 ZStn. {—^^ ^ '
25)/ ~ == l[y/p^^/n^p)\ Schlomilch, Beitr. III. 7.
Jv{l+px^) Vp
F.Alg.irrat.fiact.adeii.(l — a;")'', pour rt special. TABLE 13. Lim.Oetl.
)f- '^ =
7 i^-(i-.f3j
d^ 2 „ / TT ,
1)/ = F' LSin. — Legendre, Eserc. 1. 145.
"v/(l — x') 1^27 \ 12;
\ "'•12
a- 3a da; lo/s 2n
3v/3j
Kausler, Mem. Petersb. 1811. T. 3.
.T3a-ldi. Sa-l/S
3
f x^'^ dm 10/3
4) / ■ =
7^^(i— *') 30/3
fx^'^—'^dx 3"-
^7l5/(l_a;3) = "^
„ f dx 1 / ^\
6) / "T; r; = - v' 2 . F' .Sin. - Legendre, Exerc. 1. 146.
J \/{l—x*) 2 \ */
/ a;' (fa; 1
7)/ -77; ^^ =7r Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 387.
J\/{l—x*) 2
Page 44.
F.AIg.iiTat.fract.adeii.(l — a;")'', pour o special. TABLE 13 suite. Lini. et I.
/■ d.v 1 / 57r\
9
7 v/(l— .^r") 1^27 \ '12 if
Legendre, Exerc. 1. 147
1^3 \ 12
diC 1
10)/ ^^^ "" ^^ = "T^P'l^^--^) Legendre, Exerc. 1. 1-18.
11 /— ; — : = F Sm.- +5m. - Y [- Legendre, Eserc. 1. 150,
7l/(l-a;'») 2iJ^3 V 4/^ 12 ll + v/3/
F.Alg.irrat.fract.a(len.(l — a;'')*pourog6n6ral. TABLE 14. Lim. et 1.
[afl-l>~\ dx n bn
1) / ^^ = - ^osec. —
-' (l-.r«) a « "
2) 1 ^^'l = -Cosec}^ Euler, Ca!c. Int. T. 1. P. 1. S. :
J I, „.- o '^ 6. 115. — Octtinger, Cr. 35. li
{ jfi-^dx n
•' {l — X?)2r °-
_ Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 352.
(l-.r«)
_ i _
1. 8. 352, 36G. — Id., N. C. P.
fK -T^a^n " "■ ^^'^' — wumutici, v>i. uu. 13.
^)/ ^ = -Sec.J^ Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 366.
I) / -:; = —Cosec. - Ohm, Ausw. 14. — Kaabe, J. U7
7l>(l- "'
Tc n
— Cosec. —
iy(l-a:'l) q q
TT
. 115.
f xP-'^ dx n pn , ,,. ,.
5) / ~ — - Cosec. — , p > q — 1 ; Minding, Samml.
J V^{\—x'l) q q
r I] r i'
f .vi'-^d x ^ \a} \ aj ^ f _xT-i_dx_
Raabe, J. 217.
h\c+d/-\
1 i3N-;^'
h\ «/-' /a\ ''/-I a— 6d "_* /i
16 J,/*
f^a-bd-\ dx ^ 1 \^"^^y
^/ *4.c a+bd'l A\ <=/-!/ ^
Octtinger, Cr. 35. 13.
AW-c/1 « A/,
16 y
91
Page 45.
F. Als;. irrat. fract. a den. (I — x")'' pour a general. TABLE 1 4 suite.
Lim.Oet 1
/■.T"-" dx 1 6*
9)/ " = - iJ-
•' (1— a;*)*
44='
a^ 4>b'-
{hh—agY'1'9 li" 1 g'^
ah<= Ifb
a_h
16 g'
71
'/
xi),-^!:!l^ = o
(1— .c*)t
+ c
12) i ^ =
"/i T-V
(1 — ;!;')3 J6 a
14) j— ;-da; =
1 (bh—agYl>>9 16'^ 1 / 1
(1— a;*)?
a — 6 c a<^/— *
J 5) I — ■ r dx=^ ~m
ii g
''n ,-*/!
(1— a')
^^^'~ ^ = ab0j~h)<'/9
{l—x'')g
Cxab-\ a
f x''''dx _ 1 {b + iyil' la' l~g'
'/I ,-'',1
( X^b—ldx 1
(1—^-^)3+'^
J"/?
19)
/
x°'>dx
b hr-h [g — /i)o -cjg
1 (1 4- 6)<»/4
la 1 J
\
Oettiiiger, Cr. 35. 13.
,, .,V l+a6A«'?(6A-^— 6^)a-c;-6<, i_A,,
(1 — X')g la 3
^
20)/ ^ =0
(1— a^)s'^
Page 46.
i
F.Alg.irrat.fract.uden. (1 — a;'")*pourag6nera]. TABLE 14 suite. Lim. et 1,
>\) I ;^ ( [W ^--^!
+6c bSin.^
b
, Oettinger, Cr. 38. 162.
22) / = (— l)c - Cosec. —-
/dx
1 — - =bn Cosec. b n
(1— l>'.r)i
, , I Krarap, Kufr. 3. 83.
C x'l — ' dx
24) / =.bn Cosec. bq ;
F.AIgL'br.irrat.fract.aden.comp.avcci'act.monome. TABLE 15. Lim. ot 1.
/[\—x)~\ —1
^ -_ dx=^^l^ Arndt, Gr. 6. 187.
X
<-
1
+ 1^- Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. l.N'. 2.— Plana, Mem. Brux.
d j; = ' TtX^ 2 '!'• 10. — Masclieroiii, Adu. p. 53 la trouvait fautivement = i j/ 2,
•x<» + a;"+i — 2ar2<»dj;
Legendre, Exerc. 4. 53,
= 3/3
1 +xi
1 — X X
f x" 4- x^+'f + j;" + S — 3 ar>° da;
7 1— « V
J— dx = l4i Poisson, M^m. Inst. 1811. 163. N'". 54.
1 — X
f dx
6)1——^- =7r Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 335. — Dienger, Cr. 42. 283,
7)/ —^—dx= n
fjl—xyxbdx _ 1<^^ 1*'2
7 l/.c(l-jr) '^'qM^'^
f x^dx W2
^71/ «(!—;») ^ 2^
r da) 2 I I
10) / -— r = M I/;, 4- 1/ (1 4. p)[ Sclilomilch, Beitr. III. 7
J \^ X (1 -\- p x) |/p I J
, Ohm, Ausw. N". 46.
f(l— a:)<»i:6d.r la/2 ii/2
W2 Eulcr, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 385. — Oettin?er, Cr. 33. 13.—
Ohm, Ausw. 14 trouve 2 au lieu de t fuut.
Page 47.
F. Alg. irrat. fract.a don. comp.avcc fact, monomc. TAHLE 15 suite. Lim. et 1.
f dx 3 ,/ 7r\
11) I -2 = ■ F 5m.— Lcgcndre Exerc. 1. 39.
'JxTV-'{l—x^) t^Z \ 19.)
f dx 1 / 7r\
12) I — i = T Cos. — Legendre, Exerc. 1. 40.
'J xil^{l—x'') ]y3 \ 12/
/ a /i^ + 'V-i ^ ^_ \
ion/' dx _ \b~ff j I'/' ]~i" 1 i
'/.».., ,_,..,^. (^^-' (_ ?y*- r'l-P'- "■+'^j Oe.U.«o„ C. 3.
f afl^ -'^dx 26 -V2
/I dj; TT \pour J ni = a,
'j ^71 ;=^ y\ ni=0;
-b X 1/.t(] — ic) l^ a {a — b)
f _l dx 1^ n » /c\ l"/2 fa-b
^'j{a—bxY + U^x{\—x)~2'/2(^a-b)'u^{a'—ab) o \«) (2c-l)«-2 \ a
f I V \p dx
17)/ —^—] ~-j^^ ^=nSec.p7T, p^<j; Ohm, Ausw. N^ 4G.
;,\n( Dienger, Cr.
^ ' 42. 483.
-X j i/'a;(l — .t)
Malmsten, Cr. 38. 1.
/" a a
18)|.r 2i — a-26 dx; tt ^""^ Ua
\—x l^x 2 6 '26
F. Alg. irrat. fract. a den. comp. sans fact, nionomc. TABLE 16. Lim. ct 1 .
'j{l-x)P{\^qx)P \^n ^ ^ " [2p—\)Sin.{Arctg.\^q)\^>1>^\
f xP-idx ^2T(p + ^)^il-p){l -^^qy-^P-a + ^^qy-^P Legendre.
'y(l_a,')/'(l_g.r)/^ l/TT (2p— l)2T^g 7 124, 145.
/" a;2 dx- jr
^7 iT^ 1/ (1— .r*) "" 8
4) I -^-^ = — ^ Tf + 1 1/ 2 . F' .9m. -
/"I +»+ 2.t5 — (1 — ;>).r^ da; l+« , „ ^ / „. ^\ ^
5) / ^^^-^^^ ^~^— —- = --L^ TT + 4 1/ 2 . F' Sin.-] I
7 1+a;* 1/(1— a-^) 4 ^' \ 4J/
6) / — ^— = • Arctg.p Poisson, P. 16. 215. N". 11.
Legendre, Exerc.
6. 308.
Pasre 48.
F. Alg. irrat. fract. a den. comp. sans fact, monome. TABLE IG suite. Lim. et 1 .
'/
q i- 1 9,pq 1 9. ' 2
[{\-a-){\~pKT)] 2 Uoncompagni, Cr. 35.
« I 74.
f x^dx Sin, ql Cos.ll / g + a 1— j \
|(l-.r)(l— .r 7a«^.-A)| 2
> Arndt, Gr. H
'")/(!=:, - T^ <*" "'i' + f ^' (p + — ) )
11) I — ; da; =/; A ipourt = 00 ; Legendre, Excrc. 5. 12.
'j \\—.v \—]yx]
1— .«» 1— (£•' 6^r»
l/(14-«2a.-^) 1/(1+6^ ^^)
12)1 ^^ — — " '" „ x"^ dx = Ramus, Overs. Danske Forh. IS-H.
F. Algcbr. TABLE 17. Lira.— lot + 1.
1)1 ' = i «, ou « arbitraire; Cauchy, Cours. Lcq. 2t.
2) = — (2 A + 1) ni, oil/: arbitraire; J
\ Poisson, P. 18. 295, N'. 33.
^ fdx i
3)j- = -« )
4)/"^ = ~^^[ Coj. {(a— l)f2 A- 4-1) 7r}—l],oni- arbitraire A
5) =0 pour a impair \ Poisson, P. 18. 295. N'. 34.
2 \
0) = pour a pair /
1 — a I
[ dx
1)1 : =2, pour/) < 1; Poisson, Chnl. 113.
Page 10. 7
WIS- i:> isATiinK. vEnii. per komnki. akademie. nEEi IV.
F. Algobr. TABLE 17 suite. Lim. — 1 et + 1.
8J
9)
f dx 2
I ; = — , poor jj ■> 1 ;
Jl^{^—2px+p^) p' ^ ' -^
f p—x I
I dx =■ 0, pour )' <:! 1;/ Poisson, Clial. 113.
•■)
10) = —-, pour/^ > 1;/
pi I
/p X — q \
c , Plana, Mem. Turin. 1820. 38'J. N\ 9.
12) =— -^, pour^<<?;\
r J
dx I 1 -\- p
= - ( ^j Lcgendre, E.xerc. 3. 124. — Liou-
^^ ^ ^^^ ville, L. 2. 133.
r ax
ll,^j^a-2pqx-\.p-q4\-^x-{-^\^
f dx 11 -l-i^pq
14) / ; ; r = I ^ ^ \ pour»- < 1 , o^ < 1;
'+P'') (1 — 2?^+7^)i l^P? 1 — 1/^5'
1 ,V^P-\-V^q
15) = -—- «,-. — > !'""'• 7" < 1 < /'' ; f Poisson,
V-"p? V/p-V/5 \ p. 19
16) = ^t:-^^'^, pourp^<l<.7^ i 82.
' V^pq X^q—V^P *
1 \^pq-\-\
17) --— ^,^^^ ,, pour/>'>l,v^>l;
\^pq x^pq — 1 y
F. Alg. rat. fract. a den. x" et (1 ± x)". TABLE 18. Lim. et oc .
(dx
1)1— = 3C Caucliy, Cours. Let;. 2-i. — Meijer, Int. dul. 98.
fdx
^p—\ ^^ jr '1 oi^i <^ p <C 1; Legendre, Exerc. 4. 95. — Poisson, P. 19. 404.
= '- / N'. 72. — Caucbv, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5. — Id., Lim.
+ J- Sin.pn I Imag. Add. 12. — Id., P. 28. 147. I. N\ 2. — Bonnet, L. 6.
i238. — Lejeunc-Dirichlet, Cr. 15. 238. — Jurgensen, Cr. 23.
142. — Oettinger, Cr. 35. 13. — Winckler, Cr. 45. 102.— Gru-
nert, Gr. 2. 206. — Schlbmilch, Gr. 3. 278. — Serret, L. 8. 1.
^ fx^—Pdx
4) I = — TT Cosec. pn Oettinger, C
J 1 + a;
r. 33. 13.
/xP — ' dx
= TT a/'-i Cosec. ;j ;r , < ;^ < 1 ; Scbl6railch, Gr. 12. 198. — Dedekind, Cr. 45. 370.
x-\-a
Page 50.
F. Alg. rat. fract. a den. a;" et (1 ± a;)". TABLE 18 suite. Lini.Octo) .
Cxi' — 1 dx n
6) / = — ; e(7'-i)?', < p < 1 , 7- < TT 2 ; Minding, Tuf. 11.
J X -^ el' SilL. p rr
fxP — ' dx n
7) / • — = — Cosec. 2^ TT , p < 1 ; Dedekind, Cr. 45. 370.
j qX-\-\ qP
r^p—X fij; Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5. — Id., Lira. Imag.
8) / ^ = rr Co<. p .T , < p < 1 ; Add. 13. — Grunert, Gr. 2. 266. — Scliliimilch, Gr. 3.
, J 1— 'i^' 278. — Meijer, Int. Def. 155 a faut. .{ tz Cot. p n.
f(x—a]r-^dx ( — 1);' n , a > /^
9) I == ± \ , ± selon que ; Jiireensen, Cr. 23. 142.
'j b-x {b—ay-PSin.pn * a<i ''
1 (1) / y^J-J dx== — — ~ — Ur,p,n),p^r; Schaeffer, Cr. 37. 1 27.
J 1—? r + x r {p)
/".«'—' dx n hn
11)/ = -Cosec. — Euler, Calc. Int. T. I-. S. 5. 12t.
7(l+;r)« a a
/■.r7--l_d^ _ r (<?) r ip—q) Legendrc, Exerc. 4. 99. — Poissou, P. 19. 404. N». 72.—
~7(1 +a-)P " r (p) ' '' *^^'' Cauchy, P. 28. 147. I. N^ 2.
(xP—^dx r(»)r(q)
13) I - = — Lobatscbewsky, Mom. Kasan. 1835. 1. — Grunert, Gr. 2. 266.
7 (14- ,,)/' + 7 T{p-\-q)
11) == B (»,<?)= / Binet, P. 27. 123. — Scliaar, Mem. Coiir. Briix. T.22.
15) = (— I Lejeune-Dirichlet, Cr. 13. 258.
C'cst rintdgralc Euk'ricnne dc premiere espcce.
f r'l — ' -J- XP — '
16)/" ^^^^ dx = 2B{q,p) Binet, P. 27. 123.
^[xi'-Ulx (— 1)«(;)— iK-' . __, \
17)1 = Trt/'-a— ' \
7(6 + j-)"+' 1°' Sin.pn j
7(l-|.a,)-i+i ifl/i Sin.p'JT i
f x'-'^Pdx (— 1)"t p* .p = — P .p5— 2^...p''-a2 ;
'"7(7+i)2a+l "" 5f„.p^ ' IST+I/I 7
'20)1 - = A" - Cnucliv. P. 28. 147. I. v^ 2.
7(l_|-a;)«+;.+ l " \pl
Page 51. 7*
Oettinger, Cr. 38. 162
X
c+2i
F. Alg. rat. fract. a den. x" ct (1 ± x)". TABLE 18 suite. Lim. et oo
/x^—Pdx 1 — p .
— = p n Cosec. pn \
f xP d X 1 — p ^
22) I ; = p JT Cosec. p >T
, /".iV'+l c^x 1+p
23) / = fl TT Cosec. p TT
24.) / = ^' — - — ^^^— p T CoSt'C. p T = / —
7(l + a-)Hc + 2 ic-i/l ' ^ /(1-|_X)H
f a-Pi^dar (1 _|_ p)c/i
7(14- a;)4-<:+2 p*/l lc-6+2/l ^ ^
/xP—<=dx (1 — p)*/' r x'>—Pdx
= : p TT Cosec. u 71 = I — I
/•^6-a-l d^ la-1/1 16-a-l/l ^ r x"-' da? \
^^'7 (l+.r)' ^ li-l/l = /(I +0^)6 \
C x°±'>-^dx \a±ib-\li lc±ft-i/i /• .rc±*-' (ix t
M(r+.r)<' + <=±24 ^ la + c±26— 1/1 ~ j (1 +.t)« + =±2M
29) / ( x'l-P— I dx = , ~ Legendre, Exerc. 4. lOy.
>]\ {l+x)p) q-p-\-l Tip)
F. Alg. rat. fract. a den. 1 ±x'' pour a special. TABLF 19. Lim. et x
f d.v
])/ = 'tt Elder, Calc. Int. T 1. P. 1. S. 1. 8. 353. - Poisson, P. 18. 295. N^ 2ti.
^ f dx TT Liouville, Cr. 13. ?19. — Schlomilcli, Gr, 4. 71. — Id., Gr. 10
"'I p'i +x'^ ~ 2p'^ ' -ilO- — tisa de Grcsy, Mem. Turin. 1821. 209. II. 58.
3)1 ~ = |.;(_1) Poisson, P. IS. 295. N'. 26. — Plana, Cr. 17. 1.
3') = Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5. — Schlomilch, Gr. 3. 278.
f dx
jb'^—.v' ^
} Oettinger, Cr. 35. 13.
ds Legendre, Exerc. 5. 13. — Bidone, Mum. Turin. 1812. 231. Art. 2. N". 31. --
*)/7^ 'i =^- Plan-''- ^^i-'™- 'J^'"""- '^^S. 7 Art 1. 3, 4. — Cisa de Grc'sy, Me'm. Turin. 1821.
2uy. II. 56. — Schlomilch, Gr. 7. 270.
1 ,, ., Poisson, P. 18. 295. N^ 38. — Cisa de Grc'sy, M^m. Turin. 1821.
^ = 26 "09- "• 58.
4") = u. oil « arbitraire; Arndt. Gr. 10. 240. C'est la vraie valeur.
Page 52.
F. Alg. rat. fract. a den. 1 ±0;" pour « special. TABLE 19 suite. Lim. Oetoo.
'}) I d.v = - Cosec.pn, 1 ~> p "> ; Sclilomilcli, Beitr. III.
71-1-.);^ 2 y > // ^ .
) I dx = - Cosec. ^— , 2 > » ^ ;
7 !+.»■' ^ 2 = =
^.\ I , /I ' o >, \ n Caucliv, Cours. Lee. 34. — Id., P. 19. 511.
7) = , 2>«> 0; Meijer, Int. Def. 154.
-{-x^ 2 2 ='^ =
i tVP (J. i2! 7t 7? 7T
8)1 = -5«c. ^, l^p^O; Sclilomilch, Gr. 3. 27S.
10)
J 1 + x-' y f
Euler. N. C. P. 6. 113. — Id., Calc. Int. T. 1. P. 1. S. S. 353.
— = 1/S 1
5. — Id., Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. t*. 353. —
7. 599. P. 2. § 5.
f.ii'—hLc TT pn
9)1 = - Cot. , 1^»; Caucliv, Cours. Lee. 3-4. — Meijer, Int. Dt'f. 155.
7 l—x' 2 2-^'
f dx Zn \
f x^ dx 2 TT \
H)/ = v/3)
H)/ = -TT II— I) Plana, Mem. Turin. 1820
1 .^\ [.A±- _ ^ rr1^9 E"'*^""' ^- C. p. C. 11
^J I +x* ~ 4, Cauchy, Sav. Etr. 182
fx^dx 1
]l)j ^ ^^1^2 Euler, N. C. P. C. 115. — Id., Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. S. 333.
Jl+x^ 1
, f dx 1
'J 1 + .(■« 3
fx'^dx 1 ,
IC)/-— — . = - 7T \ Euler, Calc. Int. T. 1. P. I. S. 1. 8. 353. — Poisson, L. 2. 224.
/ 1 + .7" ()
17)/ - = -
r dx
f dx TT
^'^)/ /-L- - . ,.x.. . , = t: — : — : ohm, .Usw. 2.
F.Alg.rat.fract.adrn. (I ^x") pouragi-iKMal. TAHLE 20. Lim. ol x .
/• ,_, I Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. S. 351. —Poisson,
1) I — - - _ a. Cosec. ^- ,/' > 7 > ^'- ^''- 2'^- ''^"- '^■— •"'nuc'O'i Sav. Etr. 1827. 599. P. 2.
J 1 -\- XP p p ' §5. — ^laselicroni, Adnot. ]\ 03. — Oeltinger, Cr, 35.
13. — Schlomilcli, Gr. 3. 2iS.
2) = 00, (/>/;; Poisson, P. 10. 215. N\ 0.
Page 53.
F. Alg. rat. fract. a den. (1 ±.f'')pour a general. TABLE 20 suite. Lim. et oo .
-?— 1 dx
4) I — r- = Sec. — ,
<7 ^ 1 ; llaabe, Int. U6.
f dx n}^ p n
•^) I — : :;" = 7~ Cosec. —
f x-^ dx 7T ''Zb4-1 \ 1 oisson, r. lo. zid. in". b. — uaucuy, ;
fi)/ = —Cosec. I — ^^TT ,2a4-l>2Z.; Etr. 1827. 5U9. P. 2. §5.— Serret, L. 8. 1
'/l+.--2« 2a \ 2a / Grunert. Gr. 2. 266.
9
x^'> dx 7T 'Zb-i-l \ Poisson, P. 16. 215. N°. 6. — Caucliy, Sav.
7) = oc, a<6; Poisson, P. 16. 215. N\ 6.
8) / f^ dx = Sec. ^
J xP + l + l P+9 7
p .T
Olira, .\usn-. 11. — Kaabc, Int. 14-7.
+p2 '
■.t^ic + c-i J,^. ^ /2 6-}-l \
+ -^'°^ 2a I 2a ; I Poisson, P. 16. 215. N- 6.
10)
,a<b\
fx'—^dx TT (?— 0''' «^
11)/ — : 7 = - e^* ^ Cosec. — , a < 6 , o^ < .t^ ; Minding, Taf. II.
/ e'l' 4-x'> b b
1 3) f ~^^^^ •^•°-' ^-^ = -^^ \cosec. -^^ + Cosec. f ^ .rl I 4 6 > a> ; ^'''^—.
^_/l_A.2;2i + i) 46 + 21 46 + 2^ \4J + 2 /J '^ '^ ' Gr. 14.94
i^lZ^Jf^ TT <?7r Masciieroni. Adn. p
^■^71Z;^ ^ p ^°^- 'J'P>1'^ chy, Sav. Etr. 1827
f x^''dx n /U+l \ , T^ „ , Caucbv. Sav. Etr. 1827
1 I) / = — Cot. TT , 2 a + 1^ 2 />; ^ * n o or <>
'Jl.-.,r;ia 2a \ Za I Grunert, Gr. 2. 266,
p. 64. — Legendre, Excrc. 5. 13. — Cau-
599. P. 2. § 5. — SchlSmik'h, Gr. 3. 278.
599. P. 2. § 5.
/"a,-?-'— .«'— I 27r /?— P n-\
15)/ — d.r= — — Tang. (-7-^-) Ohm, Aiisw. 14. — Eaabe, Int. 147.
P + q \9+P 2
.r"— ' a.r == — Sm. -. Cosec. — . Cosec. 7~"'^]-' " — !'> ■' ^'> ^'
.«''* 2 6 6' 2 6 'l 26 ,. r T- J
I Lindmann, dr.
14. 94.
Page 54.
F.AIgebr. rat. fract.aden. (l±.r«)*. TABLE 21. Lim. et oc
dx la-i/2 7r
/dx la-i/27r ,^
(1 + .1--)" "" 2^1-^2 j
2)17^-^ — ^,., ,„j., =-^ n ^"^ • ~, " \ Cauchy, Cours. Lep. 33.
dx TT rfa if
{p -\- x-f+^ 2 dp" ' \ ^ p '
10/2 jr
la/1 2«+2/;a|^/p
4,r^^ = ^ .\
7(l+.<•^■3 16 ■ ]
5)/ = — TTf Poisson, L. 2. 224.
7(l+..')3 IC '
*'7(T+^3 = 1(
f dx 1 l''/2 \
7 (,y5 -|_a;J)a+l ~ 2«g2a + lla/I j
(,;>-\dx _ r(-rtr(a--;.) , ^ ^ t
Plana, Mem. Turin. ISIS. 7. Ai-t. I. N% 3.
Schlomilch, Bciti-. III. 12, \c
f. v-<'+c(b+i)-i d j: I a'\ / an / a^\ a 1 it a :r [ Oetlin^er,
'-' {b—a)yll> n , a^
c+i V -^ (6_rt)</4 \9-cl\ ip-c-n ^°**'- y
/■.(•/' + 7-1 J. r pn-^ C77- ^
Uhm, Ausw. N" 20,
Page 55.
F. Alg.rat.frai't.adt'n.afact.mononicetbinomo. TABLE 22. Lim. et oo
1) / —. — = T Cosec. pn, 1 > /I > ; Kamus, Cr. 24. 257. — Oettingcr, Cr. 35. 13.
'/(I ■\-x)xr r > / / ^ '
i dx (H-»)<^'
2) / = ^ ^' » n Cosec. p n Oettingcr, Cr. 38. 162.
' } {\ -\- xy-''-^^ xb+l> lc-6+2/1 p6;i ' ^
3) I \ +'^'^ ~ _f ^ 2' fp + o) — Z' (q) Lindmann, Stockh. llandl. 1850. II.
7 (1 + .r)P+'l X ^'^ ^ ^' ^^'
4) I ' dx = n Cosec. p 7r , /> < 1 ; Dedekind, Cr. 45. 370.
5H dx =^ Tt Sin. Uq-{-p) TTi.Cosec.qn. Cosec. pn Svanberg, Transf. § 5.
, ixP—aP-1 x'l dx 1 > » >
6) / = TT rtP- 1 (Cot. gn—Cot.pn), -^ ' -^ ■ Minding, Taf. II.
J X X — a 1 > 7 ^ f^
(XP X~P 71 P It
7)1 —dx = — - Tang.' — , 1>;?>0 ; SchliJmilch, Gr. 3. 278.
r dx i + p
S)/- — ^ = p n Cosec. p n Oettinger, Cr. 38. 162.
f x^ dx n bn
9)/ == —Cosec Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 155.
J l-|-a;« X a a
f^l'c+b—i dx , n „ an
'^^) I -^ -> = -1 >■ 7 Cosec.
J 1—X'> .T" ^ ' »-
b ' b
dx ( — 1]9 lb — aVI'' n a n\
n)/ ,,,,,..„^.,, . , = ~~- .r J.._.n TZZ:r:Cosec. —
7.ra+(Hils+i
Oetinsrer. Cr. 3S.
(1 +.r*)<:-^+i a-\-bc{b—a)9ll'l'>-9nb''-9+i ' bf 162.
12)/ — rr, — r, r = (—iYi Cosec-—
n an
. , - Cosec. —
(l+,r') ' ' b b
^ f x-P dx n pn
13) / = Tanq.^-— Cauchv, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5.
J .ri—x-l X Zq Zq
. [xP + x~P d X n pn
14) / ' = - Sec. — V. T. 40. N'. 29.
J .r? -|- ar— 9 x q 2 q
, [.I'P — x-Pdx n pn -jr
15)/ = — Tang.' — Malmsten, Cr. 38. 1, ou faut.
J x1 — x-<l X q 2q 2 q
^^)l \~u— ,. , V i -^t^A' = Legendre, Exerc. 4. 109.
7K (l+.r)"i q-p + l r(p)
Page 56.
F.AI<,M'at. fnicl.aden.ariict.monomeotbiiionie. TABLE 22 suite. Lim. et oo .
, ff 1 1 ) dx
17) / { — , } — = A + Z' (») Schlomilcli, Stud. I. ,n 6. — Id., dr. 9. 5.
J [l -\-x ( 1 + .v)l') X
/"f 1 \ ^ dx ,
1^ / 1, , Tf = Z'(o) — Z7/)) Schlorailch, Beitr. III. 9.
'./ 1(1 -\-x)l' (1 +.!•)'/] X ^' ^'
f.il>~aP x—P — ] 1 ,
I'-'i/ ■ dx = 2 7r(aP— ])CW.»7r — (rt;'+l)/a) ,;^2^1: Minding, T;if. II.
J X — 1 X — a a — 1
^ f((jrxP—^ {I -\-qx)l'-^]
20) / { — \dx = nCot.pn Legendre, Exeic. 4. 14.'3.
F.Alg.rat.fract.aden.afact. binoines (lia;)". TABLE 25. Lim.Octoo .
1) / , = I i Schldmilch, Gr. 9. 5.
7 (1 + x){2-\- x)
dx I ad ^ \
I — , ou a <^t' , c <^ ct ; ,
7 (.<■ -f 1 ) (x 4- a) a - 1 I
7(^ , ,w , ^ , . ,
-\- b) {c x -\- d) ad — 6c be
dx \ ,
."5) I = la > Dedekiiid, Cr. 45. 370.
" ' ■ ^) {x -\- a) a- I
,j--|- 1) (a-|-,r) a^— 1
f xP—^ dx 1 — a'— />
.")j / Y 1 — ; = — ; TT Cosec. p rr , p <^\ ; bvanbeig, Transf. j 3.
l-)-xl-}-a.r I — a
f xP dx aP — 1 ^
C)/ = n Cosec. p Tt , p - <. 1 ; Minding, Tnf. II.
J I -\- X X -\- a a — 1
f X — \ .1/'— 1 dx 17°-' — 0-« ^
7j / = - — 71 Co8ec.p7r,/;<l; Dcdokind, Cr. 45. 370.
J q.c-\- I x + q q - I
[ I x1 -ar/' \
8) / — -,- t/x = Z' (1 4-») — Z'll 4- 7) Legendre. Kxerc. 4. III).
„, ({ a-.xi )-P + [a-\-xi)-~P {b—xir'' + {h-\-^ir'i _ t i(/, + ,^_1,
y I I — — — — — ax ('/ + (') ~i 'I . ],• 1
7 2 2 2^ ^ ^ \'^p)Y(q) f*^'l||j^J;>'
/"(a— X !)-/'— (<(+.)■ i)-/' (b — xi)-^ — {b4-xi)-^ .T r(«-|-,._I)( Imag.
7 2 2 2' ^ r(/> r 7) '
f
(a~«i)-'' + (" + •« '■)-''
'^7 .j:2c(f.r = , ^>;!c-f- 1; Cauchy. 1'. 2?. 147. I. N". 3.
Page 57. S
WIS- F.> >ATllUK. W.hM. 1)1,11 K'l.M.Nhl.. .\h.ll>l;.MIl;. Ill.l.l. i\'.
F.A|n-.r;U.fract.a(len.afacl.l)in6nios(4 ^x)". TABLE 25 suite. Lini, Ootoo
ffn j: i] — f> (d _L. 'fi) — 6
12) /^ — — " a;2c-i rf.,- = , /) > 2 c; Cauchy, P. 28. 147- I. N=. a.
fn+px]-'' — (\+qx)-'' , r(a)r(6 — a) „. / n_«\iExerc. 4
/a;P — x9 die n (aP — Cos.p-n: al — Cos.ott) ^ , \
-_— = —- ^, ^ ^- ,p^<l, ,/^<l- \
.r — ] x-\-a I -\- a { Sm.p-JT Sm.qTi j
Cxp — { dx n iap — Cos.pn 1 , )
16)/ = l— ^. ^ la\ ,p
J x—l cv -j-a 1 -\-a { Sm. p n ft )
Cxp — xP—1 x1 — al Tt Sin. q n r aP+9 — 1 a'/ — a/' _| fp +</)-< 1 ,
/ x—\ X — a ~~ a — \ Sin.pTt\Sin.[{p+q)K\ Sin. {(p— 5)7r} j ' (/;— j)^<l;
txP — aV XP — 1 rr ( a^P — 1 aP )
18)/ rZ.r= 7- '« , -l/>^ <1;
J X — a X — 1 a — 1 \Sin.'ZpTi rr )
F. Alg.rat.fract.aden.afact.bin6mes(I ±x'')''. TABLE '24. Lim. et oo
s J^Iiiidiug,
Tnf. II.
S X dx \ Ian
'j a'-+.r- 1 + .F ~ 1 + aM^ 2 ~~
, f X dx — 1 / a ,T , \ /
f 1 dx 1^ / 7T
' \l a' + X-' \-\-x ~~ 1 -\-~a^ \2 a "*"
f 1 dx 1 /j^
Schlrmiilcb, tJr. 5. 2(il.
/^l — X dx
5] I = Anidt, Cr. 10. 225.
'J 1 + X \ + x^
/ax — 1 dx , , , „
= {la^ Arndt, Gr. 11. 70.
X + a 1 + X-
7)1 '^ = Sclil5niilch, Gr. i. 71. — id., Gr. 10. 440,
dx
X- dx n
>^+a;- ^H^ ^ 2 (p + ?)
^)\~ r = Cisa de Gresy, Mem. Turin. 1821. 209. II. 62.
Page 58.
F. Alg. rat. fracf.a don. a fact, binomes (1 ^af)''. TABLE 24 suite. Lim. et x .
'g 4" hx^ dx g — hb^ n
Cg + hx''- dx
'J b* + :r» c^ —X
'lit 1 _■> ^2 ,2
Legenclrc, Excrr. 5. 13.
i» + C^ 26
+ e/'-2 C
62 _|- c» 2 ' 2
/• .r.-i c/.. 6P-2 + c/'-2Co..'-, ,
10)/ = , „ ■ , Cosec.'—
n
, ~ dx q ..
11)/ = ~ Cisa de Gr&v, Mem. Turin. 1821. 200 U. til.
/x dx 1
= — In V. T. 24. N\ 1, 2.
q^ + X- 1 — .r^ J + 7 =
J jr
•2 1 + 5'-' 2«?
/" 1 d* i VI
13)1 = — V. T. 24. N'. 3, 4.
Jq' +i-2 1 — a-2 1 + 5-' 2r/
, f a;* dr 1 g 7r
14)1 ; ==— ^— V. T. 21. X'. 1, 2.
/?' + -f^ 1 — X- 1 +<?2 2
. /" dx n 1\
■'Vfl + .r*)[\ -\-x^] ^ 4 '*'^ "" i)
,ix^'' dx 7r( /264-1 \ „ /26+1 \) tt
1<5)/ — - - - - = -\Cosei:.\—^~n\4-Sec.\-^-iT\\-\
^ /26+1 \ /26+1
l + 4Coi.l y— 2T|4-4Co5.(-^2>T-
3a
^^
! l\—a \ i{i-a)(p—b) \ I'-d—a \ /(3— ofo b) \ v
-. , , [Cos.i p7t\-\-Cos.[- --' ^TT Cos.— />7r+ Cos. ^ -V \
' f 1 ^.r" 1 4-.r6 ZaSin.pTt) lb \ "^ lf> \ +•••>
■ ^ ^ r 1 + Cos.i- n\ I + Cos. [~'.i7r\ \
, (^4^.)+....('^F'-) -4^^
(•■i-bKp-a) \
b '''
'^ZbSinpTTJ ^ /« \ "*" ^ /a \ +•••■
^ f 1 + Cos.{-7t\ 1 + Cos. -3 ;r
Dans 10), 17) fl ct ft sont des enliers quelconques; I + r" ct ) + .j-'' n'ont pns de rncinc commune; p cst^
et quelconquc, rntionncl ou irrationnel, mais <^ (« + ft); les d^nominnteurs des derniers tcrnics sont
pour les di'u.\ s<?rics rcspectivcment : 1 4 f'"*- ( ■ '"r ) ct 1 + ('"■"■ ( - — -. ""■ )• — Ves for-
mulcs (15) Ti (17) voyez Caucliy. Sav. Etr. 1827. 5'J9. 1\ 2. § 5.
l^)/(^. — — ^ \dx=-l- Sclilomilcli Gr. 5. 152.
7\p»r» + a;» q^r^+x^j 2 p
Page 59. 8*
F. Alg. rat. fract. a den. trinome. TABLE 25. Lim. et oo
f dx 2, ft
1); = Uienger. (Jr. lo. lo7.
„. /" dx _ T — ^ l!->3~>0- Schlomilch, Gr. in. Hi. — Ohm, Ausw. ;3. la
f l — 'Z.vCosJ. + x'^ ~~ Sin. I '2 ' ^^^^"^ fautivement cgale a - ).: Sin.\.
3) / * = , - >/. >0: Schlomilch, Gr. lu 424.
^] 1 + -2 X Cos. I + .r^ Sin l' I ^ -^
4) / = Sin. I -n].Cosec.p t , <» <2; Uienger, Gr. 10. 107.
^ SmjjJ, /'*<!, LegenJre, Excrc. 4. 103. — Schlomilcli
[I \+2xCos.X + x->- ~ Sin. p IX Sin.). ' ?.^ <t^ Gr. 12. 198.
xpdx n Sin.pl p^ < 1, Plana, Mom. Brux. T. 10. — Le-
gendre, Exerc. 4. 102, trouve fau-
/" xl> dx
J 1 +ZxCos.X + x
y 1 +27.»Cos.?. + ^^r2 q"+\Sin.pn Sin.l A<7r; tivemcnt ^P au lieu de 7P+I
/ 1 + a A- n , I , ^\ \
.: .rP-'d.t-= , ,"", ,. „ rWf.p,T.5»-. ip.-lro/.^.-) 'cauchy,Sav.
, xrdx , Uyp.i.s:^.
9^ / j h\ = TiCosec.'pn.Sin.ipArctg.A.Cose'-A.Wf.tg.-]]
' / 1 -j_ .^2 4- 2 a .t Cos. Ardg. - \ "/ \ «/ /
71 i {a — biy-P-{a-^bii^-P
^*^\j b'- + {x + ay- ~~ bSin.pn 2 ,
„ 5-. |(1-P) .i-^i/- ;| f
^^^ = '^ ^- Plana, Mi'iii. lirux. 1837.
' \'{aHby I b\ ,
Sin.pTT.Siti. Arctg. - I
/ a;/M.r rcqP—^ Sin.p).
13)1 =: = —^ ^— , p^<l,X^<.T^ SclilOmil.li, Gr. 12. 198.
' ] q"^ Jf.%qxCos.l-{-x'^ Sin.pn Sin.).
f -J^ = L__*^'5.„.^
U) / 2071 „ , „. 2a7r 1 b
'j\—%x Cos. —— +x^ 2 b Sin. - -
dx 1 Z} „. 2 TlflT JITT
.S Sin. — ; — -. Cot. ~ Schliimilch, Gr. 10. 424.
u
b ' b
Page. 60.
F^. Alif.r.il. fr;ict.;'id(3n. Irinoiiip. TABLE 25 suite. Lim. et oo
/.e/'~'^ dx ft p rr fir » .t\
- = Cosec. . SiuA — ,0<p<l: Diengei-, Gr. 10. 311.
16)1 (/.r=.r Kaabe, Cr. 37. 35tJ.
'J\ ~x-+^^
f d.P n '
J a+ hx- -\- cx"^ 2\^^ \ah-\-2ai^ ac]
I x'^ dx n
18)1 = [
f dx n 1
7x''+(o4-6a;^)'^ ~ 2al/(l+4a&) \
[ X- dx n
'] x-+{a+bx'y "" 2iw-(14-4!a6)
/■ dx _ ^_ '^ i
2:5) f -^^^^ = ^ CcecXCosec. ^. Si.. j^liL:i^)±«il Kule. Calc. Int.
r. k
, j''— 1 da; n- ^ . , brc la — b\
21)/ - — - - - = - Cosed. Cosec. — . Sin.l A Euler, Calc. Int. 1'. 4, .S. 5. 1^3.
" \ -\-%x''Cos.l^x^<' a a \ a '
d;«±A— 'dj; rr bn _ bl
= - Cosec. K. Cosec. — . Sin. —
25)/ ''■- = - Cosed . Cosec. '-^ . Sin.'— Kuler, Calc. Int. T. 4. S. .5. lyi
F..\lfr. rat.fracl.ajiulreden.polynonie. TABLE 2G. Lim. el x .
l)f^.^.^^—l-^ ■^ P '^'"•^- ^°^' P^— ^°^- ^ • ^'"• /' ^ Legendre, Exerc. 4.
7 (1 4- 2 X Co«. A + .T>)» ~" 2 Sin.pix Sin^ I 108.
, / I d X It Sin. p). ^
2)1 = ^ ,/^* < 1; LcKendre. Exerc. I. 1(12.
'J \ +2xCo8.X + x^ xP Sin.pn Sin.X " ^
f X 4- a dx 7r Cos. (p Arcta.i)
6)1 " — = . ^^ ^—^ Cauchy, V. 2S. 147. I. S 2.
7**+(« + rtl» !CP i/(a»+6>)P Sin.pTT
n (a — A »■)— P +{a + b i^-P
4) = — --- l^^^Jl-J^- I'lann, Mum. lirui. 1S37.
Sin.pn 2
I'age 61.
F. Alg. rat. fract. a autre don. polynome. TABLE 26 suite.
Lini. et 00
Sin. ip Arctg.—
6)
7)
om.ipjircig.-\
J 1 "^ ^ J^ \ ^/ Cauchy, P. 28. 147. I. f 2.
' / ir- + (.r + ay a;l> \y (a' + Z>=)/' Wn. ;? tt
ni (a — bij—P — (a + bi)—P
Sin.prr 2
Sin. [p Arctg. -
Or
^ ' ' Sin.pTT.Sin.\ Arctg. -\
/\ d X Tx I
; = Sin. pX. Cosec. p tt. Cos. A , » < 1 , <; < 1 ; '
riau.i, Mem.
/ Brux. 1837.
„ . , %TTSm.\p
[XP — 2 Cos. ,u -f .r-P dx \ q
.r? — 2 Cos. l + .r-? x
q Sin i.. Sin.
n—X
2 (n — ).) Cos. II
q Sin. ).
10)
J x^ —
XP + x-P
9. TT Sin. I p
dx \ 9
xV — 2 Cos.k-\-x-l X ...... P'^
q^m. i. Sm.
3
Euhr. N. .\. I'etr. III. 3.
jxt —
X±P
. TT—V
TtSin. \p
dx \ q
9,Cos.X-\-x-9 X c^. ■, c- P"
qSin.K. Sm. —
9
P. _P
xp + x—P dx al — a '? 2 TT p tt
= Cosec. —
12)/ / 1\ X \ a q
' \-\-x-<i a
e d£
14)
-f a .«' -^ bx"^ -\- c p{p- — a) v" c — 2 c
.T^ dx n\y c
, ou p la plus grande racine de
(Z^—a)^ — SZ l/c -4i=(l.
I'disson L. 2. 224.
a;6 J^ax" +5.r^ +c " 'p[p'' — a) i^c~2c
15)
a;^ da;
a?" -j- a.r* + bx'^ -\-c
— .', n^ 1/ c
p^ — a
pip"^ — a) xx c — 2c /
Page 62.
F.AI|T.iiTat. fract.aden. hiiiomc. TABLE 27. Liin. ot oc .
1 / = 2 ^^^' ^ li-l, !>»)> ; Schlomilch, Beitr. III. 13.
fjP—i d X
•2) I - = TtSec.pn \
fvi'—ldx 1 — -Zp
fa/'+idj; 2p + 1
/(l + .r)^ -Z '
SOettinffer, Cr. 38.
, j ■VP + '^^idx (14-2 p)a + l/2(l_2 p)6/2 r a,6-;^}(/.,; [ "162.
^ r a-;'-^ + M ;c {i-2p)l>li ^^ /• .r^-P-id:.
'7(l+a;)-<'+*+2 (!ip_i)a+i/-2 '*" '^'^^''■^'^-y(i^^)_„ + 4 + s
/" jfP+a + ida; (1 _j_ 2p)a+:,2
/ p-^+i \ / p + 'A
fxiii ^-^)dx ^ [ a / I 2 )
■ I {l+.r)l'+i T{p + L)
l p — q + \ \„ jP-\-(/
f xi(p-^-^)dx _
7'(i + x)p-i
•2
^f-=i^)^r—
^^ ^' > Meijer. Int. Def. 329.
7(l + a;>V+l 2r(p + |)
I xP-idx _ I 2 / \ 2
7(i+.,-')/>-j 2r(p->)
r a-2«dx r(a+4)r(i — a)
13)/ ■ , ^ =F (5m.^| Legendre. Exerc. 1. 146.
i \—x
^'*7 t^(l— gn.i '^•'=" E"l«'' N. C. Petr. 6. lib.
Page 63.
F. Alff. irrat. fract. a d.-n. binome. TABLE 27 suite. Lim. ot oo
■p
) / ' ; = — - E' Sin.
15); ., --•"■-10, .
Legendre, Excrc. 1. 147.
Ifi) = \yZ .Y[Sin.^^
17)/ — — = Sec. ~V^-.Y\Tg.-\ Legendre. Exeic. I. 148
IS) / ■ — = Sec — Y\ Sin. _ + 7>. — F' -
I ^ ~ — ^'^ '^ \ Legendre, Eierc. 1.
Ih + a^ \\ lb — a]
r^_ - r' '
i o;ia da; \ 2 / \ 2 /
iqj - Z± -- ^ ^. ' __\_:^-/ Schlorailch, Gr. G. 213.
^^'7/1 \b+i - lb \
T+>^•M 4r-+l
2
Cg,\h±a—\ iJIj; TT an
20) / = - Sec. - - Euler, N. C. P. 6. 115
7 1 4- ;»;!■ b b
f :CP-1 dx ^P , \
Jl^{l-\-a!9) f
y 1^(1+0,?) J
■ nana, Cr. 17. 1G3.
''+i)-idx 1 16 'l"/'
Octtinger, Cr 35. IS.
a— 1 da
f a:«~i ax TT air '
24!) I s = T Cosec. j
fxa+l'—X dx UTt
25)/ a = i^ Cosec.
J {l—xl>)b ^'
Euler, N. C Pctr. 6. 115.
F.Alg.irrat.fract.aautreden. TABLE 28. Lim.Oetoo
/' 1 dx
1)1 = n Dedekind, Cr. 45. 3
7 1 + .^ l/i"
r 1 (i.r
7l — :«; l/J
70.
SclilOmilch, Beitr. III. § U.
X
t dx 2 7) + 1 „
3 I = - — rrSec.pn Oettinger, Cr. 38. 162.
7(1 +a-)^a-P+i 2 '
Page 64.
F. Ali;. iiral. IVnct. ;'i autre (leu. TABL!^ '28 siiito. Liin. ct x
tZ j; 1 — 2 p
f dx I
/" da; (i + 2p)a+i/2
//^rSP a;— i/'\ ^
I d.r = 2 ( 1 — /> 7T fo<. ;) tt) , ;/ ^ < 1 ; Minding, Taf. 1 1
[ 1 dx [T(p — d]Y-
8) / -, 7-, ■« "' = ^— ^^ Sclilomilch, Gr. (J, 213.
Winckln. Cr. 15. lOe.
f dx 1 ix-(p= — y2j ^
>L-j!)ntto, Int. § 53.
f dx TT
11)/ — = Legendre, Eserc. 1. UO.
7(1 +pa-*)0''(l +9p'.p] iU-'p
f\ x'' +1 ] dx \
12/1- ~ }— =_i2 J
'j [ v'(T^ + l)i X (
,;n/'fl_ ^Il+l ll.r_^ ac-6n
7 I l/{a»a;<4-2(ac— 2J2).r^+c»jJ x ac '
f dx 2 I P' <7-\\
^^\/ 1- (l+^^r)(l^-y^r)(l+r^rj = i>(p>-r') ^ ( ' ' ^ ^TI. ^. I J ' "" ^''^•'f^ ;•
jgj" <i-t- 2 / p — ,ji\
7 l^.t!(a; + p')7*+. 9') (^ +r») ~ v/ (?*—»•') \''''^P^^^^) ^ '"'
/(« + 6.tic.i')/'+i T(p-\-\)\cl c 2''/2(2l,-'ac)" (6-f.2i/ac)P-"j
Kagi' 6 .") , ,
WW- S^ NATI I IIK M-llir. Mil Kn\|M<| . AKAhEMIi:. lll-KI. IV.
F. Alg. irrat. fracl. u autre den. TABLE 28 suite. Lim. el oe .
1
p + l^ -X
/ 2 da: n
19)/ = '■ Poisson, Chalcur. N\ 159.
7 t- + p 1/ 2 .r 4- p^ 9* — «■■' 2 IX 2 5 . (? + p 1/ 2 9 -|- ;/■' )
■10) f P ^ = -^^ —P— '
•r -\--\^Zx+ -
P P
Poisson, Clialeur. Suppl. Note B.
p a;C TT p
q X 1 -f- r^ a;' Zrl+pffl^r
- I ./ 2 X 4- — ,
P P' /
, on p <C 1 ;
-/
Schlomilch,
[ ^* dx 2p*+l 1— p^ il5citr. iii. fe!
24)/' =nCot.biT Dedekind, Eul. Int. S. 22.
/ 1 — X .V
F.Alg.rat.fract.aden.lia;''. TABLE 29. Lim. — oo etoo
— — —
1) / = Gruncrt, Gr. 2. 266.
jx±q
f dx
2) / 7~. : = 7c Olim, Ausw. N= 2.
I 1 -I- .1-2
3)'"
f dx _ 1
j .r^ +p2 p
^Cxdx \ Caudiv, Cours. Lcc. 32.
5) = ? « , pour — K = — a(x):,
C dx
^)\'~. r= " Poisson, P. 18. 295. N^ 41.
.' -^ — P"
/( — .ri)P-'
~ J 2 <^--'' = ^ |(— iy-i H- (2>-'} , /> <;2; Cauchy, Cours. Leg. .34.
81 = n-
Page (56.
r(— a;»)P-i »;r} Meijer, Int. Def. 1.54.
9)/'^ '-^dx = nCos.^\
F. Alg. rat. fract. a drii. I ± x". TABLE 29 suite. Lim. — oo .-t oc .
f{— xi)P-^ n ,
10) / ;— dx = - {{— i)l> + (i> , p <2; Caucby, Couis. Lei;. 34.
j \ — X i>
fx'^^dx n ^ (26+1 ) Cauchv, Sav. Etr. 1827. 599.r.-2. §5.(pour a
11)/, . ,„ = - ^osec. j— n\, 2i><-.Ja — 1; et i quelcoucnies).— Serret.L. 8.1.- Grunert,
./ I + A- a K ia J Qi. j; 260.
/■.c^t-l dx \, 2b<r 2 a— 1;
12W = \
f x^f'dx IT ^ (26 + 1 TTi f
13) / , , „ . =: r Cot. {- — -\ \ Grunert, Gr. 2. 2tiG.
7 1+.»-2a-' 2a— 1 i2a — 1 2j i
r .c-i-l dx n Itt \
Xf^JflAf- = f c'oJ^^±^4' 2i<2a-l; ^"T'7' «V- Etr. 1827. 399. P. 2. § 5. (pour
' I I _j2a a (.2a I oct6 (lueltonques). — Grunert, Gr. 2. 2b0.
r x'^f'dx -T ^ (26+1 ,t) f
17)1 = Cot. ) ■ -} \ Grunert, Gr. 2. 200.
7l_j;2a-i 2a— 1 (2a — 1 2j /
(X^l'-Ulx 71 blT ]
^ ^^j 1 _ a;2a-l = " 2a— 1 '"'^' 2 a - 1 /
F. Alff. rat. fract. a autiTdcn. T.VRLE oO. Lim. — oo et oc .
'J{r + xiy{s — xiy} ^ r(p)r{5) J l>/.>().l>v>(i:
f dv _ (
j {r -{- xi)l> (8+ x{)'>~~ { Cauchy, Lim. Imag. N'. 102, 100
3.f i^ =0
J {r — .rt)P(,s — X t)9 I
,Ai P — 1'- . P + g » \j .1 1 o , , ^ Cauchv, Cour?.
J \x — r — «i r — r + St/ ije?. o...
.')) = 2 TT Y Cauchy, Cours. Le?. 32. — GruniTt, Gr. 2. 200.
G) / ^, H \dx= Grunert, Gr. 2. 200
./ \.i" — r — SI X — v-\-.ii\
IVc G7. 9*
Cavley, L 12.231.
F.AIg.rat.fract.aautre ddn. TABLK .'0 suito. Lim. — oo et oo .
/■ 1 dx 71
7)1 = V. T. 113. X . 17. ft T. 147. N'. 8.
J .1 —(]xi)Pl ^x"^ {l + q)P
7(l_;;_j,i)a + 6 l-(a + b) ' ^ ^ ' I
I {p + .vi )1~^ 2Sm.rn.Si,i. qnT{q}T{r) I
'J{l—p — a!iy-r Sin. {{q + r) jt) T (? + r) ' ^ W T ; ^ ^
f d V 2 :r
10) / '- = Ohm, Ausw. S.
f dx Zn
11)1 = Ohm, Ausw. 9
71— .'■ + .r- l/;5
[ X — a
12) / ; dx == f, i)our — X = — « (x ) ; Caucliy, Cours. Lcc;. 32.
13) = \
f dx 1 (■ Cauchy. Cours. Le?. 32. — firumrt. Gr. 2. 266.
1.5)/ = int
7 1 ± .r 1/ 3 + .r* I
1 6 ) / dx = 2 rr
7 1 — «*+.T«
/ (^^ ^ ,
17)1 = nCosec.K Schlomilch, Int. 117.
7 1 — -IxCos.l^ x-^
IS)/— " \^ "", dx = J^ , [a b-) Plana. Mdm. Turin. 1S18. 7. Art. 1. NM2.
F. Algebr. rat. fract. TABLE o\. Lim. \ et 00.
f(x — l)P \
1 ) / dx = — rr Cosec. p n \
J ^
> Oettinger, Cr. 35. 13.
/•(.^_l)l-P \
2) I d.v = — ;t Tosec. p n j
fii a; 1
] :iP p — \ \ Haaije^ j„t. 120.
■ 4) = X .p<l;
Uaabe. Cr 37. 356.
Page 68.
F. Algehr. rat. fract. TABLE ol suite. Lim. 1 ot ao
[(.v—D^—Pdx 1— P
.5)1 = p vr Cosec. p n
f .«' ?/
hj I == p n Cosec. p n
- - ^---- " - ' ■ 162.
[{a;-iy + '^dx (l-i-;,)c,i(l_p)V" rOilzii^
' / — "; " ""„' ■ ' = ; }} JT Cosei:. p tt ^ I ;
j A-Hc + a lA + c/i ' /^ y .r''+'- + 2
^ C{x — !)/'-<■ J.'(, ( 1 - p)iii ^ /-(a- - 1)6-/' d a;
Ij ^6-c + 2 lc/-ll6-c-l/l^ ^ j 3Jb-c+2
'"f— i — - -iTTTzr- = _/"—;—' ' ;
1 1 \ I V '_ __ I ' dx
'j .i;ad=2i+f la±2i+c— 1/1 J .i..±2i+c
[ui' — iy^d.v 1 j''"i"'
12)/ = —
l:i)/ = 00 J
) Schlorailch, Stmi. I. 11.
1 -1) / -= »
Oettinger, Cr. 35. J3.
a;? — 1
15)/ ■- ' d X = n (p , ii) Binf t, P. 27. 1 23.
J (! +x)l
f dv
7 .rr+7 + 1 ;, + <y li^pzjl
/".rt— ' — a;/'—' 7r (ij — p rr) (
/ dx = Tanq. { — -M
J :cP+1 — -[ p-\-q ^ XqJrp'l] ;
[ 1 + .»•* 1
li))/ — ' dj; = -7r Kaabe, Cr. 37. 356.
7l-j.j;J+j;4 2
^f^) / ~7 = TT Cosec. W7r Oeltingcr, Cr. 35. 13.
'J.v{x—l)P '
10/ " -- = ^ Knnbc, Int. 13r,. — Ohm. .\iisw 3.
Kimliu, Int. 147. — Ohm, Aiisw. 14.
/".rt~' — XI'— ^ IT (o — » rrl [
IH)
Page 69.
F. Algt'br. rat. IVact. TABLE 51 suite. Liin. 1 et oo .
[ dx l—p
21)1 = p n Losec. p n
22 U = p nCosec.p 71 \ Oeltinger, Cr. 38. 1G2.
''~'jxHx—\)l'-^ 2 ^ ^ I
C dx (I + pK' „ 1
231 / = r; — r—x n Cosec. p it
'] xf'+c+^{x-lf+P (1+^)6-1/1 1C-6H-1/1 /
fxP~^ — X~P~^ ^ p^r
24)/ dx =-^ Sec.^ Malmsten, Cr. 38. 1.
re— 9 2 ^ 27
F. Algebr. irrat. fract. TABLE 52. Lim. 1 et 00
f{x~l)r-i
1) I ^ • rf.r = 7t bee. p n
n^ _ \)p-h \ — %p
2) / ~~ '^•'^ ^^ ''' ^^'^- P ^
/•(A-~iy+i 2 p + l „
3) I -- — d:v = It bee. p Tt
J x"^ 2
Octtiuger.
Vr. 3S.
/•(.,;_ ly+a+i (l + 2»)<'+i/2(l_2»)*/2 /•(aj—ijP+i-J
41 I — ■ dx = ; ; t Sec. p n = I ; ox
*)j j.a+b+2 la+6+1/1 2"+*+! J X''+<'+^
f))\\^ i dx = ; ^- 2«-i-i IT Sec. p t = I ^ r~' , „ - </.<
'^)j a;a-6+2 ' -* (l+2j9)V2la-6+I/I ^ / ,,0-6+2
-1+2.
7) \^' dx = - Cosec. — Oettinger, Cr. 35. 13.
/ X h b
/•(.pi — 1) b^' {b—aYI''[b+a)9/l> an air
S) I 77 dx = ' r— — r—^ ;- r (-^osec. —
'j A-lc+^+i jc+v/6 a+bc b b
f(xl> — I
/•(.i;i — l\~b'^^ (b—aY"'b3-<'—i a 77
1 0) / ; T-r- dx = {—] y , , 7- 7T Cosec. —
)~6"*"' / an / a^\ I a-^\ a In a ^rf t>e"iDger,
^ dx = 1 — TT M" — — I . •••U'^ — .— — : r- r Cosec. — \ Cr. 38.
bc+l \ b^ \ b\/ \ h'^jl^'-n a+bc b hi 1(52
Page 70.
F. Algebr. irrat. fract.
TABLE 52 suite.
Lini. 1 el oo.
,/'^
(a;>> 1) b'^ T rt.T
11)1 ^ '- d.c = (— 1 Y - Cosec. — Oettinger, Cr. 3S. 1(52.
X h b
i+i) i'-T
= ij''— "— 1 :
dj =2
13)
/.^
dx
r (i + D
Schlomilch, Gr. 6. t\6.
1 TT
- = - .T Cosec. - i
x}y{x' — 1) 2 q[
C dx TT TT I
'jx}y{xP — \) p q j
f dx
15); r = ^ Sec. p n
f dx l — 2p
Id) I : = 7r Seep
'lx^x—l)P-i 2 '
dx
Haabe, Int. 147. — Ohm, Aiisw. 14.
f dx 2P+1 o
17)1 = ^ Sec. p n
l)P+i
f d X n
^ x{x'>—\)T>
dx
1+c
an
Cosec. -~
b
19)
/dx 7t ^ an
= (— IV - Cosec.
a \ ' 1.
.,;(.j;4_l\A^
[
Oettinger, Cr. 38. 162.
20)
/
j.{c-g]b+l (xb _ ] y,
{b -{- ayl<> ab9-c- ^ an
= 1 — 11? — ; — " T Cosec. —
"+<, ^ ' a9lb ic-g/i a + bc b
V. AIfi;('l>r. onliere.
TABLE 53.
Lim. ot ;).
jdxl^(p^ —
1) ./.
.,/.
I.
j-dKl/(p' — .«'■')=- /)' ). Solinke, Samml.
^)
jx^ dx
Page 71.
. \
l^{p' _.v») = Y- p' n ,
F. Algobr. entiero.
TABLE 35 suite.
Lini. Oel p
5) /. 1-26+1 d^ 1/ (p= _ ..2) = -_-^^ j,2«-3 j
f 2'V2
io)jdxi^{r'-T^Y'' = — p24+i
Solinke, Samml.
7)/rf.i-i/(/-^-.,-)2''-i = iijp2i^
1
6 + 2'
.■J- 1^ fp^ — .r^)c
1)4+2
26/2
'J ' ^' ' 26+CI2 2
11)/ ,t2* d .).• V / (» 2 _ ^. 2 )2c = — ^ a2(*+c)+ 1 /
Dienger, Cr. SS. 2K6.
(c + 2)6+1/2
2/,+c+2
F. Algcbr. fract.
TABLE 54.
Lim. et f.
1)1 — = Arctg.n Raabe, Int. 136.
{ kdx 1
2)1 = — T, pour i- = 0; Schlomilcli, Gr. 11. 63.
J k"^ -\- x"^ 2
3) I = - 00
4) = — / -^
' 2p 2p
J?idone, Mem. Turin, l.sl^. 231. Art. 1. N: Si.
ISl?. 7. Art. 1. .\. 1..
Plana, Mem. Turin,
[ dx
5)1 = Arcsin. p , p- <^1; Kaabe, Int. 135.
I I. (1— a-*)
f dx 1
Ci) I =; - TT Cauchvi CoLirs. Le<;. 32.
J Wip'^ — x"^) 2
f X d X
'^^jl^ip' — x^)
p Solmke, Samml.
Page 72.
F. Algebr. fract. TABLE 54 suite. Lim. ct;).
f x ^dx _ 1 ^
a-' c?.r 2
f x^l>+idx 2*/2
111/- ; =^ 1)
12)/ -:: r^^t r- = tF (t
/ Sohnke, Samml.
/ 1 Kpx — a;'
16(2
) zm ^
\
Ifi / — 1/ ^- ='^- |l — ^ I -] [ I \ Uogner, Mater.
7 X p^—x"" 2 •• 2«— 1 i2"/2 l^jo/ J J I
17) f '-^ = -^ 1 fl!^]"-^ (AV
Ju'{p—x)[2bx—x'^) 1/-26 \2"'2/ 1^2 i-/ /
1 8) f ^^-^ _ < [ , i^(i+?^)- (i^i-; >) , ^ 1^(1+ '/^-)+! I p< 1 ; ^^a'''^^-
7('?'+^)l/(l-a^) 1/(1+<7^)1 1/(1+?')+ 1/(1— P) 1^(1+?')— ij' Int. 421.
/■ 2 r^ /)i n» 1
19)/ -7-7- ^ ^^ dx = n, b>p: Dienger, Gr. 10. 341.
7l/{(6' + jo»— a;»)(6»p»_(6'+p*)a;»+ar*)) 2 =^
— j)g- ' dx _ r (&) r (c) _P*J:'~'
20)1, '^ r- = ^ ' ^-^ -f - Win.klcr, Cr. 45. 102.
;{(sr — A)jr
F.AIg^brique. TABLE 35. Limites Hiverses.
f>-
1)1 — = — oc Cauchy, Cours. Le?. 24.
— 1
.1
'^) /'(I — ;'- -f ')'?-> (^-g = n„^"' , -,, <r~ Lindraann, Slockh. HanJl. 1S50. IIF.
27r(,/ + l)2/;
Page 73. 10
WIS- EN NATH'llli. VKIill. m:H KOMMil,. AKAtiEMIK. UKf.l. I\'.
F. Algebrique. TABLE 55 suite. Limttes diverses.
3) r ^ •^ — = [ Z' (——1 — 'L V-^ U Liudinann, Stoekh. Handl. ISuU. III.
apres la diffdrentiation on doit niettre q au lieu de '; ;
1^ ' ' ■^ :» ./2 a\ 1
/•V/(>-/>')
5) / (J'' ^V"^?" '^^ = -2'/)2.2«-") (1 —p-^)r>^\
n I 2/1 + 1
''"^ ^ Haabe, Int. 42 1.
Sur li's integrales 4), 3) voycz Caucliy, Sav. Ktr. 1837. 124. N'ote 16
i A? ^ = M « -I- , ( » -2 _ 1 ) j < 1 . Olnn, .Vusw. 1 0.
7 / = Arctq. '
7,(?-+J^)l/(l — •'^) 1/(1+?') 1-^(1+9
/' dx 1 ,„ a ,, .}
a
/•ft , J 1.1 ) ' Poisson
nil . _ _ E' i_ 1^' r^i _ (i^)i
7 l/(^*— a^)(&^-.r^) b \b )
a
h. 2.
L84.
in/ = 00 J
7 a;* — a* f Bidone, Mem. Turin. 1812. 2
" , „ I Turin. 1818. 7. Art. 1. N. 4
231. Art. 2. N. 31. — Plana, Meni.
^^^ 2a 2a i
/" dx
13)/
7 a- (.r + 1
13)/ 1^^^ ^ I ^+? Schlomilch, Gr. 4. 71. — Arndt, Gr. 10. 225.
f dx 1,1
1 1 + Cos. A
.. - Cos. X
Sec. X
Lesendre, Exerc. 5. 76.
r da;
15)1 — = Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 3. — Matzka, Gr. 20. 1.
J —p
Page 74.
F. Algebrique. TABLE 35 suite. Limites diverses.
.00
/ dx Tt *
In); = Cosec.p TT . b <^a; i
'f (l>-.j;)(^,r — a)r {—iy'i'{b—a]i' ' ^
" . [ Kiuiius, Cr. 24. 257.
/ dx TT \
J_ {b — .r){x—a)P (—l)p(b-a]P ' !
I
18) r ^''-+ -'^ -' ("~^')'~' ^^-l' ^ r (&)r(c ) a'-trL _ Winckler. Cr. 45.
19)/ = ^ / i- — / a Arndt
It, Gr. 10. 240.
20) = i - Ohm, Ausw. 1, 2.
21) = -/ -1 Matzka, Gr. 20. 1.
r dx^ ^1 M a+r^)+| (1— p) i_ll+r^) — i^(i— 5ll liaabe,
"^7 (rM^x)^/a-a;^)~V/(l-r^) {l/(l+r')+ ,(1--?) V +r'^) -7(1-7)1 '"'• +^'
o.-n/ .f(a- 2i — a-)"-! f?.r •= ; ,- . Hoppc, Cr. 40. 142.
'] a(a + 1)
•'
F. E.\[»onenl.. Forme c'\ TABLE 50. Lini. ot oo
J ) / c— ^ d £ — 1 Caucliy, Cours. LeQ. 32. — Grunert, Gr. 2. 2G6
., r . . 1 Caucliv, Cours. Lcq. 32.
2)jc-r'-dx--^- Li„,,ii,c, L. 4. 317. -
— Cisa tie Grt^sv, Mdm. Turin. 1821. 20y. II. N^4J. -
Oettinger, Cr. 35. 13. — Grunert. Gr. 2. 26C.
ii)ip^dx =- — , ,/'<!: Poisson, P. 19. 404. N". 76.
I'
■i)fcl'^da: = X Cisa de Grcsy, Mcra. Turin. 1821. 2i)!t. II. .\. 45. — C.uicliy, Cours. Li?. 24.
5) L^P''dje = ]
/ P' (
Pago 7 5. ' 10*
Meyer. Int. Def. 99.
F. Exponent.. Forme c^'. TABLE 36 suite. Lim.Oetoo
7) fe-
/ 2
Sur cette integrale on peut voir: Laplace, Mem. de I'Ac. 1778. 227. § 23. - Id., lb. 1782. I. § 4. -
Id., Mem. Inst. 1809. 353. § 3. — Id., Trobabilit^s. L. I. N. 24. — Legendre, Exerc. 2. 81. —
Fourier, Chaleur. 360. — Kramp, Hefr. 3. N. 66. — Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 1.
N. 20. — Binet, P. 27. 123. — Oettinger, Cr. 35. 13. — Roberts, L. 10. 1. — Grunert,
Gr. 2. 266.
r 1 Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Tableau. — Cisa de Grfisy, Mem.
je-P ^ dx = —- \y JT Turin. 1821. 209. II. W. 35. — Boncompagni, Cr. 25. 74. —
J ^P Winckler, Cr. 45. 102. — Sclil5milcli, Gr. 5. 90. — Id., Stud. I. 12.
\eP^-'dx = - c 1/ - Schlomilch, Stud. I. 13. — Scliaar, Mem. Brux. T. 24.
J 2 p
0)
2vxH , . .
10) /e P dx = — ^V/p Schaar, Mem. Brux. T. 24.
3 *
ll)L-^dx = - 1/ (., 1/ 2 .}'<^^ -• = 1 ' ^^1102 87371 46059 87:
7 2 ^ Laplace, Mem. Ac. 1782. § 5.
12) /(T-^" djo = - T [-1 Legendre, Me'm. Inst. 1809. 416. N^ 81. — Id., Exerc. 2. 81.
•/.
13) = V Oettinger, Cr. 35. 13.
14) ie-P"^^ dx = li le~P) Winckler, Cr. 45. 102.
7 P
f J-^ 1 a+l/2
\^)\e-^'^ dx = ~ V/ n Kramp, Eefr. 3. 67. .
' j 2«+i
\y n Kramp, Refr. 3. 74.
{ -K 1^ «
)/e ^ dx = TT Kramp,
3 ia — YY"
[G)je ''•dx
F. Exponent.. Autre forme entiere. TABLE 57. Lim. et oo
l)je~'''^''~*^dx = - 1. ' TT Cauchy, Sav. Etr. 1827. 124. Notes. N'. 2.
Page. 76.
F. Exponent.. Autre forme entiere. TABLE 57 suite. Lim. et oo .
f -x^-"' 1
2) / e *'^ dx = - e—P l^ 7t
Sur cette integralc voyez : Laplace, Nouv. Bull, de la Soc. Philom. N. 43. — Id., Probab. L. 1. N^. 26. —
Poisson, Nouv. Bull, de la Soc. Philom. N'', 50. — Id., P. 16. 215. N°. 8. — Bidone, Mem.
Turin. 1812. 231. Art. 2. N'. 23. — Cisa de Grusy, Mem. Turin. 1821. 209. II. § 37. —
Cauchy, Sav. Etr. 1827. 124. Notes. N'. 2. — Von Schmidten, Cr. 5. 388. — Kumraer,
Cr. 17. 228. — Boole, L. 13. 111. — Bonnet, L. 14. 249. — Helmling. Transf. 27.
f _n2r^_?i 1
;5)/e '^ ' i- dx = ' - e—'^PI^n Schlomilch, Gr. 9. 379. — Helmling, Transf. 27.
} 2p
■i)le ^ ^' d.v =^ — r — Boole, L. 13. 111.
5)/e— **+/« d.T = - ev \^ n Cisa de Gresy, Mdra. Turin. 1821. 209. II. N\ 39.
( -PL n
6) le— (v^-f'+/^") rfx = e 4?s 1/ — Meyer, Int. Dcf. 118; fautive selon Helmling, Transf. 6.
7)/e^/" ''^ dx = -we '' * 1^- Schlomilch, Stud. II. 24.
8) ler-^+2py''x dx = pep"" l^_n — \ V. T. 37. N\ 5.
9) / (c'/" + e-P^) e— t*-i/'' dx = l/TT Cauchy, Sav. Etr. 1827. 124. Note 2.
\ Cauchy, P. 28. 147. P. 3. N\ I.
1 . \
11) = A' . - pour q entier I
P
\Z) I {c-P^ -\- e-^pi) e— '* dx = eP^y-'n Cauchy, Cours. Le?. 40.
13)/(c2p' ^ «-2/)x) g-7»r» dx = e'' Schlomilch, Stud. I. 12. — Helmling, Transf. 7.
J Zq
f p^
H) I (<?i'l/' — e—pV^je—'dx = pe4 I^tt Helmling, Transform. 11.
Page 77.
F. Expoii.. Forme fract. a den. binomc. TABLE 58. Lim.Oeloo
1)/ -- = ' ; 2 Cauchy, Sav. Etr. 1S27. 590. V. 2. § 5.
7 e-'^ -\- 1
fepx — g-px I
•■>) I dx = Cot. p Malmsten, Cr. 35. 55.
fp — qx f>~PX
:?)/ dx = Z'(p)-Z(.q) V. T. 5. N'. 8.
J \—(-
"1 — e-/''
4J f rf^ ^ ._A — Z'(l -;>) V. T. 5. N'. 3.
'( 1 — e'
fp — ii.r p — qx
.->)/ d^ = Z'(l -p)-Z'(l— 7) V. T. 5. N\ 4.
y 1 — c*
6)/ ^- = - I'Z Lobatsehewskv, Mem. Kasan. 1836. 1. II. N'. 20.
'/l+e^/'^ ^p
'j I + e-2/.x 2 p 2 p
8)/ ^"^ = — Poisson, P. 19. 404. N'. 77. — Haabe. Cr. 42. 348.
I eP^ + e—P^ 4p
9)1 — — dx = — Sec. — i
] 0) I — dx = — lanq. — \
ncl^—e-^x 2g ^ 2fl
; Kaabe, Int. 143. — Ohm, Ausw. U.
11) f — ^^-^ dx = -—- Sec. [~--^] i \
'jfjrxj^q-rx %rlq \2lqJ I oh qy p,\
12 \- dx = — Tana. \~ '\\
''■''jqrx_q-rx Irlq '^[Zlqjj '
C^ix . g — px 1 1 1
I ;n I dx = — Cot. —V Malmsten, Cr. 35. 55.
>] e27rx__l p 2 2^
^^7" g7rx_j.e-x "" Cos.lpAr Cos.^<i\' ' ^2'' ^2
(e^pj: _^«-2;,x) (e2?T _ e-29x) ^^ _ 2 _Sin.j,.S!n.g j poi^g^n, P. 17. 612. N». 21.
e'!'x^£-5rx Cos.2p -{- Cos.'Zq I
/"^-f l+iT-^:! , _ 1 r. Poisson. P. 18. 295. N'. 22. — Legendre, Exerc. 5. 45. — Malra-
^^/ eTx J_e— Tix ~~ 2 '^'^ slen. Cr. 3S. 1 la trouve fautive i Sec. | p.
Page 78.
F. Expon.. Forme fract.ii den. binome. TABLE 38 suite. Lim. et oc
17)/'^ e -^P--: ^^^^j Poisson, P. IS. 295. N'. 22. — Legendre, Exerc. 5. 45. — Mai
J e~^ — e~'^-^ 2 sten, Cr. 38. 1 la trouvc fautive Tang. p.
C/^nx ^--Bx\ fMix I -nr\ c- Poisson, Mein. Inst. 1811. 1(
^ /(«P-_.e ^-)Je?^ + e-9x)^^ ^ Sin.p N". 26. - Id., P. 18. 295. x\'. 21.
; «">' — e-^': Cos.p + Cos.(i ' flana, Mem. Turin. 1818. 7. A
4. N". 20.
/ eJTr ^ e-ijTx -^ ~ Cos.ilp + Cos.2ql , q < ^ , P < ^\
^^,.f(e>'^ — e-l>^){e9' — e-9'') Sin.p. Sin.q ( Poisson, P. 17. til2. N°. 21.
•iU) I , , ax = 4 1
J eif -^ 4- e-JT' Cos. 2p + Cos.2q '
21)/- ; — = Seep
f el"' — e-/'-'' I
22)/- . --= Tang.p)
'J eJTj — e— i" y
2:i}j[i]—e-^)-i~l\dx. =2 1-2 V. T. 15. N". 1.
F. Expon.. Forme fiact. a (li'n.polynome. TABLE 39. Lim.Oetoc .
, p' <i^';
Kaabe, Cr. 42. 348.
I) / " "■" - =: " -'- t.auchv, Sav. Etr. 1S27. aSI'.i. P. 2. J 5.
e^ d:C n — X
■2x _ 2 e.r Cos. ?. + 1 ~~ 2 Sin. I
da: = — r , p < I ; Poisson, P. 18. 295. N\ 28.
-I
fe(l'+9]' -t- e w- . I/- -1- ei/- 1/- -I- ev» r/- ,■
ePi -j_ e~P' n Sin.p X
dx = . —
e^ -f- e-^ -{■ 2 Cos. ). Sin.l.Sin.p^r
P+q)x J- e -(/'+?!* — e'/*— 9)^ — d.n—p)': n q rr
dx = — Tang. —
N
gip'c — 2 4- e-2/'x t 2p '''Zpl ^ P > <l-
4- e— <P+9)' + elP-s)* + e(9-P)* -r on: I Raabe, Int. 145.
e^P'' -\- Z -\- e-^P' ' 2p ' 2pi
J ev' — 2 Cos. X -|- e— v-r q p jj
i>tn.A. oiw.
pX
n Sin. —
6)/ — r';,~r T—— dx = — v. t. s. N^ 12.
7cfl' + 2ros.i + e-9' p;r
7 oin.A . o«n. —
Page 79.
F.Expoii..Forniefract.a(len.polyn6me. TABLE 59 suile. Lim. ct oo
7 / -^ -dx = ^^ ?— ^- — '- Cos. I V. T. 8. N^ 9.
■^ (jf ot7j. i( .Sin. —
1
S I, Tttt; = ^2 V. T. 38. N». 6.
f dx ir(»)i2
!))/, ■ — = -L^' V. T. 5. N\ 24.
10)17 X dx = — V. T. 38. N\ 6.
Jl)/ dx^-{\—l2) V. T. 38. xNf". 6.
12)1 = + -<_^'-L'- V. T. 39. N\ 9.
7 (e^ + e-^jsp+i p22p+2 ^ 8r(2p)
13/5^ ^^ dx = " Seep, »<-; V. T. 38. N". 16.
M)/^ ^ — ' dx = ^—-Sec.^—, q-yp; V. T. 38. N". 9.
^ /"(»— 7r)|e(*+P)^— e-('r+rt->^}+('»-l-7r){e(i-p)*-e(P-'r)^) qSin.p V. T.
15) / !^ — '-^ /.^. ■_!..,/ ^(«''-«"'*)'^^=;e^;r7-.'P+?<"-; ,38. N
(gTx _ e— Txj 2 ^P5 J, ^ Cos.}
e(?-P)x 4_ e(?-p)x ^ 1
(«x ^ e-xjp+?
IS.
jP.J-lLJJ ' "' " ~dx = tB(»,7) Binet, P. 27. 123
fe-ipx + e-2z« 1 , N
J (ex + e-x)?? 2 vi-r/ . y i |
16.
' ^ • Meyer, Int. Ddf. 312,
I.N _ r(g + p)r(7-p)
^^ 2r(2j) J
'j\ (i + «-^;pj 7-p+i r(p)
r e* ± Tos. ^ TT-X 1 1
20) / 7- dip = r-?r^-i- q= — r V. T. 39. N°. 1.
'I (ex ^ e-x _ 2 fos. X)^ 4>Stn.X -^ 4, i_ Cos. X
— p n Sin. —
r(^px_^-px)(,,x_,-,x) ^^ ^ ^ ^_ ^_ ^^ ^^^ ^_
7(e?^ + e-?^+2Cos.i)^ c- , c- ^^
qSm.X.Sin. —
l
Pa^e 80.
6)ier^^'dx == eJ'T' I/- Schaar, Mem. Briix. T. 25.
P
7)/e-'''dj; = ^ 1/ 2 JT Cauchy, P. 10. 511.
F. Exponent. TABLE 40. Lim. — oo et oo
I) I e^ d X = oo Cauchy, Cours. Le?. 24.
2)lei"''dx = Poisson, P. 19. 40t. N'. 69.
3) / c-^* dx =\^ Tt Poisson, Chal. 74. — Grunert, Gr. 2. 206.
f . ^
4)/e— P^' rfo- = V^— Ohm, Ausw. 20.
; ^^
/" • 1 + »■
5)/e^^' dx == — ■ — l^2ir Cauchy, Lim. Imag. § 189. — Id., P. 19. 511.
I'
i / e-'*' da; = 1/ 2 JT
f . ^ n
8) / c-/'^*' cZ.r = e-t 1/- SchlSmilch, Stud. I. 13.
9) Ic— ^'+2/'^ dx = eP' v^ TT Poisson, Chaleur. 74. — Cisa Ac Grcsy, Mt-ra. Turin. 1821. 209. I. 39.
lOj /c-r--2/'^ dx =eP^ Ix'TT Cauchy, P. 19. 511.
f <il n
11) / c-P'--9^ dj; = e4y>i^-' - Cauchy, Exerc. 1827. p. 233. — Id., P. 19. 511.
J P
[ I-" It
12)le-P^*+?»da; = e*p \^ - Ohm, Ausw. 20.
J P
IH) /e-(''+2pi)i-d3; = _Z!_ g_pi,- J / j^ Cauchy, Lim. Imii-r. 190.
J ^ *^
1 1) / e(/'-^»-+?i)> d.Tr = c\^~rv'' \^ - SchlSmilch, Stud. I. l.S.
/ P
15} ==(1 + 8)C 4/' V^_
lfi)/c-(/"''+?W'rf.
2p(
> Cnuohv, P. 19. 511.
1 fi) / c-(/"''+?Wirf J = ( 1 _ ,) c 4ir I
ZpJ
Page 81. 11
WIS- r.N NATnunK. vniii. nni kom>kl. akaiif.mik. ipi-.f.i. IV.
F. Exponent. TABLE 40 suite. Lim, — oo et oo
njle'^.P^'—g^}' da; = (14-»)(; p ]^ — - Lejeune-Dirichlet, C. It. 8. 1.57.
2 p
) j eip^'— <]'}>' dx
18; /e— (■^•+P+29Jr) J.J. = e-l>+'r \y n Fourier, Cbaleur. 364.
19
ao
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
P
I imagiuaires; \ 1827. p.
, si la partic reelle de^j t'st<^0 ;/ '' -^3.
\c ' -r2 dx = C-21//'?]/-
J P
je ixi dx = e-'' \^ It
> Cauchy, P. I'J. 511.
[ci^''''^^->' dx = fl +i) e'-'Vpi}^ -'^-
j 2p
le~V ^x'-J' dx = (1 — i tr-2iVp? 1/ -^
.' ' 2py
/ c '^ I ?'+?' j rf.t- = — , — . ,v>'}'A
J p + 'p I
/e I p-'i'> dx = — ; \ (■:iuL.li\, K.\erc. IS27. p. 233.
J 'P—P I
/ c I KP j rf-i- = 1/ -
i P
j 1 + e-«^
/■fP^ -|_ e-p^ TT pn\
I aa; ^ - Sec. — i
y ei^ + e-9^ <7 2 (7 f
'■ n pTri
; o ^ 2ol
- Cosec. — V. T. 22. N°. y.
a a
} Oluii, Ausw. 14.
( eP^ — e—P^ 7T pn
dx = - Tang. — ,
egx — e-sa; q Zqj
/ dx = - B(p, <j) Binet, P. 27. 123.
)P+9
/ nt'.-l^! '^•^ = Z' (p + 5) - Z' (<;) V. T. 23. N^ 3.
+ e-*)P+?
Page 82.
F. Exponent. TABLE 40 suite. Lim. — oo et as.
F. Exponent. TABLE 41. Limites diverscs.
, [ dx 1
1)/ = la—pe-'i) Hoppe, Cr. 40. 139.
J ,f—P P
2)/ e-''' dx = 1 ■ -^ ■ " i y^ Oettinger, Cr. 35. 13.
7o ,/+l. 2^+1. 3^+1....
;5W a—P^d.T = ^ Kummer, Cr. 17. 210
(I
,1
1 / 1 1 \
dx == - \c-<' e2o + — Diengcr, Cr. 46. 119.
a V 2 a Za
/ a—P^d.T = J^ Ku
•'
/•' »7 — 1
5J / ?//'J^ = ^ Meyer, Int. Duf. 9S.
R) j e' dx = c — 1
J
/•25r ,
I dx
7)1 ; = 27r,»<l
[' p e' ' d .V j
«)/„P^7^^=» ■'■<'^l ,„„,,,
U)f p^dx ^i'"~-
Moiccno, Int. 33, 13-5.
25r
J '/'
(' Mcwr, Int. l)i;f. IKJ.
Page 83. 11*
F. Exponent.
TABLE 41 suite.
F^imitcs divoi-sos.
'/
12)1 eP^idx = Poisson, P. 19. 404. N'. 78.
T q"
1'^)/ (?+pe"")" dx =
^ —It
•' — T
15)/ — =
r 2 I
16) / (?;e^')7 rf.i; = - p-? S«n. ^ tt , 7 < 1 :l
/•"da; , . I
17)1 —, T = 2 71(^6'^)'', W<,7;
Ohm, Ausw. 18.
18)
^P><I\
r
%Tt
I'J)/ e-a^'t/'^ (Z.r = --,1?" Cauchy, Exerc. 1S2G. p. 205.
— T
JO)
(e^')n+i da;
/ ''—'—- — — -r = Dirksen, Ber. der Berlin. Acad. 1848. 120.
/ v/(l — 2e^' Cos. ?. + e2^')
>/°
21)1 e'dx = 1 Cauchy, C'ouis. Leg. 24.
F. Logarithm.. Forme rat. ent. TABLE 42.
Lini. et 1
1)/ [l -) dx = IP/', pour /> entier; Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 7.
2) = r (p + 1), 00 "^-p ■]> — 1; c'est rint(5grale Euh-rieniie tie seconde espece.
Voyez: Legendre, Exerc. 2. 54. — Id., Jlem. Inst. 1809. 416. N\ 53. — Binet, P. 27. 123. -
Cisa de Gresy, Mem. Turin. 1821. 209. I.N'. 10, — Schaar, Mem. Cour. Brux. T. 23.-
Lejeune-Dirichlet, Cr. 15. 258.
Page 84..
dx = 2 Plana, Cr, 17. 1.
F. Logarithm.. Forme rat. ont. TABLE 42 suite. Lim. et L
4) / ( 1 4- ; (1 -f- p.v)) dx = —^ I (1 -f ;j) Dienger, Cr. 38. 3^1.
o)llx.l{l—x)dx = 2 n:' V. T. 152. W. 9, T. 160. N'. 9 et T. 42. N". 2.
&)\llx dx = — A Masoheroni, Adii. p. 18.
7)j{l({x))}Pdx = (_l)/'r(/J-f-l), _x>/;>— 1; Ohm, .Ausw. 14.
Hj/fz-V' dxll- = Z'(p)r(p) V. T. 377. N". 1.
9) 1 1 {x + r;) c^.i- = (i + 'i) I i (1 + 'i) — 1 { — y { ^ ('/) — 1 } Hiiabe, Cr. 25. 146.
F. Logarithm.. Forme rat. fract. TABLE 45. Lim. Oetl,
1) /-— = A -\- lo Cisa de Gresy, Aldm. Turin. 1821. 209. Art. 1. N'. 25, 27.
J '•»
2) = — 00 Legendre, Exerc. 3. 57.
[dx
4)1 = Mascheroni, j\dii. p. 18,
/ 1 1 X
J dx 1,
•j) I = — li. ij Schloinilch, fir. 5. 204.
Jlp + lx p '
f d.r
'')/ -r =—elli-(e-'i) V. T. 129. N'. 4.
J 1 — lr
7)/—^— = e-l liJci) V. T. 129. N\ 9.
^^ / 'T-T^-rr = - \ci- (l) Sin. ']—Si.(<j) Cos. q+'l Cos. ,/\ V. T.
9) / Y Z' dj; = a (</) Cos. q + Si. (7) Sin. 7 — J AV/i. 7 Y. T. 130. N". 5
130. N . 4.
Page 85.
F. Logarillini.. Forme rat. fract. TABLE 45 suite. Lini. Oetl.
1">/"1 — ITT' = T- U-^ Ei. {,j) - e'l Ei. (-7)} V. T. 130. N^ lo.
^ ^ ) f . ,! >i ^•'- = - ^ (''"' ^'■- C'?) + ^' ■^'- (- •?)) ^'- '^'- i^*''- ^"- 1 2-
12)/ -7—,,-^ = -~{-c-^Ei.{Q:-^e'iEi.{-rj)-2(Mq)Sin.q-\-ZSi.{q)Cos.q-7iCos.q} ^, ^
J q" —{Ixy 4r;» -^^ • '•
18) / "^ 4 <^= i |e-?£j.(9) + e'7£'i.(— 7)— 2Ci.(5)Co«.<7— 25i.(7)5in.9+7r5m.5} ^N^'y
14) I -~~~^d.v = -!- { -e-7£/ (,;) + e'/Et.(- 5) + 2 a(7)5/n.<?-2.Vi.(7)Co*.7+7rr.W.</} ^F; ^3^'
J q ('■^) * (^
r (?.■»)* 1 1 V T 1^9
15' / , /, ^. ^^=7 {,-?Ei.(^) + ,?£».(— g) + 2 n.{fi) Cos.,i+ZSi.{q)Sin.q-7TSin..j} Y'"^
f dx 1 ,,
If!)/ = —elEi.[—q) Y. T. 4a. N=. 6.
32.
32.
17)f "•; ^, = - +«-'£»".('?) V T. 43. N". 7.
rf.V 1
l'*^) / -. ; — = —~r + - ^i-{p) V. T. 43. N\ 5.
F. Logarithm.. Forme irrat. TABLE 44. Lim. et 1 .
,.r, , ,1 1 ^ Euter, Calc. Int. 4. S. 3. 16. — Id., N. C. P. 16. 'Jl. - Plana,
f I 1\^ 30/2
/ dx \ 1-] = 1/ n Euler, C;i
/ \ .r/ 2"-!
:i)jdxll]y- = — K~lq V. T. 273. N^ 2.
2(1+1
J) /t/,x- 1 ^-) ^ = ~ 1/ 77 Euler, Calc. Int. 4. S 3. 29. - Id. N. C. P. 16. 91.
f dx
7.-771 =
,. I _ Euler. Calc. Int. 4 S. .'). 211. — Id., C. P. 5. 41. - Id., N. C. P. 16.
'I 1 "^ ^ 91. — Legendre, lixerc. 2. SI. _ Pinna, Cr. 17. I.
I- ^ ^
f da;
''^1 fiy = — 21-/:t v. T. 126. X = . 3.
Page 8(5.
K.Logaritlim.. Forme irrat. TABLE 44 suite. Liin. Oetl.
la/2
I *
X.
(— 2)« 1/ T
"^ V. T. 126. N". 7.
.dx II —
7)1 r- = ~ {A -{- 2 I -Z) l^ IT V. T. 273. N". 3.
.r
S)/ r~l\ ^^l^-] = — (A+i.y — 2i2) i^T7 V. T. 273. N°. 4.
J!
F. Logarithm, TARLE 45. Limitesiliverses.
J)/ Ixl— dx ==Ti{a — h) 4- ^l~ SchlOmilch, Or. 4. 306.
2)/ tLi'lZ- ^ = ^— - 1/ T V. T. 112. N^ 8.
^ '
V. T. 142. N". 9.
•I-)/ t/j-l.// (l^-| = -I' - V. '!'• 1»2. X'. 7.
a-/ ;j /'
C'dx
J,tr Sclilomilcli, fir. 5. iiOl^. — Miisclieroui, Ada. 4 proposi' de l'np| eler hypeiloga-
5) / — = liAj>) rilluiie. — Voyez sur lo Logaiithme Imesjial: Soldner, Tla'orie et Tables diiiK
iiouvclle Ibnclioii tratiscciidanto. Munich. ISO'.'.
/'dc 1
(;) I '' ^ - lu' +1 !. (/.) , /, > 1 : Ariult, Cir. lu. 2 I ;
/ I .(• 2
r dx \
7) ^ — = — =r: ^
f dx
fl—\
Cisn uu Grdsv, Mum. Tuiiii. l!<21 2<)'.i. Art 1. N". 27.
Page 87.
F. Logarithm. TABLE 45 suite. Limites divcrses.
[ dx
9)/ -— = — X Cisa de Grcsy, Mem. Turin. 1821. 2U9. Art. 1. N°. 27. ■
1 Z -
a;
f: d X
10)/ -7- = 00 V. T. 112. N". t.
f: d X
r da;
11)1 ; = — 00 V. T. 150. N". 6.
12)/" ^^ = -}- or V. T. U9. N°. 15.
/■' 1 1
U)l dxl^l- = -l^ 7T V. T. 112. N". 6.
e
IA)( Jf}^ = ifi— 1 V. T. 112. N°. 5.
15)f ^' = A + ?,; +1(-1)''— -^ = £i.(-j) V. T. 150. x\o. 4.
Ifi. r^^ ^i^ = -^ 1/- V. T. 150. N". 1.
J n
F. Giro. Dir. rat. ent. TABLE 4G. Lim.Oetj.
\){rang.xdx = 7^2 Meyer, Int. Def. 121.
f ^ (—1)" ^1
2) / Tang." xdx = :E — p- — - I
/' n- "-' (—1)" \
3,j ran,.- ..c/.. = i-l)^-+^ ,a-2Ll J
Arndt, Gr. 6. 434.
4) = (_l)a - + (-!)« ^
f I "
5) / ra«^.2a+i xda; = (- 1)" 2^ 2 + (— 1)" -^
^ (-1)"
4 ' ' ' T 2 7i — 1
Caucliy, Cours. Lep. 32,
2w
Fage 8H.
n
F. Circ. Dir. rat. ent. TABLE 46 suite. Lini.OotT
A
f I a—\ ( I n
G^ITano.-"^^ xclx = {—l)" -12 + 2l '— .^mdt, Gr. 6, <13i.
J 2 u 2 a — 2 7i
S)j Tariff I'x. Sin.-' xdx = ^-^^ |z' ('-^^'^^ — Z' (^^^'^Vf — - ^'- T. 46. N^ 7, 9.
'J)JTanff.P.r. Cos.^ . d.v = "^^ {z' (^) - Z' (^jj + i V. T. 4. N^. 18.
10}jTangJ>x.Cos.9.xdx = -— - Iz' (^-^) — Z' f'^-^) ^''- T- 46. N^ 7, 9.
11) J Cos./'-i 2x. Tang, xdx = — - Iz' |f J — Z' (^^-^ji ^'- T. 3. N^. 1.
12) /(Cos./'-' 2 j; — Sec/' 2 a;) Co<.a!rf.r = nCoLpTr V. T. 5. N". 6.
13) /(Cos/'-i 2.z' + .Scc.P 2.r) ran*/, xdx =- nCosecpn V. T. 5. N^ 1.
14.) /(5m.''+' 2 .r— 1) Tang. (- + .r|(Z:r== JS" V. T. 3. N". 4,
15) I (S(>».'/ 2 .1- — Sln.P 2 .r) 7a«</. ( - + a^j d.v = - Z' (p + 1) — Z' (7 + 1)1 V. T. 3. N". S.
\6)l{Sln.i'2x — Sin.i-P2x) Tang. | - + xj dx = -nCot.pn V. T. 5. N". 2.
17) /(S(«./'-' 2.r-f Co«ec.P2.r)7an<7. ( - + ^) d^ == -nCosec.pn V. T. 5, N'. 1.
\?>)\{Tang.V X -\- Cot.P x)dx = -nSec-pn V. T. 5. N". 11,
J tit It
>/'
19) / {Tangj> x + CotP x) Sin. 2 xdx = - ~ ~ V. T. 4. N-'. 23.
' 2 ei;"^ — e-^pT
Page 89. 12
WIS- EN NATlUnK. VEHII. DEH KO^I^KL. AKADEMIE. DEEL IV,
It
F. Circ. Dir.rat.fracl.il den. monome. TABLE 47. Lim. Oel-.
4
1) / d.v = J^-^^J — '-^L- V. T. I. N°. 4.
'jCos.l+^.T 2(7 + 1 r(2.7+l)
/•Cos.* 2 .r . 5jn.2a-i .t 1 l"!^ l*/i
2) / ■ ; da: = —- V. T. 1. N^ 17.
fCosfi 2 .« . Sm.Sa .T 2'''2
3)/— -- "'""""" cZo; = ^^^- V. T. 1. N'. 18.
/•5;«.2/'-2 a; r (2 » — 1) r (1 — »)
■i)/ dar = — '^-^- ^— ' V. T. 4. N=. 19.
i'
CosP 2 a: 22/>— ' r (p)
/"l — Tang. .« „ „ , 3
ri — Tar,
7 C^s. 2
Sm.= 2-(i.i- = -Z2 — - V. T. 3. W. 16.
a; 4 8
6)/ ^ Cos.-'.vdx = -?2 +- V. T. 3. N°. 13.
7 (7os. 2 a.' 4. ^8
J dx ^ - Cot. '— V. T. 5. N'. 12.
Cos. Zx 2 2
a+i 2 .r — 1 1 ° 1
dx = 2 V. T. 3. N\ \.
Tang, x 2 o « -f- 1
Cos-l^x — CosJ'Zx 1 , , ,
-dx =-(Z'(p+l)-Z'(<; + l) V. T. 3. N^ 8.
Ya?i^. X 2
rCo5./' 2 .r — Cos.i— /< 2 a; d.r 1 ^ ,. .„ . xt,
ion =-nCot.p7t V. T. 5. N'. 2.
7 yani^. « Cos. Zx 2
^ /• l-^gc.P2.r ^^ _ 1 ,^^2'(l-p)} V. T. 5. N°. 3.
(C0Sj>Zx — SeC.Plx 1 , ^/>. -ir T K XT> =
^^)f-^S^ ^-^- (l + •^•) ^^ = i f A + Z' (1 -p)| V. T. 5. N... 3.
pn2P2a.-l [- ^ \ ^., _ _ ± + - coe.p. V. T. 5. N». 5.
7 Sin.P2.'r ^ \4 ^ j 2p "^ 2
[{Tanq.P X -^ Cot.P x) 1 tt ^ 1
] 5) / Tang.xdx = \- ~ Cot. - p n V. T. 5. N-. 14.
7 Cos. 2 .1- ^ p ^ 2 2 ^
Page 90.
F.Ciic.Dir.rat.fracl.;'i(l('n.mon6rae. TABLE 47 suite. Lim. Oct-.
f Cos. \pn. Cos. I an Y T i
16)/(7a»^7'u:+/'a«y-/'.r)(7^a;-^.'/.i-+7a«i/.-Vi-)'^.f = 27r^-^-— ^^-'-- ,p<l,5<l; v; ,(,
J Cos.p:T-\-Cos.qn -^ ■ ^"•
/ Sin.l pn.Sin.^^Oji V T 5
17) / Taiii/.l' .V — Tann.~l' x) liana. <l X — 2'ang.—^x)dx = ln ~ — *- ,io<Cl»2<^l) -nt' "q
J Cos.pTx -\-C0s.q7c '^ • "•
[(Cos. X — Sin. x'l' 1
18)/^^ : dx = nCosec.pTt V. T. 31. N'. 1.
J Sin.l' X ,^ "" " "
' 5m. Zx 2
-P Sin.V X 1 — p
dx = » n Cosec. p n V. T. 31. N". 5.
2 ' ^
[(Cos. X — Sin. xV-
I'J)/^ r^
7 Cos.' X
({Tang.Px — Cot.Px) [Tang.lx -\- Cot.lx) — nSin.pn VT5
'°7 ^^ZTx ^'- Cos.p. + Cos.q.'P'^'''^^^'^ N^i5.■
f /Cos. X — Sin. x\ P— • dx ^
21)/ -=nCosec.pn V. T. 5. N>. 7.
7\ Cos.x J Cos.^x ^
f dx 1 ,
22) f Sin. (p Tang.. v) — ==: -Si.{p) V. T. 192. N^ 5.
23) jCoi.ip Cot. x) ~r^ — = Ci.{p) V. T. 254. N^ 1.
f Cos. (n Tana, x) — Cos. (0 Cot. .v) , 1 „.
24.) I ^—^ dx = -It Sin. q V. T. 192. N'. 11.
7 Cos. 2x 2 ■'
( Tang.x 1 f 1 +;, 1 ^
1)1- dx = — \ I — p n]
'J I -\-pTang.x 1+P" I V^ 2 4' J
a!. Cos.x 3 p/ 3
dx n
f d_i
~7 I— Sin..
=»! -
\l l-\-Sin.x.Cos.x 3 1/3
f dx n ^
'J l—Sin.'^x.Cos.'^x ~" 2 1/3 i
Y. T. (). N . I.
+p' I V/2 4' J
27r
V. T. 7. N'. 1.
V. T. 7. N^ 2.
, V. T. 48. N'. 2, 3.
. f Sin.2x n
5) I -;; d X =
7 1— 5j".^r.Co-'
:o5.=x ■ 3 1./ 3
"'/l
5i«.* .T 1
dx = - Tt V. T. 31. N". 19,
+ 3Sm.'ir.Cos.*x 2
:r
F.Circ.Dir.rat.fract.acleii.binonu'. TABLE 48, Lim. Oct ,
4
Pago 1)1. 12*
F.Circ.Dir.rat.fract.aden.mononic. TABLE 48 suite. Lim. el-^.
y 1 — SSin.^x:
1)1 =^^^^ = - TT V. T. 7. N^ 19.
„ f Tang, x n — X I 1 . \
8/ TT— dx = ; — ill Sin.- U V. T. 7. N°. 3, 5.
j \ — Cos.l.Sin.Zx 2 Tang. I \ 2 /
=F
1 (■ /a+6\ ,/a4-2\l
rp- 1/2 ] Z' -^ - Z' — ^U V. T. 7. N^ 10.
'j\—pSin.2x 2 ^ ^ ^'^^2Sm.(^rccos.(— p)|^ '^
1 « N':u,12.
11) =_q2(;,_l))_-— ?-_Z|p + V.(p._l)},pour;,>l;'
[ Tanq.'^xd.v ^ an Jl— i nani ,ic4-h-\-n\ /c+'A)
1:3) =Cosec.—- ^ {-—lf-^Sin.—-\Z'\~^ i ^\~/ f' P°"'' '* + '^ 1'='"'; j
' j \ -\- Sin.x.Cos.x 3 ( \ 3 / \ 3 jj
15) f ^"''°;:. d.. = i (Z' f«-±i^\_Z.(«-±:^l +zf-±iUz'(?+lMv.T. ,, N..0.
7]— 5m..r.Co5..r 6 ( \ 6 j \ 6 /^ \ C / \ 6 jj
[TangJP x + Cof./' .r nr Sjn. » A
16)/ ^^. r d« = ;;; —-7 V. T. 7. N". 7.
y 1 + oew. 2 a;. Cos. A om. jo tt . Sm K
f 1 — Tang, a; 1 S -Sm. n ^
17) / 7, : dx = r ^ V. T. 7. N». 22.
j\ — Sm.2x.Cos.K Stn.l i n[7i-\-l)
fl~Tang.xCos.X—Tang.«-^Kv.Cos.{{a+].)X] + Tang.a+^.v.Cos.al « Cos. n A y T 7
IS)/ — — — — ■ dx = .S — <To ■, . ■
j I— Cos. I. Sin. 2 X i n + 1 I^ • la.
/■5»i. I— Tana." x. Sin. Ua+1) ).] + Tanq."^'^ x. Sin. a-k » Sin. n A
19)/ ^ ^\ ^, '! ^ ^ dx = ^ V. T. 7. N°. IG.
J 1 — Cos. A. Sin. 2 a; i n -}" 1
Page. 92.
F.Girc.Dir.rat.fract.aden. compose. TABLE 49. Lim. Oet-.
f TangP (V -\- CotJ^ x n / . ^ ^ Y T 8
' V ll+Sin.2..M:)^ '^"- ' ' ' ■' = Sin.prr.Sin.n. ^' ^"- ^^ ^"^"^ ^ " ^"^^ '•^'" ^^ '^ N^ ' 1 .•
7(l+5w.a;.Cos.a;)» 9 \ 3 j !) \ 3 j ^ 9 \3/ ^ 3 N'. 2.
7(l-5m.-c.ros.a.-)* 9 [ \ 6 ) \ 6 jj 18 1 \ 6 / \ 6 /j^
5)1— — dx = !^3i' V. T. 4. N". 3.
7 (Cos. .V + 5in. .if/' 2/J+i T {p-{-{)
CTanq.v x — Tanq.P a: d x
"^Ur TT^? =Z'(l+y.)-Z(l+<;) V. T. 3. N\ 8.
j Cos. X — Sin. X Cos. x
fCoUx — CoU'x d.v
7 ros.a; — <Sm..r Cos. a: V ^; V i>
fTangJ'-^ x + Coi.P x <i ir
8) / — ^ --' . t; = ^ Cosec. pn \. T. 5. N'. 1.
Cos. a; 4" Sm. a; Cos. x
Tan g.P-^ x — Cot.Px dx
Cos. X — Sin. X Cos. x
dx
Cos, X
= TiCot.pn V. T. 5. N\ 6.
f Cot.Px — 1 dx
10)/,; ' c- r = A-Z'(l— ;.) V. T. 5. N'. 3.
/ Cos. a; — Sm. x Cos, ,v
^ f Tang J' x — Cot.P.vdx 1
^^)l~7r a- 7^ = 'T Cot.p ,T V. T. 5. N». 5.
J Cos, X — Am. X Cos. x p
f Cos. Zx dx , 1
J l-{-Sin.2,v.Cos.X Cos.^ X i ^ ' '^ -Z
^_^fTann.Px 4- Tann.'i x dx In (a — V ri]
/ TaugJ'+'i X 4- 1 Sin. 2 .r 2 p + 7 ( ,^ 4- p 2 1
1 JN /"^'*"fi'-''^" — Tang.l'x dx 1 rr ^, (1? — /v t]
H)/-— '' ^ .-= - Tamj. V ~\ V. T. 3). N". 18.
Page 93.
F. Ciic. Dir. rat.fract.adeii. compose. TABLE 49 suite. Lim. et -.
CTan g.1.-Tang J^. _^ _ Z'0>)-Z'(<z) V. T. 5. N^ 8.
/ Cos. X — Sin. cc Sin. x
16)/ =^- ^ : = nCot.pn V. T. 5. N\ 2.
/ Cos. X — Sin. X Sin. x
CTann.lx — Cot.i x d.v ^ „, 9^ •■• ™, - x-, „,
17) / — ~ — = — Tang.^— V. T. 5. Is'. 21.
J Tang.P .v — Cot.P x Sin. 9.x 4p 2 p
CTana.l X A- Cot.1 X dx n „ on
i)jji_ y- ^ = — Sec. -- V. T. 31. N\ 2t.
f Tang.r X -{- CoLP X Sin.Zx 4p 2p
f 1 dx TT
19) / = — V. T. 5. N". 23.
J Tang.P a: + Cot.P x Sin. Zx 4.'p
20) ff ^"■- _ } dx = V. T. 8. N^ 8.
7 U + Sin. 2, X Cos. I {Sin. x + Cos. x) ^ )
f dx (r(;i)V
21) / — = -L-^J- V. T. 5. N°. 2i.
7 ( Tang, x -\- Cot. xfP Sin. %x 4 r ( 2 p)
22^ { ^^:I^l^ ^ ^-n Cosec. p n V. T. 4. N°. 8.
'](^Cos.x — Sin.x)J'+^ Cos.x '^
Sin.P X dx
r bin.P X dx
23)1 ;-
/ {Cos. X — Sin. x)P Cos, ^ x
= p n Cosec. p n V. T. 4. N\ 7.
SinJ>x dx _ 1 ^ Cosec. pn V. T. 31. N». 20.
{Cos. X — Sin. .tP Cos. Zx 2
dx 1 +P
1 Cos.^x 2
pn Cosec. pn V. T. 31. N\ 22.
f Sin.P X
25) I — —
J {Cos. X — Sin. .v)P~
[ Sin.P X dx . 1 ^
26) / = -n Cosec.p n Y. T. 4. N^ 6.
' J {Cos. .v — Si7i. a)P 5m. 2. r 2 ^
fTanq.P-Jx +Cot.P—1x dx 1 , . „ „ >t .-
27) i — = -B{p,q) V. T. 5. N". 25.
7 [Tang, x + Cot. xY+l Sin. 2 x 4 ' ^
08) fT^'ng^!^^+_Cot^ dx _ r(p + g)r(7-;.) ^ ^ . ^,^ ^g
" '] {Tang.x + Cot.x)^9 Sin.Z X qT(.2q)
p X
f Tang.P a 4- Cot.P x dx ^ ^ ' a
29)17;^ —W^ ;. — ^ 77. = V. T. 8. N^ 12.
'iTanq.lx-^-Cot.^xA-ZCos.lSin.lx „ r,. , „. P^
2g
jn — n
n bm
' TangP x + CotP x — ZCos.X dx "" ^ "' \ q Pj ^i—nCos.l
Tang.lx -\-Cot.1 X — ZCos.u Sin.Zx „ „. ^.P""' 2,0 Sin «
Zq bin. II. Sin. — ■•
'/ T^,y,^a^ j^riMo r. Pn^ „ c;« 0^. "~ TTZ "T r. _ cZ ^- '*• ^- ^°- ^■'•
~7 '-'"•■,"•'-'"1.
1
Page 94.
F.Circ.Dir.irrat.fract.aden.d'unfact.monome. TABLE 50. Lim. et-.
4
2)1 ^ ■dx = - V. T. 13. N°. 7.
71/ Cos. 2 a; 2
[ dx\^Cos.2a! {r(j^) }' ^l^27r
Coa.*a; 41/2 tt {r(|)}
y Los. X 4
/•Cos."-* 2 a;, (a + l)"'! tt
5) I dx = ^ — ■ — V. T. 9.
J 008.2"+^ X 1«/' 2^<»+i
. f Sin.^o-Kv 2«->/2
n) / (ia- 1/ Cos. 2:r = — V. T. 9. No. 6.
'J €08.^"+^ X a^'s
V. T. 12. N'. 9.
N''. 5.
[ Sin.^'^x
7) / dx V Cos. 2 X
J To. 2a+3„
^ 2a+3 ' 'k"''^ 4
005. X
— Cos.''-i 2.r cZ.r = „„
3°-li2 TT
- V. T. 9. N'. 7.
C 5m.2a-ia; , 2a-i/2 ii;2
^) / .. o.a.o; . Cos.l'-i 2.r cZ.r := , , „„ V. T. 9. N'. 10.
r StH.^^X . lW2 1''/2 TT
9)1 Cos.l'-^ixdx = V. T. 9. N°. 8.
J Co«.2a+26a; l^+'-i' 20+4+1
/" Sin^i'x 1
10)/;; r ; d-^ = - nSec.pn V. T. 12. N\ 17.
7 Co8j'+i2a;. Cos. .c ,2
,,, /"(Cot.a;— l)P-i , 2«+l
111^ i dx = -i— 1— nSecpn V. T. 32. N'. 3
7 Coa.»a; 2
, /•(Co<..T— l)/>-i 1
1^)/ — ;;^ dx = -nSec.pn V. T. 32; N". 1.
7 5m. 2 a; 2 ^
Co«. ^ 2 a:
Cos. ^ Zx
15) 1(1/ ran5f..r + 1/ Co(. .r) rf:C = -tt V" 2 V. T. 15. N\ 2,
f d f l^.S f ^ n j,\2n ■)
16) / {Cos. 2 ic)"-!. Cos. (b Tang, x) ^ = \ 1 +:S'i — 1)" —^-^ V. T. 192. N°. 6.
; ^ -^ Cbg.aa+U- 2''+2 W \ ^ / ' l''/i(a4-l)"/il
Page 95.
IT
F.Circ.Dir.irrat.fract.ad^n.dedeuxfact.monomcs. TABLE 51. Lim. Oet-.
4
5. N°, 5.
Sin. X
3)/-:; 7^ dx = 1 Y. T. 12. N°, 11.
4) /-; dx = V. T. 12. N\ 13.
Sin.^<'x S«-'/2 7r
5) /— dx = V. T. 12, N°. 12
" Cos.2 a+i X 1/ Cos. 2x 2° 2 - 2
fCos.-i2x—l 1 ,
1) / — dx = -n V. T. 1
J Tang, x 2
f dx 1
2 I = - TT V. T. 12. N\ 10.
J Cos. X 1/ Cos. 2 X 2
I-
h
h
f dx Cos.'^ x—p. Sin.^ X « fl«-i/2) ^
6)l~ V" —■ = 1 — ^ \- —} (2n— l)p2« V. T. 12. N-. 14.
^JCos.-' X Cos.Zx 1 1 2"/2 J ^ "
. r dx Cos.^x—p^'Sin.'x cTfc) -^ b'E'ib) b — c ,^,„
'^j^^x "^ ^i^- = \bXcY +i^T^ {E'(^)-E'(c)} ,
0, 2c^ = ll:=:i^^, 26' = (i+1^1^; V. T. 13. X^
r 5m.P-*2a: 2 r(» + i)r(l— p) f2»— 1 1
«) /t; -X— dx = ^ILJ-IL i^ n Sin. \ -^ n } V. T. 12. N\ IS.
J Cos.P2x.Cos.x 2p — 1 l/ir { 4 )
9) / ^ ; dx == (— 1/^-1 V. T. 12. N°. 19.
7 Cos.2a-2A+2 ^. Cos.<^' 2x ^ l''-V2 S"" i/2 2 a
r Sin.^^a; ' , 3«-l/2 tt
10)/ ; dx = (—1)*-' V. T. 12. N». 2^
,2o-26+3 ^. Cos.<— * 2 a; 1*— 1/2 4a-*/2 4
11) f'
7 Cos.a+'^x V^Sin.x 2<'+i/2
12) /^ dx = n V. T. 15. N'. 7.
" " ■ ■ • 1/ Sin. a; 2« 2
iCos.x-Sin.xr~l Tar^ ^^ ^ IN^ ^ ^ ^^ ^,. ^_
Cos."^
f(Cos.x—l
2) /
'] Cos.<'+^x
f(Sin.x — Cos. x)P+i 8 P + 1
13) I X ::^^^— ''•^ = ^ Sec.pn V. T. 11. N^ 1.
SinJ'+^ X. Cos"^ X
14) f^.^!!Lf^Z^2!lf)^ dx = . Sccpn V. T. 11. N^ 2.
15) f ^ — = — F (Sm.— ^ V. T. 15. N". 11.
^ J ]y Sin.^ X. ^- - ' '"^- " ~ '*'"' * ■"' '
Cos.x lyCos.^x lyB \ 12
Page 96.
F.Circ.Dir.inat.fract. alien. (ledeuvfuct.mononies. TABLE 51 suite. Lim. et-.
Y (Cos. — I V- T. 15. N\ 12.
^ ' V. T. 12. N'. 15.
X ly Cos.^x ^3 \ 12
'j\>--Sinx.Cos.'' i
f0^Tang.x dx 1—1/3 /^ tt \ 2i/3 /^ :
17)/ ;^-^^— = ^-—rCos. — ] + -'^-- E' Cos.-
7 p/ Cos. 2 a; Cos. .r i>^ 3 \ 12/ ^15^3 \ 1
f \yrang.^x dx
J 1/ Cos. 2 X Cos. X ~
3 1/3 I n\ 3 + 21/3 , /„ tt ',
EM&n.- J^A— F 5m.— V. T. 12. N'. IB.
^i \ 12 2i>"3 I 12
F.Circ.Dir.irrat.fract.a(len.afacl.biiiomes. TABLE 52. Lim. Oct-.
I)/- ; = TT V. T. 15. N". 6.
J Cos. X 1/ Sin. X {Cos. x — Sin. x)
f dx 2
a,)}- --; ; ; = ^1/ » + 1/ (1 + »)} V. T. 15. N<>. 10.
J Cos.xi^Sin.x{Cos.x-}-pSiii.x) i^p ^"^ ' ^ ' ^ ^^"
.3,/" I dx ^ n tni^n ni=0- '^^ 1'- 1?-
J aCos.x — bSin.x V^ Sin.x {Cos.x — Sin.x) \^a[a — i) ' ' ' ^"- ^'•
[ Sin.ax dx 2°/2
4) / ;, — r. = — 2 V. T. 12. N". 2.
^)j...'z;jz T^T— -t:^— — ^r-T = „::;. ^ v. t. is. n». 9
dx 20/2
a; 1/ Cos. a; (Cos. a; — 5m. a?) ~ 3<"2
Sm.oa; da; 1"/^
Cos."-^^ X 1/ 5m. X {Cos.x — Sin. x) 2"/-
dx 1
~ = Ul^P+V^ (!+;')} V. T. 12. N». 25,
l/(Cos.^r+p5m.2a;) i^ p X"^ l'^ "^ ^ ^^ '>
. [ Tana, x dx n
'')/ 7, — — . c . s ^ = Ardg.p V. T. 16. N\ 6.
J l^ {p Cos.^ X + 5m. * .t) 1/ Cos. 2 a! 2 ^ '
„, /"l '' ^ot. X — 1 dx
^n? ?^~ n — = ''^' ^'^ '^- 15- N\ 5.
j Los. X — bin..x Cos. x
(1 — Tang. .T)—i — 1
10) fr^ '-
J 'lang.^x -
„. „ dx = 12 V. T. 15. N". 1.
om. 2 a;
g.'^x -\- CoO X l/Cos. 2.r 8
dx TT
- V. T. iG. N\ 3.
[ CoO X dx TT I I n\
J Tang.^ X -\- Cot.^ X h^Cos.Zx 8^4. \ t
1 >^ [ StnJ-—^ X dx
'~)/,7; ^: r— : 7, = nSec.pn V. T. 12. N". 6.
J [C OS. X — Sin. x)P+i Cos. x '^
Page 97. 13
WIS- ES NATUUnh. VUllll. 1>EU KO.M.>Kr.. AKAUEMIE. DKEL IV.
F.Circ.Dir.inat.fiacl.aden.araot.biiiuiin's. TABLE 5'2 suite. Lim.Oet-.
4
-^ - d.v 2p — l
n Seep 71 V. T. 12. N^ 7.
/SinJ'—^ X
{Cos. X — Sin. x)P—
, f 1 da; 2»+ 1 „ I
14)/— = -ill!—- T^Sec.pn V. T. 32. N\ 17. I
']{Cot.x — \f^\ Cos.-^ X 2 ^ I
[ \ dx \ ^
15)1 — = - nSecpn V. T. 32. N^ 15.
^]{Col.x--\)v^\ Sm.%x 2 '
f^_Stn£-Hx__ dx 2i-l> T{p-\-l) T {l—p)
^ 'j{Cos.x—Sin.xfP Cos.x ^ 1— 2p i^^ ' P <J' V- '^- 12. N\ 4.
f f Sin.x \P dx
^^n \r ? T' TV- 7^ ? = ^Secprr , /> < j; V. T. 15. N^ 17.
J \Cos.x — isin.xj Cos. x\^ Sin. X (Cos.x — Sm.x) « ^ ^
,„. f Sin.^1 .r. Cos.'^xdx 1 „ /o4-2 1 o\ v ti u-
IS) . ^ = &n.,^.Cc..c.^B i^,i^ V^T.^16. ;
((Cos.* — &w.a;)<:os.(^+A). Cos.(j;— ;i)j 2 ^ \ /
rf^r(2-«\
igx /• >Sm.°j.Cos.t-^''2 ^ t^ ^ \ 2 J \ 2/ ( l+(a-3)p4-j p^ __ l—(a-Z)p+ p'] v.j.s
'J{Cos.^x—p^Sin.^x)i<'-^'Cos.'^x i^ {n{a-l){a-3){a—b)] \ (1 -}- p)a-3 (]_^,)a-a jN'.il
F. Cii'c.Dir.rat.ent.aunfact. TABLE 55. Lim.Oet-.
1) j Sin. bx dx = , pour 6 = 4a
2)
= — , pour b = 4 a -{- 1
4 a -}- 1
3) = , pour b r= 4 a 4- 2 ;
2a+l ^ ^ '
4) = — - , pour i = 4 a + 3 ; .
'ia+ 6 y Meyer, Jut. Def. 97.
o)jCos. bxdx = , pour 6 := 4 a
'/
6) = , : , pour b = 4 a + 1 :
4a + 1 ^
7) = , pour b = 4 a + 2 ;
S) = -— , pour b = 4 a + 3 ;
4 a -}- 3
Page 98.
7T
F.Circ.Dir. rat. enl.aun fact. TABLE 55 suitf. Lim. Oet-.
•/^
9) I Sin. xdx = 1
, Meyer, Int. Dcf. 97.
10)1 Cos. xdx = 1
11) I Cos.'^ X d X = -IT Liouville, Cr. 13. 219.
f la/2 jr
l'2)l Sin.^" xdx = ^^ — Cauchy, Cours. Leg. 32. — Poisson, Cbal. 78. — Dicnger, Cr. 38.331.
20/2 2
20/2
3^
f 2"/2
13) /&'n.2''+i .r d,r = ^|^ Cauchy, Cours. Leg. 32. — Dienger, 38. 266. — Oettinger, Cr. 38. 162.
14) = -^ '— 22« j
' 12a+l/l I
> Lobatschewsky, M6ti. Kasaii. 1835. 211.
,., 1"''' 1
f l«/2 „
IG) I Cos. ^"xdic = - Cauchy, Cours. Lee. 32.
J 20/2 2 .
f . 2''.2
17)IC'os.2a+i a-dj; = — _ Cauchy, Cours. Leg. 32. — Oettinger, Cr. 38. 162.
18) jSinJ' xdx == 2/>-2 ^^^^' - Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1835. 1.
ix' n
19) ^^ on — uIZi I'Obatschewsky, Mdm. Kasan. 1835. 211.
2\)ICos.l> xdx = ; -r- Lobatschewsky, Mdm. Kasan. 1835. 211.
7 2"+' (rap + i)}^
22, = 2.-. i^^di^-il)-! Serret, L. B. 1.
r(p + i)
2;})|(b,.;-i .rrfr = - v' TT ^!|?^ Enabe, Int. 222.
'^ 2
Page 99. 1 ,31
F.CiiC.Dir. rat. cnt. aim fact. TABLE 5-1 siiilo. Lini. Oct-.
21.)/5in.2a+i Zaidx = 22a Oettinger, Cr. 3S. 1G2.
'J 12a+I/l
25) / Tang.^p-^ xdx = - n Cosec.p n , 1 > p > ; Bonnet, L. 6. 238. — Oettinger, Cr. 38. 162.
no\ iT-nj c i^^n Caucliv, Exerc. 1826. p. 205. — Schlomilch,
26) / Tang.P xdx = -n bee. -p tt , 1 > /j > ; g^. g; ^^^^ '
F.Circ.Dir.rat.ent..Fact.5m.''a;etunautre. TABLE 54. Lim.Oot^.
1) j Sin.l X. Sin. [{q + 2)x]dx — Cos. ^ Serrct, L. 8. 1.
2)\Sin.l—'^ x.Sin.qxdx = — Cos. — Serret, L. 8. 489.
7 ^ l_<^ 2
/n- fa 4- 6 4- 2)«— ''/I
5{ji.2''+i .r. &n. f (2 6 + 1) a;) d x = (—1)6 ^ ^ ^-^ , a > ^ ; Jacobi, Cr. 15. 1.
l^ T^ ' J ^ 22a+2 la— 6/1 » ^ '
•1) = , a < 6 ; Ohm, Ausw. 13.
/" 1-"/' 1 ni,
7 ^ pr--pM--p- {2a)^-p4 2\ 1.2 1.2.3.4 12a/i )]
7 P 2 l^—ir.i'~p\...{2a^iy—p-[l 1 2.3 12a+i/i j
Ces deux formules se trouvent chez Raabe, Int. 153.
8)jSiii.l.x.Cos. {{q + 2) x] dx = -^^^^— -Sm.— Serret, L. 8. 1.
9) ISin.9-2x.Cos.qxdv = Sin. — Serret, L. 8. 489.
/• ^ (a 4- 6 4- l)a-6/'
10) /&n.2<« a;. Cos. 2 6. T d .r = f— 1)* r — ,a>^; Jacobi, Cr. 15. 1.
'/ 22a+l la— 4/1
11) = 0, rt < & ;
f \2a+l/\ \ Ohm, Ausw, 13.
12)jSm.2a+i:..Cos.26^dx=--^^^,_3,_^2^^, (2a + iP-(2i)^
Page 100.
■Jl
F.Ciic.Dir.rat.cnt..F;ict..5m''.a;etiinautro. TARLE 51 suite. Lim.Oet-.
7 P 2 2 — P-.4-— /A...(2a)--/>- 1 1.2 1. 2. 3. !• l-'"! J
7 ^ V-p\y-p-...{U^l)--p''-i p 2>1 12.3 1^''-M.i ]]
Sur ces deux formules voycz Kaiibe, Int. 153.
\h)\SinJ' x.Cos. \ p\ x\\ d.v = Cauchv, Exerc. 1S26. p. 253.
7 rU 'i 2;.+ l '
F.Circ.Dir.rat.ent.. Fact. Cos." x-etun autre. TABLE 55. Lim.Oet-.
1) j Cos.l—^x.Sm. {(y + l)x}dx = - Serret, L. S. 1. — Id., L. 8. 483.— Kummer, Cr. 20. 1,
f 1 « 2"
2) ICos." X .Sin.axdx =^ ^ - Serret, L. 8. 1.
7 2"+' 1 a
3)/(^.x..a,,.i;,+»>,),,.,(,+.t)i(-o.-..».-^ '^+^+'';;;;';;;'+''''-'^' a:
7 ' p2'—p-.r—p-...'2a;—p'-\ 2 1.2 1. 2.-3.4 12a/i |
7 ' pP-pl3^-;i>-....(2a-(-l}--p2r 2 1 1.2.3 12<.+i/i j
Raabe, Int. 153. dediiit crs <linix formules.
Cauchy, Lim. Imag. 124. — Ca-
.,r^ „ ^ , ^ r(p+l) talan, L. 6. 110. — Serret, L.S.
6) / CosJ> X. Cos. ,, X d X = ,,^^-7 , , \~]^^^ V 1- - 1<J-. L. 8. 489. - Kummer,
J " r ^^ + 1 r ^^ ^+1 Cr. 17. 210. - Id.. Cr. 20. 1.—
\ ^ ,/ \ 2 / Lobatsclicwsky, J[('m. Kasau. 1835.
211. — Sclil'omilcli, Stud. I. 2 K
7> ' _ir
' "^ ~~ ~ ~/n''jr7i T^ZTy \ ^"■'■'■*' 'L- S- 1- - l^int-t. f-
(p + l)8P+'Br-'*'-^+l ,^ ^'^+1] 27. 123.
S)lcos.1x.CosA(Q4-2b)x]dx = ''°'^«on-P- l-^- •*0«' >''• 7G._ld., Conn, des Tcraps. 183C,. p. I.—
J V.VI 1 / J Serret, L. 8. 1.
n\ /"/-„.„ f/1 / o»\ 17 '^ (7— 6 + r//' Poisson. 1'. in. 404.N'. 70
!)) / ( OS.'/ X. {Cos.{.j-Z b}x]dx= ~- >- ^ ;r , 7 >^ - 1 ; Binel, P. 2 7. 1 23. - Serrei
•' "'^ 1 ' S. I. — Jacobi. Cr. 13. 1
Serret, L.
Page 101.
F.Circ.Dir.rat.ent..Fact.Cos."a;ctunautrc. TABLE 55 suite. Lim.Oct-.
1 0) / Cos." X. Cos. ((a + 2 /)).r) dx = — Kumraer, Cr. 20. 1.
'/ \^ -r /; / 2a+i r(a-}-;j + l)
1 . X /"/^ „ r- f/o I X -1 J ^ r( p4-l) Cauchy, Bull. d. Sc. Math, de Fdrussac.
1 l)jCosJ>^.Cos.{{2b-p)x]dx = ^i6/irfl+p-6) 1825. V. 250. - Hill, Cr. 7. 102.
^ l"*^ Lobalscliewsky, Mem. Kasan.
2«+i r(U + ^4-l)r(^a — 6+ 1) 1835. 211.
TT Serret, L. 8. 1 — Id., L. S. 489. — Lobatselicwskv. Jlum. Kasan.
1835. 211. — Poisson. P. 19. '104. N^ 70. (la trouve faut.) —
2*+' Id., Conn, des Temps. 1836. p. 1.
Cauchy, Exerc. 1826. p. 205. — Scrrct, L. 8. 1. — Id., L.
•2) jCos."
x. Cos. Zbxdx
f Caucby, lixerc. is;^b. p. zuo. — scrrci, Li. o. i. — ici., l..
1 P) I Cos.l—^ x.Cos.{{q-{-\)x}da; =. 8. 489. — Kummer, Cr. 20. 1. — Lindmann, Stockh. Handl.
J 1S50. II.
f n l^+Vl
\h)\Cos.a+''x.Cos.[ia—b)x]dx= — T „ ,;: Cauchy, Lim. Imag. 123. — Oettinger, Cr. 38. 216
'/ >• J a^+^+i 1"/' 1''/'
. ,N /"/> o n ci 1 ^ 1^°^' Cauchy, Exerc. de Math. 2. 368. — Oettinger.
\C,)\Cos.^°x.Cos.%hx dx = -zT-r^ . ,,,.,, ,., r... ka oik
17)
1 -^j jCos.^''+^ x.Cos. ( (2 6+ 1 ).r I dx = -^
22a+l ln+i/1 la— i/l Cr. 38. 216.
:t (rt + J-f l)a-6,l \
22a+l la-6;i I
) Jacobi, Cr. 15. 1.
TT (a -fH- 2)"-''/! I
22a+2 la— 6/1 I
f 12°/1 1 1
)) / Cos.-'^ X. Cos.p xdx = — : — : Sin. - p
'J ^ 2^— p2 . 4^_;,2....(2a)^— p' p 2
19)
J ' 2^— p2 . 4^— ;)^...(2aP— p' p 2' f
> Eaabe, Int. 153.
f I2a+1/1 1 I
20) ICos.^"+^ x.Cos.pxdx = Cos.- pn ]
J ' 1^— p^.S*— p\...(2a+l)2— p-^ 2' '
,^^(p r. Oh n A —T{h+p) n ^ b"/-^ (b\ SchlSmilch,
Zl) I Cos J'--" X. Cos.p xdx = ; ^ ; — ri QQ ocA
7 ^ iWlPCp) 2P+'^4-l (p+6— l)«/-l l^nj Cr. 33. 353.
F.Circ.Dir.rat.ent..Produildedeuxpuissances. TABLE 50. LimOet-,
) j Sin. ^<' x.Cos:
la/2 li,2 ^
26 j;,/.^ = — - - Jacobi, Cr. 15. 1.
20+6/2 2
2) = — ^ — '-^ — '-^ SchlSmilch, Gr. 4. 316.
Page 102.
F.Circ.Dir.rat.ent..l*ioduitcledeuxpuissances. TABLE 50 suite. Lim. Oet-.
10
11
12
1:5
14
15
It;
/I la/2 24/2
Sin.^"x.Cos.^''+^xd,v = — Oettinger, Cr. 3S. 162.
2^4-1 S^+iiS
f , 1"/-' 14/2
I Sin.-<'+^ or.Cos.^''x dx == Ohm, Ausw. 49.
J 3a+6/2
f5;«.2a+'.-.Co..24+U.d^. ==i!l!^ii^ — i_ Oettinger Cr. 38 162 - Lobatschewsky,
I ]^a+i+i/i 2(a+l) Mem. Kasan. 183o. 211.
fsin.'^P-ix.Cos.^-^Pxdx = i n Cosecp 7T ^o"net L. 6. 238. - Oettinger, Cr. 38. 162. -
J 2 ' Id., Cr. 38. 216.
/
Sin.l'-Kv.Cos.l-Kvdx = ^^ , — Eaabc, Int. 222.
2r^ + ^^
f 24-2 \
/ 5m.a-i a;. Cos.26+1 a; d .i' = - — p
J a4+2/2 /
I Cos."—' a;.
Oettinger, Cr. 38. 162.
&"n.24+l a;d,r = — — —
f 1°' 1*'' 1
J ^ lo+ft/i 2/
/ Co«.«+l X. Tunq:^^^ X d x =
J 2{a+l)
> Oettinger, Cr. 38. 162.
f l"'! 1°/' I
/ Coa.2a+i X. rang.2''+i x d x =
|2a+l;l
f 1"-1/1 14— I/i
/ Cos.^''+^l>-^x.Tang.^'^-^ xdx =
2 . l«+4-i/i
Co{.^<'-^-x.Tanj.l'-> xdx = ULlH^IhIp} y. T. 21. N'. 9.
2r(a)
/
jCos.^p-^ x.TangJ>—9 xdx -^ \ ^ / \ ^ / y -j- 07 M' Ki
/
„. , .^ I "•" / I o / Lobatsclawskv. Mi.'m. Kasaii.
6»i.q+4+l -B. <?o.,g-4+l .r,J!-r ^ \ ^ / \ - / 1S35 211 "
2.1a+l/l
Page 103.
F.Circ.Dir.ral.ont..TioisFact.Sm.ouCos. TABLE 57. Lim.Oct-.
it
I -Sin.aa-i X. Co«.2"-4-i x. Sin.bxdx = 0, 6 > 2 a ; 1
/^Cauchy, P. 28. 147. I. § 3.
Sm.2« X. Cos.''~^<^-^x. Cos.bxdx = Q , i > 2 a + 1 ; j
r(i)r(i — a+ ')r(a)r(i — a) Kummor. Cr. i;.
2T{b)T{b-\-\)T{\~a) stud. I. 24.
in
11
12
13
U
15
16
12a— 1/1 12i— 2a— 1,1
*■ -' 126-1/1
' Oettinger, Cr. 38.216.
] 2a— 1/1 126 -2a— 1/1 '
S8„.2a-26-i ,r. Cos?a-\ x.Cos.Zbxdx = f— l)''-" w,—rr
/"c- „ „ 1 /^ „ 1 c- J 1 ?-'/' l/'-7-'/' 1/1 — 7 j \ oti » et r; des frac-
/ '^ l?-i/i I 2 If tioiis seulement;
> Oettinger, Cr. 38.21 C.
/ 1?— 1/1 IP— ?-lA (p — q) L
I SinJ'—l—^ x. Cos.1—^ x. Cos.pxdx = ;- Cos. i n) \
J ^ I'^-i'i 1 2 j J
f 9'^
I Sin.P-1 X. Cos.1—^ X. Cos. [{p -\- q) .r) dx = B{p ,q) Cos. — Serret, L.
8. 1.
T(p)T{g) ^^^pn] ,2>p>0;
f T(p]T(a) vJ Cr. 17.210.-Id., Cr.20. 1.-
/ &n.P-i X. Cos.1-^ x.Sin. Up+q) x)dx = — ^^— ^^ Sin. '~~ \ Schl5milch, Stud. I. 24.
r(?)
r{p + q)T{l-p)2Cos.\pni ^ ^ ^ ^ ,
y Serret, L. 8. 1.
q n
B{j),q) Sin. —
12a— 1/1 126— 1/1 \ ^ ou p et q des fractions
r 12a-i/i 126-1/1 \ ou p et 7 des fi
jSin.^<^-^x.Cos.^l'-K'c.Cos.ma+b)x}dx=i-\)a- ^^^^^^^_^^^ seulement;
/
/" 1/' — 1/1 1?-1 1 MJT
I Swi.p— 1 X. Cos.1—^ X. Cos. (i» + q) x] d x = ; — Cos. —
la — 6-T— 1/1 7^ 7) 7t
Coi."—''—^x.Cos.axdx = Cosec. —
lo— i/i H— 1/1 2 2
IP— 1/1 1?— p~l/l pTi f Oettinger, Cr. 38. 216.
Sin.P-^ x.Cos.i~-p—^ x.Cos.qxdx = Cos. —
^ l?-i/i 2
Page 104.
F.Circ.Dir.rat.ont..Trois Fact. 5m.ou Cos. TABLE 57 suite. Lim. Oet-.
f (2 — 2 »)?— '/2 19-P/2 IP/a 7T ] ,ou p ct q des
n)\Sin.^P-^x.Cos?1-^l>-^x.Cos.1qxdx = :^^;^^ -'^<'<-P^ fractions seule-
18) I Sin?P-'^x.Cos.^-'^x.Cos.\%{p-\-q)x]dx = ^ j2p+''7^ i Co^./jiry Oeltinger, Cr. 38
f /; TT 1°/'
19)1 Cos.'' X. Sin. hx. Sin. x d x = i. 5 _i_ 3\ /a_6-l-3\ Lobatschewsky, Mem. Kasan.
/ 20+2 r ^^ I r I ^t_] 18:55.211.
20) I Cos." X. Sin. a x. Sin. Zbxdx = — — -—
/■ '
21)1 Cos." X. Cos. a X. Cos. 2bx J x =. —
; 2°
2 / \ 2
roisson.P. 19. 401. N\ 7G. — Id., Conn.desTemps.
7r a''/-i( 1S3G, 1.
+2 16/1
22)/(2ros..r)»-i.Cos.{(a4-l).«').Coy.26.rfZjr = - Kummer, Cr. 17. 210.
I ^ j^C/ III
F.Circ.Dir.rat.ent..Fact.rfl«^.''a;etautres. TABLE 58. Lim. Oet ^.
^Jr „A.ib c- T ^ r(6 4-^) rr ^cc /i!>\ 6"/-' Schlomileli. Cr. 33.
I) I ( os.l>+^''x.Sin.px.-lanq.xax = —T, — -— . - — -7, — :— ' — ~j ,> , ; ■>:•?
'/ z' » i*;irQD} 2/'+26-i Q \^,jy (p_|_ j_i)n/-i 3o3.
2)/coi.P-2a;. ran^.*.r.5m.p.rd^ = V. T. 58. N^ 4, 7.
3) / CusJ—^ X. Tang.b x. Cos. pxdx = V. T. 58. N\ 5, 6.
■i) / Cos.P+t'-^ x.Tang.c-^ x. Cot. p r.Sin. {{h+\ ).<) J.r = ( - 1 )2 -— —- r,l?^. -^(—2)'' ,
f £ n- r(6 + 7)) «' fc\ i"/-'
'J '' ' \\ T I i \ I 2P+*-i i*/i r(f)) 1/ ' ^M/ (p-i-6— 1)"/->
/" , i n Tlb+p) J5 /c\ 6"/-!
0) j Co,.P+^-i .. 7a«,.c.r. S/.p... «,.. ((6+1).} ,^. = (-1)2 ^^^ ^^ -: (-2)" ^^^ j ^^ ^ ,3i)v3.
/• *■ i-i T r(6+p) » /c— 1\ W->
7,j(W-^''-..r.'W-...-..SV„.p.r.Co.. ((/.+ l)x] ^..= (-1)2 ■ •^^_, i.-rT^^H^r^ „ )(p+i-l)»/-t
Sur ces 4 formules voyez : Schlomilch, Cr. 33. 353.
Pngc 105. 14.
WIS- F.N >ATi 1 UK. vrr.ii. dkh komkki,. akademie. peei, IV.
TV
F.Ciic.Dir.rat.ent. comp.aarg. Tang.x. TABLE 59. Lim. et -.
1)1 Cos. {]) Tang. x)dj; — - n e-P Serret, L. 8. 489. — Dienger, Gr. 10. 341.
2)jsin.{p Tang.x)dx = ]■ {e-PEi.(p) — ei'Ei.{—p)] V. T. 204. W. 7.
S)jCos^{pTang.x)dx = - n {1 + e--'') V. T. 205. N\ 22.
4>)lsin^{pTang.x)da: = -n (1—0-2;') V. T. 205. N^ 21.
5) I Sin. {p Tang.x). Tang, x d •'■ = " ^ e-'' V. T. 204. N'. 3.
Q)\Cos.{pTang..r).Tang. xdx = [e-PEi.{p)-\-e}'Ei.{—p)] V. T. 204. N^ 8.
l)\Tang.{pTang.x).Tang.adx=^ — V. T. 204. N°. 9.
8) I Sin. {p Tang. x). Sin. %xdx = ~pne-P V. T. 208. N". 3.
9) / Cos. {p Tang. x). Cos."^ xdx = — -^ ne-P V. T. 208. N\ 7.
lQ)lcos.{pTang.x).Sin.^ xdx = -^^ne-P V. T. 208. N^ 8.
11) j Cos.(pTang..i:).Cos.Z.Tdx = -pne-P V. T. 59. N°. 9, 10.
12) jsin. (p Tang.x). Tang.^<^+^ xdx= (— D" f e-P V. T. 205. N°. 27.
\2,)\Cos.{pTang.x).Tang.^'^xdx = (— l^-^e-P V. T. 205. N°. 26.
l4>)\Cos. ipTang.^. Tang."" xdx = —^c-P'i V. T. 205. N^ 12.
Vo)\Cot. ipTang.~\.Tang.xdx= ^ ^^ V. T. 205. N\ 16.
16)/Cos.2a-ia;As.(2ran^.xl/c)(/.r==— -— p{r(a)<;^(l— rt,o)+r(— <Oo''';'(l+f^^ Cr.l7.22S.
Page 106.
F.Circ.Dir.rat.cnt.comp.aarg. Tang.x. TABLE 59 suite. Lim. et -
2r(/;+l)
Kummer, Cr. 17. 228.
n
cPe-
17)1 CosJ>~'^ X. Sin. ((p4- 1) x] Sin. (c Tang, x) d x
18) I Cos.P-^x. Cos. [{p-\- 1) x) Cos. {c Tang. x)dx
19)1 [ Cos. iq Tang. x)-\- Tang.x. Sin. {q Tang.x)} dx = ne-Q V. T. 2U4. N\ 18.
F.Circ.Dir.rat.ent.comp.aautrcarg.mononie. TABLE 60. Lim. Oet-.
l)jcos.2qx.Cos.{2pCos.x)dx=^^Sin.qn[l+±(-l)n-^^--^^
f 2
•Z)IStn.{aSin.x).Sin.2x dx = V. T. 193. N\ 1.
3) I Sin. (a Cos. x). Sin. 2 xdx = — - V. T. 192. N'. 1.
\) j Sin. (p Cos. X). Tang.x dx= 2 ;— ;- \^^^^_^ ^ V. T. 192. N". 5.
I 2M-I-1 12"-1,1
5) / Sin (p Cot. x). Tang. xdx = ~ (l—e-1) V. T. 212. N". 4.
f , 7T cP — e~P
G) / Tang.ip CoLx). Tang, x dx = — V. T. 212. N'. 5.
n
7)i'^in.(pCot.qx).Tang.^''-^ xdx = (—1)"- e-P V. T. 212. N°. 14.
S)jCos.{pCot.qx).Tang.i<'xdx= {—D^'-e-P V. T. 212. h\ 15.
2
Cos. x). Cos.l X. Tang. xdx
^ '' — - V. T. 192. N^ 4.
{Lq)^-^a^q
'.))\Sin.{a
10) / Sin. [\pzT—q Tang. x). Tang.P-Ktdx ^ - n e-l Y. T. 204. N\ 14.
11)/ Cos. {\pn — q Tang. x). TangJ> xdx ==~ne-i V. T. 204. N^ 15.
Page 107. ll'*
F.Ciic Dir.ral.ent.comp.aautrearg.nionome. TABLE GO suite. Lim.Oet-.
lijUl — Cos. (p Cot. x)) Tang.-^xdx = -(e-P +;' — !) V. T. 212. N\ 13.
13) / ( Cos. (a Cot. .r) — Cos. {l> Cot. x)] Tang.'' xdx = ^(c"*— e-^JH — 7^ Jr V. T. 212. N^ 7.
F.Circ.Dir. rat.ent.comp.aaig. hindme. TABLE Gl. Lim. et '-.
1) ICosJ'-^ x.Cos.ipTanq.x — px) dv = -1 Lcgendre, Exerc. 3. 40.
J ^ip + ^)V)
2) / Cosj>—^ I. Cos. (c Tang, x — (p -\-l]x] dx = cp e-<^\
J ^ ^ VA'T ; J r(;;-t-l)
3) /Cos./'-i x. Cos. {cTan^r.-r -{-(/)+ l)xj dx = > Kummer, Cr. 17. 228.
4)j CosJ'—^ x.Cos. [cTang.x--\- (p — l)x]dx = — e—^ j
5) I CosJ'-^ X. Cos. [px — c Tani/. .r} d.r = -^ e— « cP—^ Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1835. 211.
J r (p)
a) i Cos.l'—^.r.Cos.{cTanfi.x+bx]dx= m ^ 1 ji 2<-\
TT CP e—" Cos. l~ jr i
1 2 J
r(p+l)5m.p7r \ 2
7) lcosJ>-''-^x.Cos.[cTa,ig.x+(p+b~\)x]d.v=-r^ — e-'^^'-^-P J (- 1)" ^"^^' ^"'"^
De ces deux integralcs voyez: Kummer, Cr. 17. 228. -^
S) j Cos.{2 X — 2 Tana.x)dx = - V. T. 209. N". 19.
J ^ «'
d) I Sin. I -p^ — plang..v\. Tang."—^ xdx = - n e—P V. T. 205. N°. 24.
10)
jCos.i-p7T — p2anjr.a;j. Tang.^xdx = -Tig-p V. T. 205. N°. 25.
Page 108.
F.Circ.Dir.rat.ent.conip.aarg.binonio. TABLE 61 suite. Lim.Oet-.
1 1) / Sifi.P-^ X. Cos.l-'^ X. Cos. [c Tang, x -\- [p -\- q) .v] d .v = ^^ - Cos. ^-^ q {p , I ~ q ,c) +
^c<lCosJ^ri—q)'i{p-{-q, 1 +q, c)
1 2) jsiiU'-^ X. Cos.v-^ X. Sin. [c Tang, x -{- [p -\- q) x] dx = - ?-^^^ Sin.— q,(j},l—q, -■) +
+ Cl Sin. ^r(-q)cf{p + q,l+ q.c)
l;i) /i'm./'-' x: Cos.'i-'^x.Siu. hTang.x -f- (/* -f q) x — — \ dx =
1 4) / Sin.1'-^ .V. Cos.'i- • x. Sin. [c Tang, x ~{p + g) x} d .v- = ~ ^^ ^^ Sin. ^^ "^ if>{p,l — q ,—c) —
— cl Sin. Ut^q\J^T (— q) ^ [p + </,!— q,—v)
1 5) \SinJ'~^ .V. Cos.'i - 1 .r. Cos. (c Tang, x — (p + o) .i-) ti x = ^J?lJ ^^ Cos. ^ « (p , 1 — 7 , — c) +
J ^ ^l i J J r(p + q) 2 ^^^ .
U)ISin.P-KT.Cos.'l-Kr.Sin {cTang..v-(p-\-q).r -\-{lp + q)7r} <^ ^ = ^^'^^^''^ V^^P^ ^-'h')
f ^
7) I Sin.i'-^ x.Cos.'J—^ X. Sin.[c'J'ang.x — {p -\-q)x-\- .', ^.t} dx = c/.; (p + 'y, 1+7' — '')
J ' ''(7 + 1)
I
Kumraer, Cr. 17. 228, a dcduit ies foniiulcs 11 Ti 17.
F. Ciic.Dir. rat. fract. a num. inon.ctden. Sm-^a;, Cos." a;. TABLE 62. Lim.Oet-.
fSin vx CosJ'~^ X 1 Caucby, Excrc. 1S26. p. 205. — Serret, L. 8. 1. - Id., L. S.
1)1 — ■JL^ (ia; = -7r -ISi). -- Liouvillc, Cr, 13. 219. — Kummcr, Cr. 17. 22S. —
J Sin. X 2 SchlOmilcli, Cr. 33. 353. — Id., Gr. •>. 200. — Id., Stud. I. 15.
„, fSin.{ik+l]x , 1
2) I — rt.r = — rr, pour«= oo ; Scblorailch, llcitr. 1. « 4.
I Sin. X 2
■i) j ^ _^ dx = -TV Cosec. p TT , 1 > p > ; Octtinger, Cr. 38. 162.
Page 109.
71"
F.Circ.Dir.rat.fract.anum.nion.cl(l('n.67H.''3',Co5.''a;. TABLE 02suite. Lim.Oet-.
[Cos.
^''*- dx = ^ — ^ -rr^ — rr v. T. 12. N-. 19.
4 \l,l-2 %a—b\1
ip)
V. T. 12. N". 21.
fCos.^<'x
'^JTijr/' = <- "'
7 Sj-n.2/'-i .c 22/— 1 r (;;)
7 Cos.2*^ 2 a l*/2 la-6/2
/■9i»2aj. 71 la;2
8)1 dx = f— 1)^- V. T. 12. N'. 21.
']Cos.^''x ^ 4 l6/2 2'-V2
/•5i n.2f-2.r
^7 (7os.2p-> a: "^ ~ 22A'-i r (p)
fSi».
SinJ' X 1 — p 2
) Schlomilcli, Gr. 6. 200,
[Cos. ((2— »)a;) , 1 „ 1
F.Circ.Dir.rat.fract.anum.nion.ctautreden.mon. TABLE Go. Lim.Oet—.
[Sin. qx
J Tang.x
1)1 — '-^dx = 2 7r<7^ V. T. 334. N». 3.
i Oi'C' T I* * A/ •' __ " _ <W U ffc Jl /f >f
2) 1-^;; ^ rf.r = — .5: Cos. — ~ ISin. — , on /t = a ; V. T. 356. N=. 4.
(Sin. i-ax 2 t '•— l 2 a n n- n tt
— dx = — - ^ Cos. — — I Silt. —
Tang, x a k \ k 2 k
fCos.o-^x.Sin.Ua+Ux] 1
'A)l = '^ —^ dx = - Tt Lindmann, Stockh, Handl. 1850.
J Tang, x 2
f dx 1 „
4) / = - Jr Sec. p TT , 1 > w > ; Schlomilch, Gr. 6. 200.
J Tang J' X 2
fSin.2x , I „ pn \
" „ , I Schlomilch, Gr. 6. 200. — Id., Stud. I. 15.
[Cos.2x \ piT \
l)il^-~^,^dx = ISIPUJ^^} V. T. 21. N^ 9.
'jTang.P-ix 2 T (a)
Page 110.
F.Circ.Dir.rat.fract.anum.mon.elaulrcden.moii. TABLECosuitc. Lim. Oet-
2
p/ p— ?+ A j, Ip + 9
jj> . - V 2 j \ 2 j V. T. 27. N". 10.
2 r (p + ^)
1^
1
)/ ;- dx
J TangJ'—^ x
fCos.nx.Cos.P-^x r(H+^_l) 1 ( 353. —Id., Stud. I.
10) / ^ dx = ' ;^ ^ '- TT 5ec. - .J TT , 1 > 7 > ;\ 15.
7 Tang.1 x 2r[p)T{q) 2 ^ ' -^ ' ^ ' )
11)/—^ dx = V. T. 21. N'. 7.
} Cos.Zx
13) / dx = - n V. T. 24. N". 13.
jCos.lx 4,
rSw.^a? 1
12)/- da; = n V. T. 24. N°. 14
Cos. 2 .r 4
14) / ^ d^ = -nCot.-pTi V. T. 19. N\ 9.
'J Cnx 9. r 9. 9 ^
^TangJ>-i x ^ 1 1
a^; ^ — ^-'
Cos. 2 « 2
f dx 1^1
15) / = 7t Cot. -p T V. T. 19. N^ 9.
J Cos. 2 X TangJ>-^ x 2 2
F.Circ.Dir.ral.fiact.anuni.binuineeldeii.monome. TABLE G4. Lim. Oet-.
2
CSin.P-'^x — Sin.^-i>x 1 1
1) / _ ^ dx = -n Cot. - p Tt V. T. 5. N\ 12.
Cos. X 2 '2
. f Sin.l' X — Coaec.1' x 11
~) I d-^ = ^ Tang, -pn V. T. 5. N\ 13
7 Cos.x 2 ^2*^
V. T. 3. N'. 14.
,,iCosj'—^x — Secp-^ X 1 ^ i
4) / dx = - nCoU-p Tt V. T. 5. N\ 12.
j Sm. X 2 2
^i) j (Sec. x — 'l)P Tang, xdx = — tt Coaec.p n V. T. 31. N'. I
(3)\{Sec.x—\Y-p Sm.%xdx = (l —p) pn Coaec.p ir V. T. 31. N^ 5.
Page 111.
F.Circ.Dir.rat.fiact.anura.binomeetden.monomc. TABLE 04 suite. Lim. et -.
7)j{Cosec.x — l)^-PSin.2xdx = {I — p) p n Cosec. p n V. T. 31. N°. 5.
/a-\- b Tang. ^ x a — b
--^— dx = TT V. T 24. N'. 9.
Cos. Zx 4
[(Cosec. X — 1)/' ,
•0/ ;;; <^-i' = — TT Cosec. pn V. T. 31. N". 1.
J Tariff. X
fTangJ'—^ .r — Tanq.^~P x 1
10)1 " dx = n Cot. - p 7T V. T. 47. N\ 7 et T. 92. N'. 1.
7 Cos. 2 a: 2 ^
fSm.P—^x — Si7i.1-Kv 1 /o — » \ I n A. „ \
J2)/ — — ; dx =- -Sm. " '^7T].Cosec.{^-^^^n\B(ip, iq) V. T. 12. N". 24.
J CosJ>+l-Kv 2 \ 4 / \ 4 'i ^ f' ^1
„ /■Cosp-iar+Cos.9-'ar , 1 lq~p\ lq-\-p\
'^r^SinJ^x- ^"^ = ^^"^^ i 4 ^- *^*^- ( 4 '^j ^^^^-^^ '' ^- ^'- ^^°- "•
(CosJ>-^x — Cos.9— I a; 1„ In — w\ In JU p \
^*7 Cos,-H-^x "^- = i^^''- (V^-^^^^n^^''^^'''^'^ '' "^^ ''• ''°- ''■
[^ r, ,rr- ^ d-^' —-ZTTSin.pTT V. T. 47.N\
-i5)l{Tang.px—Cot.Px){Tang.9x + Cot.<]x)- — — = — ,p<l; 20 et T. 92.
J Los.zx Los p 7T-\- Cos. q 71 -^o ^
.,/_ „ , ,rw, ^ ., 4?! Cos. i p TT . Cos. ^Q 7T V T 4.7 N' 1 fi pt
]r.)j{Ta»g.Px + CotP.v){Ta,>g.1x + CoU.v) dx •- -— ^^~ ^^- ^-rr'S'N" '2
J Cos.p7i-{- Cos. q n ^- ■'•'■ ^^ • ■'•
f.r^ ^ ./„ ^ % . 4: n Sin. I p 7t . Si/i. I q Tc v T 47 N" 17 et
\-,)\[Tang.Px-ColJ>x){Tang.lx - Cot.1x)dx = ^Ji^ ^A_ V- 1. 4/^. ^ . 1/ et
J Cos. p 'Tt -\- Cos. qn X . a.4. xii . o.
F.Circ.Dir.rat.fract.adc'n.binoniedu l"degrc. TABLE 65. Lim.Oet^.
i dx 2 TT
2 — Sin. .V 3 1/ 3
TT
a- "" 3i/3
/" dx 7t
2)1 - = V. T. 7. N'. 2.
'J -2 + Sin. ~ " ■ ' •'
[ dx
'^'f 1—Sin.x.
4.T
= - V. T. 48. N'. 2 ct T. 92. N'. 5.
Cos. X 3 1/"
f dx
1) / r= — V. T. 25. N'. 1.
r Tt
-\- Sin. X. Cos. X 3 1/ 3
IW 112.
F.Circ.Dir.iat.fract.aden.bin6medul'='-(logTe. TABLE 65 suite. Lim.Oet j.
5)/ c.- ^ ^ — ,- = Irt—hCusec.l V. T. 7. N^ 3.
'J I— Sin. X. Cos.). ^ '
d X
= ICosec.l V. T. 7. N^ 4.
/■ dx
j 1 -\- Sin. X. Cos. ).
7)17; 7, dx = — \ - ±lq\ V. T. 24. N". 3, 4.
/ Sin. X db q Cos. x I -{- q^ {-Zcj J
f Cos.x , 1 f <7^ , ) „
8)/- dx = J±— — ^/l V. T. 24. N=. 1, 2.
7 Sin. x±qCos.x l+q"- \ 2 ^\
t dx 1 q
9) I = Arccos. — , pour a <C P\ Lobatto, Int. 53.
'fp^q Cos.x l^(p^—q'i) p ^e 1^1^
10) = ~—^ -r— ^f ^' , pour q > p-
1
11) = - , pour 7 = p;
" V Bjorling
f dx 1 i/(^i_;,^-)_y . /Gr.21.26.
