- * V: . -*^.x ^ , *" THE LIBRARY OF THE UNIVERSITY OF CALIFORNIA LOS ANGELES OTTO HRRASSOH!TZ BUCHHANDLUNG LEIPZIG^ SOUTHERN BRANCH, UNIVERSITY OK CALIFORNIA, LIBRARY, LOS ANGELES, CALIF. DIE THEORIE DER EBENEN KURVEN DRITTER ORDNUM. AUF SYNTHETISCH-GEOMETBISCHEM WEGE ABGELEITET VON DR. HEINRICH SCHROETER, PROFESSOR DER MATHEMATIK AX* DKR UNIVERSITAT ZU BRESLAU. LEIPZIG, VERLAG VON B. G. TEUBNER. 1888. 48750 Druck von B. G. Teubner in Drenden. Engineering & Mathematical Sciences Library Vorrede, Die zahlreichen und vielseitigen seit langer Zeit an- . gestellten Untersuchungen iiber die ebenen Kurven dritter % Ordnung von Newton, Maclaurin, Cramer, Pliicker, ^Salmon, Cayley, Sylvester, Hesse, Aronhold, Clebsch, Poncelet, Chasles, Jonquieres, Moebius, GraBmann, Steiner, Cremona, Battaglini u. v. a., denen sich neuere ^' Untersuchungen nach verschiedenen Richtungen hin an- schlieBen von Hart, Em. Weyr, P. Serret, Milinowski, Kiipper, Durege, Schoute, Reye, Sturm, Zeuthen, x Harnack u. a., finden sich zumeist als Monographien in den . v^verschiedensten wissenschaftlichen Zeitschriften zerstreut und 5 sind bisher nur in wenigen groBeren Werken zusammen- j gefaBt, welchen die analytisch-geometrische Methode der Be- lf handlung zu Grunde gelegt wird. Dies ist der Fall sowohl <> in dem Werke von G. Salmon: A treatise on the higher 3 plane curves (Dublin 1852), deutsch bearbeitet von W. Fiedler: ** Analytische Geometric der hoheren ebenen Kurven (Leipzig 1873), als auch in dem von H. Durege herausgegebenen Werke: Die ebenen Kurven dritter Ordnung (Leipzig 1871), obwohl in letzteres mehrfach auch synthetische Betrachtungen eingeflochten sind, wahrend das auf synthetischer Grundlage entwickelte Werk von L. Cremona: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Bologna 1862) die Kurve dritter Ordnung nur als ein Beispiel fur die voraus- gehende allgemeine Theorie behandelt. Es erschien wiinschenswert fur diejenigen, welche zu- erst an das Studium der Kurven dritter Ordnung heran- treten ohne andere Hilfsmittel, als die Bekanntschaft mit den Elementen der synthetischen Geometrie und den Haupt- eigenschaften der Kegelschnitte, eine naturgemaB sich an- schlieBende und einheitliche rein synthetische Darstellung jener hoheren geometrischen Gebilde mit ihren hauptsach- IV Vorrede. lichsten und charakteristischen Eigenschaften aus den ver- schiedenen Erzeugungsweisen derselben abzuleiten, wozu hin- reichend Vorarbeiten vorhanden waren. Der Versuch einer solchen Darstellung wurde von dem Verfasser zuerst in einer Vorlesung an der hiesigen Uni- versitat geniacht und fiihrte dann zu der vollstandigeren Ausarbeitung des vorliegenden Buches. Die darin gewon- nenen Resultate, welche verschiedenen Zetten und verschie- denen Urhebern angehoren, sind zum groBen Teil schon Gemeingut der Wissenschaft geworden; die weniger bekann- ten Quellen, aus welchen die Darstellung schopfte, sind an betreffender Stelle angegeben. Riicksichtlicli der etwa feh- lenden Litteraturangaben mag auf die oben genannten Werke von Salmon, Cremona und Durege verwiesen werden, sowie auf die kiirzlich erscbienene historische Monographic von Gino Loria: II passato e il presente delle principal! teorie geometriche (Torino 1887). Die Eigenschaften der Kegelschnitte, von welchen durchgehends der umfassendste Gebrauch gemacht wird, nnden sich auseinandergesetzt in dem von dem Verfasser herausgegebenen Buche: Jacob Steiners Vorlesungen iiber synthetische Geometric, IT. Teil, ,,die Theorie der Kegel- schnitte, gestiitzt auf projektivische Eigenschaften" (Zweite Auflage, Leipzig 1876); wo auf dasselbe Bezug genommen ist, wird es kurz mit ,,Th. d. K." angefiihrt. Der Gang der Untersuchung geht aus der folgenden kurzen Inhaltsangabe hervor: Der Verfasser beginnt mit der Konstruktion der C {3 '> aus drei Paaren konjugierter Punkte derselben, von welcher Clebsch (Math. Ann. Bd. V, S. 422) erklarte, daB ,,sie an Einfachheit das AuBerste leiste", und deren Ursprung bei einer ausgearteten C< 3) in den Polareigenschaften des Kegel- schnitts sich findet. Aus ihr entspringt die Erzeugung der (7 (3) vermittelst zweier Strableninvolutionen in projektiver Beziehung und halb-perspektiver Lage 7 wodurch eine ge- legentliche Bemerkung Steiners bestatigt wird, , ; da6 das eigentliche Wesen vieler Eigenschaften der Kurve dritten Grades vornehmlich auf der sogenannten Involution beruhe" (Crelles Journal fur r. u. a. Math. Bd. 47, S. 6: Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Kurven). * Man gelangt Vorrede. V hiernach ungezwungen sowohl zu der G >(3) als Tripelkurve eines Kegelschnittnetzes, als auch zu den Chaslesschen Erzeugungsweisen verrnittelst Kegelschnittbiiscliel und Strahl- biischel pder zweier Kegelschnittbiischel in projektiver Ab- hangigkeit und besonderer Lage, da eine Strakleninvolution auch nur ein Biischel ausgearteter Kegelschnitte 1st. Hieran reilien sich verschiedene Konstruktionen der C (3) aus neun willkurlich und unabhangig voneinander gegebenen Punkten, sowie der Hauptsatz (Schnittpunktsatz), welcher die Be- dingung zwischen den neun Durchschnittspunkten zweier Kurven 3. 0. enthiilt und die Konstruktion des neunten not- weudigen Punktes einer Gruppe von neun associierten Punkten, von denen acht willkiirlich gegeben sind. Die Tangentenquadrupel aus drei in gerader Linie liegenden Punkten der CW liefern eine eigentiimliche Kon- figuration ihrer Beriinrungspunkte, sowie ihrer Durch- schnittspunkte und zeigen den Salmonschen Satz von dem konstanten Werte des Doppelverhiiltnisses eines Tangeuten- quadrupels. Die ursprungliche Erzeugung der C'< 3) vermittelst zweier projektiver Strahleninvolutionen in halbperspektiver Lage fiihrt nun zu der Einteilung der C^ in ihre zwei Haupt- gattungen (die einziigige und die zweizugige), sowie zu den acht verschiedenen Gestalten derselben, von denen drei der ersten und fiinf der zweiten Gattung angehoren unter Beriicksichtigung der unendlich-entfernten Kurvenpunkte (Durege: , ; tJber die Formen der Kurven dritter Ordnung", Borchardts Journal f. Math. Bd. 75, S. 153). Die Be- dingungeii fur die Erzeugung der verschiedenen Gestalten der CW werden aufgesucht. Die Betrachtung des Tangenten- quadrupels aus einem Kurvenpunkte hatte schon zur ko- nischen Polare desselben gefiihrt; die Erweiterung derselben zeigt uns das ganze Kegelschnittnetz der konischen Polaren fur samtliche Punkte der Ebene und eroffnet den Einblick in die vielfach verschlungenen Polareigenschaften einer C (i) und den Zusammenhang unter den konischen und geraden Polaren mit den Polokoniken und deui begleitenden Kegel- schnitt. Hier treten auch die metrischen Beziehungen auf, welche bei Cremona den Ausgangspunkt bilden, von dem er zu den Polareigenschaften der C< 3) gelangt. Die aus- VI Vorrede. gearteten Kegelschnitte des Netzes der konischen Polaren zeigen uns die Hessesche und Cayleysche Kurve, deren Zusammenhang schon bei der Einfuhrung des Kegelschnitt- netzes hervortrat. Die Hessesche Kurve bietet den unmittelbaren AnlaB zur Untersuchung der Wendepunkte einer (7 (S) , ihrer Kon- figuration und Realitat, sowie der Lagenbeziehung ihrer harmonischen Polaren. Den SchluB der Untersuchungen bilden einerseits die Steinerschen SchlieBungsprobleme fiir die CW, welche nach dem Vorgange von Kupper und Schoute eine synthetische Losung finden, und andererseits die von St einer ohne Beweis angegebenen Eigenschaften von mehrpunktig die (3) beriihrenden Kegelschnitten. Aus- geschlossen von der Betrachtung blieb vorlaufig die Kurve dritter Ordnung mit einem Doppelpunkt, sowie die Biischel von Kurven dritter Ordnung. Moge die Absicht des Verfassers, den Studierenden die vielen schonen Eigenschaften der Kurven dritter Ordnung ebenso leicht zuganglich zu machen, wie die der Kegel- schnitte, die Zustimmung der Fachgenossen finden, und moge zugleich den Freunden synthetisch-geometrischer For- schung auf einem noch keineswegs erschopften Arbeitsfelde Anregung und Stoff zu eigener Untersuchung, zur Vervoll- standigung und Erweiterung der angestellten Betrachtungen dargeboten sein. SchlieBlich bleibt mir noch iibrig, meinen Freunden, Herrn Professor Dr. H. Vogt und Herrn Dr. E. Toeplitz fiir die bei der Korrektur mir geleistete Hilfe meinen ver- bindlichsten Dank auszusprechen. Breslau, im April 1888. H. Schroeter. InLaltsverzeichnis. Seite 1. Einleitende Betrachtung 1 2. Erzeugung der (7( 3 ) durch Punktepaare 4 3. Erzeugung der (7(3) durch zwei Strahleninvolutionen in pro- jektiver Beziehung und halbperspektiver Lage .... 11 4. Nachweis dafur, daB eine beliebige Gerade der (7(3) im all- gemeinen in drei Punkten begegnet 19 5. Das Kegelschnittgewebe 27 6. Die $(3), umhullt von den Verbindungslinien konjugierter Punkte der (7(3) 35 7. Das Kegelschnittnetz 41 8. Die (7() und () als Tripelkurven 49 9. Erzeugung der (7(3) vermittelst eines Kegelschnittbu'schels und eines mit ihm projektiven Strahlbuschels 58 10. Konstruktion der (7(3) durch neun willkiirlich und unabhangig voneinander gegebene Punkte 72 11. Eine andere Losung der vorhergehenden Aufgabe .... 81 12. Andere Erzeugungsweisen und daraus hervorgehende Kon- struktionen der (7(3) 89 13. Beziehungen zwischen den Beruhrungspunkten der Tangenten- quadrupel, welche aua Punkten der (7(3) an dieselbe gehen 95 14. Weitere Beziehungen und Folgerungen aus denselben . . . 107 15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren konjugierter Punkte auf der (7(3) 115 16. Allgemeine Untersuchung der verschiedenen Gestalten, welche eine (7( 3 ) annehmen kann 130 17. Drei Gestalten der einziigigen und funf der zweizugigen (7( 3i 137 18. Bedingungen fur die Erzeugung einer einziigigen (7( 3 ) (Ser- pentine) durch zwei projektive Strahleninvolutionen in halbperspektiver Lage 148 19. Bedingungen fur die Erzeugung einer zweizugigen (7(3) durch zwei projektive Strahleninvolutionen in halbperspektiver Lage 152 20. Untersuchung aller mo'glichen Falle bei der Erzeugung einer (7(3) durch zwei projektive Strahleninvolutionen in halb- perspektiver Lage 158 VIII Inhaltsverzeichnis. Seite 21 Zusammenhang zwischen den konischen Polaren von Punkten der (7<.3) 169 22. Die konischen Polaren fur alle Punkte der Ebene rucksicht- lich der CO) 181 23. Die konischen und die geraden Polaren rucksichtlich der (7(3) von den Punkten der Ebene 187 24. Die Polokoniken von den Geraden in der Ebene rucksichtlich der (7(3) 198 25. Der die konische Polare begleitende Kegelschnitt .... 204 2>. Metrische Beziehungen 210 27. Zusammenhang der Hesseschen Kurve .ff(3) und der Cayley- schen K(^ mit der gegebenen (7(3) 224 28. Die Wendepunkte der Ctf) 229 29. Beziehungen zwischen den Wendepunkten , den Wendetan- genten und den harmonischen Polaren der Wendepunkte 240 30. tiber den Zusammenhang der Punkte einer (7( 3 ) mit ihren zugehorigen Tangentialpunkten 260 31. Das Steinersche SchlieBungsproblem fur die (7(3) .... 266 32. Kegelschnitte,welchedie(7(3)mehrpunktigberuhren(oskulieren) 271 Tkeorie der ebenen Kurven dritter Ordnimg. 1. Einleitende Betrachtung. 1. Man gelangt bekanntlich zur Erzeugung des Kegel- schnitts durch zwei projektive Strahlbiischel, indem man von einein ausgearteten Kegelschnitt, namlich einem Linien- paar, ausgeht in folgender Weise: Seien I und g die beiden das Linienpaar bildenden Geraden and nimmt man auf I zwei beliebige Punkte S3 und S3 X an, welche man durch Strahlen init einem auf g veranderlichen Punkte verbindet, so erhalt man in 95 und ^8 l zwei projektive Strahlbuschel in perspektiver Lage. 1st die Beziehung derselben durch die perspektive Lage festgestellt und wird die letztere als- dann aufgehoben, so gelangt man zur Erzeugung des Kegel- schnitts. 2. In ahnlicher Weise kann man von einer ausgearteten Kurve dritter Ordnung, welche aus einem Kegelschnitt und einer Geraden zusammengesetzt wird, zur Erzeugung der allgemeinen Kurve dritter Ordnung gelangen. Sei ein Kegelschnitt $ (2) und cine Gerade g gegeben, und sei ^ der Pol der Geraden g in Bezug auf den Kegel- schnitt (2) , dann wird aus dem Punkte t) der Geraden ein Tangentenpaar an den Kegelschnitt gehen, welches in und j t beriihren moge; der Strahl : jj x , welcher bestandig durch ^5 geht, wird die Gerade g in einem Punkte t) t treffen, und bei der Veranderung von t) wird sich sowohl das Punktepaar t als auch das Punktepaar tjt^ verandern, ersteres auf dem Kegelschnitt, letzteres auf der Geraden. Das Punktepaar t) i) l beschreibt bekanntlich eine gerade SchrOter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordu. 2 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Punktinvolution. Das Punktepaar jr^ liefert verbundeu immer einen durch 9$ laufenden Strahl; auch umgekehrt bestimmt jeder durch ty gehende Strahl auf (2) ein Punkte- paar jr.,, welches entweder reell oder koiijugiert-imaginar sein kann. 3. Bekamitlich heiBen je zwei solche Punkte \)\) l ein Paar konjugierter Punkte fur den Kegelschnitt und be- sitzen auBer der involutorischen Eigenschaft auch die, daB wenn irgend ein Punkt D des Kegelschnitts mit l)^ ver- bunden wird, die Strahlen i Dt) | und Ci)i den Kegelschnitt & (2) in zwei neuen Punkten i schneiden, deren Verbindungslinie durch ^ gehen mu6. Wir wollen auch ein solches Punktepaar jr^ ein Paar koujugierter Punkte nennen. 4. Werden sie mit irgend einem Punkte C des Kegel- schnitts yerbunden, so bildet das Strahlenpaar eine Strahlenin volution, welche entweder hyperbolisch oder elliptisch ist, je nachdem der Punkt 9$ auGerhalb oder innerhalb des Kegelschnitts $ (2) liegt. Jedes Strahlenpaar einer solchen Strahleninvolution trifft aber auch die Gerade g in einem Punktepaar tjtjj der vorigen Punktinvolutiou. Hieraus folgt umgekehrt, wenn wir irgend ein Punkte- paar tyth auf g und irgend ein Punktepaar jr^ auf ( - } nehmen, daB der Schnittpunkt (*), IM = 1 auf dem Kegelschnitt (2) liegen muB; folglich muB auch der Schnittpunkt (9i, SiW-i auf dem Kegelschnitt (2) liegen; und es niiissen 5 und ^ wiederum konjugierte Punkte sein, weil j r.ty , und | jt)J in 3 und ^ den ^ 2) schneiden. 5. Ferner wissen wir aus den Polareigenschaften des Kegelschnitts, daB wenn wir auf (2) zwei Punktepaare 1. Einleitende Betrachtung. nehmen, wo (r. 1; E'^'I) = $ ist, die beiden iibrigen Diagonal- punkte des vollstandigen Vierecks Ei f 'i auf folgt allemal durcb kreuzweises Verbinden ein drittes Punktepaar zwei konjugierte Punkte auf dem Kegelschnitt haben alle- mal die Eigenschaft, daB ihre Tangenten sich in einem Punkte der Geraden schneiden. Jeder Punkt sowohl des Kegelschnitts wie der Geraden sendet nach samtlichen Paaren konjugierter Punkte Strahlen- paare, welche einer und derselben ihm zugehorigen Strahlen- involution angehoren. 1* 4 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Da durch zwei Strahlenpaare eine Strahleninvolution vollstandig bestimmt ist, so erscheint unsere Kurve dritter Ordnimg C (3 > = [ ( %] als der Ort solcher Punkte 36 in der Ebene, welche nach drei Punktepaaren, die unabhangig voneinander gegeben sind, Strahlenpaare einer Involution senden. (Wir nennen drei Punktepaare unabhangig von- einander, die nicht die drei Paar Gegenecken eines voll- standigen Vierseits sind.) 7. Nehmen wir die zu zwei konjugierten Punkten DD t zugehorigen Strahleninvolutionen, so lassen sich dieselben in Abhangigkeit voneinander setzen dadurch, daB wir immer zwei solche Strahlenpaare der beiden Involutionen einander entsprechen lassen, welche nach demselben Paar konjugierter Punkte jj x hingehen. Das Gesetz dieser Abhangigkeit tritt schon hier hervor und wird spater naher untersucht werden; die Kurve C f|3) erscheint dann als das Erzeugnis der beiden Strahleninvolutionen. 2. Erzeugung der (7 (3) durch Punktepaare. 1. Nach der vorigen Betrachtung bietet sich jetzt die all- gem einere Aufgabe dar: Es sind drei Punktepaare 2393,, <<, in der Ebene beliebig gegeben (welche nicht die drei Paar Gegenecken eines und desselben vollstandigen Vierseits sind); es soil ein Punkt 3 von der Beschaf- fenheit gesucht werden, daB die drei Strahlenpaare einer und derselben Strahleninvolution angehoren. Punkte von der verlangten Beschaffenheit lassen sich zu- nachst in groBer Menge erniitteln. Nimmt man den Schnittpunkt so besitzt er offenbar die geforderte Eigenschaft, derm von ihm aus gehen zwei Strahlenpaare, die identisch in eines zu- 2. Erzeugung der CW durch Punktepaare. 5 sammenf alien, nach 21 und 21,, nach 93 und 93,; das Strahlen- paar nach ( und S x ist also ein zweites, welches zur Bestim- mung der Strahleninvolution notwendig und hinreichend ist. 2. In gleicher Weise geniigt der Schnittpunkt (2193,, 2t,93) der geforderten Bedingung, und hierzu treten noch die vier Punkte : Nennen wir die beiden neuen Punkte (2T93, 21,33,) = S>, (2193,, 21,93) = 2> 1; so sind 2l2t 1? 9393^ 2)2), die drei Paar Gegenecken eines vollstandigen Vierseits ; sie erscheinen also von j e d e m Punkte der Ebene aus gesehen unter drei Strahlenpaaren einer Involution, daher wird der Schnittpunkt auch der geforderten Bedingung geniigen, nach St^, 9393 1; SSj Strahlenpaare einer Involution zu senden. Aus dem- selben Grunde genugt auch der Schnittpunkt (fc^, $!<)- fc, der geforderten Bedingung. Da aber SS S)^, @@i die drei Paar Gegenecken eines vollstandigen Vierseits sind, nach welchen jeder Punkt der Ebene Strahlenpaare einer Involution sendet, da ferner auch 2l2l n 9393,, S)^ die drei Paar Gegenecken eines andern vollstandigen Vierseits sind, so muB ein solcher besonderer Punkt, welcher nach 31 2^, 9333,, SS, Strahlenpaare einer Involution sendet, auch nach SDS), und (($:, Strahlenpaare derselben Involution senden. Wir konnen also als Bedingung fiir die gesuchten Punkte der Ebene die urspriingliche For- derung dahin umandern, da6 wir verlangen Punkte zu er- mitteln, welche nach St^, 9393,, ^ oder nach 151,, (C t oder nach 51^, 6(5,, 2), oder nach 93S 1; GCS, , u. s. f. Strahlenpaare einer Involution senden, indem wir immer nur solche drei Punktepaare wahlen, welche g Theorie der ebeuen Kurven dritter Ordnung. nicht die drei Paar Gegenecken eines vollstandigen Vierseits sind, weil f'iir diese die Bedingung von selbst erfiillt wird. 3. Wir konnen hiernach auch die Punktepaare und bestimmen und erkennen, daB solche Punkte in der Ebene, welche nach 5(51 1; 35S3 1; ((&! Strahlenpaare einer Involution senden, auch nach $)S) n $$ u i Strahlenpaare derselben Involution senden miissen. Wir konnen also an Stelle der urspriinglichen drei Punktepaare M 1; 95 SB,, S^ drei neue Punktepaare 2)2),, {$$!, ($($! setzen; ein Punkt 3, welcher der geforderten Bedingung geniigt, muB auch der neuen Forderung der Aufgabe geniigen. 4. DaB die urspriinglich gegebenen Punkte 2t2l 1; 5335^ (&! selbst der Forderung fur den Punkt X geniigen , ist eo ipso klar; denn nehmen wir fur 3 z. B. 51, so bestimmen die beiden Strahlenpaare H23 | und | ! |; | 2te | und | 21^ eine Strahleninvolution, in welcher dem fiinften Strahl < $i^( l \ ein bestimmter sechster, durch SI gehender Strahl konjugiert ist; also geniigt S( der geforderten Bedingung und ebenso alle iibrigen gefundenen Punkte. 5. Durch diese sich endlos fortsetzende netzartige Ope- ration* gelangen wir zu immer neuen Punkten und Punkte- paaren, welche der geforderten Bedingung geniigen und deren Anzahl sich unbegrenzt vermehren lalit. Wir konnen dem- gemaB durch bloBes fortgesetztes Ziehen von geraden Linien in unendlicher Menge diskret gelegene Punkte 3 des gesuchten Ortes ermitteln und uns schon dadurch ein Bild niachen von dem Verlaufe der Punkte 3t*. Da hierbei die Punkte iinrner paarweise aultreten, X und 2t' n so wollen wir jedes solches Paar , ? konjugierte Punkte" des Ortes * Vergl. A. Clebsch: n Ober zwei Erzeugungsarten der ebenen Kurven dritter Ordnung", Math. Annalen, Bd. V, S. 422. 