12)1 -— = — -— — ~l— , pour p < q; (val. princ.)
J — p-{-qCos.x l^iq^ — p^) p
13) = — 00 , pour /) = q:
f Tanq.P x tt Sin. p X .
H^ / — ;; — 7 dx = ----- , ^* < ^S p' < 1 ; v. t. 25. n\ 5.
/ 1 -f- Sm. Zx. Cos. I Sm. p n Sm. A
/' TanqP—^ x Zn „|1 — P )
]."j)/ :- ; dx = Cosec. p n. Sin. { -Tt} ,!>»>(); V. T. 25. N\ 4.
'J 1-^-Sin.xCos.x 1/3 ^ { 2 ) ^ ^ -^
[Cos. X — Sin. x
16)1 : dx =0 V. T. 24. W. 5.
/ Cos. X + Sin. X
Cn Sin. x — Cos. x
17)1'. -- dx = Iq V. T. 24. N°. G.
/ Sin. X -\- q Cos. x
F.Circ.Dir.rat.fract.a(lon.bin6mc(lcplii.sliau((lcgro. TABLE GC. Lim. Oct-.
f Sin. 'a; tt p — 2
1)1 — dx = : + n Kamus, Danskc Afli. G. 205.
; I -f pSin.^ X 2p» 1-^(1 +p) ^p'''
. f dx n \
2) I ^ = Mosta, Gr. 10. 44<.>.
7 1 +p> Tang.'x 2 1 + />
Pnge 11:5. l.-|
WIS- EM NATUUr.K. XKlill. liRIl IU)M>KI. AKAtiK.MIi;. OKKI. I \' .
F. Circ.Dir.rat.fract.aden.binoniedeplushautdegrL', TABLE 60 suite. Lim. et-.
/Tuna.' X n
~- — dx = V. T. 24. N^ 7.
i-^-p'^Tang.Kv 1p{p+\)
^. [ dx n
■^)\'. TT. == V. T. C5. N=. 1, 2.
^ f Sin.x , n
•A I ^ da- = V. T. 63. N^ 1, 2.
6 / , — — — = ~ V. T. 65. xX^ 3, 4.
J l—Sin.^x.Cos.^ X 1/3
_, f Sin. 2a; Zn
'\lT^S in,x.Cos^x '' = ^^3 ^- ''■ ''■ ^^- ^' ^•
'^ h-sJlcosr- i = I ^ ''""• ' ''■ ^- ''■ ^'- ^ «■
r Sin. X 1
'7 l->S»..'a:.g...U ^-^ = -(— 2AJ60..C.;. V. T. 05. N'. 5. 6.
10)/ c~ ,' /, , <i^ = rr V. T. 25. N'. 16.
J I — i>in.^ X. Cos.' X
TIN ( dx 71
11)/ =1 V. T. 21. N' 7
J p- -\-Tang.'^ X 2p(p-|-l)
^^'7 c-^+..+i ^''"^•^^^ = j^q ^- {^,2} '^- ''■ ''• ^^- ^^-
fCosJ'x — C0S.I X 71 (q p ~j\
f Tang, x 1
^'^>IF~^ , c n '^^ = —71 Y. T. 5. N°. 23.
y Cos.Pa; 4- SecPx ip
_, ^ f Cos.'^ X. Tang.P-i X 71 f2_r> ^
^g /" gp^.'a; TT 1— >Sin.A \
/v, Bonnet, L. 17. 265.
Cos. X I
^i + cos.n.cos.'x'^-' = -^^<=-^^^-?-H)
Page 111.
F.Circ.Dir.rat. tract. uden.binoniedeplushautdegre. TABLE 06 suite. Lim. et-.
[ Tangr X I ^1
19)1 ' dx = — rr p""—' '7—'"- 1 .Sec. —rjT Schlomilcli, lloh. An. 85.
' J p"" Cos.- X -{- q- Sln:^ X 2 ' ^ 2
f Cos." X. Cos. a X n b"—^
20) /- dx = Seriet, L. 8. 489.
7 Cos.- x+b^ 5m.> X 2 (6 + 1)"
Sin. 2x 2
dx = la V. T. 24. N^ 12.
22) / ■^"'■^•^ ^ ^ ~'^ la V. T. 24. N'. 12.
'J Sin.-' • - ^ - . . ■.
Sin.'' X -j- Cos.''' X \ -\- a'-
Sin. 2x — 2
"^ X -\- a'^ Cos.^ a: ^ ~ I + a'-
F.Circ.Dir.rat.fract.aden.^puiss.dcbinomcs. TABLE 67. Lim.Oet-.
f Tang, x
1)1 ' dx =^ 7T Cosecpn V. T. 31. N". 20.
J{Sec.x—\)p '
2)/— TT^x = (I — p^ p 7T Cosee. p 7T V. T. 31. N'. 21.
J{Sec.x—l)P ^ ''^ '
, , [ Sin. 2 X
3)/— dx = (l — p) p 71 Cosec. p rr V, T. 31. N\ 21.
J (Cosec.x — 1]/'
, , f Sin. 2 .V. Cos. X n — 2X
!• / TT-V-, dx = ; V. T. C6. N^ 9.
7 [i—Cos.^LSin.-^ xy Sin. 2 l.Cos. ).
, . f Cos. 2 X. Tang.p+i x , n p Sin. l. Cos. p A — Cos. X. Sin. p X
o) I ^- dx = i— - V. T 26. N'. 1
7(1-1- Sin. 2 X. Cos. I) * 2 5m. pn Sin.^ ).
fSin.^—P X. CosJ' X l—p
^Jlrr-, nr -; dx = pn Cosec. pn V. T. 18. N'. 22.
J (tos.x -{- Sin..v)-' 2 '
f\f dx jr p' + 0^
7)1 , ■ „ , , ^ -. , ^, = - ' , Tortolini, Cr. 34. 101.
y (p' Cof.5 a-4-«7^ 5in.»x)* 4 p^ j'
„. f Sin.^ X . n^ 1
^^lip'^os.^x+g^Sin.^xy''' = 4^ ^"""'' ''■ '• '"'• " '''"'^"■"'' '^'- '
n)[ £^!l^ dx = 1 '-
J (p» Cos.' x + q^ Sin.^ x)» 4 p' ,7
31. 101.
10)/" ^^ ^3p«+2p'g'-i-3y« f
7(p»Cos.'x+ <7' 5;«.' 3)' ~ ic, pr. 5= (^ ^°^'°'""- <-■•• 3'- »"'•
11)/' ■S' "'-'" , _ JL ?.?'!+'
; (p> tW.' .r 4- 7> Sm.» .T)' "^'16 ;>'-; =
9:
Page 115. ir,«
K.Circ.Dir.rat.fract.aden.^puiss, de binomes. TABLE 07 suite. LiniOet-
13)
Cos.* X 7T p"^ -\- 3 g^ \
ax =
J {p"- Cos.'' x -\- q-^ Sin.-' j-y 16 p'^ q^
[ dx_ n hp" + 7p' q"- + 7p^g* + 5 (y* ,
q'^Sin^x)* 3 2 p" <7'
r Sin.^ X _ n bp^ -{-Q p-^ q^' ^q''
p^ 7'
^"7(p»Cc.8.».r L.».c;«^~N4 '^^ = T^ IT::^ "^ / Tortolini, Cr. 31. 101.
+ q^Sin:^xy 3 2 p' -?= /
[g. /" ^in.* a : ^^ _ JL ^/'' +
J ip'^ Cos.^ X ^ q^ Sin.^ x)* * 3 2 p^ 7^
I7)f ^^i^-^- — cfx = — P' + ^
7(p»Co5.*a: + 7*<Swj.*a>)' 3 2 p' 73
»Sm.* a;. Co«.* a; 77 p^ + 7-
(p' Cos.* a; + 7*&'n.^ir)^ 3 2 p^ js
C0J.2 j; TT (7* — p^
[ Co
J (p' Cos. * X
-0 / . ,.o -^^ , — , g. , ., dx= — ' *- V. T. 07. N,. 11, 12.
J 'p-Cos.'x-\- q- Sin.- x)^ 16 p^ 9 =
21) f ^^^^il:^ ax - JLM1ziZ!_9'+pViz1p" V T n v» 14 1-
..,( Cos.^r-i^_Sin.^-s-ia; r(r)r(s) 1
~ ' / / 2 /-> . 2 i ^~c^ ^; r~r"^^ = Schlomilch, Hoh. Anal. 85.
J (p* Cos.^ ■^ +q- Sin.^ xy+' r (r+s) 2 pSr 72*
^ r &-«.f-'2^ I r(p)r(>)
''7(Sm.. + Co..^. '^''^ = Tp r(pTf) ""• ''• ''■ ""'• " '^^ ''• ''• """• '•
2.)/^
da; 1
= -~n V. T. 21. N". 5.
{Tang. X -^ Cot. xy 1
F.Circ.Dir.rat.fract.aden.,prod.demon.etIjin. TABLE 08. Lim. OetJ.
/" Tan g.P x dx
'\'c- 7~n 7: = nCosecpn V. T. 22. N° I.
y 5tn.x -\- Cos.x Siti.x ^ . ^^. it . I.
, /■ Tang.P-'^ x + C o<i' a; rf.r
Page 116.
F.Circ.Dir.rat.frctct.adeii., prod. (lemon. etbin. TABLE G8 suite. Lim. Oet^.
3) / ~ - — = Cosec. p re. Sin. tt , 1 > w > : V. T. 25. N^ 4.
'j I + Sill. X. Cos. X Tan<j.i>-^ x 1/3 ^ { 2. \ '
f Sin.^ X dx 71 1 f2— P \ ,^ ^„ V. T. 25.
' j\ — Z Sin.'- X. Cos. ^x Tang J'-'^x 1/3 2' \ Q (' •^'' ^ ' N . 15.
I TT
Sin."^ X dx 1 »:
5) / :^ ■ = " V. T. 24. N'. U.
'/.-^
'o5.^ .r -\- Sin.' .V Cos. 2x 2 I -\- p^
Cos. ^ X dx 1 71
X -{■ &n.* X Cos. 2 X 2p 1 -\- p
Sin.^ X dx 1 IT
Cos.^ X -\-p^ Sin.^ X Cos. Z x 2p 1 -\-p
Cos.''- X dx 1 pit
f Co.. .„ „„ . ..
6)/ -:; = '■ — V. T. 24. N^ 13.
/ w^ Cos.'' r -■- ■^'■" * ^ '^"' '^ " 9 « 1 -1- «i
7\/ '--"■■ lin_ ^ _ J1 '1 — V. T. 24. N^ 13.
a; + p2 5m.* a: Cos. 2 .r 2 1 -j- p2
V. T. 24. N°. 14.
I. 15.
V. T. 25. N\ 5.
f CotJPx , 1 ^ „ 1 \ > 7* < 1;
9) / ; dx = Sec. - p TT , «' < 1 ; \
C CotJ>-^ X , I n I f
10)1 ^ — — - , dx = — Cosec. - » TT, 2"> »">0 ; > Sclilomilcli, Stud,
^jl_^lq-qi)Cos:'x (1— v)/'2 2' ' -^^-^ V
f Cot./'a; , 1 TT ^ 1 1
11)1 a X = ; oec. - pn , p^ <i I ;
'jl—qCos.-'x 1/(1 — 7)/'+i 2 2^ 'Z' -^ ' y
/■ 1 i/.r 71 Sin. pi. .
/ 1 -j- Sin. 2 a;. Cos. A / an<j.V x oin. p n Sm. I
fTanqP X + Cot.P X 2 tt Sin. p ). ,, ,„ , ,, „
13)/^ — ^^ 7n- f'^ = t; ^r-^,;j'<i; v. t. 48. n°. in ct t. as. N'. 7.
/ 1 + Cos. A. Si/J. 2a; Sm.pTt Sin. K
f i dx TT
'M/ — ^ ;;, = — '^'- T. 5. N'. 23.
J >'i;i.P X -\- CosecP x Tang, x 4 p
[SinP X -{- Sin.l X dx n {n — p t)
15 I-, — == - Sec. \- - V. T. 31. N^ 17.
[Sin.Px — Sin.1 X dx n ^ {a — p n\ ,,„,,, ^,„ ,„
16)1 = ran<7. \- ^-l V. T. 31. N°. 18.
/ 1 — Sin.P-^1 x Tang. x p + (f ('/ + P 2 (
fCosJ'x 4- SecJ> X „ ^ „ P^
17) 1 ;; — ■ — Tang.xdx = — See. — V. T. 31. N». 24.
7 Cos.7 X + Sec.1 X ^ Iff 2<i
I CotJP X dx n VTT
IS) / ^-? ^— = — — Tang.^- V. T. 22. N°. 13.
J Tang.l x — Cot.lxSin.Zx iq " 2 q
Page 117.
F.Circ.Dir.rat.iVact.aden.,prod. demon. etbin. TABLE 08 suite. * Lini.Oet-
= — V. T. 49. N". 19 et T. 92. N°. 10.
~~^ -^ = — Sec.— V. T. 22. N«. 14.
ng.l' x-{- CotJ'x Sin.Zx Zp 2p
Tanq.'lx — Cot.'l x dx n „ on
■- = — Tanq.i— V. T. 22. N'. 15.
TangJ' x — CotP x Sm. Zx Zp ^p
19)/ _
J Tang.P x -\- CoW x Sin. 2 x 4 p
[Tanq.l X -^TanqPx dx i „ [Q — P ^1
•:n / — ^^ -^ ^ — = Sec. \- — ^ -\ V. T. 49. N°. 13 ct T. 92. N". 11.
j Tang.P+n x -\- \ Sin.Zx P + 7 1 7 4-/' 2)
[Tanq.l X — Tangjfx dx tt in — r> ttI
21) I i' " ^ Jang. {- -^ -} V. T. 49. N". 14 ct T. 92. N°. 12.
/ TangJ>+9 x—1 Sin.2x p + q [<] + p Z\
fTang.l x
22)/
J Tang.P X-
/" Sin."^ X dx n p Sin.X.Cos.pl.— Cos.l.Sin.v'K
24)1 = i— - V T 26 N° 1
'} [l-^Sin.Z.v.Cos.lfTangS'+'^x ZSin.prr Sin.^ I
nTang.P x — CotJ> x\^
''7i Cos.x-Sin.x ) '^- = n^-^P-Cot.Zpn) V. T. 28. N^. 7.
t Tang.P x dx 1 + P
07)f 9^!:^ d.r _{p+irr- nSec^pu Schlomilch.Stud.
J {l—qCos.^x)''+iTang.Px Z^r- 2(1— a)^(P+')+°-f-> '^ '^ ' ^ ^ ' 1.13-
,. [ ^ ^•''•
-"^J/JT 77 ~r? = nCosec.pTt \. T. .31. N=. 20.
J (Cosec.x — l)pTang.x '
f{}-\-Tang.x)<!~l dx 1
^•'W/1 , T 7:rn'^^^~^ = T {^-' (/' + ?) -Z'(«)} V. T. 22. N\ 3.
_/ (1 -f Ia7ig.x]P+1 Sm Z X 2 ^ \i i n vni
.•30) I [{\Jf.Tang.x]-<i — {I -^ Tang. x)-p) ^^ = - (Z'(p) — Z\q)] V. T. 22. N^ 18.
.,^^{ L. „ 1 I Tang.'l^^ x 7 T (a) T (p — q)
•H)I fotJ>x— y-—~~—-\ — -f- dx = i—--SiL^ V V. T. 22. N^ IG.
K.Circ.Dir.rat.fract.aden.binome. TABLK 09. Lim et ^
, ' 2'
PilRC 118.
Lim.
22.
TV
F.Circ.Dir.rat.fract.aden.binome. TABLE 69 suite. Lim. Get-.
[ qSin.lx ^ />.„.!, Ii /^""'^V'l -/I Cauchy, Lim.
6)1 LaniiJ'xdx ^= —irtosec^pn \i — > , pour o- <" 1 ; , ^^^n
'jl-ZqCos.2x + q' '' 4 '^ I \l-f-,/ j '^ ^ ^ Imag. 117.
•4) = -nCoseclpn f 1 + ( ^; ]'} - pourv' > 1 ; ^j"""^^'^
' 4. ' ( \'/ + lj I Imag. 1
r Cos." a;. Cos. a .« tt /l+'A" ^'>a>0,p^<l;
5) / :, • a A- =
7 1 — a?Cos. 2a; + <?2
/"Cos." a;. Sin. a a;. 5m. 2 a: _ J^ Ul+j]" —^
''] 1 — 2-76''o5. 2a;+y2 ^ ~ *-? U ^ / ~ &"]
/r
^' / 7+ 6 Sin.* .r + -J Cos. Kv ^ Z \y [a + 6) fa + c)
i Cos ^ '!/•
9)1 ; — '—^ dx =^ Cos.}. l(Z(l+ros. ).)] +' X Sin. I V. T. 7. N". 6.
'/ 1 4- 2 Cos. I. Sin. X -\- Sin.' x V \ -r jj t^
Cos. Zx + q'' 2(1— 7^) \ 2
Poisson, P. ly. 104. N^ 76.
7)/ = Plana, Cr. 17. 345.
^'' ■c'' [a'^ Sin.'^ x-\-h^Cos.^ x) 2 1/ (1 — a- c^) (1 — Z-- c^)
dx n
Lobatto, Int. 33.
a Sin. { p >
\v-\-CoUx—2Cos.i. Sin.Zx „ o. , o- P^
' 2 q ojw. A. otn. —
10) / -^ :— .- = '- — - V. T. 2G. N'. 10.
/ Tang.ix
„Sin.\ ^~H
'x-\-Cot.Px — 2fos.a dx I- 71 X — TT Cos. It
'.•c + Co<.7.r_2Cos.A Sui.2.i; c- i c- P '^ ^ Sin.X
J Tang. -J X ' '^-"- " z^- ■> t--- " - « tt i . c-.. ,
9
-.1 TOMJ. < »>
[^>inJ>x — 2 Cos.A-l-C'osec./'a; dx I 7 J
l2)/-r: ;; = ,
J Sm.ix — 2 Cos. _u -\- Cosec.^ X Tang. X ^. 5,. PJ^ q Sin. u
^>^in. \ p(
— 2 60S./.-I- C'osec./'a; dx I7J u — n Cos.k
+ ' — V. T. S. N'. 9.
q Sin. u.Sin.
^. P^
[_SinJMoJ^Co^eclx__ dx _ ■_q_ ^ ^ g_ ^, j^
'j Sin.lx-' "^-- "■ ' ^ - ^
• + 2 Co5. X -\- Cosec.^ x Tang, x Si X Si ^
' <1
\Sin^.Sin. { (2 k-\- 1 )x ) dx ^ , ;j' < 1 , pour ^• = oc ;
Sclilamilcb, Bcitr. II. 1.
^ [Sin^%x.Sin.{ {2k^\)x ) dx _
j 1 — 2p(?oj. 2 a; +p» Co*. X ^ "^
I'nge 119.
F.Circ.Dir.rat.fract.adeu.bindme. TABLE 69 suite. Lim. Oel-.
Sclilomilcb, Beitr. II. 1.
IC,
fSin.2xCos.{{Zkj-VT} dx _
/ l — 2p Cos. 2 X + /) - Si/1. X ~~
f dx . _ ^ ISl Roberts,
I {l+q^\-p'-Sinr-x)]{l—p^S{n.\r)~2i--{\-p') 21^ {(l + (z')(l-;>'?^ +7')) L- 11.137.
F
Circ.Dir.rat.fr.Tct.comp.aarg.TrtHY/.a;. TABLE 70. Lim. et -.
9
10
11
12
13
fSi7i. (a Tang, x) 1 _
I I — ; — dx = —n Lobatsclicwsky, Mem. Kasan. 1835. 211. la trouvo faut. — t.
J Sin. X. Cos. X 2
/dx 1
Sin. (q Tana, x) = - t (1 — e-lj V. T. 212. N". 4.
Tang, x 2
/dx 1 e? — er-i
Tang, (q Tang, x) = -n V. T. 212. N". 5.
I / Sin. (q Tang.x) = - rr (1 — Cos. q) V. T. 212. N". 11.
J ^^ ^ ' Cos.Zx. Tang.x 2 ^ ^
[ ^ r^ Tana, x 1 ^
\ j Sin. [q Tang.x)-—^ dx = — - tt Cos. p V. T. 204. N°. 22.
f dx 1
\ I Cos. (q Tang.x)- = - n Sin. p V. T. 20 1. N\ 21.
7 "^ ' Cos.2x 2 ^
/ Sin. {q Tang, x) = Vi.{q) Sin.q — Si.{q)Cos.q V. T. 206. N\ 9.
) KjOS. Z X
[ „ ^ Tana, x
) \ Cos. {q Tang.x) dx = Ci.{q)Cos.q -\- Si.{q)Sin.q V. T. 206. N^ 10.
f ^. dx 71 ]
I I Sm. [q Tang. x). Sin. {n Tang.x) — = — Sin. q , pour < <^ < tt ; |
V. T. 204. N». 23, 24.
= ,pour<7^7r;
I ^ , .., , Tanq. v 1
I / Tang.{p Tang, x) -^ '^ d x = tt V. T. 206. N\ 15.
J ^ '-^ ^ ' (7o5. 2 .1- 2
f Tanq. x n
\]~ —7= dx = V. T. 204. N°. 10.
J lang.{qTang.x) e-9 — 1
[ Tang.x dx 1
I / -^ ^ •;; = - n- V. T. 20G. N^ 19.
J 1 ang. (p Tang, x) Cos. 2x 2
Page 120
F.Circ.Dir.rat.fract.comp.turg. 7Vw</.a;. TABLK 70 suite. Lim. et -.
[ Tana, x d .v
H)/ = V. T. 20G N^ 20.
J Sill, [p Tang, x) Cos. 'Z x
15; icos.'' (p Tang, x) ~ = - tt Sin. 2 p V. T. 206. N=. 21.
/ Cos. % X 4
^^^)j^i"-^P'rang.x)^^-^^^ = (- 1)" | .-/- V. T. 212. N^ 14.
U)jCos.ipTang.x) ^ ""^^^ ^ = (—1)"-; ^-P V. T. 212. N\ 15.
dx . . , TT
Tang.^" x
I If OS or \ IT
1 8) / Cos. [p Tang, x) '■ — dx = - {Sin. p—p Cos. p) V. T. 20S. N \ 17.
J \Cos. 2 xj 4
fl — Cos. (p Tang. „,
19) I — ^— ^ dx = - {c-P+p—l) V. T. 212. N". 13.
fl — Cos. (p Tang, x) n
1-9) I liT^ ^—^dx = -[c-P-\-p-
J Tantj.^ X 2
fCos.(Tanq.x) — Cos.^ x — I
20) / 5^ ^— ^ da; = — A V. T. 212. N". G.
J Tang, x
fCos.(aTanq..v) — Cos. (b Tang. ,v) , ^. , , ^ — ^ ,r .^ ^r, -
21)/ ■ ^^— ^ i ^—'■dx = -(e-l> — e-"j+ n V. T. 212. N^ 7,
7 Tan^." X 2^ ^^2
rCos-P— ' a; 1
22)/-— Sin.(arang.x-\-p.T)dx ^ -n Kummcr, Cr. 17. 228. — Id., Cr. 20. 1.
/ Sin. X '■"
23)/":
2
Si n, p X — Sin. [p X — a Tang, x) „ , , 1 Lobatschewskv, Mdin. K.nsan. 1S35. 211.
CosJ'~^xdx = - 71 , I- .■ t
Sin. X 2 trouve lautivcment: tt.
F.Circ.Dir.rat.fract.comp.uaulrcarg. TABLE 71. Lim. Oct-.
dx 1
Tang, x 2
1) jSin. (./ Co*, jr) ^""^ ■ = ^ne-'i V. T. 201. N^ 3.
f dx 1 ,
Z) I Co-H. iq Cot. x) = — -{e-'lEi.(q)-\-elEi.(--q)} V. T. 204. N^
i)\Tang.(qCot.x)-;^r—Z = S , ^' '^- 2°** ^°- ^'
4) / Co/. (7 Cot. x) ^~~ = ^ " - V. T. 204. N\ 10.
dx n
Tang, x ~ e^? -j- 1
dx TV
Tang, x e^'l — 1
Page 121. 16
WIS- E?( matuuhk. VEnii. deb komkkl. akadeuie. deel IV.
7t
F.Circ.Dir.rat.fracl.conip.aautrearg. TABLE 71 suite. Lim.Oet-.
/Tuna. X d X 1
Sin. (q Cot. x) ^ = - 71 {Cos. n—\) V. T. 212. N'. 17.
^^ ' Cos. 2a- 2 ^ •* '
r dx \
G)lSin.{q Cot. j) = -nCos.q V. T. 20i. N". 22.
J Los. 2 X. Tang. X 2
7) / Cos. (q Cot. x) =- = — a. (q). Cos. q — Si. {q). Sin. q V. T. 206. N°. 10.
J Cos. 2 X. Tang, x
S)jsin. [q Cot. .) f~^^ = (- 1)* \ -e-o V. T. 205. N'. 27.
[ dx \
9) /Cos. iq Cot. x) — = (— 1)'' -ne-l V. T. 205. N\ 26.
J Tantj.^" X 2
f dx 1
10) /Cos. (q Cot.x) ^ ^ = — -qe-^ V. T. 205. N\ 12.
Tang.''- x
1 1) / Cos. fg Co«. x) I '. I dar = ^(Sin.p— pCos.p) V. T. 208. N". 17.
dx
f I Sin. X \- Tt
I ) / Cos. Iq Cot. x) \ dx = — {Sin.p — p Cos.p)
J \Cos.2xj 4
K)/co..(,Co...)^ = ^-^
i dx
13) Cot. iq Cot. X) — — - = -
J 1 ang. X. Cos. z X 2
f ^ '^^
14) / Cosec. {q Cot. x) — —
J lang.x. Cos. 2 .r
C dx \
M))\Cos.^{q Cot.x)- = TtSin.Zp V. T. 206. N^ 21.
'J ^^ 'Cos.2x 4 '
( dx » »2'--l 1
16)/ Sm. (p Sm. x) — = 2
J ^'^ 'Tang.x i P"-'/! 2n+l
17) I Sin.'ix. Sin. (a Sin.x)-^^^ = ^~^ ~
J 'Tang.x (Iq)^ + a^ q
f d V
iS)lSin.{pCosec.x).Sin.(pCoLx) — '— = -tt Sin.p V. T. 192. N°. 10.
J Cos. X
f d
19)/ Sin. Q> Secjjc). Sin.ip Tang.x) —
J Sir
V. T. 205. N". 18.
dx 1
= n V. T. 200 N^ 19.
r= V. T. 200. N'. 20.
dx 1
dx » »2'--l 1
2 V. T. 192. ^\ 5.
d.v 1 — n a
- V. T. 192. N\ 4.
Sin. X
= n Sin.p V. T. 192. W. 10.
/dx 1
Sin.{\pn — qCot.x)- ^-;— = - tt e-9 V. T. 205. N°. 24.
Tang.P—^ x 2
Page 122.
11
F.Circ.Dir.rat.fract.comp.aautrcarg. TABLE 71 suilc. Lim. et -.
'Z\)\Cos.[^p-n: — tjCot.x)-^ = -TTC— 7 V. T. 205. N". 25.
d.c 1
Tang.P X ~~ 2
, / Cos. (q Sin. x) — Cos. (n Cosec. x) 1 ^
■1)1 ^^ '-- ' dx = - nSln.n V. T. 192. N=. 11.
24) / { Sin. {q Cot. .?■) -f- Tang. x. Cos. {q Cot. x)] -
J ^ Tang, x
. i'os. (q Cos. x) — Cos. (q Sec. x) ]
23)/ — ~ ^ dx = -nSin.n V. T. 192. N\ 11.
'' Sin.x 2 ^
.-= Tre-? V. T. 204. N\ 15.
F.Circ.Dir.irrat.ent. TABLE 72. Lim. Oet-.
2
( -^ fl"-l/21 2
l)/d.i;l/(l- ry^Sm.2 .») = 1—^ ] — (2«— 1)72", <^<1; V. T. 12. N'. 14.
/ 1 I n"- j
2) = E' (q) , la Fonction elliptique complete de seconde esp^ce.
Legendre, Eserc. 1. 138.
Catalan, L. 4. 323.
Lobutto, L. 5. 113.
Dicnger, Cr. 46. 119,
Gruncrt, Gr. t. 113.
1 l~-<7'
~-Y:(n\ 4- -V (n^.o ^
r
r 1 f 1 2 1 I 1 Catalan, L. 4. 323. —
■■>.)] Sin. xdx\^{\-q-Sin.^-x) = _ hj^tZZl-l ^-±1\ n ^ 1 ; Lobatto, L. 5 113. _
V 2(^27 l—J'-'^' Dicnger, Cr. 46. 119. —
Gruncrt, Gr. t. 113.
4) / &•«.' X d X v-- (!—<?- 67«.^ x) = "—^ E' (7) + ^^- F' {q),q < 1 : j
} 6q- Zq'- I
. \ Legendre, Ex
^.)^Cos.-^ xdxv^ {X-q-^ Sin.- X) = 1±1!e'(<?)-^'-F'(7),7<1;^ ^- ^''•
6)f5.n.3.d.,/(l-,>5,„.^x) = '-f^+^-=^i±i^i ^-±^ , ,<1 ;
} 8<7^ 16 <7^ J — (;
3 (.. 2
Lobalto, L. 5. 113. — Grunert, Gr. 4. 113. — Catalan, L. 4. 323. la trouvc faut. = —
l)\dx\^{\ — SinM.Sln."^ x)=Cos.'^l.Coscc.hY:{Sln.X) Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1S35. 1.
8)/.S;„..r.C05.»*dxV/(l-g»Sm.».r) = L.}-?— ^ -|- <-i— 1^/ L=^ ,,,< 1 ; DionKe'-,
7t \ ^ I ^-r g^j -r jg^, 1^^'/^ ' Cr.4b. IP.
9)| Van*/.* .rd.r 1/(1 — 7 " 5in. ' a:) = 00,7 <1; Legendre, Exerc. 1. 138.
10)/.^.,/(l-,a5,„.,,), ^ ir_il!E'(,)-i^F(,).,<l; ^Xt^L^Vm'-"
Pago 123. 16*
F. Circ. Dir. inat. cnt. TABLE 72 suite. Lini. et J.
f ^ f l''-I/2) 2
U)jdxl^a—p^Cos^a;) = 1 — -SJ-^| [In— Dp'-" V. T. 12. N^ 14.
12) jSinJPx. Cos.^-P J (1 — 9' Sinr- W~^''d.v =
7'i/{^|>— i)(p-3)(;'— 5))
( l + (/'-3)g + ?- _ l-(p-3)g + g^ l Y ^ g J,. ^^
I (l_|.^),.-3 {l_,^)/;-3 j
1.3) / ran<7.2«+i .r. Cos. "'^^^ x dx
Ja+l/2
1&+
(2 Z,^ 1)0+6+1/2
/■ „+6^i l*+l/2 la/1 ,
14) I rangf.aa+la;. Cos. ' ^xtia; = ,„ , , t.„_i_a^,/o ^^ ) Octtinger, Cr. 3S. 162.
15)/ Tang.^ xd x \^ Cos. ^ x = —
f '"-1
) I 67«. 6 o'. Cos.
„ 2(1 ,
2c— , —I
16)1 67«.6 X. Cos. i X. Co'i. 2 cxdx = Cosec.-r
'I O A2r— I A
TT OTT (ft — 2 a)2':-l 4
2 62C-1 J 12C-1/I
AT d.2c?.3<i 2
d "" b2c.2c-\-d.2c+2d...Zbd—2ad.2bd—-Zad + bc..
^, /•,,. 2a_, 2r_2a_, 2cx, ^ AT d.2c?.3<i 2bd.2bd + bc..
17) I bin. b x.Cos.<i i> x.Cos,-j-dx = nSec.
Voyez de ces deux formules: Oettinger, Cr. 38. 216.
18)/ Sin."-^ X dx l^ {i -\- Cos.2 x) = - l^ 2 )
( Oettinger, Cr. 38. 162.
f Aj.i 1'"/' 1*/' 2* 1
19) / Sin.<^-^ .r(l +Co5. 2^)*"^^ dx = —, — 1/ 2 /
J 1 20+611 a
20) jdx IK /Sin. a; = F' Cos. — -| E' Cos. ~ \ V. T. 12. N». 15.
22)ldw^Cos.x = — — -F'JCos. — ]h-^P^E'|(7os.— J V. T. 12. N°. 15.
23) fdx^Cos.^x = ^ E' lsin.~] _i±^i^F' fs.^.-^] V. T. 12. N". 16.
; l^-S \ 12/ 2t5^3 I 12/
Page 124. ' ~ ~~
F.Circ.Dir.irrat.fiact.aden.monome. TABLE 75. Liin. Get-.
^ 2
r(p + j)r(l-p ) ^,. \2p-i \
fSinr^u 2''-P
^)l7n, —dx = " • '' — = =-- ^in. {'~ tt} , »< 1; V. T. 12. N'. 1!
^CCosF'^x^ r'-P r(p + i)r(i— p)^. hp — l \
^)\ir-„ ;— '^^ = ; 7 —Sin. \— rr ,»<1; V. T. 12. N'. 18.
3)/- ^ - = 1/2. F' f&n.-l V. T. 13. N^ C.
4) /{I/ 7a/i^. X + \^ Cot. x) da; = tt i^ 2 V. T. 50. N". 15 et T. 92. N^ 13.
■ Sin. X
fCos.x —
7 ry Cos.
Zx
dx = V. T. 27. N'. 14,
f Cos. X 4- Sill. X
6)/ r, dx = V. T. 28. N". 2.
J Cos. Zxi^ Sin. 2 x
7)f^7^ = 1:7:; I^' f^o^-T^) ^'- T. 15. N^ 12.
IV 67n. a: ly 3 \ 12
S) / = -^— F |5m. -- 1 V. T. 15. iN'. 11.
'^ ■ V. T. 15. N'. 12.
2/
T. 15 N^ 11.
f dx
' J \i^ Sin.-' .V ~~
f dx 1^1:
9) / ^' = F' Cos. -
J 1;!- Cos. X ^ 3 \ 1
'Jiy^Cos.^x 1^3 \ 12J
f d X
J J ang. x
f Tana. .. x /■
12)/ ,, "^ dx = -nCosec- V. T. 32. N'. 13.
J l'-' I'ang.'^ x 2 q
[ l—p^Sin.-'x 2cF'(c) + 2 6r'(6) b — c r ,\
7 Sin. .r 0+0' ^ {I' + '-y-^ > Legcndre.
11)/-—^ Al^Tang."^ x = -nCosec- V. T. 33. N'. 13.
Tang, .r In
_ d .V = —IT Cosec. —
I'ang.^ x 2 q
Excrc. 6. 308.
l+P !+;■
/ dx
14.)/^ 1/(1 — p-^ Sin.x) = 00 Legendre, Exerc. 1. 138.
J Cos.'* .V
l!i)j{Scc..r—l)'"^^Sin.xdx=^-^-—'rtSec.pn V. T 32. N'. 3.
Page 125,
F.Circ.Dir.irrat.fracl.adun.nionume. TABLK 75 suite. Liiii. Oct-.
lC,)l{Sec.x - \)''~^Tang..vdx = nSec.pn Y. T. 32. N=. 1.
l1)j{Cosec.j;—lf'''^Cos.xdx = — — nSccpn V. T. 32. N^ 3.
IS) ( (Cosec. X — \f~^ ^ = 7T Sec. pn V. T. 32. N'. 1.
/ Taitg.x
F.Circ.Dir.iiTat.fract.;i(]on.bin6medul"'"degrc. TABLE 74. Lini. Oet^.
'jxy{a + bCos.x) V^(a-\-b) \ a + bj
f dx 2 I / _1L\ pf^j, /_1L\1
/■ C'os..r 2 f , ^ / 26 \ ^/ U \
1)1 r;^ dx=- TT^I « + ^)E' 1/-TT — «^U'-''^I
'j ^/(a-}-6Cos..r) bi^ia-\-b)V \ a+i>J \ a + bj
5)/" — = -F I Sin.-] \. T. 13. N\ 6.
' j 1^(3 ± Cos. Zx) 2 \ 4/
f Sin.
dx = ■ ' ^^■' — , , V. T. 13. N\ 9.
Cos. 2 .r) 8 1/ TT (r (})} '-
7)1 d.r=-v/2 V. T. 13. N\ 7.
'Jl^i3 — Cos.2x) 4
8) / ^^^ dx = ' ^ n Sec. pn V. T. 27. N". 4.
J (Cos. X -f Sin. xY 2 '
C Sin. X 2 B 4- 1 „
9)/— ^ : dx = ^ 7r.Sgc.jDJr V. T. 32. N". 17.
10)/ ^^^^^^^ rfx = nSec.pn V. T. 32. N'-. 15.
7(&c.a;— l)/'-i ^
Page 126.
Dienger,Gr.
13. 424.
F.Circ l)ir.iiTat.fract.aden.bin6mcdul^''degr6. TABLE 74 suite. Lira. ot |.
, Cos. X 2 w + 1
11)/-:^ dx = ^ n Seep TV V. T. 32. N\ 17.
f Cos. X
J {Cosec. X — 1
)P+i Z
12)1 r—, d.v = -nSecprt V. T. 12. N°. 8.
'J (I— Sin. xf-^ Tang.. V 2 ^
F.Ciic.Dir.iri'at.fract.ad6n.bin6mcdu2''deoTe. TABLETS. Lim.Oet -.
° 2
— -.= - l^ 2 . F [Sin. -1 V. T. 13. N°. 6.
&n.»;c) 2 \ -1'/
f d.v
1/ (1 + 5m. » ar)"~~4i/27r {r (|)}
/• Cos. 2 a: (r(i))- 7rl/2 7r
2) / dx = ^ ^^'' — , , V. T. 12. N\ 9.
3) / ; dx = -1/ 2 . F LSirt. - + -, r— —
(ra)}
1
V. T. 75. N". 1. 2.
4 V-'^ 2 T
4)1 dx = - V. T. 13. N\ 7.
1/(1+ -Sin.* a;) "^ "~ i"
(St'n. a; TT
[ Sm. X n
5) / dx — - —Arctano.p V. T. IG. N^ G.
'jl^{p'^^Sin.'x) 2 -^ '
/■ Sin. X I \
'j ]^ {I -\- p'' Sin.^ x) '" ^ p '''^''"*^" ^ J , />' < i ;
, i Sin.^ X , 1 f » ) I
7)/ . ^. , ,, dx = — ^— — i -I- Ardang.p \ ]
, f Cos, X , ^ ,
8)1 — -— — dx = Ardang.p V. T. 16. N'. 6
7l/(/>» + Co«.»a:) 2 -^ '^
g. /" '^^ jj,,/ > , la Foiictioii elliptiqi
' j l^ {I — p-^ Sin.'' x) ~ ^ Lcgendrc, Excrc. 1. 1
—^ dr = — ( *-
Sin."^ a-) 2p 1 — p
Diencer, Cr. 4.0. 119.
'^J" ,j,,^ ^ , la Foiictioii elliptique complete de premiere espece;
^ " 38.
Sin. X 1 1 + »
\
^^)i — 71 — '^^Tir^r-.^'' = f-'i-^' p' < 1; ^'^<=ng<iv, cr. lo. 119.
J 1/(1 /'* O'" ■* ■ n „ I
"'/ .^(wk..) ''- - ? (^■(^•-''■(rt)
Lcgcudre, Exerc. 1. 138, — Dien-
. ( ger, Cr. 46. 119.
Page 127.
F.Ciic.Dir.iiTat.fract.adon.bin6mc(lu2''ilegrc. TABLE 75 suite. Lim. OctJ.
13)/ ^"^' dx = 3D Legcndie. Exerc. 1. 13S.
C Co^ 2 J- 2
^^n~-n ^TT^l-^^-^- = F'(p)--{F(p)-E'(7,)} V. T. 75. N^ 11, 12.
J l^ [l — p^ om.^ X) p^
f Sin.* .V ^A+Zlfi?', > v f \\ ^ Tj, < . Uienger,Cr.4G.119.-
.Sm.^F. Co^.^^r 1 1— p^ 1 — ?^
^(l_jt>J5m.2x) "^ ~ 2p' 4p' 1+p
]C) / — — -■ — ^ ^ _r L r i_ ;Z L Dieiiger, Cr. 4G. 119.
Jl^{l — p^ Sin.- x) I ,p<^i,
f dx I i Legendre, Exeic. I. 138.
|/(1 — p^Siii.'^x)^ 1 — p-
Sin. ^- J 1
\-^ {\—p- Sin."- .ry ^ " 1— p^
1 „. . 1
19)/ __±l!:!i::^ ^^ ^ 1 — Plana, Ci-. 17. 345.
' / 1 / n «2 .<;,•« ! .-^3 1 — Til
20)/ ^^^^^ -dx = ^ E' {])) — — Y'ip) Robert?, L. 11. 157.
( 2 iSm "^ X 1 /2 \ 2
21 ) / '- ^ dx = IF' (») — — E' ip) Ramus, Danskc Afii. 6. 2(>5.
J V^ {\- — p Sin.^ .x) \p2 / p^
22)/^ '"""j!"' , <^.c = — IE'(») — E'(p)| + 5 F' (p) V. T. 28. N'. 22.
{ Sin." X. Cos.* X 2»2 + l 1 — n-
23) I TT; (i-'' =- ^ E'(p) ^ F' (p) V. T. 28. N'. 23.
'jl-'(l— p2&«.2 2.T) 8p^-. ^'^ 8p^- ^'^^
r Sin. a-. (705. a; Cos. « 1 , ^ ,^ , , r. , ,^ Poisson, Cha-
24)1 dx = — — -u-^ (Cos.^ ti + Sin- /.) >„, ^ ,1^
'Jl^(Cos.^^i — Sin.^kSin.^x) Sin.^ X Sin.^ I ^ '^ ' Icur. § 216.
.,/■, 1— p*'Sm.«a; cF'(o) + &F'(6) i-c r^ ,„ ^ j , , (1-l/p)^ „,, (1+l'p)' V.T.13.
7(1 +Sec.^ x)''+2 T(b + k)
Page 128.
F.Circ.Dir.irrat. ;iden.,prod. demon. clbiii. TABLE 70. Lim.Oot-.
* 7 Cos.-' X \y (1 — p^ Sm.^ A-) ~ * / . P < 1 ;
r Legcndre, Exerc. 1.
/ Cos/ J .f 1/(1 — p^ ^in. x) '
3)1-- ,/'' z c- a . = E'(p)-E'(p)-l''(l-p^) Koberts, L. U. 157.
4) f ^"'-^ li = 1e' {v\ + ?— F 0-.) i
7l-/>Si«.a; l.-(l-p-'5m;^;i-) p3 ^/^-r(,_^.)p i Diengcr. Gr.
/ 11. 88.
^ r 1 ax 1 ^ p V
"^7 X—pSin.x l^iX — 'p-'Sin.-'x) ^ ^ ^'' ^ 1 — p* 1
/• dx ^-f( /'~9'\ V-'l-'-^S-
■p'Sin.xXCos.x+q^Sin.xXCos.x-+r-Sin.x)] vip'-r"") \ p'^-r''] ^°- ^■*-
/■ ^_^ 2 j/ ^ />'-9^ \ V.J
J l/{(7os.ir(p^(7o«.j?+<Sm..r,((/-C'()J.j;+»Sj/j..i-)(r-C'os..-r-|-Sin..2;)) l/(p* — >•-) \ ' p^—r^j ^"'
P*— ?*\ V.T.28,
15.
r
Dans les formules '1, 5, on a Cos. rp =~,ohp^q^r;
P
f dx IT
J l^ {(^o'i.x{p'^ Cos.x-\-i^Sin.x) (f/- Cos. X -\-Tn'^ Sin. x) {r^ Cos.x-\-n^ Sin.x)^ ZpmnSin.q.
9)
/
/ „ p*m*— o*P\ rl
r T.-l^ Vl "77 ,ou(7os.».r= — ,P'«>9^P">W; V.T.28. N^ IG.
\ m p- n' — r^ L^ j pn
d X n
1/ [Sin. J! (p^ Cos. x-\-l'^ Sin. a) {q'' Cos.x-\-7)i'^ Shi. .r) (r^ Cos. j'-j-n^ Sin. x)j Z I q r Sin. ip
F •( , -1^-1— ; i— - .oflCo*.' .J. =^- ,qlypm,rlypn; V. T. 28. N-. l.i.
\ j) p' li' — r- L^ I rl
[ SinJ'~^ X dx „
10 /:; -„. ;.Trj— = nSec.p 71 V. T. 27. N'. 2.
7 Cos. x 4- St/i. X Cos.''+' j; '^
/• 1 dx
11)/ j: T; ;p "l^^T- = ^Sec.pTT V. T. 28. N\ 5.
J Co«. .r + im a; Cos. x. langj ^x
, f 1 (ir 2p4. 1
^-)l77, nr— , .7 ir+r- = nSccp^r V. T. 27. N'. 4.
7 (Cos. x + 5m. .F)^ Tang.''^^ ar 2 ^
5tn.*f''+''-" :r dx r (^t'?\ r /PlZl+l
t3)l t;
7(Co«.:c +
r(p+')
= \ 2 2 ^^ T. 27. X", 8.
Page 129. 17
WIS- EN ^AT^^•nK. vKnii. pf.r kommki. , .tKAiiEHiG. df.kl IV.
F.Circ.Dir.irrat.adcii.^prod. demon. etbiii. TAlJLtl 70 suite. Liin.Uet-.
/• 1 dx
1-1)/ ■ TT-i = ^Sec.pn V. T. 32. N^ 15.
'J[Cosec.x—lf~'' Tang.x ^
/• Sin:^^\v dx II— p)-g— (1 -t-p)-7^^ / y-{-2 1— g\ V. T. 10
•'(1— p'«n.*x) 2 . ^^ ^ /
/' Sm.«+ ' ic djF _ StH.g^ /2 + g i:^9\
^ / ,?-t^ Cos.li ~ ZqSin.). i 2 ' 2 j
16)/ ^-^ ^^^ ^T '- = — ^ B I— ^^. ' 1 V. T. IG. N\ 8.
((7o«.» I — Sin.^ X. Sin.- if^^
dx TT
: -\- Cos. X 1/ Sin. Z X 2
17)1 ^ ^^ = -1/2 V. T. 28. N'. 1.
f Sin. X. Cos. X dx 1 f^r . lSin.tt\]\
IS)/ ■ = ] u—Arccos.\ JM
'J l-Sin.^LSin.^x l^{Co!>.\,—Sin.n.Sin.\r) Si)C-LSin.^u\'-Z ' \Cos.).j ) 1 ^,^.^_
/■ ro«.= .'P dx ^ ^, (Si7i.7.\ { son.
19) / = Sec. u r T — ) Cha-
./ 1 — Sin.-^ L Sin.^ x 1/ (Cos.^ f. — Sin.^ I. Sin."^ x) \Cos. a ] ( icur.
Cos.X ) /S/nJA /&•«.;. n \ pn. A\ /,Sm. A tt ^ \|! ^^'
~ J I +p'' Sin.^ X 1/ (1 — o» 5tn.2 a;) ~ 2 1/ {Cos.'*- fi + g^ Si«.* /<) ( '"">
[7r+2F'(7)F{t/(l-?*),u)-2F'(9)E{v/(l-(/^-),u]-4E'((?)F{v/(l-? = ),«}],oup=Co<-.«;l "^l^-
r 5w..r dx P1^ -^i J V »■* — 5'! ^ .Jacobi.
21) I —77; — I g. , , 77; — 5 pT— 5— r-=-— -r Mrccos.-,i'-- f>^>?>P; Cr. 10.
] '(^°flj!-J-— ^\ //^^i^J-— ^1 !/(''*—/') '• rr^—p-^y 101.
* A '■' ^ t ) I '■' ' p'
F. Circ. Dir. irrat. fract. conip. TABLE 77. Lim. et J.
||sni.(l&c..)
. „ . , - ^ , dx I 1 1 \ ^" n- \ , pour t = 00 ;
1)/Sni. -Scc.x — — == Cos.- + S(-«.- v^— *^
'' ' ' ' ly CosKx \ k ^ k] \ \
\ Poisson, Mem. Ac. ISllJ. 71.
/' /I „ \ dx / ^ 1 r.- 1\ ^'^ N'. 40,
2) /Cos. -5ec.a;] , ^ , - = ( Cos.- — S'fn. -] l,/
\y Cos.'^ X \ k k j 4> J
dx 1 TV
Cos. X \y Sin. Zx 2 p
3) / Sin. (p Tang, x) ^_ _ 77 ^jm = ^^^ "" ^- '^- 2^*- ^"- *•
4) \Cos.{p Tang.x)- = - yx- V. T. 224. N° 5.
7 "^ y > Cos. x\y^ Sin.Zx 2 p
Page 130.
F. Circ. Dir. rat. ent. monome. TABLE 78. Lim. et tt.
10
11
13
U
15
Sin.x d X = 2 j
Toisson, Chaleur. 82,
/
/ Si7i. ^ X d X ■=■ — 1
\Sin.'^"+^ xdx = ^ ,~ 22« Octtinger, Cr. 38. 162
To. , '^ r(a4-i
1 Smfi xdx = — -: — ;
/
T-g Lobatschewsky, Mem. Kasan. ISoa. 211.
r (' »)
Ire' »)} ^
-j-- '^ ' - 2''~' Lobatschewsky, M^in. Kasan. 1835. 1.
/(70S.2O+I .rda; = )
\ Caucliy, Eserc. 182fi. p. 205.
C l«/2 I
pxdx = — TT
Euler, Calc. Int. 4. S. 4. 94. — Poisson. Cli.il. 92.
f 1
I Cos.' pxdx = — ;
I Sin. ax. Sin. b x dx = i) i ^ ^ ,
J ^ , a > ou < 6;
I Cos. a X. I
f aSin.pn \
I Sin.px.Sin.axdx = ( — l)"—^ — ,
J «'-p' J
f„ TtCos.pn ZpSin.pnl
ICos.px.Sin.xdx = + -~ TT / Schlorailch, Beitr. T. § 8.
J 1— p* {1—p^V (
Poisson, dial. 92.
. Cos. b X d X = "
p Sin. p n
a^—p^
Page 131. 17*
x.Cos.axdx = (— 1)"
"■ ' -2 _j
F. Circ. Dir. rat. ciil. monome. TABLE 78 suite. Lim.OetTr.
/ n _ q n\
1 fi) / Sin.l X. Sin. a .r dx = - — Sin. — i
J ^ 2' 2 /
Lobatschensky, Mera. Kasan. 1835. 211.
17
I / bin.Q X. Cos. q xdx = -„- (7oa. — 1
7 ^ 2' 2 /
,S)/'s;,,..e:„„... ^ - 5»«j7,:rrj5L+l)
t x.Sin.px dx = „ , , , ,
'2 ' / I 2 / f Kumracr, Cr. 17. 210. — Lo-
batschewsky, Mem. Kasan. 1S35.
Cos.{pnT{q-\- 1) [ 211.
To. ^ , "^ Cos. in 7rr(o + 1)
i 1 / -Sin.?—' a-. <Sm. pxdx = 2' -Swi. J p n — \ L \ /
J r(y-p)r(^ + p)
MV^)M^r^]r(,)l^ Serret. L. 8. 1.
i])jSin.'i-Uc.Cos.pxdx = 2* Vo«. ' prr — l-l-_i \ ^ /
i r(9-p)r(? + ?
Iq — p\ Iq ■\-p\ ]
22) fsiu.l-lx.Cos.L ll- Mdx = 2'-' AI^ZIL\ZiI11^ I
2.3)/Coj.2a-ia!. &"n.2i-ia;rfx = Poisson, Chaleur. 80.
•Z\)jSin.''a!.Cos.^<',vd.v = -J — ^ /^ ^^ — / Lobatscheivsky, Mem. Kasan. 1836. 1.
r « + 7+l
26) / Cos." i *. Cos. '^axd i
Smaasen, Cr. 42. 222.
'^ ~ 2«
Page 132.
F. Circ. Dir. rat. erit. triiiome. TABLE 79. Lim. cl n.
l)j(l-{-l)'^—2pCos.x)dx = (l+p2)3r
2) / (1 -\- p- — 2 i> Cos. x) Cos. X dx = — pn
•6jj{l + p' —ZpCos.xy dx = (1 + 'ip^ +p*) -i > Euler, Calc. Int. 4 S. t. 23.
4; /(I -{- p^ ~ Z p Cos. xy- Cos. X da- = —2p{l + p')n^
5) /(I +?>' — 2, p Cos. X)- Cos. 2 idx = p*n
6)j{l-\-p^ — 2pCos.x)''Cos.a.vdx = (— l)ap«^ ?."'%:> ^'''l''- .?"':/• ^- *• 30. - Legen-
7) f(l +„^- -2» Co3.ar)''d.r = tt i ("^V' P^" ?"''''■' ^Z'^' /"'• '^- ^- '^^ 3'- 67. - Lrgendre,
J Q \7i LxiTc. 3, 04.
f, ^ ^ a*/' ( I a\a — h /a\a- ba — b - 1 ^ Legcndre,
F. Circ. Dir. rat. eiit. composec. TABLE 80. Lim. et n.
l)lCos.(aSin.x)dx = n M -t^Jl Poui-icr, Clial. 314.
i 2 \
2) / Cos. [q Cos. x) Sin. x d .r = — Sin. q I
' 1 I
\ Poisson, CLal. S2.
/■ . 4. (
3) I Cos. (q Cos. .r) Sin. ^ xdx = — {Sin. q — q Cos. q) ]
4) I Cos. {q Sin. x) Cos. {{2 b + \)x]d x =
5 ) I Sin. {q Sin. x)Sin.2bxdx =^ j CoiTiu °"ci
iTcraps.
1S36. 1.—
Lffort. L.
II. 142.
/ ' K^ > > J \^2j 124-Mil ^ ,' M"/'(2t+2)'"*/
Page 133.
F. Circ. Dir. rat. ent. composce. TABLE 80 suite. Lim. et n.
{ . 1 7r('a7)'' f » (Ja?)-" \ 'Bessel, Abh. Ber-
,\ \nc I o (Poisson, Conn.dcs
^ ^ V 1 / ^ ^ Conn.
]{\ — qCos.xY \^ ^ ') a 1"/! 1^1 ' ^^ ''^ l"/l(l+a)"l'j )
F. Circ. Dir. rat. fract. a den. monome. TABLE 81 . Lim. et ^r.
) f -— =
J Cos. X
1)1 = V. T. 19. N^ 13.
2)1 '■ — dx = CO Schlomilch, Int. 24.
'jCos^x
d X I — 2
-r — — = (-i)M
i ang. i x \ a
3) /<S»!.2<i+la; ^ ^ " , = (— !)"( _") Baabe, Cr. 25. IflO.
F.Circ.Dir. rat. fract.aden.bin6medul^''(lcgre. TABLE 82. Lim.OetTr.
f dx 471
1) / = V. T. 65. N^ 3
J2 — Sin.x 3 1/3
' / 2 + Sin. X 3 1/ 3
da; 2 7r
V. T. 65. N'. 4.
3)f ^
•' 1 — Sin. X. i
1 ^ 2a7r *~' 2na7r wtt
= T Cosec. —— 2 Sin. . Cot.^ V. T. 25. N'. 14.
6
*)/ c- ^ /. — 7 = 2 (tt —?.) Cosec. ;i V. T. 25. N". 2
Sin. X. Cos. X
dx
-}- 5m. X. Cos. X
Euler, Calc. Int. T. 4. S. 6. 22. — Scblomilcli, Cr.
33. 268. — Ban
ling, Gr. 21. 26.
5) / "^-^^ — r = 2 X Cosec. I V. T. 25. N°. 3
71 ' ^" '
f dx n Euler, Calc. Int. T. 4. S. 6. 22. — Scblomilcli, Cr.
6)1 = — -^ rx'P*>5^> ^3. 268. — Eamus, Danske Afh. 6, 265. — Bjor-
Jp-\-qCos.x \/KP^—r) ling, Gr. 21. 26.
Page 134.
F. Circ.Dir.rat.fract.aden.binomedii i'^'degro. TADLE 82 suite. Lim. el n.
f dx \
7)1 — ; == (valeur pnnc.) , />» <^q'^\ \
J p + q Cos. X i
Bjorling, Gr. 21. 2G.
8) ■
f d X — n \
9) =0 (valeiir princ.) j p'^ <i q"^ , j
/a+l\
f Sin." X 9 i/ TT \ 9
10)1 dx = ^ i t—l Lobatschevvsky, Mem. Kasan. 1835. 1.
>]p + qCos.x a+i /a\
f Cos. ax _jt |lilizi?!lzi-^i"l
^^^J i-^pCos.x "" ~ y/{i—p^) 1 p 1 ( , p < 1;
f Cos.ax n ^1—1/ (I— p'^)Y\ Ohm, .\usw. 2fi.
^^^jl-pCos.x'^'' ^ \'{l—p^) I p i '
^'^)\ aJ-^r.. - = T77±T1TV^>P>''-^ ^°"'^'='' L 17. 265.
dx n
biCos7x ^ v^{a^ + b')'
'j{]-\-Sin.X.Co8.x)<'+^ la/1 ^ {'' ' {•Za—l)«l-^\2n) 2" J
/• Cos.<'x l^/a ( — D^TT oof (n + l)"/! / a \ 1 , „, ,^, ,) \\n
Schlo-
niilcli,
Cr, 3a.
68.
16)1 ; - ——dx = a+r? /n\'\2~' Lobatsclicwskv, Mem. Kasan. 1S35. 1.
-Hp-—q^) 2
m-
17)
°-t')-
\
a+l
(?'' — 3^)2 r(ia-}-l) [ Lobatschcwsky.
>Mcni. Kasan. 1836.
1.
/o+l\ (
= -j^/1 o+i Sclil^
19) = -•— -f^/i— — 5+1 Sclilomilch, Iloli. .\nal. 85.
(p'-q'Y^
20)/" — = 2 7r V. T. 80. N\ 16.
7 1 ± Sin. a;. Cos. ar y/ 3 ^^^^^
Page 135.
F. Circ. Dir. rat. fract.a den. bin.du'2'* dcgre. TABLE 83. Lini. et t.
/ Sin. X 1
11/ dx = 71 Griinert, Gr. 4. 113.
\l 1 + Cos."" X 2
f dx n
■Z) I = V. T. 66. N"
'J4: — Sin.'^x 2 1/3
/ 0171.X 71 _
3)/— dx = V. T. 60. N'. 7.
SiJi. X n
^ — Sin.'^x ^ "^ 3v/3
f dx 1
tl / = - 7T V. T. 30. N\
'Ji—SSin^x 2
'A-
16.
5)/ ;; ^-TT = n Cosed V. T. 82. N°. 4, 5.
■Cos.'' l Sin.-' X
6) / TT^I '^ o- ^ •'' = 2 (^ — 2 i) Cosec. 11 V. T. 82. N\ 4, 5.
-Cos.''' i.5jM.^ .r
7)/ ^^^ = — Grunert, Cr. 8. 146. — Lobatto, Cr. 11. 169,
8)/" ^-f = P^^^^n V. T. 83. N^ 7, 9.
p^ Sin.- x-\- q^ Cos.- x p q
dx p- + ?^
{p-Sin.^ x-\-q'^Cos.'' xy ~ 2p^q^
Sin.^ X n
dx = Grunert, Cr. 8. 146.
(p^ Sin.'' X -(- 7'' Cos."^ j;)- ^P^ 9
4
f Cos.- X n
' J {p'' Sin.» X + q^ Cos.^ xY "^ ^ %pc
V. T. S3. N\ 7, !).
f Cos.2x P^—q^
l"l)/, ^TT-i T-^ — T^dx = ^-n V. T. 82. N\ 9, 10.
' } [p-' Sin.^ X + q"" Cos."" xY %p^q^
f Cot.lx 1 jr 1
,-, /'_^^««S'~'-e J 1 'T ^ 1 \ Meyer, Int. Dcf. 376.
/■ Co,-!, ax ( — 1)0 71 n — I'd »')12a
1*) Z^; , o- . --^-g = ,„ — r: i ^^ ^— '> Plana. Mem. Turin. 1820. 389. N" 4.
Page 136.
F.CircDir.rat.fract.adcn.d'unfact.trinome. TABLE 84. Lim.Oetn^.
/d i^
n
2pCos.x 1—p^ I j.^^,^,^.^ ^,,^j^ j^^_ ^_ g _j 22. _ ScblOmilcli, Beitr.
II. § 1.
2) =~ 7'P'>li
7?^ — 1'
f Cos. ax Tip" \
^^/rZT^ 2«rm^'^'^ ^ 1 1;^'^''^-^' E"''"'"' '^^^''=- ^"'- *• ^- ■*• 22. 45. - Lcgendre,
;i+p — /poos..r 1— ;j i j,^^^.^ g ^^ _ pgiggQ^^ p_ ^g, 404. n^
_^ } 75. — Plana, Mem. Turin. J 817. 7. Art. 2,
4) ^ ^^ »->l-\ !■*• — Schl5milcli, Beitr. II. § 1.
/)- — 1 /
C Sin. a x. ^,.,u. «, j.
Sin. a X. Sin. x 1
ZpCos.X 2 ^ I'oisson, P. 19. 404.. N". 95. — Sclilomilch,
Beitr. II. § 1.
fi) = - TT— i— ,p'->l;\
f Cos. ax. Cos. X TT 1 -f- P*
Bierens de ilaan, Gr. 13. 193.
+ p^ +ZpCos.x 1 — p2 (.?'<!;
/('os.x n n I Kaabe, Int. lOl
dx = -^ \
, , r Cos. k X
71+p^— 27)t'<
OS. d.'
, f 5in. k X. Tana, x
12 / ^ da; =
J 1 +p» — 2/)Cos.«
, pnur /j = CO ;
1]\[cyer, Int. Udf. 220; il trouvc pour 1:2) fnut. = 0; encore
k y doit ctre dc la forme 2 k -\- I.
13)/ — = ,0<u<l; „„.
d^» »r n ^ „ / 1 . Bonnet. L. 17.
p Cos. i —piSin. X. Cos. X ~ 1/ (1 — 2p Cos. I + p*)
{ Sin. Zax. Sin. x , \
^^•^ / 1 z~2 — o r '^^ = " . /'' < 1 '^t/^' > 1 ; ^
y 1 -j- p^ — 2pCos. 2.r 1
,, f 6'm.((2a— l)jj.5m.x tt »" f
1.))/ ^-^^ '—i dx = - — .;>' < 1; \ Bierens de ilann, Gr. 13. 103.
.'l + /''— 2jDCo«.2a; 2 1+p^ [
Page 137. 18
WIS- EN nATUl'nK. VEFUI. Dl.R Kl)^I^KL. AKAliEMIE. OEEl. IV.
F.Circ.Dir.rat.fract.ad^n.d'unfact.trinome. TABLE 84 suite. Lim.OelTr.
,,p^-<let/^^>l;
Biciens de llaan, Gr. 13. 103.
fS{n.{{'i>,a-l)x].Sm.2x ,
17)/ ^^ <^^ = 0,
'J 1 -j-p» —2pCos.2x
f Cos. {[2 a— I) x}
IS} I *■ — — dx =
^ j l-\- p^—2pCos.2x
f Cos. 2 a .V. Cos. X , „ I
19) / - ■*■— dx = /
' j I ^ p-i — 2pCos.Z.v I
{Cos.{[2a—\)x\ .Cos.x , tt />« , ^ ,
20) / i^ —-- d.r = - ~ — , »^ < 1 :
21) --,jzrv^'>''
^Cos\ ^-l)x).Cos.l. ^^_ < jet,^ > 1 ;'
C 1 — p Cos. 2 X
23) / :; dx = n
' j 1 + p^ —IpCos.^x
C Cos.xCo.\l2cJ,l).. ] ^^ _ . ^^^ J ^ 9| y^ ,.^, (1 _4^^^.^^ ^ _?^|
/■ Cov. .r. Cos. 2 cj; , ^ ^. f . ?1 ^ „ fl ? )
25i / dx= Sin. {2cArctq.V^-\.Tanq.^<: \- Arccos. ]/ - ->
-''7l + (a&«.;r+6)i a \ ^"^2) *^ l2 2 6* J
De CCS deux formules, ou , = - (l+a^-_P) +1,. {(l+a^--6^J^ +46'} , ^°y^^^-_ ^eg|^^^^^^^^
1 — »* Cos. bx , , „ . Tc oi I c \
fi---- Cos.'^^.r.Cos.ic.rda; = 2 p-'^Smaasen, Cr. 42. 222.
2 pi Cos. 6 a; + p26 20+1 ^\ribf
F.Circ.Dir. rat. fract.aden.d'un fact. trinomeetd'auties. TABLE 85. Lim.Oet ^
( Sin. X dx n ■< ^ -i
J 1 + p* — 2 p Cos. X Tang. ^ x 1 — p '
2) = -^^p" >i;
p— 1
f Sin. X. Tang, i x n ,1 Scblomilch, Beitr. II. § 1.
3) / 7--, ^ ^ — 7, dx = — — , p^ < 1 etp- > 1 ; ) n trouve faut. :
yl + p^ — -IpCos.x l+P 1
^)f l4. ' \ r 7^- -,p^-<l; \pour4)^^,p^<l;
yi-j.p2 — ZpCos.x Cos.x \ ^ P
5) =oo,p^>l; /P°"' 5)^7?!' ^' > '•
Page 138.
F.Circ.Dir.rat.fract.aden.d'unfact. trinomeetd'autres. TABLE 85 suile. Lim. ct ^.
f dx 1+/'-
7) = .... .,, ^'P'>^-^
i + p' .
ip'-iy
S / = ^ ^ ^^ TT , w'- < 1 ;
1 +4p' +p *
.pCos.jy ~ (1 — p*)=
Eiiler, Calc. Int. 4. S. 4. 22.
{])'■ — 1)-
. 7 (1 +p2 _2p ^^» --■'* ~ ,1— ^w 'Z' -^ 'I
1 + 9p2 +9p» +;/
Cos. a;)* \y^^'^
Euler, Calc. Int. 4. S.
4. 31, 67. — Legcndre,
c. 3. 62.
in l+9;/^ + 9p'+ p°
(p2_l)7 '^ -^ '
f dx n <• /c\2 \
7(l+p^ — 2p(7o5.^)«+> (l_pJ)^'=+' \«] '^ (
/" Cos. ax zip" \
J {l+p'i—2pCos.x)- (1—7'^)' . f 4.8.4.22,30.—
( Legendre, E.\erc.
(p — 1)' /
, /■ Cos. aa; , /''4-~\ T/'" f a--2 „ a— 2a-l J , ^, \ Euler.Calc.
16)/ -dx^i ^ ' 1— 2p- + f^J.P <l;ilnt 4 S 4
'J(^+p^-2pCos.x)^ \ 2 /(l-p^)=i a + l ^ ^a + la+2^ T ^ jot 56 -
^1 ( LcKcndrc,
17) __ «+2^PZ:LL._?-\^. . ^2a-l( ,,>i. Exerc. 3.
,S) f ^e^l^f da, =.l"+ '^ ^"^P"
Coa.xy \ 3 /(I — pi)' (EuIcf, Calc.Iut. 4.
f a— '6 , a— 3a — 2 . a — 3a — 2a — 1 1 ,^, i S. 4. 22.
{1— — — 3p»+ 3»«— — -p''[,p»<l;]
Page. 139. 18*
F.Circ.Dir.rat.fract.aden.d'unfact.tiiiiomeetd'autrcs. TABLE 85 suite. Lim. et ^.
/Cos. ax ia-\-'i\ np-" 1
{l+p'-2pCos.xy ^' ^ \ 3 j ip' - 1)' (
f a — 3 a — 3 a — 2 a — 3a — 2a — 1,
tp«— 3p« H 3p2— — ■- Lp'>l;
X a-j-1 '^^a + la-t-Z '^ a + la + 2a+3''
/Tos. a J- / a -1- c\ tt »<'
Euler, Calc. Int. 4.
S. 4. 22.
(1 + /) ^ — 2 p Cos. x^c+i \ c / (1 — p2 )2c+l
/^ Con. ax
o\\ I dx
7(1 + p^ —2pCos.xy+^
, T. 4. S. 4. 81.-
Legendre, Exerc.
a-{- c\ np—" I 3. 62,
C / (p^-— l)2c+
f lc\a — c /c\ a — ca — c+1 1
/■ Cos.a.!; 7rp« (a-f- 1)"/' , \
22) / dv = — — — p <1 1 • J
'J {IJf- p^ — 2 p Cos.. v)''+^ ' (1— p2)2a+l l«/l "^ 7 Euler, Calc. Int. T. 4.
} S. 4. 30. — Legendre,
71 p« (a + lW [ Exerc. 3. C2.
23) = ^ y -r J pi ;^ 1 ;\
^ (p2_l)2o+l la/1 '/ / '
24 / dx = TT , p^ < 1 ;
S w.2« X 12°/2
n Cns r -J- n^^Sa 92o, 2 ,
p COS. a; -f p ; ^ / . j^. jigrgan, Definite Integrals. (Enc. Me-
12a/2 TT ( ''"°P-)-
25) = — ; — ,v'^> 1;
' 22o/2 p2a " ^ '
, /" Cos. ax Tc d^—^ pa+b—l
26) /— — -— dx = ^^ ,„ ^ , , , . ^ Boole, Phil. Trans. 1844.
7 (1 + P — 2 Cos. X I/p)* 1*- i/l p§« (ip6-i (1 _ p)4
27) f ^ ^^' _ ^ ^+Pg J.-, , ., ^
7l+p«— 2pCos.^ 1+3^— 2jCo5.a; (l_pJ) (i— 52) i—p^'^ ^ '^ ^•^'
2s) = , , Z i -^.^"^.p'yh'j'yi-JSMo.
(p'— 1)(9*— DpiZ—l [milch,
/Beitr.
„„, r 'Sin-^ a; da tt 1 , , I II. 2.
7l+p2— 2pCos.a; l-\-q^—2qCos.x 21— pq'^ <^ "■ > 1 <- ^ .
Page 140.
F.Circ.Dir.rat.fract.adon.d'unfact.trinonieetd'autres. TABLE 85 suite. Lim. ot t.
Cos. ax , n d~ <i ~
f Cos. a X
l—\ m— 1 (• , , A+a— 1 >/i+a— I .
— "■.,;■ ; X {-cM + V. N + ....
(1— yi) (1— z/i) •••• ^ \p./ \P2/ J
i_^-ir(i-L.r....(,_y'
, oil les fonctions Y — ^ F\i _\ Fil \
\ Pj \P, Pi) [p., P2I "" \Pg Ph
Aprus la differentiation mettcz p^^ > Pi^ • • • • p/^'^ ^^ ''eu de j/, , 1/.^ , . . . .,y^
Voyez de cette integrale: Boole, Phil. Trans. 18H.
X dx
■\- p^ Cos. X
f Cos.lkx
32)1 = 0,pourA = w : Schlomilch. Beitr. 11. § 1
F.Circ.Dir.irrat.fract. TARLE 80. Lim. ot t.
1/ -^. dx = Y{p) Raabe,
f Sin. X
2) / ;; (f r = 1/ 2
Cr. 23. 160.
3) / -TT i , 7i" \ „ /^., ... N ^ -^ =^ ^ ' ;^^<1;)' Poisson, Mum. Ac. 1823. 571. N'. 12.
|.''(1 +;:i^ — 2p(7os..T)
2
p ;
^ Cos tC 0/
5)/ ^ dx = - fF(/))— E'(»)),p< 1 ; Ramus. Danskc Afli. r>. 3G5.
yi/(l+p* — 2pCos. x) |>
^. /■ Cos.ax lo/z « ln/2(2a-|-l)»/2 -v
V^ ,(1 + P' — 2 p Co3. .r) » * 1 — p' ' ^ ' ■ j p^i,3^„^ p_ ig 145 N". 4. - 1.1.
Cholcur. 107, 178.
4
Page 111.
F. Circ. Dir. irrat. fracl.
TABLE 86 suite.
Lini. Ocl ^.
+ p'' — 2pCos.xy
f p — Cos. X
12)
13)/
14)
|5)
Sin. X
dx =
, p2 ^ J . Meyer, Int. Def. 279.
1/(1 -\-p - — tp Cos. x)
d X
- Si?i.x dx == ,p' <^ 1 ij
= -,p^->l;'
Poisson, Mem. Ac. 1823. 571. N'. 12.
l^{l -\-p- —2pCo3.Z a;) 1+p \l + p
2 ^ /Zl/jA
E' I , 1 Smaasen, Cr. 42. 222.
/
f Cos. X
I dx
y l/(p5 — o^ Cos.x)^
'-K^ ''
1
e,/
1/ (pi _ qi Cos. xy i^ip"^ +q) p'^q \p' + ? /
2
— rf ■?; -=^
(p5 — 5^ Cos. x)
Sin.-" X
qiyip^-+q)
2v \ ^ p' ^,i 2q
p^ + qJ p^—q \p' + ?
la/2 „ l»/2{2a + 1)«2
1/ (1 _ p 2 5Jn. i .t) 2«/2 1 2"/2 (2 a + 2)"
17)
jn/a
2''/2i/(I— p^) o2"/2(2a-f-2)"/2\p2 — 1
TT ^ (l''/2)^
Plana,
[Mc^ra. Tu-
,nn. 1820.
389.
fSchlomilch,
Stud. 11. 7.
w-'<i'i;
F. Circ. Dir. rat. ent.
TABLE 87.
Lim. et 2
Cos. bx dx =
1 ) I Sin. X dx =
2) I 6Vm.""+' X
[ 2a
3) I Sin. X. Cos. X dx =
!•) I (Cos. .7! — Cos. a .'v)dx =
5) I {Cos. x — Cos. a x) Cos. x d
Kaabe, Cr. 23. 105.
a; = TT
'/
6J / {Cos. X — Cos. a x) Cos. axdx == — n
Page 142.
F.Circ.Dir.rat.enl. TABLE 87 suite. Lira. Oel'iTr.
7)l^^Cos.x — Cos.ax) Cos.bx dx = 0, oi\ i^ I n'est ])as facieur de a. Raabe; Cr. 23. 105.
f 2a l"!^
S) I Sin. xdx = In Schubert, Samml. 118.
^)\Cos.{a{x — qSin.x)\.Cos.xdx = ^^- l+^(— 1)" /^ "^^ , i
10) ICos.iax—p Cos.x—q Sin.x)dx = ZnCos. [aArctaS] (P^ilill j 1 + J (— 1 '• [ P +gM |
/ ■^ •/ ^ ^ y^y 2a.ln/i i ^ il"ii(l-}-a)''/i\ 4 /j
11)/ Cos{pCo.o.x+nSin.x).Cos.2axdx=2:TCos.\ 2aArctq.-\^~ i-JL ' i . ^/ l)n — ^r -r j i
7 ^' ' ' \ ^p/22«.12«a( ^ 1^ ^22».l"/i(l+2a)''/ij
^2)jCos.{pCos.x4-(]S{ii.x).Cos.{{2a-\-l)x]dx ■■=
1 3) I Sin. (p Cos. .P + ? 'S'"- ^)' 'Si". 2 a x (i a; =
1 1.) / .Sm.fp(7os.a;-l-fl&'n.^).S;n.f (2a— l).r}j.c=27iCos. {(Za—l)Arctg.-\ '"^" '^"^"'' , /l+^f— l)n ^P'+^^ )!'
f „ 10/2 f ^ r— 1)" /p\2")
1 .J ) / Cos. (p Sin. x). Cos.^" xdx == 1 1 + -^ — ^ ^^ I - [
Sur les Iiitegrales 9 u 15 voyez : Bessel, Abliandl. Berlin. 1824. 1.
F.Circ.Dir.ral.fract.aden.mononicctbinome. TABLE 88. Lim. OelS^.
1 ) I Sin.' X
d X \<'i-
= 2 7r Raabe, Cr. 23. 105.
Tang, i x 2°'^
fSin. a X. Sin, x
fSm. a X. Sin, x , „
2) / -T— r ^ da; = (— 1) 2 TT V. T. SSfi. N\ 5.
J 1 + Cos. X
f Sin. a X
•'5)/ — dx =
J I — p Cos. X
^( Cos.ax , 2 TT (1 — U (1 — p'))"! Eaabc. Inl. 172. — Oliin, .Ausw. 26.
i'l I dx = < — -t I
'j i—pCoS.X 1^(1— p2)\ p j '
f Sin. a X
5)/—; — dx = , p < 1; Oiini, Ausw. 2G.
_f 1 -|- p Cos. X
Page 143.
F.Circ.Dir.raf.l'ract.ad(''n.mon6inoolbin6mo. TABLE 88 suite.
Lim et 2 T.
f Cos. a X __ (— 1)" 2 7T p — 1^(1— p') !" , ;j < 1 ;
'jl+pCos.x '' ~~ V^ {I — p') \ P J
-h
-h
Cos.^ X. Sin.^ X
Sin. X
P') [, p ) Obin, Ausw. 2Ci.
2 7T Cosec. A. Y. T. 30. N\ 17.
-Cos^ l.Sin.^ X
d.v 2 TT
p-\-qCos.d- I/(p*— 5")
10) = (val. priHC.),/>2<5i ;
dx — 2 IT
dx = i [n — 2 X) Cosee. 2 ). V. T. 30. N^ 17.
Bj5rliiig, Gr. 20. 2G.
11)
f dx — 2-T ^ ^ 1
j'—p^qCoTx^l^ip^ -<?') '^ •^^ '"
12) =0 (val. princ.) , p- <(/^ ;'
/"Cos. a; — Cos. a x
13)/ dx = Raabc, Cr. 23. 105.
./ Tang. \ x
i Sin. ax J „ , , /-I liaabe. Int.
\ ,-, t; rr, 7, Vn n \ dx = i), pour (oule /5, 7, r, ... < 1 -. ,,
y (1 — p6os.a^)(l — qCos.x)[\ — rCos.x) ' < j -.. 17^.
14
F.Circ.Dir.rat. fract.aden.trinome (leCos. TABLE 89.
Lini.0el2 7r.
1)
2)
il+P^-
271
2 p Cos X 1 — p
2n
p-' — l
,,P<1;,
-p>i;;
Bierens de liaan, Gr. 13. 193. — Ohm, Ausw. 26.
f Sin. X
•3M dx = i
'jl-\-pi —ZpCos.x { , p < I;
f Sin. a X
*7 1 +p^ — zp
d X =
Eaabe, Int. 172.
+ p* — ZpCos.x
Cos. X 2 7t p
6)
+ p^ — IpCos.x 1 — p*
2 n
,P<10
Bierens de Haan, Gr. 13. 193.
2 V'?'>^'
p p^ — 1
Page 144.
F. Circ.Dir. rat. fract. a den. trinomede Cos. TABLE 89 suite. Lim. et 2 t
, f Cos. ax , ^Ttp"
' Ilaabc, Int. 172. - Bierens de Haan, Gr. 13,193.
H) =—'—,/.> 1;
l)^ — 1
r Sin. a X. Sin. x
9)
[ Sin. a X. Sin. x
) / 1 T~ 2 IT r dx =^ n ;/'-! , 7> < 1 ;
_/ 1 -f- p — 2 ;i 6o.s. X
r ^ ^ } Bierens de Haan, Gr. 13. 193.
/ Cos. a .V. Cos. X 1 + p ^
11) / ;; dx = TTB"— 1 — -^-- , »<r 1 ;
J i+p^ — ipCo8.x ^ l_pi'P^ '
\Z] = P>1;
pa-l p2 — I
Obni, Ausw. 20. — Knabe, Int. 172.
fSin. ax — p Sin. {(a 4- 1 )x\
13)/ —^ ^^ 7^ ' ' dx =
7 l-\-'p^—2'pCos.x
/Cos. a X — p Cos. {{a4-\)x\
1 , - or -' dx ^%npa
1 + /) ■ — 3 p Cos. X
f Cos. X e-"
15)/ „ , _, -rp, dx = 27ra Poisson, P. 17. 612. xV. 20.
_/c'-j-c— " — ICos.x e^ — e-"
/■ 1 — ]> Cos. X A- pi Sin. x
'"'/ r ~o~7 ~r~T~ = 2 TT , p < 1; Moi^no, talc. Int. 138.
/ 1 — 2/>Cos. .r+p^
F.Circ.Dir.rat.fract.adon. Irinonicde .S'iH.ct Cos. TABLE 90. Lim. et 2 t.
, , /" dx 2 TT \
ja-|-6C'o».ar+ ciiH.a; ~" i/ (a» — 6' — c») ' " "^ "^ '( Dicngcr. Gr. 12. 409.
2) =0 .a' <t»+c^)
3) =0 (val. princ.) , a> < i^ + f^>,
•1) ~ = « ,a> = i*' + c = -
5)
f dx — 2 IT I
/ rr/- — r'^- — = ^, , — r; — tt'**' > ''^ +'^';/ njoriing, or. 21. 20.
f")) = (val. princ.) , a' < /»' -f- c*;'
7) = — CO , a^ = 6^ + c';/
Pngc 115. 19
WIS- |;n NATIUHK. VEHH. OEH KOMMiL. AKADEUIK. DEEL IV.
F.Circ.Dir. rat. fract. a den. trinoniedeS/n.et Cos. TABLE 90.
Lim. et 2 TT.
Jl — pt
= 2 71 , p < 1 ; Moigno, Calc. Int. 138.
27r
Cos. X — -pi Sin. x
/dx
a-\-bi Cos. X 4- ci Sin. x \y [a"^ -\- b- + c^)
dx
10)/-
{p -\- qi) Cos. X — (r -j- s i) Sin. x
11)
1/(1 — GH
f Cos. X 2 TT
12) / dx = — —
y 1 — (p -\- (] i) Cos. X — (r -j- s i) Sin. x G
Jacobi, L. 10. 229.
= ,ips — qTY>q'' +s^
, [ps — qr)- <^<i^ +s2;
Zn
131
14)
Sin. i
{p-\- q »"J Cos. X — {r-\-si) Sin. x
Sin. a X
dx =
2 Tti
T J
, Ips —qryy^q* -j- s' ;
dx
ip + q i) Cos. X — ('■ + s i) Sin. x
ni (l-f-v^d—GH)}"— [I— 1/(1— G II)}
1/(1 -GH)
Sin. a X
dx =
n i
G°-U"
[p-\-qi)Cos.x —{r-\-si) Sin.x jx(l — GH) (l + l/(l— GH)}
Cos. a X
dx
17)
h
(P + 9 ij Cos. X — {r -\- si) Sin. x
— ^ (1+1^(1— GH)}°— {1—1/(1 — GH)}'
1/(1— GH)
Cos. a X
G"
, fps— ?»•)*> ?'' +s';
dx =
G' + n"
{p-{-qi)Cos.x —(r-{- si]Sin.x i/(l— GH) {1+1/(1— GH)}
d a;
-,(ps— 9r)2<9»-|-.<i':
18)1 ^ T
;?' + ?« — r + *»)
"'/
,•^ <^.o . 77"i T'F ■ = ,(ru — sty>{ps — qr)^ +{p u—q I)-;
1) Cos. X — (t -f- u t) Sin. X
Dans les formules (10) a (18), trouv^es par Jacobi. Cr. 32. 8, on a p, q, r, s reels, (ps — qr)^^
g*+ s^ , ps — qry- , a entier et > , G~p-\- s -\- {q — r)i , H = p — s-\-(q + r)i,
1/ (1 — G H) positive.
d X 2 an , .
_. a'"> b- 4- c*-
(o + 6Cos.a; + c5in.3-)' ]/ (a'» —6' — c')' ' } Dienger, Gr. li'. 409
20)
,a^ <6= +c*;
Page 146.
F. Circ.Dir.rat.fract.aden.liinomedeSw.etCos. TABLE 90 suite. Lim. Oet^T.
/dx 2ai+i-+f2 TT , \
{a-\-bCos.x-\-cSin.xy 1^ (a^ — i^ — c^)^ ?/ "^ ^ "i
22) = ,a^-<Z--+c2;
r <£j
"'^'y(a-|-6<7os..T-|-
2a^ +3b^ +3c^ n
Dienger, Gr. 12. 40'J.
21) ==0 ,a2<6^+c^['
dx 2
25 ■
j [a+biCos.x-\-ciSin.Xj* l/(a* + &' +c»)3
dx r — a Cos. X
• q Cos. i--\-qi Sin. X. Cos. x)^ l^ {r^ — 2 r j Cos. ^ + ?* )
F. Circ. Dir. irrat. fract. TABLE 91 . Lim. et 2 tt.
f dx 4> / 2b \
J l^ia — b Cos. X) V^{a-\-b) \ a-\-b/
f Cos.x , 4, [ f 2b \ / 2
'j ]^{a — bCos.x) bi^(a + b){ y*^ a-\-bj ^ ^ ' \' a-
f dx 4, I 2h \ 1 Diengei
3) / = F' l^ ■ > Gr. 13
J ^'' (a -\-bCos.x) 1/ (a + 6) \ a -j- bj [ 424.
r fos.x , 4 f f 2b \ I 21
'^jl^ia + bCos.x)''' = i,/(a + «r+')'' ( '".TTJ -'^^'l '^^
5)/ ^:? ^ iir_M-i)E'/ 1/^
7 1/(0+6 f'oa.x)' a^— i' X"^ a + bj
F. Circ. Dir. fract. TABLE 92. Lim.-ot^.
4 2
f /'iinrj.''~ x — Tana. ~^x 1 1
1)/ ' —„ ' dx = -nCot. -p7T V. T 5. N\ 12.
I I) n (1 n Cos. I V n. Con. ', (J T
2) / {Tamjl x -|- Cot.'^ .v) {Tang^ x + Cot? x)dx = 2n '^-- ' V. T. 6. N'. 10.
J Cos. pn -\- Cos. ij Tc
,-5) low .r - CotF x) (Tang." x - Cot." .,)dx = 2 n *^'"- ^P'^^^":^^^ V. T. 5. N'. 9.
./ / ./ / ^^^ ^ 71 -j- Cos. q T
Page 147. 19*
F. Circ. Dir. fract.
TABLE 92 suite.
Lim. - et -.
4 z
■t) ({TangF x — Cot!' x) {Tang? x + Cot'.' x) —"^
f \^0S, M
■ n Sin. p 71
Cos. 2 X Cos. ;> 3T + Cos. q n
V. T. 5. N'. 15.
f dx
I /
y 1 + •^*«- ^•
27r
V. T. 7. N^ 1.
&"n. X. Cos. X 3 1/ 3
6) / == "^ V. T. 7. N". 2
y 1 + 5in. X. Cos. X 3 1/ 3
p A.
fTanq.'^ x + Cot! x , n Sin
7)1 — dx =
y 1 + »Sm. iJ X. Cos. A Sin. p n.
7 1 — .:
p 71. 5m. A
, p<l; V. T. 7. N'. 1.
a Sin.^ X. Cos."^ X 2
- TT V. T. 7. N'. 19.
5i.V2. . 1^ ^iMlii) y. T. 4. N°. 3.
/" 5in
y {Cos. X -j- /Sm. ,r) ^
2P+' r (p + I)
f 1
I TangP x -
/
da; TT
= — V. T. 5, N°. 23.
+ Coi.'' a; <SJ7i. 2 « 8p
TangF x -\- Tang.'' x dx
TangF+'i a- + 1 Stn. 2 x
\q-\-P 2J
1 __7r
2 P + ? ' I? +7^
T. 31. N". 17.
(Tang: x — Tana? ^ ^ .. ■-, ^ ■
Stn.2x z p + q iq + P 2J
'/'
lS)j{l^Tang.x-{-\^Cot.x)dx = - tt 1/ 2 V. T. 15. N". 2.
4W
F. Circ. Dir.
TABLE 93.
Lim. — ^et-^-
1 ) / Cos. X. Cos. axdx
2*-^ _L^_i_ij_jL_ Serret, L. 8. 1.
T{b — a)T{h-\-a)
nT{h)
2*-rf^+'-i]rf'-=^-i
)i"cos.*
Kummer, Cr. 17. 210.
X. Sin. axdx =
Page 14.8.
F. Circ. Dir. TABLE 93 suite. Lim. — -et^.
2 2
/*-, 4 ^ nT (b+l)Cos.la7T \
/ - b a + o \ lb — a \
J „(^ + i)r(— + i)
)■ Kummer, Cr. 17. 210.
r^^fn * c- /■ Nj n T {b+ I) Sin. ^UTt (
5) Cos. x.Sm.i^an-a.T)dx = ,^ . ^ , v /J _ a \\
r^ » , nCos.pl Y{p-\-\)
6) / Cos. x.Cos. [iiix — A) ) (fiB ^ -. ; r ; r LobatschcHskv, Mcru.
7 ^'^ ^^ 2" r^^^+]y^'+l\ Kasan. 1S35. 211.
h
/r
„, , dx 27r
7)/:; 77. = V. T. 30. N°. 10, 11
Sin. X. Cos. X 1/ 8
^)\'. -^. = 2 TT V. T. 30. N". 15.
± Sin. X. Cos. x\xZ
Sin.^ X , It
dx = Gruncrt, Cr. 8. 116.
Sin.'^ X -\- q"^ Cos.^ xY Zp^ q
F. Circ. Dir. TABLE 94. Lini. pnciqn.
. / Sin.^ X 11
\)\ — dx = Gruncrt, Cr. 8. 146,
J_^Jp^ Sin.^x + f/2 Cos."" xy 4p^ q
fSin.((a4-ir)x}
^^^-^—^dx = 2n Lobatschcwsky, Mdro. Kasau. 1833. 211.
Sm. I X
— 2t •*
4?r
/■ ^ Sin. X 3
3 / dx = - 71— Arctanq. i/ 2 Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 2.
; 1 + Cos.-' X 4: ^
f^ a 71- 1 J- ( 1)"+*
Cos.xdx 1/ (1 — <j> Cos.* a;) = — i 1 1 + '^ / ^i Kogncr, Material
' V ^ j"/' QQg I )^ Lobatschcwsky.
M<?ra. Knsan.
1835. 211.
5)^
~ 2
8)
{ a + b Cos. X + c Sin. x " p- (a' - 6' - c') ' " ^ " "*" ' ' I^i^"S"- Gr. 12. -109.
7) =0 , a' < /'^ + c
Page 149.
F. Circ. Dir.
TABLE 94 suite.
Lim. p TT elq n.
4.
'2{h+kj7r
dx
2hn
,a-' >6^ +c^
2lcv a -f- 5 Cos. x -\- Sin. x ]/ (a* — t' — f^)
9) =0 ,a' <5^ + c»;
/•2A,T
10)1 -
dx
lahn
\1 /.5^3
,a^ >6'' +c^;
(a + 6(7os. x + c/Stn.*)* U-^ (a* — 6
11) =0 ,a» <6» +c^
do 2 a» + 6^ + c
{aA-hCos.x-\-c&in.!jS\^ 1/
(a + 6Cos..r + c-Sin.a.-)» j/ (a» — 6» — c^)= ) Dienger, Gr. 12.
4oa.
13) =0 ,a^ <6^ +C-,
dx
1^ (a + bCos.x-\-cS{n.x)^ ^/(a^ — 6*— c^)
— - /iTi ,fi- > 6* + c';
15)
=
,„2 <^6i _|.c';
16
.' a
rfa;
2^5
4- (iCos.a; + c*Sm. .T)i i/ (a* + 6^ + c^)
2oA;
+ (iCos.ir + c;Sin..r)i)^ l/fa^ + ?)" + c»)'
8)/ &■«. 6a-d
,a2
X = ( — 1) — Ohm, Ausw. 55.
b
b
F. Circ. Dir.
TABLK 05.
Lim. el I
1 ) I Cos. .; xdx = - Sin. n i •. ^
2)[s:n.qxdx = -(1— Cos.g)\
/ ^ 1
3) jSin.- {2nx)dx =-/
4)fCos.''{'ZTTx)dv = -1
J ^ 1
Dienger, Cr. ;i8. 3oI.
Abria, L. -i. ^4S.
Page loO.
F. Circ. Dir. TABLE 95 suite. Lim.Oetl.
5)
I Sin.2ax.Cos.{2Ttx)dx = Abria, L. 4. 248.
fSiyi (Zana;)
^)l-^ dx = I V. T. 301. N''. 5.
J lang.nx
fCosJZanx)
7) / -~- dx = as V. T. 301. N°. 4.
J lang.nx
8) jSin.{2anx)dj; = Kuramer, Cr. 35. 1.
9^ ICos.{pl^ a:)dx = — {p Sin. p ■\- Cos. j) — 1) Diengcr, Cr. 46. 119.
P'
F. Circ. Dir. rat. a un fact. TABLE 9G. Lim. et oo .
l)IStn.a:dx = «, ou « ind^termine; Meyer, Int. Ddf. 98.
/
2)/ = ij
y K^.abe, Cr. 15. 355. — Id, Cr. IG. 219. — Boncompagoi, Cr. 25. 74
f (
3; I Coa.xdx = 1
4) I == <', ou « indetermind; Meyer, Int. Dc'f, 98. — Lejeune-Dirichlet, Cr. 17. 5 7.
b)ISin.pxdx = —l
J Pf
6) I Cos.px d
7)ISin.{x^)dx = -i/2jr
Poisson, P. IG. 215. N'. 2. — Cisa de Grcsy, M(5m. Turin. 1821. 509. II.
Art. 53. — Plana, H6m. Brux. T. 10. — Oettinger, Cr. 38. 21G
x = 0'
Cauchy, Sav. Etr. 1827. 5U9. P. I. § 6.
S) ICos.{x^)d.r = - 1/ 2 tt'
9)l&'n-L J dx — 2?'^'^) Bidonr, M<5m. Turin. 1812. 231. Art. 1. N\ 4. - ScblomUcli.
' Stud. I. 13. -. Helmling, Transf. 81. — Mascheroni. Adn. 57.
stud. I. 13. -■ Helmling, Transf. 81. — Mascheroni, Adn. 57.
les trouve fautiv. = q l^^ n.
Page 151.
F. Circ. Dir. rat. ent. a un fiict. TABLE 96 suite. Lim. ct oc.
Eaabe, Int. \VJ.
\ j Sin. xdx = m j
f 2"'' i
12) j Sin. " ' a-da- = -^1
13) I Cos.'" .vdx
Eaabe, Int. 152.
F.Circ.Dir.rat.ent.aplus.fact. TABLE 97. Lim. Oetoo
)jsi.
I l'""
1) / Sin.' X. Sin. p .v d a-
J ^ p 2^— p^ .-r- — ;)' (2«)- — p-
, oil p tout nombre, hors la forme Zk, ou /:<a;
Sin. x.Cos.pxdx =
} Raabe, Int. 150.
S) j Sin. x.Sin.pxd.c =
) / Sin. X
4) / Sin. X. Cos. pxdx =
1 2a +1/1
, ou p tout nombrp, hors la forme 2^4-1, oi\ i-<C«;
0)1 Cos. x.Sin.px dx = —
^ p- p\2^—p^- ^ p*.2^—pK...(Za — 2)^—p ^^
I 1.2 1.2.3.4 ■■■■ 1-"/' I
ou p tout nombre, hors la forme 2k, oh /.•<a;
e,)ICos.-''x.Cos.pxdx = > K^,^^g_ j„t i.3_
) / Cos.'° X. Cos. p
7) I (OS. x.om.pxdx = — ^
r _p2.3^ — p2 ....(2a + l)2_p5
f P' ;)M^— p^ ^ pM^— p^....(2a — 1)' -pM
1 1 1.2.3 ■■■■ ]2a+l/l j
, oil p tout nombre, hors la forme 2 A + 1, oii A< a;
Page 152.
F. Circ. Dir. rat, out. ;'i plus. fact. TABLK 97 suite. Lim. Oetao
8)jCos.^"'^\i;.Cos.pa:dx = Kaabe, Int. 153.
d)lsin.{x'^).Cos.2qxdx = - {Cos.{q'') — Sin.iq"^)] l^2n\
10) I Cos. (x-). Cos.2qxd.c = - {Cos. {q'')-\- Sin. {q^)] i^ % n I
11) j Sin. [q'^ -\- x-).Cos.2qx dx = — l^ 2 tc
J -^ \ Caucby, Sav. Etr. 1S27. 124.
12) jCos. iq"" + x^). Cos.Zqxdx = ~ l^ 2 n
n)! {Cos.{x^) + Sin.{.i;'')] Cos.2qxdx = - Cos. {q') 1^ 2 n]
li)j{Cos.{.v^) — Sin.{.v-')] Cos.2qxdx = - Sin.{q^)]^ 2 ttJ
15) I Sin. {a x^). Cos. bxdx = - 1 Cos. ( — ) — Siyu f — \ \ \y —
U)jCos.iax^).Cos.lxdx = '-[cos. [~^ + Sin. (f^]} ,/f- j
F. Circ. Dir. rat. do forme fract. TABLE 98, Lini.Oeloc
l)j'5m.[.--,4-£^]d.. = i,/-2. . ^^
2)1 Cos. L^ — q + -^J dx = \l^Zn
3) / Sin. (x- -\-''^—\dx = - {Cos. q + Sin. q) ]^2 7t
4) / Cos. Jt» + ^ ] dx = - {Cos. q — Sin. q) i^ 2 tt
:^)j[sin. {.r^- + ^~] + Cos. {x^ .|- ^^|} dx = i Cos. q U 2
Cauchy. Sav. Etr. 1S27,
124. Note 2.
1 /
dx = - Sin. q ] ;2 T '
Page 153. 20
WIS- EN :(,v.Ti:i-iii<. vri.ii. ni;n kommu., AiiAiin.MiK. nr.F.L IV.
F. Circ.Dir.ral.de forme fract. TABLE 1)8 suite. Lim. et ao .
7)l-''~-^dj; = , & < a; Cisa de Gix'sy, Mem. Turin. 1821. 209, TI. 59.
/Sin. X
dx =
1 — p Cos. X
'jl—pCos.x' yil—p'lH p J I P j -* !il^(l-/') )> Int.
— ^ - !r' ^ r{ i+i/(i-p') )"_ | i— t/(i-/^') r]
, f Cos. a X
10)1 d,x = CO
t
Cos. X
Cos. X TV
11)/ 7 dx = — e-a , ou ^ = X ;
2i
.\
A- . > Poisson, P. 19. tOi. N". 75.
*S»i. — . Sin. X
, k ^ V
12) /- — dx =^ — 6"—" , o\xk = X
■^ 2A J
-I-
F.Cire.Dir.irrat. TABLE 99. Lim. et oo .
f ■ <■ 1/1 1 \ ^
1)1 Sin. X dx \^ Sin. 2 5 « = — Sin. — q -\- Cos. - 7 ] 1/ 7 ?r J
' ' Cauchy, Sav. Etr. 1S27. 124.
f 1/1 1 \ i Note 3.
2 ) / Cos. X d X \X Sin. 2^x^ — 1 Sin. — q — Cos. - q\ V^ qn 1
3) / Sin. X d X 1,^ Cos.2qx = ^ (— 1 )" ,-
} ' 0' ' (2« + l)'"
^)JC0S. xdxu'Cos.%qx=^ ±^^ i-ir ^^^^2;^iri (2 ^if"''' \
, f Cos. ax \
5 / ; -— dx =
. , f Cos. ax }
b) / 2ir+l dx = i Kaabe, Int. 196.
•' (l_p2^;„2^.)~2— ]
Cauchy, Sav. Etr. 1827. 124.
Note 2.
Page 154.
F.Circ.Dir.rat.enl.aunfacteur. TABLE 100. Lim. — ooetoo.
•' I Fourier, Cbaleur. 407.— Lejeune-Diriclilct, Cr. ]?. 57.— Id., Abh.
r . i Berlin. 1835.
Z)jCos.(x^)dx — - 1/ 2 TT ]
•TT
Zp
Schlomilch, Stud. I. 13.
2,)jSin.(px'^)dx = u J
4) I Cos.(px^)dx =
5)jsin. t'^—\dx = ij
6)1608. (~-\dx =
7) / Cos. [{x -^ py ]d X — l^ ^ Lejeune-Dirichlct, Abh. Berlin. 1
'.yjjcos. Hpx-
Abria, L. 4. 2i8.
1
835.— Id., Cr. 17. 57.
~] \ dx ^ -l^ -
xj ] p 2
Ohm, Ausw. 24.
10) isin. (p^ .r» + ^-J\ dj; = 5m. [^rr + Zpq\ i^l
11) 1 Cos. [p2 .■c^ + ^1 dj: = (7os. (- T.4- 2 p? j ^^ ,
12)/6m. (p.T» +7J-)^j; = Sin. ( _ ti — -^ j j/^
; \1. ipj p
13) / Cos. 0? .r^ + 7 *•) dx = Cos. l-ir— — ] l,-^ -
f ' /I
li) I Sin. (j) .c^ + '/ -P + '■) <^-c = -S/n. I - ^ —
Ohm. .\us\v. 25.
\p I I
1 5) I Toa. (p:c" + 7 .r -I- r) rfx = Cos. (- n — ^ —\ V^ -
J I'l ^P I I'i
Page 155. 20*
10
11
milch, Stud. H. 9.
Schlorailch, Stud. II. 9.
F. Giro. Dir. rat. eiU. a deux facteiirs. TABLE 101. Liin. — oo ot oo .
f In p-\ n]
I Sin. (a x^). Cos.p xdx = Sin. — -^ \V^ ~ I
J \* 4-2"/ 5 f
> Fourier, Chalcur. -107.
f t^ I ^ P^\ ''^ \
I Cos. [q x"^). Cos.p xdx = Sm. - + 7— :; | 1/ - 1
J V^' 4.9-; qj
ISin.{.v'').Cos.Zpxdx = - {Cos.{p') — Sin.(p-')}l^2 7T] n- • 1 1 * r' n --
I 2 \^ JJ I Li^euue-Dinchlet, Cr. 17. oi. ~
^ { Id.. Abh. Berlin. 1835. — Sclilo-
jCos.{.T'^).Cos.Zp.vdx = - [Cos.{p^) + Siii.{p-^)} yyln"
jSin.(—\. Cos.p xdx = [Cos.(,p'-q) — Sin.{p-'>])}]y^2q7T\
jCos.i—y Cos.p xdx = [Cos.ip"^ q)+ Sin.ipU])} l^ >!,qn^
f \
j Sin. {p x^). Sin. q X d X = OJ
\ Ohin, Ausw. 2.5.
/ Cos. {p x"^). Sin. q xdx = \
jSin.ip^ -\-x').Sin.2pxdx = Lejeuiic-Dirichkt, Cr. 17. 57. — Schiamilch, Stud. IT. 9.
/ Cos.i.p'^ -\- x'^). Sin. Zp xdx =
I Si7i. (
1 1 Cos. Q)- -^ x'^). Cos. 2 p X d X = \y -
.{p"^ -\- x'^).Cos.2pxdx — \y -\ Scblomilcb, Stud. II. 9.
Circ. Dir. rat. ent. TABLE 102. Lim. ^ et oo
j Cos.x dx ^ — 1
I Cos. xdx =
/
a/2
Page 156.
Cos'"-^-\dx =^ -^.
F. Circ. Dir. rat. ent. TABLE 102 suite. Lira.-etoo
1.)
f 2a
I Sin.' jcd X
^)jSin.' a-dx =
6\\Sin. X. Sin.pxdx = - Cos. -pit —
L _ P' _ pK2^—p^ _ p\2^—pi .... {Za — 2)^— p^^
\ 1.2 1.2.3.4 •••• - ^2c/i [
7)jSin. x.Cos.pxdx = Sin.-pn
p 2 2^— /;\ 4.2 — p^ . ...(2a)^ — ;52
f p' y»^22— p' _ ;?^2 ^— p2....(2a — 2)' — /)*)
I 1.2 1.2.3.4 —•••—- joai J
2a+l|l
S) / Sin. X. Sin. px dx = — Cos. — p n
J ^ p 2' 1»— p*.3»— p^...(2a
|_/>2_P^21zi-£l_ pM^— p^...(2a— 1)'— p -
\ 1 1. 2. 3 ~ l2a+I/«
/• J J ■|2.--i-l/l
9) / Sin. " .T. Cos. p.vJx = Sin. - pn
J ^ p 2^ 12_^2.32 _p2....(2a+l)» —
■p>
f _ p^ _ p\ l^ — p^ pM^— p^....(2a— 1)^— ^
I 1 L 2.3 '"••■•"" 12"+'"
■-}
j2Vl
10)/ Cos. X. Sin. pxdx = - Cos. -pn —
; p %^ 2* — p*.4>— p*....(2a)»— p'
11)1 Cos. " X. Cos.p X dx = Sin. -pn
J ^ p 2^ 2»— p».
1 1 l^"/'
p 2' 2*— p».4-— p» ....(2 a)»— p
/• , -,20+1/1
12)1 Coi. X. Sin. pxdx = Sin. -pn ;; :; ; —
7 2^ P— p'.3» — p»....(2a+l)'— p2
/• J j2a+l/I
13)/ Cos. X.Cos.pxdx ==■ — Cos.-pn ;; — — rr; ,
7 2^ lJ_pJ.;5i_p»....(2a+ 1^>— p»
Toutes ces forraulcs sont ddduitea pnr llaabe, Int. 2S3.
Page 157.
F.Circ.Oir.
TABLE 105.
Lim. ct p.
r„ , 2bTTa; 1
1)1 Sin.^ dx == — a
>{ a 2
2)1 Cos.^ d.v = -a
'J a Z
c.Cr,. Zl>n.t ^ 2bnx
3)1 Sin. . Cos. dx =
J a a
[ Zbnx Zc7t X
4) I Sm. . Sm. dx =
J a a
^
C 2b n X
f Cos. .
/„ a
Cos. dx = 01
2c7i X
Cos. dx = 0|
Poisson, Chaleur. 134.
, i > c;
r 2&.
7)1 Cos.
IT a; 2 en X
— . Sin. — ' d X =
,|v,. .
dx = -7r,p<^7r; Ohm, Ausw. 67.
<Smi. .r 2
9)f d-B 1/
E ^ o^U
1 -t- ?'l
2 ,r ll — U -^\ Catalan, L. 6. 419.
Cos.2x — l [ . 2 J
)j d.v
•'o
10) I n . .n"" ac- ,, -T-^ATang.ly'{\-p-^-Sin.n)Jr{\-p'Wp,^--^{p,l))
J Cos.^x\/{l — p^Sm.^x) 1 — p^
11)/ , g. , ,, = 1 ^ EQ;,?.)
j \y{}. — p^ Sm.^ xy 1 — p- {.
p^ Sin.X. Cos. I
1/(1— p2.9in.2 ;.)
^1
Catalan,
L. 4.
323.
F. Circ. Dir. irrat. fract.
TABLE 104.
Lim.Oet^'.
Les formules 1 a 15 de cette Table sont deduites par Legendre, Exerc. Supplem. Tome] I, aus
numeros indiquc5 ; on y a partout :
c 1
c = -^^r^ , Cos. V = Cos. A. Cos. a , Tang. 9 = Sin. X. Cot. ,i , Cot. (f — Sin. ji. Cot. A.
Sin. u
Pa^e 158.
F. Circ. Dir. irrat. IVact. TABLE 104 suite. Lini. et A.
f ^in. X 11^ Sin. I i
I) I ax = ~ I I
J \/ [Cos.-^ x^Cos.').) 2 I— Sin.). ' \
7 V {Cos. ^- .e — Cos.^ k) 4 1 — Sin. I 2 J
f Sin. jr. Cos. X J c
•j) I — 7- ;: a X = Q oec. u
J V I (f o«. ^ X — Cos. ^X){1 —Cos. ^ _u. Cos. '■ x}}
^, f Sin.x. Cos.^ X 1 + Cos.''- v Sin. u. Sin. X
4)1 — — — — r da; = —
V j {Cos."^ x — Cos'. I) (1— Cos.^,«. Cos.'^x) \ 2 Cos.^ « 2 Cos.'' «
Si'n. .r dx
\/ { (Cos.* ^— (7os.« ;i) (1 —Cos.-^i^.Cos."- .r) ) Cos.x "" ''' '^^'^' ^'
40.
g. /■ ■^''«--»' dx _ 1 4- Co-i. '' V Sin. ft. Sin. X 1
7v/j(Cos.*a; — Co5.^A)(l — Cos.i^i.Coj.^r)] Cos.^ x ~ 2 Cos.^'Y '' "^ :? fcs.^ ?. /
7 V/((Cos.* a;-Cos.^ ).){l~Cos.\a.Cos.^x)} '^ '' = '^ i^'"' ■" ' -» '
[I ^^{{Cos.^ x-Cos.'^X){l-Cos.^ fU-os.^x)} C^^x = 'S'^'^-* ^- ^ >«..«, ■))
/" 'Sin. .r. Cos. - X Sin X Sin u
'V V^[{Cos.^ ^ - Cos.^- ^) (l-Cos.^-u.Cos.''x) f' = Sec.^u.MSin.u.,)-—^-^
"ic „._... '41.
"')/ ^.(,,..r .., .„ = F,^»,j)
y'os.' .c — /Si/i.- A)
Cos."- X [/ {Cos.'' X — Sin.- /.)
Jl'/^^TTTTTrH^r-^F-TT^ = Scc.^.. E' {S,n. X)
, , /• Cos.' X
J \/ {Los.^ X — Sin.^ K) I
' '7 V[{Cos.^ x~Cos.- X)l\ - Cos.^ ,.. Cos.^x)) = ^''''"^- '■ ^' ^"-■' ]
1 U ( ^i _ ^£flii! p. (,) 4. .^1^ E- fc) ' N^
'JCos.^xV {[Cos.^x—Cos.V.)(^l—Cos.-'n.Cos.^x)} Sin. ,> ^ ' ^ Cos.* X ^'
, , . r Cos. * a; Cos. * X Cos.X
''^1 v/{(Cos.'.-Cos.';,(l-Cos^..Cos.^.)f -^Z^^'^-)+^t^ (cE c.,.)-L'(c)F(...)}
^f ^ ^ Vieill
I j2{Cos.x— Cos.A)} 2(l_^j),,/(l_2/)Cos./. + p') ^64
1C.)[ ^o^-t-g ^f ^r Vieille, Excrc.
y 1 4-p* — 2pCos.j:
Panre 15'J.
F. Circ. Dir. irrat. cnt. TABLE 105. Lim. i c\ t>.
l)jsin.x.Cos.a:dx^/{{Sin^x — SmM){Sin.\u—Sin.''.T)} = -^ (5m.\u — -Sin.' ?.)'
2) fsin.^x.Cos..rd.iy{(Sin.''x-Sin.^}.){Sin.hi—Sin.''.v)} = —{Sin.^ n—Sin.^ Xy [Sin^ X+Sln.^^i)
J ' 2~
3) I Sin."" iV. Cos. X dx y' ((»SiH.* x — Sin? 7.) {Sin."^ /i — Sin.'^ a:)] =
7 7-; ^"'- ."^ -1) ]7^- Zr-^n
4. Sin.^ ;t \n/ 4 ' bin. fi
Voyez de ces forinules: Legcndre, Exerc. Suppl. N'. 6.
F. Circ. Dir. inat. IVact. a den. rat. TABLE lOG. Liin. ). et /i.
Toutes les formules de cette Table soiit doduiles par Lcgciidre. Excrc. Suppl. Tome I, les for-
mulcs 1 ;\ 9 daus le N\ 5, les formiile3 10 a IG dans le N^. 7 ; on a dans ces formulos :
Sifi.^ u — Sin J X Cos.'^ X — Cos.* u
k = ■ h =
Sill.'' IX Cos.^ X
/\0S V TT
' ' dx i/{fASm.' a; — Sin."^ X){Sin.''- u — Sin.^ x)] = — {Sin. ft — Sin. X)-
Sin. X 4
fCos.x . ^ 71 (Sin. u — Siii.).)'^
2)1 dxv^dSin.'- x — Sin.n.){Sin.'-u — Sin.*x)) ' '
J Sin.^ x
3) / ~ — '- — dx \/ ((<Sm.* X — Sin.- X){Sin.'^ 1.1 — Sin.- x)} = -
J Sm.^ X ' 1
4 Sin. X. Sin u
/Cos.x , n (Sin.^ii — Sin.^X)''- „
-~~-dxyUSin.'-x — Sin.^ X) {Sin.\u - Sin.Kr)} = ~ g. 5 , c . -{Sin.n-\.Sin:\u)
/Cos.xdx , „ nk^Sin.u « /«— 2\ 3"/2
^-,:,rr^V[iSin.^^-Sin.^-X)iSin^,-Sin.^x^ ^^ ) ^^,,,
fSin. X , n
6) / dx\ {{Sin.- x — Sin.- X) {Sin.- r« — 5m.* xS\ = - {Cos. X - Cos. i^y
J Cos. X ' ''4,
/Sin.x , „ . „ .. ^ ICo-i.X— Cos.i^)^
^--T-dx^ {{Sin.^x- Sin.n) [Sin.'' „ - Sin.' .v)) = - ^—
60s.' X 1 Cos. X. Cos. I*
C Sin. X „ , 1
^)j—-^dxy'{(Sin.^x — Sin"" J.) (Sm. » .t — S/«. * x)] = -
n_ {Cosr- X — Co.^.'' (,y-
6 Cos.^ X. Cos.' c
Sin.x 7T h^ Cos. X 00 la — 2\ 3'"2 ,
-^,-^-dJ^\' {{S^»-'-'-~ ^irt.V.){Sin.^>.-Sin.\v)} = .,.,_, -^(-i;M tel'^'"
Cos. ^ X *■ 1. f OS. j« \ n ' 4 ■
Page 160.
F. Circ. Dir. irrat. fract. a den. rat. TABLE 106 suite. Lim. ^etu.
10) 1 7^ ? 1/ {{Sin.'' x — Sin.^ XMSinr-t^—Sin.^ .,■)]= - { 1 — Cos. (^ — /.))
/ Sm X. Cos. X 2 ^ ■"
[ dx , . , . „ >, n Sin.- {u — A)
J ow.-* X. Cos. X 4 oiH. /.. Oi«. It
nk^Sm.ii » /a — 2\ _3^2
1^] / 7; i/f(&'n.2a;— -Stn.i A)(-Sm.^<i— 6'»i.2 .c)} = —
J Si7i.x.Cos.^x ^ . 4! Cos. /..Cos. a
f d X , , T , . , -, 1 <^ ^ o .. ■■
14)/ — ■,„ I 1 V/ 1 (5jn.-a; — Si}i.-X]{Sin.^it — *Si«.-A')) = / — — ., . i { (Sin.-x—Sin.-).)(Sm.-ii—Sin.-
J Stn.x.Cos, '^ X J Sinx.Cos.' ,c '■
"A
nir- Cox.). 00 ^n /a— i^\ 3"/^
15) ('^^^^^^dx\' f(.S(«.2 x— 5W.'- J.) (5i';u2 u— Si'n.^ .r)) = - (Cos. I — Cos.y)- — ^ [Sin.- 1^ — Sin.- 1)-
J Cos. X ' ' Z 16
fSin^"^^x fSin^^'^
lG)m^ dx\/USin.^x—Sin.n)(Si7i.^u—Sin.^x)\=l '- -dxi/\(.Sin.-x—Sin.-).){Sinri<—Sin:-.
J Cos.x ^ ' J Cos.x ^
^,, „. 2a ^, ,,r. /a— 2\ Z"-^
-F-Sin. ,2^{-l) ^ ^^ j^„^„
F. Circ. Dir. inal. fiiici. a (li'ii. iiral. TAHLK 107. Liin. /. d ...
Toutcs les formulcs de cette Table sont trouvees par Lefrondre, Excrc. Suppl. I, nus numcros
indiqucs; on a dans ccs intdgralcs pnrtout:
Siv.-ii — Sin,- X Cos.- X — Cos.- /* to.', n
Sin.- jji Cos.-X los./.
f Sin. X. Cos. X I
' I j7 {iSj».2 x—Sin.- X) {Sin.- ^Sir^x)} "'''"" 2 '^ /
/Sin.^ X. Cos. X 1 \
\^ [{Sin.^x—Sm.^X){i>tti.-IJi — Sm.- x)} 4 ^
Taye Ifil. 21
Wl.S- U^ >ATIUnK. VEIlll. PEH KOMMa. AKADEMIE. DKEL IV.
F. Circ. Dir. irnit. fract. a den. inat. TAHLE 107 siiile.
Lim. X et p.
'/7
7 -— (ia;=- 7r 5m.*X4- - Sin.-LStn.-it.-\ ;6i«.> |
((Si'n.2j;-5m.2A)(6m.>-SinAF)j 2 \2 A ^2 2.4 / j^i
■'/-
4)
Sm. X. Los. X
■ dx
\/ {{Sin.-x — Sin.-XxSin.-fi—Sin.-.v)^ 2
Cos X
7) "^
1 „. 2a ^, i>" f"! ^ '' 1."
= -7rSm. f»^(— 1) 1 ;^., A:
cLv =
V/
.X 1/ { (5»n.-j;— 5m." A) (Sin:' f^ —Sin.- .v)) ' '^ 2 &'n. i 5j71. f*
J Sirt.^x[
Cos. X
dx
It
/ { {Sin.-x—Sin.V.) {Sin.'' ^—Sin.'-x) \ ^ 4>Sin.n. 6'jn.V
r Cos. .c
(Si'n.U + Sm.V)
„ Ml"-
3.
Cos. .t- , ™ ^(—if I"'] — ' k"
.){Sin:'l,-Sin.-x)} ^~ 28(71.^"+^ kSin.iTo i«/2"2 /
8) / — - — —, — ^ r-^ o 7:. dx = - [CosH + Cos.V)
1/ j {Sin.- X — Sin.'l) (iS'iH. p — Sin.^ x]\ 4
^%/[{Sin.'x
C.. --, 2a+l
ow. X. Cos. X
Cos. xV { ("Sin." X — Sin.- X) [Sin? ^ — Sinrx) \
Sin. X
^^^J Cos.' XV'
^^^jc^J^xv[{S
- Sin.- A) [Sin.- ji — Sin.^x)\
Sin. X
1 2a "
dx = — n Cos.' X ^ [ — 1 '
2
dx =
2 Cos. }.. Cos. u.
dx = „ . r ^ „ {Cos.- }. + Cos.-'-u)
{ (5m.2 x—Sin.-l) [Sin?,,.— Sin.- x) ]""" 4 Co*' A. Cos.' p
^"=2Cos7«+v:^o~s:y.f-^-^ ' '^'^
1
■ ■ ^y; = "S^
Cosr''^^xV\ySinrx—Sin?l)Sin:-^—Sin:-x)'\ iCosr"^'' ^.Cos.ll
«/2'"2
f d^ 1 ISin.
J\ J(Sm.'« -iSm.^A) (iSwi.-^ — Sinrx)} Cos. I. Sin. ,i \Sin. n
f dx 1 / Sin. e \ J\>s. X / Sin.
J Sin.-xV'^iSin.-x — 5m.-A)(<Sm *|n — Sin.^x)} Cos.X.Sin n \'Stn.^/ Sin.-k. Sin.u. \.?m.ft
f dx 1 fSin.OX Sin. a I Sin. 6
J Cosrx\/[{Sinrx—Siny/.){Sinrii.—Si7i.\'c) j Cos, X. Sin.fi \Sin. ^ j CosX,Cosri^ \Sin. ^
16,/-
Sin. fi I Sin.
r-7^ — -. -. dx = -Y '-\ +
((<SJn.-a; — Sin.-Vj[Sin.-,>. — Sin.-x)\ Cos.). \Sin.ii.j
Page 162.
\bin.iij \i>in.^ I \Sin.i/.j \Sin.^
10.
' 51).
F. Circ. Dir. irrat. Iracl. a diMi. iriat. TABLE 107 suilo. Lim. A et u.
f Sin.* X 1 + Sin.-). + Sin?u l ^, I Sin. b\ I Sin. \ \
^^'J V ' { {Sin}x-S{ii.^X){Sinr['—Sin.'-x)} ^~ 2, ' ' [sin.i^j ' \Sin.i^'''j
/Sin.9\ ISin.O \ 14- Sin.- ti /Sin.O\ Sltiji.Cof.X ^ /Sin.e\-m
r Sin.'x-SiiC-). Sin.-u^-Sin.^). ISin^\ I Sin. 0\ ISin.O \ ■^,h^j^\JS^^>-0 \flO
n " Sin.-ti — Sin.-x Sin.n.Cos.X \Sin.i^j \Sin.!ij \S»j.ft' ) VSwi.ft/ \5m.(*'' ;
r Sin.'- 1, — Sin.^ X _ f Sin. \ /Sin. \ f Sin. \ I Sin. 6 \
J Sin.^ (V — Sin.'^ X \Sin.iij \Sin.iJ-^' j \Sin.ii) ySin.fi' j
/Cos. X If Sin.^ y. — Sin.'^ l.\
V {{Sin.-^x—SinM} {Sin.'' fj.—Sin.'^ x)] '^ ~ Sin.fi ' \^^ Sm.- ^ /
f Sifi."^ X. Cos. X 1 ^ / .S7n.» fx — Sin.'' ).\
j \/ [[Sin.'' X — 5m.^ A)(5in.- fi — Sin.'^ x)] Sin.y. \ Sin.'' a j
C Cos. X 1 ( Sinrii—Sinrl\
J Sin.-x{^ [Sin.-x — Sin.'').}{Sin.- y. — Sin.-x)} Sin.- X. Sin.'' [t \ Sin.- jj. J
f dx 1 f<Sm.-fi — Sin.-}. Sin.^fjL — Swi.-P.l
J Cos.xi^[{Sin.''x—Sin.V.l(Sin.^H—Sin.^x)^ Sin.^.Cos.''fi I Sin.^jt ' ' ' /Sm.'ii J
F. Circul. Inverses. TABLE 108. Lim. et I.
r 1 1
1 ) / Arctang, xdx = —it 12
2) JArctanij. pxdx = Ardanj.p ^(1 +p^)
J 2p
f 1
3 ) / Arcsin, x dx = — n — 1
J 2
4) / Arcsin. p x dx = Arcsin. p -\ — i, " (1 — n-)
J p p
5) / Arctang.{xe'")dx=~n—-pSin.p—Cos.pl'2Cos.p]+-\l ^^■]-2Sin.pl(2Cos.p)—pCos.p\M< [n-:
J 'k 2 2 ' mSin.p ')'=•
G) / Aicsin.(xe'")dx == Arcsin. ( — '- — \—Cos.i^ J- ( Cos. - iSiu. '■ ] l'726'i«.»)+ iSin.p+
J \V{1+Sm.p)j ' \ 4 4 / ^ ^' '^
+ / 1 1 Sin. i ;. + , ( 1 + 6Vh. /,) j ,p<l .T.
Sur Ics iiitcgralcs 1 u G voycz: Diciigor, L'r. aS. 331.
Page 103. 21*'
F. Circul. Inverses TABLE 108 suite. Lim. el I,
f 1 1
7)IArceot..vd.v = -n+ -12 V. T. 108. X=. 1.
r
b) j Arcsin. {ly' x) d X = - V. T. 9. N°. i.
9)JArccos. {\^x)djc = - V. T. 9. N°. 4.
f TT 3 « f— 11"
lO)l(Arccot. xY dx = — — + -nl^ — ^ — '— V. T. 25S. N". 27.
7^ ' 16^4 (2« + l)'
F. Circul. Inverses. TABLE 109. Lim. el 3c
I) j Arctang.xdx = x Y. T. 109. N\ 2.
ijlArccot.xdx = - nil V. T. 204. N\ 2.
5) I {Arccos. x)^ dx = -7ii2 Caucliy, Sav, Etr. 1827. 509. P. 2. j 5.
i)[{ArccoLxr- dx = nlZ Cauc^y Lim Imag. Add J :il.-Id., Sav Etr 1827. 399. P. 2. § 3.
I — Mosta, Gr. 10. 449.
f . /7r\P-l f s. 2 «= 1 ")
6) I .l?-dan^. pa;. Ardang.qx dx = cc V, T. 109. N". 1, 10.
/lrda?!£f. .r. /Irccoi. « d.i- = — tt / 2 V. T. 109. N=. 2, 4.
,,-. I , A ^ , 'T^ o , Tcq , 1 + 9
S) / Arctang. x. Arccot. -dx = ~ 12 -{ ~l2 —^ ■^H^ + Q) ^- '^'- lO'-*- ^'- 2, 11.
J Y ^ ^ ^
I V TIT "TT /7 I J /^
9) I Arctang.- Arccot. xdx = — Z 2 -|_ 1 -' ; 2 HLZ n- Z (1 + ^y) V. T. 109. N^ 2, 1 1.
J ? 2 2 2
I. , , It- ( 7t 1(7 1»-|-(?|
1^1 1 Arctang. px. Arccot. qxdx = - ■{ — 12 4--1 + -I } V. T. 109
.' 2 l:i 7 p p + q q p )
\l)j Arccot. X. Arccot. qxdx = -! -l{l -j- g) — I qi V. T. 20k N". 13.
l2)jArccot.px.Arccot.qxdx = f Lm + -^j -f- _ Z 1 + i j i V. T. 264. N°. 14.
r. 109. X". 2, 12.
- Pane 164.
F. Circ. Inverses. TABLE 110. Lim. diverses.
1)/ Ardanrj.xdx = «5 V. T. 108. N^ 1 et T. 109. N\ 1.
f
) / Arc/an ff. x d.
2) / Arccot. xdx =^ -^^^ l%—~ V. T. 108. N^ 7
/ 2 4
et T. 109. N'. 2.
3) I [Arccot. xY dx ^ '^ ■\- '-^ I ^ -\- 2 J~~ ^^ , V. T. 2 Jo. N'. 7
n- 71 CO ( — 1)
16 ' 4 ^ olSw + lj-
I fXi ^ rji \ \
270. N=. 11.
4) f (^-a-oe. ./' rf. = i^X + ^ f^]' fl - 1 — i- J -V) V. T
V, ^ ll7 ^2\2/ I ,p+2m ,(4n;'")
5) / Arcsin. [-] dx
6)f.
p V. T. 34. N\ 7.
.4rccos. j-j do; = p V. T. 34. N». 7.
7) 1 Arcsin. (l/-] rfa; = - p tt V. T. 34. N=. 8.
S)/ Arccos. l^-\ dx = -p n V. T. 34. N", 8.
•^, I PI 4
.Viitios Foiiclioiis. TABLE HI. Lim. ilivorsos.
r (-1)""'
'I
2)/ B"(.r)d;c =
"0
-1 ,2a+l/l
Raabe, Cr. 42. 34S.
4) / (B" {x)] ^ dx == nnjxjT, B
n
5)1 rf.t;Zi.(.x) == — Z2 V. T. 300. N^. 1.
Page 1G5.
^•^'S^''^'- TABLE 112. Lim.Oetl,
Lxpon.
Dienger, Cr. 4G. 119.
2) Ic-^- xdx =
iie
e — 2
V. T. 115. N". 2.
l)\c'"'xdx == — {(« — I) e« 4- 1}
3) /(T--'- a- 3 da; =
j %e
fc — -^ (I X
4)/ ^ = 00 Cisa de Gr^sy, Mdm. Turin. 1S21. 20'J. I. 27.
J ^
C e^ .V d X
5)/ = i e — 1 Eogner, Mater.
6)je-^dx]^x = ^iXjr Plana, Cr. 17. 1.
7)/ == —^ V. T. 115. N'. C.
J \^x 4e
9,\i(p^~i ri\ ^^ —7'(n\ Lejeune-Diriclilct, Cr. 15. 25S. — Stern, Cr. 21. 3/7. —
ojj^e ~ -^ ^ ^ (!__,,) — ^ yll Grunert, Gr. 2. 26G.
^ r/^e ^ a;" \ dx * „ / ?i— 1\ \
l—i""* f Lcjeune-Diricblct,
TnN / / ^^ aja^da; 1 1 v / . "~1\ I Cr.l5. 25S.— Grunert,
„,„il2:' <''"^\''' ' ,r(.)r|„ + l]...r(a + ''
-a; 1— J'/ X h da r (a /*)
12)/ = ■pXXn — l — ; L , p <:^Ti\ Mnlmsten, Cr. 38. 1.
^' ^^"g^'l>'-- '-at- c"t- ^^ TABLE Ho Lim. et oo
)/.-"
l)/<— "'.rdx = — V. T. 152. N . 1.
a-
Pnge 169. 22
WIS- E.> ^ATiuiiK. vEhii. I)i;k iii)>i.M>i.. AhAm:Mii:. ihel IV. •
qP
pajl
+P-1 dx = ~ — r (p) Sclil5milcli, Stud. I. 1.
c"+P
P . A JTcbr. rat. ent. Ttmi? jjt i i-, n^.
hxpon. inonomo c"^.
, r , , . ,„ „ „ 1 Eulcr,Cnlc.Int.4.S. 5.129. — LegcndrcExcrc.
2)/e-^a'«-id.r = l"-!/' = 1.2.3 « - 1 / 3. 81. — Poisson, P. 19. 404. N". CS. — Binel,
•' VP. 27. 123.— Liouville. Cr. U. 1. — Oeltinger, Cr.
r [33. 13. — Lejeuiie-Dirichlet, Cr. 15.258. — Schaar,
•i) I e~* xP~^ cZ r =- r ip) \ ^J'^'n- Coiir. Brus.T. 22. — Lobatsclicwsky, Mem.
7 ' ' ! Knsan. 1835.211.- Id., ib. 1836.1. II. form. (12).
X >-p^ — I ; C'est la fonction Eulcriciine de seconde espece.
y.1 f ox a-\ /I — ^''~''' Eiiler, Calc. Int. 4. S. 5. 131. — Lcjeune-Dirichlct, Cr. 13. 258. —
^)lc^i X ax — Oettinger, Cr. 35. 13. — Grunert, Gr. 2. 206.
> r r (p)
5) je-l^xP—^ dx = — ^ Caucby, Cours. Leg. 32. — Kummer, Cr. 17. 228. — Serret, L. 8. 1.
6) I e-<^* x"
i r (p)
7) Ir^^ XP-^ dx = — ^ — , oo^w^ — l,r>l; Lejeune-Dirichlet, Cr. 4. 94.
J {t-r]!'
8)jx^e-^'dx = e—''=U':\^2lc7r, y,o\iT /c = x ; Liouville, L. 11. 464.
9)f(ex^?-i_.-/.x(l_e-).-.} dx = ^(P + 'i)-^^'^ LSL±J} Schaar, Wn.. Cour.
f CO fa\ (~1)"
mjc-r-Hl—e-l^)" x'^ dx ■= (—1)'' IM JS" -^ 77— V. T. 151. N°. 8.
J \nj (p + w#i-i
iivf-?-^ 1 '?'-'7 T^-o nx i-2y' J? /3 1 -A . r(]— 2p)r(if)) i^ / 1 \ Kummer,
U)je\x+x-l dx=T(Zp-l)q e '/' ^—^V^r J + r{l-p) '''I^+P'Ig'^ )cr.l7.228.
12)fc"''"'./~\z.a^ = ^p-e~''"'' Moigno, Calc. Int. 132.
J "'^
13) //""/"^ cZ.2; = _MjP^' ^ J >p> 0; Lejeune-Diricblet, C. 11. 8. 157.— Schl6milcb,St.I,13.
14) fc"'''^^'''^/"^ <i.r = - ^ ^'^ SclilGmilch, Stud. I. 13.
IG)
f-U>+g!]x ^a ^^ ^ ^" ' , on il y a faut. : {p-\-q if Meyer, Int. Def. 117.
Tagc 170.
I*. A s<jbr. rat. enl. t tni i? ^ j^ •• in.
V " ' „T lAIJLL Ho suite. Lini.Oct^
Expon. mononie c"'-.
17) /e"'^"''''^'^/"* dx = ^^^ Caucliy, Cours. Lcq. 39. — Lejeuue-Dirichlet, Cr. 4. 94.
J (P + fji)
18)
rW -nArcta„4 ^ g_ ^
3
,»,|,-«-V-«.=.v.x.n,.H..,.
F. Algt'br. rat. cnt.
Expon. monoinc e"^'' pour b special.
TABLE 114. Lim.Oetoo
./
e x'^ dx = — 1/ n
2) I c X* dx = —]^ n ^ Kramp, Kefr. 3. N'. 70. — Boncompagai, Cr. 25. 74.
8
f -X- 15
3) /c x^ dx = — 1/ ^,
7 ^^ I
i ^" 2a-f-l a '^/l
4) / c a; dx := Z ' Oettinger, Cr. 35. 13.
5) I =0 (fautif) Boncompagni, Cr. 25. 74.
/" -i^ 2a , 1 /2a+l\
6)lc a: da; = -r — Legendre, Exerc. 3. 29.
I^i _ 1°^'^ . Kramp. Kefr. 3. N\ 70. — Laplace, Mera. Inst. 1809. 253. § 3. —
'] 2<»+' ^ ^ Boncompagni, Cr. 25. 74. — Oettinger, Cr. 33. 13.
8) fc"'"' x-" dx - ^"'^ i ,/ '^ ScLlorailch, Gr. 5. 90. -
9)/(!~''' j;"""^' dj = - — rrrl'"'' Schlomilch, Bcitr. IIF. 14.
11) 1 1 ''"^ x-dx = — l^ - Ohm, Ausw. 20.
.' '1'/' ^^
Page 171, II*
— Id., Gr. 5. 100. — Id.. Bcitr. HI.
-K- 1
10) /(J '' "^ xdx = ScblOmilch, Gr. 9. 379
^-p»
F.Algebr. rat enl. ,., TABLE 114 suite. Lim.Oetoo
Expon. monome c""" pour w special.
^j-,.^ - - ' "^
12) /e ' ^'^^ = 7771^1 V. T. 114. N^ 11.
8p^ p
13) fr"'''"^' a;-" do; = „„ , . , '^°'" , ,0^+1 V" ^ Mey«r, Int. def. 116.
14)/"/^* 'a;''-' da; = ^ e^'"'' Schaar, Mem. Brux. T. 24.
J ^ P
s
15) fr" .r-^ d.r = ^^ , ou rr, = 1,31102877714005987 \^lY'^ ^f-'' '^''"''
17)/c a;'a:!;= =^ I
'J 6 2.5.8... 6 )
10) / e x^ dx = -l^ IT
Oettinger, Cr. 35. 13
F.Algebr. rat. ent. TABLE 115. Lim.Oetoo
Expon. monome c"^ pour u general.
1) /e ;r dx == - 1^
a
Kramp, Ecfr. 3. N. C2, G4. — Oettinger, Cr. 35. 13.
-rP p-l - 1
P
-, f -x'' ob-l , 1 ,a/l ^
2) I e x dx = —1 J
J ab '
Z)je~^ x''~' dx
4)/r''^/^'"' dx = - \ Kramp, Eefr. 3. N". 65, 60,
J P (
5) / e .r a a; = — l^ ■^
6)le~'^ a; rf-T = -F - Legendre, Mem. Inst. 1809. 410. N^ 81. — Id,, Exerc. 2. 81.
j « «
7)je~''''x^''~^dx = - 1/ TT Laplace, Mem. Acad. 1782. 1. § 5.
f CLC 1 ^
8)/e""' /^~' dx = —1^'^ Kramp, Eefr. 3. N=. 68.
J «^
Page 172.
h . Algehr. rat. cnt. ^r i m i? ^ i - •. i • a .
F^ " > „jj / ' - I lAliLL ilo suite. Lira.Oetao
Lx|ioii. moiiomo c"^ pour b general.
9) / e X dx = r ;'/?) Boncompagni, Cr. 25. 74.
J
aq
10) Ic "■" ./ dx = -— e<= 1'*' Octtinger, Cr. 35. 13.
} a«
F. Algeljr. rat. ent. t^ i m i? j ,i p i ■ n ^
17° « r . r lAKLfci Ho. Lim. ct oo .
Lxjiou. monoine d autre lormo.
/2 1 2
^_x +/'^ _^^^ ^ _(_!.[. i_pe^i' ^ ;r) V. T, 37. N\ 3
%)\ir — e~^'\e"'\dx = ipe^p'i^n V. T. 37. N^ 9.
3)|e-''-^V-' dx = r(p).Ki-P,5) + r(-;>)/./'(i+/'.2),'i>o; ^""""- '■'■■ ''•
228.
5;|e ' a;c?«
Cj /e~-''^ .c^ J.r = "i^l^-Tr ) Octtinger, Cr. 35. 13
*) I e ar dx = 1 H — Boncompagni, Cr. 25. 74. Elle ne vaut que pour 9 = 1 .
J qa' \ aj
7) /c -^ X dor == -1 - ,
.' f> I
os[-Q['^+-) 2a, 1 -29 TT » (a_,i4-l)-"'i ' 1 \„ Cauchy, P. 2S. 14
8 /e ^' X'' X dx = ~€ 'w-2l{—\) ---,1 — \ 2. — Id, Eserc. 1
^)/«~"' ^''~ da; = e~'"^'r(p) Scrret, L. S. 1.
lljL-^'^'V-' dx = -^-^~l"'' ,/^ Kramp, Kdfr. 3. G7.
J a. 2""^'
12) /(c — 1) e ' a; dx = 1' A (p ) Cauchy, P. 28. 147. 1'. 3. j 1.
Page 173.
Cauchy, Sav. Etr. 1S27. 5'J9. P. 2. § 5.
7)/-— dx = — n'^
" ' ' 63
P.Abchr.rat.cnl.nionomc. Kt . , • .1 T'lnri^ ^i- i- n „•
ir^,i- « nx-^-i 1' >Niiniera .akrebr. TABLLil/. Lim. Oeloo
Lxpon.l)inomcc'"^±l endcn.J '^
[ X 1
1) / dx ==^ n' V. T. 152. N». 3.
7c^+l 12
i x^ 7
2)/^ dx = tt' V, T. 134. N\ 10.
je"^\ 120
Z)\- dx = 71* V. T. 155. N". 2.
7/+I 256
r .«' 127
4) /— dx = ■ 7r8 V. T. 155. N». 9.
Je''+l IGSO
f .r 1 '
•''^)/~5 t^-s = -TT^ Cauchy, Mem. Paris. 1S23. G03. — Id., Sav. Etr. 1S27. 599. P. 2. § 5,
Je —1 6
f .r^ 1 \
6) /— dx = — TT^
.(e^— 1 15 (
S /t:;: c^.r = — tt^ V. T. 132. N^ 14.
7e^^— 1 21
/;c 1
^- cZ.r = —n- V. T. 152. N'. 12.
c^^+l 4S
10)/-'>? '^^ = " ^* V. T. 154. N\ 13.
./e-^+i 1920
11) ^ <i ^- = ^^^^ r (/> + 1 ;^ -^, lloppe, Cr. 40. 139
C x'" 2'"-l « 1
y c -|- 1 2 »i
, 2a— 1 o2a-l ,
la; 2 — I 9/1
13) K^ dx = TT^ B„ , V. T. 157. N'. 5.
/-- dx =
— ?
2a „2o
(/.^- = ;
+ 1 2
2a— 1 .>2a— 1
2a
14^ /^^ dx = 1^"^' ^^i^ V. T. 157. N". 3
n" '
2a— 1 r.'a— 1 2a
^ T Cauchv, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5. — Raabe,
15) /l. -dx = ^T— ^^2a-l Cr. 42. 34S.
Pa^qe 174.
EvnoM.I.inn.i,oc-±l o,ul,:.n.r""^*''''^^-'''o'^l^'-. TARLE 117 suite. L.m.Oetoo .
f .t' ' » (—1)"
16) /— — dx = r (p) ^ , , '„ V. T. 157. N°. 8.
f ./-' » 1
17) /-J d.v = r (p) JT .-— -— V. T. 157. N". 9.
J c — i („ _^ IjP
, f X 1
IS)/-,— dx = —
/■ .«* 1 I
19)/^^:; d^ = —
Poisson, Mem. Inst. ISll. 163. N". 40.
f X 1
20)/ -5 dx = — a^ Cauchv, Mom. Ac. 1823. 603.
7 — 24
e" -1
J .2a-I „2n-l
21)
/ dx :^ — B Scblomilch, Gr. 3. 9.
f X-"-' 2-"-'
22) / r dx = B Malmsten, Cr. 35. 55.
'je"'— 1 2 a 2a-i
^,„./ ^ , £_ -p. Binet, P. 27. 123. — Pl.inn, Mem. Turin. 1820. 1. — Malmsten,
'/c-'-'— 1 ~ 4,a 2a-l Cr. 35. 55. — Sclilomilch, Gr. 3. 9. — Id., Gr. 12. 130.
F. Alprcbr. lal. cut. nionomo. ]v •, „!„„,„,. TiniiT'iio t- n.,..-.
,,",., II. Aumer.alff.ctcxn. lAIsLE Ho. Lim.Octoo.
h\Iioii.l)iiionu'e"-^± leiidcii.j ^ '
1) I— dx = -n-' — l V. T. 152. N'. 8.
7*^-1 ^
/— 2-r 1
i ^ dx= — — n^ + l V. T. 152. N" 4.
1+e-^ 12
r e~^' j; 1 •] '
3)/ -dx = — :r' V. T. 152. N\ 5.
7l+e-' 12 -1.
•1) / -^ dx = ^-^- r (;, + 1) :S- -;^, V. T. 157. N'. 10.
J 1 — 7 e 7 1 n' ^
/• [ ,,—/'* 1 '' 1
5) / — - c~''.r"~ dx = l" iS" -„ V. T. 157. N=>. It.
y 1 — fi-' 1 «'
I'a-c 175.
F.A ffo jr.rat.ent.nionome. K, , , , Tiorpiio i^ r- n„.
r- " I- > nr , » I >rSumer.alK.ctexn. IxVliLL 1 lo suile. Lini.Ofiloo
F.xpoi).bin()nioe''^± 1 ondcnj ° '
re-""/-' ^ (-1)"
y 1 + « (a + n/
I Binet, P. 27. 123.
J 1 — e 1 (a -{- ny I
r —px r ,
, I 6 ^ r/I "^ l '
10) / , a;dx == —I -]- 2 2 — Euler, N. C. P. 14. 120.
J e — 1 I n-
2
1])/— — -^aie^dx^—n^ V. T. 153. N\ 15.
12)/ — -ix -'"(^^ = (r) ^"^^^-^ T '^^ ''''• ^^^- ^'' ^^■
U)/ ' _„^ x^dx = 2 + 4.<7o5.^^ V. T. 15-1. N" 8.
13)/ x^dx = 2Cos. — V. T. 15 k N°. 7.
fe" + 1 2'"-'
15)/ - .»2a-l dx = B Sclil5railcb, Gr. 1. 3G0.
./ c"'^ — i a 2-.-1
^, ri + e^'^-*^" -5cx o (-1)°^' .. o„^.i 6 /2„_1\ / 2n-l W. T. 164.
1 S) je''"' fe"""— 1)' (?' + ~ ) .'c'' dj- = T (g) A' {?-<!) Cauchy, P. 2S. in. P. 111. § 1.
Page 176.
F. Alst'br. rat. eiit. monomc. tvrii.^ uo in.
Exi).l)in()nio(f'''^± l)-ondc'iiom. -'•-i -«-
Cgx — e-^ 4-2 cc 1
1) /"! : L_: j;^ rf^. = — 1 -)- 2 V- — V. T. US. N°. lo.
' J r^x 1^2 ' "2
r e'— 2 1
2)1 X- dx = -TT-' V. T. 117. N'. 4.
.•5) / dx = r (g) ^ -^ — V. T. 117. N\ 1
l)^ (l + «)'
o.
4)/ rf^i- = r (7) ^ V. T. 117. N". 16.
/■ e^x- 1
5)1 (2^=-Tr2 V. T. 117. N". 1.
6) / dx = ^ r (7) ^ -„-, 1 V. T. 117. N'. 10.
/(a— l)c-^ + a «> (—1)"
^ ^ ^^e-^'xPdx = »r(«)^"'-^ '--„ V. T. IIS. N'. 6.
^) I r^ «"'"' x/" da; = /> r (») ^ ;^ — V. T. US. N'. 8.
J (1 — e^^j- 1 {a-\-n)p
f e'' a;-" 2-"-' — 1
:),/—- r dx = B V. T. 117. N°. 20.
J {e^' ■\- i)^ n 2u-i
/• e'^-.r'" , 2-"-' „
10)/ , dx = B V. T. 117 .\=. 21.
'j(<;"_l)2 rr 2a-i
^ Alsohr. rat. ent. monome. ) -v . , ., minin .^r^
Kx|.l,i...(.-^.—)o.ulen.r""^^'-- "'""'>''• ^-^^LR 120. L.m.Octoo
1)1 rfx = — JS" — ^ '— V. T. 187. N°. 2.
'/c'-f-c-^ ,(2„+l)>
1 /t\
~) = "'t/S — 2L - Lobatscljewsky, Mem. Kasan. I33G. 1. I. form. (103).
( X- 1
'■'>)] ; dx = — 7t' V. T. !5K N\ 1.
/ C + e-' 1 r,
4)1 '- dx = — n'- V. T. 155. N°. I.
I'aj^e 17 7. 03
«!.><- F.N NATltltK. VKIlll. DEU KOM>hL. AKAHF.MIE. OFEL IV'.
F. Algebr. rat. cut. niononie. )», , •, rrimi,^ Ann •. i- n •
n I- r HT-u r,T\ I' Numoi'.al'Tcbr. TAIJLL I'iO suite. Lim.Octoc.
Lx[). 1)111. (c''^±e-''')enden.j °
f a;" 61
5)/ dx = 7r' V. T. 155. N". S.
; e" + e-^ 256
J e^ — e— " 4 G 1
f x^ 15 1 f
7) / — ^ dx ^ 71 » > Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. i 5.
'je — e-^ 8 30 (
r .r= 63 1 1
8 / dx = u* /
Je^ — e-^ 16 42 ^
f a;-' 17
9) / dx = — n^ V. T. 155. N\ 10
10)/ ^^— cf.c = i:(_lf+' (2 7rf""^' B" fi) Raabe, Cr. 42. 348.
/• X'l cr, f— li"
11) / dx = V [q ^ 1) ^ '^ ^-TT, V. T. 187. N». 7.
12) /-^ ^ rf.i' = - (— ]) [2-n)^- IV - Kaabe. Cr. 42. 348.
C x""
13)/ dx =
22a+I _ 1 ^„ ^ 1
r ' \S ^i-n V. T. 158. N^ 4.
2-ia+l -^ ^^-ia+l
f x'" 1
14) /-T^;^^ zmn- dx = - Bja Schlomilch, Gr. 1. 360. — Id., Gr. 12. 130. - Id., Beitr. II. § li
J e''^^ -{- e ^ 2
, f x^-^ , (- l)«+i /2 7r\2a+l /n
15)/ dx = B" ~ Raabe, Cr. 42. 348.
'ye«^_|_e-?^ 2 \ q ) \4/
/X 71 ■^
dx = V. T. 152. N°. 18.
/a;2a— 1 2-'^ 1
dx = B Schlomilch, Beitr. II. § (>. — Id., Gr. 12. 130.
19)1 ^y. ^ i^ ~\—\ B'f') Raabe, Gr. 42. 348.
f x2a— 1 22a — 1 ,0
20)/—^ 7— f^-*-- = 2 B Schlomilch, Gr. 3. 9.
Page 178.
K, Al^ohr. i;it. cut. moiionio. ) XI i . Tunrr. i<.^i r ■ /^
Ex|> l.in.(.-±e— )onden.r''"™-'''S-'^t«^P- ^^^^^E 121. L.m.Oetoc
/^X g— X
xdx = 00 V. T. 153. N'. 10.
c- + e—
X V. T. 153. N\ 11.
a;c?ar =
e^ — e-^
, f e'^ — e-^ n'^ n n
'^)\Tr, •''^^ = T~^'Sirt. . 5ec.» — ,/'<l; V. T. 152. W. 19.
., f e^ -\- e-'^ . ^- „ TT
4) / a; d .« = Sec.^ — , P < 1 ; V. T. 152. N^ 20.
'JeP^ — e-P^ 4p2 2p^^
fei^^e-^^ ^2 g.T: o;r
5)/T7"^ ■^'^•^ = — —rSm.^ *Sec.» — ,»<<;; V. T. 153. N". 12.
6 / a;d.r = Sec.^ ^—,p<q; V. T. 153. N". 13.
'J eP'^ — e-P'^ ip^ 2p'^ ^ ■''
/e' + e-^ 3
r— -.r»rfi; = — -TT^i/S V. T. 154. N'. 2.
e^ 4- e — ' 6 4
T. lot. N'. 5.
Y. T. 154. N'. G.
^ / T7T x-'-dx = —~h Sec.^ ^- Sec^l ,p<n, v.
yc^' + e-'" 8pM ip 2/)J '^^^'
« / .1-^ dx = — - 5i7i. — . Sec' ^- ,p <q;
1*0 /^ «» dx = V. T. 154. N°. 2.
ye"— e-3' 811/3
11) I "i; ,-ar»(/.r = V, T. 154. N". 3.
J~)/t, ,-a;da; = 2 ;t' V. T. 163. N». 18.
y el' — «-<'
' 'v / i^v"; r^^ ".c = . Seep
y e»^ -f e— J' 2 2a + 2 2a+i ' ^ ^ i \ i \ii
f <'" — e—P' d-"
, 2p<,T; /
dp^^^V^^'-P) f „ , ,,
'^ Kanbe, C r.
^, _1_ I ^ l\a4-l /•> -\S<l4-2 K', IM
+ e-'' 2 2a + 2 --ia+i
Page 179. ' 23*
F.Akcbr.rat.ent.moiKjmo. 1 », , , Timnjm •. i • /a
Kaabe, Cr. 42. 348.
B
+ 2 2a+l
/epj: 4- e— p^ d^a+i
IS)/- -x2«'+ldi- = -5 '-
Jek^ — e-l^ 2 2a + 2
21) / — .r2a(^^ = 5^ ^1 ^ (_ nn-1 B" — &■«. tibjt V. T. 158. N\
'Je^ — e-^ b \ b ] . I ' \2bl
;;;:j ^^;:^— X^'^dx = ^ (2 7r)2a+l 2 B" { — ]Sin.—^ V. T. 158. K'. 11.
e''^ — e-<^
F.AIgehr. lat.ent.monomc.
Exp. bin. (e"^ d= e-<'^)-en den.
TABLE 122.
Lini. el cc
-..( •^' , _ i/o ^auchy, Sav. Elr. 1827. 509. P. i. ^ 5.
'/(e^_e-*)i '^ ~ 4 Kasan. Is36. 1. 1. form. (100)
f x 1
2) / — ■ d .V ==■ I 2 Lobatscliewskv, I\Ii5m. K
— Lobatscliewskv, .Mi'
asan. 1S3G. I. I. form. (100), II. form. (20).
xdx = V. T. 38. N\ 8.
4p2
4)
a-dx = -^ — ^^'— ,7) <\; V. T. 39. N'. 9.
(ex^e-x)2p+i 8pr{2p) ' ^
eP'^ — e— />*
\/(cPx+e-/'x)3
x'- dx
[eax — e— oxj2
4y>3
n
4a3
V. T. 120. y\ 17.
(»4-o)(e(P+7)x_e— (p+g)x)-|-f»— o)(e(P— 9>— e(?-/';x) n- ^ an „ „<?7r y T 121.
2^^ Sin.— .bee.— "^'i-
Zp' 2p 2p
7) /'^ ' """ - ^— / ' '^.^ ,^" ' x^d.v= Sin.—.Sec.-~,p<Cq; v^ ;;
J {eP^—e-P^y 2p* 2p ' ^
Page 180.
b. A sx'Iji'- I'at. cut. monome. rrinr i? jon •. i- a .
Lxj). jin.fC^ic "•'j-enden.
9)/-T^7 TWT^x^'^^^dx = ^— B. V. T. 120. N=. 14.
10)1 ^2"+' <^-^ = — -'- 1-"^' -^ -: — : V. T. 120. N^ 13.
11)/ ^^^- d.r = -^ B V. T. 117. N°. 22
,2a 1
g— !ri)2 4 ;r ■-"— '
12)/-T— :— ^— -,;=7-a.'2"Ja; =-- 22"+l B V. T. 120. N'. 20.
.... 22«— 1
1.3) / ' x^^^dx. = — B V. T. 120. N\ 1
2 TT 2a- 1
V. T. 120. N'. 15.
■i/
V. T. 120. N°. 19.
.3) / ^'^ x'^^' d
f e<i^-.e-'i^ 2a + 1 „+i/2 7r\2a+i /I
14)/ .t2«+i d.r = n^(_l)'^ — B" -
7(e9^ + e-?^)* 2^ \ ? / \^
15)/ — x^-^dx = —(-ly —\ B' -
7(,7x_e-?x)2 2</ ^ ^^ j \^2,'
/ear — ^r-x „ / — i\n
-— — - xPdx = pr\p):E ~ — - — V. T. 120. N', 11.
F. AI;f(''I)r. ral. out. hinomc. Tiiwr lo- in.
,^ " , . ,, lAHLL 12o. Lini. el 3c
Lxpon. 1)11101110 en iluiiom.
f(i + Jt)2"— (1— .ri)2a ,/■;■ _ 1
'j i e'^-f + 1 ~ 2a+ 1
2) /— -^- — ^ = — •^ 1 + (— 1)"22'-B [ \ Schlomilch, Gr. 3. 9.
7 i e'^' + 1 2 a i ^ ^ ' ao-lj (
f [l + Ji)2i— (1— X t)2" (/j; _ 1 2a— 1
i gSjrx _l ~ 22a+l
/•/I I •,<>„ 1 /■ 'vo.. 1 J 1 1 Malmstcn, Cr. 35.
I(l + .ri2-i— 1 — ,1 — .r»)2«— ' dx a — 1 , , u+i 1 „ -^ c , ,.. •■ ,
4,) IS ! i ! i L ( 1) — B 55- — Schlounlcli.
7 t e2T'— 1 2a 2a 2<i-i Qr. 3. 9.
, /•( l+a;i)2'-i-(l-.rt)2'- i dx 22"-'-! ^ Malmstcn. Cr.
'J i gxx I ' ^ ' 2 a 2"—' "*°- "''*•
+ .1- i;-" — M — .r 0-" f^-r
./^
glsTx «— Ifx 2«
(_ iyi+1 B 4- 1 Sclilomiloh, Gr. 3. 9.
Page 181.
F. Algobr. rat. onl. hiiiome. Tinii/io- • in.
,;, ° , • A ,. 1AI5LL lio suite. Lim.Oetoo
Lxp. l)iiiome on denom.
7) / ^^ ' '""' ^^ '- ; '■ = 1 Schlomilcli, Gr. 3. 9.
S)/^ — '- -^ dx = (—1)"+' 22c; 13 Schlomilcli, Gr. 1. 3(U).
F. Algebr. ral. ent. 1 at > i n^Anii? /lo;! in.
p " I ,, }Numer. al2r. lAULh l'i4. Lim. ct oc.
Lxpon. [lolyn. on don. J °
1) / dx = — TT^ V. T. 153. A". 3.
" e* +«-•'■— 1 2 7
1
(i.?; = — n' V. T. Lis. N". 7.
J.Z2 — L(X)
_ . „„ - -~ — ; — r Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1S3G. 1. H. form. (31).
c.r_|_e-x_ 2 Coj.oj. S'.ii. I. Cos. I \ '
\l e2x ^ e-2x _ 1 2 7
3)/ dx =
'y c-r + e-x— 2C0S.2).
/x 1 , , Lobatschewsky, M^m
5) / dx = TT^ 1/3 V. T. I.j6. N\ 1.
/e^-fc--f+l 243
6)/ dx = 7i'l/3 V. T. l.'iC. N'. 2.
'je.r_|_e-a-_i 243
7)/ — ; ; — -. — r dx = V. t. 156. n°. 3.
7 e^ + g-x -f. 2 Cos. I 2 Sin. I 3
C ^.2 ''Pfl 1 ll
Je^+e-^~2Cos.l Sin.l\& 4 ^ 12 J
"/ — ; 7:7^ — ::dx = V. T. 156. N^ 5.
/ c.r_|_e-.r_ 2Cos. i Sin.l 3 5
1 0) / -— '"^ „ , ^ d X = ^~ (2 7r)2"+i B" 0^) , » < 1 ; liaabc, Cr. 42. 348.
j c^ -\-e~^—2Cos.lpn 2Sin.2.pn ' ' '
„ f «-" f — IV+i /1\
111/-— TT'^-'' == (2 7r)2«+lB" -1 V. T. 159. N^ 1.
f X-" I 1)0 + 1 /1\
yex_j_e-x_] i/ 3 \6/
Page 182.
F. Algobr. rat. cnt. ) ivT , , Tuniri ja^ w ■ r.
,. " , ,. [Num.al<ir.etcxp. TABLE 12o. Lim. ct oo
1)/ ^= xd.
J c^ + e-^— 1
1
X — - T- V. T. 153. N\ I.
9
0)1 — xd.c = —n^ V. T. 153. N\ 2.
" ' • -• 18
f e^Cos.l—l 1 1,1,
3 / xdx = -71^ 7tl + -)J Cauchv, Sav. Etr. 1827. 599. P. I § 3.
y fiS-' + 1 — 2 e^ Cos. A 6 2 ^ 4 ■
4)1 xdx = ; — : -I
e-e g—x p n \ Lobatscbcwsky,
xdx = — > Mem. Kasaii.
e2.r _|. c-2x + 2 p 2j/{2(p-l)} i^(p—l) — i^{p-\--[)J^i^2
J-
J e--' + e-2-r 4- £2,) _|_ e-2,) 2 eP — c-/' I 1835. 1.
6) / xdx = - nX Cosec. I. i
'J e2x ^ e-2x _|_ 2 Cos. 2). 4, J
f e^-4-e-^- ] fl fl\ /2.T— A\1 Lobatschewskv.Mc'm.
7)/-^; — ; 5 TT^ — ;r^^'^''' "= 'F^~T7'^'^ — ^M:T "''^i;; — UKasan.lsSC.l'l.form.
y,.'x + c-2x_2Cos.2A 5»al2 \2y \ 2 /i (103), II form. (33).
S)f f! ..,,^/:. = fi:r' ?.+l.r- + - A3W0..C.A C^u^'^y-f^- ^t^- 1827. 599.
^/t,2.-^l_2c^(?os.A \;i ^2 <5 / P. 2. § 5.
'jex + e--f_o(7os.2p7r 2 '^' ' 2(2rt4-2) 2a+i ''^ ' 42. 348.
r Cos. X — p e—-^ 05 p"~"' Co5. 71 A
10)/ ei^-'l)^ x'^-^ dx = T{r)^^ V. T. 159. N\ 7.
7 cr-|-p2 e--r— 2/; Cos.A liq + n—iy
e-^ — e~^ n — A
2fos.A+ c-^y "^ "^ ~ 2 Sin. A
.X-' rf.f = —
(e-' + e-^ — 1)» 2 7
11) f ^:^ ^— xdx = '' . '" V. T. 39. N=. I.
12)/ ^-^^^^ x'^d.v = -^7r» V. T. 124. N'. 1.
13)1 — : Hi a-idx = — 7r» 1/3 V. T. 124. X». 5.
/(«' + «'— 1
[ gX C— I jrl 3»
15) / x^dx = X V. T. 124. N"
7(cx + 2Cos.A + e-')* 2 5m.l
Page 183.
, . . 10
11.)/ .r'dx = — 7r' 1/3 V. T. 124. N'. 6.
1812. i31. Art. 1. N\ 20.
821. 209. 11. 34.
F. AlgL'br. rat. ent. Kt , , aMi>ii- lo- •■ i- n .
hxp.polyn.ondcn.l ri i
f gx g—x 2 a 4- I / 1 \
16)/ ; --—-x^"+idx = -— ^— (— l}"+'(2 7r)2"+lB" - V. T. 12t. N\ 11.
f e^ — g—x 2 a 4- 1 / J \
17)1- ; x^-^'+^dx = -?— (— 1)" + I(27r)^"+1B" - V. T. 124. N'. 1:'.
F.Algebr.rat.fract.adcn.nion. T-tnTn jop in.
Exp^ mon.cn num. ^^^^^^ ^^^- '-""• <^ ^' °^-
1) / (i.^• = X Cisa dc Gn'sy, Jli'm. Turin. 1821. 209. I. 2(5.
o\/f___j„ A ;^ 7^ Bidone, Mem. Turin.
7 X tisa de Gresy, ib. 18
:3)j— ..=
I dx = I,/ TT f
; .T« 3.5 f
. , ) Kranip, Kt'fr
I x^
,v r«~-''' , (— l)«2«-'l/7r j
7) / dx = , ;
^J X^" l«/2 I
fe^ n „
8)/— dx = Cosec.pn Caucbv, V. SS 147. P. 1. § 2.
V-r" T{p) ^
9) = r (1 — p) Svanbcrct, Transf. 3.
•^ f , valeurs extraordinaires;
/• g-r ( Caucby, P. 28. 147. P. III. Siippl. — Id., Exerc. 182G. p. 38.
\\)\—--dx = r(— a) \
J .a"+i /
\-^)l dr = Octtinger, Cr. 35. 13.
'7 a:i+i ' b
Page 184.
— — dx = — 1/71 Krainp, Ik'fr. A. 72. — Oettinger, Cr. 35. 13.
j'anip, Kt'fr. 3. 73
8 '
e) / dx = 1/ n
(— l)«2«-ii/7r
ExiMnnn.on num. TABLE 12G suae. L.m.Octo..
a
ic—'-
13) / -——dx = 00
14)/— rf.1,
Oettinger, Cr. 35. 13.
a 2a 3 a
i^'a + 6*2a + i
r <7 1 — p
lo)le" ^ = :^-^ (— 1) ^ , ou = 0,906102; Laplace, P. 15. 229.
J xP 1 — p
16)/e ' ' '' — = |e-27i/7r Bonnet, L. 14. 24'J.
17) f.-^^-^.^'- -'-^ = (tp~ e-Wv<, ^^^^^ (a-2n-l)^ I Ca.chy P.
7 *•"+' \'7J 2 2/. 4";^ (iil^pq)" 19- '^l^-
F.AI^. rat. Tract. adon.a;''pourrtspt'cial. -riinT^io- t- a .
Lxpon. polynomo on nuni(,'r.
/I — eP^
e-^dx = — Z (1— p) ,p- < 1; Dienger, Cr. -IG. 119.
fe-px — 1 1
2)/ e-^dx = I — Bidone, Mum. Tuiin, 1S12. 231. Art. 3. X". 80.
J X 1 + /'
e-a:_e-pi ^ LejouneDiriclilet, Cr. 15. 238. — Liouville. L. 4. 317. — Grunert, Gr.
X ux — ip ^ 2Qg _ Arndt, Gr. 10. 253. — ScblOmilcli, Stud. I. § 6.
r -r,x „-ax Cauchy, Cours. LcQ. 33. — Id., Exerc. 1827. p. 112. — Id., C. 11.
^ I e / e-? ^ n jg j_22. — Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 1. N°. 20.— Cisa
'J a; p dc Gresv, ib. 1821. 209. II. 34. — Piocli, Mem. Coiir. Bruxcllcs. T.
Cauchy, Cours. Lcq. 33. — Id., Exerc. 1827. p. 112. — Id., C. 11.
' isa
Ics.
15. P. 2. — Grunert, Gr. 2. 266. — Sclilomilclr, Stud. I. § 0.
? + >• '
p-\-ri
5)1 e-'-^dx = I ~ Meyer, Int. Dc'f. 109
J X p-\-ri
(i) I e-"^ {e-^ — 1)* — = — AW a Laplace, Prob. I. 41.
7)/ ^^— e-P^dx = CL-LJ>J£-LJ. v. T. 167. N^ 7.
J X p [j) Jf. q .]. r)
8)/^ '-> ' e-'^dx = i^fLT-^-J^'-^ ^ ' V. T. 1C7. iN°. S.
/ ^ 0^ + '-+l)(7 + *+l)
o\ ((■-'' ~e-"' , , (/. + a)i-7 — (» 4- ] )i-7
9)/ —e-P^x1-Ul.r = ' ^^l-J V ^ ' — y [q] Cauchy, C. K. 16. 422.
J i> l—q
Page IS 5. 2 J.
WIS- E.N NATLUHK. VERII. [iF.n KOMMa. AKADEMIE. PF.F.L IV.
F. Alg.rat.fract.aden..rpouraspecial. ^^^^lE 127 suite. Lim. ct oc.
L\|)oii. polynoiuo en nuniLT.
10) /" ^^"'^ 7^^' e-^dx = {^q+l)l{^>l + 1)— 2(!/+ l)^('i + l) V. T. 1G8. N'. 4.
cic—ix n i
11)1 --^T— -^Z^^- ^•^- = (P + 2 ?) ^ (P + 2 .y) - il (/) 4- 7) Z (p + 7) + P 0' V. T. 108. N". 5.
12) /e-?'-^ (c-^— l)"— = A" -pip Mcver, lut. Dcf. 181.
7 a;*
13) I ~ ax = (0 — a)ala-\-(c — a)bLb-\-{a — o)clc ^., .
/• ^_j ^ Caucliy,P.28. UT.r.III. Suppl.-
ll.) / c— /'* (e-^ — 1)* — :^ = ^ Cosec.[{q-\-\)7T] tJpl Exerc. 1S2G. p. 58; \)omq<:^b,\
J ^ I^ (? + 1) valeur extraordinaire pour (/■>• ^
(_J)?+i
1"^
15)1 = ^ rj.j A^ .pllp,])ouv qeniier ,<^h; Caucliy, Exerc. 1826. p. 5S.
dx 1 ,
= -(/2 — ])
f( e-^ 1\ dx I
17) / ie-^ + ( — = 1 ) stern, CM. Stud. 1817.
J I X xf X (
f\ e-/'-^ e-9^) dx ]
IS) / ^pc'--^ + — qe-^— \ = plp—p^qlqJ^q I
J { X X ) X j
19) / [(P— 2)c~'+ ^-^ (e"'"" — e"^"")! — = (p— •'.) (^/' — 1) -^lejTr, Int. Def. 121.
j \ 2x ) X
fi X + -Z ] dx I l\o + l
20) / \1 ■ — (l_e-^)^ e-9x — = _ 1 ^ o 4- - l^-^^— Cauchy, C.ll. Ifi. 422.
J K 2x ) X \ 2/ q
' dx = 1 — 12. Meyer, Int. Dei. 123.
f(l c—r)- 3"
-^)l —-e-^-'^d.v = 21— V. T. 168. N°. 2.
7 x^ 27
f e— 9^
2Z)j{e-^~iy-—dx = {q + 2)l{q + 2)-2{q-\-l)l{q-\--i)-{-qlq V. T. 168. N'. 3.
f( ] — c-/'^)(l — £— ?^)(1 — e-rx)
24) j ^, V-(i^= 0, + 7+l)/Q, + .y4-l)+(p + r+l)/0> + ,- + l)+ V.
+ (2+7-+l)%+r+l)-(p+l)Z(2;+l)-(5 + l)/(f/ + l)-(r+l);(r4-])_(p-|-7+r)«(p+9+r)
N°.8.
Page 186,
F.Alg.rat.fract.aden.a;°pouraspecial. rrtnirjo-? •. in.
Expon. polynome en numcr. ^^^^^ ^^^ ^"'^^' Urn. dec.
f c— 9-^ ■» [a\
2C) /(I — c-/'^)« dx = ^(— 1)" ] {q -]- n p) I {q -\- n p) V. T. 163. N». 10.
J ^■' \"/
27) [i !I!! + '— . ?!!! - '^ 1^=.
J [{a^b){a^{a^dy{b—a){b—c){b—dy{c—a){c—b){c—dy(d—a){d—b){d—c)]x^ V. T.
a^ la 6^ lb c^ Ic d^ Id -k^ I'l
^ __ 1 I 4-— — ■" •^^■
{a-b){a-c){a—dy {b—a){b—c){b -dy{c- a){c—b){c—d) ^ {d—a){d-b){d—c)
28)1(1— c-P')«^ dx = - J'(— l)"- 1 rj {pn + \)-l{pn-\-l) V. T. 168. N'. 13.
C e-^r 1 « /a\
2^)\{\—e-P^Y-'Y-dx = -^(—1)1-1 (q^np)- l{q -\-np) V. T. 16S. N^ U.
/■(I — e-P')<'(l — e-?^) 1 re fa\
+ -^^(-1)"-' M(pn + l)^/(;.n+l)
a'V-e-' q 1 — e-?-^] 1,3 (
-^ - .i" + -TT- n- = o ^^ ^ ? -i ?' Sol.nke, Sam...
..oJf 7-'-^ <?' , 9 l-e-?'-1 1 11 ]
F.Als.rat.fract.aden.a?''pourfl<TL'neraI. Tinfir joo i- n .
hx|)oii. polynome en nnnier.
r e-i- — c—^ r(i— p) „ „
1)1 ^-j dx = (r^_,') , p< 1;
J ^ 1
2)j ;^^ dx = -^l[b'^ -a'j.i>a>C
3) I e-*' (c--- — l)"; '-'''. = — - A' l^i ,a< 'A
'J ^ ' J?+1 Si».qnV[q->f-l) I C.mcliy. 1'. i^. 147. P. 1
. Lindinann, Stockli. llamil. ISoO.
rii] ,c-. ^. r IV.
§2. — l.aplncr, Prob. 41. —
., [ (— l)?-^<: , . ( id., Mcin. Acad. 17S1. 29.
*; I = — ^- ^ - ^— j-^ A'.t''// 6, pourycnticr-/
r('i + i)
Page 1S7. 2 1*
F.AIg.rat.fract.aden.a;<'pourageneral. ^^p^^j, ^^8 suite. Lim.Octoo.
Export, polynomc en niimcr.
5)/ { I e—P'^dx^ .p<^-Up, aprcs la differentiation mettez ^^ = 9; " ' ' "
J \^ X ] i<^— '/^ l^p iN . 1 / .
^ ^Xi— ^ «~''" ''•'-■ = A'^.p? Ip V. T. 168. N\ 18.
7) / -^ '^ dx = Gosec.q 71 ^'^ ^^ , 7 < (-';
/ 26+c— 1 \
.-Me--_l)^->-(-a;)-i i__^ ^ ^ f ^.^^_
8) / . i Ldx=— — Cosec.qrT^':-'^ t'',c<7<c+l;f cbv,
j «*+' r(7+l) I P. 18.
> 147
/ ?.64-c-2 6t(ft+c— 2) + (c— 2)(3c— 7) \ [ r, o'
Cosec. (? 7T A'^-- l^'' , c < -; < c 4- 1 ;
F. Alwbr. lilt,, tract, a den. x^q. rp . pr .- .c^o in.
Lx|)on. mononie.
f g—px
1)1 dx = —e''li.{e-I') SchlSmilch, Beitr. III. 5. — Id., Gr. 5. 20-1.
) I dx =
7^ + 1
2)/ dx = — c'Jli.{e~'i) 'WinckkT, Cr. 45. 102. — Sclilomilch, Stud. I. IS. — Id., Gr. 5. 204.
f e-P^
3)1 dx = — ePI li. (e—Pl) Schlomilch, Stud. I. 18.
J a: + q
4) = — ePI E i. (— p q) Arndt, Gr. 10. 247.
5)i-£ dx = ne-Pl^ie-Plllif^) Meyer, Int. Def. 264.
jx + q
f e—P^ „, 1 « , Bierens de Haau, Verb.
e)j——X"dx = (— l)«+i 2" e;'?£i.(—p7) 4--^ 1'^-"/! (—;;<?"-! K. Akad. v. AV. Dl. IL
y^ + 9 ■ P ' blad 19.
7) / dx = e-Pli. (eP) SclilSmilch, Beitr. III. 5. — Id., Gr. 5. 204.
j 1 — A- •
C e-x
8) / dx = e-ili. (e?) Schldmilcli, Gr. 5. 204.
]q — x
Pa-^e 18S.
F. Alftebr. rat. fract. a (1(311. ,2; ± r/. rp . py ,;, .^xf^ ., r- n .
V ^ TABLL l2t) suite. Lini.Ootoo.
f e—r-'-
9)1 dx = e-l"ili.{e'"') Schlomilch, Stud. IF. 20.
J Q — X
10) ^ e-Pi\-U'-+Ei. (p q)] ' ^^'^ , « i,"''';*f '"J"/ ■'
' [2 'J Arndt, Gr. 10. 247.
f eP"
11)/ dx = ie^'ilL{e~Pl) Meyer, Int. Def. 2G4.
121 f^-^a-a^o. = — o"e-/'?i;i /■— wol 4-- .S la-n/W— »«Vi-l Bicrcns de Ilaan, Vcrli. v.K.
'Ia;—q qeiil.i.{ pq)-^^^^i >[ prj) Ak. v. Wet. Dl. II. blud 19.
1
Ip — a: p
13)1 ,- dx = -li.(p) Schlomilcli, Gr. 5. 204
J I" "
F. AljTubr. rat. fract. a ilcii. x- ± a . r,-, . ,,, ^ - . -n t ■ <^
h\[)Oii. inonomo. ■*
Cxe-i": »= i2'H-i n
1) I dx =--- -S" (— ])» — — J
•^ ) Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. .\rt. 2. 33.
y 1 + a;* p2H-i y
3) = Sin.q.a.{q)^Cos.q{\n—SL[q)] \l'%.^'- ^°- ^^^- ~ Sclilomilch, Cr.
f e-y^ If 1 ) . < 7 < ® ; SchKlmilcli.
■I)/ 7— ~^^ = - I Ci.(pq).Sin.pqSi.(pq).Cos.pq-\--7t Cos. pij\ Cr. 33. 325. — Id., Stud. It.
J '/■ + 'i'" 'i [ 2 J 21. _ Arndt, Gr. 10. 225.
> < ? < =» >• Arndt, Gr. '
r X £^ /-.• / A r- c- / > <?• I ^ c- 10.225. -Scliliimilcli.Stud.il.
79>T^ = -C<.(/,<?).Co5.H-'St.(p7).'Stn.p:?+-7r5««.pj 21.-Id.. Cr.33. 323,1a trou-
vait fautivcracnt iirgative.
G ) / dx = — e-i>'J — \e-P9l i. (^i) — eP'> I i. (e-pi) \ \
( :\[ivLr, Int. Dcf. 267.
'' ' / "r-; — i dx = —^ri — - \e-r'i li{d"') + ^t I i.{e-Pl) \
J q -\- x^ 2 2 1 J /
r c-/" 1 1 "
J x--\-q^ 2 p-ii— 1 1
r c-P' f 111"
1))/-— — x2<'+i(ic=(— l)«+'72«|a(p7).Cos./)7+5i.(;)7).5(/^/>7--7r5in.7)7 +— '(— p>(;')''-i
J * T? I 2 J p "' 1
Bicrens de llaan, Vcrh. v. K. Akad. v. \Yct. Dl. TI. blad 19.
Page 189.
r° > ' lAHLE loO suite. Lim.Uclx.
Lxpon. mononic.
12) / -7-^-^ d a; = - (e-y? ij.(e''') + e''' Zi.(e-M) | Schlomilch, Cr. 33. 325. — Id., Stud. II. 20.
") /S'""'-'4''"-' («■"£■■(-??)-'-'«■■■(;"/)} +-^ii-../'fr',-)- j{';~ „t
•' ■' I V. K. Ak. V.
/• g-pa- 1 1 " (Wet. Dl. 11.
y a;^ — g^ 2 p-" 1 ;
F.Algebr.rat.fract.aden. (.r^.±9«)*. ^^g^E 151. Lim. et 00 .
Lxpon. nioiiume.
1)/— ^^;— -^ dx = ~-\- cilUe-i) V. T. 43. N\ 18.
e-^ 1
— ax = ~
e—x 1
dx =
i'l — ^Y 1
2) /— ^ dx = 1- e-? h'.fc'?) V. T. 43. N'. 19.
rg—(ixj.p—i Y (p)
;})l ^^ _ __!^^Q3^j^a) Kumraer, Cr. 17. 228. — Boncompagni, Cr. 25. 74.
fg — ax x'"P — ' T (p)
4)/ dx = ~^~ '/Jp,l>,a) Boncompagni, Cr. 25. 74. Elle ne vaut que pourc==l.
J (1 + «)* caP
5W dx = ^ ' .(e'"'ii-ie-'"')] Schlomilch, Stud. I. 18.
J{x+qY+^ P/i dpo.dqc ^ "
'J/a;^rj)i !«-'/! la-h^q"—^ 1 f Haan, Verh.
( V. K. Ak. V.
S) I dx = Poisson, P. 19. 404. N\ GS.
'j{q+xi)P T{p)
Page 190.
E "pon. mono.nc. ^^ TADLE lol smle. L"«- ct 00
/■ e-/'^ 1 r 1 \
'^^ / / 2 I zw '^ -^ "= ;r^ I ^' '• '^P 'l^- "^'"-^ ? — 'S 2. (/> q). Cos. p q -{. - n Cos. pq~ \
— pq)Ci.{pq).Cos.pq-\-Si.(pq).Sin.pq — —tt Sin ■P'j\\l
I Iiicrens di
f xe—P^ iff 1 1,1 Ilaan.Verh.
^^n7~i~, — Wi ^^ "= -Z~;U-\-pg]Ci.{pq).Sin.pq-Si.{pq).Cos.pq+ -nCos.pqi\}v. K.Xk.v.
J{.c'+q) ^q-*- I 2 -' -l| Wet. Dl. ir.
^ ^ 7 u ^—r-)^ ^'^ ^ iq 3 [^^"/ - 1) '''' ^ '■ '^—P ?) + (!+ P 1) '-'"' ^ '• C?^ -?)]
/X & — P^ 1 r "I
^- .^2_g2^2 ^^ '^ 4^ l^ + ^'^ ^""''^ ^ '■ '^' ^' "~ '"' '^ '• ^~ ^ '^^^ J
F.AIsobr. rat.fract.aautreden. rp.nTi- i -it t • rw
1,^ . lAlJLb Itil. Lim. ct 30
h.\|)Oii. uioiKimc. v^ i-i -^
iblad 19.
/■ e— /'^ 1 r -,
1) / ^^Z^'^ ^^ ^ ~3\e^''Ei-{—pq)—e-P9Ei.{pq)—'ZCi.{pq].Sin.pq-{-iSi.(pq).Cos.pq-^Cos.pq^
f X e — P^ i r
/x"^ e— /« 1 r -
'^:s~~, '^ ^ — p'£'(.(-ZJ7)— e-Pv£'i.(p5) + 2C{.(p7).5m.p7— 25t.(p<7).(7os.p'7+ TrCos.pry I
Cx^ e~P' , Ir
4, I __-.- ^ d X ==--\—ei''i Ei.{—pq)—e- m Ei.{pq)—2Ci.{i3q).Cos.fq—'lSi.{pq).Sln.i,q^7TSin.pqy
^^ / r^ZTT^ dx==-q*<'--LPit'i.{—pq)—e-l'9Ei.{j)q)—2Ci.{pq).Sin.pq-{-ZSi.{pq).Cos.pq—nCos.pq\
1 "
p4a—3 ,
<^)j-~;-^;^^^-^dx=-q^"-'2y—eP''Ei.{—ini)—c-i''U:i.(pq) + 2Ci.{pq).Co!!.pq-{--^^^^
7) / — ; —dx==-q*''-AcP'!£{.{~-pq)—c-P9Ei.(pq) + )tCi.{pq).Stn.pq—2Si.{iyq).Cos.pq-\-:TCos.pq\
1
J_ _ v: 14.1-4/H-J/l (.,1 „4)ri-l
^p4,.-i , yi I )
Sur Ics forraulus (1) ;\ (7) voyez: Bicrcns ile Ihuiii, Vcrh. v. K. Aki'M, v. \\ cl. Dl. II, blad \'i.
Page 191.
F.A sebr.rat.fract.uautreden. TiPiF^r-o -.^ t -^ n ^t ^
r^° , 1 AbLL lo2 suite. Lim.Oetoo.
Lxpon. niononic.
/a.4a+3g— ;)X J r _
dx-=- q'^''\—e''^Ei.{—pq]—e-J'9Ei.(pq)—2 CL{pq).Cos.pq—'i.Si.{pq). Sin.pq+ nSin.pq) I
X* — g* 4 I J
1 «
4. ^14a-4n+3/Wp4 „4\n-l
Bierens de Haan, Verb. v. K. Akad. v. AVet. DI. II. blad 19.
'•')/-: ^ , : ldx = ---\Ci.(pq)[Sin.pq-\-Cos.pq]+ \
-f {Si.{pq) — JTTJ {Sin.pq — Cos.pq) — e^^ Ei. ( — pq)\ J
1 0) / — dx = fa'. (p q) ( Cos. p q — Sin. pq]+ f V. T. 129.
>& T. 131.
+ ( '^ *• iv Q)—\'^] i^^n. p q -\- Cos.pq) — e-Pl E i. {p qU I N'. 6, 7.
-\-{Si.{pq) — l n) {Sin. p q -\- Cos. p q) -\- 6-P9 E i. {p j) j ,
f ^~'"^ If.. \
12] / dx = \Ci. (p q) (Sin. pn — • Cos. pii) — \
'jq^+q^x + qx^+x^ 2r/H ^^^'^ till)
— {Si. (p q) ■ — ^ 7r j [Sin. p q -\- Cos. p q) -\- c-P1 E i. (p 7) I j
f X e~P^ 1 r I
13) I , , ' — — - dx = — I C ;. (pq) (Sin. p a 4- Cos. p n) + f V. T. 129.
■|>& T. 131.
+ {Si.[pq)— \n] {Sin.pq— Cos.pq) — e-PlEi.{pq)\{ N». 6, 7.
+ I 'S i {vq) — \ n] {Cos. p q - Sin. p 9) + e^" E i. (- p <?)] /
Expon. monumc. ' '" TABLE loo. L.m.Oetoo.
-i\[( -X —L 'I If _ A Sclil5railch, Gr. 9. 5. —
^)j y l + .r/ X ~ 225. — Id., Gr. 10. 233.
fl 1 \ dx
2) I e-V^ — — = — A — I q Caucliv, l>: 28. 117. P. 1. § 6
J \ l-\-x/ X
Id., Stud. I. 4. — Arndt, Gr. 10.
Page 192.
y. " . ' ' -^ lAliLL loo suite. Lini. et oo.
hx|)on. iiioiionie.
o,fl^—x ^ \ 'if- — V'r„\ Lejeune-Dirichlet, Cr, 15. 258. — Gruncrt, Gr. 2. 266. —
'/I ~(l+a;)P/ X ~ ^P' ScblSmilch, Stud. I. 4.
tle-x—\ 1 \ dx
4)1 + — = A — 1 Arndt, Gr. 1
J \ X I -\- xj X
fl 1 \ d.v
5)lle-^— ; — = _ A Arndt, Gr. 10. 225
n. 233.
n ley
dx = -1 Legendre, Eserc. 3. 40.
1
F.AI'a'br.rat.fract.aden.a;. 1, , rrinir m"/. t- n .
Exp.binumec-zbleiulen.r'""^^''"^^- ^"^^^^ ^'^^^ ^.m. et oo.
fl — e— ^ dx TT
1)1 • = / - V. T. 171. N\ 1.
J e^ + 1 X 'Z
dx /a 4- 1\ I a\
V. T. 171. N\ 2.
fg-gx — g{q-\)x dx ,^ an
3) / = I Cot. ^- V. T. 175. N^ 2.
J e-^+ 1 j; Zp
r._-^^_^^.^ UU__^. V. T. 171. N». 4.
5 / =
J 1 + c-9^ a;
' iCot.'~ V. T. 175. N\ 15.
2'?
V. T. 171. N'. 3.
,s /"«'' + «~'' - 2 dx
1)1 ; = lianCosecan) V. T. 175. N'-. 4.
J e^ — 1 X
f(eix_e-gxy ^^
'I ^TTl ^. = — I {qnCot.q rr) V. T. 175. NV 3.
Page 193. 25
WIS- EN ^•ATl•LnK. VF.nil. OER KOM>KL. AKADEJIIE. PEEL I\'.
,," ,. . „, . ,, aunlenno. lAULL loi suite. Liin. (J el cc.
bxp.binoniec''-^± 1 ena<'ii.|
9)1 ^ = I {q 7T Cosec. q tt) V. T. 175. N\ 7.
J e-^ — la;
10 /^ = lipSin. — ] —loTT V. T. 172. N\ 8.
11)/- ^ dx = Z-— ^r - ,^-^^-^ .Malmstcn, Cr. 35. 55.
7 1-e- X {T{q)Y-
e-xrf^ = I , ^' _ -■ — ^^ V. T. 171. X\ 17.
^ r {p + 1) r (</ + 1)
V. T. 171.
l-'5)/ d.r = r ^- — /B(»,7) V. T. 171. N". U.
y e^ — I ar p f]
/I — g-?r 1 _ e-pj: r (r) r {» + g + r)
1 — e-^ X T{p-\- r) r {q + r)
16) / — ~ dx = l[ Tang.—. Cot"— V. T. 175. W. K!.
/ 1 + e-'-^ .r \ ^ 2 r 2 r/
J /•( ! — e-P^) (1 — e-g^) (1 — e-rx)e-^x dx _ ^ r(p+g + 5)r(p+r+8 )r(?+r+^)r|g) v.T.171.
7 1— e-^ .r r(p+j)r(74-«)r(r+,<.)r(p-fg+r4-5) N'. 21.
n -_e!'-«)^ \ — 4S-iy dx
18)/ ; ~ = / 229-2 V. T. 177. N". 15.
'/ 1— e-' -'-
cSx
,_ .-^ 1 cia; 1
19)/ — =-;2 V. T. 175. N\ 1!
-j- e-*e*-|-e--f x 2
g— r g— 2z dar It
I V. T. 175. N'. 17.
-\-e-x e"" -\- e-"^ x 21^2
i^ ° 1- „,_._. ,. aniiis.termes. TABLL loo. Lim.Oetoo.
.fill:. ' "I. " "<^l."Ul-"."l"". I • 1 , T" i r>T !."< I "--
l^° 1- „r-i- 1 1' aniiis.termes. IAdLL loo.
Lxp.l))n.e''^± 1 enden. J '
1) / I \ e-^dx = A V. T. 171. N^ 7.
. Schlomilcli, Stud. I. 10. — Schaar, Mem. Cour. Brux.
'/^ T. 22.
Piigc 194.
E.\|). biiLf'-i icndi'n.r''^'"^-^''™^^- TABLE lo5 suite. Lmi.Oetoo.
Ex|). bin. (•"' rfc
} dx = lp—L'{q) V. T. 171. N'. 9.
he— '■I-' be-''^) ^ i b— ?i\
dx = — JTZ' -?+— 7-- V. T. 171. N\ in
in
11
13
11.
15
\C,
Stern, Gott. Slud. 1S47.
fcbe—''9-^ be-''^)
I (1 - e-' ~ ~^i
/ |e-+l 2 j .u 2 ]
f( 1— e-<»^)e-'
/ |a — dx = /(l"fl) Liouville, L. 4. 317.
/ i ; — qe-^ — = ?-— >^X_'' V. T. 171. N". 12.
fC (1 — e-?-^) (1 — e~P^)\dx
/ ,/; — 1 — \ dx = It (/.) Malrasten, Cr. 35. 55.
j \ 1 — e~^ J ic
I [- — :7^j«-'ciar = ^Z' (<7 + -^j V. T. 177. xN". 23.
rf 1 1 1) . di- 1
/ U — C-' X 2) X 2 '^
ff e-/"- 1 1 l</.c / 1\ 1,
Page 195. jJ5*
Meyer, Int.
,, ° , . ,^^ , , . ht plus, tonnes.
TABLE 155 suite.
Lim. et oo
-/{t
-<ii g — bx g(6 — a)x
(
1 — e-^
-pxU^ _
I ^ ^^^ — \ J-Ll Malmsten, Cr. 35. 55.
T{a + p)
n 1 1 e^ e-'l d.v
1 1 dx 1 ,
— = ~lZn—l
ex — \\ X 2
21)/ -^— [ — = -nn—l
'J [ X 2 e^ — 1 I :c 2
22); — ^'e-^ — r --} — = - IZ
'J { X 2 e^~ 1 I .^• 2
fai I 1 dx \ ^
'J \x 2 e^ — l\x 2
2„/{,.,-l,.-„-j-ii^-'^|'l!.x=i{r(p+i)r(,-i+i]r(;^?+,)....rp-±l))
ffa— 1 a— I e(i-«)^ g-a/'^ -je-x r(»a + l)
26) =
}
Stern,
Gott.
Stud.
1847.
-(a-l)Z27r-fap+-ijza
rj i g-rx— e-px pe-/"?x re-'-9^1c?A- , jl 1 1 ) v t i7r
'"I i^-i~-^-+i=;^x-T:^j-=(p-'-)i~?+,-^--^r{,)+-/2J JJ3/76.
31)fj_^Z!!^ r-m + (p — l)eW]cZj; 1 ^1
■ e— X
1 — e— px
X =i(?'-l)^2+\2— P^l 'P ^' '^- "^' ^°- 24-
Page 196.
r/ I ax^ -ax 1 lAuLL lob. Lim.Oetoo
r 1 da; 1 ,
1) / = ~12 V. T. 172. N\ 2.
J e^ —e-'^x 2
2)/ = ITang. — V. T. 172. N\ 4.
(c7x — e-?x)i da;
5) r —
e-^ X
ICos.qn V. T. 175. N^ 6.
^ = ICot.— V. T. 172. N^ 9.
5)1—^ Zi ^^ = — ^ i'l -^ Cosec. q n) V. T. 175. N=. 7.
6)1 da; = oi2,y>l; V. T. 172. N°. 3.
J e^ — e— ^ X
7) / ^ = l~ V. T. 172. N'. 1
' e^ 4- e-* a; ti
/ •• ; — -i = I Cosec. ^~ V. T. 172. N". 10.
I fijx — g(?— 2/))r ;j, 2p
= iTaHO. y—^-^n] V; T. 172. N°. 6.
-)"= X ^ \ 4^2) I
feix _L e-?x da; , o tt
10 / ■ = ISec.^— V. T. 172. N^ 7.
'Jepx — c-P' a- 2p
/"e^-f J- c-«-r — 2 d .r rt ,T
14)/ = ISec.J— V. T. 175. N'. 9.
'_/ eP* — e-/« a 2;;
15) ^ „ ^— — = i Co«.— .&c.?- V. T. 175. N^ 14.
] epx_e-/'x a- ^^ 2^, ^p]
\ Lcgendre, Exerc. 5. 45
12)
13 / = I Cosec. ^~ V. T. 175. N". 10
Page 197.
F. Al". nit. fract.aclen.moii. t » m r t-o •. in.
v I- ijr-u -,o 1- lAUl^L. lob suite. Liin.Oclco.
]«j/ ■ ^ — = I [Sin. .Cosec.'—] V. T 175. N'. 13.
j e-^^ — e-^- ^P ^' ^^^~ ^'^ ^, l|^+l)7r — r/}i-P ~ { (2 « + 1 ) ^ + 7) '-/J ( jjal
/•e«x-|_e-,r '^ ,- 1 1 -,(^'"-
18)1 — x d.T = Tn—p]^(—ij''\ ^ — —-, - r
F. Al"-. rat. fract. a don. mon. t * m n j "t i • a .
tiXpon. trinome en den.
1 / ,. , , , = -/3 V. T. 171. N°. 2.
„, /■ e^ dx ,2
7e2^— l + e-2' .r 1/3
/Z>-f n-i-l\\\ , pour
, r 1 dx ''~^^"''' h\ .^ an _ *-J «a7r/
a;7, /^,_|_n-t-n^\ ,ijour
\ ;^= ^ Tan^.^, /2S + 2^(.-i:«->St«.— / V^" ^ impair:
^ J> b \ \lb ] ]\ Y. T.
l + Cos'-^i *=! rf^=^l]r-^''^-
« ^ \ i> I ' j pair;
7 e-^ + e-* + 2 Cos. I .r'-'? 1 «''
tb + rj-^n\ lp+_n\
^ \ 2b j [ 2b jl V. T. 174.
4-1^ ^j b-\-q—n \lp+n
N'. 7, 8.
^ I * J^+P—\lq+»\ pair;
Page I'JS.
F.Alg ral.fracl.adon.mon.
Expoii. Irinumo en don.
TABLE 157 suite.
Lini. Oet oo.
./
rb-\
rH'-^^Wrt^U^
I ^VJ±..
)r
2b
2b j \ il'Dura -\- h
V 1 =Cosec.— :^ (—l)"-hSm. , , — .
e^+e-^ + 2Cos.- r ^, r T Ipj ^ ^ ' '
V. T. 171.
10)
b-n+l\\^- fn + 2\ [n\ [ ^"- '•»' ^"
b 1
a TT
r T
'' f.
rl! i~
^ ^ I \^ j \ , iwur a -\-b
'— »\p/ ^— »+2 \ I pair;
an I, [ax
11)1 e-'Tang.-^— 1_ } --=ran^.— /26 + 2 JS (—ly-^Stn.-y-l \ ^/ ^ / j ;J'.°"/ ** + '
(
26 ^ an\ X
e'+e-^+ZCos. — l
26
4-1
1
6 ;/
ib+p + n\\
p+7i\ I pair;
h-i
12)
26
b-\-p — n
V. T. 17 L
■ N'. 11. \-:.
-.Tang.~lb-\-2:2: (—l]"-^Sin!^lS. ^
'■ib I b i p~n \ 'impair
, pour a -\- b
f\ 1 (1— e— ')(!— (7i-) — xe-^ , ,"|e--r 1 /1\ 1 v t i^^
F. \l|f. ral . Ir.ict.a den. bin.
Kx|i. Itinonie en den.
TARLE 158.
Lim. Oct 00.
'jeT^ .|- e-Tjr ^^^-~;T "" 4.7 r \2 "*" 4) ~ '^ \2 "^ ■!'))
r 1 dx
2)
■5)
1 n
■1
LoKoulrc, Exerc. 5. 50.
CcV'^—e-r^ dx 1 ^ lo. ,r - ^ ., Legcndro, Excro. 5.
7,:^"^ ;::;^m^ = - rP^o«-P+TS£«./.2{2(l+<:o«./))),p<7r; 46. - Schlcmilcl,,
J t —e i-\-x i £ jj^.^^ jj ^ J,
5)
/
1. .g. S in, n ). ^ Sclililmilrti, Cr. 42. 125.
, A <^n ; J
il trnuvc fautivcmciit .r (i.rau lieu dc d ,r.
feP'+ e-/" X 1 1
Pngc 190.
5. 4G.
F. Alg. rat. fract. a dt'ii. bin.
Expon. binoiiio on don.
TABLE 158 suite.
Lim. ot 00 .
/■ eP-^' + e— r^ X I 1 I , valenr f;\iitive; (V.X\
'^)l~ rr^TT^ ^^ = a<-^0S.pl{2 + 2 Cos.p) -]r -p Sin.p — - Yohson Mem. Inst. 18
Je^^—e-^^l-\-x^ 2 4 ^ 10:3. No. 27.
J e^^ — e~^
6.)
11.
8)
9)
9' +-^
1 oo Coj. n X
- dx = — + JS , X^ <7r*; Sclilorailch, Cr. 42. 125.
^ 2// 1 ? + »! =
Co: dx 11 1
/ = o 4-~l a Z' (0) Legendre, Eserc. 5. 49
ye2Tx_i j2+a,.i i'^2 ' % ^^'
iA\ i ^ ^^ _ -^ A _i Poisson, P. 18. 295. N
"Mc2tx_ 1 1 +a;» "~ 2 4 N°. 29. — Legendre, E
/■ 1 X 111
Hi I ■ dx = -I0+ Z' (1 + (?) Schaar, Mom. Cour. Br
-'j f2Tjx_i 1 ^,^2 2 ^ ' 4r/ 2
12)/ ^^ -
N°. 25. — Id., Mem Inst. ISU. 163.
xerc. 5. 49.
ux. T. 22.
d X '1
— = 12 V. T. 387. N\ 3.
4- ;!•- 2
r el^x — e— px dx 1 ^. 1^ ,^+Sin.p' i
13) / r = - ,T Sm. p — - Cos. p I i « <:' _ u ■
' J e^^x _ e-i^x I ^ x^ 2 ^ 2 -^ I —&«.;;/' ^ *^ 2
14) f-
c/x 1
— — = ~n
-{-x^ 2
I Schlorailch, Beitr. II. 9.
\ Stud. II. 19.
-Id.,
15)/ dx = — 1 -\- -TvCos.p •}■ -Sm.pl— — -;:r. — i 1
' I ei^x — e— i""! 1 ' •■
2
l—Sin.pf , ^'r>/>^0;
Sclil6milch,Beitr. II.7.
V^2 + l\ Schlbmilch, Beitr. II. 9. — Id., btud.
f 1 X ^ 1 1
16)/ dx = -rr— -
f 1 t;.r _ 1 /
^''^/elTx^.e-i'Txi^a;^ "" 2 i/ 2 \ ~~' L^- 2 — l/ ^I- ^^
IS)/- da; = -7rl/2— 1 + I ; r
,„, /• 1 a; 1 ] 1 rfZ'(7) Cisa de Gre'sy, Mdm. Turin.
l'^)je^^^3T(./M^^ ^ ^ ~^~4,ry^ +4./ rfr/ 1811. 209. II. 62.
Schlomilch, Beitr. II. 7.
20)
1 .^B^n-i-i Cisa de Gresv, 'S16m. Turin. ISII. 209. II. GL —
4.f.4 "^ f,2}i Plana, M^m. Turin. 1820
21)/— ■ -—dx = — T.S' (—1)'' -q--"]
'je^^^—lfl'-—x' 4ryi n + l' (
22) / -;; dx = ^ (— 1)« -^— '
Plana, Mem. Turin. 1820.
Pasce 2U0.
F. Al-^ebr. irrat. eiit. rr*Drr.^ i-n ¥■ n ».
P " fADLL lo9. Lim. U ct 3c
hxpoii.
\) le—^dxU" X = - i/ir Euler, Calc. Int. i. S. 5. 211. — Plana, Cr. 17. 1.
f
'Z) je~i''^d.VU^ X = - - 1/ - Dienger, Cr. 40. 119.
1 TT
- 1/ -
2jo />
.3) /c-'djri>A''' = — ^— ^ ^— ^ ^ — ^-^' Oettinger, Cr. 35. 13.
7 b + q.b-\-Zq.b+3q....
4) /(j-''-fa;''-»(i« = l^- SchlOmilch, Stud. I. 12.
G)je~"^'-'"^^Uxi^a: = - fl + ^) «'"-"' ^ -^ Cauchy, P. 2S. 147. P. I. j 4.
f ^'^^' 1-1-0
7) / e~ 2jx dx]^ X = — — - 1/ 2 o TT Legendre, Exerc. 3. 51.
S)f,r('-4.e-ld^ = f£)V-.-2l-A>.J- ^'^~"^"''' If'-fJ'lC.-. 33. 263. - Id..
7 \p} p oZ"'-{2)^pq)" Stud. I. 1/.
f a l'/2
9)/c-i a;'.i-i-i)a-liT = -^i/;t Kramp, Ecfr. 3. G7.
r J+A 2i+i 1/ 2 o TT o= (6 — « 4- J )2»;i
10) it' 2?x a; 2 tia; = ^— T— — ^ ^ ^i— ^ f— 7)" Legendre, Exerc. 3. 52.
7 l^e 2''1"/'
fdxi^^x 1 CO 1
11)1 - = -l/TT^f— 1)« V. T. 187. N°. 18.
'Je^-\-e-'^ 2 i/^(2n-f-l)3
f c^ — e-* 1 «> 1
12)1 dxl^x = -l/7r^(— 1)" V, T. 140. N\ 19.
;(«' + «-')' 2 l.-(2n-|-l)
/• , , ^ "Sin.
13)// dx}^x = — ^^- V(_i)«-i ^ V. T. 140. N\ 30.
F.AIfTobr.irral.nacl. ^ , ,, , ^^^ . Lim. el .o
l"...\|ion.
/"(T— ' Euler. Calc. Int. 4. .S. 5. 211. — Cnucliv. Coiirs. Lei;. 33. — Bidone,
1)/ — dx .-=1/71 Mi<m. Turin. 1812. 231. Art. 1, 20. — Binet, P. 27. 123. — Plana, Or.
•' ' -^ 17. 1. — Gruncrt, Gr. 2. 206.
Page 201. 26
WIS- EN .>ATUUI1K. VEflll. OKR KO.M.MiL. .VK.M)Ellli;. DEF.L IV.
F. Algohr. irrat. fract.
Expon.
TABLE 140 suite.
Lim. ct 00
f e-^" , _ -^ Bidoue, Mum. Turin. 1812. 231. Tableau. — Cisa de Gi6%y, Mem. Turin.
J l^x "-^ — ^ q 1821. 209. II. 34. — Dienger, Cr. 46. 119.
2)
eMvV _ Schlomilch, Stud. I. 18.
[ eP"
3)1 dx =
f x'^ 1"!- TV
4.) / 0-9^: dx = 1/ - Kaabe, Int. 16c
J l^x i^q)" q
-\ I -^^ ^^ V^2qn Legendre. Exerc. 3. 50. — Bidone, Mdm. Turin. 1812. 231. Art. 2.
o) I e ^i'^
^_j. ~ ^g 34. — Cisa de Gresy, Mem. Turin. 1821. 209. II. 38.
6)
U)
-^ = -e-2?' U' Tt Cauchy, P. 28. 147. P. I. 4.
l^ X q
f -l+i: dx 2q n
7) / e igx = -~ 1/ —
7 x\^ X ]ye 2(,
8)J,
0)/^
Legendre, Esere 3. 53.
.i±r d X
a;^ l^x 1^ e
\y ^qn
-- e— 2t/pgv/- Caucliy, Sav. Etr. 1827. 124. Note. 10.
1/ X p
3g ■ 4g . ■
Oetlinger, Cr. 35. 13.
. _1±^ dx
U)le 2gx -^^
X 2
b + q.b-{-2q..
— 2 — r- o« Legendre, Exerc. 3. 52.
10) /e-'- i^'a:'' — = -^
/
^9^/■-(''^+x) ^•^' /P\?. . oiA-,-, .^ jg- (c-«)2"/' Schlomilch. Cr. 33. 268. - Id.,
^~)j^ ^ ^ olcTi = [qj ' '^''^p^2«/2(2^^5)« Stud. L 17.
/ e-^dx = a— — - — ;
} i^x I i^{i + q))
f 1 _ 1 I
13)
/e-P-r — e— ?* f 1
e— ■^ i X
\y X
V/TT V. T. 178. N'. 2.
l/n- V. T. 178. N°. 3.
'='/
'e.r/)l/ j^ e— /4 'i
X^ X
e-'^dx = 2etp^l/7T V. T. 37. N'. 14.
16)
/ ^^
d.c = !^ — \l " — P " 1 '7^P^0i Liudmann, Stock. Handl. 1850. IV.
a — 1
a— I a—\
Page 202.
pf lAbLL 140 suite. Lim. et oc.
Cauchy, Sav.
Etr. 1S27.
^ ,....^l^[l^{p^+X^)-w } +Cos . pl^{l^{p^+x') + x] ,^^ ^ \ 599.P.I.§G.
f Sin.p]
l/(p'+.r2)
[9)1 = l^7r^-^ ^
7 e- + -
e-^ 1/^ l-^(2n+ l) / ^lalmsten, Cr. 38. 1.
' J e^- -\- e—^^ + I \^ X Sin. In i V^n J
fCos.X—e-'^ — e-«^Cos.{(a + l)A} +e— (n+i)^Cos.a^ da; _ ^ Cos.nl y. T. 178
7 e^ + e— "^ — 2 Cos. A l/rc ~ '^"l l^n N°. 6.
fSin.X — e-<'^Sin.{(a + \)X]-\-e-i''+^)'^Sin.aX dx "Sin.nX
22) /— ^-^_ILLJ_Ln__^ = l/TT^ V. T. 178. N^ 7.
7 fiX _j_ e— X — 'ZCos.X \^ X 1 i/M
F Algobr. rat. ent. TABLE 141. Lim. et oo
Lxpon. sous lorme u'rat.
1)
\e-^xdx\^{\ — e-^-^) = -7rU+ ia] V. T. 1G2. N". 1.
2)/"e-2^a;c/j;l/(l— e-2^) = - ( - — l%\ V. T. 162. N'. 2.
r 2a— 1 l«/2 ;i.
3)/e-'.rd..(l-e-2-r2- = ^^^^^^{A + Z'(a + l) + 2/2) V. T. 1G2. i\'. 3.
4) / ~ dx = %nl% V. T. 181. N'. 1.
5) / — dx = -n [aiy A nA V. T. 161. N^ 1.
6) / ^ dx = -Tx IZ V. T. 103. N\ 2.
7)1 '^ jj.^l_;2 V, T. 163. N°. 3.
7l/(e2x_i)
t y; g 2l J
8)/ -„ -dx = -71(2/2— 1) V. T. 163. N". 4.
Page 203. 26"
F \lg6bi.rat.cnt. ^, ^,j, ,, ,,^, g^,;^^, Lim.Oot^.
hxpoii. sou s lorme irrat.
9)/ - " d.i; = -(5 — 6Z2) V. T. 163. N". 5.
; 1/ (e2x _ 1) 9 ^ ^
10)/ ^j. ^ _^ /2_-_ V. T. 163. N°. 6.
^yi/(e2x_i) 16 \ 12^
/■ a:e-5^ 8 /47 \
11)/ da> = —\——n\ V. T. 163. N=. 7.
J l^ {e-''— 1) 15 \60 /
12)/ '— dx = -nl% V. T. 163. N'. 12
" .e-2r) 8
13)1 ^^^—^ d«=-(l— Z2) V. T. 163. N°. 13.
,e-Zx 1
diC = —
2x — e-2x) 4-
1) =
dx = 7il2 V. T. 141. N^ 4.
f e'^^a
C e-^ x^ Stt f 1 1
15)/- dx = — UnY + — TT^} V. T. 141. N'. 5.
r e—^x n^ 5 71^3
16) / dx = — 4- — V. T. 163. N°. 8.
^) 54 181/3
57ri3
>■) "" 51 ' 181/3
17) / ^^^^^^ (2.); = - — + ""'" V. T. 163. N\ 'J.
IS)/ da; = ^ U3+ )
V. T. 163. N». 10.
19) / T^ r. dx = ^^— I Z 3 — — ^— ) V. T. 103. N^ 11.
n I n
IZ— —
l)^ 3i/3\ 3i/3
20) /"T— ; r-r- dx = 1^1 ^ ^—nz 7-77— V. T. 164. N». 2.
lV(l — e-*«)6-<: i"/* (a+6n)''+l
a; fix 2 71-
+ p^ — l |/((;x_i) "" "" ~^
« fiX '^ , P
'*e^+($'— p') l^(e^— 1) ^ " pq p-\-ri
, (i A- = — — Arclang. —
■{p^ + q')i^ie''~i} pq p
21) [ _^_ ;, — ^rrrii — r^*^^ == ^^^(i +p) v. t. isi. n°. 3.
22) /— ri ^^ dx = ~l ~-^^— V. T. 181. N'. 10.
23)/^; ^ dx = —Arclang.- V. T. 181. N°. 11.
f(ai/(e-x — 1)— 6i}-/>+{ai/(e-' — l) + 6i}-'' 4 tt , ,, _ -.t^to.
/ -'^ —^ ^—^ ' xe-'-'dx^^ fa-i>—{a+b)-p} ^.T.184.
24)
(e-x_i) 2
Page 204.
F. Algebr. rat. ent.
Kxpon. inonome.
TABLE 142.
Lim. — 00 et gc.
1) e'-
6)
ix)i>--^ dx =^ 2Sin.pTTT(p)
— i .c)/'— ' dx =
r -j- i Jc)l~^ dx =
n er
I' n
1 n
7) le-P'^'x^dx — — i/ -
" 2,p p
Ohm, Ausw. 20.
r{i-q)
r — i.r)7— • dx = a
i x)P-^ ( — i «)1— • d .c = 2 5m. pTir{p-\-q — 1 )
I e~^ x'^ dx = —
; 2
f , l''/^
8) / ff-^' .c2a £f ^ = i/tt Fourier, Glial. 3?0. — Poissoii, Cba!. 75.
J 2"
9) /e-'*a;2'«+l dj; = Poisson. Glial. 75.
lO)je-''''+-l"'xdx = peP'x^n
11)1 e-J:-+2/'Jra;5 d .,; = ^ ^ C/-" j/ 7r
o2V, Diengcr, Gr. 4C. 119.
i/ it a" - -
12) / e— P*^+2?ii8«+i (2 .r = ;;^;^^ — — - — .q e''
,0<p<l,l>5>...,»->0;
Gayley, L. 12. 231.
[.3)/e-P
1.3) /e-pi'+2?*a;da; ==-(/- e''
P P
2<»;) 1/ p d go
9"
J ' VpI p 1"/' WJ
->/-— ^' = <-"""+Hir' ">^i°-^ e-^'' ^ "*■"""
1
,c,/,-.....,,w. = ,_,,,:_ o(^)'.">/,^ I ^(^.)" 1
Page 205.
F. Al^ebr. rat. ent. Tim n j /o •. i
P°„ „ « „ TARLE 142 suite. Lim. — oo et oc.
Lxpon. moiiome.
^7) j e-^'' X e-^ d X = — A V. T. 273. N'. 1.
IS) le-?*'' xe^ dx = (A.-\-l'j) V. T. 273. N\ 2.
ld)le-<^^\ve^dx = (\-(-M,),/;r V. T. 273. N'. 3.
20)/e-9«^^a;e*da; = (k -^ I 4> n) y/ - V. T. 273. N\ 4.
J 4, q
F. Algebr. rat. ent. x. Tinn? a x" i • ■
17 " ,- . ,, lAlJLL 14o. Lim. — occtoo.
tjxpon. binome en den.
/eP* a- TT (7/'— 1
dx = -r {lq — nCot.pn),'p<^\\ V. T. 180. N". 1.
dx = {nCosecpnY , <;; < 1; V. T. 183. N°. 1.
e 1
c X dv
3)1 ^ = (nCosec.pny V. T. 183. N\ 2.
4) / e-(a-i> a; da; = — Tan^. — , a > 2 ; V. T. ISO. N'. 14.
5)/ e-(«-2)xa;cfa; = — Tang. — ,a>2; V. T. 180. N°. 15.
fa+1
/•i-e2- /.r\2 '"'"•:
6)
/ --e°='xdx = — '• i- — , ^ , V. T. 180. N^ 1(
2b I 26 J
7)1 dx = V. T. 180. N". 2.
7 gx -j- e-'
f X ^ ,1
8)1 dx = ^l- V. T. 180. W
Jqe-=' + e' 2g q
9)1 f ^j, ^ -^^—ll V. T. 180. N". 10.
7;;2 e-*_|. "2 .r o
f X 1
10) / (Za; = - u^ V. T. 180. N^ 11.
y ex — e-x 4
Page 206.
F. AInrebr. nit. ent. a;. t'idi i? 4 /-- i t-
r° ■• . ,. lAIJLbi 14o suite. Lini. — ooetoc.
hxpon. biiiome enden.
11)/-^ '^dj; = i-7iCosec. i—^—-x>\ ,?^*<1; V. T. 180. N\ 12.
_2x
fl—eb n 7r\ 2
12)/-^ —^dx^ — {-nTang.-\ ,6>2; V. T, 185. N". 7.
ri — ,
1
ri —eb /I ^ A-
3)1 j.dx = — [-TiTang.-] ,i>2; V. T. 185. N\ 8.
/ ei — e— ^ \2 b]
f l — eP' (1 1 \ -
< 1; V. T. 183. N'. 4.
/■ -.^^ „ 1 Sin. I TT \ .
lo) '-l^e(S-'h.d.= iu^ LJ L
iin.-* — . OlH.^ j 7T>
in ' -rr V Sin.—
V. T. 185. N^ 9.
F.AIgebr. rat. cut. x.
Expon. |i()Iynumc cii den.
TABLE 144. Lim. — » et 00
1)1 , ."^t' ^, dx = flq — A — '/j'ip)} V. T. 183. N\ 4.
[ xe' 1
2)/ dx = -In V. T. 182. N°. I.
;('; + «')' 7
/"ire* 2 f ''-a l 2?,-3 n
Ji'l + e'jb+i 2b— 1 i" 1 « (,_!«/
^' // I . ;a o,x <^^ = .—. — ,, , ]2^ — — A — Z'(»— ■)} V. T. 182. N°. G.
fl 1 \2<i+l
5) 1 1 _^ xdx = V. T. 183. N^ 7.
_, f ^ , P/^ nlq
6 /-T— — — — — -<i.c = — ^- V. T, 183. N°. 8.
'^li,^e-^ + ey^'^ = ^.l^ V. T. 183. N=. 9.
8) L.^^^ dx = f M^^i: V. T. 183. N^ 10.
Pago 207.
10.
F. Algebr. rat. cut. x. ^p^uLE 444 suite. Lim. — oc cl <x.
Lxpon. polynomco n den.
9^ [ IfZ! dx = -—]—ta + ^ ~] V. T. 180. N\ 7.
7 (a + 0''+^ ^^'' ^ > "i
1„) (^ ^^- = -Ml_ V. T. 1S3. N^ 12.
'Je^ + qe-^ + i 2(5 + 1)
11) / = — TA^J^ V. T. IS3. N'. 14.
'jqe-^+le^—l 2('7 + l)
feiP—^y X n qP I (1 Sin. p n — (1 — qP) tt Cos. p tt
i2)lT-r--n:T'^-^" = — ^ — ^^1 — — '^'' < '; ^■- '^'- ^^''- ^'- ^'-
/c'+^e^+l 2 — 1 bin.^pn
l;3) I d.?; = ■ — , ^^-^ <^ ] ; V . 1. 183. A '. lo
Jge~''-\-le^ — 1 1+9 Sm.'^pn
F. Alofebr. rat. cnt. a;". TiAmi? m f- t •„ .
tixpon. polynonic en den.
1)/ ( - y d.v = -JT- V. T. 182. N». 3.
7\e|x_e-txj 3
2) I -^-^^ x^ dx = V. T. 1-13. N\ 7.
f 6"+ e— ^
3)/; ' -x'^dx = V. T. 143. N'. 10.
7(e--e— )^
r p- e^ — (7^ e— ^ n p
*) / /o ,, \ ,,, :r^ c^ :r = — / ^ V. T. 143. N". 9.
fp + (1 — p)e — ^
'')/^r^ . — e-P'^x^dx = 2 n^ Cosec,^ p 7T V. T. 143. N'. 3.
J (1 — ^^J^
6)/ri; — ^-, — rr-'» cio; = — - — v. t. i44. n^ 6.
J (? e-^ + « )-" 2«-i 2 52«-i 2 a + 1
7 iq^ e- + e-^j/'+i ^P r (p + 1)
, /■ .r- ^.T Tt^ + (Zo)2
Page 208.
F. Al^obr. rat. ent. a;". rrtnii? k h" ,, i-
,, " , , , 1A13LL 14o suite. Lim. — ooeloo.
Lvpon. polynomoenden.
N'. 8.
10)1 —dx = ^ *' In V. T. 184.
11^ /"•''n'? — ^f!!__ ^^ _ -^*_ (gP + l)?g — g^(/-l)Co<.p7r V. T. 184.
12) / = ^ i-^^-i-J-- V, T. 184. N". 2.
7e< — 1 1 +f/e-^ 2 4(1 + 5)
i n-' dx (jri J-(Z«)2j2 7;r» +3(/5)- ,
13)/ = ^^ T^'ii I ^ "^ ^' Lq V. T. 184. N". 3.
14)/ — = i__L^ XA_l_-i XA^I_L_ V. T. 184. N^ 4.
7e^— 114-<7C-^ 720 l-j-9
17)/ -da; = V. T. 180. N'. 3.
18)
19)
20)
/ dx = 2.12«/i^(— 1)" V. T. 180. N\ 4,
/ .r-, — ir<^'^ = ^ — r — {4 7i)2«+i^(— ly-iB" ^^^ — — ) v. t. is5. n". 12.
[ e'l^x" 1 cZ" 1
1/ dx = - 71 (— 1)" -—. Sec- q 7c V. T. 180. N\ G.
23) f '-
'J e''-\-2Cos.}.-\-e-'
7J.2 12
dx = XCoscc.X V. T. 184. N^ 9.
dx = ZX — .— V. T. 184. N\ 10.
21.)f — „„
JC+2 Cos. k + 1-' 5 Sin. X
~^)/ r^— TT ^^ = 1 2(2Tr)2°+'B"(-\ V. T. IS J. N". 11.
Paf;e 200. 27
WIS- EM KATI IRK. Vl-.nil. DEn KdMMKI . AKAUKMIK. Dm. IV.
F. Algebr. rat. ent. a;". Ttnr i? j /.- -. i-
17 " , . ,. lAlJLh 14o suite. Lim. — oo ot oo
Lxpon. polynome en den.
)/ da: = ^ 2 (2 7r)2«+i B" - V. T. 1S4. N°. 12.
26)
c^ + e— ■^ — 2Cos.2pn ^ -/ v~v Sin.2pn
f x-" B" (v)
27)/ ^ _^ „^_ ^ _ <Ja; = (—])«+' (2 7r)''+i ^. J__ , < ;j < 1 ; Kaabe, Cr. 42. 348.
F.AIjTt'br.rat.fract.lrk- • r . , T'lni r i >!P i-
I Den. a fact. .r'. 1 AHLh 1 4i». Lim. — ao el oo
Expon.
e "^ ^^'^ ^;j;- = -e-Pl^n Meyer, Int. Dcf. 152.
x^ p
^ '' dx _., n
2)fe '" ^* ^ = c-21/wi/-
7 •» ?
e '^ ^ — -= - p e-21/;'? 1/ - .2 -^^ -^ ]
x^" \qj p !«/• \4p9J
7 a;2« \7/ ^ ' 2p Q l"/i \4p5ij y
Caucby, P. 19. 151.
/■ e— ;««' dx n e—l'i e^'''^'
j^ + x^ X'' ?'•+•
I 6 — pxi d X TV I
'') / -^T-; r -r = i— 1)" "TTT ^'P' ? lleycr, Int. Def. 274.
= (— l)a-l — e-P9
?^ + X^ a;2a-l ^ ^ q2a
9/ = (— l9-'7reP \
7 1+«M« *')'"' f
,.> /" e-P^' dx 1^/1 \ (
10) / r = n Cos. i-g 7t —p\\
'J 1 — x^ (x_i)i-<l 2 \2^ ^
, < 9 < 1; Meyer, Int. Def. 156,
11)/ = nl Tatiq.-pn.Cot.-nn] V. T. 180. N". 7.
7 e^+ e-^ X \ "^ 4' ^-^ /
12) / = n I [Sin.- pn . Cosec.-qn] V. T. 180. N\ 13.
7 e^ — e-x a; I 2 2 /
Pacre 210.
F. Al-ebr. rat. fracl.| ^^^^ , ^^^^ ^., jxULE 1 4G suite. Lim. — oo et oo.
Lxpon. J
13) / = I Cot. '— V. T. 183. N". 17.
71 + e-29^ X iff
14)1 = I [Tatig.^—.CoV—] V. T. 183. N'. 18.
7 1 4-e-'-^ X \ ^ 2r 2rj
F. Al"*'!!!-. rat. fract.ln- r '• a ^inr r 1 at r-
,. ^ [Di'ii. .saiLs lad. .r". lABLL '147. Lim. — ooetoo.
Lxpon. j
f &"'
1)1 dx — Zne-1 Poisson, P. 19. 40-i. N^ (>S. — Liouvillc, Cr. 13. 219.
2)/ — '^^^,e''dx = ■3nql>e-i
J q -\- XI
Cayley, L. 12. 231.
q -\- xi
3)/ ^ e-^' dx ^
4)1 da; = Olim, Ausw. 23.
'^Tte-n Poisson, P. 19. 404. N°. 73. — Laplace, Prob. 33. — Liouvillc, Cr.
,> /"__f!L_ J- _ ^^'^ "^ Poisson, P. 19. 404. N°. 73. — Laplace, Prob. 33.
'hqJ^ xi)P Y(p) 13, 219. — Lobatschewsky, Mdra. Kasan. 1835. 211
f eP" 2 7r
6)1 ;- dx = p''-'^ e-P'l CaucUy, Lim. Imag. 101. — Id., Eserc.
l{q^-xxY Y{rY
/epxi
dx = Q Cauchy, Lira. Imag. 103. — Id., Exerc. 1827. p. 141
(q — xiY
f eP" \
8) / dx = n e—P J
71 + ^' (
9)j^-V^ (— .ri)-?-' dx = 7rc-/',g <l;j
f e-P" n
10)1 dx = -e—Pl Lojeune-Dirichlet, Cr. 4. 94. — Seblomilcli, Stud. II. 17
J7'+a;* q
[ eP" IT
ll)/-r— dx — -e-P1 Minding, Tuf. G.
y 7 +•«'•* q
l;-) / ,- .. d.r = - (KP-O? , pour
J q' +x' q
Cauchy, Cours. Le?. 39.
Oiim, Ausw. 23.
71
13) = _ <fs-l>)9 , pour /' < r < 00 ;
Page 211. 27*
F. Aljfobr. rat. fract.]rv, r . ., ti mi n i at •. i- , ^
K' " Uen. sans fact. a". TABLE 147 suite. Liin. — x> et oo.
Lxpon. J
f dx
14)/( — xijPe" = 7T qP~^e-9 Cayley, L. 12. 231.
J ?' + x^
f d X
Vo) \ [x i)P+'^ e—"" — = nqVe-^l Cauchy, P. 19. 511.
16)
i
q^+x^
e—P^i dx n e—P9
{s-\-xir q^ + X^ q{q+sy
fLcjeune-Diiichlet, Cr. 4.
f e—P'i dx ne-PI 1 /'J*. — Sclilomilch, Slud.
17) I , ^ Uj 27.
'j{a-\-xiy{b-\-xiY.... 5^+ a;* q (a + j)-" (6 + 9)^ . . .*
, ou a, b, . . . peuvent Stre aussi des fractions ;
-■ ox i *"''" ^* '^ ^^^
, oh a, b . . . peuvent etre aussi des fractions ;
/dx fr -1- 2 1
(xjy+i e-P^'— = nq'-Cos. {—^-—n—pq} Cauchy, P. 19. 511.
F. Algebr. irrat. mm t^ m fo 1 • »
gj." TABLE 148. Lini. — 00 et 00.
, f , 1 TT
1) 1 e—P^dx \/ X = ^7- 1/ - Ohm, Ausw. 20.
f .
^) / ^' , i^ , - •; = ^ <^~* I'' '^
(
8) / e9+" ^ ^_ ^ _ .^ = 2 1/ 71
2p p
dx
\/{q-\rxi)
dx
\/{q-\-xi)
f i+Ti+ P' <^^
4) / e*^ Mg+xi] — -— = {eVp>4-e-i^P>) \/ n
J *^(9 + ^«)
5)(e'+"+^) -^ = -^- e~Vpi^n
J \/{q + xi) 2 — i/pi
Cauchy, P. 19. 511.
^■^x'^0,^'"* TABLE 149. Lira. diversesO etp.
, , / " * „ 1 „ 7 '^ , , . 5 oi\ il faut mettre ^-=0 apres I'integration ;
1)/ , 1 . /. -xP-^e-Q^'dx = ;; — —bP-U-h ^ °
J k^^{b — xy 2r(p) Cauchy, P. 28. 147. P. I. 3.
Page 212
'r-.,",,,. ' TABLE 149 suite. Lim. divcrscsOctp.
2) I dx = — CO V. T. 45. N°. 7
Ix = — cc V. T. 45. N". 9.
/ — dx = —
3)/ d,
J ^
CO
[12
5)/ (C^- Ij'J-lare^da; = - |/2 + (— 1)" J- 1 V. T. 151. N". 11.
6)/ ; — - — dx = — 7i» V. T. IGO. N'. 1.
J~^, dx = '^n^-%{n)^ V. T. 149. N°. 6.
^)/ 7T ^^ .i:" dx = ~Z2 — 2a2)» V. T. 149. N°. 9
r oc 1
9)/ (fa- = -71^2 V. T. 160. N°. 2.
J e^ + e-^ — 2 8
10) /(I +a;)e^ci^ = (l+;j)i(l+^,) V. T. 42. N°. 4.
i-p
(p^ — 1) (c^ + c-') -2(7^^ + 1) p
/* ■ " X 1
11) / ;;;;^ ^ ^ ^^ , _ ^ ^ ., , ^^ da = Arcsin.p , p' < 1 ; V. T. 186. N'. 2.
. '"'' e^—\ arc« ti V. T.
12)1 ; . — ; -dx= — Arcsin.p,p<l\\ 160.
" (p^— I)(e2«+l)+2(p2+l)e'l/{(p*-l)(c2x+i)+2(p24-i)exj 2^ ^^^ ,^„^7_
' '' I— e* xtr^dx
13)"
{j>^-q^) (1 + e2-) + 2 (/^» +'/')t-' 1/ {(/'^ -1) («=^ + 1) + !i(/'' + l)-;'} V. T.
166.
^ ,F <? + (1-1^(1-?')) ( 1 - V{\-p')} N". 1 7.
Z^^-
^pqi^{\ — q-^) p^_{l_,/(l_,^)] {l_i.(l_;,>))
Page 213.
'U° ' TAHLK 140 suilo. Liin. divcrscsO ct w.
Lxpon. ^
/ 2lCot.il 1 - ,
? 'I— ax = i^l^^" ^'- T- 106.
1/ {2 (1 4- Coj.^ ^)e^— 5»«.- ;i (1 + c'-'-'j} 1 — e^ 4 Cos. ;i ^"- 7-
(Lt = — cc Arndt, Gr. 10. 247.
r dx r
16)1 (e— ^J^ — e— *^^) — = ^ -, pour /t = :c ; Schlomilch, Gr. 11. 63.
^- ^'^^'•^'■- TABLE 150. Lim.diversesHet ±00
Lxpon. *
1) / e ? ^= *",, ^ LeMndre, Exerc. 3. 50.
J l/(^— -"^ '^""
I
1) l^e
2)/ —da; =— oc V. T. 45. N^ 8
3)
/"
X
Pe-^ 1
I dx = ^«^ — ^^■{p)i °^'- * *^^'' indetermiiid ; Arndt, Gr. 10. 247.
J X 2
'""fi— a: ^ , _. a"
4 J ° ^_ d ,. ^ _ A — ? a — ^ (— 1)" -—7 Clausius, Cr. 34. 123.
7 r 1 «1"'^
a; 1
a
Gr. 10.
233.
5) = —Ei. (—a) Beez, Gr. 19. 419.
G)r—dx = Ei.{—q)+-e-'! V. T. 150. N=. 8.
^); e9^_e-3:^ a; 2p?^7r C ' ^n ^ pr/ ^Ztt o2«+l I \ P? /J
/'
/•« 1 da; 1,2 » (— 1)" .
'J etqx — e— J?a: ^ pq tt i 2n
' I eii^ + e-«?^ X 71 o^n+l { \ pq j )
I 2 »( — 1)" 2n7r [Eaabe,
"^ *rctang. ) int.
PI i 419.
Pagfi 214.
' ,;^° ' TABLE 150 suite. Lim. diverses « et ± co.
LiXpon, ^
11)/ dx =^ 2^1(1 + (i) V. T. ISl. N-. 3.
12)/ dx = 00 Arndt, Gr. 10. 247.
J x — q
1
13)1 ~dx = liip) — -^ V. T. 150. N'. 14.
Ip
e—^ . ... 1
pip
dx = — li{2)) V. T. 45. N°. 5.
—Ip
Alcra. Inst. 1809. 416.
147.
/"* «— "'^ 1
151 / d.v = r e^" C'o'-*^ \yln Vieille, Exerc. p. 165,
] l^iCos.^ 1 + 2 xSin^ I) 2 a Sin. I
F. Algcbr. ral. cnt. ^^^LE 151. Lim.OeH.
Logar. on num.
l^lx^-^^xdx = Arndt, Gr. C. 1S7.
o\ /" „-i { I'^Y 1 — ^"''' Euler, Calc. Int. 4. S. 3 § 7. — Legcndre, Al
7 V^j "~ p«+l N°. 41. — Id., Excrc. 2. 40. — Id., Exerc. 4.
6)jxf \,lx) ax — {— I) ^^ _^p^a+i 13. — Oettinger, Cr. 35. 13.
f I i\''-^ r(»)
4) /x7+'-'-i [ 1-] dx = -^'^ ■ V. T. 113. N°. 17.
7 V W (q + ri)P
5) /.r/— 1 rfj; 1/ I i-j = — I/- V. T. 130. N', 2.
y \ .r/ 2p p
G) f(l -..)7-. x/'-. i .r dx = '4>)j:Z^/i±i) r ( ) r (,/) Knabe, Int 228. - Ecaux, Funct.
J Y (p 4- «) Iransc. p. 3f>.
„,> r(p)r((?) 7 1 Fcaus, I'unct.
6) = "^' .^^' ^ pourocnticr; n. „J „ oc
' r(p + 7) o« + p— 1^ Iransc. p. 36.
7) /(I — ar//'aV'-i (/.r/c^.r = (— l)''+4 1*/! A"
7 7P''"
qp''+^
Oettinger, Cr. 36. 1C2.
8) = (- i)ni/> J- ''""^ ^~^^"
W {p + nq)''+\
Page 215.
F Algcbr. rat. ont. ^^^j,, ,., ^^^.^^ Lim.OeH.
Logar. (Ml num.
9) / (.r — 1)<: a-i-i ( Z-| dx = r(7)A^6-^ Legendre, Exerc. 4. 147.
m[\(l-Y~^ — xP-Ui—x)1-^] dx = ^ ^^ '^J^ 7 ^ ^^'^ r(l + ,y) V. T. 113. N^ 9.
\l)\l{\4-x)x<'-^dx = - fi3+(— 1)« J- ~ 1 V. T. 3. N\ 2.
/■ 3
12) 1/(1 — a;) a; cZ.c = Euler, N. C. Petr. 14. 129.
U)jl{l + x-')xP-idx = -- fsZZ+Z' [^-i^\— Z'[^^'jj V. T. y. N'. 13.
]i)j{pxV-^ — qx<!-^)l{l — x'')dx = Z'[-ry + l] — Z'(-;;4-l] V. T. 3. N\ 14,
lo)jl{q-\-lx)xP-'^dx = - {e-;'9 £t. (p 2) + Zj} V. T. 169. N^ 1.
J p
\G) j I {q — Lt) .vP-'^ d X = - [ePg Ei.{—pq)-\-lq] V. T. 1G9. N'. 2.
F.Alg.rat.fract..Den.m6n.oubin. rrtnic j -o i- n t a
Logar. en num. fa;.
1)/?^ = — — Euler, Mem. Petersb. 1814,
dx
ov r ^5 Euler. Calc, Int. 4. S. 5. § 78. —
''/ — 12 PlMii, iMcra. Turin. 1818. 7. IV. 21.
f X 1 V. T. 42, N^ 1, et T. 152. N'. 3. — i
*)/^'T"i — '^^ = — -^ +717^' Kausler, Mem. Petersb. T. 3. p. 4U. trouve faut. — n'>
J ! + •'• 12 ' ' 12
C x"- 3 1 V. T. 42. N". 1, ctT. 152. N».4. — i
5) /ia;-— — c/x = - — TT T* Kausler, Me'm. Petersb. T. 3. p. 114. trouve faut. — — tt* .
y 1 +/!; 4 12 ^ 12
Q)\lx — — = — J- — Euler, C.ilc. Int. 4. S. 5. § 47. — Id., N. C. Petr. 19. 6C.
J \—x 1 n^
~v _ 1 J Euler, Calc. Int. 4. S. 3. § 78. — Plana, Me'm. Turin. 181 8. 7. IV. 21.
> ~ &'" Pchaeffer, Cr. 30. 277.
Pasre 216.
2)\lx — ~ = — - ^ ~- Euler, Calc. Int. 4. S. 5. § 47. — Id., N. C. Petr. 19. 66.
Kausler, Mem. Petersb. T. 3. —
F.A ff. rat. fract..Den.nion.oubin. Tnr.TT7 .(-o •, ?• n .j
w " , lAliLh i5i suite. Lim.Oetl.
Lojfar. en num. I x.
f X 1
llx dx = I 71^ V. T. 42. N\ 1 et T. 152. N\ 7-
f I +x « 1
//« -T- (ix = 1 — 2:S^ -- Euler, N. C. P. 14. 129.
} I — X \ n-
f .r/'— ' « 1
10) llx dx = — :S Billet, p. 27. 123.
9)
11) //;r ~ = —:§(— 1)" Bidone, Mem. Turin. 1S12. 231. Art. 13. N\ 37.
J I +X- /.1- 1 ^^1
^"^f'^rf^
{2n+iy
1
rfj- = — 7a '^^ ■^'^"'"' *-'''''°- -f"'- *• ^- ^- ^^- ~~ ^fl-' N- C- P- 19- CO.
f dx 1 Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 78. — Id.,N. C.P. 19. 30. — Poisson, Mem. Inst.
13)/i« - = 7t> / 1 \
y 1—x^ 8 isil. 163. N". 27.1 fautiv. ; tt — Plana, Me'm. Turin. 1S18. 7. IV. 21.
2 Euler. Calc. Int. 4. S. 3. 78. — Plana, Mem. Turin. 1818. 7-
IV. 21.
f, X 1
1-1) llx dx = — — n
'J 1 — a» 24
r 2^ J, 2
15) llx dx = — — tt' Euler, Calc. Int. 4. S. 3. SO. — Id., N. C. P. 19. 3(t.
'J l-\-x^ 27
f X 1
16) //a; dx = — — TT^ V. T. 152. N°. 12, 14.
'J 1 — x* 32
r x^ 1
17) //x dx = — — n'- V. T. 152. N'. 12, 14.
'J [—X* 96
IS) // J! dx = — — - Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 77. — Id., X. C. P. 19. 30.
/ 1 — *2a g a'j
/ \—x^P 4,\p) 2p ]
f ll\ g-— i+.r^-g-i M' Co... > — Lf.?endre. Eserc. 2. 44. - Id., Mdm. In.f
^^>j\xj l_:r* '^■^ - ^^J Co^c. ^ 1809. 4ie. N'. 45.
Page 217. 2S
WIS- EN NATUUnK. VEIlll. DER KOM.>KI.. AK.iDE.MIE. lilFI. IV.
ler, Calc. Int. 4. S. 3. SO. — Id.,
.' N. C. P. 19. 30.
F.A!n-.rnt.fracl.a;uilre(I(''n. 'i- 41,11^1-- i- a ..
Logar.onmm,./^. lALLL ioo. L.m.Oetl.
/I 4- " ;k 1 '^
/, 1-2^ 1 N
llx- -dx = — -— ttM
y 1— rc-f-a;^ 18 j
S)(l:s; ^''' ^ _ A ^2 Eulcr, Calc. Int.
'/ 1 — X ^ cr'^ 27^ Legendre, M6m. 1
/x 5
^ A- :; dx = TT^ V. T. 153. N°. 2, 3
l — x+x'' lOS
ulcr, Calc. Int. 4. S. 3. 105. — Id., ib. S. 5. 50. — Id.,
C. P. 19. 30.
' 1 — X -f-x' is y
4. S. 3. 80. — Id., N. C. P. 19. 30. —
Inst. 1809. 41G. N^ 51.
4)^
+ {e'^P + e-2/') .r2 + x" "" 2 er—e-P
^)J^x . , ,„ , , , r dx = ^ : V. T. 125. N'. 5.
G) fl T Cos.l—x .„ _ 1 . ^^51^32 Euler, N. C. P. 19. GG. — Id.. Calc.
/x 1
I X —; dx = — — 3t2 Euler, Calc. Int. 4. S. 3. SO. — Id., N. 0. P. 19. 30.
1 — a;2 + x' 27
s) / ^ •■^" ;-T-;; — r-; — r <^« = — ; ^^ —^ — v. t. 125. N'. 4.
7 l + 2p.i-^+a;* 2l/[2(;p_l)) i/(p_l) + i/(p4-l)_v-2
'T'' l + ^.^^Cos.2X + x^ '-' = --,-^Coscc.l V. T. 125. N^ G.
i 1
J 1 — x'^ X
f xp-1 -\- V.
V2)\lx ^'^
7 1+^-
-■ ^, ■ , - ■x'- dx
m\ix^—-~ = — cc
-\- X^ X
Euler, N. C. P. 19. 30. — Id., Calc. Int. 4. S. 3. 81.
Xl' + ldX T^ „ Q't r. (ITT
= — - Sin.^—.Sec.^ —
'^' '^ ■*^' ^^ ^^H Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 74. - Id., N. C.
13) / 1 X —- = — Sec.^ ^— \
J 1—x'ip X i-ij"- Zp )
/dx 11
Ix =-Z- V. T. 123, N^
{l+xy 2 2
15) /Z.r ^" ,^, (ja; = U^ V. T. 335. N°. 1.
——ax = -l-
+ x^y 4, 2
''^/' " 13:;^ iT^ = - 16(2+^2) ^'^''' ^'''' ^"'- '• '• '■ ''■ - ''■' ^- ^' ^- ^'- '"•
Page 218.
, " , rAHLh loo suite. Lim.Oetl,
Lomir. on num. I x.
O
,*/", {i> + q){xP-1—x'i-P)-\-{p — q){xP+<l—x-iP^<l))d:t: n qn V. T. 5.
7 [xi'-\-x-P)- X 2p 2p ' N • IS.
lu^/"; {p + q){xP-9 — x'l-p) + {q—p){xP+9—x-ip+^dx n q^ ^ V. T. 5
19) /Z a- = V. T. 5. N\ 23.
' — x~P dx It
-\-x-p)- X "" 4p =
20) //a; ^ ^YYT^ = '■ '^'^^ V. T. 5. N'. 21.
'' ' • ■■' ' i\-^' Spr(2;.>)
)\lx
7 1 + ^'
ffl + wZ-r xlx \
21) / — ^^^^ ■ + 1 xP-^ dx = ~\ Anidt, Gr.
7 1 1— ■*• (J-— ••'■)M
10. 233.
r3
Euler, Calc. Int. 4. S. 3. S4. — Id., ib. S. 5. 49. — Id.,
3 1/2 ' N. C. 1M9. 30.
CI
Legendrc, Mem. Inst. 1S09. 416. N°. 50. — Id., Escrc.
2. '49.
F. AljT. rat. fract. a don. binome, -r . r»T n i - / f • r. . 1
I " /, >. , /, X3 TABLE li>4. Luii. Ootl.
Logar. en num. (/a;)- el \\xy.
f dx 1
7^ ' l+x'- 16
f l~x* 1 \
5) / (? ^) - — „ — dx^ -liSec.' — —Sec. ^
'j^ ' l+x^-P Hp'\ Zp 2p
f .tP— «-' — xP+9-i 7r' on q n i
C>)\(lxy dx = Sin. ^—.Sec.^ -^ \
7 l—x^P 4ip^ Zp Zp J
7) j{lxy dx =2 - Cosec. — . Cos. —
J 1—xP \p p I p
f .1-7-1 4- jr/'— 'y— ' /tt qrcy I ^ . 7 't\ t ^^ 15.
r (Z.i; 21 a, 1
9) /(/,r)' = V _ Elder, Cnlc. Int. 4. S. 5. 17. — Id., X. (' I'. V^■ GC.
.' 1 + X !■ 1 M '
IVc 219, 2S*
Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 82. —
Id., N. C. P. 19. 30.
Legendrc. Excrc. 2. 44. —
Id., Muin. Inst. 1S09. 41G.
, ° n v> ,n \i lAULh 154 suite. Lim.Oetl
/dx 7 i
(Ixy = _ — ttM
^ ' 1+x lliO I
C dx 1 (
Eulcr, Calc. Int. 4. S. 3. 96. — Id., N. C. P. 19. 30.
OD 1
12) = — 6 ^ — Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 47. — Id., N. C. P. 10. 66.
1 n^
f X 7
i:5) \{lxY dx = — 7r' Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 49. — Id., N. C. P. 19. 66.
7' l+a;2 1920
( , dx 1
14.) /(/a:)' == -- — 7r» Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 95. — Id., N. C. P. 19. 30.
7^ ' 1— .r» 16
/x 1
(IxY — dx = — n'* V. T. 154. No, 10, 12.
^ ' l—x-^ 240
[ X 1
lG)/(Lr)3 dx = — n" V. T. 154. N^ 13, 15.
J 1 — x'' 256
/a;3 \
(IxY -dx = — TT* V. T. 154. N^ 13, 15.
^ ' l—x' 3840
F. Alff. rat. fract. a den. binome. rrtnirirr I•/^.
Log■ennum.(te)^(/^)^(/.^^)^(to)^ ^^^^^ ^^^- ^'"^-Q^ti.
/" dx 5
1) /(Z:c)' = — n^ Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 94. — Id., N. C. P. 19. 30.
] \ -\- x'^ 64
C dx 31
J^ ' \-\-x 252
C dx
4,)j{lxY -~ = ^^ E"ler, Calc. Int. 4. S. 3. 95. — Id., N. C. P. 19. 30.
J 1 — X 8
[ X 1
^)\{lxY dx -^ — n" V. T. 155. N\ 2, 3.
J 1 — x"^ 504
f dx 465 00 1
'j^ ' l+x 4 1 ««
[ dx 00 1
\{lxY- = — 120^-
j 1 X I 7i'
f 1 + a; 252 i
Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 97. — Id., N. C. P. 19. 30.
G I
Euler, Calc. Int. 4, S. 5. 47. — Id., N. C. P. 19, 66
7)
Page 220.
F. Al";. rat. Iract. a (Icii. biiiome. rrim 17 .,.^ -, t- a »i
I '^ /, \, n X3 /, \6 /; \7 I AuLL 15o suite. L)m. Oetl.
Lo^.Qnmun.{lx)',[lxy,[Lxy,[lxy.
f, dx; Gl
H)l(Uy = tt' Euler, Calc. Lit. 4. S. 3. 94. — Id., N. C. P. 19. 30
7^ ' l-\-x' 256
f dx 127
9) lUxy = — 7r» Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 47.
7^ ' 14-.S 1G80
C d.t. 17
jUxy = _ — 7r8 Euler, Y. C. P. 19. 30.
10)
F. Alg. rat. fract. a den. tniiome. ,p . nr \? t-o i • a . •
I '' /, X,, , , lAULL lob. Lim.Oet I,
Log. on num. (/.rj'pourr/special.
dx 8
1) /"('•»)' . r = TTT 'T^ 1/ 3
+ .r-t-x^ 243 \ Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 105. — Id., N. C. P. 19.30.—
Legcndrc, Exerc. 2. 49. — Id., Mc'm. Inst. 1809. 416.
50.
[ dx 10 ( N'.
7^ > ^—x + x"- 213
dx _ 1 . . _7i-»— ^^
■^ % X Cos.l -\- x'^ ""2
3) /(/.r)- — , ^ ^ , — ; = ^ l Cosed- — ;7-^ Legendre, Eicrc. 4. lO'.,
r dx /I 1 1 \
1) / (/a;)^ —■ — ; = 2 ^ Cosec. I -n^ tt A + — A- \ Euler, N. C. P. 19. 66.
/"da; 1
b)\axy — ;; = - A Coscc. P. (tt* — A*) (7 t' — 3 A') Legendre, Exerc. 4. 105.
j 1 4" 2 a; Cos. A -f- a;^ 5
F.Aluf.rat.rraol.adeii.binomexi 6 r,, t ni r^ i-t i- a .i
, ° /, \„ 1 lALJLL lo7. Lim.Oet 1.
Log. en num. [ix]" pour ((general.
l)/(ia:)2a-— ^= O(fautif) Euler. Calc. Int. 4. S. 5. 47.
J 1 ±.1;
[ dx 22" — 1 "IN
2) /(/.r)2« = 12"/i ^
7 l + a; 2-" in2<»+i|
f.. . dx . . ."2 1 •
Raabe, Cr. 42. 348.
3) / (;,)2« = 12,,, I ^
7^ ' \—x , «2«+i y
4) [(Ix)^"-'^ -^ •.= iSa-l/l ( _ 1 I :| — Euler, Calc. Int.
7^ ^ 1 + a: \22a-i j n^"
22fl-l_l
5) = — n-" Boa_i Arndt, Gr. 6. 434.
2a
Page 221.
4. S. 5. 47.
F.Alg.rat.fract aden.bin6mea;± 6. ^^^^^E 157 suite. Lim. cH .
Log.cn!iuin.(/a;)"|ioiirrtg('ii(.'ral.
6)/aa;)2«-l = — 7r2''B2a-i Amdt, Gr. C. 434.
J \ l—x a
00 1
7) = — 12"-i/i JS" — Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 47.
' I rfi"
8) / n-\ = l°''i ^ — Amdt, Gr. C. 434.
^j\x] 1+0.- oCl + n)"
/•/ l\a— 1 dx .00 1
9) J I i_\ = la/1 ^ _ Eulcr, N. C. P. 14. 129. — Amdt, Gr. 6. 434.
']\o:] \ — x (! + «)"
7 \ x] 1 — qx (/ ^' ^ ' o„p-h2
fl l\i'-> X" -» (— 1)»
11) / U- d^c = l''/l 2 — -^^ f-— , Z»> 1 ; Arndt, Gr. 6. 434.
12) 11-] dx == l''/' ^ r Binet, P. 27. 123. — Arndt, Gr. 6. 434.
'J\x l—x (a + "+!''
13) jU-] •■'•'''-' {x — 1)<^ \b + 7^] dx = r {q) M 6-9 V. T. 118. N'. 18.
ex
11 l\«-i 1— a;*
l«/i ^ — Euler, N. C. Petr. 14, 129.
1 n"-
F. Al". rat.fract.aautrcden.binome. rrtr.TT^ j-^o i- n .j
Lol.on,u.m.(/.T)"pourageneral. ^''^^LE lo8. Lim.OeH.
I , dx cc ( — 1)»
l)/('"»^)'' — ; T = (— l)''l"/^-2' — ^^ Bidone, Mem. Turin. 1S12. 231. Art. 3. 37.
J 1 +a;2 1 (2n-}- 1 )«+i
OK r, xo a!*+a;-i , (— l)«+i/2 7r\2a+i t /2n— 1\ /2«— 1, \ f Kaabe,
4 » ^ ^ 2a ^ 12a/l 2
\r 1 — X^ 22a+l J
ff 1\2«- dx
02a 2
5)/lt-) , "" , = 7r2=B2a-l V. T. 120. N°. IS.
4-a
Page 222.
T ^ n \a • ■ 1 JADLL 158 suite. Lim. el .
6) /(/a;)2a-i dx == (— 1)" — Boa_i Plana, Mem. Turin. 1820.
f , dx r(») » 1
7)\ax)l>-^ = ~- :E V. T. 336. N'. 17.
'j^ > l_.^■^ (—1)/'-' of2n + l)''
8) / (/ x)P~^ dx = ;^ 2 V. T. 336. N^ 18.
7 1 — a;^ (—1)''-' o(? + l + 2'0''
9)/(Lzr;2« ^^^^^ ti.g = ^^ 1— ^(— 1)«-1B" — 5m.n67r Kaabe, Cr. 42. 343.
/■/ IX'- .rP-l 00 1
10) \V-\ -, dx = Vn JS" , — ; ; — - Oettinger. Cr. 38. 162.
'J \xj 1.— X9 ^(p + nqy+l
f a;;.— 1 — j;2c— i— 1 ( — na+l c—\ I n\ nhn
'j^ ' l+ajSc c ' ' 1 \ 4c y \ 2 c
la)/ ^_^^ (/x)2''cf:c = (- ^-^^. Tan^r. 2p7r,p<l; V. T. 121. N°. 15.
J Liy-'^l + xdx 22a-l
14)/ \l-\ —5= == :^2aB2„_i V. T. 118. N". 15.
J \ X j 1 — .r; X a
f dx 1 /27r\2a+l /i\
»5)/('a!)2«— -— — - = -(-1)"+' — B" -\ V. T. 120. N^ 15.
J x^+'i -\- x^-'i 2 \qj \4]
/" da; 1 /27r\2a /l\
i6)/(ix)2a-i-; — = -(— 1)« B' -1 V. T. 120. N». 19.
Lo;^.e..,u„n.(/.r)-|>om«>^eneral. T'^^^^E IS'J. L.m.Oetl.
r d.i; f— 1)0+' /1\
Rnabe, Cr. 42. 348.
Page 223.
Euler, Calc.
Iut.4.S. 4.
46.
F. Al}?. rat.lVact.aden.triiiomo. T'*ninjrn •. in.*
Log.onnum.(/.r)-pourogc-..eral. ^'^^^^ 150s».(o. L.m.OcH.
f d X f,f'»l X'ool In
2a + l i ^ ^^iH^ 2 SJJ
/■ Cos. ;, + ir r» 1 i^ „ 1 i« «> 1 ■)
7 1+0,-^— 2jCos.X ( i?f»a+2 1.2 iri-'"^ 1.2.3.4 m^o-a j
f— 1)°, f , » 1 2a+2, 1 ) ,
«/", , Co5.2w7r — a; , (—1)° „, -r. (2 7r)2*
6) /(ia;)2«— 1 i dx = -^^ '-{%n)^l^^' {p)—^-~l~ B.>4-i V. T. 125. N'. 9.
en w" Cos. n ^
S"-^^
i(9 + «— ir
// 1\'"— ' pCos.l — p- X en p^Cos.nK
\l-\ x^-'^dx = Tir)^— Kuraraer, Cr. 17. 210.
\xj \—2pxCos.l-\-p-'x-' '- ' -
F. Alcf. rat. fract. T'tnii? irn r- n .j
Log.ennum.de lormediverso (nil laciour).
r, dx 1
\)\l[l +.t) — =—71^ Ohm. Ausw. 16.
_/ a; 12
'3\{l(\ _L \_-lf_ _ * 7o Bertrancl, L. 8. 110. — Serret, L. 9. 436. — Grunert, Gr. 4. 113 —
-J^'ll -h-Tj^ _^^j — -Tt-i jj^ Qr. 6. 448. — Hill, Cr. 3. 102.
)jli^l+J-^'^''-'-^'-'
^\l{l-\-x)~ ■■ f- dx = 2l-2 — 7TCosec.pTT,p^l V. T. 5. N^ l.
4) (lll+px) — dx=~ ^ '■~^''> / (1 _(_,,)_ i ^ ^ 12 — - -^^~ V. T. 6. N^ 1.
i-=:^..=iiA+i^/(l+;,)_i-i4^2-!I-^
l+a-2» 2 1+p'- ^ ^^' 2 1 4-p* 4 1 +p2
5)/Z(l — .r)— = — ^ u^ Euler. N. C. Petr. 14. 129. — ScliaeflFer, Cr. 30. 277.
f dx 1
)ll{l ~x) — = n^ Euler. N. C.
J X 6
f. dx 1
G) /i(l +.r^) — = — 71^ V. T. 152. N°. 12
24
")/Z(l +X-'-) = -TtlZ — :^^ '-^ V. T. 157. N. 21.
fage 224.
dx 1 , « (—1)"
l+x^ 2 ~ oi'Zn + iy
t. Algebr. rat. fract. tiihi? ipa •. t- a .j
Log. en num. lie lornio ill vorsc. (tin lactcurj .
f dx 1
]0)/;(l— .fJ) — = — . 7i» OLm, Ausw, IG.
• ; •« i~
f, .dx 1
11) 1/(1— a;') — = — ~ n^ V. T. 152. N°. 17.
7 ^ ' ;c 21
f dx 1
12) //(I 4-.r4-i-2)— = -tt' V. T. 153. N". 1.
f,, dx 1
13) / ; 1 — a- + «-) - = — TT* V. T. 153. N°. 2.
y ' X 18
U) / / (1 — 2 .1- Cos. l + x^)~ =-n-^—7tX-\- -)^ V. T. 153. N'. 6.
y a; 3 2
15 /;— ' = -71^ Olira, Ausw. 16.
'J 1 — x X 4
^ r i—x-^Cotfip.n dx ZXlSinhp.X
''j 1 -t- x^ fo^/rp.- X 1 - (1 — .c^-) 6^os/i;>.2 X ~
V. T. 343. N\ 12.
Sinhp.X.Coshp.X
' I TH ~n M nZ — 7 ^'Tvtrcsj/i.p./j.;:^ 1; Kaabc, Int. 421.
^^. r l + Co.9./^l/(l— .tM da; ^ , r, fl ) fl llvT^^
''''i'.-c„: ,,^a-,.i 7w^.A7l?=''"°'-'-i"°'-is''--"'}-»-i''+'''n^
J 1 — om. A 1/(1 — X*) 1 — a;"
/" X-\- |/(1_.2;2) a; 1
2^)r , » ^i 1 ^* = T'^' ^'- T. 340. N". 14.
.T.343.
20.
Pa;;e 225. 29
VMS- EN NATUUnK. VEllII. IiF.H HOM.-SKL. AKADEMIE. DEEL IV.
Log.cnnum.ilo lornic diverse, (deux faclj.
f dx 7
\)\{lxy.l{\+x) — = n* V. T. 154. N^ 10.
J X 360
C d V 1
Z)l{Lvy.l{l—x) ' = 7r' V. T. 15-i. N°, II.
J X 45
f d.v 7
•MlUaiy.in + x''-)— = 71* V. T. 154. N^ 13.
'J X 2880
4) /(Z^)^i(l — a;'-)— == — T» V. T. 154. N". 15.
/ X 360
5)|(ix)^^(l — j;>) — - = — -^^^^^ n^ V. T. 154, N^ 17.
a; 2880
6) /(Zj;)«. Z (1 + x) — = -^ Ti" V. T. 155. N\ 2.
7^ ^ ^ ^ ^ .r 1260
7) I (I xy .1(1— x) —^ == — jr" V. T. 155. N°. 3.
7^ ^ ^ ' X 315
/* 7 1
8)j{lxy.l{l—x-'-)— = — t^ttt; 7r8 V. T. 155. N». 5.
9) /(Za;)2''. Z (1 -)- a;) — = "". ,w7"^, o^ "^^""^^ ^2a+i V. T. 157. N". 5.
10)/(Z.r)2«.Z(l — a;)^ = ^ — , ~r, ■ ., ^-''-'-- ^2^+1 V. T. 157. N'. 6.
ll)H/.i-)2''.i(l— .«^)'-^ = , ~,'-.. , .^, 7r2«+2B2a+i V. T. 153. N". 6.
2560
dx 22«+i — 1
.r " (2a + l)(2a + 2)
cZa; — 22«
« ~~ (a+ l)(2a+ 1)
dj; — 1
X ~ (2a+ l)(2a+2)
2r(r+ 1) » w''C'os.M^
5^-^'— ^ ^ -1- V. T. 159. N'. 7.
7 ^ '^ ^ ^ .r 2a+ir ^ ^'^ 2"+2 -'+'fp..,al,e,Cr.42.
13)/U-| .Z(l — 2pA-Cos.;.+p^-a;2)^
14) Z- .l{\^x)^ = X_i^^ V. T. 15 7. iV. 8.
}\x]^ X a (1 + «)"+'
15)/ Z- .Zl-.r)— = -. :2 V. T. 157. N\ 9.
J \ xj X a (1 +n)«-^i
348.
Page 220.
F. Al'fobr. rat. fract. T\ni r.^ im „ w^ i- n ii
T ° , n ,. /} c i\ lAuLL 101 suite. Lim.OctI,
Log'.cniuim.dolorm(Mliverse.((Iouxlacl.j.
r(/; + l)l^ V. T. 157. N'. 10.
fl l\P dx
'0)j['-) ■HI-,':)-
7 \ xj ^ ' CD 20+1 (1+w)"
IS) n(l 4-.r2) _^^7 -' — --= — ^l^ V. T. 153. N\ 15.
V. T. 157. N\ 8, 9.
-f-l
(1 + *^
19) |?(1 — -r^) ^ ~ " ;/" ," J^^2' ' ' <^^ = ^,„ V. T. 153. N^ 16.
(1 — 3j-') /i: + (l+.T') _ — TT^
(1 +«^)^ "^ "~ 8(2 + 1/2)
, ^ . lAliLL lO'i. Lim.Oetl.
Loffar. en numer.
)|a;/.rdi;l/(l— a;2) = — 7- I Z 2 )
3) jlxdx
Euler, Calc. Int. -i. S. 3. 152, 154. — Id., Act.
Petr. 1777. II. 3.
2)-
1/ (1 _x^)'i«-i = _ ^"'" -(A + Z'(a + 1) + 2 Z2) LinJ">«nn.Stockh.Handl.
^ ^ ^ 2"+' l"/i 2 V I / I ^ IbaO. Ill,
■l.)/i:/'-' Z- dx = I/- V. T. 114. N'.
^^/■/n . J n^ .^n -^ ^ f. l + 1-^ (1 +p^) 1/ (1 +p»)- 1 ]}v.T.335.
:>)jl{li-p^x^)dxi^{l-x-) =j^[l + -, — ^j x^ G.
fi)j/(l+,-.--p>)dxl/(l-.') = -.|/ -2i + ^(i_^,j .V. 5.
F. Alg.'.l,r. irrat. fract. ^^^^^E 1G5. Liin. ot I .
L(if,'ar. en nuin. Ix.
^ ) / '^* rrrr^TT: = ~i~^^> 7^ — tttt ''^'■"'^'' ^'^- ^'- ^^^
/.K 5^ V',-
= _ i_^ —
1/(1— a;*) 1 2''/2 (2n+ 1)^
Eul<r, Calc. Int. 4. S. 3. 117. — Id., N. C. Potr. 14. 12!>.
1 Id., Act. IVtr. 1777. II. 3. - Id., .M.'in. Potorsb. T. 6. p.30.—
2) = nl2 Letrendre, Excrc. 2. 43. — Id., MJm. Inst. 1S09. 416. N '. 4K —
2 Kauslor, Jlcm. Pctcrsb. T. 3. — Oettingor, Cr. 38. 162. — Arndt.
Gr. 6. 187.
.1,// •''• , _ ,(, -, Elder, Cole. Int. 4.S.3. 144, 164. — Id, Act Pctr. 1777.11. 3. —
"^'j'''^(l_.r2)"''" — '-— ^ Kausler, Mem. r<<tcrsb. T. 3. - Oettingcr. Cr. 38. 162.
Tnge 227. 29*
S)
; l^ II — X') Di 18 1/ 3 (
Euler, Mem. Pctersb. T. G. p. 30
j°^ I FAIiLE Ibo suite. Lim.Oetl,
Logar. en num. / x.
f x^ n [ 'i\ \
■i)flx -dx == [12— ~\ \
5 ) / Ix dx = 12] I
'J ^/(l_a;M 3 Vg / [ Euler, Cnlc. Int. 4. S. 3. 147, sqq. — Id., Act
\ Petr. 1777. II. 3. — Kauslcr, Mcin. Pdtersb
J l^{l — x-') IG \ 12J\
7)nx — dx = ~ — i
7 1/(1— :2;^) 15 \60
/ Ix = — — I 3
J }y{l — x-') 5i 18 1/3 (
9) / Ix dx = — — I 3
7 1^(1— a:») 54 18V/3 /
/^^^ T /,„ ^ \
^(1 — x^] 3l/3 \ ^31/3/
/, a; , T / ^ \
/, « , 1 ,^ ( les 10 ct 11 sont fautives)
fix -dx = nl2 \
J 1/(1 — a-') 8 1
f x^ I I
■,.. f, 1 dx n 1 + p
'■^)l''^n r; ~A i 7, ::; = TT. rl — -^ ,P- < l; v. T.-346. N'. 4.
^c^/"; 1+7—2? ^' dx 1 l+o
16 /^^—-—- , = -.^l—LJ. V. T. 346. N\ 5.
/ (1+^)'— 4.f/a-^- 1/(1— x-^) I, 4
,„ r ] —q + 2qx'' dx 1 l—n
r 1 .«— • + iK— >
18) H :; dx = 271* Poisson, Mom. Iiijt. 1811. 1G3. N'. 54.
J X 1 — X
f 1 a;"-' 00 (6_cW* 1
^'7 ;^^a3^¥=^'^" = ^o~b=^(^Ti^^ ^'^"'^"' ^'^" '"' ''°'- '"°- ''°- '■'•
Pn£;e 228.
10)
11)
12)
3l/3j\^ Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 157. sqq. —
Id., Act. Fctr. 1777. II. 3. (ou les I'ormu-
F. Al'feLir. irrat. fracL rn m r^ .., ,
Log, on num. {ixY ^AHLE 104. Lim. cl 1,
Mem. Iii6t. 1S09. 410.
EanbeXv.
42. 318.
l^ / iiX ^^- = } _ f ;.>-. I i„ ^i} Legendre, Exerc. 2. 43. — Id., Mem. Inst. Ii09
2)[/;lV' ^-Tl a. = 1/-/. f- (i=-<=*::^ I Legendre. Me',
3)/ U- = (2 7r)2<« Baa-i V. T. 120. X». 20,
f a;!''—' ( — ])"+! * /2n 1\ \
♦i/c^f-np.*-^ - 4|-(*.)-+'^(-i).-.B'.(4^] \
r iJ_a;J-c ( — i]a+i b 12 n — 1\ i-ln — l ,
y 1 + a" 6 1 \ •]■ 6 / (^ 2 6> j
F .Vlsel).. in»t. foct. TABLE 1«5. Lim. Oct I
Log. en num. dc fouct. ent. v <. 1 1 .
f dx n 'j> ( — 1]"
I)//(l+a:) -; = -12 — Z2— '— V. T. 23S. N'. 11.
7 ^ ^ V(l — a;^) 2 (2n+l)^
r rfj; TT a. ( 1)"
2)Jl{l—x) = -/2 4-2 ^ ^^ , ., V. T. 258. N\ 12.
•6)1 1(1^ pa) ^./_ , = - {ti^— K^rccos.p)^} ,;)5<1 ; V. T. 339. N\ 2S.
7^ "^^ 'l— 5.c*i/(l— ■»*) r'?(l— ?) /n'7+}l— l'(l— ?)j (''+l'(»''— p = )] Mem. Kasan.
1S35, 1.
f dxl^a—x^) 'Zrri^Zn {^ A)] ^
.,)j,(I+..) L )= ^___ _ 1_^^^)_ V.T.12.X<>.0.
7 ^1^(1— .r^) 2
7) //(l + x- Tana,''}.) ^-^^^ = ti I i Coi.^'-LScc.x] V. T. 334. N '. 'J.
S /i^l + 7^.i;') dx = -7T\l ^ ^ -^^+ -^ — +-l ^'- I'- 335.
Page 229.
"ulirmlnrdo^ncen.. TADLE 105 suite. Li„,.OoU.
V. T. 34S.
-2r'(p)/5m.;.-^r'{,/(i-p^))-F'(p)^;'-{E'o.)-F(^)} [r{,'(i-;>=j;.}]^ N"- i-*-
11)/Z1— a;-J = nl2 V. T. 1U3. N''. 2.
14)//(L — a:^ &'n.;.) ~ = %nlCos.-l V. T. 384. N'. 13.
I dx 1
}5)Jl{l~x^ SinhpM) = %nlCoshp.-l Y. T. 334. N». 10.
16) fz (I - ^'- Cos hp.^ X) —~^:^ = ^ I i+^Li^ V. T. 334. N% 12.
7^ ' ^j/(l_x'-) 2 \ 2 21 + l/(l-p2))''^ ^ 'N». 5.
lS)J/(l_p^x^)p,^^— -0y^^— -^ = -/'J-Pn-riP)^P< 1, V. T. 348. N^ 12.
22) / /(5ec.^ X— a;* Tana.' i) — ^ = rr Z (cos.^ ^ X . 5cc. ?}\ V. T. 334. N». 9.
7 'l/(l — a; ) \ 2 /
Page 230.
jj
T ° I r . . rAHLL loo suite. Lim.Oeti.
Log. en num. de lonct. ent.
V. T. 3iS.
f , x^ dx 1
[|2 + iz(l_p^)}E'(;;)-{2-^>^-+i(l-p^-)/(l-p^)JF(/.)]
'] ' ^ V(l— ?J^i'-)(l— .r-) 2 2^ ^''^ 4 L * '^ ^J" ^ ' N°. IG.
2'5) //(I +?^- + 2p^) r = -2" ^-— 1 . Z'< 1; V.T.33-i.N\ ly.
y 'i (1 — x-)(i — p-x-) ' »p<^^i
V.T.34S.
^Yip)0^^=^-lnF'{^ (l-p'-)}-{E'(p)-F'(p)}(F(p,^))^ N^ 15.
F Alg. irral. liacl TABLE ICO. Lim.Ooll.
Log. en num. de lonct. Iract.
/".l 4- x'^ Sin. X dx , 1 + ISin. l A
1)// : = ^l — ^ — TT^ V. T. 334. N'. 22.
7 1 — .c^Sm.i 1/(1— «*) Cos.j;!.
2)/' ,-r..-^— — 77; r. = 27Tl[Cos.-LSec.-u\ V. T. 334. N". 23
K 21.
i5in.\u 1/(1 — j;^) \ 2
[ SlnM. — x'^Cos^u dx , ^ . ^ t I^a ■ •^"'•."\ V. T. 334.
o) 11 = Til Cot.— u. lanq. \- Arcsm. - — - t^. .,
f ,Cos.^ ). + .v''^ Sin.^ X dx / 1 I \
n / ' ., X.^L^ = 2 nil Cos.- L Sec. -i, \ V. T. 334. N\ 23.
J Cos.\u -Ir x-" Sin.^ ^ l^ I — x^ \ 2 2 )
,,f,l+x dx 1
5 /^— ' ; = TT- V. T. 840. N'. 2.
7 1 — a;a:p-'(l — rc>) 2
f.^+ix dx
li : = Tt Arcsin. n V. T 340. N'. 3.
] l~qx xi^ (l—x^) '
G)
Piigc 231.
^'I'll' nTn; *!"!J' f * f . TABLE iCO suile. Lim.O cl f .
Log. en num. dc fonct. fract.
/" 1 +a;&'«. A c/x-
'//': ;;; — r = ti P. Lobatschewskv, !Mem. Kasaii. 1S35. 1.
'./ l—xSinAxWil — x"^)
«)f 1^7^-24 -'^'^ = -^' V. T. 340. N=. 6.
7 I 1 — a; j x' 1/(1— a;*) 4
»^ /",! + > '(l-''''X'S'".'^—a-^&n.2..) r/j; 1 f^, 1, /' 1, „. I ^ l\]v
•^ /^r-^ — 7, rbr^; — — -=7rZ-]6os.^-;.+i/ Cos.^-?.+5jn.='-...Cos.2-u ;;„
7 l—l/{l~i!''}{Sm.n—x^Sin^fi)\/{l—x^) 2\ ^ \ 2 ?- 2 /J N"
1 n i /"/ ^ ■~:'^ ^"^i Pi^"- ^"^ ^' /'■ ." I ' ( I — ^
y 1 4-^'^o«/'P-^.tos/tjt>.,(t 1/ (1 — ;
— x'' Cos h p.^ L Tang h p.^ u) clx
= ttZ
/
IS)//
(1 — x^ Coshp.^ k.TangJip.^l) i/{l — a;^) y ,|, g^g
4Sinhp.}. ^'■'- ^•
[Sui hp.l + 1/ (1 — Coshp.^ l.CoshjK- ,,)] (L 4- Smhp.l)
+ gl-^(l— /'^.r') dx 2N ^ • 1 V. T. 34S.
+ a;Cos.a 1 dx Zn Cos. { Un—Z).)]
— ■- I '^^'^ ^ V. T. 343. N'. 13.
— a Cos. u I -^ X Cos. I v/ ( 1 — X-) Siii. X Cos. ( j ( ^ — /' ) }
-{-xCos.u 1 d.v n \-\-Sin.X
l—^ V. T. 343. N°. 19.
— xCos.u I — x^ Cos.X \'' [I — .r^j Sill.). Sin. ). -\- Sin. ti
-\-qx Cos. X 1 dx n 1 -}- Sin. X y. T. 343,
— gxCos.X l—x'Cos.-'Xx'il—x^) Sin.X Sin.X + y^ {1 ~ q^ Cos.'' X) N°. 17.
-\-xCos.X X dx
- = 2 n Cosec. 2X.I Sin. X V. T. 343. N°. 14.
— xCos.Xl—x'^Cos.^X i'-(l_a;2)
-\-xCos.u X dx 2n Sin.(l(u + X))
I- — )~^/{ V. T. 343. N". 10.
— xCos.il 1 —x'^ Cos.-X \ (1 — x^) Sin.2 X Cos. { J (u—X) ]
±^_^ i^^ __ n py^q+ { l-y/jl-q )] [l-VV^p^] Lobatschewsky.
-pxl—qx'^ \/{l—x^} \ g{l—q) p\/q— \ 1- 1(1— (;))(l— I (1-p'-)) Mcm.Kasan. 1S35. 1.
+ xCoshp.X X dx I Sink p. X
■ = ~27T— 1 ~ V. T. 343. NMS.
— xCoshp.Xl—x^Coshp.'^X i/(l_.r2) ' Sinhp.X.Coshp.X
■¥ X X dx
— X 1 — Cos.^ X. Cos.- ii — x^ Sin.'- u y/ {x^— Cos."^ X)
' , V. T. 347. N". 14.
TT Sin, u + \^ [1 — Cos- X. Cos.- fi)
2 Sin. X.Sin. ^ Sin. /* (1 + Sin. X)
Pa"e 232.
I". A if. mat. Iract. rp.nr i.^ jii-o i i • n . i
, " 1 r . r . lAlJLL ibb suite. Lim. Octl.
Log. on num. ile lonct. tract.
f \ A- j: Cos h p. u x dx
20)1/ — ^ — i-^ — — ■ ==
} 1 — xCoshp.fi 1 — a; ^ Cos.* i 1/(1 — x^) V T 34;}
f -, , /i , , Cos/,p.u\,^, , ll ra«</.?, ^ ^"- 21.
-— llCot /i p. \- Arcco.ihv. — - — . I lanijhp. \~ Arccol ftp.- — * >I
). *■ \i Cos. I. I [-Z -^ ""i/''P-,«J J
2n
Sin.2
•2l)jl.v I 1 — 4- \ = Til V. T. l(i(i. y\ 7.
J V^ {i — X-) [i — x' l-{-.vSin.}. [l — .c^Sin'^ :/.)■]
F. A\". rat. cnt. r,. . pf ,^ , p- t • , n «» i
Log. on (It'll. IX.
(.v
1)1 -dx = cc Eulcr, C'ulc. Int. 4. S. 5. 21. — Lcgenilre, Exerc. 3. 57.
J I X
.,N jl— •'g , _ ., Euler, Ciilc. Int. 4 S. 5. 5. — Id., N. C. Fetr. 19. G6. — Legemlre,
'/ /.i; . Exerc. 5. 3.
Euler, Calc, Int. 4. S. 5. 5. — Id., X. C. I'ttr. 19. GO. — Poisson,
n — xP V. 18. 2'J5. N". 25. — Lcgendre, Exerc. 3.57. — Id., ib. 5. 3. —
■^)j'~l f'^ = — HP + 1) Bidone, Mum. Turin. 1S12. 231. Art. 3. N". 36. — I'iar.a, Mem.
•' ''^ Turin. 1818. 7. Art. 14. Add.— Cisa de Grc'sv, :ML'in. Turin. 1821.
209. I. 29. — Arndt, Gr. 10. 253.
i.\i^ljZ^rl — /^i-iJ. E^'lcr, Act. IVtr. 1777. 2. 29. — hi., Calc. Int. 4. S. 5. 5, 22.—
'/ Ix 74-1 I'Im >•'• ^'- !'• ly- 6ti. — Bidone, M(<in. Turin. 1812.231. Art. 3. N^ 3G.
[xr—l , ? + 7 + ^ Le-cndre, E.xerc. 3. 57. — Cisa de Grcsv, Mem. Turin. 1821.
o)j ^^ x>d.i,-l ^^^ 2„- J 23^
/^•^— 1 __ ^jW/ 1 jy ,1 -j'^'
a"-'<Za; = Z— ^— Meyer, Int. Def. 109.
Ix <] -j- ri
7) p-i)(^-^) ,„_, ,, ^ ,p_-L? +1- _ , p±r !,,.,, p. o,. 1,3.
J Ix p + </ p
^^J {xP — a:^){xr-a-) (p + r + 1) (7 + a + 1) v r r .r 9n ^n
SW dj; = £ ■ Euler, N. C. letr. 20. 59.
/■ dx
9)/'c"-'(.c — 1/ - - = A''- 'a V. T. 127. N\ 0.
IAN /"^ iN,*^^ v- /"\ ;/ I T\ l!^"lcr. Cnlc. Int. 4. S. B. !
10)j(r- 1)'. — = ^ 1^„) '(«-»+!) CG. 1 Stern. Gcitt. Stud. 1
29. — Id, N. C. Tetr. 19.
847.
Page 233. 80
WIS- EN NATUUnK. VEflll. DUR KOMNKL. AKAnEMlE. PEEL IV.
''•U|:cnto!(<.)^ TABLE tC8. Lim. et 1 ,
Euler, N. C. Petr. 19. C6.
J dx = (^-1-2)^(5-1-2) — 2(7+ \)liq+ \] + qlq Euler. N. C. P. 20. 59.
J (Ix)'^ x\. C. Petr. 19. 66. — Id., N. C. Petr.
= (ri-.r]plp+ {r~p)ql<] -\- {p—q)rlr ' •''■•
V. T. 124. N". 20.
''/{'-(i-,')(-«'}-f:->+('+i)'^
S)j{l-xP){l-xl){i-x^)j~ = (p + ,+ l)?(;, + 7+l)+(p + r + lJ/(p + r + l)
+ i'] + r+l)l{q + r+])-{p + l)l{p+\)-{q+\)l{q+ 1)
_ (r + 1) / (r + 1) - (;, + q + r) I (p + q + r) 1^^^;
/'Stud.
-— = :^(-i)"
{Ix)- \n
10)/'(i_a-;')«"f^ = ^(-l)"(!]('7 + »P+l)^(2 + «2'+ 1)
7 i(p-?)(p-r)(p-.)"^(7-7.){?-r)(v_.)'^(r-p)(r-5/^r-.)+(.-p)5-7)(s-rJ7(I^^ J"'"'
p^ /p q'^lq r^ ^r .v' i
8
N. C.
Petr.
-20.59.
(p-?)(p— OCp— *) (-7— p;(?-»-)(9— «) ('•-~p)(''— ?)>-^'') («—p)(«— ?)(«—'•)
12) /l-^—^ H ~\ dx = l2 — \ V. T. 127. N\ 21.
13)/(1— arP)"— ^ = -^[—xyi] {pn-ir\y- Upn-\-\) Stern, Gott. Stud. 1847.
Page. 234.
FAIg. latent TABLE 168 suite. Lim.Oetl,
Log. en den. (/ xr.
Stern,
GOtt.
Stud.
1S47.
15) /(I — a,-/')<« (1 — xi) -^ = — ^ 1 (— 1)" ) (7 + ?"* + 1)' ^ ('i + Z' n + 1)
+ i J(_l)''(''] [pn-\-\)l{pn-\-l)
2 1 \"/
16)/-; rfx = (fautif) Oettinger, Cr. 35. 13.
j {lx)l ^a+l ^ '
[I rl 1 \ " 1 A"
17)1" .rP— 1 dx = ^^^^ . pa-U/) , en posant LP = <1\ Legcndre, Eierc. 3. 58.
'j\ Ix j l«-i/i Ap
[ xp-1 1 f
19)/ r^!— 1)0 da; = A''.P^lp > Cauchy, P. 28. 147. P. 1. § 2.
/" a;?'"— • r— * 1
r j7 -1 — re'"—' oP — rP
2^)/^7-T;;zr'^'^ = (-i)''+'i'(i-p)^ . p<i; v. t. 128. n^. 1.
j (l.v)P+^ p
22) /ttS^C^ _ 1 )c d.. = - —^ C?o«.c. p . A^ i-' ]
( i)?+i 1 ' • '
23) = — -— — A'^.i''^, pour Rentier; I
(dx ( a;9— 1 — /rP— ')
21)/-— j ("?> — ';) + ——^ 1 = P — ? + '?^''/ — pO' V. T. 127. N\ 18.
FAIg. rat ent TAHLE lOl). Lini.Oell,
Log.enden.delomiCrti (/a;)\
1)/ — dx = — e~P<lEi(pq) V. T. 129. N». 'J.
Jq + lx
/".iP-l
2)/ —da; = ePlEi.{—p(i) V. T. 129. V. 4,
J q — lx
Tage 235. 30*
FAIg.rale.it. TABLE 1G9 siiile. Lim.OctI,
LojT.ondL'ii.delormert ± (/.r)''.
12n/l
J) / d.v = 2^ (— 1)" V. T, 130. N°. 2
'i) / . dx ■■= —2^i— I)" r V. T. 130. X'. 1.
^)f]^^^77-:;T'^'^ = ^ (- 1)" :^^ v. t. 130. N^ 2.
l2«+i;i
xq—\ Ti 12'ii
dx = ^ ( — 1 )"
{xH-'^lx «, l2H-rl/l
/ Xl-^ Ix «, l2«-rl/l
6)/ dx = — 2 (— 1)'' V. T. 130. x\'. 1.
[ xP~^ If 1 }
7)/-; 7~~T<^^ — - I C^*'- (p 9). &'«•/' ^ — Si{pq).Cos.pq^-nCos.pq\ V. T. 130. No. 4.
f ,rP~^ Ix 1
8)1 -dx = Ci. (pq).Cos,pq -\- Si.(pq). Sln.pq TrSin.pq V. T. 130. N'. 5.
*> 1 1 V ' /
9)/-^ ) — ^^^ = — (e-/'9£«.(7^7)— e/'7Z:i. (— />r/)} V. T. 130. N=. 10.
/■ a;P-l Ix 1 ,
10)|-^ ) — '^^^ = —-{e-'"lEi.(pq)-\-cPlEi.{—pq)} V. T. 130. N^ 12.
f j;P-i 1 ,
11) j~ — -rr;^-^ = -—{e-P<!Ei.'pq)—eP9Ei'—pq]^2CUpq).Sm.pq-2Si.{pq).Cos.pq+nCos.pq \ V. T. I8i.
J 'J {'■■^■) '*1 N . 1. I
12) / 4 _.^ ./ •'-• = ^ { -e-P'!Ei{pq)-eP9Ei/-pq)-{-9M.(pq)/-os.pq+2SUpq\Sin.pq-7rSin.pq | J, ^^ "*\
^^) / ^^'^■^-^^{^-''^^^•^P'l)-eP9Ei.{-pq)-2Ci.{pq).S{n.pq-\.oSL{pq)£^^^^ Cos.pq] J;/' "^■
^ ^7 q^ljy '^""^l' """''' ^'' ^'"^^ - ""' ^'- ^P'l)-~^'- iriyCos.pq-ZSi.'pq) Sin.pq + nSin.pq} J,/;'^^':
r .r?-' 1
^■"^ / (, , ^ )T '^ -^ = — - { I -(- P 9 «-'"' '^■''- {P 'l) } V. T. 160. N". 1.
IG)/;^ ^ — l^^ = " {1— pfyc/'fi. (— pr/i) V. T. 1G9. N\ 2.
C .(•/'—' 1 I' 1 ) '
p ( 1 ) ( ■^ ■ ^'
— j^ j «. (p?) .Cos. p 7 + Si. (pq).Sin.pq—-n Sin. pq^^]
Pnire 236^ ~ '^ '
I* . Alg. rat. fract. a don. nion6me. Tim t? inn i • a . •
LO!i'. (Ml (Icll.
o _
— .V d X
11. 123.
10
11
12
13
14.
Ih
fxP — .1- dx
I = Iq Binet, P. 2]
J X Ix
(xP — .i« dx , P r, ,
I — = I — Caiichy, Cours. Leq. 33.
I X Ix q
ff 1 1 1 ti.B
jl'+r. + JlxlT.--' V.T..27.NM;.
rr.^-1 _ n,,_ \
j\.v{l,r ix\ ^ ^ ^
f(x'l—l q '/M . ' , , 3 f
/ \ — — - — — ^\ dx = -q^ lq — -q'^ > Solinke, Samml.
j\x(lx)^ a-{lxY 2la\ 2 ' ^ 4 ^ (
/ \ — — — --i dx = - o' / 7 q'
J [x{ljy x{lx)^ 2,x{lx)^ 6lx] G ■* 36*/
fl(l—x")dx ( (a \ 1 a f a \]
Il+(lx)^x I \27r^ j ^ 2 ^27r\2T j\
I [v — — ! — ^ = A V. T. 133. N'. 1.
J [ 1 — I x) xlx
llx — ; [ = A V. T. !33. N'. 3.
/ \ i + {ixy-} xlx
1 1^'' - TT^} -^ = Iq + A V. T. 133. N'. 2.
I \ (1 — Ixj) xlx
f\ 1 ] dx
/ )x — ; } -— = _ Z' (p) V. T. 133. N'. 3.
J [ {l—lx)p) xlx ^^'
[ {■" — ^ I ] dx
J \ Ix 1 — Ix] X Ix
[xlx+ l—x .2
/ J—- l{i + x)dx = I- V. T. 171. N". 1.
J x(lxy n
f/(l+.r)^"'^^"<"^ + ^"'^>-^-^-^"'^"^-"~^c/.. = 2l'^""^-:J-L V. T. 175. N>. 3.
J ' (Ivy X qn
Pa^e 237.
F.Alg.rat.lVact.aden.inonome. ^^^p,^p, 170 suite. Lim.OcH.
Log. en den
jr.)/?(l— .r)^--^ 5^ — „ [, dx = 21-——— V. T. 175. K\ 4.
17) 1/(1— .r^)*-^ !^ — ^ ^ ^ i dx = il -— V. .T. 175. N=. 7.
J C^) ^ 5^
/• Ix \ 1 +(?.^)^ }a x«-(l-x')2te./(I-;r») dx | /r f^U9/.X-^ f/^ l^V.T.no.
F.Alg..aLf.;actaclen.4±a:. t.\BLE471. Lim.Oeti.
Log. en den. ((.vy.
1) 1 = I- Eulcr, N. C. Petr. 20. 59. — Legendre, Exerc. 5. 3.
,v d X
■\- X Ix n
'] \ + x ix yzj
q+l\ /1\
Z' ( — I Legendre, Eserc. 5. 3.
fl — XP x1 ^ , \2
I I — dx = I — V-
j \ -{-X Ix ^lp_
rlip+lV'^ + '+'
3)1 -— dx = I — \ -—pr-^ — -^— i stern, Gott. Stud. 1S47.
2 \ 2
4)1 == I
X Ix ^ ^P\ J, ? + l ^
> Kummer, Cr. 17. 210.
/
nl .r) (fa; 1 ,
> T— = l^ V. T. 135. N". 6.
1 + X 2j Ix 2
7) / I — 4- 1 dx = A Legendre, Exerc. 5. 12. — Caucliy, P. 28. 147. P. 1. § C.
I \lx i — xj
OS /"(i_ , ,5!ZL\ J _ •/, ( y Cauchv, P. 28. 147. P. 1. § 6. — Gansz, 1812. — Lejeune-
J\lx l~xj ^'^' Dirichlet, Cr. 15. 258. — Schaar, Me'm. Cour. Brux. T. 22.
f lxP~^ xl — ' \
n) I - — + dx = lp — Z'{q) Legendre, Exerc. 5. 12. — Arndt, Or. 10. 250.
f \ i JC J ■ CCJ
Pacre 238.
F. AI'M"it.fract.aden. 1 db A". T\nii7 /i7i ■< i • /\ . i
L4.M..len.(/.rh TABLE 171 suite. L.m.Oetl.
10)/l 1 , ]dx = — ^ Z' [q-\ ^— I Arndt, Gr. 10. 253.
Ix ] 1 \ b
1
C n x1~^ \ dx
11)1 _ ,, -|- 1 — = lY(<i) Kummer. Cr. 33. 1.
_/ \ 1 — X j Ix
fixp — xp+i \dx ,r(» + o + i) „,
12) / —g] T- = i / \. P'ana> Mem. Turin. 1S18. 7. Art 4. Add.
7 \ 1— .T ''I Ix T{p+l)
i3)/|— + xP-n dx = l-—, '^ — -^ V. T. 135. N'. 18.
C\ — A? 1 — Xl' P -\- Q
14)1 dx = lB{p,q) —/i—i-i Binet, P. 27. 123.
J 1 — X Ix pq
n— a;« l—x'> , la/i .. , , . \
15)1 — dx = I— — -.pour a entier.o fraction ;i
i ^""^ (*+!)" f Cisa deGrc<sv,M^m. Turin. 1821.
la+h/l ( 209. I. 30. ■
16) = — I , „.,,. , pour a et b entiers;\
' la/1 J. 4/1' '^ ' j
rfa-i-b4- }) LcKcndre, Exerc. 4.
17) = - ' /. 7^ T ,\ , pour a et b fractions ; I/)- " 9'^'! '»« ^'L'^^^y'
r(o 4- 1) r (6 + 1 1 ' Mem. Turin. 1821.209.
' ^ ' ' I. 30.
fl—xJl — xP , r(7 + r)r (p + r)
18) I x-— 1 dx = I ^^—^ — ' — - Lcgendre, Exerc. 4. 111.
'Jl—xlx- r (r) r (p 4- 7 -I- r)
[ xP — xIxr — x' ^ , (l+?' + ^)(»+g + >-) en- •, , r . ,,-7
19)1 dx == t Schiomilch, Gr. 4. 107.
J 1—^ /-f (l + /' + '-)(l+7+«)
( [i-xp){i-xi){\-xr) dx ^ ^ r(p+i)r(7 + i)r(r + i)r(p + g + >-+i)
7 \—x Ix rO> + 7 + l)r(y^ + r+l)r(7+r+l)
,, Al — a/')(l-x?)(l— g"-) ,_, _^ _ , r (p + a) r (7 + ^) r (r + *■) r (p + 7 + r + 5)
'" 7 '' 1-x "^^ /x ~ r(/j + 7+5^r(p+r + s)r(7+r + .)ru) jg^^.^^^
/• ( 1 — .T/') (1 — -r?) (1 — x'^) (1 — .tQ d X ( silni
_^r(p+i )r(7+i)r( r+i)r(5+i)r(p+7 +r+i)r(p+7 +*+i:i>+'-+' +i'r(7+r+* +i)
np+7+i)r(p+r+i)r(p+«+r)r(7+r+i)r(7+.*+i)r(r+s-|-i:r(p+7+r+,+ i)
23) / - 4- 1 — = — 1 + - / 2 T V. T. 135. N\ 20.
'J\lx ^ \ —X 2) Ix ^2,
Page 239.
F. Alg.rat. fract. aden. 1 ± .T. Tinii? iti •. i a .f
Log. en ,16n. (/ x)". ^'^^^^^' ' ' ' ^""'^- L""' ^ ''' ' '
Y. T. 135. x\\ 21.
1 1 + A d:V 1
lj-+- ■ •— =-/27r V. T. 135. N'. 22.
133. X\ 23.
f/l I 1 \dx 1
7 \/x ^ 2 ^ I— .rj Lv 2
V. Alg. rat. fract. a den. I ± x". t \nT i? jto i • n . i
Loo-, en den, jlx)". ^'^'^^^ ^ '^- ^-""'Q''^'-
f{l~.vydx n
')/ T~i — •."'7~ = ^ T Legendre, Exerc.
J I -Y x- Ix 4
/"l — J-7 1 — a:9+i
3) I dx = — ql'^ , 2> — 1; Legendre, Eserc. 4. 113.
[L — X- dx „ 3 7r
4)/ — = ICot. Euler, Calc. Int. 4. S. 3. HI.
7 1 + x' Ix S
[{ \ 1 11 dx 1
6) K--' - -'piL' ^-_ ^ , y,„^. to J j
j l + a-P Ix I 4p J / j.^j,g_._ j^ ^. p^j^ jg yp _ jj^ ^..^|^_ j^^^_ ^
7) / ~ = lCos.^— \
j l—x^P Ix ip I
f(l — .19)- dx I p qn\
S) r ^xP-1-^y- = I [-^5in. — ) , p> q; Euler, N, Act. Pelr. I. P. 2. 29.
+ ■ ■ '■-■'■
1 dx 1
— r-;— = Z 2 Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 113.
x^ Ix 2
XP Ix \7 TT p
U) / -— dx = I Tang. ^— I
[ {i — .TP-iy- x'}-^ ^^
I rt ^ = 4 ibin. —
J l—x^P Ix 2p
-{-x^P Ix " 2»
' Euler, N. A. Petr. 7- C4.
10)
Page 2-10,
1*. AIl'. rat. fract. a den. 1 ± x". Tim ir j-rt in.,
I ^ 1- If M , /I \h IAdLL 1/0. Lini. Ocll.
Log. en (iL'n.fie forme 1 ± (/a;)*.
[ l.v dx 1 , 1 1
1) / .-r , r r/ T^ ^ T = — ; ^7 — — + -, ^' (1 + 7) V. T. 138. N'. 11.
J iin^ q^ -\- [I xy \ — x^ 2 4 5 2
2) / ^- — = - [— -''^ + ; 'I .^'^■['i\\ V. T. l;i8. X'. 9.
f Ix dx 11
3) / = A V. T. 138. N\ 10.
^J4:n''--{-{lx)-l—x 1 2
f Ix dx in* ji, Bon+i
4)/ = -2^ (—])«-' ^^^ • 7i2« V. T. 133. N^ 22.
/" Ix d.v 7r* =0 Bjn+i
.->) / ; ^ — — :E — (2 7r)2« V. T. 138. N'. 21.
f Ix dx n'^ s, . B2N+1
4 — n
[IxY l+A''- 47r
7)/ — — = V. T. 138. N'. 2.
«)
r 1 t£.r 1 ,
/-- = -nl2 V. T. 138. N'. 3.
J q''+{lxY \-\-x-' 45 I \ 47r j \ 4t //
10)/ = - V. T. 138. N\ IG.
'JTi' -\-i{lxy l+a;> IG
[ \ Ix 1
11)/-- ; dx ^ — 1% V. T. 138. N°. 12.
fix X 11
^"^)/ 1 , ,; xT ^^ 7<^* = A V. T. 138. N°. 10.
Vri^ -I- {ix)> 1 — .•«;» 4 2
II- / J 2,,rx, ; -dx = -^(— 1)"— -"+V V. T. 138. N'. 2
/v'Ti^-f (/a:)M— a;» 4 7' (n + ljjS"
I-J) / f ... ,, \,, ,- ; r dx = 2 " rr*" V. T. 138. N'. 21.
'/(.
Page 241. at
WIS- F.^ NATi'iUK. vniiit. HF.n kom>ki. ak.vdemie, heel IV.
K. Alg. nt rn.cl a den. \ ± x" ,p^,jL,. ., 75 s^,ii,. Lim. ct 1 ,
L()},'.ciiilen.uoloriiie 1 ± [Ixy.
13S. N°. IS.
f 1 Ja: If 1/2—1]
17)1-1 -— = W + t- ^'- T.
10 ^^ ^
ls,f '^ ^=_1, .+ ,+_l-i^-^i:il V.T.13S.NM9.
F.AI,,M;.t.rnct.adon. Irinome. ^^3, ,, ,7,^ ^^^ q ^^ ,
Lojf. (Ml (Ion.
l^/■f ^1 (1— ^)(14-9'fH-*^ „ A'^^ 1 , ,,,p\ ,^/x ■ ^jo Arndt, Gr.
7 [^ 2^ (1—^)' hx 2 ^^ \2J ^'^^2 10.400.
2) / — --^ . - = /3 Euler, Calc. Int. T. 4. S. 3.
'J I +x^ +a;* Iz 2
f 1 dx en
/ TTVTZ^ = Cosec. I. V (7) 2 (- 1 )»-i
112.
Calr. Int. T. 4. S 3. lie.
Sin. n X
> + « + !
h X h \ \ 2 6 / j
1+C08.—
Les formules (4) u (7) sont dcduites par Malmsten, Cr. 3S. 1. Paitout a < 6
Page 212.
W. en den. ^^^^^ ''^ ^"'^'^- L.m.Ootl.
^D*
t» a; \ b j \ b
pair;
i 1 6 I /n-f-l\|2 /6 — n\ lb — m + 2\ .
laflSin:
an
f:^ \ j./ g+^+» \. pour
1 _f^= 7an^.-.Z2i+2 ^(— 1)"-Wn.— ./— ^;^/- T^
l+.^+2.Cos.'-^\l- ' ' r(^^] pair;
13) / ^ = Sec. -Xr o) :2 (— 1 )« tv_^O^i
Lcs formules (8) a (13) sonl clcduiles par .Malmstcu, Cr. 38. 1. Partout a <^ 6.
F.AI'M'at.lVact.aden. prod. de fact. tidii- i — i . . a .t i
Logar. on den. Ix.
ajT ^ na;r
12) =ra«i,.-iH2^(-l)"-'5m.— .^-^--P- -/ a + J
26 1 rl^^l pair:
1)
rn — xq) n ^ xP) — (l — x]^ dx
r '-^ ^ i = ni(p,q) Binet. P. 27. 123. — Id., C. II. 'J. 39.
/ 1 — .r xlx
[xi ~ ' a — 1 d X 1
2) \ — = I Tang.- qn Kummcr, Cr. J 7. 210.
({x1 — x—<iy dx
Z)\ '—-— = l[qnCot.qn) Binet, P. 27. 123.
/ 1 — p X ix
fx'' -\-x-i —Z dx . Sin. q n
*)/ " ; T- = ' ~ Lcgcndrc, Excrc. 5. 3. — Binet, P. 27. 123.
J 1 — X IX qn
Page 2i3. 31*
Billet, P. 27. in.
Act. Pctr. 1777 P. 2. 29. — Legendrc, E.xerc.
4. 112.
l'..\LMat.lract.a(leii.pioil.(l«.' atl. tidii- it- •» i- n .j
, ^ I- I ' IAuLl I/O suite. Lim. Oetl.
Logar. en den. / x.
"7 — - ^ / Tan,,. ' '—7t\ V. T. 13C. .V". II.
0)j-— -^^ /. =''"*'/
/"(xf- x-«)» j; Sin.qn
7) I — - -~ d.e = /
/ 1 — X ' 1 .r qn
/"x«4- ar-* — 2 c/x 1
S)l — \ -— -- = ICos.-OTT V. T. 130 N\ 12
■^ ' ( Eulcr, N.
fxP+i — x''-i dx fp+q \
*- \ '^P ''P/r Eulcr. N. Act. Pctr. 1777. p. 3. 29.
J 1— a;V xix \ -Zp 2pj '
fxi' —x-^p dr prt
'} I'+x'^x/x "" '■'■'^"9- 2^ ^-"'""- ^- A- ^'<'*tr- n77. P. 2. 29.
'"7 1 +^r ; T;; = I Y''''9-Y-^-Cot.^^y^ Eulcr. N. A. Pelr. 7. C4.
]■,, n— -f x' dx 2u/2
''71+.,: f+^. /,. = ' „ Legendre, Exerc. 5. 3.
'^Vf+^r+T'Tf = - \^" ^- '^' ''1- '^"- 1- ^^ 'i- '-. N'. 17.
■»'/{f^-'^i;+(''-'^) -+" H'^'-i-'"''+("-»)"! „„,,
'/{&l-S-;'r>-'-^(/'-i)-''-'}^'='7-^i2.+(,.,-i)(p)
Gr.
10. 455.
Page 244
I'.AIjT. rat. Iract.adeii. prod. doiact. t-adii,^ i-p i- a .1
Logar. en den. d autre forme.
2 — .(; 1 — :j\ d.v
''^' --- ^ 21.V X ] Ix
f(l l\j!P-^—X'-^ pxl><>-^ rX'—^)dx (1 /1\ 1 1 Arn.U Or
r^lHl^' dx ^ T{}-p) ^ )____L__ 1 1 V T. 136.
7 l-x-" {lx)l' ttP-^ l(2n+l — 9)i-P (2rt+l+7)i-/') ^'°- 18-
(x~1 — afl dx
{-])!'
r(l— p) ^ f 1 1 ) V. T. 130.
1 r , , .r; ;:^ = ^,n.-;,T-:rC...-p;r./^ ^ / , ;; < I ; V.T.13S.NM3.
1 — X* \n^-\-{lx)^ l 2 1 — Sin.ipTt
fx-P-\-xP Ix , ,1^1 11 l—SinApn: V T 138
7 1— a;* ^n^+{lxy 2 2^ 2 2^ l + .Sm.i/>;T^^ ' N . lo.
/ar-P -\-xP Ix Ir .-^.1
^--■- — -d.r = -[l—pnSin.p:r—ros.prrl[-Z{l-\-Cos.pn)}] V. T. 13S.N'. 0.
10)/ ^-= - 2^ i— , 7>* < 1 ; V. T. 13S. N'. :..
,. fxP~^-\-x^—P Ix , n- 00 Cos.np^T
7 1 — x» y' + (Z.r)'' 2 <7 , y ^ „ ;r • ' ^
f Ix x'i'l 1 1 1
'jx(V — X^l)Tl^-^{Lxy 2 ^ Ir; '^ 2 ^ '
13 / dx = Iq— + -Z 1 + ,/) Y. T. 135-. N". II.
J x{\ — xl)^n^ +(lx)' 2 ^ Ij ^ 2 > -r /;
Page 215.
F. Algebr. inal. fract.
Log. en den.
TADLE 177.
Lim. Oct 1,
12 V. T. 138. N'. 3.
™, r 1 ^^ 4 — n
2) / = V. T
•l)/7; = U — l- — \ V. T. 13S. N". 18
138. X=. 2.
f'7 + a^\ _ 2,/7 4-
^1) ^-
T. 138. N". 1.
7(1— *)l/a:7r'4-
y (1— .r)i/a- tt'
1 1
rr V. T. 13S. N". 10.
2 4
dx n 1 1/2 —1
= — z-r-y + i + ^ r^— _— . V. T. 138. X". 10.
+ 4(;
21^9, 1/2 + 1
7« f » ^^ 1^ J 1 ^2+1 ]
'j{l-\-l^:i-)tyx^n^+(Uy - Z7Tl^2 [" l>2-lj ^- '^^ l^S- N°.
18.
8)
Zx
71 1 1/ 2 — 1
+ ^ + T— : I V. T. 138. N". 19.
]{l — l^x)iyx^n^+{Lv)^ 2i/'2 ' ■ 2i/2'i/2+l
^^ f a:-P — xP dx 1 1 1
' / 7T ^ :; — I — ,, , , = — owi. p n- -I — n Cos. p7t,l-
J (l—x)l^X7T* + {lx)^ 2 ^ ^2 ■'^1
— Sin.pjT 1
-r^~-,P<-; V.T.138.NM3.
+ om.p n 2
/•^-P4^^J^^ 1 1 1 — Sm.pn 1 V T 1
;(1— 2,-)l/a;7r- + (Zx)» 2 ^ ^^ ^ 1 + -Sin.pTr ' ^ ^ 2 '^'-15.
1 )N [ ^~P + ^ ZX 1
38.
V.T. 138.
N°. 6.
r-i i-p
■^ — J' dx 2^ « <Sm. 2n;)7r
(I- ^r)!/^^*^!/^)* - 9 ~"5 4-2n7r '
U)
a;
/.r
-x~^ d.
l/X Zj;
^ (J ^ Cos. 2npn
■p<,\; V. T. 138. N=
a """^ T , .-, ' . ;> < 1 ; V. T. 138. N^
(J \ q -\-2nn
,., n— «9-l 1— a:,,-'rfj- T 1 T
1^) /— ; ^ =-. — 12-21-2 Legendre, Exerc. 4. 113. — Cisa de Gresy. Mem. Turin.
J J J* 1 ^— J _ lo.n n,\n I
1821. 209. I. 31.
Page 216.
I'. A "T. unit, fract. t' im l' jt-? •. i- a .1
, ^ J, lAliLL i // suite. Lim.Oetl.
Log', cu don.
/•/ 1 1 1\ dx 1 .
16)/ 4- 1 = -(/2 — 1) V. T. 135. N». 13.
'J [l—a: ^ la: 1} Ixl^x 2^ '
/■fl 1 w-x] dx 1
17)/ — — = -(/2_1) V. T. 127. N\ IG.
7 \lx 2 Ix J Z.r 2 ^ '
18) / ! 7- — -1 1-' •'•+ f- + -^1 4 -r- = i/2 7i — - V. T. 135. N'. 16.
7 (V^r 2J ^ \l ^ V-.TJ j .r^r 2 2
/"fl 1 ( dx 14
7 U ~ 1 + l^-^ -ri ^ ~ 2 i
V. T. 135. N\ 5.
1
rr 1 2 a; 1 ) (fa;
20) / \ — A 1 — = V. T. 135. N^ 19.
7II— ^ \—x- ^ Ix 'Zlx] Ix
,,n" — 1 a — 1 -r""' x^P ^dx I 1\, 1 , V T
X
2.-.) Ll-.)'^^-^- (-'^ + --'^1 -(-*^— -'^.»,-.->,)</. = /^i^^ V. T. ,75. N-. 4.
J x{Lxy q rr
"' lSci'^'scs fo™« i,-,a.. TABLE 1 78. Lin,. el 1 .
0/ T ''•P = i^ - Bonnet, L. 17. 265.
1^
Bidone, Mem. Turin. 1S12. 231. .\rt.
3. N'. 3rt.
Page 217.
F. Algebr. iJt. TABLE 178 suite. Lim. cl I
Lofj. cii (It'll. s(uis formo irnil.
n (. ^ _ _l'i_ = , , -, %- _J— 1^1- Bi.lo.ic, Mom. Turin. 1S12. 231. Art. 3. N». 37.
.r
(Si'n. - n 7r
3
1 V. T. 140. N'. 20.
a;
:,) (—' ^^ = -^^- 1 (- ];-■
X 3
/Tm. '•^:jf — *"^o*. { (n + 1 ]X} +x^Cos. a). JL x ^ j, / 1 \
^ j 1 - 2 J Tos. J. +"a; ' I " / •« U /
^ /'yn. il - J" ^in . ((g + 1 ) ;i) + J^«+' S.m.a I d.v ^ r (IW — — ^'
'7 ' 1— 27Cos.X + «' l/?.c ~ \ij I l.--»i
P'' A"?^' dx = -- ^^- C/ . ' _ ;/c ') , ^ > > ; V. T. 140. N'. IC.
c 1
fj/.-l —XT
F..\lg.rat.fract.aden.x''. .^,^,,,,; ,,-j) Lim.Octoo.
Log-
f d X Tt Cosec. p n
1) /(I + •«•) , „ = — '— , < ;> < 1 ; Y. T. 1 8. N'. 5.
J J-—P 1 — /)
2)r(l +••) ', "^ = !!cWc./»:t , (1 <73< 1-. V. T. 22. N\ 1.
J .1 ' +/' p
.'>) //(I H-jj-) -— = — "^ Cosec. pn ,p<l: V. T. IS. N". 7.
l)//il— .1)-^ = -^Cot.p7i,0<Cp< 1; V. T. 18. N°. 8.
y x-~V p — 1
5) //(I + .r = ) \-^ = -£— 5ec.-p7r , < ;i < 1; V. T. 19. N°. 8.
7'^^~''^.r3-/. ^ ,^o^o'-|p^,0</)< 1; V.T.IO.N-.O.
7)//(l+a;') f =_• ^1^.3 V. T. 1;>. X'. in.
J .r' 3
Page 2 IS.
, ° lAuLL 17y suite. Liin. et oc.
Locr.
J X* 3
0) //(I -f j;0> _^ ^ 2 7r V. T. 19, N\ 17.
J *•'
10) I /(I +.i-«) — = 77r V. T. 19. N". 16.
\\)\l{\ +-^-'')'^.f =--7^ V. T. I'J. N\ 15.
J X o
f {x+\)(x + (r-)dx \
J {■' + <])' « ( , ,^
/■ 1 + ■» c/j; I , (
l;5)/; — = -A' , 0<?.<7r;\
J l-^ {x^ -}- 'Z X Cos. ). -{- 1) X 2 ' ^ ^ ']
f (p—\)x" + (p+ l)x-l' .
14) / / (I — x^-) — ^^' ^ dx =—Jx Tang, .i ;. tt , 1 >/) > 0; V. T. 22. X'. 7.
j x^
— Cos. p X
> 1;
( Minding, Tafelii. II.
Minding, Tiildn. IT.
1 5) I i — ; = 2 TT -:
J I -\- 'Zx Cos. /. -{• x"^ x^—l' J) Sin.p n I , u <C 1 ;
f, l+2x + x^ xP + x-P in , ( Lcgcndrc
J 1 -|- 2 a; Cos. A + a ^ x pbm. pn ' J
f (x+Uix + n-^) dx ir oP— I)' , )
J \^-t'i)' ^ ' P i^tn.pn I
[ x+l dx n ^ , , < ?. < rr, (
7 l/(x* + 2a;Cos.A+l)«'-7> pSin.pn^ ^ ' p» < 1 ; )
/" a- + ZbxA-.v''- djo b
I !)) / Ix. I — ~ — = til la. An-sin. - , <i ^^ b ; Sclilo.nilcb, Or. 1. ^IG.
./ o* — Zbx-\-x- X a --
,„>/", ,\-\-b''x-'dx
22) / / ( 1 — x) .{plx—\\ ~— = (t Cosk. p:r) » , p < 1 : V. T. 1 S3. N^. 2.
-i)j^l + r-) -~ -=2./^7..«^.-7..Co/.-p..j ^^^j.j,, ,,
Tagc 21!). 32
WIS- E.N .VATUUriK. VERII. lii:il l.dMMiL. .VUMIEMIK. IiKF.L !\".
(/, _„) + rr/"/ V. T. 43. N\ 1.
b '
21)//l 1 .}- — ]./! 1 +?-\— = 2 7r?^/^-i^ — "-^ Scbiomilcl.. Or. -l. 71
x'^ j x'^ pq p p
F. Alij;. rat. IVacl. a den. a;". Timn j-n •• i- n .
, " TABLL 1/9 suite. Lim. ct oo.
Lo{,^
2r,)//(l_x) {(;;— l)ix+l} jj^^ = — (TrCosee. JO 7t)\ ()</><!; V. T. 183. >". 1.
F. Alg. rat. fract. a den. binome. t, . or i? 4 on in.
I^J^ /^ j,v„ TABLE 18O. Lim. Oetoo
/"x'"— • <r p <^ 1
1)/ — ; — Ixdx = 7Tql>-^Coscc.p:T(lq—7TCot.p7T)' ' ' Minding, Taf. II.
r Ix
2)/—; -<fj? = Hill, Cr. 3. 101. — Bidone, Mum. Turin. IS12. 231. Ait. 3. 37.
J I -\- x^
^'/^'- = » (
f (Ix)^" or, 1 (
71+-^' (2/l+l)2a+lJ
IJidone, Mum. Turin. 1S12. 231. Art. 3. 37.
5) = (— 1)"+! (2 7r)2a+l B' (-j Raabe, Cr. 42. 348.
7)
[ ^ , Id' 1
6) / r— r {Ix]" dx = - nr -— . Sec- q n Moigno, Calc. Int. 136.
/xP—^ — I?-' dx t 1 I \
TV i 7~ ^^ ^ n T'a"*/. - p 71 . Co<. - 7 TT ] Cauchy, Lim. Imag. 128.
fix n ,
l-r~, i"*-* = 7~h Schlomilch, Gr. 4. Slfi. — Arndt, Gr. 11. 70.
J q +X* iq
fix. 7T ))
^**Wn2 -i-^1 -2 '^•^ ^ ;i '" Lindmann, Stockh. Ilandl. 1850. IT.
JP +1 ^ 2pq q
■"/>-^^--^' 1
/•_„;- If , . ) Ohm, Ausw. 16.
Page 250
F. A ff. rat. fract. a den. bmdme. m . r»T i? ^ on -f^ f •.,, n ,.•
w ^ ,, w, lAljLh, 1 80 suite. Lim. ct 00 .
Log. {Ix)'.
;; = nl IShi.- pn. Cosec.-qn\ Cauchy, Lim. Imag, 129.
1 — x~ l.v \ Z Z I
•' / Schlomilch, Gr. 12. 208.
15)/ x'^-^lxdx = — — Tang.-] ,a>2;\
fa + 1 1 „ n
n— x2 / 7r\2 SinA——n\.Sin.-
Ifi)/- x^-Uxdx = — —1 ^-— TTT— r Lindraann, Gr. It. 9t.
26 \ 2b )
F.Alg.rat.fract.aden.binomc. ^^^j^^ ,3, Lim. et =c
l-.og. (laulrc lornie.
'. Hill, Cr. 3. 101.
2) A (5 ' + •'-•^■i Y"^ = 'T Z ( 1 4- ^y) J
:i)[/(l+/>^.r^) 4^ = 7r^l+/>)
> Schlomilch. Gr. i. 71.
r /.r+ 1\2 A- 1
7 Vr-ljl + x^ 2
r / 1 \ tZx 7r
0)// I+ — P; ; = -H^+P) SchlOmilch, Gr. 4. 71.
7)/'/(.r»+7')— 4^ = -Z{;> + ry) V. T. 205. X'. 12.
^)fn-'--rV-~^ = J^i{p'+r) V. T. 205. N'. 13.
'^/'^'■'-''^';Tr^ =jj^(;'' +'/')'/' + '
nUZff'— o'P = -ZfTji 4.«5^fT> J-^)i V. '1'. 205. .W 15.
Page ir,]. 32*
F.AIg.ral.riacl.adt'ii.hiiiomo. 'i^^^^Li: 181 suite. Lim. cl x .
Log. d'aulrc forino
l")/'(l+'^>-^^=^'
dx __ ^r p + t/
pi -j- X- p V
Caucliy, Lim. Iraag. Add. 2S, 30.
11)// 1 + ^- , _; ^ -Arclauff.-]
l.)|/-
r^+Scc.n. dx __,/..!
13)
\
= nl \Cos.^-l.Scc.).\ V. T. 3^4. N°. 9
CCos.n.^^_dj^ _ 2WCoJ^ V. T. 334. N". 13.
} l+x» \-\-x^ 2
11) ll~^-^°'--~ -^^ == 2 TT ; ( Cos. i A. -Sec. - „1 V. T. 334. N\ 23.
'} *» + 6o5.» .a 1 + ^» \ 2 a ■ /
n+5.,.2A + . ^_^Z^ _ .,L+^'"-^ V. T. 334. N^ 22.
7 1 — Sm. 2 ;. + xM + x* Cos. A
fCos.*.. — Cos.»P. + .T:^-Sin.U di: , ( , 1 ,„ /I, • /-Sin-.'-W) V. T.
334.
7. 448.
F.AIg.rat.fract.a.l.M,.(a±.T")S ^^jj^i; ^§2. Lim. cl cc .
Log-
f dx 1
l)//a; = -i7,7<l; Setlomileh, Beitr. III. j 10.
j (7 + ■»;)' 7
f a-
2)/('j-P cZj; = Y. T. 15.5. N'. 15 ct T. 1S7. N<'. 5.
7 (l+x^)»
f dj: 2
3)l(ij.)i == -rr^ MiiKliii:^. Tuf. If.
7 (I—-')' :i
f dx 1
4) fix - — ; — ^ — - = {[n—X — 7J(p)] Schlomilcll, Beitl-. III. j 9.
m/i ^^ r(p— i) l^TT f , a / l\i
'^j^'i^^W^^ ^ a^;-6r(p) IT \''2-p-'^-'''y'—2)\ ^="''™' ^'■- ^^^- '^■^•
'>/'^a +1)6^2 = (HPTK^ {'« - ^" J} Schlomilcb, Beitr. III. j 10.
Page. 252.
I' . Al^. rat. Iruct. a doii. (a ± x )' . ^ » ni i? i oo
I ^ ^ ' lAlsLL 182 suite.
Lim. et 00
2n
■z\
22
(1 +x)
[r/'^+x^y^ ^ 2(1
r+^r+-J "■'■"■'
— — - dx = [l„ — ~\ V. T. 24. N'. 4.
(1+^)7.;
, r~; 777 dx = — \lq n7i\ V. T. 24. N'. 1.
(1 — •?)' r . . ,., tj.e
(l+x^
(? + ^)
(1-^)'
(7^+x^)^
1+2'-
7\h +-q-^] V. T. 24. N". 2.
— - == - U2 1 V. T. 163. N\ 4.
d ^ 2 (^ Z 7
V. T. 24. N'. 12.
{q-\-xp t + q
{Q'+x')
Iq V. T. 24. N'. 12.
q n
I
/
/
/
/
flip. _^a). -^^f^d^ = - -^1-^ V. T. 24. N-. 11.
N". 3.
{l+xy l+q'
r+V^'^-TT7^^'<''' ^-T-^^-^-i-
(1'+^')
l-xy l+g
— 27' , <77r
^?+ H 7 V. T. 24. N\ 2.
1+y'^
(1— .^•^)' l+«^2
(p +^ )
p + 'i
Tt q
V. T. 24. N^ 8.
P^ + J!*
ii' + ^')r~~77d-r ==-.,.