2. Erzeugung der CH 3 ' durch Punktepaare. nennen, wie 5) 3^, @i, $3u @i u. s. w. (wir werden so- gleich die charakteristische Eigenschaft eines Paares kon- jugierter Punkte kennen lernen). Wir sind zu dieser Be- nennung berechtigt, weil die beiden konjugierten Punkte eines Paares untereinander vertauschbar sind wegen der Vertausclibarkeit konjugierter Strahlen einer Strahlen- involution. Wir sehen ferner aus dem obigen ProzeB, daB jeder Punkt 3 des gesuchten Ortes die Eigenschaft besitzen niuB, nicht bloB nach 915^ , $833 17 S( 1; sondern nach samtlichen Paaren konjugierter Punkte, welche durch die obige Konstruk- tion gefunden werden, Strahlenpaare einer und derselben Strahleninvolution zu senden. Wir nennen diese Strahlen- involution die dein Punkte X zugehorige Strahlen- involution, welche schon durch zwei Strahlenpaare be- stimmt wird, von der wir aber weitere in beliebiger Menge herstellen konnen. 6. Haben wir in der angegebenen Weise irgend ein Paar konjugierter Punkte des Ortes X und X x ermittelt, so wird die zu zugehorige Strahleninvolution z. B. durch die Strahlenpaare und & $ und 3 bestiuinit; ziehen wir nun den funften Strahl I a< ^i I; so muB sein konjugierter Strahl in der Strahleninvolution von X aus durch den zu X t konjugierten Punkt gehen; dieser ist aber selbst, also wird dieser sechste Involutions- strahl | XX | die Tangente des gesuchten Ortes in dem Punkte X. 7. Wir sind hiernach ini staiide in jedem Punkte des gesuchten Ortes die Tangente zu konstruieren, indem wir zu fiinf bekannten Strahleii eiuer Strahleninvolution den sechsten Involutionsstrahl ermitteln, was bekanntlidi in linearer Weise geschehen kanu. g Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Bezeiehnen wir die Schnittpunkte (ab, 8) = 3, (b, Sfl)-.^, (ob, t 80-Si, (^a, 8 t b) = X, so ist | X | = t die Tangente in X und | X^ j = ^ die Tangente in X 17 denn die drei Paar Gegenecken des voll- standigen Yierseits 2lb , | H93 |, [ dS5 |, | ob | werden von 3 aus unter einer Strahleninvolution gesehen, und ebenso werden die drei Paar Gegenecken des voll- standigen Yierseits von Xi aus unter einer Strahleninvolution gesehen. Nennen wir den Schnittpunkt der beiden Tangenten t und t t in den konjugierten Punkten X und X! so erkennen wir sofort die charakteristische Eigenschaft eines Paares konjugierter Punkte. Denn zwischen irgend fiinf Punkten: ^ < ^ ^ gilt immer die identische Beziehung unter den Doppel- verhaltnissen*: i) 3e &!%&%] . x, [a^xaq . x [^^s aej = i. Ebenso zwischen den fiinf Punkten: X *\ X 51 8 die identische Beziehung 2) [2(23 3^] . X, [93X3] . X[8X3J = 1. * Der Nachweis fur die Mobiussche Beziehung (Barycentr. Kalkiil S. 257) kann so gefuhrt werden: Sind a, b, c, b, e irgend fiinf Punkte in der Ebene, und bezeichnet man die Schnittpunkte (be, be) = o ll (co, be) = b 1 , (ob, be) = q, so gilt fiir die fiinf Punkte der Geraden j be | die bekannte Identitiit zwischen den Doppelverhaltnissen (beb 1 c 1 ).(bec 1 o 1 ).(beo 1 b 1 )=i. 2. Erzeugung der C(s) durch Punktepaare. 9 Wegen der beiden den Punkten 3 uud Xj zugehorigen Strahleninvolutionen haben wir aber: daher ergiebt sich aus den Beziehungen 1) und 2) die dritte: woraus folgt, daB die drei Strahlenpaare 251 undlSSlJ, 295 I und X33 1} I X3U und einer Strahleninvolution angehoren, also der Punkt X dem gesucbten Orte angehoren muB. Wir scblieBen hieraus: Die Tangenten in zwei konjugierten Punkten des Ortes haben ihren Schnittpunkt selbst auf dem Orte. Dies ist die charakteristische Eigenschaft fiir zwei kon- jugierte Punkte des Ortes. 8. DaB der gesainte Ort aller Punkte 3k* von der verlangten Beschaffenheit eine Kurve dritter Ordnung C" 31 sein wird, geht sckon daraus hervor, daB wir unzahlig viele gerade Linien finden konnen, deren jede drei Punkte des Ortes enthalt. Der Nachweis, daB auf jeder beliebigen Geraden in der Ebene im allgemeinen drei Punkte des Ortes ent- halten sind ; wird spater geliefert. Zunachst konnen wir noch auf jeder Verbindungslinie zweier konjugierter Punkte, z. B. auf 5l5t x : noch einen dritten Punkt des Ortes ermitteln; denn ware ein solcher irgendwo auf | 51$^ | vorhanden, so miiBte fiir die ihm zu- gehorige Strahleninvolution der Strahl | 51^ | ein Doppel- strahl sein; die Involution selbst miiBte also eine hyperbolische sein und die beiden Doppelstrahlen miiBten jedes Paar kon- jugierter Strahlen harmonisch trennen. Ziehen wir also Projizieren wir nun diese drei Doppelverhaltnisse, das erste von a, das zweite von b, das dritte von c aus, so erhalten wir die Doppel- verhiiltnisse der drei StrahlMschel a[bebc]. b [beca] . c [beab] = l, wo a[bebcj das Doppelverhaltnis der vier Strahlen nb I, ae , ab|, ac ' bedeutet u. s. w. J0 Theorie der ebenen Kurven clritter Ordnung. und suchen zu dem Schnittpunkt (519( I; 33 SBJ den zugeordiieten vierten harmonischen Punkt riicksichtlich des andern Paares S3S3 1; so miifite durch diesen vierten har- monisclien Punkt der zweite Doppelstrahl hindurchgehen. Machen wir dasselbe mit dem Punktepaar ,, suchen also zum Schnittpunkt (^IS^, SS X ) den zugeordneten vierten harmonisclien Punkt riicksichtlich des Paares (( J7 so miiSte auch durch diesen der zweite Doppelstrahl der gesuchteu hyperbolischen Strahleninvolution hindurchgehen. Die Ver- bindungslinie der beiden gefundenen vierten harmonischen Punkte trifft also | 3l5l x | in einem Punkte $,,, welcher offen- bar dem Orte angehort und der gesuchte dritte Schnittpunkt der Geraden | 3IS1 1 | mit der Ortskurve ist. Wir haben zugleich die dem Punkte X x zugehorige hyper- bolische Strahleninvolution gefunden, deren einer Doppelstrahl | Sl^ | ist. Auf dem andern Doppelstrahl miissen daher samt- liche vierte harmonische Punkte liegen, die in gleicher Weise fur jedes Paar konjugierter Punkte XXj konstruiert werden, wie vorhin fiir 93 S3 X und S S lt Wir erhalten dadurch den Satz : Die festgehaltene Verbindungslinie zweier kon- jugierten Punkte | 313^ | wircl von samtlichen Ver- bindungslinien | X 3^ | eines veriinderlichen Paares konjugierter Punkte in Punkten getroffen, zu welchen die zugeordneten vierten harmonischen Punkte rucksichtlich des Paares 36.^ ermittelt werden; diese vierten harmonischen Punkte liegen samtlich auf einer geradenLinie I, die ; 51^ | in dem dritten Schnittpunkt der Verbindungslinie | 9( 2^ | mit der Ortskurve trifft. 9. Ist auf diese Weise der Punkt X x gefunden, so er- halten wir seinen konjugierten Punkt X dadurch ; daB wir in der Strahleninvolution, welche durch die Strahlenpaare und StJB 910: und bestimmt wird, den konjugierten Strahl zu j 51 ^ | = ermitteln, d. h. die Tangente in St oder | 3IX |; zweitens wird in der durch die beiden Strahlenpaare 3. Erzeugung der (7( 3 ) clurcli zwei Strahleninvolutionen etc. 1 1 | 8^8 | mid | VA |, | 21,6 | und | 31, t I bestimmten Strahleninvolution der konjugierte Strabl zu | Slj^ I j 2^91 | ermittelt, d. li. die Tangente in ^ oder 91, X |; der Scbnittpunkt X der beiden Strablen \WZ\ und | 3ljX | ist der gesucbte konjugierte Punkt zu SE^. Wir finden also das vorige Resultat (7.) wieder und erg'anzen es: Der Scbnittpunkt der beiden Tangenten in zwei konjugierten Punkten des Ortes liegt selbst auf dem Orte und ist der konjugierte Punkt zu dem dritten Scbnittpunkt, in welcbem die Verbindungs- liuie der beiden konjugierten Punkte der Ortskurve noch begegnet. Diesem dritten Scbnittpunkte gebort allemal eine byper- boliscbe Strableninvolution zu ; deren einer Doppelstrabl [21 5^ | ist, wabrend der andere Doppelstrabl I alle jene oben kon- struierten vierten barmoniscben Punkte entbalt (8). 3. Erzeugung der C (i) durch zwei Strahleninvolutionen in projektiver Beziehung und halbperspektiver Lage. 1. Wir baben bis jetzt Punkte und Punktepaare der Kurve (7 (31 in beliebig groBer Menge ermittelt, aber jedes neugefundene Punktepaar liegt infolge des angewendeten Prozesses getrennt von den fruberen Paaren; wir erbalten daber imnier uur diskret liegende Punkte der Ortskurve, in denen wir aucb die Tangenten konstruieren konnen; es feblt uns aber nocb eine Konstruktion, welcbe den kontinuier- licben Verlauf der Punkte der Ortskurve C (;i) zu veranscbau- licben vermag. Hierzu fiibrt uns folgende Betracbtung: Scbneiden sicb die Verbindungslmien der beiden Paare konjugierter Punkte ^UHj und .V.V,^ in dein Punkte und sei , der zu JL; zugeordnete vierte barnioniscbe Punkt riicksicbtlicb des Paares ,\'.\'j, also der Wert des Doppel- verbaltnisses Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. so lauft, wie wir wissen ( 2, s), bei Veranderung des Paares 3 3^ der Punkt , auf einer Geraden I und bescbreibt eine gerade Punktreihe; die beiden Strablen | 21 t I und | 21^ | bescbreiben also zwei perspektiv liegende Strablbiischel, wahrend die Strahlenpaare die beiden den Punkten 21 und 2^ zugehorigen Strahlen- involutionen bescbreiben. Die von dem Strahlenpaare | 2136 |> | 2(9^ | .bescbriebene Strableninvolution steht aber in engem Zusammenbange mit dem von dem einfacben Strabl | 2lj 1 | bescbriebenen Strahl- biischel, namlicb | 21^ | ist allemal der zu | 21^ J | zugeordnete vierte barmoniscbe Strabl riicksicbtlicb des Strablenpaares | 2136 [, | 21 ^ |. Zu jedem Strablenpaar der Strableninvolution gebort ein einziger bestimmter Strabl des Strablbiiscbels ; aber auch umgekebrt zu jedem Strabl des Strablbiiscbels ein einziges bestimmtes Strablenpaar der Strableninvolution 5 um dies zu finden, bediirfen wir nur der bekannten Aufgabe: ,,Fur zwei konzentriscb liegende Strableninvolutionen (deren eine byperboliscb ist) das gerneinscbaftlicbe Strablenpaar zu finden" (Th. d. K. S. 58). Diese Abbangigkeit der beiden Gebilde (der Strablen- involution und des Strablbuscbels) tritt nocb deutlicber ber- vor durcb folgende Hilfskonstruktion: Denken wir uns durcb 21 einen Kegelscbnitt gelegt, welcher die Tangente | 21 ST | in 21 berubrt, so durcbbobrt jedes Strablenpaar | 21 X |, | 21 X t | der Strableninvolution den Kegel- schnitt in dem Punktepaar tyi^, und die Durcbbobrungssebne jt)9il lauft durcb einen festen Punkt 9$, durcb welchen aucb der Strabl | a^ | hindurcbgebt, weil | 21 X | und | 2l2t t ein Strablenpaar der Involution bilden. Ist p die Polare von ^$ in Bezug auf den Hilfskegelscbnitt und schneidet | ^t)J dieselbe in , so sind tjt^^ vier barmoniscbe Punkte 7 folglicb | 21 1) |, | 21 9 X |, | 21$ j, | 2( | vier barmoniscbe Strahlen, 3. Erzeugung der COO dutch zwei Sttcihleninvolutionen etc. J3 also aueh | SIX I, 513^ |, | 515^ |, | 51 5 | solche, mithiu geht | Stj | durch r^. Das von j l)i) 1 \ beschriebene Strahlbuschel (^) liegt mit dem von | 21 j x | beschriebenen Strahlbuschel per- spektiv (der perspektive Durchschnitt 1st p), und nun liefert jeder Punkt 5 der Geraden p entsprechende Elemente der beiden Gebilde, namlich den Strahl | Hj | S | 8C& | des Strahl- biischels und das Strahlenpaar 51 1) |, 5lt) t | oder was das- selbe ist | 313E |, | 5(3^ | der Strahleninvolution. Wir reduzieren durch diese Hilfskonstruktion die Strahlen- involution [51] auf ein einfaches Strahlbtischel (*$), welches immer mit dem von | 51 t | beschriebenen Strahlbtischel pro- jektiv ist, wie wir auch den Hilfskegelschnitt wahlen mogen. Wir nennen demgemafi auch zwei Strahleninvolutionen pro- jektiv, wenn die Strahlbtischel , auf welche sie reduziert werden konnen, projektiv sind. Nehmen wir daher die beiden den Punkten 51 und 2( 1 zugehorigen Strahleninvolutionen, so sind die Reduktions- biischel derselben mit den von [ 51 r. t J und j Slj j t | beschriebenen Strahlbiischeln projektiv, und da diese perspektiv liegen, weil t auf der Geraden I sich bewegt, so sind die beiden Strahlen- involutionen [51] und [5IJ selbst projektiv. Durch diese projektive Beziehung der beiden Strahlen- involutionen wird jedem Strahlenpaar der ein en ein einziges bestimmtes Strahlenpaar der andern zugeordnet, und solche entsprechende Strahlenpaare schneideii sich nicht bio 6 in dem einen Punktepaar 33 1; sondern gleichzeitig noch in einem zweiten Punktepaar ^) ), , welche beide als konjugierte Punkte dem Orte angehoren. DaB das zweite Punktepaar ^)|) 1 auch ein Paar konjugierter Punkte der Ortskurve ist, folgt aus der Vierseitskonstruktion ( 2). 2. Die beiden projektiven Strahleninvolutionen [51] und [51J befinden sich in der eigentiimlichen Lage, da6 dem Strahlenpaar d Strahlenpaar entspricht, weil die beiden perspektiven Strahlbiischel j 51 r^ | und 51 X j, | in der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte zwei 14 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. entsprechende Strahlen vereinigt haben. Es fallen also in die Verbindungslinie der Mittelpunkte beider projektiven Strahlen- involutionen von zwei entsprechenden Strahlenpaaren je ein Strahl zusammen; wir bezeichnen demgemaB diese Lage als halbperspektive Lage der beiden projektiven Strahleninvolutionen und konnen nunmehr die Orts- kurve C (3) auffassen als Erzeugnis zweier projektiven Strahlen- involutionen in halbperspektiver Lage, indem irnmer die Durchschnittspunkte entsprechender Strahlenpaare zwei Punktepaare der Ortskurve C (3) liefern.* Die (7 (3) wird hiernach in kontinuierlicher Weise erzeugt, indem wir ein Strahlenpaar kontinuierlich die eine Strahlen- involution durchlaufen lassen, wodurch auch das entsprechende Strahlenpaar kontinuierlich die andere durchlauft. Die oben ausgefiihrte Hilfskonstruktion vermittelst eines Kegelschnitts, der in 21 und 3l t die beiden Geraden | SIX | und | 21, | be- ruhrt, giebt uns ein bequemes Mittel an die Hand, indeni wir den veranderlichen Punkt t die Gerade I kontinuierlich durchlaufen lassen, entsprechende Strahlenpaare in beliebiger Menge herzustellen und dadurch die ganze Kurve C (3 ' in ihrem Verlaufe zu konstruieren. 3. Zu dieser Erzeugung der C >3) durch zwei projektive Strahleninvolutionen in halbperspektiver Lage gelangen wir auch auf folgende Weise: Gehen wir von den drei Paaven konjugierter Punkte aus, so konnen wir ein vollstandiges Vierseit bilden aus den vier Geraden und die ganze Schar von Kegelschnitten, welche diese vier Geraden zu gemeinschaftlichen Tangenten haben. Alle Tan- gentenpaare aus einem festen Punkte an die Kegelschnitte einer Schar bilden bekanntlich eine Strahleninvolution, der * Vergl. des Verfassers Abhandlung: n Uber eine besondere Kurve dritter Ordnung und eine einfache Erzeugungsart der allgemeinen Kurve dritter Ordnung". Math. Annalen, Bd. V, S. SOflg. 3. Erzeugung der CW durch zwei Strahleninvolutionen etc. 15 insbesondere auch die drei Strahlenpaare angehoren, welche yon dem festen Punkte nach den drei Paar Gegenecken des vollstandigen Vierseits hingehen. (von denen SBS^ and (( x zwei Paare sind). 1st nun $t (2) ein beliebiger Kegelschnitt der Schar, so wird das Tangentenpaar aus 21 an denselben der Strahleninvolution angehoren, welche durch die Strahlen- paare und sp^ [ ? | $i( | und bestimint wird, und das Gleiche gilt von dern Tangenten- paar, welches aus 2^ an den Kegelschnitt $ (2) geht. Durch Veranderung desselben in der Kegelschnittschar erhalten wir also in 21 und 2l : zwei Strahleuinvolutionen, die in der Abhangigkeit voneinander stehen, da6 immer entsprechende Strahlenpaare Tangentenpaare aus 21 und 2( : an denselben Kegelschnitt $ <2) der Schar sind. 4. Unter den Kegelschnitten der Schar giebt es einen und nur einen einzigen, welcher die fiinfte Gerade I2121J beriihrt; von den beiden Tangentenpaaren, welche aus 21 und 2tj an diesen besonderen Kegelschnitt der Schar gehen, fallen zwei Strahlen in | 21 2^! | zusammen. Die Strahleninvolutionen [21] und [2(J befinden sich also in halbperspektiver Lage. Die beiden Strahleninvolutionen [2(] und [2lJ befinden sich aber auch in projektiver Beziehung; denn bezeichnen wir die Gerade mi, = a, so liegen bekanntlich die Pole der Geraden a in Bezug auf samtliche Kegelschnitte der Schar auf einer Geraden a t und bilden eine gerade Punktreihe % i} welche zu den Kegelschnitten der Schar in projektiver Abhangigkeit steht. 1st also r. t der Pol von a in Bezug auf ^-\ so liegt t auf a t und das Tan- gentenpaar aus 21 an $ (2) wird harmonisch getrennt durch das Stahlenpaar 2l2l x | = a und | St j t ]. Durchlauft 8 die Kegelschnittschar, so durchlauft r^ die gerade Punktreihe auf a 1} und | 2(j, | beschreibt ein einfaches Strahlbiischel, welches projektiv ist mit der Strahleninvolution, die von den Tangentenpaaren aus 2{ an die Kegelschnitte der Schar gebildet wird (3.). Das Gleiche gilt von der Strahlen- involution fur 2l t , und da die beiden von Theorie der ebenen Kurven dritter Orclnung. beschriebenen Strahlbiischel perspektiv liegen, so stehen auch die beiden Involutionen [21] und [2lJ in projektiver Beziehung. , Das Erzeugnis dieser beiden Strahleninvolutionen [21] und [2lJ in projektiver Beziehung und halbperspektiver Lage ist nun in der That unsere Kurve C (3) ; denn sei das Tangentenpaar aus 21 an.$ <2 >: t und t\ 21, $<: ^ und t\ und bezeichnen wir die Schnittpunkte *, (,')- D, so gehen aus X zwei Strahlen t und ^ nach 2( und 2( 1? die der Strahleninvolution angehoren, welche durch die -Strahlenpaare | 3695 | und | 93, |, | X& | und | Xt, L bestimmt wird; es geniigt also 9 den Forderungen der Auf- gabe ( 2, 1.) und ebenso 3 u $ und ^^ diese Punkte gehoren also dem gesuchten Orte (7 (3) an. Die Gerade x ist nichts anderes als die von uns friiher niit I bezeichnete Gerade ( 2, 8.), welche die projektive Beziehung der beiden Strahleninvolutionen [21] und [2IJ vermittelt. Wir konnen also folgenden Satz aussprechen: Wenn man eine Kegelschnittschar von vier ge- meinschaftlichen Tangenten | 83 ! ^A I hat, und man legt von zwei festen Punkten (2( und 2lj) jedesmal die Tangentenpaare an einen und den- selben Kegelschnitt der Schar, so durchschneiden sich dieselben in zwei Punktepaaren, deren gesamter Ort fiir alle Kegelschnitte der Schar eine C (3) ist. Was hier fiir die beiden Mittelpunkte 212^ der er- zeugenden Strahleninvolutionen nachgewiesen ist ? gilt in gleicher Weise fiir irgend ein Paar konjugierter Punkte. Es kann also dieselbe Kurve (7 (3) in der mannigfachsten Weise erzeugt werden, indem man immer nur ein Paar 3. Erzeugung der C& dutch zwei Strahleninvolutionen etc. 17 konjugierter Punkte als Mittelpunkte erzeugender Strahlen- involutionen wahlt und dieselben lierstellt. Dies entspricht der Erzeugung des Kegelschnitts durch zwei projektive Strahl- biischel, deren Mittelpunkte man beliebig auf dem Kegelschnitt wahlen kann. Hier ist die Wahl der Mittelpunkte dadurch beschrankt, daB ihre beiden Tangenten sich in einem Punkte der Kurve selbst schneiden rutissen. 5. Was wir bisher fiir einzelne Punkte und Punktepaare unsers Ortes erkannt haben, gilt jetzt fiir jeden beliebigenPunkt. Demi sei 3 ein beliebigerPunkt des Ortes, welcher also dieEigen- schaft besitzt, nach s 2l3l,, 3393,, ((, drei Strahlenpaare einer Involution zu senden ; dann giebt es nur einen einzigen be- stimmten Kegelscbnitt (2) , der die fiinf Tangenten hat und dieser Kegelschnitt ffi' 2) muB auch die Gerade | H, | beruhren, wegen der involutorischen Eigenschaft von . Aus 5t und 91, gehen aber an (2) noch zwei andere Tan- genten auBer | 913 | und | 2(, j; jene beiden schneiden sich in ,, einem neuen Punkte der Ortskurve, und das Punktepaar 3 und , ist ein Paar konjugierter Punkte der C (3) in dem friiheren Sinne und mit der charakteristischen Eigenschaft ; daB nun- mehr ein beliebiger Punkt ty der (7 (3) nach 36 und 3 x ein Paar konjugierter Strahlen derjenigen Strahleninvolution senden wird, unter welcher die drei gegebenen Punktepaare 91^, 9333,, (Si erscheinen. In der That, der Kegelschnitt ffi-^, welcher durch die fiinf Tangenten | 93 |, | i > I $i 6 |, | 93^, [, | St3 be- stimmt wird, beriihrt auch | 5t,X |, 213, |, | t,X, , hat also acht Tangenten. Wenn ty ein beliebiger Punkt der C (B) ist, so sendet er nach 5131,, 3333,, ((, drei Strahlenpaare einer Involution, welche schon durch zwei Strahlenpaare bestimmt wird. Dieser Involution muB das Tangentenpaar aus ^5 an ffl 2 * angehoren, also wird die Strahleninvolution [ty] durch dies Tangentenpaar und das Strahlenpaar | ^531 |, bestimmt; folglich muB ihr auch das Strahlenpaar SohrOter, Theorio der ebenen Kurven 3. Ordn. 2 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. spat; | angehoren, denn dasselbe gehort einer Involution an, die von alien Tangentenpaaren an die Kegelschnitte einer Sena* gebildet wird, welche die vier gemeinschaftlichen Tan- genten hat I 91 I I 2f I I 21 HM I 21 I- | -a* |, i -a*! |, | .