(/,2_X-)- /^'+7
V. T. 24. N'. 11.
{\-x^y
dx =
(,= +..,.- -rr^" V. T. „, N-.. U..
V. T. ^4. N'. 13.
Pago 253.
F. Aly. rat. fract. a aulie den. ^^3^^ 185. Lim.Octoc
Log. / X
fix XP
\)l Jx = (nCosec.pny ,0<^p<^\; Minding, Tafeln. II.
/ .>■ X — 1
f L X ti X
2)/ — = (rrCoscc.pTT)* Svunberg, Tran^l'. § 5.
/ .r — 1 .r/'
f n +x\2 dx 1
•.\)\l\—^-—\ = -71^- Schlomilch, Gr. -1. 316.
[ 1 x-P /I 1 \2
4)//a:- dx = (-rrT'i/H^.-pTr ,;?<!; Sclilomilcb, Gr. 12. 20S.
r {p + q](.Tl-P—xP-1) + (p — q)(.cl>+<i — x-r-l)dx n ^ on
5)//j ^^^^ "^ , ^ ^— = -Tang.-'— V, T. 22. N°. 14.
'/ {xp~x-py X p ^ 2p
TT
iAllx — = - Sec. — V. I. 22. N=. la.
' f # _n I n 1 ,^ .. fl .-
{xi- + x-P I ^ a; p 2 p
fix \2"-^i c/.r
(j+ij
i \!?*+«'/ a; 23/2 2 j^a-
■•)j'^(,/^^ V=^^r.^ } S'^Womilch, Gr.
4. 3IC.
^")/'4,;t^,-7) ^^
T \;' _ ^ P (r(jp))
+ rV 25P r(p)
7.r + ,/.r+l 2q—l
13) fJi^L ■^^ J^ ^ _!L_ g^'^9 • Sin.p7l+ il—QP)7T Cos.pTT) !
J.c + q., + ]. 'j-\~ Sin.^pn ~f,p^<l,y>l;
13) f-^ -^^ rfa- = — !— '^ + ^'' (^'"- P^ll-^ Cos. p n)
Jx + q.r~\ 14.^ 5(n.^p;r /
Pairc 25 J.
K. Al'f. nit. fract. i'l autre don. T-iorr lo- ■. in
j^^ . lAULL 180 suite. Lim. el
f p 4- x"^ dx 1 n
\<j)\lx^^ ;■-;—; = -";— ;— ^p V. T. 346. N'. 7.
17)
/■.r/'-' — xl—'^dx p — 7 ^
/ — — • = I J ana. I
I I + x^l Ix -^ iq I
•' \ Euler, .\. A. Tctr. 7. 64.
' ] 1 + x'- Ix \ -^ 2 »• 1r] ]
F. Alg. rat. IVact. a autre (Ion. TABLE 181 Lim.Oot oc.
Log. (1 autre lornio.
{{IxY dx 1 . , , ,
^jx-\x + q 3(1+9) ^^ ^^
f(lx)^ dx 1 i
2)/-^— ! = !7r* + ('<7)'P I Dcdekind,Eul.Int.S.2a.—
J x—1 X + q 4. (1+17)* r Minding, Taf. 11; il a fau-
f Ux)^ dx 1 I *'^'
yx— la; + ^ la(l+(2) I au
'Jx — lx-^q fi(i+,/)' ^w;> I -rw; J J
^.{i^^)-". , , (—1)"+' '' /2k — 1\^ /2n-l \
^V ,^71 (■'-'' + -^'')^^ = -— ^^ 2(27t)2''+i :S'(-l)"-iB-(-j-^ (7o8.(— ^aT
f (Ix)-" ( M^+i '' /«\ ts'iV
fi)/-'^-^(a;-i— x'')J.r = ^ -^ — Z{Zq7t]2a+i ^l—iy—i B"( — ] Sin.na.7T \
Dcdekind
Minding, Taf. lljilafau-
tivement dans les drnomi-
teurs 6, 24, 360, 720,
lieu de 3, l, 15, C;
Raabe,
Cr.42.
Ix.l''
)lq—Zn{qP — \)Cot.p7Tl
I X — 1/ X — 1 q — 1 Sin.^ pn I , />' <^ 1 , 7 ■> I ;
p-y; dx _ -^--' + {iQ)\
'jx — qx—\ 6(7—1) '
7^ ' 1 + 2j;ros.X +x'
C dx 2
\{lxY :; = - ;i(7o«c.i(7i» — i')(7:i» — 3A') Lcgondrc, Excrc. 4. 105.
/ 1 + iJ -r Cos. K -\- x"^ 5
l^ ^f I Minding, Taf. II.
d X
= i Cosec. X Legend re, Excrc. 4. 105.
10)
Page 255.
F. AL'. rat. iVacl. a autre don. t » m r. . o / -. r • n .
Log. .raufT lonur. ^^"^E 184 suite. Lu». ct cc
[ dx ( — 1)"+! /1\
"/<"'" ttt:-? - '— Vm2'i-+'b" (j)
7 \—x-\-x^ 1/3 ' ' \fi/ ( Eaabe, Cr. 42. 348.'
3)/(/.r)2« ^ = (— l)''+i(2^)2«+lCoscc.2o7rB"(p)
y 1 — 2 j(o«.2;):t + *' i
4)1/(1 -f g») ,,"," ^ ; = -^■^'^ V. T. 152. X", 14.
dx 1^
x{\ 4-j-J) ~ 12
/"., X Ix — r — q dx 1
5)// I +/•)- r— ^ = q V. T. 183. N'. 12.
/■ a;/j; — X — a dx 1
l)\l[\—x) —- *— , </x = oc V. T. 181. N°. 5.
/ 1 — X
^^j \[ll^y- - l- j [(TIj-^ = 'r(/>) ycau>:, Fonct. Trausc.
F.Alg. inat.fracl. Tvnii.^iQ- i- n.
Lq„ lAIiLL lOt). Lim.Oeloo
l)//x = 2rr V. T. 2S. N°. 1,
J x\y- X
„ f, \~x dx 1
2 /'•';.-; — ; — = t v. t. 2s. ^■^ i.
•^)i'-^-[r37y.i^ = « V.T.2S.N'.2.
''T^r ^{l+x^){x^-^\-p^) = ^^'(P)'('-;'=') .P' < 1; V. T. 347. N-. 13.
Vi'fc 25G,
F. Alg. irrat. Iract.
Log.
TABLE 185 suite.
Lim. ct 00
C) 1 1 X
S)
9)
h
-nTang.-\ , a> 2;
— r dx
dx = \~Tt 'lang. - , a '^ 2 ;
-X- \2 a]
Liiidmann, Gr. IC. 94-.
' — 1
-X dx
— X-
dx
Sii
ib + 1
{- n
n I . Sin. - 1
a j a
(26 +
2) bn „ \b + 2 ] I
Sin.'^ — .Sin.^l- n}
2a [Za }J
I ( i-\ I 2h—\ I]
'- <Za+2/2— 2 2 2-} Schlomilcli, Beitr. HI.
1) ql>+i [^^ 1 « b n)
jlx —
J (r/
[/. '^- =--l^!^(l + 2^2+ili V.T.331.N
J (i_a;-i)t+a 2«+l l"/i 2 1 ^ in\
4
i 10.
10)
11)
'. 10.
d:c = ^ ^i— (4 7r)«a+i ^ (— l)"-i B" ( . . ] Kaabe, Cr. 42. 3iS.
+ a;* 6 1
dx
12) //(I _^)2 — . = V. T. 28. N'. 2.
' xl^x
13) A (I + a-) ^-^^ = ;;-^ nSec.pn,p^^]; V. T. 28. N'. 5.
.r/'+* 2p—l
•1.
rf;r
2X1 Sin hp. I V. T. 343.
^^^j\+Coihp\).-\-x^ l-\-{\—Coshp\X)x^ 1/(1+0;') ^ SinhpXCoshp.X N'. 12.
F. Alg.
Log. (le fonct. irrat.
TABLE 18G.
Lim. ct 00.
n r i-^(i+a;')+i/(i-p' :
7 I '(i + .T')-i/(i-;.';
da;
) 1/(1 + ■«'-)
1.^(1 + a;^)+p rfx
' f , ;>^ < 1;
Haiibe, Int. 4-21.
'/
1/(1 +.rJ)_p 1/(1 +^1)
dx
i) /(l + L/:r) =
(q + xy
1+7
^ %4 ''
1^?
V. T. 24. N". 3.
■1) n ( 1 — b" a;) » — — - = — ^ (/ 7 ^1 V. T. 2 f. N". 4.
Tiige 257.
WIS- KM KATi'ini;. vkhii. deu kom.>kl. akadejiie. deel IV.
83
^•^'^'- , , , . , TABLt: 18G suite. Lim.Oetoo
Log. ik' lonct. irnit.
/iv dx 71 Z 3 71^ \
/'
X -^ J 7r Z 3 71
1^(1+^') 1+^ "^ ^ ~3T^ + 27( Enler. Calc. Int. 4. S. 3. 161. - Id.. Act.
X dx __^_2ll I ^'"■* ""• ^'" '•
dx == 71"
»^(14-.i;») 1 + 2.-' 27
'^•f^lj" TABLE 187. Lim. 1 etoo
f dx
r (1 +;>) V. T. 42. N'. 2.
= 5- Bidone, MJm. Turin. 1S12. 231. Art. 3. N'. 37.
3) / ^ ^ = ^* Ohm, Ausw. 16.
7 1— a;^ 8
f X 11
4) Ha? -(^ar = -Z- V. T. 333. N".
J {l + ^'V ^ '^
^) r •''■ 1, . ,"t TT =1—^2 V. T. 103. N'. 3.
d X
x^l^{x- — \)
\
6) /('jr)" — r~T = l''/'-2'(— l)"; ^ Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 3. N . 37.
7' ' l+a:» (2 «+])»+!
.S)//(l +.»2)_^ ^ ^2_(;o 1 V. T. 160. N'. 17 et T. IS-i. N". la
./ « ( i -f- .r - ) 2 I () J
r 1 do; 1
'0/i ~, = -lip V. T. 43. N°. 5.
/ Ip — Ix X* p
10) f— -— -J = — «'^ £/. (- q) V. T. 129. N°. 9.
I q -\- ix X^
f I dx
11) / ; = c-7 Ei. (q) V. T. 129. N'. 4.
I q — Ix X-
Page 258.
^i'^'^- TABLE 187 suite. Lim. 1 ct cc.
l'^)f , /,. ,/ v = C{.(q).Smq—Si.{q).Co8.g + lnCos.q V. T. 130. N\ 4
/ Q -J- it i3^) X Jit
13)/ —, ^ = Ci.Ui).Cos.q-\-SiAq\&in.q -nSin.q V. T. 130. N°. 5.
^^)/^rr^ ^ = - ^ (^-' ^^^ (^) + '^^ ^'- (- ^)) ^^- ^- '^^^ ^'- ^'-
r ilx)^ dx b^ bn
16)1—^-^ = - Cosec. — V. T. 43, N^ 17.
7l + (/x)''a;2 a «
17) f'^illrl-f =, - 1/ 71 J: f_ lin ? — Bidone, M^m. Turin. 1812. 231. Art. 3. N\ 37.
'] l+x^ 2 . 0^ ' i/(2n+l)
IS) / ^-- = 1/71 Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 211.
J .V* l^ Ix
19)/ — == vyn^{—\Y Bidone, M^m. Turin. 1S12. 231. Art. 3. X'. 37.
'Jl+x^l^lx l./(2n+l)
^■f'o- TABLE 188. Lim. divcrsesOet ».
Log-
1) / / (1 — ^) — = — n^ Schaeffer, Cr. 30. 277
J X 12
rdx 1
i[x—\Y—^—^^ — -nn Hill, c
1^1-
3)/ /.c _
7^ 1/ (!_,.>) 4 2 o(2n + l)
./I
/■* dx \ \ \
h)\ ii\ — x)-~ =-{liy — --^■'
'] ^ ' X 2^ ' 12
—1
d .r. 1
>. 3. 101
+
'^^ =-l7r^2--l ^~^^" V. T. 271 N°. 4.
.. .. . 4 2 <,/2 7i4-n^
Scbacffer, Cr. 30. 277.
{' dx 1
0) / l[\—x) — = ;t' + irzZ2
i X \
Page 239.
33*
F.AIg.
Log.
TABLE 188 suite, Lim. divcrsesO el jj.
1
^7 x\^[-[\+ItY^ 1^7
V. T. 150. N\ 1.
—\+V5
3—1/5
'/"
1—1/5
7 ' '^ a; 15 10 I 2 j ^ 5 2 "
'/
I+t/5
c?a'
,1). ,(,_,)- =_-^-,. + -,
l + l/5\2 2 _i-)-,.5 3_,/5 .,J+i5
Scbacflcr,
Cr. 311.
277.
— ~l
5 2 2
I i-7iil
-1—1^5
i»,| ' ,a_,/^_i,.+lf,l±il5y_^,=i±!^,t±i+,=l±^,'+'^
X 10 '5 2
.'-. P.
3+1/5
2
7^ ^:»; 15 ^2\ 2 / ^5\ 2 J 5 2 2 ^ J
M) I i(7 + ^)*— T— 7 == ^TCtana. -. HI +0^) Hill, Cr. 3. 101.
•', I + x^ " q
15)1 l{\ -\.qx)-— — - --= l(\ -\- q"^). Ardang. q Bertrand, L. 8. 110. — Giunert, Gr. 4. 113.
•0 ^+''"
y^ q-\-lx
1
I '5
X V. T. 150. N'. 12.
17)
a;2a-i 1
1 1 — dx = — - {£/. (—a)} 2 V. T. 383. N\ 3.
Page 260.
*''lfjf; TABLK 189. Lim.di verses pet 7.
■'D'
'•' ;K«-1
])f — dx = X V. T. 1-1-9. N'. 15.
P Ix dx 1
2)/ = -c— 1 V. T. 113. N^ 5.
' {l-lxy- X 9,
a
f itfi<= — x->'<: 1 tl + bc\^ la \ fa \
J X^ Ix
4)/ -^;-;- = x V. T. 112. N». 4.
^)r\px-q) '" dx _ n ^ p^/r-{i-,'[i- r)\ jg + t/(g^-;>' )}
+ 1
l-r«» 1/(1— z») i/r(l -r) pi/r+ (l_,/(l_r)} {qJ^^y{q^-.p^))
-1
f+i
7, \l-.-c/l— x-5in.Ui/(]— .r^) , \.\-lrjTang.\l-\-liTangM,l
~' "I Lobat-
/2)i4-l\ ;i 2n+l\ f /2n+l\l Ischewskv,
, o^g = C08.I n U-Coi. l-TT-f-— ^ 71 J/ j 2 Sin. I tt i, Oldm.Kasan.
')/__ '(,3;),:^=^.-/— ^^ ^ ['•"•(i''- « '')''-|"'"{ . "ill-
— 00
10)/ l(V + x)— = -'(1+r) — '— ^ l-'cl.liimilcli, Gr. \. 71.
7 -i-* ;^ p
p
'^ Caucliv, LiMi. Iina!j. Add. X". 27.
-<1
Page 261.
^•^^S- TAIJLE 189 suite. Lim. (liversesj)cU/.
O'
Plana, Mum.
820.
f 1 { 1 — 1/(1— p^oM) n Plana, J
n X dx nq q\/p — j 1—1(1 — p)\{'r-\-\'{r'^ — ^^^j Lobatscliewsky,
^'■'^r'^'-'^^z^^ i/(?^-^^ri^w) ?i//>+ (i-i/(i-^}H-»/('-^-2^)T fst^: I.'""""'
J X s 4- 1 ■■
p
/•7 dx \
15)/ (^P-^-2a7r^>— = — — ((ij + 2a7ri)*+' — (i/>+ 2a7r i)s+i]
J a; 1 +s
/'
J Ix -\- r X
p
^'n'r-T^. ^— = Z((Z^ + 2a7ri))-Z((/p + 2a7ri))
l>
['' dx 1 f a^— JM
IS)/ (^J-)' = -lab.T {l^~ } Eoberts, L, 14. 238.
a
^'-.'^'S- , TADLE 190. Lim.Oetl,
Log. de l^og.
1) / II- j;"-i d X = (A 4- / a) Malmsten, Cr. 38. 1.
J 'V a
2) ///-.(/- ,2;"-'dj: = i'l^ {Z'(/,) — ^a) V. T. 377. N^ 2.
;>) / ;/- a;"-! — ~ = — V/ - (A + 2 Z 2 + Z a] V. T. 273. N°. 4.
a;
^ f„l 1 dx ^, ^^ /(2n-}-l)+ 2Z2+A
'*)/"- 7—, T r =1/71^ (—1)"+' -^^ ^i-- V. T. 381. N\ 4.
J a' 1+a;^ ^/^i 0^ ' l/( 2«+l)
a;
Page 262.
''■fl-.doLo^. TABLE 190 suite. Lim.Oetl.
^o" " ' ""n*
V. T. 274.
T i \^ 1
(2n+l)7r— -- (27!4-l)7r4- —
c c
•' 7 (2n+l);r (2«+1)t+- \
_ 274.
^N\ 4
\ c • - • c J
8 /«-7- ; — : r = r— ^ — 1 "5in.-n7r-— ^~ --!=-- V. T. 3S1. N\ 15.
.r 3
")/"~ i fo r :■ . -= T'^^'"'«<^-^' ,, ^ , , ^ Malmsten, Cr. 38. 1.
J X i -{- Z X Cos. I -{- x^ 2 L J^\
\i" ~ 2n}
\ in I
2T\^^^±^\
-Til- V. T. 275. N'. 17.
2 2
__b b / 2a+97rn— n- 1^
yj I -r^ W j_j_^i 2c ^ / ■* (\ 2/c) ^/2 a4-2;rn-7r \ "ni'a>r:
r -
\ 4err / V. T. 275.
N\ 12. IJ.
._, 2a-2rrn+:r \
Ltt 2 ,/ ]\i;r| i 2c7r +M,pout6 + «
1-2) =7i5ec.-/c7T+27T.2'(-l)"-W>.t. « -\l—^ ^ ^-' mh-
io ^ r ' W 2)c\ 2 a+-2nn—n \ P^'^'
\ Zc:t j
-ft J
Page 2C3.
^•■^'o- TxVBLE 190 suite. Lim.OcH,
Log, do Log.
, , [a-\-7Tn 1
\ 2c-T / v_ rj,_ 275.
bit 2 _. nJ;r 'l ^
N'. 14, 15.
16) =^rrTang.-lcn + 2n:S{--L)"-^Sin.~l ^ /" / .pour^ + c
6 6
, pour6-f c
V. T. 275.
/ (1 -ja.. c __ J.C brc , pour 6
17)// -rr'c' 4-(Zjr)M-^—- ^diB = —n'rang.— tn-^ impair
+ .^ (-1)"-. 5.— / {(^-c_.) Cot. (- - --]} N^ 17
18)/Ha-+(Za;)n ^^^^ = ZttZ / .^"^ / ■ 4-71/71 V. T. 275. N^ 18.
47r
,a-\- 4: n\ ja-\-b7i
Btt / \ 6ir / Y.T.275.
a-f-7r\ /a-(-2 7i\ N'- 19-
.. ff, ,^ . (1 — Lr)-i — (1 — /ar)-/') cZ.e
/■ I .r 1 ^ dx
71 Mi-/-»
-~ [ = —In V. T. 378. N°. 1).
) ) xlx
''•f^|;j,Lo.. TABLE 191. Lim.Oouletoc
1
PaM 264
'''•,^'«- , , TABLE 191 suito. Lim. ou 1 ct oo
Log. (ic Log.
2)1 1 1 a; = 1 -777 l^" 2 tt
/•« 0—1 — a;— a— 1 TT ATI- tt''— ' , , „. naTT, \ 26 ) nour a + 1!*
r' ^
4-1 p'* — «
■rr UTT . TT 2 , , , , o- "'''^i \ ^ / ) pour a + 'I'
4) — ~Tan,i. — I n + - ^ (— \)"-^ Sin. 1 V , - ■
^■6
f * a;"- 2 jf JT 7r«— 1 nrr, l 2 a
5) / iZ^ (ij; = — ra«ff. — /2t4— ^ (— l)"-'5in.— /— \ r-
7 l+.r2 + iC*+....+a;2a-2 2a ^ 2a a i « ^("\
, pour a
a I n\ Fir;
2
TT „ 71 , ft ±, , , , ^. '"f , \ <* / , pour n
r
a
7)/ Ux = l-nn — lr A\
r
', • rl —
i-J. r/^-«+^
"^ o OT. ."4.. is.^,/1.. (""i]^; \ & / , pour a + /'
' ' rl
9) = ^^Sec.-^.+ -^(-l)-Co.^-^i-^.^ ,„,,
6
Lcs intcgralcs 2 li 9 sont dcduitcs par Mnlrastcn, Cr. 3S. 1, oa il y ft plusicurs faulcs
Page 2(15. '"^^
WIS- F.y r(ATUUIlK. VEHll. IIEH KO.MKKL. AKAUEUIE. UEEL IV.
^- ;^'^- r» TABLi: 192. Lim.Ocll.
Luc. Uir.
1) jxSin.ax djc = -^{Sin.a — aCos.a) Kummer, Cr. 35. 1.
2)jxCos.axdx = — {a Sin. a -{- Cos. a — 1) Dienger, Cr. 46. 119.
J «'
'i)jx'^Cos.aj;dj; = -^ {{a^ — i) Sln.a + 2aCos.a] V. T. 192. N'. 1.
4) /i-?-' Sin.Zpnxdx = „ ^^^| ^ "^ ^ _^ '-^—- Kummer, Cr. 35. 1.
1 — q Sprr
(/(/}' + 4/)* 7r» q
fSin.pX! £. 1 r)2;i— I
5) / ^-—dx = Si.(p) = 2 Arndt, Gr. 10. 225. — ScLlomilcli, Cr. 83. 316.
7 X ^^' 1 2 71— 1 12«-l/i
/■ ^"^ la/2 C ^ r'plSn 1
C)/(l— .1 = ) - Coj.nj;^^ = -h_LV(_iy, 5i£^ i Bessel, Abh.Berliii.l824.I.
f °-o rfa— ') <» i)2n
'J ' ^ 2.1°/i l"Aa"/i
r Ibjl la— '</! ^, J«/l V
8) /(I — .r^)''-J'-i;c'!'''-'<7os.»a;fZ.(; = 2(—l)" »2« /Schlomilcli, Stud. 1.24.
J ^.l"-! 2-'"/ia'./l^ [
9) / x^-i ( 1 — a:)«-6-i Cos. (1/ /7 :») d .r =
14/1 la-b/l „ ^« 1
S .pn
1"/' 22"|i a"/i '
10) jSin. .~p\x -{--Al.ShiJ.-pij; jj 7^~- ■= — - -^ Sin. p Cauchy, Lim. Imag. .\dJ. 17.
.Cos.qx — Cos. (-1 , , ^
ll)j _ _ == _-.5u.,;
a;
\ Cauchv, P. 10. 511
'9'
,^, Acos.qx ^^°'- W,]\ dx 1 I
\ ^ J J
. .,, /■ r Sin. I X ]
Page. 266^
K. Alg. rat. cut.
Circ. Dir.
TABLE 195.
Lim. Oct 00
' X Cos. X d X = — 1
\)\ X Sin. X d X =^ Q j
■4
3) I j;^ Sin.q x dx
J '1
f r. , 24
i) I x^ Sin.qxdx = — •
J 9'
5) / X Cos. a X dx == ;
; r
C>) I x^ Cos.qxdx = —
f ^ 12
7) I x'' Cos. qxdx = — —
J T
Boncompagni, fr. 25. 74.
^ Cisa de Gr(!sy, M^ra. Turin. 1821. 209. II. 50. — Otttinger, Cr.
„j 38. 216.
Oettinger, Cr. 38. 216.
^)\x'^<^Sin.qxdx = (— 1)"
12a/l
9) Ix-'^ Cos.qxdx =
10) I ,T2a-i Sin. qxdx ~
l\)\x''-''-'^ Cos.qxdx = (—1)"
12) j x>>-^ sin. xdx = T (p) Si7i.-p Ti I „
12a— 1/1
*<i;
Cauohv, Sav. Etr. 1827. 12f. Note 3. — Plana, Mi'iii.
iQ\ 1 „ 1/1 J . 1-^ N/>„„ ..~\ Hruxollcs. 1S37. — Boncomimgni, Cr. 25. 74
16) I .vP—^ Cos.xdx == T [pjCos.-pn } ' "
] i) I .cl>-^ Sin. q X d X = —- Sin.-pn) Logomlre, Kxrrc. 3 55.— I'lnmi. MJm. FruxdUf. 1S37. —
J q ^ I Oiltingcr, Cr. 3S. 216.— Schlomilcli. Stml. 1. 13. fpour
I 1 > 9 > cl 7* < 1 resp). — Hanlic, Int. HO. (pour
1 5) (.vP- » Cos. qxdx = ^~^ Cos. -pn] tout /, et 7).
'J ' qP 2 /
rase 2G7.
.31*
F. Alg. rat. cnt. ^^^p, ,, ^g- ^^.^^ Lim. cl o..
tiirc. IJir.
16) (xP-^ Sin. qxdx = T (») Cos. ~p it Flana, Mem. Brux. 1837.
\l)\xSin.{x'^).Sin.j)xdx = -pl/2rr. |co«. Up' 1 + S(n.( -pMJ 1
lf<)JxCos.{x^}Sin.pxdx = pl/2 7r.|Cos. -p- ]— ASin.|-/>M i V
Caucliy.Lim.Imap. § 192.—
Id., Sav. Etr. 1827. 124.
ote 2.
T\'-
Kaa'.e, Int. ilC.
19) I a-r-'^ Sin. (ox'-) dx = _Aw_ Sin.—
'j ^ ' r\yqP 2r
r V-\
20) /.r/'-i Tos. (tf x') dx = -AlLL Co«.—
7 ^^ ' r\yqP 2r>
-'^)l7^—i 7^ d-" = 2nl(l—Cos.}.4-iSi7i.}.)i
I Cos. I. — Cos. X I
, Poisson, P. 18. 295. N\ 37.
/x Sin. ct
; dx = nin—e-<l)
Cos.
X
f xSin.x , L^ (1 — »-)
23) |--— -dx =nl{2{l~^p)] — {Arciang.^—^ ^— ' Piana, Mum. Turin. IS:.^.
F. AIc;. rat. fract. ;'i (Icii.j-. rnmr^ ,n, t- n .
r-^ n 1- 1- . TABLE 194. Lim. ot oc .
Lirc.Dir.cniHiin.d uii act.moii. '^"^^
Masclieroni, Adn. 52. — Euler, Calc. Int. T. 4. S. 5. 139. — Bidone, Mem.
415. — Laplace, P. 15.
— Id.. Cl-. 24. 164. —
Bsitr. III. § 4.
Masclieroni, Adn. 52. — Euler, Calc. Int. T. 4. S.
fSiv. .r 1 Turin. 1812. 231. Art. 1. N". 2. — Fourier, Clial.
^/ X ~ o"^ 229. — Lohatschcwskv. Mm. Kasan. 1S:55. 211.
•' Scblorailch, Gr. 1. 41?". — Id.. Cr. 36. 268. — Id.,
fCos. X
2)1 dx = A (fautive) Mascheroni, Adn. 45. — Boncompagni, Cr. 24. 75.
; *^
3) = oD Laplace. P. 15. 229.
4) = _ A — /O Bidone, Mom. Turin. 1812. 231. Art. 1. N\ 5.
fSin.p X 1 \
^^/ ~<i^=^ 2'^'P>0; \ Poisson, CLaleur. 102, 158. — Id., Mtm. Acad. 1823. 571. N\
[ 12. — Caucliy, Cours. Leg. 33. — Id., Exerc. 1826. P. it5. —
6) = ,p=0; ) Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 1. N'. 19. — Cisa de
[ Gre'sy, Me'm. Turin. 1821. 209. 11. 53. — Pioch, Mem. Courr.
1 ^ „ \ Brux. T. 15. P. 2. — Libri, Cr. 7. 224. — Besge, L. 14. 31.
7) = — -7r,p<0;r
Page 268.
F. A ff.rat. fract. a den. a;. Tinii? m/. •. in.
p," T^. p f , lAliLh I U4 suite. Lim. el oo ,
Lirc.Dir.cniuim.a iiniact.mon.
[Sin. px , 1 . „ .
8)1 — dx = - jr , p tres-])etit ; Cauchy, Sav. Etr. 1S27. 599. S. 2.
Sur la formula (5) seule voycz encore: Leprcndre, Excrc. 3. 4C. — Cauchy, Lim. Imag. Add. 16. —
Id., Cours. Leg. 33. — Laplace, Probab. L. 1. 25. — Bidone, Mum. Turin! 1812. 231. Art. 2. IS. —
Poisson, P. 16. 215. N". 2. — Lobatto, Cr. 11. 171. — Kaabe, Cr. 23. 105. — Oettinger. Cr.
38. 216. — Bonnet, L. 14. 249.— SchlOmilcli, Gr. 1. 417. — Id., Cr. 36. 268. — Id., Stud. I. 13. —
Lindmann, Gr. 10. 94.
r Cos.pjn Lcgendre, Exerc. 3. 46. — Cauchy, Cours. Le?. 33.— Cisa de Gresy, Mcra.
/ X '^^ — * Turin. 1821. 209. 11.53.
10) == — cc Lobatto, Cr. 11. 171. (fautive).
11) = _ A — ^ a — i Bidone, U6m. Turin. 1812. 231. Art. 1. N'. G.
STann. x 1
12)/ f dx = -n Schiamilch, Gr. 4. 310.
Turin. 1SI2. 231. Art. 2.
13.
/
-,, JTang.px 1 Legendre, Exerc. 5. 35. — Bidone, Mc-m.
'j X ^^ — 2 '^ N". 38. — Plana, MJm. Turiu. 1818. 7. I. i:i
14) J!i± dj. ^ (_i)a J j _ Kaabe. Cr. 23. 105. — Id., Cr. 25. 160.
_ 1 W2 Kaabe, Cr. 23. 105. — Scbl5milch, Gr. 4. 316 (pour a fraction iv
' i'^^"'^ dcnominateur ct numcrateur impairs).
[Sin. ^ qx , 1
IG) J ■'- da: = -71
J 3> '1
[Sin.' OX 3
1 7) / ^— dx ^ —n
[Sin.^" q X
/■5l"n.2a+l (
^^ I Bidone, Mdm. Turin. 1812. 231. Art. 1. N\
f 10, 15.
00
1!>)/ —dx = :5:(— 1)" , ^, ,
/■(Sm.k» — (j)j;) 1
20)1 ^^iL-lLAdx = - n ,p>q;
J X *
21) z= ,p = q; ) Piovb, Mt'm. Courr. Brux. T. 15. P. 2.
J
22) = — -7r,/J < y;
Page 269.
F. Alg.nil. fnict. a (Ien..r. nMnirio- i- n .
Ci.c.bir.en.u„u.dc|.lus.fact.mon. ^ABLL 19o. L.m. ot oc.
, , fSin. X. Cos qx 1
Fourier, Chal. 357. — Sclilomilch, Stud. I. 21.
2) = . <?* > 1 ;
••5) . „....,
> Serret, L. 8. 489
CSin.qx.Cos.x 1 )
j ~x '^•^ = 2-. 2>1-. (
-l) = , 7 < 1 ; J
5)/ "' '^^" ^"'^'"^ dx = - Tr,7>r); / Lcsendre, Exerc. 3. 46. — Schl5milcli. Cr. 3fi.
J X t ^ ' \ L>r.S. — Id., Stud. I. 21.— Hidone, Mum. Turin.
i IS 12. 231. Art. 1. N . I'J.
6) = , <7<p; ]
7) = - n , q = p; Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. .Art. 1. N\ 19.
Lihri, Cr. 7. 224 et Anidt, Gr. 11. 70 trouvent les memes formulcs {'>) ;\ (7| pour les
limites respectives q ^ p ^ — </, — ?>•?!> — ^ <it + ?<C/'<C x,q = ± p.
^ fSiii.qx.Sin.'^ nx =
«) / ~ — dx= ,_ao<5< — 2/);
9) =— - TT , q = ~-2p;
11) = , 9 = 0;
1-) =4^' 0<7<2p;
Diengcr, Gr. 12. 416.
1=3) ^ _^^ q = 2p;
U) =0, 2p<7<x;
7 T (Ix = -Tc , p>2q- \
IG) _ ^ .T. „ _ „ . I Bidone, iJe'm. Turiu. 1812. 231. Art. 1.
"" 8 ' ^ " ^ ' [ N^ 19.
17) ^
= ^^'P<2 5; y
Page 270.
V. Aly. nil. Iract. a den. x.
Ciic.Dir. en iuim.de plus. fact. mon.
TAHLE 195 suite.
Lim. et oc
fSin.- ox. Cos J
px ^^ 1 {1q+pY [p—lqY (27 + 3p) (3p-2f/)
dx = — /
16
IS)
19)
20)
/■&-n.2«+i X. Cos.^b X , r (a + i) r (6 4- J )
*<>) / — dx =
2r(a + 6+l)
9p«
. P>-1\
Sin.^ q X. Cos.^ q x 1
i ^ dx = ~l 15
ar 16
1 f2^+p)3 (2g-p) 3(2 g+3;p)(3p-2,?) , ^ ^, ^ ,
= 7^' ^8 ' 3^>~v>;';iBuio„.-.
^ 'Mem
1 , (2,,+py {2q-p}' {Zq-{--6p) i2q-3p) |T"rin.
16 9^" [231.
.\rt. 1.
N^ 19.
Sill, ^ X. Cos. 3 I
dx = 00
/
Sin.^a+i X. (7os.24— I a:
da; =
'/
fSin.'^"+^x.Cos.
J X
/" ^'n. p x. Sin, q x. Sin, r x
' } X ■*' ~
„ ^^ /•5tn.2'»+i a;. Cos.s^ a: ji l^/a 14/2
25) I dx = - ■
7T l"/2l4/2
%Y [a -\- h A- \\ f Sclilomilch, Gr. 4. 310, oil a et i peuvent
^ aussi etre des fractions ik numtrateur et
;\ (lenominateur impairs.
dx =
2 2«+i/2
28)
29)
30)
31)
32)
33}
34)
35)
1
— n
8
■ — n
4.
1
■ — 7r
8
=
= — TT
8
_ \_
~ 4 "
1
= — :r
8
=
<v<-{<i-\-r)-:
~('i + ^)<p<q— >• \
r-1-r; \ p<q<r:
7 — »•</'<»•— 7 ; /DicngiT, Cr. 12. 210.
p = r — q;
♦■—7 <;'<»• + '/ ;
;. = r -}- <; ;
r + q<p< »•!
Page 271.
Bidone. Mdm. Turin. 1812.
231. Tableau.
F.AI-.rat.lVact.aden.a;. JXULE 190. Lim.Ocloo.
Circ.Uu.ciinuin.polyn.
^f Cos.x—Cos.qx ^^ = -Zg» IJaabe. Cr. 23. 105. - Arndt. Gr. 11. 70.
J X 2
rCn^ nr—Cnx nx 1 »» Poisson, P. 10. 215 N'. 2. — Bidone, M^in. Turin. 1812.
2)/^ ^-^ C^os^p^ ^^ ^ i^^p_ ^^^ ^^^ ^ g _ ^.^_^ j^^ ^_.^^^,^ ^^^^^^ ^.^^^.^ jg2^ 2^g ,j
/ X ~ ?^ § 54. — Kaabe, Cr. 23. 105 (pour 5 ct p aussi dcs fractions).
•' ^ ' ^ Sclilomilch, Gr. 5. 152.
fCos.X — Cos.bXx 1^1 ^ ■, \
7) / Sin. axdx = - n (Cos. I — 1) ,r>A>0;i
IX 2 b \
•' ) Arndt, Gr. 11. 70.
8) =h^nCos.X ,y<?.<'x;]
2 0/
9) I ^i^5in.*5.rd.r = -Z2 Bidone, M(?m. Turin. 1812. 231. Art. 1. N". 10.
F. ALf. rat. fract. a den. x" pour o special. ^ i ni c i ot i • n .
Lire. Uir. en num. mononic d un lad.
(Sin. q X
1)/- - ^ - dx = q[l — i\.— lq — lO)= X Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 1. N°. 7.
fCos.qx , ,
2)1 ^dx = ^ j
■' " \ Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 1. N^ 8. — Cisa de Grdsv,
, ( MJni. Turin. 1821. 209. II. 53.
3) = X gn\
f Sin.qx 1 )
4)1 — ax = — X — —q-n^ j
^ " ^ ( Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art.
[Cos.qx 3 1 , ( 1. N^ 7,8.
5)j—^dx= cc^ _ j,^+-5^ (A + ig + io)
Page 272.
F.Alg.rat.fnict.aden.a;''pourflspeci;il. Tinir 107
(1* i~k* * n i* « i AliLjili lOl suite.
^ii'C. Uir. eii mini, monomo. d un lact.
Lim. et 00
6)
fSiu.- X 1
I ax r= -7r Lindmanii, G
J x^ 2
fSin.'^ q X , 1
fSin.^ 7c, 3 .
S) / '—dx = -nZ3
r. 16. 94.
fSin.* q X 1
'/
&n.s 7 a; . ^ SiS — i5
S Bidone, Mc^m. Turin. ISl?. 231. Art. 1. N'. 11. 14.
10)/ :r— dx = 5(7-
16
[Sin.<>qx 3
11)/ dx = — qn
7 x^ 16 ^
q X
(Sin.'
[Sin. ^ q X
dx = rtTT
3
-5^ TT
rSin.* qx
11)/ T— <i^ = ?M2
oa; 5
;; dx = q^ TV
-' 32^
7 a:^ ■' 16
fSin.'qx 2 5/5 — 2 7 /3(
Bidone, Mem. Turin. 1S13. 231. Art. 1. N\ 12. 15,
Bidone, Mrm. Turin. 1S12. 231. Art. 1. N\ 11. 11-
IS)
[Siii. ^ qx ,
I0)j-J^dx =
CO
om r*^'"" '/•'■ , ^--^ . [ Bidone, U6m. Turin. 1812. 231. Art. 1. H'. 18. 15.12.
20) I dx = - q* n )
7 X- 3Sr [
/■.V;,,." q.T 2 7/3—3 2/2 . 1
Page 273
35
WIS- UN NATlIUnK. VKI'.II. FiF.n I,MM.M%1. ,\K,\liF.MIi:. KI'.KI. IV.
F.AIg.iat.fract.;"uleii..t-"|»ourffspocial. T\[U p lOg
Circ.Dir.eniiuni.inoiiumL'(lc[)lus.riict. '_
Lini.O et oo.
2)
fSln. px.Sin.q X 1
/ —^ d.v = -pn , p < V ;
Ohm, Ausw. IS.
rSm.* 7 or. Cos.- P ^ J 2 y — p
3) I ^ — ^ — da; = ^ TT , ? > p ;
I)
= —qn , Q — P; >Biclonc, Mora. Turin. 1S12. 231. Art. 1. N". 19.
-JTT , <7<p;
("Sin. * r> a;. Sin. ax 1
0) / ^- ''- dx = -p^n
f
2'
, 3>2p;
7)
= g'fC^P!? — 7') > ?<2p;
fSin.px.Sinqx.S'in.rx-^ 1
dx=^ —pa 71
.'">/'+?;
9)
10)f
=-7r fpy4-^,,.+5?-; — - n: (p" +2^ +r^) , r < p + 57 ;\
),oflp<^7<^r.
Sin.'^ p X. Sin'^ g X , 1
da; == -p* ir(3 7 — p\p<5;
o
Ohm,
JAiisw.
18.
fSin.^ p a;. Sin. a X 1
, ? > 3 p ;
1::)
13)
= -,r{2-i.p^-(3p-.y)^} ,p<7<3p;
= — ^(2 -tp' 7 -(? + !?)'] , ?<p;
F..\lg.rat.frat.aden.a;''pouraspecial. T-inrp joq
Circ. Dir. en num. polynonio.
Lim. Oet oc
/"l — Cos.qx
2)
- ^ V , 9 > ;
■-:rg,g< 0;
Poisson, Mem. Acad. 1816. 71. N'. IG. — Id., Chal. 100.
Page 274.
^^A|.^rat.fl■act.ad6n.^''pom■flspecial. ^^pLE 191) suUc. Lim.Octoc.
Lire. u\v. en nuiii. polynonic.
f Cos.qx — Cos.px _ p —q Poisson, P. IG. 215. N'. 7. — I'.idone, Mc'ra. Turin. 1812.
'^'t "~~; -ax— ^ n 231. Art. 1. N'. 9.
[Hin. a: — x Cos. x
4)1 dx = 1 Bidone, Mdm. Turin. 1812. 231. Art. 1. W. 7.
; ^"^
fp Cos. ox — r X Sin. q x A- s , jt
.5)/^- — ^^—dx == {r—pq)~ Ccllcrier, L. 8. 255.
' Sin. q X — q x Cos. q x ^ 1
1
» 4
Poisson, Mdm. Acad. I SI 6. 71. N". IG.
Lim. Oct 00
7) = —7''!?'' '?<»;
4
/".9en. X — X Cos. x 1
S) / d^ = -TT Bidone, Mem. Turin. 1S12. 231. Art. 1. N'. 9.
/■jJ Sin 3 a; 13
9H- '- — dx = — n Bidone. Mem. Tnrin. 1812. 231. Art. 1. N'. IS.
7 x^ 32
F.AIg.rat.fract.a(l(in.a;''pouragenc'ral. tari p 900
Circ, Dir. on num. nion. tl'un fact. S'/n.^a;.
fSin.x C I 1
1 ) / — — dx = Sin. — p 71
'J xP+^ l—pp 2
fSin.x C f Tt) I ,oh C= 0,906 102
2) / dx = Sin. ■^ (2 « -j- 1) (J —p) - > > oil « eiitier arbitrairc ;I <" » ■< 1 :
J xi' 1 — P [. 2J )
Q J \ Laplace, F. 15. 229.
3) = Cos. -pn
' 1—p s'
1) = 1 , pour p trcs-pctit;
TT 1
5) = Cosec.-pit , 2>»>0: Sclilomilcii, Cr. 33. 353. — Id., Bcitr. IIT. 5 1.
2rOi.) 2^ ' -^^^ '
f Sin.x (—1)"+- (a + p 1
G) / — dx = ^—^—Sin. l-^Li. „l r(l — »),;.< 1 ; liana. -Mem. Bnix. 1S37.
J .t"+i+;) p«— 1/1 ( 2 I
7)/ -"'-— dx = '''' - rrCoscc. -n7r,2>r)>0: Schlomilch, Gr. G. 200. - Id., Stud. I
'J al' 2r(p) 2' ' ^'
ri— j))^ 1
-S) = — ^ -'- Cos. - » Tf Lobatto, Int. 74.
^ q^-P 2 ^
Pa-c 275. 35*
.^." ,>■ V ,. °, t" /, lAIiLL '200 suite. Lun. Ocloo
Lirc.lJir.ciinum.mon.u un iMl.oin.x.
'J) j --"-— dx = =o,p>2; Bidone, Mem. Turin. 1S12. 231. Art. 1. N'. ?.
J ■"' —
- - — tfx = q" ^. — c» Cisa de Grdsy, Mem. Turin. 1821. 209. II. 51.
x<'+^ ^ 2 i
11) = — 1— 1— a/i qa Sin. - aTT , a < 1 ; Oeltinger, Cr. aS. 216.
1-2) = 7"r(-a)^t«.iaT(val. e.xtraorrl.) ^'^'p' ^'•,^'^- ''*';„^'- "'" ^"I'P'- "
■* 2 '" ' Lxerc. 1820. p. 53.
fSin.(x — a) /I \
13) / !-^ -dx = r (1 — ;>) Cos. -prr + a , 0<p< 1; Svnnberg, L. 11. 197.
7 .r2« ^ '' 226 12a-l/l ^^ ' \l>^nj^ ' I I
/ , 1 <a<i; jBidoii
fSitL^-t-gx 1 fl2« i / ^^M , /Mem
1 .J) / - --/-dx == (— 1)° -r -^ (— i)"-i {i ")^ ^ 2 « \ /;p„ " ;
7 a-2«+i ^ ^ 224-1 i2a/i 1^ ^ y^^_„j^ ^ ) frurm
16)1 —dx={—\Y^'^ — ^{—\Y-M (2n+l)2'^-U;2»i+l
7 .r2« ^ ' 224 12°-'/' 1 ^ l^Z»4-ri + iy^ ' '
17)/ ^(/.r = (— 1)«-: ^-.2: -1)"-' , ^ 2n— 1)2«
o+ft_l 6—1 N^
IS)/ </x = -V-r -^ — 1)" , act i iinpaiis; /,a<i-
a+b h I Liiidmann.Gr.
(_1)"2^ ^S-' /M /6_.2W,-I Ut. 455.
19) = -^^ :r(— 1)" .aetipairs;
' 24-1 l«-.l/l 2 ' \n \ n ' ' '
iinjiair ;
20) ~—-dx=——Co^ec.\^—.T\\b-—{ (^'—2)''+ (A— 4)"+....+ WJ,6pair,
21) ==_!^(7o.ec.l^.l{i"-f;'Vi-2)'+f^'l(^-4)"+....+ f ,' ] l^U i'np->:
' 2*l"/i I 2 Jl \l,r \2/^ '^ ^\l^'b—r,) J a pair;
a+6
22) _ till) fja/6-('''V6— 2)«Z(6— 2) + ...] .aetipairs
' 2*1"/' I \1/ '^ ^ J ou aetiimpairs;
Les formules (20) a (22) se trouvent Caucliy, P. 28. 147. P, 1. { 2.
Page 276.
F.AI'Mat. Tract. aden.a;''|)Ouifl'i;on<^i'al. T>tnrn am i- r.
r:L n:.. ^.w,.,.,. ...... 'p.... c.^i r-^.i., lAliLb 'iOl. Liin. et oo.
Circ.Dir.cnnum.nion.d'iiii fact. Coi'.^'x
fCos.x , C ( 71) \
1)/ - ^ c/r = ' Cos. I {2a -\-l){l — 2^)7[>o*^'<entier arbitraire; \
C . 1 f, oil 0=0,906402 ;0</^<l:
2) = Sin. — pn \
i— P 2 i Laplace, P. 15. 229
3) = — pir, pour p tres-petit ; . I
** J
'T „ 1
4) = Sec- pn, 1 > /) > 0; Sclilomilch, Cr. 33. 353. — Id., Beitr. III. j 4.
f Cos.x , (—1)"+'^ (a+P 1
5)1- Y— da; = '^ T^CoK. J— r-^iirfl — d),;;<I; Plana, Mdm. Brus. 1837.
^J x^+Hp pa-ill I a j ^ z';'/ ^ .
CCos.qx , ft/'— I „ 1
6)1 — ^^' = o -Jr5ec. -/JTT, 1 >/y>0; SchlGmilch, Or. (J. 200. — Id., Stud. I. 13.
r(l_p) 1
7) = - — , Sin. — p IT Lobatto, Int. 74.
7I-P 2 ^
8) = 00 ,p>l; Bidoiie, Mu-m. Turin. 1S12. 231. Art. 1. X'. 7.
fCos.2qx (2rt)2u-i7r
9) / ^— dx = (— 1)« ^-^^ Bidonc, Mem. Turin. 1312. 231. Art. 1. N'. 11.
''/ x-" 12<7-IJ1
fCos.qx i—o + i"
10) I ' - dx ^ o<i — zc Cisa de Grusv, MJin. Turin. IS21. 209. If. X°. 51.
7 a.«+' ''2
11) = l-"-'/'7''fo6'. - a7r,a<l ; Oettingcr, Cr. 33. 21G.
i.,x ,, T,, N/io ^ / } , i\ Cauchv. P. S-^. 117. r. IH. Sui.pl. — KL,
12) = ry'Tf — a) 60.'. -a tt (val. cxiraord.) ,- „-,a.i,- ., -7
' 2 Jbxcrc. lS2t). p. -jT.
j,„ / Lindmani), Or. 17.
(_1) 2 n~^Z! fa\ /a-2\''-> , . \ *''^-
14) = -^ '- — ;- - ^ (— 1)" , a et 6 pairs;
Page 277.
I'.Al'M-at.fracl.aflen.a;'' toiirasf'"'-'':''- Ttmno/^o i- n .
t^- IV } 1 "i ,. . lA nLL 202. Liin. Oct;
fSiti. X. Sin. ox 7T „ 1 , ^
2) =--;^5ec.ip7r{(^-l)/'-'-(l+5)P-l} ,v>l;l
*^ ^"^ ~ ' Schlomilcli.Stud.
[Sin.x.Cos.nx tt 1 , f 1. 22.
fSitt.ax iSin.xX" 1
.")) / dx = ~n Hoppc, Cr. 40.
I X \ 3: I 2
a
fSin.l>nx ISiri.xy 1 f 1 ^ ' J"/-i 1 jLob;
'} X \ .« i 2 [ 24-1 li,i 1"/!^ -^ M fn
142.
a-lig
Lobatschewsky,
" 24. 164.
IS 7) on
adzing (peut prendre le
f I Sin,x\'> h - b"I—^ Vlouble si^nc ^
26-1 „ ^ '' 16/1 l,,/l
1. 42.
f^ /Sin..v\l>
H}jCos.am\ dx = 0,a> J; Iloppe, Cr. 40. 142.
r jSin.x\^ TT -» lb\
Q)jCos.qx\—-\ dx = ]^^ ■2' (— i;" I J (</ + 6 — 2n)*-i Laplace, Probab. L.
1 II) ICos.iqx an] dx = { + ^ \ (I _ „'p-l J_
J \ -i I ■rl' ir(p}\\Cos.\pn ^ Sin.ipnj^ '- +
I Cos. \ an Sin.Xan\ 1
11)" — ^ f / 5w.|a ?i: ^ C oa.|arr \ _
~ 'i r (p) 1 \Co.. I p ^' Sin. \pnY'^~^^'' ' +
/ C'lis. \an Sin. i a 7r\ 1
Ces form. (Id) et (11) sc trouvent Meyer, Int. Def. 448.
dx '■
^•9+1 / , valeurs extraord.;
i2)|co..(^. + ,.^-^=
,.,, r^ /« + l \ dx np7 CaucLy. P 28. 147. P. III. Suppl. .- Id., E.erc.
i'ijICos. n — p x] = 1 lS.iG. p. o7.
.' \ 2 / x1-i-^ r(9+ 1) '
(9+1)
I'a-e 27S.
I^AIj?. rat. tract. udon.a;'M)Oura''onuraI. r^jr,, ,-, ,^nn
n- t\- ' 11 i< . I AULh JU2 suite.
Lire. Dir.emium.nionomedo plus. tact.
Lim. et oo
^Co..j'^7r + 2(p + v)^}+Co..
, val. extraord.;
1 ^ {''+1 )
f'-os.i-—n-]-z\j}-^q]a:\-{-Cos.l——7t^2{l)—q)A
'^) —^ U> ^ ^ ^^-= .^>3;[Cauchy.P.28.U7.
(P. III. Suppl. —
('2-pr . \ld Exerc. li2G.
1^) = ;:7r7T;'^'P<2; p- 57.
r(.+i)— ^'/
^P
CSin. 2 ox. Sinf> ,c, , tt
a;4+i
\
17) = 0,
fCoy. 2 a X. Sin} x
— dx =
2 ^ ■;> 6, L-t (/entier;
a-j- 6 impair;
18)/-
/Sen. 2cj. <Sjn.*.c , n „ (a + & 1 ,
— ^;r^^ — "^^ - ^^TTT^^'^^ 2 "I ^ ^''~ ^"'''^*'
20)
TT
2»+i lo/i
/Sec,
1 2 7n^~^^''y^*"*"^'~^"^''~r+^i'^'^
-^^(-l)«^J(6-2c
-2n)4,
2c>t;
21;
22)
23)
24)
25)
g+i— 1
r— 1) '^
^ ' — L''.[[^c—h)"l{ic—h)]
Cauch}',
^,P. 2S.
2* l«/l
h
(HI. V
, a -\- impair . I. J :'.
/"Cos. 2 c .T. Sin.* a; , !^— i n \
i-i
= (-1)
n 1
(Sec. - a .T £\'>. (2 c — 6)" , b impair ;
2i+i la/1 • 2
. y,2o>/)
26)
71- ^ fa + i 1
= — Cosec I - n\ ^''. (2f — b/> , tout /*;
04+1 lai 1 2 J ^
2*+' J"" I 2 J I „ ' \n! ^ ^
— i"(— !)"[ |(/, — 2c— 2h)''1 ,2o</.;
, a -\- h iiniwir , 2 c']> /);/
Page 279
r- n > 1 ? r , TAHLL '202 suite.
Lnc.Dir. on mini. moiKiiiKMic plus. lact.
Lim. cl X
27) j
2s)
2!))
Cos 2 ex. Sin J'. r
•^ ^ jl47. i'. 1. ^ J.
==(—1) 2 — ^(— 1)" 1, 6± 2c— 2n)<',a+t impair;] W^ns 28, on
2*1"' W f , (peut imulrc Ic
„+4 )'2<^<'M,louble s.\m.c -^
(~^) '^';;i;^An(2<'-¥Z(2c-fc)},a + tpair-;
2*]
jvolonti^.
>. 40. 112.
„ „ /"5m. 6 .T. Ccvf. X I Sin. a:\ *— • I
^^\l :^ [~a. I '^^ = 2 " "°^P^' ^
fStn.l'x ^ ( tt] tt «> / /a
:>1) / — 7/ ^"•'•i2c^ + .« — ^+])-[ <?j; = .Zf— 1)" U/> — 2c — 2n)n\ /,-->0e-
y 0;"+! I ' ^2) 2''l«i '^ \ny^ -^ ' ,o;>^c,
32/ Cos. 2ca;— a— i»+l)- d.r = ^S'f— 1)" \!b4-2c—2nY
»3)/
Cauchy, P. 28.
147. P. III. § H.
\'Siii.f(2c-\-b)x].Siii.''x 2a-*-l7r _ 1
^ ~ ■ dx =
31.)
1 Sec. -an A*- c" , b pair ;
(_. 1)2 la/l
jxi Cosec.-an l^^.c" , b impair;!
{— 1)~^^ l^/i
2a— b— I TT 1 a _|_ /, ^ I
3'">) = — — - — Sec. { _ nl A*.c«, tout bi
..^^J Cos.{{Zc+h)a; ].Sin.!'x
.'57)
ftOH
38
c/a; = . T Tosec- a TT A*, c" , Jpair;
- 2
(_ 1)2 la/1
2a-6-ljr 1
^ j:p[ (Sec. — a TT A • c" , ^impair;
(— l)^-'l«''
2a-6-l7j fa+& "l ,
= — : — Cosec. I n} A''.c'',tout b;
oi\ a <^ 6 , c > ;
Cauchv, P. 28. 147.
P. III. § 2.
J
or>\ In /7 V (Sin.ai\" , tt « /a\ Laplare, Mem.
39)jCo,^.(5xl/'fl)l-— 1 d^ = _— -^(_l)n( J(a + 6i/a-2n)''-i T„st. 1809.353.
•' \ - / .i-i- - v'/ § 10.
iO)fsin.''l..Sin.r-^-±^'^-, + lan]^ =-• ^^ Cosec. [^-±^ J A^.p^J
y 2 \ 2 ^2 j.r?+i 2''+ir(9 + l) {2 J " ^ /cauchy,
41
)f5».'.L...CoJ~^-±:^. + ia.\^ = ^^ Sec.^'-+^JA''.p^
J 2 \ 2 ^2 /j-?+i 2«+i r (5 + 1) (2 } ^ J
p Qg
147. P. III. §2.'
Page 280.
F. Alg. rat. fract. a den. a ^ x.
Circ. Dir. en num.
TAHLK 205.
Lini. et 00
f Sin. ox fl ) N
1 ) / TT ' '^^ = '''''"• ^- ^''- (''■) + '-'''*■ ?• k7 '^ ~ ^'- ^'i i
J ^ -r^ l-i J f An,dt, Gr. in.
[Cof.q X f 1 „ "1 \
~) / iq:^. '^■^ = - <^'''''- 'I- ^'" (v) + '^''"- 'v- b ^ - -se. (7;} j
St. II. 21.
223. — Schlomilch,
a) / dx =
CCos. f: X
4) / d.c =
x. ; K.niibe, Int. 202.
^ ' '' ^ / ^2 »i. 1-'"" Xlem. Tu-
G)
[Cospx 1 ■^ (/'5)-"~' 1231.
rill. 1812.
231. .\rt.
17.
(/"/)-" 1
I JTl / ''"^ "" Sin.pq. Ci. {/) q] -\-Cos.p ih"" — ^l- {pq)\ j
(Cos px (1 I '
/ '-— dx = — Cos p q. Ci [p q) 4- Sin. pq. \-n— Si. {/.q) , ]
J X-\-q [Z ) I
Arndt, Gr. 10. 225. — Scblo-
milch, Stud. II. 21.
1
(P'/)
2(1—1
m ^J 77 'l^ 't*
9) / -^-— d.v = ^-nCos.pq—{X + //>(/) Sin. pq— Cos pq^ ^—'^'"7^^^) "i^;;ZT/i
/Cos n .
/Cos n j: ,
10) / ' - dx
9
II
1 -^ 0^7)-""'
-7tSin.;.7-(A + //>7)ro».p7 + 5/n.f7-r(— I)"— — ^— 3j
St-n.i,5^(-l)" ^'''— f„P"'°"^•
'^^ 1 2 ?J. 12"/if MJin. Tu-
rin. 1S12,
231. Arr.
2. N-, 28.
' ^ 1 ' 2«.I2"i/
) (y_l^ rfx = - Sin. p q. Ci. [pq] + Cos.pg.^ . + Si. (M)} + Sin-pg-la"! , ^ _^^j^.^^^. ^.
fCos.pjs ^ I 1 , c- , xl I /^ ; lArndi.Gr. 10.240.
I -2) / i— dx =--= — Co*, p q. Ci. [pq) — Sm. pg. )-^+ S>. (pq) + Cof.pq. I « \
J « — q 12 J J
Page 2SI.
"IS- EN MATUURK. VF.Illl. DER KDM.NKL. AKAUEMIE HI l.L 1 \'.
36
1' . Ali;. rat. Iriict. a don. 1 =t x . r,, . .,, ,-, o,. . i •_ ^ „, ^
,,.^ ... i AhLL iUl. Lim. U et oc.
Luc. Uir. on num.
[Cos. px 1
1) I — (ix = - Tier ,p < 0; I'ouner, Cliul. 358.
2) — -ne—r w>0-^l Laplnce, l^ull. Soc. Phil. Avr. ISll. — Id., I'loh L. 1.
' 2 / N^ 2G. — J'oisson, P. 19. 60.— Id, P. KJ. -Mr,. N'. 7. —
^ C;uicliv, Snv. Etr. 1827. 124. Note 18. — Id., Sav. Y^r. 182I-.
fxSin.px 1 I 599. P. II. § 7. 1.— LpE;eiulre, Excic. 3. 42. — Schiomiicli.
3) / , (/a; = -ne-l',p > 0;j Gr. 5. 204. — .\riult, Gr. 11. 70. — Foiiiicr, Cli.il. :5:.8.
Sur la form. (2) seule voyez: Serrct, L. S. 1. — Id., L. 8. 489. — Poisson,
P. 17. 612. N\ ly.
1
I) = — -7re;',p<0; rouriei-, dial. .35?.
1 j
5) = ~ TT ,p tres-petit; /
2 }. Caucliy, Sav. Etr. 1827. 399. Suppl. 2.
C) = ,p=0;
> Scldomilch, Gr. 5. 201.
fSin. p X , 1 ^ ^ \
^7 r+% ^ ^ 2 ^'~'' ^ '■ ^"'^ ~ "' ^ '■ ^'~''^ i /
/xCos.px 1 , (
YJ^ rfo; = - - (,/- 1 i. {e-J') + e-r li. (,;>) } J
CxTang.px e~P
9)/— — dx = TT — Legendre, E.xprc. 5. 35.
7 1 + a;» eP + e-i'
fx Cot. p X e-r
^")/'T~^ V "*^ = '^ Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. S. 2. — Lfgendre, E.\rrc. 5.
J \ -\- x^ er — e—P
f Cos. p X TT ~Jh;
^^)\,'~, ^ ^■^ = e ^ ' Poisson, P. 19. 404. N '. 56.
J I -\- q X- 2l^q
fSin.[(a + k)x}.Cos.{ {a-/c)x} 1 + e-^a S
1~) / ;^-, — xdx = -— n , A-trcj petit; i
J ~ { Caucliv, Sav. Etr. 1827
1 i S. 2.
13) = -,re-2a ,A = 0; \
4
//I \ .^"-1 1
Sm. i~an — qx\ -^ — c/j; = - t c -'/ , a < 3 ; Svanberg, L. 11. 197.
'^^) jCos. l-p7T—qx\ j^-^ c?x =- :; ^^~'- — 1 <;>< 1; Liouville, Cr.
33.
599.
S. 2.
Page 282.
F. AI"f.rnl. fracl. a lien. 1 ± x'. rrmri-' an/ •. i ■ r.
Ci,c. Dir. en nu.n. TABLK 204 su.tc. L.m.Octo..
[Cos. X -\- X Sin. X n
17) / - dx =: - Legendre, Exerc. 3. 41. — Laplace, Probab. L. 1. 33.
y 1 +.r' e
, Co.1. a X 4- a- Sin. n x
IS) I — — — dx = 7re-9 Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. .\rt. 2. 22.
fCon. q X -\- X
7 1+^
,) ^Sin. {^-px-qx\ f^l- dx = \ ne-'J,p< 1; ^,'^]%_^°''''- ^''- '''■ " ^''''^"^' ^^
[Los. q X
/ X iiin. II X n -
j ' dx = e '^ Kiiiibe, Int. IG'J.
X = -nSi7J.q Caiichy, Liin. Imag;. Add. 17. — Id., Sav. Etr. 1S27. 124. Note IS.
1 ^ tJitl fiOC 1
22) /' ■' c/o; = TiCos.q Cauchv, Sav. Etr. 1S27. 124. Note 18.
7 l — x' 2
[Sin.q X.S'in.'n X 1 „. , 1
23) / — ^ ^ dx = -71 Sin. 7 , < 7 < tt;
W 1— .1' 2 --i-^ ' l.-ourier, Cli
24) =0 , q>^;
Clialeur. 353.
F. Alg. rat. IVacl. a den. cr + x\ TABLE 205. Lim. el oc
Circ. Dir. on num. a nno fonct.
295. N'. 32. — Id., r. 10. 40 i. X'. 75. — Schlo-
f Cos.x n Poisson. 1'. 17. 012. N^ 20. — Id., P. 18. 295. N°. 32. - Id.. P.
^^/^j_^i Vn*-' 19. 404. N'. 75. — Liouvillc, Cr. 13. 219. — SchlOrailch, Cr. 30. 271.
J q -\- X ~ 7
[xS'in.x , _ j_ _ Poisson, P. IS. 29
' ] ,f- j^ .r;-'- ~ 2"^^ "''l'^^''> <-'•■• '^^- 271.
(xTunq.x n
3) / dx =
MnlJ..,;! e2'/+ll
\ Sclilomilcli, Or. 10. 440.
[ X Col. X n I
I) / dc =
77- + J-- e2</— 1
TT
"^ Lnplnce. Nouv. Hull, dc In Soc. Pliil. N°. 43, 49. — Pnis-
0;j son, Chnl. 135. — Hidone, Mom. Turin. 1812. 231. .\rl.
21 22. — Pinna, -Mi'm. Turin. ISlS. 7. I. 0. —
Turin. 1821. 209. II. 55. — Inu-
Schellbnch.'Cr. 48. 207. — Sur la form. B) scule voyez: Schlomilcb, Cr. 30. 2r.8.
Page 283. **
K. Alg. rat. fnicl.adt'ii. ^r 4- a;". Tiini/on- •< ?• n ,
Ciic.Dir.onm. m. iunrl,.,;.!. ^-^'^'-'^ ^^-^ ""'^^- Lim.Oelcc.
[Cos. pX TT
I — - dx •-- e—/'\ 'I Poisson, 1'. 10. 213. X\ 7.
fSin.p.c ei'1- e~i"i ePl-\-e—Pi «> Ipq)'"—'^ ei'l — e—ri^r, f/w)-'' \
;?'+*' 2 ^ -r /-/^-r 2 1 (2n— 1)12'— i/t 2 i 2n.l2"/lj27.
/^^ dx = -- (;-/'VEj.(i9rt) — eW/i/.r — vq)} 1 Schlomilch, Gr. 5. 204 'ou la form. (10)
q^+x"" 2<7 (. ^' ^^ if est f«utive). — Id., Stud. TI. 20. —
\ Arndt, fir. 11. 70. —
IxCos.px 1 I „„r-/ N , ,,T-/ n] \ Sur la forniule (10) seule vovez: Sclilii-
f,^^. +^. ^"^ = ~l (^''^'•(-/"/) + e-'"'^'.f;>'y)J ] „uch, Gr. 11. 171.
ix'^ Cos.px 1
I _ ^j. _. pqcVl riiiii.n, Mcin. Turin. IS 18. 7. IV. 17. La valeur eu est infiuie.
J q^ + X'^ 2'
11
12
13
14,
15
KJ
17
IS
19
20
~1
22
(xFang.px 1
J q^ +.r* 2 ^ ■
, dans le ens du .r complexe = y •\- z i;
n t Foisson, 1\ 18. 2'J5. N=. 12.
^ '^_.__ Lepnidre, E.xorc. 4. 131. — Bidonc, Mem. Tu in. 1812. 231. .Art.
c^j>q ^ 1 3. 39. — Sclilomilcli, Gr. 10. 41-0. — Id., Beitr. II. 4.
7T Caucliy, Excrc. 1827. p. HI. — l.egendre, Exerc. 4. 131. — lU-
J-' = — r done, Mem. Turin. 1812. 231. Ait. 3. 39. — SchlOmilcb, Gr. 10.
ScIdOniileh, Stud. II. 18. — Id. Cr. 3G. 271.
7T
fx Cot. p X
I d
J q' + x'
[xTan<j.\x _ n ^
] ,/2 4-.,:^ ^ - el+lf
fx Cot. ^ . )■
/■v Sin. 2 .r tt \
-— - - dx = - C'-2'/ ]
q'- +x^ 2
', Scl.loMiilcli, Gr. 10. 410.
f Cos. 2 .r TT I
/— 7 dx = — c—-l\
Jq'+x' 2(1
f Shi.^ X 7rl — e-27
/ dx = V. T. 205. N\ 20, 22.
Jq-+x' 4 q
f Cos.^ X 71 1 4- e-2?
/— dx = Schlorailch, Gr. 10. 410.
;'?'- + -'^^ 4 q
Pajce 2S4.
1". Alfj. rat. Iiact. a den. fl- + a;". Tiniir ci<^~ •. i- n .
n- i\ r . lAIJLh 'iOo suilo. Lim. el 3c .
Lire. Uir. en num. ;i inio loiict.
•23)/ - dx = — Uicnger. Gr. 12. 97.
\ .f— 1 1 C.iucliv, Lim. Tmag. .\d(l. X\ 22.-
:i—pa:\ ^ - - '/.f = - t 7'— 2 1—/"/ , r < 2 ; Id., P. 19. 511. — id., Kxer
/ V +.r- iJ 1820. p. <j5.
2.')) / Cos. \- an — .r\ — dx = - Trrt"-" e-« Caylity, L. 12. 231.
/■j-2" Tos. » a- , 1 1
J ^ '^^'^ ^ (scblGmilcli. Cr. 3:5. 333. — Arndt. Gr. 11. 7^1. I.-s
27)/ '-^dx = {— ]yi - ^ ,f.a e-i"i\
f Cos. p X 1 71 )
\- r dx -= e-/'('-+9'),n> 0;|
}{r^qi)^+x^ 2r + 7i . ' ^=^ '(
'/a; = -7re-pt'"+?'' ,p> 0; I
28)
Poisson, P. IS. 29.-). N'. U.
.,,)/
X Sin. px 1
(r-i-<?ir-+j,-^
I'. Ali^. r;it.fract.a(len.rt- — x. rp.niL^o/^,' i- ,»
ri- !»• • r I lAIJLCi lub. Lull. U et 3C.
f.v Sill, p X 1 \
1)1 dx = ■:i Co/i.p(i\ Bidoiic. Mem. Tiiriii. 1S12. 231. .\rt. 2. N'. 29. — Ciiuoliv.
j q'—x- t \ Sav. Etr. 1827. 124. Note 0. — Id., Sav. Etr. 1S27. 599.
/" ('oS. p .)• TT
) / - - (/a; = Stn.pQ
'jq'-x' 2q '^
Siir la form. (1) voycz : Cisa
fxSin.px 1 I
'^)j'- ^dx = — -Sin.pqlu — ^nCos.pqi , ou « est iiidt-leriniiiu;
■' - .\rii<lt, Gr. in. 210. — Ci
i ( OS p X 1 I Irmive ci-s foraiuli-s pour valmirs jji'iit-rnKs.
4)/ dx = - (nSiii.pn — Cos.nq'u] \ nudi dans (1) il u t / a au lieu de / ».
J q^ — X^ -Zq ^ j
P. 2. § 7. — Id., Lim. Iiiia^. .\dd. 15. — I'lnna, Mi'in.
., - , , _ ^.. , Turin. 1818. 7. 1. 3. — Sclilomilrli. Cr. 33. 31G. — Id.
■•)/ Iz ' .. "-^ — ., ^^'n-pq J Gr. 7. 270.— Id, Stud. II. 15. — .Mosta, Gr. 10. 4 19.
Sur la form. (1) voycz: Cisa do Grdsy, Mem. Turin. 1821. 209. II. 57.
- .\rii<lt, Gr. in. 210. — Cnucliv, P. I'.i 511.
fx Sin. p X
dx = nCos.pq-\- Sin.i>ql{ — 1)
1
«) = — - rte~l'V } PoUsoii, P. IS. iJOJ. X\ 38.
f C0.1. p X ^ o- 1/1 It'
J q^ — X^ xq Zq /
Page 285.
F. A\g. rat. fract, a doii. rr — x\ t t ni r onp •.
Liin. ct
8)
N'. 3S.
10)
H)
[2 J / ' "" " arbitraiic;
/Cos.px n
— dx = e-/>7' Poisson, P. 18. 295. >
7^ — X- 2qi
f Sin.px 1 V
■' ' S('liliimilcli, Cr. 3S
fx Cos. p X 1 '
J ,^1 _ ^2 '^ '^ = ^*- (P ?)• ^°^- P1 + ^'- iP 1)- ^"- V 1 I
/S'm.p.r. 1 1 fl 1
dx = Si.{vg).Cos.pQ Sh "- '-/"-^ — '^' '- - ' '
7 — -e^ 7 7
[xCos.px i\ 1
12) j r^^i '^-^ = '^'- (/"?)■ S'in.pq — Cos.p 7. - / «- — CI. (/) 7. 1
,„.(„. bnx dx 1 I
1 3) / X S»n. — = - TT Cos. b rt j
J a a^ — A- 2
I'J); ^, 7- (/r = TT Bidone, Mem. Tmlii. 1812. 231. .\it. 2. N\ 39.
J q- — j!- 2
,'r. 33. .•!16. — Id., Stud.
.Xnult, (ir. 10. 210.
N Poisson, P. IS. 295. .N\ 33.
16)
= —-rt-\--Tang.-pq.l{—l\
f 2bnx .r , 1
1 / ) / Ta7ig. ^ Jx = — - ;t
Poisson, P. IS. 293. N". 43.
a a' — x'
, r>» i^Cosec.px
./ 7* — x^
• Bidonp, Mem. Turin. 1S12. 231. .\rt. 2. X\ 39.
t I \ \ x" — ' 1 /I \
.o)j5^„.^-«._,..j-__,, ^ -.q'.-^cos.i^a.-pq^ a:1;^''5lL'""
~ ' I rTi ^ "•'' = T^"^-"P'i I'i'lone. ^Ii'm. Turin. 1S12. 231. Art 2. N". 31.
y 7 — x^ 47
;iff. 23. -
Page 286.
I' . Alf'. rut. Iract. a den. a ± «*. rn . „, ,,. on-? i ;^, n „i -^
Luc. Dir. en niiiii. a iiiic lonct.
JPIaii:i,
iMc'm.
llelmliiig. Traiiif. TI.
S. 63.
/"x Taiiff. px 7T e—Pt^^- Sin, [ p q 1/ 2)
'j ~^'j^,^^ ' ^ "" q-^ 1 -1- % e-i"l\ 2 Cos.'ip >j \x 2) + e--^viV-^
fx Cot. p X T e-Pl' 2 Sin, {pq 1^2) ( Turin.
^7 a;* +^» •" "" " ^/^- " 1 _ 2 e-/'vV2 Cos. (/? (/ 1/ 2) + c'-2/'?l 2 ( J81S.
[xCosec.px ne-^r<l\'-- l+e-/>9t2 A \1'"-
•i\ I ^-_ // :r = 7 Sm. - p O 1/ 2 1 ;
''7^>+5.. '^^ ^» l_2e-/'7' 2(?o..{7,7U'-2) + c-2/"?V/2 [o^'^ ]l
C X " \jOS 'OX IT
4) / '-^~ dx = -- c—l'liCos.pq — Sin.pq) Sclilomilcli, Stud. II. 16.
'jx^+^q^ 'Iq ^ ^^
5)1 °~ — 'V^dx = -^\^2.e-P1^'^- {Cos.{pq\^2) + Sin.[pqiy2)]
J q^ -f- X* 4(/^
/-W^ip^ ^^ ^ _!L ^/. 2 . c-P?l/2 (Cos. (» a 1/ 2)— 5w. (P7 1--" 2)]
fx Sin.Zpx n , „.
/ 5' + »' 2^-
fx^Sin.Zpx It
J q^ -\- X* 2
/■6'm pa; 1 V.T.205.
9) / — J.C = {2Ci.{p(i).Sin.pq—2Si.{pq).Cos.p]-\-e-P<lE{.{pq)-criEi.{—pq)] X'. 10 elT.
y 7' — X* 47^ 20G. N\ y.
[xSin.px n
10) j i— dx. = - - „ (e-/-/ - Cos. p q)
J q* — a;' 47-
11) r '"'^"" dj; = ^(ZCi.(pq).S{n.pq—2Si.(pq).Cos.pq—e-P<}Ei.{pq)-\-ei"iEl.{ -pq)] in ct T. Qur..'
7 2 — ^* 42 "^ N'. 9.
J 2) P' '^'"•''■^ (Z.r = - -(e-/'? + Cos. pq) V. T. 3or>. N". G .>t T. 20C. N°. 1.
y 7 ' — .x^ 4
^^JCos^P^ ^ ^ jt_ ^_^^^ ^..^ _ ^, ^, 2j^._ ^, J ^^ ^. 20G. X'. 2.
'j q* ^x" 47' ^ ^
/"a-CosDT 1 . V.T. 205. \V
14) / '~dx = {2Ci.{pq).Cos.pq+2Si.(pi).Siii.pq-e-r'iEi.{pq]—iriEi.[—pq)] 1 1 ct T. 2or,
J q*—x* 47' N'. 10.
f x^Cos.px ^ :^ (Sin.pq -e-P1) V. T. 205. N". 5 el T. 20G. N''. 2.
7 q*—x* iq^ ' ' '
Page 287.
V. T. 20.-). X\ G ct T. 20G. X'. 1.
V. T. 205. X'.
Lirc.Uir. oniuiin.a iino loiiclion.
ix^Cos.px 1 V. T. 2()r).N''
IG)/ '^ ~dx = -[■lCi{pq).Co^.r<l-\-'iSi.{pfi .Siii.]'fj-\-e-!"iEi.'po) + ei')Ei{-p<j)) u a T. 20(i
-' ?*— -^ '1- N . 10.
i— 1
17) / „, d.v = - C-" :^ c '' CosA —- —aSin.--- , b
i— 1
' .Mem. 1 11-
rin. ISIS.
/■/-I „/•»-/ V '.roisson, 1.
714-x-"' 2^ /* 1 V'' /' / [4,5. — Pla-
na, Mem.
_L (Turin. 1818
n, v- "K-U ")^ f2«+l /2n+l \| . V. II. 16.
0) = -^ e 'Cos.\ ;t— a&n. — --" 71 Impair; 15
^ 2-1 _^-.^2» + l.
b X { n \ 2b )\ - /
22) = , a pair;]
Bans (21) et (22) b est pair et a < i + 1. f -,,..•, ,
fCos.px TT 4; -/v'ft«.(--"^=r) (2„_i /2n— 1 M/,';
J o*^ + J"' c i"^-" 1 ■ [ c ' \ c / 1 1
fCos.px Tt \'-} -bpSin.-"'^. 12 nan ^ 2nn\ \
21,1—' -ra-l ,f.j,. =, _ V- g f ^v;„_ +6«Co.s. 1
1,
Vstiid. II.
Dans (23) et (21) a est impair, c est pair, ct a<^c -\- 1./
/"Cos. (pa:') — Sin.ipx^) , 1
2j)/- — ^__ ^ ~ Jx = ~7r(Sl».p-^Cof:.p) Cauchy, Sav. Etr. [<21. ]21. Note 18.
4
11.
fCos.2p X Tc
^ fSin.(pn— r" x") 1 „ \
~ ^) / ^\,.. ''•'■= 2 '^*'' y- Z"- " P ^ ( 1 + ^0'- P ^) J
„„./"&'»•(? TT — ro^) 1 \Transf.
Hclmling,
Transf. II.
Page 288.
, oiiy = qr" Cos.X,g = q r" Sin. }, ; j
I-\Alg..c;t.fract.aden.(fl±a;'t. ^^^p^E 208.
Lire. Uir.en num. a une lonclion.
Lim.O el oc.
10
11
12
13
14
15
b^ip + xy+a{a-\-\) ^.
bHp-\-xy+a{a+\)
Sin. b J! dx =
pa
Meyer, Int. Dcf. 308.
Cos. b X d X =
P
a+I
/
[ xSin.px n ,, , ,. „ ^
/ dx = — -pe—vi Lcgendrc, Exerc. 3. 43. — llelmling, Transf. II. S. 62.
/■ .r ' Sin. px 2 — pq
I — dx =-. ^-iiie-PI llelmling, Transf. II. S. 02.
X Sin. p X
P1A±P „_r
dx = ' — ' ' ' ne~Pl
/
r X Sin. p X Sp -\- 'd p"^
I dx =
/Cos.
/
9 + ;>'<;2
Legendre, Eserc. 3. 43.
71 C-P'J
Cos.px _ l+p g Legendre, Exerc. 3. 43. — liana. Mem. Turin. ISIS. 7.
x^ Cos.]) X
l—pq
Cos. p X
^ -^x^y
xSiii X
I. 6. — Helmling, Transf. II. S. 62.
ne-P1 Plana, M6m. Turin. ISIS. 7. I. 6.
dx =
k
f xSiii X
I dx = —
J (7' + •^■•')''+' 1"'
/:
iq
^ + --^pq + p'q'
167=
ne~P^ Legendre, Exerc. 3. 43.
■ne—1 -ry (a — ?»)-"'''
Cos. X
(^J+a;^)<'+i
dx =
■/I 2 (2 qy 1"/' (2 q')"
^e-7 „ (a— n + l)="/i(
Schlomileh, Cr. 33. 26S.
xSin.pX -n p li ri ^ \^u Ji)—i-p \
{q'^-^x^y+^ ^ ~ 1"/' 2"+' 2"''2 5"+" i Legendre. Exerc. 3, 43. — !>cl.lo.
'• miltli, Cr. 33. 353. — Id., Stud.
f Cos.px n
I dx ^
/(V^+X^)" 1"-
/■ Cos.px
I — ' "~ dx =
jlq + x^y
l")i2(2iy)''+l l"l>(2f/)''
n pe-P1 •» (a — n)2"/l p"— "-'
1/1 2« 2"'2
( — lyiTt (Z" e-P^ 1
2 dq"' lyq
{— 1)071 d"
I nil
p°-"-' \ II
ni+n J
It e-Pl -» (g— ?t + l)-"/'p°-"-'\ II. 14. — Id., Bcitr. II. 3
Poisson, r. 16. 215. N". 7.
l"-!/' p dq"
.C-Pl '/ Schlomilcli, Int. 27.
Vage 2S9.
WIS- E> ^ATUL■nK. VEIIII. DF.n liO.MMiL. AK.Mir.Slli;. IiIXL IV.
37
I'.Altf.ral.f|-ac(.;itlen.(f/ ±0;'')'. rriDrnono
Liic.lJir.oii iiiim.a iiiio toiiction.
Lira. et
/xSm.pj! , (—1)""' TT d"-! ,
— dx = ^ .e-Z'V? SchlOmilcb, Int. 27.
/Cos. px " „
— ! dx = J- {Sin.pq — pqCos.pq) Plana, Mdra. Turin. I5l3. 7. I. 3.
F. Alg. rat. fracl. a den. binome.
Circ. Dir. en num. a plus, fondions.
TADLE 209.
Lim. Oeloo
/Sin. a X,
'J- -
,Sin.b a; eH — «— *?
^) / ~~ , , . , dx = n e-<"l ; , < ;* < a ;
4?
[xSin.ax.Cos.b x e-*? -J- e^?
2)/ :, , _, dx = ne-<"l ^ , <i<a;j
•5)
/Cos. a X. Cos. b x
— — dx == rre-"'
Boncompagni, Cr. 25. 74. — Aiiidl,
~ > « <- f* <- -^ ,/ 97 (les form. 2) .a 4)). — Srhlii-
l milch, Stud. I. 18. (les form. 1 ) ii 4 ))
7 -^ , <i <a;
4q
3)
(Sin.- ax.Cos.'^b.c rt ( I 1 1
G) / —- J;i. = _ c-2.y(a+4 1 g-2/.g__^,-27(a-;0_e-M + n ,a > 6;
7)
10)
11)
(1 _ e-ino)
lor/
,a = t;
^^^ ~ ~ ■' Uin.1812.
■xS('n.a.r.(7os.'6x ttM ) /!^V'\,',!'
- dx = ~ { -e-'?(''+2ij 4. e— }'^-24) I g -.r^S „ •--, 9 /.■ i 2. \".22.
•I- 1 2 ^ "^
V^-+x^
?j , « > 2 b;
, a = Z b;
^ Z Le-?;a+24)_j_g-v(24-a)^g-a4 , a < 2 6;
I
4 l2 ^ J
/Cos. p. — Cos. bkx n
i'~) I — Cos. ax dx == ^ e
CLos.K — Cos.b
-■>] ,,^ + .^^
^^:-7{as.^_l(.V+.-^,0<A<^;Arndt^Gr.
Page 290.
I'. A s- I'at. fract. adeii. binome. t » i>i i? o/\(» . t- n .„
,,." r.. -IP •• I A bLL "201) suite. Lini. el oo
(.irc.Dir.ennum.aplus.lonelioiis.
fCos.X — Cos.hXx ^ , n ^ , ^ , ^, . , « . \
1 :]) / — Cos. ax dx = — C""? Cos.l — — e-'"/^ iefl + e -<"?) ,-</.< a: : \
fCos.X—CosMx , 1 f^ , 1 , , -. .1,1 , " f -*'""'^''
./ 7' + •'"' 2 t 2, J t , ^o_
15) = -ne~'"iCos.). Tc e—^i"^ {e"^ — e—<"i) ,-</.<a:;
fx SiH..v 4- q Cos. X ,
16i/ ^^^ dx == ne-P Poisson, P. 19. 404. N'. 68.
; 5' + *'
/ X Sin. px — a Cos.px
17)/ —dx — Poisson, dial
7 9^+a;'-
nl. 153.
Cos. Xx — Cos. qX TT
—- dx = —
q^ — X- 2q
18) I '- '- „ "-' dx = —Siti.q). Poisson, P. IS. 295. N". 3S. — Sclullbacli, Cr. IS. 207.
'/
f{l—x^)Cos.2x + 2xSin.2x 2 tt
19) / ■ dx = — Legendre, Eserc. 3. 41.
'J (l+•^•')' e» ^
fCoo.(a'x'') — Sn.(a^x^) n .
20)/ '^ ^ dx = e-«'9' Schlomilch, Gr. 11. 17 K
J q*-\-x* 2 2^1/2
F.AlR.ral.fract.aden.trinomc. TunTn oin i- n .
p," ,v . TAuLL ill). Lim.Ocloo,
(-110. 1)ir. en num. moiiomc.
1)/ Sin.pxdx = IbCos.ph— — Sin.ph\ne-PV<s^-''''>l ,'J>J'-
/ Laplarc,
2) [ " + ^'' , Cos.px dx =^ J^LZAI^ Cos. ph4-b Sin. p h] n c-P\ '(?'-'■') \"t ^■
']cj+2hx+x'- ^ \i^,g^-h^) fj ! 1- -"•
f(c"^ +e—'"^)Cos.ax — (cc — e—'"^)iSin.ax tt , , \
J b^ -\-(x-\-ciy b^ / P • n ,o
•' I - r / ( Poisson, P. 18.
2 Tt ( 295. .N". 40.
4) = -—e-ab , c<t;\
^) / 7, — T*. -Sm.2axdj;=—; — rl(P«'-!-P'V* — p'7)C'os.2a«-}-(a*« — ;>' — (/\^jh.2(1j)) \
_/6^+(a>4-.r>)» 2JV(t*+a*) ^->-v / / /, //j
/■ Cos.iax ■ne-^«1 ^ /Cnuchy
6) / .— ; dx = ; {i]Sm.1ap4-p Cos.iap) vjs. 147
7t'+(aH^')^ U\{b'-\-a'r ^ (l.\w.
,o.\2p=l/(v/(6»+a«)+i}-i/{i/{6^+a')-i},2,/=v/{l/(''' +«') + /'} + 1 {» (i' + n'M):
Page 291, 37*
P.
28. 147. P.
F.AIi^.rat.fracl. ;i(I('ii.(rinomo. rr,.ninniA •, r • ^>
r- n - 1AI5LL '210 suite. Lim. ol >:
, / X Sin. ax ■ n
/" Cos. ax n (Kxcrc. 3. 44. —
/" X^Sin.ax , tt ,^ , ^ , „ Legendre.Exerc. 3.
'^V -'-+a6^a.*g..2A + 6» "-^ = -.-«^Coac..c.2A.5/n.(2A_a6.S-.,;.)44. Hel.H,,,.
•' ' ' iransf. II. b. 02.
, „, r x'^Cos.ax , n ,,, , Leprendre, Exerc
^'V.r^+26»x*Co..2A + 6^''-^ = V,^-'""-'Cosec.n.Sln.iX-abSln.).) u. l,,.lin
li) -7^-T7r:77r7TVT-77^^
xTang.ax tt g-2a4C«s.> s;,,. (2 a 6 Sin. A). Co«ec. 2 A ^
I X Cot. a Ti
12 / dx =
Cos. 2 J. + 6 ' 6M 4- 2 e-2a6Cos.X (j^s. (2 a6 S«/j. A) + e-4a6Cos.^
Plana,
7.r' 4-2 6»a;
r a; gof. g g; j _ ZL " c-^atCo^-:^ Stw. (2 a 6 &n. A). Cosec. 2 A ^ Jlem/i'u-
/x' +26*a;*Cos.2A + 6« '^ ~ 6* 1 — 2 e-2aACva(7os. (2a65jn. A) + e-4^''<^'<'*M rinlSlS.
^7. II. 10.
/" X Cosec. ax n (1 + e-^aitwi) (^o^^c. 2 A
1 -3) / ) . ^ ... „ ^ — . . . .. <Z j; = —
+ 2 6- .^2 Cos. 2 A + 6^ 6M — 2 e-i«iCus.). (7os. (2 a h Sin. A) + e-4a4Cos.W
F.AIs.rat.fract.iiden.quacIiinoinc. m.nir' oii t- n .
r° n- ^. lAuLL, ill. Lim. ct x
Cue. Uir.cn num. nionome.
f Sin. px 1
1) / — ~ dx = \e-ri Ei. (pn) — cPI Ei. (— p a] +
-\- 2 Ci. [p q). Sin. p q — 2 Si. [p q). Cos. pq — tt [e~l"l — Cos. pq)^
f xSin.px 1 , r V. T. 20:}.
— 2 Ci. {p q). Sin. p q -{- 2 Si. {p q).Cos.pq -\- n {e~l"l — Cos. pq)]\ 10-
4
x'^ Sin.p X 1
dx = - ( — e—l"l Ei. (pq) -\-el>1 Ei. (— p q) -\-
q^+q-'-X^qx^'+x' - -I
+ 2 Ci.{p q^.Sin. p q — iSi.lp q). Cos.pq -\- t (ir"/'? -{- Cos.pq)j /
Cos. p X 1
— ;; d.V =
q' -\-q^ X-\-qx^ -{-x^ -iq"^
' V. T. 203.
- 2 Ci. {p q). Cos. pq-o Si. [p q\ Sin. pq + rr (e -/'7 + Sin. pq\ ] f ^".^ ^^ ^^'"^
^ / 3^^ 7 — r "7^—3 (7.C = — {— e-PiEi.{p q) — C/"?£i (- p q) +
+ 2 fi. (p 5". Cos. pq •{• 2 Si. (p I/). Sin pq + ^ [e—Pl — Sin.pq) |
Page 292.
F. AI'm;iI. Tract. adcn.quadriiiomo. rr . m n lh •
r:,rr n;,. nnnnm m, nAmo lAIJLL ill SUllC. Lilll. Ct 00
Circ. Dir. en num. mononio
205. N'. 5,
+ 2 Ci (p q). Cos. ?) 7 + 2 Si {p q). Sin. pq -{- n [e-PI — Sin.pq)] 1 ' •
f Sh. p.r 1
7) / : , ^ r dx = --- {e-ri Ei. (p q) — ePi EL (— p ,,) +
+ 2 Ci. {p q).Sin.pq — 2 Si. {pq). Cos.pq -\- n {e-l"i — Cos.pq) ]
1 — r~7 — I — r '^ -^ = v{- ^~''' ^'- (p ^) + ^''' ^«- (— ?' 1) +
V. T. 203.
NMl ctT.
203 N". G.
+ 2 Ci. {pq).Sin.pq ~ 2 aSi. {pq). Cos.pq + ir (fi-P? — Cos.pq)]\ ^^•
.px 1
da; = - {— e-/'? Ei. (p 7) + e°? £4. (— p ?) +
D) /
J q^ — q^ a- -\-qx'^ — x
-\- 2 Ci. (p 7). Sin. pq — 2 Si. (p q). Cos. pq — n {e—Pl + Cos. pq))
f Cos.px 1
10)/- ^ -dx = \ — e-PlEi.fpq)—ePlEi.(—pq] +
j q^—q^x-\-qx-^ — x^ 4.7*' ' ^^ ^ ' '-^
+ 2 Ci. (p ^). Cos. p q -\- 2 Si. (p q). Sin. p 7 + ^ {e-/*? -}- Sin.pq) )
11)/-1 , ' ■■ J^^ = 7- { — e-PvEi.f/'?) — e/'?£'J.(— P7) +
V. T. 203.
N°. 12 et
T. 205. N".
-f- 2Ci. [pq). Cos.pq -J- 2 Si. (p q). Sin. pq — Ti^e—Pf — Sin.pq)] I 5, 1 1.
f ar^ Cos.px 1 f „ »,
+ 2 Ci. (p j). Cos. p 7 + 2 '^'- (p'i)- -Swi. p 7 — 71 (c— /"/ — 5iVi. p^)]
r.AI'f.i'at.ri'acL.adon. prod. demon. elbin. -rmiroio i- n ,
,,." ,v ■ I.aIjLL 212. Lim. () ot
Lire. Ijh'. en num.
n 1 ) dx
\)l {Cos.x— ) — = — A Anidt, (;r. 10. 225. — Id., fir. 10. 233.
f j .SV;i. X I ) dx '
•^ \ .\rndt. Or. 10. 2o3.
ncos.x-i _j__yix^i^^_.\
f Sin.px dx 1 _ Lcgciulre, lixcrc. 3. 40. — Ciimliv. Sav. Eir. 1S27. 5'j9. T.
71 +x^ T "^ i"^ ~"^ 5 '• ~ I'o'sso". !'■ 1<5- 215. N'. 7. — Scrrct. L. S. 1.
Page 293.
F.AIg.r;.f.fract.a(l.''n.i.iocl.(lemon..-tI.ii.. ,,,^m,; ._,,._, ^^^-^^ Lim.Ocl-x.
(Inc . Uir. en num.
(Tang.px dx _ 1 eP — e—P Legendrc. Excrc. 3. 35. — Caucliy. Sav. Etr. 1827. 599.
./ l-^-x-" .r "~ 2 "^ e/' + e-P Suppl. 2.
n) {\cof.x— 1 — = — A Arndt. Gr. 10. 225.
7 1 1 + x^ X
i (:os.qx-Cos.p.. d^ = l.[e-P- e-'>) + \n{p-,i) Poisson. P. IC. 215. X'. 7.
C Cos.Q X dx ) I v — 1 \
8) / = -(— l)PnelCosec. [' n\ , < p; Meyer, Int. Dcf. 156.
f Sin. ox dx 1 „ Ip — 1 \
!)) / = -(— 1)/'-' 7T e^Cosec. \- n\ V. T. 212. X°. 8.
7 ] + .T^ x^~P 4 ^ -" \ 2 j
10) l^iMf i-^ = ;r(7os. ^^-^^ 7r — oV Cosgc. \ ^~ n] Meyer, Int. Ddf. 156.
7l_.r^a;2-r 8 \ 2 ^/ \ 2 ) '
1 1) f ^^^il^ ^ = i . Sin. (P^^ n - 5V Cosec. (?^^ J V. T. 212. N». 10.
f Sinpx dx n Cauchy, P. 19. 511. — Id., P. 2S. 147. I. § 5. — Bidone,
12) / , , ■ — = r-r(l — fi"/"') M(5m. 'Turin. 1812. 231. Art, 2. N°. 22. — Scblomilch, Stud.
J? +* ^ ^'1 II. 14. — Schellbach, Cr. 48. 207.
[\ — Cos. px dx n f 1 — e -Pl\
fSin.px dx n \
14)1 i- = (— 1)« e-P1 J
75- +;c- ^-«-' 292a I
j Cos.px d X , IT \
15) / i^ = f— 1 « e-P? 1
16 / TT^^T-- — = TT Scblomilch, Gr. 11. 174.
J 9 + a;* «■■ 4.9'-+i
[ Sin. p X da> n
^'^)l-. 7 — = :; (1 — Cos.pq) Cauchy, p. 19. 511. — Schlomilcb, Stud. 11. 15.
J '/- — X- X 2 7''
F.Ali^.rat.fract.aden.procl.depolyn. rp.nir a,- i- n *
Ciic.Dir.ennum.monome. ^^ ^^^ 2'''- Lim.Oetoo.
1 ^ f I" h-\- X h~x \ )
■*] / I , , ,, , 77 — ~ — ——, ~TTf Sin.qx dx =-. tt g-''? Cos. i qt
^, ff 6 + ^ b — x 1 ? 124. Note 6.
2fl2a
" Meyer, Int. Def. 274.
Page 204.
F.Al.r.njtJract.aden.procl.depolyn. ^^^^^^. ^l.l suilo. Lim. et oo.
Cu'C. Uir. en num. monome.
'J {ff-^x-'){il*—x*) S5M j[ et T. 205. N'. 0, lU.
f x'-" Sin. p X n { „ 1 1
5) / "^ dx — - Up a — 3) <r-P? — Cos. p a \ j
f Cos.px , '^ \ „. ]
f X- Cos.px n \ If V. T. 203. N". 8, 1
7 (7^+^^) (7*-^^) ^ i? (5»..p,-p7c-P/ }^ ^, ,, 205. N^ 5, 11.
/" a;' Cos. » A- ^ f 1
n ** c(c+l)-)
'J / , H \ Sin.bxdx = ia-^-
Schlomilch, Beilr. III. § 4.
C
[\ h^ c(c4- 1) 1 ^ , .
; l(« + .if ^ (a+j!/+2f ac
/"(n — xi—P — (a + ^i)~/'„ 71 1
11)/ ^-^ Sin.qxdx = r^TTTV''-'^-'"' Cnucliv. Lira. Imng. N"'. 107. -
■' ~ ^^\P) \ Id., p. 28. U7. P. 1. § 3. —
[Ui-xi)-P + {a + xi)-P It ( Id..Sav. Etr.lS27. 12+.NotcG.-
12) ^ ^ HLJ: L^o5 ,pj^ _ 7P-le-<"/\ Id., Exerc. 1827. p. 141.
7(i;^ + P)(a;'-+3>)....(a!»+(2A + l)») 22ft 12*+" ,r ' \ u ] 1
fla— a:i)-/' + (a + j;t)-P f— 11 ^ n- d2<— >
J 2 ' 2 r(;.)dv2^-i '
in/' ('» — ^0~^ + ('' + ^»)-P „, ^ , (— IK TT rfic V 23."V47 i
72 '2 r(p)dq2c I I 1. § s.
17) / ^^ r—^ — '— x2<^ 67h. « .c ,/ X = ^ . nP-^e-oj
'J 'li ' 2 r{p)dq'-'= ' I
f'liucliv. I".
Page 2'JJ.
F.A 'm;i .fracl.;i(k'ii.iiiot . (leno Y'l- 'rmfi- l\i- •. i ■ /»
r" y • ' "' IAIjLK 2Io suilc. Lull. Ool
l.irc.air.cnmiiii. moiiomo.
2c- 1
ria — xt)-P—{a + Ti)-I> (—1) ^ n (A-i Caucliy, P. 28.
IS)/ ~- — —x^<^-^Cos.qxdx = - .oP-'e-n? 147. P. 1. i 3.
'] 21 ^ 2 r0>)d<?2c-i / ^
n h-xirc^ {b-\-cr.i)-<^ (;>-^»)-a_(^,-|-ai)-« 1 ^c" ^„ Icauchy
^"^7 2 ^'''•'•'+ ^7 ^'''■'T'=^^'-''^'>''-^{? It
-' 1U7. P.
20) =0 ,e<0;)ni.§3.
/{q — X i)-" — (a + or i)-" l\ \ n d'' J
~ '- r^^-^ — — X* Sin. [~bn-\-px] dx = r.i)«-i e-ri l
Zi \1 ^' 2.1"/' dpl'^ /-. . TT
* ' ' ' Caucliy, Exerc.
[(,, — a; {)-<' + {q + !vi]-" ,^ n, , \ , 7T d'' J1S27. p. in.
V 2 \2 / 2.1"" dp''^ )
l<. Alt?, ra . fract. a don. .r. ] ,, , • Tioii.^ oia i- n.
r- n !■ r^„ . [val.pnnc. TAHLL '214. Lim. ct oc.
Circ.Dir. on den. mon. Cos. .r.J • . v. <.i, >^.
f Sin. ax dx ,1
1)/^— = ,«<6;
J LOS. OX X I LeRendre, Exerc. 5.37, 39. — Cisade Grcsv,
^ , / Mem, Turin. 1821. 209. 11. 59.
1 — Cos. hn , , I
2) = n ,a = 2hlt -\- c;\
fSin.((b — a)x^ dx . j
8)/ \ , — = ,alrus-petit;
J Cos.hx X \
Cauchv, Sav. Etr. 1827. 599. S. 2.
1
4) = -7r,a = 0;
/■&n.!(2a+l)6x] dx I , ^
5)/ rr^~^ — = n'^ Legendre, E.xcrc. 5. 40.
Cos. bx X 2
dx
X Tang, x
^')\~7^ = « '''•■">''•. ^I'-'m- Turin. 1818. 7. 2. N". 13.
/ X —
F. Alg. rat. fract. a don i + «-. I ,r , ■ „ Tinrr oii^ i ;.., n «t ^
P,-^ n- ,, o. M'al. nnnc. 1AL5LL 215. Lim. U ot oo
Lire. Dm'.cii don. nion.o/n.a;.) '
, fSin.bx dx 1 e* — e-*) , ^
1)/— =-71 / , i < a;
/Cos.bx xdx 1 fift + e— ''I 599. Suppl. 2. — Cisa de Gresy, Meiii. Turin. 1821. 209.11
"^: T~"i — 7 == ::T'^ A 60. — Legendre, Exerc. 5. 29. — Boncompagni, Cr. 25. 74.
bin. a X \ ■\- x'- 2 e" — e—"] o • i o
Panre 29G.
F. W". rat. fracl. a don. 1 + x":
Circ. Dir. en don. inon. .Sm,
^'•jVal.princ. TABLE 215 suite. Lim.Oeloc.
J oi\ — est e^al ;\ uii riombre cnlicr A r; si
rSin.bx dx 1 (
\ Sin. ax \ -\- x • 2
} estndgatif, il faut changer les tigiies de e^"" ct dc
fC os.bx xdx ^ 1 ^ «<"■ —e-<"- + 2e-" { e-<^<- dans la formula (4).
'J Sin.ax [ -\- x'- ~ 2^ e'l — e-" J Caucliy, Sav. Etr. 1827. 599. P. H. § 7.
/■S/n.{(c+2/ja)j;} dx 1 gc ^ e-« _ 2 e-(c+2H
y S^/^. ax I -\- x- 2
5)
e" — e-"
Legendre, Exerc. 5. 31.
[Siti. 2hax dx 1 — e--'"'
7)1 = 71
'J Sin.ax l-\-x'^ ga _£-«
Cos.{{c + 2ha)x} xdx 1 e''—e-<= + 2e-(c+2M
rSin.{{U-\-l)ax) dx _ 1 e^o+l —i e-'^'
Sin.ax l+x* 2 e2u_i I Legendre, Excrc. 5. 30. Cauchv. Sav.
j_^_o,„, / Ktr. 1827. 599. S. 1.
Legendre, Exerc. 5. 82.
Sin.ax l+a'' e«— e «| Legendre, Exerc. 5. 33, oG. — Caucliy, Sav. Htr.
Sin.ax l-{-x' 2 «" — «-<«
Cos. ! (2/i+ l)a/) xdx e-(2<+i)a
-2£a
10)
I)
12)
Cos. 2lia X xdx
Sin.ax 1 + .(■'■' C — e-«
1827. 599. S. 2.
/
/Cos. ({a—b)x] xdx 1 e" + «-",. . ,.,
r ^iJ ±J- = ~n ,6 tres-petit;
Sin.ax l-\-x^ 2 €"-€-"
fi-o
= TT , t= 0;
e" — e— "
Coj. f(a-f t)j;) xcix TTfi— « 1 .
'■A-J- ■' J = — — -^ ) tres-petit;
13)f
14)
Sin.ax 1+d,' e«— e-« 2
jre— "
e" — e-
,6 = 0;
Caucliy, Sav. Etr. ISii.
fCos.{{2cfJ.)a_±b] X xjtjv __ e-
\ Lauchy, oav
/ 599. S. 2.
g— {2c+l)a TT
qp — , o tres-petit;
«-<• 2
16)
C-(2c+I)a
r
,6-0;
17)/
18)
&)..6.r Sm.|(2c+l)ax} xdx_ 1
= — T , 6 trus-pctit;
Sin.ax I -\- x^ 2
= ,6=0;
WIS- F.N .N,vTiinK. vEiiii. ni:ii ko.m.nki.. akaof.mik. ntri. IV.
Page 297.
3S
/,° n- 1. c „. Val. princ. I AIjLL 2lo suite. Lim. el oc
1
est L-gal ;i uri nombre pair -j —
^^fSin.{{-2c + l)ax) — e-''Sin.2acx dx 1 \
19)1 !^> — i- = -ttJ /,
J oin. fix 1 + jc* -2 I ,011
> 2 a
,^, fSin.[(a-\-b)x} — e-<'Sin.bx dx 1 \
20)/ ^^^^ ' ; = -TT «!-'"• J Caucliv, Sav. Ktr. 18i'7. 5;.9. Sunpl. 1
7 Sin.ax 1 ^x' 2 ^ " "^
/a; dx
Sin.ax i -\- x
Legendi-c. Exerc. 4. 132. — Caucliy, Sav. Etr. l!;27. 599. P. II.
1 ga g-a § 5. — Id, Sav. Etr. 1827. 599. S. 2.
I'. Alg. rat. fract. aden. 1 4- A-. V I 'imdil-oip i- a i
pr„n-, 1' r } Val. nriiic. lAlJLh'iO. Lim.Oetoc.
^ f 1 dx 71
1)/;^ :; = Caucliv, Sav. Etr. 1S27. 599. P. II. § 5.
J Cos.ax I -\-x- -" ' — " '
l'Si>i^c-\-Zha)x} xd.c 1 er-\-e-<= e-'c+a/m)
~) / ^ , I .; =- — —TiCos.hrc ^ — ^ -j- TT _ Legendre, Exerc. 5. 37
/■5(n.{(2/j-|-l)aa;) .r d x e-CS^+H"
3)1 _ ^- , ^ TT
Legendre, Exerc. 5. 37, 41
7ov h :t\.
-\- x^ " e« +
dx
Cos.ax I -\- x- ^ V v^w-. . . g, _|_ g_a "I" •"• ^a_|_^_o
[(2/j-|-l)aa;) .rdx e-CS^+H"
Cos. ax 1 -\- x'- e" -\- c""!
[Sin. 2 h nx xdx «— ''" — Cbv A t i
4) / ^ TT ]
J Cos. a X 1 -\- x'^ e" 4" «"" '
fCoj. t re ^ j: 1 e'' + £.'-* ^'"""^''y- S**^- ^''■- *S-^- =''y- ^'- "• 5 ^- - Legendre.
5)1 = —71 — — ,«">i>; E.\erc. 5. 2J. — Cisa de Gresy, M6m. de Turin.
J Cos.ax 1 + j;- 2 €''-{- e-« ' ' 1821. 2U9. II. GO. — Boncompngni, Cr. 25. 74.
h 1
2 t'" -|- 6"" ce iiombie est impair, ou si r est negatif, il faiit
cliaiiger Iks signcs de e'"" et de e~'"';
Cauchy, Sav. Elr. 1^27. 599. P. II. § 7.
/•gQ£j(c + 2Aa).ri '^^ 1 ^ , e--e-« e-(c+L>M Legendre, Excrc. 5.
y Co.s. arr i-^x- -Z e'-l-c-" t"' + <;-" ^ ^*-
/' Co3.((2/t+l)a.r] (Jx 1 (e^a — 1 ) Cos. A tt + 2 e-2Aa ^
J Co«. ax 1 ^ x- ~ 2 '^ e2a ^ 1 /
/Cos. 2 /i a ar dx
/ Cos. rt a; 1 -I- jr^
Legendre, Exerc. 5. 3(3.
e-2ka
■j- x^ e" -\- e-"
Page 29S.
I'. Ai'M-at. Inict. a den. fl' + x. Tipru^ «.)«7 i ■ i\ ,
n- IV 1 < lAM^h 21/. Lim.Ocloc.
Lire. Dir. on dcii. iiionomc.
12. 231.
/' 1 xdx -rte"'! Legendi'e, Eierc. 4. I:i3. — Bdone, .Mum. Turin. IS
i J Sin a .c >r- -fje^ ~ c-'"l I '^'■'- *'• ^'- ^^- ~ SclilOmilch, B.itr II. § 4.
fSiri.bx dx ■n e'"l — e-<"l .,
~' J Sill.dX q- -\- X'' ~~ iqe"'! — fi— "7 /
^ Caucliy, Lini. Imag. .\dd. 33. — Boncompagni, Cr. 23. 71.
fCos. bx xdx n e'"> -\- e—>>i \
'jSin.axq'+x'' 2e'"> — e-»')J
fSln.kx x'Tanq.x , \
4) \ dx = I ,
'J Sin.x p^+lx^ I , k = X \ Sclil5milcli, Bciti-. II. I.
fSin kx Tann.x.Sin.x \ l^'les soiit fautives: au lieu de k mettcz 2 A- -f 1; leurs
5)/-— ; — ; :; dx = Oj valcurs soiit alors x.
J bin.x jr -\- X-
fCos.kx xCot.x Meyer. lat, Def. 221.
0) \--^ ^—7 dx = ^ , k = cc ; Y,\\ii est faiitive: metlcz 2 k au lieu de A, alors h
J '-'"••'■ 7>'+4-^- valour en est cc.
[Cos. k X X V
7) / (i r = \
'j Sni.x f- +4..r^-
fCos.kx dx
5) I — =
'J Cos X -" ' -^
dx I , k =■- x;
= >
p^ + x"^ I SeldiJudlch, Bc-itr. II. 4.
[ 1 dx
X q"^ +x^ q cl 4- e-1/
Caucliy, Lim. Imag. Add. 33. — noncompa^ni,
Cr. 25. 1\.
/■ 1 dx 71 1
lOn = — Sclilomilch, Beitr. II. § 4
'j Cos. a X x"- + q"- q e"t + e-"?
fSln.bx X , 1 eh — e-i"i\
11)/ '^■•^ = '" — ; 1
./ Cos. a X X- + q^ i C'l + e'".' \
[Cos. b x dx _ n eh -\- e-J-? I
^ '\/ Cos.'^r 'r' + 7'- ~~ ?. 7 CI -Y e-'"l 1
r 1 ,]x n ^ [^ ' \\ l] \t'2/ jCmirliy. Snv.
^'■Vsm.aaH-.r' ~ '^ *"*• ^ 2/ e»V^2 + ,-al 2 _ 2 Co*, (a j/ 2) >
Pngc 299.
38*
F.AIg.rat.fi';icl.acl6n.(fl- + a;')a;.],r I • tidipoio i- a .
Circ. Dir. .-.. .len . .noMomo. jVal-princ. lAULL 218. L'"'- Q et co .
f Sin. b X 1 dx 1 e'' — g— 4 Caucliy, Sav. Etr. 1827. 599. P. II. § 5. — Ltf-
•' ' ' Ibii. 209. 11. 60. — lioncompagni, Cr. 25. 74.
b , 1
1 flarj.ff-ar -,— 4 j Oil — est cmI a uti nombre pair + - r;si le iiom-
2) = - TT ^ ~'^^ 2 a ° '2
2 e" -\- e—" breest iii]j)air,ou si r est iicgatif, il faut changer Ics
sigiies de e"'' et dee~"''\
Caucby, Sav. Etr. 1827. 599. P. II § 7.
fSin.{{c-\-2ha)x\l da; ^ n /^ , ^ '^eHc+sM 1 e" + e^c
o) I :; T", — 7 = - TT ( 1 — Cos. /( tt) — -i — nCosJin
J Cos. ax X I -f-a;^ 2 - ' — " "
- TT Cos. /iTt ■
ga -j- e—a 2 go _j_ g-tt I ^ ^ ^.
fSin.[{Zh + l)a.i] 1 d.r 1 e-(2A+i)« [ '
4) I — := — TT— n > Legeiidre
J Cos. ax X \ -\- x^ 2 «"-!-£— " [ E.xerc. 5,
fSin.2hax\ dx 1 e« 4"
J Cos.ax .r 1 -j- i - 2 e'^ -\- e-" 2 e" -\- e-"
fCos.bxl dx n ef>1 -\- e-hX
J Sin.ax x q"^ -\- x- 2 q- e"? — e-^^f , ^ < «;
fSin.b.1- \ dx 71
J Cos.ax X q'' + .i- ~ 2 5^ e"? + e— <"?
rSin.bx 1 rfr TT e''? — e~''9i Bonoompngtii, Cr. 25. T-t
F. A!^. raf. fract. a den. a;. t^ i m i? oi n in.
r- T\- J' . • > lAuLL il'J. Lim. U ft
I -lie. Uir. en den. Innomc.
f Sin X dx I 1
V i-{-2pCosJx+p'- T "^ 2 "^ T-p^' w < 1 ; \
1 1
. _, ^ \ Scl,16u.ilcli, Gr. i. 316.
■n / -^""g-^ ''f _ i 1 ^ , . (
*) = r'^^— r,p>i;/
Z p' — 1
^ f Sin.ax dx I n \
'''j 1 - ^ZpCos.ax+Jy' "x ^ 2 r^ ' P < 1 ;
6, „±£^„>,^|
' P ^ Plana, Mt5m. Turin. 181S. 7. IT. 13.
_. f Sin.ax dx I n |
^jl + ipCos.ax+p'^'^ ^ 2r+"»''^^^''
-i-2pCos.ax -\-p'' X 2 1+p
1 TT
«^ 1 7r .
Page .300,
(jIic. Uir. en don. tnii. a-{-b vos.x+c.
,y - -- .. ^ Vp^<i;
[ Sin.x -"P , n 1 ,,
\ Schlomilcb, Siiul. II. IS.
f 1 +P ^0*- X dx It \ I
"7 i +l^Cos. «-f7^ 7* -f .r-^ "~ 27 l+pr-9 ]
iS'j'n. r ar x \ n
-j- 2pCos. ra; 4-p' ?^ + ar- 2 e?'' + p
■^)/ ■ "nl/^V.,. I „, „2 , _o ^^-'^ =■- ^ 3;rT~ ' P < 1' Legendre, Exerc. 1. 131.
1 n
4) = , p > 1; Ohm, Aus-v. 26.
' 2ppe?'-+l ■'
1 fix \ (n n e-2ac \
/■ 1 dx linn e-sac
5)/ ■ ■ ■ = \ J Poisson, P. IS. 295.
' j g- 2ac^ 2 Cos. 2 a j; + e2</cj2^a;i e2<,c_e-2ac [2^ q e2<'c+e-2aefN^ 42.il afaut.daiisC)
«) / ix = \e--^<"^— 2Cos.2ax+e2.
y fi-2'"' + 2 <?0S. 2 a ^ + e2«0 ,y + J- 2 e^ra- _j. (;-2ac j
/" Cos. lax dx n 1
7)1 = — Legendre, Exeic. 4. 134.
7 1 +2ptos.2a.'!; + p» 5'* +.i-» 2qe'^<"l-\-p
f Sin. a X. Sin. b x dx it ( pe"i p e~°l 1 \
8) / ^ = - - e-*? — ^- —^ [ 1
'J l + 2pCos.ax-\-p^ q'^-\-x^ ipq [l+pe<"i 1 + /'e-""/) / , P" < 1;
f Sin. ax. Cos. b X x n { pe—"! pe'"l 1 (Boiicomp;i;rii;,Cr.25.74.
f)) I dx = — fi— *?<— ^- M
'J ] +2pCos.ax-\-p' q--\-x- 4p ll+pe-"? 1 +p<!'"7j /
. 0- J „ o e 6 Cos.— —-Cos. n din. — \+pe t
/ ciin.ax dx n e-" tt 2 6 \ . I
10) i = .IST - !i t
7 J+2p(7os.aa;+-pM+.r24 2bl+i,e-» b i ^ ^ -aCos.'l^ ^ I ^. "A , -2aC<...?'
•' ' \ + -2pe l> Cos.\aSin.-—\-^p-e I
\ ^ I
4-1 -aCos!'^ „. Znn- / «7r\
—„- c b Sm.~ — c>i?i. aAtn. -—
Ti 1. b \ b 1 ■■
— - ^ , • ' . , o impair :
l+Zpe 6 Cos.\aSin.— \+p^e t>
2-1 e
1)
' l+2pe \ 2b'')Cos.{aSin.\-^^^ ^ +p'e ^ 26 '>' ^ '
°2-' "
e- "^'"'(^r; ') Sin. (a Sin. [' ^ .| ).5m.(^+ ^ .)
TaKc 301.
1' . AlLf.rill. liact.;i(lt'II.I)lllulllO. Timn c\cn\ -. 1 ■ i\ .
Lirc.Div.ciHMi.liin.a-{- bCos.X'i- c.
e dm. V . Oi7i. a <S(;i, —
f p-\-Cosax dx TT e~" ttJ, b V^^J
"^ l + 2/?e t Cos. aSi«. - -|-;)^c t
\ '' /
-.- e bCosAaSin. — \-\-pe b
_ 1-^-C ""^ \ ^ / '^"n-
\+2pe 4 Cos.laSm.— +/)'e 6
.«Cos/L"+i^\„. / „. (2«+l 1\ „. /2« + l
''-1 e'
n-
b
1
n + l
-— 1 ,-. -, ^ e \ 24 '^z Cos. aim J tt) +»
1 \ 2^ "/i « -"Co.-r^+J,^^ / e- ('•^"■^1 11 , -2«C<,*.C?.''+1^> pair;
Lcs formulcs (li)) ii (la) valent pour /> < 1 ; voyez : Plana, Jlem. Turin. 1818. 7 IK. IB.
F. Al". rat. fract. a den. Ijinonic. t \ ni i7 oo i i :„, n «i
Cue. Dir. on (Ion. triii. o — bCos.x + c.
Sin. a X. Sin. b X dx 1 e* — e-'' \
- - - 7T —- , l'<a;
4 e" — p
[ Sin. a X. Sin. bx dx
j \ — 2 ;) Cos. ax -\- p"- 1 -J- *"'
2) =.-n\^ --I ^ ,i = «c + r/;f . ?'< 1;
4 [ e" — p P-" — ;) J ' \
/Poisson, P.
4, 1^ e" — p e—" — p' en (ous ens; y
^ /" Con ax — p Cos.hx 1 fw'-i;'— '"+6— '^ l._»rgr<ij
} ]. — 2pCos.ax^p-\-\-j:-'- 4 I e"— jO ^ e-»— joj '
r Sh. .c a; TT 1
5)/ - dx = , 7J- < I ; Schlomilcli, Beitr. II. § 4.
./ 1 — 2/.Cos.a; + 7/- ?- + a-' ^en—p'^ ^
7 1 — 2/?Cos.a; + p- 7J 4- j-^- 2<7l— p-e?— /> /
•^ ir Y . .If- '. V.T. 19. .\\2ttT. i21.N\S.
/" fos. j; dx -n I 1 — pe^ I
7 1 — 2;> Co.«..r + p2 (?^- -j- .T- ~" 2^1 —p"" el—p J
]'i.!?c. 302.
F. Al'f. rat. fract. a den. binome. minF n. c-^a, • . ■ /^
Ci.c.Dir.oiulon.lrin.r/— 6Cos.a; + c. ^^^^^ ^^' '"'^"- Lim. ct oc .
J l—'ZpCos.x + p"^ t/' -\- j;' 2qe'l — p
31 / '^'"' *' ^ '^-- - dv — - ^ .P<1; Leseiidre, Exerc. 4. 131. —
'] l — '-ZpCos.rx+p' rp +.r* '^ 2 el'' — p l^oncompagni, Cr. 25. 7+.
n 1
Zqp el'- — 1 ' ' -^ 'I
/" Cos.rx — p dx 71 1 I ^, . « .
11)1 = v- <^ \\ Ohm, Ausw. 20.
7 1 —2/v Cos.rx 4-p2 2* + j;* ^qe^l—p ' ^ -~- '>
12 = , p2 > 1;'
7 1 — 2/jr
1 — p Cos.rx da; n 1
'os.r.r-j-p^ q- -\- X- 2(7 1 — /?<;— 'V
13) |- — — ^ ".,—-7 = — 7 _ ,/)■-<]; Boncompagni, Cr. 23. 74.
11) = , P^ > 1; Ohm, .\U3w. 26.
[ Sin.rx ^ i ,1 6 '
15)1 — „ -— dx = I 7>< 1; Legendre, Exere. i. 132.
7 1— 2/>Co«.r.r J--* -» -L-2 " i 1 „ -.90,- „ ' ' "^ '
a; In- e'"«
•i!+p>9»+.T- ■ '~2 1 + peV — p
1 TT eV
IC) = , « > 1; Obm, Ausw. 20.
2 1 + p p e^9r _ 1 ' ' ^
/■ Cos.Zr.v — p J .J- TT 1
17) I ■- — = - , j)'^ <" 1; Lesrendrc, Exorc. 4. 134.
7 1— 2p(?o».2r;r4-p* <7' +.1-^ iqe^l^ — p'
f Sin. a X. Sin. bx dx n , ( pe"9 p e—^l 1 1
IS)/ = c-^1 \—^ — - -)i n2 ^^ l•
7 1— 2p(7o.«.a.c+p^ 7^-|-,r^- \.pq \\—pe'"l l—e-a'/jf'^ ^■''
( Sin.ax.Cos.hx x. n [ p e-'-l „, WHoncomi.:,g..i. Cr. 25.
I',))/ dx = e-'")\ — —. ^ - n<+-
j\ — 'ipi.'os.ax-\-p^ q"^ -{-X- [-p 11— pe— <"/ 1 — e"'!] j
f Sin.'Zax x .t 1 1 I — /-- r— 2pSin 2iw/./(— I) roissoii. P. IS. 2aj.
Ji-^ZpCos.2cLV+p'q'-x'- 4p Ip l-2p^ os.2av + p' «, au lieu de 2«,).
-, '^ ,. ,, , ■ \ ' I.MU.r. 111. Liiii. Oct « .
Luc. Uir. (Ml (Ion. liiiiuiiR'.
f Sin. a X
'} 1 4-2p<:W.a.r + p» .!•« + 2 7»
(ix .-=
^.-ayCW.^ 5,-„_ (a .; .Vin. A)
t*-
29' 1 + 2 p g-o'iCos.y. Con. (a 5 .Sih. P.) -\- p ^ tf-S"? CojX s;,„ 2 X
PngP .-JO:}.
F. Alg.rat. fract a den. polynome. ^^^^j^p^ ^22 suite.
Cue. Dir. en den. trinomc.
Lim. cloc
^'/r
Cos. ax -\- c
dx
-\- 2pCos. ax+p^ X* -\-2q'' x- Cos. 2 P. + 7'
Tt e—air„s.\ {Cos.{aqSin.l)-\-ce-i (Sin. (a 9 -Sin. A.) |
•i^' l + 2/?e-''»Cos.),{7os.(a^5i>i.?.)+/'*«"^'''^°*-^«- ^o^-^-
+
[ Sin. a X
j \ — Zp Cos. ax -\-p^ X*
dx =
■^Zq"^ x"^ Cos.il -\-q*
It g—OqCosX
Sin. I j
Sin. {aq Sin. ).]
'^JT^i
Sin. a X
2q\ — 2p e~°9Cos > Cos. {a q Sin. X) + p^ e-^<"iCos.\ Sin. 2 X
X
dx =
2pCos.2aa; + p* a,-* + 2 5^r^ Cos.2 X + -7*
n e-°'3CosXSin.(aqSin.X)
7 «--"
1 .^ p e—^aqCos.y.
Zq"- 1 — 2 p e-2a9Co* X Cos. (.J a q Sin. A) + p = g—ta? Cos.x ( I + ^) Sin. 2 ?.
Les formules (1) a (4) so trouvcnt Plana, Mem. Turin. ISIS. 7. II. 10.
Sin. -lax X n g-2ac
dx
Sac + 2 Cos. 2 ax + C^"-^ x' ->t [h -\- c)- 2 <;2a;6+c) _|_ g-2o<:
e— 2ac e2ac
d.r
e— 2ac
-2ac ^ 2 (7o5.2 ax-\- e2«c a;* + (6 -j- e) - 2 6 -}- c i + c e2a(4+c) + e-2ac
/" 5in. 2 ax x n
7) I :: — ^ 1 — ; — r. dx = — ; . ^ ^ c ;
j e-'^"<=-\-'i,Cos.1ax-\- e^-"- x^- -^{h — c)' gSai -f. j ' -^
9) /
2ac e— 2oc
d.r
g2a;c— 6) fi— 2ac
1 71 7r 1
- . *<<^;
Poisson, P.
Cos.2,ax-{-e^«<: X- -\-(b — cy 2 b — c J — ce^ai+i' ^ 7 42.
JO)
1 TT . TT
-2ac
_,6<c;
2 c— 6 J_ce2"(c-i)_e— 2ac
/' (^^- .1. c- -^ a;')2 xSin. 2ax— c [b- — c^ — x-) (e-"': — e-2''c)
/ e-2ac ^- 2 Coj. 2ax + e^ac
. c > ^;
2rr
d.T
{.,,2+(6_c)aj{^j^(j^,)2j
^•tt
12)
Page 301.
e.a, + r "• < ^-.y
F.Alo-.rat.fr.ct adcn.polynomo. ^,^^^^^^ 222 suilo.
Lire. Uir.ciKk'n.tniioiiic.
Lim. et oc
l:]
1 1
13
Sin.{{ii-{-h)j;'^ .Sin.2ax dx n
I
f^'Ti. |(a-|-Z»)^j . Sin
J 1 — Cos. 2 ax
C Sill. 2 a .r, dx
J ] ->rpCos.2ax-\-p'' x[\ ^ x''
1 4- Cos. '•lax 7' + '^^
'Sin.\{a-\-h)x^.Sin.2'i X dx
Sill. 2 a X dx
I,
2ar g— 2ar
-^e-Ca+M? \—^ —
27 [ 1 + e2ar 1 ^ e-Sar
}.
— • fi— (0+4)9
2?
(l_e2ar~l_e-2arj
Boncorapagni, Cr.
25. 74.
1 n
) 2 1 4- p e« + p e
c<i — e-" Cauchv, S.1V. Etr. 1S27.
'^ <• ' ' 5U9. S. 2.
F
Alg. inat. out.
lire. Dir.
TABLE 22.1.
Lim. et 30
/ Sni. q.r.dx\y^ X = — 1/ —
/■q- 7 . 3 271
ISin.qx.xdxi^x = — 1/
y 8<?^ q
fc- , , 15 27r
i 10,;' q
In 1 1 2 7r
I Con.qx.dx \y x = — 1/ —
I
j Cos. q X.
I
Octlinger, Cr. 38. 21G.
3 27r
Cos. q .r. xdx\^ X = 1/ — -
Sq^
lb Zn
x^d.v\'^x = 1/ -
IG5'
5in. J-. a;-"-' J j- i^ .r = ( — 1/' r
7 /
4.a-hl\ 1 \
2 / 1^2
/ 4 a +3 \ 1
/ /Si«. ic. X-" d.c\^ X = (— ] )T 1 -- —
\CoS. X. J-'-'-
•I dx l^ .V = (— ])T
1/2
lrt+l\ 1
\ Ciiucliv, Sav. Etr. IS2;. 121. N.lo 3.
10
jCos.T. .r'^'dxl^x =(— 1,"-^ - ^- *
11
12
r. j26-i (/.rli-- J- ^ (— 1)''-
1/2
424-1,3 li/i
Sit- 1 2 a«» l^-- a
324 2aiA+l jv- „
Page 30.-).
WIS- U> ^AT|•lll^. VKllII. fiF.R KOMNKI. AKM)i;»llK. PI- 1 I. IV.
I Sill, a
j Sin. a .T.J-"'
'</xiVx = (— 1)''
OelliiigiT. fr. ?S. 2 If,.
89
,,. " ... lAuLL zzo suilc. Lull. (m'I ex.
Cue. Dip.
f 42/,-i3ii/i L/3 >
1.3)/Cos.a.r.x24-irfu:li-- jr = (— 1)* — — r
/■ , 4-^V3 If I
\
Octlinger. Cr. 38. 21G.
1^ . A ff. I rial, fract. a den. 1/ a;. t i m i? 00/, in.
Circ.Dir. ennum.nion.aiiiiiact.circ.ii(\?;.
f , da; TT^
1) JSiu.x— — = U-^-^i Euler, Calc. Int. 4. S. 5. ^ 127. — Bidone. Mem. Turin. 1813. 231. Art.
J 1/ X ..^ J j^,_ 2^ 2^ _ ],.Qy|.ipr_ OjjjI^ 3g(,^ _ Laplace, P. 15. 229. — Caucliv.
, ^^ I Sav. Etr. 1827. 124. Note 16. — Id.. Sav. Etr. 1827. 599. P. 1. § 6. —
Z)lCos .^• = l/-) Boncompagni, Cr. 25. 74. — Schlomilcli, Bcitr. 111.' 4. — Id., Stud. I. 13.
7 " ^^^ '^]
3) toutes deu.x = v/ 2 tt (fautives par faute de calcul) Masoheroni, Adn. p. 57, 58.
1
= - 1/ TT (fautives) I'usi, Jlenu Futersb. 1S30.
f dx n \
■I.) / Cos. p X = 1/ — I
r dx TT I
5) I Sm. p X =1/ — I
G) = ,p = 0-.
2y>( Legendre, Exerc. 3. 55. — Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. .Art. 1.
,. N'. 19. — I isa de Gresy, Mem. Turin. 1821. 209. II. 53. — Plana,
Mem. Brux 1837. — Oeltinger, Cr. 38. 216.
^ V Bidone, Mem. Turin. 1S12. 231. Art. 1. N^ 19.
7) =-^^'^<"''
.rr, - TT 'X f 1]'H-1
'6)\Tang.fx = \y - 'E ~ Bidone, Mc'm. Turin. 1812. 231. Art. 3. N'. 33.
Bidone. Ml-hi. Turin. 1812. 231. Art 1. N-
10, 16.
i dx
) I Tariff. p x—-
J ^ l^x
9) I bin.^ p X ■ == l^x i^_= -rl
J V^ X 4 ;» I
10) I bin.^ p X = 1/ — I
; V^x 4 1/3 Zp \
C dx
11) I Cos.- px = oc Bidone, Mum. Turin. 1S12. 23!. Art. 3. N'. 17.
J \y X *
loxf/-. , ^^ 31/3+1 IX
\t)\Los.^px = 1/ — Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. .\rt. 1. N°. 17.
; V^ X 41/3 2p
Papre 30 G.
h. Al"^. irrat. Iract. a don. l^ a;. Ttnir oo/, •• i- n .
n- i\- • r f • 1 ^ lAliLh ^22'i suilo. Lim.Oetoo
Circ. Dir. en luini. mon . u un lact. circ. dc x.
1 ■■<,) I Cos.'- p X = -- 10 4- + 1/ — \
'J ' \.^x 10 \ ^ IX-S ^ 1/5/ 2/> 1
/• d X 1 n '' /2i+l\ 1 f Bidone , Mem. Turin
1 M /.b7«.2''+l ».r— — = — \y ^ (— 1)" : > 1812. 231. Art. 1
7 ' 1/^- 22t'^2/>o^ ^ V?' + «+l/ l^-^l^'^+l)! X'. 17. 16.
)\Cos?^+'^px
dx 1 7rJ;/2i + l\ 1
\b)\Cos?"+^px-~ == -,,l^ — ^
\y X
22i 2p V6 + « + l/ l/(2n+ 1) I
[ dx
l^x q 22ai-i </«
/_>\ 12«/1 jr
17) = (—1)" ^T-V^ —
f di: 2 7r 12a+l/2
1 8) I x^"+^ Sin. q X ^^-^ = (— l)"!/-
l/X <7 22«+2 52a+l
/ _ 1 \ 12a+l/l TT
/• dx 2n 12«/2
20) /a;2« Cos. 7.2!^--;-- = (— I)"!/— ;
l/a: 7 220+1520
f dx 2n 12«+li2
22) I x^''+^ Cos. q X = (—l^+^U ;; :
'J ' U'X q 22«+2 22« + I
/ _' \ 12a+l/l n-
''^ =(-')''i2a;i)?^^^
Sur les iiitcjgralcs 16, 18, 20, 22 voyez: Oettinger, Cr. 38. 210.
Sur les inlcgrales 17. 19, 21, 23 voyez: Raalie, Int. 167. ^
F Alg. irrat. fracl. a don. .t- i/.f. .,, ^,;, ,, .^.^- ,„„ „ ,.j ^
Lno.l)n'.f'niniin.ii!Oii..i iiiuarl.rir('.<l('.r.
f Sin. J
J xl^.
ii , . ,, Lnpliicc. P. 15. 229. — Bidone. Mdra. Turin. 1SI2. 231. .\.t. 1. N". 4 —
1 ) / dx ^ I ^ 2 TT
X " l*'""!'. MJm. ]?ria. IS37.
[Sin. p X
2)/ - '^ dx =
y .il/j;
\^2pm Cisa do Grdsy, Mem. Turin. 1821. 209. 11. 53.
;5) = _ \--2pTi Oi'ttingcr, Cr. 38. 21C. (faul.).
Page 307. 39*
F. Ws,. lint, fiact. a den. x' u x. '\\v\ v oo- ...-. >
Circ.Dir.ennuin.nion.uiin lact. circ.dca;.
10
11
13
11
15
10
17
18
19
f Sin.px
I a .V =
X, Bldone, Mem. Turin. 1S12. 2;U. Art. 1. N\ 7.
2»
- t/2;,.
[Sin.px ip^
;.r' l^.?; 15 '
f Sin. p X
I • ax =
J x-"]^ X
r Sin.
(2»)2<'-i
^ ' \2ai2 '
Sin.p X , (2»)2a
J. ^ '' 12„ + l/2 "^ /
/ — ^— d.c = (— 1)« 'i/a'
f Sin.px
a;2u+l jj/A'
t^a; = (— 1)"
2 . 12«/3
l-J;I32a+I^2oi;i-'p
27l2^¥3
fSin.^ p X
I dx
J x'\y X
fSin.^ px
I X
l^pn
^\^x 3^ '
fSin. ^ p X
i dx =
/Sin.^ px
^~7- dx =
X- i^ X
fSin. ^ px 4
I dx = —
I X l^^
fSin.'' px
I— dx =
j X^l^ X
fSin.^px 5
/ —. dx ^ —
j x'ly X
3 — 1/3
l^2p7T
V^S—-}
p l^^ 2pr[
— 1/2
l.-^ pix
!■ — 2 I,/ 2
Octtinf;nr, Cr. •'5'!. 216.
■ pV''' pn
— 321/2 + 27 1/3
16/?-»l p7t
315
Liin. el Gc.
liiilone,
Mem. Tu-
Srin. IS 1 2.
nSl.Art.l.
N°. 13, 10.
[Sin.^i'px , »«-*!/ TT '' f Zb \
I — Zn~ dx = ; ,„ „^, —' .^ (— 1)" , «"-» , a de la forrae 1 7i et 4 A -}- 1 ;
Page 308.
F. Al^^ inat. Tract, a den. x" i/- x.
Circ.Dir. on num. moil. iiiin fact, cii'c. (lea;.
TABLE 2^25 suite.
Lim. et cc.
21)
iCos.x ,
22)/ — —dx =
7^1/ a:
-V-77 — r.-^(— i)" , (2n— l)«-*,adelaforme l/( + 2i>tl.A+3:) • ^ • l-^'
1/ 2 TT riaiia. Mem. Brux. 1837.
23)
24)
= x> (faut.) Cisa de Gr^sy, Mem. Turin. 1821. 209. II. 53.
fCos.px
I dx ==
J X \/ X
[Cos. p X
2.-))/ — -^^dx =
' j x'' \/ X
X
\/?.l}n Oettinger, Cr. 38. 316.
Bidone, Mem. Tnrin. 1812. 231. i\\t. 1. N'. 8. — Cisa de Gn'sv, .M.'m, Tu-
rin. 1821. 209. ir. 33.
26)
2p
= — 1/ 2 »7r
3 ^
-2a ^/ X ^ ' 12<'/2
1^2;; 71
27)/ '— dx = - ■ i'2»7r
'jx^i/x 15 ^
I
fCo
"^y j;2a+l J/ .c ^ ' 12a+l/2 '^
32)/ ■' dx = (— 1)"-
)
Oettinger, Cr. 3S. 21G.
o J 2a- 1/3
33)
fTanyjiX^^^ = 1 I /> ir :§ (— 1)"+' , ' n Bidonr, Mem. Turin. 1812 231. Arl. 3. N '. 3v
/ ai'.r I
Page .'iOi).
2)
4)
1 TT
4 a
F. Alj?. irrat. fract. a den. monoine. -nmi r' oop i • n .
Lire. Dir. en num. mon. a deux lact. circ. de a*.
/Sin. a a: Cos. h x f 1 1 ) , ^r ^
dx = {—- + — \V-,a':>b;
,a == 6;
■~ (2i/(a + 6) ~ 21/(6 — a)j 2 ''^ "^ '
fSm.^a.r.Cos.^ bx 1 ,^ f 1 1 1
J Vx 8 2i 21/(2 + 3 6) ^V/36 2 1/(2 a— 3 6)
+ — \ , 2 a > 3 6;
^1/6 2V/(2a — 6)j "^
5)
2 V/ (2 a + 6)
1 TT j" 1
"^8^2 1 2V/(2a
4- +
+ 3 6)^1/36^21/(3 6— 2 a)
Bidone,
Jlcm. Tu-
+ .-77-,
3
-1
6)
8)
9)
2l/(2a + 6) ' v/6 2l/(2a — 6)j
1 1
Nriii. 1S12.
/23l.Ait.].
, 3 6 > 2 a > 6; N". 19.
8 2 1
2l/(2a+36) ' 1/36 ' 2l/(36— 2a)
3
f./,+
2V/(2a + Z») ' l/6 ' 2^/(6- 2 a)
-^ 1
.-2a)J '
6 > 2a;
\/ X
Cos. h X , / a + 6\ . / a — 6\
dx = V\n-^\ +V/ T— — ] ,a >i;
= l/a .T
,a = 6;
= »^l-^)-i^(-^^ '«<^;
F.AIg. irrat. fract. aden.monome. tari p 097
Giro. Dir. en iiuiiKT. hiiiomo.
Lim. ct oc
(Sin. ^ ax — Sin. - b x
1)1 dx
J VX
fSiit.* ax — Siri.^ bx
„, [Cos.- ax — Sin.- bx
'U vi '■
Page 310.
1 I 71 n
4 \ 6 a
I/t 7i\ 1 I 71 71
1V ~b~'^~a]~lQ\ 26~ Va
Bidone, M6m. Turin. 1812.
231. Tableau.
\['l+'l
r Cos.^aj:~Co^.nx 1 / t tX r ni.lone, Jk'm. Turin
'] Vx ^ ^\ ~ci h] I 1M2. 231. Tablcm
7) / "'"" " -/~r v^-^o.vv^ '^ dv = 5m. rt 1/2 71 Cauchy, Sav. Etr. 1827. Hi. .Vote 10
/ v/a-
S"/«. X — X Cos. X 1
231. Art. 1. X". 9.
F. Al'f. nrat. Iract. a den. niononie. rp . ,„ ^ tioT ■. . • -^
r n ■ 1 > IAIjLE '227 suite. Liin.Oetco.
Lire. I)ir. en nnnier. hinomc. ^ i-i ^^ .
[Cos.* a.v — Sm.* bx 1 / r t\ 1 / t t\\
7 V^x i\ a^ AJ "^ItJ \'^ 2a^'^ 2^.1 J
[Cos/^ax — Coi.''bx 1 / t ,r\
J \/x 4 \ a b)
fCos.'^ax—Cos.'^bx 1 /' n: 7r\ I I , tt rt \
Sin. 'a — x) -\- Cos. {a — x)
\/ X
/Sin. X — X Cos. X 1
dx = - v/2 3r Bidoiie, Mem. Turin. 1S12. 231
xW.1- 3
n:os^ibxVa)-Si.ibjr^) jSin^y ^y^. /a> _, ( , « de la for.e 1 /. + 1
J Vx \ X I i"^ \"/ ] ct4/i4-2;
, oi\ Oj< 2a< li; + 1 ; voyez sur ces deux iiitiigrales: Laplace, Mem. Inst. 1809. 353. § 10.
F. Alg. irral. fract. u den. monoine. rp . ni f- lujo r • n .
" J T.VBLL 228. Lim.Oet x.
Circ. Dir. on num. eiic. do x .
X '__
1) I Sin. « (x ) I — = e-2"i/ — Cauehv, P. 2S. 147. P. 1. } :J.
J { \ xl\ \/x 2n
.,/(.-i).„.f,(,-i)}^^ = 't;'%-..^^v. •■■.., ......
// l\3^ ( / 1\) <Z.r l.j -f :ir.<i + -l-Sd' -f 64.a^ ^ it
/■/ 1\24 f / 1\1 (/.C T </24 tr-2"
f/ l\24-i ( / \\] (Ix n iP''-' e-^"
Page 311.
F. Al;?. inat. fract. a den. monoiuc. Ttnii,- oot> i i i\ ,
Circ. Dir. en num. tire, dr x .
X
e-2a./-lL Ciiuciiv. r. i-'s. 117. r. l. j 3.
2a '
8)/f.-iV-M — -1! - = - i^ti^e-'r- V. T. 228. N^ 1.
ff 1\2 (• / 1\) (/j; 3 + Sa+16a5 „ n
j x — -\ Cos. a U = — —5^ -^. (r-2«i/— V. T. 228. X<.. 7.
J [ .T \ .r/j i/.r 4.a'- 2a
; \ .1' / ( \ a" j ) \/ X 'i' a -
/•/ 1\3 f / 1\] J.C ].-, -)-30a+ I.Srt^- -l-Gl. a' „ it
10) lU — - ^'o^'- « •» U = -'- -' -^ <-'~-'V - V. T. 223. N\ 1.
2 a
. -- V. T. 228. N'. 7.
dcfi'' \/ a
12)/ Lr Co*, a L = — IjH'- , „ . • '— V. T. 228. N\ 1.
F.AIs.iiTat.lract.aautieden.irnit. t i m i? onn i- n .
Lnc. IJir. on nnni.
Sin.x , „. 1
S ( , oup == 3,G25G08;
Laplace, P. 15. 229.
fStn.x 1 )
/"Cos. « , ^1
2) I ax = p Con. - ,-
7 [}/ a:' ^ S
.T
rii|
) , (? > 1 ; Raabe, Int. 41().
[Sin.pv dx —rrapl tt rr I i 2 a p\" 1
5) / , - = - - Sin. + - \ ' — ^ - \ — I
'Ja + I,x\\v I'ah b ^ a^ '2b iV^\ b ,,•- ,,- t •
' ^ ' \ iiiuoiin, Jlem. lutiii
fCos.px dx^ ^ _n_ ^^^ ap 1 TT ^ (—J)"_ ('i3P\"
S12. 2»1.
Art. 2. 25.
^, [Cos. bx — dm. b x dr.
Of —
' f Oil
./ (f -\- .V- I a;
n , 2
— C—"'' \' - Sclilomileli, Gr. 11. 174.
"i- .'(■ ■ \' X 4 a a
I'a^e ;J12.
I'.AUf.irnil.liacl.aaulrcdun.irrat. t i m r oon •■ i _ a •
.,.0 ,^. lAliLh 'i'iD su lie. Lim. Oeloo
Luc. Dir. 011 mini.
fSin.bx — Cos.hx 1 .
S) / - xdx\' X =■ — n c— * \
[Coit.lix — Sin.hr, n I 1\ f
9)/ dx\- X = -e— !"7 1 + — \ Uclmling, Transf. II. S. 116, 117.
CSin.hx — Coa.bx n I 1 \
11')/ "\" ^ — xdx\'x= e-'"l\h — — \
F. Al''.irrat. friicl.adL'ii. biiiome. t t m i-' i\-,\ i- r» .
" I lAlsLL %)[). Lini.t'otcic
Lire. Dir. cii num. circ. tic a; .
X
i)j Sin \a[x -7 —^C2dx\'x = £-2"i/2 7r Caucliy, P. 2S. 147. P. 1. { 3.
/• f / 1\) 3_.x / 1\ 1 — 4a , 27r
2)j^/J^«[.r--j}---^-, ^.--.] cf.r i/x = - — - e-^-M.' - V. T. .30. N".
f ( / 1\) 34-a; / 1\2 1+80— 16a» 2t
.^lc• n ^|1 2--'' / ^\'^. 3 + 12a + 4.Sa^-64a _,, 2^ V. T. 230.
(f24
.0-2" I 'a V. T. 230. .\=. 1.
„/..,. {4.-i))^^,(,-ip'.,.,.^ ,-„-, ../is-.^'v. x-..\-»-
x + -
.«■
jr = c-2" I 2 7T Caucliy, ]'. 2.>. 147. P. 1. 5 3.
3+x/ 1\ , 1 — 4<i 2:r
Pnge 313. 40
WIS- E.N >,ITLUUK. VERIl. ni:n KOMNKI,. AKAnEMIE. PFF.L IV.
F. Aljjf. irrnt. IVact. i"i (It'll. Iiiiiuiiic. 'r.i.ir o-n •
o , I AlsLL ioU suite.
(-ire. Dir.cii niiiii. ciri'. ilc x .
X
Liiii. (J ol X
!.)|co..{«^.-i))y^^^, (.r-ij'<ial/a: = ^-
-' e-Qay/.^ V. T. 230. N". 7.
4a a
l2)jCo9.laL-
3 + 12a-{-4.8a^- — (Jla^ ^tvT"'!'!
j/^__ — — -. e--"\/ ■ ■"
Sa'
N'. 1.
r dx\/x = (— l)''-il/2rr - -.e-2"v/a V.T. iau. N°.7.
3 + .T / n24-M
o .r
J-^i+l
rfa:l/:r=(-])^-VtJ.y„. ,..-2Va ^ _ ^
V. T. 230.
F. Alg. irrat. iVacl..
Circ. Dir. en fleii.
TABLE ^iol,
Liiii. et cc
/" Cos. 3 » iT a; cZ a; V' .1' 1
7 Sin. p X 4- Cos. p.v \^ x^ 2
/" Cos.2px dxVx n
2) / -^— ' = — e—l"l
J Sin. px -\- Cos. px q"^ -\- t ^ 2 q
f Cos. 2 p. V dj;\/x 1 + */
J Sin. p X -\- Cos. p X [q^ -\- x''-)''' q'^
[ Cos.Zpx xdxV'm I
^J Sin.px + Co.'^.px {^+y^y- ^ Y^~
, f Sin.x dx
J V [I — p'- b'JI.^ x) X
Ilclinlins. Traiisf. 87. S8, 92, y3.
e-P<i
4 q
1 \ 7T
e-I"/
2qjWq }
7)
/v/(i-
Sin. X d X
p^ Cos.'^ X] X
1^' ip)
, ;j < ] ; Kaabe, Cr. 25. 100.
Sin.Zx dx 2
V/(l —p^ Cos.^ x) X p
~ = -A^''(p)-'^'(p)]
Page 314.
K. Alg. nil. IVacl. ^^,^j^^ ^..^ j^.^^^ _ oo et oo
Lire. Dir. on num. iSin. x.
fSin. a X
\)\ dx = n rolsson, I'. IS. 295. N\ 43.
; "^
fSin.px
2)1 - (It = nCos.pq Hidone, M6m. Turin. 1S12. 23!. Art. 2. N". 32.
CSin. p X \
;}) 1 ' - dx = n e-i") I
J X + rj i f
[ Shi.px
4)/ d.c
J x + iqi — r)
CS:7i.pj;
■*) I — ^■^ ^^ nCos.vq Bidoiic, Mem. Turin.
! Olim, Ausw. 23.
1812. 2:J1. Art. 2. .V. 32.
Cnyley, L. 12. 231.
fbin.p X
0) / --• c/r = ne-i'i
f x—qi
\ Ohm, Ausw. 23.
f Sin. p X , ,1
7) / ' dx = n e-l'i'—'i>> l
'j^-{qi + ^)
8)1 ^— dx = — e-''T{p)iSin.pn]
f Sin. X , , > . r,. \
9) / dx — e-" r (o) I Sin. p tt
10)/ — --(/j; = Moigno, Int. 133.
fSin.px
11)/- (/x = Lijciine-Diriclilct, Cr. 4. 94.
'Jq'-+.c'
\2)l"''- ~ - dx = Tie-" Sin. ah Poisson, P. 19. 404. N". C.G.
fx Sin. p X ,
13)/ dx = Tte-Pl
'J >r + .r'
2
IvUm, Ausw. 25.
14)1 ''"'"'^'" Sin.txdx = -^-^^^, S/w.ri + flCoa.rn ^le-'IC"--''))
'jr^-lsx^x'' \V/(r — «') ^' j j
C X Sin. px , , , -A
1,5) / dx = 7rC-P('-+9')
'I'V'+iqi + ry- I
f X Sin. p X
16)/ r r
Olim, Ausw. 23.
dx = ne—P'-''—1'A
Pnge 315. '^^*
F. Alg. raL Tnict.
Circ. Dir. cii niiin. Sin. x.
TAHLI-: -lo'l suite.
Lim. — 00 ct 3c
/
\ Meyer, let. Dcf. 2 7^.
C Sin.p X dx Tc
IS)/ ' = f— 1)" -
f Sin. p.v dx n . , . -, \
19)1 = (i — c-py+'i'^]
'j^' + {qi-\-ry X (r + 90' ^ ^ (
f Sin.px dx n , ■,■, i
20)1 = fl — e-pi'—Q')]]
Ohm, Ausw. 23.
F. Alg. rat. iVact.
Circ. Dir. en num. Cos. x.
TADLE 255.
Lim. — X el oc.
1)1 — ^-^'-dx — n Sin pq Bidone, Mc'in. Turin. 1S12. 231. Art. 2. N^ 32.
J •■>' + <l
[Cos.px ,
%)\—-^dx =
J X-\-qi
I TT e—1'1
'., Olim, Ausw. 23.
[ Cos. px , . , , ■, i
3) / dx = — ITT e—Pi'+l') \
'J^ + {qi-r) \
^ /Cos^p^^^ ^ ^Sin.p Schlomilcli, Stud. II. IG.
^ | Cqs. pj ^^ = —TtSin.pq Eidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 2. N\ 32.
J x — q
[ Cos. p X ,
C) I — dx =
i n e—P1
Olim, Ausw. 23.
7)
Caylcy, L. 12. 231.
f Cos. X , ^ , N c-
8) / ; — dx = e-" r (/') Sin. p t /
>j{a + xiy-P {
9)/— '- dx == e-T (p]Sin.p7T \
/ '^^-P-^ ^ ^ j^ p Cauchy, Cours. Lcq. 39. — Moigno, Iiih 133.
71 + ^'
Page 316.
K Ali"-. Till. Iracl. 'rvnii.^ o — » i-
,■•" n- r ^ \\\\\A\ l<io suite. Liiii. — y. ft x>
Luc. Dir. ('II iiiiin. Cos. x.
H)/ — -dx = Tit-'' Cos. ah roisson, 1'. 19. iUl. N". Gii.
7 1+-*-^
1:!) / dx = - e-/'V Ohm. Ausw. a5.
13) = — 71 > 7 <1 -:/ ] I s I .
' 2o I t ''J^"* 'C cii!', oil X ■= \j -\- zi\
T ^1 Poisson, P. 18. 2'J'.. X'. 40.
U) = - e-/'V , 7> c;\
'^ )
/".T Cos. P X , \
; •^•' +7- 1
( Cos. 1) .V TT . \
17)1 - — ■ — - dx = e-iK'-i') )
/"•«""' ^ , ■^ L -;>Sin.(-"-^r\ , {2n—[ , /2n~l \)l
IS)/ , Cos.w^tZj; = - ^ i; V -■A ) Stn. { --a:i+pCos.\ :i\} t „/oA
20)1 --^-tif — Cos.txdx = f/7 67n. r<— -^'-^^^^^CWr<| rrfi-'l'' (-—•'') Ohm, Ausw. i-'S.
+ 1;
Scliluinilcli.Stud.
.r-{-^' \ V/('' — s*
/•Cos.((6— e)A)— a;Cos.U^ , . ^ .. , , , , i •'^^"''- "• ^
'j l — lxCos.l-^-x"- \ -r I \
}p^-%pxCn,.XJ^x' (ic' _ Pln,m
{ pbltuf. j '
f Cos. px d j: , , TT >
f Cos.p X dx
25)/ -— =
fiC. — PIniiB.
Mt-in. Turin.
K. 7.11 li.
'> M.v.T, Int. Uri. in.
Prtgc .'517.
r.Al-.n(.n-ncl. TAIJLI- t>:^l li,„._^,l.c
(<irc. Uir. en niiiii. d aiili c loriin'.
fTatig.px
1 ) I ^ ^- rfa: = TT
2) I "—-dx = n ,'!<-■
, on .f
y ^ :i-\ Poissou, r. IS. 2y5. N\ 42.
n'os.nx — Cos
/•(cof -I- c-ac) 6'o5. g X — (e "*^ — e -<"^)iSin ai- _ g- m, _ cr,i \
/
7) = "^ ■ e-«* , e < i;
f{b'- -\- c* + a;") 2 .r Sin. 2 aA- — c( 6' —
7 e2^'2C'o5.2a a- -f- — 5'"- ''^''- *^
— c'^— a;') ( e^«'^ — fl-2"g ) VPoisson,r. 18. 295.
{,-^+(/;_c)^-) (.x:5 + (6+c-)^)
,c>b:}
2n
9) == — , , c < Z» ;
F. A s. fract. thoii? o-- i- i .
r,-° u c- lABLb zoo. Lim. 1 ot a;.
Lire. Dip. o<h. x.
fSin.(p(x — 1]] n )
1)| --"■'-^ ^ d.fc- = Ci.(/*).Sm.p-)- Cos.p {-■^~SL{/j)i Arndt, Gr. 10. 225.
i) I Sin.luix j i.v dj\/x ■■= e-2"V/-— Caudiy, P. 2S. 147. P. 1. § 3.
•\)lsi».\a{.v l! (x ] ix + ~\ d.r{/x == "^ ° c-2«t/— V. T. 23i;. N". 3.
4)J5»..{a(.--]) (.--) dx^x = --^-^, --^- V. T. 235. N^ 2.
Piiiic :il8.
(-irc. I)ir. ^tn. x.
l&n. a .r \\[.v ^/; + W/.iV.r = (— I)''-' l/ - , , .- V. T. IMC. X'-. 3.
1
7)|.sV,,Lf.r-ij] (.r-iy"""c/.n/.r = (- 1)V^ y:^.. '■ r; ^'- T- 235. N^ :.'.
!• -j- ,(■ +
S) /.S7h.[«(,i' ] - -f L/.i._ \ — = t— 2' v/ :> a 71 Cuucliv, P. 2s. 1-17. P. 1. § :i.
.' I \ •'•/' (',, + 1)" \ ^•'' ^
1
C f / \\\'^~'^'~~v I 1 \/ INtf.r 1— 4-f? 2t V T 23(5
1
1 — .c
1 i)j.s,„.^„^.--jj -y \x.-y '''-o.t^,r,../,; 1.7. p. i.H.
Pr.ge :}l!).
F. AIq'. fraCt. numn ck — ■. ¥• .
Ciic. Dir. Sin. x. ^ ^^^^'^^ ^"^^ '"'^'- L""- ^ ^l oo
,r4. i_(^_i)i}-t^.{.,;+i +(.,— ly'-^
2 „ ,,
V. T. 230.
.\". 1.-..
V. T. 235.
N\ 11.
I5)j&-«.[«(.__ij}i
(■'+;) ['-1.) '"-' ■" = - »»v,T(i ^ l-f- - "■]
L,- + - J- .r'-''-' f/.T = — -,; \-tf,-i.)[h-2)—{b--Z -ZaA-la-]
\ .r'\ .r/ 2i'''+ir(!/)) (l- '^ '^ ' ' ^ j
i ^ \ W^ 2 V. T. 236.
1\ / l\2c-l (—lYn (i2c-l ^'"- ^■''■
,■ + -.) .^•— - .r««'- ' ihv = -^ ^ . a**-! e-2«
1 ») fsin. [a(. - i I } i^+l^li^l)0-^--{^+l+(-'-')j)
^6
V. T. 23.->.
1\ / l\2c f— D'-TT (i2c IN . JJ.
ZO) I Sin. ax
; ii .f (/ -^;-^ = (Cos. a -}- Si", (i) i/ — , jjour a ties-petit ; V. T. 77. N". 1.
a'- — 1 l a
F Al- fract TA«LE 25G. Lini. ! ot cc.
Lire. Dir. Los. a:.
l)jCos.p.v ^ = - Ci.{j)) J
/"Cos (l<3:- 1)1 (I ) \
])l6'os. ]a(.j. — _]] (.C-1--I d.xl/x = e-2a,/^- Cauchy. T. 2S. 1)7. P. 1. § 3.
Tagc 320.
F. Alg. fract.
Circ. Dir. Cos. .r.
TABLE 2o0 siiilo.
Lim. 1 ct -x:
a) I Cos. la ix I *■ ] dxi/x =
'•^j""H'-i]\{''-l] (•'+;)""'- = - ^"i;"" '-"'^
JI_ V. T. 230.
2 a >«''• 3.
1 5 + 36a + 48a^+64a^ ^,^^^ tt y. T. 235.
8o' 2« ^^' ^•
S) / Cos.
T. 236. N'.
/a
!)) / Cos.
1 0) I Cos
/'
\l)JCo
1:5)
II.)
I Cos.
/'■"'■
1
i+x + -
1\]^ ^*/ 1\/ 1\ c£x 1-la „ /2Tr V. T. 233
4 — X
l\ 1 a;
a \ X
X
X
i+x + -,
\/ X
1 \[ lydx l+8a-16a> ., . , S^r y. T. 23C.
\/xj\ xj X \a a ^ • ->■
^ fi-^^^t/ iOJ.
Ha'
a N'.S.
.,_ i\(,-i)"^'^^. (-1,., 2,.f".*'...-.'. >^-
t/aa»+>
V.
Page 321.
\MS- 1;N NATl'tnK. VF.Illl. DF.n KOM>KI. AKAnEMlK. riF.KI. IV.
41
F. Alg. fract TABLt: loG suilc. Liin. I ol oc.
Circ. Uir. Los. x.
235.
Trai'-Sfi— 2a h s N". 13.
== — TT-; — i-(^— 4)(/'— 2)— (*!'— 2)2a + 4ai I
.s,/c..{„(.-i)l '-+'-^-"-'-'-'-+-t fe=Mz^(.,i)(.-I)V...^ ■ _
jrai4-2e-2afi 3 ^ N\ U.
19)jCos. |«|^— -)} ., (-+;) (— -j .i^-.</.r= ,. .,
230.
— . a**-' e-2"
2t''+ir(Ji) rfa2t-
. nuur a trc;s ne
ii-- — 1 4 a
235,
.tt*i-'e-2a
/ a; . 7r
21) / Cos.axdx\^ — — - = (Cos. a— Sin. a) \' — , pour a trcs petit; V. T. 77. N'. 2.
F. Al". rat. ent. Tvnii.^o-^'? i- n . '^
Ciic.Dir. TABLL207. Lini.Oet-.
— 1,"
T. 304. N'. 1.
7 ^ S ^2 0(2/1+1)^
2) / .r Co'. !• (ix = -114-- 2 — '— V. T. 303. N°. 1.
r 11.
5) jxTangr- .rdx = -^ — — t'— -^2 V. T. 237. N=. 5.
Page 322.
32
F. Alg. rat. cnt.
Circ.Dir.
TABLE 257 suite.
Lini. ct -.
[ X 1 "■ 1
4) /-: dx = - ^ (— 1)" V. T. 305. iN'
'jSin.Zx 2 ' {■Zn + l)-
.■)) / dx = -TT 12 V. T. 46. N^ I.
'J Cos.^ X 4 2
f X- 1 1 « (—1)"
fi) / dx = -7ri2— — 71^ 4-^ —5^ '—
'J Sin.^ X 4 16 ^ (2n+l) =
/".r* Tang.
J Cos.-^ X
V. T. 238. N°. 4.
1
1
■;t: * Tang, x 1 j. ^
— dx = -/2 TT-I 7t^ V. T. 237. N'. 3.
2 4 ^ 16
S)/ -dx = ~{-n\ +'-^ _ h_^ — ^ [ V. T.23S. X\20.
'jSin.-j: \4 j ^ ;i \1./ I ip+2m , (4«)2"'J
^^ /"a; Sin."-' x ^ , ^ (— l)""'
7 Cos.«+iar 4 ^ oa+2«+ 1
V. T. 46. N'. 2.
Y.e — In) Tanq.^ x 4- X dx 1
" 2_i !£ X = - TT / 2 V. T. 258. N'. 28.
Cos. 2 X Cos. ^ X 4
(Cos. X -{- p Sin. x)
X Cos. 2 X
dx^-l-rl^^ + 'L '-P
'J Cos.2x Cos.^ X
f X C
^^7 (1 + sin
f xCos.Zx , 3|/3_4
13)/- r„dx = n^, ^— V. T. 48. N^ 2.
/ (I — oin.x.
x.Coi..r)'' ^ '^ 6l/3
1+P' 1+P 4(1+;,)(1-J-;.^)
? — 1/3
V. T. 4S. N'. I.
V. T. 48. N^ 3.
Cos. a ) ^
J" Sm. 4 a?
6l/3
1/3—1
— ax = TT
P 3 1/ 3
V. T. 48. N\ 4.
dx 1
= -nl2 V. T. 306. N^ 1.
X Cos. X H
/x Sin. 4 X
{l — Sin.^x.Cos.-.%
J Sin. X -|- Cos.
f I — 2 Cos.X. Sin.2 x. Sin. ^ x x tj X — n ( 1)VT4S
' '7 (l-Co..)..Si».2*)> te.'j''' " 4(1 -(?<.,.«) + 27^+T*"5*j »■'■ ■<■
\l^ Tang, x — 1/ Col. x . 1
5tH. 2 a;
rcrfi = - 7r(l — 1/ 2) V. T. 50. N\ 15.
2 ^
[^JTang^,^ ^ {mV _ ^Ll^liZL v. T. 50. >
'jl^Cos.Zx 8 1/271 2{r({)]»
19) It.
J iSin.x 1/
.\'. 1.
dx = -7ri(l + I. 2) V. T. 261. X . 14.
Cos.2x 2 ^ ^ ^
Page 323.
41*
F. Alg. rat. out TAHLK 258. Lim.Oot^.
(.irc. Uir. ent. 2
'[)lxCos.a-dx = -71—1 Y. T. lOS. X'. 3.
•Z)jxSin.lxd.v = -n-Z2 V. T. 267. N'. 22.
't\ I r t I / '> Legendre, Exerc. 5. (11. — Foissoii, ]'. 17. 012. N'. 15. — C'micliy,
^; I a; oof. ;r (( .r — ^ '^ ' - Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5, 7. — Mosta, Gr. 10. 449.
f 1 1 «■ (— 1)"
4)lx Cot.-xd.v = --1112 + -2 ::S ' -'- Le','eiidrc, Exerc. 5. 64.
7 2 2 ^ o(2«+l}-
5)j(^ — x\Tang.xdx = -ttH Cauchy, Sav. Etr. lf<27. 599. Suppl. I.
G)jxTang.xdx = x V. T. 333. N'. 1.
7)lxCos.Px.Tang.xdx = -^—^ — - V. T 53 N\ 21.
8) /Cos."-! X. Sin. [{a-{-l) x] . X d .V = — ^^ \
<J) 1(2 Cos. x)P-\ Sin. qx.xdx =.-nV{p)-^ . ,^ , {. ^ ^TV^ \
\ 2 ) \ 2 i .
10)jS!n.{pTang.x).xdx = -ttc— /* (A + / 2;> -h e-/' /v.(— 2;')} '\'- 1"- ^31. N'- 5.
i\) j Cos. (p Tang. x)Tang.x.xdx = n e-P [A + 1 2 p -{■ e^P Ei. {— 2 p)} V. T. 4:n. X°. 7.
i-6)lx''-Cot.xdx = -nU2 — 2 3: 1— — (-i)!z^_^ (-i)"~' ]\
7 4 1 [n^ n^ (2n)3 J J
/■ 1 00 (_l)n-l I
1 I-) 1 .1' Cot.xdx = - rr' Z2 — ir ^ ^^ > Legendre, Exerc. 5. Gl.
7 8 1 {2ny i ^
-14a;=')Co<.a'f/,r =- -tt' Z2
Page 321.
F. W'y. rat. ent, T-iurr o-o •■ in.''
f 1 /IN" 1 " f— 1^"-'
]C,)l.r''Tang.-xdx = — -n^ 12 + ZCos.-arT.l"/^ 2 — ' — +
' J •' 2 \2 I ^ 2 , W+i ^
f 1 fi Y 1 » 1 i
17) /a;" Cot. -.vdx = -jt] i 2 + 2 Cos. - a tt . 1«/" J^ + I
7 2 \2 j ^ 2 1 71"+' ^ 1
^ ,^ ^ i \2J ^(2m+l)2" \2j o(2»>)2-> ('
18) [jP Cot. .r (i .r = [ZY \\— M: 2 — -
7 \2J \ t p+2m I (2n)2'»j ( , on
7 2 \2 M 1 p + 2 m 1 (4 w)^"'J J
Lege nil re,
Exerc. 5.
58, 59.
p I'ractiori ;
ixerc. 5. (i3.
F. Alg. rat. ent. TABLE 239. Lim. ct ^.
Circ. Dir. en den. monorae.
f X « (— 1)"
1)/-: — dx = 2:s ^ '
j Sin. X
(2n+iy
[ X- oc fl /— 1)"- 1 (_l)n-l-jl
J Stn.x 1 (n^ n= (2 « — 1)-|(
r x" s |i 1 '• )
/• wi 1 „( 1 (_1,"-') oo /n\"-2"-' »(— 1)-'"-' Li-ei..
4)/ ■^--J.r=Co4a^.l''/>^ — -+^-^U2J^(-l)''-'a2'.->/-' - ^.^i,, ''^^.^x-
7 -Si'i.r 2 ilw«+> »»«+' j 1 \2j H2'»-I ■' 5. CO.
/■ ,,, /;,\;. [ ^ 1 .>•-'"- 1 — 1 ^ ' _l ' "" '' •""■action;
'^^jsiiiTx^'^ ^ \l\ 1^ "^ ~1 iJ'""- /'+ 2»n "7 (in')""! Lou'ciulro. Excrc. 5. G3.
^_ fj^^^-^^ == i„;2 Lependrr, Exerc. Suppl. 2S. - Cnueh». Exerc. 1820. p. 205.
] Sin. X 2
7) f __^ - d^ = i 7T / 2 V. T. 2r, t. N". 2.
'jSin.^x 2
S)/— t/x ^ t/2 Cnuchy, Snv. Elr. 1927. S-tU. 1'. 2. j 5. — Most.i. Or. 10. M'J.
Page 325.
F. Alj;^. ral. cut. rnm t^ c^-n •. I i^ ^
Ctc. Dir. en don, .uonome. ^'^^^^ ^'^^ ^"'^^' Lnu.O.l-.
/-TT— -rf.i- = 0'+ 1) -^ {l— JS- JS: V. T, 238. N'. 18.
/".f^ COS.X I m ( 1]"
/ ——, — dx = 71^ + 1. ^ -' — V. T. 239. N\ 1.
/ Sm.^x 1. ^ o{2n-\-\y
I
10
11
12
13
11
16
17
IS
Ut
20
21
o.>
/: ~' f OS. .r 1 -i
dx = — —n^ + - nil V T. 239. N""
Sin^ X 11) 2
fl—xCot.a: 1
/— <i .1' = — 77 Legendrc, Exerc. Suppl. 17.
/ Sin.^ X \
1 .r - Cos. .1" + (2 7T — x] X
^T —dx = n^ I'l Cauchv, Sav. Etr. 1827. 59!). P. 2. § 5.
bin. X
.r = CO Cnuchy, Excrc 18^6. p. 203.
/
I- — dx =
J Sin. 2 .V
fa" /I \'' 1 oo f I (— l)n
I / ^ dx = -TT I -Z-^- Cos.- an . l«/l Ji" ] + ^- '- +
+ (— ])"2a>-(— l)"i-i(a— n2«-i/-i _ [
/
I Sin. {ij Tang, x) ^"^ _ d^ = ^ e-? V. T. 371. N°. 2.
/
/ ; dx
I 6os.^ x.Sin.x
I d.r = -- — 2P-2' y-^-^i- V. T. 33. N\ !«.
J Tang.x 2p T (p + 1)
f X 1
/— (/.r=-7rZ2 V. T. 265. N°. 13.
/ lang.x.Cos.Zx 4
r .1' n
Ir ;; c- o ^-^ = -Sec.pn , ;J < 1 ; V. T. 63. N°. 4.
J IangJ>x.Sin.2x p '/---'
Legendre, E.\crc. 3.
60.
Sin..{qCot.x) -. rfa; = tt V. T. 374. N'. 1.
' Sin.-^ X 2<7
.V n
r, V~ dx =
Cos.^ X 2 q
X 1
Cos. {</ Tang, x) ^. ^ dx = n Ei. (— n) V. T. 431. N'. 1,
Sm.Zx 4-
X V. T. 334. N'. I.
Page 326.
r,- " n !■ I- • lABLL '240. Lim.Oet-.
Cue. uiv. oil don. Ijiiioiiie. 2
"/
^'/r
xSin.x :^ SinJ{-Zn-\-l)X]
— c/a- = — 2Cosec./,^ Legendre, Excrc. 5. S5.
Cos.' ). — S,n^ X (-^M + l)-
X Sin. 2 X . / , ' , ^ . \
— dx -~ — nCot^Kl Cos:--)..Scc.X] V. T. 334. ^■^ 'J.
71 + Tana.- ).. Cos.^ x ' " \ '' 2
(V.T.eSs.N.iy.
f •»' , 71^ » (—1)"
/ — c£x = 7112 — — 4- .5:—^^ V. T. 238. X'. 4.
y 1 — tbs..i; J, "^ (2«+ 1)'
•1.1/-; -X dx = — -n\ +(»+!) -TT 1— ^—; .^ (
f x''Sin.x /I \" . , 1 ^Cos.n). 5^,
'J Cos.x-{-Cos.X y^ I 2 1/1"+' 1
1 rx, a2/n— 1/— l/;r\«+l— 2'" -r. a2"V-' l7t\<'
{Cos.U2n-m] 2{—l/>'-i - +Cos.2n?.:^(—l /«-'--— -—-
I "-^ ^ I {2n—lf"'\2l / (2n)2'«+l\2y
f xoSin.x /I \" . ^1 ooCos«A ^"^ ^^ ,
' j C0S.X-C03.K VI 2 1 n«+i / '
f 00 a2m— I/-I /;j\^ + l-2m „ a^W-i /7r\"-2"')
|c...((s»-i)i)^(-i)..-.^^;^^^(j) -Co..2»i.^;(-i)-j^-,^j) }
] q-\-Cos.x 2 1 «''+^ il \-2m/ \2 / (2«)-'''-'
Legendre.
Exerc. 5.
I— 2hij 55.
00 ' a \ , /.t\" -2'"-! 1 )
; \2m+l]' ' U/ (2«)2"-r2j
a— 2»i 2
4-
(2 «)■-'"'+' '
J<l — Cos.x 2 1 n''+i 1 I o\'.2»J/ V'-i
+'-'-:U,.+ .!'-"-(r) ,2,„.-.|
Sui- les form. 7), S), 011 <• =--<( — I (.r- — 1), Nnyt/: Lcgemiiv, l.x.rc 5. 73.
f .(• Sin. 2 ;«
'J p + Cos. 2
""-dj: =- — -tt/ {2(1 -7^)} ,p<l;'
lOi =T Inl^'^^ ■'-' ^\p> 1;/ Caucl.v, Sav. Mr. ;?27. 5«'J. S. 1.
' ■ i 'l[p- 1) ' '
C X Sin. 2 X 1 , , , 1
J p — Cos. 2 r 4 '
Pngc 327.
''• ;V8- 7'.- '^"'- , . ... TAHLK 210 suite. i;..n. el ^.
Lire. Dir. en den. bniomc. 2_
fjO^Sin^x^^^ = Ini - ^-^^i^^ ,„> 1; Cnuchy, Sav. E.r. IS37. 59;i. S. 1.
'Jp-Cos.2x 4 ^, + 1 '(;,'-— 1)'^
f ^'Stn.2a; ,, ^ _ _ , ^ Cosec. ^ ?. . / Co,'. i A V. T. Wl. N\ 13.
U.) f "-''^"•^ <Z.r = iL^i±±^-(i:iL'^ V. T. 334. N". 8.
f X Sin. 2 .T TT 1 + » 1
S /? /< — 1
\ V. T. 210. N^ 9 -IS
IS) = -nl
1 , 2i/(p^-l)
2 p + 1/ ip'' — 1 ;
C X Sin. 2 J*
1 9) / — ■ d
'jl — Sin.'-l.Cos.'x
f X Tana, x , ^ ,
'J p^ Sin.\v-\-Cos.^(V p- ^ ^^
1 ^, .14- Sin. I
(• =^ -7tCosec./.l — — V. T. 334. N=. 22.
2 Cos. i I
) V. T. 334. N\ U.
F. Alg. rat. ent ^^^^E 241. Lim.Oet-.
Cn-c.Dir.ontk-n.d autre forme. ' 2
' Sin. X
'. p Cos X -\- p- p
1 :,, 1 2'>/2/ 2p \2«-i v.T. K34. N^
19.
71 + 2pSin. A- -f- p' 2 p ^ ' ^ 2p 1 2n— 1 3''/2 \l +7'^ j
/■ .r Sin. 2 J! ^ , , \
y 1 — 2 /) 60.'!. 2 a- -)- p^ 4 p I
Page 328.
Cnucliv, Lim. Imair. Ho. 121. — Pois-
^11 :' son, P. 19. 4(14. X '. 7G. 171.
4p p ;
— — — —-i].e = — I — ! ^-J-J- V. T. 3:3. N''. 10.
q) Cos 2x -\-q Si] 2
F Alg. ral. cnt TAIiLK 241 suilo. Lim.Ocl';.
iAVc. Uir. on den. d autre tormo. i
^'^J l-,/ran^
g.* X Sin. 2 X IG q*
I dx =^ I — J^-'— V. T. 265. N\ 14.
j 1 _,yi Tajig.' X Cos.^ X 87* (' + '/)'
f .r Co.?. ./• In
I „. ^- ,— d.r = 2 ^ Cosec.2 A — -— --T — r V. T
/ ( 1 4- Sin. X. Cos. X) » 2C0S.I 1 + Cos. X
X Cos. 2 X 2 1
— dx = ~T[ i^ Z
Cos.xy 9 2
f x Cos. il „
■') I W d^ = -^ l-" 3 71 V. T. 63. N\ 4
10)/ ^ r—dx = 2 (J. — 7t) Co«cc. 2 i + -- — — — r V, T. C5. N'. 3.
7(1— Sin. X. Cos.).)^ ' 2 Cos. X{\ — Cos. ).)
[ xCot.Zx 1 4.
1 I) 1 dx = - 71 7r 1/ 3 V. T. 05. N'. 3.
' J {\— Sin.x. Cos. x)^ 2 9
12) / '7^ dx = — 9.nCosec.- 2). (I — Sin. /.} V. T. CO. N'. 8,
' J {I - Cos.n..Sin.'- x)' ^ '
f X n a I
'J {Sin.xdzq Cos. j-) ^ 2 1 + y - 1 -j- ,y '^ ^
f X Sin.x It 1 i ? )
)/ dx = -~ — — — — — Arccos.- ,9<1/''. I
'j{p + qCos.xy 2p l^{p'-q') p ^^' (
II.)
I [P -^- 'I VOS. XI' Xi D L^ ID- W-| f I
V. T. 03. .\\'J. 10.
" + 1 ^- / ^
^ Sin. I X 2
'•■^) =„;. + ../., ;„'r. . ,,., — —^i>r'
f X Stn. I ./;
^^^j (f_ 5/11.' a;. CoT*^ ^"^
|/3
TT
V. T. 06. N\ C.
2pMi+y')
/" X Sin. Zx
17)/ — -—-dx = — - V. T. CO. .v. 2.
'J {Cos.Kv-\-p'' Sin.^ xy
C xSin.Zx n p'+P7 + 2v-
'J {p^Sin.-' X ' -' '"--•' -'
+ 7^ Cos.' .!•)' Sp« (/' p + ,]
xSin.2x 7T o//^ -^ Sji^ q -{-bp^ q^ -{-bpq^ -\-Sq* V. T. 67.
J, /■ ^--S'^-g-c _ .^ _. i/'^_+J^P//Tj^li_fi/i^_ +**.?_ V. T.
'jip'Sin.^x + q^Cos.'x)* "" ~ ISp* 5* p + <y ^"- ^"
/• a.Sin.23; TT 5/ -(-5;)'7 + S/)V + V7'+>*/'V +'•'"/■■+•••'/"' V. T. 6 7
20)1 — :dx = " v' I'l
J {irSin.-x+q'Cos.-.iy 128/>«<y' p + q > . 11.
f Cos.^X+Sin.'x ,^ , «*..,. - 5,«.{(2« + l)i} V. T. ;M0
21 / -,r~- x^Co!<.xdx = . - - + 4 CojtY. A .i * r^,,'~ \' 1
'I (Cos.''). — Sin. ^ x)^ iSin.n. ^ (2n+l)' •'' • '
xj'
Page 320. 12
WIS- EPi NATUUllK. VKnil. DLIl KO.M.Nhl.. AKADEUIE. Ul.KI. IV.
r- Z n- ^ I- V I r lABLh 241 suite. Lim.Uol-.
Luc. Dir. cu den. d aulro loimo. 2
U)f
Tang.^ IB x n
dx == V. T. GG. N\ 11.
, X dx 7T
^^^^'{T^^ Cot.u:)^ Tang.2x.Sm.Zx "" ~ 128 ^' ^' ^^' ^"" ^"^
2
Ot)2 4- Tang. ^ jr) - Sin. 2x Sp [p -}- 1 )
[ Sin. X. Cos. X X TT / 1 1 \ Lobatschewskv,
'^JY::^inykc^;r.'[:::rsi7,}jx^/'' - d^fZc-^syX^^^ JJ^-^; ,'^-'''»"-
. i Sin.Zx X 11 fot.^u II . 5m.a\ Y.T. 334.
I Sin.n-Sin.-u.Cos.^x l-Sin.\u.Cos.'-x '''^ Sin.'u.Cos.n Siu.l' ''"^'[l "'ShUiJ N'- 24. '
ft p^aSin.Zpx (l—p)^x — {l~p)ln ^. .. ^,,„,,,r M Cauc
^Jlt^ .: :; — — 7i — ' ^ , ,. -Sin.{Z{l—px]ldx=-l{ZA+Cos.pn)}.r.„,
'J lCos.pn-Cos.2px Cos.p7i—Cos.[[l—p]2x] ^ \ 4 ^ ''-'1S27
Cauchy,Sav. Etr.
"599. S. 1.
F. X\a. rat. ent. annr r^ nm I ■ r^ "■
Circ. Dir. sous forme irrat. a den. mon. ^'^^^^ ^'^ ^•™- ^ '^ r
V. T. 1-2.
I).
\)\xSin.2xdxl^[\—p^ Sin- .p) = ^t~~'-^'ip)-^^^'' ^' ip) —\\^ (^-P^ )'\ ]^7\
2) Ix Tang. xdx\y Cos. .r = ti-- 27 |( 1 — l / 3) Y (cos. -'^] + 2 U^ o E' ( Cos. "^i
Y. T. 72.
N'. 22.
/"l/ Tano. a; — v/ Co<. a;
4)/ ^.--,— —xdx = — 00 V. T. 73. N°. 4.
Sin.zx
5)
/'
f X Cos. X f tt\
I ^7-:, dx = — n + 2 1^2. F' Sin. - V. T. 73. N'. 3.
J l^ Sin.' X I 4 1
f X Sin. X
^') / ^ , da; = — x V. T. 73. N^ 3.
J l^ Cos.^ X
21.
9)/ 77^— c?a; = oo V. T. 73. .\\ 9.
[y Cos. X
Page 330.
r i\ r . ■ 1- iABLL 'i4'2 suite. Lim. Ocl-.
(iirc. Uir. sous lormc irral. a dcn.mon. -2
'^
Tang, x
1") / — TT^r-dx =00 V. T. 73. N^ 10.
^')ff^^^ ^^ - ^r (^-^1 - -^ V. X. ,a. H... ,.
7r\ .'J
Tariff, a; }^ Sin. X "~ ~~ ly 3 ^ ["""' i2J ~ i
f X 3 / 7r\ 13
JO) »_ dx = -iy 27 .F Sw. —1 71 V. T. 73. N°. 8.
'J Tang. x}^" Sin.- X 2 \ 12J -1
fxdxi^^Sin.—-x an „ n
1:3)/ - , - , = — ^ Cosec- V. T. 73. N°. 12.
F. Al"r. rat. ent. tari v? o/.t i • a . "^
Lire. Dir. sous lorme irrat. a den.polyn. 2
i X Sin 2 j; tt 2
J l^ {I — p' Sin.' x) p^ p-
f X Sin. 2 X 71 2
2)1 ■ d^ = — — — E'fw) V. T. 72. N«. 11.
'J l^{\ — p^Cos.^x) />2 p^ ^^^
' j 1^ {l—p-i Sin.-" x) 3pM 3 ^'^^^ 3 ^^ 2 ^ ' ^ -^ • >■ ♦•
4)1 — ddr = Arccot.p V. T. 75. N°. 8.
/■ xCos.x , 1 f . ** )
5)1 — -ax = — { — Arccot.p 4- ■ '^r)
' j \^{p^ ^Sin.^ xY p'-l ^^2|/(I+p')J
fi)f-~''c"'- '^^ = -- V2.Ffs.V<.-l V. T. 7B. N-. 1.
'j\^[\-\-Sin:'x)^ 2 2 \ 'ij
r ._Sm._2^^ rf. = n-V-2.r(si.J^ V. T. 74. N". 5.
^y 1/(1 + Cos. ^r)' \ t/
[ X Si n. X _ ^ \ JL_ i -p /i 2^ \l
^^l^ + tCos.j-)' ^ ~~ l\.l^a~ \^{a + b) \1 "^ ' ^'^ a + bj\
f xSin.x , If— TT 4, f,/l 26 \ ^ / 1 26 \1| y.T 74.
'•^Vl/(a-6CoT:ri^''^=6l-a+r>+^)lH2''''"«+^J"H^^' '" «T^) 1 ' «' ^•-
Pnge 331. 42*
V. T. 75. N". 5.
V. T. 7». N'. 1.
I'. All!:. r;i(. cut. Timn oa- i i • /> • ^
.^.'^ r»- r ■ . ■ 1- I lAuLh il.j sulk'. Lim. Uol-.
Cue. L)ir.soiislormoirr;il..i(l('ii.|)olyii. 2
/' xSin.Zx , If 2a (In 2b \ ^/l 26 \ )
+^°'-'"+'''(Hr'^;+4-'(t""'<.+"i))l
/• xShrZa: 'ir 2 f , /,t 26 \ In 26 \,) v t 74
i^'i^HTc^;:;^'"^^ ^~^l~^''''"*'r^M^''''^Kv ''aT6)+"V«T6Jl| N-'.l-Jt.
11) -
/" a; Cos. X , jr 11 — p
1:1) I dx = + —I ,p < 1; V. T. 75. N'. lu.
'j\^(l—p^Sin^xy 2l^{l—p^) ^ 2p 1+p
f X Sin. 2 .T , 1 I TT , )
[ X Sin.' X. C os. X ^ ^ ^ I [ _ J _ ;''^ , 1 -P' , 1 +Pi V. T. 7."..
/ 1/(1— p2 5/,i.2^J5 • 3p2(l_p2)l p/(|_y,2^'T" 2/) l_jpjNMUCt ly.
/■ X Sin.- X. Sin. 2 X 1 f 3«'' — 2 2 1 v 'i- n- v
Jl^{l—p'-Sin.^x)' 3p^l i/(l_p»)3 1—;,^ ^'^ ^ ^^J 9 et 20.
/"a; da: 1
17)/ = -7rH-^2 V. T. 268. N\ I.
/ Sin. X -\- Cos. X \y Sin. 2 x 8
f 1 — X Cot. X dx I n X Cot. ). — 1
1«)/— -7, ;T- ., . g. , - ^. = - ."j^-^l -I Z— Legendi-e, Exerc. Suppl. -19.
J I'- (1 — Cos.- J.. Sin. ^ X) Sin.x 2 I -\- Cos./. bin k "
( Si7u2x xdx 2 r cFYc) + 6F'(6) b—c
''^]Vi^::^si^)7sinTx-A~'''^'-'''^-^
,0. 2 6^- = ^' +p^ , 2c.^ = ^-i=f/l^ ; V. T. 73. NO. u.
1+p l+/>
15)
16}
d .V a
+ ^ Cos.^ X ^ Sin.^ X. Cos.- x 8
20)/ — -^-7-;- *-— 7;^ :; — — ^-;; = - tt' v. t. 2G8. N'.'. 4.
P\ A!cr. rat. ent. rp.nTi- t^/,/ i- «
Miic.Oir.ont. ^^^^^^ -^^'^- L.rn.Oet.T.
^Ix Cos. a xdx = ^ (Cos.r/TT- ]) i,^'':"S''r. Cr 3K 75. - Schlomilch, II<3h. An. 80. - Id.,
'/ a- Beitr. 1. § 8.
2) jxSin.a xdx = -Cos.{{<i4- 1)jt] Schlomilch, Hob. .Vnal. SO. — Id., Beitr. I. i 8.
} jx Sin.a X dx = -Cos. ((<i-f- 1)t} Schlomilch, Hob. .Vnal
Page 3o2.
F. Al". rat. ('111. rp I ,), ,, ,»., .. I • -.
Ci.c.Dir.cnl. '-^'^^'^^ t244 smle. L.m. el ^r.
3
i
i
Scliloinilcli, Eeitr. I. § S, 10.
r ^,. (2a— 1 j , * c- f2«— 1 1
I X Sm. { x] ax = bin. { n\ Dicnger, Cr. 'ii. 70.
} I 2 J (2a-l)= 1 2 J
/• 1
\xCoL-xdx ^^ 2 .T / :i Les'eiidre, Excrc. 5. 68.
/ 2
xTang.xdx --= ~ :t I -Z V. T. 316. N". 6,
/"<;.., __ ^' ^ ('/ + _ Lobatschewskv. M6m. Kasnji. 1S35. 211. — Tiruncrt
jxbmlxdx - _,,^^^ /r(.. ^+ 1)[^ Gr. 4. 113. "
/x Sin. X. Cos. axdx = ( — 1)"+' — J
a'- 1^
C an \
1 .1 Sin. a X. Cos. x d x = ( — 1)" -— )
/ a^ — 1 '
\xSin.x.Cos?"xdx =. - ^ Pois^oM. P. 17. GU. X'. IJ.
\ 'la -\- \
I J- 'J'atKj.x.Sec.xdx =^ — ^ V. T. SI. N , 1.
jil^jA Tuwj.xdx = nlZ V. T. :;71. N'. 3.
jx'^ Sin.nxdx = [ 2 — <?"- t-; Cos. </ .t — 2 } V. T. 24-1. N'. 1
J 1-
i . 2 ;r ^
\ x'^ ( OS. a X d X = -Cos. an Uiciiner, Cr. 34. 7').
; .
/ x-' Col. -xd a: = ;2 T M .: — 1 ^ -(-
; 2 , \n^
f \ ^ I
I .r' Cot.- xdx -= 2 /r' Z 2 — !) rr 21"
/ 2 , n'
/x' Cot.-:cdx = 2t' ^2 + 2I.2l ^r» ^ + , + 2- -
/• 1 « f ( — U" (—1)"')
y 2 1 I n' «• J /
1 , (-1)"-'|
I
LcgcnJro, Excrc.
5. GS.
Page 333.
F. Alg. rat. cnt. _ ^^.^JLE 245. Liiu. ol ..
Cue. Dir. en den. binomc a + b.
.1 I-
Sin. X
d.r = — 00 V. T. 353. N'. 7.
-|- Cos. X
xerc. 0.
84.
2) / -^^^^' - (Lc = — 27i;(i/3 — 1) Poisson, 1>. 17. 012. N". 17.
y 2 -}- Cos. X
■^7;; + Cos.a; ^ ~ 2 1/ (p'^ — 1) "^ 1/ (p^ - 1) o (2n+l)^ ''' -^ '^^
4)/— — — -(f.r = -7rZ{2(l-p)} . P < 1 ;,
5) = _27ii(i-p + i/(p^ — i)},P>i;
r.)/ ^- dx = — 2 7rZfl — (1 — l/2)ij Poisson, P. 17. 612. N>. 17.
7 i + Cos. A- ^ ^ ^ '
y)f ^^"--^ dx = ^i'+^(^^^,p < 1; V. T. 353. N«. 9.
71+pCos.a; p 2(1—/') '^ ^ '
/x , " -SJn.l(2n + l)J.|
— dx = — ^ Cosec. X 2 — — — —^ Legendre, E.\crc. 5. 85.
Cos.x + Cos.X (2n+l)-^
f x" Sin.x ^ „ , 1 , ^ 1 5. , Cos.nl
a)/:; 7^ — ; dx = —n''l{2a—Cos.X]\+Z.l<'.^ Cos.-an:S (—1)"-^ — —
'}Cos..v + Cqs.I *■ ^ '^^ 2 n^+> Leg
E.v
2, fCoa. n^ 00 1 1 66.
C xP Sin.x „ 1 ^ c" , ,
iO)/ ^ rfj = 2Cos.-»7rr(l +)')—(— 1)"-' — 2 7rPZ(l — c— , ,
00 fc" 00 1 I
— a .2" l~ 2 {— l)™-! JJ^"' ,-' ;ia-2'n \
1 In 1 w-'"3
, ofic = 5— 1/ (9' — 1);
f X Cos. X n 1 „ ,
11)/ j^j. ^ __; Y. T. 827. N'. 10.
7 1 + 2 ^2 5»i. .c ^2 1 + 1/ (1 + 4 q^)
f X Sin. X 1
12)/- dx = - TT^ Poisson, P. 17. 612. N'. 17. — Grunert, Gr. 4. 113.
7 1 + Cos.' X 4
i p Cos. X -\- q 1
13)/;r~; , X Sin.x dx = 2 p 71 1 Cos.- X + n q Tang. X Legendre, Exerc. 5. 77.
Page .334.
E^jerc. 5.
74.
Eierc. 5.
84, 85.
FAIg.rat.ont TABLE 2/i0. Lim.Oct.T.
Ctic. iJir. oiidcii. Ijiiiomea — o.
[ a*
1) / d.v = i 7T 12 V. T. 238. N". 3.
'J l^Cos.x
C xSin.x
> FoissoM, r. 17. 612. N''. IC, 17.
f xSin.x \
'jp — Cos.x 2l/(p* — 1) |/{ps_l) (2n+l)'^ ' | LcgenJiT,
5) /- — ■ dx = —4 Cosec. I 2 -^^— -"^
' j Cos.x — Cos.X (2n-t-l)*
/» — Cos. a; ' (,,„.,.
•' ' > Lcgciidrc, Exerc. a. 7j
7) = 2:r/ {!+;>- l-'-Q/^-l)} ,p> l;j
^) / z^, — ^ T, '^^ = 27r/ {1 -f- CWi — iS/«.P.} j Poisson, P. 18. 295. N'. 37.
] Cos: A — Cos. X /
[ Q. ) ,qui afaut. dins 9) /(I — Cos.X-\-
•J) / -^-'^— -^ cZ X = 2 .T / ( I + r-/'! \ et dans 1 0) /(!-«-'');
j e)' + e-P — %Cos.x I I f j
f xSin X
ItJ)/. >r-~ '^•^ = 27rHl 4-(l_p/3)t| Poisson, P. 17. G12. N=. 17.
'ji — Coa.x t 1 ^ ■" ^ I
. /" .f AStn. X n , 2 (1 4- P)
'jl—pCos.x /> l + \^{l—p')'^^
f x" Sin. X ,i ^ 1 « Cos. n i.
'j Cos.x — Cos.X I ^ ^ n 2 /.n+l ^
'^ f Cos. « A t« 1 I
_|. ;j v- s (— l)":!i (- l)'"a^"'-i .T"-*'" \
\ \ n 1 «*"•'
/■ .rP Si/1. X „ 1 -no" \ .
/ — ~ dx = %Cos.-VTxX(\ -\- 1)^ - 4- .).,,,; (I I c) + ,,oi\o = 7 —
Legcndrf, Excro.
5. G6.
J 1) / ax = , P > 1 ; V. T. 2+r.. N". 3 rt T. 21G. N°. I.
Page 33.5.
F.Alg.rat. eiil. TAHLK '246 suite. Lim. cl -.
Lire. Uir. on don. biiiome a — b.
15) / * dx = V. T. 245. N\ S tt T. 216. N\ 5.
'J rosM — Cos.-x
f X Sin. T 71 1 -)- /) , ;
• ' / /- [ y,_ ,^, 213. N'. 4, 5 ct T. 24G. N' 0, 7.
TT P + 1
2p p — l ^
^^f xCos.x ^ —i ^{p—V-- (p- — l)}-"+^ . , V. T. 245. N'. 3 el
'jp^-—Cosr-x V/(p'— 1) (2« + l)- ' T. 246. N . 4.
.V = 'K-osec.;. ^ -Tr~.-Tr. V. T. 245. N'. 8 el T. 246. N". 5.
( X Sin. 2x
2n) ---'■-, -dx = nim\-p-n}
J p- — Cos.- .v
f X Cos. 1
19)1 ■ — d _
^]Cos.--'i. — Cos.'' X (2n-fl)5
V. T. 245. N'. 4, 5 ct T.
246. N". (), 7.
21) = ■Znl[2[{p-'-l+pip'—l)]],p>\;]
F. A|f?. rat. cut. Tiniir oz-t i- n .
^. ° n- I- I 1- > l.AliLr.. 24/. Lim.Oet^.
liirc. Uir. on don. puiss. do bmonio.
i,r xSin.x 1 I/O /I ■> <i ^-.r ■^+^^ Lobalschcwskv, Mem. Kn-
1)1 — ■ — - dx = -Tfl' 2. Cosed. oec.—K.tosec. ,„.,. ,-'
'J (l—Cos.l,Cos.T)^ 2 2 4 san. 183o. 1.
f xCos.x , , , , T
2)/ ^-— dx = -WCosec^K — V. T. S2. X'. o.
1(1' '^-- ' ''■■■■ -" '■- '
^Cos.X.Sin.xy Co^.l
X Cos. X . _ . T
''^^In F~TT~TT dx =^ -i {).~n) Cosec. 2 J. + ---.- V. T. 82. N'. 4.
/ ( 1 — Cos. I. cm. X) ^ Cos. I
f xCos V 2an 2 d'ttTr*— ' 2nan mi V.T82.
4^ / -^^ '^^ — — d X =^ It Sec. —^ — — -Cosec.-~~ 2 Sin. - — .Cot.—- ■vt„ '„
^'] „ ^ 2an-\2 b h b X b i ^ . i.
J \l_Sin.x.Cos.—--\
f X Sin. a; , , ^ r.
!)) I dx = X Lcgcnure, Exeic. 5. 80.
/ {Cos. X — a)-
I x-" Sin. X —n-" , ^' _ 8 .g{p-V^(p'— 1))^';:^' ^j.V.T.243.
Pase 336.
V. Alg. ral. cat.
Circ. I)ir. on don. piiiss. do l/nioiiio.
TABLE 247 suilo.
Lira. Oct T.
r X- Sin.x — rr^ ^ Sin. {2n-|-l);i,}
/ (Co.'!. .r -1- Cos. }.) - 1 — Cos. I ^ I, (-^ « + 1 ) 2
10
n
13
11.
IC
17
IS
1!)
20
21
f .r-SiH..r ^ __J^! __^__ 8 J,{P::^l/(P*^)}^+' ^j.V.T.24r,
7r2 rr, Sin.{(2n+l)/.)
+ 8 Cosec. I ^ ^^ — ^— V. T. 21G. X.. :,.
f X- Sin.x
j [Cos.x—Cos.lj- 1
Jip + Cos.x)- = I ^^
,;■<!;
\
T. 245. N'. 4, 5.
= 2:r./{^(l-/;)|
I p Cos. <e — 1 ,
•^ " ^ ' V. T. 24G. N'. C. 7.
= _4;ri(l+p-,'f/^^-l)} ,P> 1;^
f X Sin. X ^ f 1 1 1 „ „
[(] Cos. %x 4- Sin.^ X , \
/ r ~" Q r~xT- dx ^ nl{-%q) , ? < ;
/
nCos.ix — Sin.'^ X , ,rr . ,.,»-.i ^„
V. T. 246.
N'. 20 21.
{(i + Sin:'xy
fp- — l —Si7t.^
J {p2-Cos.'xy
C .«* Sin. 2 .r
J {p'^ — cos^xy
Sin. 2 X
• TT I p
Cos. X d X =^ — I 5 r *C
P 1 +P
' i V
TT p 1
-r,. ,p> 1;
p p + l
. T. 246. N^ IG, 17.
dx = — --^ , p > 1: V. r. 240. N'. U.
/» ;)* — 1
Sin. A — 1
rfjr = --— 2 TT V. T. 83. N'. 5.
i ( I — Cos. s A. 5i«. » 3-) » " " Cos. X. 5«n. 2 ?.
f X- Sin. 2x . ^ .
/ ^— -, -^ rfj- = n^Cosec.^ I. V. T. 24C N". 15.
y Cos.U — Cos.«x)*
Pn^e 337.
WIS- i:> N.vTrinii. vr.im. nni kommu . akmipmik. riF.r.i, IV.
43
V. Alt'-, rat. cnt. 'rinii/ oat •. i m •
t^■ ^ lY !■ II' lAliLL '247 suilc. Liin.UolTr.
Luc. uiv. eii don. puiss. do binoinc.
f l-{-Cos.n..Sin^x
'- --xCos.xdx == 2 Coscc. 2, 1 {-Z ). — 7i) V. T. 83. .\'. 0.
, f X Sill. Zx — n
2:3 / r- d.v = V. T. }<3. N-. 7.
'J (p2 5t„. J 3- ^ qt CoK- X] ^ pq-" (,/ + /))
~ '• / -^^ dx = — /i^-JLLJJJ-l. V, X. Si. N". 8.
^ J (p^ Sin.^ X + q^ Cos.^ xy ip^q" q -\- p
f X Sin. X \
"' J {Cos.x-\-Cos.l)" •^ =" -^ i Lesendre, Exorc. 5. 79.
/x Sin. X i (I "> 2 •
[Cos.x — Coa.XY ]
.yyj ^'^^ ^ --^ 7 , «*^' r 2 , M-lf — */' 1^/^/ Jacobi, Cr.
7 (2 + 2 /> Cos. :c)« 1",2 *^ ' |,y-j_ 1/(^2 _4pa^| -^ ^' ' lo. 1.
F. Alg. rat. ent. TiDTr o/,q i- n .
Circ.Dir.enden.tnn.l-aCos.a;4-6. ^^^^^ ^^^^ L.m. ot ...
, f a' Sin. X n
'^jr -2.Cos.x--- ''^''--'^'+^'^'^'<'
Poisson, r. 17. til2. yi\ It;,
p p
^)j , c::-,"^"^"^ ■ ^ ., , t^.v^ — ^TrCogec' A^Cos.-;. V. T. 334. N-. 13.
X Sin. X 1
c- ■rTTi , ^ , , f^.v = — 4 TT Cosec.'^ X I Cos. - ,
■ Sin.'' A. Cos. X -}- Cos^ I 2
P* „ s±2a
/■ Cos.bx +2a ,
y 1 — ZpCos.x -\-p^ 1 p- ^ '
f Cos.hx Cos.x +0,, I 1 -4- »' -i-o
^ . — TT^ — r-^ '^' ^-^ = (- 0' -^ ^^-^^^^ p*-' (/p)^'"
j\ — 'IpCos.x -\- p- ^ ' 2 I p'^
, C Cos.bx. Sin.x +i'>a-)-u 1 -)-/o ,ii
'J l—2pCos.x + p^ ^ ' i_pi^^'
^^ /• Sin.b;k. Sin.x +2a , , .^„1 . , ,, ,+2a
8)/:; — t; ; — - x~ dx = {—\Y-Tip'>-^(lp)
J l — 2pCos.x-^p- ^ ' 2 ^ ^ ^'
, C Sin.bx.Cos.x +io„_l.ii 1 l-l-ni a-(.-,„j^\\
^)\\ — ^~7 ~~x~'-''^'Ux = ±{-\Y^it^t±I^p<.-i ilr) ^ ^
j\ — '■ZpCos.x ^p'^ ' 2 1 p''- ^ ''
Page 33 S.
F. Alg.ral. cnt . , „ , TABLE 248 suite. Lim.Oclr.
Circ. Dir.fMulen.liin. 1 — aLos.x-\-b.
[ Cos. {{2 6—1) a;} +2,, , „
' j i — OqCos.'2,x-{-q-
11)1 "^ — - — X- dx =
'] 1 —•ZqCos.2.v + q''
r Cos. lb X. Cos. .V
~^ j 1^ T7<?osr2 x + q""
t Cos. 2 b X. Sin. X
■ 'j 1 — ZjCos. 2« + 9*
( Sin. 2b X. Sin. x -\-2a
1 1) I x~
' j 1 — ZqCos.Zx^q-'
Cos. 2 b X. Cos. X +2a , „
x~ ax =
Cos.2bx.Sin.x 4-2a+l , „
X ' ax =^
dx =
,^ r Sin.2bx.Cos.x +2a-i-i , „
15)1 x^ dx =
: q Cos. 2 .c + q'-
7 l — 2qCos.2x + q-
[Cos.[{2b-l)x}.
'J l—2qCos.2x
— l)x].Sin.2x +2a+i , .
qCos. 2x -\- q-
fSin.{(2b—l)x].Sin.2x +-2a ,
18)1 ^^^ W-^ x' dx =
'j l—2qCos.2x+q'
10)Pi^t(2^=l)^.L^<^^±2<.H-' ^^ _
'J l — 2qCos.2x-\-q^
ihr
„^,fC0S.[{2b + l)x}.C0S.X +2a , , ,,„ ■^ r
'j \ — 2qCos.2x + q- 2 1"~'/
[Cos.U2b^l)x).Sin.x +ioa+i) , _^ , ■^ 3* -, ,±(2<i+i)
/ 1 — 2q Cos. 2 ;r -|- (7 - 2~ ' + */
'J I — iqtos.Zr + q^ 2- 1+9
(1 — 2 q Cos. 2 X -\- q^ 2 ^ — V
Ii(s inlegrales(l)ii(23) oil /»*» < I ,0 < 7< I, sc trouvcnt : Bicrcns do Hnnn, Gr. 13. 19;»
24) r ^^iUll^ d, _ .-^^l _,,).;, < 1; V. T. .53. N . 23.
'j l~2,p('os.2x+p^ 2p ^ " ' ^
Paire 339. ***
'' ■ p'^"^" Iv ■ >!• r , r TAHLK '2VJ. Lim.O.'l.r.
Cue. Dir. enduii. d aiilre loiiiie.
/■ .T Sin. X 7T '
f ] -\- 2 p Cos. X -\- p^ p = I
Legcndre, Excrc. a. 77.
2) = _/ - - ,/;>l;'
3)/— (?;r = — i— i^ -5^ — -" V. T. 331. N\ S.
'j2+pCos.x + p p 2
/" Co^. X -\- o Cos. ). , "
/" xSin.x 2 hSin.Q — qSin.X f
5); , dx='nCosec.7..Arctanq. . '
/ 7" + 2(/C05./..('oy..i;-f-t^oj-"'''' 5 " l — fjCos..>.-\-/iCos.O/ <j^Sin.2'f.
r pros.x+r „. ^ i 7'fo.'!.2A— 1
'^) I -mrW~,~r j;5in.a:rfx^-27r/>/{l-2>/CV?.+ 2/.gosO^ \/'' = l— 2'/' Cos.2/. + 'i' :
. .. ,, ^ ir. ,-, ^-. r—pnCos.?. ^ /iSine—nSin.}. I
rjiiin./. 1 —qCos.f. 4" /' L OJ 9
/" j; St'n. -i' , TT . .
7)177, T TT "'^ = — 5 ^ infiiiimeiit petit. "> 0; LPirendre, Exere. 5. 81.
'j{Cos.x — qY—k'i i-\-q 1 / , o .
n
V. T. 271. X'. 2.
r 2 ^r^ < I 2 ah
^^]sin.^x + {aSin.x + bCos.xy '^^ = - ^- -irc^a'-^- \^_^^r_
C Sin.x X ^ fl , 1 o fl 1 1 1+rano.' /. Lobatsclienskr,
'J{i — <zpCos.x-\-p^y p i+p '^= 'j
V. T. 2t8. N^ 1, 2.
11) = _2-/(l+p),p<l;!
, „^ /" X Sin. X It
^2)1- dx =
J{l + p^—2pCos.xy (1^P)(1
+rr
.p< 1; .'^'- '!'• 84. N'. 1,
Piige 340.
'''•Gl?:Dlr:cndt.„.d'»uUe Ic,™... T-^'"'!': 2^" ^"i'e. Lim. el ..
/ xSin.x n
\\)\ — - - , ■ dx -^ ,P<1;/
i
C xSln.x P' — P + 2 ,, ,
'j{Y+p-'--ZpCos.xY 2(1 +,>)'(! -/')^'^^
IS)
19)
j(l+p'^-2pCos.ar)«+i 2pal(l-^,V-'' (l-p')-""' o\ » / ( ( V. T. SS.
_jr_f— 1_ 1 a-i/a_iy J ^^^ /NM2. ly.
.,0)f ^^«"^-^' _ '^■^' ^ _^ J +P+i'?'' -'J1- ,/-<1-) V. T. S5. N\
JC +P' — 2p^o«.a:)» Cos.j- (l+p)Ml+P')Ml— P) '( -^^ ^•
J 2 1 „3 Ldnprcs Scbliiinilcli
2\) = 7t — ^ ^- ,;)->! ; 'elles sont a.
^ (i+p)Mi+p^)Mp-i) ' '
y 1/(1 — 2pCos.a,'4-p ) P P P
fpCos.'x—{l+p^)Coi.!v-\-p \+p 1-P%„, , "^.../^ ^-1 V.T.itO.
J \'^(l —ZpCos.x + p')' p p p
ISin.ir •Zanj; 1 ,,„,,,
2 !■) I Co.'!. (/.f = - 71 , a <_ /<; tjcliiinr, Mem. Cour. l>riix. 1. -'-'.
FAI-.nt. TAULI'^i-jO. Lim. (» .■! 2 r
(-nc. I)ir. ^
) I X Sin.
■Z)jx
1) I X Sin. X d .f = — 2 71 j
Kiiiibc, C'r. 15 355.
Cos. X d X =
I'age 311.
F. AIo-. rat.
Circ. Dir.
TAULE 250 suite.
Lim. ct 'i T.
fjin.a.v ^^^_ 2.T r (-i/(]-p^)-lh-fi/(l-p^)- ]}° 2l(14- r)
1 a — n a"
01.111.
Ausw.
f Sin.ax 2rr f{l +i (l-p')}«-{ l-ljl- p?)) ", 2i/(l-p)
pa
"T a — n a"
I-. — Ohm,
I ,?'< l;Ausw.2C.
, r Cos.aa; , 27r» fl — i (1— p'))")
7 1 + P Cos. X ]^{i-pn { V i ( , p < 1 ;
f Cos.ax 27r^ fl' (1 — ;'^) — U " ( ^^anl'^' Tut. 173. — Ohm, Aiis«. ijn.
') l—pCos.x l/(l-p-)( p ) 1
C or Sin, of 2 tt
7)/:, :- ^ • , ~i^ ^ —i{i-—p),P<l; Y.Mhe, Int. 173.
J 1 — ZJ7 Cos. X -\- p^ p
f X Sin. ax 2 tt ( o— i „— n — pn^
1 r~r^ TTT'^'^ = ^j ^ (i'-'"-p")^(l-p)+ ^ Raabe, Int. 173.
yi — ZpCos. A' + p* 1 — p- \ 1 a — Ji J
It
9)
Cos. h X +2a P*
Z, -X^^ dx = (_1)«;t-^^ (ip)
■2p(?05.J,- + p2 ^ ■* 1— p^ ^ ^'
CoS.bx.Coi.X +2a ,1,1 1+P' J , ,, ,+2a
10)/:; ~ — 7, , — T^ da; = (— 11° - 7f P''~Hlp)'
Cos. b X. Sin. x +(2a+l)
:X~
s±(2«+I)
"'/i^J^c^f^'"'""''- - -(-^r^p'-'Cpp--' I .«<.< 1-,
1
2
+(20+1)
d.C
)]5iercnsde Haan,
1 — p^
10)[ •S.^.J^^ ^
7 1— SpCo^-.T + p*
/■ Sin.bx. Sin.x +■>„ 1 , +o„
13 /- — , tX- dx = (-l)a-7rp''-'(Zpp"
, ., /■ Sin.bx. Cos. X 4-(<,. , ,, 1 1 _)_ «s
yi — zpCos.x + p^ ^ ' 21 — pi '^ ^
f Cos. ax — p Cos.{{a-\-l) x\
p)
+(2a+l)
aabc, Int. 173.
Page 342.
I
*'• ;^'^' ',^[;. TABLK^ol. Lim.Oelr
1 ) / .r Sill. (2 anx-) dx = - 1 1 — Cos. (2 anr'-)] \
[ Abiia, L. 4.
2) I j: Cos. (2aTt X-) dx = Sin. [2 a ti r- ) \
j 2 (in I
fSin. X
3)/ — dx =^ Si.(r) Ariidt, Gr. 10. 223. — ScblOmilch, Gr. U. 3:
; ^
■l)j~'^--dx = Si.{,jr) Scliloinilcb, Gr. 11. 3S9.
fl — Cos
21S.
_ ■ I — Cos. r X 1
o) / \ dx = —rn ,j->0;
6) = r r , r < :
2 ^
., [&in. rx — r
Poisson, Mem. Inst. ISIG. 71.
X Cos. rxl
dx = —r^ n ,r^O;l
4, ' -^ 'I
T rX r 7. u;
- Sin. - Sin. —
'■^)j ^-7 --=-(l-CVA)
r J- f
Caucliy,
Ml-/',. /I r}.\ lr\^-J'^ 1 1 ).x\ , P. 20.511.
)M U d W W rjd_.^i^n _^;^\
J i ^1 X 2 \z'
r T
f X 1
11)/ , :; — ; dx = rCosec.r.lSec.r.r'nC-n- Lindman, Gr. h!. Ul.
J Cos. X. Cos. [r—x) 2
( X- Sin.{2x — r) I
'-) 1^-, ,—,- dx = r' .So', r. + 2 rCosccrJCo...,-,,-^-^;
J Cos.' X. ios.^ {r — x) 2
- r xSin.x — ^r Sin.r Cos.ii ,S«h. ( j;^-l-r)) Ligtndre,
' ' I [C^-Cos.;,y ^^CoJr^Cos.a^2Sit^.\u{Coi.r-Cos^)^ZSinyi. ^r.{ J(,.<-r)) * '"'^'"" ^'''■'■''- '•
V. T. 251. N'. 11.
Page 21.:j.
'''•/» JJ.^- „ . , TABLI-: 252. Lim.Oel/..
(..irc. Uir. sous lorine irrat.
I ) / .T Sin. xdx\/ {Shi. ^ ). — Sin. ^ x) = - n Sin. ^ A -J — n Cos. ■ I . I Cos. /. \
; . 8 4
/xdxi/ (Sin.^ X — Sin.^ x) ] 4- Sin ?. . 1 — Sin.l J
^^-^^ = 71 ^ / ( 1 + Sin. A) -f 7T in — Sin.).) I
Sin.x 4 ' ^ '^ 4 ^ '(Legcndre,
,' Kxc-rc.
f xSiiL.v 1 1 Siippl. IS,
•?)/ wo. ,1 .. 2 ^ '^^ = -^fSec.X \
J \/ [Sin.- X — >^tn.^ x) 2 I
•A)/ d.r = —TT ■lCos.l — -;TSin.n. .
I \/ [Sm.^ /. — Stn.^ j) 4 8 '
..f X , 1 ^ , 1+^V«./.
J Sin.x\ {Stn.^ ?. — Siii.^ .r) l ] — Sin.l
f X Sin. x 1 Legendre, Exerc. Suppl. 23. —
'')/^ , r.'c^r^. 7;7—, — d.e = -nS£C.'^?.(\ — Cos.'/.) Lobntschcwsky, Mrm. Kafan. 1S35.
J Cos ^ X [/ {Stn.^ X — Sin.^ x) 2 ' ]. — Id.. Mi'm. Kasan. 1S36. 1.
I.f'oim.(S2).— Id.,ib.II.form (18).
f xSin.x dx^ ,r 1 Cos.H + \{l — S{n.^X.Sin.^fx)
I l — Sin.^u.Sin.'^x i (Sin.^X-Sin.'x) ~ ZCos.n 1 - &'«. U.Sm. V ^Cos.X.Sin.^ ^ii
Lobatschewsky.Mem.Kasan. 1835.]. — Id.,ML'ni.Kasan. LS36. l.Ifonn. (71)). — Id., ib. 11. form. (17).
J,, j a; Sin, x dx^ tt Sec. ii i ■ a ^''^^' '" \
'JSin.^fi — Sin.^x 1/ {Sin.'- X — Sin.^ .r) ^ 2 \/ {Sin.^ fi — Sin.n. {"^ ~ '' Cos.X]
Lobatschcwsky, Mem. Kasan. 1835.1. — Id., Mem. Kasan. 1S36. 1.1 form.(Sl).— Id .ib.ll.form. (19).
o\ / _ 1 —.rC ot X ^ J 1 , 1 ,, , ^ , 1 + Sin. X Legcndre,
^; / o. , TTTT. 7^ ^r: — -—Cos.xdx= -nCosec^X n Cos.^ l.Coscc." X.l — - Exerc
J Sin.^x\{Sin.n—Stn.^x) 4 8 1 — &n.A g^^pj 17
F. \\<r rat
Circ. Dir. sons forme irn.f. "^'^^^^ '^^^- ^im. X et .-..
.. f X^ 1 \
'J / , fQ. i ^^ „ ,, ,„. — ; — dx = — TT Sec. X. Cosec. « I" [c , «) \
J 1/ [Sin.^ X— Sin"^ X) [Sin.^ u — Sin.^ r) 2 . v > f'; ,
I Legendre,
■^' '~ TT. — :; dr = — — - - 4- Suppl. la. —
X I ' (Sm.- X — Si7i.^ X) {Sin.^ ,« — Sin."^ x) ' 2 Sin.^ X. Sin."^ t, (Kol)crls, L.
U. 157.
TT „ TT Cos. X
Paire 344.
X Cos. A. <J>/7/. (I iJ im.- A. Azn. ft '
'/,'^',V* ^ (• • , TABLE 253 suile. Liin. 'cl".
<iirc. iJir. SOILS lorme ural.
r!'
X dx
2a{Sin.'' lA-Shi.'' u-X-Sln.'' l.Sin.- ^.) I „ — — „. , , . „. ,
_(2 a - 1 ) ( I + Sln.^ ). ^- Sinr- ,,.) / - „ „ .. ,^ r , "^ o- ~TT;7g"^ ^TT^ Lcgendre,
y Sm.^" 2arr (Smj.^ a-— <5w.^>.) {/i>in.^ /* — "*"• ')E\crc.S. 15.
/"•'■* j; rf X
+ (^ a — 2)j 5,^a-4 j; J/ (5,„.i a; _ .S',>i.2 X) [Sin.-' u—Sin.^ x)
TT {Sill. - f, — Sin. ^ A, - », „ f '^ — ~ \ 3"/2 /^t /i.'',,.— Sin.U X"
4 S/n.S"-' A. Sen." .« "II ^'\ »» j 4''+'.2 ( 5in.» .« ]
"^ / Cos. » a; V' ( 5in. ^ a; — 5iw. - /. ] ( Sin. ^ ,,—Sm.^ x) "^ 2 CoJ. ' i. Cos. « Exerc.
5) (2 a + 1 ) Co*.* ?.. (■OS.-' „ / ^^— ;;^
Suppl. 19.
/ ^ 7r Sin. II , , > — Hobcrts,
-I ; ■ F (o , «) + -— — , ^' , L c , ,.< L. 11 157.
^ 2 Cos. P.. &»i. a ^ • ■* ^ 2 Tos. ?.. (7oi.» a
dx =
2.ri/ (Sin.J J— .Vi;*.'^ J.) (Xl;i.^-( — S'/n.'a;)
Li iicndrc.
c.S. il.
"X
* ^^ ^ ^ '''/ (7o«.2<'-2xl (Sin.- j:— Sjn.' A, (Sim.* ." — ojh.^x)
'X
^ + (2 rt — 2) j ^^^ 2a-4 J, , / (S,„> ^ _ 67„. a I) (Sin. » /* — Sin. ' .r)
TlCoS.fljCoS.'' /. — Cos."" .U)' ^ /""^l ^""^''^ Z^"*-" A — r03.';, \"
(5\ / </j» = F (c , ii) —
7l (.Sm.»x — S»n.';i)(S.n.V— 5«n-*J-) 2 C7o». A. Sin. ,« Lcgrndrr.
Kxcrc'^.ST.
_ I^^'-'J' n (— .SV«.' 9 , c , ...) - - n / (I + Sin.-' u - S/n.' A)
2 Cos. i.. Sin. II 4
Page 345.
WIS- E> >ATUrnK. VKllll. DUll KO.M.MiL. AK.tUEUIE. DEEL IV.
44
^'*n'^"n-" r • . TABLE 255 suile. Lim. aoI".
Circ. Dir. sons forme irnit.
f X Sill.* X
/* — Sin.'^ X)
Sin. ''ft — Sin. - X
dx = — JT -\-
-!— -- 77-; ^ ^FK") Cos.l.Sin.uE c,u)—-^ nl{\-Siii.-\ <rSin.-a)
4 Cos.K.Sin.fA 4 ' ' 8
TT 60s. ^ £1 „ ,
■ - (1 + Sin.^ I + Sin."- n] n (— Sin.^ , <: , ,u)
1
4Co6'. A. Sin. ft.
, ' (-S/h.* ar— 5j»».^ i) (&n.» ft — Sin.^ r)
f ^^ .
«)2a/ z^r-z TT. ,,,„■ . -———dx
I Lfgi-n-
Vdre.
^ , , P X 5»t.2« .T (i j; /Exerc.
J \' [Sin.^ X — biri.^ }.) {S)n.- ti — Sin.- x] 27
Si7i.-x)
P x5en.2<.-4a.t;^
+ 2 a — :5) Sin.'' ).. S'n.'- u / ; — 7-^;
n (Sin.'' fi — Sin.^ X)^ = /a — 2\ l«+i/2 /5(;i.^ u — An-UX"
4 Sm3-2a^ 0' V " I 4''+i'2 \ 5m.2_u
, f , Sin. f. — ;w.,.. «,
9)/^d;cl/^.^-^— ^r^^- = -nl{[~S;n.^X + Sin.'ft) +
.i ft — Sin.^ X _ 1
X — Sin.^ X i T 1 t;-
Legendre, i!,xere.
7zCo.'<.\u ^ nCos.^ft ^"rP'- "■
+ — A. — nr: — 'T ( — '*'"-^ ',",") — ^ v'r> " "" 1'' (^ > /')
2 Cos. X. Sin. ft ' 2 Cos. X. Siti. fi
„, f , Sin.^ X — Sin.- X 1
JO)/.'rd«l,/— = jcl(^\_.sin.^X-\-Sin.^u) —
J Sin.^ft — Stn.''x 4 ' Lcgendre, Exerc.
n Cos.'- ft nCos.X Supfl. 26.
— ^TT — T"^. n (— Sm. ^- o,€ , ft) + — F ((■ , u)
2 Cos. A. otn. ^ 2 Sm. ft
, , , /" a; Tanq. '' x n Sin. u , „ „ , 1
^ ^ / "/r "cj^'l c- 2,uQ- -. ?^^~V-,'^^-=o/^ 2 r ' -^ {Kic„u) -Co< ,i + ro< ft.Cos. ft. Sec.X}
J \/{oin.^x—Sin.^X){Sin.-ti—Sin.^x) 2Cos.X.Cos.-ft "■ ' ' '
/" j; 7T ( Sin.X — S<H./i1
" ./ Tg.'xi/{Sin.^x—Sin.n){Sin.^ft—Sin^x) """ -ISin.X.Tg.X.Sin.ft \ ' ^'^''"^ Cos. X J
P»"c 346.
liirc. Uir. sous lorme irrat.
f X . It (
'j Cos.\v\/{Stn.^x—SinM){Sin.^u—Sin.^a;) ^"^os^ I'Cos.'-Z {
Cos. * i + Cos. *a-\- Cos. *X.Cos.*n
iCosTx ~~
SGos.'^ X + iCos."^ fi+iCos.-^ )..Cos.^ 11+ ZC os.X.Costi 2 Cos.^LCos.-n-\-Cos .'^). + Cos.'^n — l
1 2 CoU. Cos. n "*■ GCos.X.SinTfi ^'^'^'''^
Cos.'X + Cos.-f,+ Cos.^X.Cos.*ti 1
+" ~3Cos:x.cos:, ^-^•'^^(^"')1
f Sin. X. Cos. X
y 1 — p-bin.-x
■xi^{Sin.^x—Sin.n} [Sin.-" f,— Sin.^ x) 2i/{(l-/)' 5in.> X;(l— p'Sin.V)}
Sur les formules (11) a (l-t) voyc/, : Roberts, L. II. 157.
Partout on a ici: Cos.o = Cos.ii.Sec.X,c = Sm.o,Coscc.fi.
^' i}^' '"il-" ^^'^^^' TABLE 254. Lim. diverses p et ± oo.
Lire. Uir. ^
[°° Cos. p X i
1) I — '— dx = — a. (p)
' , Arndt, Gr. 10. 223.
C Cos. k X
3) / rfa; = , ^ = 00 ; Kaabc, Int. 202.
\ "
("^ Sin X 1
4)1 L_dx := ^n — Si.[r) Scl.lomilcli, Stud. II. 21.
J X 1
"/'
h)\ dx = -Ci.{p)
J ^' f Arndt, Or. 10. 225. — ScLlomilch,
'' , Gr. 11. 38'.'.
1 « 1 «2-i I
7 J ^^dJ^dx = — r/. f/)7) Schloniilcli, Gr. 11. 3S9.
/•»&•«.:«, (-1)0/, ''"^'i^ °-'(-i)" 1 I (-^)"7;,+5- (-L^;''^-'
Pn^e 317.
F. Alg. r.nt. Tract. TABLE 254 suilo. Lim. divoiscs » cl ± oc
(-lie. Uir.
/ ^Sin. px \ *' .
10)/ dx = -nCos.vq—(\-{-l<j-\-lO)Sin.pq I
J X — q 2 /
/' ', IJldone. Mum. Turin. l^U'. S31.N
11)1 --"^- (/ .r = - 7T Cos. /) 2 + (xV -I- / /^ + / 0, :Shi. p rj ]
J x—q 2 /
'''• ^.'o- '"i!^- TABLE 255. Lim. divnscs.
Lire. Uir.
/■■"'^ 4-1 l"/l H>\ , ^ f« + 1 1
1)/ x'-Cos.qxdx = — -S'— -^ ( (2 a 7r)i-« Co.v. — ^"^[ ""PP*' ^'- "^^^ ^^S-
"o 1 \ I
/■'"'^ c* b"^ 1";-
2) / .rCos.^'i.rcia; = tt^ - -„ Arnilt, Gr. 6. 187.
'bT
ST
[^ xSin.x 1 ^71^ 1 A _''^'"i:^^
^7 {Cos.x-C^.{^ ■'"""" 2 (1 +Ca?./x) J "^ 2 (Co?.?.— fo^.u) ^- T 2S;n.>((?os.^— Co5./«) Legendrc,
^ . . , , Exerc.5.83.
25i«.V A/n.ji(;.— ^)] '''^ ■'
9r
/ ~ J" I OS tS 1
4W — ^ dx = -Tr/(1 -I- Cos. ?.) Lcgendre, Exerc. Suppl. 29.
J l^{Si7t.^x — Sin.^l) 2 '
■7!
f X Cos. X 1~ ,/ ™ i,\ LpcriTidr
^j Sin^:Vl^{Sin.-'x-Sin:n.) 2 \ -^2 / 1'-
1
['"Sin.px 1
6)1 ' - dx = —71 Fourier, Chaleiir. 41.').
'fx 2
F. Alg. rat. ent. ^^p^E 256. Lim. et 1 .
Circ. inv. Aq X.
1) I X Arrsin. X d X = -ti V. T. 9. X'. 4.
f 1 fl 2'''2 )
2) I x-" Arcsm. X d X = -jt — \ V. T. 12. N'. 13.
7 2a-|- 1 t2 l«+i/-ij
Page. 348.
F. Alg. i;it. ent. Tiuiir o-p w i • /. i
f n ( 3<»-l'2)
la;-''-' Arcsin.xdx = — U — J V. T. 12. N". 12.
3 4a ( 2 "'2 J
Ai-x^-)'.
/
I Arccot. X. xP-'^ dx = ^ L-f ZM^"^^]— Z'(^-^)[ V. T. 3. N„. 13
n (a +1)0-1/1
-1 X Arcsin.x d x = ' V. T. 9. N°. 5.
2-'a+i i«/i
rtW.x.x-"-! c/j; = V. T. 12. No. 12.
4a 20/2
20-1/2
Arccos.x.x-<'dx = -- V. T. 12. .^'^ 13.
la+I/2
r. 3. N^ 13.
F.
.Vl'f. rat. tract, a don. monome. „, , „, ,, ^__ , ,. ,
Circ. Inv. do x.
dx 1
Arcsm.x — = -7ii2 Euler, X. .V. Tctr. 14. 129. — .\riult, Gr. G. 1S7.
X 2
/
C dx ' t\ \P { * 2 * 1 1
\ (Arcsin. x]P -- = -tt Ml — JS" 2 --[ V. T. 238. N'. 18
/
/
/ xP — x—P n I I \
lArcianq.x dx = - - I — Scc.-v n V. T. 5. N'. 11
lArccot. X ^^ ^~^ ^)-dx ^ - (l + Sec. - /) J V. T. 5. N'. 1!.
; X 2 1 ^ 2 ' J
/(p—q){xP-<l-x'l-P)—(p+q)ixP-^<l-x-P~9) 2nSin.\piT.Sin.i<j:T ^-,i|V.'l
"' JC Cos.prf + Cof.<it } » •
Arclang.x''' = J (— l)";^^^^^ ^- '^'- '^^- ^"- ^'•
x u (2n-fl)-
'Irdun^. X = » Y. T. 110. N'\ 2,
X-
r.
.p+9>i;
N'
V.
Pngo 31-9.
F. Alg. rat. Tract, aden. monoino. rn mi- a-- •. i • ,» •
) L....„. ^ (a > + 9) (^P+g — r-P-g ) + (p — '/) (xP-l - :ti->')
9) Arclang. x ^^-XX M- ' ' — * - '^ T '/- -'/M j^l::: - '; ^^
Cos.pn-i-Cos.qn — 2 Cos. h p n. Cos. i q rr ) V. '1.5.
Cos. pn -\- Cos. q n \
in) =-. » ,/,4.5>l; /
/ , . , c/x 1 » (—1)"
1\) I (Arcsin. x)^ - = n'+l. >:— 5^ V. T. 201. N'. 6.
7 -f' 1- o(2«4-l)^
U) liArctang.jpy "^ = — ' tt^ + - .t / 2 + ^ -^ ^^^— V. T. iOO. N'. 4.
'j^ •' ' ,r.% Ifi 'a ' ^^Oj.-LnJ
Jo.- ] 1 00 ( — 1)"
Ifi ^4 ^0 (2«+l)'
7^ ^ ' x» \4/ ^22/^+2 [ IP -I- 2 m 1 (4n)2"'J
fi* 3 1
15) / [Arcsin..rY ~ = - n 12 tt' V. T. 26 1. N'. 23,
'*^ ' x^ 2 16
F. Alg. laL liact. a den. polyiiomo. rp.r>ii.- o~o i- n .*
Lire. Iiiv. do X'A uii i;ict.
\)\Arcs{n.x- ^ ^. , , <^J = -TiCom-.U/ (Cos.-- A. Sec. /.) V. T. 165. N\ 22.
1 - a2 Sm.'- i 2 I 2
165. N'. 6.
. f . . " , 'T , 2 1/ (1 4- flt)
2) / .4 ram. x dx = — I — ~- ^ ^ ^ — V. T
7 l + :7.r-^ 27 1+1,^(1+^)
C X 1
8) / /Ircsjn. J- — dx = — n Cot.- ).lCos.-). V. T. 165. N". 7
7 1 +.r'- 7aH(/.n 2
f , . a: , 1 ^ ,,fL+5i'w.U Cos.X 1
4) 1 .4r«in. a; ~ zdx^= nCosec.lli- ( V.
7 i—x*Sin.n 4 \l+Sin.).Cos.\lj
5)lArcsin.x ~ , dx = — -^2 (1 — «)] , p' < 1; \
T. 166. N". 1.
V. T. 240. N'. 9, 10.
Page 350.
p" , , i .•' lAIiLL 'ioo suite. Lini.Octl.
Lire. Inv. de a; a un lact.
7)
r : ( /> — I ) -t- i' - -1. f
V. T. 240. N". 11. 12.
4 p-l.l/(;,2_l)
y ) 1 Arcsin. r f , cZ ^ = -'' / ( 1 + y,) , < ;. < 1 ;
( V. T. 241. N''. 3. 4.
10) = —l-^-"^^ ,/>>!;
f dx 1 , 00 (—1)"
il) I Arccos.x = TtlZ + ZJi: -^ ' V. T. 258. X". 13, 14.
7 1 + a; 2 ^ o(2«+l)»
/• da; 1 , 00 (—1)"
12) lArccos.a: = -- n 1 2 -\- 2 :S , -7,7,- V. T. 258. N". 13, 14.
J t— ^ 2 (2n+l)*
f dj- « (—1)"
113) Arc-cos .r- , = 2^-^^^^- V. T. 239. N". 1.
y 1 — X- (2n + 1)^
\\^\^rccos.x~ - dx = -1x12 V. T. 165. N". 11.
1— a- 2
15)/Jmw.jr = Z Cosed 2 ^^ ^ ' J y. T. 240. N". 1.
'j SinM — x^ (2n + l)-
f X 1
IG) /.•lrccos..r dx = — n Cosec.^ ).l Cos.- ). V. T. 165. N'. 11. *
'J i—x'Sin.-X 2
17)/.lra-os.j: d.c = — / ^ ^ T v; y. T. 105. N'. 6.
'J I+7.C- 2(7 2
1 S) (Arcros.i ^ dx = -nCol.^Xli Cos.-" - ).. Sec. ).] V. T. 103. N'. 7.
'j l+xTan^.U 2 \ 2 ,/
f X 1 1 + Sin. ' ).
\'.)) I Arccos.x , dx = -nCosec. XI - ' - ,- N. T. IGC. N'. 1.
7 l—x*Sin.-'). 1 Cos. i^.
20)JArccos..i ^ c/x = - / {2 (1 + p)} , r^ < ^ ■ i
« 2(1+/)) I
* P + l^(P*— 1) '
Page 351.
V. i', :'ui. .N-. 11. 1.'.
K. Al;4-. ral.lVacl.acIen.Molviiuiiio. rp . ,„ ,^ ^-o ., i • <» , i
Circ.Inv.dca;aunf!.ct: ^-^"^*- ^-"^ '^'^'- ImuAU^
(v. T. 210.
N'. 9, 10.
4 2(;,-l) ''
f.\rccos..r J~r~l dx == ^ i{l+r),0 <p<l-\
'^ ' > Y. T. 241. N . 3, 4.
■" A+P \
8 n /) /
.' [i-ti'j'—tpx^
f dx 1
2f>) /.l;c<((jia. J- = -nil V. T. 100. N°. 2
3 1 ->
f. iv 3 1 -> (—1)"
■n)lAnxot.x dx = -nl-l ^ V. T. 265. N". 00 ct T. 270. N\ 7.
/"/' . 1 , \ >ix 1
:!S) I I .r .!/-n:or .r Ardang. .f\ - - , = - rr / 2 Cavicliy. I.im. Iinng. Aild. 32.
:M)) / ^lr«(«. J- — = - - \nin -{-p)~:S —
30 /ylraw.r , = — /i+;.^-)4-^ '
V. T. 165.
. 25.
P. Al^.ral. fracl. acieiLpolvnome. Ttnir' o-n i- a . i
P? I K^- 1 I- r 1AI5LK, %o\). Liin. ot i
Lire. Illv.d^a;a plus. lact.
/dx «> f 1 (■— 1)" f — IV' 1
{Xrccos.xV- - - = — 2 :S: I — -^ ^ ^ —n -^ —^4 V. T. 23'J. N', 2.
1— a;^ 1 \n^ «= (2n_])2J
2)/ Am:o«. .)•)'- = 3:S'(— 1)" _ - - [ V. T. 239. N'. 3.
/ 1— :t- 1 ^ U (2n-l)2 (2„_ljtJ
} 1+.. V~j ^\ 4'»-> p + 2m , (2«)2».| ( y ,^, 23g ,^,
4)/(A.a-o.x);- '^^ =(!^Y[2-^U ----^--^l-i-!] i
J ' \—x \2j I I (l^-ip+Zm , (2n)2'")J 1
b)l{Arccos.x]l> = — 2Cos.-bn.V' '^ SS —2:^\c''-"^ f_]VM-
18.
i fl T. 239. N\ 5.
(2/i)2'«+>
\:Jm+l/ ^ '' \2/ (•2?/)2«+J N'. 7.
Piige 352.
Lire. inv. do x a plus lact.
7^ ^ 5-:c 2 in4+l^ ,1 o\2'«/ \2/ (2n)2"'+' V. 1-
/• da; /^\/' f ZL i 1 22"'-i— 1 « 1 11
l)\{Arccos.x)P = - Il+^ JS"— I V. T. 239. N\ 5.
'j *' (! + •»)* 16
/■ [\ 4-x''-)Arccot.x — x 1 :3 1 « ( — 1)" v T 25>; \'.
10)j...an,.. + /_^^^ ... = --^.._-.Z2 + -^--\-L ^. • - •
F. Alg.rat.fract.aden.profl.de fact. ^ ^^^^E 2(;(). Lim. Oct I.
Cue. Inv. do x, ^
1) \Arcsin.x = » V. T. 239. N". U.
'Z)lArcsin.x ^—^ — i ^ -— = -tt^— -7r/(l +1^2) V. T. 261. N'. 1 +.
/ x^ l+o;' 8 2
f rix—{l-\-q^x'^)Arctg.nx dx 1 , 1 ,r ■ , , ■ i\> V.T.201.
:i)lArcsin.x'- \ ^-^-r— ^^==-^ Ardan^.q-- 7x1 {<]-{- l^{'j' + \)] ^, ,5
f dx 1 1 « (—1)"
».) / Arctatuj. X = - TT « 2 + - ^ -^ ' V. T. 235. N'. 4.
f. x — {l+x'')Arctani/.x dx ^ , ^ ,„ 1 ^ (— 1)" V. T. 260.
r . X dx n ^ c *J V. T. 106.
7JArcsinx ^ ^'"--- = - , _^- ii±:^ V.T.166.N 2
(1 . /Sin...\|
Cot.ii.Taua.{-Arctin.[' ' V.T.I on.
f X dx rr _ ■ ^(2 .W'"*/J N°. 3.
'')jArcsin.x-.^j^-^-^~^Y_^.^^.^^,^--,^g.^^^
Pag.< :55.J.
\Ms- I'.N ."hati'L'Uk. >khii. iieii ko.nim»l. akaukmik. df.ki. IV
t^-^ , , ' lAHLE 200 suite. Lini. (J el I
Lire. lav. (le x.
10
11
12
13
14
15
IC
17
IS
1!)
20
f X dx n Sin.f..Cof.\fii y. T 1
/ '"^'^°^'"' Sin.-).-x-Si7i:-u l-jc^-Sin.-u ^ 2Sin?n.Cos}). Z ^) H .(ShTAl N\ 3.
-^ I 2 \Sin.l]\
f X dx 1 TT 1 -|- Sec. A Y -i- i
j ^'^ Cos.-).-{-x'Sin.n Cos.-n-{-x^Sin.^u 2 Sin.{X -\- ft).Sin.{}.—ft) I +Scc.u ^'"- -^
f . ^ d ^' ''^ Cos'fi
I Arccos. X = / ^-^ V. T. lOG. N". 2.
J 1 — .r^ Sin.'' A 1 — .r 2 Sin.'' ft Sin.- I — Sin."- ft Cos. 1 A
f . . ^-/'-'
lArcsin.x dx = x V. T, 12. N\ 17.
J (l_x^)P+i
r a-2/'-i , n „
\ Arccos. X dx = — Sec.pn V. T. 12 N°. 17.
r 2ic + a;^ 1 3
lArctanq.x — dx == - n 1 'Z V. T. 3. N'. IG.
/dx 1 1 + r» TT 1 — p
Arclang.x == / - - + ~ ■ V. T. C. N". 1.
{l-Vpxy l+p"- 1/2 ^4;. (l+;.)(I+;r-)
r .T + 2 3
lArccot.x xdx = - LZ V. T. 3. N°. 16.
\Arccot.x- ^^— dx = — L 4- 2 + Z' (-) — Z' |~1 i V. T. 4. N'. 18.
j (1+^^)^ 16 1 ^ ^ \4/ 1,4; J
/ •' (l+x2)2/' 2» — 1 22/,+ i 4r(2«)j
GO
(l+x2)2/' 2/; — 1 (22/'+i 4r(2;;)
(Arccos. a:)' d.v =-- - 71 IZ — — n^ V. T. 261. N\ 25.
' (1— .i'2)2 2 IG
/
f , , dx irP f 00 4 «> 1 1
./^ ^^ :r^ l+x^ \i j 22p+ir ,p+2wi(4wi2«(N^ 2(
260.
20.
All;, irrat. fraet. TART r on i- n ,4
Ciic. Inv. lie ^. ^^^^^ -'^'- Lim.OeH.
1
¥' [Sin. — V.T.12.NMG.
f, . dx 3 fl 3ix3^, /„. 7r\ 3 + 3 1/3 / 7t\)
lArcsin.x- = - \-n E' 5m.— + — ^ Y [ Sin. ~\]
) \^-x 2 I2 ^2, \ 12 j ^ 2tJ/3 \ 12 ji
(, . dx fl 1/3—1 / 7r\ / n\\
lArcsin.x- = 3 ]--7r+ Y [Cos. ~\ — 2 ]y ZW \ Cos. — \\ V. T. 12. N^ 1:
Pa^e 354.
I*. Al'^ II rat. line . t » i>i w cici •, i • m . i
t^■° t 1 iAI>Lh 2bl suite. Lim. Oeti.
Lire. Iiiv. (le x.
f dx I n\ '6 »
•.i)\Arcsin.z = \y 11 .T [Cos.— ] n V. T. 15. N'. \i.
'j x^x \ nj 2
f da; 3 /7r\3
i)lArcsin.x • = - ty%7 .¥ Sin.~\ n V. T. 15. N". 11.
7 x^y^ 2 \ 12j 4
(>] I Arcsm. x =^ 2 .
7) lArcsin. x ~ dx = tt u/ 2 + - IX 2 . F ( Sin. - ) V. T. 13. N°. G.
/■ dx \ fl—p \
8) lArcsin.x = — n + Arclang.p] V. T. 16. N^ C.
f dx « (—1)"
) lArcsin.x = 2.2' — ' — V. T. 239. N\ 1.
7 xl^{l—x^) (2«+l)^
X dx 00 Stn.((2n+1)A}
lArcsin.x r = 2 Cosec. I 2 -^^-^^-f-=^ V. T. 240. N . 1.
^i-_Cos.nv/(l— a;^) {2n4-l)*
\Q)\Arccos.x — ~ = » V. T. 15, N°. 12.
j x\yx
\\)\Arccos.x — ^ = X V. T. 15. N°. 11.
1 2) {atccos. X ~ dx = - — -ix2r( Sin. -\ V. T. 13. W. 0.
I ;5) / /Ircta/if/. X -^^ -^ = TT (1/ 2 — 1) V. T. 15. N°. 2.
1 I) / Arctang. x _'^^'' — —^ = ^7rZ(l+|/2)
dx 1
x\^[\—x'^) '>
Selilomilch, Int. { 26.
JArctang.qx J" = ^ n I {<} -\- l^ (\ + .]']]
J xl^ [\ — X*) 2 '
7 ^ 1(1-..') 8|'27r 2|ra))'
^+t/<| V. T. 160.
N». 18.
7 -^ 1^(1 — X-) Tang.^ (I + x^ 2 '^ I ^ ^1
Page 3^5. *^*
F. Alg. im.t. IVncL .,, ^,5, ,, .^,., ^^^j^^ , i,^, ,j ,,^ ,
Lire. Inv. do ;i".
I- a;» V-'{1— .r')
19) / — ^ • ■ • = ri V. T. 239. N'. 12.
'J x"" 1/(1—^.2) 4
fxArccos.x — 1/(1 — Jn'-) , !,.,„„ xr, ,
20)/ ^^ '-dx = n V. T. 239. N\ 12.
f d.t « f ] (—1)" (—1)" 1
7^ -^ .Tlx-Cl— a;») 1 I «^ «' (2«— l)^j
:J2) I (Arcsin. x)"" = ti / 2 V, T. 239. N\ 8.
/■ tia; » (—1)"-' (1 4 1
23) / (Arc«»i. xy ■ = 3 ^ -^^ '- \-n^ — -[ V. T. 239. N°. 3.
7^ '' xi^{l—x'') , (2«— 1)2 |2 (2„_l)2j
2i)l(Arcsin.x)l' ; = [-n] 1+^ 2 V. T. 239. N°. 5.
25) llArccos.xY = tt / 2 • V. T. 239. .V=. 8.
>j^ ' l/(l-x^; =
F.Alg. fnict. TABLE 20'2. Lim.OcH.
(..irc. Inv. u autre lormo.
1)/Arcta)w. {ix^fl — .c^) = l\Cos. . Cosec. ^ ^ m, ,r
f d T I
2) j Arciang.{pW {l—x^)] '-^ = -nl{p-{- i (l-}-;)^)] liaabe, Int. p. 421.
J 1 — X' 2
„ /" , , , dx In ( It — 4u n^+4ul V T ifif.
3 / ylr-c«a«a. f i^ 1 — jc) = ? Cos. . Cosec. —^—^\ Ir', V„ ' "^^
./ ^ l-^ ^ ^'(l-:rC'os.V)l/3; Cos./. I S 8 J N^ IG.
f d X I
4>)lArctanci. \Tang.X.i^(l—p'^ x"^)] = -7rF(w,/.) V. T. 369. N". U.
5) I Ardang. [Tang. A.. ]/ ( 1 —
2 -r^n
dx
p- X
, rp , N«. 16.
in n 1 anri. A
E(»,;i) ^— (1^(1— »i<Sm.U) — 1/- 1— »';'
Page 356.
''•G'il,':v.'',r»uucl„r„,c. T-^nLU: 2C2 suite. Lim.O..M
(i) / Arclaiif/. j ranr/X\'{l—p'-x^)]dx\/ '^-^=-n'E{p,).)—nCoO.. [ 1 -j (I— p*5!«.4 ) ^//'
,, /■. ( to<.A ] dx 1
7 /.Irctono. { } ; =. -nVlp,,,) V. T. 369. \". 15
f j Cot.X ) dx 1 TT
7 '''^'"''^■{l/(l-/'-:r'^)i (I— p^ x») |/ (1— «-) (1— p* .r^) ^ 2 7^2 ''''*^
368.
II.
V. T. yiiU.
n Tang.l , , -'^- ^'
Uans les integrales (7) h (9) if est doniu; par Tequation : Col. •} = rnn*;. P.. \,^ (1 — />■').
Dans les iiitegrales (1) a (9) on a p* <[, 1.
F. Al;:f. rat. ont. Timi? »r><'- i- n •
i.iic. Iiiv. dc X.
f 1^1
1) /.tf'-i Arccol. X d X == Sec. -p^r , < /; < 1; V. T. in. .\ '. S.
J 2p 2
2) I xv-^ Ardang. xdx = Cosec. - p :r , f) < /> < 1 ; V. T. 1 N . 0.
:3)/(I — .r^rccoi.a;) dx = - tt V. T. 239. N°. 12.
F. AIiT. rnt, fiact. a (Ion. monome. T..nir <.ip« i- m .
Lire. Iiiv. (le ,r.
I 3j d X
1) lArctang. --—=:» V. T. 180. X". 10.
q X
f dx 1
i) j Arclang. X ~ = -7rZ2 Caucliy. Sav. Etr. 1S27. 699. P. 2. j 5. fuulivf ; illc est x
[ dx
\) I {.\rdan</. xy - = tt I 2 Scliliimileli. Or. t. 71. — .Mo»ln. (ir. It). 43'J.
./ ' .r ^
Pa:,'e 3»7.
f . \h. rat. fracl. a don. inonoino. ,,, . „, ,. op / •. in.
.,>' , , lAHLL IGA suite. Lim. U ol x
Cue. Inv. dc X.
f dx 3 «> f i (—1)" (—1)")
I {Ardaiiff.x}^ — = -nHi — C,2i: \~ + ^+2-^ '-i V. T. 2r,G. N^ 8.
J x^ -1 1 [«' n' (2 w)' j
/, (ix /I \'' f 00 2 « 1 1
(.4rcteno. j)/'+i — = (p 4- \) -n] \i — 2 2 1 V. T. 206. N°. lo.
/
/
/
f di _
I {Arcsec. .V)' — = -nl'2, V. ■!'. 109. N'. 3; mais elle est fautive, avec celle-ci.
10
11
12
3.3
ll
1.5
16
17
18
(I X
Arccot.px -- = X V. T. 180. N°. 8,
X
\rccol.x—- = X V. T. 109. N". 1.
dx n ^ \
Wccot. X - = ^ Cosec. - p ;r , /> < 1 ; Y. T. 19. N ". 6.
dx 1
2
/ Schlorailcli, Gr. 4. 71.
(Arctang.x — x 1
/ -I dx = n V. T. 239. N^ 12.
J ^ 4
rirctoi£f.pa;.yirc<an^.a;~ = -ti! tt 2 (1 4-p) — ^^/p V. T. 266. N°. 2, 3
f a; d,r 1 f 1 1 -J- f/) \
/ Arctang.x. Arclang. = - n {-l(\ + n) + I ^ ' \ I
J q x^ 2 [q ' ' '^ ' q ) I
JArctang.^^.Arctang.i'f^ = ^ {M'^f) ^ \i^^'l]^\
f dx
lArctang..T.Arccos.x— = x, V. T. 109. N\ 7. (corrigee).
j Arctang.x. ArccoLgx ~ = ao V. T. 109. N^ 9. (corrigee).
jArctang.qx.Arccot.x~^ == x V. T. 109. N'. 8. (corrigee).
lArctoTipr. -.Arcco^--^ = k V. T. 109. N°. 10. (corrigee).
J p q x^ ^ " '
jo J a;
Page 3 5 84
F. Ab. rat. fract. a den. binumo. Tnuroi'- f- r.
Ciic.Inv.de^. lAbLL%o. L.m.Oel oc.
/■. dx I
I Ardaiiff.x ^ = - ti* Scblorailcli, Gr. 4. 310.
10
11
12
1'6
It
Ifi
Ardang.x dx = x V. T. 181. N^ 2.
X 1
Arctang.x fiJiC = — ti' V. T. 2G8. N'. 1.
^ l+ar» 16
X T (» r? + 1)-
ylrcta/jrt. J) jr dx = — - r-^-^^— ^ — — V. T. 265. N-. U.
X* —g* 8q^ pV/' + l
/
/
/
I Arctang.x = — ll 'i + — > V. T. 24. N'.
X
j Ardaiig . X y^^ — dx = -^^n V. T. 21. N'. 4,
irdang.x——, — - dx = — n V. T. 21. N\ G.
, , X TT 1 .|_ Sin. X
Xrdanq.x ;; dx = I — ' V. T. 181. N' 15.
-> (l+a;«)2— 5»..^2A 4&-n.2i Cos.X
1.
/
f dx 1
lArccot.x ■ = - TT^ V. T. 2G5. N'.
; 1 + ^' S
r .r 1
I Arccol.x -dx = -nil Ciiuchy, Lim. Imag. Add. N'. 31.
J 1 + :r' 2
r X 1
\ Arccol.x rdx = nil V. T. 2G5. N-. 13.
J l—x' 4
I Arccot.—
J /'
dx == —nl
x^'-\-q^' 2 q
' Cnucliv. Lim. Iiiia''. .\dd. N'. 20. 30.
/ Arccot. - — dx = -nl ^ ^ '
J p x^ — q^ 4 7' '
//lrcco<.-— dx = - I' — ^i— - 1
J p.t^~q^ 8q^ (p+qy I ^, .^,
/ i-lrccoi.- — dx == -nl " ~-^A_^ ^ \
y p.i-*— (?» 8 y« 1
/
265. N-. 12. 13
I 1 +;<
Arccot.px — - — dx — ^n I '—^-^ V. T. 260. N'. 3.
1 + a» 2
Page 35'J.
„." , J lAliLL 200 suite. Lim.Oetoc
Cue. Inv. dc x.
\\i)\Arccot.x -—dx = -tt V. T. 21. .V'. 4.
'j {l+a:»)» 64
miArccot.x dx = —n V. T. 21. N". C.
'} (1+.T*)' 61.
/- .r , n ,(1 +Sin.2^) (1— ASm.A)
21)) i/lnvo<. J- . dx = -— ,/ — ' ;— '-' V.T. )81.NM5
'] (1 + .1-^)2 - Sin.-' -l I 1. Sin. 21 (1 — &•«. 2 A) (1 + Sin. A)
r dar 1/1 \'+' \
7 ^ ^ J+-^-^ 7 + 1 \2 J f Raabe. Inl. 13S. - OInn,
f dx If/ 1 \^+i \[ -^"^"- '•
Z" , . <ij; ]r/ 1 \'^T 1 f/ 1 \'?+' )! Y T 26S
/■ X \ X ( 1 (—1)" (—1)")
21) liArccoLx)-'- dx = n'- /2 — 2^ — + ^' '- + 2 \ ~\ V. T. 238. N". 13.
7^ M+a;^ 4 1 In^ ^ «' ^ (2n)3 j
r X 1 a> (— l)n
25) /(ylrccot.j;)' dx = -n^l2+(\n2 V. T. 23S. N°. 14.
7 l+.r* 8 ^ 1 (2h)'
[ X /'I \P f » 2 -X 1 ]
26) /'A»'cco(.a;)P r dx = { - n\ 1 — ^ ^ V. T. 266. N", 10.
7' 1+^' \2 / I i/y + 2w 1 (2«)2'"!
C dx 1/1 \/^+i
27) /M>'CCO«.a!)P ; = n\ V. T. 265. N". 21.
7 1+^' P+1 \2 j
28) |(7 + .lrccot.a;)P -dx = jU-(-_7r — qP+^\ V, T. 265. N'. 22.
F.AIg.ral.fract.aden.,i-(9^+^^). .^.^g^E 26G. Lim. et oc,
Lire. Inv. de x.
i dx 1 ,
\)\ Ardanq. J = :i I -l Cauchy, Sav. Etr. 1827. 59'J. P. 2. § 5.
. 7 ^ x[\-^x^) 2
[ dx 71 .
■2) I xXrctann. X = li^l + q) Schlomileh, Cr. 33. 26S. — Id., Gr. 4. 71.
/ x[q^ +x^) 2g-
Pa", 360
F. Alg. rat. fract. aden.a;''((7-+.r-). m.nr 17 opp -, i • .»
Circ. lav. ilc^. TABLE 200 smle. Lim. Get oo.
,. f A ^^ 1
:i) I Arctont/. p X — --— — = -^^^(l-^pj Schl6milch, Cr. 33. 20S. —Id., V,t. 4. 71.
y ■ •'■(1 ~v x^) 2
) / Ardang. p x -—- — = - tt r ' V. T. 265. N^ 12.
-A A "^ ^^ 1 .;» + 9
o)/Arrian5r, - ----- — - =!= -—-nl^-^- V. T ISl. N>. lu.
G)/Ar.;<ana.pa;--- -— -- = -^T J^-^- V. T. 265. N'. 13.
7)|Ardan<7.p^^ == -—-j'^JJ'^ V. F. 205. N'. 14.
r da; 1 CO f 1 f — nn C— iVn
J x[\-\-x^) 4 1 («' n' (2n)' j
f dar 1 3 « f W
9) / (^rdano x) ' — = -n^ ll + -ti :E V. T. -'3S. N ■. 14.
7 ir(l + .r5) 8 t 1 »'
10) /Mrc<an/7.j)P = -;i U — -S" 2 }
Y. T. 23S. N'. 18,
F.Alg.rat.fract.aden.prod.debinomes. ^^^g^E 207. Lim. et oc
Luc. Inv. de a;.
f , X dx <i I i\
1) /irdana. - = '- — /?+ — V. T. 24. N'. 3.
7 ^ q{\^xY l + q-\^^Zq)
2) lArclann. x dx = —n Schlomiicli, fir. 4. 316.
^ . 1
(1 + *^)'
r X !t ^
'ii) I Ardanq. X dx = j
\ V. T. 34. N'. 7
1) / Arclanq. p x — — dx *= ■ \
/ XX Tt
5) / Arclanq. . dx = -—
"^/^"'""^- -q iT^ = rf^ (' ^ - 2l)
V. T. 24. N'. S.
+ 7)
— — V. T. •-•4. N 1
2ql
Page 3r.l. *6
WIS- EN >,\TLri;K. VF.KII. IMB KO.M.NhL. AKMiKMIK. liKI.I. 1\.
F.Aljf. rat. Iract.adt'ii. prod. (Icbinoincs. rp.nii'' op- •. • i- ^ .
Circ. Inv. de x. ^'^^^^'^ -^' ^"'^^- L'"^- ^ ^^ ^^
\
7) / Ardang. — Jx =
; -^ .lix-x'^y 4(1+7^)1
, , , , (V. T. -Z^l. N\ 1, G.
S) / Ardann. ^ d.t = — - — / ,,
9)1 Ardang.-— -— dx = — 77-, -, V. T. 21. N\ 11.
; q [X-^ ~p^y 4.[p^^q^)
10) j Ardang. X -^-^^^"^-^ dx = — 7,-7^—,- V. T. 24. N^ 13.
^ 7r
V. T. 181.
U) I Ardang. a^ :~-^ —--/—-^ = -TrCo^ecU/f 6Vo.= i A. &c. ;i) V. T. ISl. N". 12.
J 1 -f a-' 1 + X- Cos.^ A 2 \ 2 /
U)j Ardang. x ^-^ ^TIj^^^Ti = - Cosec. ' ^ I Sec. i A V. T. 17S. N^ 13.
iQs f I 4 ^ dx n
\6)\ Ardang. X — — — . ■ — ._ w
X 1 1 <SVn. /.. Co«. - ,(. Cot. \ Arcsiii. 1
I 2' I2 \6Vn.?./jJ
'J -^ x^-\-Cos.nx^+Cos.'l, Cos.a-Co*-.V \ 2 2'/ N'. 24.
-, -^ f i . dx O f 71 1
lij) / Arccot. q X = { — -J_ la\ V
7 ^ (l-.r)^ 1+^'- r' 2-7)
/a; \
Arccot.x—— — -— dx = - 71 V. T. 207. X\ 2
(l+;r^)» 8
T. 24. N\ 3.
--' V. T. 24. N'^ 4.
27)
lS)//lrcco/."^ ~— ;*— ^^(f.r = -r-~- — : V. T. 24. N°. S.
X X
q(p^ +x'-)'- 4-p^ip + q)
^''^)/^'--^-^(7r^ '- = 4-7^ ^- '^•- ^^- N^ 1-4.
20) f Arccot. x^^ Y~~r, = -^--^ >•/'?-:' ?- V. T. 181. X=. 12.
a- dar 1 /
21)jylrcco^^^-^--^— f-— _ ^7rCom-.= ;./(^fc.A.Co...^ S.) V. T. 181. N-. 13.
Page 362.
Ci.^. Inv. de X. TABLE 267 su.to. L-m. ot oe •
V. T. 241.
N". 24.
f X dx n i \ \ \
22) / Arccol. x —; = -r-T"; ' Cos.-'/. Sec- u
' j 1 + X- Cos.- ). I + ,r- Cos.-' :i Cos.- ).—Cos.' n \ 2 2/
, r , a; dx 1 r Cos.^ lu. Cos.).
23) / i)'ccot X = — L — ■ —■^— Y '
'J' ■ .c- -\- Cos.-^ X X- + Cos.' ft 2 Cos.- }. — Cos.' .1 Cos.- !^ I. Cos. .i
r J Cos.ti.iang.llArcsin.^ — -} V
U)[Arccotx -^ - ^^_____.- .'^ _Z_ • L11_ *'«'-i N
'J ' Cos.-[i—Cos.^X+x^Sin.^}.x'-\-Cos.'^l* ZSin.-)..Sin.\a Co<.>l/(ro«.'.tt — C'o«.^/.)
Cauchy, Lim. Imag. Add. X'. 2!
f X [b — xi)—" — (t + .Ti)-" n f/l\"""' / 1 'i""') oil Ics puissances a de
j P 2» 2{a-\)\\bj \b + pj J ietde - sont fautives
Ul.lll
7^5 V. T. Ul.
0. IG.
f l—a-Z 71—1
•ZG) UArclayiy.x)^ ^^— ; — -^ d.r = — ^— ^r V. T. 20 7. N'. 2.
(1 + ic'-)' ' 4
F. Alg. irrat IVact. .^^^^^^ ^^^^ Li.n. U .1 ac .
Circ.liiv. de x.
f dx I ,
DfArclana.x = -ti- Schlorailch, Gr. 4. 31G.
7 ^ {\-\-x)l^x 1.
f dx » ( — D"
2) I .Ire^m^. .r = 2^ -■ - V. T. 239. N'. I.
.,,/", , ^ ^- g • ,^ , .5, Si/J.{(2n+\)i} V. T. 240.
<i) I Arclang. x - — . „. „ , ; — = — 2 Cosec. K ^ — ,^r— xti 1
/■ d.i- 3
Vj I Ardanq. X = ~n^ Schlorailch, Gr. 4. 310.
7 ^ yyx^ + ^x' 8
[ X X ^ 1 ^ I 'fp3_,y = )
5) I Ardang. - — —7 dx ■■= - Arctm^. .?<;';
] q\y{v^-\-x^Y i-^ip^—q^) q (v. T. 28.
} N'. y, 10.
— — 7 aj; = -— — Ardanq.
,,) =,'7772 — z^^^ :~ — '5>
r, « .1* + 2»»— (7* xd« rr , p , I («»_g») \
») / /lrcco<. .T .""^ - = ^ rr^ V. 1. 208. X'. 1
dx 1
(1 +"^1 X ^ i
Pnge 363. 4'''
I' . Al<f. irral. fracl. Timr ofo •• t- n .
n- 1 J ^ lAbLL iOo suite. Lini. el oc
liirc. Inv. (1e x.
C dx oa ( l)n
[0)lArccot. X 777;—; = 2 ^ ,V"^r^x1 ^'- '^- ^^^- ^"- *
l,/(l+.r^) o(2n-|-l)-
/ a; a; 1 f tt 1 l-^fp* — 9*)l 1
^rccot.- a.T = -I — i47"da«7. l,;j>-9;i v t
?l/(p»+a;»)' 2l2p IX (p^-?^) "^ ? ^ (Vs
1 r TT 1 p 1 (N''-
13) \Arccot. X ;; ;, ; , = 2 Cosec. I ^ —/' ^ V ~ V.T. 240. N'. 1
7 (5J«.U — rr 2 Cos. n) 1^(1+ a;') (2«+l)'
2r/l27 I [q'—i>-) p \
10.
16) [{Arctang.xy 27777—7,, = — 7^' + '^ ^ 7^ri~rTli ^- "^^ ^''^- ^''- ^•
x^l/(l+a;^) 4 ^ 2«+l)'
/" X 1 00 ( — 1)"
I 7} / {Arccot. xy 777:7-, ~ dx = _--7t^+4.2' 7777-77J V. T. 268. N'. 10.
V{l+a; = ) 4 ^ (2n+l)
F.Alg.fract. TABLE 269. Lira. et 00
Lire. Inv. d autre lorme.
1) Mrdan^r. (a:') - "^^ = 4 ^r^ V. T. 268. N^ 1.
Z)JArctang.(x') ^ _^
dx 1
l-fT" "" S
dx 1
V. T. 2GS. X\ 4.
.2 s
si . dx \
o)\Arctanq.(\yx) = n V. T. 267. X'. 2.
( . dx 1
^lArccot. (xM = - tt' V. T. 26S. N=. 9.
7 ^ 'l+x"" 8
/■ da- 1
b)\Arccot. [x^) 77 — ^- = ^ '^^ ^'- '^- ^"^^ ^'- ^
1 4- ar^ 8
dx 1
(l+^» ^ 4
6) Mrccot. (1/ a;) 7-^1^^ = 7 'f V- T- 267. N^ 17.
Page 364.
FAlg.fract TAlJLi: 2GU suite. Lim.Octoc.
Luc. Iiiv. d autre forme. »^im.^/i,i ■^.
(r ^ dx 1 « (—1)"
7) / { Arccot. il^x)] * -— = 71^ + S JE-^ -- V. X. 268. N'. 17.
8)lArclang. [ ) = -nl {p + l^(l + p-)) j
f, / P^ — 1\ <^a; 1 ,r . . .V. ( «aalje, Int. 421.
lQ)(Arctang. (^1/ fT~7) "TT;^^^-^: = ^ '^Up + l^lP' " 1)) . P> 1; V. T. 209. N'. 9.
J \ i. -\-x^ I xi^{i.-\-a!-) Z ==
' ^^^^^'^"^- (i:^TfT^) ^1^) = r Up + i/(« +p^)} . p> 1 ; v. t. 260. N^ s.
12) / ilrdanor. (v^ a-) ] ArciangAl^ ^ —\ dx = \
7 ^1/(1 + a;) ^\ 1 + ^; a-H-p^ j V. T. 2
09.
N=. 9.
"^'Ci'i^c' hir '^^'^^'^ ^"^- '^'"'- ' •■' ^ •
r da:
1) Mrcton^r. a; - = cc V. T. 187. N». ?.
r. rfa; 3 , 1 » (—1)"
I) \ Arclang. X - = -7r/2 2— — V. T. 260. i\^ 4 tt T. 266. N^ 1.
7 ^ x{l+x-') 8 2 (2n4-l)2
C , x—[\-^x'^)Ardang.x dx 13 1 » ( — I)" v' r !>7(i
7 -e" 1+2^* 1« 8 ^ (2n + l)' ^'- i-
f. (ix " (—1)"
*)lArccot.x - = ^ -^^ ' V. T. 257. N°. 3.
7 ^ o(-2n+l)-
5) /i4rcco<.a;— = - tt 1% V. T. 108. N'. 1.
7 x» 4 2
f X dx 1
6)/i4reco«. = Arctang.p — — /(!+/'') V. T. lOS. N\ 2.
J p x'^ 1p
f X 1 1 00 (— 1)"
7 l+a;» 8 ^2 {2n+l)'
Page 3ti5.
F. Alg. fract. TABLE '270 suite. Lim. I el oo .
Lire. Inv.
/" dx 1
S] I Arccosec. X ~ = -rr— 1 V. T. 108. N'. 3.
•J) I Arccosec. f -^ = Arcsin. » + - 1/ (1 — p^) — - V. T. 108. N'. 4.
J p x"^ p p
f dx n'^ 3 00 (—1)"
10) / (Arclanq. x)^ — = — + -nl2 — .S ~ '~- V. T. 270. N'. 3.
7^ ^ ' x-' 16 ^ 4 i'2n-\^iy
11) / [Arccot. .v)P dx = ^2 — ^ — ; 2 \ V. T. 238. N'. 19.
lox/"^ ,- [l+x^-] Arccot. x — x 1 , 1 ] ^ (—1)'' V. T. 270.
12) / Arc an g. x dx = — n- nrZ ^ — - • „
f. ,. , (l-i-x-]Arccot.x—j}.v /I V' + i ni' C * -!• " 1 ">v T 27n
13) / Arctg.x(Arccot.x)p-^^--^^-^ — -^—dx^-n — h—^ ^- 1 xA ; ,
'J •' ^ ' l-\-x^ \A> I 22/H-i| i/j+27n 1 (4«)2"'jNMl.
/• , / X \dx Ti'^ Zn 1 « (—1)"
1 J) / Arccot.x Arciang.x— \ — ==— IZ+ - .Z — ^ ^— V. T. 270. N\ 2.
7 \ ^ 1+3;2Ja.s 16 8 ^2 Q{Zn+iy^
■ ■ ■ .. - - , _, — >
F. Alg. fract. TABLE 271. Lim. divcrses.
Lire. Inv.
,J\ , , , dx (l 2ab . ^'''"^•(^^'•'^'''"^■lTa^6^) )"''"'
1) / ArciQ.(a-\-b.r) = _ .t{- Arctg. — Arctj. \ -?t— , - /C'-- 3.
7 -^ ^1 + ^-^ 2 ^ l + a^-6-^ -^ ,„ /I, , 2a6 \ i,)!.
\ "^ \2 -^ l+a = -62J I
/I 2aA \ ^
o.r. dx n\l ^ -lab , ^""^■U^'-^'''"^-14a^_iO /V.T.
2 / Arctg. x = - 1 - Arctg. , — ,- — Arctg. . V^^ ^r— y r— 271-
V_ ' l^-^a+bxy 6|2 ^l+a»-5- ^,^. ^1 ^,,,^.__l«A_^j_,jNM.
3)1 Arc^angr. .r — |-^ — — = rr i 2 Caucliy, Sav. Etr. 1827. 509. P. 2. § 3.
00
■1 i
x(\+x^)
ix 1
X ~ s"^'" ' 2~ (2»i + l)^
.. i ' c^'i' 1 1 ^ (—1)"
1)/ AmJn..r— = _jr /2 -|. _ ^ -^ — — ^ V. T. 23S. N'. i.
h)\ [Arcsin. x)f> — = H — :E ^ I V. T. 238. N". 19.
7 X 22p+i ( 1 p -j- 2m 1 (4 nf"')
Puge 366.
' r-^' I ' TABLE 271 suite. Lim. diverscs.
Lire. Iiiv.
r* X 1 1 00 (— 1)»
(',) I Arccos. X dx = -nl2 + - 2 -^ — V. T. 238. N'. 4.
7) ; (Arccos. x)P dx = h —2 2 V. T. 238. -N\ 1'.'.
J. ' 1— J,-' 22;,+ 1 I ip+3m if4n)2'»J
-I
■4
Ardang.x = — 7 ^'2 V. T. ISS. N'. 2.
-I
dx 3 ,
0) / Arccot X = ^li V. T. 1S8. .V". 2.
7 1— X i
f .r 1
10) / Arcsin. -xdx = - p"- n V. T, 3i. N^ 8.
11) / Arcsin. - .i^'-^"-' rfx = — »2„ 1 1 _^ -I V. T. 31. N'. 10.
'] p 4,0"^ l 2'^2J
f T »2"+l fn i"!-!
12)1 Arcsm. -x^-^dx = '^ I — rl V. T. 34. N\ U.
J p 2a + l I2 3"/2J
fP 1
13 / Arccos. -xdx = -p» tt V. T. 31. N\ 8.
14) / Arcco*. -a'2a-i ci.r ^ — „ f>2,. _ V. T. '^4. N'. 10.
/ p 2«/2 4 a
f r p2o + l 2<'/2
15)1 Arccos. ■ .c^" t/.i- = '■-; , -,.- V. T. 34. .N '. 11.
J p 2 a -|- 1 3"/^
16)1 Arcsin. -, dx = —r rr i [-] . P < V-
17) I' Arccos ■'■ ——^ r- rfx = - F' f^) - J , P < ?: *
f d V 1
18)1 Arctom. .1- '- = -- ArciaHy. p . ^, 1 + p' ) V. T. IS3. .N . 13.
') l+P-'^ 2p
Page 30 7.
r \l"^ fnct
'r-°'i' ' TABLI'] 271 suite. Lim. diveiscs.
Lire. Inv.
1
f\ da: 1 , 1+p'
— _ .__ - Arccol.n.l
19)/ Arctang.x = ^ Arccol.p.l--^'^- V. T, 188. N». 14.
} ^ p+.r 2 P'
r', »■ — X dx '^y^l , . , 2 1/ n
:iO) I Arcsin. (\.-^ x) = Arcsin.[\^ q) — Arcsin. {\y^ p) —
./ (r+.r)»V^.i: q + r ^^ p + r V. T. 35.
'' N" 22
1 Jt^(l + r) 4-l^( l— p) V-a+r) — 1^(1 — g)> ■ ■
^- ^^^^^- .. TABLE 272. Lira, diverses.
Autres tonctions.
1)/ li i-\ xdx =0 V. T. 300. N\ 2.
2) / li {A .«•/'-! (i.f = - Z (1 + p) , p2 > — i ; V. T. 300. N'. 3.
,^.2 j/(pi_^2) 2j/(l_p»)i Roberts, L. 10. 454.
^p , / La formule 4) est fautive, et ne vaut qut
J 1 A'*
V/(p»-.r») 2,/(l-p')
F.Exponontiollo.] ^ ^^jj.^,^ ^ ^BLE 273. Lim. et oo
Louiarillime. j
^^1
Schlomilch, Beitr. III. s !). _ Id., Gr. 4. 167. — Id., Gr. 9. 5.
}je-'= Le d.r = — A j
Ij j e-7r I .r dx = (A + / '/, 1
3) / e-'^^l-dx = - I TT (A + 2 /! 2) Meyer, Int. dcf. 373.
J X 4
i)le-1^lxdx = — *-^ {X + l']+2lZ) Schlomilcli, Gr. 4. 167. — Id., Stud, 1. 14.
J 4?
-\/»-nr • ' J. \2 J ^ i ' - .1 ^nn TP- / ^ Bicrens de llaan, Verb, der K. Ak. van
o}je-P-c(q + x)' dx .= .nq'-2ePlEi.i-pq)} ^^.^^ ^gj^ bl. 19.- Winckler, Cr. 50. 1,
Page -368.
F. Exponenliol e.l r^ .■■ tudii' o-j- •. t ■ tx ,
f ' ... [b.entiere. TAIiLL 27o suite. Liin.Oclx.
Lo_c,^inlhme. j
6) /e-P^Z(7 — 3-)- dx = ~{lq' — 2e-l>9 Ei.{pq)\
7) / e-l": l{q^—x^ydx = -{lq^—eP9 Ei. {—pq) — e-P1 Ei. [pq))
J P
8) je-i"'l(q^+x^y dx=^-{lq'—2Ci.{pq).Cos.pq—ZSi.{pq).Sin.pq + nSin.pq} ^^i\l^^^
J P I Winpklor.
9)je-i"=l{q^ — x^y dx =-[2lq'^—e>"! h'i. (— pq)—e-i"iEi.(pq)—ZCi.{pq).Cos.pq
liiercns
(Jc Hnnn,
Verb, der
K. Ak. van
2 Si. (p q). Sin.pq -{-n Shi pq\ I
F. Exponent, polynome en den. ^,^pj^,, ,^^,^ Lim. ct x
Logar. en num. Ix.
bvrx Ivx
^ I - c 1 „ frr
1 ) / /^ dx = ASec.~—:S(- 1 )" < -!: r-^ +
•' ' fi2n4-l)7i — —
(2„4-l)^_— (2« + l);i + — ^ '•-^'rouve
/2i + 2;i— 1
r
', Cr.3?. 1.
1
■i)
1 1-^ -7-^ 7 d.c=~Sec.— l2Ti^-2{-\)"-^Cos.\ -—-an U— ^^ tt- '-Zr ■ i
^ ' I'Jl
,^„ ._,, ,N-.S,9.
71 OTT TT £_ ^ /2n-
\)\ll '- dx = --k 7bn^.^-^U ]^ - -^ . M C>. 8S. 1.
/
— C-^ — 2 . n
f>)\lx- ^— ^ dx = I- V. T. 134. N«. 1.
f (7 - P) i e'/'-^v^ + c-t/'-^^)-) + (/> + 9) {e'"-^'^ + ^'^-^'> } ^^ ^ , ^ |Ml?„| V T 136.
Page 869. "t^
WIS- EX NATL'irtK. VEIlll. DER KOMMiL. AKADEMIE. DEEL IV.
F. Exponent, polynome en den. ^^gj g ^74 suilo. Lini. ct » .
Logar. en num. Ix.
7) / U~^- ' (T^+l)^ -r /^ -r i (e7^_e-,r) da: = l{qnCot.qn) ^^^'^
S)[lx dx = -'L'[-\ + -IZn V. T. 190. N°. 7.
^j ^ ' (eP'—e-P^y 2\p p I N°. D.
in //J^ = \-127t—It{-\\ V. T. 191. N=. 7.
, '■ /I ^ \
10)/;^ ^^ == l^rCos^cAi ,/^ , f""' V. T. 190. N'. 9.
'j ex _f. c-^ + 2 Cos. A 2 / 1 A
r ,
2 2rr
F. Exponent, polynome en den. ^, ^^^E 275. Lim. et go.
Logar. en num. / (/r ± X').
f dx 4
\)\l{\ -i-x-) — = I - Malmsten, Cr. 38. 1.
giTI _j_ g— ifX jj:
f e»5rxJ_e-}Tr 8 2lX2 1/2 + 1
2) IZ(l+x^)-; , , c?a; = 21/2 [- / ^^— V. T. 13S. N°. 19.
^j ^ ^ ^ (eiTr_g-jjrx)2 ^ 7j 1/2 — 1
r giTxJ-g-iTx ;r — 2
3) //(I + x'-] J- ^— -— c^« = V. T. 138. N'. 16.
dx 1
(e'x — e-5rx)2 4
4)|^(l+-^-^) ,„,, "1,,,, = ^(2A-1) V. T. 138. N^ 10.
5)//(l+.rM ''" "^^ (f^ = "-^ V. T. 138. N', 12.
g^TX^e-JTX 2/2 — 1
(fiTX e—'^^y Z 7T
6)f/(l+.^)--^^— = - l^i + f -.Z'f:^!} V. T. 138. N^.. 11.
7 ^ ^ ^(e9x_e-9x)2 29i;T^29 \7r /j
Page 370.
F.Exponent.polyno.ncendcn. ^^g^E '275 suite. Lim. et oo .
IjOyar. on num. / [p-±x-).
7) / ' (1 + *'^) ; "* = — ■* 4"
1 + Si/i.p 1 V T 138.
+ 2nCos.p-{- 2Sm.pl- , <p<--7r; „/ , '
1 bi7l.p = = 2 ill . iJ.
8) A (I -L .M M^^.^-^)-+^(^-^->-) + (2^-^)(^'^-+^-^-) ,, ^ 1 . , 1 ^^ ^- V. T. 138.
J (eTx_g-^rp 1 n-}-l N". 8.
9)1^(1 +xM ; dx = Y rp ,,o
= pSi7i.p—l + Cos.pl{2{l + Cos.p)}
[I'd \ el""" — c-JT-f 1 /I 7t
101 ll\- + x'' dx ^ Z Sin. -n.l -Cot.—
'J \1 / e'f^ — e-Tx 3 \2 12
Atx _/.tj / g+c+w— M
/■ e'^+e'^ 67r -^ (, ^7^)1 2c ,b + c
>y ^ ^ ^e'^x + c-'^r 2c ^ 1 ' ( c) ^/ g + n— j \ impair,
^/ a + e-n+i \
12) =5ec.-/c+2JS:(-l)"-'ro.-.|(»-l)y};-^, _^_^_,.^ ,6+cpa.r;
45r£ _6»£ ^/a + c-|-n\
/" e <= — e '^ 67r '^-i ,^. »it;r, I 2c ,b + c
13)//(a-+,rM —da: = Ta/ia. — Z 2c + 2 ^ — 1)"-' &n. ^ /TXliX" imLr-
£ri ^/ g-t-o— n \
bn - nbn, \ c I h^r
U) = rgna. — Zc+2^(— l)"-'5m. L-i^ — ; — r-i ' " T "^
^ ^ 2c ^ 1 ^ c lo.-\-n\ pair;
t»i- isrjT
7 V4 jc.'x^e-^x / '' p ^''cji\2 ] \\ \c /j'mpair;
-c'+a:M— rfx = ^(— l)'-iSm. / -c-« Cot. — U -Z:,
Page 371. 47*
K.E.\i)Oii(,'nt. iiolYiiome en lion. rr..,,, ^ ,^-- •. i- n .
Logar. on nam: I {f + x^]. ^ABLE ^11 o suite. Um. et oc
f a^itx _ ^-\itx \ 4, J
17)//(a^+,r^) (i;r = 9A / ,\/
\ 't )
/■ eJsrj: — e— if-i^
lS)/Z(a^-+.t;») -;;;;^ TZ^ ^ ^ = 2 Sin. ^n I
[ a+4 \ ,' a + 5 \
,}.._,-;.. 1 /^^\ 6 r 6 j
d a; = 2 5m. n I — / , ., / — / , ,, ^
cTi — e-JTi 3 /a^n /a-f2
6 / \ 6
Les iiitegrales 10) a IS) sont trouvces par Malrasteii, Cr. 38. 1 ; (ou il y a plusieurs fautes).
I, d 3: 1 00 13o,>_i_i
l<.i)ll{l—x^)- = — ^ (_ i)«-i -i^!±L V. T. 138. N^ 21.
J (cTx — e-Tx)! 47r n+ 1
^' ??'!"• TABLE 27G. Lim. — oo et oo.
Logar
7 e^ + e-^ 2 |r(i) j
)fL/-J^=:^^c?x = ^ ra«,.^/2.+!l!i'(-,)-.-i5.».^z'illi '.'^ + ^
r
V. T. 191.
6-1 ;b-n\ } N". 3, 4.
2(1 26 61' 6 ln\ pair;
^N f, *^^ ^ . fr(4) 1
f a + n \
^)iV ."+»"+...+.^.-: =-r.^°"^T»'^-+;f'-"--^'''-7'77W'p:;,;
\2 a/ r V.T.191.
2a 2a a 1 ' a hi\ impair;
Page 372.
*''"/lT "■ TADLE 27G suite. Lim. — oo ot oo.
Logai.
f, (/>4-l)e(f'-')i-j-(p— l)e(p+i> — (rz + ljel?-!)! — (y — l)e(?+>)' ,
7)ltx ax =
u.f, (p + l)c(P-i)i— (p— l)e(P+')3; — (o + l)e('?-i)x4.(Y— l)e(?+i)^
ojllx ■ dx =
} (ex_e-x)2 Y. T. 140.
N°. 12.
nlhin.\'^n^.Cosec.{^-±^n\\
^■,^-'^I^^"- TABLE 277. Lim. diverges.
Logar.
r
1)/ HI —pe^>) dx =
^)/ lil—pc-")dx ==
Moigno, Calc. Int. 138.
3)/ e-?"/(l— pe^')da;=— — p?
■ Poisson; P. 19, 404. N'. 78,
5)1 ^-—dx == V. T. 43. N'. 4,
/ Lv
if e-'^lxdx = e-i> I p ~ Ei. {— p) V. T. 150. N^ 5.
7)r;. /-'-". ,i,-i^'i'— + i « f- y-rf, + (iiii.]'!l ^,-. ■',„'=»
/'
/•" e^^J-t—?^ , 1 ip 1 1 » f(— 1)" . /»'r\) V T. 150
8)/ io; ^ dx=^~ + — - + — .Sr -Arctang.\ — \\^\'
J (rt-^— e-?'-)' qcl"l — c-l"l 2pq^ q^ I I " \P<I/ '
i>
/•CO J
9)/ t— ■'•■i.rc/.y = pi I li{p) V. T. 150. X'. 14.
10)1 c\'^-U{l —l^ .v) d ir = 2 -^^^ V. T. 376. N". 3.
Page 373.
1
s.q X dx = —
/'^ Sin. X dx = —
^ Dienger, Cr. 38. 231. — Raabe, Int. 152.
P
F. E\|.onent. <'±'''. Tiniro-Q i- n ,
Circul. Dir. ent. a un fact. ^''^^^ ^'^- L""' ^ ^^ *•
f 1
/ e— •'■ Sill. X dx = -
J 2
je-1^Sin.f/x dx = — } Oetlingcr, Cr. 38. 210
J 2r/(
I e-1^ Co
h
I e—P'^ Cos. X d 3: = -
/" Q. , 1 Poisson, P. 19. 60. — Dienger, Cr. 46. 119. — Schlomilcb, Gr.
je i:>in.qxax — j_j_^, 5. 204.
\e~^ Co%.qxdx = Dienger, Cr. 46. 119. — Schl6milcli, Gr. 5. 204.
Je-P^Sin.qxdx = j poisgo,j_ p jg. 215. N^ 2..— Cauchy, Cours. Le?. 32. —
^ '^ ' { Grunci-t, Cr. 8. 146. — Lobalto, Cr. 11. 169. — Boncompagni,
/^ , P \ Cr. 25. 74. — Oettinger, Cr. 38. 216.
e—V^Cos,qxdx = 1
p^+q^-1
Sur la formule (9) voyez encore: Poisson, Mem. Inst. 1811. 163. N'. 25. — Id., P. 18. 295.
N'. 21. — Dienger, Cr. 3S. 331.
\e-P^Sin.{qx ^l) dx = (qCos.X -\-p Sin.l) Poisson, Chal. 153.
I c''^^ Sin. q X i d X = Schlomilcb, Gr. 3. 9.
\ e—P^ Cot. ~ q x d X = ZgjI" Cauchy, Eserc. 1827. p. 141.
je-'^Sin.{2pU'x)dx = pe—P-l^n Helmling, Transf. 14.
je-=': Tang.(ql^x)dx = 2 q \^ n ^ (— 1)" n e-ioi)' V. T. 388. N". 20.
je-''Cot.(ql^x)dx = — 2^ I/tt J' n eH'"?)- V. T. 388. N' 21.
I e-^ Cosec. (2qp^x) dx = — '2q \yn ^ (2 n — 1 ) e-'2'i-i)-r V. T. 388. N=. 22.
S
9
10
11
12
13
14
15
16
Page 374.
F. Exponent. c±-. ,^,^jjLE 279. Lim. et oo.
(.ircul. Uir. cnt.
f „ 2a. 2a — 12 a — 2.2a — 3 2.11 j
J p^ + {2ay p^+(2a + 2)* p^ -\- 2^ p />">!,
f 2a + 1.2a 2a— 1.2a— 2 3.2 1 (oieng;er,Cr.38.331.-
/ e-P>^ Sin.-''+^ xdx = . . . . ISchliimilch, Gr. 7. 38.
j piJ^{%a-\-\Y p^+(2a— 1)2 p2+3^;j^ + l !
( ^ „ , 1 12<»/' f p' p'-.p^+2'- , , p-.p-+2\..p''+{Za—2]-) \
; p/<2+22.jD2^.1.-.../+(2a)H ].2^ 1.2. 3. 4 12a i j | pi
J ^pi^r-.p'-\-'3\..p--{.{2.a^\J'[ 1.2.3^ ^ 12a+i/i jj
fe-:-Co5.y...(;o..r.d^ = 1 ^^ p trcs-petit; Cauchy Sav. Etr. 1827. 124. Note
J * 2p^^(y_,.)2' ^ ' 0. — Id., P. 19. 511.
» f 1 1 I
_ d ).^ _|_ JPoisson, P. 18. 295. N"
10
11
12
13
ll
15
10
lenger,
Cr. 38.
= P
26.
p'^ -\- q^ -\- r'^ \
', Dicnger, Gr. 12. 97.
j p^ (7 ■ -1- 9' ■* i
le-P^ Cos.qx.Sin.rxdx = 2 — ■ — \
=, 1 [ 'I + '' _ V— ^ (Cauchy, Sav. Etr. 1827. 124.
p- r/- -|- 7'2 ^
/
) Dicngcr, Cr. 41. 137.
2pqr
Diengcr, Gr. 12. 97.
(pi + ,/! J^ r-'y — l q^ r'-
2^^ y+{l + r)^^p^ + (q-ry^ { ,.^^^,,^,_ g^^._ g^^_ ^327.
I p I 124. Note C.
f.-.^Co...J.l/(7o..2i. = ltL^"^W!iir£^o^p) cauehy. Sav. Etr. 1827. 1
J on"-'/' 1/(1 +p')" Notes.
/ (e-?^ C'os. p A- •
24.
C-l"' iSin. q x) dx = Lobatto, Cr. 11. 1G9.
Page 375^
''•aaul'tiiit: TAOLE 2-i) suite. Lim.Ucloo.
\l)\{e-'iiSin.px — e~V^Cos.qx) dx = Lobatto, Cr. 11. 1G9.
18) /e-2/'^ Sin. {q^ a;^)dx = — \cos. I^^\ + 5m. (*^) | i/ 2 rr _ ' \
1 IJ) je-^P^ Cos. {q^a:*)da: = — jcos. I ^j — Sin. [^) } 1/ 2 tt — J 18, lo!
«?M WV 0^ ^4n+l)12«,A7/ W'jo^ ^4n-l)12'->/i\9; j/
F. Exponent. c-< . TABLE 280. Lim. et oc !
Luc. Uir. ent.
/. I p2 Cauchv, Sav. Etr. 1S27. 12'1. Note 2. — Id., Cours. Lcq. 40. —
1) le-^- Cos pa- di- = - e~7 i/ tt I'i- Sav. Etr. 1S27. 599. P. 1. § 2. — Id., Lim. Imag. 91, —
/ 2 Legendi-e, Eserc. 3. 4S. — Bidone, Mem. Turin. 1S12. 231.
Art. 3. N°. 34. — Kuramer,Cr. 17.210. — Sclilomilcli,Stud.I.25.
f . I -L n
2) I e— P^- Cos. X dx = - e ^vX^ - Laplace,
i Z p
r. 19- Poisson, Ciial. 103. — Caucliy, Eserc. 1827. p. 233. — La-
3) ie~P^'Cos vdx -=■ — e~4n l/ — place, Probab. I. 25. — SchliJmilch, Beitr. III. § 16. — Id.,
'] ■•'■ ' % P Stii'l- I- 12. — Id., Gr. 5. 90. — Id., Gr. 9. 879. — Helm-
ling, Transf. 12. — Eaabe, Cr. 48. 178.
4) / e— P'-"^" Cos. qxdx = — e ip^ \^ n\
J ^ 2p I Oettinger, Cr. 38. 216.
h)le-\l'-''Cos.qMx = -i/TT 1 I^" ^■^^'^"^ ^^ (^) ^^'^ ^''"♦'''^•
„, / -"jx- - ,, ,^xj 1 j/3,^^'^ Laplace. Mem. Inst. 1809. 353. § 3., ou elle est
6)j e i Cos.{lxl^a)dx =-. g^"*^ 1^ — fautive.
f , 1 o= a2«-^i
7)/e-^- 5in.a.rcZ.r = -2(—iy> -— — Legcndre, Eserc. 3. 49.
8)fe-P'' Sin.qxdx = Meyer, Int. Dc-f. 119. (fautive).
1 cr 1 / o \2i+i
9) =• ^f — 1)1 — - — I Schubert, Samml. 117. (fautive)
' l^Zp 0^ ' l«+i2\l/2pj
Page 376,
F. Ex|»onoiit. c""'
Giro. Dir. out.
TABLE '280 suilc.
Lim. ot 00.
Oettinger, Cr. 38. 216.
10)/c-P» Siii.q.vd.v = .2" (— 1)" .- i
7 ^ (,j-f 2)»+i,i p»+^ [
/" , , 1 « f — 11" I
in / e-?*^' .SVn. q X d ,r = - .2" — ^^ 1
7 ? (n + Sj-'+n ;
12) I e' ' Cos. q .r (Lf = — -—e I/- Cauchy, Lim. Imag. 190.
f 1 c,. o. , 1 TT ( __(i-p)^ __{ p+qy )
13)/e-'-i )Stn.p.r. 5jn. <7.rrf.e = - I/- je 4r — e ir \ Poisson, Chal. U3.
)ie— "-^ bm.p x.oin.q.v ax = — ]^ — ie 4r — e ■*'"}
I4)le-''^ Los.px.Cos.qxdx ^ - \y^ - U ir -f- e 4r i V.
15) le-P^^'S/'i. (3x*).Cos.r.rd^ = -V/— -^-— .e-''<'(6 5j„.rtc + cCos.ac)\
7 2 p'+9^ •
IG; le-/'-^' Cos.(5.f^).Cos.r.i-ci.B = -i/--^~.e-««'(6(7o.'.a(; + i.\S(«.ac)
T. 280. N°. 3, .13.
oil a
2 p'+3'
4(p»+5>)'
6 = ,.?_±jKpL±i!1
2
17) / e-^' Sin. [-~\ dx = - e-^r Sin. (2 p) i^- n
= ,/
-P+l/(p*+9 = )
IS) / e-'^ Cos. [-— ) '^•«^ = 5 ^"^Z* <^o«- (2 /;) 1/ 7r
Helmling, Transf. 21, 22.
29, 30.
Dienger, Cr. 40. 119.
f J e— 1
19) le--^ Sin.^ xdx = 1/ ir
( 4e
f J 1 g — p
20) I e-' 5iB.*(.vi.-'p)d.i- = l/'TT
/I / 1 )a .,45r
e*'Sm.«.cdj; = i ^
fa + bi \ la—bi
Z-Z) je-''^ Cot.pxdx = l^ n ^ e-i'>P^ Caucliy, Exerc. 1827. p. 141
-- 1"/' c*"" Lobatschenrsky, M^ra. Kasan. 1S35.
211.
Pagc 377.
WIS- EN .MATIIIIIK. VEilll. DEIl KOM.NKI,. AK.IUEJIIE. OEEL IV.
Ilrjmtiiig, Traiisf. II. S. 63.
4S
F. Expononl. c - . ^KMLE 280 suite. Lim. et oo.
Lire. Uir. cnt.
f 2 , \^^ , lliliiiliiig, Transf. II. S. b2.
25)/e-'" S<ii.{rx-).Cos.2sxdx= ^ — ~e^''?{qiSin.b^ — cCos.iif) '\69, 70.
2l/(p'+r^) Ua^=^p'+r'-,
"^ -r ■ J joil a" = i
\, = i/ilZL+l^(/i!±l')
1 y 2 '
F.Exponen.ir.n.l.in6mcae.xp.c±- ^ ^^^E 281. Lim. et oo.
Lire. Uir. on num.
fSin.px ^^ ^ _i^_J__ "^ Plana, Mom. Turin. 1S18. 7. IV. N". IS. — Id.,
'J e^ — 1 2 2p e-2/"r — 1 Mem. Turin. 1S20.
r Sin.px ^ ^ ^ _ i^ . i ^; Plana, M6m. Turin. 1818. 7. IV. 19.
'jex — e-x 4. 214-e-P'^
(Cos. p X
3)/ — dx = 00 Plana, Mem. Turin. 1S20.
J ex — 1
Cos. p X 1 e^-P
"Z _|. g-7VX 2 CP +
{Sin.px i dx 1 1
' Co
1
4) f — dx = , 7) <1 ^; Legendre, Eserc. 5. 45.
'J fiiri _|. g_7vx 2 CP + 1 ^
fSin. »j,€,«.* J. „ i
5)/ = -Cosec.p — — Schlumilch, Gr. 3. 9.
'J i e'^x.j.i 2 ^ 2p
f Cos. p X
6)/ i dx
'j eJff c -J. e-iTTx
ep -f e-P
Schlomilch, Gr. 1. 3G0. — Id., Beitr. II.§6. — 'Id., Stud. II. 19.
CSin. p xi dx 1
7)/ ; — = — Tana, p Scliloinilch, Gr. 3. 9.
f Sin px 1 cP 1 Legendre, txerc. 5. 45. — Poisson, Mem. Inst. ISll.
8)/ — dx = , p <Cn; 163. N°. 28.— Plana, Mem. Turin. 1818. 7. IV. I'.i.—
J e^x^e-^x 4 eP 4- 1 SchlOmilcli, Eeitr. II. § C. — Id., Stud. II. 19.
f Sin px 1 eP+ 1 1 Legendre, Exerc. 5. 48. — Poisson, P. 18. 295. N'. 25. —
9)/ — dx = ■ — — — Id., P. 20. 222. — Id.. M^m. Inst. 1811. 163. N^ 18. —
J e2irx_ 1 I eP— 1 2p Plana, Mem. Turin. 1818. 7. IV. 18. — Dienger, Gr. 14. 223.
fSin. pxi dx 1 1 1
10) I — , = — Cot.-p SchlOrailcb, Gr. 3. 9.
Page 378.
,,. ' r.. ' lAliLL 'iol suite. Lim. Oel oc.
Lire. Uir. en num.
1 1 ^ /' Sin.px , _ 1 J_ , ^ S. " Plana, Mem. Turin. 1818.
^^^je-_cCa-.).'^'^ - i'^-2p + e^/^'r_i-^ „. + („_ 1)2 7. Add.
f Sin.''px 1 (eP— 1)'-
12) / ^-— da; = - ^ V. T. 33. N°. 7 et T. 2S1. N\ 4.
f Cos.'' px 1 (e/' 4- Il-
ls) I ^- — cf .r = - ^^ — -i— ^ V. T. 38. N'. 7 it T. 2S1. N°. 4.
7 e'^ + e--^ S e2p + 1
rS//!. 2 ;) a;. .StVt. 27a; e-P — e-2/' c-7 — e--^
[Cos. 2pT.Cos.2qx , e'^P + e-^P e^l -\- e--l
4"' 2 «V + e-4/^ + e*? + e-*'U ,P < i ■^ , <] < \ ^■,
fSin.2px.Sin 2 ox eP — e-P el—e-l [ Poisson, P. 17. 612. N\ 21.
(Cos. 2 px. Cos. 2qx eP -\- e-P
17)/ —dx = —^
'J eTTJ _J_ g—TTX 4,
e^P + e-2/» ^ <;29 + c-2?
rSm. p T. Cos. qx \ eP— .
18)1 dx = ; ; ,f^ + ?<7r; T(l.,Mum.Inst.lSll.l63.N'. 28.—
■ girx g— w ' -" ' -— " ' -" ' - '"
rSin.px.Cos.qx 1 eP—e-P Poisson, P. IS. 2'Jd. X'. 21.
''- 7 ; , ; ,f^ + ?<7r; T(l.,ML•m.Inst.lSll.l63.N^2b.—
4 ep + e-/' + e? 4- e -^ Plana, Mem. Turin. ISIS. 7. TV.20.
F,li,xi).ennum.ctcnden.ljinomeacxn.(?=t". minri? 000 i- a .
p,- ' n lAULL 282, LiMj.Ooloc.
Ln'c. uiv. en num.
f el' „ 33 p
1)/ Sin.pxdx = :S , ' r T , 9 < ^r ; Poisson, P. 18. 295. N". 21.
^Je^r — e-^' ^ 1 {(2n — 1)71— 5)»+p» "'^ '
o\ /"*i!lll^!! C- J ^ Poisson. P. 18. 295. N\ 25. — Schlomilcli, Bcitr. 11. G. —
^'jei^'-\.e-i^^ ^"'^^ ~ eP — e~P W- Stud. 11. 19.
fe^P^+c-^ eQ +€-'} 1 Poisson, P. 13. 295.
Z) I Cos.qxdx = 2L0S.2 p,p<l--j\ ,,, „,'
' j ^^x j^ e-'^i^x ^ e''-1-\-c--'i-\-2CosAp ' '^2 N'. 21.
^ e2/'^ -j- e-2/-x e? + g"? ^1 Legendre. Exerc. 5. 14. -
*7 e-4..-.x ^<'*-25^«^-^ = ,2, + ,-.,+ ocW..t;>^''"^'''^2"' I'oi-O". ^- '8- 2^5. Xr 21.
g2/.i e—^px el e—1 1 Poisson, P. 18 295 X'.
5)/ Sin. <7j!dx = 2S«n.2p,p<-Tr; 21. — Id., Mt<.n. Inst.
■'y el"-^ + e-*"' c'? + c-27 + 2Cos.lp *^ '2 isil. 103. X'. 28.
, „ „ _ « 1 Leirendrc. l^xcrc. 5. 43. —
re2^_e-^. ^ ^ eT-c;:^^ 1 |^^,^ ,^3
''/ eirrJ-p-Tx ^ f29 4-f-2<? 4. 2 (7o« 2p '2 21.— Id.,M('m. Inst. ISU.
Page 379. 18*
,,. ' ,,. ' lAuLK io'i suite. LiMi. U cl 00
(-lie. IJir. cii num.
1 n
Sin.qxdx = tt + Plana, Mdm. Turin. 1818. 7. IV. 18.
^ 2 l_e-'/T
l)}—^
J e" — e— *
^) f'lll+Jll'' Sm vdr = i^^-^ Poisson, P. IS. 295. N°. 25. — Schlomilch, Bcilr. II. G. —
' I gnx e— «x ■"' '■ 2 gv \ Id., Stud. II. 19.
9)/ -^ Siji.ff.vdx = — ^ ■ Sclilomilcli, Gr. 1. 3G0.
ye"' — 1 ei — c—?
Poisson, P. 18. 295. N°. 21. — Id., P. 20.
fePx + e-p^ 1 el— e-l 222. — Id., Mem. Inst. 1811. 163. N'.
10)/ ~ Sin.Qxdx = - ■ ,7)^ <7r2;26. — Legend re, Exerc. 5.42.-^ Plann,
' I e^^— e-"i ^ -Z el + e'l + 2 Cos.p = Mom. Turin. 1818. 7. IV. 20. — Schlo-
milch, Beitr. 11. 6. —Id., Stud. II. 19.
11)1 Sin.g.vd.r == — ^j , p < 2 tt:
^J e2'fx_i ^ Ze^ + e-9 — Z Cos.p q' +p^{ ^
fe-px A. e[p-2r)x 1 ei — e-i ^°'''°"' ^^^'"- ^"'*- ^^^^- '°^-
^y 1 — e-27Tx ^ 2 (,'' 4- e--? — 2 Cos. p )
fel^ Si7i. px .2. P I
13)1 ^— «^.« = 2 — ' :(
'J e^^^—1 1 i2nn—qy+p^\
f e-I^Sin.px ^^ _ 1 1 (
'j e2Trx_i ' , (^^2n7r)^ +pJ I
Ce-i^'Sin.px 1 ^ « &'H.2''(j.Sm.2nqp„ ,^ ,^_1 Plana, Mum.
15)1 ^~— dx = <f — — Srn.o) — .2^- ; B2«_i,ouCot.(p = ; Turin. 1818.
7 1— e-^- - 2/> 1 21^2" p 7. Add,
/■gpr e-/Ji 5m. p Legendre, Exerc. 5. 44. ~ Poisson, P.
16)1 Cos.qxdx = r;r7r~'/^'<'^^5 'S- 205. i\=. 21. — Id.Mem. Inst.
J e'^^—e-'^^ el + 6-'' + 2 Cos.p = ISll. 16.3.N^26 (qui la trouve fautive)
— Plana, Mem. Turin. 1818. 7. IV. 20. — Schlomilch, Beitr. li. G. — Id.. Stud. II. lU.
Poisson, Mem. Inst. 1811. 1G3. N=. 25.
F. Exp. en nuni e-^\ ^ ^^gLE '285. Lim. et oo .
Circ. Dir. en don. trinome.
■/,:
L,/;il \
Cos. \x}yl
'i
00 2
1) — \^- '^-^' ^^ = ;r7^— :7T^77; ^ 9"
^ f ,1| , . 2(1 — 'j)!)/?' 1
22^04. Hx\^l-\ -\-q- K J) 1 '
I 91
s. \xl^l-
q) f Schlomilch, Stud.
I. 25.
Cos.,.,^ . ,
e-x' dx = , ^^ , "^^ — '2{—\)"(i"'
f e-px» 1 fl 00 _n^) 5r
3) / dx = r 1- + .2' q" e *p\ l^ ~ Poisson, P. 19. 404. N'. 51.
'jl — 2qC0S.X + q^ 1—q^ U i P
Page. 380.
F. Exp. en num. c •^'.
Circ. I)ir. on den. trinomo.
TxVBLE 285 suite.
Lim. et oc
Cos. \x\^ l-\ — q Cos. \zxV^ I -\
)\ i iL- )- ^.--- dx = --XX-n'O^q^t
J Y. " -■^— '•-> ... ^» I 1 „2 -^
O) 1
',qCos. hxl^l-} -\-q''
I (71
5)
Cos. \xl^l-\ -\- q Cos. \Sxl^ l-\
1 r 12
}1
J^os.
G) I ^ ^^— T ^-^ e-^' dx = - l-^TTtKry 2'(— IJTy"'
7)
8)
9)
1-.
1 — J Cos.
{^.v/^^j
= -l/^(J^9[n-I/{--.lx'(l-p'-)r'(?')]l
jCos. |2a;i/i-| + g^
1 l/TT 00 /g/'+U^
2t>^g
1 I/TT
{^-^
2 l^ 9-
Kuraiiicr, Cr. 1 7.
I'ln.
, oil partout on
trouve p ])ar
) Tuquation
+ 2 9 Cos. kxi^l-i +5*
Cos.|2a.ci/i- — rCos.|2(a-|-l).ri/Z-|
il)/_i ^ \. '-e-
■' \ — %rCos.Hx\^l-\ +r^
{-
1 , 1 2 » a
dx = -q" i/.T. .Sr"*^" -2("i,r-< 1
2 o
Cos.f2(a— 1>W i- — r(:os.l2(o+l)j;i/i-l
ri a) ' oil i^oo
12) I ^— , Y\ "'"' '^^=lfl'' I ^-2'r"7(2''+l
{
)*-2a(2n+l)^,.J^l;
•\^l-\ + r'
F.Exp.c ;-ouf '"'•),]'.n,i,c forme. T.VBLE t>81
Luc. I)ir. J
Lim. t>t x> .
1 , eP<l—e-Pl ,/'<7r; Foisson, V. 18. 295. N'. 20. —
dx = -Tttosec.p =^- „,,„,„
Co«.p 2 e?" — e-'l'^ Scbcllbacli, Cr. 48. 107.
f Cos qx
J C + «-' + 2 (
2)1 9^1 ,U = -^ ^"'■^''' ■ ./'<'»; roisson. 1'. IS. 205. N'. if,.
J <j' + e-' + eP + e-P eP — e—P ei^ — c—^"" -^
Page 381.
^- Exp.r"^;"ouc±-'. j j,.,^jj,.g fQ,.^jj, J ^,jLp^ 084 suite. Lim. el ao .
Cue. L)ir. )
3^ / Sln.qxdx = it — ■ Tlana. M^m. Turin. 1818. 7. IV. 23.
'Je^ + e-^—ZCos.p e'^r- — 1
r gx _L (j-i evi — e— P? \
■1) I ^ Cos. qx ax = — n Cot. n ■ ■- i
r^ f e' — e-^ c' „ ^. „ ePV + e-Pg i Poisson, P. 18. 295. N^ 2G.
5^ I oi7j. q.v ax = n \ '
'J e=^ + e— ^ + 2 Cos.p ei-" — e"''" j
6)1 Stn.qxdx = — — r-|
^y e2px + e-^-P' +2Cos.2qx p' + 5' 4l pj,^^^^ j„j_ ^^^ _ oi,n,_ ausw. 10.
f er^ + e-P^ . , P ■^i
7) I Cos. qxdx = — r — \
'j eV>^ ^ e-2px -(- 2 Cos. %qx ^ p' +9 '^]
8) I '^^ ' — —^ e—P^ dx = , k = 'x; Schlomilch, Beitr. I. { 4.
7 Sin.x 2 1— e-P'T
fCos.{(2k-{.\)x} , e-ip~ , ^ , T ,„
9) / '-^ ^ ' I e-P^ dx==[— IP n , ^• = 00 ; Eaabe, Int. 180.
7 Cos.x ^ ' l — e-P'^
10) p"-{(^'^ + lM ,-2,x d;. = -i + 1 -^^ Schlomilch. Beitr. I. § 4.
y Sin.x 2p 1 «■* +;)^
/■Cos.((2a-|-l).T) 2a + l , °, ,, 2n4-l \
.-(n- /Beitr. I. §6.
Tie — tP" 1 ^
12) = a = CO ; 1
7 5in..B a (2 ^ 1 j I
/■Cos.{(4Z'+l)a-) 22 l/Tifl 2/> _f:!V-) I'
14)/ — I ' e-" r rf.r = -^^^ - + .2'(— l)"e ^'^
7 Tos.a; a (2 ^ 1 "^ j )
fSin.qx — pSi7i.^(q — r).?-} da;
'^7 1 — 2pCos.r.r + p^ e^-f — e-''-'
Schlomilch, Stud. 11. 3, 4.
1 1 S, P"
4(l-?>) 2 1+^9+"' 1 ;t<7r;
fSin.qx — pSin.^(q — r)x] dx 1 loop" loop" J
7 \ — 2pCos.rx + p- (;2rrj:_i "" 4(i_p) "~ 2 « »• -f- 7 ~ 2 „ 1 _ el^'" [y!^11\
f Sin.q.i—pSin.{ (q-r).r] e^ ^ + g -^x ^ 1 « 1 + 17+"'- Cog. X ( ^^^■
7 1 — 2pCos.ra; + p'^ e^'^-e-^^ ^ ~ 2(1— p)~ l + ^e9+'>r Cos.X + e^i+^'>'-^ y?^l■^
fCos.q.i- — pCos.[{q — r).;) e"/^ — g— *' cc el-^"'' p" Sin. ). Uautive ;
7 1 — 2pCos. r.i- + p^ e"^_e-ir^ ' ~ "^ 1 + 2 e'?+'"" Cos. ^ -f e2?+2"'- /
Page 3S2.
F.Ex|).c^-ouc±-\Lj,^^^^i.^^^i.ij^^ TABLE 284 suite.
Lire. Dip. j
Lim. Oct 30
f 1 — pCos.rx e,^" — '-'"^'^ ,
yi — 2pCos.r,i' + p'^ e'^-^ — e-'^'- ' ~ e'"" + 2 Cos. A + e— '"•
20) / = T ^an^- - ^ + -2^ -
7 1 — 2 p Cos. rjc + p^ e"^ — c-'^-- 2(1— p^) ^2 1— p^ O'
e'lr _)_ 2 Cos. A -H e-
-"^x Cos. r X 1 ^
dx = 2
Cos.^rx + p'^ e'^^ — e-^x"" 1— p^ o e['^''+'^> -\- 'l Cos.l + e-i'^^+^Y
'(t'),^+e->^)Sm.rj;.Sm.^— (e),^ — e—'>-x)[e — Cos.rxjCosX d
C" — 2 Cos. rx + e—''
Poissoi),
P. 21).
222; ou
c- 5 f 1 21 ctait
V Ifautive.
p" Si'tt. X
gitr—g-it': 2(e— »•— i; oe'"'+2Cos.?.+t'-"'''
23)
i
(e^'_l_e— >^)5in.ns.Sjn.X-i-((>^ — c-''-t)(e''H-Cos.rA')Cos.X c/x Sin. I <» ( — l)".S'm, A
e''+2Co5. r.r + e-''
-^
gnz^g—irz z{e~'-+l) oe'"'+^Cos.X+e—
F. Expon. d'aulre forme.
Circ. Dii'.
TABLE 285.
Lim. ct 00
/*,/,_. , Sin.'n—Cos.'n ^ (2 o)2«
\)\e~^-^<i^Sin.xdx = ^-^^ ^\y--qn-\-2:{—\Y — ^--^ —
o' '(2n+l)2"l
)/
Cauchy, Sav. Etr.
2)\e-^ '^'i^Cos.xdx
5«n. i 7 + Cos. > ,; _ ^ _ « _^^^ (2^)2'>+l ( 1827. 124. Note 3.
3)|e •''S/n.(2fy=a;=')<i.2; = e-^-l'l u^ n
4) I e "^^ Cos. (2 5* ^^) d r = e-2/'5 i^ tt
^ (2n4-2)2''+i/i
Sin. 2, pq + Cos. 2 pg
Sin. Zp(f — Cos. 2 pq
Iq
.5) f(;~''~^'<P'+g^5m.( , /, ^ \ dx = ~ i/ne-^"PSin.Zbp
'J i^'{j^'+^')] 2 ^
f5) /'c-''-''^P'+9*'Cos. f /"'^ 1 ci.. = - I ' ^ c-2"P Cos. 2 ip
llelmlin;;, Transf.
31—38, "65», 75, /O.
, oh partout
la=i/ ,
2 ?>
7 ) / c~'" ~'* Swj. {rx'-) dx = - c-^ci \/ — {bCos.2bq + a Sin. 2bq)
«)
9)j,
10)
= - V/ - 6-2"? 5tn. ( 2 i 5 + - 9 ] ^/ Co*. »
! '"' '^* Cos. (r.r») <i -^ = - c-2<"? [/ -^ (a Cos.2bq — b Sin. 2bq)
-p+l y+r')
6=1/
Tanj.'i = -.
P
= -jz-e-s-^Cos. (2i7 + -a.]v/Co».(j)
Page 383.
F. Lxpon. (1 autre forme. t-^dii? oo- •. in.
p- ' iv lAULIi) 2oo suite. Lini. ct oo .
Lire. Uir.
f —„^T'ro<:'>\—-!!',- i^ n \ llelmliiiK, Trniisf.
11^ 1, ; X tos..x 4xig-^^^p:,^2Sin.2X)dx = ^— e-P9Cos-^ Sin. {X + p q Sin. X) ^i_sg^ ^g.^ 75^ „,
J P I , oil partout
/■ 2 2 ?A_ / 1
U) e~'' ''^"'■-'^~*''' Cos.h)^ x^ Sin.2X)dj: = ^— c-PI^^'"''' Cos. {X + p q Sin. X) 1 . p+VJp'+r*)
13) fe-P^^^--i^^ Sin.lr '^]d. = l^^-^^. e-^-i^.+P) Sin. \Uq+r)+l ,1 L. .rZLiJl^A^^J.
J \ x^ J Z p (.2 * J I 2
1 4) ffi-'' '''--I^--k^ Cos. (t ^\ cZ.1- = - ,/ ^1^5^.e-2(a?+/') Co.. |i(6?+r)+i <^ } jTang. cp =-.
J \ x^ j 2, p (.2 / P
^-^f-p(^'+x\]c■ ( / 1 , M) ; ' nCos.2q> \ Helmling, Transf. II.
la}/c' '[ "" JSin.lq{x^4-~\\(/x=-\/ .e—-PStn.{q)+2Tang.2q}\Q g,
J [ \ ^-l> 2 p ' '
IG) fc~''(''-^^)Cos.Ux-^+^\ ba: =-i/^^^^.e-^PCos.{^+2Tang 2,,) j , oi<p = ^ Arctang.l
l'!)j{e-'^Cos.{2pi^a;)—4:pe-='^Sin.2pa:] dx = 1 Helmling, Transf. 16.
f _(i+i,i3-' +(x-t,;2a f , ,, 1 J j,2a _ f ^, _ ;, t\2a) 1 n\ Cauchy, Sa7. Etr. 1827.
18) /e 2 Cos. r ' ^ ^ d.r = -r — 599. P. 1. § 2. d'apr^s
J 1 2 ) 2a \2a/ T. 36. N". 12.
19) /'e~(P'^*+^) ;SJn. (r .;■* + -^l ^^ A' = ^^ ^--^ 5m. cy ^
20) / c~0'^''^^) Co«. (r .«2 + — \ dx = ^— ^ <J-^ Cos. cp J
y \ -^ / 2a I
■Helmling, Transf. II.
,-,,/■ -(/-'+.') ^. / , M , l/^_/-c- , Is. 87, 88.
21) le ^ -'Ci«. rj;^ — — \ dx ==■ e—J oin.xfj I
./ \ x^l 2a I o^^
r ( 1 -1\ / - \ 1^71 la* = ;;^ -}- r- ,
22) /c~^'"^ '^^''Cos.\ rx'-—~\ dx = •'^e-/Cos.v^ 16* =5^ + s'^ .
2.3) / c"^'"" "^^'-^ Sin. (r a-^j. Sk. f ^ ] dx = ^— (e-ZTos. ./; — e-<^ Cos. q)\ ^' ^'
-' l-^ / '^^ U ^ ^"Ardang.i,
2 1) j e"^'"'''^^') 5/«. (r^M. Cos. I~\ dx = ^^ {«-<; Sin. <p + e-/&n. vob = 2 a6 Cos.(«+|?) , -
7 1*7 4« l^=2ri6Co.?.(«— I?),
/• /' i,-l\ /j\ i-^-r l'p = 2aW^i«.;«4-(?)-}-«,
25) /e"^'"' '^''^J Cos.{rx^).Sin.i—\ dx == ~ {e-'^Siyi.q — e-f Sin.y')h- =^abSi7i.{a—li}-\-a.
26) /"c~^^''+^) Cos. {rx'). Cos.l-^] dx = ^^ («"' <^''^'-'f + e--^^"*. v)
Page 3 Si.
ip
F. Exp. (1 autre forme. Ttniiroo- •. in.
r,- ' n- lAlsLh 280 suite. Lim. et oo.
Circ. Un\
27) j e-/"' (£2?^ -1- e -2?') Sin. (r x^) d.r = ^^ ra^'^^^-^'iSin. /*- &n. 2 «\ 1
•' a \a /fllelmllng, Trr.nsf.ll.