* |, I *H**i. |j zu diesen Kegelschnitten gehort aber C2 >. Ebenso ist auch (ax, a, a-o-g) und tas a^-gh ein Paar konjugierter Punkte der (7^. Wir haben hierdurch eine Bediugung zwischen vier (beliebigen) Paaren konjugierter Punkte gefunden, die sich folgendernaaGen aussprechen laBt: Hat man irgend vier Paare konjugierter Punkte einer C (3) ermittelt und zieht die Verbindungslinien so beruhren diese acht Geraden einen und denselben Kegelschnitt ^>. 6. Wir haben gesehen, daB es auf C (3) zu jedeni Punkte 3: einen einzigen bestiinmten konjugierten Punkt 3k; giebt, wie derselbe gefunden wird, und daB irgend ein Punkt 9$ der (7 (3) mit 3 vmd X x verbunden zwei Strahlen liefert, welche der C 1(3) in einem neuen Paare konjugierter Punkte ?) und tyt begegnen. Man kann also durch Festhalten eines Paares kon- jugierter Punkte 93 1 und durch Veranderung des Punktes ty auf (7 (3) samtliche Paare konjugierter Punkte in kontinuier- licher Weise erhalten. Schneidet | ^53 | die C (3) zum dritten Mai in 2) und | ^3k\ | in 3),, so ist der konjugierte Punkt zu 4. Nachw. dafur, daB eine belieb. Gerade d. C^ 3 ' im allgem. etc. 19 Wenn wir von dem vollstandigen Vierseit, dessen drei Paar Gegenecken 363^ , D^, ^P^ sind, das Paar XS^ fest- halten, den willktirlichen Punkt 9$ der (3) aber so ver- andern, daB er in den dritten Schnittpunkt der Verbindungs- linie | 33t\ | mit der (7 (3) hineinruckt, dann wird ^) nach 3^ und ?) 1 nach X gelangen, also werden | 3)3^ \ und | 2)^ j die Tangenten der C (3) in den beiden konjugierten Punkten 3t* und 36 j werdeu, folglich wird der Punkt ^? 1 der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten und wir finden jetzt allgemein be- stlitigt den friiheren Satz ( 2, 9): Die beiden Tangenten in zwei konjugierten Punkten der (7 (;!) schneiden sich allemal in einem neuen Punkte derselben und der konjugierte Punkt zu letzterem ist der dritte Schnittpunkt der C (3) mit der Verbindungslinie der beiden ersten konjugierten Punkte. Die Strahlenin volution, welche diesem dritten Schnitt- punkte angehort, ist allemal eine hyperbolische, weil ein Doppelstrahl derselben die Verbindungslinie der beiden an- fanglichen konjugierten Punkte ist. 4. Nachweis dafur, dafs eine beliebige Gerade der (7 (3) im allgemeinen in drei Punkten begegnet. 1. Die Erzeugung der C (3) durch zwei Strahleninvolutionen in projektiver Beziehung und halbperspektiver Lage liefert uns nun auch den allgemeinen Nachweis dafiir, daB eine beliebige Gerade g der C (3) im allgemeinen in drei Punkten begegnet. Ist g eine beliebige Gerade in der Ebene, und treffen die beiden erzeugenden Strahleninvolutionen [5t] und [StJ die Gerade g in den Punktinvolutionen, deren Punktepaare und u t) und ty t seien, so haben wir auf g zwei incidente Punktinvolutionen in projektiver Abhaiigigkeit; die Punktepaare t und tjtjj entsprechen einander eindeutig, ebenso wie die Strahlenpaare 20 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. der erzeugenden Strahleninvolutionen, mit denen sie perspek- tiv liegen, und es wird auf die Frage ankommen: Wie oft ereignet es sich, daB ein Punkt des einen Paares JJ X mit einemPunkte des entsprechenden Paares t)ty t zusammenfallt? So oft dies eintritt, wird offenbar ein Schnittpunkt ent- sprechender Strahlen auf g liegen, d. h. ein Punkt der Orts- kurve sein. Von vornherein ist ersichtlich, daB dies eimnal eintritt; da namlich dem Strahlenpaar | SIX |, | Mi | das Strahlenpaar | StjX |, | 8^ SI | entspricht ( 3, 2), so trifft der Strahl | SIS^ | die Gerade g in einem Punkte 0, welcher zwei entsprechende Punkte aus den beiden Punktinvolutionen vereinigt. Dieser Punkt o fallt also als nicht dem Orte C (3) angehorig selbstverstandlich heraus. Die iibrigen zusammenfallenden Punkte lassen sich aber so ermitteln: 2. Jede der beiden auf g befmdlichen Punktinvolutionen laBt sich auf eine einfache gerade Punktreihe reduzieren durch ein Verfahren, welches dual gegenubersteht dem in 3, l angewendeten zur Reduktion einer Strahleninvolution auf ein einf aches Strahlbuschel. Nehmen wir namlich einen beliebigen die Gerade g im Punkte D beriihrenden Kegelschnitt (2) und legen aus jedem Punktepaar Jj t an denselben die beiden noch iibrigen Tan- genten, welche sich in p schneiden, so wird bei der Ver- anderung von ^^ der Ort von p eine gerade Linie 7, auf welcher p eine gerade Punktreihe durchlauft (Th. d. K. S. 152). Diese gerade Punktreihe ist projektiv mit dem von den Polaren ihrer Punkte gebildeten Strahlbuschel, also auch mit der von dem vierten harmonischen Punkte zu und jjj beschriebenen Punktreihe, welche perspek- tiv liegt mit dem von dem vierten harmonischen Strahl zu | St^ | und | SI X|, |StXJ beschriebenen Strahlbuschel. Das Strahlenpaar | 51 X | und | SISlj | liefert auf g das Punkte- paar D! und 0; die iibrigen Tangenten aus und o x miissen sich auf I schneiden, folglich muB 4. Nachw. dafur, dafl eine belieb. Gerade d. (7 (S) im allgem. etc. 21 sein, der Schnittpunkt von I und g. Wir haben dadurch die erste Punktinvolution [jj auf die gerade Punktreihe p (auf 1} reduziert; in gleicher Weise reduzieren wir mittels desselben Hilfskegelschnitts (2) die zweite Punktinvolution [t)t)J auf eine gerade Punktreihe [pj, deren Trager eine bestimmte Gerade l t ist. Trifft das Strahlen- paar | 21^ | und | 5^51 | die g in o\ und o, so wird 'i-(*i0) sein. Die beiden von p und PJ auf den Tragern I und Z t durchlaufenen geraden Punktreihen sind aber projektiv, weil die Punktinvolutionen [jjj und [tj^J projektiv sind ( 3 7 l), und ein besonderes Paar entsprechender Punkte dieser beiden projektiven geraden Punktreihen werden die Punkte c^o^ sein. Die Verbindungslinie je zwei entsprechender Punkte [ppj muB daher einen Kegelschnitt jBT (2) umhiillen, und da auch I i 'i I ~ 9 e i ne Tangente desselben ist , so haben die beiden Kegelschnitte bereits eine gemeinschaftliche Tangente, mithin im all- gemeinen noch drei andere, von denen mindestens eine reell sein muG ; die beiden iibrigen auch konjugiert - imaginar sein konnen. Diese drei iibrigen gemeinschaftlichen Tangenten der Kegelschnitte ^ t2) und K (2) liefern nun die Losungen der Aufgabe, denn sobald von dem Tangentenpaar aus p an (2) und von dem Tangentenpaar aus )j) i an (2) zwei Tangenten zusammenfallen in | ppj |, muB diese Gerade der g in einem Punkte begegnen, in welchem ein Punkt des Paares J^ mit einem Punkte des entsprechenden Paares t)t)i zusammen- fiillt. Wir schlieBen also das Resultat: Eine beliebige Gerade g enthalt im allgemeiuen drei Punkte des Ortes C (3) , von denen notwendig einer reell sein muB, die beiden andern auch kon- jugiert-imaginar sein konnen. 3. Wir haben hiermit zugleich eine allgemeinere funda- mentale Aufgabe gelost, deren Hervorhebung niitzlich er- 22 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. scheint. Die Kegelschnitte (2) und K& ] liaben namlich im allgemeinen vier gemeinschaftliche Tangenten, und nur in- folge der besonderen halbperspektiven Lage der erzeugenden Strahleninvolutionen tritt der Umstand ein, da6 eine der- selben als illusorisch fiir die vorliegende Frage herausfallt. Wenn wir also die Bediugung der halb-perspektiveu Lage fortlassen, werden wir sagen miissen: Bei zwei Punktinvolutionen [jjj und [t)t)J auf demselben Trager g, in projektiver Abhangigkeit komrat es im allgemeinen viermal vor, daB ein Punkt des einen Paares r_r. t mit einem Punkte des ent* sprechenden Paares t)^ zusammenfallt. Lassen wir also fiir die beiden erzeugenden projektiven Strahleninvolutionen [51] und [SIJ die Bedingung der halb- perspektiven Lage fallen, so wird das Erzeugnis eine Kurve vierten Grades, weil jede Gerade g im allgemeinen vier Punkte des Ortes enthalt (es ist leicht zu sehen, da6 t und SIj zwei Doppelpunkte derselben sein miissen) , und nur fiir die halb-perspektive Lage fallt die Gerade | H5I 1 1 als ein Teil dieser Kurve C w heraus, sodaB nur eine C (3) iibrig bleibt. Nehmen wir auf demselben Trager g eine Punkt- involution und eine einfache Punktreihe in projektiver Be- ziehung und reduzieren, wie oben, die Punktinvolution [jr.,] mittels des Hilfskegelschnitts $ (2) auf eine einfache gerade Punktreihe [p] auf dem Trager /, welche mit der auf g ge- gebenen Punktreihe [t)J projektiv sein wird, so erzeugen auch die projektiven Punktreihen I [p] und g [t)] einen Kegel- schnitt K ( -\ der mit $ (2) die gemeinschaftliche Tangente // hat; die iibrigen drei gemeinschaftlichen Tangenten beider Kegelschnitte liefern die incidenten entsprechenden Elemente der beiden auf g gegebenen Gebilde, also: Sind auf demselben Trager g eine Punkt- involution [jjcj und eine einfache Punktreihe [9] in projektiver Abhangigkeit gegeben, so konimt es im allgemeinen dreimal vor, daB ein Punkt des Paares r.^ mit dem entsprechenden Punkte t) zusammenfallt; von diesen drei incidenten Punkten ist immer einer 4. Nachw. dafiir, daB eine belieb. Gerade d. (7 ft) im allgem. etc. 23 reell, die beiden andern konnen auch konjugiert- iraaginar sein. Die dual - gegenuberstehenden Satze fiir Strableninvolu- tionen besonders auszusprechen ist uberflussig. 4. Wir konnen nunmehr aucb vollstandig und allgemein die Frage beantworten, welcbe uns in 2, 1 als Ausgangs- punkt diente, namlich die Frage nach dem Ort eines Punktes BE, welcber nacb drei voneinander unabbangig gegebenen Punkte- paaren Stralilenpaare einer Involution sendet. Die involutorische Eigenscbaft laBt sicb namlicb aussprecben als Gleichbeit der Doppelverbaltnisse zweier Strahlbiiscbel Nun ist der Ort eines Punktes X, welcber nacb vier gegebenen Punkten vier Strablen sendet, deren Doppelverbalt- nis einen gegebenen Wert baben soil, bekanntlicb ein Kegel- scbnitt, welcber durch die vier gegebenen Punkte selbst bin- durcbgeht und vermittelst der Tangente in einem dieser Punkte konstruiert werden kann. Soil das Doppelverhaltnis sein, so konstruiere man durcb 3^ eine Gerade t, sodafi- die vier Strahlen t 121911 l2t$H I2ISI *"> I . f H ;W -l> I.*4*P b r w i'* I den Wert des Doppelverbaltnisses x liefern; dann ist ein Kegelscbnitt vollstandig bestimmt, welcber durcb S^SlSiBS geht und in S( 1 die Tangente t hat. Dieser Kegelscbnitt ist der Ort fiir den gesuchten Punkt . Soil nun sein, und legen wir diesen Doppelverbaltnissen irgend einen Wert x bei, so wird 36 ein gemeinscbaftlicber Punkt zweier Kegelscbnitte sein miissen, welcbe bereits 31 und ^ gemein baben. Die iibrigen beideu Schnittpunkte erfiillen also die Forderung der Aufgabe. Mit der Veranderung von x ver- andern sich aucb die beiden Kegelscbnitte und beschreiben zwei Kegelscbnittbiiscbel mit je vier festen Grundpunkten. 24 Tbeorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Diese beiden Kegelschuittbusebel steben infolge der obigen Gleicbbeit in projektiver Abhangigkeit, die so bergestellt werden kann: Seien die Scbnittpunkte und [Be )-*, und lassen wir auf I einen veranderlichen Punkt r. 1 auf en, der eine gerade Punktreibe beschreibt, so findet offenbar die Gleicbbeit der Doppel verbal tnisse statt legen wir nun durcb SjeSlSl, einen Kegelscbnitt K, der | 5(j | beruhrt, und durcb S,!^ einen Kegelscbnitt K&\ der ^j | berubrt, so ist fur jeden Punkt 3E des ersten Kegelscbnitts und flir jeden Punkt X t des zweiten Kegelscbnitts folglicb fiir einen gemeinscbaftlicben Punkt beider Kegel- scbnitte X = 3^ ist die geforderte Bediugung X [!] -3B [8, (^OTi] erfullt, und da die beiden Kegelscbnitte ^T (2) und JiT/ 2 ' auGer 31 und ^ ini allgemeinen nocb zwei gemeinscbaftlicbe Punkte baben, so erbalten wir zwei Punkte, welcbe der Pordenmg geniigen. Verandern wir aber den Punkt j auf der Ge- raden /, so bescbreiben die beiden Kegelscbnitte K^ und K^ zwei Kegelscbnittbiiscbel niit den je vier Grundpunkten 31586^ und 31,93^^, und da die beiden Strablbiiscbel Stj | und | ty^i perspektiv liegen, also projektiv sind, so steben aucb die beiden Kegel- scbnittbiiscbel in projektiver Abhangigkeit voneinander wegen der projektiven Beziebung ibrer Tangentenbtiscbel in je einem festen Grundpunkte. Die beiden projektiven Kegel- scbnittbiischel [^ (2) ] und [^ <2) ] erzeugen im allgemeinen 4. Nachw. dafiir, daB eine belieb. Gerade d. C< 8 ) im allgem. etc. 25 eine Kurve vierter Ordnung C (4) , well auf einer beliebigen Geraden g die beiden von den Biischelu ausgeschnittenen projektiven Punktinvolutionen viermal entsprechende Punkte znsammenfallend liaben (3.). Aus der C w fallt aber die Gerade | ^ISlj | als illusorisck heraus, denn fur die besondere Lage des Punktes S -(* **) besteht der eine Kegelschnitt aus dem Linienpaar | 51 9^ |, | 93S | und der entsprechende Kegelschnitt aus dem Linien- paar j 5( x 3( , | ;$! Sj | , also haben beide die ganze Gerade l^^ii gemeinschaftlich, von der nicht saintliche Punkte der Forderung fur X geniigen. Es bleibt mithin nur eine Kurve dritter Ordnung C t3) iibrig als Ort fiir die gesuchten Punkte X. (Wir haben hierdurch zugleich eine neue Konstruktion fiir die Punkte X erhalten, auf die wir aber nicht weiter eiugehen wollen.) 5. Dagegen wollen wir hier nachtraglich die Reduktion eines Kegelschnittbiischels auf ein einfaches Strahl- biischel oder auf eine gerade Puuktreihe geben, um dadurch in den Stand gesetzt zu werden, zwei Kegelschnitt- biischel aufeinander projektiv zu beziehen oder auch ein Kegelschnittbiischel auf ein einfaches Strahlbiischel. Die Polaren eines festen Punktes ^5 in Bezug auf siinit- liche Kegelschnitte eines Biischels mit vier festen Grund- punkten laufen bekanntlich durch einen und denselben Punkt ^ und bilden eiu einfaches Strahlbiischel; nimmt man von einem zweiten Punkte O die Polaren in Bezug auf sarntliche Kegel- schnitte des Biischels , Avelche durch den festen Punkt O 1 laufen, so miissen die beiden um ^ und D a beschriebenen Strahlbiischel projektiv sein ; weil bekanntlich der Pol von | $pQ I in Bezug auf samtliche Kegelschnitte des Biischels einen Kegelschnitt beschreibt. Es sind also fiir samtliche Punkte ^3 in der Ebene die zugehorigen Polarenbiischel unter sich projektive Strahlbiischel; ist insbesondere ^ einer der Grundpunkte des Kegelschnittbiischels, so geht das Polareubiischel in das Tangentenbiischel in deniselben iiber. 26 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Auch unigekehrt entspricht jeder durch ^ gezogenen Ge- raden p als Polare von 1J3 em einziger bestimmter Kegel- schnitt des Biischels. Die Kegelschnitte des Biischels sind also eindeutig auf die Strahlen des Strahlbiischels der Polaren bezogen, also das Kegelschnittbuschel auf das Strahlbiiscbel reduziert. Ziebt man durch einen der Grundpunkte D des Kegel- schnittbiiscbels eine beliebige Gerade g, welcbe den Kegel- schnitten des Biischels in dein veranderlichen zweiten Punkte r, begegnet, nimmt auf g einen festen Punkt ^ und den zu- geordneteu vierten harmonischen Punkt I) riicksichtlicb des Paares Oj, also (Dj $,)__,, woraus foist so beschreibt bei der Veranderung des Kegelscbiiitts ini Biischel der Punkt t) eine mit dem Polarenbiiscbel [^J per- spektive Punktreihe, folglicb auch j eine gerade Punktreihe auf <7,-die wegen der obigen Bedingung niit der Punktreibe [tj] projektiv ist ; also aucb bestandig mit jeder andern in gleicher Weise konstruierten Punktreibe [j] projektiv bleibt. Das Kegel- schnittbuscbel wird dadurcb auf eine gerade Punktreibe reduziert. Scbneidet eine beliebige Gerade g die Kegelschnitte eines Biischels in dem veranderlichen Punktepaar und nimmt man von einein beliebigen festen Punkt ^ der Ge- raden g den zugeordneten vierten harmonischen Punkt I) riick- sichtlich des Paares also so beschreibt 1) eine gerade Punktreihe auf g, die immer niit jeder andern gleichartig konstruierten projektiv ist, weil sie mit dem Polarenbiischel [^SJ perspektiv liegt. Das Kegelschnitt- buschel wird dadurch auf eine gerade Punktreihe reduziert. Schneiden zwei beliebige Gerade g und g' die Kegel- schnitte des Biischels in den Punktepaaren j^ und r/r/j, so sind auch die von denselben beschriebenen Punktinvolutionen aufeinander projektiv bezogen, weil die einfachen geraden 5. Das Kegelschnittgewebe. 27 Punktreihen, auf welche sie reduziert werden konnen, zu- eiuander projektiv sind. Samtliche Punktinvolutionen, die auf beliebigen Geraden durch ein Kegelschnittbiischel aus- geschnitten werden, sind also unter sich projektiv. Legt man durch zwei Grundpunkte 0' eines Kegelschnittbiischels einen beliebigen festen Kegelschnitt (2) , so schneidet der- selbe jeden Kegelschnitt des Biischels noch in zwei ver- aiiderlichen Punkten t), deren Verbindungslinie durch einen festen Punkt ty lauft und ein einfaches Strahlbiischel [^5J beschreibt (Th. d. K. S. 239). Der Mittelpunkt ^ liegt auf der Verbindungslinie der beiden iibrigen Grundpunkte des Buschels. Konstruiert man den zugeordneten vierten harnionischen Punkt zu ^5 riick- sichtlich des Paares Jt), also so beschreibt j wegen des Kegelschnitts $ (2) eine gerade Punktreihe, welche perspektiv liegt mit deni Strahlbiischel T^iL gebildet von den Polaren des Punktes ty riicksichtlich der Kegelschnitte des Buschels; folglich ist auch das Kegel- schnittbiischel projektiv bezogen oder reduziert auf das Strahlbiischel [^J. Alle diese Reduktioneii (denen im dualen Gebiete ana- loge gegeniiberstehen)' des Kegelschnittbiischels, eines Ge- bildes zweiter Ordnung und einfach - unendlicher Machtigkeit, auf ein Gebilde erster Ordnung und gleicher Machtigkeit gestatten die projektive Beziehung dieser Gebilde unter- einander, wovon vielfach Gebrauch gemacht wird. Wir kehren nach dieser der Theorie der Kegelschnitte ent- nommenen AbschAveifung zu der Betrachtung der (7 (3) zuriick. 5. Das Kegelschnittgewebe. 1. Sind ^^ und DOj irgend zwei Paare konjugierter Punkte der (7 (3) , so bestininien die vier Verbindungslinien als gemeiuschaftliche Tangenten eine Kegelschnittschar, welcher die beiden in Punktepaare ausgearteten Kegelschnitte 28 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. schnitte [^S^J und [CDJ angehoren. Da die aus jedem Punkte an die Kegelschnitte einer Schar gesendeten Tan- gentenpaare einer Strahleninvolution angehoren, so wird auchf wenn wir aus dieser Kegelschnittschar einen beliebigen Kegel- schnitt herausnehmen, das aus einem Punkte X der (3) an gesendete Tangentenpaar der Strahleninvolution angehoren, welche dem Punkte 3 riicksichtlich der C (3) zugehort. Nehmen wir in gleicher Weise zwei andere Paare kon- jugierter Punkte 9^9^ und @@j der C l - 3 \ ziehen die Ver- bindungslinien I *R@ I I SR(S ! I *ft ~| |j OI^M \f SJj / >-*-'l I und entnehmen der Kegelschnittschar, welche diese vier Geraden zu gemeinschaftlichen Tangenten hat, einen beliebigen Kegel- schnitt Q(t) so sendet auch an diesen der Punkt X ein Tangentenpaar der zugehorigen Strahleninvolution. Es laBt sich daher die urspriingliche Bedingung fur den Punkt X auch so umgestalten: Der Ort eines Punktes X, welcher an drei Kegel- schnitte U (2 \ B< 2 >, S< 2 >, die nicht derselben Kegel- schnittschar angehoren, drei Tangentenpaare sendet, die einer Strahleninvolution angehoren, ist eine Kurve dritter Ordnung C (3 \ (Die drei urspriinglichen Punktepaare $l$ 17 9333^ SCS 1 sind nichts anderes, als drei besondere in Punktepaare aus- geartete Kegelschnitte 5. Das Kegelschnittgewebe. 