28 1 / e-P' (e2?' + e-29') Co«. (r .r^) dx = e ai ' Cos. \ Sin. 2 « j ]
, ou a et a out les memes valeurs qu'auparavant.
29j / e-v^' f e27x Sin. Ir x- — 2sx)-\- e-^9^ Sin. (r x^ 4- 2 .1 x)] dx = ^ e'' Sin. <i\
J ^ a I Hdmlinp;,
Transf. II.
S. 6
3.
'dOjje-P^^ [e^l': Cos.{rx'^ —2sx) +e~-<i^Co3.{rx'^ + 2sx)\ dx ==-■ e'"~'os. (i,\
o'+s^ f r s)
, oi\ a* «= n- 4- r* , b = — ,.~~. — ,.(^'os. {Arctang. Z Arctang.-} ,
?* + *' r- f 4 *■ * I ''
(f- = 7-;; Sin. {Arctang. 2 Arctang.-, -\- Arctang.- .
i^(i> +r-) i p q> q
^'- p.^f- n- . TABLE 280. Lim. — 00 et oc.
Luc. Uu'. ent.
i)\e-P^''^^ Cos.qx.Cos.r.idx = ' -f Cauchy, P. 19. 511.
} p-' + C'"— 5)' /'' + ('• 4-';)'
[ 1 i 1 -P"-
2}le~1 ^ Cos.pxdx = - e *q' \y' n CaucLy, Exerc. 1827. p. 233.
; ?
Z)\e-l'^ ^"^ Sin.pxdx = Caucly, Exerc. 1827. p. 233. - Lobalto, Int. 68.
4) I e— 9 ' ' Sin. {p(a; + A)) (7j; = e ^j* Sjn.pA
1" s
b)je-i ^ Cos.[p{x-{-).)]dx^ e *<ji Cos.p).
6}le-'*Cos.2pxdx = e-p' i/tt]
, 1 ;' Fourier, Chul. 375
7)/e-9' Cos.pxdx = e 4q i^ - y
J q 1
^ 3 J J ! V. T. 286. N^ 4, 5.
Page 3.S5. U
WIS- U> .^ATlIURK. VEllU. I)ER KOM>hL. AKA[)E>IIE. UF.EL IV.
Lobatto, Int. 6S. ou ellcs sont fautives.
5. — Caucliv, I'. 19. 511.
^•p^^'^n- . TABLE 28G suite. Lim. — ooetoc.
Circ. Uir. ent.
/, _a-i jy
cl'^'>Cos.axdx = (1 + i) e *i> l/' - Cauchv, V. J 9. 511. — Scliaar, Mem. Brux. T. 25.
2p
11) I e i)in.(px-Sm./.-\-2qxSin.u^rSiJi.i')dr, =
== e p Sm. {-?.-{- Sin. (A — 2 u) + r5i?i. /»[ l^ -
[^ P > P
.a.f—iP^^Cos^ + i^xCos.fi+rCos.v] 2 f 5 i o c- 1 c- \j
1 2) I e Cos. {p .r* oui. ?. -\- Z q .v Sin. ^i -\- r Sm. v) ax =
== e p Cos.{-?.-{- — Sm.{l — -Z n) -{- r Sin. v} h —
[^ P ) P
f 2 p{g'^t'^)+^qii ( (q'^ t^)s 2pQt 1 si 71
13)/e-'/'-«^ -r')^+'-)Sin.{sx^ +tx-\-u)dx=e:->-+ 4(/)!-«j) AwJm-|--- (-f.^-Arctann.-\ ]^
J \ 4(p^+s^) 2 pi p2^,»
f 2 p( q-—r)+2qst ( (q2 ^21^ 2pni 1 Si Tt
l4)/e-(P^ +9^+')Cos.(«j;- + te+w)ci!^=e-'-+ 'vy^-si) Cos.Xxi^- ^-^-Arctamj.A \ ■ —
I \ l(;;.2 + s2) 2 i,\ /j^+»»
\^\e-P^'^Cos.\Sxn.{^px'^Sin.X) dx = Sin.- l\,^ -
J 2 p
Sur form. 11) a IG) voycz : CaucLy, Exeic. 1827. p. 233.
F.E.vp.ci--. ,p^^gLE 287. Lim.Oet-
I) 1 6(9+^)''' Sin.'i—^ X d X = -et?!^' Kummer, Cr. 20. 1
J 1
2)leiP+9)'^'Sin.1-^x.Cos.P—'^xdx = ei1v'B(p,q) Serret, L. 8. 1.
3)/e2iSm.>:rda; = -{3e^~l) Eogner, Mat.
4)/(e29i+e-2?^l(7oj.2*a;(ia;=-^^ ]^ Lobatschewsky, Mem. Kasan.
J 226+1 r(6 + 5i-f- l)r(6 — jt-f- 1) 1835. 211. oil die est fautive.
Page 386.
F. Exi). a exn. (Ic Ciircul. I)ir. -rtniL-'ooo i- a »''
Luc. Dir. cut. 2
1) I e-''S'"-^- ^in. 2xd .c = ~{{a — l)e"+\)] V. T. 112. N^ 1.
o^je-Sin.-xSin.Zxdx =1 — - V. T. 112. N°. 2.
S)le-C<>'-^Tang.xd£ = ^ V. T. 112. N". 4.
4.)je-'iTa,,gx(lx = Cj.(j).S(n.9+ Cos.q |^ — &". (y)| V. T. 130. N°. 3.
l))le-i'Jang.xTan<j.xdx = — Ci.{fi).Cos.q-{-Sin.q\- — Si.{fi)\ Y. T. 130. N". 5.
i (e?5in.x — e-75/n j:) gin. (q Cos. x). Sin. 2axdx = - n
1 (_l)«-lfy2a
) I ^ ' ^' / o ]2a/l
7) / (e'!^'',i .r_e-v«« x)Cos.UjCos.x).Sin. [{•Za — l)x} dx = ~n —
J 2 12«-1/1 I p^jggjj,j_ p_ pj ^y^
/■ 1 (— l)a-l „'ia-\ ( ^'- 77.
8) / (e'?-''''"'^-j-fc>-'??'''-')-Sm.(9<:os.a;).Co5. ((2a— 1)^;} di; = - tt ^^Z^i
1 (— l)«52a
/• 1 I
9) I (ei*'-' + e-'-5in.x) (Jos. (^Cos. x). Cos. 2 axdx = -n-
12a/l
F. Exp. a exp. de Circ. Dir. ^ ^^^E 289. Lim. et I
(.lie. Dir. cii don. bm. v,x. 2
f dx
1 ) / e— /' ^""ff-^ ^;t— ^ = en V. T. 126. X». 2.
Sin. 2 «
Tanq.p x 1
-— ^ dx = -r{p) , X >;,>-! ; V. T. 113. N'. 3.
om. 2 j; 2
2) ie— To'ia*
/" _ Tanq.p x , 1
'J Sin. 2x ZqP "
f ^ 2 Tang.^<'x . 1
4)le-p7'ans.^i- -*^^ dx = 1"-'/! V. T. lU. N^ 9.
V 5in.2ir 2<»+ip«
r .^ , 'laug.^<'+^ X 1 1"'2 TT
'J Sin.Zx 4 (2/>)'« /»
/_ _ Tanq.p X 1
e-Tang.^x ^! — da; = — V. T. 115. N". 3.
5m. 2* 2p
Page 387. 49*
F. Ex,,, a cxp. (le Circ. Dir. ^^^^^ 289 suite. Lim. et I
(,iic. Dir. Pii de n. din.Ix. 2^
7)le-Tan,j:--x^-^^'''' dx ^ ^l/TT V. T. 115. N'. 3.
'J Sin.'Zx ip
8)/"e-,r<.nj.«i?^!!^:!^da; = -^r(p) V. T. 113. N'. 9.
'J Sin.Zx ZaqP ^^'
Tanafif>x 1 */i
V. T. 116.
9)\e-Ta'>3
f TanaP x \ 1 V 'P
11) /e-«;rani,.2»+Co«.*x) ^ da; = -e-29 1/ - .2" ; '^- ~— — V. T. no. N". 8
'j Sin.lx 4 q (2?)" Z"!"/'
fe-Tang.x COS^ X 1
12)/ ^;r-ri da; = — -A V. T. 133. N% 5.
Sin. i X 2
/•g— Tang.x g — p Tang.x \
13)/ dx = -Ip V. T. 127. N^ 3.
Sin. 2 a; 2
Ce—pTang.x — g—qTang.x \ „
14)/ dx = -l~ V. T. 127. N°. 4.
0!/i. 2 a; 2 />
f
15) \e-T<^9'^x-—^ — := " x^n
'] Sin.^lx 8
dx Z \
V. T. 290. N=. 2, 3,
16) / e—Tang. x -___ _ J j. = -V^n
8in^%x S
F. Exp. a exp. de Circ. Dir. ^ . „, ,, ,„,.. , . ^ » ^
CirUir.enden.auneautrefonct.mon. ^^^^^^^ ^^^- L.m.Oet-.
) L-Cor.
l)le-Coi. X --— — = -1/71 V. T. 36. N^". 7.
aSw.^ .i;
dx
iSm.^ a;
d.-?;
Cos. ^ a; 2
0)je-Tang.^x ^ ^ = |^ j^ y. T. 126. N°. 3.
ON /■ T 2 d.r 1
^ r _, 2 Tang^^x , l«/2
4) \e-Tang. x -^ dx = P" 71 V. T. 114. N». 7.
J Cos.^ X 2a+i
5)ie-Cot.Vj: ^ =\^Tt V. T. 126. N\ 3.
J tos.^ X
Page 388.
2 dx 3
Cos^ X 4 ,
V. T. 290. N°. 3, 6.
F. Exp. a exp. (le Circ. Dir ^^j^LE 200 suite. Lim. et-.
Circ.Dir.orulen. a line a utre fonct.inon. 2
6) L-ranj.'x ^'^ dx = -l^n V. T. 2<J0. N°. 3.
' / Cos." a; 4
'jJg-pTar.s.^^^^^da; = — I/- V. T. 114. N^ U.
^J Cos.* X 4ip p
8) jd-T''"'?-^^
/• ^ 5 Co«. 2 T , 1
'J Cos.* X 4)
10) (e-iCoi.x ^L- ^ _ Ci.{q).Cos.q + Sin.q \- — Si. {q)\ V. T. 130. N'
j Tanj. X (.2 J
11) ff— S'"-^ ^ = o3 V. T. 112. N". 4.
/ Tang, x
12) ie-pTang.x ^^ = i j g-P £"«. (/') — fP JE/. {— p)] V. T. 130. W. 10.
^ j Cos. 2 a; 2 ^ ^ ■'
13) \ e-pTang.x -°il^— ^ _ fe-p £«■.(«) + fP £i. (—«)) V. T. 130. N". 12.
' j 6'05. 2 .r 2 ^ ^^ ' ^ t I)
F. Exp. a OXn.do CirC. Dir. Tinrr'tini I • A .. '^
(jic. Dir. ciulcn.a plus. tact. mon. 2
1) A-P^-'-^TT-r^^; = - l{e-PEL(p) + cPEL{-p)} V. T. 130. N^ 12.
J Cos. Ix.l ang. x 2
^je-Cot.x ^^_^:;, _ = 1 r (p) , 00 > p > - 1 V. T. 113. N^ 3.
2,)\e--iCotx——^Ll——— = ;;^r(p) V. T. 113. N^ 5.
dx _ 1
Sin. Ix. Tang. Px ~ 2
dx I
Sin.2x.TangJ>x ~ 2qP'
1) /e-Co*.*x_ "'^ ^ l3<i-2/i V. T. lU. N». 4.
J Sin.Za'.Tang.^'^x 2
,, /" ^,2 (/O! 1 l''|2 TT
6)[e-pCoi.\ ''■'■
7 -Sj>i.2.r.7(i
Wn. 2 X. 7an5r.2a+' ai 1 (2 p)" p
la- 11
. 7an(/.2<« a; 2''+'/)<»
Page 389.
l^n V. T. 114. N'. 9.
F. Exp. a cxn. do Circ. Dir. -rimi-' om •. i • a . '^
r- T\- \- \ r . TABLK 'iOl suile. Lim. Oet-.
Lire. Dir.oiuk'ii.apliis.laol.mon. 2
7) fe-Cot.-Px— — — 1/ 71 V. T. 115. N^ 5.
/ Sin. 2 X. Tang J' x 4 p
8) /e-Cor«x-__Ji:l-_- = ~ V. t. 115 N^ 3.
'J) j e-lCot.'-j: ^"'■"' ^ = .^-i-_.r(/,) V. T. 115. N?. 9.
10) I e-Coi."'x- ^^"••'^ == -±^ p" V. T. 115. N". S.
d.t J_
Tang.'i x. Sin. 2x 2 (/
J.r 1
Tang."P x. Sin. 2 x 2aqP
dx. ]_ ,'„i
Tang."'' a. Sin. 2x 2ab
V. T. 116.
''^j'-''^""'''-'"'-''Tang/x^Sin.2x = ^^P) ^'^^ -^.?) + ^(-P)5''^'a+/'.5) J^.'s.
12)A-.;ra„,.^+Co..^) ^ = i.-29,/^i J- (^-" + 1)^"^' V.T.116.
7 2an£r.2a+i;r.5in.2a; 4 f/ 0(25)'' 2" l"/' N\ S.
F.Exp. 0.1 den. polynome. TADLE 292^ Lim.Oet^-
Lire. Uir. en num. 2
, r dx 1 ( 1/24-11
^)It^ ; — 17^; — = ; ■^^ — ' -^—\ v. t. 13s. n\ 17.
' I g\TtTang.xJ^e-ivTang.x 2 1/ 2 [ J,/ 2 ij
2)/-r^J^ , Tt = ;;^2 V. T. 138. N=. U.
' j gkn Jang. X J^ Q—liTT fang. X 2
3) / "^;: ; ^ ' = V. T. 138. N». 2.
— = dx = ]>Coi.p ■\-- Sin.nl {in -j- Co5.»)),7r>/y>0; Vo ,
,, f Tang, x 1 1 ,^2 + 1
'JetTtTang.x — g—ivTang.x 4 4 L-^ 2 1
^angr. X , 7r — 2
dx = V. T. 138. N\ 16.
ivTang.x g — irrTany.x 4
f epTangx ^ g-pTang.x 1^1 I +Sin.p 1 V T I Sfi
J ehirTang.x — e—^TrTang.x ^ ^2. 2 1— 5in.p = =2 ^ • ^^■
repTang.x_e-pTang.x \ 1 1 -f- Sui.« 1
^)/t^7v;; T-^jr - rf.r = -nSin.p Cos.pl ~ ' , 0<»<-t; V.T. 138.NM3.
'J ei-Tang.x_e,rrTang.x 2 ' 2 ^l—Sm.p ='=2
Page 390.
F. Exp. en den. polyiiome.
Circ. Dir. en num.
TABLE 292 .suite.
Lini. et-.
fgl>raiigx^e—pTang.x^ 1
I — -; 2'ati(i. xdx = -
I gTtTamjz Q—Tt Fa
Tang, x
l{pSin.p-i)^\cos.pl[l{\JrCos.p)],Q<2^<^^\Y:lt^'
I
1'
^ —dx = -( 1- /2) V. T. 13S. N'. 12.
•Q{Tl—\)Tang.x — eO'—z)Tang.x oo Sin. Til
11) / ~,-^„^j t::,;^^— dx = ^^ ^_^ ^ , a^ <.^ v. t. i,38. x . 5.
gitTang.x g — TtTang.x
fei^-'X)Tang.x ^ ea-'^)Tang.x
'I gTiTang.x g—7rTang.x
1 <» Cos. « A .
Tang.xdx = - 4- ^ , ;i» <7r*; V. T. 138. N^ 8.
Tana, x 11
lo) / — dx = - A — - V. T. 138. N^ 1ft.
Tang.x 1 . 1 1
dx^-lqJr — Z'(l+7) V. T. 138. N°. 11.
F. Exp. en den. |(0lyn6nie.
Circ. Dir. en den.
TABLE 205.
Lim. et-.
/ ^
J . 4
1 ) I 5rC^
e * +2 6'os.
tC'os.x ttCos.x
e'^^'^'+e- -'^ lnSin.x\ 1
„. . 5r Coi.i Co*. ; — dx = -71
7T Sin.x\ . _— ;; — \ 2b 2
2b
+ e
2) I ttCos..
^Cos.x TrCos.x
„ „ , nSin.x ,
e " +2Cos.{ — ; — 1 + e
ttCos.x
—' 4
^ nSin.x\„ „ , {— 1 ''*/^\2''+'
<7o8. — \Cos. 2axdx = ^ '—I — B.„
\ 26 / 4.12«'\26/
. Sin.( — ; — lSM».((2a— l)a;) . „
( \ b I ^^ ^ ^_ ^ _ (nl)°~ ^!!nl a / ''\
■^)j ttCcx lnSm.x\ ^Cos.x'^'^ — ^2a-\l' Sa U
2°Bo,_,
It Coax ■aCos.x
Sm^ir\ "rto*.! Sin.
e ^* -e" -*
1) / tC'o*.
lnSin.x\
4.12a 1 \2b ^
■i) j VCo».
tCos.x vCot.x
(— 1)''->2«« — 1 /rr
e " 4- 2 Cos.
Trim. a;\ _ — j — "-^ ' ' \2a—\l\ ga ^6 '
2a
Poisson,
P. 19.
404.
X^ 77.
d'aprcs
T. 120.
N». 14.
18.
I'age 391.
F.Exp, en den. polynomc. ^^p^t: 295 suite. Lim.OetJ.
Lire. Uir. en den. ^
f Tana''x dx 1 <» { — 1)"
6) / - ^ = -r («) 2 ^ '— V. T. 117. N^ 16.
>j eTang.x ^ 1 Sitl. %X 2 (« + 1)''
^^\:^^^}il^J^^\^,.^^-^— V. T. 117. NM7.
7 eT'o"?-' — 1 Sin. %x 2 ^^^ (« + l)"*
8) f 1^ ^-^^ i. = '-^' 1(-1)" f^V" ?^"-±; V. T. 138. N^ 21.
r__l ^i!^^^^ _ ~i-(-l)" {-^''b.^+i v. T. 138. N". 22.
10) f L_ ^!!i:!^ ,, = !l! 1 (i^^y B,„-,. V. T. 138. N». 20.
' j eiTang.x — 1 Tang.x 9' \ 3 /
e-Tang.x .^ \ Sitl.Z X ^^\{^-\t ( ^ "*" ^ \
pr..,.._,-,r..,..). .i5_ _ _ 1, (,,Co^5-) V. T. 134. N». 8.
13) f- ^: ^^ = -r(5)l-^^^^^ V. T. 117. N^ 16.
14)/"— i ^^ =ir(o)i'-^— V. T. 117. NM7.
'j eCoi.x _ 1 ran^.« x. Sin. 2 x 2 ^^ ^ (« + 1 )'
' j ePTang.x J^ e-pTong-x Sin. "i, X 2 M^p J
fgq Tang.x A. g-1 Tang.x — 2 (Zx 1
IG)/ — -- -- -ISec.l V. T. 136. N\ 12.
'j e''Tang.x^e-^Tem9-x Sin. 2 x 2 2
rlenTang.x — g—qTang.x) ^x 1
17) V-^ —li; = -ICos.qn V. T. 13G. N'. 3.
'7 gTang.X Tnr.n ^ c.-.. o - o '
e-Tang.x Sin.2x 2
/" Tang.1 x dx T fo) x iSin. »i ?.
18) / ^ — — = *^^ ^ f— 1)"-' V. T. 137. N'. 3.
^y e^«"S-' + e- Tang.x j^ 2 Co«. X Sin. 2x 2 ^m. ?. , jW
Page .392.
F.Exp.cnnum TABLE 294. Lim.OetJ
Circ. Uir. en dfii. trinomo. 2^
ne^os.^P+(e-^'Cos.x)P^^^ _ n l^^y Serret, L. 8. 489.
7 Cos.' X + q^ Sin.'- a: !? \'/ + '
e-pTang.x 1
d.V = -
-Sin. 2x + qCos.2x -{-q 2
gr-pTang.x I
"/^ -'— -■ ^"^ = - ^«.,-.(-.,) V. T. >.. ... .
/• (T-pTang.x \
y 6jh. 2 j; — q Cos. 2 x — q 2
r e—1'Coi.x I
Sm. 2.V -\- q Cos. 2x — q 2
1
d.v = —-
.2x-\-q 2
V. T. 129. N'. 9.
[ e—1'Coi.x 1
4.) I — d.r = e—riEi.ipq)
' j Sin.2x-\-qCos.2x -q 2 ^'^ '
f e-pCot.x 1
5) / ;;: dx = — -ePiEi. (—pq) V. T. 129. N'. 3.
J Sin. 2x — q Cos. " - ' - "
[ e—pTa"9x Sin.2 X 1, „ „. ^ V T 294
6) / dx = {e-v<}Ki.{pq)-\-eP'iEi.{—pn)\ I:. ^ „ if*-
'j{\—q^)-2q-^Cos.2x-{l+q^)Cos.''2x 4'- ^'^^'^ ^ '''^^N.2. 3.
>j{\—q^)J^2q^Cos.2x—{\-^q^)Cos.^2.v 4^ ^^^'^ ^ /'/^Z N». 4, ;>.
*^r''''"n- ^ f • . TABLE 295. Lim.Oot^.
Lire. Dir, dc lorme irrat. i
f ^ dx\y Sin. 2x n
l)le-Tang.x . = ]/ _- V. T. 112. N'. 6.
'J Cos.^x 2
f „ dx \y.^ Sin. 2 x n
2) \e-Cot.x = l^ - V. T. 112. N^ 6.
'} Sin. ^ X 2
f — ' Cosee.ix 1/ Sin. 2x 1 + (7
3) le g"^"""-"!:! rf.,. = -ILIzi^qn V. T. 139. N^ 7.
/ Cos.' a; l^e
^) I e-iTuxgx —-^ — __ 1^ -IL V. T. 140. N'. 2.
Co*. X l^ Sin. 2x Zq
f —-Coiecix dx V^qn
J Cos. X 1/ Sin. 2x }y e
7 Sin.xxy-Sxn.lx li^ e o 2''2 ^ ^' \
7 S.'n. 2 .r. Tan,j.''-k x 2^ e o 2»/« ^ ^ '
Page 393. 50
WIS- E.N .•SATLX'llK. VEKII. DF.U KOMKKL. AKAIlEMIE. DEEL IV.
V. T. UO. N'. 11.
''"• CiT'l),,-. .io fonno in»L GARLIC -.05 sullo. Lin,. .-i l
... i — Cosec.z
«)/« ' ^;
J I ang. x
s I — Sec.x
7"
Xy- [Sin.x{\—Sin..c)] ~ V^-g
, , — „^^ ^ Tana, .v l^ 9 t
' l^ {Cos.x{l — Cos.j-)} ]ye
dx 1
Cos. X 1/ Sin. Zx Zq'
V. T. 130. N°. 1.
10) I e-r{^<">9^+Cot-x) — Jl:!_____ ^ _^ g-o,^ j^ 2 jj. v_ .|- ,,jo. N'. 6.
11)1 e—pT^'ng.x—qCot.z
7 (705.
•= e-2l P7V/— V. T. 140. N\ 9.
r 1/ Sin. 2 .r 2 p
dx 1
5»i. .r 1/ Sin. 2 A' 2 y
7^ « (g — w)^"'' V. T.140.
2p oZ"i-{^\^pq)" ^"- ^^•
12)le-9-(ron5x+CW.j-)— "*^ = ^-e~-9'i^2n V. T. 140. N'. G
13) le-prang.z-gCot.x -^^— = {^-\ ^\-^-Vp1 L^ — 1
J Jang.o.v.Cos.xl^ Sin.Zx \qj 2p o
l^)/ ,T-.„.. ■ ■_7>„„., ^. ■ ,o. . = l^-^ y ,. V. T. lin. X'. 19.
e- Tang.x Cos. .V 1/ Sin. 2.v 2 o 1/ (2 n -|- 1 )
1 dx 1^ 2 7r «
eTaog.x^e-Tang.x^l Cos..vi^Sin.Zx 2Si7i.l7i 1 ' i-^n
, , , I 1 dx \y 2 7r « Sin. inn-
la/^; ; r = ^(— 1)"-! ~ V. T. 140. N". 20.
"circ ■ pir TABLE '290. Lim. et t.
Diens;er, Cr. 34. 75. — Sclilorailcli, Beitr. I.
j 8, 10.
\)\el^Sin.pxdx = , ^ A l — cl^ Cos.pn) 1
2)jcl^Cos.pxdx = , _^ , (e?^Co5. p7r—l)\
3)|(e9x_^e-9ur)(7o5.p.^tf.i. == - ^ ^ go^.p TT (e9a" — 6-?^^) Schlomilch, Stud. II. 6. — Id.,
i (J^TT — qTT
i) I (e^^ — e-l'^) Sin. p X d X = (_l)p-ip — ^ Schlomilch, Beitr. I. § 10.
J P*+?*
5) le'"^Sin.'>xdx = r^— /^qT^T c / . . r Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1835.211.
:.. 8. 489. —
Page 394.
^^r^}'.,. TAHLE '29G suile. Lim. Oet^.
/I p"
ei>(-^<'^xSi}i.(pSin.x).Sin.axdx = — n - -
10
11
12
13
II
l.^
If.
17
IS
21
1 ( Poisson, P. 19. 404. N\ 77. - Schlom-.lch,
f ^ P" I
I gp Cos.x Cos. (p Sin. x). Cos. a.vdx = -tc^~ I n ^ \-
J 2 l«/i ( ' /^ ^ ^ '
f 1 [ Poisson, P.
jep'-«'-^Sin. {p Sin. x) Tang.- xdx = n(l—e—l')\ Beitr. II. 1.
f 1
I epCos.x Sin. (p Sin. x) Cot. -xdx = tt (e/' — 1 ) /
f dx 1 \
I ei>Cos.xSin. {p Sin. x) -~ — = -n(eP — e—P) \
J Sin. a: 2 f . - / i
,Lp(:os.xCos.[pSin.x)-^ = a, i '^ *'^°"V'^ '"''"*• PO""" ^^T^Sin.p.
f r- ,3 '^^
J Tang.^"x.Sin.2x
le-Co,'-x. '^^ 1"'-
Schlomilch, Beitr. H. 1.
= V. T. 142. N\ 9.
Tang.^<'+^ x. Sin. 2 .r 2°+'
bSin.x , ,^__ . 45,
1/ n V. T. 142. N\ 8.
T. 146. N'. 3.
j {c'.S.',.^^c-pS.^.^)[c P ~Sin.[.v+'^ye T Sin.L^^] ]cos.(pCos.xdx
p \ I (2n+l)(12«/l)»j[C'-*2
if</{Cos.px-i.Cos.gz)Co8.{a''Sin.px).Cos.ia''Sin.nx)dx = -nfl^^ -^—1
L-pTa.y.^x-,C.:.x'lp^^.j,,. = ('l\\-.U'p,^-± (—-r-"^' V
J Sin.' X \pj ,j l»i(4,v./p;)'>
f eP'""'-': Cos.ipSin.x) n /'?-=|
lco7^T.^^Sin.^]-x'' = r ''"'' '• '• '''■
fSin. (q Sin. x). Sin. x or \
I- cl^'^'dx = — (ePi \\ I
;i-2pCo5.ar + p» 2p^ '/W>'<1;
/ Co*, (q Sin. x) TT
Jl — 2p(;o«.a; + p' 1 p»
/• 1— p*(7o«.ia: ££"15 , /cSin.a;\ 1 f « c"'' i
y J— 2p»Cos.ftx+p24 \ P j 2 1^1 l"A,i/
Poisson. P. 19. 404. N '. 77. — Schlomileli.
licitr. II. 2.
Smnnscn, Cr. 42. 22
Pnge .395. 50#
''^•jj.^l"";;. TAULE 290 suite. Lim el t.
Lire. Uir.
Sin.- peCo^-^SinA- Svn.x] ^ ^ ^^„_, poig^j,,,, P. 1
22) / - \-^ ' — Sin.-xdx = 2 — ,- 7" 80.
>j\—ZpeCo''Cos.(x — Sin.x)-\-p'^e^C">:' 2 i 1"/'
231 [e-pCo''^'-9Tang:'x — = _ ^-21 > \^ - V. T. UO. N'. 2.
'j Cos.^ X -2 q
9. 404. ■N\
^•^.^■P°"-. TABLE 297. Lim. — ^et|.
Lire. Uir. 2 2
12o/! 1 _ _ \
p^ +2\p'' + 4<'^ ...p-^ + 4>a- p
l)je-P^Cos.^-"xdx = „, . o, „, :,, ^., . ,„, --(eiP--e-U'-)
Ohm, .^usw. 13.
12U+1/1
'j p-" -f l-.p^ + 3^ ...p^ + (2 a -f- 1)'
S)le-Ta„g.'x 1 dx = -—rl^n V. T. 142. N\ S.
7 Sin.2x 3«+i
4\ le-Tang.-x ^^^ dx = V. T. 142. N". 9.
7 i'»i. 2 ;r
5) fe-{pTang.^x-^qCot.^x) ^ = e-SVp?]^- V. T. 14G. N^ 2.
/ Sin.'^ X q
7)(cZCos.x)1-' cil+l]xi+Ue-''Sec.x dx = — Kummer, Cr. 20. 1. ou il y a faut.
7^ ' fi*r(7+i) t'-ri+Dxi.
^■p.^J^^"-. TABLE 298. Lim. diverscs.
Lire. I)ir.
,1 ^b\/{l-x'^) ^l/(l_i2)
' 6
1) / -^ S ] T dx = -— V. T. 293. N^ 5.
ri 5m. {^1/(1— a-^)|
j 1^ —^ f \
2) / ^ i dx = ~ V. T. 293. N\ 3.
e* +e * +2Cos,
Page 896.
^•^.^I'""-. TABLE 298 suite. Lim. diverses.
Lire. l)ir.
3)1 y^-'^ S'm.9.aTix dx = , ^ ^.^ ^ ^ — ^ — \ Kummer, Cr. 35. 1.
1 — p Ian ^,
/■^ 1
6) / e-/'Cos.r Sen. (a j; — p Sw. a-) d.r = ( — 1
.)
7) I e— /'Cos-r ("OS. {ax — p Sin. x) dx = ( — 1)"
. Ciiucliy, Sav.
\Etr. 1827. 599.
dpa p
(i<! e-pCos.y. Sin. (p Sen. A)
dp<^
'0
/•a+I
r^' ^ ei—l
8) I e-o(-'-i)Sm. {j(.c-p))dx =9e-«P-:; ;• Schaar, Mem. Cour. Brux. T. 23.
a
ft
9)1 e—'l'<"^3'
■^ = » V. T. 112. N'. 4.
Sin. 2 .r
'0
dx = -c— 1 V. T. 112. N^ 5.
10)1 e/-a»s.z_ -tl- ~
'] \Sim.x-\-Lo$.x]^
"o
in[%C«..2x'^'-^'dj = 2(e— 2) V. T. 112. N^ 3.
/ Cos.'^x
,^v / gcw.x -^J^!^ dx = -e— 1 V. T. 112. N=. 5.
4
f" 1 e7T_e-7'r 1 e?'^ -f e-9'^ 1
13)1 e^^Cos.- pxdx--= iqCos.-pn -\- — -2pSm.-pn Dienger, Cr. 3-1. 75.
'J 2 '^ •l.j»4-p» 2 iq^-^p^ 2
— 77
Tl 2f 1 ,1)VT S9R
11)/ el-Sin.-pxd.r = -——\(e1^-\-e-i^)2qSin.-pn — ie')^—e-')^)pCos.-pn\ jj-. 13
— ff
/* n a-i<Wo 4- a— «'l f «> n"— ' )
15\/ -Ai 1 L^tJll l-dx = 2nlp+S o"e'';'> Poisson. P. 19. 404. N'. 80.
'] l_„eP+Co,.Xe(i-5iri.x). r 1 1"/' )
PagP 397.
^''■Ji'.Mi'J"- TAIJLE 298 suite. Lini. diverses.
(.lie. I)ir.
f i:~i^' Sill i ,;• n oa n" — '
10) / -J '-^ d.c = 2 -q'>e"P Poisson, P. 19. 401. N'. 80.
'J I -. q eV+Cos.x e{x-Sin.x]i i , In/I ^
l %0Sin.xSin. { i2a+l)x}-Sin .[{2aJ- l).^•-^>gg5^ ^^ _ /M'""' 1 „2a
7 el>Sm-x—ZCos.{bCos.x) + e-''S>'>-^ \27r/ ,
■L« fii-Sma; _ 2 Cos. (6 Co». a;) + e— *'Si".i 2 71^2 i J
Sur (17) et (IS) voyez: Cauctiy, Exerc. 1826. p. 205.
/-co I2a/l 1
19) / e-i"^ Cos.^'' xdx =^ .^ , , , .. - «~''"^
'_/ p^ -[- 2^.p- -|- 4' ...p-* + 4a- p
/•» _ I2a+I/1
20) / e-l" Coi^.^^^'^xd.v = __^^— — — , , ., , ... «-"''
^^_ p^ + P.p2+3\..p^+{2a-l-lj2
a"
/•CO 12a/l 1
7 ;/- -|- 2^.p^ + 4^ ...p^ + 4a- p
/•oo 12U+1/1
..„)j c / oos. .^ p2^1^p'^+3^..p^+(2«-f 1)^
) Ohm, Ausw. 23.
F- Expo"- TABLE 299. Lim. ot oo .
Cue. Inv. ^
■) Bierens do llaan, Vcrli. v.
'K. Acad, van Wet. 1854,
19.
\)\Arctang.^e~r^ dx = -\ci.{pq).Sin.pq—Si.{pfi).Cos.pq+~nCos.pq(^-
C dx \ 1
2) I Arctana. X = — ^ 2 tt Plana, Mem. Turin. 1820.
■'/ ^ e27rx_l 2 4
i)fArctang.x-~-~^ = ^[^ P (9 + 1) - ^2 ^tt + r/ (1 -i ry)} V. T. 378. N". 4.
/ e^rx — e-irj 1
5)/^rctan!/.2ar , ci.r = — i2 V. T. 138. N\ 3.
Page 39s.
^'■^:H''>'}- TABLE 299 suite. Lim.Oetoc
6) I Arctang. X ~ d.r = \n — t — } V. T. 138. N". 17.
glTTx — g— l;rx 1
7)1 Arctang. x /,„, , '_,^,,n '^•'^ == i^ '^ ^'- 'JL'. 138. N'. 14.
8)1 Arclanq.x dx = V. T. 13S. N'. 2.
9) / Arctang. dx = J Z' "^ ^ 1 — Z' -^--L— V. T. 138. N\ 1.
7 ^ p (e'fx_|.e-7rx)2 4 7r\ \ 4 j \ 4- /
f 71 (epx — e—P^) (eiTx^g— jTx\ — 2w (eP^ + e— P-") (e*''^ — e-*''^)
1 (I) I Arctanq. x dx =
'j " (elTx — e— 5rx)s
, 1 + 5m. /; 1
= IT Sm.p — Cos.pl — ^ , 0<»<-7r; V. T. 138. N°. 13.
1 — Oin.p = =2
'/■^
x/i(c'r^ — e-'Txyg(T-p)x_^e'/,— t)x) — Zn{eJ"^ — e-l'^) ^Sin.np ^ y j jgg
7T (eP^ — e— z*') (gf-f + e-'^«) — /) (eP* -f" 6~'") C*'^'' — e-'»'^j
n)j Arctang x-^ -—^ -^^^/_ ^i;;^, • ' '-^ ' dx =
- lpCos.r+^^Sin.pl{2{l-\-Cos.p)} J,- I 1^^-
'^•J^^'P''"-, ,. TABLE 500. Liui.Oetoo.
Autrcs lonclions.
J)/e--f/i.(t--f) d.): = — I -Z SclilOmilcli, Gr. 9. 5.
^^l{.{e^)dx = Schlomilch, Beilr. III. G.
3) Ic-P^ li.{e -x)dx = —-l(l+p),p> — l■
J P =
4)/e-P»^*Zi.(e-'*) dx = — l^-.l{l^p+ 1/(1 +/>)),?> OA Schlbmilcli, Beilr. III. 7.
J P (
f 1 1 1
5) I eP' / j.(e— ^ ) dx = — I-/ - i4rc«"«. (i,/ p) , p < 1 ;
y p
Page 399.
F. Log.
Circ. Dir.
TABLE no I,
Lim.Oct \.
10
11
12
13
14
/Ix.Cos.pse.dx = &i[p) V. T. l'J2. N\ 5.
P
\ Sin. (qlx) d .V = —
V. T. 27S. N\ 6.
1 + 7^
lCos.(ql.r]d.v = V. T. 278. N'. 7
/ Sin. 2 a .T .c. I Sin. n x- dx =
/Cos.2anx.lSin.nxdx = — —
2a .
/ Cos. [2 b n [x—a)) . I Sin. n.rd.v = — — e-STaii 1
\Sin. Upl^l-\ dx = pe-P^ V^ n V. T. 388. N'. 1.
f 13 l^n
ISin. (Ix) dx l^l- = — Sin.-n. V. T, 397. N'. 1.
J X 8 tV-S
/
/
/
/
/
Schaar, Mem. Cour. Brus. T. 23.
1 ^ y j^
Cos. (Ix) dxi^l- = Cos. -Tx.-— V. T. 397. N'. 2.
X 8 iJ^S
in. {li-).dxLl- = — -TT + -Z2 + -A V, T. 439. N'. 1.
dx 1
Sm. (Ix) — = —71
^ ' Ix 4
d X
Sin. {q I x) — = Arclang. q
, . .■ , dx 11 +(p — q)^
Sin.(plx).Sin.(Ql.r)—- = —I —
' ^ '^ ' Ix 4 l+{p + q)^
Euler, N. C. Petr. 20. 39.
Sin. iplx). Cos. (qlx)
dx 1
Ix
-Arctang.
^P ] !
f /I \ dx 1
jSin.^i-plx] = -l(l+p-) V. T. 392. N=. 9.
J \2 / Ix 4
in)ISin.{lx) J = _ 1/ I
'tt V^ 2 — 1
V. T. 398. Nr 3.
Page 400.
^■}l^^\^. TABLE 501 suite. Lim.Oetl.
Circ. Uir.
17) I Cos. {Ix) J = ix- {-- ^^— J V. T. 398. N'. 4.
X
IS) I Cos. U]^iql-\\ -^ = e-ll^n V. T. 396. N". 7.
fCos. (pix) — Cos. iqlx\ 1 1 + »^
19)/ ^J- — — '^ dx = -l-^^'~ Eulcr, N. C. Pctr. 20. 59.
7 l^ 2 1 + 5^
20} I Cos. Iqi^lA dx = J:(— 1)" ^ V. T. 388. N". 13.
■Zl;lTang. {qX^l \ dx = 2 a 1/ tt J^ (— 1 )« n C""'"- V. T. 388. N=. 20.
%2)\Cot. \qixl-\ dx = 2 a 1/ 71 J" n e-''"a= V. T. 388. N». 21.
2;})/(7o5ec. |</l/i-| da; = 4 ai/jr^(2n— 1) e-(2''-i)^a- V. T. 388. N". 22.
24)/5tn. \q\^l-\ -— == -^l/TT.S'— ^ M-\ V. T. 392. N^ 15.
/■ 1 1 «> 1 1
25 1 / /&n. (— 7 Lr) dx = IZ 2 V. T. 439. N". 6.
7 ^ 2 2 1 nl-irn'q-"
/I 1 OD f — 1)1 1
lCos.(—qlx)dx = l^ — -S V. T. 439. N". 7.
f * 00 1 1
•n)\lTang.{—qlx)dx = —2- :; — — V. T. 439. N°. 8.
J 1 2n — 1 l + (2n — 1) 5*
^ Chx! Dir. 1\.\^LV. 502. Lim. et oc.
2Gj
1
) / I Sin. "^x dx
I j ICos. ^x dx =
2)/ZCos. 'j; dx = X
\ Raabe, Int. 188.
5) j 1(1 -{-Cos. x) dx =- 3c(
)\l[\ — Cos.x)dx =
4)
I
WIS- EN NATUinK. VEtill. DER KOMNKL. AK.HIE.MIE. DEEL IV
Page 401. 51
^■h^^-j.. TABLK o02 suite. Lim. et oo.
Cue. u\v. .__
o)jl{\ +;}2 + ZpCos. x)dA- = X . p > 1 ; Knabe. Tnt. 188.
6) = ,p<l; 1
f « I 2"/2 / 2p \2''+l I
Rnabe, Cr. 15. 355.
l—^ r Cos. rx dx = - {e-i' — e~P'-)
q^ -\- x^ r
[ x''- n .
9)/i— Cos.rxdx = - [e-'f — 1) > Raabo, Int. 17i).
l2
111) //l+^j (7os.r a- da; = ^(1 — e-P')
Ciic. Dir. ent. TABLE oOo. L.m.Oet-.
[ 1 1 « f_l)n
l)\lSin.xdx = TiU 2— ^- — V. T. 238. N\ 4.
7 4 2 (2n+l)^
2) llSin.x.Cos.''2x.Sin.Zxdx = -^ \l2 +2 [ V. T. 47. N°. 8.
J 4(a + l) 1 ^ H+lj
S)jl{2Sin^x).Tang.2xd.v == tt^ V. T. 160. N\ 5.
1
X = — ~ n^ V. T. 316. N^ 8.
12
i) jl Sin. 2 X. Tang, j - -j- a; j d
) 1 1 Sin. 2 X. Tang. I x\
6) 1 1 Sin. 2 j;. Tan^. (- + .r j. 5»i. 2 a: J
5)jlSin.2x.Tang.[^ — x] dx = — — Ji'^ V. T. 316. N\ 4.
6— TT^
= V. T. 152. N\ 8.
12
l)\lSin.2x.Tang.^ \^^x\.Cos.2xdx = ~'" V. T. 152. N\ 9.
S)\{lSin. 2xy Tang.\^-\-x\ dx = tt* V. T. 154. N'. 11.
Page 402.
F.Log..IeCirc.l)ir.ennum.(/6'*«.a^-)''- TABLE 505 suite. Lini.Oet-.
.Lire. Dir. out. ■i_
^J)i{lSin.Zx)^ Tanff.i-—x\ d x = — y- tt' V. T. 154. N'. 10.
10) jilSin.Zx)'^ Tang. i-+.v\dx =- — -7 tt" V. T. 155. N'. 3.
U)l{lSin.2x)- Tang. (-— rWx = tt" V. T. 155. N". 2.
12) /(Z5m.2;r)2<' Taruj. i- -\- x\ dx; = ^^;— -2" -;;;;3;;; V. T. 157. N°. 3.
2 1 «2a + l
■1 1 _
2 (!+»)"
1 o» (—1)''
2^^ (l + «)"
V.i)j{lSiTi.2x)'—^ Tang, j — x- j rf.r = (— 1)"-! 1«-' '-J" ;-;— ; — - V. T. 157. N°. 9.
f /n \ 1 o» (—1)''
14,) jilSin.Za;)"-'^ Tang, i x\dx = (— l)"-' 1"-'/' - ^ ;^; ^— V. T. 157. N'. 8.
15) ia5m.2j-)2«-i 7an<;. I - ^ x\dx = — — (2 7r)2a Bo(,_i V. T. 157. N\ 6.
f Itt \ 1 — 22«-l
lG)i(/«Sin.2jr)2«-i Tan*/. 1 ^ rfj; == jtS" B2„_i V. T. 157. N". 5.
17) LlSin. 2 x/'-i Tang. (- + irV-SiH." 2 .i-cZ.*; = -(—1)^-1 l^-i/i J" ^^ JJ', 'V, ^^'''
y \1 / 2 (a-{-n+ 1)'' ^^ • ^■'•
lH)f{lSin.9,x)>^^ Tang.l~-x].Sin.<'2xdx= J (_l)i-i p-i/l v -tliZL. V.^ T- 157.
y V4 / 2 (a + n + l) ^ • ''•
F. Log.de Circ.Dir. en num. (/ Cos. rtj;)''. rr.„, r^ ^n/, .• n . '^
Ciic. Dir. cm. ^ ^^^^^ -^Q^- ^-■"^•Q^^i-
/■ I 1 00 ( — 1)"
l)llCos.xdx = Ttl2 + - .S — — V. T. 303. N". 1 ct T. 305. N°. 1.
7 !■ 2 o(2n + l)^
2) 1 1 Cos. X. Cos.o-^ 2 X. Tanfj. 2xdx = ~ ^ fz' (^~] — Z' l^\ \ V. T. 40. N^ 11,
3) //(2("os.2.r). Tan^.2a: (/.r := - jt^ V. T. ICO. N'. I.
Page 403, 31*
)/zCos. 2 ;r. Tary. .Ttf.r =. _ -- ,r' V. T. 304. N\ 3.
J *' -1.8
F.Log. deCirc.Dir, enniim.(/roA.rt.r)''. rrtmn-zi/ •. i- a .'*
Ciic.Dir.ont. TABLL o04 suite. Lim. et-.
h)\{lCos.1xY Tang.xdx = — - — tt' V. T. 151. N". 10.
/31
[ICos.IxY Tang.xdx = — ti" V. T. 154. N'. 2.
7)[aCos.2T)<'-^ Jang.xdx = (_ l)a-i la-i/i J ilnJl y. T. 157. N=. 8.
8}/(/Co5.2a-)2a-i Tang.xdx =
1 — 22«-i
7r2aB2a- 1 V. T. 157. N\ 5.
f 02a — 1 00 1
9) I (ICos.Zx)^'' Tang.xdx = -V/^2 V. T.157. N^ 2.
22a+l , n2a+l
/I 00 r— 1)"
(ZCos.2a;)*-i Ta/io. a;. Cos.''Zxdx = -(— l)i-i l^-'/i 2 —5^ '- — - V. T. 157. N\ 11.
F.Log.deCirc.Dir.cnnura.(/r«.^.«^y'. ^^g^E 505. Lira.Oel^.
Lire. Dir. ent. 4^
f OD 1
l)/irana.a;d^ = — JS'f— 1)" V. T. 237. N^ 4.
2)llTang.x.Tang.xdx = ti'' V. T. 152. N'. 12.
3) 1 1 Tang.x. Tang.Zxdx = n^ V. T. 160. N°. 15,
4)/zranar.a;.Coi.2a:./Sin.2p-i2a;da:=— 22p-4-i— !^-^i- y. T. 153. N°. 20.
J pr(2p)
b)j(lTang.x)^ dx = — tt' V, T. 154. N'. 1.
6)l(lTang.xy Tang.xdx = — ^ tt^ V. T. 154. N'. 13.
7)j{lTang.xy Tang.2xdx = — n* V. T. 154. N'. 16.
8)j(lTang.xy dx = — 71= V. T. 155. N\ 1.
Page 404.
.Log.deCirc.Dir.ennum.(/rrt/((7.a^)*. Timn -a- •. t • r» . ^
Ci, c. Dir. cnt. ^^^^^ "^^ «"'t«- ^^''"- ^ '^ T
10
11
12
13
j{lTang.x)^da =-^^^71'' V. T. 155. N\ 8.
25(3
(i Tano. .T)7-i dx = ^-f^ ^ ~ '— '
(-1)^-1 o(2n+l)7(
^ Arndt, Gr. 6. 434.
{I Tang.xf" dx = -^^ l^^/i 7i2a+i Bj^^-,
t { — 1^+1/ \2a+l h I2n 1\ /2n 1 \Yr T 1-S
\{lTg.xr-<'{Tg.'ix+CoL'lx)dx=^-j^ \2bn\ ^(-1)»+1B"( -^^JCos.f — ^^7rjjj;^3|^''-
ou q"^ = u'^ b'^ + 1, « arbitraire.
— Ar
(—1)^-1 o(a + l + 2n)*
f l''-I'l <o f— 1)"
\{lTang.x)'>-'^Tang.<'xdx = , T^JH; -^ ,\ /^ ^^ Arndt, Gr. 6. 434.
F
Log. en num j ^^^^^ j.^^.^^^ ^ ^j^^E oOG. Lim. et ^.
Lire. Uir. eiit.j 4
Z(l + Tang.x) dx — -nil Serrct, L. 9. 43G. — Grunnei't. Gr. 6. 448.
8
, V. T. 47. N^ 5, 6.
2 /
/
llTangA — \- x\. Sin.2xdx = —n \
1 1 Tang. — |- ^ . Tang., x. {Sin. 2x -{- Tang, x) dx = - / 2
/
\lTang.x{lCos.ixY Tang.Zxdx = — y^ t» V. T. 337. N'. lH.
/
/• 22a+l — 1 00
jlTang.x {ICos.Zx)^''-^ Tang.Zxdx = — ^—^l2«-^!^2
I Tang. X {I Cos. I xY Tang.2xdx = n-» V. T. 337. N'. 15.
I Tang. a {I Cos. 2 x)* Tang.%xdx = — — n" Y. T. 337. N°. 17.
418
ITang.x (lCos.2x)^<' Tang.2xdx = — — n^^+^Bsa+i V. T. 387. N'. 20.
(2a+l)(2a4-2)
22a+I — 1 , CO nSo+l
" V. T. 337. N'. 22.
/ 1 Tang, x (l Cos. 2 .r)" Ta7ig. 2xdx = (—1 )"+' ^2" ,. . ^ ^ - V. T. 317. N •. 7
J > 'J * ^ 2a l + 2;i''+'
Page 305.
^- " n- . 1 ■ ' TAuLL o07. Lim. ct--
Luc. Dir. rat. en deii. nionoino. 4
/Shu-^x 1 fl ^ " 1 1 V T 4(1
ISin.x- dx = — -i2 + (— !)''- + (— D-'^i^—l)" v"=. .
Cos-^-^+^x 2a4-l|2 ^^ ^1^^ 2«— Ij N . 4.
/■ /Sin 2a— 1.. 1 f 1 1 "-' ( — D'M
2)1 ISin.x-—^ dx = — { 12 + (—l^-l-l -^ {—l)" JT -^ ^l V.T. 4C. N\ 5.
7 Cos. a^+ijr 2al 2 ^^ ^^2 ^' ^^ I 2nJ
3)|/S/«.:r • dx = — {A + Z'(l -p)] , > y> > — 1 ; V. T. 47. N\ H.
i)llSin.!r{Cosl>2x+Sec.nx)Tang.2xdx=~\TTCot.pn—Loypy'—]; V. T. 47. X^ U'.
^>/"/C' (P-l)<^'>^>-'2^+P ^ „ , 1 z^,^ n^ *-. 1 V. T. 47.
b)iloin.x lanj.zxdx == -n Cof.pTi , O^pp^ — 1; w, .^
J 6os.P 2 d; 4 -> . lu.
6) /iCos.a; = 7i2 V. T. 305. N'. 2.
^y Sin.2x 96
7)1 1 Cos. 2 a; ^""' = — :|^ 7r= V. T. 303. N°. 3.
Tang. x 12
8)jlCos.Z
Sin.^ X 1
da; = V. T. 307. N'. 9, 10.
Ta7ig. X 4
Co^.^a: 1 1
— d.c = —
Tang, x 4 12
Cos. 2 .r 1
Tang, x 1 2
9) 1 1 Cos. 2 X ^"'" *" (£.g = - — — 7i2 V. T. 152. N'. 9.
10) n Cos. 2a; ^""'"'^ = :;^(6— tt') V. T. 152. N'. 8.
/• SiN. 2 a; 1
11)/?Co.'.2j-- dx = -^3 — 71^) V. T. 152. X'. 9.
J Tang - x 6
T 4G.
4.
J Cos.2«-r2a; 2a+l 12 4 i 2h— Ij "•
/• &'n2a-l r 1 r 1 1 " ( — IV')
7 Sin.2.f 8p I. 2 ' \ 4 / \ 4 /)
V. T. 151. X'. 13.
COS-P-^ 9.x 1 a> 1
Tang. a- 2 o {p + ")'
lb) j I Cos. 2 x'^ '^dx = —7-^ ,., ," .,,, V. T. 152. X'. 10.
Pacre 406.
F.Los.enmm{lSinax)^{lCos.ax)K ^^^j^^^ 508. Lira.Oet-.
Lire. Uir. lilt, en don. niononie. 4
1) / {ISiu. 2 x)'-' — ^'; "^"'" ^- rfx = -^ 7-^^(7-; ^ ^ , \ V. T. 157. N'. 12.
Sin.<'2x ^ 1 r(.;) ^ 1
Tang. I a:
I ' / T^arif/. Ix 2 a ^
^x 1
Tang.x 30
Tang.x 63
(i.r 1 ® 1
Tang.x 2' "^ ^ (l ^_„)«
ij jilSin.-Zjry^"-^ Tang.'' (7+*-) ^ ^ = ^ {—2)^"-^ 7r^"B2a-i V. T. 158. N». 14.
:i)j{tC'os.2x) \^" _ = — ^n^ V. T. 154. N". 11
■i.jhlCos.Zxy^- ^"'" _ = — -^ TiC V. T. 155. N. 3.
h) jnCos. 2 J-)"-' ^„'"'' = - (— 1)"-! l<»-i/i v- J: V. T. 157. N^ 9.
7 ' Tang.x 2' ' o(l^_„)«
f , ^ Tana. 2x 1
fi) /(iC0S.2x)2''-l -—-^ dx = — ( — 2)2a-l 712" B2a-1 V. T. 158. N°. 14.
J Tang. '^ x 2 a
7) / (/ Cy«. 2 j-;2a-l == 22«-3 7r2a B,^_ , V. T. 157. N'. 6.
/ Tang, x a
f ^ Cos.«2x 1 r(n) « 1
S)l(lCos.Zx)'>-^ dx = - ^-^ — 2 V. T. 157. N^ 12.
7 ^ Tang.x 2(— 1)''-' o{a-\-n+\)'>
F. Lop. en num. / lanq. ax. t i di c -no i • n . '^
Lwc. i)\v. rat. en den. nionome. 4
l)llTan(i.x = n- V. T. 152. N». 13.
7 "^ Cos.2x 8
f dx
2)\lTang.x = — oo V. T. 153. N'. 11.
J Sin. 4 X
'MllTang.x-—^ — = — ao V. T. 153. N\ 10.
7 Tang. 2 a;
C Tana. 2 x 1
4) 1 1 Tang.x — t/a; = — — rr* V. T. 340. N". 4.
7 •' Cos.^'x 12
5)flTang.x '^'"'^''" dx = — — tt' V. T. 152. N". 14.
7 ^ Coa.2ar 24
f ^ 5m.2<».r / 1 \2
iijIlTang.x ^ rfi; = — V, T. 307. N'. 1. 12.
7 Cos.2<»+2.r \2a+l/
Page 407i
I' . Lo'f. ("11 num. / faun. ax. rr, . „, .. -^^ .. t • , a „, '^
Liic. I)ir. rat.cu (Icn.moiiomc. t
IjllTang.x-—- — — dx = — — V. T. 307. N°. 2, 13.
f dx
S)\lTang.x.Sin.{p Cot. x) = x V. T. 47. N^ 23.
J Sin.^ X
/dx 1
ITang.x.Cos.ipTang.x) = Si.{p) V. T. 47. N°. 22.
Cos."^ X p
10) j I Tang. X. Tang, f J + x\ ^^ = 1(3 - :r») V. T. 152. N\ 9.
f C 3 1
11 ) / < Tang, x „ ' '"" '" — dx ^ — — n^ X. T. 152. N°. 17.
7 •' Cos.Zx.Cos.x 9G
, ,^ /",.,- ICos.x — Sin.x\P dx n ^ _ „
12) / ; Tang, x ^7"^- = Cosec. p ^ , > p > — 1 ; Y. T. 47. N°. 18.
J \ bin. X j bin. ^ X p
VVjjlTang.x- ""^_, = -^ V. T. 152. N^ 1.
dx — 1
Tang." X. Sin. 2 X " 2(0+2)*
r- n- P ]■ ' TABLE olO. Lim. Oet-.
tire. Uir. rat. en den. monome. 4
". 14.
f dx 1
l)l{lTang.xy- = n'> V. T. 154. N
J ^ ' Cos.2x IG
i , ™ Tana, .r 1
2)/(Zra«a.^)'-— ^— c^;r = tt'' V. T. 154. N°. 15.
7 Co«. 2 a; 210
. f,,.^ ^,Sin.x.Cos.x . 1
S)j{lTanfj.x)^ —^ _ dx = — ■;^:r;^n^ V. T. 154. N°. IC.
Cos.2x 25G
Sin.^ X 1
Cos. 2 a;. Cos. a; ~' ~ 3S40
d.r _ 1
Cos. 2 ^ 8
f Sin.^ X 1
4) I {I Tang. xy dx =: — tt* V. T. 154. N'-. 17.
J ^„ «_ ^.. _ oo.n
5) j {I Tang, x)^ -p~- = — - tt" V. T. 155. N°. 4.
6) / (/ Tan^f. x)^ ~^^ dx = ^ 7r« i
J '^ ^ Cos.2x 504 /
l)\{lTang.xy — da; = — ttM
y " Cos.2x 512
V. T. 155. N°. 5.
Page 408.
V .Lo'f. en nwn. (i 1 ana a Xh. t^di r "in ■• i- n .^
Circ.Dir.rat.eiuiL'n.monomo. 4
H)j(lTang.xy - — ^ =-- — - rt" V. T. 155. N^ 10.
Cos. 2 a- 32
dj: \j-
Cos. 2 .r 4 rt
dx 2-^"+i —
Cos^v ~ 22<»+i ' ~ n2a+i
f rfo- 1 — 22«
lijh/ran^. .i)2a-l ^-^ = — ^ TiS-'Baa-i V. T. 158. N'. 5.
f dx 2-"+i— 1 » 1
10) /(Zrano. .r)?« • = — 12a/i ^ V. T. 158. N". 4.
158.
9.
i dx i—\Y
\3) j {lTa)ij .c}" Tany.P-'i x-^:r~;^ = „ _^_^, l**' V, T. 151. N'. 2
1 1) /(/ ran^r. .t)2«-i -^"^- dx = 7r2a Bo^-i V. T. 158. N'. 6.
/ Cos. Zx 4 a
f Tanq.'>x+Cct.ix (—1)" '' ln\ v -r
]2)l[lTar,g.x,2'' ^ ^^^ dx = ^ ^ (267i)2a+i ^(— 1)"-' BM ~\Sin.7,q7i ;/
J Cos. 9,x h \2o/ -^ •
oil 5* = «- i^ <^ ], «arbi(raire
l«i V, T. 151. W
Sin.Zx 2^"+'
f /n \ dx 22<«-2
1 lj//(ya;/</.,z:)2a-i yvm^. {- + x] —, = 7r2<iB2a_i V. T. 15S. N\ 14.
/ \ t / 5m. 2. r a
I dx
lb) j {I Tang, x)^" -. . = (27r)2aB2a-i V. T. 310. N°. 14.
F.Los, cnmm. I Tang. ax. TABLE oil. Lim.Oet-"
Lire. Uir. rat. cii dt'ii. biiiome. 4
1) llTang.x = n^ V. T, 153. N". 3.
J ^ 2 — Sin.2x 27
Cos. 2x 1
30.
Cos.Zx 1 , ... V. T. 311. N'.
f. Cos. 7.x 1 ,
9.)\lTang.x dx = (4 (.4ram»)^ — tiM ,p< 1: V. T. 339. N". 3
/ l+P-SiH. 2j 16p ==
/•, Cos.Zx \ , ^ . . ^'- T-
:i) 1 1 '/ an*/. X dx = — {n -\- .\rcsin.p } Arcsin. p , p <^ 1 ; 2, 10.
J 1 — poin.2 X 4p
/■ ,„ Tann. x 5
\)\lTang.x ^ - - dx = — tt- V. T. 153. N'. 4.
/ ^ 1 — S/n. a-. 6'o«. .c 108
, r, ^ To*. A — Tang.T 1 1.1,
b)llTa7ig.x ^ . dx = -n' 7t). + -).' V. T. 153. N '. 0.
7 '' 1 — Sin. 2 T. Co5. 1 (i 2 1
) / ^ Tang, x
Sin. 2x 1
6) ITang.xj - ^^- dx = — - n^ V. T. 153. N^ 7.
4 — 3 /S(;i. ^2j: 54
f Cos 2 X 1
7) [iTang.x — , '-;,.— dx = tt A Cosec I V. T. 153. N'. 0.
y 1 — om.' A.Sm.* 2x 4
Page 409.
WIS- EN WATLURK. VERll. IiF.n KO.M>KL. AKAIiEMIE. HEEL IV.
,,. '^ ... , 1. 1- < l.VHLh oil suite. Lim.Oiil-.
Lire. Uir. rat. on ch'ii. Ijiiiumc. t
9) 1 1 Tang. x—-^ "!'^."^ d.v = ~-^ {Arcsin.py ,p<\; V. T. :511. .\\ 2. l.i.
J 1 — p-Sin.^Zx ip-
C Cos 2 j; TT
\(i)\lTang.a ' dx ^ — -^ Arcsin. p ,p <^\\, V. T. 340. N'. Z.
j 1 — p-5!n.^2x 4p =
/" (7o5. 2 X TT ,
11) /^ ra«(/.a- —————— dx = -;,-^{?'+ 1/(1 +/'■')} V. T. 30!) N'. 3.
I Cos ^ X 7t
12)llTa}ig.x- '—-z — — - dx = — ;; Arccos. p , p <^ \ ; V. T. 340. N'. 5.
'J ^ Cos."^ 2 x + p^ Sin^ 2 X 4 1/(1— ;>-) ^"^
f Cos. 2 x 1 7T
U)jl7ang...--—r^_^_^.,^_^^^J:c = - ^P^^^ V. T. 153. N'. 5.
fTLos. en mm. {I rang, a xY. jABLE 512. Lim.Oot-.
Cire.Uir.rat.cnuL'ii.binomo. 4
1) I {I Tang, x)'- ^ ^ "^7. „ = ^iT^ '^^ l^ ^ ^- '^' l^*^- ^'- ^■
da; 4
2 +Sin.2a! ~ 24-3
2)i{lTamj.xy ^— - — - = il Cosec. X V. T. 156. N\ 3.
/ 1 -j- Sin. 2 X. Cos. A 6
a) I (/ Tang.a-y ^'^' = -^n' l^ S V. T. 15C. N'. 2.
2 — &■«. 2;» 243
r da; fl 1 1 1
■i) I (nauq. .rV = 2lCosec.l{-'7T^ — Jil-\ AM Y. T. 13G. N^ 4.
_/^ ^ ^ 1— Sin. 2. r. Cos. A Ic 4 ^ 12 j
/" da; 3
5) /(/7ana.»)*-- = — tt^ l/2 V. T. 154. N°. 2.
\/' ^ ' -Sm.''a;+Cos.''a! 64
f dx 1
(i) I {I Tang, x)^ = — n^ 1/ 3 V. T. 154. N». 3.
J 1 — &'w.* ,c. Cos.' .1. 27
/" Sin 2 x 2
7)j(lTang.xy~ ^. ," ^ , dx = —- tt^ i/ 3 V. T. 154. N>. 4.
J 1 — <Sin.^ a;. 6os.^ a; 243
r , da; :r2_A2 7 71*— 3^2
Page 410.
I'. Lo'^ ('II num. (/ Tarn . a x)\ m i ni 1/ ~io •. i • n . '^
r- IV , I I • JABLL oii siiilo. Lim et -.
Lire. uiv. i;it. eiuleii, niiiuiiio. 4
9) / {I Tang. x)2<' ^ ^ "J^ ^ _ = \ /,^ ^ (2 7t)2"+i B" (^ j V. T. 15'J. N\ 1.
dx (— l)«+i /I
--: = -—^ (2 7i)2«+iB" -
2+5jn.2.s 21/3 '^ l"!
\0)j{lTa,.,j..vfa~
(—l)a+l
^ ^ — (2 7r)2«+2 B" ( - I V. T. 159. N'. 2.
52n.2x 2 1/3 \C>
dx 1
/da; 1
{I Tang x)^" = - Cosec. 2 p7r.(— J )«+• (2 7r)2«-' B"(») V.T. 159. N'. 5.
J — Shi. 2 .V. Cos. 2pn 2
V.Lo":.cn num. ITann. ax. Ti*nir> -i- i • n . '^
r, ° n . IT. .1- TABLE 01 o. Lim. Oct-.
Lirc.Dir.rat.eiulon.aliicl.nion.eluin. 4
I
Cos.x{Sin..v-\-Cos.a-) 12
d.p 1
( OS. .1- {Cos. X — (Sin. a-) 6
f
l)llTan<i.x- = — — TT* V. T. 316. N\ 6.
2)firang.x '^ r = — ^ tt'^ V. T. 310. N'. 7.
y Cos. . I- (Cos. a; — tim.n') G
f Tanq.Px dx 1 « 1
i)jlTang.x ^— = ^ V. T. 152. N". 10.
J Cos.x — Sin.xom.Zx 2 o (y + n)"
f Sin.^'ix dx TT- •
4:)llTang.x „— 7— TTT-r- = — 2a-4 — V, T. 152. N\ 18.
7 ^ Cos.^''x—Sin.^<'xSm.2x a*
Sin.^Zx d.K
Sin.'^.v-\-Cos.*xCos.^x 4(2 + 1/2)
5) illang.x - — 1"^ ^""' = — ^^^ V. T. 153. X\ 16.
/■ ^(,S 2 X
&)\lTang.x- '■ ;:; 7:^-^- = — " ~ Sin. - . Sec."^ " V. T. 152. N\ 19.
7'an(/.Pj:+ Co<.P.z;Stn.''2a.' lG/>- ""2p 2p
dx 7r* 71
&"n.^ 2a;(7'ani;.Pj;~(7o<.Pa;) ~ 16p* ^"^ 2p
"/'^"''^^^-- - = ^'"■'^- ^'- ■'■ '"■ "■ '"•
/■ Tang.lx — Cot.1 x dx n- n ^ on
8)llTangx,, ;, = Sin.'-.Sec.-^~ V. T. 153. .V. 15
7 '' Tang.Px+CotJ'xSin.2x Hp^ 2p Zp
/Tung.l x 4- Cot.1 x dx ^r' 771
ITang.x ,^, .. _ /,,...„ ^C";;" = ^"^'S^c.* „_ V. T. 153. N". 13.
10) //ran(7 j;^ --—-"-"— ;-^- = — /2 V. T. 153. N\ U.
7aH<^j' a; — CotJ" x Sin.Zx 8 p * ' 2 p
(2x
(Cos. a: 4" 5i/J.x)'
^tH./'-' g; 1
{Cos. X — Sin. .t)p+' p
11)// raw^jr. x ^^.,^_^ J y.-.. \.ap-i-i '^•^ = ~ Z " Cosec.pn , p < 1 ; V. T. 49. N°. 24.
?ngc 111. 52*
F.Los.onnun,.lTa,ig ax ^,^^^,,, -,_- ^^^^^ Lim.Oclv
Circ. i)i r. r;i I . (M1 den . a lad. nioi i.cl Ijiii. -^
C^ Sin.P-^2x.Cos.2.r , 1 T (;>) 1/ Jr ^
Vi)\lTang.x-—'^ ^,. = -— V. T. 19. N'. 19.
'",/"■""'" iT^^j^^.-^-xY &;.: - ,,,,„._„ ,3
f p TangJ' x{\ ~ Tang. ^9 x) — q Tang.l j ( 1 — Tang.'^P x) d x
J 5) j I Tang, x {Tang.P-^-, x- ly S^.lx ""^
- —r- Tang. , — — -[ , p < q;
V T. 49.N . 14.
1 7T
,.si,T ^'J—P)^ Tan g.P+'!x—CoU '+ix) — (p + q){To
] a)j I Tang, x r7^;;^7^ (7^.^
{q—p){ Tang.P+1 x — CoU'+l x) — (/' + q) ( TangP-1 x - Cot P-v x) d x
Sin. 2x
V.T. 4^1.
TT q rt N\ 18.
4>p 2p
r (q — p)(Tang.P+9x—Cot.P'+vx)—{p+q){Tang.P—9x—CotJ>-9x) dx
'J ''"^■■^ {Tang.Px — CotJ' xy Sin.Zx ~ y •]• 49
71 q Tt ^'- I'-
— 2' Tang.—- , p ^ q ;
4p Zp
c dx {r(p)}J^ V '^ '
^^^y'^"''"-^'^{f^g.x-\-Cot.xfP-^\Tang.2x.Sin.2x ~ ~ 2,2pT {2p)
C Sin.(plTang.x) . ,. „, „ .,„ ,„
\<))llTang.2x - ^^ V '^'^ ^ ^- ^- ^- ^^^- ^ ' ^^-
f In \ Cos. (p I Tana, x)
2^)\lTung.[- ± x] ^"J- ' dx =^ ^ V. T. 329. N'. 7.
4 / Sin. 2 X
F. Log. en num. (/Tans, a.;)*. ^^^g^t: 514. Lim.Oet^.
Circ.Dir.rat.enden.atacl.mon.etoin. 4
li/arann x)' — = hSec.^^ — Sec.--) V. T. 154. N. 5.
7^ •' ' Tang.Px+Co'."xSin.2x IGp^ \ 2p 2p\
Tanq.lx — Cot.lx dx n^ r,. Q^ ^ .Q^
(ITang.xy ^- = Sin.'—.Sec.^ -- V. T. 154. N'. 6.
Tang.rx — CotPx Sin.2x 16p' 2p ip
Page 412.
F. Log. en iiiim. (/ Tana, a x)''. r,, i f,i r -• , •. f • /^ ^
{Tanrj." X — Cot." .vy Sin. 2 a; Su'
Cos. X {Cos. X -f- Sin. x)
'i) j (t Tang, x)
Cos. X (Cos. X — Sin. x)
6) {lTa„n.xy^
J Cos. X [Co.i. X -
Sin. x)
f dx
7} (ITuiuj.x,^
n
- V. r. 313. N\ 4.
7
120
V. T. 15 1. N'. 10.
15
V. T. lot. X'. 11.
63
V. T. 155. N°. 3.
31
V. T. 155. N\ 2.
dx 127
7r« V. T. 155. N . 9.
Cos. x ( Cos. X -j- Sin. .r) 232
8) / (/ Tang, x) ' -^ _
7 Co'!.x{Cos.x-\-Sin.x) 21-0
„^ in T •. d^ 2"— 1 a, 1
9) / (/ Ta,^g. z' " ^ , „. ^ = — -- (- 1 )" l«-i ^ — - V. T. 157. N'
] Cos J' [Cos. X -\- Sin. x) 2" , ««+!
10) j {I Tang ■'■)" ^.. _,/,.!''" ^T ; = (- 1 )« 1"/' 1" -^^^7 V. T. 157. N°. 3.
dx a> 1
= ( - 1 )« 1 "/I ^
Cos. ,r {Cos. X — Sin. .r) y »«"+ '
.. r,„ , Tang.^x dx 1*-'/' r, l—\\»
1 I ) / (/ 7W.3:)''-' ^ = 2 ' V. T. 15 7 N 11
7 Cos.x-\-Sin.xCos.x (-1)*-' o(a+«+l)''
/ ,„ . Tanr/.^x dx <» 1
J :J) / (/ T-an^. x/-> — ^ _ -— - = (_ i)/-l , /.- ./I ^ ^-^ V. T. 157. N\ le.
j Cos. X — Sin. r Cos. x q (a -f n -}- 1 )*
1 3) I (/ Ta/i.^. ^)2o-i ;^-— ;-----^_— -^ = ^ — 7r2«B.,„_, V. T. 157. N'. 5.
Cos. X {Cos. X -\- Sin. x) 2 a
1
Cos. X ( Cos. X — Sin. j) a
i H / (' r^nt^. j-)2''-i ^-'—^^ :^~ = — L oo„_o ^.,„ j3^ _| V ,j, j5^ j^. ,.
?"| -| V. T. 15S. N'. 15.
f 1 dx 1 /2 t\ 2-1+1 / 1
7 7'a«<;.'?j; + 6'o<.».rStn.2x- 4^ ' \ .j j [l
1 r.j [{I Tangx)^<'-l ^ ^ = i (- ,). f ^ ''V" ,V ('] v
7 "^ ■• ranj7.«.c — Co«.»*Sm.2x 8^ WJ \2,/
\-,\i,t-r > ■ '''J'^ - Tang.x Tang.'' x 1 I^ Cos. u ). v t
\7)I{1 fang.x)P-^ ^^^ ^ dx = -f— llP-' P f/)) ^ - ^- '•
7^ ^ ^ l-Cos.X.Sin.ixSin.2x 2^ ' ' ^^ '- fy + „_1)P N'. 7.
T. I5S. .W Ifi.
lay.
Puge 413.
F. Log. cnnum. I Tanq.i- ± x\. Timn-i- in.'
(lire. Dir. rat. en dtiii.
30!). N\ 6.
TT* V. T. 330. N\ 2.
16
r,^, n \ dx 1
\)jlTang.[-±a!\ = ± - tt- V. T.
7 ^ \4 / Sin. Ix 8
'] "^ ^ / 'lang.lx 16
y \4' / bin.-lx 2{p — 1) 2
f, (^ \{p-\-q){TangJ>-^<lx—CotP+<lx)-\-{p—q){TangJ>-^x—Cot.P-9j,) ,
A')\l lanq.\-±x\ ■ dx =
7 \1 / 6Yn. 2.t
n Sin. r> n
"" , /' + ';< 1; ^'^ 1'- -i^. N'. ;;n.
Cos. pn -\- Cos q IT
kJ,t /^ , \ (Co^>-' 2x-l)(pSin.'- ■Z.r-\.Cos.-2x)-S in.^ ix ^ v.t.47
o) I rianq.\—±x] — r dx = ± ijLol.p^i ., , ,,,
7 ^ \4 / Sm.».i'.Co.'.P2j; ' N'. 10.
/■ /.T \ -Sm.Sj' 1 , , \ \ '
0) /;ra?20. -±a; dx = ± (tt^ — i (Arccos. r> . ^ ) , p- < 1 ; V. T. 339. N». 28
7 ^ \4, l-lrpCos.2x IQp^ ^ / /' / ^i '
.315 N''.0,<i,
r, -,, /jr \ 5jn.2.T 1 . . . ,
7) 1 1 Tang. I — ± .v ) d.v = ± — Arcsin. p {:t -\- Arcsin. p), p- <C,1 ; V.T. ;
J \4 y 1 — pCos.l.i ip =
I / 77" \ 02/i ^ 71"
H)llTang. -± .r 1 ^ tZ.*; = d= — ^rcsin.p , 2>^ < 1 ; V. T. 340. N'. y.
J \i /I — p'Cos.-Zx ^p =
!)) / i Taw^. - ± ^ ) d.t = ± [Arcsin. p)' , p^ < 1 , V. T. 315. N'. G, S.
y \4 / 1 — p^rojs.^2.r 4/?^ =
10)nrancf. (-±^1 ^^^^-^^^-^ dx = ± - tt ;. Cosec. ?. V. T. 345. N". 11.
7 '' \4 _i 1— (?os.^2«.5m.U 4
.-■V fi'T /'^ , \ »Stn. 2:2! , JT V T 3-10
'''^r'"'\^-nSln.^lx+p^Cos.^2x'-' ==^4v/(1-p>)'*""^^'^<''N:--12. '
i.sfiT 1'^ \Sin.lx.C0S.2x 7T r . ,T I
N'. 8, 11.
Page 414.
I<. Lo;]r. on num. Autre lormerun fact. los- rrinri? -k' i- a .^
.1^ ... .1. lAuLti oiO. Lim. Oct-.
Lu'c. Uu'. rat. en den. 4
f Cos.lxdx 1 1,1, , , V r J.1
/•.^ Cos.-lx , TT — A _ «mi/. 1 l + Coi.A ^ ,,
•A)\lCoi:x , dx = -- — r + ^^-^ — —r. — t- Sec.m
7 (1— ros.A.5tn.2.r/ ^Sin.l 'iCos.l -i 1 — Co».A
4)/ / I^Si'n.- -+r)l — — — = — TT
V. T. 48.
N'. 8.
= — 71^ V. T. l(;i). N". 1.
T \ I f/ .c 1
4 1 1 Tang, i x 12
5)// |;jS»i.-| - — .i'll ... "■^^— = — — TT- V. T. 160. N\ 5.
f dx \
0)1/(1 + 7'a«y..i') ^,. -- = -TT^ V. T. lliO. W. 1.
&n.2x ~ ~~ 12
^)\l{Sin.x.Cos.x) dx = (— 1)"+' ?24- A.l(—\)a+\ ^\ ^ v- V 1 ,
7 Vw^-'+ai. 2a+l(^ ' 2 ^2a+l^^ ' , 2n— ij N ■ '. l-'-
7 7'oj.2a+i.-B 2al2^ ^ ^2a^^ ^ , n J N^ 2. U.
/■ |6Vf. 2.fl dx 1
10)/ i { \ = — —n- V. T. 160. N^ 10.
7 ICoj.* j;) 5i«. 2x 24
C[\—Sm.1x.Cos.'k'\ dx 1 1,1
11)/; \ — } — = - 71^ ttI + - I- V. T. 160. N\ 14.
y ( Cos."" X j &'h.2x (J 2*4
F. Los. en num. Autre forme: deux fact. lo"\ Timr -it i- n .^
-T.° n . 1- IAIjLL oi7. Lim. et -.
Luc. I)n\ rat. en den. 4
/■ t/x 7
\)\lCos.x.arann.x)'^ = — — n* V. T. 305. N^ H.
J 5m. 2 X li.")20
2) / 1 Cos. X. a Tang. x)^'UU+l+Siii.2x.Tang.-2.vLTa>uj.x) — = ^-"^-B-ia+i V^'; ?^"-
/" dx 1
3)/;Co«.2.i-.(r/an(/.a;)» „ = — tt ' V. T. 305. N'. 7.
J Stn.Zx 384
4)//7W -± X .(/6Vn.2.r)'- = ± tt^ V. T. 336. N'. IS.
Page 415.
F. Log.cn niim.Autrofnrmo:(Iciix fact. los. rp.nir-i- •. in."
Ci.x.Dir.rat.o,uKM>. TABLh ..I / suilo. L.m.Ool-.
T. 33G. N'. 13.
6) / / Fayic/. i-±x].{l Sin. 2 x)"
7j//2an«. -±.r ).(/&■«. 2 j-)"-i — = ± — f— l)"!"/' J" - - V. T. 33G. N". 17.
J \1' / Tang. 2 X Za „(2h + 1)"+>
\« ^ ± „8 V. T. 33C. N\ U.
9) 1 1 Tang. (-±x].(lSin. 2a-)2''-> — '^ — = ± '' ~ " )2"/i J" — - V. T. 336. N". 15.
dx 22a+2_l
Ta7ig.2x ~ 8.a-(- 1.2a+ 1
dx l-2-''+',„ „ ^ 1
= ± ) 2,-/1 ^ —
Tanff.Zx a'r-"+3 , «2a + i
rf^ 1
/Sm. 2 .c IS
4 V. T. 310. N\ 1.
1 0) jl Tang. ( - ± A(/ Tan^?. a:)
( In \ dx 1
]])//7anai. -±a; .(i ranq.a;)* = ± — tt" V. T. 310. N'. 5.
./ ^ \4 / ^ ^ ' Sin.2x 40
1 2) j / Tang, f ^ ± A (I Tang, xy —^
dx 17
± 7i» V. T. 3 in. N\ S.
2x 224
TT \ _ rfa; 250+2—1
I'-i) j I Tang.yj ± x].{lTa)ig x}'' -~^- ■= ± — ^ ^ ^ '^ ^ 7t2"+2 H.,,.,.1 V. T. 310. N°. '.».
!■ j " ' 5m. 2a: 4.0+ 1.2a + 1
d.v 1 - 22"+!
== ± 15 _
Sin.2x 22a+2a , „2a+l
. i ,n. l'^ \ d.v 1 — 22"+! a> 1
\r>)\(lTang.xfl'.l '- = -^' _l)«+iB/0— B2+24 i C- o ,' „ ' '
j ^ ' Cos.'x Sin.lx 2(26 + ]) (^ ' ^" 2i + 2 ''^ j>M2.
F. Log. en num. Log. de Log. im ut p -i o i • n ■ "^
r;,.r. i\\. .1 1- lAliLL 010. Lim.Oel-.
Lnc. Uir. ral. en den. 4
,, f,,^ Tang.lx 1
\)\llCol.x-r^ dx = (A + /7) V. T. 190. N\ 1.
J Sin.2x 25^ ^ ^'
2)ltlCot.x- ^ = — \ll2n~lT l-W V. T. 191. N^ 7.
^ In+l
dx 1 ^, , / ' \ 271
7 l + Sin.2x.Cos.X 2 /tt-T
2n-
Pa:?e 416.
F. Log. on num. Log. (le Log.
(aic. Dir. I'at. eiuh'ti.
TABLE oI8 suite.
Lim. et
1 1 II Col. X
f
I llCot.x
dx
1 /1\ 1
= _Z'- +-'2 7r V, T. 190. N\ 7.
2 2/ ' '2
(Sin.x -f- Cos.x)
Tang. "x-h Cot.". V dx n an . _ n
^ , ^ , o =-Sec~l2n-\-''-:^{-\Y-^Cos.[-~^'a7T\l ^ ^*
Tang.''x-\-Cot.''xSin.%x 4>b 2b U i ' ' '
h
,/^+-|
,a + i
impair;
6-1
«)
n ^ an n - ^ I n — ^ i
= Sec.-ln-Sr~, S {—If-^Cosi ~-^an\l-
21
\V.T.191.
l\,'N^ 8, 9.
h
pair :
C 'lanq.lx 1 ( ^ i
7) //(/J -f / Tang.x) -~^ — dx = — llp—e-Pl Ki.(pq)\ V. T. 325. N\ G.
J Sin. 2 X 2 q I f
Sin.Zx 25!' '. -' ^
= - \lp-\-eP1 Ei.{~pij\ V. T. 325, N\ 7-
27 ( j
/■ , Tang.n x 1 f
HjlKp — L Tang.x) \.-, — z — dx
Sin. 2 X
zrl ^ ,
' ttZ- v. T. I'.iO. N°. 10.
',)ljl{a^+[lTang.xy]dx = nl ^^^^
\ 47r /
■ „ /»/-, TgJW ' CotJ>x n pu ^il{\1n^V.-n-pzi) /j(2n+l)7 r+;>7r] -,v,T. 190.
■j Co8.2x r ' '' 2 \(2n-{-\)n—pn (2n + l) Tr+pTrJN'. 6.
ii) 1 1 ICot.xUCot.yjP-^ -- ^ —dx = ■ -^ \lq~'^'ip)\ V. T. 190. N°. 2.
') ^ Sin.2a 2qi' { ^ ^' M
F. Logar. en num. (/ Tang. x)".
Circ. Dir. en den. iriat.
T.\r{LE oI9.
Lim. et -.
4
) jl Ta
dxl^Cos.Zx 1/1
/ Sin. X d X l^ C08.2, X 1 / 4\
2) / 1 Tang.x ;r-^ = - ( ^2 — - 1 V. T. 1C2. N'. 2.
Cos.* X
[ [Cos.zxy-'t \"i^7T ,
3)llTan,j.x\ „ , rfx = — - - (A + Z' (a + Ij + 2 / 2} V. T. 162. N"
J Cos.^c+^x On+2 1../I I ^ V -r /-r J
[, Tang.x I
4) 1 1 / ojKj. X ' dx = — -
7 ^ L^(7oa.2x 8
1-2. V. T. IGa. .N'. 12.
Page 117.
WIS- EN NATCUBB. VEHll. I)i:H KO,M>KL. AKAUE.M1E. DKEI, IV.
53
F. Logor en num. {I Tmuj. xy\ ^ ^j^^E 519 suilc. Liiu. ct -■
Lnc. l)\v. en den. nrat. *
f Tann.^ x 1
b) 1 1 Tang. X -^ dx = -(/i— 1) V. T. 163 N^ i:)
J \yCos.l.v 4
6) / / Tang.x
7) 1 1 Tang.x
~ = 7rZ2 V. T. 163. N'. 2.
Cos. X \y Cos. 2x 2
Sin. X
Cos.^ x\^ Cos.Zx
dx = l2—l V. T. 1G3. N'. 3.
^ [l-Z --] V. T. 163. N\ 5.
3 \ 6
dA' -= — TT — — Z2 V. T. 163. N'. (1.
S)j I Tang.x ^'"'^ [^^ , ia; = ^Trfi-/^^ V. T. 163. N'. 4
f Sin. X
y ) / / Tang, x - — ; — — d x
f Sin.'^x , 8/7
10) 1 1 Tang.x-—- TT"^ (^-^ "= 77 '^ T^
'] '' Cos.^xl^ Cos.2x 16 \12
f Sin.'- X
11)11 Tang.x-—^ -^ — „- dx
'J ^ Cos.^ X v/ Cos. 2 X
1 2) j I Tang, x ^^^ ^ ^ (^Cos.^^rTsinKx) ~ ~ 27 "" ~3|/3
r Sin.x 1 n:Z3
13) / I Tana x dx = — tt^ — V. T. 163. iN'. 11.
'] ^ Cos.^x^{Cos.Kx—Sin.'x) 27 3j/3
1 4) fz Tang, x ^ "^'^"7 d x = — — ^ Seep n ,p<:^-; V. T. 5 e. N°. 1 5.
' / Sin.-' .)■ 2p+ 1 2
(Zj; 2 1
7iSec.p7i,p<i-; V. T. 50. N". 12.
^"'•^^ - ^(^2-:^) V. T. ,63. N. 7.
15 \ 60)
dx 1 51/3
V. T. 163. N\ lU.
J
Sin. x , 1 „ ^ Z 3
^•^)/'^""^-"(Cot.^-l)H/'Sin.^. - 2p-l
16) f I Tang.x—— -;^^ ^.— -,- = -4«2 V. T. 52. N°. 9.
J i^ [Cos.x{Cos.x — Sin.x)^f
f ly Tang.x +^ Cot. X dx , -;.-,-,".„ ,„, xr, .
17) // Tang.x ~-^^—^. ^- = — .i^ !/ 2 V. T. 163. N\ is.
7 '' Cos. X — Sin.x i/5in.2j:
18) f (I Tang.x)^ '^"^ ^ = ^ f(/2)^ +-^ ^4 ^'- ^^ l'^*" N"" ^•
'j^ ^ ' Cos.xl^Cos.2x 2 ( 12 j
f 1 da: 1 — 2-"
19) / Q Tang.x)^''-^ rr-r- = , r (2 ^)2° Bsa-i V. T. 161. N». 3.
'J^ ^ ' ■ Cos. x— Sin.x 1^ Sxn.%x 4al/2
I a Tang.. v)^-- Sin.x+Cos.x ^ _ 22^-1 ^^ ^p, ^ y. T. 319. xN^ 19.
J^ ^ ' (Sin.x — Cos. x)^]^ Sin. Zx \^Z ^ '
'0)
Page 418.
F. Logar on nun., .rautre forme. ^.^g^E o'iO. Lim. et -.
Luc. Uir. en den. niat. 4
3 1/" Tana, x + l^ Col. x
ISin.x- - 1—7^- dx = — 7rU/2 — 2/2 V. T. 50. N". 15.
Cos.* .1-
14- V^ Sin. 2.t; „ /-r \
/S»i.2^— I^r Tang. - + A- dx = — n^ V. T. 1G3. N°. 18.
10
II
12
13
14
15
Tang.i-A-A 1 _ o2a
{/6V«.2 j:)2«-l Vi ./ dj- = — 27r2a B2„_i V. T. 16-1. N". 3.
/Cos. « '^ ^.^^ d.c = — 71 1/ 2 4- 2 / 2 V. T. 50. N". 15.
Cos. Sir ] 1
ICos.x = — /2 n V. T. 51. N'. 2.
Sin. * X. Cos. 2 X V^ Cos. Zx 1/2 2
1 + Cos.* 2 A' dx ni-^^n (r(M)*
/Cos.a: -"V— == —^ ^ Jiii— V. T. 50. N". 1.
5m.* 2 .r ]^Cos.2x 2{r(|)}* 8]^2n
U-'Cos.2x frfl))'- 7Ti/2 7r
IC0S.X— „—-- dx == i--^*^^ ~ — V. T. 165. N°. 5.
Stn.2x.Cos.^x 81/2 71 2(r(|)}-
2Cot.2x-\-Sin.2xlTa)w.x 1 ,
ICos.x ' '^—dx = ^12 V. T. 3H). N°. 4.
Cos. -Z X l^ Cos. 2x 8
1 + i^Cos.2x dx
ICos.Zx ■ = — TT* V. T. 1G3. N°. IS.
Tang.x ry Cos.^ Z x
(/Cos. 2. r) 2"-!- = ^~^ "2 7r2«Eoa-i V. T. iCi. N^ 3.
7a«^. .T L^ Cbf . 2 a- S «
,, ^ . Ta7\n.P x I0/2
(/Co<.a; «-« -— ^^^ — dx = — ^ \ypn V. T. 162. N^ 4.
ITang. [-±x\ dx = ± n V. T. 51. N^ 2.
\4 / Cos. ». ri/ Cos. 2 X
lTang.[-±:x] -'' dx = zzi2 V. T. 51. N\ 3.
\4 ] Cos.xl^Cos.Zx
,_, l^ , \ 2 Sin.^ x.Cos.^x—SCos.Zx „
lTang.\-dbx\ — Sin.'^ xdx = ± 1 V. T. 50. N^ 2.
\4 / Cos.* xl^Co9.2x
^^"'Ki^^) Cos.*4yCo».2. [7^. - -^ ^^t?-+ ^- (^ +/^^)} V.T.37..N^5.
Page 419. 5;3*
F. Loffar. on num. (1 autre forme. Timr-oA •• i • n .^
n- ° ,\- I ■ lAlJLL ,)'2() suite. Liiii. ct-.
Lire. i)ir. en dcii. unit. i
f 1 » 1
2' o' ' l^(2n+l)'
/Cos. 2 X dx
I -T; T; = — ^^2 V. T. lOo. N-. 11.
Cos.^ x Cos.x] -'"""-
> \y Cos. 2 X
W Cos. 2 X
-p \^ Cos. 2.»;
[ Cos. X -\-pi.
18)/<fx/- ^^-^ = 71 Arcsin.p ,p<^\; V. T. 100. N'. 17.
J Cos.x — p]^Cc "
f Cos. X -}- Sin. .r. Sin. J
J Cos. X — Si7i. X. Sin. i
■10) \ UCoLx, Tg.'=x-\-Cot.<'x]d.v=-nll7T-\]Sec.——7r2{—l)'>{ ^ ■ -^-i- + -i ^ \ 190
. , _ X dx
19) 1 1 = ttA V. T. IGG. N\ 7.
. A Sin. X \y Cos. 2 x
J on OTTlvo R
/(2n + l)7r (2n4.1)7r+-_-\N°' ^•
F.Log.enden. Fonct.mon6me. ^^^g^E 321. Lim.Oot-.
Circ. Dir. ent. +
l)\sin.^ [''—x\Tang.{--x\ j^^ = -l"^ V. T. 171. N'. 1.
f l^ \ r„ i^ \ dx 18
2)J5m. (--^).ra«,.^--.|^^ = -/;^
C in \ „. _ In \ dx 1 jt
:i)|Sin.^ x\.om.2x.2anq.\ x\--- == — l-
J \^ I \1 1 1 Sin. 2 X 4 4.
V.T. 321. N°. 1, 4.
[ in \ dx 1
*)ISin.'' {-—x\.Cos.2.v^^, = — -/2 Y. T. 107- N^ 2.
? Sin. 2 X 4
5) / (1 - 5m.?-' 2a;) Tang, [-—x] -—^ — = -I -— _\-f-i-— V. T. 171. N°. 2.
7 ^ '' U I lSin.2x 2 J, ly ?±1^
/• /tt \ d.» 1 r(»+l)r(<7+l) V T 171
.)|(1 - W2.)(l-5,-„..2.) ran,. (^ + .)^-^r^^. = ^^ "'g-:^^^^ ^». fi.
/■ da; 1 2
l)\Sin.-* X. Tang.x-— = -I- V. T. 171. N'. 1.
7 /Co5. 2a; 4 n
f dx 1
S)ISin.^x.Sin.2x~: = 12 V. T. 167. N=. 2.
J I Cos. 2 X 4
V)) I Sm.^ a;. Coa. 2 x. Tang, x ,~7^ = 7^7 V. T. 321. N'. 7,
i Cos. 2 a; 4 4
Page 420.
F. Loff. en d(''n.. Foiict. inoiiome. Tinii? rroi ^..:i« i ^., /k „• ^
.,.0 p.. , lAliLli, oil suite. Lini. U et -.
Lire. Dir . cnt. ____^ 4
f dx 1 8
10) I Sin.* X. Tavg. X — = -'— V. T. 321. N^ 7, 8.
l\)lcos.na:.Sin.Kv. Tang. 2. v—^^ == ^ {{q-\-2)l{q-\-2)-2{q + l)liq^l)^qlg}l\'^- ^«»-
12) / Tang. x] = I -
7 \4> / Cos.^ xlTanq.x n
V. T. 171. W. 1.
13) \{\ — Ta7uj.xy ,-,^'^^— = i 7 V. T. 172. N'\ 1.
dx n
I Tang, x 4
) j Tang, i-^— X
11.) / Tang. \~x] ^^"^•' ^ dx = I '-^' V. T. 175. N". 17.
I Tang, x n
lb)JTang. [~—A jf— — = — -^^ V. T. 175. N°. 18.
\&)\irang.y ±x\ „ — — vl = ± l'-^ V. T. 321. N^ 14, 15.
dx 1
Tang, x ^
dx . TT
= ± Z-
Cos.^ xlTang.x 2
F. Los-cn lien.. Ponct. monoine. r,^ . ,jj ,^ -(^o i • a . '^
Cue. Uir. Iract. a den. mononie. 4
f fn \ dx 1 1
])l{Sin.'i-^2x — Cosec.l-^ix)Tang.[ a; — = -ITang.-qn V. T. 175. N°. 2.
J \4 / I oin.2 X 2 /^
I .,. ^ „ or. /t \ dx 1 Sin.2qn
2)j{Sin.l2x — Cosec.'i2xyTang.{-+x\ ,-.—„— = ;;'— ;r~_ " V. T. 175. N'. 4.
4 / ISin.Zx 2 2371
7r \ dj; 1
4""^/ lSin.2x "" 2
r /tt \ dj; 1
3} j {Sin.<l 2 x—Cosec.'iZx)- Ta)ig.\- — x] ^ ^,^ ^ = --IqnCot.qn V. T. 175. N». 3.
^'^-.
vS2n.?2a:.iSm.' 1 .tj , ,
ri — Coj.-z-i 2 a: di 1 Vg
5)J-— -^';;_ -'" r;^^ = ^^ /,^ yy , ,. V. T. 171. N'
Cot.x ICos.ix 2 l\\ lq+\
6) I {Cos.l-^ 2 X — Sec.9 2 ai) Tang.x -~^— -= t Tang. -on V. T. 175. N". 2.
J I Cos. 2 X 2 2
. fil — CosP 2x)(l— 008.9 2 x) dx 1 ,r(D-j-l)r(<7+l)
7)/^ —^ -'— = _/-^T_>_iLX- '' V. T. 171. N». 17.
J Tang.x lCos.2x 2 r{p+q + l)
Page 421.
n- IV r .1 > lABLE o'l'l suite. Lini Oel-.
f du- i
H) f (Cos.'i Z X — Sec.1 Z xy Tang. X — == - i{(inCot.qn) V. T. 175. i\». 3.
^f Cos.'iZx^Sec.iZ.v-2 dx _ I iSin^qn ^ ^ j^. ^^^ ^
Tang.x ICos.Zx 2 jti
2a;4-(l — Tang.x)Cos.Zx dx
Cos. * «. Cos. 2 ar ^ Tan^. x
10)1 P^^r r— ^^ ■ — r„ = — In V. T. 172. N°.
/ Tang, x n
11)/ ii L """ = l~ V. T. 171. N\ 1.
7 Cos.^j;
n) \{Tang.l> x—CotJ> x)- — = I Tang. \—^A V. T. 175. N"
5.
13) / ;; ^ j^ = — / ^ V. T. 167. N\ 2.
fCos. a; — Sin. .v d x
Cos. ^ X I Tang, x
fTang.^x — Tang J' x dx 1 q
14)/ ^. — — = -I- V. T. 170. N^ 2.
J Sin. 2 X I Tang, x 2 ;;
[{Tanq.lx — Cot.'i xV dx
15)/ = ICos.qn V. T. 175. N\ 6.
J Cos. 2 x I Tang, x
CiTanq.lx — Cot.<ixy d.r Sin. on
IG)1\ 1 '—Tang.x, = I ^ V. T. 175. N\ 7.
J Cos.Zx I Tang, x qn
f( 1 — Tanq.l x) (1 — Tang.'i+^ x) dx
17)/ ~^ ^ = —qH V. T. 172. X'. 3.
J Cos. 2 X I Tang, x
[I Cos.x — Sin. .r\
dx ,27
= Z^ V. T. ICS. N^ 1.
Cos.'^x } {I Tang.. r)^ 16
Cos. X — Sin. x\- Sin. Z x 32
Cos.Kv j {I Tang.x)' '' "" 27
7 \ (7os.'.v j {I Tang.x)' 27
■m\{Tang.'ix-\-Cot.1x)~- -=(— l);'r(]— 7)).2'(— 1)" ; ; , -— — }lf, i
jp J T- \lTamj.xy ^ ' ^ '\^ ' \{2n+l—q)^-P (2n + l+^)l-/'3 N». 4.
jTang.lx — Cot.ix dx » f 1 1 )V.T. 17t
~^7 Cos.Zx {lTang.x)'l'^''~^^''~^^^^~^^^\{Zn + l-q)^-i~(2n-\-l+q)^-r]^'- 5-
22) f'"'""'^^*"'' ^" ^
ISin.-Zx)^ Tang.Zx
= q: -Z2 V. T. 350. N\ 5.
Page 422.
-^.'^ n- 1' p ■ (• lAliLL -j23. Lim. Oet-.
[Sin^ x.Tanq.x dx ^ ,„ , ™
1) i = _ -3^2 V. T. 175. N'. 18.
' j l-l-6'os.2 2a; /Cos.2.y 4
(Sin.''' X. Tana. X dx 1 2 (/' 2
■^'jf— --' —
)/ " ■ = -/ V. T. 175. N'. 17.
' ' +5ec.*2a; l(.'os.%x 2 n
/■(I — Tang.Q .r) { 1 — Tangf x) — i\~ Tang. xV dx
3)1 n —^ ^ —^-^- T^iT- ='B(/',7) V. T. 175. N'. 1.
/ Cos.x — om.x bin. XL Tang. X
I Cos. 2.V dx , ^ <i ^
4) I ; = I Cot. — V. T. 172. N°. 4.
71—2 Sin.^ X. Cos.' X I Tang, x 8
7 Sin. X + Cos. X Cos. x I Tang, x I p+ 1 \ /p-f
, V. T. 171. N^ 3.
(TangPx-^'l-angMs d_x ^ ^ {2} \ 2_,_ ^ .^, ^^^ ^^, ^_
/ 5in. X -\- Cos. X Sin. x I Tang, x h/ -\- 1\ hA
(Tang.lx—Cot.'ix dx 1 [p + n 1
7 / — -^ — = - I Tang. V—^-^n) V. T. 172. N». 6.
J Tang.Px-\-VotJ>x Svn.%!r.lTang.x 2 I 4p J
fTang.lx + CoUx — 2 tZa; 1 on
S / ^^— ! . == -I Cos.- V. T. 172. N'. 7. corr.
fTang.lx-^ Cot.l x — % dx
J TangP x — CoW x Sin. 2 x I Ta
f To Jig. 'I - 1 .r — CoU X dx 1
•' / - \>r— -7; ::; ; = I Tang. -an V. T. 175. N^
'J Sin. x-\- Cos.x Cos. X I Tang. X ^ 'I
f{TangPx—Cot.Px)- dx
10) /^ ~ TT^ 71^ = KqnCotqn) V. T. 175. N'=. 3.
J Sin. X -\- Cos. X Cos. x I Tang, x
iiTanij Vx — CotJ> x) * d x
11)/ -—^ o -7. r = imnCoeeclqn) V. T. 173. N'. 4.
J Sin. X — Co^. X Cos. X I Tang, x
12) [ ^ — Tang.g x 1 — Tan g.Px Tang.- x ^ ^ ^ ^ r (p + r) T («? + ^) ^ .^ ^j, jj„ ^^
J Cos. X — Sin. X (Sin. x I Tang.x ' T 0' + 7 + '') ^ (♦")
/ i dx oc Sin. n A.
13)/ = Cosec.'KTiq)^{—\Y-'^ — V. T. 174. N^ 4.
7 1 + Sin. 2 X. Cos. X {I Cot. xy-v ^ «'<- MiJ - I ■• ; ^,
f Cos.Zx " ' dx a. Cos.{{2n — 1)?.)
11)/ —-!^ = Sec. I r f7).2'(— l)"- ■- '-^ V. T. I7i. .V^ 13.
7 1 — Sin.^ 2 x.Sin.-' X {I Cot..ty-i c--- ^ M /; - V ) ^o ,j _^ j^,
15)/ j^ ^—— J ?^ 1 — ^- = 1(^2—1) V. T. 172. N^ 3.
7 [Cos. 2 X (1 4- Cos. 2x) ^ 2 Cos.^ « I Tang x\ I Tang, a; 2 ^ '
Pnge 423.
-^ " ,. , TABLL o24. Lim. el -.
Luc. Uir. out. 4
JO
n
13
da; l — JT
V. T. 173. N°. 7.
n'^ -\- {I Tang.ic)'^ 4 7r
da; 1
- = - 12 V. T. 173. N"
n^ -^ {I Tang.-' x)^ in
f da- If f2Q + 3n\ ,., ^q + ^W
I — = - JZ' -^^'^^ — Z' -^-^^ V. T. 173. N'. 9
J ,f- +(lTanff.x)^ 4^q\ \ in } \ in )\
/
V. T. 173. N". 2.
fn \ ISin.Zjn 1
ranq.i- + x] dx = -{1 — 2 A) V. T. 173. N\ 3.
f^ in \ I Silt. Z a- , 2rr« » /27r\2'> Ba^+i
/ Tajiq. [- + x\ dx = ^ (— 1)"+' — ~ V. T. i73. N'. 4.
J ^ \i j q^ — ilSin.2x)^ q' o \qj n-\-\
[^ In \ lSbi.2x , —n^ « ^ /27r\2n
r In \ lSin.Zx n' ^ , l%n\^n
hang. 2 .W-S... ^ilz^Ii^^fll.) ^ . ^ 1 r ^. . / , ^ j
325. i\'. 1.
4,t2— /Co«.2a;)^ , 1
Tang. 2x1 Sin. X ^, '—- dx = — 1 — 2A) V. T. 325 N". 2.
^ {471^ +[lCcs.2xy}'>- 16 ^ '
/
/rana.2A'i5(«..r t^^^^^-t- ~- dx =-■ — ^ — 1)"+' — -^ V. T. 325. N'. 3.
j ^ {q^-(lCos.2xy}-'- q^ 0^ ' \rj n+1
f ,„, o^' — 3(/Cos. 2j;)^ — tt' »/27r\2''
lTang.2xlSin.x-f~ ^- '—dx= JS" — Bon+i V. T. 3a5. N*. 4.
\rang.2xlSin.x ^ J ' ' dx = —-^(-l)'-! — B2„+, V. T. 325. xV^ 5.
Page 424.
F.Log.cnden.Fonct.hinomc. ^^p^E 325. Lim.Oel^.
Circ. Dir. en den. r;it. monomo. *_
I Cos. -Zj: 1 ( 2 7r tt f f/ \]
1^" \^ j_, ^ _ b ^ .,_ _ ^ Z' J_ V. T. 173. N'. 2.
xq- +{lCos.2xy H [ q <} \Zn]\
J Tariff.
f 1 I Cos. 2 X 1
2)1—^ ■ dx = - {\-'2 A) V. T. 173. N', 3.
7 Tamj..v \::t' + {lCos.2ay S ^ '
f i I Cos. 2 X 2 7r' '^ 1 2 n\-" ]hn-^]
;3)/ dx = ^(— 1)"+' — ^^- V. T. 173. N\ 4.
'] Tamj. X q-—{l Cos. 2 x)'' ? ' o \ 9 / « + 1
( 1 lCos.2x — TT^ « I2ny"
4)/ -; — d.t = ~ -• ^2n+\ V. T. 173. N'. 5.
7 Tang.x {<r + (^ Cos. 2 .r)^ '^ 2q'^ o\ q J
/■ 1 « Cos. 2 a; tt* » /2^\-''
5)/—!— da; -= —-2i^ (-!)«+' — B2„+, V. T. 173. N\ 6.
'J Tang .V {q^-—{lCos.2.vy}^ 2q' o \qj
6)ff ^-^ —ff— ^ I'-r^Ei-M V. I. ,09. N-. ..
J oin.2x p-\-llang.x 2
(Tanq.tx dx 1 „
7j/-7-^ ■ =-- ef<iEi.{—pq) V. T. IGl). N'. 2.
j Sin. 2x p — I Tang, x 2
(Tang^ I Tang.x ^^^ _ -_ ^l i^ ^ l^' [l\ V. T. 173. NM2.
'J Cos.ixq^+{lTang.xy iq ^ 2 q 2 \nj
9)/ ^ — ''- dx = ^(-l)"-> --^ - V. T. 173. N". U.
'jCo8.2xq' — {lTang.xy -Ij* o n+l\qj
f I Tanq. x dx 1(1 )
10)/ ^ -—— = - I-— /2 V. T. 173. N'. 11.
./ 7T - + (/ Tang, x) ^ Cos.2x 2(2 |
f I Tanq. x Tanq. x 11
11 J / ,^ — — - ^ - dx = A V. T. 173. N". 13.
Jtt^ -\-{lTang.xy Cos.2x 4 2
f 2 Tanq. x dx 2 — n
121/ ~ = V. T. 173. N'. 10.
7 tt' + {I Tang.' x) ^ Cos.2 x 16
/ ITanq.x Tanq.x 1 7 ^ i / - -i + '/\
13)/ "'— dx = -l ^ \--^'{ -^ V. T. 173. N'. 1.
} q'^ + {lTang.xY Cos.2x 2 2 ti 29^2 \ Ztt /
/■ ITang.x dx tt 1/ 2 1 1 i/2_l
• !•) / ;^ = — + ^- + 1 V. T. 173. X'. 18.
(ITang.* xy Cos.2,x 64 ^16^321/2 1/2+1
, , V. T. 17G.
^ ^' N'. 8.
[Tang.Px — Colfi x dx ^ r ^ c r ^ ^ t
^■')j .. , ,, .,. ^/T-^o" = —[pnCos.p7T-Sin.p7T.l{2{l^Cos.pi)]\,p
J Ti- -\- (I lang.xy Cos. 2 J 2 tt*- ^
[Tang.Px4-Cot.PxlTang.x K „ ^ ,, ^ ,1 V.T.I 70
' 'V -; ^+ilLg..ry -^st '^ = ^b-P^S,n.p.^-Cos.p..l[2il+Cosp.)] ] .,< 1; N^ ..
Page 425. .01
WIS- F.N ^AT^l■Rli. VKlUi. UEH liOM.MvL. AKAlilMII', IH.EI. IV.
F. Loif. en den.. Foiicl. binome. rr i m r- -c*- •. i • /% ^
Ci.T.Di..en(len.rat.monome. ^'^^^^' ''^'^ ^"■^"- ^""•^^^4-
fTangJ\v~Cot.Px dx 1 o- ^ -'^1 ,1 + Stn. } p rr v T 17G
J -T^+{lTanc,.^xy Cos.Zx 4 8 2'^ ^8 'z' \-]-Sin.\pn^^ ' N\ 7.
/■ ITang.x Tang.x n- » /ttX^"
■)» Cos.Zar ly' W/
f- J- (—1)"-' (-]"" B2„+, V. T. 173. N\ 10.
f ITang.x Tang.x
/ [,j''—{lTang.Ty}^ Cos.2x
c-isfirr 1'^ _^ \ 71^ — (ITang.x)^ d x If, 1)
21)llTang.\- ±x\,—^ ^ ^-^ =±-^2 ' V. T. 325. N°. 10.
J \4 ){n'+ilTang.xy\^ Sin.Zx Z \ 2)
o,J,rr h^ \ n'~ilTang.^ xy dx ^ n — 2
y \4 / {;i-+(^ra«(,.V} -Sm.aar \ 64 16 ^ 321/2 1X2— 1 ) N°. U.
/Z 7a7?9. .r dx 1
■ . , ,,^ ;t — = - (I — 2 A) V. T. 173. N". 3.
4, .T 2 ^ (i ja„^. ^j 2 Cos. a; {Cos. x — Sin. r) 4 ^ '
( IT ang.x dx 4n' » , /tNS" B2„4.i
25)1 = ^( li'i+i -1 ■ ' V T 173 N" 4
^jq^-ilTang.xyCos.x{Cos.x — Sin.x) g^ o^ ' \q] n+1 '
F. Lof^. en (Ion.. Fonct. biiiome. rr.nri? -o^^ f- n »''
Circ. Dir.cn den, irrat.monome. ^^^^^ ''^^- ^■"^•^^^4-
Tang.{l-x) ^^ ^
l)/— , „\,, , ■— _ ^. ^ = -— i2 V. T. 177. N". 1.
-\-{lSin.Zxy \^Sin.2x 4 7r
Taivi. - —
2)
Tang. [ - — x
3)'
/ i* / da; If i/'-2+ 1
/ .. , , ;^. ^ = In— I- -^— } V. T. 177. N'. 4.
J n- +'i{lSm.-2xy i^Sin.Zx 8 71 1,/ 2 I 1^2 — 1 J
7T
iT+vkr'r ^i. - h I'^'CTr')-''!'^^)! "■ '■ '"■ ''°- =■
\
/Tancj. — \-x
\4 / ^inP2x — CosecJ>2x 1 fl \-\-Sinp:T . 1 V T 17?
, , ,, _. — ~ — rr ~-~ ~. — ~ dx = -{ — Cos.pii.l — Sin-nn) y,'^ „
n^ + (i5tn.2x)> U^Sin.lx ^\n ' l—Sin.pTt ' J N°. 9.
Page 426.
F. Lo''. en den.. Fonct. binomc. T*nii.^ -tof o„i« i ;«, n ni '^
^. " r.- 1 • . « lAliLb oib suite. Lim. Uet-.
Lire. Un. en den. lira t.monomc. 4
f '"*^' 1 1 J 5tH.P 2 .r — CosecP 1x ^ ^ Sin. {(/> + 1 ) w tt }
5) / ^ r c/x = - ^
J q^ +USin.2T)'' l^Sin.2x 71 q+2n7i
dx = -^ --— ' — ' ■'- V. T. 177 N\ 13.
'/
ang.\ +J- isi 2x 2, — n
dx = V. T. 177. N°. 5.
n* + {ISin. 2 «)' l^ Sin.Zx S
9)
f ^ [i^ / ISin.Zx 1 ( ,1/2 + 1)
7)/ ^ dx = \n+2l^2—l =51— i V. T. 177. N". 6.
J zt- +4: a Sin. 2 J-)- l^ Sin. 2 X 4l/2i 1/2 — ],(
/Tanq. I — \-x]
•^ \t S!nJ>2x^CosecJ'2x ,^. ^ 1 n 1 .l+A"^ V.T. Im
— lSin.Zxdx= Cos.pi bm.pn.l — -— .,0 m
7i^ + {lSin.2x)^ l^ Sin.Zx 2 4^4^ 1— Sin.pn ^ • !"•
. Tang. { — h -^ 1 .^ ^ ^ r 1
f \l / SinJ'2x-\-Co8ecJ>2x n ^Cos.Up-\-\)nn] y x 177
i I — ~ — TT^. ~ ~ ' Sin. 2 xd X = — — — .7— xt" I ,
J q-^ -{■{lSin.2xy lxSin.2x 2q , q^2mt N'. U.
C Tanq. x dx ]
10) / , , „^ „ ,, ^ = — / 2 V. T. 177. N". 1.
'jn-^-\-{lCos.2xyi^Cos.2x 4 tt
f Tang.x dx 1 f i/2-{-l)
1 1 I !^ = Irr / ! — I V T 1 7 7 N» 4
7n' + 4(i(7os.2^)* 1/<7o5.2j; 8711/2! 1-^2 — li " ' '
'^^iq-+{lCos.2Ty-l^Cos.2x- f^qV\ -^^ ]-^\in]\ ^- T- 177. N . 3.
^ CosJ> 2x — S ecP 2 .r da; 1 |l r> l+<Sin.pT ) V T 177
'■'j n^+{lCos.2xy~' Tang.xl^ros.2x = 5 U^'"''" tlZn":^- ^''"-^ "j N'. 9.
,, fCosJ>2x —Sec.P2x dx — 1_ , •• vti7t
H; I ; - , „- „ ^. -r; --— = - {2pnCos.2p7t -\- Sin.2pn.l (2(1 + Cos.2d.t)) 1 ^^ , '
fCos.P2x — SecJ>2x dx n n. Sin. ((p+l)nn]
I — rv^rTT^ — ^r^r ^ ^, „ = -^ — ^^r^jL^ — / y. t. 177. n\ 13.
J 7' + (/Cos. 2 .t)* Tang, x 1/ Cos. 2a; q i q + 2nn
15
7 ^
/ Cos. 2x dx % — 71
V. T. 177. N'. 5.
Iti)/— _
y tt' + (i Coi. 2 a-) » Tang. xi^Cos.2x 8
/■ /Cos. 2j; dx If 1^2 + 1}
y jr> + 4 (/Cos. 2. t)' ranjr. .ti --Cos.2x 4i/2 I ^ 1^2— 1 J
Page 427. 51*
F. Los.cn dcMi.. bonet. binoiue. rp.m ,^ ^c\n ■. i- n .^
r- u- 1- I ' lAULL o20 suile. Lim.Oet-.
Lire. Dir. en den. niat. mononic. 4
fCos.l'2x-\-Sec.P2x ICos.'Zx 1 tt 1 \ ^ Sin.pn \ -r 177
18)/————— — - — — - — dx = Cos.UTt Sin.pn.l ^c ,'„
'J 7t^+ {I Cos. 2 x}^ Tang.xw Cos. 2:v Z I ^ 4. ' 1 — Sm 7*:r >* ■ "'•
.^,fCos.P2x+Sec.P2x ICos.ix 1, , ^ ,iY T 177
^^n . ■, . ,L . . ™ ;; dx=~\\—9.pnSin.2piT-Cos.2pTT.l{m+Cos.ZpTT)]} Vo ,0
J in^--\-{lCos.2xy- Tang.xl^Cos.^x i*- ' ' ^ iv ^ / ^/J\.12.
f Cos.P ■Zx-\- SecJ>-Zx lCos.2x t ^ Cos. {(f> + \) 7in} \- -j- 177,
.' 9^ + (I Cos. 2 x)"" Tang.xl^Cos.Zx "^ ^ ~"2^'~''7 y + 2n7r >'"'• 1^-
F'. Lost, en den.. Fonct.binome. rr.nr n -on i • n ^,'"
Lu'c.lJn'.cnden.iiTat.composee. 4
1)/"___J: I ^:^__l_f7./Hh3^\_^,/Z±!!\| V.T.177.
'Jq^+{lTang.xySin.x + Cos.xl^Sin.2x 4 9 1/ 2 T \ It / \ I tt jj ^"^ =^-
2) ( L I ^^ _ -1— IZ J. /i!! 4- /' /i-\! ^^- T- 1".
7 ?'+ (^ Tan^/. . T)i Sm.^ — Toy. :r 1/(1 + G«. 2 .2:) 21.-2(9"^ ^"^ \2 tt jj -'^°- 2.
p f Tang. ^ x — Cot. ^ x 1 dx 7Tp-'2^ Sin.npn V.T.177.
} g^ + {lTang.x)^ Sin.x—Cos.xl^Sin.2x ^ '~'~Y~'^,~^2^ 'P<^'^y\ 1.3.
Cos.npn V.T.177.
91/2 1 7-f- 2 nir .\ . If.
f Tang. - !t>-\-Cot. - x llang.x dx n ^ ^. ..
'7 q^ + ilTang.xy- Sin.x-Cos.xi^Sin2x^^.'^''^'^~^~^^^'^^^'' ^''
/"i — Tang.l-'i a: 1 — Tang.i—i x dx 2q — 2
5)1 ^ 2 __ __ _? ^2 V T 177 N"^
J Sin. X — Cos. X p^ Sin. 2 x I Tang, x ' V^ 2
15.
F. Los- sous forme irrat. m . r»¥ i-. -^t^o i • n . ^
Circ.Dir. TABLE 528. L.m. et -^.
t dx 00 f 1 ]n
1)/-^-:^ = I'TT^— 7; '- V. T. 178. N'. 4.
'jy'lCot.x 1/(2 «+ 1)
/" Sin. X
2)\ — — dx = \/n V. T. 349. N^ 6.
] \' I Sec. x
_, { Cos. X
3) / — — dx = ^/ n V. T. 349. N°. 1.
y 1/ £ Cosec. a;
r Cos.x (_o)aj^/^
*)/~777; T:7-r,dx = ^ V^ — V. T. 44. xV^ 6.
] V [ICosec.xY"-^^ la/2
Page 428.
I
F. Log. sous Ibnne irrat. ^,^g, g 3^8 suite. Lim. et j.
Lire. Uir. •*_
5)/ dx = v/7t^(— l)"-! -^ X_ZX X— V. T. 190. N'. 4.
J \ iCot.x l/(2»i+l)
7)1 __ ^ ax = -i/- V. T. 178. N'.
J oin.2x[/ ICot.x 2 p
f Tann.l x.llCot.x 1 rr ^ , ,. .„, x,, „
8)l7r~ ^ rf^ = I- {A+2/2 4.^a v. T. 190. N\ 3.
'J Sin.Zx[/ ICot.x 2 a^ ^ ^ '
nrr
9^ f 1 i^_ _ _K:I^1. _!)„-. 1 V. T. 178. N'. 5.
J 2 4- Sin. 2 X 1/ ICot.x „ c- '^ i »' "
10)f "^'^'•^ -^f_ = -±l!L, J(_i.^,,!iZ^fiL±lli±^ V. T. 190. N'. 8.
'J 2+ Sit). 2x[/ ICot.x o. ^ 1 3 v/(2«+l)
C)l ^ = i/tt V. T. 187. N°. 18.
'. 1.
2 Sin. -
a
•^•p.^S- lAutrc fory^c. TABLE 529. Lim.Oet^.
Lire. Uir.) 't
Sin.{2plTang.x).lTang.xdx = V. T. 404. N'. 6.
C cip^ — e-!/"^ VT. 404.
2) \Sin.'nLTanq.x).[Tanq.<lx — Cot.1x)dx=^nSin.\qn ; ,b^<_1,7 <C1;vo e
' j ' "f '^ ^ ' ^■' ePT_j.2Cos.<?7r+e-/"r -^ • ''•
3) j Sin.'^ iplTang.x) dx = —
^ — V. T. 404. N'. 17.
8 e2p'^+l
4) I Cos. (p I Tami. x] dx =
'j^^-^' 2 eP^ + 1
5)/
6) I (7o«.
V. T. 404. N°. 3.
Co8.'^{plTang.x)dx = -^ ^^—^ V. T. 404. N°. 8.
gjpT _j_ ^-jpT ^ ^ V. T 404
.(plTang.x).lTanq.<lx4-Cot.1x)dx = nCos.lqn ^ - ^ ,— — ,P"<1.7*-<1; v'o q
7) ISm. (pZfaMjr.x);;:;-^^^ = - ; _ ^_ V. T. 401. N\ 10.
da; n \ — eP*
(?o«. 2 a- ~ 4 1 + ff"r
H)jSin.lplTann.x] = - -— V. T. 405. N\ 4.
' •" 'Sin.1x SI— cPT
Pa|,'e 1.29.
^"r^nfn- (Aulro forme. TABLE 329 suite. Lim.Oely.
Lire. IJir.) 4,
/r,. , T,, Tanq.l—^x . » p
Sin.OplTanq.x) dx = —2 V. T. 404. N'. 12.
jan.(plTan,..).Tang.{- + ^J ^-^ = ^ ^^ V. T. 405. N^ 2.
Stn.fpirano. Tirana x\ = V. T. 405. N', 1.
^ ^ ' ^ \4 } Sin.Zx eP^ — e-p^
( ^. , ^ Tang.l x + Cot.1 x , n eV^ — e-V^
I Sin. (pi Tana. x) '' dx = V. T. 4n4. S\ 13.
J ^ ' Cos.Zx 2 eP'^ + 2 Cos.q Tt -\- e-P^
f dx 1
\ Cos. {pi Tang. x) = -/ (e*/"^ — fi- ip'^) V. T. 40G. N^ 18.
J Sin. 4 X ■%
/I Tang. X 1 , eP'r
Cos. (p I Tanq.x) ^— dx = -tt* V. T. 405. N'. 5.
^ ^ ' Sin.-\x 4 {l — eP^y-
I-
I
f Tana.i x — Cof x n Sin. a n
>jCos.(plTang.x) ^ dx = T^rTr-^ 1 Z ^- T- 404. N^. 15.
j ^ ^ ' Cos.Zx 2 eP^ -\- 2 Cos. g tt + e-P^
1 dx Tt eP^ + e— P^
10
11
12
13
14
1.5
16
17
18
19
20
21
22
23
, „ I Tana, x 1 . eP""
Cos. (pi Tanq.x) ^- dx = ~n^ V. T. 404. N'. 14.
^^ ^ ' Cos.2x 2 (eP'^4- ])^
In \ I Tanq.x 1 + e-2pT
Cos. (p I Tang. x). Tang.i x] --^—dx= tt^ e-P' ,. „ ., V. T. 405. N'. S.
Sin. (p I Tang, x)
V. T. 405. N". 12.
j '"'" "' ' " ■"''■"■' 1 — Sin. 2 X. Cos. I Tang. 2x 2 eP'^ — e-V^
f dx n . eP^ — e~P^ ,^ _
\Cos.(plTanq.x)— — r = - Cosec). V. T. 405. N-. 7.
j \f n lij^Sin.2x.Cos.X 2 eP"" - e-P""
f 1 dx n eP^ — e— P*
\ Cos. [p I Tanq.x) 7^ = Cot.l V. T. 405. N. 11.
7 ^ ^ 'l-\.Sin.2x.Cos.lSin.2x 2 eP'^ — e-P''
I Sin. (p I Tang, x) — = Arclang. {e^P'') V. T. 406. N». 15.
J I Tang, x
f dr 114- e~P^
j Sin. (2 p I Tang, x) = -l~^ V. T. 406. N^ 17.
J ^ ' Tang. 2 X. I Tang, x 2 1 — e-P'r
/dr 1
Cos.{2plTang.x)- ^f- = - -- 1 (eP^ + e-P^) V. T. 400. N». 16.
^ ^ " 'Cos.2x.lTang.x 2 ^
Page 430.
F. Loff.cn num. / 5m. a;. T*nii7 — a i- n .^
Circ. Dir. ent. ^^^^^ •'^^- ^'°^-Q^^4 -
/Euler, Calc. Int. IV. S. 3, 123. — Id., N. C. Petr. l-i. 129.— Cauchy,
/c,-, -r^ — ^10 ^xerc. 1826. p. 205. — Id., Lim. Imag. 149. — Serret, L. S. 1. —
lom xax — ^7rt« Koberts, L. 11. 471. — Grunert, Gr, 4. H3. — Lindmann, Stockh.
llandl. 1850. III.
■2)jl{{Si)i.x)}dx = — -n{l% — 2uni) Arndt, Gr. G. 187.
3) = nl% 4- aTi' i j
^ f
> Lindmanu, Gr. 16. 94.
■\)\l{{ — Sin.x))dx = Ttl2-{- "" n^ i\
.„/,«„..«„......,._, V.T.,».N...
qjlSiii.x.Sln.'^xdx = ~7t(1~21-2) V. T. 163. N^ 4.
7)jlSin..v.Sin.^ xdx = " ji2— - V. T. 163. N\ 5.
S)flSin.x.Sin.*xdx = —irl 12] V. T. 163. N\ 6.
'J 16 \12 I
^)llSin.x.Sin/-xdx = — [12 — '-'-] V. T. 163. N°. 7.
J 15 V 60/
10) / ISin. X. Cos."^ xdx = ^ TT (1 + 2 / 2) V. T. 162. N°. 1.
\l)ll Sin. X. Sina.Cos.^ xdx = ( l— 3^2) V. T. 162. N°. 2.
i2)\lSin.x.Cos.%xdx = n V. T. 330. N\ 6, 10.
\Z)\lSin.x.l'ang.xdx = — — tt' V. T. 152. N°. 14.
I I) ilSin.x. Cos?''xdx = — " ° , (A -}- '/■ (i( + 1) 4- 2 i 2) V. T. IG2. N\ 3.
/ 2'»+2 \al\ '^ ' \ 1 / 1 J
1 5) /i 5tn. ». Sm.^" jr. Co*.j-d« = — — -TTT," ^- 'l'' ^ ^ ^ • ^ '• ^ •
(2a+l)'
p"T 2n— 1 12n-i;i
r 1 » I p2"->
1 6) n 5»n. x. Cos. (p 5in. «). Cos. x d .r = —-2 — ^ r,;:.^ V. T. 7 1. N^ 16.
Page 431.
F. Log. en num. / Cos. x. t » m r --i in.''
Circ. Dir. ont. TARLL ool. Lini.Ool-.
ICos xdx = •7t/'> Exerc. 1826. p. 205. — Id, Liin. Imag. 146. — Scrrct, L. 8. 1. —
2 Koberts, L. 11. 471. — Grunert, Gr. 4. 113. — Lindmnnn, Stockli;
Handl. 1S50. III.
2.)jlCos.x.Cos.xdx = /2 — 1 V. T. 163. N". 3.
S)jlCos.x.Cos:^xd,r = -71 (1 — 212) V. T. 163. N'. 4.
I / / Cos. X. <
R) 1 1 Cos. X. Cos.'
■^)jlCos.x.Cos.Kvd.v = ^U2_^) V. T. 163. N'. 5.
' I Cos. .v. Cos.* xdx == - ni — — /2l V. T. 163. N'. 6.
1(5 112
xdx=~{l2 — —\ V. T. 163. N". 7.
15 \ 60/
T)llCo$.x.Sin.^xdx = 71 (1+2 2 2) V. T. 162. N°. 1.
8) j ICos.x.Sin.'^x.Cos.xd.t = (4 — 3/2) V. T. 162. N". 2.
9)jlCos..r.Cos.2.Tdx = -n V. T. 831. N\ 3, 7.
f lo/S TT f "11
10) llCos.x.Sin.^<'xdx = — {l + 2l2 + 2~l Lindmami, Stockh. Handl. 1850.111.
7 2''+il''/i 2 I ^ ^ 2l
1\) I lCos.x.Co8.^''x.Sin.xda: = — - — 7—777 V. T. 151. N\ 1.
_1_
(2a+l)^
l2)jlCos.x.CosJ>-^..Sin.p.Sin.pxdx = ^^ {a + Z' (p) -^_ 2/2) iH^'rrso.'nf "
f
/I zc 1 p2n-I
lCos.x.Cos.(pCos.x).Sin.xdx = 2 ~ — - V. T. 60. N'. 4.
p 1 2 n 1 ]2;i— 1 1
\i)\lCos.x.Cos.{plSm.x). Tana. xdx = + V. T. 335. W. 13.
7 vf' ; ;/ 2p' ^ 4pl_e;.T
Page 4-32.
V.Log.onmiu..Piod.i\etSin.xetlCos.x. ^^^lE 552. Lira. Oct-.
Lire. Uir. ent. 2
l)j{lSin..v)^ dc = ~ |(Z2)^ + ^TT^} V. T. 164. N'. 1.
2)j{lSin.x)^ Tamj.xcLv = — — jr< V. T. 154. N". 15.
^)(:lSin.x)' Tang.xdx = — tt^ V. T. 155. N°. 5.
j 504
^)\[lSin.T)PCos.xdx = (— l)/'r(/)+l) V. T. 4l\ .\°. 2.
ri)l(lSin.x)^'—^ Tang.xdx = — — 7r2aB2a_i V. T. 158. N^ G.
J 4:a
6)j{lSin..r)''Sin.r>-^oc.Cos.xdx = ^^ — V. T. 131. N°. 2.
7) ({ICos.x)- dx = - 71 |(i2)M — ■^-\ V. T. 164. N». 1.
^)i{lCos.x)PSin.xdx = f— lyT (1 +p) V. T. 42. N". 2.
9) l(i<;os.a;)<»Co8/'-'a;.&n.ir(i« = ^^ V. T. 151. N". 2.
J />"+'
H))jlSin..v{lCos.xy Tang.xdx = — :r ' V. T. 337. N\ 12.
n)//.S'H.J-.(/Co5..r)« Tann.xdx = — ■ ti^ V. T. 337. N^ IK
/ ^ I J 2520
i" — 1 7r2a+-'
1-2) //5i/(..c.(/6'o.<'..<)2<'7'an^..ptfa.- = Bsa-i-i V, T. 337. N'. 17.
.' -^ (a4-l)(-«+l)
V. Lo}'. en num. (/ Tanu. x)". TKnw? - — i ■ a . "
/,• ° n , TABLE ooo. Lim. c -.
Luc. \J\v. ent. -2
l)jlTa>ig.xdx = D Kulcr, (nlo. Int. T. 4. S. 2. 127. — Cnucliy, Exen-. 182G. p. 205.
f , 1
i) j ITang.— T. Sin. X il J == -1-2 Lobntscliewsky. .^[dm. Kasan. IS^'fi 1. I. 107.
Z)llTimg.3:Sin.^xdx = -7 V. T. 333. W I, 5.
WIS- EM N*TUURK. vrilll. I)i;n KOMMvL. AKADEMIK. DF.EI. IV.
Page 1.3 .'5.
F. Log. on num. (/ Tamj. x)'. ^^j^^E 5oo ..nil.'. Lim. et -.
(.lie. Ihr. pnt. 2
i)llTang.x.Cos^xdx = n V. T. 333. N'. 1, 5. -
b)flTang..r.Cos.2.vda, = — -tt V. T. 330. N^ 12 ot T. 331. N'. 9.
6)jlTa»(f..c.Sin.P2,xdx = V. T. 183. N\ 8, ii.
8) I i Tang. x. Cos.'i-'^ x. Cos. {{q— 1 ).c] dx =^ — ^ i
J '^^ f Lindmann, Stockli.
/J r Handl. 1850. IT.
I Tang. x. Cos.i-'^ x. Cot. x. Sin. [{q+ l)x]dx= — -n (A+Z' {q+ 1 )) '
10) j I Tang.x.Sin.^^-^ 2 x.Cos.2xdx = — ^ — ^i '^'""'^ "^- "^^ ^^- ^'- ^^•
11) I {lTang.x)^dx = -n^ V. T. 305. N\ 4 et T. 358. N\ 1.
12) j {I Tamj.x)*dx = — tt' V. T. 305. N°. 7 et T. 358. N\ 12.
13)/(iraHi/..r)''d.-r = tt' V. T. 305. N". 8 et T. 358. N'. 15,
l4,)j{lTang.x)'^''-^dx =0 V. T. 180. N°. 3,
15) j (I Ta7ig. x)'^« d X = 2. I2a/i v ^ L y. t. 180. N". 4.
J (2n+l)2a+i
/■ 1 tZ" 1
li5)l{lTang.x)".Tang.'i xdx = - ^ -. ^ec.-^Ti V. T. 180. N^ 6.
F. Loot. ILoof.dcCirc.Dir.d'autreCortne. rriDii-i — a i- n » '^
Lire. Un'.j bans lact. liirc. Uir. 2
l)jl(pTang.x)dx = -^ I p V. T. 180. N". 8.
2p
e2p— 1
2)jlSin.(pTang.x)dx =■ -nl
Page 434.
2e2/«
V. T. -115. N°. 1.
b.Lo''. Log.deCirc.Dir.d autre lorme. rnni 17 --/ •. i- n . '^
r- w \c r t r- n J AULL oo4 suite. Lira. el-.
Cue. Uu'. J bans lact. <^irc. Uir. 2
10
1]
12
1:3
11
15
Hi
IS
1 ,e^l>+l
1.x) dx = -nl — V. T. 415. N'.
Cos. (p Tana, x)
1 e2/. _ 1 .
Tamj.(pTanfi.x]d.i- = -nl V. T. 415. N^ 3.
1 eP + e—P
Cot. {p Tang. x)dx = -nl ■ V. T. 415. N '. 12.
2 e'' — e—P
1 -\-Cos.x)d.c = 7r/2+2.2' -^- — V. T. 304. N'. 12.
ii ^ „ (2n+l)'-
1 00 (—1)"
(1 — Cos.x) dx = nil— 22 — V. T. 238. N^ 4.
[i- -\- q Cos. ^ x) dx == TiL — — J
Lobatscliewsky, Mem. Kasan. 1S35. 1.
(1 -j- Tang.''' X. Cos.''- .v)dx = Trif Cos.'' — )^.Sec.'k
(1 — Sinhp.^ X.Sin.^ x)dx = 2 nl Coshp.— i.\
' ^ J
„ , „ „• ^ , . ,l+l^(l + 9")( LobatscLewsky, Mem. Kasan. 1S30. 1. I.
[1 -f- q^ Oin.x.Cos..v)dx ^=nl > jgQ ^^
1 + Sm /(/-.?,'
(1 — Cos hp.' }.. Co.C- x)dx = nl— - -- I
^ ' ' 2 /
(1 — Sin.'' ),. Cos.' x) dx = 2nlCos. -). Lobatscliewsky, Mem. Kasan. 1835. 1.
(1 +/3' Tau(j.''x)dx = nl{\ + p) V. T. ISl. N^ 3.
[q' -\-Tang.' x)dx == nl{l-\-q) V. T. 181. N\ 2.
(1+/-^ Col.Kv) dx = 7r/(l -\-p) V. T. ISl. N . 3.
{\ + p'' 'Tail'/.-' (q Tanff..!)} d X ^ nlli + P " ^ ~ ^-, J ^' ^'- '^^^- ^'- '•
1 + p ^ _ I V. T. 416. N'. 2.
Pnge 4,35. 55*
Circ.Dir.jSansfnct.Circ.Dir. TABLL ,.o 4 suite. Lim.Oet-.
19)j/(l + -.pSin .v + p^) dr = :S ^^ -- ^— ^-) , p< 1 ; Kaabe. Cr. 15. 335.
<iO)ji{l + 2pCo.\(qTang.a:)+p''] d.r -= TZ(l4-pe-9; ,/''<!;)
•' "" ( V. T. 410. N\ 5, 6.
21) = nlip+e-9) , />=> l.j
/■ 1 + Sin. X. Cos.^ X I -\- Sin. I X
22)11 dx = nl — ::; ~— Lobatscliewsky, Jk'm. Kasnn. 1836. 1. 11. 15.
y 1 '"
Sin. ).. Cos. ^ X Cos. ^ X
[\—SinM.Cos.''x , ,,^ . , \
~3)r^ e- 2 r ■. ^"^ = '^^HCos.^l.Seo.y^) i
■' ' f LobHtsclievvsky, Mern.
iSin.-'-l — Sin.'^a.Cos.''x f / Sin.a\\\ Kasan. 1S35." 1.
, /", (1 4"'S2n. ?..Cos.a; 1 -}- Sm.fi.Cos.o; l o ;//^ aj • ■ 1
/ |l — Sin. X. Cos. X 1 — Sin. u.Cos.x J I
26)
Lobatscliewsky,
'i Mem. Kasan.
/• ( 1 + 5i«. ^. Co5. .f 1 — Sin. u.Cos.x ), , ,^ , o ., ^l 1836. 1. II. 23.
IM — ' . , ^ . • • ...\dx = 2nl(Cos.U^- -.Seek J....)\
J [1 — Sm.A.Cos.x I ■\- Sin. u.Cos.x } I
27) III Ta7ig.xdx == |i;|— ^l/2;i| V. T. 191. N°
1.
l.Lop:. ) Lo"'. lie Circ.Dir.d autre forme. 0^40117 "-k i- n . '^
Circ.Uir.) Avec tact. Circ. Uir. 2
1) f ITang.- x.Sin.xdx = — 12 Lobatscliewsky, Mem. Kasan. 1836. II. 28.
2)jlTang. \-^A Sin.2xd.i = ±^ V. T. 63. N\ 12.
Z)ll{l-\-Cos..i)Tatig.xdx = — n^ V. T. IGO.r.N". 1.
-i:)jl[l — Cos.x)Tang..cdx = n- V. T. 160. N". 5.
5) I '(1 — P Sm.^ x)Sin.- xdx = -iri ; -1
1 ' ^ ^ 2 2 4 1 + l/(l-/'^)Uoberts,L.ll.
Page 436.
l.Lo'j. Lo'f.clcLirc.Uir.d jiulre onne. r., . „. p --► •, ,. /, , ^
f^ r\- " i <■ . n- n- 1 AIjLL OOO SUllO. Lni). Ocl-.
^iic.Dir.J Avec lucl. Luc. Dir.
f 1 — l/(l + »M 1
''^) 1^1 +P* ^o'-* J-)Co«.ila;tix = TT \ 4- -.-I V. T. 33+. N . S KtT. 335. N\ C.
<))jl{l — Sw.'x)Tanrj.a'dx = — - ^'^ V- 1'- 160. N\ 11.
/ "^ "■■ 1
iOjjl{l + Co.*.-.') Tang.xdx = — ji* V. T. 100. N-. C.
\\]\LTa>uj.i- ± .rj Tanfi .1 ,lx = ± - tt'- V. T. 183. N\ i.
12) hip Tang. x) Sin. {q Tang. x). Tang, xd u; = - tr"? {2 //> — Kt. (y) } — !! gv Ei. (~ q) !(-; \^ *^ ^•
Vi) j l{p Taiig.x)Cos.(qTaiig.x) d X = - e-'y{2//^— iJi-lv)} -|- --«'/ £i.(— 9) V. T. M7. N^ 0.
\l)ISin.(plSin.x)rang.xdj: = ! + — V. T. 404. N"'. 11.
\^)\ Sin. {pi Sin. x)Sin.'lx. Tang.xdx = — 2 V. T. 404, N', 12.
J 1 {2n+9)-+P —
l(>)j lTang..v.Cos.{gTang.x) dx = — {e'{Ei.(— q) — e~'i Ei.{-j)} V. T. 417. N^ ;?.
17) llCot..i:.Sin.{qTaug.x)dx = — {e-f? JE:t. (7) + evA7.{— 9)} V. T. 417. N=. 7.
J *?
18) \lCot.x.Cos.{qTang.x)dx = — [e-'t Ei. (q) — Ci EL (—7)} V. T. 417. N'. 8.
J H
F. LofT. on num. (/,S'm. a;)". Tiinr --p i,. n ..♦ "
Circ. iJir. i;il. fii dt'ii. niuiiumc. 2
[ \J- Sin.^ a,
\)\lSxn.x — ! i/j: =- — X V. T. 153. N\ 11.
J Sin. 2 j:
r, o. f^a; 1
2) li Sm.x- = JT» V. T. 152. N . 13.
j Cos.x 8
3) I i »Sm. X -
dx 1
= - 71* V. T. 340. N^ 14.
'OS. 2 X 8
Page 4.37.
F. Log. en num. (/ Sin. x)". t»di c --i' •. i • n ,s. "
r t\- ,1- - TABLt, ooG suilo. Lim.uet--
Lu'C. \hr. rot. en den. mononio. 2
4)l/«H.i; = Sec.-pn,p<: 1; V. T. 63. N^ 4.
d.T 1 :r ^ 1
— — ' Of c —
TangJ>a- 2p—l "2'
Sm-Sp-i ;r jT 1 1
f Sm.2/'-i ;r jT 1 1
a) 11 Sin. X — dx = — — Cosec. - 7)n ,0 <C P <i - V. T. 53. N'. iu.
6) I i 5i«. a; ^ ''"^^°' c/t = -^ p tt Cosec ^ p ^r , p < 2 ; V. T. 63. N=. ">.
ZCos.^x , 1 1
_ ; dx = - p n Cosec —
Tariff J'-Kv 4 2
p Cos. Zx + Sin.'^ 2x rf.« p+ 1 „ fp + ^ 1 ^ ^ , ,. V. T, 63.
r p Cos. 2 J- + S/n.* 2 X dx P + 1 , c fP + 1 1 n / / i V. T,
I < (bin. a; — = — / bee. { — n) , <'p -^ i : -v- t
J Tang.l'x Sin.Zx 4 12 j' ^' ^ N . «.
S) 1 1 Sin. X ^, ,;rr~r = 00 V. T. 64. i\". 4.
(1 — Sin.x)!'—^ dx
Sin.P x Tang x
9) / 1 Sin. X. Cos. (q Tang, a:) ^ ^ = n— V. T. 70. N\ 2.
/ Cos. - .r 2 q
iO) 1 1 Sin. X. Cos. (p I Cos. x) ~^^ = + — ^'' ' V. T. 385. N». 14.
7 ^'^ 'Tang.x 2p^ ^ ^p\ — ev^
n)\{lSin.x)KSin.{plCos..v)—^ = cc V. T. 336. N^ 10.
J Co*, r
, d .V 1
' = — — tt' V. T. 154. N°. 14.
Cos. a; 16
\-l)i{lSin.x)
f dx 1
lS}l{lSm.x)'' ~ = Ti" V. T. 155. N''. 4.
7 Cos. X 8
14)/(ZSm.,r)' -^-^ = _ — 7r8 V. T. 155. N^ Id
J Cos. a; 32
[ ^ ^ dx
]5)/(/5m.A-)2»-:^
J Cos. X
12a/l ^ V. T. 158. N . 4,
22«+l ] 7j2a-M
/• dx 22a 1
16) |(Z&-«.ir)2<'-i ~ = _ 7r2«B2„_,
j Cos. X 4 a
i , „ (^r la-'/' •^ 1
17) / (ISin.x)"-^ = 2
'j ' Cos.x (—1)°-' (2«+ 1)"
18) / a Sin. a:)"-' d.c = 2 — -
7^ ' Cos.x (—1)"-' (2n + 7 + l»/
Arndt, Gr. 6. 434.
19) UlSin.xf'^^-^^'^^^^^^^^^^^dx = ji-l)o[Unr-a+i:^{-ir-^B-(^)Sin.nqn,q^-=^c<^b^<l ; J.'^g. ^'^■
Page 438.
F. Loi-. en num. (/ Cos. x)". tmh v •s— ; i a ^ ^
Cue. D\v. rat. en don. monomc. ?
/dx 1
ICos.x-^:^— = — o 'i' V. T. 132. N'. 13.
Sin. X 8
Cos.vx r (p) ^ 1
)/._i dx = ^JJ—^ V. T. 158. N''. K
' Tang.x (— IjP"' o{? + l + 2n)P
2) j{Wos.x
f dx 1
3)/ZCo«.ar = — — tt'^ V. T. 330. N-. 13.
J Tang.x 24
/*, ^ Tanq.1'—^ X n „ 1
4.)/i<7os.a; -— ^ cZ.i- = — Sec- pn , p<ri; V. T. 17'J. N". 5.
j Sin.Z.T 4,(/7— ]) a' '^^
5) /? Cos. .r -— ^- ^. = ^^ 5ec.-p TT , »<1 ; V. T. 63. N^ 4.
^ r. , Cos.2x — p , l_p fp—i \
6) / i Cos. X — i- dx = —~- n Cosec. [- n\ , »- < 1 ; V. T. (53. N". 5.
' j Tang.P x 4 \ 2 / '^ ^
/(I — Cos.x]P-^
ICos.x -— -; — ■ Tang.xdx = so , ;y < 1 ; V. T. 04. X\ 5.
r da; 1
H) I ICos.x. Sin. (p Tang. x)- = nEi.( — p) V. T. 4U. N=. 3.
f dx
*i) \lCos.x.Sin.{pTang.x) = co V. T. 59. N\ 6.
J L-os.^ X
C dx
10} llCos.x.Cos.lpTang.x) = » V. T. 59. N\ 5.
J Cos.''' X
11) I /Cos. X. Cos. (p Cot.x) ~-T~ = — ■^ ^ ^ " ' V. T. 00. N». 5.
dx 1 — e-'i
Sin. ^ X 2p
/I 1
I Cos.x. Cosec.^ {q Tang.x}— -^^ = - — ^ — V. T. 70. N°. 12.
Cos.'^ .1- 2 1 — e^'i
I'i) j ICos.x. Sec.^{q Tang.x) y^-^ = x V. T. 5'J. N°. 7.
Cos.^ X
dx 71 1 — e^t'
Sin.* X ^ 2p 1 +e2p
14) nCoj. X. 5fc.' (7 Cb/.x) —7^— = „— "Z ^'- 'A'- <iO- N'- «•
/■ da; 1
15)/(/(7oa.a;)' — = 71* V. T. 154. N^ 1
y oin. X 16
4.
16} I {ICos.x}'' :~^^— = — ,-777^* V, T. 154. N°. 1:
7an(^. x 240
Page 439.
F. Lop;, en num. (/ Co.*. .r)". T'tnri? "—7 •. i- n »^
n i\ .1 < TABLE 00/ suite. Lini. et -.
Lu'c. Uir. rat. en den. monome. 2
f dx 1
Sin. X
dx 1
Tang.T 504
IS) I {I Cos. x)^ ;;r— — = — TTT'^''' "^'- T. 155. N=. 5.
f . ^ (ia- 17
19) I II Cos. x,'' r = — — 7r» V. T. 155. N''. 10.
7^ ' Sin.x 32
/■ </a; 1 22a
20) / (i Cos. a;)2«-i = tt^o Bga-i V. T. 15S N". 5.
/dx 7l2o
U <7o8. a-)2a-i = — — Baa-i V. T. 15S. N'. 6.
Tang, a: 4 a
/dx 22a+i— 1 a. 1
(lCos.x)^a- = 12"' :E V. T. 15S. N°. 4.
Sin.x 22"+' 1 n2a+'
V. T. 15S.
[ Cos.ix — SecHx ] * / «\ V T
23)/{Z(7os.a;)2a d.r = -(— 1 WgH^-'+i ^(-1)''-IB" -— 6Vn.n';7r,7^=«^&^<l ; *, '
f ■ Sm. X h I \2p/ -n . ».
F.Lo)Tr.enniim.(/rf/»f/..r)". rrinTc — o i •„ n ^. "^
r,-" n- » J' ^ TABLE oo8. Lim. Oet-.
Lu'C. L)ir. rat. en den. monome. 2
'i-)hTang.x-^r~Z = — =o V. T. 300. N=. 2 et T. 357. -N". 2.
5in. 4 X
2)jlTa)ig.xpr~_ ^ — 7^^ V- 'i'- l^*^- N\ H.
Cos. 1x 4
3) i I Tang. X ^ _ = — x V. T. 309. N^ 3 et T. 357. N°. 4.
dx
Tang. 2 a;
< 1; V. T. 180. N°. 12.
Z,^ Tang.Px il ^ /w + 1 \ ) 2
4) I Z Tana. x dx = — { - t t/osec. I n ,]■ , »'
7 ^ Cos. 2 a; 12 \ 2 jj '
5)llTang.x- ^-^ ^ — \^ nCosec.l^-^T,]]' , "^ < i: V. T. 180. N\ 12.
J -^ Cos.2x.Tang.Px l2 \ 2 jj
6)//(6rana.a;).Sm.(aTa«o.x) „^ = 7t |a + Z-1 V. T. 414. W. 2.
J Stw. 2 a; ~ { f>)
l)\lTang X'~J^^- dx = {InTang.lpnY , /.^<1; V. T. 1S5. N». 7.
y Cos. Zx \ 2 ~ /
Page 440.
h .Lo<>;. en num. (n (inn. x)" rnnii/ "-o •.„ i :,.. n «» "^
^. ^ ... . ^ ,, ^ ', lAlJLL ooo suite. Lim.Uet-.
Circ.Dir.rat.c'iuleii.nioiiome. ,3
/■ dj; 1
H)l{lTang.xy ;r-^ : = — -^' V. T. 310. N^ 1 et T. 358. N°. 11.
9)luTang.x)^ _!:!_ ^ _ ^u y. t. 310. N\ 5 et T. 338. N^ 14.
J Cob. 2 iP 4
f dx 17
i^)\{lTa7i^.xY = — — ;t« v. T. 310. N^ 8 et T. 358. N". 15.
/ Cos. Z X 16
[ dx 1—22"
'[)\aTanti.x)^''-\ = -— B2a_i n"-" V. T. 310. X'. y et T. 339. N". 3.
/ Cos. 2 .r 2 a
f dx
2)l{lTan(i.x)^''- — ^- = () V. T. 3lo, N\ 10 et T. 3Vj. N°. 4.
f 2 '' /2n— 1\^ /2n— 1 \i
■■i)l{lTa.x)^<^[Tg.Ux + CoUx)dx==-'—l,"^^{ibn)^'^+^^{—lr-^B'\--^—]Cos.i-— — qn]\ \. T. 1S4.
J o 1 \ 'J"^ / I ~ /[ N^ 5, 6.
CircUir. nil. on dcii. iiiuiiumc. 2
\)\lTang.^\'-±x\ -—^— = ± - rr^ V. T. 338. X°. 2.
TanQ.l'~^ X TT , 1
^ t:?.z- === ± Cot.-pn V. T. 63. N». 14.
'J ^ \4 y 5iw.2.f 1— p 2'
/' fn \ d.v n 1
'} ^ \-i I Sm.Zx.Tang.l'-^ X 1— p 2
.^l,T i/'^^ \ (P + 9) ( ' /'any.''+^ ^ + go< P^-? -r) + (p - g ) ( Tang.f'J x + CotJ> -9 x) ^
\)\lTang.^\-±x] r^— , dx =
4 n Sin. p n
= ± , p + -; < 1 ; V. T. 64. X'. 1:
Cos. p n- -{- Cos. q n
h)\lTang.'^\^±x\ -^^— ^ ± '- -n"- V. T. 183. N". 3.
dx 1
Tang, x 2
Timq.Px+ CotPx Stt ^, 1
— 'h-- c/.i- = ± 7a"'/. /'/I V. T. 64. N". Hi
Sin. ix ;> + 1 "^ 2 '
f dx 1 I
7) 1 1 Sin. (q Tang.. t) ^ = - o tt tt' V. T. 415. N^ 13.
y (7(i». 2 X 2 4
Page 441. 56
WIS- EN >ATtlHK. Vtlill. IiEIt lidMNM . AKMU'Mir.. ItF.EI. IV.
(i)jlTang.^(-±x\
F.Log.ennum..rautiefoncl.cnl. ^^jjj^^ ^-^ ^^^^^^ Lim.Oetl
Circ.Dir.ial.onden.monome. ■ '^
jlCos.i,Tan,..)^^ =='-,. V. T. 415. nO,4.
/■ dx I
1 1 Tang., <i Tang, x)—-- = — - tt^ V. T. 415. N^ 15.
/ Cos. z X 4
jl{q Ta»,j..T].Sin.^''2xdT ^ ; - n I i] V. T. 183. N'. 8.
ll{qTa7ig.x).Sin.^'^-^Zxdx = ----- z^"-'^ I q V. T. 183. N'. 9.
jl(qTaug.x).SinJ>-^Zxdx = ^-P-"/!? ^7~^- V. T. 183. N'. 10.
/ Z Tan^. X. Sin. {q Cotjs) ^ ^ = 7 [e-l Ei. {q) + e? Ei (— q)} V. T. 417. N ■. 7.
7 Tang, x t
\lTang.x.Sin.{qCot.x) -^— = - {a(7). Co*.'/ + Si.fyj.Sin.r/ — - Sm.5) V. T. 417. N^ <J.
y Cos. 2 a; 2 I ~ J
ll(pCot.x).Sm.(qCot.x)-~^ = -e-9{2lp — Ei.{q)]~^evEi.{—q) V. T. 4)7. N". 5.
/ Tang.x 4 4
\lTang.x.Cos.{qTang.x)--^^^ = —'l\ci.[q).Sin.q—Si.{q).Cos.q-\-~Cos.q\ V. T.417.NMO.
J Cos. 2 .T 2 (. .4 J
(iTang.^l-dzxY Sin. (q Tang.x) "^ = ± ~ Sin. q V. T. 70. N\ G.
ATano.M-±.rV5m.(flCo<.ir)-^- = ± —Sin.q V. T. 71. N^ 15.
y \4. / 5«n,* .r 7
.Aranfl.^f-±^Vcos.(5ranfl.a;)-^^ = ± " {Si.{q).Cos.q—Ci.{q).Sin.q} V. T. 70. N'. 7.
y \4 / Cos.^ X q
I lTang:4~ d^x\.Jang.{qTang.x)—^^ = ± 2 tt V. T. 339. N°. 8.
J ^4 y Co*, ic
1(1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
21
22
jlTang.^i-±x\.Cot.(q Tang.x) -^ = ± —n V. T. 339. N^ 7.
Ara»g.^[-±Agmc. (jTang..-c) '^ = ± — V. T. 339. N". 9.
Page 442.
F. Low. en num. d autre fonct.ent. rp.r>, .^ — n ., im .^
.,. " n . I > lAIiLh oo9 suite. Lun.Oet-.
Cn-c.DM-.ral.cndL'n.nionume. 2
2.3) / /(]-{- 5m. *•) = — 71^ V. T. 100. N^ 1.
J Tang, u; 12
24
2.5
27
2S
20
•Jl
•J 2
33
34.
35
3(i
ll{l—Stfi.x) ^ = tt' V. T. IGO. N'. 7.
/ Tang, x 6
/ i (1 + « 5m.a;) - — *"' "^ . tte = -1(1 + /')- ^ (1 + p) — /' 1 2 /j' 4 — ^' — \;
J ' ^' ^(3— Cos.2a')* 8^ ^'^ ^ TU I .^t ^i^jj2 ^^
I
f dx 1 I
jl{l-\-pCos.x)~ ^ -71 2 (Arccos.p)^ , p^ < 1; Wincklcr, Cr. 4.5. 102.
I
T. 160.
2 N\ 4.
dx 1
/(l + SJn.^j;) = — 71^ V. T. 160. N% 6.
Tan^. jc 24
dx 1
/(I— 5in.*x)- = — — 7r^ V. T. 160. N". 11.
Tang.x 24
V. T. 181. N'. 11.
<St«. a; , It ,
/(I +COS.A-) -— dx --= — 1% V. T. 100. N". 2.
^ ^3 + Co5.2a; 16
/■ do; \
/ ^ (1 "T P^ Tang.''' x) = — n Arctang. p i
//(I +/)» Cot.'' -c) ^^^ ^ ^ = TT 4rciang.p \
/o. . .c ^■>' ttI — e/"r
Sm. (» i &». ;j;) = V. T. 401. N°. 10.
' Cos.x 'll+eP^
/Sin.(plSm.x) -^^tf. dx = — 2 ~ V. T. 404. N\ 16.
^'^ ' Sin.'ix 1 (2n — ^;' +;j*
Sin. [pi Cos.x)-- = !— + — V. T. 404. N=. 11.
^' ' Tang..r 4 1— e;"^ ^ 2p
/
\Cos.[plSin.x)"^~^ dx = ~ ^ ^J\ ^^^ V. T. 404. N*. 14.
Cos.l x » n
Sin.{plCos.x)- dx = — 2 , ~ V. T. 404. N\ 12.
Tang, x i (^ «+(?)*+ P''
ISin.x jt' cP^'
Cos.x ~~ 2 (ePT+ 1)»
Page 443. Sff*
F. LofT. en num. lie fonct. fract. Tinit' -An i- n .^
Lii'c. uiv. rat. on den. nionume. 2
1 /^ -, 1^- dx = Cot.-pn V. T. 179. X'. G.
7 Cos.' X Sin.Zx 2(/)-2) 2^^
2(/)-2) 2'
— ■^^
■ Sin. X Sin. x 2
f 1 -\- Sin.x dx 1
2)/Z — "^^ — — — - = -n^ Legendre, Exerc. Suppl. U. — Schliimilch, Gr. 4. 310.
, , (A-\-P "SJ'J. X dx , . , , , .
3)/Z— ^ : ■ = nArcsm.p , p<l; Kaabe, Int. 421.
J 1 — p Sin. X Sin. x =
[ 2Cos.x dx 1 .
4)1/ = — — n^ V. T. 160. N'. 10.
7 1 + Cos. X Sin.x 12
,7,1 +'S«n-.i'l-/(l ~p') dx
f\l+Sin.x ] dx 1
6)1 U — ZSin.x} = - 71^ Legendre, Exerc. Suppl. 34.
J I 1 — Sin.x J -Sin.^ x 4
, /", l+5j/i.2j: Tang.P X + Cot.P X 2 tt ,.,,.,
'^f / ^rr^ — r-^ -^^ dx = — Cosec.pn. l —Cos.p X) v. T. 179. N^ 17.
J J + Cos. h Sin. 2 X Sin. 2x p ■il ^
^ f (Sin. X 4- Cos. x)"^ dx 1 ,
7 1 + Cos. I. Sin. 2 X Sin. 2x 2 ' ^ "^
I I A- Cos. X dx
9)1 1 — —^-- = nArcsin.q , 7 < 1; Kaabc, Cr. 25. 109. — Id., Int. II. 421.
J I — q Cos. X Cos. X =
fl4-Sin.X.Cos.x dx
lOJZ— ---.—-- = TT^ V. T. 166. N=. 7.
f 1 -\- q Cos. ax dx
11)/^, 7; 7; = TiArcsin.q , o<l; Raabe. Cr. ;J.7. 169.
/ 1 — q Cos. a X Cos. ax ==
f Sec.x+ 1.^(1 — »2j ^^
1~) Z^.; ^ 7-. -,- '^ = ^ Arccos.p , p* < 1 ; V. T. 186. N\
7 Sec.x— 1^(1— p^) Cos. X ^ > z' -- '
1 '^)f rXT^.fr^Jfv: r5z^. d'^ = -- ^«^^c.p ., (1 - Cos.p l) ,r<^; v. T. 1 79. N^ IC.
+ Sin. 2 X Sin.P—^ x %n
— — — — _ d S^ ;:r-=
+ Cos. X. Sin. 2 x Cos.P+^ x p
-i. (271(3 J! d 3j 1
14) / r ' — = -TT* Schlomiich, Gr. 4. 316. — Id., Gr. 7. 100.
J 1 — Tang, x Tang, x 4
[ l+.Sin
J 1 — Sin. (Tang, x) Sin. 2 x 4
J \l—pTang.{Tangje)\ Sin.2x 4
I l+Sin.{Tang.x) dx 1
^ — Sin. (Tang, x) Sin. 2 a; 4
, ^x 1 7 I ^ +pTang. ( Tang.x) \^ dx 1
Page 444.
F. Log. en num.. Produit. TADrr t/i i- i\ ,^
r. '^ n- . J- » lAHLL o4l. Lim. Oct-.
Ciirc.Dir.rat.endeii.nionome. 2
I) 1 1 Cos. X. {I Sin. xy ^""'' = _ -^tt' V. T. 332. N\ 2.
d.c 1
Tang.x 720
f dx i
2)jlCos.x.{lSin.xy ^ = — 77-7;;^" V. T. 332. N^ 3.
Ta?ig. X ^520
d X 7r2«+2
Tang.x 4(a + l) (2a + l)
'i)llCos.x.(lSin.x)^a -n^^L- = '1 — B2 V. T. 332. N'. 5.
4.) llTang.^i- ± .'c).(/ Tano-ir)* -^-^ = ± - 71^ V. T. 338. N".
J \4 / 6tn. 2j; 12
f In \ dx 1
7 •' \4. / ^ ^ ' Sin.2:v 10
/" /ti \ diC 17
6)/Z7an^.M-± .i- .(iTan^.^)« ^. ^ = ± -^^ n^ V. T. 338. N\ 10.
7)llTang.'^(- ± xyilTajig.Xj^"-;^^ = ± , — ,^-^^7^ — , n^''+^ B2a+\ V. T.33S.NM1.
^4, / ' " ' Sin.2x 56
(i;g _ 1 — 22a+2
5in.2ar ~ (a+l)(2a+l)'
dx
Sin. 2 X
V. T. 338. N^ 12.
8) jlTang.^- ± r [.(i ra/ij/ .r)2«-'
/■ / TT \ pi Tana, x+l 1 (P + 1 1
'.)) I ITang.^ - ±: x\ '-~—-^--- - Tang.!' .vdx = ± -tt^ fosec.^ |^— '—ttIv. T. 33S. N'. 4.
y \'l / ot?i. 2 a; 2 t 2 J
lO)llTang.^(^-±A ^ii^^ZLL^, = ^ L.^ Co.ec.^ (P+iJ V. T. 338. N-. 5.
7 ^ \4 / Tang.P X. Sin. 2 X ^2 I 2 J
11) It land. .(■. t
7 ^ 1— 6 5zn.
. 2 a; Sin. 2 a;
, 6< 1; V. T. 179. N°. 19.
V. T. 119.
N'. 21.
\-Z) l{l -\-ir-Tang.^x).l{\+g^Cor-x)-—^^ =-• 2rt'"^'^-^l{^-\-i)q) — 2pn
J Sin.^ X q
^■^)jl{i^+P^Tang.^x).l{l-^q^CoOx) — -= in^^^^Ul + pq)— 2q n\
J Cos.^ X p j
\^j li\+,,^Tang.\v).l(l+q'CoOx)~^^ = ^ n \^^^ l{l+pq)-l\ I
J Sin.'2.r 2 { pq j ( V .i-_ 341.
l.-.)/"^(l+p'Ta„j,.>..)J(l+^>C.^^.)|^d.. =-- P-=^. [^i±i/(l+py)_l)
/ Sm. *2x 2 IP? J
N^ 12, IS.
-'(l+P'/)-lM
pq
Page 4i5.
K.Log.enmun.doCirc.monome. TABLE 342 Lira.Oet.^.
Circ. Dir.rat.cn deii. biiiome. ~_
1)
2)
S)
4)
5)
«)
7)
8)
9)
10)
Jl)
12)
13)
14)
15)
16)
Sin.x ^"'•'^ da> = --n^ V. T. 339. N\ 23.
l + 5in.a! 12
I Sin.x ^°^'" dx = —-TT^ V. T. 339. N°. 24.
1 — Sin. a: 6
Sin.^c ^'"•^'' dx == -- n- V. T. 339. N'. 26.
1 + Sin.^ X 24 *
^,^ Jan9.^x.Sin.2x ^^ _ _ 1 ,. ,, T. 339. N^ 27.
l + Sin.'^x 48
Sin.x ^ ^^ = — —^1 + 9) V. T. 369. N°. 10.
Sin X ' — ; = Sec.l.lTang.- K V. 1. 66. N». \i.
[Sin.n.Sec.x+Cos.n.Cos xY Cos.x '' 2
Cos.x-^^—' - dx = 71* V. T. 335. N°. 3.
1 + Cos.x 12
\CoB.x '^'"•'' dx = - - TT* V. T. 335. N^ 4.
1 — Cos. x 6
LCos.x — = — — i(l +9) V. T. 368. N^ 8.
Sin.^ X -\- q^ Cos.^ X 2q ^ ^'
ITanq.x ~ = V. T. 311. N°. 1 et T. 357. N=. 5.
^ 2 — Sin. 2 X
ITanq.x ~^ da; = V. T. 311. N'. 6 et T. 357. N\ 6.
/Tana.a; — r = -^^l^ V. T. 187. N^ 10.
^ p* Cos.* a;4-9-'St7j.='^ 2/) 7 q
e'_ _ Lobatschewskv, Mem. Ka-
ITanq.lx — dx = Cosec.%lVlh[iin—X)~[n—%).)l-Z] san. 1836. \. I. 106.—
^ * 1— Cos.*i.Sin.»a; Id., ib. II. 38.
Id., ib. II. 38
llTanq.xV "^ = -^n'l/3 V. T. 312. N=. 1 et T. 358. X'. 2.
^ ^ ^ 2 + /Sin. 2 a; 243
rf-r 10
(ITanq.xV ^ = 7r» l^ 3 V. T. 312. N». 3 et T. 358. N». 3.
^ ^'^1 2~Sin.2s 243
(ITang.x)^ ^^^ ^■%. ^ = ""l^ ),Cosec.X V. T. 184. N'. 9.
1 + Cos. /,. cm. 2x 3
Page 446.
F. Log. en num. dt" Cur. monomo. ^^g^E 542 suite. Lim. et|.
Lu'c.Dn'. rat. cnden.ljniunic. j_
'J^ y ' l—Cos.X.Sin.Zx \6 4 12 / 1- 358. IM . a.
IS) {(I Tana.. r.]-^ ^ = — 7r=l^'3 V. T, 312. N". 6 et T. 358 N°. 6.
>j^ ^ > l—Sin.*x.Cos.^x 27 ^ _ r -
■1.
}<.))lllTaJiq.xy d.v =
'J^ ^ ^ I ~ Sin.^ x.Cos.^ X
tt' 1/3 V. T. 312. N . 7 et T. 358. N ■. 7.
243
20) I (ITamj.xy ^ ' = -7r'l/2 V. T. 312. N^ 5 et T. 358. N°. 8.
Sin.'^ x + Cos.* X .32
dx n-'—)J 7jr-^ — 3A^
■21)1(1 Tann.x)' — ^ = ^- — — ^-^ '■ I V. T. 312. N°. 8 et T. 358. N^ 13.
^ J ^ ^ ^ 1 -I- Cos. I. Sin. 2 .V Sin I 5
2-2)\aTang.xf^ ^ = ^- '- v27r,2«+iB" - V. T. 1S4. N". 11.
C dx (— 1)«+' /1\
U)\{lTang.x)'^<^ = ^- — ^ — (2:t)2''+i B" - V. T. 184. W. 12.
'j^ '' ' 2—Si7i.2.v l^-i ' \i>j
C yj 1
24)/(;rana.a:)2a ; = - (— 1)"+' (2;i)2''+iC^osec.2p7r.B"(p) V. T. 184. N°. 13.
] 1 — Cos. Zpn. Sin. 2x 2
25) llTang.'l- =b a; ) ^ t^a; = ± - .'i»-«j'«.p , ;J < I; V. T. 355. N-. 1.
y \4. / 1 -(-/)Cos. 2x ])
2(5) (iTang.^l- ± x] —^^ dx = ± - ^ ^rctanjf. /; V. T. 339. N'. 3ii.
27) f^ Tang.A- ± j;"! 5in^2£ ^^ _ ± !! Arctang.p , p^ <^l:\. T. 355. N'. 3.
/ \l / (1 - p)^+4./j5m.2« p =
lH)llTang.^{- ± x] ;
7 ^ \4 i(l-/>l'+4/..<
— dx •.= , /> < 1 ; V. T. 355. N'. 1.
f ^ t^-'- « /r(T)
■Z'.))jllTang.x-r o-^cZ = «~7^ M ;r77: l^^ 2 tt ] V. T. 191. N". 2.
2-f5m.2« 21,'' 3 \r(i)
F. Log. en nntii. (leCirc.lMiionie. Timrr' -a- t- n .^
,, " ,. , ,, , , TAIjLL oao. Lull. U et -.
Luc. l)ir. lilt, en ileii. binoiue. 2
/ „. , Sin.x n p^'q— [ \—^/Q— q\] [r -\-\'[r-^— p'')\ y.x. 165.
f Cos..v 2 Lobntschewsky,
Page 447.
r n . J- 1 < IAIjLl d43 suite. Liin, et -•
Lire. Uir. rat. cndcn.binoiue. 2
\— Cosh pM. Cos. ^ X Sinhp.K.Coshp.K^
4
,)fia+cosnpxcos..) ^,^^^^,^^ = sinjrp-jrc^A''^'^''['-- rY^^'^-']
,)jl^,.CoskpXCos..)^-^^^^^
Lobatschewsky, Mem. Kasnn. 1836. 1. I. 122, 123, 124.
f5) \l{\->rCosX.Cos.x) ^ °^'^\ dx = , ^ , { L {-—U—XlSinA 1
7 ^ a — Cos. U. Cos. ^ a; 6Mi.2?.l ^2 / j|Lobatscl
', Knsan.
^J,i r N ^"^-^ J ^ ,PKg— {i -ri l— ?)} (^ +r(>''— /j')} V.T. 165.
9)// ' ' . ,,-r-dx = 7r Arcsm.p , » < 1 ; V. T. 100. ^■^ 17.
j 1 — p Sin. X I — Cos.^ X "^ ' =
r. 1 — Cos.u.Sin.x Sin.x
^^n^rr? ?^ ■ r ,,^. , dx==^ZnCosec.ZX.l{Sin.{(^+X).Sec.i,{u-/.)] J . , ^
J l-{-Cos.ii.Sm.x I — Cos.^X.Sin.^x *■ '^ ' ' "i Lobatsclicvvsky,
\ Mem. Kasan.
^^. Al + g'Sm.;!; &n.x ^^_ n ^^, p^. ( 1— i/(l— p)) (l-i (l-./^)} t 1835.1.
p&-».2a; • l/p(l-p) 51 p- {l-i (l_p)) {]_, n-q^)]
c^)(l ^~^°^ ^' P- ' ^- '^"'- ' ^ ^°^- ^ 7 ^ jXmnhp.l Lobatschewsky. Mcu,.
7 l + (7o<Ap.U.Stn.^ar 1— Cos'-/ip.U.Cos.='a- "^ Sinhp.l.Coshp.l Kasan. 183C. l.I. U'3.
/",l4-Cos.u.Co5..j; dx { In \ \ \ W
^'^)r. r- ^ , TT-,^ ^ 27tCosecM{Cos.i }.\Sec.-{}.-u)] i , ,
7 1 — Cos.u.Cos.a; l+Co5.^.Cov.^ I ^4 2 / 2 ]/ Lobatschewsky,
' Mem. Kasan.
fl — Cos.X.Cos.x Cos.x 1 1836. 11.23, 4 L
+ Cos. A. Cos. j; 1 — Cos. ^ X Cos.^ X
15) \i\±I^ ._
7 1— pCos.a; 1
7 1— pCos.-rl— jCos.-^.r " , j(l_,) pi^_(l_|-,/ (l -^i} (l_l(l_p2j} N'- 15.
Cos. T
~—-^^dT = T .Ircsin.p , p^l; V. T. 16o. ^W,
Page 448.
F. Loj?. oil num. do Circ. binomo. T\nir,^ '^hr. r..t« i •«, n ^f '^
^,. ° ... , ,, ,. , IAdLpj <34o suite. Lim. U et -.
Lire. \i\x. rat. en d on, binomc. 2
t \-\-qCo<i.%..i'os.x dx_ 1 -|- 6'in. P. ^
^j 1— r^(7o«^ZCos.a- 1— Coi-.s?..Cos.*^ ~ "^ ^*^'^''' 'Sm.^+l>(l— ^^Cos.^i)/ Lobatschewsky,
y Mem. Kasan.
[ \A-CoshpXCos.x Cos.x , —nlSinhp.l (1336.1.71,119.
• Cos h p. X. Cos. X 1 — Cos h p. * X. Cos. * x Sin hp.l. Cos h p. i.
f I + Cos. u. Cos.x dx ^ ,, l + Sin.). v
19)11 ' = nCosec.i.1- .
/ 1 — Cos. ft. Cos. X 1 — Cos.^ k. Cos.^ X Sin. i. -\- Sin. /t j Lobatschewsky
I Mem. Kasaii
f 14- C0S.U.C0S.X Cos.x , r^ ,,,, ^.^ (,,-, ,,iilS3G.II.22, K)
^^) / ' i ^ • r ^r-^-r^T dx=2nCoscc2Xl[Cos.[ i{k-u)].Cosec.{l{X+u) }] \
J 1 — Cos.u.Cosx 1 — Cos.-/..Cos.^x
I 1 -[- Cos h p. u. Cos. m Cos. x
J 1 — Cosh p. u. Cos.x 1-— Cos.* ^.Cos,*.i- * ~~ Lobntschettsky,
Mdra. Kasan.
,,f^ , /I , Coshp.u\^ , /I , , Tang.). \\ 1836. 1.78.
= '2n Cosec.i?.l ICothp.i - Arccoshp. ~ — r- \ranghp.\ -Arccos lip.-_ 7~~ |
F. Loj?. en num. T'tnTi? -/-/- i- a ..» '^
t^- ^ r,- . ,. 11 lAIJLL o44. Lnn. Get--
Cu'c. L)ir. rat. en don. : puissance de bin. 2
t dx 1 f 1 1
\)\lSin.x = - , |±/g 07r[ V. T. 65. N\ 8.
7 (Sin. ar± J Cos.x)' 9(1+7') ( 2 J
r. ^. Sin.* .r— »* Cos.* .T , TT
2) // .Sin. a; 7 -^ dx = V. T. G6. W. 11.
7 (p' Cos.* a; + Sin.^ .r, * 2 p (p + 1) •
Z){i{^-sin.ix\ ,^rv^::7^... = ^ ,-7tt ± r. !a -^'^ ^'- t- cs. n'. 7, s.
n 1 — 0*1
± — ^ _
(5m. j: ± 9 Cos. .r) * ^1+5* 1 + 9* <y
?»!. 2 .1- 214-7 ■
x-\- Cos.^ a:}* 9* 1 — q'^
r / i „ \ Sin .... .,
-l.)/i -5m.2x) da- = ~^-lq V. T. 06. N^ 21, 22.
f . _ 5tn.2ar
5) 1 1 Cos. X . „. ^ ^r — - — - d:i
'J (5* 5i».*ir-t- Cos.* ar)*
6)1".
5in. 2 a;
/ Cos. X —m
(.^r).*.r-|-7* Cos.*.r)* \—q
1. ^ dx — a i n
7)llCos.X -,- - - , = i - 3=«,y/
7 (Sin.ir±9Cos..r)* I+7* (25 7
/". „ »* <Sjn..r — Cos.^ X n
HjllCos.x - - dx = —
7 (p*&n.*a;4-Cos.*a:)» 2p(p4-l)
f, ^ Cos.P X — SecJ> X 71
0)1 1 Cos.x— Tang.xdx = V. T. 66. N\ U.
7 {Cosr X -\- SecJ> x)^ ^ 4p*
Page 449. 57
WIS- EN ISITUI.'IIK, VEHII. IiLlt KUM.NKL. AKADEMIE. DEEI. IV.
F.Log.onnum TABLK 544 suite. Lim.Oct-.
Circ. Dir. rat. en don. : puissance de bin. 2
Cos/' X
— Tano.xdx => — ~(Jose.c.p7i V. l. G7. ^
"^ — -^
dx
f Cos J" X 71
\0)\lCos.x ^ ■ Tang.xdx => Cosec.pn V. 1'. 67. N'. 1.^
') {\ — Co8.x)V+^ ^ p '^ A_.
11) 1 1 Tang. x'~ ^— - =. V. T. 182. N\ I. ' »
12) 1 1 Tany.x --— ^- ~; = ± ~lq V. T. 67. N'. 7. 8.
f dx 1,1
l;5) llTann.x n. ,3 v. i^ -, = -I- V. T. 182. N'. 1.
'J '' (qSm.X+Cos.x)^ q q
f Sin.-Zx , 2
[\.)llTans/.x ^ ^ dx = - -Iq V. T. 66. N^ 21. 22.
J ' {Cos.'^ X + q^ Sm.^ a-)^ q
15) filTang.x)^-: ^ ^^ = ^ n^- V. T. 182. N=. 3.
Itjj //rano.M-± a; dx = ± V. T. 183. N', 22. i
7 -^ W / (?' Cos.^ X + Sin.' ^)^ •^"^'^^ ^, >, ■^" ^' ^ M
F. LojT. en num. t i m i? -/.r i • a . ''
Lirc.lJir.enden.alacl.bni.ctauti'c. 2
/", ot7i.- a' a.f — 71-
l)\lSin.x = ' V. r. 153. N^ 16.
-if^iiuKx Cos. X 16 (2 + \y 2)
pSin.Px[Sin.^x — l)-^qSin.<ix{Sin.^Px — 1) ' dx n M—P^\ V T 68
ISin.x — = - otic. I I ■ *
7''"""* {SinJ>+l X + 1)^ Tang.x P+q '^'" \q+p2 ] N°. 15.
f,r,- p SinJ' x{Sin.^9 X — l) — qSin.lx{Sin.^Px — 1) dx '^ ^ [q — P''^\ V T 68
:y) 1 1 Sin. X — — — ~ — —^ — — = Tana. [ — ..' '. '
7 {Sin.P+lx — 1)^ Tang.x p + q ^ {q+p'^j ^ ■ ^^■
Sin.P X — CosecP x dx -jt.
i) I ISin.x ""'--^ j'-"-^^ ^ = ~ V. T. 68. N°. 14.
{Sin.P X -\- Coscc.P ar)' Tang, x d-p^
Sin.P X ^^ ^ •■ ^
(1 — Sin.x)P+^ Tang.x p
0)1 ISin.x ■— ^^^^" = — -Cosec.pn V. T. 68. N\ 23.
J {1— Sin. x)P-^^ Tang.x p
'^j'^^^'^-' SilT+Cos.x ^x - --'<^os.p..Cosec.^p.,p<l; lll'^^X' ' ''
f „ Tanq.Px dx ^
7) / 1 Tang, x — ^^— = tt^ Cosec.'' w tt , » < 1 ; V. T. 183. N". 1.
J Sin. X — Cos. X Sin. x
f 1 d X Y 'I* '^^ft M* R
8) 11 Tang.x — ; — — — - — == — n'' Cos.pn.Cosec.'^pn ,v<Cl; „,' t' o,-' «'" n'
'J ^ Sin.x-\-Cos.xSin.x.Tavg.Px ^ « w-^ ' et T. 34o. xN . 7.
Page 4.50.
Circ.Dir.enden.alact.bin.etautre. .it. rrii. nn ti, ^.
9) / 1 Tang. %
1 , .-, dx
rr* Co«ec.» ;?rt , p< 1; V. T. 183 N^ 2.
) A. ......
/ Sin. X — Cos. X Cos. x. Tang J' x
f Tann.ix — Cot.i X dx . , a i ,
l(i)llTana.a. '^ = V. T. 313. N\ 8 et T. 85T. N', 10> .V)»u\. jI a)
7 ^ TanijJ' x + Coup X Sin. Zx x.vy>, \
f^ Tanij.'i X -\- Cot.l X dx " — «- , ' ^
\\)\lTang.x - — -^— = V. T. 313. N^ 9 et T. 857.,Kfrt>ll-
'j ^ Tang.vx — Cot.Px Sin.'i.x ' ^ ' ■'
12) flTang.^ - ^"'■"'^ — ^-^ = _ ^ Sin. ""- S...^ ^ V._T.J13. N'. 6 '^t T.
n)jlTa»g..
Tang.P X + CoLP X Sin.'^ 2 X 8p> 'Zp 'ip 357. N\ 9.
X ^ -— = - — Sec.' — V. T. 818. N\ 7 et T. 35?. N*. 8
Tang.P x — CotP x Sin.*2x Hp^ 2 p
Sin.^2x dx n / "ZT U"' T-^xrU , "
— V. T. 31& N». 5^ et T. 357. NV 7.
2 (2 + l^ 2)
r ^, Sin.'^2x
}r)jnang.x ^7-7-. 7,-
s.*i; Cos. 2.T
,, „, Tanq.V X ~ CotJPx dx n
jr,)// Tang.x r^- r- -7^ = V. T. CS. S\ 19.
^' ^ (ransfJ'a:+Co<i'a:)'<Siw.2j; 4;;'
,,.,,,7, p TangJ >x[ Tang.^lx- 1 ) +qTan g.1x{ TangP -Px- 1 ) rfj: ^ ^ (S-/^ '^l V. T. 68.
' •' [TangP+nx-\-\)* Sih.Zx p + q Uj+p 2\ ^'- -'^-
'I'
p Tg. Px{ Tg.^1x-l)-q Tg .'i x( Tg.^-Px-\) dx ^^'\^~P''\ / V.T.68.
IDfUang.x ^TangJ>^'> x -^^ ..-^."-^^T^. ^^-L-ZI o!'^<^' N=. 21.
'/
IS)// 7an^. X
Cos. 2 X
rfj
Sin.Zx
1»
I + 6Vn 2 a' 1 + Cos. 1. Sin. 2 x Cos. ).— 1
10) I ITang.'
20) 1 1 Tang.^
H)jlTang.^
2l)\lTang.'^
2:i) j ITang."^
Page 451.
n \ y-h'-^ dx
± X
V. T. 855. N^ 2.
— - , ,0. , , ^ , -^;; == ± — ^rc-<antf. p V. T. 339. N'. 31.
!• / (0!»j.' .r -|- ^' C/o«.- .r) Tang, x p
n \ Sin. %x dx 71 2
-±x\ -- ^ -^ = ± ■ V. T, 68. N". 7.
4. I (q^ Tang.^ -^ + 1)* Cos.'^ ^ 5 1 + <?*
n
-±x
Sin. 2 X
dx
^ . ^ = ± V. T. G8. X^ 6.
4- / (?* + Tang.* x)* Cos.* x 7 1 + 7"
n
-±x
Sin. 2x dx n 2
— = ± - . V. T. 63. X". 5.
4 I (q' Col.* x -\- 1)^ Sin.'' X
Tc \ Sin. 2 .r dx
-±x\ -r^, — I = ± -
7 1+7'
n 2
i I {Cot.* x + q*)* Sin.* X 7 1 + 7'
V. T. 68. N". 8.
57*
F Log on num. TABLE 345 suite. Lmi.OctJ.
Circ. Dir. en don. a lact. bin.ct autre. 2
25) I II Tang. x)^ ;_— — 77^1" ^= , — ^ ''"'-r"- '^^- «~ N^ 10
F. Log. en mini. TABLE o46. Lim.Oot".
Cu'c. Du'. rat. en den. trinome. 2^
f I — pC0S.2x , 1 ,1 — P . , /, , T - T I , n
1) IZ 5iH.a; d.v == - Ttl - ,;;<!; Cauchy, Lim. Imag. 119.
'J \—2pCos.Zx + p'^ 1 1
r ( 1 4- g 2 ) (5in. 2x—p Sin.2px) -\- 2q { Sin.2 x.Cos. 2p.v—pCos. Zx.Sin.Zpx} ^ ^ ^ ^ V.T.aoo.
'6)jlSin.x ir+2^os.x + q'){l + 2qCos.Zpx-\-q^) "" N'. 5.
i)(lCos.x ^^^^ = l^-^ , P' < 1-. Poisson, P. 19. 404. N^ 76.
o)llCos.x ' d.v = -71 1 ~ , p<l; Cauchy. Lim. Imag. 118.
7 1— 2p(?os.2.c + p* 4 4'
6)[lCos.x ^'''■';''-P -dx = "LiljtJL , p.<i. V. T. 370. N^ 23.
7 1 — 2p(7os.2a; + p"-' 4p 4 ' =
7) 1 1 Tana. X ^ ci.r = -/ , p < 1; Cauchy, Liin. Imag. 120.
7 ^ 1 — 2 p Co*. 2 a; +p^ 4 1 + p '^ ,
S)flTang.x~ ^'^^-^/^-P ^ ,lx = ^l]^ , p^ < 1; V. T. 371. N=. 1.
7 ^ 1— 2pCo5.2a; + p^ 4p 1+p '^ =
'J)llTang.x ^"^'^^ . - cZx = 7-77^^ «r? • P' < 1^ V. T. 371. N". 5.
7 ^ 1— 2p»(7oi.4a;+p^ 4p(l — p*) 1 + p =
10) 1 1 Tang. X ^o^-^^ — P ^^ _ 0,p^>l; V. T. 371. N=. 8.
7 -^ 1— 2pCo«.4a; + p-' '^ =
/■ (1 +p*) Cos. 2 a; — 2 p , n , ^ , I
J (1 — 2pCos.2.r+p*)^ 4(1 — p [
V. T. 85. N°. 1.
'^ ,J
^4 ^-. ^^;:ig-!--^ .. = -^ V. T. 85. N^ 2.
■2pCos.2« + p*)" 4 (1 + p)
Page 452.
1'. Lor. en num. dc Cue. inonomc. T-iniu "/n \- {\ ^^^
Lu'c. [Jir. (le torme irrat. ., , ,, ..;,,;,, .^i :-■,,. 2
_ - ■■ - _■ *■■■ ... - - ■
•S)USin.x
Tanq.lx , 1 ^ tt
— ^ — da; = -QTiCosec. - V. T. 73. N*. U. ■ . „,,
/Sm.2a; _.._8^ g inJ .nab -
b)\lSin.x j:. ; — -r dx = — Sec. WTt V. T. 73. N°. 18.
J bin.P—'^x.lang.x 2p — 1
„^ f, o. SinJ'—ix dx 2 7t „ 1
C>)jlSin.x y ^r— -— -. ^ -= — :; — Sec.pn , p<-; V. T. 76. N». 14.
j {1 — Sm. x)P+i Tang. X 1 — 2p ' ^2
7) 1 1 Cos. X _ ^,^''°"^ , , dx = — ^71/2 V, T. 1C3. N'. 12.
Cos. X 1
^)\lCos.x dx = -a-l — \) V. T. 1G3. N'. 13,
9)jlGos.X — — 2~^ dx = -qnCosec- V. T. 73. N". 12.
•' Tang.q X. Sin. 2x ^
,„»/", ^ {i- — Cos.x)P-i 2n „
10) llCos.x -^ Tang.xdx == — Sec.pn V. T. 73. N'. 13.
7 CosJ'-'^x ^ 2p— 1 '^
12)/iCo«.4; , - -Tang.jodx = — Sec.pn V. T. 74. N^ 10.
7 (1 — «7os.a:)P+» "^ 2p— 1 '^
Ui)jlTang.x ^ ^i J^^lg-^ , , = - ^ /(1-p^). F'Cp) , p'^ < 1; Koberts, L. 11. 471.
14) (iCot-x --^-^^ ^^ d* ^
J 2 Sm.n-^.Tang.^^.Sin.-x^^(Sin.^).-Sin.-.v) Lobatschewsky. Mu,.. Ka-
~ 2 Sin. k Sin. (I Sin.tt(l -{- Sin.X)
ic, r, t-. C'os.o; da:
15)li&«.aj -— -^-- = — 2 7r' V. T. 1(53. N'. 18.
y 1 — Ix'aSjh.j: l>-'5tn.' .1-
Page 453.
F.Log.cnnum doCirc.monumo. ^^^^^ 5^, ^^i,^,
Circ. Uir. do lonno irrat.
II oimo'l
.ill.'.. , tt'
Ml Lull. Oel-.
dx *= ^ 2 7r» V. T. 168. N°. 18. •
dx , 22a_l_ _ ^^ V. T. 310. x\'», 19 clT.
[ 1 + 1/ Cos. X \ + Co5. X
7 Sin.x I
17) \a Tang. x]^-^ ,- -- ^-^"",-^^1.1 7t '^''^r~- — -^i^'^)^" ^aa-i h^o^ ^""'r
F. Log. en num de Circ. polynooio, ^^g^E 348.
Cue. Uir. do lorinc irrat.
Lim. Oet-.
[ • , 1 1 /I N /tt — i\ Lobat-
l)l(/x/{Sm.i..Si'n..r+l,''(l— ros.U.5^•n.^^■)) = -ttB— -L -A ) — 2L ischewskv,
j 2 2 \2 / \ 2 /rMdm. Kk-
f \+Co8.x\/{Sin.n-Sm.''i^.Sin.-'x) \\ ^ 1, /^ .1, o. a^ /^ ,^ \lii''"TT^^r
•2)\dA— — r^ — ^=.iZ-U:os.»-A+i [Cos''-).-^Sin.^-n.Co8?'a\\y- »"• ^^^
'} \-Cos.xV{Sin.n-Sin.K.Sin.\v) %\ 2 \ 2^ <?u?. ' ^ /^ 1=^-
/ 1 — CoiAp.X.Co«/(p..ii.Cos.x.i/ (1 — Cot hp^.X. Tang A /; - . « . Co s. - j)
'"^^J 1 4- (7osAp.il. Cos A pT(<.r'os..r.v ]l — CotJipKX.Tanghp^.u. Cos.-^x) ~
4 L^i/i /i p. A
d
4)
/r--
Co^. 0! (/ .r
Coshp'^.X.Cos.' X
1
{i -f Sinhp.l) {Smhp.k+\/ (1 —Coshp'^X Coshp^.fi))
1 -{. J / [Cos hp-.u— Sin hp"^. u . Cot hp\XSin^x) _
1 — Cos h p. k. Cos. X
' .\
_ {ha^^)—h{X—;f)—ZL{>i)—{n—2l — 2(p]lSinhp.u—ZXlSinhp.}.}
ZSinhp.X.Coshp.X ir ((!--_
f Cos.xdx 14: {/ {boshp^.it — SinkpKft .Cothp-. X.Sin .'^ x) _
') l — Coshp'^.X.Cos.^x
-1^
2 Sink
Cos. X d X
_ ^ , V/ (1 -f Co< A p» . ?.. Sin.^ x)
— i— -— -{(7r + 2A+2.j)/SmAp.^+L(A + .,)-L(A — o,)-2I.(()}
p. A. Coshp.X '■
Z{1 + l'-{Coshp^.^ - Sinhp-.^. Cothp\X.Sin.'' ,r) =
7)
/r
CosAp'.il.Cos.* K
s,/^Wd('+"-5'')'"'""'"+''''-'-""+J''''-+"'''^'''"''')
Cos. a; ti a;
Coshp^.X. Cos.^ .r
/ (1 _ I/' (CoeAp^/x — «n Ap'-. i*. Cothp\ X.Sin.\x) =■
Dans les formules (3) a (7). trouvees pflr Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1836. 1. I. 73, lU. 120,
Cos h p. X
Sin A p,
125, 127, on a Cos.tp =
Cos h p. I
Page 454.
C..c.Di.-.dHbrmei.Tn(. ^'^^^^^ 548 suite. Lui,. et ^.
f Cos.jdx , -1- I I
^n'iZ-Sinn Cos^ ^^ {^ + ^' i^^"'' h~<^os:- u.TangM.Sin.'' .r)) = ^- i.aQ'J i| ,oi
^ Sin.2l ^~^'^ + ^— J ^1 ^ *"'• ^ + I^ (^0 - ^' ( / ) + 1 T. (A + ,,') _ \ L (A- , ))
C Cos. xdx
' ^^ " "" ShTTk (^ - '^ + i '^) ^<^°»-/^ + T^ (^) + T.(9) -4 L (A + ^) + < L(?. ^ ,,)}
Dans les formules (8), (9), Irouix'os par Lobatschewsky, Mem, Kasan. 183G. 1. II, 42, 43, on a
Sin.}.
Eoberts,
449.
f Ax — rx~ " ^ — ' 1
., .0- i, r _l. „ c, ,\ 1,1?. \ ■ , I; _L .? 4- -r')! ,r^ i
^ '5/r(r-7i|;;r^) '(^-p' ^"'•'^•- '=^'''-'-'') = ^^'(^^
'-<1
Page 455.
F.Log.onnum.doCirc.polynome. ^^^^E 348 suite. Lim. ei;.
Luc. Liir. (le lorme irnit. :J
— {2 + '[v/(l-p')])E'(p)] Roberts, L. 11. 157.
f Oos 2 xdx 1
_(2_pi){4-|-;(l_;j2j} E'(p)] V. T. 348. N°. 18, 19.
^^^I ,yn '^^''^- 2 A'^^\n~K^^'''y\ = ^l'[\ {l-p'),Arcsin.g} Roberts, L.ll. 157.
J \/(l—p^ oin.^ x) 1 — q\'(l — p^ Sm.- x)
F. Log. sous forme irrat. t * ni i? ->!n i • n «f "
l)ICos.xdxl.-^lCosec.x = -i/tt V. T. 44. N". 1.
2) /Cos. a;(ZCosfc..r)''+t dx = —^\^n V. T. 44. N'. 2.
iSinPx
J Tang.x
la/2
71
(iCosec. x)a— l(ij = i^ - V. T. 1C2. N'. 4.
(2 p)a p
Cos. X
4)/ — dx = l/TT V. T. 44. N^ 4.
1/ t (Josec. X
Sin-P X n
— dx = \^- V. T. 178. N". 1
ian*/. .T. 1/ ICosec. x p
H)jSin.xdxl^lSec.x = -i/tt V. T. 44. N°, 1.
J 2
/■ a^/i
7) /5in.A'(i-Sec.a;)<'+*d.j; = i^n V. T. 44. N"-. 2.
/ 2"
f l.-»/2 71
8) ICos-Pt. rano..r(Z5ec.x)a— *d^ = — \^ - V. T. 162. N^ 4.
^ Stfi nc
9) / -ti dx = 1/ TT V. T. 44. N'. 4.
/ \^ I bee. X
(Cos.P-
^^n , , ^ dx=:?.]^- V. T. 178. N". 1.
^-2 X. Sin. 2 X n
77T1: dx = Z\y -
i^ I dec. x p
Page 456.
F. Lojf. en (It'n. monome.
^o
TT
Circ.Dir. TABLE 550. Lim.Oet-.
fiSin.'i ic — Cosec.'i x) * Sin. a n
])/ Tang.xdx = I -^- V. T. 175. N°. 7.
J I Sm. x_ qn
■I
11
13
14
i ~Tc<~^ Sin.2 X. Sin.{l Sin. -.r) d a: = -tt V. T. 406. N". 3.
J I Sin. X 2
7 + 2
'-^ - V. T. 167. N\ 4,
'+2
{iSinJ> X — Sin.'l x) (Sin.<- X — Sin.^ x) ^. ,(p-\-r+Z)(q+s+Z)
/ Sin.Zxdx = Zl
J IStn.x J
I
(Sin.>i X + Cosec.'i x dx f P + </ I
/ ,,- ^ ;;; TT = i Tang, f^^^ n V. T. 172. N^ li.
J bin J' X + CosecJ^ x 1 ang. ,r. I Sin. x ( 4 ^ j
[ Cos. (2 p ISin.x) d.r 1 1
I \-!r. :; -=-1 ~ V. T. 406. N°. 16.
/ I Sin. X Cos. X 2 £?"■ + e~P^
f( 1 — Sin.^-lx) ^ Sin.l-^ .v an -— -
I --— dx = I Sin.-— V. T. 172. X=. 10.
J I Si7i. X Cos. X 2
[1 — Sin.'Jx 1 — SjV/+' .r
l,T ? dx = -ql-2,qy~\; V. T. 172. N'. 3.
J I Stn. X Los. X
I
fCos.^x dx Stt
I = I Cot. —
J ISin.x I -\- Sin.'* X 8
/" f 1 -i- 5m. ' X Cos. X) dx
I { ^\, + ToT— \ -,-7. = i 2 — 1 V. T. 172. N\ 5.
/ [ Cos.x ^ ISin.x^ ISin.x
f Cosec.'i X — Sin.l X dx »f 1 1 Ivti-i-
I =( IVTfl lA^l - I V. r. 1/C.
J {ISin.xy Cos.x / V /; ^ ^(o n— 1— 3)i-P (2n— l+j)'-?] ^''- B.
/
nCos.v X — Se
J I Cos. X
fl + Cos.x „ „ 1
/— ,-7; Sin. 2 X. Sin. U Cos.x) dx — -n V. T. 406. N°. 3.
J I Cos. X 2
fCos.'i X — Cos.? X <7 + 2
l*^' / 77. Sin.2xdx = U^-^^ V. T. 107. N°. 4.
J I Los. X P + 2
Page iSZ. 5S
WIS- n.N NATUtnK. VEH1I. deu komnkl. akam.mie. iiF.ri. IV.
(Sin.'lx — Cosec.lx)^ dx
-,-- ' = I Cos. an V. T. 175. N". C.
I Sm. X C OS. ,v
V. T. 172. N\ 4.
(Cos.l X — Sec.9 x)^ dx Sin. a n
77, v;r— = !■ ^— V. T. 175. X-. 7.
ILos.x ianij..c qn
— Sec.*! x)^ dx
„r-- = I Cos. an V. T. 175. N'. 0.
Sm. X
Ci,® Dj,. TABLE o«0 suilc. Lim.Oet-.
\ 3.
/ 1 — Co<!.'l X 1 — Co«.?+' .r
''^JTCosJ-- Sin..~ '''-'- '^''''^>~'-^ V.T. U2.N
iTanqJ'—^x — Tanq.l—^ x I vti i/tiN n>'> ,
20)/ .i'. .^..,-_2 _ _ 7i{tiSln.Lpn — l^in.i,,i7c) V. T. ISO. N?.l3,
J I Tang. X Los.tx ' ' .Mt\]-\-
fTanq.'i X — CoU X f 1 + 9 1
^1)/ ,rn -dx = I I Fang. \ -^-^A V. T. 323. N'. 12 ct T. 360. N\ 1.
7 I Tang. X I J- J
i'(Tang9a)—Cot.1x)'^ dx
^2)/ — , ™ ■ t; — ;— =- V. T. 322. N», 15 et T. 360. N'. 2.
J II ang. x Cos. 2 x
f Tang J' x — Tanq.H x dx
'^'^nV- rr <■ /r ' == l{Tang.lrl^^.Cot.[q^) V. T. 163. N». 18.
j S)n.x-\-Cos.x Siu.x.l Tang.x
[TangSx — Cot.1 x dx fpj_g 1 ■ l
J TangJ'x+Cot.PxSin.2x.lTang.j- "^ \ 4: p )
^^C Tang.1x-\-Cot.<ix — 2 dx , qn - , ,
25)/ rr, " "7, ''-^^^-7. T7?r = tCos.~ V. T. 323. N^ 8 et T. 300. N'. 5.1
/ langj'x — CotJ'x Sin. 2 x. I Tang.x 2p
Ciic.Dir. TABLL 00 1. Lun.Oel-^.
f IC0S.X dx nlq-\-n\ n ll q \
J q*-\-{lSin.xy Tang.x Zq \ n j 4,q 2 \ 7t j
f ISin.x dx 1 (1 1
J q^ -^ [l Sm. xy Z{n 2q \nj}
X». 12.
, Tana. X. ISin.x 1 1
4)1— -7-7-- 7r<i^= A y. T. 173. N\ 13.
-{-{ISin.x)- 1 2
f Tang.x. ISin.x n^ cc Bo,, 11 fn\-"
'%TZ:^~^. ^^ = 73 -^ (- 1)"+^ r?; (tI v. T. 173. N". 14.
{I Sin. x)^ 47^0 ^^+^1?
Page 458.
F.Los.cnd6uAAiv)mc:r + {lSin.xr. ^^j^^,. -., ^^,;j^, "=^-"^'"' " Lim.O ot".
Lire. Dir. ■ 2
f I Sin. a; dx I , , „ ,,,
6)1 — ■ = - (2 — ^) V. T. 373. N". 10.
'J n^ + iilSin.ry Cos.x 16^
fSi7iJ'x — Cosecj* X d.v 1 r ^ ^. .r^,-,^ It
V. T. I7G. N'.
[Si
Sin.^—Px — Sin.l'—^x dx n rx. Sin.itpTi
^ r , P^
q 1 q + n^
in Px -\- CosecPx I Sin. x 1
4- (i-Sin. ,r)* Cos. ;t: q \ q -\- n .
fSin.^—l'x -4- Si)t.l'—^ X ISin.x n <» Cos. np n ■. j.v,) _
10)1- -^_^- ^7 r --7^- /. '^•'-- = - , -^- V-^,/'' < 1; V. T. 176. X'. 11.
J q + (ISm.xy Co3..^■ Iq \ q-\-mi ...m\;,\
f Tana. X. I Sin. X 71- t: I nV-"
J {fi^-\-{lSin.x)^}- iq' „ \qj
f n^—nSin.xV- I Cos. x I
1~)/ rr- -7-^-- -\ ■ dx == -(1 — 2 A) V. T. 351. N». 4.
(tt* +(Z5in..r)i'}« Tang.x ' 4
f.x. ISin.x T- 00 /.t\
(lStn.x)^]- iq' \7/
, , f q^ —S ISin.x}^ ICos.x tt' 0. /7r\-
i*)J7^, rc-.r-T^TT :;; ^j- = _ . , v Bo,,^.! (1 v. t. 351. .n-. 11.
, /■ q- -}-(iSin xy ICos.x tt^ « Bon+i/TX^"
15 / ' „ --, dx = - .2: (_l)n+l -^'-^- -\ V, T. 351. N^ h.
j {,/^. _ (ISinxy) ^ Tang, x U,^,^'' « + 1 \q j
ifi)/ >V^/c~^ r,T7 „. rf^ = , , ^^{- 1)''+'B,„^, - V. T. 351. N-. 13.
J {q^—(lSin.x)-}^ larig.x iq* o \?/
F.Lof^.cnderi. a .nitre forme Ijinomc. mimc^ --o i- n . ''
p, " n TABLE -iD2. Lim. Oct-.
Lire. Dir. 2
r_ ?Cos..r rfj; 1 jl J
'j 71-^ ^(l Cos. x) ' 5in. .r ~ 2 I2 ~ "1
V. T. 173. \'. 11.
ICos.x dx ^,/7 + ^\ ^ l/'7 ,
^ — zrr^ + liq^-iii—i] V. T. 17(1. N". t^.
7* + (/Co«..ir)* (7o<..r Zq \ 71 j l q ' 2\ tt
fCos.Px — SecJ>x dx 11 ,1^1 l+5in. i;):i V. T. 176
Page 459. 5S*
Qjpg j)j,. ,.,1., A lAULh ooi suite. Lim.Oct-.
fCosJ>a! + SecJ>xlCos.x , 1 tt ^ 1 1 ,, 1 l—Sin.lpn- v T I7ri
/7i*4-(;Co«.»a;)* 5t«..r 4 8 S'^ ^8 2^^ l + Sin.Jp;r^^ ' N'. y. ,
5)/-rT777^^Ti ^^ = — ^7^-— .— — Z - v., T.,.173. Nvi2.
J q^ + {lCos.xy Tang.x Z[n 2q \t/J ■
„ [ ICos.x dx 1
^n~^^~rnn ^^ =t(1-2A) V. T. 173 N\ la. .
I Cos. J- da: ji*
^(_1)«+1B2„ + I - V. T. 173. N". 11
[ ICos.x dx
j q"^ — [l Cos. x) * Tang, x ~
f lCos..r dx 1
J^-~+ H^Cos.xy Sin.x "" 16^^
f ICos.x dx 71' m in\
^^jT^Vr^TT^J^. ^TTT- = - r^ -2:B2„4-, (-1 V. T. 173. N=. 15.
4?^ 0^ ' — '\7
n) V. T. 173. N". 10.
{q' + {lCos.xy} ^ Tang. x~ t,* o ^"^' V/"
,„, C n' — {lCos.x)-^ 1
^•^7 (.. +TCos:^^ Tang.x.lSin.xdx = -(1-2A) V. T. 352. N^ G.
^^^fr ^'^^r^m^ ^-^-^^"'--^-- '^^C-D-^'^-^f-)" V. T. 352. .... 7.
y (7^ — (/Cos. A') 2} 2 ^ 4^1 / ^ « + iV'//
,„>/■?" — 3 (i Cos.. r)» _ TT^ » /7r\2«
1^)/ r a I ., >, ,-■, „ Tang.x.lSin.xdx = — ^ B2„+i - V. T. 352. N^ 9.
} {q^-\-{lCos.xY)"^ -^ 4j' U/
/" ICos.x dx n^ 00 /7t\2"
>fJ7i TTT' TrT^ T^ = r i-^(— ^)''+' B2„+i - V. T. 173. N'. 16.
J {q^~ {ICos.x)'} ^ Tang. X 4^*0 \q I
1^ / „J 1 n'r 7i = ir \^ [ . — Z -^-L- V. T. 324. N". 3 et T. 863. N^ 3.
J q"" + {ITang.x}^ 2q { \ 4,n ) \ 4.7r /J
16) [ ^^ - ^^ L_ fy- /9+i^^ _/'/?+ ^\) V.T.327.N\ 1
J q^-\-{iTang.xy Si7i.x-\-Cos.xl^Sin.Zx ~ %qi^Z\ \ in ) \ in jj et T.36(i. N\6.
C°r^".[)ir.pog.deCirc.Dir.sansfact.Circ. TABLE 353. Lim. OetTr.
F.Lo
^jjlSin.xdx = — nl2, Grunert, Gr. 4. 113.
2) = — 7r(Z2 — 2a7rij Arndt, Gr. 6. 187.
S)ll((Sin.x})dx = ~nl2±2un-i Ljndmann, Gr. 16. 94.
Page 460.
'r-^'n- Lo'^dcCi^c.Dir.sans^act.Cil■c. TABLE 553 suite. '"'" Lira. ol ^.
Lire. Uir.J °
i)ll{{—Sin.S!))da!:=~^7zl2 ±(2«+l)7r»i Lindmann, Gr. Ifi. 0-1.
f -"' ^ _ -
o) 1 1 Tang. X d X = Ohm, Ausw. IS. jo
f ' f ^ ^^^ \■■^
G)|lCos.^xda: = ~ 2iil2 V. T. 353. N'. 1, 5-^ -'~ ^''"' "■ '.'
7)jl{l+Cos..T) da: = —nlA "ff— )'i7
I Kaahc, Int. IGl. — Ohm, Ausw. IS.
H)ll{l~Cos.x) dx = — n-/2j
f 1 + l-- (1 — »*)
'.))jl{l±pCos.x) dx = nl -J ^ ' , p < 1; Ohm, Ausw. 18.
lf))jl(p-\-Cos.x) dx = —^1-2 , p <il: j V. T. 245. N-. 4, 5.
} Lobatto, Cr. 9. 2G0 trouve fau-
11) == —Z7il{l^{p-\-l)—U^{p—l)],iy>l;\ tivcment7r/{p+i/(;7- — 1)1
\Z) j i{p — Cos. x) d X = — nl2 ,p-<^l;
l;3) = _2^qi/(p+l)_V/(p_l)},p»>l;^
I I) ll(p' — Cos.\r)- dx = ~\-nl2 , ;-» < 1;
-' I V. T. 246. N'. 20. 21
1"») = — 8 ;t/{i/(/;+1j— 1/(^-1)), p^> 1:1
i
i(\)jm-\.q CoO J a;) (i^ = nl- ^ - "^ ''' Kamus, Danske Afli. 6. 265.
\l)\U\—2pCos..e4-p-) d.r = , p< 1;/ Poisson, P. 17. 612, N". 15. — Dchmnay.
J = > L. 3. 355. — Grunert, Gr. 4. 113. - Lo-
„ , \ batschewskv, Mdm. Knsan. 1835. 1.
18) = 2 71//, . p > l;j
19)|/(14.2pCo«..r + /)') <«T = ,/><l;/
J '/---, J Grunert, Gr. I. 113.
20) = 2 7rip ,p> 1;]
Les form. (17), (19) se Irouvent aussi chez Schlomilch, Beitr. 11, 1. — Bicrensde Ilaan, Gr, 13. 193.
Page 461.
F.Log. 1,
ff.dcCirc.Dir. sans fact. Giro. TABLE 555 suite. Lim. Oel
' Ramus, Danskc Afh. 6. 965.
22) = 2;r^-, 6>a;\
f6)\L{\ — ZpCos.2x-{-p^)dx ■-= Bierens de Haan, Gr. 13. 193.
r, l + 2qCos.x + q^
24)// — ' —— dx = Raabe, Cr. 23, 105.
7 l + ^qCos.ax-^-q"-
^'V^^'u !Lo!?.deCirc.Dir.avocfact.Circ. T.\I3LE 554. Lim. Oetrr.
(iirc.I)ir.J '^
\)ilSin.x.Cos.xdx = V. T. 330. N". 12 et T. 331. .V. 9.
■l)\lSi7i.x.Sin.^''2 x.Cos.2xdx == — V. T. 88. N=. 1.
7 40 + 2 20/2
ii)\l&in.^x.Cos.qxdx — — ~nq \ Uaabg, Cr. 25. 100 (il trouve
3 i ~ (2
2 71^-1 2qnn ^. nrt ^ pour 4) faut. -^.
4) = — 2 Cos. .ISin. — - , a; = » ;1
k \ k 2k I
b)jlTa7ig.x/Iang.2xdx = — -71^ Y. T. IGO. N'. 15.
4
f 1
6)1/(1 — 2/»Cos..r + p-lCos. a.rrf.t- = f Schliimilch, Beitr. II. 1.
J «
7) I / f 1 — 2 » Cos. a; + »-) 5in. a x. Sin. xdx = -n { — -— — r I 1
7 2\a+la— 1/1
>i)jl{l—ZpCos.x + p^)Cos.ax.Cos.xdx = — -^l -" +^-
)ll{l — ZpCos.-2.v+p^}Cos.{{2.a — l).T}dx =
10)|/(1 — 2p(:os.2x + ;)2).Si«.2a.r.AS!n. .Td.'T =
U)jl{l~2pCos.2x + p^)Cos.Zax.Cos.xdx = j
Bierens de Maan, Gr.
9) //(I — 2pCo5.2,).-4-/)^)Cos.{(2a — l).r} rf.r = / 13. 193.
Page 462.
Biereus cle Haan.
Gr. 13. 1 9a.
"<'"^'n- }F-.0'MlcCirc.Dir. aveclacl.Circ. TABLK SS'i suilc. Lim.Oetit.
(.lie. Dir.j "
lZ)ll{l—2pCos.2x-{-p^)Sin.{[2a — l)x}.Sm.,vdx = — -;r|^^— ^"jl
1:5) jlil — -Zp Cos.2x +p^) Cos.{{2a — l)x).Gos.xdtc = n r~ -^ -j_^- J I
//, -Zanx , ^_ 2anx\ , 1
Lv. ibCos.x.Cos. — ianiiin.x.Sin. dx = b:T V. T. 249. N'. 2i.\
\ b b j 2
r- " n ( . TABLh 000. Lira.OetT.
Lire. Dir. Iracl.
/" dx
l)ll{pCos..v-{- 1) — = nArcsin.p , /j^' > 1 ; Winckler, Cr. 45. 102.
J Cos.X"
f, 1 + Sin. X dx
1)11 J , ^ o. - = ^* V. T. 17i). X". 13.
y 1 -|- Cos. A. Sin. X Sin. x
:i)(in~2pCos.x+p'-} '^— = ^ , p^ <1; Sclil<in,ilch Belt.-. TT. 1 trouve fautivement,
'j^ ' ^^ ' Cos.X ' ^ ^ ' — -Zn Irctang.p.
, , 1 + 2 qCos. X 4- </■- dx
5)/i -^ - , =0 Kaabe, Cr. 23. 105.
f dx
)ll(i — 2pf'os.2x 4- p^] = , p < 1; V. T. 348. N". 3.
} Cos. X
'f',^. C ^- T ■
J 1 + * !? ^''*- « -K + 9 " i a7ig. ^ x
f „. dx n 1 — p'^
V>) 1 1 Si7i. X ^ = -I , p* <' 1
7 l±2pCos.x + p'- 1 — p» 2 '/ ^
'■ • :- iRaabe, Inf.161.— Oliiii,AiisH. 18.
f P + Cos, X TT 1
>\)ltSin.x - — '—^ dx = -I , p < 1; Haabe, Itit. IGl.
'J 1 +2pCos.ir + p^- 2p ]-p^^^
+ 2pCos.x + p- 2p ] - p'
2p Ip^
2 1
9) = —-l^ ~-' , P'>1; V. T. 373. X°. 10.
; 1— 2p(7oa..i -|-p» 2p I V. T. 371
I I — z n (/CI. .;• -t- JJ- y. n t
il. N'. 11, 12.
2p p' — I
Tuge 1.63.
I'. Log. do Cue. Dir. Timn — •. i- n i
r- ^ n- f . 1AI5LL ooo suite. Liin. ct ^.
(-irc. Uir. Iroct.
12
13
11
!•''
17
IS
19
JJO
•21
23
li .sen.a; — — -— : dj; = -nl , »* < 1;
4
\ V, T. 371. N\ 15, 16.
i , „. p Cos. X — 1 1,4 )
; l — %pCoa.x + p^ 2 \~p^^ ^ '(
{ V. T. 371. N', 13, U.
( Cos. X
llSin.x 7 dx = , »> 0; V. T. 371. N". C.
/ l — ZpCos.2,x-{-p' ^^
/ , „ Cos. Z X — V n
llSin.x ^ — — — — ^^- — -dx = - 1(1— r) ,p<l; V. T. 371. N\ 9.
/ i~2pCos.Zx + p^ 2p ^ /''i----
r, ^ dx rr 1 + p2o
llCos.ax — - — ; ; = J Plana, Mem. Turin. 1818. 7. II. 14.
J l — 2pCos.2x + p- l—p- 2
f, „ Cos. 2x — p n
jlCos.x ^ r 1 , ■> ^-"^ == T-U1 + P).P'<1; V. T. 315. N\ 17, 2U.
J 1 — 2pCos.2x^p- ~P ' '^' '^
I ,rr, ^OS. 2 .« » • 71 1 V
[/(l + 2pCo«.a^ + pf) ^ = ^JjL^^in, a) Plana, Mem. Turin. 1S18. 7.
J l — ZqCos-x+q"- l _ ji ^ ^' ^ MI. 14.
f dx
ini—p'Sinr-x)—-- =-- /(I -p^).F(p) Roberts, L. 12. 449.
F
^i^l; £)ij. TABLE 556. Lim. et 2^.
jlSin.xdx = — 2jr |/2 — 2«7ii— -£-i-_ „jj ^rndt, Gr. 6. 187.
n(l — 2pCos.j;4-p-) dx — Bierens de Haan, Gr. 13.- 193.
f l + 2pCo^.j + p-
J M
-|- 2 p Cos. ax -{- p
Page 464.
dx = Eaabe, Cr. 23. 10.->
^- }^.^''i- ... TABLE 55G suite, Lim. et % n.
Lire. Uir.
4) \lSin.-x.Gos.axdx =-- ^ Cos.'^^y'^ ISin— , k = ^ ; Kaabe,Cr.25.160.[trouvcfaut.-- 2"
J 4) k \ K 2 k \ I'
C In
b)jl{Z +2Cos.x)Cos.axdx = — (—1;"-'
CUrCos.x f^ ( (- 1)''-' (- i)"~' H
*i) / / -r Cos. a xd X = 2 TT < — J-
I 1 + Cos, ox la a ]
f W 4t • ■ ■
l)\l[V J^lpCos.bx + ir-)Cos.axd.i: = , oil i- indivisible par a; / ^'''^^'"' ^' ^3. 105.
9) = 2 7r(-l)''-i- ,;/^> 1;;
a ;y" »= /
/■ ^ 2 ;r \ 'l
10) n(l — 2pCo«.a! -fp^) ros.a.c(i.c =^ — - p" \
U)jlil-2pCos.x+p^)Sln.ux.Sin..vdx = _^U-^^_— -^ .^^.^^.^^^ ^^ ^^^^^^ ^^ ^3
•^ ^ Ml93.
1 :2) / / (1 — 2p Cos. X -f p') Cos.nx.Co3 xdx = — n[ — + r '
j ■ '' \«+l a—lji
[ l-\-%pCos.x4-p^ f p" "Jzkbpb] \
i-^M^TTrVirx^^"''-"-''^'^" = S'T (-ij-i'-c-i) * -^ ,p^<i;i
y l-\-ZpCos.bx-\-p- [ a a ) ^^ I
14) = 27r|(-l)''-i-~-(-l)~-^|,p>>l;j
liaabe, Cr.
a-4 , s 1 23. 105.
apl>
f 1 + 9.pCos.x+i)^ dx , ^
15)// -T^r - — ==0 Haabe, Cr. 23. 105.
/ 1 -j- 2 p Cos. a.v -\- p^ Tang. { x
f „ p — Cos. X n
lti)llSin.x. ^ dx = -1(1 — p') , p- < 1 ; V. T. 373. N\ 5.
J 1 — 2 p Cos. X -\- p^ p
F. LojT. / Tana x. t inr i? — n i • " . ^
p- " n TATsLL do7, Lim. - cl -.
Luc. \j\\\ I 2
\)\lTamj.xdx = ^(— 1J« ^ * V. T. 152. N'. 11,
~o' '' (2n+l)>
<2x
2) UTang.x- ■'' ■ = — oo V. T. 153. N°. 11,
/ Sin. 4 .r
Paj^n- IG5. 59
WIS- E> NiTUURK, VEBH. l)EH KONIKKL. AKAUEMIE. DEEI. IV.
F. Log. iTan.j. x. ^^^^^E 557 suite. Lim. ^ et f .
3)/^?'«"i/--^7^r^ = - 4^* V. T. 187. N". 13.
Cos. %x 8
dx
Tang. 2 a;
, 4'}hTan,j.x^^^^^ = — ac V. T. 153. N^ 10.
da! 2
= — TT^ V. T. 153. N'. 3.
Sin. 2 a: 27
f Sin 2 x 1
G)/ira«a.j;-- ' d.x = — 7t^ V. T. 153. N'. 7.
/• Sin.^2x dx 1 tt' „ ^ ,,„ „, ,,
7)llTanQ..v = V. T. 153. N'. 19.
' Sin. ' A- + Cos.^ X Cos.2x 4 2 + l^ 2
1 dx Tl' Tl
= Sec.'^ -'- V. T. 152. X'. 20.
>^\\lTanq.x~ „ „. „ ,„ „ ,
^_/ ■' TangJ>x—Cot.Px Si7i^2x 16 p* 2p
/" Cos.2x dx n^
^) 1 1 Tang.x — — — = — Sin.- . usi:.- — ». i. lu^. i^ .,»?.i
7 ^ ran3.Px + Co«.Pa; Sin.-' 2.r IBp^ 2p 2p ,\'l
/" Tanq.lx — Cot.1 x dx t^^. ^'t^^?^
10) / i Tang.x — ^ = Sin.^—.Sec.'- ^ - V. T. 153. N=. IS
7 ^ 7'a/)5f./'.r + ('o<J'arSw.2.i- Sp- 2p 2p
C0S.2x dx TT^ „. 71 „ „ 31
5in.- .Sec-.' — V. T. 152. N°. ,19.
Tang. <! x -\- Cot.1 X dx ^^ q ~^J''^
TangJPx — CoLPx Sin.%x ~ 8/)^ ' ip
U){lTang.x'J"'\^ '-^^^ c^r^^ = ^ •^^"-"•^ ^ ^- '^'- '^^- ^'- '^•
r /tt \ da; 1 ,
12) nran^.M- ± x\ ^._ ^ = =p - 71^ V. T. 357. N\ 3.
iSe'n. 2 .r
F. Log. (J 7Vm^..r)° pour « special. ^^g^E 358. Lim. %t -.
Gu'c. Uir. 4 2
})j{lTang..vydx = ~ n^ V. T. 154. N'. 1.
16
dx 4
2 + Sin.2;c ~ 243
l}l{lTang.xy - , "'^.^ ^ - = ^ ;t' i/ .3 V. T. 15C. N\ 1.
■■i) I {I Tang.x)^ ^f ^ = ^tt^ 1/3 V. T. 156. N'. 2.
2 — Sin. 2 .r 24.3
dx , ^ ,71^ — ;i*
1 + Cos. ^. Si'n. 2 a;
4) 1 17 Ta^ig. a:) '^ ^ , ^^^^ '^^TZ = ^Cosec^. " V. T. 156. N'. 3.
5) / (I Tang.x) ^ r — ^, = 2 it Cosec. xI-ti'' — -iiX + —).A V. T. 156. N°. 4.
7^ ^ ■* 1— Cos.^.S(n. 2* \6 4 ^12 /
Page 460.
F. Log. {I Tang, x)^ pour a special. ^^^j^^E o58 suite. Lim. ^ et ^.
Cue. Uir. 4 2
6,|(,ra,.,....,. -^_— f-
= — tt' l^ 3 V. T. 154. N'. 3.
Cos.^'x 27
/• Sin. ?.« 2
7) I a Tang.xV ^ — dx =--= 7i» 1/ 3 V. T, 154. N^ i.
l_5m.='x.(7os.='« 243
dx 3
5in.* « + Cos.^ X 64-
S)\{lTang.x)'^ — ^ _ ,''^ ^ = — w^ 1/2 V. T. 154. N°. 2.
/■ Tanu.'l X 4- CoL:i X dx Tt ( Q't „ Q^)
'J) I (I Tang, x)^ — ^ ^^ „ = hSec.^^ ^Sec.— \ V. T. 154. N\
7^ ^ ' Tang.Px-\-CotJ'xSin.Zx 16 p^ | 2p 2pj
r Tang.'/ X — Cot.l x dx n"^ an an
J 01 lUTangx)----— = -- S»J. - . Sec.^ '' V. T. 154. N\ 6.
j^ " ' Tanij.Px—Cot.PxSin.%x 8p^ 1p 2p
C dx 1
li) UlTaiuj.xY y.-^T' = ~~ 77- '^^ ^'- '^- ^^*- ■^''- ^*-
6'o«. ix 16
f 5
\-l)\{lTang.xy dx = -;7r= V. T. 134. N*'. 1
1.}) / (^ 7an^.^)^ = ^ -— .— - V. T. 13G N^ 5.
y 1 + t-os. /,. bin. 2 x 6in. K a
li)l{lTang.xy = tt" V. T. 154. N^ 4.
/■ 61
lb) j {ITang. xy dx =^ ^ - n'' V. T. 155. N\ 8.
[ dx 17
\.&)\aTang.x\-' = _ — n" V. T. 155. N-. 10.
/ Cos.2x 32
F.Log.(/r«»</.^)''pourfl general. .p^g^E 559. ^ Lira.? el ^.
Lire. Uir. 4 2
r » (— D"
\)\aTann.xyidx = rf-j+l)^ -■ V. T. 187. N'. 7.
2) l(/7a;y.a;)2<»(ij = -(—!)«+» (2 ^■'+1 li" (-) V. T. 158. N\ 2.
( d .!■ 1 — 22"
S)l(lTang.xf''-^ , = Boa_, tt^" V. T. 158. N\ 5.
J Cos. 2 X 4 a
Page tC7. 59*
F.Log.(/7«»</.^)"pour«gc-neral. ^^g^E 359 suite. Lim.^let-.
Li re. Dir. 4> 2
f dx I — 22«+i y> I
5)|(/ran,..)-^^ = t^(2.)-+.B" (i) V. T. 15.. N'. 1.
r d.v (-1)"*-' , /i\
6) / a Tang, x)^" = ^ ' (2 7r)2«+i li" - V. T. 150. N\ 2.
f dx 1
7) I a Tang. xV" = - (— 1)"+' (2 7r)2a+i Cosec.2»7rB" (») V.T.159.N^5.
J 1 — Cos. 2pn. Sin. %x 2
[ 1 dx 220—1
8)/(/rana..r)2'"-l = {27r)2aB2„_, V. T. 164. N'. 3.
7^ ^ ' Sin.x — Cos.xl^Sin.Zx ■ia\^2^ '
F. Log. en ck'ri. Timi? "pn r- ■^ .^
Circ. Uir. 4 2
(Tanq.l x — Cot.l x { 1 + <7 1
1)1 dx = ITang. In} V. T. 175. N". 5.
J ITang. X 14. j
fCTang.Qx—CoUxy dx ,^
2)/ ^ = ICos.qn V. T. 175. N^ 6.
J I Tang, .v Cos. 2 x
f dx If /2o+87r\ l^q + A)
3) / = — h'[ --" 1 — Z' -^-^^- V. T. 173. N". 9.
'Jq^-\-{lTang.xy 4>q[ \ in j \ 4:7t j\
[Tana lx — Cot.<l x dx 1 . „ f/? + 9 )
4)/—-^ TT ;;; = -ITang. \-^-^n\ V. T. 172. N^ 6.
']Tang.Px-\-Cot.Px Sin.2,x. ITang. X 2 I 4p J
fTanq.l X + Cot.1 X — 2 d.-c 1 ^ a n
.5)1 -^ ^^^ — = -ICos.^— V. T. 172. N'. 7. corr.
J Tang.P x — Cot.P x Sin. Zx. I Tang, x 2 2 p
f Cos. X
j 1/ 1 Cosec
7) / '■ dx = l^n V. T. 349. N\ 6
! Cosec. X
Sin. X
dx = 1/71 V. T. 349. N'. 1.
1/ i oec. X
Page 468.
I)/ ISin.xdx = — anl2 Clausen, C'r. 7. 309.
2)/ l{{Sin..r))da; = — 2a7r |i2 — «7r i {2|5+lj;Ti
•'o I. 2 j
;})/ l{{Sin.a!))dx = _(2 a+ 1) n- </2 — 2«7rj — -^^^t_a7rjj
-v / x> ^^ .r, ^" 2a7r^— • 26k TT mti
*) I Coa. — .tojn.- — ax = — ; — 2 Cos. — ; — .IStn. , k = x:. Eaabe, Cr. 25. 160.
J a ia k I k 2, k
,- , ,, > Lindmann, Gr. 16. 94.
f 2/3 4- 1 1 i on fautives.
flow
5)/ r/'an^.='|-±^]
Sin. 2x an
d.v = ± — Arcsin.q , (j<^l, V. T. 361. N'=. 6.
.4 l—q^Cos.-2x 27
r ,1
()) I t = anArcstn.fi , <11: Kaabe, Cr. 25. 169.
'} l—nCos.x Cos.x i ' y ^ .
^- jt.*^"- r». TABLE 5G2. Lim. et I.
Cue. Dir.
1) jlx.Cos. qxdx = - [Sin. qX. IX— Si. (7 A)) V. T. 251. N'. 4.
2) j dxl[Cos.x-\-y/ [Cos.'' x — Sinhp.-u)] = I A-j-if — —n] lSinhp.ii-\- \
+ iL(A + ,)_AL(?.-„)_L(,,)i ,.^^,^^j
•.i)jdxl[Cos.x+\/{Cos.Kv—Sinhp^X)} =z {X—-n)lSinhp.X \
•' " I Lobatscliewskv, Mcni. Ka-
lsan.lS36.1.l.'ll?,117,ll4.
7 Cos.x-i^{Co8.^x-Sinfip.^X) y^ 2 / Z' " 1
b) jdxl [Cos.x -^ i/ [Cos.^x— Cos.- X)} = | P. — -tt j Z(7o«.i
6)ld2'i{C?os..-c-j-v/(Co«.^ x — Co4.\<.)} = ix+q — -n\lCos.u +
, Cos. (f =
Lobatscliewsky, Mdm. Ka-
1 1 Uan, 1830. I. IT. 21. 39.
+ _L(i + ,,)__L(A_,,,)_L(,,)
Page 469.
Lobatschewsky, Mdm. Ka-
san. 1636. \. IT. 20, 14
^- i°°T,. TABLE 562 suite. . Lini. el X.
Lire. Uir.
f Con. V + Cos. I 1 1
7 <7os..f — Coj.A, ^ '^ \2
/" Sin. X -j- Stn. /*. Cos. x \^ [^Sin.''' X — Sin.^x)
6)1(1x1 — ; ; -—7 =
J Sin.k — Sin.ii.Cos.x\^ {Sin.'^ X — Sin.'^x)
= 7tl { Tanij. — (1. Sin. X -{- \ Tanij.'' — ;i. Sin. ^ X-\- 11
f 1 -j- Sin. X Cos. X , , ^ , 1
9) / 1 — : — ;; — ax = nX Cosec. X i t ■
' ] I — Sin X Sin. x V {Sin.'^ X — Sin. x) I Legeiidic,
\ Exei-c.
,„, /"/ l+Sw.ar \ Cos. or X — &n.A.C05.;,i Suppl. 34.
10) I I r — ZMn.x „ ;, ax = nCosec.^X-
fl 1 A- Sin.x
10)/ Z—"^-- — — 25in..
J \ I — Sin. X
Sin. ' .r I / {Sin. ^ X — Sin. ^ .v) 2
1 -j- Sin. X Sin. x. Cos. x
X i/((Sm.*A — Sin.'^ x)
Sin. X
lll/t dx = Tr(l — Cos.X) Legendre, Exerc. Suppl. 35.
J 1 — Sin.s- -'"'-•-•»'' c/ 9 .^
/" 1 + Sin.x
12)// ^ ^ ^. — — r- <i.c -= nSecX.lSec.X ..
J 1 — 5m. .T Cos. a; l/ (Sin. ^ X — 5in. * a;) Legendru.
\ E.'cerc.
fl+Sin.x Sin.^ X ^ ^ n ■, c ■, 1 r> ,, , .(Suppl. 39.
13) It — — — ; dx = - n Sm.^ X. Sec.^ X nSec,^ X.LCos.XK
7 1— Sin.x Cos.^xy/ (Sin.^X—Si7i.^x} 4 2 )
1 IN /" f,l+^^' „ o. 1 ^Qg-^ , o ^ , ,1 1 /I , IN Legendre, Eserc.
'"V r I^r^T. - ' ^"- "l^m.^ .1/(5^.^ A-&-n.^ .) "'^ = 2Cos.o.Ml-:iCot.A)3^p^p, ^^
^- J;"."^' n- TABLE 565. Liin. il et i ;r.
Lire. Dir. 2
f Sui.x. Cos.X dx \
1) 1 1 Cot * X — ■ ■ ■ = 1
7 ■ ■^ 1 _ Cos. 2 X. Cos. ^ X x/ {Sin. ^ x — Sin. ^ it) / Lobatschewsky ,
n „ / 'rang.X\ i^ 1,^ /I Tan^. ;i\ ) ( 1S35. L
= Yin.Tx^Y''''"'^- Sz^j U'^'"^-2^-'^'*i2^'''''"'^-l^.,7)))
f,^ Sin.x.Cos.x dx I ^ ,o,J/.l'7.-llc- '^"'•."
2) ;Z(;t)<.i.i- r "r =-TtCosec.X.Sec.fL\Cot.-(i:Ig.-ul,inn.cp = -; — -;
Lobatschewsky, M.6m. Kasan. 1835. 1.
f _ S in.x.Cos.x dx nCos^'^ji^ Sin.n+\{l—Cos.''X.Cos^)
7 '^''^^Sin.n-\-T^^^Sm.-'x iy{Sin.''x- Sin.H) ~ ZSin.X.Sin.a
;t-j- Tg.^ i,,Sin. 2 X \' {Sin. ^ x - Sin. = X) ZSin.X.Sin.a Sin. ," ( 1 + S'/n. X)
Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1886. 1. II. 25. ou elle etait faiitive.
X dx
X \/ {Sin.^ X — Sin.''' X)
[ \ A- Sin
A)\l—^ — -_ = 71 r' (5(71. i) Legendre, Exerc. Suppl. 34
J 1 — Sin. ' '"'^ ' " ' ' ' '
Page 470.
■p .'^'n- TABLE 563 suite. L\m.).cl-n.
lull C. UH . 2
f I -\- Sin. X y/ {Sin.^ X — Sin.^ I) <:>■ i / o i
5) //, ^: — — ax = — nSui./. + rrE (Sin./.) Legendre, Exerc. Sunpl. 3-1.
/ 1 — Sm.x oin.^ X
7 \— Sin.x x'iSin.^x — Sin.-').) T \ j
fL+Sin.x Sin.'* X — Sin.'^ X f Legendre,
'^ / ^^i ^^~ i^~l 77^^"! ?-^ d^ = ^ ( 1 - 5m. A) } Exerc.
y 1 — Sin X oin.^ x\' (Sm.^ X — Sin.-/.) I Suppl. 33.
^)rV^- '^^^ ('^*'«-' * — '^"'•' ^} = TT + Co5.^ i r (Sin. I) —nK (Sin. ).) /
/ 1 — Sm. X '
, [ , ^ Sin. X. Cos. X dx
9) 1 1 Cot. i X — : — ; \ =
J Sin.'^ X.Co.i.'^ a -\- Sin."* ii.Sin.- X \'{Sin,^x — Sin.^ k)
1 l.o. ,_i ; 1 +Sin.u ]
~ Sin. ).. Sin. fi \^'"- 2 " ' Sin. ^ + ,/ (1 - Cos.^ I. Cos.^ u)] f Lobatschewsky,
■^ f- I I \ V *ici'- Kasan.
,„.,,,«,. J «,. ,., , / 1S36. 1.1.193,
f Sm. X -\- \/ (Sm.^ X — Sin.^ l) dx I 191
" _/ Sin.x - [/ [Sin.^ X ~ Sin.^ X) 1 — Cos.* f.. Cos.* a- ~" I
= Cosec. u { — 7tI Sin. A — nl' — --— 1 /
• [ Sin. j« 4- ,/ (1 _ Cos.* I. Cos."' ft\ I
f . dx \
11} j I (Sin. !r + y' (Sin.* x — Sin.* X)} — — — == i Lobatschewsky,
.' ' l-ios.'t^.Cos.-a- f MJm. Kasan
T 1 1 1 1 <?■ (' 1836.1. 1.193.
== Coseci^ l-Arclang.^-^^.lSin.).--nl^-. Lt^^^ ) -Id.,ib. ir.04.
[ " Sin.fc 2 Sin.n-{-[/ {l—Cos.-" kCos.^ ia)\ j
F. Lojr.
D'
Circ. Dir,
TABLE 5G4. Lim. /.d^.
1) jlSin.x. dx = I, j- 7r - ... | — hl-n — l\
■>s fi/1 J T/i%T/N I Lobatschewsky, Mdm. K
2)llCo8.x.d.r = I,(A) — L(,«) > i836_ , j ^-j ,5^ j,,
S)jlTang.x.dx = L [-tt — ..j + L (..,)- L /- ti - AJ —L(i)
r 1 + 5tVi. X Cos. X
7 'rirsi.:.; i/(s.«.* ._ s.-„.* ;i) [Sin.* ,-sin.* X) ^'' = -^^^^''•."J'^(^..")
Page 171.
^q^F'Y)- table 3G4 suite. Lim. ;iel,«.
— Sin, X Cos. .r n
— ■■ — — — ..- — . ^ ^^ — —
. -\- Sin. X Sin.''' x \y (<S»i.^ x — Sin.'' V) (Sm.^ ,(i — <Sin.^ x) Sin. X. Sin. u
Sin.^l.oin.,u '^ Sin.^l.Stn.ti
r ] 4- Sin. X \ywo. *
' \ -r / J I— Sin X r~ '"-^'' - — "'-•-*- o.-_ , , x , c..„ ,
Cos. X
Sin.^''+^xl^{Sin.^x — Sin.^ I) (5m. » ft — Sin.^ x)
= -^ a (Sin -^ ) -I- Sin ^ ) P^l+'Sm.^ gos--gc ;a,-
X
. _ 4- Sin. X Co^..Td;c
(?
(2a-l) jZ^
SiTj. X /Stn.2«-2 ^ 1/ (&n.^ X — Stn.* ^) (Stn.' f* — Sin,» .r)
.'" d g; tX {Sin.^ X — Si?i.' A) ( &h.' i^—Sin.^ x) Voir poui- la dernicre Inldgrale T. 106.
Cos.x.Sin.2^+^x N'' 12.
/
X
r l-\-Sin.x Cos.x &'n.*ft — Sin.^x Sii
'^n^'i Q^" '^^ir'^^'^ €■■ 1 g- , .=¥Sin.fj:.Cosec.l+n —
J 1 — btn.x otn.''x Sm.^x^otn.^A oi:
*.
nx i\ l+Sin.x Cos.ii,V Sin.^x — Sin.'^l ,._„\7,^, c- i /. , r t? f \
J 1 — Sin.x Sm.^ X Sm.'^ ft -^ Sin,^ x ,/
S»i.'f — Siyi.'^X nSin.fi
Cos. X. Sin. ^ a:
(/Sm.^ X — Sin.'' X) [Sin.^ /i — Sin.^ .v)
-|- n Sin. jjlY {c, fi) — 71 Sin. p E (f, p)
Cos. a-. <S»i.2''+2 a;
z l^ {Sin. ^ a- — Sin. ^ X) {Sin. - p — Sin. ^ j-)
!))/?— ^— , ^, , dar = 71(1 — Cos. ^. Cos. p) +
„, . „ „ Z^'' 14-Sin.x Cos.x.Sin.^" xdx
la {Sin.-' ^-}-&n.V) / ^"
Sin. X 1/ (iS'm.* a; — ■ Sin.'' X) {Sin.^jj. — Siii.'' x)
,„ i\c' 2 c- J ['''l+Sin.x ^^,^0^.^.... >.^^
— (2 a — 1) om.^ X. bin.^ u. \ I ;; — — — — — ;; — r +
X
Cos.x. Sin.'^'^-^ xdx
1/ (Sw.'' .r — Sin.-' X) {Sin.^ i^ — Sin.^ .>■)
■^ j ' Cos.x ^^ ^ "^ ~ ^ ^ *" — ^ '^gf«'« T. 106. N^ 16.
X
f.i -\- Sin.x ^ Sin. ^ Pi — Sin.^ x .^ . „ r>. ^ , ^
ll)/«— ^— ; Co8.arda:l/-~— -f^ , = tt (Cos. I Cos. ^ — 1) + tt &n. ft E(c, ft)
J 1 — Sin.x Sm.^ X — Sin.^ A
Page 472.
^' ^°^; Di, TABLE 3G4 suite. Lira. X et m.
[ 1+ Sin. X dx
y 1 — Sin. X Cos. ^ X
4- 1 TT Sec. ;.. &c. p i ( 1 + Tanf/.-' X -{- Tang.^ p)
dx
l^ (Sin. 2 ;r: _ Sin. ^ A) (5in. '' f. — &'*. ^ x)
n Sin.^ X.Cos.'^ n4- SiiO n.Cos.'^ X ^ nSin.u
, Cos. 2 ;. + Co«.2 pi + Cos.-' X. Cos.- a ,
+ Cos.^XCos.^, ' ^^ - ^-^^- ^ ^ (- ^'"-^ ^•' ^'^)
+
+ I TT 5ec. X. 5ec. p Z (1 + Tan^.* ;i -|- Tan^.- fx)}
1/ (S(w.= .1' — Sin.' X) {Si7i.^fi — Sin.^ x) ^
15) 2 a Co5. ^ /.. Cos. ' a [l ^^—^
■ j 1 — Sin. X C'os.2a+> X
ff'l-\- Sin. X dx
=[2a-iyCos.n^Cos.'t,+Cos.n.Co8.'(^)\ l;~r. — ^ „ . iT-T—^r— r-i; ^; —
^ J l—Sin.xCos.^<*-ixl^{Sin.^x—Sin.iX){Sin.*fj:—Sin.-'.r)
— 2a— 2) l + Cos.U+Cos.V)/ ^^ „ „ +
'^ ^ ^ 7 l—Sin.x Cos.^''-^xl^{Sin.^x—Sin.^).){Sin.^t>^—Sin.^x)^
fl^l + Sin.x dx
+ 2a— 3) / l^^ ; +
^ ^ y 1 — Sin. X Cos.^o-^ X 1/ {Sin. ^ x — Sin. ^ X) [Sin. ^ p — .Sin. ^ j) ^
I o l" "'"■* J . ^ /f 1 c ii\/e' ■> c- 1 ,1 Voir pour cette dcrnicre Inlegrale T. lOfi.
+ 2 I -—— dx\^ (Sin.' X — Sm.^ X) [Sm- u. — Sm,' x]\ xj:. n °
J Cos."-^ ' X ) ix . J,
X
Ces formules 4 — 6, 7 et 8, 9 — 12, 13 — 15 se trouveiil cliez Legendre, Excrc. Suppl. N'. 33, 34, 35, 38 ; on y
a partout c = Sin. X. Cusec. ft.
,,,,/",'+ a 5m. « Cos.xdx ^, (5m,X . , £•■ J Roberts L
J l—aSin.xi^(Sin.*x—Sin.n)[Sin.^li—Sin.\v) ^ \Sin.(>. ^ "^^j 11. 157.
r;n^* n- TABLE o()5. Liiu. divorsos.
vjirc. uir.
ra+l
1)1 ISin.nxdx = ani — I 2 Sclianr, Mdra. Cour. Brux. T. 23.
a
f^Cos kx
»)/ - -^ — l{\ — iiCoa.x)dx = , A- = j: ; Raabc, Int. 17 4.
/ Cos. X
Page +73. 60
WIS- UN ^ATl'L'llK. VGIIII. UEIl ItUMNKL. AKADEMIE. DEEL IV.
GirC Dif." TAULE 3Co suite. Lim. diverses!
Arccos (Tanijhp.'k.Cuthp.^]
.„ I 1 — Cos h p. 7.. Cosh J). [I. ('03. X \^ {\ — Cothp.'^ ).. Tang h p.'* fjt. Cos.^ a)
J^ i -|- Coahp. X.CosJi/i.ti. Cos.xi^ (1 — Cotlip^ P.. Tanghp.'^ «. Cos.^ jc)
^ I Sn /if. 1^(1 4- Sin k p. I ) Loha'snhc«3kv. .Mem. K.i^nn.
'" Sin lip. ?.-j- 1^ (1 _ (0^1, p."" L Coslip.^ p) 183C. 1 .T. 75.
4) / Cos.px. CosJ>.vd:r I Cos. .v = — i^ l,3^i V. T. 416. N'. 26.
/:
/•!t-a
5) I </,B /{(7o5..r-|-l.^(C 08. ■'jt—aSV/i.^ '•)) ^^^ — ).lSin. X Lobatschewsky, Mum. Kasmi. Ibb6 1.1.117.
flT-X
^•i^.^o- TABLE oG6. Lim.Oeti,
Circ. Inv.
l)lArcsin..r.{i.c+l)d.r = 1-/2 V. T. 163. N". 3.
■2) Mrd^^i^T^iXr Jr" ="=rr^^' "V.-Trll55. N"'. 3.
•S)lArctanff..r.(L(-\-l)d.F = - ■jt"- V. T. U2. X\ 1.
^\Arctang.a:{lx-{-Z){lxy- dx =- 7^ '^^ ^- '^- ^^"^^ ^''- ^^•
/31
ATCtang.x.[lx-\-b)[lx.' dx =^ —- - n" V. T. 155. N^ 2.
^^■\^S- TABLE 367. Lim. (Jiveise>*.
Aulres l^onctions.
— r ■ ' "
1)/ dxlil-] ll-] = —nCot.pnV(p] V. T. 402. N'. 1.
c^xi^^T^f^J ^;i Eaabe, Cr. 25. 146. — Id.. Cr. 28. 10. — Sehaar, Mem. Cour. Brux.
-)/ tr (ir)d;7.- = -«2 7r J 22. — Id., Mem. Cour. Brux. T. 23.
3) / IY{\ ^.x)dx = — 1 + - ? 2 71 Raabe, Cr. 25. 146.
Page 474.
F. Loir
_^Viitros Fonclions. TABLE 507 suite. Liin. divcrs es.
i)j\r{x-\-q) d,- = ll2^^gtg-q sS^si.^'" ^"^' """ ''^■' ^'^ ^^^ ^ "•-«'«"•■ <^°"-
5)1 Ir {x) dx = ~l-ZTt + a(la—l) ScLaar. Mem. Cour. Brux. T. 2i. — Id., ib. T. 23.
J ^
a
1
= —l-ZiT-\-la — 1 faute d'impression chez Kaabe, Cr, 28. 10.
' \ ' /
.00
7)/ dxlii-] {IxjP-'^ = — 7T rosiJC.;- -T r (p) V. T. 402. N\ 2.
CO
S)/ i/^n f-|(/a;)P-' = — Sin.pnr(/j) V. T. 3G7. X . 1, 7.
G)
'0
dx 1
n^ V. T. 269. N\ 3.
t. Cue. Dll. cat. tidil^ -po i- n » ^
Circ.Inv. 2
l)j .\rdaiiff.{Ta>i,j.- x)dx = -tt^ V. T. 26'J. X'. 1.
■Z)j Ardatuj.{Tanij.^ x)dx = -tt' V. T. 269. N''. 2.
f dx 1
••i) / Arctamj. (i/ Tony, a:) — -„— - , = -
4,)JArccot {Tamj? x)dT = - -r* V. T. 269. N'. 4.
6) j Arccot. {Tang.^ x) d X = - ir* V. T. 269. N\ 5.
/■ ^ dx I
6) / /IrcccX. (1/ Tang.w) TTT-TI = 7
J {i:)in.x-\-Cos.xy l-
7)JArcsin.(i)Si7i..r).Cos..rdx = ylrwi/j.p -}-- l,^ (1 — 1.>) V. T. lOS. X\ 4.
f^)JArctang.{pCot.x). Tang.xdx = ^ /(I -)-;)) V. T. 266. N". 3.
Pa^e 173. 00*
= -t'- V. T. 269. N'. 6.
71
F. Circ. Dir. ent. Tvnii? -^'o •. in.
Qji-g jj^y lAIJLL o08 suite. Lim.Oct-
f TT 1 _Lr)2
9) IArciang.{p Tang.x). Tang.2adx = - I — --- V. T. 369. N\ 10, 11.
J 4 (1+p)-
10) I Arclang. (p Cot. x). Tang. 2 ic c^.r = - T- ^' - V. T. 36S. N". 8 et T. 3G9. N"" 9.
y 4 1-t-p^
1 1) / JccVaH^. [Tang. A. j/ (1 _ pi &n.^ .r)) d a; V^ (1 — p* .<»in.2 a;) =r^ - E {/>, I) —
— ^ Cot. k{l—i^ (1 -p2 5t„.2 AjJ Roberts, L. 11. 157.
]2)/i4rcco<.(p7an5r.a;). jran5'..c(Z.v =-/— ^-^ V. T. 265. N°. 12.
J 2 7>
13) JArccot. {Tang.X.l^{l —p"- Sin.'' x] d.v 1/ (1 — p* Sin.'' x) = ~E{p,cf) —
-i^^^^^{^(^^-P'Sin.'c,)-i^il-p^)],CoL^ = Ta7,g.X.l^a^^
F'. Circ. Dir. fract. i rr.nTi? "on t- n ."
Circ. Inv. ^^'^L'^ ''^^- Lim. Oct-.
V. T. 264. N°. 14.
, , /" . pSui.(rTan(i.a;) 1
1) / /Irctoiy. — ^^ ^ , J . Tang.x dx = -7il(l+i}e->^) V. T. 431. N". 7
7 ' 1+pCos.irIang..) ^^^ ,,„,g^.|_^
^. /" . „ <^« 1
2) / 4rf iano. (5w. a;) — — = - nUl + IX 2) V. T. 261. N^ 14.
/ Sm.x 2
( ■Ji * MX). '■
/dx 1
/Ircton^r. (p&'n.a;)— — = -nl [p -{- \^ {\-\. n^)\ , p>l; Raabe, Int. 421.
/■ da; 1
5) Mrdawrf. (Cos. i-) = -7rZ(l + i^2) V. T. 261. W. 14.
f dx I
G) I Arctang. {p Cos. x) = - n: ^ (p + 1/ (1 + p=')} , p > 1 ; Kaabe, Int. 42 1.
7) / {5m.* X. Arccol. {Sin. x) — Arctanq. (Sin.x}] — = - ti Z 2 V. T. 258. N\ 28.
J ^ y ^ '/ g-^ 2 _j, 2
8)jArccot.{aTang.x).Arccot.ibTang,x)] ^ = - I- i^-^ + -i^-^[ V. T. 264. N'. 14.
J Cos. ^ X 2 (.a b b a )
Page 476.
F. Cue. Dir. fract. rnnt 17 "cn ■. i • n «» ^
r- I TAuLL ou'J suite. Lim.Oet-.
Lire. Inv. 2
f Tano. X 1
9)jArctang.{pCot.a}^ -:^ dx = —-nlil+p"^) V. T. 265. N'. 13.
Cos. 2
dx 1
Tang, x 2
dx 1
Tang. x. Cos. 2x 4
l(})j Arctang.lpTang.x}—^^— = ^nl{l^p) Mosta, Gr. 10. 449.
1 1 ) jArdang. (p Tang, sr) — • — — = ^nl{\ -\-p^) V. T. 265. N°. 13.
n)lArdang.(pCol.a-)~- '"■--*— dx= 'r?((l+P^)(l+7')^} V.T.3G8.N'.8etT.3G9. N\S.
J Cos.x. Co8.2 X 8
f Cos.' X 1
i.:i)IArdang.(pTang.x)— dx = -ji ^{(1 +p)i (l-f.;,^)} V. T. 369. N«. 10, 11.
1 4) lArdang. { Tang. U^ ( 1 -/^ ^ Sin. ^ x)} ^\ ~^r^, = ^ ^ F (P, ^) i
U}JArctang.{Tang. 1 1^ (1 -p^^»..^.r)} ^^ (^_p4m.»^)3 = [cot.^ = Tg.Xl^{l^p^^
1 « 71 To.?. , J Eoberts, L. 11. 157.
1 7) JArccot. [Tang. X j/ (l-p» Stn.» ^)) ^, '^Z'^. ^ ^, =
F.Circ.Dir.ent. .p^^LE 370. Lim.Oet^r
tire. Inv.
l)jArdang.{Coa.x) dx = V. T. 245. N% 12.
2)//lrc<ana. — dx = -i 2 ^ ^-^ -^' .p>l; V
Z)jATdang.^^-—^^.Sxn.axdx == -p" , p» < 1; „„^„_ ^r. 13. 193.
T. 246. X". IS.
— Bierens de
-P
Page 477.
F. Ciic. Dir. enl.
Giro. Inv.
TABLI;: 570 suite.
10
11
12
13
U
15
16
17
18
f pSin.a: <>. , 1
I A rctanq. .Ibtn.xdx = -pn
J ^ l—pCos.x ?-
C vSin.x . ^ , i /»"+' p"— '
I Arcianq. . Sin. ax. Cos. xcu = -n \ 1-
J '^ l—pCos.x 1. \a4-l^a— 1
p Sin. X
.Irctang.
1
1 — pCos..}
. Cos. a X. Sin. xdx = —it
„a+l j,a-I
1 \(1+1 a— 1
2 » Sin. X
Arctang. . Sin. 2 ax as =
2 p Sill. X
/■ . 2 p Sill. X „ , ^ TT „ ,
/ Arctang. -^ . Sin. ((2 a — 1) .r) (/ i; = p^a-i
J 1 — p- 2 a — I
\
■V
2 p S»i. ^r
_ 1 / p-^«+l p2a-l
Arcianq. -"^ . Sm. 2 a .t. Cos. .r (/,r = — i +
-^ 1— p5 2 \^«+ 1 3'i — 1
2 p "Sm. A-
r 2 p 6i
/ Arctang.
/•, %pSin.
5/«. {(2a — \)x^.Cos.xdx =
,)2a+l «2a-l
p-
. Cos. 2 ax. Sm.x ax = —n { —
2 2 \2a + l 2a — 1
ZpSin.x „ r If,.,
Arcton^. -^ ^.(7o5. [(2a — \)x].Sin.xdx =
/
/ Arctang. —
irctang.
l-p'-
q Sin. 2 x
q Cos. 2 X
q Sin. 2 x
. Sin. 2ax dx = - q'^
a
Sin. ((2 a — 1) a} dx =
. Sin. 2 ax. Cos. x dx =
Lim. el'T.
,p*<l,l>7>0;
I Bierens de H
/ Gr. 13. 193.
aan.
/
I Arctang. —
/ Arctang. —
/
f qSin.2x , ., 1/1 1 \
\ Arctang. ■ —.Cos.\{2a — 1 xVSin.xdx =-n -o" — o"-'
J "^ \—qCos.2x <^ ' J 4 l^^"/ a— 1 -^ /
1 — q Cos. 2 X
q Sin. 2 x
— q Cos. 2 X
qSin.2x , 1 /I I
T . 6os,{(2a — \\x\.Sin.xdx =- t -(?" + (J"-'
-5Cos.2.r ^' -^ ' 4 \a^ a— 1 ^
(7 <Sm. 2 x
Arctang. . Cos. 2 n x. Sin. xdx =0
1 — q Cos. 2 X
qSin. 2 x
Page 478.
K. Circ. Dm-, ent.
Circ. Inv.
TABLE 570 suite.
Lim. el t.
I '.)) / (1 + iaCo.'!.x+-a^i<a'^+2abCos.x-{-b'^,^'JSm.\cArccos, ' "t" "^-' - ].Sin.hiArccos. ^^ - - '" \ilx=
J ' 1^ I (l+2aCo»..r-|-a2jJ Y \/{a^-+2abCos..v+b^jj
1 £, /<-'\ !9\ ,
2 1 \n \n
a -\- b Cos. .1-
,,,/", , ( 1+aCos.jc I ( a-\-b
20) I ^1 -\-2a(os.x+a'^]i<:!a^-^2abCos.x^b^.hCos.\c.[rccos. }.Cos.{gArccos.- ' —
; ''^ ^ I I (l+2aCo.w.-fnM r V{a^-^2abCo3x+b^;\
Sur les inttJgrales (19), (
Sur les inttJgrales (19), (22) vovez Smaaseii Cr. 42. 232.
21) I Arctany.
p Sill. X
1 — p Cos. X
Tang.— xdx = 7i/(l -j-^) , />'- <^ 1; Sclilomilch, Beitr. II. j 1.
F. Circ. Dir. fract. a den. monome.
Circ. Inv.
TABLE 57!
Lim. et
-trtf-
, f. pSiti.x dx 1 1 + y
J 1—pCos.a- Sin.x 2 l—p
p Sin. X dx
f P'
2) I Arctang.
J 1 — p Cos. X Tang, j t
.,,/", pSin.x dx 1
6 I Arctang. - - - .- = _ ^1(1 — p-)
J 1 — P <^os. X Tang. :c 2
,,/". /) Sin.x Cos.* X ^ 1 fl+;> ]
i) I Arctang. . dx = -nil ~^-^ — p\
J l—pCos.x Sin.x 2 [l—p 'J
f 2pSin,x dx l + p
5) / Arclang. — . ~- - ■ = nl ^
J 1 — p^ Sin.x 1 — p
i Sclilomilch, Beitr. II. j 1.
— 5t/(1 — p!^
„ r 2 p Sin.x dx
d) I Arctang. ;;-. =
J I — P ■ •' "«^- X
/ 2 p Sin. X Cos. - X f 1 _|_ ;,
7)1 Arctang. -f r- c"- - ^^^ = n U ~^-^
J 1 — p* oin.x (1 — p
f gSin.Zx dx ^'
^)lArctanq. — . = ()
.' I— q Cos. 2 J- Sin.x
,, I . (I Sin. 2 X dj-
9) j Arctang. - ^^^^,,„ . ^-- == _ ^ i ( 1 _ j)
1 — 5 Co«. 2 .r 7a/ii/. J
,„,/", fiSin.2x Cos.^ .r
1 0) / Arctang. :7 — -. -r. d x
Vtiz 47 1).
?-<l,l>9>0;
Bienns de lliian, fir. 13. I'.i3.
1 — q Cos.^x S>n..r
F. Circ. Oir. fiact. a den. nionomc.
Circ. Inv.
TABLE 571 suite.
Lim. et n.
f p Sin. X
I Arctanq. —
} '' l-\-pCos.
12)
1 3) / Arccot
14)
15) \ Arccot.
16)
nSin.x dx 1 . , •
' = -nl{l-p'),p'<l;
X Tang.x 2
1 4;>5
~nl ~
2 p^ — 1
= TT^^iT . 'P'>i;l
p-\-Cos.X dx 1.4 . _ F Ohm, Ausw. IS.
c- T o'^^^i i . p' < 1;
i5J7i. a; lang.x 2 1 — p'
Pour les integrales (13) et (15)
1 p*-l
— Tit
»-">!• I ^' trouve fautivementTri —
p — Cos.x dx 1 ,1 — p- ^
= -7t/
5m. a* Tang.x 2 4
,?'<!;
= -ttZ
/>•' — 1
F.Circ.Dir.fract.aden.nolynome. rriniTr "in
Circ. Inv. ' ^ TABLE o72.
Lim. et ^r.
'/
1) / Arctang.
p Sin. X Sin. x
'/
2) / Arctg.
aSin.x Sin.x l-\-aa-{-h'^ a-\-b f ^ ah 2l^h\ \
b+aCoa.x' \y'{\-\-a''—%aCos.x) ^~ ab b—a\^b 1(6— a)» l-f-tj"
Schlomilch,Beitr.
8)
4)
5)
6)
Ol\ D = TT
, pour
a<-6;
1—6
n
~ 1+6
2
»
a = — 6;
=
J
— 6<a<6;
1
2
1
a = 6;
= n
?
a>6;
Kamus,
Danske
Alh. 6.
265.
/ Arctang, I
Page 480.
^)
Tang. X
1/(1— c»«Sm.U)
1/(1 +P
'— 2pCos.x)>.
dx
l/(l+p^— 2pCos.a:)
= tF(p,?.),
r t ' "^ lAlJLL o/'2 suite. Lim. el ^.
Cue. Iiiv.
8) / Arctang. ;- ^ , " " ^^v]^ — TTT ■ .~77 — "TTTi — rZ\^^ ~ r7^T~~rT ^^'nckler, Cr. 43. 102.
b Cos. X Cos. X n a
\y (a —V-Cos.'' x)' \y{a— h- Cos.^ x) "^ ^ 2b a — b^
f i , a 4-b Cos. X ) 1 — a!J Cos. q x
'i)\Vos.\cA.rccos. — ; — -—I [a}-\-2ahCos.x-irb')\<' dx =
1 f « / c \ )
= -7ra<^ i-f ^' ( 6"y\ Smaasen, Cr. 42. ^22.
F. Circ. Dir. 1K\S\.V. o7o. Lim. ct 2 t.
Lire. Iiiv.
1 ) / Arclanq. . . Sm. axdx = — p"
p Sin. .c . n
. . Sin. axdx = — j
1 — pCos.x a
2) I A rclang. — . Sin. a x. Cos. x dx = — tt j — ;— ;• -j-
pCos.x 2 \a + 1 a — 1;
o) I Ardanij. — - .Los.ax.bin. xdx = -tt — f i ~-v « -^ ^.
7 '' \—pCos.x 2 \a+l a — ijl .l>P>o,
4) i Arctang. -?^^1^.-^ = ^ I ^"*"^ ( Bierens de Haan, Gr. 13. 193.
J 1 — pCos.x Sin.x 1 — p \
. f . P 'Si'i. X dx
b) Arctang. -'~^^.- = -nl([-pi)
J L — ptos.xlaiig.x
„^ ( , p Sin.x Cos.'' X I I 4- p \
6) Arctang. -^---^~-. dx = nil-^^-p]
J 1 — p Cos. X bin. X \ 1 — /) /
F Circ Dir
(^j,,g' ji^^* T.VHLK 574. Lim, divcrses.
2) I Arctnng.p x.Sin.q X d X = — e~lll' Itaabc, Int. 170
J)/ Arctang.-. Sin.bxdx .= -- (\ —e'"'') Caucliv, P. 2S. U7. I. j 5.
/ .« 2i
/■
3)1 Cos.''+i i Arc/ang.-Ysin.Ua + I) Arctang. -l.Sin.xd X = -^'^^^ V. T. .VJ. X'. 17.
4)1 Co«.<»+> iArctang.~\.Cos.\(a+]) Arctang.-]. Cos.xdx = ^^ V. T. 59. N'. IS.
{ \ 7/ r 7) 2r(a + l)
Page 481. fil
WIS- EN ^ATL'L'IlK. VERII. KCll KO.MMxL. AEAPEUIC, DCEL IV.
r J ^ i TAHLE 574 suite. Liiii. diverses.
Lire. InNt
..{* . fpl^Cos.Zx\ dx } , ,
^ '
C) ; Jrc««. (TaHi/.i-). = -TiB V. T. 257. N". 1.
"0
/"a \ 1 0^7, ■'""S'- -Arciang. ■— ,-7, v. T.
7)1 Arclg:a^hTg.x)dx = — n\~Arctg. —Arda. ^,-N- -t - , ' 271.
— -■, I alo.\—Arcta. . — o\
/I -lab \ 1
F. (<irc. Dir. T^inii? "t- t- r
Antics ronclions.
IT
f~2 ^ 1
1)/ E[Co-.).,Sin.x)dx =■ — 7T Cot. X Lobatschewsky, Mum. Kiisein.
I)
2)j B{x]^-- J^ ^.^ ^ _^ = -E'(/>).F'(p)— 1^(1— 75^) Koberts, L. 12. 449.
t/(l— ;)2 5i«.2./) 2 '•" '^^ 4.
;5)/ E (/', S.Oi. i-) :; ~7'o~ -. ^-^ = ^ r\ Roberts, L. 10. 453.
Sin. X n
l—p'^Sin.-x " ^ 2i/(l_p2)
'2 Sin.x. Cos.x — 1
i)f ^(^•^■)r^'^-^i:^.c/.r ^ --^z(i_;,^).F(p)
ir
f ~ /S;n a;. Cos. x 11 ,1
5)1 I'd [l — p'^Yx)—-- r ~dx = I — .I"f]/(i_p-.i))
V^ ^' ' ' ' ' Cos.^ T + p Sin.-^ X 4(1— p) (l+p)l/p ^ ^ ' ^^
•5)/ E(;',.'-
'■)
l^ (Sin.'^ X — Sin? V) {Sin.^ ^ — Sin.'^ x) \ Roberts,
/ L. 11.
Sin.^2l\]\ 15 7.
1 ^, ■[ / Tm^g-- X\\ P' Sin.i^ ^,\ I Sin.^2)Ml
ZCos.i./Sm.p I \ Tang.'^ fi j\ -iCos.X I \ »Stn.^ 2j;iyj j
7)j^Y ip, x)
y^ [SinP- X — Sin} V) {Sin} f* — Sin.- x)
'\
ou tlans 0) et 7j on a p- = \ — Coi."- l.Coi} ^.
Page 482.
!' . (^ii'c. Dir. rp 1 1,1 n — . II-
. , ,. .- lAliLh o/o suiti'. Lim. iliveiscj;.
Aiilrc'.< Idiiclioiis.
Sitr Its foniuiliis (s) it ('Jj vovez: Uohcrts, L. 12. J m. nu /' < 1.
lit) I V,'{.c).Siii.-2cTT.vdx =-.
.1
/ V,'{.c).Siii.
11) / B"(,r).Cao. 2 t-T. (•</.(• =
/■' (— l)a 12a+l;l
12)/ W (T).Cos.2c7T.vd.r =r -^ '-^
./ • ' (2 7r)2a+2 c2a+2
Kaabe, Cr +2. ;54S.
/■ ( — 1)"— I 12a,l I
1-5)/ W'(x).Sin.2,::rxJ,e = ^^
./ (2t12«+i c2«+i /
.( I. (Sm. ■' X - SIti. 2 J-) 2 !.- ( 1 - /; ^ )
Page 483. f.l*
PARTIE TROISIEME.
Page 185.
WIS- EN NATllllK.
(i2
vrnii. iii:ii i;nM\KL. akaiiF.mif.. m ki. IV.
F.AIgtM)!-.
Kxpon. TABLE 576. Lim. eti
Loy.ir
/ 1 — e
]) je-T(^l—,c) l.fdx = V. T. 112 N\ 2.
2.)\e"^ {n.r-ir-l)xLx dx = — — {(a— 1) e" -f 1 j V. T. 112. N\ 1.
e— 1
\)xl£d.L'= — V. T. 112. N°. 2.
4) /e-(i-')'(2— x)(i— .r);r/(l — .r'rfiT =- V. T. 376. N\ o.
b)je^-^.cl{[—x)dx = V. T. 111'. N\ 2.
i- ^ 2 _1_ j; _J_ 2 1
6) / c"^ ^ .< ; J' ti J = 1 e V. r. 1 1 2. X^
7 (3;+!)^ -^
3.
F. Algc'hr. eril.
Expon. inonomo. TABLE 577. Lim. ol oo.
Logar.
n /" _! „-i 7 J __ '^r(/') Caucby, P. 28, 147. P. 1. § 6. — Lejeuiie-Dirichlet, Cr. 15. 25S. —
l)je XI ixa.i — ^ Gnmert, Gr. 2. 2GG. — Lobatschewsky, Mi'm. Kasan. 1835. 211.
2) /e-<" j:."-1 I - dx = ~— {la—'L'(p)} Caudiy, P. 28. 117. I. t «• — -"^ hli^milch, Slud. I. 11.
J X a]>
f ivi r i 1)
;{)/e-''-fx* /jtf j: = — •^— A — /a + 2:--> Scblomilch, Gr. 4. 167.
7- a''+i { in)
i)L-^{.c — p)xi'-Uxdx ^ r (/,) V. T. lUi. N'. 3.
f 2/>
.')) / f -' (-2 xV> ~1) .cl'-UxJx
2p'
I^TT V. I'. 115. X'. 5.
0) fc-pr' (/) j^ — (j).c2"-W.i'i/.i,- = ■ I"-'/' V. T. III. .M'. y
7 2C2/,)"
/■ , 1 /2a+l\
7) /e-J^-(:I.r' — 2 n — 1) ^2^/.^ j/ j. = _ r -^^ V. T. 114. N'. 6.
H)le-P^^(2p.i^—ia—l].i'i"l.rdx = l"'* I,-' - V. T. 114. N\ 8.
I'nge 487. 62'
F. Algt'br. ent.
Expon. niononie. TABLE o77 suite. Lim.Oetoc.
Logar.
a—\ a--2 ((pq)'> n Im-f-l 1 J,
10) /e-''-^a;<'/(j — x)- tia; = ll"!' (/[r/- — -l e-ri Ki. (p q)) +
"— 1 "-2 (-f—ntiV' " 1"'+'/' It
+ 2 (1— />7e-w£:t.(po))2«-i/' ^ 2''/i(n9)" + 2.3''-^.l^ |^ — '-iL.^ (1
( 3"' (p?)'" J J
11)/ c-/'^.f5" / [q-^ - x'^) 2 dx = --— I IS^W^J— I2a/i evqEi. {—pq) 2 ^—^ — 12« i e-i-'i Ei. {j. q)^~- ^
1 ( I n-I ^ " ( 1 "— ' 1
_j_ 22U-1/I J^ I 2 l->n-2m/l (^1 ,^i)m( _(_ 32a-2|l V ^ 12«-2m - 1,1 (^,2 ^2)iii
J Il2n/1 „ J J lll.'«— 11 Q j
''J ^^ '' p2a+2 l ^ 1"/' 1"/'
Q+I f 1 n— ] ] " f 1 »— • 1 -
^ 1 U2"f"/1 V/ / ; J -r ^ (12h|1 y jj
[
f 2 r «(—»'«*)" '
13) / e-P'^a^oliq ^+x')-dx ^ -^- [r^o/i lqi-.l2ali [iCi.{pq).Cos.pq+2 Si.{pq).Sin.pq—7TSin.pq) 2 ^— ^;^ 4,
a C„o)2n-l
+ 12«i(2a\(p5).5m.p(,-2Si.(;)9).Cos.p7+7TCo..p,/}^-^^^^ +
" f 1 »-' 1 " ( 1 "-' , ij
^ 1 ij2«/l \ I L ) \^-y- J |12«-1/1 ,j jl
14;/e-P*a2n+i;;^2^_j,2)2^j.=_ — \\'ia+\l\^-i_\ia^-\\\i^Ci.[pq)£o^^q^lSi{i>q,.Sin.pq-iTSm.pq\k^^^^
J p2a+2t. >■ ■■ y ly/'
a+lfno)2n— I
+ 12a+l i[2tt.(p,^).&-«.;;j-2Si.(p9).Co..p,; + rrCo..p5} ^^-^-^ +
a+1 f 1 n-l 1 " ( 1 "-■ ll
+ 22"/' J? j-^;:^ ^ l2.-2«-M/l (_^2 ,^2),„. _j. ;3,a_,;, ^ j__ ^ 12«-2«H (._;;2 j2)„:jj
\b)\e-P''xl{q'' ~x*y- dx = S+ i/7'- -}-(/)7— 1) 2cP7Z:/.( — ;jr/) + (y-v + l)2e-/"/7?!.(;37) —
,. I
— 2p<^ {2 Ci.{pii).Sin.pq — 2 Si.[pq). Cos.pq-\-n Cos.pq] — 2{_Ci.{pq).('os.pq -^-ZSi. (pq).Sin.pq — n Hin.pq)^
Page 488.
V. Algiibr. cut.
Expoii. iiionoiiic. TABLE 577 suilc Liiii.Oi-i y.
Loyar.
— (p- q- -\-2pq-\-Z)2 e—V'lEi. {pq) — \pq{%Ci. [p q). Sin. pq-i Si. (p q). Cos. pq+rr Cos. p <y) -}-
+ (p' 7"— 2) 2 {2 Ci. (p <?). C0.1. p 7 + 2 5j. (p 7). Sin. pq — rt .S7;i. p 7}
17)le-/''\r'/(g« — x^'^dx = Sy + -24/7= + (p' 7' — ^ p' 'j' + Op7 — '5)2eP7£7. ( - p'y) —
— {p-^q'^ + 'Sp'-q^+iipq+6yie—P<lEi.(pq)-{-{p^q^ — G)2pq[2Ci.{pq).Si>i.pq—i,SL(pq).Gos.pq-^7TCos.pq\-^
-I- (;> 2 5! _ fi) 2 { 2 Ci. (p q). Cos. pq-\-1 Si. (p q).Sin. pq — n Sin (p 7)}
Sur Ics iiitegrales 9) a 17) voyez Biereiis de llaan. Verb. K. Ak. v. Wet. 1S5K bl. 10.
1 S) I e-?-^" (7 x" — p) x°P—^ Lxdx = j Tp V. T. 1
13. N°. 9.
F. Algebr. fract. aden. mon. et bin.
E.vpon. inoiiomc. TABLE 578. Liiii. (I I'l oc .
Logar.
1) L-^ I X ^-i-^; — ^ dx = :^^ CosecpiT, p < 1 ; V. T. 126. N». 8.
xP r (p)
Ix
= X V. T. 126. X'. 3 ct T. 273. N\ 3.
•Z)\e-^- lx~
J
S)je-P^l.v^-^~^d.v = pT(— a),a<0; Y. T. 120. N\ 10.
lol^d-^-'"")^ = .{■/2a.-/r(.,+ l) + «(/a-l)} f r2:'2r'- '"" ''""
; •r' + ?'
8) /c-"' '(7' -.«')'- ^—,— = ('•/')»
PagP 4SP.
' > Hicrcris ilt; llaan. Verb. K. .Mi. v.
Wet. ISr,l. bl. lit.
F.AIgcbr. I'ract.;'i doii.moii.etbiii.
^Expon. monomo. TARLIC 578 suilo. Lim.Oot cc.
Lo^r;,,-,
.J,/"!*-' ' 1 I , o Caucliv. C. K. I'i. 4.>>. — Schlorailcli, S
^j[x (1 -{-.rjM(l -J-.r)( F<<aux. I'u.ut. Iransc.
llij /■,(/) — l)t'~-'^-| V — = < r (;i) ruaux, I'unct. Iransc.
J '. '(1 +-r) J -v
]])^-z^ V '__A 1 — = /r) Stern, Giltt. SUid. 1817.
J.S 2 1
— ,f.'f = -(?-27v/7T V. T. 126. N°. IC.
F.AIgL'hr.friui.a ilcii.piiiss.de bin.
Expoii. luoiioiiio. T.\RLE 579. Lim.Ocl oc.
Logar.
f px + pq + a—l lo' (—p)"-^ ^. ,
2 "-'
J _ -^ la-n-l I (_„y,n-l
2)je-rH[c,-xy-^'—^
00—1 ■)
3) [,-;.x ; (,^ _(. a;) -^ P^-i-PX+J J .r = 2 p eP? S. (- p r;) + 1 (2 + Z 7 ' )
J («-9)- '/
5) / e-l>r I ;, + x) ^- '' ■'' ~ ^-*^- (/ X -= - {t'^'? £j. ( - p 7) - ^-^^ ^''- (/' ?) — ' 7 ' )
/ (•«•• — V) 'I
(5) / e -/'^ ? Jo — a') ^ ^^^ A5_+._ dx = - [ePl EL {— p q) — e -I'l Ei. (p 7) +lq-}
J \^ + q)- 7
7)je-r-l(,,'~x'p^-^^^^d.v = l((.2p,.l-l)cP9£i.(-p7)- <.-."7£;.(p5)+2Z5'+2)
J i'^ + Q)- 7
8)/(-/"/(7 = — .r-)^ --~^-'"'" .fj- = -{ei'9 Ei.{-pq) ^{2pq-l)e-'"iEi.(prj)--2trj-'-~-2}
J (-c— 7)' 7
Pa^n' lilU.
F. Algehr. Iract. a clt'ii. puiss.de bin.
Expon. nioiioinc. TAULE 370 suite. Lim.Ocf cc.
Lotf;ir.
'J) / e-!": I {q-\-.vy ^•^' — (/^'Z+^a— 1)-^' + ~«'? ^2„-i jj. ^ ^2a-i ^gl'^Ei (— p q]—e-P'lEi. {pq)) +
J (* - 'y)'
2 "
J (-« + ?)
J (•'^ + 2)*
p-" 1
l[,)[c-P=^l{<r—y'V' ^']'^,^''~ ~dx^-{Z—i.lq^--pqcP<lEL(-p>/)+pqe-T''lEi(pq)}
'J {•" —q )^ q
Sur toutes ces inlcgralcs voyez: Bierens de Ilaan, Veili. tv. Ak. v. Wet. 1854. bl. I'J.
' -
F. Algol)!', rat.
Expoii.cntlrii.i.olyiiomc. TABLE 580. Liiu.Uctoc.
Lo'far. .
^ ' V. r. 117. N\ 10.
'J (6'+l)» o(l+'0»
Page 491.
F. AlgOhr. rat.
Expoii. oil (Irii. polynome. TAHLK 580 suilc. Lini.Ocloc.
Logar.
4:)ll«—-' .r^a-irf.!,- == Bo„_, V. T. 117. X'. 21.
7 (e«+l)'- 2 a
I.)- — ^^^xl-ida: = T(q)2:- V. T. 117. N\.17.
6) A.ilini±^l)f'_±i£±l^±ll,2a^d, = 22a.-.,.«B,„_, V. T. 110. N-. 10.
J {«-^ — 1)'
/ 7ra-eTx_2a(e2'''— 1) „ , 220-2 _
Ix 7^ — Vr; ■x'^'^-^dx = Boa-i V. T. 117. N^ 22.
r „ fSTX 1 J, J. gTZ _ a 22a-2
9)\lx — r x'^^-^dx = Boa-i V. T. lis. N°. 15.
J (c'^-= — Ij* a
12)/;fl+a^») "^-^^—J-^ ^ .'' — == 2 n V. T. 138. N'. 2.
/■ e'f^fl +7ra;) + e-'^*(l — nx)dx
13)//(l + 4.,i-n >-^J^; — '-^ V— ^ — = 2/2 V. T. 138. N'. 3.
J (eTX^.e-TXj2 ^2
f ex(a;— 2 a— l) + e-'(a;+2a+l) 22<'+i — 1 » 1
11) / Ix— '-^^ — -^—^ .t2« d X = la"/! Z V. T. 120. N . 13.
'] (fX—e— ^)2 22a4-i , n2"i-i
lh)\lx~ ~ ^a;2a-idj- = B.a_i V. T. 120. N'. IS.
7 (eTx_. e-Tx)J 4 a
C e4'r^(7r.r— 4o) + e*'^^(7rj;+ 4a) 22a — i
7 (gx^e-^+l)* 1X3^ ' \^1 ^•^^'
f ^.(.x_,-x)_3(c.^-.-'.^)---12Co.^-A^^ ,. = _i- ^:^::iAl V. T. 12.. N'. 7.
(e*+ e-x ^ 2 Cos./l)» 2 Sin. I 3
Page 492.
F.AIff»';br. rat.
'D '
Kxpon. en don. polynome. TABLE 580 suilc. Lira. et oc.
Logar.
[ (7fe^-|-e-^4-?, Cos. A) —a; (c^—e-^) r (o) » Sin.nl
7 (e^-f-e-^+ 2Cos.Aj2 Sin. I ^^ ' n'l
3 -
. 3.
' ^ ~ xdx = —n^ V. T. 124. N'. 1.
'it)\lx^ ' - xdx = -1.1 V. T. 141. N°. 6.
tx— -^ xdx = 1 — 12 V. T. 141. N". 7.
(e.r_|_e-x_ip 27
21)lta! ; — -; X-^—^dx = (2 7tW''+1B — ^Tj TO
7 (e'^ + e-'^—l)^ \y"6 ^ \g/ N\ 12.
/'
../
24)1 ^ dx=^.Z'[\—q)T{\—(i)^{—\Y\ -^i +7 — r^— 1—^
'je^xj^c-7"^x<l ^' ^ '0 ^ l{(2;i4-l)7r— ;i}i-7^{!2« + l)7r+;-)i-9*
^\ ^ l((2« + l).r-;;}l-?"^{(2«+]):r+rfl-vJf jj^^
25) / cf^ = Z' (1 — «) r (I — </) ^ I 7 ; — r — I-
F. AlgL'br. irrat.
E.xpon. TABLE 08 1. Lim.Oetoo.
Logar.
1) Ic— ^/.erfx l^^x = ( 1 — ^2 — -a] I/tt v. T. 140. N°. I. ct T. 381. N°. 0.
2)le-iHxd.c i^x = —(2 — ^9 — 2/2 — A) I, --- V. T. 140. N\ 2. et T. 3Sl. iN'. 6.
J Zq q
3) /e-V^ [nx — a J"-* dx Ix = 1/ - V. T. 140. N'. 4.
J \ 2/ {2qr q
f . In
4) /e-/"(2/'X— 3W.rc/jl/j? = - 1/ - V. T. 13<i. N°. 2.
; p p
Imslen,
Cr. 38. 1.
71 « (c — n + l)V V. T. 139.
Page 493. 0-$
\MS- CN NATl'inK. VKIlll. DEH KOMMiL. AKAnKMlE. liREI. IV.
F. Algol)!-, irrat.
Expon. TABLE 581 suite. Lim.Ootioo.
Logar.
^i)\e-1''lx = — (/« -f 2/2 + A) 1/^- ]^lalmsten, Cr. 38. 1. — Sclilomilch. (Ir. t. 107.
] V^ X ij
,)L-<^4),,2al^--,3^-2a^ ^^ ^ ifl + i ,-.„. ^.^ V. T. .39. N^ 0. ,
/ \^ X a'
%){c-{'''^hlx'^-P "'~"~^^ dx = ^e-2Vp,^1 V.T. 14... N^ 0.
\ xl^x p
9)/c ^I'^lx—^-^ dx = — „ ' 2(7 V. T. UU. N'
7 a-l/.r ''""
'. 3.
^y e
10) /e 29X ;^ — JLA dx = -7^l/2o7r V. T. UO. N'. 7
x'- \^ X \y e
11) /e -^'i^ Ix-—^-^ dx = ^r-^2gl/207r V. T. UO. N". 8
Malmslcn, Cr.
38. 1.
7 .T«+J \<?j p 2'''2(2lx';>5)'" N^ 12.
r (2 a; — 3) e^ — (2 a! + 3) e-^ » 1
13)//j;^ ^ ^ =!^-^ d^-l/a; = lX7r^(— 1)" : V. T. 139. N\ 11
7 («^ + e-^)' 0^ ^ l/(2«+]) =
r ia; da; « f Z(2n + 1) + 2Z2 + Al
7e^-4-e-^l/.r ol l/(2n+l) j
f Ix dx ^ 1 X f „. 1 Zn+2i2 + Al
1.5)1 = Cosec.-n.l^n2 {{— \}" Sin.- mt ' ^ — \
/", {2x — l)e^—(2x+l)e-^dx » (—1)"
16)llx^ ^ -^ -^— -^ = 2l^n2 —^ ' V. T. 140. N'. 19.
7 {ex^e-'^y l^x ol/(2n+l)
f, (2.T — l]e^' — {2x+l)e—-^ — 1 dx 1 « Sin. Inn v -r 140
'j (er_}.i^e-')J ^/-^ 3 ^ ^< ^ l/„ N . 20.
F. Algebr.
Expoii. TABLE oSI. Lim. — »o ot sc .
Logar.
1) / e-^"(a;-— a).c2<'-i/xti.r = V. T. 142. N". 9,
/* - lo2
2)/e-^-(2.r2_2rt_n.i.2a/^c;^ == j/^r y. T. 142. N". 8.
J 2«
Page 494.
F. Algebr.
Expon.iJ TABLE 382 suite; Lini. — oo dec.
Logur,
2 <7
10
11
13
11
15
k;
18
je U— — ^dx = e-^^P9iy- Y. T. 146. N°. 2.
] X* q
je''^'{ — .ri)"-^ H^ + ~)
ci\ dx
=
^ Caudiy, Lira. Imag. Add. 20, 21.
Caucby, Exero. 1827. p. 141.
J \ ^ ^-jp+^i ' [ ^PJ
{ Ca
f .. dx I
I epxi l(q —X l) = )
I '{q-xi)- ]
fl — eP" dx 2ni , , ,,, \
jl{q-xi) X 1-q^ J ' V<. .
> Caucbv, Lim. Imag. Add. 18.
== . <7>i;l
= Trpt , ? = l;!
,—bxi d^ ne—^' 1
//(l+.TJ) c^ +a;'^ cZ(l + c) c
... ) Cauchy, P. 19. 511.
/ e—''" dx Trca-'e-'ci
I lxi\<^ =
j l{l+xiy ^ c»+a;5 /(l+c) ^
f C":' . dx ne~<'
l~ -( — xi)- — - — - == Caiicliy, Cours. Leo.
jl{l~pxi)' 'l + x^ /(1+P)
f e— a«'
39.
dx 71 , 1
— (,—ab
j"' (i- + x?)P(/ + iri)9...6' 4-a;^- b (6 + i)P (6 + /)?...(/ (6 + /()}'
1 dx n , \ 1
.=:_e— a4-
/ {i(/i + .r/))"'{/(y+jO}''... {k+xi)P{lJrxi)'}... b^+x'- ~V {h-\-h)P{b-\-l)l... {/(6+A)}'«(/(A+?)}"-
Les intugrales (15) (16) se trouvent: Lcjeune-Diiiclilet, Cr. 4. 9J, — Sclilomilcli, Stud. H. 17.
/e-/>'-+2?x(pa;»_ja._ij^/j,j£^ _ X^p j^ !I y. T. 142. N". 13.
Page 495. 63* '
F.AIg^br." iuo.-j =x .m- ' '
Expon. TABLE o85. Liui. diverscs.
Logar.
Ijf"' ^^~" l^_i^llZ^'___i^._^lL_,^' V. T. 45. NM.
2)/ — ; {a{2.v—l)l{2x—l) — l} dx = -{/{.(e-")} ^ V. T. 383. N°. 3.
*00
3)/ e-2<.xZ(2a;-l)y = ^(^'- («-"))
1
I ar — a dx 1 r. . , x-» «
\
* ' Winckler, Cr. 45. 102.
F.AIi'cbr. rat, ent.
Expon. TABLE 584. Lim.OetJJ.
CiiT. Dir. '^
1) L-qTang.x ^ dx = - \ci.{q).Smq-\-Cos.q. {~ — Si. (7) ) [ V. T. 288. N'. 4.
[ , xSin.^ 2 a;
2) I e-^<"'3--^ d a; = 2 !/ TT V. T. 290. N". 3. 5
J Cos.' X
3^ [e-Tang.^x ^ "*• — dj! = - l^ 71 V. T. 290. N'. 8. 'l
''j Cos. 8 a; 2
^Je-gCot.x?^:!hl±^21d^^dx = 5m.g.(- — 5i.(7)] — a(9).Sm.j V. t. 290. N\ 10.
J Sin.^ X [2 )
f gTTang.x — g—7rTang.x on 4> — n
5N /-i dx = V. T. 292. H". 3.
'' / ^gTrang.x ^ g-TrTanj.x'ji Cos.''' .V in
C ,UTa„g.x_,-UTa.g.x ^_ ^^ ^ ^^ U i ^'^j V. T. 292. N^ 1.
7) /J ! ? ^^^ 'L^dx^-ll VT. 292. N». 2.
■* / (^Q\7!Tang.x _[_ g-i7tTang.xy Qos."^ X n
CVe\'^T9--'—e-i-^Ty.x\_n'rq.x[e^-^Tg.xJL.e-\vTg.x) ^ ,„,l' 2— 1 v.T.292.
8) /- — ^— ' dx^ — 7ri'2+4+i/2Z — ; — - ^, .
'J ^e\'^Taugx_e-\^Tang.xy. Cos.- x 1^2+1 J^ • °-
/•2(eST7'a.'>(7.2_e-{'rran5.i) — 7t Tang. X [e^'^Tang.xJ^ff-iirTanu.x^ j^ 2 — tt y T. 292.
'''^j (e!Tra«9.x_e-rTra:73.x)2 Cos.^j; ''' ~" 2 ^"- ^■
/(gTzTang.x — e-'^^'"'9-'') —TiTatiq.x {e^'^<"'9-': + e—'"^'^"^:') x I 1\ V. T. 292.
Page 4U6.
F. Algf'br. rat. ent. x" pour a spucial.
Expon. e±/'*. TABLl-: 385.
Circ. l)ir. nionome.
Litn. et 9c.
10
11
12
13
14
15
li;
/ e—9' Sin. qx. xd X = — r i
le-l'-Sut.(jx.x^ dx =
1^ Sin. q .r. j; ' dx =
I e~'l^oiii.n x.x' ax = — — -
Oettingcr, Cr. 3?. Sli'i, oil Ics intugrales 4), 5) tout
faulivcs.
e-P'^ Si». q X. X dx
e—V^ Sin. q x.x- dx
ip' + q')'
" ip^'^'q'y
p'-r
P'Sin.qx.x^d.r == Zlpq-.^_^^^-]
h
f op^q — lOp-q^+q''
le-P^Sin.qx.x'' dx = 2-1 - , . .7,; Soliiikc, Sainml
e-9^ Cos. q X. .1 d X = Poisson, C'linl. I. 159. — Oeltiiiger, Cr. 38. 216.
1 ,
/
C • 3
\e~l^ Cos.qx.x"^ dx = —
lei''
Co$.qx.x* dx =■ —
— P-' foj. 7 .r. ./■• dx = -
P'-V
ie-r
/
J ' ip' + q')* I
\ Oclliiigtr, tr. 3S. 2 Hi.
e—P^Cos.qx.x'^dx = Z
p^—'ipq-i
Page 497.
F. Algt'l)!'. nil. cnt. a;" pour a special.
Expon. e^:^"'. TABL1£ 583 suite. Lim.Oct oc.
qion
Circ. Dir. iiioiioino
17) I c~l'^Cos.g T. x^ dx = 6 (faulive) Sohiike, Saraml.
\^) \ e-V^ Cos ax.a:^ da = Z'ip — -^— Soluike, Samml. ou clle est fnutive.
Kummer, Cr. 17. 210.
F. Alg. rat. cnt. x" pour a general.
Expon. c±'^ TADLI-: o8(). Lim. ct oc.
Circ. Dir. inonomo.
i 1 ^ 1 \
1 ) \c~' Sin. X. xl'-^ d.v = — - Sin. - pn . T(p)
\ Caiichv, Sav. Elr. 1827. oO'.i. P. 1. j 3.
( 111'
'i.)\e-''Cos.x.x^'~'^dx = -— Cos.-pn .T(p)]
J Zip 4 /
Z)\e-^Sin.{xTang.l).xP-'^dx = V {p)Cos.P)..Sin.pX\
4) / e— ^ Cos. (.r Tang. l)..vl>- Ulx = F (p) Cos J' I. Cos. p X \
f ,. [ 1 \ d" p \
5) I e—^ Sin. Ipx 4- - aTT].x''dx = . - „ /
V \ -2 I dp^l+p-^l
f ' 1 ^ d" 1 \
(■,)je-^Cos.[px+~anj.x^dx = J^a\^J^.]
7 ) / e—"-'^ Co^. .!'. .vP—^ dx = r Sin. (p Arccot. a)i
J (l+a^-)*/' ^'^ '\
\ Boncompat^ni, Cr. 25. 71.
^)\e^"^Cos.x.a:P-^dx = ^ -Cos.{p/^rcfol<A
Dien"cr, Cr. 46. 119.
i r(p) 1 ^
9 ) / e-^'*' Sin. a x. jP— ' dx = Sin.-pn i
'J ap r I
aP 2/1 pfur ^ tresiietit;
f r(p) 1 i Cauchy, P. 10. 511.
10) I e-^'^Cos.ax.xP—^ dx = Cos. -pit] ,
J ap r I
..J . c. . 1"^'^/ -,^„^^ + ^^'"^V?V"^' /l Oeltingcr. Cr. 3S. 216.
U)je-P-Sin.qx.x''dx = ^-^(— 1)« — 2^^:^:^ ^-^j , a<l; ^. ^„ « ^^^ f^^,;^^ |
Pai'e 498. ,,,, „
F. Alg. rat. onl. x" pour a goneral. i / •
Expon.e^/'. TABLE 380 suite. . Lim. Oetcc.
Circ. Dir. iiionoiiie. —
)Je-P^Sin.n.v.x''-idx = — — Sin.iaArctangX\\ E.a'.er, Cixjc. Int. 4. S. .■>. 134. —
'J ' Qr-4-9'')»« \ PI \ Lacroix, Calc. Uiff. T. 3. p. lOO (dJ-
\ monstration dc Poisson.) — Lesrendre.
1 -2 ) / e-r^ Sin. q x. .r" - 1 rf .c —
(/'""t"7'J'" \ PI t iJi'i:!"'*. <-un;. uiii. 1.
f ^ l"-'/! / q\i Excrc. P. S. 54. — Coucliv.'P. 28.
l.J)fe P^Cos.q.v.x"-^dx = ~—-'~Cos.\aArclang.-\\ 14.7. p. 1. § 3. — Id.. Cours. L*?.
y (/>^+9'r \ /'// 32. - Id.. Eierc. 1820. p. 58.--
l-'uss. Mi'rn. Pc'teish. 18:50. — Plana, Mem Brux. 1837. — Gruncrt, Cr. 8. 146 — Llouville.
Cr. 13. 2 tit. — Scliir.niilch, Gr. 6. 200.
Chez OL-ttin^r, ( r. 38. 216 ct Scliloniilch, Stud. I. 13 ces deux formules vnltnt poor n dus^
fractioniuiire.
[ In- qi)-r_lpA.ni\-r Caucliv, P. I'J. 511. — Id., Sav. Etr.
\\)\er-V='Sin.q.v x'-'^dx = ^-zr- l _ - ^^i-=r:— P (r) is27. 124. Note 6. - Id.. P. 28.
J *" U7.I. §2. — Plana. Mi'in. Brux. IS37.
(p + q i/ — ip — q i'r
1 .')) = ., ; r(r) Boncoinnngni, Cr. 25.74, oii faut. e-'i' Sin.itj:
,„. ^Wx- r( ^ , 'l\ Q- I A , ^\ Scrrct, L. 8. 489. — Boijoom- •
' pr ^ -I j,j '^ if pj pagni, Cr. 2d. 74.
r{r)' f 9 ) Caucliv, S«v. Ktr. )S27.5'J'J.
17) = / 1 I ~ Sin. \r Arcsin. .. [ P. l.'§ 3. — Fus«, .M<<in.
(P '+'/')*' y l^(p--\-'r)) Pclersb. 1830.
, ^, r „, ^ , , . (P-? J)"^+(P+70-'" _ , faucLy. V. 19. 51 1. - Id., Sav. Etr. KS27.
lH)Je-P'Cos.qx..i'-^dx =-- ^ T (r, j^^ j^.^,^ ^ _ ,j ^ p og i^^ j j ,,
lO^ = ^^jtliZjEi^"/'!! rfr) Boncompngni,Cr.25.74,ouf.iul.c-v'a<s.fj-.
■^ ^{p'-\-ry
rW^ / , . .'A /I / i , ''/\ Scrrct. L. 8. 4S9. — Boncom-
20) = ^, Co..'^.tr^</.-j. Co..^r^rdy.-j ^^^,. ,.,. g,. ;,.
r(r) ^ f ^ . 9 )r«iuliv.aiv. Elf. 1827.599. P. I.
21 ) = l^n^^TJ-r Cos. I r Arcwu ^^-^/^ ,^ /^ , § 2. _ Fus,. Me.n. Pdlersb. 1 8.5...
K.AI"[. rat. ent. , . .
i:\|.on. e±"'. TAHLK ."87. l.ini.On x
Circ. Dir. itolynoino.
l)\e-"[hSinnx -\- (iCos.a.r)dx =- n , Poisson. ChM. l.i».
2) le-'/rCo«.(2
o)/e-7'{.Si".(2x' +v.') + C'''.«.(2.r' + vj-} J-' ./.t = O)
Page 45)9.
x'^ -\- qx).xdx =
Poifson. Chnl. Suppl. Note 11.
F.AIg. rat. cnt.
ExpoiKc^-^ TABLE 387 suite. Lim.Oetcc.
Circ. Dir. [iol\ riuiiic.
f I ^
J ^^ \ Toisson, Chal.
/• J I Suppl. Note I?.
5) / c-7f Cos. {2x^ —qx).xdx = q e-^r \^^ n \
6)fe-l^{Cos.b.c-iSin.bAxcdx = — ,^*"<=i'y' Cou'-s. Lep. 32 - Moigno, Calc.
f ^ ' (a-UJi'y+l In'- 42. ou fautivement -f i Sm.bx.
7) /i>-i^Co5. I xTang.X-\-b)\.x'i-'^dx = Z''V{q)CosSl.Cos.{{b->['q)X) Kummer, Cr. 17. 228.
F. Alg. nil. cut.
lv\pon.c-< TABLE 588. Lim.Octoc.
Circ. Dir.
\)ie-^''Sin.ax.xdx = ^ae-i^'l^n Lcgend.c, Exerc 3. 4S. - Dienger. Cr. 46. IVX -
J 4 Svanberg, Transf. 4.
, /■ - ^ 1 1 » a-"+^
2) I e—^ Cos.ax.xdx = a^( — l;« Lcgendre, Exerc. 3. i%
J 2 4 (n + l)"-H''t
f 2 1
3) / e-' Sin. 2x. xdx— — i^n \
J '-e I
■i) I €-=""' Cos.'Zx.x- dx = — 7~^" '■ I^icii.sj'^r. <">. 40. 119. oii dans 3) il est faulive.
•^ *^ Irneiit x^ d x.
f , 1 2»-, I
5) fe-^' Cos.2 px.x- dx = ^e-P"i/7T;
7 4/
[ •> r> „ , 1 2 a* 00 (I
G)|e-^ -Si;i.a.r.^- JiT = -a-|- ^ {— l)"
J 4 8 (i +
3n+I
7)/c"~^ Stli.ax.X^ dx = ;;-;; C— 1" 1/ tt
8 (i+ l)"+'/i
16
r 2 ^. , , 10a— a' 12 — 12a-+a^ «> a2"+i I '^ ,
8 /c-^ Sin.ax.x" dx = + '— 2 {— V," -> Legendre,
7 16 ^ 32 (n + l)» + i/i[Exerc.3.4!).
60a — ZOa^ + a^ , 2
9)le— * Sm.ax.x- dx = e— la i^tt
64
2 — 0"
10) J c—^ Tos. a.r.a;^(i.r = e— *<» j/tt
Paste 500.
F. A!,Lf. rat. out.
Expon.c-^'. TABLE 588 suile. Lim. oi -y.
Ciic. Dir.
Lcgeiidrc, Excrc. 3. 49.
II le-^ Cos.ax.x^ dx = — — ^^-l)''— i
; 8 16 ^ („-f-l)n+I/I^
/■ 2 ^ 12 — liia- +a^ , ., (
J 82 '^ ]
[ iz 1 « 1 /^/\2«
.13) / e-P ^ Cos. q j: xdx = - — -S" (— 1)" , , ,, , - Ortiinger, Cr. 3S. 2 1(1.
} Zp' (n+1)"/' \pj
J 2 c^/-» "^ Liouvillc. L. 3. 811.
024 ^ ^ 12n-rl/l " 5'J9. P. 1. § 2.
r - 1 (i'-' T I,
16) /c— ^' Cw.a.r.aS'-Jrr = - u/rr -.fy''-Jc-!')(apreslacliflercntiationmettezy=ia = .) lj g,.
dy>>
^'^ 026 + 1 '^ ' '^7/ ^ 12«'l P. 1. j 2-
f , 1 , f « 62"/-l /1\2"^ \ Cnucliv.
IS) /e-^-.Sin.2aj:.;c'W^=^— l)J(*-i)-c-«'a''u/7r|l+I^(— 1;" , t impair: .p. 28. 147.
J 2 [ 1"' \2a/ j [p. III. _
f 1 f cc tW-i /1\2''| (M., Excrc.
19) |(-^Vo«.2a,r.x''ii.r = (~ljii-e-<'V-'i/7r l+^fi — 1)" TT" ^ ( ,6pair; V***- !>•
./ ' W i 1'"' \2ai J /57.
ZO)je-''Tan<j.ax.xdx =ai^7T ^ {—ly-hie-'"")' V. T. -139. N'. 7.
2 1) / e-^" Col a.i: xdx = — al^ n ^ n e-i""? V. T. 439. X ■. C.
2l)\e-^' roi(;c.aj:..r(iar -=— al/n- J'(2 7i — l)e-(2«-i)V V. T. 4^9. X. 8.
f 2 I 1 \ 1/ ^ </" '
23) /c--^ &n. 2w.c + -a7r .x«+' rf.i- = .pe-P' Dicnger, Cr. 40. ll'J.
7 \ ' ^ 2 / 2"+' J 11" '
f >■> I I \ l-lV' - " , / '' \ ("+1)"' SclilOmilcIi
■2-l)jc-^-Co..{2px+lb.j..''dr =^ y^ ''-" ^'-f(-l)";>*-^"(2„)'-V-' KsT
25) I c~'= (({ Sin. a x -\- 2 X Cos. as) dx = 1
-' } Lcgciidrc, Excrc. 3. 49
2fi)|e-J^' (-tx^ + a' — 2)S»i.axJjr = a
268.
I'agc JOI. fli
JVIS- EN NATLIHK. VEr.Il. DEK KO.MSKL. AliAliElllF., UEEL IV,
F.Alg. rat. ent.
Ex|)on.c-<^^ TAHLE .189. Lim. Ool oc.
Circ. Dir.
t — 1 —
'i) I e^''Siu.ax.^(I^ =^. ae l^" rr Caucliv, Lim. Tmnj;. liil.
4 i
/ , . , 2 1/ 71
■Z)l e-^''-^-Sin.ax.,vd.c = Ot;tliiigei-, Cr. :;8. 210.
J a- e
I 2
/7 U^
e '^-^''Siii.bx.xdx — -e *«* 1/ ji Oetlinger, Cr. 33. 210. — Dien-L-r, Cr. 4G. liy.
f . .^ A^^ '^-'+' -^l\
Laplace, Probal). L 1. N'. 25.
7 ) / c""/'-^' 5in. I 2 7 i; -) — ott |..r'+' (i.r = .^e i> Dienger, Cr. 46. 119.
1 \ . , , , \^it d" _'/"-
/■ / 1 \ 1 d" — —
H) le-'l-''-Cos.[px + -arc\.x''dA- = — l^ n .e ^9^ Schlomilcb, Gr. 5. 90. — Id., Stud. I. 12.
'} V ^2 y Zq dp^
2
9) lo-P^'\e^<l':S>"''^-i-e-^<l^Sin.i'^Sin.{2qxCos.h.xd.c = -e~l'^''''^ y' -.Cos.i X——Sin.2k\ j Dienger
J P P \ P If cr^r:.
f q -'''cos.^y n ^ I q^ \( ^l"-
\0)\e-P'\e'-9':^i"-'>^—c-^1':Sin.i^Cos.{2qxCos.l).xdx=-e '' \/ -.Sin.il — ^—Sin.2l\\
F. Alg. ral. ent.
Exp. d'aiitro forme nionomc. TABLE 590. Lim. eL oo.
Circ. Dir.
1 ) i e-=^Cosi Sin. {x Sin. I). a'?'-' dx ==^ Sin. p I. T {/>) J
; Caucliy, Lim. Imag. 162.
■2) i e-^Cos.l Cos. {x 5m. X). xP-^ dx = Cos. p X.T [p) 1
■\)\e~"^"Sin.[bxP).r-Ulx = ^ T (-] ^(a — bi~'' — {a^hi)
4) = -r(- ) (a^-+i^O''5m. \~ Arctany.-] \
P \PI ^P «J '
'/Plana, Mem. Bru.x. 1837.
Pacre 502.
V. \\.<:. r.'ii. cut.
Kx|). (J'aulre Ibrmc moiioiiu'. TAIILI] oUO suile. IJiii. (Jet >i.
Circ. l)ir.
■ Plana, Mt;ni. lliux. 1837.
5) / c-"^" Cos. (b xP). A-c-i dx = — r [- ) \{a—bi) I' -\- [a ■{- b i) /'j i
«) = - r j'-\ (a^- + b'-)~'^P Cos. {i Arct;;. ~\ \
f „ r (p) Sin. p ). ]
iioiicompagni, tr. 2j. (4.
/^ ,^ ^ , T{p)Co8.pl i
8)1 e-"^' CosJax Tang. V-xPl-^dx = - - — - ~ I ne valent que pour 7 = 1.
J ' ' </« (1 + Tang.'ljip)
9) I e"'"' ~-^'5m.(ra;^).jc2(;?^=-l/Tr -Co5.., Ysin.i ibrj-^-lq. j.e-2''?+-^v,'7T.6'os..;.5/n.(267— <;).€-2»J
ll)/e '"" ^^ Sin.{rx-).x'> dx = ■ 1/ jr.fi-M |1 / -Cos.qf jJiVii. j 267 -f j., j -}-
+ ^Vos.- '}.(Cos.2b<j^ Sln.Zbf,) + ,,^ i-Cos.(f\\Sin.Ub./ — '^.,]\
-f 4r^os.'.;.((7os.2 67— S/n. 2i</)+7^ ( -Cos.gt ]'. foji. ( 2 tr/ — ^., j j
Dans Ics fonnules (8) .^ (12), dues li Iltlmlitif;, Trnnsf. 41 — 44, on n
r
p Z '
Suv. Etr. 1827.
5"jy. P. 1. { 5.
in) /e-"-»^+4*-r'^{2a.rCo5.(2a/<j')+Z-Sin.(2ata;')} dx = ^ \' ^\
' ~ ' Cnuchy,
I4j/e-a'x«+6V-{2ax5tn.(2aix') — 6Co«,(2aftx')} dx = )
U,)lc'r-^^--(o.-^cr-Cos.{2bx:ax+c^}^-^dx=^^^^^^^^
Page 503. '»**
F. Alii,-, ml. out.
Exp. d'aulre lornie iHonomc. TABLE 590 suilc. Lim.Oct
Circ. Dir.
17) f/''""''^'^'+rJ Sin. [■2ab(i^—-];\]..v''-^Jx= ^^~—Cos.\h.\rcnt,. - — ---} \
lS)le''''~"'''^''''^l'ih:oA2abix^ — ''-]]. x''-^dx= ^---SinAhArcsin. , , | i
Sur 17) ct IS) voir Caucby, Sav. Etr. 1S27. 599. P. 1. § 3. — Voir T. 116. N'. 3.
• l<Jj p'''-"' (''+x«) Sin. \->abL^- - ^', ] } . ^'' dx = "^
,a<//-,
= -e-2cl''("-+4'-:Cos. |(2/i + l) .Ircsm. 1
2-; I I (a^ + i-)!
)/ TT » (A — W)»'l
== ~e-2cX'("-+^^-]Sin. (2A+ l)^m»J. [ ^^T-T -2" ^^ ■ i
2c 1 l/(a2+6')j,a^+i>/+' o 2"/-'(2c)"i' (a^+i')" /
Sur Hi) et 20) voir Caucliy, Sav. Etr. 1S27. 599. P. 1. § 3. — Voir T. lliJ. N'. 8.
; I V ^V i 2 q+pi 2"^ h{p+qii \,<i<l>\
J \\ ^n 2 "^ q+pi 2"^ '2(p + gO-' I fs'g'o'-
f_,^.V')^ o , 1 . TT ^ (a + n)2"/-l (Z2« pi \ p. 5-1.
2-5 le '^ x^J Cos.pa. .r2a dx = -c-27 i - -^ ^-^il-'' (_ \)n . . e-4a
j ' -^ q 12«/i ^ ' dp"-" I
F.Alg. ml. ciil.
Ex[). on dcii. hiiiomo. TABLE o9l. Lim.Oct x.
Circ. \)\\\
1) / ; Cof.ax.xdx = n- e-'«~ V. T. 301. X'. 2, 3.
o
[\ _ e-aT)i
/" 1 1 (j-aT
2)/-; (;os.«.7;..rc/.t = --x^- — Plana, Mc'ni. Turin. ISIS. 7. IV. 18.
Pa-e .504
F.AIg. rat. cut.
l<]x[i. en den. l)iiiuiiio. TAHLE HDI snilc. Lini. cl ic.
Ciic. l)ir.
;>) i Cos.a.r.:rdx = — Plana, Mem. Turin. ISIS. 7. IV. Vi.
Co^.ax.xdx = - 2:1=0-'"^ ^ "*" "^ ' " - V. T. 3'Jl. N". 2, 3.
/" ,r 5m a .); 1 e?" — c — 1'
/■ .1- CoJ. a r 1 C" 1
'!) / -T ^" ,- ^^'^ = \
Logpndrc, Excrc. ■'). i.'i.
F. Alg. rat. Iiiicl. a den. x.
Exp. nionumo. TACLE ,19^2. Eim.O .1 :c.
(^iic. Dii". nioiionio.
( dx
\) \ e-'^ S'lH. a X — — Aidanij.a Arndt, Gr. 11. 70. — Diengcr, Cr. 40. IIU.
^'/
dx ]
c-<"'Sin.aj: — = -n Octtinger, Cr. 38. 210.
C dx q Killer, CaL\ lilt. T. 4. S. r. § 13'J. — Bidone. Mem. Tiiiiii. IMi.
■■))J€-r^SiH.ijx-' = Ardang. -,j|. An. 3. N'. 34. — I'oisson, P. 16. 215. N°. 2. — hi.,
J ^ P C'lial. 15S. — Iji-geiidrc, ExiTC. 3. 55. — Plana, Mem. Unix.
1S37. — Lobalto, Cr. 11. 1(J9 — Odtinijcr, Cr. .'JS. 21(1. --
Hoppe, Cr. 41). 13'J. — Lindmaun, Gr. 10. 04.
■\)\c-ViCos.qx'^'~ = X I'oisson, P. Ifi. 215. N '. 2. — Legcndre. Excrc. 3. 55.
1 . /. . I''
2 \ a-
5) == — M1+ - Lobatto, Cr. 11. 100. (fau'iv,).
fij =: _/0 l{a- -\-b-) — \ Bidono, Mem. Turii-. 1.->I2. 231. Ar'. i. 6>.
7) =, ! i(yo ^ir-)—-.l{a- +b-) Plana, .Mem. Bnix. H3J.
f dx i V — q
H)le'l'^'Sin.q.v — — -I Octlin-cr, Cr. 3S. 2lO.
J X -i i' + 'l
<.))fe-^Sin.-'px~ = -/(I + 1/'') .;''<■:; '^''^"R"' ^'- ^''- "^•
J X I' 4
]{)) le-^^S.'u.^ -bx — • = -I — Liiidmnnn, Gr. 16. 04.
7 2 X i o»
Page 505.
F. Alg. rat. fract. a den. x.
Exp. inonoino. TAHLE o9'2 suite. Lini. el (x.
(iirc. Dir. moiiunie.
lUfe-'^Sm.p.r.Sin.q.v— = - 1 -J-'^^^-lL^ V. T. 301. N°. 13.
J X 4 ! + (/'—?)•-
To. ^ da- 1 2»
12) I e-"" Sin. px. Cos. q.T — = -Ardann. V. T. oOl. N\ U.
J .r 2 l_p2_(_,^-.
^ 8 I «' a^+4c^ j 231.Art.3.35.
210.
Solinke, Saraml. — Mindinsc, Tafeln. I.
F. Alcr. rat. fract. a den. x.
J?^I^- n- } Fonct. nolyn. en num. TABLE 595. Lim. ct x.
L ire. Dm- .J |^
1)1 Sin.xcLv := Ardang.q J
[\ g—qx \ (
2)/ Cos.xdx = -^(1+5')]
Cg—qx — rx r Q
3)1 Sin.pxdx = Ardanq. Ardann.- I'iocli, Mem. Coiir. Hnix. T. 15. V. 2.
7 .r "^ " p P
p . P\
4) = Arctang. Ardany. - \
Q ^1 Cauchy, Couis. Lt?. 33. — Lindmanii,
} Slockh. Handl. 1850. IV.
5)j --—Cos.pxdx = -l^;^:^, )
(i)f ^~^'^''^'' e-^dx = -1(1 +p-) Dienger, Cr. 46. 119.
J X 2
7)1^ '^~e-1=^dx = -l{p- +q-) —Iq Malmsten, Cr. 38. 1.
J n 2
fSin.px — Sin.qx , , p . , 9 . i» r- n -jn
8) / ^-- ^—e-''^dx = Ardanp.i Ardang.- Arndt, Gr. 11. 70.
J X " r T
iCos.vx — Cos. ax 1 1 + O" »., ,
9)1 ^ '—e-'dx = -I ^ V. T. 301. N\ I'J.
7 .I- 2 1+p'
Page 506.
F. Alg. rat. Tract, a don. x.
p- n- [Fonct. polvii. en num. TAHLE 595 suite. Lim.ihi
Luc. iJir.l ' •'
'/
Cos. px — Cos. q X 1 r- -f- 7*
X 2 r +p'
10)/ ^ ^—e-'-'^dx = -I -^—- Poissoii, 1'. 10. 215. N°. 2.
r (?— ^ — Cox. X
11); d.v = Arndt, Gr. 10. 22
0.
fe-l^— Cos.x
12)/ dx = —Iq Aiiidt, Gi-. 11. 7n.
Cos. q X
X '
/•e-9x — Cos. ox
14)1 ^d« =
Miilnislcii, Cr, :iS.
lb)f^ — ^-rfj; = -l{p'- +7^) Caucliy, Exerc. 1826. p. 95. — Malmsten, Cr. 3S. 1.
J X 2
IG)
-5 \
/"e— ^ — e p Cos.x 1 ,1 + p* J
G) / dx = -I /
J ^ 2 p^ '^
17) / (ix = -I- ■
iSclilomilcb, Hijii. Anal. 74.
a; 2 p-'
,. . .^ , „ ■ e~'''^ Sin. s X qr — ps
IS)/ ^ d.r = Arctang.- ^— Lindmnnn, Stockh. Handl. 1S50. I\,
pr — qs
fe — /'^ Sin. q X —
J a,'
,„. fe -P^ Cos. qx — e-'-^ Cos. s x _ 1 r'^+s^ Bidone, MJm. Turin. 1812. 231. Art. o. 3i. —
^^J| _j. "•'-■ — 2 p2-f <;i Lindmann, Stockh. Hnndl. 1850. IV.
F. Alg. rat. fract. a den. a;".
Exp. cniuim. TABLE 591. Lim.O.'i x
Circ. Dir,
l)le-<":Sin.bx - = x Plana, Mum. Brux. 1837.
J ^'
2) = b — aArctawj. /' A + -/(tt' + i') + /oj J
" ^ ~ M Bidone. M.:m. Turin, l^l2.
/• dx 11 I . , ^ li ^^'- A"-*- =*• "•
/■ „ I dx \ , p 1 ,P'+V'
4) /fi-'/*Siw.* -pa-- ■= -pArcUviij. -ql — r-
'J 2*^ a;* a' "^ q i q^
Lindmann, Gr. IG. O*.
Page 507.
F. Alg. rat. fract. a don. x'.
E\\). en num. TADLK 594 suite. Lim. ol oc.
Circ. Dir.
f -J. d.v I \
J X Z
/■ — /7 1 I
J .X Z \ ~ ^ 2 '
/ --/'!*— ' da; V^ n \ m ^
7) If Sm.fra;') -" = fi— 2"? CoJ. ip. 5i«. 2 t^l Tang.q> = -:
i a-^ 2*7 I p
f -px'^-ll d.v \^n I llelmling, Transf. hO». ai*, 59. 4').
S)/c "^-Cos.CrxM — = - e-^»'iCo!:.q.Co^.2bql
j .1'"^ 2q 1
I l>\ . I ^\
hCos. Arcianq. - — c Sin. \ Arctaiuj - |
,jJe~c.rSin.l.^ = p ^ ^—i -^ '■'! .p=0,90G102; Ln>=e. P. lo.
7 ct"+l ^ a(l_a) v/(i2 ^c')!-" •'' ' 229.
,„, (c — ;>,)-' — (c -}-?;;)-' Caucliv, P. 2S. 147. 1'. III.
ill) = r( — c) (val. cxtr.) ^ . 1 1 i- ,o,,. -o
' J \ J \ ^ Siippl. — IlI., Lxerc. 182'j. p. .)S.