29 Wegen der Willkiirlicbkeit der Wahl von Paaren kon- jugierter Punkte ^^ 1} OOj^ u. s. w. lassen sich solche Kegelschnitte wie 2l (2) , 93 (2) , @X 2 ' in groBer Menge ausfindig machen, die zur Erzeugung der Kurve C w verwendet werden konnen. Nun gehort nach 3, 5 der Kegelschnitt 5l (2) auch einer Schar an, welche die vier gemeinschaftlichen Tangenten I m |, 1 93(5, |, i^ei, i^l hat, weil die acht Geraden einen mid denselben Kegelschnitt beriihren; ebenso gehort der Kegelschnitt S3 (2) einer Schar mit den vier gemeinschaft- lichen Tangenten und der Kegelschnitt S (2) einer Schar mit den vier gemein- schaftlichen Tangenten I 2193 I 2193 I I 21 93 I I 91 93 I I ; i -a -Oj | , | -aj , 93 < 2) , drei neue Scharen bilden konnen 30 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. [ 21 < 2) S3 (2V J und aus jeder derselben einen beliebigen neuen Kegelschnitt entnehmen 2V 2 >, V, e/ 2 '; jeder Punkt 36 des Ortes C (3) muG dann fur diese drei neuen Kegelschnitte dieselbe Eigenschaft besitzen wie fiir die drei friiheren, und indem wir in dieser Weise fortfahren, erkalten wir eine grosse Menge von Kegelschnitten, die in einem gewissen Zusammenhange miteinander stehen, indem zwei dieser Kegelschnitte immer zu einer Schar von Kegelschnitten fiihren und jeder Kegelschnitt derselben mit einem andern ihr nicht angehorigen Kegelschnitt zur Bildung einer neuen Schar fiihrt u. s. f. Wir nennen die Gesamtheit aller dieser Kegelschnitte ein Kegelschnittgewebe und konnen daher sagen, da6 fur jeden Punkt 3 der C (3) die Tangentenpaare an samtliche Kegelschnitte des Gewebes einer und derselben Strahlen- involution angehoren. 2. Um die Kegelschnitte eines Gewebes besser zu iiber- sehen und die Machtigkeit desselben zu beurteilen, gehen wir wieder von den drei Punktepaaren aus und bestimmen zuerst die Kegelschnittschar [S3S], welche die vier gemeinschaftlichen Tangenten hat Nehmen wir aus dieser Kegelschnittschar einen ver- anderlichen Kegelschnitt (2) heraus, legen aus 2( und ^ die Tangentenpaare an 3t (2) und fassen dieselben als die gemeinschaftlichen Tangenten einer neuen Kegelschnittschar auf (auch wenn das eine oder beide Tangentenpaare konjugiert - imaginar sind, ist bekanntlich durch die sie vertretenden Strahleninvolutionen die neue Kegelschnittschar vollstandig bestimmt und reell konstruier- bar, Th. d. K. S. 326), so wird jeder Kegelschnitt 5. Das Kegelschnittgewebe. 31 dieser Schar dem Gewebe angehoren, und unigekelirt muB jeder Kegelsclmitt des Gewebes aus einer Schar [9l (2) (2) ] entnommen sein 7 wo S( (2) = [51SIJ der in ein Punktepaar ausgeartete Kegelscbnitt ist, und 3 (2) aus der Schar [93(] genommen wird. Es giebt keine andern Kegelschnitte des Gewebes als solcbe (2) . In der That, ist $ (2) ein beliebiger Kegelschnitt des Gewebes, so muB er die Eigenschaft besitzen, da6 die beiden Tangentenpaare aus 21 und 2^ an (2) den Strahleninvolutionen angehoren, welche 91 und ^ nach den Punktepaaren 93 s $ t und ((j senden. Die Tangentenpaare aus 31 und 3^ an (1>) bestininien aber eine Kegelschnittschar, in weleher es einen und nur einen bestimmten Kegelschnitt (2) giebt, weleher I 93 I beriihrt. Da nun die drei Kegelschnitte: 1. das Punktepaar [SISlJ, 2. der Kegelschnitt < 2 > des Ge- webes und 3. der Kegelschnitt X (z) derselben Schar an- gehoren, so mtissen die drei Tangentenpaare aus $ an die- selben einer Strahleninvolution angehoren, welche schon durch die beiden ersten Tangentenpaare bestimmt wird und welche deni Punkte S zugehort riicksichtlich der 6 1(3 '. Das Tangentenpaar aus s -8 an { -\ von dem | 93S | ein Teil ist, muB daher auch dieser Strahleninvolution angehoren, also muB | ^8^ | der andere Teil sein, d. h. | 93^ | muB 3 (2) beriihren; in gleicher Weise erkennen wir, daB auch | S93 t | und | S^i) den X (2) beriihren miissen, woraus folgt, daB X (:!) die vier Tangenten hat, also der Schar [ s -8(j angehort. Wir schlieBen hieraus, daB der willkiirlich dem Gewebe entnommene Kegelschnitt $ (2) in der That durch diejenige Konstruktion hervorgeht, welche wir oben angegeben haben, narnlich der veranderlichen Schar [?[36 ( ^] angehort, wo X (2) aus der Schar [93 (2) S' 2) ] entnommen ist. Hieraus konnen wir die Machtigkeit der Kegelschuitte eines Gewebes beurteilen; die Kegelschnitte 3E (2) in der Schar (<*)] sind von einfach-unendlicher Miichtigkeit, und jeder 32 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. derselben wird init 5l ( ' 2) zur Bildung einer neueii Schar von eiufach-unendlicher Machtigkeit zusaniniengestellt, aus der alle Kegelschnitte des Gewebes hervorgehen; folglich bilden die samtlichen Kegelschnitte des Gewebes eine doppelt-unendliclie Mannigfaltigkeit (co 2 ), liber welche die vorige Konstruktion eine anschauliche Ubersicht gewahrt. 3. Wir baben die Gesamtbeit der Kegelscbnitte des Gewebes bervorgeben lassen aus den drei urspriinglicben voneinander unabhangigen Punktepaaren 17 3333,, (,, welche als drei ausgeartete Kegelscbnitte des Gewebes auf- zufassen sind. Wir nabmen aus der Schar [S3S] einen be- liebigen Kegelscbnitt 3 ( ' 2) , verwendeten ibn rnit [SISCJ zur Bildung einer veranderlichen Kegelschnittschar, aus der siiuit- licbe Kegelscbnitte des Gewebes zu entnebmen sind. Wir konnen aber die erste Scbar [33 (], aus der 9 (2) bervorgebt, aucb als gegeben annebmen durcb zwei beliebige Kegelschnitte derselben ^ und ^ und wir konnen das Punktepaar ^t 1 ^ ersetzen durcb einen beliebigen Kegelschnitt der mit 36 (2i verbunden die veranderliche Kegelschnittscbar bestimnit. Dann erbalten wir zur Bildung der samtlicben Kegel- scbnitte (2 > des Gewebes drei beliebige voneinander im- abhangige Kegelschnitte von denen ausgebend wir durch Scbarenbildung vermittelst je zweier zu samtlicben Kegelscbnitten des Gewebes gelangeu. Durch drei unabbangig voneinander gegebene Kegelschnitte ist das Gewebe bestimmt; zwischen vier Kegelschnitten desselben muB also eine Bedingung obwalten. Diese bestebt, wenn wir fur die vier Kegelschnitte nehmen gemiiB der Entstebung des Gewebes, darin, daB die beiden Scbaren 5. Das Kegelschnittgewebe. 33 und einen gemeinschaftlichen Kegelschnitt (2) haben miissen. (In dem besonderen Fall von vier Punktepaaren 1st diese Bedingung in dem Satze 3, 5 enthalten.) Allgemein laBt sich diese Bedingung so aussprechen: Werden irgend vier Kegelschnitte aus einem Gewebe genommen, von denen keine drei derselben Scliar angehoren, und man verbindet beliebig zwei derselben und die beiden iibrigen zur Bildung zweier Kegelschnittscharen, so haben dieselben allemal einen Kegelschnitt gemeinschaftlich. Die Richtigkeit dieser Behauptung folgt daraus, daB, 3e ( ' 2 ' aus der Schar entnommen sind, die drei veranderlichen Scharen irnmer dieselben Kegelschnitte $ (2J des Gewebes liefern niussen. Dies 1'aGt sich auch als besonderer Satz so aus- sprechen: Gehoren die drei Kegelschnitte Sl (2) , 93 (2) , fe^ einer Kegelschnittschar und die drei Kegelschnitte I (2) > S (2) ; S3/ 2 ) einer zweiten Kegelschnittschar an, welche mit der ersten den Kegelschnitt 2t {2) gemein hat, so haben auch die beiden Kegelschnittscharen [$<*> ((S)] und [SjW/- 2 ^ einen Kegelschnitt gemeinschaftlich, sowie auch [33(2)^(2)] un d [(2)^(8)] einen gemeinschaftlichen Kegelschnitt. Aus diesem allgemeinen Satze ergiebt sich, daB das ganze Kegelschnittgewebe ebenso aus drei beliebigen seiner Kegelschnitte n-! , Ji 2 , <5V 3 , die nicht derselben Schar angehoren, hergeleitet werden kann, wie es aus den drei Kegelschnitten 9X (2) , 33 (2) , S (2) hervorging. Schruter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordu. 34 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Denn nehmen wir irgend einen vierten Kegelschnitt des Gewebes $ 4 (2) , so miissen die beiden Kegelschnittscharen [$!<> $ 8 < 21 ] und [ 3 < 2 > 4 < 2 >] einen gemeinschaftlichen Kegel- schnitt 3 (2) haben; wir konnen daher von den drei Kegel- schnitten ^< 2) , &j (2) , t s (2) , welche nicht derselben Schar an- gehoren, zur Bestimmung des Gewebes ausgehen, aus der Schar [^ (2) ^ 2 ( 2) ] einen veranderlichen Kegelschnitt <-> nehmen und ihn mit & 3 (2) zur Bildung einer neuen Schar [ 3 (2) 3 (2) ] verbinden, aus welch er wir saintliche Kegel- schnitte $ 4 (2) des Gewebes entnehmen. 4. Zieht man an irgend zwei Kegelschnitte des Ge- webes ein Paar gemeinschaftlicher Tangenten, so besitzt der Schnittpunkt derselben oflenbar die Eigenschaft, an samtliche Kegelschnitte des Gewebes Tangentenpaare zu senden, welche einer und derselben Strahleninvolution angehoren, also mu6 dieser Punkt ty auf der C (3) liegen; denn die Tangentenpaare an die ersten beiden Kegelschnitte 5l (2) und 93 (:J) fallen in eines zusammen, an einen dritten Kegelschnitt (' 2) des Ge- webes geht also ein zweites Tangentenpaar, und diese beiden bestimmen schon die Strahleninvolution fur s ^ 7 der samtliche iibrigen Tangentenpaare angehoren miissen, weil 5( (2) , 23 (2) ; (E'- 1 das ganze Gewebe bestimmen. Wenn aber ein Paar gemein- schaftlicher Tangenten von 2( (2) und 33 (2) sich in ^ schneidet, so giebt es noch ein zweites Paar gemeinschaftlicher Tan- genten, welche, wenn auch konjugiert-imaginar, sich in dein immer reellen Punkte ^ schneiden, und das Punktepaar ^^ ist als ein ausgearteter Kegelschnitt der Schar [$l (2) 33 (2) ] aufzufassen; es miissen also ^3 und ^ t ein Paar konjugierter Punkte der C (:5) sein, weil sie als Mittelpunkte zweier er- zeugenden Strahleninvolutiouen in projektiver Beziehung und halbperspektiver Lage auftreten ( 3). Wir schlieBen also: Ein Punktepaar, in welches ein Kegelschnitt des Gewebes ausartet, ist allemal ein Paar kon- jugierter Punkte der 6 1(3) . Oder: Die C (3) ist der Ort samtlicher Punktepaare, in welche Kegelschnitte des Gewebes ausarten. 6. Die v\ umhiillt v. d. Verbindungsl. konjug. Punkte d. C. 35 Eine Kegelschnittscbar bat im allgemeinen drei inPunk|e- paare ausgeartete Kegelscbnitte, die drei Paar Gegenecken des von den vier gemeinscbaftlicben Tangenten gebildeten vollstandigen Vierseits. Ein Kegelscknittgewebe bat deren uuendlich viele (von einfacb - unendlicber Macbtigkeit) ; je zwei Kegelscbnitte des Gewebes verbinden sicb zu einer Scbar mit drei solcben Punktepaaren, die allemal ein voll- stiindiges Vierseit mit seinen sechs Ecken bilden, welcbes der C (3) einbescbrieben ist. Da durcb drei willkiirlicb anzunebniende Kegelscbnitte 5l< 2 ) ; 93^, (-) das Kegelscbnittgewebe bestimmt wird, so konnen wir folgenden besonderen Satz aussprecben: Sind irgend drei Kegelscbnitte unabbangig von- einander gegeben, so baben je zwei derselben vier (reelle oder paarweise konjugiert-imaginare) gemeinscbaft- liche Tangenten, die ein vollstandiges Vierseit nait secbs Ecken bilden; die dadurch erhaltenen 3 . 6 = 18 Punkte liegen auf einer (7 (3) und bilden neun Paare konjugierter Punkte derselben. 6. Die (3) , umhiillt von den Verbindungslinien konjugierter Punkte der <3) . 1. Die Pole einer Geraden x in Bezug auf samtlicbe Kegelscbnitte einer Scbar Hegen bekanntlicb auf einer Ge- raden x l} welcbe die Eigenschaft bat 7 da6 ihre Pole wieder auf x liegen, sodaB diese beiden Geraden konjugierte Strablen riicksicbtlicb der Kegelscbnittschar beiGen. Nennen wir nun die Verbindungslinie zweier konjugierten Punkte der C f(3) ^v ^1 *" ~~ w und wablen die Kegelscbnittscbar [93 @] mit den vier gemein- scbaftlicben Tangenten welcbe als ausgeartete Kegelscbnitte die beiden Punktepaare 9399 1 und (S&j entbalt, so sind die Pole von x riicksichtlicb dieser beiden Punktepaare die vierten barmoniscben Punkte zu den Scbnittpunkten (363^, 93S3j) und(X3k' 1 , SSj) zugeordnet 8* 36 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. ru^ksichtlich der Punktepaare 33 95 j und (E& r Diese vierten harinonischen Punkte liegen aber, wie wir wissen ( 2, s), in einer Geraden mit dem dritten Schnittpunkte von | 33t\ { und C (S} , welche wir friiher I genannt haben und jetzt mit x l bezeichnen wollen. Diese Gerade x l enthalt nun aber nicht nur die Pole der x riicksichtlich saintlicher Kegel- schnitte der Schar [93 S], sondern iiberhaupt die Pole von x riicksichtlich sarntlicher Kegelschnitte des Gewebes. Denn da an Stelle der Kegelschnittschar [93(5] irgend eine andere dem Gewebe angehorige Schar von Kegelschnitten [^ x (2) 2 (2 ^] gesetzt werden kann, riicksichtlich weleher die Pole von x ebenfalls auf einer Geraden liegen miissen, welche durch den dritten Schnittpunkt der Geraden | S^ j mit C (3 > hindurch- gehen mu6, da ferner die beiden Kegelschnittscharen [95 S] und [i (2) $2 (2) ] einen gemeinschaftlichen Kegelschnitt haben, riicksichtlich dessen der Pol von x derselbe bleibt, so wird auch die durch diese beiden Punkte bestirnnite Gerade x t die Pole von x enthalten riicksichtlich beider Kegelschnitt- scharen [95 S] und [/ 2) ^ 2 <2) ]j a ^ so au ch riicksichtlich samt- licher Kegelschnitte des Gewebes. Nennen wir X 1; wie friiher , den dritten Schnittpunkt der Geraden | 3^ | mit der (3) , so werden x und x t kon- jugierte Strahlen sein riicksichtlich siimtlicher Kegelschnitte des Gewebes, namlich die Doppelstrahlen derjenigen Strahlen- involution, welche dem Punkte X x zugehort fiir die (7 (3) , und welche immer eine hyperbolische ist, weil fiir sie | X^ | = x ein Doppelstrahl , x i der andere Doppelstrahl ist. Wir schlieBen hieraus: Wenn eine Gerade x in Bezug auf drei von ein- ander unabhiingige Kegelschnitte $T 2) , 93 (2) , (2) des Gewebes ihre drei Pole auf einer Geraden x i gelegen hat, so hat sie auch fiir alle andern Kegelschnitte des Gewebes ihre Pole auf derselben Geraden x l ] der Schnittpunkt (xx^) liegt auf der C (3) und xx t sind die Doppelstrahlen derjenigen Strahleninvolution, welche dem Punkte (xx^ riicksichtlich der C (8) zu- gehort. 6. Die ( 3) , umMllt v. d. Verbindungsl. konjug. Puntte d. CW. 37 2. Soldier Geraden x, deren drei Pole in Bezug auf SI (2) , $8 (2 >, ( (2) wieder auf einer Geraden x 1 liegen, giebt es aber im allgemeinen durch einen beliebigen Punkt der Ebene nur drei; denn dreht sich x um D, so beschreiben ihre Pole riicksichtlich 3{ (2) , S3 (2) ? ( (2) drei projektive Punkt- reihen [a], [b], [c] auf den Geraden a, b, c, und es beschreiben die Verbindungslinien | ab | und ac daher zwei Kegelschnitte, welche auBer a noch drei gemeinschaftliche Tangenten haben ; diese besitzen die verlangte Eigenschaft. Der Ort der Ge- raden x ist also eine Kurve dritter Klasse (3) . Da nun eine solche Gerade x immer die Verbindungslinie zweier konjugierten Punkte der C (S> ist oder, was dasselbe sagt, ein Doppelstrahl der einem Punkte der (7 (3) zugehorigen Strahlen- involution, so konnen wir den Satz aussprechen: Die samtlichen Verbindungslinien aller Paare konjugierter Punkte 33, der G' (3) umhtillen eine Kurve dritter Klasse < s >. Oder: Die Doppelstrahlen samtlicher den Punkten einer (7 (8) zugehorigen Strahleninvolutionen um- hiillen dieselbe Kurve dritter Klasse (3) . Wir wollen ein Paar solcher konjugierten Strahlen xx v riicksichtlich samtlicher Kegelschnitte des Gewebes ein Paar konjugierter Tangenten der Kurve (3) nennen. 3. Wir wollen jetzt den Beriihrungspunkt jedes solchen Strahles x mit der von ihm umhullten Kurve (3) ermitteln. Aus zwei beliebigen Paaren konjugierter Punkte XX, und g)^ der (1) folgt bekanntlich immer ein drittes Paar Gm ae^j und (xg,, ^^ lassen wir nun den Punkt 5) dem Punkte 36 sich unendlich niihern, so wird auch 3) x dem 3k\ unendlich nahe riicken, wie aus der Natur involutorischer Gebilde hervorgeht. Da- bei wird nun | 3E|) | die Tangente der C (3) im Punkte X, und | 3t\ ^)j | die Tangente der C (3) iui Punkte 3k\ ; der Schnitt- punkt beider Tangenten heiGe < ^. i und hat zu seinem kon- jugierten Punkte den dritten Schnittpunkt X des Strahles | XXJ mit der C< 3 >; folglich wird 48750 38 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. und der dritte Diagonalpunkt dieses ausgearteten vollstandigen Vierecks % 1 < JD < JD i namlich der Schnittpunkt wird der Beriihrungspunkt d. h. der Schnittpunkt unendlich be- nachbarter Tangenten der von | X^ | und D^ x | umhiillten Kurve (3) . Dies ist aber nach bekannter Eigenschaft des voll- standigen Vierecks der vierte harmonische zu X zugeordnete Punkt % l riicksichtlich des Paares 33t\; also ist das Doppel- verhaltnis = -- 1, und wir konnen den Satz aussprechen: Die Verbindungslinie zweier k onj u giert en Punkt e | 3Ej | beruhrt den von ihr umhullten Ort in dem vierten harmonischenPunkt, der deni drittenSchnitt- punkt X von | 36 3^ | init der (7 (3) zugeordnet ist. Die Tangenten der $ (S) gruppiereii sich zu Paaren, denn die dem Punkte X der C (3) zugehorige Strahleninvolution ist eine hyperbolische und hat zu einem Doppelstrahtl | 33 x | =x, folglich noch einen zweiten Doppelstrahl x l} der auch zwei konjugierte Punkte H'H\ der C (b) verbinden muB (die aller- dings auch konjugiert-imaginar sein konnen). Da aus diesen beiden Paaren konjugierter Punkte das dritte folgt p^ ^pj imd gp^ SiX ,) und die beiden Bertihrungspunkte %! und %{ auf den Strahlen | X^ | 7 | X'X^ die vierten harmonischeu zu X zugeordneten sind, so folgt aus der bekannten Eigen- schaft des vollstandigen Vierecks XXiX'X'u daB X x und X( auf derselben Geraden liegen mit dem obigen dritten Paare konjugierter Punkte, also ist auch | SEjX^ | eine Taugente der ^ (3) , und wir schlieBen: Die Verbindungslinie der Bertihrungspunkte zweier konjugierten Tangenten xx l der (3) (s. o. 2.) ist selbst eine dritte Tangente der (3) . 4. Da der Schnittpunkt @ zweier konjugierten Tangenten xxj_ der W auf der C H e gt und der Mittelpuukt einer 6. Die $(), umhiillt v. d. Verbindungsl. konjug. Punkte d. CW. 39 Strahleninvolutioii ist, deren Doppelstrahlen xx l sind, und deren Strahlenpaare immer nach einem Paare konjugierter Punkte der (7 1 - 31 hingehen, so konnen wir auch sageu: Jedes Paar konjugierter Punkte der C (3) wird durch jedes Paar konjugierter Taiigenten der il (!) (oder durch jedes Paar konjugierter Strahlen xx v des Gewebes) harmonisch getrennt. Nehmen wir nun irgend drei solcher Paare xx^ kon- jugierter Tangenten der $ (3) oder, was dasselbe sagt, von drei Strahleninvolutionen beliebiger Punkte der (7' 3) die Doppelstrahlen a 1; Uu 1} cCj, die nicht gerade die drei Seitenpaare eines vollstandigen Vierecks sein mogen, so wird jede weitere Tangente der $ (3) die Eigenschaft haben miissen, da6 jedes der drei Strahlen- paare aa 1} bb i} cc x die Punkte SS^ harmonisch trennt, also wird die Gerade x von den Strahlenpaaren aa 1} bb 1} cc in drei Punktepaaren einer Punktinvolution getroffen, deren Doppelpunkte XXj sind. Hierdurch wird der Ort der Geraden x definiert als beschrieben von einer Geraden , auf welcher drei Strahlenpaare aa lf bb i} cc Punktepaare einer Involution ausschneiden; dies ist aber die dual gegeniiberstehende (rezi- proke) Aufgabe von derjenigen, welche in 2, 1 den Aus- gangspunkt unserer Untersuchung bildete; wenn dort also eine Kurve dritter Ordnung C (3) resultierte, so mufi hier eine Kurve dritter Klasse (3 > hervorgehen, wie wir sie bereits (2.) in der That gefunden haben; und alle Eigenschaften welche wir fur jene gefunden haben, mussen ins duale Gebiet iibertragen auch fiir diese gelten. Die beiden dual gegeniiberstehenden Gebilde C (3) und ^' (:i) treten hier zusainmen auf, ohne aber wie beim Kegelschnitt (als Punktgebilde und Tangentengebilde aufgefaBt) identisch zu sein. Die hieraus hervorgehenden Eigenschaften und Er- zeugungsweisen der il (3) zu wiederholen erscheint iiberfliissig, da die Ubertragung ins duale Gebiet ohne Schwierigkeit ist. 40 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Auf den innigen Zusammenhang der Kurven (3) und einzugehen, werden wir noch mehrfach Gelegenheit haben. 5. Wir beschranken uns bier zunachst darauf, drei solcbe Strahlenpaare aa i} oo 1} cc l} wie sie zur Bestimmung der (3) notwendig und binreichend sind, herzustellen, indem wir von drei urspriinglich gegebenen von einander unabhangigen Punktepaaren !, !, <&( welch e zur Bestimmung der ,C^ dienen, ausgeben. Seien die Scbnittpunkte (5(5,) -a, und werden die vierten barmoniscben Punkte durcb die Werte der Doppelverbaltnisse bestimmt: ! CCj-- 1, aa'J- -I, die durcb folgende Konstruktion gefunden werden konnen: ;, SS^) = 3), (33^, S5 X ) = 3> n l*i|.-fl, (ea) = 6 1; (/?>) = c x , dann werden I ^^1 = ^, j ^cM- und aa 1} bb 17 cc l sind die drei Strahlenpaare, welcbe zur Bestimmung der (3) notwendig und binreichend sind und die zum Ausgangspunkt 7. Das Kegelschnittnetz. 41 der dual gegeniiberstehenden Untersuchung dienen konnen, wie die drei ursprimglichen Punktepaare zu der Untersuchimg der Kurve (7 (3) und ihrer Eigenschaften gefiihrt haben. Umgekehrt kann man auch von den drei Strahlenpaaren aa i> bb 1} cc i ausgehend zu den Punktepaaren gelangen, was wir nicht weiter ausfiihren wollen. Die Uber- tragung der gewonnenen Resultate fuhrt aber auf ein dem Kegelschnittgewebe dual gegeniiberstehendes Gebilde, welches nodi besonders hervorgekoben werden soil. 7. Das Kegelschnittnetz. 1. Ebenso wie die drei Punktepaare als drei ausgeartete Kegelschnitte aufgefaGt werden konnten zur Bestimmung fiir ein ganzes Gewebe von doppelt-unend- lich vielen Kegelschnitten, konnen die drei Linienpaare aa 1} bb l} cc l zu einem Gebilde von Kegelschnitten fiihren, welches man ein Kegelschnittnetz nennt und welches in analoger Weise mit der Kurve $ (3) zusammenhangt, wie das Kegelschnitt- gewebe mit der (7 (3) . Beide Gebilde stehen aber auch unter- einander in enger Verbindung, wie die C (3) und & i3 \ Die beiden Linienpaare bb i und cc l bestimnien namlich ein Kegelschnittbiischel, welches die vier Grundpunkte hat (fee), (fecj, (& x c), (fe^J; einen beliebigen Kegelschnitt aus diesem Biischel wollen wir nennen. Ebenso bestimmen die beiden Linienpaare cq und acti ein Kegelschnittbiischel niit den vier Grundpunkten 42 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. (ca), (cflj, foa), (qaj, und ein beliebiger demselben entnommener Kegelschnitt heiBe endlich bestimmen die beiden Linienpaare aa t und bb t ein Kegelschnittbiischel mit den vier Grundpunkten (06), (a&,), (V), fo&J, und ein beliebiger aus deniselben entnommener Kegelschuitt heiBe (7 (2) ; dann bestimmen die drei Kegelschnitte ein ganzes Kegelschnittnetz von doppelt-unendlicher Mannig- faltigkeit (oo 2 ) oder eine einfach-unendliche Mannigfaltigkeit von Kegelschnittbiischeln, deren Gesamtheit so zusammen- gefaBt werden kann: Ein veranderlicher Kegelschnitt X (2) werde aus dem durch. die beiden Keelschnitte jB (2) und (7 (2) bestimmten entnommen und zur Bildung eines neuen Kegelschnittbiischels verwendet, dann erfiillen samtliche Kegelschnitte K (2i dieses variablen Biischels das Kegelschnittnetz, und es giebt kerne andern Kegelschnitte des Netzes weiter, als die auf diese Weise konstruierten. 2. Drei voneinander unabhangige Kegelschnitte (die nicht demselben Biischel angehoren) bestimmen voll- standig das Kegelschnittnetz, welches durch fortgesetzte Bildung von Biischeln aus je zweien hergestellt wird. Irgend vier Kegelschnitte des Netzes sind der Bedinguug unterworfen, da6 sie in irgend einer Weise zu zwei Paaren vereinigt, zwei Kegelschnittbuschel bestimmen, welche alle- uial einen gemeinschaftlichen Kegelschnitt haben (d. h. deren acht Grundpunkte auf einem und demselben Kegelschnitt liegen). 7. Das Kegelschnittnetz. 43 Die Gesamtheit der in Linienpaure zerfallenden Kegel- schriitte des Netzes urnhullt die Kurve dritter Klasse & (:;) , und ein solches Linienpaar ist allemal ein Paar konjugierter Tangenten der $l (3) . Die Kurve dritter Klasse (3) ist der Ort einer Geraden, welche durch drei voneinander unabhangige Kegelschnitte des Netzes (und daher von samtlichen Kegelschnitten des Netzes) in Punktepaaren geschnitten wird, die einer In- volution angehoren. Die Doppelpunkte aller solchen Punkt- involutionen liegen auf der Kurve dritter Ordnung C (3) und sind allemal ein Paar konjugierter Punkte derselben. Ist ein Kegelschnittbiischel und zwei Gerade a, a^ ge- gebeu, auf welchen durch das Biischel zwei Punktinvolutionen jjj und l)l) t in projektiver Beziehung und halbperspektiver Lage ausgeschnitten werden, so umhiillen die Verbindungs- linien entsprechender Punktepaare I W I, I Mi I, I iV) I, i E9i i die Kurve dritter Klasse il (:5) (vergl. 3). Der Ort einer Geraden x, Der Ort eines Punktes X, deren Pole in Bezug auf drei von- dessen Polaren in Bezug auf einander unabhangige Kegel- drei voneinander unabhiingige sclinitte W-\ # ( ' 2 \ S (2) (folg- Kegelschnitte A, B#\ V lich in Bezug auf samtliche (folglich in Bezug auf samt- durch dieselbeii bestimmten liche durch dieselben be- Kegelschnitte eines Gewebes) stimmteii Kegelschnitte eines wieder auf einer Geraden x^ Netzes) sich wieder in einem liegen, ist eine Kurve dritter Punkte X x schneiden, ist eiue Klasse R (3) , und die Strahl en xx^ Kurve dritter Ordnung (7 (3) , sind ein Paar konjugierter Tan- und die Punkte 363 x sind ein genten derselben. Der 8chnitt- Paar konjugierter Punkte der- punkt (xXi) beschreibt die selben. Die Verbindungslinie Kurve dritter Ordnung C (9 \ | ^^i | umhullt die Kurve dritter Klasse Da aus zwei Paaren konjugierter Punkte der (7 (8) , nliua- lich # und iniuier em drittes Paar 44 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. folgt ( 2, 2), so konnen die drei Verbindungslinien \xXi\~xj IDDil-y, I83J-* auch aufgefaBt werden als die Diagonalen eines vollstandigen Vierseits, dessen drei Paar Gegenecken 363 17 2)^, 33t sind. Dieses Diagonaldreiseit xyz ist aber bekanntlich ein gemein- schaftliches Polardreiseit (selbstkonjugiertes Dreiseit) fur samt- liche Kegelschnitte der Schar, welche dem vollstandigen Vier- seit einbeschrieben werden konnen, und diese Kegelschnitt- schar gehort dem Gewebe an. Wir konnen daher auch sagen: Die Kurve $ (3) wird umhiillt Die Kurve C (3) wird erfullt vonsamtlichenStralilentripeln, von samtlichen Punkttripeln ; welche die je drei Seiten jedes welche die Ecken jedes Polar- Polardreiseitsbilden ? dasirgend dreiecks bilden, das irgend zwei Kegelschnitten des Ge- zweiKegelschnittendesNetzes webes gemeinsam ist. gemeinsam ist. Alle diese Resultate folgen durch duales Ubertragen aus den bereits friiher abgeleiteten. Den vermittelnden Zu- sammenhang der dual gegenuberstehenden Gebilde, einerseits des Kegelschnittgewebes und des Kegelschnittnetzes , anderer- seits der Kurven C (Z) und & l(3) , bildet der Satz: Jedes Punktepaar, welches als ausgearteter Kegelschnitt des Gewebes auftritt, ist ein Paar konjugierter Punkte fur samtliche Kegelschnitte des Netzes, und jedes Linienpaar, welches als aus- gearteter Kegelschnitt des Netzes auftritt, ist ein Paar konjugierter Strahlen fiir samtliche Kegel- schnitte des Gewebes. Je zwei konjugierte Punkte der C (3) (ausgearteter Kegelschnitt des Gewebes) werden durch je zwei konjugierte Tangenten der $ (3) (ausgearteter Kegel- schnitt des Netzes) harmonisch getrennt. 3. Der Zusammenhang der Kegelschnitte (2) des Ge- webes mit den Kegelschnitten JT (2) des Netzes tritt noch vollstandiger hervor durch folgende Betrachtung: 7. Das Kegelschnittnetz. 45 Nehmen wir irgend drei Kegelschnitte des Gewebes, welche dasselbe bestimmen, also nicht einer Schar angehoren, so bestimmen die beiden Kegelschnitte und <<> eine Schar, die ein gemeinsames Polardreieck hat; wir be- zeichnen die Ecken desselben mit Si 9, 8 und die Seiten mit ! *) 1 = ^ Us = #> I 9 1 = *, dann sind x,y,z Tangenten der (3) , wie wir wissen (denn die drei Pole von x in Bezug auf St (2) , S5 ( ' 2) , (S I2) liegen auf einer Geraden u. s. w.). Sei also der Pol von x in Bezug auf 2l (:i) der Punkt J t ., * 91(3) j T) n 11 * 11 11 11 11 01 1 dann werden i Ei l = ^i, I ^i l = 2/i, I Ui l = i die konjugierten Tangenten zu a?, i/, sein fur die Kurve sodass also xx lt yy lt 2Z l drei Paare konjugierter Tangenten der (3) sind. Da nun aber fur den Kegelschnitt 2l (2) das Dreieck r. x t), j t die Polarfigur des Dreiseits ic/ ist, dessen Ecken (y#) = j, (^a;) = t), (a;/) = z sind, so miissen sich nach einem be- kannten Satze (Th. d. K. S. 155) die drei Verbindungslinien I Hi I, Mil, l*Sil, d.h. ^1 ) ?/U ^1 in eineni Punkte t schneiden, weil ein Dreieck und seine Polarfigur riicksichtlich eines Kegelschnitts allemal per- spektiv liegen. Wir haben daher folgende vier Punkte = j, 4(3 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. (zxy^ = t), Oi2Mi) = t, d.h. die drei Linienpaare gehoren als drei Seitenpaare einem vollstlindigen Viereck (Etyjt) an, und da diese drei Linienpaare drei ausgeartete Kegelschnitte des Netzes sind, so sind , 1), , t die vier Grundpunkte eines Kegelschnittbuschels, welches dem Netze angehort. Dies giebt folgenden Satz: Wenn man von zwei Kegelschnitten des Gewebes das gemeinsame Polardreieck errnittelt, dessen drei Seiten Tangenten der $ >(3) sind, so schneiden sich die zu denselben drei konjugierten Tangenten der (3) in einem Punkte, und derselbe bildet mit den drei Ecken des Polardreiecks ein vollstandiges Vier- eck, die vier Grundpunkte eines Kegelschnitt - biischels, welches dem Netze angehort. Und dual gegenuber: Wenn man von zwei Kegelschnitten des Netzes das gemeinsame Polardreieck ermittelt, dessen drei Ecken Punkte der C {3} sind, so schneiden die drei Seiten desselben die (3) in drei neuen Punkten, welche auf einer Geraden liegen (diese sind niimlich die drei konjugierten Punkte der C l(3) zu den Ecken des Polardreiecks). Diese neue Gerade bildet zusarnrnen mit den drei Seiten des Polardreiecks die vier Seiten eines vollstandigen Vierseits, dem eine Kegelschnitt- schar einbeschrieben werden kann, welche dem Ge- webe angehort. 4. Ebenso, wie wir in 3. nur die beiden Kegelschnitte 33 (2> und (E |2) des Gewebes in Betracht zogen, konnen wir jetzt die beiden Kegelschnitte (W und 2(< 2 > nehmen und von ihnen ausgehend dieselbe Betrachtung an- stellen; dann erhalten wir ein zweites Kegelschnittbuschel des Netzes mit den vier Grundpunkten j', 1)', J r , t', und da zwei Kegelschnitte des Netzes irnmer einen gemeinsamen 7. Das Kegelschnittuetz. 47 Kegelschnitt liaben miissen, cl. h. auch ihre Grundpuukte selbst auf einem Kegelschnitt liegen (2.) so sehen wir, daB die acht Punkte i*> 9, I, t, r/, t) f , a', t' auf einem Kegelschnitt des Netzes liegen miissen; dieser ist schon durch die sechs Punkte , 9, 5, ?', 0', i', die Ecken zweier Polardreiecke rucksichtlich des Kegel- schnitts ( (2) ; mehr als bestimmt; bekanntlich liegen solche sechs Punkte immer auf einem Kegelschnitt. DaS dieser nun dem Netze angehort, ist das gewonnene Resultat, durch welches die Kegelschnitte des Gewebes zu denen des Netzes in eine enge Verbindung treten, was sich folgendermafien aussprechen liiBt: Irgend zwei Kegelschnitte des Gewebes haben ein gemeinsarnes Polardreieck; nimmt man zwei solche Polardreiecke, so liegen die sechs Ecken derselben auf einem Kegelschnitt des Netzes. Und andererseits: Irgend zwei Kegelschnitte des Netzes haben ein gemeinsames Polardreieck; niinrnt man irgend zwei solche Polardreiecke, so beriihren ihre sechs Seiten allemal einen Kegelschnitt des Gewebes. Hiernach lassen sich aus drei zur Bestimmung des Ge- webes notwendigen und hinreichenden Kegelschnitten sofort drei Kegelschnitte errnitteln, welche das zugehorige Netz bestimmen oder umgekehrt, was keiner weiteren Ausfuhrung bedarf. 5. Wir wollen noch auf einen unmittelbaren Zusammen- hang der Kurven (7 (;i) und (3 > hinweisen. Aus jedem Punkte ^ der (7 (3) gehen im allgemeinen drei Tangenten an die $ (3) , niimlich die Verbindungslime j ^^ t , welche ty mit seinem konjugierten Punkte ^ ver- bindet und auBerdem die beiden Doppelstrahlen derjenigen Strahlenin volution, welche dem Punkte ^ riicksichtlich siimtlicher Paare konjugierter Punkte auf C (3) zugehort. 48 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnuiig. Wir wollen jetzt nach solchen besonderen Punkten X der (7 (3) fragen, fur welche der erste Strahl mit einem der beiden letzteren zusarumenfallt. Ware dies der Fall und X x der konjugierte Punkt zu X, so miiBte XX X | ein Doppel- strahl der zu X zugehorigen Strahleninvolution sein; die beiden iibrigen Punkte, in welchen dieser von X ausgehende Doppelstrahl die 6 1(3) trifft, miiBten also konjugierte Punkte sein; einer derselben ist nun X x , der andere miiSte seiu konjugierter Punkt, d. h. X selbst sein 5 also naiiBte die Ge- rade | XX X in X die <7 (3) beriihren; wenn also ein Punkt X von der verlangten Art auf der C (y} existiert, so muB seine Tangente als dritten Schnittpunkt mit der (7 (3) den kon- jugierten Punkt X x haben. Eine solche Gerade | XX X | ist aber zugleich Tangente der (3) und hat ihren Beriihrungspunkt mit derselben in dem vierten harmonischen zu X x zugeordneten Punkt ( 6, 3) rucksichtlich des Paares XX^ Da nun von den vier har- monischen Punkten in X zwei zusamrnenfallen, so muB auch der dritte in denselben hineinfallen, wahrend der vierte X t getrennt liegt. Hieraus erkennen wir, daB die Gerade | XX t | in X auch die Kurve $ (3) beruhrt, also: Die Kurven C (3) und (3) beriihren sich in den- jenigen Punkten, in welchen sie sich begeguen (d. h. sie haben in jedem solchen Punkte dieselbe Tangente); die Anzahl ihrer gemeinschaftlichen Punkte reduziert sich also, da sie paarweise zu- sammenfallen, auf die Halfte ( = 9). \ t f Der zu einem solchen Punkte X konjugierte Punkt X x der C (3> und die zu einer solchen Tangente t konjugierte Tangente ^ der < 3) besitzen eine merkwiirdige Eigenschaft. Die Tangenten in zwei konjugierten Punkten der (7 (8) miissen sich bekanntlich wieder in einem Punkte auf der G' (3) schneiden, also auch die beiden Tangenten in X und X t ; die Tangente in X schneidet aber die 6' (3) nur noch in X x , also muB die Tangente in X x ihren dritten Schnittpuukt mit der C (8) wieder in X haben, d. h. X t muB ein Wende- 8. Die (7( 3 ) und $cs) a ls Tripelkurven. 49 punkt der (7( 3) sein, oder die Tangente in demselben hat mit der Kurve drei zusammenfallende Punkte gemein. Wir schlieBen also: Die zu den gemeinschaftlichen Punkten der C" S) und $ (3) konjugierteii Punkte der (7 (3; sind die Wende- punkte derselben, und ebenso: Die zu den gemeinschaftlichen Tangenten der $ (3) und C ( 'V konjugierten Tangenten der $ (3) sind die Riickkehrtangenten derselben. (Riickkehrtangente einer Kurve ist eine solche, fiir deren Beriihrungspunkt drei uneadlich-benachbarte Tangenten in eine zusammenfallen.) Tiber die Anzahl, Realitat und Kon- figuration der Wendepunkte der (7 (3) (oder der Riickkehr- tangenten der $( 3) ) wird uns eine spatere Untersuchung auf- klaren. ( 28.) 8. Die CM uud &<> als Tripelkurven. 1. Wenn wir ein gemeinsames Polardreieck fiir irgend zwei Kegelschnitte des Netzes, also auch fiir das ganze durch dieselben bestimmte Biischel des Netzes ein Tripel von Punkten nennen ; und wenn wir ein gemeinsames Polar- dreiseit fiir irgend zwei Kegelschnitte des Gewebes, also. auch fiir die ganze durch dieselben bestimmte Schar des Gewebes ein Tripel von Strahlen nennen, so ordnen sich sowohl die Punkte der C (3J als auch die Tangenten der $ (3) zu Tripeln, in ahnlicher Weise wie sie friiher durch die Paare konjugierter Punkte und konjugierter Tangenten sich zu Paaren ordneten. Solche Punkttripel der (7 (3) und Strahlen- tripel der - 3) besitzen ahnliche Eigenschaften, wie die vorigen Punkt- und Tangentenpaare. Die durch weg parallel laufende Betrachtung der dual gegeniiberstehenden Gebilde doppelt durchzufiihren erscheint iiberfliissig; wir werden uns daher vorzugsweise ,auf die Untersuchung der C (3) als Tripel- kurve beschranken. 2. Wenn wir von eineni beliebigen Punkte ^ der C (3) die Polaren in Bezug auf samtliche Kegelschnitte eines Biischels Schroter, Thcorie der ebeno.i Kur/en 3. Ordn. 4 50 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. welches dem Netze angehort, konstruieren, so laufen diese bekanntlich durch einen festen Punkt ^ der (7 l3) und bilden ein einfaches Strahlbiischel [$PJ, welches mit dem Kegelschnitt- biischel projektiv 1st ( 4, 5), sodaB zu jedem Kegelschnitt des Biischels ein bestimmter Strahl des Strahlbiischels [^SJ zu- gehort; aber auch umgekehrt wird zu jedem beliebigen durch $! gezogenen Strahl g ein einziger bestimmter Kegelschnitt aus dem Buschel [2? (2 >C (iJ) J zugehoren, welcher durch die ge- forderte Bedingung vollstandig und eindeutig bestimmt ist. Sei nun dieser Kegelschnitt des Biischels A (2) -*i ? fiir den ^ und g Pol und Polare sind; in gleicher Weise konnen wir aus dem Buschel [(700 j(2)] des Netzes den bestimmten einzigen Kegelschnitt BI& ermitteln, fiir welch en Sj$ und g Pol und Polare sind; dann haben die beiden Kegelschnitte A^ und #/*> gleichzeitig ^8 und g zu Pol und Polare, folglich auch das ganze durch sie bestimmte Buschel Mithin ist der willkiirliche Punkt ty der C e in Tripel- punkt (Eckpunkt eines gemeinschaftlichen Polardreiecks) fiir ein gewisses dem Neize angehoriges Kegelschnittbiischel, und die beiden andern Tripelpunkte (die beiden iibrigen Ecken des gemeinsameu Polardreiecks) miissen natiirlich auf g und gleichzeitig auf C< 3) liegen; folglich sind sie die beiden iibrigen Schnittpunkte der durch ^ t gezogenen Geraden g mit der C (3) . Da die Gerade g iibrigens willkiirlich durch den Punkt ^5j angenommen wurde, so wird auch noch ein zweiter Tripelpunkt auf der C (S) willkiirlich anzunehmen sein; der dritte Tripelpunkt ist aber dann vollstandig und eindeutig be- stimmt. Wir diirfen deinnach folgendes Resultat aussprechen: Zwei Punkte ^S und D der (7 (3) diirfen beliebig als Ecken eines Tripels derselben (gemeinsames 8. Die (7W und (s) als Tripelkurven. 51 Polardreieck fiir gewisse zwei Kegelschnitte des Netzes) angenommen werden; der dritte Tripelpunkt SR wird dann eindeutig dadurch bestimrnt, da6 man D mit dem zu ty konjugierten Punkt ^ der C (3) ver- bindet und den dritten Schnittpunkt SR ermittelt. Hieraus folgt, da es nur einen dritten Tripelpunkt S und f W als Tripelkurven. 53 Hieraus geht gleichfalls die doppelt-unenclliche Mannig- faltigkeit (co 2 ) der Tripel hervor, und es lafit sich der Zu- sammenhang derselben iibersehen. Wir bemerken noch den aus dem Vorigen sich er- gebenden Satz: Halt man einen Punkt ^ der C (3) als Eckpunkt eines Tripels fest, so giebt es zu ihm unendlich viele Paare von Punkten O und SR 7 welche die beiden ubrigen Ecken des Tripels sind; diese liegen immer so auf der C y(3) , daB ihre Verbindungslinie |QSR| durch einen und denselben festen Punkt der C (3) geht, namlich den Punkt ^ , welcher zu 9$ konjugiert ist. 4. Geben wir von zwei Paaren konjugierter Punkte und 5393 t aus, welche das dritte Paar (, !,)- (5 und (! 8)-^ liefern, so bestimmen die vier Geraden eine Kegelschnittschar des Gewebes und bilden ein voll- standiges Vierseit, dessen drei Diagonalen !,!, 3333, i, leej sind; die Durchschnittspunkte derselben (,, SSO = a, (<< a^) - b, (!, 3393,) = c bilden ein gemeinsames Polardreieck fiir samtliche Kegel- schnitte der Schar. Xennen wir die dritten Schnittpunkte der (7 (3) mit den Geraden und nehmen aus der vorigen Kegelschnittschar, fiir welche abc ein Polardreieck ist, denjenigen besonderen Kegel- schnitt ^ (2) heraus, welcher die Verbindungslinie beruhrt, dann geht aus p an ihn die eine Tangente | pq | und das Paar konjugierter Strahlen pb | und 'pal rucksicht- 54 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. lich des Kegelschnitts $<>, well a der Pol von pb 1st; folglich 1st die andere Taugente t aus p an R^ der vierte harinonische Strahl zu pq | zugeordnet riicksichtlich des Paares | pb | und | pa |. Ebenso geht aus q auBer der Tangente | qp noeh eine zweite Tangente t' an $ 12 ), welche von jener harmonisch getrennt wird durch das Strahlenpaar | qo | und | qb |. Die beiden Tangenten t und t' schneiden sick in dem vierten harmonischen Punkt auf | ab | = | ((, |, welcher von dem Schnittpunkt (pq, ab) harmonisch getrennt wird durch das Punktepaar ab. Nennen wir diesen Schnittpunkt vorlaufig (tt')-r'; dann inussen, weil die Seiten der beiden Dreiecke StSe, und pqr' denselben Kegelschnitt &W beriihren, ihre sechs Ecken auf einem Kegelschnitt liegen. Die drei Punkte 51, $8, C^ bilden aber ein Punktetripel der (7 (3) , weil ihre konjugierten Puukte SljSS^ auf -einer Geraden liegen (2.), also muB dieser Kegel- schnitt der (7 (3) in drei weiteren Punkten begegnen, die eben- falls ein Tripel bilden; vou diesen sind p und q zwei Ecken; zu ihnen giebt es nur einen einzigen bestimrnten dritten Tripelpunkt und derselbe muB offenbar r' sein, also auf j ab | = | SSj | liegen; es giebt aber auf J j | nur noch einen dritten Punkt der C (3 \ namlich r, folglich muB identisch r' = r sein, und wir erhalten den Satz: Schneidet eine beliebige Gerade die (7 (3) in drei Punkten 51, S3, (, deren konjugierte Puukte ^ , 93^ G t seien, so bilden die drei Punktepaare ?15( 17 9323^ ((, die drei Paar Gegenecken eines vollstandigen Vier- seits; die drei Diagonalen desselben | 5JC5l x |, IS393J, [ SSj | begegnen der (7 (3) in drei neuen Punkten p, q, r, welche ein Tripel der C (3} bilden. Da p, q, r Tripelpunkte der C t(3) sind, so rniissen ihre drei konjugierten Punkte p^q,,^ auf einer Geraden liegen. 