11) = {h- -\-c-y-^Sin.\a Arctai}y.-\T {— a) Caucliv, Exerc. 1S2G. p. 5?.
\ "J
12) = l-<^-y^{b- -\-c-y«Sii.iaArctan^.-]l
\ CJI Oettinser. Cr. 3S. 21G. ou 12J
/- , _ . . } clait fautive.
1:3) /c-^Cos.Ja;-^ = l-^-'^^b- -{- c'-y CosJa Ardang. -\]
,., (g — ^0'' + (c + ^')" '^, ,, , , , Caucliv, P. 23. 117. P. III.
^4) =•■ 2 r ^- a) (val. extr.) g^^^^, •_ ,,|_^ ^_^^,^ j,,^ p^ ^^^
15) = [^l>^+c-)'"Cos.iaArdaiig.-\T(—a) Caucliv, Eserc. 1826.
Sin. ( Arctang.- ] \
(1 — a) (6^ -I- c2 ) 2 f , /^ = 0,906-i02 ;
^^ CoJArctang.t] [ Laplace. P. 15. 221..
[7)/e-«C'os.6.T-^ = p ^
1— a
{l—a)(b^+c^yij
Page 508.
F. Alg. rat. fracl. a den. a;".
Kxj). en num. TABLE o9i suite. Lim. cl x.
Circ. Uir.
CCos.hx — Cos.cx 1 a^ + * c b
1 *^) / i — " e— "-^ a ar = -at + c J rctang. b A rclang. -
J x^ 2 a' -j-c^ a a
/•e-"_e-ii 1 a-+i^ , a a
19)/ bin.axdx =-■ -at 4- b Jrctann. cArdaiig.~
J x- 2 a* + c* b c
f , 2 .f Cos. X — Sin. x „ e — 1
20)le-*' — Sin.xdx = — ;; — I^^tv Dieugcr, Cr. 4G. 119.
Cos.b.v -j- iiSin.bx p
, p = 0,906102; Laplace, P. 15. 229.
iiid-
luanii,
Slockh.
Ilnndl.
21) f.
J x^ (I— a)(c — ii)'-"
fe-P'Sin.qx — e-''=Sm.sx r(l— Of , / 'A / «\)\ ,
22) I -' dx = 'Up^-\-q^)i'Sin.{tArclg.i\—{r-'-\-a^)iiSm.ltArclg.-\\ J Li
(su
fe-P'^Cos.qx-e-'^Cos.sr , r(l— Of , „.^ / s\ .„ / <j\l ( Unnd
23) / ^-^ dx = -^^-^Ur'-\-s^)^'Cos. UArcig.-\—{p^+q\i'CoJt Ardg. -^jj \ 1850
/
-■ ■' , I
F. Alg. ral . fract. a den. a;^ -f- a"-.
Exp. on num. TABLE 595. Lim. el x. .
Giro. I)ir.
l)[ePC«s.^^Sin.(pSin.bx)-^dx-^U/-"'-i\l '""^''>'- '""- '"'"!; ^V "
o\ / r.Cn^i^r I c- 7 \ r'~ "^ \ Excrc. d. ^fiilh. T. 95. — Boncora-
7 ' •f'+?' 27 ) Pngn'. Cr. 2o. < I.
/* /I \ ^ — ' "■ —Jo
3WeCoj./.x5',j ( - a TT — -S/w. i .r dx = - o"-!*' ' Caucliv, Lim. fauig. .\ild. .V. 26.
7 \2 /.x-'+9' 2-?
fe — P^'" ** gpSin.hx \
1) j —- X Sin. (p Cos. b.i) d.v ^ n [Cos. (p e-*V) — 1 } \
J 'P + -n^ 1
5) i T^-T— S"'- (P ^0'- f>-^)d.r =^ - Sin. [p c" '?) (
y V + -f 7 1 Hoiirompnjrni. Cr. 23. 7».
/■e-pS,>..Ai_ep6V«.tx ( "i^ l""""" ''!) fautivi-menl
(jN I a;Co«. (pCoj to.-) rf.c = — 71 (5««.(p-''7)— ;>?-'-») I = — nSin.\pe-^)
J q^+x^ \
fg—pSin.lix _1_ gpSin.bx n
7) I ^ Co.i. (p Co*. hj)dx = - Cos.ipe-'^)
J q''+'V^ 1
Page 509. ^5
' D
WIS- EN NATI'UIIK. VFKII. I>rn KOM.NKL. AK.WiEUIE. DUEL IV.
F.Alg. rat. fract.
I^xp. polynunie en den. TABLE oOO. Lim. Oeloo.
Circ. Dir.
/Sin. px dx
^ — = Arciami. (e'tP) V. T. 281. N'. 4.
e^x _|_ e-zx X '' ^ ^
f Cos. vx dx 1
2)1 ^ = Ue'^P -\- e-\P) V. T. 281. N\ 8.
fe-xx — e~nx Cos. vx \ 4- ckP
3)/ ~ dx = l-^ V. T. 282. N'. 1.
J (?T* + e— f ^ X 1 — £-*;»
/•gTj: I g—7:x Cos. px
4) i — '—dx = — l{e\P — e-^ V. T. 282. N^ 8.
' f e^x — g-irx X
—, dx=^— e-1— -— I - + Arctg.\— U« ,^^-
/• ^i«.ga; ^_ _ _e-'? g?-e-? ^ 69 + 1^2+ g-^ ^ ^+g-^ ^ [ J^\ SchlOmilch,
''yeWj:_g-lTxi_i_a,2 2l/2 41/2 e?— v/2 + e-9 2i/2 ^'^e?— e-9 JBeitr.II.U.
//Sin. qx X 1 e? — e~? , ,
1 <£^ = qe''l-{- Z(l+e-29) V. T. 396. N°. 18.
) etait
fautive.
S); ^^* = qe-1 — - Z(l-e-29) V. T. 396. N°. 17.
f Sin.qx dx e'^ + e-i , , , 1
9 I = ' Arctang. (g— 9) n e-1
^/eiTi — e-i»^14-ar* 2 4
ISchliJmilch,
[ei^x^l Sin.qx 1 el — e-lel+l^ ^, ^ f Beitr. II.
1 0) / ^- dx = 7T e'l 4- 1 + (cl 4- e-1) Arctang. (e'J) } 5 7. ou
/■fitTx _i_ 1 Sin.qx 1 el — e-9 e9 4- 1
11)1 ^— do; = ne-i+ I — - — 4-(e9 + e-9)Arctang.ie-l)
[ Sin. q X dx 1 el — e-l ,
12)/ ~ = a e-1 A Ul-\-e-i) V. T. 396. N^ 17.
'je'^x_e-zxij^x'^ 4* ^ 4 ^ '
13)1 ^'- dx = _oe-?— Z(l— C-?) V. T. 396. N'. 17.
' j e^x — e--''' \ + x-" 2^ 2 ^ ^
14)/ ^—dx = — I ^ Schl5railcli, Beitr. II. § 7.
^e^^— ll + o;' 2 " ■■
el-
f ePxA-e—px Sin.qx 1 el — e—l & -\-iSin.v4- e-l
15)/l r;;^ ^^dx = ne-iCos.-pA Sin.v-l—^ — ^ ^ +
eH + e— 9
+
Page 510.
r„. ^ .«-..-„-( 2 6*08. p \ J . 1 J Schlomilch, Beitr. II. j 7. — Id., Stud.
F. Alg. rat. fract.
Exp. |)()lyii6nie en den. TABLE oOO suite. Lini. ol oc.
Circ. Dir.
/■ epx — e-r": aSin.qx 1 „. e9 — e~? ^ ,€</ + i?-Si'n.» 4- e v
\G)\~ ^~-dx = ne-iSin.p~ Cos.p.l — -- ^.-' +
^y eiiri_g-Jirj; 1-^^.2 2 4 '^ e<i — 2 Sui. p -\- e-o
Sin.p.Arctatiff.i f7),p'<-^'; V. T. 396. N". 30.
17)
el 4- e-1
/ ^ '-^d:c = e-9lqCos.p-\-pSin.p)+ Cos.pJ[\-\-2c-lCos.p + e-^7)^
f gTx — g— f*l+j;* 2 4
e9 + e~' o- . / ^"' P \ a ^ - Schlomilch, Beitr. II. § S. — Id.. Stud.
+ — ^- Sm p. Arctang. {^■;;^^~j , P* <-' ; „. i,,
IS) P'" " "'''^ "^^^-rf.. = - c-7(nCoJ.;.-9S.H.p)+ '^^^Sin.p.l{\+ie-<lCos.p^e""i)-
J e^^ — e-~^ 1 -f j;* 2 4
t? 4- e— 9 / Sin.p \
— —^ Cos.p.Arclang.l '^- , P" <^'; V. T. S'JC. N". ii.
2 '^ *' \e'i + Cos.pl " ^
/■ 6oj.(j.i- dj; n c/+c-?,e'?+e-9+ 2 eV— e-7 / r2 \v.T.39C.
19)1 = e~? — 1 ArclgA v> on
>J e\^x^e-i''^l+x'^ 2i,'2 4i'2 e9 + e-7— ,2' 2 j/ 2 •' U?-e-?/ « • 3"-
''"''jeiTrx^c-J^l + a:- 2 ^ ^ -1 ^ ^
21)/ 2— t/jr = — qc-1 — l{\ — e--^) \ . T. 3P6. N . 31.
> j e\■"x.^^e-^-x i ^ .^i 2
22) T-^"''-^^ _-A_ d^ = «lr«~'.i^e<an^./e-?) + l,re-7- J^ V. T. 396. N'. 20.
/•fJ'T'— 1 ^6W7.r , 1 „ , e'i-\-e-l ci-\-\ e'l - e-i V.T.396.
*^|e»^x^l 14- ji 2 2 et—l 2
feJf'+l J'6'os.7.r 1 w + t-v t7+l eV-c-7 V. T. 39G.
r^»ir_ , _ _''..„ + «■' + •■-',„ + .-. V. r ..... V. :>,.
■"y gwx — e-;ril-|-jr= 4 4 4
/•(.TiJ-e-TT xToJ.^.
27) i — ^^^
o
' n> 2 2' 2
Page 511.
F. Alg. raJ. fract.
Kx|). polynuino on (leii. TABLE 590 suite. Lini.Oot oo
Circ. Dir.
[cTx -L 1 j: Cos. qx C/ + e-l ,el 4- \
28) / — ^= ^^ - Jj? = — 1 + — i I -— V. T. 396. N-. 29.
/epx -f e-P' X Cos. qx 1 ^ «? + e~9 „ , e' + 2 Sin. p + c"?
; \- dx = — 1 4- - 71 e-? Cos.n 4- ~^ 5m. p. I —^ ^^ +
e«_e-9 / 2Cos.;> \ , 1 ,
•\- tos.p.Arctang.\ , p' <^--n- ; Schlomilcli, Beitr. II. j 7.
4 \fc' — e~l j =4
/epjr_e— p-r Cos.qx 1 «'-f-e~'o ,e« -|- 2»Sjn.» + g-?
; d.v = -ne-lSin.p — Cos.p.l „- - +
e»Tj:_e-j!rx 1 ^j.:i 2 ^4 e9 — 2 Sin.p -\- €-<}
c- A . I ^^S.p \ 1 SchlOmilcli.Beitr. II. i9.—
Sm. p. Arctang.\^j—-^j , p^ < _ ^a ; ^^^ ^^^^ ^^^ ^,^ .
30)
+
/eP'4-e-P-r ar(7os.o.r 1 ^ „. 1 C + c-"}^
31) I ! --dx= -e-9(qCos.p+pSin.p) \- — — Cos.p.la+2e-9Cos.p-te-''i)-
el — fi— ? / Sin.p \
^2 f H \el-\.Cos.pl ' ^
I . ^— dx = -f -"'- ^- — -■'^-- -^ > ' '
e5rr_e-5rx 1 ^^2 2
e9 — g— 9
•Cos.p. ^rc<anor.( *"•?_ \ ^ i^^^j. Schlorailch, Beitr. II. 9. — Id., Stud. II. 19.
\c9 -|- Cos.p)
„„. [eP^^±e^ Sin^qx l_ ne-l'-Cos.pr °o, nn-i C!!^^!:^ -. ^n Schl5milch,
"7e'^'-e-^-r*+x^ 2r»~ 2r5M/.r7r +7^--^^ «2_r^ .'r>P>"; Beitr. II. 7.
/e/a — e—P^Cos.qx ne—vSin.pr « , e—^lSin.np Srlilhmilrh
i„+.-^, C.«.5« J. _i(i=i+S£r?) + 1,.„_^.„).,,1_,-,) V.T.390.
e'*— e-'^' a; l+a;* 2 1 — e-9 2
/ Sin. X X 1 / 1 \ 1
) / d.v = —Arctang. 1
7 el' -j- 2 Cos. X + (r-9' a'* — tt- 2 ^ \
f Sin. X
37)1 —
'J e9'—Z Cos. X +6-1'' x"^— 71^ 2 1+g' 2 " \q
38)
>SchlomiIch, Beitr. III. j 3.
(v 1 7 1 /IV
dx = A rctang. ~
/Cos. ax — e— 9* d x n , !\ \ _
^ = e-t9'-V ^Sin. {- q r\^ %\ Cauchy, Eserc. 1826. p. 95.
X *«+r« 2r* V I
Page 512.
F. Alg. iriat. ent.
Kxp. TABLE 597. Lim. ct
Circ. Dir.
11
12
13
14
/ e— •^ 5(72. a: a x i^ x = i^ . Sm. — i
J 21/2 8 (
I e—'=(os..v.d,v l^ X = 1/ .Cos. — \
J 21X-2 8 )
/
Fuss, Mi-m. PJtersb. 1830.
1 ^
3
15 TT
-'!'= Cos. q .r. d.v 1/ .i; = — ]/ ( — 1 + 1/ 2). ]/ • —
4 </ Zq
I O 71
le—9^Si!t.qx.xdxl^d' = 1/ (1 + 1/ 21.1/ -
; 16 <7' q
I e-9* Sin qx.x' dx\^ X = 7n""~ V^ (— i + 1/ 2). ]/
/ ^ ^ "
I e-i^Cos.qx.xdx]^ X = 1/ (— 1 + p/ 2). p-^ -
J 1C<7 7
\e-i^Cos.qx.x^dxi^x = 7^^ ^^ -^^ ^■)-^ ^
je-l^Sin.px.dx]^x = i;/ {-.^^ ^ 3 7;.^- + V^ {7^ + ;;')').1X—- ^^^
/• 3 , 2:r
je-<}'cCos.px.dx\y^.i- = -1/ {:?' — 377^^ + 1/ (7' +/''}'}■ l-^
y 4 ^ (
2n
('/'+P*)'
3 , . , ... '^^
\e-n^Cos.px.xdxu'x = -1/ {?= - IO7'/)- + 5 7/j' + 1/ (7' +/^')'}- »^;% ::|. ,r,
/I f» '' T
Sur CCS intdgrales 3) a 14) voycz Octtingcr, Cr. 3S. 2 IB. ou 12) ct 14) .Suicnt faulivcs.
le— P"'j;*a— 1 (7oi. (2ov/pa;) t/x = -e-'f'l^- Boncompagni.Cr. 23. 74. nc vaut que pour <i = 1.
_y a P _____==
Page 513.
F. Alg. irrat. frart. a den. \^ x.
Exp. TABLE 598. Lim.Oet oo.
Circ. Dir.
C dx \. 5r\
f dx \ n\
I) I e-?* Cos. q X = - 1/ 1 + 1/ 2). ix -
'j ^ \y X 2 ql
f „. dx /i/2 — 1\
3)le-^Stn.x = 1/ -„ .
J i/^ \ 2 ;
Oeltinger, Cr. 38. 216.
f _ dx \ n\
dx /l/2 — 1\ TT'
Fuss, Mum. P(<ter3b. 1830.
f ^ dx /l/2+l\ ttI
dx _^ ^ ^l ^( p' +?'') — g _7J-j
tinger, Cr. 38. 216.
^^ P +9 ^[ Etilcr, Calc. Int. IV. S. 5. § 136, — Oet-
/
j e-1^ Cos.px - = 1/ ^T^^T ■ ^ 7
C dx
7) le—^Cos.(2l^ gx) = e—1l^n Kummer, Cr. 17. 210.
J l-^^
i dx It
8)/e— r^Cos. (231/p.r) = e—1-\y'- Boncompagni, Cr. 25. 74.
J \y X p
.^ p — qCos.X „ — qSin.X
dv In [Cos.i3=^ ^ ,Sin.j3 = — ^ ,
10) /e-/''+?^Co».X(7os.(5jr5m.A,) = Cos.-^.xy- \ '' ''
( ^ ^ „ , „. . dx „1 n\ Dienger, Cr. 46. 119.
7 ^^ '^1/a; 2' "^ r [ , ou r- = p- + 7^ — 2/)7 Cos. A,,
f dx 1 n [^
) j e— /'^+?^Cos.X (7os. (qscSin. X) = Cos. - (5. i/- j
1 1 ) / e~" V'^^J Sin. h X — - = e-2?« f 9 .9m. 2 » a + n Cos. 2 » a) l^ ^"^ —
12) / c""'^''"^^ ) Cos. Z. a; -^ = - e-a?" (7 Cos. 'Zpa — p Sin. 2pa\u —
7 l^x b ^' ' ' ^ J"^ b^+a*
Des integrales 11) et 12) voyez Cauchy, P. 28. 147. P. I. § 4. ou 12) c^tait fautive, el ou Ton s:
2p = v/{i/(62+a') + a} — 1/ {l/'(62 +a^)— a}
2? = 1/ {l^{b'- +a'} + a} + ]^ (ix (6'- + a*) — a)
Page 514.
F. Alg. inat. fiact. a autre den.
Exp. TABLE 599. Eiin. it oc.
Ciif. Dir.
1)1 €-9^:8111. q a: = 1/ (— 1 + I/' 2). 1/ 2 (/ tt
J !r\^ X
2,)le-'!='Sin.qx = - ai-^ (I + V" ^)- 1^ q n.
J x^\^x '6
f dai 8
3) \e—9^Sin.qx = — «- 1/ (1 4- v/ 2). i/ 2o;t
J x^yy'x 15
( „. ^-P 32
4,)\e-1':Sin.qx- ^ - = — q^ \^^ {—\ -\-\^ Z).\^ qn
J x^i^x 105
f dx
h)\e-<!^Cos.qx = — l^ (I -\- l.^ 2).]^ -Zqn
J X \y X
6}le-i'Cos.qx- -^^ = g p/ (_ l + i/ 2). i/jtt
7 X l^x o
f ^ dx S
7]le-9'^Cos.qx = — q- 1^ {— 1 -\- \^ 2). l^ 2 q tt
I x^i^x 15
C dx 32
8) le-9':Cos.n.T = q* l^ {I -[■ l^ 2). i-^ q ti
1 x*l^x 105
9)/e-?^5m.pj; — ~ = — 1/ {— 7 + V^ (/>' + 5')}-l/ Ztt
/ xl^ X
10) [e-'J^Siu.px—^- = J v^ {— <;' + 3/,^ 7 + 1 (p- + q-y]- 1' 2 :r
ll)/e-?'5m.».r-^ = — - ^/ {— q'^ -\-lOp^ q' —bp' q + \ {p' -\- q')'] ■ \ 2t
y x^i^x 15
J x^l^x lOo
lS)/e-9^Co«.».r = — I' (7+ I 0'' +'y')}-l 27r
J x\y X
/ x^\yx 3
/* 7 4
J x'l/a: 15
/ x^V^x 105
Sur CC3 intu'grales 1) ii 16) voycz Octtingcr, Cr, 38. 210.
Page 515.
F. Alg. irrat. fract. a autro di'ii.
Exp. TABLE o99 suite. Lim.Oeloo.
Circ. Dir.
J x + bu^2x + b^
Ig) /",-., V}.) i^ + 1^ g^)) Cos. {ai^g x)} -l^ {\ x).Sin. {ai^ ( ^^)} dx ^
— (^ + I--" (i c)} -Sw- { a 1^ (t c) } + l^ (i <'•)• Cos.{ al^'Ci <=}) ■ne-'^'d c)
~ c-\-bl^2c+b^ ' 2c
Les intc'grales 17) ct 18) so Iroiivent: Poisson, dial. 159.
F.AIg.
Exp. TABLE 400. Lim. divcrses.
Circ. Dir.
i' ^ P ' P (Dienger. Cr.
fx 9- / 2 \ ['"'• ^19-
2) / e-/^^*-+27'^C<.s.).^(7os.(2 3ar*Se-«.;i).cfj; =^ eP ^"'''^.00^.1).+ ^- Sin. 2 Aj. i/- ^
» '
3)1 e-r^'x iiin.qx.dx — e *P l^ - Ohm, Ausw. 21,
y 2b p
2p p
— aj
4) / c'«-f '>'■ (2 Cos. .r )« - 1 rr J .r
rr 2a
I
I f-a.Sm.Jr.l '{-iCos.x) Cos. a Cos. - X. i^(2Cos.x) v \ =nCos.a \
[jr \ 2 ^ ' 2 }\/{2C0S.x) \
6)/ \Cosx— [ -'- = lbc-\-Ci.{-\-- Et.{ab)—-Ei.{—al,) Amdt, Gr. U. 7(
F. Algcbr.
Exp. TABLE 101. Lim.Oeloo.
Circ. lav. '_
l)le-P^Arclanf;.-.xdx = ~\ci.{pi]). Sin.pq— \si.{pq} — ~nl Cos.pq — pq\Ci{pq].Cos.p<j
4- lsi.ip<j)-lAsm.pqj^
Pa^e 516.
F.AI'^rebr.
\:\\). TAHLi: ^lOl suilo. Lim.Oely-.
/■■■I ■'
(^irc. Inv.
f / Ml «-l(_pl„l)n
- r 1 [a (r '])■ Cos. r q + [si (/> .) - - :, J5m. ,. y [ 1 -^"n ^ '— ^-;^,^ +
.'3; |"e-/".lrd««</;^.r5«+i./x= ;;;-[{ci.(p7)..9/«.pv-^5;.(;^7)-iTJCo../,7J r^'.+i/' i — ^^.'f ^"-
a-4-l C 1 n-1 1 " f ] "~' 1
' 1 11^"+'' u ^ / / ^ j-r A-y ^ ^2«,i „ V / / ; ^
4) / e-/"^ /I rclann. - ^-— ^ ^'' dx = - \—eP9 Ei.{ — pq) -\- Ci. {p 7). Sin. ;> 7 —
J 7 (* + ?)' '^-y*-
I ^ 17 'V ^**~ 77 ^ "f"" X 1 r
5) / e-P^ Arctang. - ^ d.v = — I — e-i"i Ei. {p q) — Ci. {pq\ Sin. pq -\-
J <l (•'• — 7)' -7*-
+ f 67. {p q)—^-^] Cos. pq + Ci. {p q). Cos. pq + i Si. (p 7) — - t J Sin. p q
6) je-r- Arctang.- ' '^ '' ^' \ -^ -^ xdx = - \pq eP'l Ei.{—pq) + {pq + 2))Ci.(pq).Sin.pq~
J 7 (■'•-}- 7)' 2/'>- I
— isi. {pq) — -rr\ Cos.pq^^ — pq ]^Ci.{pq}.Cot.p q +{si.lpq) — g^rj Sin. p q\
7) le-l"Arclang.--^^^^-^^^-l~~'^a:d.v = ^ I -pqe-l-^ Ei.{pq) + (pq—i■)]Ci.{pq\Sin.p^ —
— (s«-fZ'7)-^^)^''"'-7'7| -|-/'7 [«-(7'7)-^o'r7+P^'-'r7)— g'^j 5'"- /' 7*
8) /e-Z-f/trc^anp. : ; </x —
7 7 ^'+7'
Pngc 517. Ca
WIS- e:s N\TLinK vr.nii. heh kom.nki.. akahehik, dfel IV.
F. Algebr.
Exp. TABLE 'lOI siiilo. Lim. el oc.
Ciic. Inv.
f , xpx^ + Zx + pq^ , 1 r . ^. / 1 \
+ /' 7 • Ci. {p q). Cos. p 7 + ( Si. {p q) ~'-A Sin. p(]\\
1 0)j e-P- ArcUj.-' --^~^,~ ds = ^^[l -pq \ a{pq\Sin.pq- \Si. (p q) - - tt j Cos.pq j J
H)
Sur ces inl^grales 1) a 10) voyez Bierens de Haan, Verh. d. K. Ak. v. Wet. 1SD+. bl. ly.
/•(2 7ra;— 1)6'"^'+ 1 x 1 ?, 1 , ,
y — Arcianq.-dx = h — ^7 <? ^ 7 V. T. 138. N'. 9.
j (e-2Tx_])i ^5 4, ^ 2 ^ 2 ' ^^^
12)/^ ^ niL_,3_J ^rctouj. .idx = -N2 V. T. 138. N". 12.
l;!)/ — Ardanq.xdx = -A V. T. lo8. N'. 10.
/"e— 2?i _L 2 fl X — I , , 1,7 . TT ] /7r + 7\
14)/- — — Arciang.xdx = -l~^ Z' -- -- V. T. 13S. N^ 11.
16)/ > ^ ^ -^ ' Arctang. xdx = -n — \ V. T. 1 38 . N °. 1 6 .
/•(^2_oMe-27rx_j_2„a;'— a;^ + 27r9'ar4-3» x dx 1 »B2„+i y T 138
IS) L-[Arctar.,j.x)' [Arctaug.xf —~- = i'^-n]^''^' 2 ^ {- - n'X ,,,"'-'^''""'
7 ^ ^ ' 1+.?;'- \2 / ol"'M2a+2«+l)\ 4, / i™»s».
K. Alg6bi\ ~^
Exp. TABLE 402. Lim. v\ gc.
Autre Fonct.
1 ) / e— f Zi. (e^). rf - ' rf .v = — T Co^ p rr. r (p) j
2) / e^ li. (e-='). xP-'^ dx = —n Cosec. pn.T (p) ]
<p<i;
Schlomilcb, Beitr. III. j 6, 7.
Page 518.
F.AIgi-br.
Kxpon.
Aiilro Foiict.
TAIJLI:: ^502 suile.
Lim. el -J-..
4)fe-v-/<.(.-)'^^- =-2,/-Z{,-7 + , (l+7)}( S^'''-''l«=''- 1^-'- "•• J G. 7. ou 4) fau.ivc.
.(.— )
dx
I ^
F. Alg. rat. ent.
Log.
Circ. Dir. do Log.
2 /lrc»in. (l ' 9). J/ - , 7<1; V. T. 300. N'. 3.
TAHLK 40.-..
Lim. el I.
1) jSin.{ulx).x'i-^ dx = — V. T. 278. N'. 8.
J P +7'
■Z)jCos [pLi) x'l-Ulx = '^ V. T. 278. N'. 9.
J r' + 7
3)/Stn,(fl/x).(/j-)«-'.jP-l./x = (—1)" - "—'- - S/n.fa/lrdan^. -| V. T. 38G. N\ 12
4)/(7oa.(7/a;).{/j')<'-'..r/'-i(fj- = (—1)"-' "- Cos.la Arctaii>/.-\ V. T. J-'.. N'. 1;<
5)fSin.^<'{lx).j:P-^dj- = —
G) I &'h.2<'+' (/.!•).. r/'
7)|Co/..2''(rr).j-/'-ici7-
12<i*'l
-Uix =-
_ ISa + l/l
- V. T. 279. N'. 1.
1 laWI
V. T. 279. N". i.
- — — 1 + + -— +
/. ,,»+(2«)'p'+(2a— ~)'---P' + 2' ' 1.2 1.2 3.1
+ ••■ +
p».p^4-2^..p'+(2a-2)-| ,,^. „,.,,.
jtiM
8)/
Cos.^-'+^ilxyxP-^Jj- =
l»«+l/l
ip\''\pi+:^i ,
ppi^.(2a+I,».p'"+(2a— l)»...p» + l» 111 2.8
+ ••• +
ISo+Ul
/ X pM 7' 1 P '^ '
Page 519.
r. 439. N*'.«.
V. \]<^. ral. cat.
Circ. Dir. de Lol(.
TABI.E 405 suite.
Liin. Oct I
3'J. N-. ■■',.
}())jros.{fiLv).U-..vl'-^ Jx = {nArctang. ~ + -pl(p- + o') + P A V. T. K
l\)\Cot.(qlx).xP-^ dj: =4(/J' '^— V. T. 278. N". 12.
+ Sm.f^).-^: tliJ^. (^y"""j V. T. 279 N'. IS.
^ /P'\ .£ (—1)" Ip\*'-~-\
— Cos. r— 1.^7- ^-t4 -\-\ 1 V. T. 2751. N'. H».
7 ^ ■' 22' oi2n(4n+l) 4)i— 1 J 12«-i/i NM2, 13.
7 ^ ■' 2^ 2 p l2n(4« + ]) 4n-l i la™-' > N'. 12, 13.
) I Sin."
16) lShi."{la;)..vi-Ux =
(_l)a_e
liT
,'a + 6« \ /a — bi \ 2a
la/lgiT V. T, 280. N\ 21.
1?)
jCoS.Ljl-l-Yxl'-Ulx = - J'(— 1)«;
P
— V. T. 388. N". 13.
(n + l)"-' \ p
18 lsin.{Si)i.X.Lv).{U-)P-KxCos.:>~-\dx = {—l]PSin.p)..r{p) V. T. 390. N°. 1.
I'J) /6W.(S(H.A.Z:c).(Z.r)/'-i.A-Cos.X-i(/^^(_lip-l(Josp;i.r(p) V. T. 390. N'. 2.
ZO)jlSin.iql-].xP-^dx = — Z 1^- V. T. 439. N^ 6.
J y xj 2p 2 2 1 71 p2 +n^7'
£])//Cos.((/Zx}. .7:P-i dx = — — Z2+-J' ■ " ^ V. T. 489. N'. 7.
J 2p 2 I n p^ -\- n* q^
■22)liTang.lql-].xP-^dx =— »!• — ^ ~
■lyq'
V. T. 439. N°. 8.
Page 520.
K. \\<i. rat. Iruct. a dcii. hinome.
"O
Log. TABLE AOi. Lim.O.l I.
^o
(avc. Dir. dc Los:.
/■„ . dx Tie/'" 1
1 + a; e2/'" — 1 2 />
tZx 1 e2/'"+l ^
1 - A' 2 "^ e2/'" - 1- 2p
2) fsin. (» /a') — - = — i TT ^''"" "t ' + - V. T. 2S1. N'. 'J.
7 ^'^ 1-A' 2 e^-l''" -I 2
C dx
'i)\Cos.[pli) = » V. T. 281. N\ 3.
A-) I Sin. [p I x) = 71+ + 4-^ -, . ,^, \. T. 2^
( x9—^dx 1 cc Sin.-",j.Sin.2n.f^ ^- V — 1 V.T.2!
5) I Sin. {p I .v) =q> — — Sitt.cf — ^ Ban -I, oil Co<. 4 = ; v^ li
J " ' l — x 2p 1 2np2'i p ^ ■ »i
6)/Sm. (»/j,') dar = -1*7-1 1 : V. T. 391. N'. 5.
■jl. N\ II.
!»2
/• dx 1 f'/*"
7) /Coa. (p Zx) = - TT V. T. 2S1. N'. 4.
1 + .1- 2 c/''f + 1
f _ x3 — x-1 . 1
S) / Sin. (p I x) dx = n Sin. - no - ~
e»*^>r_g-i/»r V. T. 282
-j- e— P" + 2 Cos. (/ TT
,P^<i, </-<!;
N". r,.
r , d:'/ + a!-'/ , 1 etpf + e-tP" ,^, ,^, V.T.2!-2.
'J ^ ' \j^ x"^ 2 eP'f + c-V'" + 2 C0S.7 n ' -^ • *•
f (ia; ] 1— ePf
\\))\Sin.(plx) -=-71— - V. T. 281. N'. 8.
\\)lsin.(plx)-^^—dx = Itt^-*^ + „- V. T. 2S1. N. -J.
7 ^'^ ''1— .c» 4 l_e/>f ' 2p
7 ^'^ ^ i_x» 2 cP" + «-P" + 2 to5. 7 71
Page 521.
K. Alif. rat. IVact. u don. biiioiuc.
Log. TABLE 404 suilo. Lim. ell,
('.ire. Dir. do Loj;.
dx » v
= — iS" V. T. 282. N". It.
Ui)jsin.{pLt)j-
J (1— .r
)arV+i , (2n — r/)^ -|-;)'^
/•^ , da; 7r(epf— 1)2
17) /Sm.M/''-'') = — V. T. 281. N'. 12.
j ^' ' I +.r- 8 e2;"^+ 1
ISV/Cos.^'pfiT) = - ^^— - V. T. 281. N'. 1-3.
/ „ , dx 1 XT eP"
l'J)/CM.(»ia;).Z(l + .r)— = V. T. 401 X\ 1.
f d.v 1 n e'>l^+ I
i(})lCos.'plx).l(l- x) - = — — — V. T. 404. N-'. 2.
Hl)ICos.(plx).l(l-x-'-) ^ -- -f- ^ V. T. 4U4. N . J.
F. Alg. fract. a aulro don,
Los. TABLE 405. Lim.Oot I
■'D
Circ. Dir. do Lo'f.
f . 1 — X dx — 27r
I) Sin-lplx) = V. T. 283. N^ 2.
7 ^^ ' 1 + a: a; eP" — e-P"
2)lsin.iplx)^^'^=^-n'%±' V. T. 2S2. V. 9.
8)Jco..(pZ^)^~yrf.. = ^-'e-P--^^^f^ V. T. 391. N=. i,
5) Cos. (pi X) -^^—-dx = 71^ r V. T. S'.U. N = . 3.
y ' 1 — ** (T
7 ) I " — ' dx = - 71 (7o««c. X
V. T. 2S1, N". I-
F. Alg. fract. a autre don.
Log. TABLE 405 suite. Lim.Dril.
Circ. Dir. dc Loi;'.
l+2x^PCos.(2qlx)-{-x*P 4. pS _|. ,/>
0)1 Cos. (7/j) 7 , ^ „„ ^ ^^ — r: rP-^ dx = 7 — 7--, V. T. 284. N'. 7.
1 + .«2/' n p
— j'P-l dx = - — -
f Ix dx n ^ ,eP—e P , Euler, N. A. Pclr. I7t>j.
10) I Cos. (q I x) - r -;r-^ = - Cosec.X ,^<^, 3. (ofi f.uit.)— Pc<iss6n.
J XP-\-ZC0S.l.-\-X-P X 2p qn _qTt' ^ P. 18. 295. .V». 26
eP — e P
I J j / Cos. (p I j) rT~;~>, — T"; — r = — 'i ^'o'- ^ v. t. 284. n \ 4.
7 ' ' I -\-2xCos.).-\-x* X eP^ — e-P^
I 2) [sin. (p I :, ) -— ^; ^-^ = - . «:M:ir'!' V. T. 2S4. N ■. 5.
1 4- 2 .c Cos. A -|- ar* a- ci"' — e-P"
l:3) r ., CM^M ^ _ 2 _a_rr_ ^"'- [p^' j Eu,,,. N. X. Petr. III. 3.
eP — e P
.17'— A'' -P t/iC e2v7r_e-2vJr
1 — X a; ~ gSjff — 2 Coi. 2p7r -}-c-24i
da; jr
(l-\-x)i^x eP'" -\- e-P"
I I) /5i/i. (y /.(•) " "" --^'- ^ = _ TT " L r_^ ^ ,p<\\ V. T, 282. .\\ \2.
o)jcos.{pix) ^~~; — 2. = ~::^"~i;:^ ^' '^- ^si- n\ e
F.Alg.rat.
Loj.-. ondeii. /a;. TABLE 100. Liin.n.i I
Circ. Dir. dc Lofjf.
l)jSiii.{plx)^dx = Arctaug.l '' - | Eulcr, N. 0. Prtr. io. .v.t.
a+ 1
7 V ■'■/ '-^^ ?' " l2« + l)l".i \i/'/
•■])jSin.{lx) '^'"xdx^^- - n Euler. N. C. Pdr. 20. 59.
ixP-^Sin.(rlx) — x'l-K'iin.!sl.i) , . Iqr—pA
5)/'Co5.(5/x).xP-'',^ = X V. T a92. N'. 4.
Page 523.
L
F. Al^^ rat.
I.o^r. en diin. Ix. TABLK 40G suilc. Lim. ell
(iirc. Dir. do Loj^,". _^__
far^Cos.irl.)-:>.-^Cos.isU) ^^^ ^ l_^p^ + r^ ^. ^ 3^^ ^,,^ ^^
J Ix 2 (7^ -f *^
f fLr ] a-
8) (sin.(qlx).x''-i — — = — X V. T. 391. N'. 1.
<.i)jCos.(qlx).x«-i '-^ = X V. T. 39K N'. 3.
10) /,V»,.2 (nlxY.xP-i = -q.Wdang.- /)/' ' ' V. T. 301. N". 4.
I (Ix)^ 2 ^> 4 ?)-
11) j Sill, (q I x).xf'-i —J- = (— l)''(i^ + 72)iT( — a). 5in. ja .Irotofrj - V. T.391. N . 1 1.
12) I Cos. {<,Lv). ..*-> ^^^ = (- !)«-• (//- + q^- /.« r ( - a). Cos. |« .4rc-/a»i;. ?j J^l's^^*'
/"aP - 1 Stn. (r ? x) — aV-i 5m. (s Z a?) ,
lo) I ; ax =
'J (Lt)°+J
= (—l)«+i ^^^-^[(7^ +s*)i«Si'n. (a^rcfa»j. -j — f;>^ +ri)^' Sin. [a .trc/an^^
fxP-'^ Cos. (rlx) — a;?—' Cos. {six) ,
14) I ^—77 r, ^^ — - (l^ =
= (_l)T+i ~ [(v'+s-)'" Cos.f a.4rdanc;.- ] — {p' -^ r"^)^" CosiaArctang-]^ N'.^'o?^"
CSinAlplx) d X ,
15)1 \-^^^ — - ■ .^ = Arc(ang.{eP^) V. T. 396. N^ 1.
j t X X ~j~ *
fCosJZplx) dx I ,, , \
U5) I ^-^ — -^ = - l(eV'' + e~P^) V. T. 396. N'. 2.
7 /a; 1— a= 2 ^ ^
17) / —^ — - dx = I V. T. 39fi. N'. 3.
'J xLv l+x' l + e-7-
15) / ^ ^ ^ '-^-^ — Jx= l(e!''' — e-r-) V. T. 39(3. N"'. 4.
J xlx 1 — X-
Pa-'e 524.
F.Algrl)!-. rat.
Log. en den. l^ Ix.
Circ. Dir. de Log,
TABLE 407.
Lim.Ocl I
r /2»n dx
l)jSm. -^ , = — e-'^PSin.{2p).l^7T V. T. 2S0. X". 17.
a;
^'/-f,^)
2pM dj;
]
= e-'l'Cos.(2,p).Wn V. T. 2Sii. .V". 18.
l/i-
8)/5.n.(,Z.).^-. ^ = - 1/ {i^^^^^^^^^^^^ V. T. 39S. .V. 5.
X
5) / 5iV,. /a/ / ^ . .rV-1 - - = - 2—- \ „^ _^,,, - V. T. 2S0. N'. 10.
7 V ''■/ j/ii ? (n + 2)"+"/' {(,)
X
6)lCos.[pl^ l-lx'i-^ r = -e ••'/»
J \ --I ^il 1
X
[I \\ dx
1)1 Col. \pU'l~\ r = 2i/7r.
/» l/TT V. T. 280. N^ 4.
r^e-nV V. T. 2J0. X'. 22.
1
F. Alg. nil. fniol.
Log. (Ml don. r/- + (/ .7;)-. TAIJLL 4()S, Lini. U el 1
Circ. Dir. dc Log.
e-v~ V. T. a'.>C. N^ 'i.
f Sin. (2, pi x) dx c/.ir-i.c-/'ic 1
f Sin. (p I x) dx 1 cr- — e-^'',
'jn' + (/.i-)- 1— .r> -1.' 4t ' ^ '
f Sin. (plx) l+.v'' , 1 d'^ — e-V^
J n^ -\- {licy 1 — .r- 2 2 JT
f Sin.{pl.r) ri + x-'l 1
77Il+(/.l•)* 1—x^ 2 "^ » T^ / / '
-e-l>^ el^' + e-P" , I Sin.qn \ .
Cos.qn.in+'le-f^Cos.nTt+e-^P')— Sin.qn.Antg.l ' ,V <1;V. T S
X . 12.
epT — e-r
Page 525.
WIS- EN NATUURK. VKRIl. nrn KDM.Nhl. iKAlil-MIK. hi Kl. 1\.
F. AljT. rot. frarf.
Log. (•n(lrn.(7-+ (/x)-. TABLI-: /|08 suite. ^ Lim.OctI,
Circ. Dir. de Log.
C Sin. (p Ix) xl — x—1 , , 1 , r,. /I
5)1 -■ Ixdx — -n[r>Sin qn—q Cos.qn]e-l'^ —
J 7t^ -\- {ixy 1 — x^ 2 '
Siu.qn.l{\Jr1c-V^C0B.q^^-c-^'V-,^ -^^ Cos.qn.AvcUj.l —-^' - ,/>'^<l ; ^^ \- ^^'t--
4, » \el'^ -\-Cos.qn J M. IS.
fSin.(plx) Xl A- X—'i n ne-P'^Cos.qr or> e—T^Cos.nnn V. T 39k
Jr'-{-[lx)^ 1 — a;^ 2r- 27'.>t«.r i jj^ ti- — r' = ^= ^^ •'•^•
f Cos.ipU) Ix- 1 1
7) / — • dx = pire-y
-/-TT X Ki ^ e-P") V. T. 390. N^ 2(!.
4
fCos.(plx)xl—x-9 ^ 1 ^ ^. euT+g-pT
S) / — ^^ — dx=-e-P'^^qCos.qn--pSin.qni Sin.nn.i \-{-ie-p'"Cos.qTc-'re- ^P'") ■\-
j 7i''+{lx)^ 1 — x'^ 2 4 71 '
+ Cos. 5 TT. ylrdawi/. ^^ ,'/■ <1; V. T. 396. N°. 32.
9) / ~—^ f ' — Ixdx = e-P'' (p Cos. qn -\- qSin.qn
ePf+e— P^f , ^ , epT—e-pT / Sin.qjt \ „ v t -^uc
-— ^— Cos.,7r.Z(l+2.-PTCo,.9.+ .-2p.} ^Sin.q..Arctg.[^^^^-^j ,p^<l ; ^1 l^^;*-*"-
-,^,f(^os.{plx).'c'/~x-l Tte-P^Sin.qr « e-"Pf SiH.n^Tr V. T. SOii,
^«V»^^T(^^'r=:^^"=~ 2r.S/„.r +^f ^-D" r^_„^.r .0<V<1' N'.34.
7|7r» + (/^)M+a; .^■ ^ tt eP^-\-l n ^^ ^ N^ 10.
f Sin. (2 pi x) l+xdx epT_g— pT gpT — 1 gpT_Le-pT V T 396
J .J 71 - -f- ^^ a;) 1 — X X n eP^-\-\ n l^ . n.
f Sin.{plx) l-\-xdx eP^ — g— P^ eP^ — 1
13)/ ' '^^ = I V. T. 39G. N°. 14.
J n' -\-(l.vy l~x X 2 71 eP-^ + 1
^^fSin.fplx) 1 — xdx eP" — e-P^ ., ,, „ „ „
14)1- - '' = iil-e-2pT)_Be-P'' V. T. 396. N°. 8.
771^ +(i.c)^ 1 +x X 2 TV ^ ' ^
,^f('os.(2plx) I — xlx 1 ep^r-Lg— PT ep3- — 1 V.T.396-
7.[7r»+(/!.r)M+a;:r 2 2 eP"-|-l ^ ^^ ' N'. 24.
/■Cos.(2p?j:) l+a;?A- 1 epi- J. g-p^ epf — i - , „ V.'I
^")'/t , , ;, V V ^ '^•p=2 7te-P' + I —[eP''—e-P''}Arctg.{e-P''j ^,
Pii^e 526.
T.396.
25.
F. Alg. lal. Tract.
Log. eii d.'ii. q' + (/ a-)-. TAHLE 'i08 suite. Lim.O .1 1
Circ. Dir. dv Log.
cpv _i_ e-p5»- fpt — 1
Ix = 1 + / V. T. 3'JU. N . 28.
2 e/'"' + 1
f Cos. (pi a;) 1 4- X Ix
11)1 -^ — - — ^ di
fCos.(plx) 1+a'Mj; 1 i eP'4-e-i"'
^^) I , r, ., T-^ — -—dx = - -j-- » 7r e-P"- + — 1(1 — e-i'"') Y. T. a9G. x\\ 27.
f Sin.(lx) Ix dx 1 1
19) / 7— == Arccot. a V. T. 306. X". 3G.
' j x<^ + ^Cos.{lx)-\-x-<'n'^ -~{lxY X 2a t
f Sin.Ux) Ix dx I la
20); — —^ = -Arccot. a V. T. 390. N°. 37.
' j x'^ — 2 Cos. {Lr)-\- X-" n'^ ~ (I. r)- x 2 2 1 + a'
[ Cos.{plx) l+'i"' dx 1 1 — p IT -\- p n e—P^
'jn-i +('.'•)' 1— .2;' xi.v ~ ~ ^n^'- l-e-P"^ ~
— i ( 1 - e-V) V. T. 396. .\ . 33
27r*
F.AIg. iiiMl. IVacl.
Log. oil (Icii. 7- + (/ xf. TABLL 'lOO. Lim. U ot I .
Circ. Dir. do Log.
f Sin. {'2 pi x) Ix dx rt
J i^' +7^^)^ 1+ar u7^ 2 1/ 2
g-;.W_ / i ! A.
4 1/ 2 eP" 4- e-P'^ — 1/2
+ Arctanq.i— 1 \. T. 3'JO. X'. 5.
2v/2 "' [eP^ — e-l'^l
!. T. 306. X». 7.
[Sin.(plx) Ix dx ] f/>T_e-pT
f Sin. (2 » i x) 1 dx e-p-^ . fP^f - e-P" , cP" — |/ 2 + e-P"
y -f Ti' -\-(J.xY \—xV x ~ 7{ I ' 2 ^ 2 T I -^ 2 f/" + 1^2 + c-r"
!!-/"f / 1/ 2 \
Arclang. V. T. 3U0. N'. (J.
el'" -\- c-f"
7r i,^ 2
Sin.(pl.r) 1 (/x el'^-^-e-l'" 1
/lrc<aH</. ^«-/ ") +-C-P'' V. T. 3'.>6. X\ 9.
fSin.(pl.r) 1 dx _ el'" + e
'jTt'* -i-{lx)^ 1—a-V^x 2 71
fSin.(plx) ri + x-'l dx 1 , ^, , tP''-«-p» el'"—2Sin.gn + e P»
'jn^ + [lx)-^ \—x I/* 2 ^ ^ |.T el'^-\-2Stn.q:x-ye r"
_ 3^ Cos.qn.Arctann.i ^ l.p'<-; V. T. 3UG. .\'. 15.
Page 527. "7*
K. Alg. irrat. fract.
Lojr. cii den. q- + {Ixy. TABLE 409 suite. Lim. cl I
Ciic. Dir. lie Log.
fSin.(pla;)x9 — x— ? Lc 1 eP^ — e-P^ l-{-2e-P^Sin.qn
']n--\-(,Uef \—x Wx 2 ^ 4 ;r ' 1 — 2 g-P" Sin. 7 rr
ePir I g— pTT / 2 Cos. an \ 1
' Sin.pn.ArctangA ^ — ,p^ <-; V. T. 39G. S\ 10.
2n ' ^ \cP^ — e-p^ ' ^4
f Cos. {-2 pi x) 1 dx 1 eP'' + e-p" 1 + e-P^ l^ 2 + e.-^-f-"
j \n^ -\-[lx)^ \-\-x ly X 2 2 711^2 1 — e-P^ 1/ 2 + e-2p"-
+ — ArctanqA V. T. 396. N°. 19.
■711^9. \eP'^ — e-P'f/
9)
-2;"^) V. T. 39G. .\". 20.
V.T.oyo.
/Cos. (pis) L dx 1 ePf + e-P"'
/"Cos. (n^x)l-(-i/a; /.r 1 c-P^'+g-P'^ 1 — fi-pt . , VIS
/Cos. (plx) Ix dx eP^ — e-P" 1 1
- — -' = — Arcta7iq. (e-P'^) 4- n e-P" V.T. 396. N'. 22.
n^ 4-(;,r)^- \—x i^x 2 ^ ^ ^^2 4
, ^ /"Cos. (pZt)1~i/.J! Ix , 1 epJT I g-pjr 1 I g-pir V T 39B
111 , ^ „ '^ dx=-neP^-{ ~ 1-^ Jr\a"'^-e-P^).Wclanq.{cP^) Vro,
'jn-' + {lxy-\-\-\'x\^x 2^2 I_e-P7r^^ ^ ^ '^^ '' N . 2-J.
, fCos.\plx)xi — x-9 dx „ eP'f + e— P"^
1 2) / -77-77 = — e-P'^ Sin. q nA — Cos. q n. I
(7o«. (p Ix) xi — x-9 dx eP'' + e— P" - eP" + 2 An. qn -\- e—P^
— — -77-77 — ; = — e~P'^ Sin. q nA Cos. qn.l 77^ •
' + (Lr)^ \—x \^x 271 * ePT — 2Sin.qn-\-e-P^
epw_g-p;r / ZCos.qn \ 1
-Sin.qn.ATdanqA ,?''<-; V. T. 39r, N°. 30.
fCos.{plx)xl+x-9 Ix 1 ^ eP'^+e-P'f^
IS) / , , : —^ d£ = —-ne-P'"Cos.q7i+ — Sin. qn.l
epf — 2Sin.qn^ e—P^
eP^ + 2 Sin. qn + e-P^
eP^ — e-pT / 2 Cos. qn \ 1
— — Cos. q n. Arctang.i ^ — ] ,P^ <—, V. T. 396. N^
F. Alg. rat. enl.
Log.de TABLE 410. Lim. Oet-.
Circ. Dir. "^
r, „ 1 /7r\Pr oo 4 00 1 -, -
\)}lSin.T. xP-^ dx = — — -i 1/2 — 2 + ^ 2 1 V. T, 23S. N\ 19.
J 2p \4/ I ip-f2m 1 (4n)2'«J
2) 1 1 Tang, x
X 1
dx = _ ~-7r' V. T. 305. N'. 5.
Sin. 2 a; 64
Page 528.
F. X\rr, rat. Pill.
Lo^mIc table /i 10 suite. Lini.Oel^.
Circ. Dir. *
3) /(rranjr.a)' ^t^ d j- = — ^"^-^ ;i= V. T. 305. N°. 8.
Sin. 2 a; 512
a; ^ 61
"-^ a X = —
Sin.2x 3072
X la;i
Sin. 2 a; '* ~ 2^(— 1)« '^ (2 n + 1)0+2
r .^ a; 61
ijUlTang.xy ^-7-;^ d x = — .,„,;7i' V. T. 305. X". 9.
/', X 1"/' » (—1)"
5) n(7a;i<;. .r)" ^-^;— ti.r = 777 -2" ,~ -, -^^^7^^ V. T. 303. N^ 10.
r a; 12a- 1,1
y^ ■" ^ Sin.2.v 22"+3 ^"
7}ISin.{-2pnau,j.x)^ dx = ^^ — V. T. 329. N\ 3.
J Sin.^j; Hip e-P'^ -\- I
f X dx 1 <D 1
} \y LCot.xSin.Zx 2 l/(2n + l)'
16.
:>)/ .. "I .. S\-- = 30 V, T. 328. N'. 1.
X dx
U^{lCol.x)~- Sin.Zx
, , xl Tang, x dx n — 3
1")/ f . ,'7^ "'T~.~^. = ^- T. 324. N«. 1.
'/,
{^- +[,lTang.xy}-' Sin.%x \Gn
f X I Tanq. x dx 1
11 / = (1—2) V. T. 324. N'. 2.
7 {,T ' + (Z Tang.^ x)^)' Sin. 2x 6-^ '
I ITang.x ^_ . „ _ 1 L, / 2y + 3^ \ „, 1 ^9 -^A _"] V. T. 324.
3.
F. Alg. rat. ent.
Lo-. (Ic TAHLI-: III. Mm. 0.1-.
Circ. Dir.
f 1 /;r\P ( 00 2 » 1 )
l)\lSin.x..vP-^dx = — - - 1-^———^, ^, V. r. 23S. .N^ IS.
2)jlCos.x.xT(vuj..rdx = cc V. T. 332. N\ 7.
Page 529.
. 19.
F. Alg. rat. cnt.
Log. dc
Circ. Dir.
TADLE 411 suite.
77
Lim. et ■
^) I {I Tang, x)" ~r^—- dx = co V. T. 333. N°. U, 15.
J Sin. 2 X
f ,^ Sin."^ x.lCosec.x4-(a+^)Cos.-^x , 3"/2
C,}j{lCoscc.x)''-i „ xdx == -T-1/3T V. T, 349. N°. 2.
Sin.
2«
(lSec.3)<'~i JIA—L-Jl ^dx = X V. T. 349. N\ 7.
^ ^ Cos.x
\ V. T.241.
r f A^q'^xSin.^x] dx If q*
/" , „ , a; Sin. 2 a;
10) / fo^ (1 — p^ S»i/- a-) — 2) . ^. . .. '1'^ =
I r "■ "I V T S4.S
np f(l + ;>Si«.^Tj 2 ) xSin .%x ^^^ ^
'] [ 1 —p- Sin.- X '^ 1 +pSin.i xj 1/ (1 — p^ .«n.^ 3-) ' "
f(pl{l—pSin.^x) % \ . j67« . 2j _
'7 [ l_pJSt„.ia; ~ 1— pSm.^4 l./ (1 — p^ 5iH.» a;) ^ "^ "~
T. 348. N". 10.
2p I \2(1— p)/ ^"^2 ^
.M!4- ^, (ll-;J V.T.34S. NMl.
271
Sin.''- X.Sin.^ x)
2'Sm.U
X Sin. 2 X
d X =
' '^^ / { ri^s Sm.* a; ~ 1 — p^ Sin.^ P.. Si«.^ x\ 1/ (I - p^ -StV..' j-)
= T f -1 F' (ri V (/., X)- 2 E'(p){F(p, ;.)}>+" ;(l_p^5;«.^?.J N-.-ZiV.^'^'
[\l(l — p-^Sin." x) 4>Sin.'^x 1 xSin.2x
,.1 V. T. 348.
-P")} N'. 16.
'^'/I^
■p"^ Sin.^x l — p' Sin. ^r ( l/' ( 1 --p - Sin. ^ x)
p^-\\z{l-p')
J'age 5:30.
F(p) + -F{./(l-,^)} + ^^^^_^,^^(l
F.AIg. rat. cut.
Lof?. do TABLE 111 suile. Lim.Oet-.
Ciir. Dir.
— 91^(1 — p^ Sin.'^ x) 271/(1 — p'^ Sin.'^ x)] xSin.2x
d X ■=^
( f J- — gl^ ( 1— p^^Vw." j) 271/ (1 — p' 5tH.^)| I
^""'j \ 1 + ^ i^' (1 _^J Sin.^ j) "" 1 _ 7I 4- p^ 7* .Vin.' 4 1/(1
p»Si«.'a-)»
= ^> (l/,l-p^M.c..-n.,} +^^---^^/;_^^^j V. T. 3.8. N^ ...
lH)|{l+p^S.^^.(?5/.._l))— ^£-^f^^3ci. = iF(p)Zp+J:TF|^ Y'-^*'
,7J2S;«.^Co._«c.^-ro.^^ ^ ^^, _ ,^/^_^ V. T. 349. N°. 4.
y (lCosec.x)t Sin.x
'] [q-^-{.{lTa,ig.iy)^ Sin.-2x 87I \ 4rr / \ 4 tt /J
F. Alg. rat. fract. 1 ^
Lot,^ (le Oi'ii. .t^ + (/ Cos. xf. TABLE 4 1 '2. Lini. ol -.
Circ. Dir. __) '_
f xTw g.x n Poisson, Bull, dc la S. Phil. Sept. 1S22. — Id., P. 19. 10*. X°.
'] .v-'-irilCos.xi^ 2T2 76. - Caucby, P. 19. 511. - Id., Exerc. 1826. p. 205.
/■ LCos.x 1 /i l.\ Poisson, P. 19. 401. N'. 70. — Cauchv, P. I'J. oil.—
^^^"^CoTTo^ '^'^ "■= I'^X l-lj I'l- Exerc. 1826. p. 205.
f g oa. {b Tan g , x). I Cos. x+xSin. {b Tang, x) ^ ^ _ I „ (^~^ _ l] V T 446. N-. 17.
'7 ' x' + (lCos.xy ■' 2^/2 / ■ ■
fSin. (b Tang , x). I Cos. x-x Coi. {b Tang, x) ^j^ ^ _"'''' v. T. 410. N-. IS.
7 x' + {lCos.xy *'■ 2'^
f ICos. X dx
./ x* + (I Cos. ry 1 + Cos. 2 X "" "^
/ / Cos. 2 ;r dx ]_ /
^^]x->+{lCos.xy l — Cos.2x ~~ 1" \*Tu!"4(.4
f Sin. 2x J-
S) / dx =
J a;- + [ICos.xy 1 — Cos. 2 x
dx
-ZpCoB.^T+p' ""ip' — 1 1/2— /(I +p) 1— p) '' =
lU. 404.
N». 76.
„ r iCos.a; rfx 1 rr f 1 \+r\ .,,/,.
'jx'+{lCos.xyi—i
FoM 53b
F. Alg.rat.fract.)
Lo-. do n)in.x-+{lCos.xy. TABLE 112 suite. Lim.Oet-.
Circ. Dii'. )
f Cos.kx xSin.kx+Cos.kx.lCos.x n \ [Poisson, P.
11)/---— r:: rr : -~ — : : — r dx = —r_ I > 111.404.
+ (iCos.a;)M — 2pCo«.2.r + p^ 2(1—/))* f ( N'. 76.
I 'P" '^ ^ • ^' "" *'' \
/ Cos}' X. Sin. 2 ar Sin. kx.l Cos. x — x Cos. kx \ 1
12)1 ^^ =, Q 1 f
} x-" -{-{ICos.jy 1 — 2pCo5.2^ + jo» / /
f(lCos.x)^ 4- ZxTanq.x.lCos.x — x^ n
13 /- 7^,- ,7, - , ICos.xdx = V. T 412. N°. 1.
j [x^ -\-[lCos.x)'}- 2/2
CllCos.xY —'2,xCoLx.lCos.x—x'' _ 1— /2
14)/ -,— T r; xTanq.xdx = n - — V. T. 412. N\ 2.
F. Alg. rat. ent.
Log.de TABLE Wo. Lim.Oet
Circ. Dir.
/■ 1 1
1) //Sw. .T. a;da- = -n'^l- Grunert, Gr. 4. 113.
7 2 2
2) = — -n'^ {l^ — luni) Arndl, Gr. 0. 187.
•i)\lSin.x.{7i — %x)dx = Granert, Gr. 4. 113,
i)llCos.^x.xdx = 71*/- V. T. 413. N''. 3.
-j)jlTang.'^x.xdx= V. T. 413. N\ 1. 4.
/• 11
/ l[{Sin.x)). xdx = - n^ I- ± w.
f 1 1 2a+l \
'j ^^ " 2 2 1
8) 1/(1 — 2pros.2jr+p2).Cos. ((2a— l).)}.j;±24cf.^ = . .
, /./, „ /.. „ . ^. c>- r/r. I ^ -I H-o; 111 n \ BicreHs de Ilaan, Gr. 13. I'JS.
9) //(I — 2p(7os. 2x+p*). iin. {(2 a— l)a;).a;^2i.+ i c/a; = '
1 1 \
fi) jl{{Sin.x)). xdx = -ti* /- ± «7r't
Liiidmann, Gr. 16. 04
Page 532.
F. Alg. rat. piil.
Log. do TABLI-: M7, suite. Lim. Oci
(lire. l)ir.
10) jl{\ —-ZpCos.-Zj; + p'^).Sin.iax.Sin.x.x±^'' dx =0 \
il)jl{l—2pCos.Zx+p''}.Sin.'iaj:Cos.jr.,e^^>'+^dx =--
l2)ll{l—2pCos.-Zx + p^).Cos.2iix.Si».x.x±^''+^dx = I,P<1,7'<1;
V6)ll{l---2pCos.2x-\-p'').Cos.Zax.Cos.x.x^^'' dj; = I «r. 13. 1V3.
f (_ 1)6+1 TTU" 26+w_a/,a..l
F. .\lt,'. r.il. Ihicl. ;i (IfMi. X".
Lo<r TABLF ill Lim. ol oc.
o
(^irc. Dir.
\ Anidt, Cr. 11. 711.
] ) I /(a,i-). oj'n. rtj: — = — - tt A I
9.)ll{l>,).Sin.ax'^ = — ^ n U + lj\\
■^) [{{l^x'^j.Sui.ax -^ = —:ili.{e-") Schiomllcli, Ik-itr. III. § S.
^)(ll^^^"*"'^\^— = n^ SchlotLilcli. fir. 4. 31(i. f.i\ la vaKur p>I n' fsulivemnit.
7 \ 1 - S/«. ./■/ X ^
r^Jlll±J^9:A''<^:^ ^ i^, Schlomilcli, lUilr III. j 5. - Id., dr. 4. 316.
'I \l—Tanff.xj X 2
6^/■iLtJ<'i'^-:Zf ''^ _ i„, ScMomilch. Boitr. II. § 5.
J I — Tang.px x 4
7)li'--^~^-^4'"-^ + ^\''^ = /(a')./(H-/.)./>'<i;)
7 l + ZpCoK.ax + p* X ^ [
8) ='(''V'-'(^)-'''->'v
WIS- e:s MTLUiiK. vtnu. deh i>o.m>ki.. akackuie, dkel W.
Hii.l'-. <>. -;< i"''
K. Alg. ral. fracl. a den. a;".
Log. TAULt: 411 suite. l/mi.Oclcc.
Circ. Dir.
I +2pCos.a.r-l-v- dx lb'\ ^
/• 1 +2
'j \+-2
lpCos.b.v-\-ir- X ' \a'j = / schliimilcli, Or. 5. 152. - Ua..be.
,, I , , , , > ( Cr. 23. 105.
/. a x Cot. a X — lSin.au; n, 2 e-"'! , ^,, ,
Ifg^ -L..,2) ,1^ == -I ^ V. T. 415. N'. 4.
12 /if7»4-.TM ^---T^'^ <^.i' = -'' -7 V. T. 415. N'. 5.
j x^ q 2e2<"V
/■. a X ro<. a X — I Sin. ax , tt' ^,, ,„
i:5j //(^2 _:l-2) -;^ d.v = pn— — V. T. 415. N^ 13.
J x* 'Zq
f. „ . ax Tang, ax 4- 1 Cos. a a; , ,. .. , .,, ,.
f Zax — Sin. 2 ax. I Tana, ax n e-"? +1
15)/; (./- +x') ^ dx = - / - - ^- Y. T. 415. N'. 1 1 .
V ^' ' x'^Sin.^ax q e'^'-i—l
I 'lax — Sin.2a x.lTanq.ax 't^ , »x , ,
^G) l{q^--x') —-^ ^- dx = - V. T. 415. N». 17.
J .v^ Sin. 2 ax 2q
17) I Ix.Sin.qx 'j^ = -\siii.-pTT.Z'[j))--Sin.-pn.lq-\--nCos.-pTt}T{p)l
f dx I ( I 1 1 o i ] , I
lS)jlx.Cos.qx = {Cos.-f>TT.Z'{p)—Cos.~pTT.lq — -nSin.-pn.r{p)}
J x^—P qP [ 2 2 2 2)1
l'J)lliq +x-').\in+p'Ta>ig.^x) — -^-'^^ ^^—-\--=—\l^p~- '; • *' •
F. Ala. ral. fract, a den. 6" ± x'.
Raabe, Int. 4 It;.
'o
Los. do TARLE 415. Liin.Oeloc.
o
Circ. Dir. luoiiome.
/dx 1 e29_]\
ISm.qx 7-7-— = -'t/ „ ,;p ';
l+x^ 2 2e5?
dx
1 + .1-^ 2 2 e2?
2 e-? 1
29 + ] f
2) ll Cos. ox "1— ^ :^/:^_J_^^, Bidone, Me'ji. Turin. 1812. 231. Art. 3. N'. 39.
Lrr, ^^ 1 e2?_ 1
S)llTanq.qx = —nl ■
J ^^ i+x'- 2 e^9 + 1 .
Taze 534.
F. Alg. rat. fract. a den. 6' ± X'.
Log. (Ic
(]irc. I)ir. mononie.
TARLK 415 suilo.
Liiii. ol oc.
4)
6)
^)
10)
11)
djo n 1 — e-2/"/\
= — / 1
(?* 4- ^* 27 2 I Bidonc, Moin. Turin. 1S!2. ii\. Tableau. Lcgendrc.
Kxerc. 4. 13:5. — Scliloiuilcli, Heilr. II. § 5. — Id,
ISin.px
dx n I +e-2w\ Or. 10. 4H'.
ICos.pr . : — r = -.— T
r + ^-
2 V
,, ^ 1 \2 J.,.- 7T ei + 1
2 / <?' +«* (? «''
■Z j q^- .\..v^ q CI ]
SclilOinilch. Stud. H. IS.
l\Sin.—kx\ - -= — — / i, , « = x; Schlumilch, Beitr. II. 5.
\ 2 /f^+.r^ 27
ti 2 Sin. - qx
2 / 7'^ + ^* '^p
_^Z(1 -.-/•'/)
Bidone, Mem. Turin. 1S12. 231. .\ri. 3. N"
■\ \ 1 \ 39. — Boncompiigiii, Cr. 25. 74.
"(1 4- e— ;"/! 1
q 2 Cos. - a; — r = — / (1 + e-
dx n crP'l — 1 liidone, iMein. Turin 1S12. 23). Tiiblciiu. — Logcndrc,
ITang.px—— = "^ .,„,--, Excrc. 4. 133. — SchU.niilch, Beilr. II. § 5.— Boncom-
\-l) llCol.px r- = -^
n ePt ■\- e—P'i
q^ -\- x^ 2 q ePV — e-P'i
f, ''^" 11
J 7* — x- 4<7 2
Scliloinilch, l?eitr. II. j ■'>. - Boncom|>of;ni, Cr. 35. 74.
f dx i
1 1) ; [ Cos. p X =:;?'»
7* — a;'
dx
1
1
17
/
1.5^/(2 5i«.px) ^^^^^ = -prr— ' nV Bidonc, .Mom. Turin. IMJ. 231. Art. 3. N". 39.
J (7* - X* 2
/' ^ </x 1
Ui) l{2Cos.px) ^-—^ = -/>..
J q — X' *
n ) 1 1. J iiiK/. V t - = — n' /
Page 535.
68*
F. Alg. rat. fract. a df-n. Ir + x'.
Lo-.de TABLK 410. Lim. d -^
Circ. Oil", polvnoinc.
>/
4
dx 71 t c7 — e—l\
— = - ' 1 + » y
7= + j;^ q \ ' e'l + e—l \
1) / /( I -f-/.^- 7-a,/i/.-^ r; ^- - ;; =-!+/>
•2) l{\+p'Cot.^.r)-—-— = - 1 +
Jj; TT ( c9 + e-9\
^ Sctiliimilcli, (.'r. 10. iM.
q^ +X^ q \ el — e-1)
Hi+p' Tangr- r x] ~~ = -I {V ^ pTangkp.iqr)]
y '/■ + •«' '/
5)/"/(l + 2;>C(,s.x4-;.^-) ^-^^ = -/(I +;,«-?), p^ < 1 ;^,
6) = -l{p^e-<i) , ;>'>1; \
q
l)\l{\ — -lpCos.x-\-iJ-') , '^ - = -Z(l— pe-?) ,;;■'< 1; Hoppe, (r. 40. UiO.
r dx n , , ,
S) \ in -{■ i p Cos.r X -\- p"^) = -/(»4-e-V) , p>l; Olim, Aujw. 2m.
9) = -'(i+?>c'")i ' r< 1;
y Legendre, Exerc. 4. 133 — Plana, Mem.
i ^ dx -n i Turin. 1818. 7. 11. 11. -- Boncompacini.
10)l/(l-2/.C«>s.r.r-|-p^)-— --; = - /(I -pg-^O \ Cr. 25. 74
11) = -lip — e—1'-) , n>l; OiiDi, Ausw. SU.
7
I" I -f- 2pCos.r.r + p' cfa; tt 1 -|- p «""■? \
i 1— 2pCo5.r.r + p- 9^+a:' r; I _ p g-r? | Boncompasni, Cr. 25. 74. Klles ne valent
/"I- 2pCo«.r.!;4-p* rfx 71 1— p«-'-9( que pour p^<l.
J I -[-2 pCos.rj; -{-p^ q'^ -{- x"^ q \-\-pe-''9j
F. Alg. rat. fract. a den. 6* ± j;'.
Log. /(rt.r). TABLE 417. Lim. Oot cc.
Circ. Dir.
I) jlx.Sin.qx dx = tt [c1 li.{t^-'J)-\-e-1 li.{e'l)] i
Zjjlx.Cos.qx —— ^ — [elli.{e-'/) — e-']li.{eJ}] \
Scliloiiiilcii, Or. 5. 204.
Page 536.
I Schliirailch, Or. 3. 204.
, Ariidt, Gr. 1 I. Tn.
F. Alg. rat. IVacl. a dC'ii. 6" ± x'.
\.Q».\\ax). TABLE 417 suile. I.ini. (I ri y..
Ciic. Dir.
i xdx i 1 ,1
8) lis. Sin. II .r = - n e-l"i 1 1> tt f fP? li. ' «— P?) + <:—/"/ /j. (I'M ) I
J i>'+a!-' -Z . ' i ^ '^ ^{
i) 1 1 X. Co'<. <j I ' =-. e-P'ilp + —ft:l'ili.(e-P'i)—e'r'}ti.{er9)]\
J />-+a;-- Zp 4/7'- '
5)|/(r.r) ,sW/.r ^^- = ^7te-l"i{ll{pr) — I'Ji.(pQ)} — -^-el"lEi.{-pq)\
H) / ; (r ,r). ro'^jj.r ' ■'' = -''- e -P7 [ 2 / (/, r) — El. (/)?)} + '^ Cl'l Ei. f — 7. 7) \
J P'+J-^ 1-p • '■/' '
7) / n '- . .Sn,. 7 r -., - - , = -n{e -VI hi. [p f,) + c!"i hi. (- p 7)) \
J V I P' + .-■ 4. j
[,IP\ 'l-i' 7C , „ ^ I Scli^dmilcti
^)\l\-].('oKi,x — — 7 = — {e-P?/u.(/,7) — e/'?E.-.(-/.7)} fjj.uj. ,[.21
•^ V'V ^'"+-'' *"? )oii 9) o» 1
Kp\ .rJx If 1 o- I I *°"' ^''^
- .67/1 v-c ;,— — = — g ^ 6'j.(;>7).^os.p7+S/.(;<9)5e«.;)</--7iS.n.p7 V g,,,ivi.,
1 0) n r J . Coy. 7 X ^'-;~ = ^ 1 C/. ;p7). Sin. p q—Hi. (/> q).Cos.p>i-\-^ Cos.pq\, j
\ o{^ 9) ct li'l
sont fiiuf. I'.i'-
F. Alg. rat. IVarl. a dc-n. b" ± x\
Log. TABLh: /1I8. Liiii.o.i -x.
Ciic. [)ii".
J'l.llM.
l)llSin.nx~-- = /L..-/li,/n _2<.-/'7l 2ro...(/>7l 2) + .-V/l ^1-^
'' • ( e-l"i y'^Sln.{ pi jl^i ) I
r ,7 ~ T I I 1 ti.iiM,
2)/zCo«.9.r "\ ^ J' / .,-'{l+2.-;7'--'Co,.Vvl -2) 4-0-='/ 71 •-■)!+ Mr,.,.
^ . I «"''»' 2 67./. (/"/I -, I 7. II.
"'" 2 /.' I 2 '^''"'' 1 1 (1-1-2 c-Ml 2 Co,. (/.-/ ! • 2) + e-^fl' ^\ |
/• ,/.r -r . 1 _ 2a-PV>'» Co^.f/.y | ^ i) + e-^i">^ •'!
I'nge 537.
V. Alg. rat. fracl. a d(''n. b" ± x".
Lo'j;.
Circ. Dir.
TABLE 418 suite.
liiiii. cl Qo.
V)ll,[+P.prosyj.v+p') -=-/(! -fpfl-?) 2: I Cot. .l\\-\.2,,e ^ o Cos.nSin.-Xl-p'ic -'^"- Jl
J l-\-x-" a a I I a ( \ aj )|
pe a i>mAqin>i. — I
— - ^ { "'"• — • Arcsin
a I J a
, a impair;
5}
1/ {{-{-Zpe a CosAqStn. — \-\-p e a)
+
^ / t>in.
a i
2rt+l
2 a
71 ].Arcsi/i
pe \ 2li ^ oi/i. I r^oa/. 7r I
M'T^nr;
Sur Ic'S integrales 4), 5) vojez: Pinna, Mem. Tuiiii. 181?. 7. HI. 1 .')
p ' — ,v -^p' {. 2 J
I V. ■]
e-2/'vJ
(■>) ISinqx -^-- = — -J2p5-.n+2Z
J p' — .r' '^p' (.
'J ' p*—x^ Sp
X 71 {
- == - hpq—n + -ll
^ A-n { ^^ ^ 1
V. T. 415. .N". I. l:J.
r. 415. X . 4. 1:5.
2
2
5, I I.
V. T. U5. N^ 5, 14.
V. T. 415. N'. 0, 15.
f .r- d.v n {
I pi~.«' 4,p { 1
1 ij ) [/ (2 Sin. q .,•) ' •' = ^"-- (2 /. 7 - ;r + 2 / ( 1 - e- 2/'v) )
\\.)\l{9.Sin.qx) '" ' ^ = "^^ (2p9 — 71 — 2^(1- t;-2/'/)} V. T. 415. .X". '.i, 15.
} P' — •^' ^P
\.-l)\l{%Cos.qx) J -^ - = -^ {P9 + Ml + e"~-'"')) ^'- '!'• +15- ^"^ 1". 1'5.
\-i)ll(iCos.qx)'^—^- = ~ {pq — l 1 +e-2/"?)) V. T. 415, \'. U\ V).
' f p* X* ip
f dx 71 ( 1 — e-^Pv)
H)jlTang.qx = ) - tt + 2 / > V. T. U5. X'. 11, 17.
7 ^^ p«_.r« 8p' \ ^ ' ' -""'■'
r.iM 5.'}S.
1 +e-2/"/
F. Alg. rat. fracl. a di'ii, b" ± x\
Log. TAULE 'ilS .suite. Lim.Ootx
Circ. Uir.
\:i)\LTann.nx = -- — :i + :J Z -^ \ V. T. 415. .V\ '.1, 17.
I ti j / / - ) .Sin qx = ~[TtSin.j>q—'i.SUpii). Sin.pi/— lCiJpq).Co8.jiq^ e-PI Ei.{pq] -f eriEi.'—pq ) },•. ' * ' '
/ \.TJ p* — X* Sp^ ?i . i, 9.
C I n H' d jp IT
1 7) / /K \.S;n.qx - = -{7iSin.pq—2Si.{pq).Sin.pq—2Ci(pq).Cospq-e-l'9Ei.{pq)-ePvEi.{—pq,} ^/J/J ^
1 ^) / ll'-\.Cos.qx — ^ = ~{TiCos.pii-2Si.{pq).Cospqi-2Ci.(pq).Sin pq +e-l"jEi.(p>i)-er']Ei.{-pq)] V.T.417
1 '.)) / / (-j.C0s.5j: ~ — ^^ = ~{7tCos.pq—-2Si.{pq).Cos.pq + '2Ci.{pq).Stn.pq-e-P<lEi.(pq)-\-er'9Ei.[—pq)} V. T. 41 7
V. .\lg. rat. fract. a autre d('n.
\.o'' TAHI.K 410. Lini.Uri x
('.ire. Dir.
])llSln.<,x ' ^ , =~SecXl\K{\- — '2e--^f'''''^"'-^Co8(-2pqSin.).) + e-*n''''*]\ —
71 j e- "ipqCos.l Sin.jip q Sin. X) ^
- ^ ^^, (7owc. X. Arcsin. ^ ^ ^^ .^ i^ipuC.s.) Cos.\iJ>'q'Sin. ).) + e-*P9C^'^] ]
:l)jlCos.qT ^ , /.!j-T, r = ;^Sec.?../[\ [[ + ^le-'^P'<Co..yCos.{2pqSin.l] + e-*P<iro'y)\^
J .c*-T--2p'x-Cos.Zf.+p' 4p' *2 *
n ( g—ipqCot.\ Sin. {2pq Sin. I) |
+ ^(osecA.Arcsin. (^ , , j ^ g ^2„Coa Cos. (2 p 7 5in. i) + 7-Wo».l} ,
3)j l'^'J-<i-''^i_^2p^^,(;os:Z):^* ^ Ip^^'-'^'V' 1+2 «-2p9r.,.-/ Cos. (2p3 Sin. i)+*-^wC...ll
JT r -2 e—ipqCot.'i Si n. (£ p 9 5iw. A) )
- — Cosrc. A. .lr«;«. 1^ J I _.,_4p^rc:,7(4p75u..l) +*-«/•'/'''" ■'}]
Siir les inlc-^riilts 1) a H) voycz: riiiii.i. Mrm. Turin. ISl^. 7. II. 9.
r ' J TT 1 «-V' Pliinn, M<?m. Turin.
7 ^ ^ ' ^' ' .r-^q^)i 27' 27MI+r>"' oil fmiilvc.
b)llH + 2pCo.'>.rT+p') .- , f' , - = /' St^a/(l+-2/.^-r'--'r<....(,,r5,W.} + ,.'.--V'>Oj +
~ 29' ll (1 + 2p«-V'«'«.»r<M.(<'/r6iH.;.)-)-;.' f-s«'<^^*)'
Page 539.
V. AlfT. raf. frncL ;\ autre don.
I.ofr. TAHLE 419 siiilo. Liiu.Octcx.
<]irc. Dir.
H) //(l+2p6Vr^-|-»*) ^ :; =. —Sec.U{p^-\-^pe-'i'''^"'-'^Cos.{nrSha)+-e-^'rCo>J]
7T f e— 'P^-'"^-^ Sin. ((/r Sill. X) 1
4- Cosec.X. Arcsin. { — ;^ ; — rr I , p >■ 1 ;
2 r/ 5 I ,/ ^pi 4. 2 p e-rCos.l Cos. {<] r Sin. ).) -\- e-^rCos.^] | ' ^ ^ '
Les I'orraulcs 5) et G) sont trouvccs par Plana, Mem. Turin. 1818. 7. II. 8.
f 1 -(- 'I'aiiff. g .V 1 d.v 7T /e"1 — e—Pl\
h I !■ ,7, . ■ — = - - Arctang.l ■ Schlomilcli, Bcilr. II. i 5.
/I — rang, qxxp- -\-x^ // - " [eP-l + f-W/
frc (1 — Cos. q x) — 2S/n. qx.l.v d.v
S)/ TTTs "= 2 7T(l--e-7) Cnuchy, Lliu. Iinag. Add. 19.
7l+(")'
-?(T-1) ?(T-5l,
J jV — -l Cos. }.-\-x-l>x V Sin. ). -<1JL £!E
e 1' —ef
V. AljT.ral. Tract.
Lo-?. TABLE 420. Liiu. — cc cl oc.
Ciic. Dir.
1
f ^ >■ -j- ^ •"
I .1 - 4- 2 i)x Cos.
-\- i [)x Cos. A. -j- p - p Sin. ).
7* ■ ■ 7) 8 Cos A
+ '. , ' nl\\ f J — 2 e-^PiS'"'>' Cos. 2 /' 7 Cos. ).) + ,.-■ </'?>'"> } 1
p Sin. f. *- ^ ■* -*
, . I e-^i"]''''"'^Sin.{-2pqCos.i.) 1
1 1-' {1 — 2 e-SpsS'"^ ros. {ipqCos. X) + e— */«/«« /j j
\^)jlCos.q.v '— , -dx = [r s-\l2 +
7 ^ x-^ +2p.r (:<;«.;. 4- p^ p5m.A V 2 / ^
+ ^. !'' ' -nllv^ (1 ^ 2e-2M.sv«iCos.(2pa(7o.?.A) + t.-f/'?.^/"."^} 1
, . r e-^P^Sin.\sin.{-lpqCos.).) )
4- STT ylrcsin. I r i— ^ r— I
( V/ { I + 2 e-^PiSin.\ Cos. {2pq Cos. X) -j- e-4/)?S->i->| J
„, /".^ r-l-sj; r— ps^c^.A 1 — Ze-^PlSi»'^Cos.(2pqCo3.X)+e~*P<l^''>-'^
3) 1 1 Tamj.nx — ; dx = rr I -r-;; —^-^ — , —
'_/ '' x^-\-2pxCos.X-{-p'- ZpSin.l \-\--2e-^P9^'"-^Cos.{2pqCosX}-\-e-'*P'iS"'^
. . ( 2 0- 2p96V«.> Sn. (2 p q Cos. X) ,
— sn Arcsm. ) — ;: — -r •- , I
1 1' (1—2 e-4p95m.X fo5_ (4 p ,^ ('0.^ I'j ^ e-8/-?5in.>j j
Ces intdcrrales se trouvent chez Plana, Mem. Turin. 181 S. 7. II. 12.
_— -— _
F. Alg. rat.
Log. TABLE 421. Lim. divcrscs.
Circ. Dir.
isC'^jfc- \ 1 ^ - 2(7.1 °^ ^ • a±12|? + l .) ± pour o pair ou impair;
J 2(0 o 2 J Stogmann, Gr. 7. 108.
2)1 l{Sin.^x).xda; = — a'^n^lZ Clausen, Cr. 7. 309.
8) = a»7TZ2(fautive) Hill, Cr. 7. 102.
,J'",^. ^ a ^f,. •^"-l M±l^« + 1 .] Arndt, Gr. G. 1S7. -
5jj ISin.x.xdx = ^ n' p~"'''^^l~~2~' 2;:j:T"')Li.ulmam.. Gr. 16.94.
6> = _' ^ -7r» hZ—ani — -— — -~^ ^ ;t » i (fautive) \
^' 2 I 2«4-l 2 2a j^ }
7)/ ISin.x.xdx = — -7r=(.la + l);2 + «7i'e(4a+l)
f ^"^ 1 2 a + 1 , . ,
8)/ lSin.a:.vdx = _- ti' (-l.« - 1) /2 + —n^i{ia—\}
(2a-l;7r
D)r^lSin..v.xdx = -i7rM2a)M2 + «7r't(la-3) + ~'y-(4a-l)7i>iiruulive).j
= _2;r^(2a-l)/2+«:r'i(la-3) + ---(-la-l}7i'i j^„j,_
11) / l[l^2pCosa-\-p^).x>'dx=2:£ |l",>y 2a;r)*-''Co..j- ^ -j-^ ^..^aj ./''<». VlSO.
12)j {2-+^l_^,-)^.(Co,.«.-Co,.^J.){l-Co..U.Co,.'x) ,ra,..,=ro..i.
ru 1 + 5»i. x| <-:oj.^ Ac = >
13)/ |2.rCo«.j:-/j_^,.^^ Jg.^,^^,(^^,,^Co».'i)(I-Co».U.Co*.'x) ( Lcgcndre. Excrc.
•l, ISuppl. 49.
Page 511. ,.
WIS- EN S.»TLURK. VF.mi. Dill KOM>kL. AKADEMIE. HEF.I. !>
09
F.Alg.rat.
Log. en num. TABLK \'2± Lim.OcH.
Circ. Inv.
l)jArcsin.x. {'Z l.v + l)i:d.v =^ -n ilZ—-] V. T. 163. N'. 4.
2)Llmin..f.(3i:j;+ l)x^dx = - (-—isj V. T. 163. N'. 6.
5)jArcsin.x.{'i'lx-\- l)a-'da; = —tt (l-2— \ V. T. 103. N". 0.
4:}jArcsin.x.{5lx+l)x'^dx = — (— — ;2j V. T. 163. N'. 7.
/dx ] f 1 1
Arcsin.x.lx — = ji (/2)2 + — ^2| V. T. 104. N'. 1.
J \ l—p^x^j 8 I 1+1/(1— 2^^)^1 + 1/(1— p^))"^^ 'N°. 17.
7 I '^l+q^x^\ 4,11 + 1/(1+./-) 5^ 21'''^ '^'^
/ f p X ] dx 1 1 1 VT
8)jArcsin.x.Wpx-{-l) ^XIj V = s '^^ ~ g ('^'''^'^''^-P^' ~7'''(^ + ''^ '^'' ^ -^ ' N°. 3.
/" . fl+oj; 2 (7 A- ) dx n 1 — o
9)/Arcsm..r.{i — '-^—^—l \ ^- ^ -l—^ + nArcsiii.a V. T. 100. N'. 6.
7 \l—qx l — q^'x'') x^ 2 1+3
/• , ("l+.-rSm.^ ZxSin.X ] dx in 1 \ ,
10)/.-lmm.A-. /— ^^ r— ;:; z} — = nlCot.l l\ + n}. V. T. IGC. N'. 7.
ll)/ylrc«JH..r.{-^ — — + f — = cc V. T. 166. N^ 5.
y l.r 1 — X 1 — x'^' X
;r p./a_ (l_,/(l_o)\ /l_j/(i_p2)i
-I Z^IL^ L_ LJ ^ I LJ L^'J- V. T. 166. N°. 17.
1/5(1-9) ;n/9+{l-l/(l-ry)} {l-l/(l-;- = )J
f. fl + ^.J'^.l + P'^ 2p a; 1
7 1(1— ^jr^)^ 1 — jD.r ^ 1— 5.tM— p^x^J
. ^,,.,+ |l_^/(l_,)Hl-./(l-p^ ,, ^ ,33. ^, ,,.
1/9(1-9) pi/9-{l- 1/(1-9)} (1-1/ (I-P^))
Page 542.
F. Alg. rat.
Lonf. en num. TABLE A'11 suite. Liiu. el 1 .
Ciic. Inv.
14) Mrccos.x. (1 + / (x-)} xdx =-(- — iE] V. T. 1C3. N'. 4.
lb)JArccos.x.[l-{-l{x->)]x^clx = l(~/2j V. T. 103. N°. 5.
10) Mrccos.ar.{ I +/(«^)) x^ dx- = — ~ il2. — - \ V. T. 163. N". 6.
n)JArccos.r.{l -\- l{x^)] wUlx = — ~:[^ — ^A ^- '^'- '^3. N'. 7.
^«^L f,„ , , „ , ?'-'-^- ] . ^M + t-(l+9^) , 1-1/(1+7') , M /, Y.T.lGr..
loJi f ;n . .^ /''-'M, 1 f.l + ld-P^) l-l^d-P*)! . ,. Y.T.165.
20)JArcco5..r.{;(7..r+l) — -^) ;*" = -(/Irccos.p)^ -- .,- -f- -/^ .-r,;>^ < 1 : V.'^3.^°^'
J I /).f + IJ .r^ 2 S
■Zi)lArccos..y-+^-^^] ^" = - /-*^ V. T. 106. N". 3.
7 { i—x 1 — ./■-] .r'^ 2
22) (Arccos.a-y-'^''''- -^^^j ^ == _ ^ {5 + ^mm.r/} V. T. IGC. N". C.
^1 [ 1 — qx 1 -5^r-) .r- ^'
23)/ylr(;co^.a;. / , ^ , — — — - - = — :r [A + ^./.. P.} Y. 1. ICG. N'. 7.
f dx I
2i)jArctang.x.lx— = — — n' V. T. 151. N'. 1.
2o)JArclang.x.{'a,y^ = — ^71= V. T. 155. N'. 1.
Z6)lArclang.x.(lx)'- — = -rt' V. T. 155. N°. 8.
/' ,/ C f 1)7-1 o. ( — 1)"
27)JArctang..r.{U)',-^— = ^— ^ T (-;+ 1) iS"^ --- ~
r (5 — 3.r')Zx+l — *' . . ;ta— 4ff — 8 ,
2S)JArda«^.x^ ^^^-^, x* dx = — N. 1- l-'^- N • l^-
Page 51.3.
V. T. K.*;. N . 1.
ti_4jr — 8
V. T. 152. > ■■. I.
69*
F. Alcr. rat
o*
L(^'^ on luiiu. TABLE 422 suite. Liin. et 1 .
o
Circ. Inv.
15.
20) I Arctanq. x--^^ ^^ dx = -li V. T. 153. N^
f r:i.— x'-)l.r+l—x'' 71—12
mlArctanq.x^ - ^ x'- dx = n V. T. 152. N°. 17.
7 (l — x'y 96
f (l+x^)lx — x'^ + 1 4— 7T
'J ^ ^ ' {l—x^)"- 8(2 + 1^2) 16
[ArctangAlx) dx 1,1
33)/ ^-^-' = -Z2.T V. T. 299. N°. 2.
'j X l—x---^ 4 2
3-1.)/ ^ '- = l\\-\ U 1 V. T. 299. N
7 x 1 — a;-2T \\ej r (p) p\
\ 3.
F.Alg. irrat.
Log. en num. TABLE 423. Lim. ot 1 .
Circ. Inv.
1 -\-X- -^ Ix 71
\^{i + x^y ■"■ ^ s'
\}lArcsm.x ~ \^ / ^ ^ dx = -12 V. T. 163. N', 12
V. T. 165.
2)fArcsin.x'^]^lxdx = ^^(1-;.^). |f(,) - ^;;,^^| ,P<l^lJu
f , 3i(l— p^a;^) — 2 , 1 r '^ 7/1 m .
7 1/(1— p»a;»)5 2p»(l— p^) llX(l— p')
+ (2— p^-)2F(p)— (4+Z(l— p^^}E'(p)] V. T. 105. N\ 20.
/" lp*x^lx \ dx 1, T.,, X . 1 -c^'r .M 2M /I V.T.163.
^)j--^---'"--(r=^+^).,.(i-p...) - l'P-^'iP)+r^ {i/(i-P^)),p<i; N^ u.
S)(Arcsin x (g!li±P^) ■ ^ | f ,, ^ - ~ \l {'-^^^^^l ■ r (p) -
b)jArcsin.x.^ 1-^p^^^ ^ 1 + pa-'- j i/(l -p^ :.^) 2pll l^-p J
_ l^r{l/ (1 -p')} - ^^^"_^^^ ^(1 +P)} P^ < 1; V. T. 165. NO. 9.
Page 544.
F. Alg. irrat.
Log. on num. TAHLK 123 suite. Lim.Ooll.
Circ. Inv.
— nY[\^{\-p'-)]--y^'' r(l-/.il ,^;<1; V. T. 105. N^ lU.
4) 1^(1 — P') J
7) iArcsin. .r. fl(l ~p-- x^ Sin.^ ).) — ^ ~-^' 2 Sin.^ P.l • - ^-^-- =
8) lArcsin.x. { — . — — -> - — : ax ==
'] { l-p^x^ \—p-x^)v^[\—p^x--)
9 / ylri,si«. j:. ) 1 : — > : — — dx =
p^ 1^1/(1 -p^-) 1—7 1/(1— p') ^"^ ^ '^ ^' *^J
/■ 1 + a* +Z;C TT 1
10) l.lrccos. X --^ — — dx = ~l- V. T. 163. N". 12.
J l/(l+a;^)» S 2
11) JArccos. X ^^^ ^ ~f T. r^'^''" = r^^(l-p')-l''(/')-?'<l; V. T. 105. N". IS.
J 1-^(1 — p^ic')^ 2p*
,„,/". fp»i(l-.r^) 2 I xdx Ifl-p'j 1 V.T.165.
U)lArccos.x. |^^'(^-+^^4i + — ^l -_-^_rf. =
7 I 1— p=a;^ ^1 +p.c»J 1/(1— p'x^)
-,^ [i-F'{t/(l-p>)}-i{^^J^'*"p''^j.F'(p)].p<l; V.T. 165. N-. 9.
f fpZfl— p.rM 2 1 X
7 \ 1— p»a;» 1— p«M 1/(1— p'jr»)
--^ rirrF{u-(l-p')}-'P^:F^}l»] .p<l; V. T. 1«. XM9.
\yp
Page 543.
F.AIg. irrat.
Log. oil num. TABLE 425 siiilc. Lim. ct I.
Circ. Iiiv.
iCAJArccos.x.lin—p^x^ Sin^X) — ~^ '^. -2&'h.u| — ;r^*r-Tr, =
7 I l—p^x^SinM iv-'il—p-x^y
= ^[E'{p).{F(p,X)}^ - 2 !'"(/'). v(/>,^)],p<l; V. T. 1G3. N\ 13.
r fi(l— »»a:M 4>x^ ) X
]1) I ArccoB.x. { — :: — > ;; ax ==
7 1 1— p^T^ l—p^x^S 1^(1— p^x'-)
- ^[l^^'{\^{^-p'))-l{^^^-^^]-'^'{p)\ >/'<l; V. T. 105. N'. 23.
18)1 Arccos. X. < t— ■ > . — r~r «* =
j |i/-(i_^2a;^) 1— 71/(1— p* a;') 1 — 9MI — p* a;»)J (1 -p» a;*j^
= ~A-l-~^ + 'F{l^{y—p^) , Arcsin.q}] V. T. IGG. N". 11.
f xdx 1 00 (—1)"
J Hi /ylrcim..r./^— = - ;r» —2^—^^ ^ — V. T. 2G1. N\ 6 et T. 152. xN^ 13.
7 l^(l-x'-y 8 o(2« + l)'
7^ ^ 1/(1— .T^) p \2 ] i 1P + 2J/1 i(2«)2"'J
/■ dx 1 1 7i\P ^ (2,^">—l 1 "11,
21)/ (Arccos. 2;)P-i./(l+a.) = - - 21 -2- —} V.T.259.N\3.
7^ ^ ^ ^ V(l-.i;') p\-2y 1 1 4"'-i p + 2m i(2n)2'«J
r d« IfnXPf 2, f 1 1 :» 1 liV. T. 259.
22)/(/lrccos.^)p-'.i(l-.r) - = - - |— 2+^ T — nT" -^ TTTT [ I \" 4
7^ ^ ^ 'x^{\—x^) p\2j I 1 i4'''-i p+2m 1 (2 n)2"'J J '^ • *•
f dx 2 /I \pf , a 2 » 1 ) V. T. 259.
7^ ' 'l^{\~x^) PV' ji ip + 2m i(2?i)2»'J -^ • o-
r f a: 1 d;e /tiN/V -( 1 22"'-l — 1 ^ 1 liV. T.
2-4) \lx\ Arcsin.x-\-p\{Arcsin.x)P-'^~ ^= - |1+-^1 , T 7~n — ~-^,T.o„ I 261.
7 \\/(\—x'') ^n 1-*- \2/ I- ,l4.'«-i p4-2m i(2«r'"JJ^.,.24.
/" fa; 11 1 T. ^/„ ''^\v T 261
25) / /(H-.i-2).| — ; ^^Arcsvux- — -\dx=—-\^2—- ^Z2+l/2.F' 5«n.-- L.; ^ "
f f .-P I <^-r ^ ( — 1)"
1&)\iaA-x'-).HArciang.x — A — = 2— — V. T. 260. N". 4.
[ 1 PX \ dx ln\Pf , 5^ 4 ^ 1 1 V. T. 2G0.
27)ji(l+.^).J2^,.cV,.._^-^j(i.c.,..)P->-=^-) [2-^2-^^^^^^-^J ^. ,0.
Page 546.
F. Alg. irrat.
Loji^. en num. TABLE 425 suite. Lini. d I
Circ. Inv.
2^)fl{l-a;'}.\Arccos.a:+—-^ -J — =-. _ 4 :§ -^Jll- y. T. 25S. N°. 13.
tf^^[J>^ ^ c- - ,^ — ■'•^^ SinM — 2 x SinM. Arccos.x.l^ (I — x^)
•iu) 1 1 [I — x^ oin.- K^ — ^ •'
; (l — x-'CosMV
dx
(1 — a;'- Cos.- A)' l^{\ — x*) ""
■ICos.-uJSec.-l V. T. 2C0. N\ 11.
CosM—Cos^[i. 2' 2
qinA.^ - , •. o- o , C7os.U+a;2 Sen. ='A—2a'5(n.^;.. ArMm.a:. 1/(1— X*) djr
tilj I t(Cos.- t(-j-.c" Atn." .")
(Cos.' }. + X- Sin.-' ).j^ l/(l_^2)
2 7r&■n.^, ,^ 1, ^ 1
I Cos. -X. Sec- u V. T. 260. N=. C.
5!M.(A. + «)-'S(n.(i'. — ;«) 2 2'
F.Alg.
Lo'r. en (l('n. TABLE 42i. Liin. (J .-l I
^o
Ciir. Iiiv.
I) I Arctanc/.x '' „ "^ '^ '^ "^ *, _, -^--^-- <^ -g = I- V. T. 172. X^ 1.
1 — X 2xlx — X -^ 1 , ,i
V. T, 171. N'
2) / Arclartff. x ^ — '- — dx = I Tang. \ —^-' :i \
J x{ixy I i )
„, /■ . Ix dx 3 — T
Z)\Arclang.x — = — — V. T. 173. N'. 7.
,, /■ , /x dx 12—1
A)\Arclang.x ; = — V. T. 173. N\ 8.
7 -^ (.,2 +.l(;a;)^)^ X 32 .-I
//x dx ji — 5
i4rcco<.x-; ; = V. T. 173. N«. 7.
(n»4-(/x)'}* X 8:1
l)lArccot.x- ^^— — 1? = _ i^'- V. T. 173. N'. 8.
7 {ri' + ('a;>)»}» X 82rr
Page 547.
F.AIg.
Log. en den. TABLE 424 suite. Lim.Oell,
Circ. Inv.
f Arccos. X dx 71
^J(Arccos.xy- + {lxy X ~ Zl
V. T. 412. N°. J.
2
f .........
10)1 dx = 00 V. T. 412. N^ 8.
Arccos. X X
{^Arcco3.xY -\-{lxY 1 — x"^
J(Arccos.xY+{Ixy{l—pY — 4px'-l^{l—x^) 2 p^— 1 (/2 — /(l^-;.) l-pj'^^ ' N\ 9.
r Arccos. X X , 71 ( 1 11
12)1 — dx = — \ — — \ V. T. 412. N». 10.
') {Arccos.xy + {laY {l—pY — i^px'' Sp \n —l{\ -irp) 1%)
[ Ix dx 1 / 1 \
13)/ r-r. = -TT 1— -- V. T. 412. N\ 2.
'j [Arccos.xY -{-{IxY U'il—m^-) 2 \ llj
1-1)1— — i— r i = -TT V. T. 412. N\ 7.
J {Arccos. x) ^ -{-{Ix)
'^'/,
dx 1
r)* 1/(1— jc2)3 ~ 2
Ix dx
{Arccos. xy + {Ixy- a;* 1/ (1 — x'^)
= 00 V. T. 412. N'. 6.
,(/lrcco5. a:) ^ + 2 Arccos. x. I x — (I x) ^
, r ' ^ 1/(1— j;M ^ ' Arccos.x , l1 — \
16)1 ^^--^ -dx = n ; — V. T.424.N".13.
{ {Arccos. xy- ^{Ixy-]'- X 2 i 2
. {Arccos. xy — 2 Arccos. x.lx — (^ •*■) ^
J 7) / ;: ~ ^ dx =--= — -^ V. T. 424. N°. 9.
J {(Arccos.a;)* + (/ar)2}2 p/(l_a;») 2Z2
F.Alg.
Log. TABLE 425. Lim.Octoc.
Circ. Inv.
X f dx
1) lArctanff..v.{lxY"-^ — =00 V. T. ISO. N". 5.
J ■''
f . , f , 2x ] dx ,
2)1 Arctang. x.lx. lArctang.x — -\ — = 71^2 V. T. 264. N^ 4.
J I 1 + A" j A-'
3) lArctang.x. U x + — ' — ;[ r^ d x = V. T. 182. N'. 2.
Page 548.
F. Alg.
Log. TAfiLK 425 suite. Liui.Ocl oc.
'O
Circ. Inv.
6)/^rda«^.-. L i(]_^.3a_^^ -\ _^_^ = _ */ Z, V. T. Ks2. N'. 20.
] q iq'^ -\- x^ 1 — x^) 5* + a;* 1 + q-
(. {ip—l)j;P—{q—l]x'i)lj:—j;P + x1^ , / „. 1 ^ 1 \ ^, ^, V.T.l
7) j Arctg..v^^ ^ ~~r^ ^i— c/x= ti/ ('/-/.-/; ^. Col. -qrv\ ,p<\,q<l; ^. ^
8)jlx.Arctang.x ^^\^.,^^ dx = ~12 V. T. 266. N^ 1 ct T. 182. N^ 2,
V.T.180.
(i-{-x^-y
10)fLr.(2a;^rc<««<,.^-p^^^t^j — --— = —nl^^^^ V. T. 266. N». 5.
n)llx.h.Arctang.'-+p'-^^^^-\ --^^ = ^z'-^+'Z- V. T. 266. N'. 6.
'] [ '^ p^'^p-' +x-'i {q^—x^y 'iq^ P*
IX X V
rdg.-j rdg.- ^ ^ ^^ ,,*',! (1 «+^ ,1 a+^l V.T.264.
x^ ^■(a*+a-2) '' b .v{b'-+x^) ''a) 2 [a b b a J > • l+-
_- o V -^ '-
"IJ (2«4-
Ip , py^l; V. T. :^G9. -N '. 10 el T. ISU. .N». 10.
n,/(..(.-2x^,c,<..,..)p^^ = ^f ,ti:iF '■ ■'■■ "" '"■ =
^l/(p' — 1),
2p
'^'^" =^71* V. T. 2fiS. N\ 1.
f ( 2x ] dx
n)ll{i-\-x').Arccot.x--^dx = j(l-/2) V. T. 207. N'. 17 ct T. 182. N'. IJ.
IS) [l(] -\-x^).Arclar,g.x'^- = J^r* V. T. 265. N'. 1 cl T. 181. N\ U.
/ x^ o
Page 5t9. '"^
WIS- EN NATUL'ltK. VEHU. liEli KOM>KI.. IKAnEUIF. HERL I>.
F.AIff
D*
Lo'j. TABLt] 425 suite. Lim. et oc.
-^o
Circ. Inv,
i'.)) fl(\ -f x'). Arcta7}g. x —^-7— dx = ~nl-Z V. T. 267. N°. 2 a T. 182. N". 12.
20) I /(I -^x-).Arccot.x~ = -n- V. T. 2G5. N\ 9 ct T. 184. N'. 14.
C c X \ (loc
■?.l) 1 1(1 -\- x-).hz Arctanij.x — -\ — == 7rZ2 V. T. 26G. N". 1.
/I J. —^ 3/ J X
f ( vx ] dx 7iV^^
22) \l{\ +.r'). \Arccot.x-\--^ — A (Arccot.x)r>-^— = V. T. 265. N'. 27.
23)/"?(7»+x^).{2ylrc/an(,.;r-^-^} ^ = ^'(1+7) V. T. 2G6. X". 2.
Uq-" + a-M. 2 /Irctoff. -^ \ — - = — r-^^^ V. T. 26G. N°. 5.
I P P' -\- ^ ' * !/" P
y la;^ — q^ l-\-p^x-)x^ — q^ 4.7^ P 2 +1
/* ., (fj /'r\''I' "° 2 00 1 1 V T
28)//(l+.r^).f2.4rc/a.a;— »:(r)(/4rc/a.a;)''-i-— -— ;- : = - 1 1— .2" ;;--2^,„— o-| w'- i
/y V -r ; I y /' jv y ; (p^^a;^)^!' \2/ •- i p+?.m i(2n)2'''J ^ . 1
2GG.
0.
F. Alg.
Loii. TABLE 42G. Lim. 1 et oc.
^o
Circ. Inv.
l}lArciang.x.{lx)P— =00 V. T. 187. N\ C.
2) JArctanff. x. {y~^ I ^^ + 1 J
d.» 1
IZ V. T. 187. N'. 4.
/■ 1 da; 1 1
3)1 Arctang.{lx)-^ — = -—~12tc V. T. 299. N'. 2.
Page 550.
F. Alg.
Log. TAHLI*: 420 suile. Lim. 1 vl cc.
Ciic. Inv.
f I dx I f/e\i' V -t
4)jArctang.(pl:>:)~:r- r— =-^| - rOOl^^ V. T. 239. S". 3.
C , , dx \ \ 1 1
h\\Arccot.x.l£ — = -Tx {IIV- — ~ n- I'l V. T. 270. X'. 5 el T. 1S7. N'. 8.
7 x'' -\, V ' 21 2
G)\Arccot.x.\ lx4-\\ - = -/2 V. T. 187. N'. 4.
r, r ^ da; 3 , 1 ^ (— l)"
l)\lx.{1x Ardamj. x — l) — = ~ n I 2 2 -^ -— V. T. 270. N". 2.
8)/i.r.Mm-o<.-+— ^-^ — i '^ = ylrctana.p— — /(l+p^) V. T. 270. N-. C.
J I p P^ + J5*J -5^ 2/?
9)ilx.Arccosec.x " = n-\--—2 V. T. 270. X". 9 et T. 187. N". 5.
J x» 2
/■ f X- 1 d.r 3 7r 1 •! (—1)"
; M l + j;'J ^' 8 2 o(2n+l)*
F. Alg.
Log. T.\BLE 427. Lim. .liversos.
Circ. Iiiv.
1)/ (Arcstn.x)P-Klx = — - I— /2— 2 + JS^ —.S, I .r, r
7^ ^ ^ i^{i — x->} 2pVv ^ 1?'+-"' 1 (1")-'"' '^ • ^•
f' dx 1 fn\Pf ^ * 3. 1 1 V.T 271.
Vj/ ^ V(l— «') P \^M lP + 2w iCln^s-J ^•^•
F.Alg.
Log. TAI5L1-: 128. Lim. (li\crs.'s.
(Vutrcs Fonclions.
fl I \\p-\ dx 1
1)1 li.{x).\l~\ ^ = - -r(p),l>p>0; V. T. 102. X'. 3.
2) \\i.{x).[l-\~^ ^ = - rr Cosec.p rr. r (p) , 1 >p > 0; V. T. -102. N\ 2.
:5)/ /.•(x)-^dx = - 21--./ [l p-V\ (1 +r)).r<l-. '^■- T. 300. N\ 4.
•v> 1 / Z — ''
Page 551.
70*
F. Alg.
I^oy. TABLE 428 suite. Lira, diverses.
Aiilies Fonctions.
4)1 li.(x) — J- = —2\^-.Arcsin.{iyp),p<Cl; V- T. 300. N'. 5.
•o xP+U^l- P
U)
li.{x\{lx)P-^ — = — 71 Cot.piT.Tip} V. T. 402. N\ 1.
Ciic. Dir. TABLE 429. Lini. et -.
Circ. Inv. ^
.369.
3.
V. T. 3C9.
6.
/x f p Sin. .^• 1 Ti r , ,-. V T
/"r ( Cof. I 1 1 5iH. 2 1. 1/(1 — p- Sin.^* a:)l x Sin. 2 j
.) j j^.' '"'^ ^''i;- I j^ ^ J _ ^ 2 _5,j.^_ 2 *•) J "*" 2 1 — p ^"^i^ A. 5m. - a? J j/ ( 1 _ p ^ Sw. = a;) ^ ^ ""
^ ^1 ? _r(p g,)| V. T. 300. NM5.
[\ f Cot.% \ lSin.2'k.\y{l—p''Sin.-x)-\ xSin.Zx
3p2li^(]_p2)3 l_pi ^/'^>^l/(l_;,2)^ "^ ^ ' "^^/J N'. 17.
Dans les formules 3) a B) on a Cot.tp = Tang. Ll^ {I — p^).
A,_ , „ , lSin.'2,L-i^(l—p''Sin.'^x)'l xSin.Zx
■"2 1 — p- Sin.^ l.Sm^ X i/(l — p- Sm.^ x)
= -[E(p,i)-Coa.{l-i /(l-p^&-«.Ul) -,/(l-p^).4rc<^.{ran^.A.v/(I-p^)}] J,^f/^
F.AIg.
Circ. Dir.
Giro. Iriv.
TABLE 429 suite.
Lim. el -.
J*- 2 1 — p- i>tn.- LSm.- X i\y[\ — p^Stn.^xy
= ^[l/(] _~r>^Arclang.{;rang.X.i^{\ -p')) _ F (/>, A)}] V. T. 309. N'. U.
F. Alg.
Circ. Dir.
Circ. Inv.
TABLE /loO.
Lim. et t.
10
/Arc^y. -^ - \.Sin.ax.x^'> dx = ^^ £-126/1 ^^ SlL
j '' [l—pCos.x] 2a2''+i 1"''
I Ardg. {-^^—^ \.Cos.ax.x'il'+^dx = ^ ^— £-124+1/1 ^ :^-
f (2pSin.x) „. +„,
/ Arclq. \ —- }. Sin. Zax. a;- 26 dx =
J Mi-pM
J •' (l_p-ij >-^ 'J 224(Oa_l)24+l ln/1
fylrd^. {^'i-^|.Cc..2ax..;+26+. .^^ = I .7''<1.0<v<l
/•, f2pS;n..rl , ^ . (— l)*jrp:— I „, , 2»+'f_(2a_l)/p)"
J ^ (i—pij-'"'^-^^^'' '>'''■' 22»+'(:2a-l)2*+3 1""
jArctgA— ^-|.5(V {(2a— l).r}.5in.a-.ar-2Hi i/jr =
iJArclg.i ^—-}.Sin.{[2a — 1)j].Cos.x.x---''dx =
lArclg. r'' "^''^\.Cos. [{%a—\]x).Sin.x.x^^>> (/« =
r {2pSin..r] ^ ,
liicrrns de Hnan.
Gr. IS. 193.
J).r).ft)«..r.x'""+<(fj! =
Page 553.
F.AIg.
Circ. Dir.
Circ. Inv.
TABLE 4o0 suite.
Lira. et ■".
12) I Arctfj. \ -'- ].Sin.{(-Za — l).v].X^^''dx ==
J [I — q 6o,«. 2iFJ
14.)Mrcty. j ^ '";^'' j.Cof. {(2a — l).r}..-r=t^26+l rfo; =
lj)jArctcj. <Y^
.V«n. 2 « I
5iw. 2 a ar. SJ«. .r. j:*26+ 1 <£ .^ = Q
r/ Cos. 2 ar j
r f o Sin. 2x ] „ _i , ,
16)1 Arclg.)—^ — }.Sm.2,a.v.Cos.a!.x±^l> dx =
{ f a Sin. 2 X ) , ,
J 7) / Arctq. ~- i . Cos. Zax. Sin. .r. .-c^ai dx =
'J ^ \\ — qC0S.2x)
1 8) / Arcig. \ — ^ — ;" \ . Cos. Zax. Cos. x. a!±26+i dx = ()
'} ^ \l — qCos.%x\
,P^<1,0<^<1;
Bierens de llaan,
Gr. 13. lyS.
[, . ,^ ,, , ^ r , I aSin.h.v W ^ 7rac6p-cr(] +»)
i^)\{a^+2ahCos.x+h^)lpCos.\cx-pArclg.\--—- \\dx=— -— ^,,6>a; (faut.) — Clau-
} { \b+aCos.a.-j] T{l+c)T{l+p-c) l^^ Cr.7.309
Hill, Cr. 7. 102.
(faut.) — Clau-
sen, Cr.7.309.
F. Alg. rat. tract.
Circ. Dir.
Circ. Inv.
TABLE 45 L
Lini. ct oc.
1) f Arctang.x. Cos.aj; — = nli.{e~") Schloinilcli, Boitr. HI. § 8.
J X t.i
X d X 1
2) I Ardanr/.-.Cos.x — = nli.(e-")
'ax 2
3) I Arctang. ( ^-^^ J^ aj J . Ct
Sdilomilch, Gr. 9. 307.
dx I
^ -1 6'os.a!— = -rc{li.{e-i) — li.(e g)]
a; 2 ^
dx n fl /14-(7c\2
_i — g— "'' < — " — I -
40/A.c.,.(c45/..p.^=^^e-.. {1^^^^
5) / i4)'c<an^. I -J . Sin. px -^-^ — - = ^ e-P? {A + / (2 p 5)) — ~ eP9 Ei. {—Zpq)
x^ -\- q^ 4^
n
4g
/ Arndt,
iGr. 11.
(70.
Page 554.
F. Alg. rat. fract.
Circ. Dir. TABLE 431 suite. F.im. ol ac,
Circ. liiv.
7) j ArcUjA-yCos.px — dx ^ ;re-/'? {X + l{2pq}} :t eP9 Ei. {— 2 p q) \
// pSin.x \ X 1 , \
Arctang.l '—- - ] ~—^^dx = -^1(1 + pe-i) , p' <C1; \
\l -\-pCos.xj x- -\- q^ 2 "^ J
9) I ArctaJifi. [Tami. -x] r " J' = —-rl > Schlomilcli, Stud. II. K'.
\f ' \ ' 2 jx-^ + q-^ -Z e'l ( '
10) Mrdan^. iCot.-A
X , I efl
dx = - TT i -
2' I u-- +r/^ 2 ev— 1
11) (Arclann. i P^["-^'^ \ '1 j^^Hin ^ „g-9M Boncompagni, Cr. 25. 7 + ; ou il y a faut. <,,U.
J \l+pCos.rr/.«'^ +fy^ 2 ^ ^'^ '
F. Alg. irrat. fract, a don. binomc.
Ciic. Dir. TABLE 432. L"»- ot x .
Circ. Inv. ^
1) I Sin. IqArctaJ ^^'"'''' ]].{l-\-2aCos.cx-\-a^)i^-;^^dx^l:x{l + ae-'P)1—-n J
J (_ ^ l-}-«Cos.cx/J ?'+•* -^ I
2)/(;o,.{,A.c.,.(^^^)}.(l + 2aC.s.c.+a^0'.^l^ = ^^(l+ae-^J
'.ufsin. Lircto I "■''"•'" ]1 (l+^«g^.^c.+a--)i>/4-(I + 2ag<>^-<:^+a-)-^^^,^^l
,= _;r f,! 4- a f— 'V')' — (1 + ae-''r}—i)\ Boncompagni,
2 "^ VCr. 25. 74 ;
1) [sin loWcta L-J!!h^\\(^+-^-Oo-<^-^+'^'-''''-i'+^'^''^^^^^^ ftutWet'.
/ '1 '''V + aCos.cxji r' + -r'
^ -7i{(l + a8-V)'/+(l +a<r-v)-?— 2}
[^ 1 / a5m.r.r \ | (1 + 2a(7a..cx+a')i'/+(l + 2flro.'..r.r + a')-J» '
'ou 3,4,5 s"iii
Z/)
Vn"c 555.
F. Al^. irrat. I'racl. a den. biiiumo.
Ciic. Dir.
Circ. Inv..
TABLE 452 suite.
Lim. ct 00.
^. fn { A / aSi7i.cx \\{l + 2aCos.c.v+a^}ll—(l + ZaCos.ca;-\-a'^)-i^ ,
fi / Cos. hiArctfj. - - -r \\ ! '—-^ — ' dx^
7 ) / Sin. Ua-\- 1 ) Arciang. — I . Sin. c
^)icos. j (a + 1 ) Ardang. j I . Cos. c
n
2p
compagni,
Cr. 25. 74.
({I 4- a e-cp)<, - (i + a e-cp)-<}] ^»' ''^ f""'"''^-
dx
da; ne—^'^cfl
9) isin. \{a-\-\)Ardg^ \ .Sin. xl + cArdg. I ~ ''"^"''^ - 1 j. (e2i_2e^ Cos.x + 1)5^ —
71
-A* /L"
2c«'^r(a+ 1) ■
y ' *) I ''\Cos.x—e-'')]^ ^' (6^4-a;2}i(<»+i)
2eWr(a+ 1)
11) /Cos. ra;X+c/lj'c<^.( - — '^^^^^-—\ — {a-\-\)Ardg.^.(e^'^—Z.ebCos.x-{-\)\'= ~ — =
= — ; —A* P.a
e"r(a +1)
12) /ro.9. L^+c^rrfff.( '"'^■ l+(a + l)i4rc<g.7l.fe2*—2eftgo3.a;+ !){<:-- ^^-- =
; ■- '' \Cos.x— €->>}' ^ ' ^ "^iJ^ ^ ' (i2 ^a:2)i(«+i)
13) I Cos.
14,) I Cos.
lo) I Cos.
16) I Cos.
Cos.x—e-^j ' '" ' ' "'hi'- "■ ' ''~ (i2 ^a:2)i(«+i)
Sur ces integrales 7) a 12) voyez: Cauchy, P. 28. 147. T. III. § 2.
dx It
px — p Ardang. x)
qx — p Ardang. x)
qx -\- p Ardang. x)
qx -\-p Ardang. x)
{\+x^)\p r(/)-fl)\e
d X n JP— ' g— 9
- 1 V. T. 61. N'. 1.
(14-a:^-)5p
dx
(l+a;2)iP
dx
r(p)
= V. T. 61. N°. 3.
V. T. 61. N'. 6.
(i + «5)5p-i 2P+1
V. T. 61. N°. 4.
Pnge 556.
F. Alg. irral. fract. a aulrc den.
Circ. Dir. TABLI-: A"). Lim.Oct
Circ. liiv.
a-\ dx 1
l)jSin. IbArclaiiff.-] j;77~; "77;i,~ = ^^»~'' Liouvillc, Cr. 13. 209.
f dx 1 irf/)+fl— 1) ^
2) / Sin. (p Arctang. x) —-- , ,,- = -n Cosec. - on- -^' , 2 > '/ > ; 1 ^, , ... ... „, ,
'j ^' ^ 'afl{\^x^)hp 2 2^ r(/>)r(y) '^ '| Schlonuleh. Stud.
\ I. 15. — Id , Cr.
.3) / Cos. [p Jrdawi. x) —- -—- = - -nSec. -an ^'^ - , 1 > 7 > ;\
J V '' rj .i'l{r^-+.v^)\P 2rP+9-l z' F (,.) T (7) ' "^ ^ ^ ' Scl.lu,nilch.
. , . , 1 , , , ' Gr. 6 I'OO.
5) / Cos. p Arcl.j.- ; = Sec.~<i:i ' ' ^ , 1 > 7 > ; \
f t/a; 1
6) |5in.(ajr-|-7)--ln-/anf/..r) — = -n V. T. 70. N\ '2i.
^J ^ ' ^ ' x [l + .t'^y.P 2
fSin. (p Arclanq. x) -\- Sin. ibx — » Arclanq. x) 1
'] x{l-\-x\iP 2
fSin.{pArctantj.x) 0;-''+' / li "^^
/"5Jn. (p iircian^. .t) 0;-''+' . ... c^* »»
8)/ -7;, „.i— T^T-^'/^ = (-i/**7rr^p:;
■* ~f ScMoinilch, fr. 33. 353,
Cos.{pArdang.x) x'^'' , ^ „ c^*-' n[ >'« valcul que pour ft - 0.
fCos.(pArclang.x) x-"
[ Sin. {n Arclanq. x) ^ \ x\
(1 -\-c)P 2
r) (r^ -j- j;»)J(7+l)
dx =
= (-l)*"
n T{p-\- q)
2 r (p) r (7 +
N) .„ '•"_^-.,_i,„/«\ ?!z! /L+n"
7+l)(l+r)/'+? 0' ^ \„;(^-f.,_l)./-l\ r /
fSin(n Arclanq. x) ( rl 3:"—'
11) / ", '-^—-'Cos. \(q 4- 1) Arctang. -\ - - ——7- dx
Schloniilrh.
Cr. 33.353.
nc vnleiit
71 r(/> + v) r--'
^ / .1 r- / „ \ r. _ I I \ . 1
2r(p)r7+l)il+r;i'+v
ar"-'
I'a l\ 7"/-' /14-r\"f que pour
[Cos.ip Arclanq. x) „. \, , , •"'l ic- ■ ,
^ ^ 2r^/,)r(7-t-l)(l+r)/'+? u' '\ n / (p + 7 - 1/V- 1 \ r /
Page 557. 71
WIS- EN NATUUnS. TEIlll. IiUll Kci.M.NhL. AKADEUIt. urF-I. IV.
F. Alg. irral. fiact. u aulrc den.
Circ. Dir. TABLE 455 suite. Lim. el oo.
Circ. Inv.
CCosJp Arclanq.x) „ ( .1)
x" - \
ax =
(r^ -f-a;')i'?+>)
2 r [,>) r (v + 1 ) (1 + r)/'+v ' V] {p-V<i-\ )"'-' \ r j\ <r;:f
asa
i (l+a;^)*/' (r--|-A'-)''+i r(p)r(a+l)^2r)a+i(14-r)/'+«'^2"/2(/_,^a_iy,/-i\^ ^ j ^ pour
, f Cos.{pArctg.x ) d x
71 r (p 4- g) » (a-j_„)2n/-l /I -fry'
+ 1 r(p)r(a+l)(2r}«+l(l+r)P+« u2"/2(;j-j-a— ])"-' I »-
S.'h. I/O Arctang.x -\- (7 -f 1) Arctang. , ^_^
10) / ! ; — T rf a; =
^Z_:^ ^^ ^ p V. T. 433. N'. 11, 12.
(\-\-x'^jlP (r2 -}-x-)H+l) '"= ""' que pour H = i).
g""' . „ V. T. 433. N . 10, 13.
d X = Q
(j-i _j_x*)5(9+') "^ ^^"^ 1"*^ P"""" «= !•
17) f ^ - ±
r f / q Sin. ax \] .v dx 1 1 •,
10) [co.,. L.l.c.,./-^^?^\} -^ ^^ =1.(1+,.-"-]-. (''-tJvt).
fr Cos. (nylrda?i(/. .r) • tij;
20);lros..r — f- , / ^ I— = Z'(») Arndt, Gr. 10. 225.
./ ■• (1 4- o;^)^/' J x
V. AI-.
Circ. Dir. TABLE 454. Lim. diverses.
Circ. Inv.
r* Cos. ip Ardanq. u x) dx n
i)l -, ^-^— — - = ■ Cauchy, C. U. 11. 1008.
; 1+x' {l + q^X^)'^I> (l+<lf
00
2)/ Ardana (-Tang.x] ~^- dx =-- — \l(l -L n) + q I — | V. T. 264. N\ 13.
J \'i j Sin.^x -<] [ "7 J
Page 558.
F. Alg. rat. fruct.
Circ. Dir. TABLI': 4.15. Lim.O dec.
Autres Fonclioiis.
Scliliimi'lrh,
Gr. 11.17*.
1 ) / Sin. ax. Si. {ex) = '^ e-"'' {li. («»<:) — li. («-'"')} , a>c ;
2) = -[e^'^li.[e<''>)—e°''li.[e~'''') + {e''''—e-"'')li:,e->^)],a.eC.c;\
S)ISin.ax.Si.(cx) '^^— = -~ e-"'' (Et.ibc) — Ei.{- be)} .a>c;
■%) = ""- [e-"'' {Ei.{a'>) -Ei.{—Lc)) —e"'' [Ei.{ - ah)—Ri —be)] ] ,« < c;
5) / Cos.aj. a. {ex) "— == — («'.* 4- e-"'') Ei.(-bc) ,«><";
J b'^-\-a;- A'b =
6) = -- [c-"'' {Ei.{bc) + Ei.{—hc)—Ei.{ab)] +f''''£j.{-at)],a < r ;
7) ISin.a.x.Ci.{cx) = 7r(c"* - €-«'•) Ei.{—bc) ,«> f;
/ ii'-f-z^^ 'I' —
S) = -7rre-"H£/.(Z.c) + £t'.(— tc; -Ei.{ab))-e^''Ei.{—ab)],a<_e;
■1. •■ •■ — '
•J) / Cos. ax. Si. {ex) ^ — ^, == n c-^l> (Ei. {b e) — ft. ( — b c)} ,a>c;
J 0--J-* 1 =
10) = 7i[e-«t{ft.y;)_A7.(- be}—c''''{L'i.[—ab—Ei.{-bc,]],a^e;
l\)l[Co.^.ax.[a.cx]—Ci.'ax:} +5/;ra.(-.(i7.;tvr)— &\ aj-)} j,-^^ ;j=^,^e-°''(Ar(^<r)— fi (ai)) .a>f;
i) j[Si)i.ax.{Ci.{cx—Ci.{ax]—Co.i.ax.{S>: ex]- Si. ax ] ] ^/ ^ _^=\-''''[hi[bc) - Ei.{ab)} ,a>e;
J -\- X ~
rl n xdx 1
A Sin. a .V. CI. {a .r) -f Cos. <j r. [- /r - 5/. ("'■)[ 1 ,,""'"' , = " i'^^'' ^''' (—"^^
l)l\Sin.<ix.Ci.{<:x)-Cos.„x. [-■''- •^■'- (<• -^ )| 1 , f'^ .2 = - ^ e-"'' fi. {— b r)
5) j[Cos. a X. a. (a x) - Sin. ax.^.-n— Si. {a .,■) j ] jy^-Jl ^ Z'l '"'' * '• <""'')
^\Co...ax.Ci.{ex)^Sin.ax. |^ — «' (^ •'•| ] '^.'^ ^. = fb'~''''"^" '"^
Sur ces intdginlcs (:i) a (Hi) voyri: Arml', fir. 1 1. ?<'
Tagc 559.
71^
F.Ex|). inononio.
Log. TABLE 450. Lim. Oel^.
Circ. Dir. oiil.
]) /,/j./(l — e-Surrurj,..) ^ TT ja(Za— ]) +-i2a,T — ;r(a+l)j V. T. a7S. N\ 4.
2)je-2<'S^c.xi^2.Sec.x — ]).Tanj.xda; = 7 (''. (e—)) ^ V. T. 383. N'. 3.
/' l—e-P
^)jei'Cos.^xlSin.a:Cos.{pSin.2x+ 2 3>) dx = 71— V. T. 296. N\ U.
f 1—eP
1) / eP^-^"' 2j: I Cos. T. Cos. IpSin. 2x -\- 2x)dx = n V. T. 2%. x\°. 10.
/ ip
/g-p cP
epCos.2xlTang.x.Cos.lpSin.2x -{-Zx)dx =^. n V. T. 29ii. X'. 11.
C,)\eI'C<>^-^-='lTaiHj:'i^ ±x\.Sin.{pSln.<lx ^2x)d.t == ± 00 V. T. 29t). N". 12.
F. Exp. nionomo.
Log. TABLE 457. Lim.Oet^.
Circ. Dir. I'racl.
■i)\e-9Cot.xiSin_j. 1_ = -\ci.[q).Cos.q—Sin.q.\-Ti — Si.{q)\\ V. T. 290. N^ 10.
/ S'n. - X q ^ '2 J -■
/* ^ , ZpSin.^x — (2a — l)Cos.^a- 1 ^ V 'I' osq
i)\e-vTano}xTang.''-<'x.irann.x— — ^; dx = -—— ; I'^-'^l^- ^; . -^^•
'j H J Sin.^2x 8(2p)a-i »" ^ N°. 0.
3) / e-V Tany.^x Tang.^<'+ ' x. I Tang.x
'] ^ ^ Sin.^2.r. 2"+^ p"
•1) / c— 9! Tanff:-x+ Cot.-x] I Tang. x. Tang.^»+^ x
p Sin. ^ X — a Cos. ^ x 1
'^ dx = l«-l/i V. T. 289. N'. i.
(2 a 4- 1) Sin. 2 x + 2q Cos.2 .r
■ dx =
Sin.^ 2.r
— — e-s?!/--.^ — ~^ V. T. 289. N°. 11.
32 q (Sv)" ?'"!"/'
-o)\e-Ta>,g.-PxiTanq.x.Tann.'^Px''-^^';^'~^ L^lilUl ^^ ^ ^ ^ y rj, ggy ^j„ 7
2 ^m.^P a; — Cos.^P X _ 1_
Sin.P+^ 2 X ^ ~~ 2/'+2p^
(j)\e-'iTan<j.xiCos.x ^ = -\ci.{q). Cos.q—Sin.q. \-n — Sl.{q)\\ V. T. 288. N". 5.
J Cos. ^ X q *■ 1 2 J J
l)L-l'To'"j.xlTang.A'' ± a-A — ^^ = ± - (dP £/.(—»)— e-/' £i. (/>)) V. T. 290. N ■. 12.
j \4 / Cos.- X p
Pa^e 500.
F.Exp, inonome.
Log. TABLE 457 suite. Lim. Get"
Circ. Dir. fract.
V. T. 25)0.
9)je-pTang-lTang.^i^^±J^~^^dx=^ {{l+l')cr-PEi.{p)-il-p)ePEi.{-p)} l\\*^^-
/dx a
lTang.a;.{pe-P'^""y^—qe-<}Tang.x\ =, [1 v. T. 28y. N'. 14.
Cos.^ X p
/.„ ac ,„ , , ,^ cSin.<'<=x — bCos.°'x 1 -'«
e~Jang. x fanga'' -I x.lTanij.x dx = l*^ V. T. 289. N\ y.
t dx \
12) /e-2"CWc.^/(iCosec. i' — I) = - {ii. (e-»)) '^ V. T. 383. N\ 3.
/ Tang.x 2
\:])le~P^"'^l2\inj:^-±x\ '-■ .-. dx = ± 2[e-p Ei.(p)+eP Ki.(—p)) V. T. 2'jl. .\-. l,
J \4 / ciin.^ X '
11) le-^U- ^ ITaiig.x - — dx = - U'n V. T. 2S9. N^ 15.
'j -^ Cos^x.Sin.''Zx 8
f .„ . , ^. 1— C'os.2.r. Sjh.' a; 1
\'))le-J'J--^lSm.-2x ^ - dx = -t^n V. T. 28a. N^ 16.
j Cos. x.Sin.^ 'Zx 8
f „ , .., o Sin. X — » Cos. X Tanq.P x . I
])le-<lf""i/x[ fung.x ^ -^ ■ dx = T (») V. T. 299. N'. 3.
J Sin.Zx Cos.x 2qP
f ~ ,^ 'i.Tanq.Zx.Cos.'^ X — p . 1 ^ ^. ., , V T 9<ii»
17)j.-.ra„,.x,Co.x -^L^^^_,--^cZ. .= -{c-PEuU» + e.Ei.i-p)} J, V^""
1 S) / c- ^■"'•*''->- / Tanp. :r. iSin.'^P jr — 2 ('o«.2/> .r) "^ = — 1/ ?r V. T. 2U I . .\ ". 7
7 ^ ^ 'St/j.a/'-lj.Cos.i-A'.j: 2;>»
J'.))/c'-<^<" '■/7-u;/7..c </x = -1" V. T. -xn. .N°. 10.
j AV«."''-f-"'^+'.f. Cos.'-''*.c n'^
1 ., aSin.^ X — Cos.^ x 1
21)/e-Co(.^ri7'a„..j_ dx = 1"-'.' V. T. 291. .N'. 4.
'} ■^ Sin." X. Tang.^'^-'^x 2''+»
1(
Page 5G1.
F'.Exp. iiionoiuo.
Lo-. TABLE 457 suite. Lim.OotJ.
CiiT.Dir. In C.I.
„ r ^ 2 ^, 2>..n (2a+ I) 5m.».r. Cos.* a:— 2 o Cos. 2 a:
7 raV+ia;.5m.'2;r
= — — e-2?l/-..2^ ^^ ^ , ' V, T. 291. N'. 12.
32 9 (2 q)" 2" 1"/'
/" ^ „ p Sin. X — 7 Cos. X 1
2:})le-1<^<''-^lTang.x^f^ ^. - da; = — r (») V. T. 291. N'. 3.
/ Slit. 2 .V. Sin. X. Taii'jJP x 2 qP
Zl)le-»T'"'9'lTanq.x —^'- = — (/o + -2 / il + A) l^ ^- V. T. 381. N'. 6.
'l ^ Cos.x.\y &m.-lx ^ ^^ ^ -• 2 a
( .. . ;io/(oCo8.x)+ 2Co«.-;r 1
/ Cos? X 1(>^
[ ^ I Cos.2x\) fiCos.2x.l(<i'^ Cos.2.i:Sec.-x) —4:008.^ X , 1 ,, ,,, v T 378.
_/ \ Cos.^xj Los.i a-.Cos.^ X 4<7
r.E.\[). on (Icii. binonio. ^
Log. TARLt: AoS. Lim.Oet-.
Circ. Dir. rrnci.
1 / - .^ - e'i^Tang.x^ -^ = - (1— 2A) V. T. 292. X'. 13.
,/.!! If 9. T ir /« -)- 2 7t\1
f IC0S.X ^ <7.« If 2 T 11 q-\-ZTT\)
J (<;9 /""."»— 1)3 Co.t.^.i- 29 ( '7 7 \ 2t /I
'"J-f + e-i'^^''^-^ ICot.x 1
^ « ^
r>g.x _ g-k-nTang ij 2 ^^,5 2 j. o jr
/ e^'^Tung.x i g-liT,Tany.x ICoi.X 1
j) / dx = — (2— 77) V. T. 292. N^ C.
r e^-Tang.x J^ g-\7:Tang.x I Cos. X 4 f TT 1 1.^2 — 1)
4)/ — dx = - 'I— 4- l -' ' V.T. 2y2.N'.5.
'J (e^^Tatig.x _ g-iirrany.xi Cos.- X n \ 2 L' 2 2 I,/ 2 1/ 2 + 1 j
/(-r + p){ei''-p)Tar,gx _}_ e(p—x)Taog.z^ + (» - /»)(«(/'+' )^''"!'* + e-'/'+'')^"'^''j ICon.X _
J fg-rrTung.x — g--!:T(tngx\i Cos.'^ X
1 ^* 1
== ^.^^P:J!!:P _ _,(;os.p.l{-l l+6V.p)},0<;><.-r; V. T. 292. N\ 9.
, f{p—il)[e'P+l)'^y^-\-e-ii'-^'))T</^)~(p + (l){e'P-<l.Ty-x^ti'l-P)'''9x),^ dx 0' + 'J \VT.2ii3.
C) / — — _ — ■■ ITq.x = L I <j.\ n Iv i -,
7 [ei'To"yxJ^e-pTat,gx)-i •' Coa.^x \ip j-^-''-
fn'eP'-f^<>-^—e-i''^'JxyeQTgx—e-qTg.x—pg<iTg.x,g—,jTgx—2Ve!'^9'^+e—r'^'J-'^)^ dx o.tV. T.
7)1 — '.^ -" / Tq.x = ICos.'- 293
J (eP Tung.x — e-p T'lng.x-^ 1 • Co.'!. ^ .T 2/) j^t^ j g
Page 562.
Ciif. Dir.
Log. TABLE 459. Lim.Oot cc.
Schliimilcli, Stud. I. 14.
I) fe-'^lx.Sin.xdx = - i-n i2 — A) Schlomilch, Cr. 33. 31C. — Id., Cr. 33. 325. (faut.)
^)\e-<"'l-.Sm.bxdx = s-ii(a' -\- h'-) — aArctang.- -\- b k\ \
j X a* -f- '' l^ " J f
^)\e-<'^l-.Cos.bxd£ == — \-al(a- -ifb'^)-\-bArctang.--\-ak\ \
'J X a^ + iM2 ^ ^ ^^ ^ a^ ) J
A)\e-P='Sin.2qx.l.v.{pTang.qx — q)dx = } l ^ "^^ ^ V. T. 392. N\ 10.
J ^ P
h)\e-P='Cos.qx.ls.{pTang.qx — q)dx = ArdangX V. T. 3'J2. N^ 3.
J P
f 1 1) » i 1 \
«) / e-P' I Sin. (q j) dx = —- -12—-:^ )
'j ' ' 2/j 2 1 up-' +7i^(y» j
[ I p <x, ( — D" 1 f
7) le-P^ lCos.(Qx)dx = — — 12 — -2- \ Schloinilcli, Beitr. II. 5.
7 ^ ^ ip 2, I n p'- 4-n»^'- /
f =0 1 1 \
S) / e-P'^l Tang, [qx) dx = —p^
r 2 n— I /-^ + (2 72—1)^7^ )
<i)\e-^-liim.{ax)dx = - i/' .t. — /2 + JS" I
,,„/■ 2,n , ^ , 1 f ,. , ^/ ,, e-'"")'! ( Bidone, MiSra. Turin. ISU'. iA.
10) je— ICos (ax)dx = - ,.' ;t. j— /2 + :S:(— 1)"— ^j ) ^^1. 3. N».
f 1 o. e-(2n-I)-V
ll)/e-''/ran^.(ajr)rf.r = i^ n. 2
/ 1 2n— 1
1 2) / e-^' / (2 Sin. ax^ dx = i..^ rr. .f ^-^"- '^
1 n
2)L
13) /e-'-/(2ro«.«.r)''(/.i' = l-TT.J'f— 1)"*-^ > Sclilomildi, Stud. I. i>.-..
; I « 1
14-)le-'^^(l —2pCos.2ux-\-p^jdx = l t. .2" -/)"<,'-"'"' /'
, ^ V f . («''' + e~ ") p Cos. pn— (e^x — «-") n Sin. pn , . . ,
15 //x' ^^^^ '-s:- f^ \ L-f—>L^ dx = — Arclang.{c\r) V. T. 3w-.. N . 1.
Page 563.
F. Exp.
Log. TABLE 439 suile. Lim, ol cc.
Circ. Dir.
16) ILv — ~ ^-—dx = CO V. T. 396. N'. 2.
'j (e'^r — e-Ta:)»
f (dl'^* + e-<'f^)4!oCos.7a; — (e^"^' — g— >»r) tj Sin. ox
{7)lll+x'-y — l—i.'i "- 1 L- dx =
J (elTx^e-lTi)i
= -2 71 e- 1 1.-^ '2 -{■ (ci-e-'i) 1^2. 1 ~^——^ — 2( 614-6-9) i^ 2. Ardg.l l'.. :
f ie^-'^-^+e—^''^]2qCos.qx—!ei^''' — e—^'^^.iiSiti.qx^ , V T 39(5
18)j/(l+.^)^— ± 'I J_^^L,^^^. '—^d.==2qe-9-i^~e-9)l^l+e-^.i:Y^;'l'-
f (giTi — c-Jti) 2 q Sin. qs + (e^~^ + <;-*'»"r) jr Cos.qx
= 2 (cl — e—'i) Arcta7ig.{e-i) -\- n e-i — 2 V. T. 396. N". 23.
[ [e^='-e-^^,qSin.q x+{e^^^ e-^^)nCos.'iX ] 1 e<i-\-e-'l „V.T.3%.
F.E
xp.
Loi?. TABLE iia. Lim. diversos.
^o
Circ. Dir.
])| e-'"-^'lSin.nxdx = — — Sclmar, Mdm. Cour. Unix. T. 23
' 2a
1 e2T«
2)1 e-2aCo<i/(2Co(. ,^— 1) = -f/i'.(e -'/))? V. T. :iS3. N-. 3.
'J ^ Sin.2x 4'- ^ ■•
"o
3)/ eP'^'"'=l (^Sin.x\.Cos.{pSin.x-\-.r)dx = — ~ {e\p — e-lry V. T. 436. N'. 3, 4.
It
4) /'(£/'•'+ e~''')'S/n. (pi Com) dx = —2nSln.(plZ) V. T. 4+7. N'. 15.
2
It
5j / (epx _j. e-px) Cos. {p I Cos. x) dx = 2^ Cos. {p 1 2) V. T. 4 17. N' 16.
fage 564.
F.Exp.
Circ. Inv. TABLK Ul. Lim. el a.
Circ. Dir.
'/'
I) I Arclang. x ■ — —^ ~d.v = ne-'ii^Z +
eg -i. e—</ eT— 1^2 4-6-1 e'l — e-i ^ ^ I \'i \
1/2 «?+i/2 + e-9^ W% \e'i—e~i)
7 ^ (etJTx^e-lTx)! ■' ^ 2 - ' N . 20.
3) I Ardang. x '—J..^ .tT-T^ ^^ = f' I ^ 2 +
-4 i ^ _ ! 2 ylrctono. 1 V. T. 390. N '. 0.
1/2 e7+i/2 + e-9 1/2 ' \e?— e-9j
7 ^ (eiTx_e-iTxj2 2 ^ ^ '. ^ 'N.9.
,>f, {e'"'-e~'^^)qCos.nx — {e-='4-e-'^^)nSin.qx , 1 e?— e-9 ,,, , ^ v. T. 396.
b)\Arctg.x '-—^ ^-dx = -qe-l— /(l + e-?) fj> ia
F. Exp.
Circ. Dir. TABLE 442. Lim. diversos.
Aulres Fonclions.
1)/ li.{e-T'>"9x).Tangrx ^ = — —T{p) V. T. 402. N'. 3.
J Sin. 2x 2 »
2)1 li.{e-^).Sin.qxdx = - J^ / (1 + 5^-) j
/■• . 1 (
I li.{e-^).Cos.qxdx = Ardauj.q \
4)/ /«■.(<;-'). e'5j/i.<7x<ijr = ———(-. jj -\- q I q\
5) / IL (c-^). t-' 5in. J X d x = , (- TT — 9 / <y j I Scblorailch. Gr. 5. 204.
•' \*" / j
6) / /.-. (C-'). C" Cos. qxdx = — -j-— ( o ? '^ — ' '')
Pnprp .-if) .5. 72
WIS- E.N KATUUnK. VERD. DEA KOMNKL. AKADEHIE, DEEL IV.
Selilomilcli, Beitr. III. j 8
/ ~ i I
3J
F. Exp.
Circ. Dir. TABLE 442 suile. Liin, diverses.
Aulips Fonclions.
7)j n.{e^).e-^CoB qxdx = — — ^ i-,,n-\-lq\ \
/"" 2o ]
8)1 {e^U.{e~')-{-e-^li.{e^))Sin.(ixdx =— ,'9]
I
/•oo ^ I
9)/ [e='li.{e-^,—e-^li.{e=')]Sin.qxdx = — ^ \ SchlOmilch, Gx. 5. 204.
"o
10)/ f c' U. (e-A + e--' //. {eA } Cos. 7 j; rf j = — -~ — -
{ 1 + r
11)1 {(?^ li. {e-^) — <;--f /(. (e^)) Cos. </ ar d j; = 1 q
12)/ /i.(^-^)e-f'5m.v.rd^ = --^^[5Zl/{(l+/>)^+9 = }-/>.lrrf^.(-f ]l
I p'+7-^ \l+W-lf Sclil5milch,
F. Log.
Giro. Oil-. TABLE 44o. Lim.diver.ses.
Circ. Iiiv.
■a
1 ) p Tang. x. jCos. x. Arctg. {p Cos. .r) - ^ ^ ^^^ ^ J rf., = _ ^ „ ^p + ,/ ( 1 -fp^ )| J^-^l -^^69.
2) jl Tang, x.f Sin. X. Arctg. (p Sin. x] - f _f ^'^ ■ J^, J ^^ =;^ ^^P +1^(1 +p')} n^V^'"*"
f Dienger, Cr.
__^i±Z+ 2^(1 _pa)_4l3^. 363.
/; 1— p (
4)J [Cos...Z(l + 2pCo...+p-0-25m..r..4rcsm.[ ^^^_^y';^;^_^^,j p. =
Page 566.
F. Lo-.
^''•^•l>'':- . TABLE 4i-i. Lim. diverses.
Aulros honctions.
^7 ^H-\S'"-i9i^')dj: = — — ^ Llq—ln\ V. T. 4+2. X". 5.
2)/ li-i-j.Cos.{ql,i)dji; = r~^_ ilq +r?^) V. T. Hi. X'. 7
3) I / r (x). Sin. {Zanx)dx = — (/ « -f A + ^ 2 .7) i
•'0 2'*'' (
4) / Z r (.r). Co*. (2a tt x) dx =-- - \
i 4a y
5) I //.(-j.An. f7/.r)t/j; = _ —^^ V. T. 444. N">. I et 7.
Kummcr, Cr. 35. 1.
It
1+!? =
«)/ U.[~\.Co.%(nl.t)dx = _— ^-— V. T. 44 K N'. 2 et
V. T. 442. X'. 4.
Hobcrls,
L. 12.
44'J.
7)j li.i^^.Sin.{,,lx)dx = - j-i-^ §^+'y'?}
S)/ /(■. -VCo».(7/j),/j: = [in qn\ V. T. 442. X°. 6.
./ \x] l+7» ( 2 J
9)J'/iv.. .1..;,. ^"^^^^Jrf^ = :iyJJi"(A')-^/' + J'^r'{i' (1-/'=)}]
l^)j I Cos. A,np. [-f^Y' = 4l>yp(^')-'-V^-i'^^'f»- (^-^''^Jj
F. Al''. i;il. eill. T ini I" /. /' I- r
IMiisiciirs hoiiclions.
\)j li.[x].Sin.[qlx).TP-Ulx = ^,'~^[/'^'-<^'i/(f^-) -4-?' {'!+/')' +7 = }] Uit^
2)j li.(x).Cos.{,iU).x,-^dx = ;f^[7^'-c'!/.(j M+^P' {(!+/')' +9'} 1 N'.'^la*--
Pase 5G7. 72*
0_
'0
l<. Al'f. rat. out. t t t)i i? //.- •. i • j-
ni"- ,-. ,- I AuLL 44o suite. Lini. diverse^.
i'lusiOLirs ronclions.
3)/ Sin.{qArccos.x).Lr.x9-^dx = -~(a + Z'(7) 2i2] V. T. 331. N". 12.
\ / /
1) / e-'Sin.x.lx.xP-^ dx = "T- T (p) [- n Cos.-p tt - - Sw. - />t. / 2 -f Sm.-p;r. Z'(p)] Cr ^i^'S it'
) / e-o^Sm. i^. ; x. .rP-> dx = -— ^^7 — ]~ I {a- + b^). Sin. p Arclang- ] —
b I ^\ . / *\ , 1
— Arclang. -. Cos. I p Arctang. — 1 — /Sin. p Arctang. 1. Z' (p) j.
/■* — rf») fl / b\
G)/ e-"(?os.6i:.Z.r.a:/'-' d.r == ^ '^ T^^"^ 4-6').Co3. ipArctang.-] +
"0 *
6 / ^\ r, ■( ''\ , 1
-4- Arctang. -. Sin. p Arctang. - ] — Cos. I p Arctang. - . Z (/)) >
a \ aj \ a/ J
Sur les integrales (5) a (6) voyez : Legendre, Exerc. 3. 56. — Cauch.v, P. 28. 147. T. § 6. —
Schlomilch, Stud. I. 11.
/■» l"— 1/1 / 9\ V T 386
7)1 e-P''Cos.qr.lx.[pxTang.qx—qx—aTang.qx]x''—^dx=—-—-^—Sin.\aArctg.-] j^f\ 12.
8) / e-P'rosqx.lx.{j>x-{-qx Tang.qx—a)x''-^ dx = ^ --— ^(7os.( a Arctg.-] V.T.386.N'. 13.
'i)\e-P''{plSin.qx — qCot.qx)xdx = — j-/2— ^pl-- , , , V. T. 439. N». 6.
•'/ ^ ^ ^ ^ ■' -Ip 2 \ n p^ -\- n^ q^
lQ)j'^c-P'^{plCos.qxJrqTang.n.r]xdx == _ ^i2 -^/^l^ ^;^^=^ V. T. 439. N^ 7.
\\)\'^ e-V^{plTang.qx-2qCoscc.lq.}xdx=-p^^^^^:^, ^^_^l_^ ^,^^, V. T. 439. N^ 8.
[" I c\ 1 ^ c \
12) j e-t^Sin.l ex - Arctang.-llx.dx = -^-^^^^^-^^ Arctang. J 1
Legendre, Exerc. 3. 56.
10-1,1 c\
Pnge 568.
F. Al'r. rat. ent, rrtmn //- •. I • ]•
Plusiours Fonclions. ^^^^^^' ^^^ ^"'t*^- ^""- '^''''''''-
/"°° f / e~"Sin bx \")
14) / e-/icx (e-2cr _ 'Ze-'^^Cos.bx 4- \]k^ Sin. lOhx + qArctam/. — '- 1 *'"' dx =
J„ -r ; I -r^ ^ \e-cx Co5.6« — 1 jj
r (q) I b\
= — -5m. qArctanq.- £^9. h—i
/"" f / e-"Sin bx \)
15) / e-''"(e--" — 2 e-<-f Cos. 6 ar + \)i9Cos. lbltx+ a Arctang. '■ >a;9-> dx =
J ^ -r ; I -ry y \e-<=='Cos.bx—\j)
r (q) I b\
Cos. q Arctang. ~ t.^. h-t
Les int^grales (U), (15) se trouvent chez Cauchy, P. 28. 147. P. HI. § 1
16)
Ca»chy, P. 2S. 147. 1. § 7.
)/ e-P^ {lx-\-Z'{q)}xl-^dx = — r(7)-^ ]
17)/ e-P''{e-^—iy{lj- + Z'{q)}.vl-^dx =— r(7)A°.— \
1 •
1 8)j''lx. Sin. {b.Waos. axW-^ d x = ^^^^ ^^ [a + Z' (.0 -I -21 [2 a)] J^^^^J;"^;;;
ni"- r ■• TABLE 41G. Lim. diverses.
rlusiniirs roiiilions.
1)/ /Irdanrt. X. i»j.(Bij-) — = — —- V. T. -10-1. N°. 7.
J •' ^' X ip eP«+ 1
\rctang.x'- "^ '~''^ ' — == -pn- Arctang. {eiP^ V. T. 406. N'; IB.
(Ix]^ X 2
/" pi X. Cos. (p I x) — Si>i.(plx)dx 1
2) / Ar' — -
r' dx 1
.3)/ li.(x).Sin.(qh)~ = —'(1+7') V. T. 442. N'- 9
a; 2o
'
/■' d.r 1 / 1 \
4)| ;;.(r).Si„.(,;Zar)^-^ = j-^ ^^ / 5 -f- -..j V. T. 442. .V^ 4.
/■' dx 1
5)/ li.(x).Cos.{qh)— = Arctang. q V. T. 442. X'. 3.
{ ' ^
|'/.-.(x).fc,..(v/x)^J = -:^ (''/-^7-] V. T. 442. N.. G.
6)
Pugo 5G9.
F.AIg. ral, fracl. Ttnir /. /<> •. i- r
Plusiours Fonclions. ^ '^^^^ '' '^ ^"'•'^- L'"^' ^'^^■•«'^^-
7)| {n. (r) .^..,■' //. (ijl 5/n.(9i^)^ = j-~ -^9 V. T. 4+2. N'. 8.
8)j jz/.(.:)-a-^- //. fijj Sin.(qlx]~ = ^-^ V. T. 442. N^ 9.
9)j 1^;. (x)^x' a. fljj ro5.(j/;r)^ =- - ^^ v. T. 442. N\ 10.
10) j ^li.{x)-jUi. (-U 6^05. (J ix)— = — -^- V. T. 442. N\ 11.
11)1 e- ^'{ICos.CLv-^-axTang. ax)-j = i,/ tt. j — /;! + v(_ ijn-i J v. T. 431. N\ 10
•
12)1 5i«.0,i(l + 2<;(7o..a.r + 9^)}.[; ^>+7CWaJ + , W+,Co..axyj
/ n.'\iii nr ^ . * . I oStn.oX \_
— d.t =
TT-SiH. [pi {'\ + (/e"'^)}
1
3)/ &«. (/W(l +2?ro3.a.t'+7^)).lc — e Jc'+.c'
= — 71 5ui. {/'/(! + '; e-'"') }
•o
= -Cos. {/^^l +7e--''0}
I ,, _ iiNil »l+oCoj.ai/ „ \\-i-qCos.axi I
15)/ Cos.{pl[\^-tqCos.ax-\-q-'))\e '+« — e ^' Jc^+.i;^~
2c c
Ac
Sur les inle.^rales (12) a (15) voyez : Boncompagiii. Cr. 23. 74; elles sont fautives.
/•°° Cog. (1 a7i—bx).l[\-\-x-)-\-lSin.{l a n— b.,) . Arclg. .v _^^!_^^ _ ^'^''~'
l^)j (./(l+^i)}'-+(Ard5r.^.)' .^'+c^ /(1+c)
f °° Cos. 6 .r. ? ( 1 + .<■ ^ ) — 2 Sin, h x. A rdg x dx_ ^ n f e-*' l)
^''V (i/(l + a:')}^ + (yird^.A-)'' ^^+c' c- U(l+c) J
Page 570.
g-ftC
Ciiucliv,
lM9,5li.
F.AIg, ral. rnicl. ,,,.,„ ,, ,,,, . , ■ ,•
Plusieurs Fonctions. ' •^'^^'^ ^ "' ^""*^- ^im. divcisos.
) -\- ZCos.ax.Arctg.px x ne—"
—(lx = — Cauchy, Cours. Lee,. 39.
li.(x).Sln.(,jl.r) ''' = — ^^ V. T. 446. N\ 4, 24.
/» ,
/?. (a:;.Co«.(7Z.r) ' "^ = _ -i^ V. T. 446. N^ 6, 25.
•^■' 1+7^
21)y e-px(e-x_i)<. J^^^^ ^dx = ^Tnsr^L':{p'-tp),l^<a; Cauchy, P. 28. 147.1.5 7
22) / e-P^ie--]]" ^^ ^, ^^^^ ' ^dx=-- -Cosec.{{q+\)n). L''.{p'*lp),q< a;
23) =— — ^^ro»ec.{(7+l):r;.A''.(p<'W valeurextra-
r(7+l) ord. 7>rt;
Lcs iiitt'grales 22) cl 23) se trouvenl chez Cauchy, Exerc. IS26. p. 38.
— 1
24)1 li.{x).Sin.inlx)~ = -— \n I q n) V. T. 442. N^ 5.
25) j li.(x).Cos.{qlx) J = -"^ jZy + i''4 ^- '^- ^*^- ^''"- '•
26) / (7o«. (/> Arclang. ax) - ^ , ^TT — = ' ( 1 + a) \
/■* gpArct'jac _(_ g—pArclg.ax ( I ) iCauchy, C. K. 1 1 .
27)/ -J—- Sm.\-pl{l+aKT^)\dx = 2 7TStn. fn HI + a)) flOOS.
(live.
f " gpArcty.ax g — pArctij.ax i | )
/ T+^» 6W. ^-/W(l+u^^•^)[ ./.r = 2 ;r Cos. {/. / (1 + «))
28)
r»i K . I.VhLI. 4 1/. Lim. d I verses
1) I { c«V^( '-'') - e-'/l ( ' -x=A .S,-„. V J . Sin. , 2 c Atccob. x) ~ = - n ^Zl^^f V T. sss.
rl
2)
Page 571.
F. Ab. irral. fract. rrimn //-? •, i • i-
,)| (e.r (.-^=)-.-,l/(.-.=)jCo.,..5.-«.{(.c-l)A.cco..)}-^
I k y •
1)j (,?1 Ii-x^) + e~l\^(^-=c^))Cos.qx.Cos.{ZcArccos.x) .[^^^,. = \''^'~^^ N"\^^^'
5)/ &n.(gArc<^.;g)- •" = - -TT {A + Z'(5)} V. T. 333. N^ 9.
dx
6)/ Cos.(j/lrd^.ar)Ja;;^— ^— ^^ = — „7~^7 V- T. 333. N'. 8.
[\+x^)h 2(5-1)
/"* il9-' 1
7) / ASJn.(<7i4rcco«.i«).Zx dx = -n {h.-\- Z'(«?)) V. T. 447. W. 5.
^y ^■' ' (1 -{-;j;Mi'/ 2 *■ ••
8)/ Cos.{q\rccot.x).lx-—-, — rr- rfo; = — V. T. 447. N'. 6.
'j^ ^^ ' a+aj^)59 2(^—1)
9)/ Sm.\(e4-\)Arctg.^\.lx ^ , , , , ^ ^ , rfa; = — ^^^^ -|-A + Z (c+ 1)1 ].■ .
f Slockh.
/•CO . „ I ^c-1 ^ ( Handl.
10)/ Cos. \{c-\r\)Arctq. — \.lx— ; -dx =-- \ 1850. II.
^yo - trs- .
Page 572i
K i %'