8. Die C^ und $ '-) als Tripelkurven. 55 Dies sind aber bekanntlich diejenigen drei Punkte, in welche n die Tangenten in 3193 (oder in $t 1 93 1 $i) zuin dritten Mai der C (3) begegnen; wir erhalten daher den doppelten Satz: Schneidet eine Gerade die (7 (3) in drei Punkten 21, 33, , so treffen die Tangenten in denselben die O 3) zum dritten Mai in drei neuen Punkten, welche wieder auf einer Geraden liegen, und: Zieht man in drei Tripelpunkten 2lj, 93 n x einer 6 <(3) die drei Tangenten, so treffen dieselben die C (3) in drei neuen Punkten, welche auf einer Geraden liegen. (Sind insbesondere die drei Punkte 21, 93, auf der unendlich entfernten Geraden g^ gelegen, werden also die drei Tangenten in den unendlich entfernten Punkten der C (3) die Asymptoten derselben, so miissen diese ebenfalls der G T(3) in drei neuen Punkten begegnen, welche auf einer Geraden liegen.) 5. Die letzten beiden Satze sind nur spezielle Falle von etwas allgemeineren, zu denen wir auf folgende Weise gelangen: Schneide eine beliebige Gerade die C (3) in drei Punkten 21,93,, deren konjugierte 21 1 ,93,, 1 seien, und eine be- liebige zweite Gerade die C (3) in den Punkten 2C, 93', ', deren konjugierte 2l{, 33 j, ' seien, dann liegen bekauntlich (2.) diese zwolf Punkte zu je dreieu auf folgenden acht Ge- raden | 2(93 | = rf, | 2C33'' |=rf', :j = , 2C93;; [ = ', U-6, 1 95';2t; \-v, U = c , ic';ii-^ und diese acht Geraden beriihren eiuen und denselben Kegel- schnitt des Gewebes, wie wir wissen ( 3, 5). Aus sechs Tangenten des Kegelschnitts konneu wir ein Brianchonsches Sechsseit bilden und fur dasselbe den Brianchonschen Punkt (Durchschnittspunkt der drei Ver- bindungslinien der Gegenecken) aufsuchen. Wenn wir inimer das Brianchonsche Sechsseit voran und den zugehorigeu Brianchonscheu Punkt als Durch- 56 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. schnittspunkt dreier Geraden darunter schreiben, so erhalten wir folgendes Schema: f adba'd'b' 2) I \ 9393 1 3 ) I | ' I, j 3131' |, i ca', ac' { j 3^31; !, i 93 t 93; |, | al', ba f cabc'a'b' \"im. ^ U !> I i!i M abca'b'c' { ab'ca'bc' Hieraus wird nun ersichtlich, daB die beiden Dreiseite | 3131' ', i 9393' |, | .6' | und 1 31^; i, 93^1, i Si; i perspektive Lage haben, weil die drei Verbindungslinien ihrer entsprechenden Ecken durch einen Punkt laufen [nach 7.)] ; folglich miissen auch die drei Schnittpunkte ihrer ent- sprechenden Seiten auf einer Geraden liegen; nennen wir diese Schnittpunkte (3131', 31^0 = 31", (93 93', 93,930 = 93", so sind dies offenbar die dritten Schnittpunkte der drei Ge- raden | 3131' |, | 9393' |, | (' | mit der C< 8 >. Wir erhalten also den doppelten Satz: Trifft eiue Gerade g die C (3) in den drei Punkten 3(, 93, ( und eine beliebige zweite Gerade , und wir konnen den dritten Satz aussprechen: Trif ft eine Gerade y die 6 >(3) in den drei Punkten 3(, 93, (, nimmt man ferner ein beliebiges Tripel H{, 93j', (,' der C (3) , und verbindet die drei ersten Punkte in irgend einer Weise mit den drei letzten durch drei Gerade | 3131J |, 2393J |, | (<; , so treffen diese drei Verbindungslinien die C (3) in drei neuen Punkten, welche ein Tripel der C (3) bilden. (Die Zuordnung der drei ersten Punkte zu den drei andern ist dabei ganz irrelevant.) Auch diese Satze sind nur spezielle Falle von noch allgemeineren, zu denen wir im nachsten Paragraphen ge- langen. 58 Theorie der ebenen Kuryen dritter Ordnung. 9. Erzeugung der C {3) vermittelst eines Kegelschnitt- biischels und eines mit ihm projektiven Strahlbiischels. 1. Nehmen wir irgend vier Punkte der C (3) , S3, <, und ziehen die Geraden | 5133 | und j ( |, welche resp. in q und C 2 der Kurve zum dritten Mai begegnen, so miissen nach dem in 8, 5 bewiesenen Satze die drei Verbindungs- linien | 5l( |, | S3 | und | C X C 2 1 der (7 (3) in drei Punkten einer Geraden begegnen; ebenso mtissen auch | 51 |, | 33 ( | und | CiC 2 | der (7 (3 ) in drei Punkten einer anderen Geraden begegnen; treffen also die sechs Seiten des vollstandigeii Vierecks 5IS3S, namlich 51 S3 die Kurve C< 3 > in c so miissen sich n in einem und demselben Punkte D der C (3) begegnen. Diese drei Geraden sind also drei Strahlen eines Strahlbiischels D; die drei Linienpaare | ^33 | und | (5 |, | 51(5 | und | S3 |, | 95 | und | 5t | konnen wir als drei ausgeartete Kegelschnitte des Biischels mit den vier Grundpunkten 51 S3 (5 auffassen und den drei Strahlen des Strahlbiischels O entsprechend setzen; durch drei Paare entsprechender Elemente ist eine projektive Be- ziehung zweier Gebilde gerade bestimmt. Wenn wir dem- gemaB das Kegelschnittbiischel [5(53 (J auf die in 4,5 angegebene Weise auf ein einfaches Strahlbiischel reduzieren und dasselbe mit dem Strahlbiischel D durch diese drei Paare entsprechender Elemente in projektive Beziehung setzen, so haben wir dadurch das Kegelschnittbiischel [5(33] selbst auf das Strahlbiischel D projektiv bezogen, so daB 9. Erzeugung d. C^ 3 * vermittelst einea Kegelschnittbiischels etc. 59 den drei Linienpaaren desselben die drei Strahlen | Do^ , |Dbjb 2 |, jDCjCjjl des Strahlbiischels ) entsprechen. Nun wird jedem Kegelschnitt des Biischels [5(93 S3)] ein be- stimmter Strahl des Strahlbiischels C und umgekehrt ent- sprechen, und wir konnen nach dem gesamten Orte der Durchsehnittspunkte entsprechender Elemente der beiden projektiven Gebilde fragen. Dieser 1st eine Kurve dritter Ordnung Cf* , denn eine beliebige Gerade g schneidet das Kegelschnittbiischel in einer Punktinvolution, das Strahlbiischel O in einer einfachen Punktreihe und beide Gebilde stehen in projektiver Beziehung; sie haben aber, wie wir in 4, 3 gesehen haben, im All- gemeinen drei incidente Punkte, in welch en ein Punkt der Punktreihe mit einem Punkte des entsprechenden Punkte- paares der Punktinvolution zusaramenfallen, und diese drei Punkte gehoren deni gesuchten Orte an; derselbe ist also von der dritten Ordnung. [Wir konnen uns auch in folgender Weise davon iiberzeugen, daB das Erzeugnis beider pro- jektiver Gebilde eine Kurve dritter Ordnung ist: Die be- liebige Gerade g schneidet die Kegelschnitte des Biischels [9(S3SS)] in den Punktepaaren jjj L> einer Punktinvolution; die Strahlenpaave | OjJ, | Dj 2 | liefern eine Strahleninvolution; ein beliebiger durch gelegter Kegelschnitt ^ (2) schneidet das Strahlenpaar in l^t)., und die Durchbohrungssehne | t)^^, lauft durch einen festen Punkt @ und beschreibt ein Strahl- biischel, auf welches das Kegelschnittbiischel reduziert wird. Dieses Strahlbiischel [ ?7 ;> ?> so werden nach dem obigen Satze (^ 8, 5), weil SI, 93, C, auf einer Geraden liegen und n "i> *-' ?> ;> ?) auch die dritten Schnittpunkte von auf einer Geraden liegen miissen; der erste ist , der dritte C 2 , also schneiden sich . 93 6 2 und C 2 | in einem Punkte der C (?) . 9. Erzeugung d C w vermittelst einesKegelschnittbuschels etc. 61 Weil ebenso 93, CL Q, auf einer Geraden liegeu und c c ^ v n *-2 ^ )> so miissen auch die dritten Schnittpunkte von auf einer Geraden liegen; der erste ist 31, der dritte a 2 , also schneiden sich Sc 2 und 3ld 2 j in einem Punkte der 6 1(3 >. Der Strahl | ( C 2 enthalt aber nur noch einen dritten Kurven- punkt 3), also schneiden sich in einem und demselben Punkte 2) der Kurve C (3) . Jetzt ist wiederum der Gegenpunkt des Punktquadrupels 3(33(52), also jeder durch O gezogene Strahl des Strahl biischels muB C (3) in zwei Punkten j,, . 2 begegnen, welche mit 31 S3 & 2) auf einem Kegelschnitt des Biischels [31S5S3)] liegen, und wir erhalten den Satz: Nimmt man auf einer C 3) drei beliebige Punkte 31, S3, (, und zieht durch einen beliebigen vierten Punkt C derselben Strahlen, deren jeder in zwei weiteren Punkten J 1? J 2 der C (3) begegnet, so wird der veranderliche Kegelschnitt [3tS3Sj, J 2 ], welcher durch diese fiinf Punkte bestimmt wird, noch durch einen vierten festen Punkt 2) der (3) laufen und ein Kegelschnittbiischel beschreiben, welches mit dein Strahlbiischel [0] projektiv ist. 3. Aus der Erzeugung der C (3) vermittelst eines Kegel- schnittbusehels und eines mit demselben projektiven Strahl- biischels konnen wir auch zuriickgelangen zur urspriinglichen Erzeugung der C (3) ( 3) vermittelst zweier Strahleninvolu- tionen in projektiver Beziehung und halb-perspektiver Lage, wenn wir die Grundpunkte des Biischels zweckmafiig wahlen. Seien die Grundpunkte des Kegelschnittbiischels StSS^5 und der zugehorige Gegenpunkt ^S n so wird dem besonderen Kegelschnitt des Biischels, welcher durch ^ geht, als ent- sprechender Strahl des Strahlbiischels ^j die Tangente der (32 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. (7(8) im Punkte ^ zugehoren. Wenn also diese Tangente der C (3) zum dritteu Male in X begegnet, so mussen die sechs Punkte 51, 93, , ^5, ^$, , X auf einem Kegelschnitt liegen. In gleicher Weise rnuBte, wenn wir fur die Grundpunkte eines erzeugenden Kegelschnittbuschels 91 93(5^! wahlten und ty der zugehorige Gegenpunkt ware, der durch 2(33 (5^, ^ gelegte Kegelschnitt als sechsten Schnittpunkt mit der O 3) denjenigen Punkt haben, in welchem die Tangente in ty an der C (3) derselben zum dritten Mai begegnet. Nun schneidet aber der durch die fiinf Punkte &, 93, (5, ty, ^? t gelegte Kegelschnitt die C< 3) nur noch in einem einzigen sechsten Punkte X, also mussen die beiden Tangenten der C (3) in ^5 und ^|S 1 sich in einem Punkte X der C (3) begegnen. Dies ist der Fall, wenn wir fur ty und ^ ein Paar konjugierter Punkte der C (:<) wahlen ( 2, 7); nehraen wir dies an, so hat sowohl das Biischel den Gegenpunkt ^,, als auch Da aber ^^S,X selbst ein Tripel von Punkten der C<> bilden ( 8, 3) und der durch dieselben gelegte Kegelschnitt der C (3) in 5193(5 begegnet, so mussen auch S(93S ein Tripel der C (y > bilden ( 8, 3), und wir erhalten den Satz: Legt man durch ein Punktetripel 3(93(5 der C'^ 8) .und einen beliebigen Punkt ^8 derselben ein Biischel von Kegelschnitten, deren jeder der C (:!) noch in zwei weiteren Punkten begegnet, so lauft die un- veranderliche Verbindungslinie der letzteren durch einen festen Punkt ^S t der C (31 , den konjugierten zu ^3 und beschreibt daher ein einfaches Strahlbiischel ^Pi, welches mit dem Kegelschnittbuschel projektiv ist; ebenso wie fur das Punktquadrupel [2193(5^] der Gegen- punkt y$L ist, ist auch fur das Punktquadrupel [5(93S^SJ der Gegenpunkt ^5. Wir erzeugen hierdurch die C (y> in doppelter Weise vermittelst eines Kegelschnittbuschels und eines mit ihm projektiven Strahlbiischels. 4. Legen wir nun durch 2193(5^3 einen beliebigen Kegel- schnitt und lassen denselben von dem entsprechenden Strahle 9. Erzeugung d. C( s ) vermittelst eines Kegelschnittbiischels etc. 63 des Strahlbiischels ^S t in j t und r. 2 durchschneiden, so ge- horen cliese Punkte vermoge der Erzeugung der C (3 ' aus deni Kegelschnittbiischel und deni mit ihm projektiven Strahl - biischel der C (3) an. Schneidet | ^?j x | die G' (3 > zum dritten Mai in \) 2 und |^8j 2 ! die ^ (3) zum dritten Mai in t),, so miissen infolge der zweiten Erzeugung auch auf einem Kegelsclmitt liegen, dessen entsprechender Strahl auf einern Kegelschnitt liegen, dessen entsprechender Strahl I ^&9i ist - Da aber ^^tj-j auf einer Geraden liegen, ^3^ auf einer zweiten Geraden liegen, so werden nach unserm obigen Satze auch die dritten Schnittpunkte der drei Verbindungs- linien ^3^S |, ; >l> Qi^l au ^ einer dritten Geraden liegen miissen. Nun ist | ^5 ^8 | die Tangente in $J, welche in X schneidet; ,., | schneidet in ^ n also nauS | t) t ^ | durch den dritten Schnittpunkt von | X^Sj | gehen; dieser ist aber ^! selbst, weil j X^5 t die Tangente in ^ sein soil; also folgt, daB auch ^t)!!)., auf einer Geraden liegen, und mithin 9( 33 ^8 t)j tJ2 auf clem entsprechenden Kegelschnitt bei der ersten Erzeugungsart. Die vier Geraden l&Si&l, l^i 9,9, I, l^ifel, l*&9il bilden ein vollstandiges Vierseit, dessen drei Paar Gegen- ecken ^S^Si, J,t) n i%t)., sind. Weim wir nunniehr auf den vier Seiten zu ty und ^ die zugeordneten vierten harmonischen Punkte aufsuchen, namlich so bilden fofotjt^ ein Viereck, und es liegen bekanntHch ! J 3 ^3 auf einer Geraden, n '2 -ri M ?> und die Schnittpunkte Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. sind bekanntlich identisch (Fig. 1). Lassen wir in die Figur die Bewegung eintreten, welche durch die projektive Beziehung der erzeugenden Gebilde ge- geben ist ; so verandern sich mit ^Jot)^ aucli fo&jtjt,, aber es laufen | fo g 2 I durch den festen Punkt ty und | tj i 2 \ durch den festen Punkt S t . Fig. 1 . Wegen der harrnonischen Beziehung gebt durch j die Polare von ^ riicksiehtlich des Kegelschnitts [^ISS^j^J, und , selbst 1st der Schnittpunkt dieser Polare niit deni entsprechenden Strahle | ^iJ!J 2 I- Da die Polaren von ^ in Bezug auf samtliche Kegelschnitte des Biischels [S(33S^S] ein Strahlbiischel beschreiben, welches mit dem Kegelschnitt- biischel prqjektiv ist, dieses aber mit dem Strahlbiischel I ^PiEiEa I projektiv ist ; so folgt, daB der Punkt t bei der Bewegung einen Kegelschnitt (das Erzeugnis zweier projek- tiven Strahlbiischel) beschreibt. Denselben Kegelschnitt be- schreibt offenbar auch ^; die veranderliche Sehne ' ^^ | dieses Kegelschnitts lauft aber durch den festen Punkt $p, folglich wird das Strahlenpaar eine Strahleninvolution beschreiben; wir konnen also dea Satz aussprechen: 9. Erzeugung d. C^ 3) vermittelst eines Kegelschnittbuscbelsetc. 65 Sind ty und ^ zwei Punkte der C (3) , dereu Tan- genten sich in einein Punkte X der Kurve schneiden, und dreht man um ty einen Strahl, welcher in , und t) 2 der C (3 ' begegnet, so beschreibt das Strahlenpaar I^Pii'i I? I s -Pityj eine Strahleninvolution. In ganz gleicher Weise erkennen wir, daB das Strahlenpaar j^tjE: $ Ei ; und l^lHi-l^l bei der projektiven Bewegung eine Strahleninvolution be- schreibt Diese beiden Strahleninvolutionen [^8] und [^J sind beziehungsweise projektiv mit den von | ^5 1 t 1 t 2 | und ^P5iS-> I beschriebenen einfachen Strahlbiischeln. Diese beiden Strahlbiischel selbst sind aber projektiv (und zwar perspektiv gelegen); denn fiir die Strahleninvolution [^SJ wird jedes Strahlenpaar | ^Sj t | und | ^5j 2 | durch den festen Strahl 1 ty^i | uiid den veranderlichen Strahl | ^Sg, 2 | harnionisch getrennt; folglich ist das von j ^,&j | beschriebene Strahl- biischel mit der von | ^8j t | und | ^j$r. 2 1 beschriebenen Strahlen- involution projektiv; mit letzterer ist aber auch das Strahl- biischel | ^Pjtjt^ | projektiv; folglich sind die beiden von I s -PSi2 un d v on | ^tjtg beschriebenen Strahlbiischel pro- jektiv und daher auch die beiden Strahleninvolutionen [$J$] und [^]. Sie befinden sich aber auch in halbperspektiver Lage, weil deni besonderen Kegelschnitt welcher beiden Biischeln [StSS^J und [21236^ ] gleichzeitig angehort, fiir das eine das Strahlenpaar | ^ X X | und | ^^S |, fiir das andere das Strahlenpaar j ^3 | und j ^P^ | zugehort, und da dies entsprechende Strahlenpaare der beiden pro- jektiven Involutionen [ty] und [^5,] sind und den Strahl | ^B$P! I ^E ^S t ^5 I gemein halfen, so befinden sich die In- volutionen in halbperspektiver Lage. Hierdurch ist der Nachweis geliefert fiir dieldentitat der Erzeugnisse bei den beiden verschiedenen Er- zeugungsweisen; die Punkte j. 2 , Q t t) 2 erscheinen in der Weise geordnet: SchrSter, Tlieorie der ebenon Kurven 3. Ordn. 5 QQ Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Ji& und *)i*)2 als Durchschnittspunkte entsprechender Elemente aus dem Kegelschnittbiischel [5(93 ^8] und dem ihm projektiven Strahlbiischel ^ t ; in der Weise geordnet: als Durchschnittspunkte entsprechender Elemente aus dem Kegelschnittbiischel [^SBS^] und dem ihm projektiven Strahlbuschel ^3; in der Weise geordnet: als Durchschnittspunkte entsprechender Strahlenpaare zweier Strahleninvolutionen [^5] und [^,] in projektiver Beziehung und halbperspektiver Lage.* 5. Aus dieser allgemeinen Erzeugungsweise der C (3) ver- mittelst eines Kegelschnittbiischels und eines mit demselben projektiven Strahlbtischels ergeben sich eine Menge Folge- rungen, von denen wir einige hervorheben wollen. Wenn wir einen beliebigen Kegelschnitt aus dem er- zeugenden Biischel [5t33S] herausnehmen und seine beiden tibrigen Schnittpunkte mit C (3) durch (, ^ bezeichnen, so werden, weil auch das Linienpaar | 9(93 | und | S3) | dem Biischel angehort, die beiden dritten Schnittpunkte auf diesen Geraden in einer neuen Geraden liegen mit dem Gegenpunkt des Punktquadrupels $93 3), also auch mit dem dritten Schnittpunkt auf | @5 ! Dies giebt den Satz: Schneidet ein Kegelschnitt die C (3) in sechs Punkten $l f $, in drei neuen Punkten, welche in einer Geraden liegen. (Die Gruppierung der sechs Punkte zu je zweien ist dabei vollig irrelevant); oder umgekehrt: Schneidet eine Gerad'e die C (3) in drei Punkten, durch deren jeden eine neue Gerade gezogen wird, welche der C (8) in zwei weiteren Punkten begegnet, * F. Schur, Synthetischer Beweis fiir die Identitat einer Tripel- kurve etc. (Schlomilchs Zeitschr. Bd. XXIV.) 9. Erzeugung d. C^ vermittelst eines Kegelschnittbiischels etc. 67 so liegen die dadurch erhaltenen sechs neuen Punkte auf eineni Kegelsclinitt. Man kann insbesondere von diesen sechs Punkten drei in einen einzigen zusammenfallen lassen und erhalt dann folgendes Eigebnis: Schneidet eine Gerade die (7 (3) in drei Punkten 5(, 23, (, und verbindet man dieselben mit eineni beliebigen Punkt ^ der C< 3) durch drei Gerade \ty%\, $93 |, | $( |, welche niit der C (3) die dritten Schnittpunkte 3t 1; S 17 (Ej haben, dann wird ein Kegelschnitt, welcher durch ^33^^ gehtundin s $ die Tangente der C (s) beriihrt, notwendig in diesem Punkte mit der C< 3) drei zusammenfallende Punkte, d. h. eine dreipunk- tige Beriihrung haben. Der Kriimmungskreis dieses Kegel- schnitts in ty wird also gleichzeitig Kriimmungskreis fiir die (70) j m Punkte ty sein und kann demgemaB konstruiert werden. ). Sind 3(, 33, S, 3} die Grundpunkte des erzeugenden Kegel- schnittbiischels und D der zugehorige Gegenpunkt, also der Mittelpunkt des erzeugeuden Strahlbiischels, so wird, wie schon in 4. bemerkt wurde, das Schnittpunktpaar J,J 2 eines Biischelkegelschnitts niit deni entsprechenden Strahl des Strahlbuschels harmoiiisch getrennt durch C und den Schnitt- punkt der Polare von O riicksichtlich des entsprechenden Kegel- schnitts. Da aber bekanntlich die Polaren von C in Bezug auf samtliche Kegelschnitte des Buschels durch einen festenPunkt s ^ laufen und ein Strahlbuschel beschreiben, welches mit clem Kegel- schnittbiischel projektiv ist, also auch mit dem erzeugenden Strahlbuschel [D] projektiv sein muB, so erzeugen die Strahl- buschel [D] und [^] einen Kegelschnitt und wir erhalten den Satz: Zieht man durch einen Punkt D der C (3) Strahlen, deren jeder in einem weiteren Punktepaare der C (3) begegnet, und bestimnit man zu D den zugeordneten vie r ten harmonischen Punkt riicksichtlich des Punktepaars, so beschreibt derselbe einen Kegel- schnitt, welcher durch 5 geht und dieselbe Tangente in D hat, wie die C (3) . Wir wollen diesen Kegelschnitt D (2) die konische Polare des Punktes D nennen; da sie schon in D zwei 5* gg Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. zusamuienfallende Punkte rait der C (3) gemein hat, so schneidet sie dieselbe im allgemeinen noch in vier weiteren Punkten, die mit O verbunden offenbar vier Tangenten aus an die C (3) liefern, weil bei vier harmonischen Puiikten, wenn zwei derselben zusammenfallen, auch der letzte in diesen hinein- fallen mu6. Wir schlieBen also: Es gehen im allgeineinen aus einem Punkte ) der C (3) auBer der Tangente in D selbst noch vier Tangenten an die C' |3) ; die vier Beriihrungspunkte derselben liegen auf einem Kegelschnitt D (;J) , der konischen Polare von D, welcher in C dieselbe Tan- gente hat mit C (3) . Nehmen wir einen dein Punkte D unendlich nahen Punkt O' der 6 T(3) und legen aus ihm die vier neuen Tan- genten an die Kurve, so erhalten wir vier neue den vorigen unendlich benachbarte Beriihrungspunkte , und der vorige Kegelschnitt kann auch aufgefaBt werden als gelegt durch die beiden Punkte D, )' und die vier Schnittpunkte je zweier unendlich naher Tangenten aus O und )', weil der Schnittpunkt zweier unendlich benachbarter Tangenten an Stelle eines jeden der beiden Beriihrungspunkte gesetzt werden darf. Da nun solche sechs Punkte auf einem Kegel- schnitt liegen, so mu6 das Doppelverhaltnis des Tangenten- quadrupels aus D dem Doppelverhaltnis des Tangenten- quadrupels aus O f gleich sein; und gehen wir von )' zu einem neuen unendlich benachbarten Punkt D" fiber und so fort auf der C&\ so behalt das Doppelverhaltnis des Tangenten- quadrupels bei festgehaltener Zuordnung immer denselben Wert. Wir konnen also den Satz aussprechen: Das Doppelverhaltnis des Tangentenquadrupels aus einem Punkte O der C' (3) fur beliebige Zuordnung behalt bei der Veranderung des Punktes C auf der C^y aber festgehaltener Zuordnung, immer denselben konstanten Wert. (Vergl. 13,3.) Dies ist eine eigene charakteristische Konstante fiir die Kurve dritter Ordnung, und je nachdem dieses Doppel- verhaltnis ein harmonisches oder ein aquianharmonisches 9. Erzeugung d. C (3) vermittelst eines Kegelschnittbuschels etc. (39 ist, kann man eine solche C (3) erne harmonische oder aqui- anharmonische nennen und die Eigenschaften dieser besonderen Kurven C (3) aufsuchen. Auf die aus der Unveranderlichkeit dieses Doppelverhaltnisses hervorgehenden weiteren Eigen- schaften der allgemeinen G (3) werden wir noch spater Ge- legenheit haben naher einzugehen. 7. Sind 51 und 5t t zwei konjugierte Punkte der C^\ und konstruiert man in der angegebenen Weise ihre konischen Polaren 5( |5!) und 51 [ 2) , so wird, wenn die Verbindungslinie | 515^ | der 6 1(3) zum dritten Mai in 5( 2 begegnet, der Kegel- schnitt 5l (2) durch. den vierten harmonischen Punkt ?(' gehen, wofern ist, und der Kegelschnitt 51 1 ( " ) wird durch den vierten har- monischen Punkt 51 { gehen, wofern ist. Es ist also 51., sowohl der vierte harmonische zu 51 zugeordnete Punkt riicksichtlich des Paares SCjSl/, als auch der vierte harmonische zu 5tj zugeordnete Punkt riicksicht- lich des Paares 5151'. Die Polare von 51 riicksichtlich des Kegelschnitts 5l| 2) geht also durch denselben Punkt 51 2J wie die Polare von 5(j riicksichtlich des Kegelschnitts 5l (2) , namlich durch den dritten Schnittpunkt 51 2 von 5l5tj j mit der C (3) . Da ferner ein Strahlenpaar der zu 51 zugehorigen Strahlen- involution und das entsprechende Strahlenpaar der zu 5t t zugehorigen Strahleninvolution sich in zwei Paaren kon- iugierter Punkte ^, , ., i und 3: 5) und $ t durchschneiden, der Schnittpunkt (Diagonalpunkt) a her auf den vierten harmonischen Strahlen durch 51 und 5( die dem gemeinsamen Strahl | 5t5tj zugeordnet sind riicksicht- lich beider Strahlenpaare, liegen inuB, wie aus der bekannten Eigenschaft des Vierseits folgt, so sind einerseits J, und 5( t konjugierte Punkte fur den Kegelschnitt 51 ( % anderseits t und 5t konjugierte Punkte fiir den Kegelschnitt 5^" . Es ist 70 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. also die Gerade j r, t ( 2 , sowohl die Polare von 2lj nach 2J ( % als auch die Polare von 21 nach 2lj (2) . Wir erhalten also den Satz: Sind 21 und 2^ zwei konjugierte Punkte der C (3) , 2l (2) und 2l ( t 2) die konischen Polaren jener Punkte, so ist die Polare von 21 riicksichtlich des Kegelschnitts 2l{ 2) identisch mit der Polare von 21, riicksichtlich des Kegelschnitts 2l< 2) . Diese Gerade, welche durch den dritten Schnittpunkt 21 2 von | 2151! | mit der C< 3 > hindurchgeht ist nichts anderes, als die uns bekannte gerade Linie / ( 3, l), welche die projektive Beziehung der beiden er- zeugenden Strahleninvolutionen vermittelt und der wir hier eine neue Bedeutung abgewonnen haben. Die allgenieine Giltigkeit des vorigen Satzes fiir zwei beliebige Punkte 21 und 33 werden wir spater bei der Unter- suchuug der Polar eigenschaf ten der C (3) kennen lernen (21). 8. Schneidet ein durch die vier Grundpunkte ernes er- zeugenden Kegelschnittbiischels [21 33 S S)] gelegter Kegel- schnitt die (7 {3) noch in G und ^, so geht die Sehne durch den Gegenpunkt D des Puuktquadrupels sind nun @ und ^ t die konjugierten Punkte zu ( und ^ in dem alten Sinne, so ist der Schnittpunkt (($, i?5i) = ); folglich miissen auch 2133(52)^^ auf einem Kegelschnitt liegen, also: Liegen irgend sechs Punkte 21, 53, (, 5), @, 5* einer 6 I(3) auf einem Kegelschnitt, und ninimt man zu irgend zweien derselben (etwa S und ^) die kon- jugierten Punkte (! und $,), so liegen die vier ubrigen 2t, S3, (E, *) auch mit diesen beiden neuen Punkten ^ l ,^ l auf einem Kegelschnitt Hieraus folgt, daB wenn ( u ( ^) l die konjugierteu Punkte zu () sind, auch 21, S3, ( 17 ,, (S n & auf einem Kegel- schnitt liegen miissen, und endlich, wenn 21,, 2^ die kon- 9. Erzeugung d. (7 C3) vermittelst eines Kegelschnittbiischels etc. 71 jugierten Punkte zu 3(33 sind, daB auch 3^ , ^ , ^ , $, , (, , & auf einem Kegelschnitt liegen miissen; also gilt der Satz: Liegen irgend sechs Punkte einer C (3) auf einem Kegelschnitt, so liegen auch ihre sechs konjugierten Punkte auf eineni Kegelschnitt. Dies laBt sich auch anders auffassen: Zu dem Punktquadrupel [3(33&)] ist der zugehorige Gegenpunkt der dritte Schnittpunkt von | @^ | rnit der C (3) ; zu dem Punktquadrupel [5l x < ^& 1 (^ J ist der zugehorige Gegenpunkt der dritte Schnittpunkt von | @i^fi I m ^ ^ er ^ (3) 5 da aber | (S^ I und ^^ | sich in einem Punkte O der (7 (3) schneiden, so folgt: Ist zu einem beliebigen Punktquadrupel 3d8($) auf der (7 (3) der zugehorige Gegenpunkt O, und nimnit man die zu 3(93(12) konjugierten Punkte 8C 1; 33 1? 1; $) 17 so hat dieses Punktquadrupel als zugehorigen Gegen- punkt denselben Punkt O der C (3) . Suchen wir zu zwei Paarea konjugierter Punkte ^(^(j und ^8^8^ als Punktquadrupel aufgefaBt, den zugehorigen Gegenpunkt, so wird, weil das Linienpaar selbst in einem Punkte der C (3) sich begegnet die Tangente in ^ den Gegenpunkt enthalten; wenn daher | Sl^ | und |S393 X die dritten Schnittpunkte ^ und S3, haben, so muB auch | 31,^8., | diesen Gegenpunkt enthalten; nennen wir ihn *$', so liegen 3^^^' auf einer Geraden, und <$' ist der dritte Schnittpunkt der Tangente in ty. Nehmen wir in gleicher Weise die Punkte ha ben ! | den dritten Schnittpunkt die Tanente in 72 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. so liegen sowohl 51 2 93 2 ^P' in einer Geraden, als auch 2 2 Q' und . 2 %,W ; da aber ^, D, $t auf einer Geraden liegen, sobald 2(, 93, (5, 3), @, g sich auf einem Kegelschnitt befinden (5.), da ferner auch *$', O', 91' auf einer Geraden liegen mussen ( 8, 4) als die dritten Schnittpunkte der Tangenten in den Punkten ^P,D,9l einer Geraden, und da endlich durch ^5', O', 91' die drei Ge- raden |$'2C 2 93 2 |, |Q',) 2 j, |9T@ 2 &I gehen, so iniissen 51 2 , 93 2 , (S 2 , 5) 2 , @ 2 , ^ 2 auf eineni Kegelschnitt liegen (5.)j also gilt der Satz: Liegen sechs Punkte S(, 95, , 3), @, ^ einer C< 3 ' auf einem Kegelschnitt, so liegen nicht nur ihre sechs konjugierten Punkte 5t x , S3j, S 17 t , @j, ^ auf einem zweiten Kegelschnitt, sondern auch die dritten Schnittpunkte 5t a , 95 2 , S 2 , ^) 2 , @ 2 , ^ 2 der sechs Ver- bindungslinien | 31^ |, | S3S3J, ((, |, | 5)J, | <, ,|^^J auf einem dritten Kegelschnitt. Die konjugierten Punkte zu 51 2 , 33 2 , S.,, 2) 2 , (S 2 , $- 2 sind nun bekanntlich diejenigen Punkte 91', 93', . . ., $' der C 1 ' 31 , in welchen die Tangentenpaare fiir 81^, S5 t , ..., ^^f, sich treffen, und da St 2 , $8 2 , . .., $T 2 auf einem Kegelschnitt liegen, so mussen nach dem vorigen Satze auch ihre konjugierten Punkte 5T, 93', . . ., $' auf eineni Kegelschnitt liegen; also gilt der Satz: Liegen sechs Punkte ?(, 95, (, $), @, g einer (7^ auf eineni Kegelschnitt, so treffen die sechs Tan- genten der C (3) in diesen Punkten die Kurve in sechs neuen Punkten 51', 93', <', $', (', g', welche ebenfalls auf einem Kegelschnitt liegen. 10. Konstruktioii der C ^ (lurch ueun willkurlich und unabhiingig voneinander gegebeue Punkte. 1. Die Erzeugung einer C' (S) durch eiu Kegelschnitt- biischel und ein niit demselben projektives Strahlbiischel fuhrt zur Konstruktion der Kurve durch eine zu ihrer Be- 10. Konstruktion der (7 I s ) durch neun willkvirlich etc. Punkte. 73 stimniung notwendige Anzahl von Punkten; da die Kurve durch die Grundpunkte des Biischels a, b, c, b imd den Mittel- puiikt des erzeugenden Strahlbiischels selbst hindurchgeht, und da drei Paare entsprechender Elemente der beiden Ge- bilde die projektive Beziehung bestimmen, so erhalt man dadurcb 4 + 1 + 3.2 = 11 Punkte der Kurve, die aber nicht voneinander unabhangig sind; vielmehr ist scbon der Gegen- punkt D durch die vier Grundpunkte 0, b, c, b bestimmt, und auf drei durch ) gelegten Strahlen des Strahlbiischels liegen je zwei Punkte mit auf einer Geraden. Wir konnen daher nur die vier Grundpunkte a, b, C, b als unabhangig voneinander gegeben annehmen und von den Durchschnitts- punkten eines Kegelschnitts des Biischels mit dem ent- sprechenden Strahl des erzeugenden Strahlbiischels immer nur einen; nehrnen wir nur drei solcher Punkte, so ist fur jede beliebige Annahme von O die projektive Beziehung der beiden Gebilde gerade erst bestimmt. Wir wollen daher vier Punkte e, f, 13, *) annehmen und den Punkt so zu bestimmen suchen, daB fur ihn den vier Kegelschnitten : [abcbe], [abcbfj, [abcbg], [abcb^], die wir zur Abkiirzung so bezeichnen wollen [abcb](efgf)) ; vier Strahlen | De|, | Of |, |Dg|, | Of, | projektiv entsprechen, die wir, ebenfalls zur Abkiirzung, so bezeichnen wollen Durch die Projektivitat [abcb](efgt,)AO(ef 9 {)) ist der Punkt D noch nicht bestiinmt, sondern auf einen gewissen Ort beschrankt, einen Kegelschnitt, welcher durch efgfy geht und ein bestimnites Doppelverhaltnis fafit. Der Ort eines Punktes D, welcher nach vier gegebenen Punkten e, f, g, () vier Strahlen sendet, die ein Doppelverhaltnis von gegebenem Werte liefern, ist bekanntlich ein Kegelschnitt, 74 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. der so konstruiert werden kann: Man ziehe | ef |, | eg |, | ef) [ und bestimme dutch e denjenigen vierten Stralil t, welcher mit den drei ersten Strahlen den gegebenen Wert des kon- stanten Doppelverhiiltnisses liefert, dann wird der Kegel- schnitt $ (2 \ welcher durch efgf) geht und in e die Gerade t beriihrt, wodurch er gerade bestimmt ist, der Forderung der Aufgabe geniigen, also der Ort von O sein. Der Wert des Doppelverhaltnisses ist aber hier gegeben durch die vier Kegelschnitte des Buschels [abcb](efg$), welches man auf ein Strahlbiischel reduzieren kann ( 4, 5), indem man entweder in einem der vier Grundpunkte die vier Tangenten an diesen Kegelschnitten zieht, oder auf eine gerade Punktreihe, indem man durch einen der Grundpunkte eine beliebige Transversale zieht, welche den Kegelschnitten in vier Punkten begegnet, die den Wert des Doppelverhalt- nisses liefern. Aus dem Vorigen geht hervor, daB durch die acht Punkte a, b, c, b, e, f, g, f) nicht nur eine C (3) gelegt werden kann, sondern unendlich viele; denn jeder Punkt D des ge- fundenen Kegelschnitts $ (21 darf als Mittelpunkt eines er- zeugendea Strahlbiischels gewahlt werden, wodurch dann die ganze Beziehung der beiden erzeugenden prqjektiven Ge- bilde hergestellt ist, also die C (3) vollstandig bestimmt ist. 2. Nehrnen wir nun einen beliebigen Punkt des gefundenen Kegelschnitts und konstruieren die durch ihn vollstandig bestimmte C f(3) , so wird der Kegelschnitt ^ C2) mit der C (3) auBer den fiinf Punkten e, f, g, t), D noch einen notwendigen sechsten Schnittpunkt gemein haben, sodaB die Projektivitat erfiillt wird [abcbj(efgt)o) A C(efgf)o); nehmen wir aber einen beliebigen andern Punkt D x des Kegelschnitts ^ (2) , so erhalten wir dadurch eine andere C. , welche durch das Kegelschnittbuschel [obcb] und das Strahl- biischel [)J erzeugt wird. Aus der Natur des Kegelschnitts geht aber die Projektivitat hervor 10. Konstruktion der C& durch neun willkiirlich etc. Punkte. 75 O(efgf)o) AD folglich gilt auch die Projektivitat: [oucb](efgf)o) AO^efgfjo), woraus folgt, daB auch die Kurve Of* durch den Punkt hindurchgehen inuB. Dies gilt fiir samtliche Punkte 0, ) 1} . . . des Kegelschnitts $ ' 2 \ folglich ergiebt sich der funda- mentale Satz: Samtliche Kurven dritter Ordnung C7 (3) , welche durch acht willkiirlich und unabhangig voneinander gegebene Punkte 7 b, (,, b, e, f, g, f) gelegt werden konnen, mussen noch durch eiuen und denselben notwendigen neunten Punkt hindurchgehen. Sie bilden ein Kurvenbiischel dritter Ordnung von gleicher Machtigkeit niit den Punkten eines Kegel- schnitts & (2) , also von einfach-unendlicher Mannigfaltigkeit (oe 1 ), wie das ebene Strahlbtischel oder die gerade Punktreihe. Wir konnen den vorigen Satz auch so aussprechen: Wenn zwei Kurven dritter Ordnung (7 (3) und Cf } sich in neun Punkten begegnen, so mufi jede Kurve dritter Ordnung^ welche durch acht dieser Punkte hindurchgeht, auch durch den neunten gehen. Solche neun Punkte bilden eine Gruppe von neun associierten Punkten, indein jeder derselben als der neunte notwendige fiir die iibrigen acht aufgefaBt werden kann. Die vorige Betrachtung gestattet auch die Konstruktion des notwendigen neunten Punktes 0, sobald die acht Punkte a, b, c, b, e, \, 9, I) gegeben sind. Man lege die vier Kegelschnitte: und konstruiere in der oben angegebenen Weise denjenigen Kegelschnitt & (2) , welcher durch efg^ geht und das Doppelverhiiltnis der vier Kegelschnitte faBt; nun vertausche man b und f) 7 lege also die vier Kegelschnitte: [af>cl)](efgb) und konstruiere denjenigen Kegelschnitt . ( *\ welcher durch e f g b geht und das Doppelverhaltnis dieser vier Kegel- 76 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. schnitte faBt; die beiden Kegelschnitte $ I2) und [ 2 ', welche die drei Punkte e, f, Q gemein haben, miissen noch einen vierten gemeinschaftlichen Punkt o haben, welcher der ge- suchte ist; er kann hiernach bekanntlich auf lineare Weise konstruiert werden. 3. Der vorige allgemeine Satz liefert eine Menge von speziellen Fallen, von denen wir nur zwei hervorheben wollen: Sind a, b, C, b, e, f irgend seeks Punkte eines Kegel- schnitts, so konnen die drei Geraden lab |, |cbf, |ef| als eine ausgeartete Kurve dritter Ordnung aufgefaBt werden; ebenso die drei Geraden I be |, | fa |, |bc|. Die neun Durchschnittspunkte dieser beiden Kurven dritter Ordnung bilden also eine Gruppe von neun associ- ierteri Punkten; sie sind 0, b, C 7 b, e, f und (ab, be) = p, (cb, fa) = q, (be, ef) = r. Da jede Kurve dritter Ordnung, welche durch acht derselben geht, auch durch den neunten gehen mufi, so muB die ausgeartete Kurve, welche aus dem Kegelschnitt [obcbe] und der Geraden | pq | besteht, auch durch r gehen; da aber r nicht auf dem Kegelschnitt liegen kann, weil er auf der Sehne | ef | liegt, so miissen p, q, r auf einer Ge- raden liegen, was den Pascalschen Satz giebt. Wenn zwei tens drei Kegelschnitte &, f\ .f' zwei gemeinschaftliche Punkte 1, 33 haben, so haben je zwei derselben noch zwei weitere Punkte gemein, namlich 8 und'^f haben gemein die Punkte ?(, 33, a 1; b,; (2) i (2) n* \ f < jv 3 jv x -, -u, u 2 , u.j, gif^ 1 @( 2 ) or qi ^ t. *1 r> ^i ?7 ;; ^j ** U 3J v si demgeniiiB liegen 10. Konstruktion der C ( - 3} durch neun willkiirlich etc. Punkte. 77 auf J 2) die sechs Punkte 51, 23, 2 , b 2 , a 3 , b 3 ; Fassen wir nun den Kegelschnitt [5lS3a 2 b 2 a 3 '6 3 ] und die Gerade | a^i | als eine ausgeartete Kurve dritter Ordnung auf, ebenso den Kegelschnitt [^SSOgbgQjbi] und die Gerade | a 2 B 2 | als eine zweite ausgeartete Kurve dritter Ordnung, so bilden die neun Durchschnittspunkte derselben eine Gruppe von neun associierten Punkten; diese sind aber 3t ; S3, a 1? b,, a 2 , b, 7 a 3 , b 3 und (a^ lf a,b 2 ) = o; da nun von diesen die sechs Punkte t, 33, a,, B 1; o 2 , b, auf einem Kegelschnitt liegen, so miissen die drei iibrigen d 3 , b 3 , auf einer Geraden liegen, d. h. Id-bj), |a 2 b 2 |, Ci 3 b 3 1 sich in einem Punkte schneiden, was den bekannten Satz giebt: Wenn drei Kegelschnitte eine gemeinschaftliche Sekante haben, so miissen die drei iibrigen gemein- schaftlichen Sekanten je zweier derselben sich in einem Punkte schneiden. 4. Wenn wir zu den acht beliebig auf der C (3) an- genommenen Punkten o, b, C, b, e, f, g, ^ die konjugierten Punkte nehmen a 17 b 17 C 1; b x , C 1? f 17 g u ^ (in dem friiheren Sinne 2,7), so konnen wir auch zu den letzteren den notwendigen neunten Punkt konstruieren; schneiden nun die vier Kegelschnitte [o, b, c, b](e, f, g, b,) die C' 3) in den sechsten Punkten e', f , g', b/, so miissen nach 9,8 auch die konjugierten Punkte derselben c,, f{, $[, f){ die sechsten Schnittpunkte der vier Kegelschnitte [o t , b t , q, bJCej, f u g t , ^) sein. Da die vier Sehnen 73 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. lee", |ff |, | 99' |, |WI sich in einem Punkte D der G' (3) schneiden, so miissen, wie aus dem Friiheren hervorgeht, auch die vier Sehnen le^l, lf,f,|, llhg'J, IM'il sich in demselben Punkte D der C (3) schneiden. Legen wir nun durch e, f, 9, f), D einen Kegelschnitt, so ist sein sechster Schnittpunkt mit der C (3) der notwendige neunte Punkt o fiir die Gruppe abcbefgf), und legen wir durch e 1; f 1; g u ^ n O einen Kegelschnitt, so ist sein sechster Schnittpunkt der notwendige neunte Punkt fur die Gruppe ft^C^Cj^g}^. Nun wissen wir aber ( 9,8), daB wenn die Punkte e, f, 9, &, D, einer (7 (3) auf einem Kegelschnitt liegen, auch die sechs Punkte e u fj, g u 6,, D, auf einem Kegelschnitt liegen miissen; also schliefien wir: Wenn man zu irgend acht Punkten einer G' (3) den notwendigen neunten der Gruppe von neun associ- ierten Punkten aufsucht, so ist derselbe identisch mit dem notwendigen neunten Punkt der aus den acht konjugierten Punkten der ersteren gebildeten Gruppe. 5. Da durch acht unabhangig von einander gegebene Punkte unendlich viele Kurven C (3) gehen, die ein Kurven- buschel von einfach-unendlicher Mannigfaltigkeit bilden, so wird durch einen willkiirlich hinzugefiigten neunten Punkt nur eine C" (3) gehen und durch diese neun Punkte bestimmt sein. In der That werden wir sie in folgender Weise kon- struieren konnen: Wahlen wir der Deutlichkeit wegen eine etwas ab- geanderte Bezeichnung und nennen 51, S3, , 2), 1, 2, 3, 4, 5 neun willkiirlich und unabhangig voneinander gegebene Punkte (d. h. solche, von denen keine drei auf einer Ge- raden, keine sechs auf einem Kegelschnitt liegen und die nicbt alle neun eine Gruppe von associierten Punkten bilden); dann legen wir die vier Kegelschnitte 10. Komtruktion der C (S) durch neun willkurlich etc. Punkte. 79 , 2, 3, 4); und bestimmen denjenigen durch 1,2,3,4 gebenden Kegel- schnitt $ ( *\ welcher das Doppelverhaltnis dieser vier Kegel- schnitte fa6t. Zweitens legen wir die vier Kegelschnitte |$33&] (1235) und bestimmen denjenigen durcb 1235 gebenden Kegelscbnitt ft* , welcber das DoppelverLaltnis dieser vier Kegelschnitte fa(?t Dann werden die beiden Kegel- scbnitte SK 2 > und [->, welcbe bereits die drei Punkte 1, 2, 3 gemein baben, nur nocb einen einzigen reellen bestimmten Punkt 5 gemein haben; derselbe ist der gesucbte Mittelpunkt des erze ugenden Strahlbiischels, welcbes mit dern erzeugenden Kegelschnittbiischel in der projektiven Beziebung stebt: [TOSS)] (12345) A D(12345); diese beiden projektiven Gebilde erzeugen dann diejenige f (::) , welcbe durcb die neun gegebenen Punkte geht und durcb dieselben bestimmt wird. Die Konstruktion des Punktes C ist linear auszufiihren; er is-t der Gegenpunkt zu dem Punktquadrupel 91 23 <$).* 6. Um eine Kurve C\ } mit einem Doppelpunkt zu er- zeugen, konnen wir an Stelle des Kegelschnittbiischels [S(936^)] eine Strableninvolution || O | setzen und dieselbe in projektive Beziebung bringen mit einem einfachen Strabl- biiscbel | O x j ; jedem Strahlenpaar der Strahleninvolution || D || entspricbt dann ein bestimmter Strabl des Strahl- biiscbels | C x ', und der gesamte Ort der Durchschnittspunkte entsprechender Eleniente dieser beiden erzeugenden Gebilde ist die C^'\ Jeder Strabl durcb C, enthalt daber noch zwei Punkte des Ortes, welcber offenbar selbst durch O, geht; jeder Strahl durch ) enthalt aber nur noch einen Punkt des Ortes, fur welchen offenbar D ein Doppelpunkt ist. Dem Strahle | O t D als dem Strahlbiischel O t | angehorig entspricht in der Strahleninvolution || O |J ein Strahlenpaar, welches die Tangenten der C d in dem Doppelpunkte sind; * Diese Konstruktion ist gegeben von C basics in den Comptes rendus tome XXXVI p. 951 et suiv. Vergl. E. de Jonquieres: Essai sur la generation des courbes geometriques et en particulier snr celle de la courbe de quatrierae ordre. Paris 1858. g() Theorie der ebenen Kurven d fitter Ordnung. deui Strahle | OD l | als einem Teile eines Strahlenpaares der Involution | O j| entspricht in dem Strahlbiischel | Oj | die Tangente der (J d im Punkte O r Aus dieser Erzeugungs- weise laBt sich die ganze Theorie der CJ 3) ableiten. Wir wollen nur noch die Konstruktion der C^ geben, sobald von ihr der Doppelpunkt und die zu ihrer Bestimmung notwendige und hinreichende Anzahl von weiteren Punkten gegeben ist; dies sind, wie wir sofort erkennen, noch sechs Punkte, indem der Doppelpunkt drei in sich einschlieBt. Denn geben wir den Doppelpunkt D und noch sechs ein- fache Punkte ) abcbe so konnen wir das Strahlbiischel D! | abcbe | ziehen und nach D eine Strahleninvolution verlegen, die projektiv ist mit dem Strahlbiischel | O t |, sodaB von fiinf Strahlenpaaren derselben Teile durch a, b, c, b, e gehen, und solchen Strahlenpaaren die Strahlen des vorigen Strahl- biiscfcels D, entsprechend sind. Die Bestimmung dieser Strahleninvolution || || fiihrt sehr einfach wieder auf das vorige Problem der Projektivitat zuriick. Wir ziehen namlich die fiinf Strahlen O I obcbe I legen durch D einen beliebigen Hilfskegelschnitt .ff !2) , welchem diese fiinf Strahlen bez. in a', b', c', b', e' begegnen, und suchen sodann den eindeutig bestimmten Punkt 9$ auf, fiir welchen die Projektivitat ^ |a'b'c'b'e f | A Oj |abcbe| erfiillt wird. Die Konstruktion des Punktes ty ist obeu au- gegeben. Ist ^5 gefunden, so treffen die Strahlen ^3|a'b'c'b'e'| den Hilfskegelschnitt K^ in fiinf neuen Punkten a", b", c", b", e", und es ist ersichtlich, daB die Strahlenpaare, welche D nach o'a", b'b", c'c", b'b", e'e" sendet, eine Strahleninvolution bilden; diese ist projektiv mit dem ein- fachen Strahlbiischel | ^8 |, folglich auch mit dem Strahl- biischel | D x |, und nun haben wir die beiden die C (/ er- zeugenden Gebilde, das Strahlbiischel | Dj | und die Strahlen- 11. Eine andere Losung der vorhergehenden Aufgabe. 81 involution | O | in projektiver Beziehung, und das Erzeugnis geniigt offenbar der Forderung der Aufgabe, durch die Punkte a, B, C, b, e, den Mittelpunkt des erzeugenden Strahlbuschels \ und den Doppelpunkt D hindurchzugehen. 11. Eine andere Losung der yorliergehenden Aufgabe. 1. Hat man ein Kegelschnittbuschel [5193()] und ein Strahlbuschel [D] in projektive Beziehung gesetzt zur Er- zeugung einer C (3) , und entspricht einem beliebigen Kegel- schnitt (2) des Biischels der Strahl x des Strahlbiischels [0], so gehbren die beiden Schnittpunkte von 3 (2) und x dem Erzeugnis C (3) an. Zieht man durch einen der vier Grundpunkte des Kegel- schnittbiischels, etwa durch 2), eine beliebige feste Gerade ?, welche den Kegelschnitten des Biischels in der geraden Punktreihe , , begegnet, so wird diese vom Punkte t) auf I beschriebene Punktreihe mit dem Kegelschnittbuschel ( 4, 5), also auch mit dern Strahlbuschel D | x \ projektiv sein. Wir legen nun den besonderen Kegelschnitt 3^ 2) , welcher durch die fiinf Punkte , S3, S, 2), geht und der Geraden I in t) begegnet, den veranderlichen Strahl x aber in j' treffe, dann werden die drei Kegelschnitte von denen der letzte ein Linienpaar ist, den gemeinschaft- lichen Punkt 2) haben, also je zwei derselben noch drei iibrige gemeinschaftliche Punkte, namlich und < 2) Xf [to]:ti Schroter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordu. 82 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Nach einem bekannten Satze (Th. d. K. S. 242): ,,Wenn drei Kegelschnitte einen Punkt gemein haben, so haben je zwei derselben noch drei andere Punkte gemein, welche ein Dreieck bilden; die neun Seiten der dadurch er- haltenen drei Dreiecke beriihren einen und denselben Kegel- schnitt", werden daher die Geraden einen Kegelschnitt $ (2) beriihren. Lassen wir nun die durch die projektive Beziehung der beiden erzeugenden Biiscbel gegebene Bewegung in die Figur eintreten, so verandert sich auch der Kegelschnitt $ (2) , er wird aber bestandig die vier festen Tangenten behalten i, ||, \m\, |09 |, also eine Kegelschnittschar beschreiben; auf einer der vier gemeinschaftlichen Tangenten dieser Kegelschnittschar be- findet sich ein fester Punkt D, aus welchem an die Kegel- schnitte der Schar die jedesmalige zweite veranderliche Tan- gente x gelegt wird. Diese beschreibt daher ein Strahl- biischel D|ic| ; welches offenbar projektiv ist mit der Kegel- schnittschar und auch, wie wir gesehen haben, mit der Punkt- reihe, welche t) auf I beschreibt; also ist auch die Kegel- schnittschar projektiv mit der Punktreihe l(ty). Das Tangenten- paar t) J L j und t) J 2 1 aus jedem Punkte ty an den entsprechenden Kegelschnitt der Schar wird daher einen Ort umhiillen, der das dual gegeniiberstehende Erzeugnis einer G' (3) ist, (erzeugt durch ein Kegelschnittbiischel und ein mit dernselben pro- jektives Strahlbiischel) also eine Kurve dritter Klasse ft', welche die vier gemeinschaftlichen Tangenten der Kegel- schnittschar und den Triiger der erzeugenden geraden Punkt- reihe selbst zu Tangenten hat. Hieraus ergiebt sich zugleich eine andere Erzeugungsweise unserer C' 3 ', welche sich so aussprechen laBt: Hat man eine Kegelschnittschar (mit vier ge- meinschaftlichen Tangenten) und eine mit derselben projektive gerade Punktreihe (t)) auf dem Trager I, 11. Eine andere Losiing der vorhergehenden Aufgabe. 83 ferner einen auf einer der vier gemeinschaftlichen Tangenten der Schar gelegenen festen Punkt D, und legt man an jeden Kegelschnitt der Schar einerseits aus O die noch iibrige zweite veranderliche Tan- gente x, andererseits aus deni Punkte ty, welcher dem Kegelschnitt der Schar entsprechend ist in der Punktreihe Z(t)), das Tangentenpaar, welches dem Strahle x in ^ und J 2 begegnet, so ist der gesamte Ort dieser Schnittpunkte t , J 2 eine Kurve dritter Ordnung C (3) , die selbst durch D geht, sowie durch die drei Ecken des Dreiseits, das von den drei iibrigen gemeinschaftlichen Tangenten der Schar, die nicht D enthalten, gebildet wird. Nennen wir dieses Dreieck 5123G, so laufen alle Kegelschnitte, welche die je sechs Punkte ^)^3^9}Ciia enthalten, durch einen vierten festen Punkt 2), der ebenfalls auf C r(3) liegt und gleichzeitig auf I. Das Tangentenpaar | t) ^ | , | t) 2 1 umhiillt eine Kurve dritter Klasse l3) , deren Zusammenhang mit der C (3) im Obigen enthalten ist. Da die Gerade I ganz willkiirlich durch den Grundpunkt des urspriinglicheii erzeugenden Kegelschnittbiischels ge- zogen war, so wird auch die zur Bestimmung der Kegel- schnittschar dienende vierte gemeinschaftliche Tangente eine frei zu wahlende sein, wenn wir die neue Erzeugung der C (3) beabsichtigeu. 2. Wir konnen nun aus dieser eine zweite Kon- struktion der C (3) durch neun willkiirlich und un- abhangig voneinander gegebene Punkte ableiten, die sich so gestalten wird: Seien die neun gegebenen Punkte H, 33, <, D, 1, 2, 3, 4, 5, so ziehe man durch O eine beliebige Gerade y und be- stimme funf Kegelschnitte, welche die vier gemeinsamen Tangenten 6* 84 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. g haben und auBerdem zu Tangenten je einen der funf Strahlen |01|, I 02 I, |03 , | 04 |, | 05 |; sodann lege man an jeden dieser funf Kegelschnitte, die einer Schar angehoren, aus den fiinf Punkten 1,2, 3, 4, 5, die jedesmal noch iibrige zweite Tangente HI h > t$ > h) *R und suche eine Gerade I, welche diese fiinf Geraden t l} t 2 , ^3; '4? ^5 i n solchen fiinf Punkten 9l> ^27 *)3> 94; 9o schneidet, daB die Projektivitat erfiillt wird UW 3 M 5 ) A 0(12345). Dadurch ist die Gerade I vollstandig und eindeutig be- stimmt nach dem Problem der Projektivitat, eine Aufgabe, die dual gegeniibersteht der oben ( 10, b) gelosten, und deren Ausfiihrung daher keiner Wiederholung bedarf. Ist die Gerade I gefunden, so kann man in doppelter Weise verfahren: 1. Jedem Punkt t) der Punktreihe auf I entspricht jetzt ein bestimmter Strahl x des Stralilbiischels D x und ein bestimmter Kegelschnitt 3t (2) aus der Schar mit den vier festen Tangenten ! 2195 !, | SI |, | 93 S , g und der jedes- maligen fiinften Tangente x. Legt man aus Q an diesen Kegelschnitt 3 (2) das Tangentenpaar, so schneidet es den Strahl x in einem Punktepaar J^, dessen gesamter Ort die Kurve 6'( 3 ' erfiillt. 2. Man lege den b^sonderen Kegelschnitt ^\ welcher durch die vier Punkte , 93, 6, O und den Schnittpunkt & 9) - *)o bestimmt wird; dieser schneidet I zum andern Mai in dem Punkte 2), dem vierten Grundpunkte eines Kegelschnitt- biischels [51 93 S 2)], welches mit dem Strahlbiischel | x \ projektiv ist, indem immer dem Kegelschnitt [51 93 3)t)] der 11. Eine andere Losung der vorhergehenden Aufgabe. 85 Strahl x entsprechend ist, welcher dem Punkte t) der geraden Punktreihe auf I entspricht. Diese beiden projektiven Ge- bilde des Kegelschnittbiischels [5133(5] und des Strahl- biiscliels [D] erzeugen dann in der fruheren Weise die Kurve C (z) , welche durch die gegebenen neun Punkte 51, S3, ] (12345) A D (12345). Diese zweite Losung der Aufgabe nimmt also nicht, wie die erste Losung, die vier Grundpunkte 21, S3, (E, 2) des erzeugenden Kegelschnittbiischels als gegeben an und sucht den zugehorigen Mittelpunkt des erzeugenden Strahlbiischels (Gegenpunkt), sondern nimmt umgekehrt den Mittelpunkt des erzeugenden Strahlbiischels und drei von den Grund- punkten 21, S3, & des erzeugenden Kegelschnittbiischels als gegeben an und sucht den zugehorigen vierten Grundpunkt desselben. Die aus dieser Auffassung entspringende Losung ist verschieden von derjenigen, welche de Jonquieres in den Comptes rendus tome XLV, 7. September 1857 gegeben hat. Sie findet sich von ChaslesinLiouville's Journal tome . XIX pag. 366 ohne Beweis mitgeteilt. 3. Nehmen wir zur Bestimmung einer C (3) nur acht Punkte an or en re n o Q 21, 93, 5, O, 1, 2, 3, 4, so ist dieselbe nicht vollstiindig bestimmt, sondern es giebt unendlich viele C (3 \ welche durch diese acht Punkte gehen; denn die vorige Konstruktion zur Bestimmung der Geraden I fiihrt auf die Bedingung ZftWi) A 0(1234), welcher nicht bios eine Gerade / geniigt, sondern unendlich viele, die einen Kegelschnitt (2) umhiillen, der die vier gg Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Geraden t lf t 2 ,t 3) t beriihrt und das Doppelverhaltnis O(1234) faBt, d. h. jede Tangente desselben wird von t^t z t^ in vier Punkten geschnitten, deren Doppelverhaltnis gleich ist D (1234). Dieser Kegelschnitt < 2) ist dadurch vollstandig und eindeutig bestimmt und kann in bekannter Weise kon- straiert werden (s. o.). Da nun fur I jede beliebige Tangente dieses Kegel- schnitts $ (2) gewahlt werden kann, so giebt es unendlich viele C (3) , die ein Biischel von einfach-unendlicher Mannig- faltigkeit bilden, wie wir schon friiher ( 10, 2) gesehen haben. Mit der Kurve C r(3) hangt, wie wir gesehen haben, eine bestimmte Kurve (3) (1.) zusammen, die von alien Tan- gehtenpaaren | t)r. x |, | t) J 2 { umhiillt wird. Diese hat nun mit dem Kegelschnitt (2) , wenn wir eine bestimmte Tan- gente I als Trager der erzeugenden Punktreihe wahlen, be- reits die fiinf Tangenten t 1} t 2 , 3 , t^ und I gemein, folglich notwendig noch eine reelle sechste Tangente, die wir t nennen wollen, und es muB daher auch die Projektivitat gelten Da aber fiir jede beliebige andere Tangente ?' des Kegel- schnitts $ (2) wegen der projektiven Natur desselben l&Wtti A l'(WM) sein muB, so ist auch d. h. diejenige neue Kurve (3) ', welche vermittelst der er- zeugenden Punktreihe auf I' konstruiert wird, hat ebenfalls die Gerade t Q zur Tangente. Hieraus folgt, daB samtliche Kurven dritter Klasse, welche die acht gemeinschaftlichen Tangenten haben I m |, |<5|, m \, g , t lt t. 2) t s , t t , noch eine und dieselbe neunte notwendige Tangente haben und eine Schar von Kurven dritter Klasse bilden, ein dem friiheren dual gegeniiberstehendes Resultat. 11. Eine andere Losung der vorhergehenden Aufgabe. 87 Zu den vier Strahlen D ( 1 2 3 4) giebt es nun auch nur einen einzigen bestiniinten Strahl x , welcher der Bedingung /(M 2 Wo)A {| 01 1, | 02 |, |03 , 04|, * }, und ist derselbe ermittelt (in bekannter eindeutiger Weise), so wird der Schnittpunkt (f o; ) = der neunte notwendige Punkt sein des Kurvenbiischels dritter Ordnung, welches durch die achtPunkte SI, 93, S, O, 1, 2, 3, 4 bestimmt wird; denn der besondere Kegelschnitt, welcher die ftinf Geraden beruhrt, rnuB auch f beriihren, also miissen die beiden Dreiecke or en re VlSBli und ## ihre sechs Ecken auf einem Kegelschnitt 3^ 2) haben; der durch die Punkte gehende Kegelschnitt schneidet aber t , wie wir oben ge- sehen haben, zuin andern Mai in einem Punkte, welcher auf C (3) Hegt, also liegt der Punkt C*o*o) = auf samtlichen Kurven (7 (3) des Kurvenbiischels dritter Ordnung und ist der notwendige neunte Grundpunkt dieses Biischels, weil t alien Kurven dritter Klasse ^' (3) der vorigen Schar als neunte Tangente geineinschaftlich ist. 4. Wir sind also auch von dieser zweiten Erzeugung der (7 (3) aus zu dem schon in 10,2 gefundenen Resultate ge- langt; hier tritt aber noch eine andere fundamentale Eigen- schaft eines solchen Kurvenbiischels dritter Ordnung hinzu, die wir sogleich anschliefien wollen: Ziehen wir namlich durch einen beliebigen, aber festen Strahl #1, so wird jede Kurve C w des Kurvenbuschels demselben auBer in O noch in einem Punktepaar J 1 j{ begegnen, welches so bestimmt werden kann: Man nehme eine beliebige Tangente I des oben ermittelten Kegelschnitts (2) , der t^t^ beriihrt und der Projektivitat 88 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Z(WsO AD (1234) geniigt. Dem Strahle x l durch D gehort dann auf I em bestiinmter projektiv entsprechender Punkt t^ zu, sodaB die Projektivitat erfiillt wird l(*0 m W GO Mfi{|Dl| |02| !D3j 1041^}; durcli die fiinf Tangenten !!, |<|, |S3!, 9t x, ist ein bestiinmter Kegelschnitt K (2) fixiert, und das Tan- gentenpaar aus t) l an denselben trifft, den Strahl x l in dem gesuchten Punktepaar JiJj'. Verandern wir nun I langs des Kegelschnitts ^! (2) , wahrend x lf also auch der Kegelschnitt K^ unverandert bleibt, so wird nur der Punkt t) x sich ver- andern und zwar, wie leicht zu sehen ist, auf einer Geraden l lf welche Tangente an (2) ist; denn werden vier feste Tangenten t l} t^, f 3 , t eines Kegelschnitts ^ (2) von einer variablen Tangente / in vier Punkten getroffen und auf letzterer allemal ein soldier Punkt t) bestimmt, da6 die Punktreihe . . . , , (It,} (lt a } (It,} M immer mit sica projektiv bleibt, d. h. fiir jede andere Tan- gente V auch wird, so muB | tjjt)^ | = /j eine feste Tangente des Kegel- schnitts $( 2) sein, wie aus der bekannten Grundeigenschaft des Kegelschnitts, welcher durch zwei projektive Punkt- reihen erzeugt wird WWt&nl'&WM unmittelbar sich ergiebt. Hieraus folgt nun, daB man von den Punkten \) i einer Geraden ^ die Tangentenpaare an einen festen Kegelschnitt K (2) zu legen hat und die Schnittpunktpaare derselben mit einer festen Tangente x t des Kegelschnitts K^' 2) aufzusuchen sind, um das gesuchte Punktepaar r^rj zu erhalten. Nach einem bekannten Satze (Th. d. K. S. 152) bilden aber diese Schnittpunktpaare eine Punktinvolution, und wir erhalten 12. Andere Erzeugungsweisen und daraus hervorgehende etc. 89 eine charakteristische Eigenschaft fiir das Kurvenbiischel dritter Ordnung: Zieht man durch einen der neun Grundpunkte eines Kurvenbiischels dritter Ordnung eine feste Gerade, welche jeder Kurve des Biischels noch in zwei weiteren Punkten begegnet, so bilden diese Paare von Schnittpunkten auf der Geraden eine Involution von Punktepaaren. (Es giebt also insbesondere zwei Kurven des Buschels, welche eine durch einen Grundpunkt gehende Gerade be- ruhren, ferner lassen sich hiernach solche Kurvenbiischel wieder in projektive Beziehung setzen zu anderen Gebilden von gleicher Machtigkeit u. s. w.) 12. Andere Erzeugungsweisen und daraus hervor- gehende Konstruktionen der C (3 >. 1. Die Erzeugung der C i3) durch zwei Strahleninvolutionen in projektiver Beziehung und halbperspektiver Lage (3) fuhrt uns zu einer Verallgemeinerung, welche wieder andere Erzeugungsweisen und Konstruktionen der C (3) liefert. Eine Strahleninvolution ist namlich nur ein spezieller Fall eiues Kegelschnittbiischels, bei welchem samtliche Kegelschnitte in Linienpaare ausgeartet sind. Ein Kegelschnittbuschel wird bestimmt durch zwei Kegelschnitte, deren vier gemeinschaftliche Punkte die Grundpunkte des Buschels sind. Nehmen wir nun zwei Linienpaare a 17 66, an, die denselben Doppelpunkt haben (aaj = (66,) = D zur Bestimmung eines Kegelschnittbiischels, so werden die Grundpunkte desselben alle vier in einen und denselben Punkt D hineinfallen; jeder weitere Kegelschnitt des Buschels kann mit den beiden Kegelschnitten t<> = [aaj und 33^) = [66,] keine anderen Punkte als die vier in D zusammenfallenden ge- mein haben, mu6 daher auch in ein Linienpaar ausarten, 90 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. welches in O seinen Doppelpunkt hat. Es inuB aber die charakteristische Eigenschaft jedes Kegelschnittbiischels er- halten bleiben, da6 namlich jede Gerade von den Kegel- schnitten des Biischels in Punktepaaren einer Punktinvolution geschnitten wird; folglich geht dies besondere Kegelschnitt- buschel in eine Strahleninvolution [D] iiber, deren Strahlen- paare ausgeartete Kegelschnitte des Biischels sind. Wir konnen nun an Stelle der beiden erzeugenden Strahleninvolutionen zwei allgemeine Kegelschnittbiischel und SS in projektive Beziehung setzen; ihr Erzeugnis wird dann eine Kurve vierter Ordnung, weil die beiden auf einer be- liebigen Geraden g ausgeschnittenen Punktinvolutionen im allgenieinen vier solche Punkte liefern, in denen ein Punkt des einen Paares init einein Punkte des entsprechenden Paares koinzidiert ( 4, 3). Wir konnen es aber so ein- richten, daB die erzeugte Kurve vierter Ordnung zerfallt, indem ein Teil der Durchschnittspunkte entsprechender Elemente eine gerade Linie erfiillt, also der ubrige Ort der Uurchschnittspunkte eine C (3) erfiillen muB. Dies war auch bei den beiden erzeugenden Strahleninvolutionen der Fall wegen ihrer halbperspektiven Lage ; weil in der Verbindungs- linie ihrer Mittelpunkte zwei Strahlen vereinigt wareu, die entsprechenden Strahlenpaaren angehorten. Zwei Kegelschnittbuschel [2193(5] und [^^6^,], die auf einer Geraden g dieselbe Strahleninvolution aus- schneiden und durch diese zugleich in projektive Beziehung gesetzt werden, erfullen die geforderte Bedingung; die iibrigen Schnittpunktpaare je zwei entsprechender Kegel- schnitte der Biischel werden daher eine C (3) erzeugen mussen. Solche Kegelschnittbuschel lassen sich nun auf verschiedene Art herstelleu. 2. Nehmen wir die neun Punkte , 93, 6, 2), 1; 93 1; e if 1, 2 beliebig und unabhangig voneinander an, legen den Kegel- schnitt [SI 95 S 2)1], welcher durch diese fiinf Punkte gerade 12. Andere Erzeugungsweisen und daraus hervorgehende etc. 91 bestimmt wird , und nehmen wir die vier Punkte 5( 1 S3j j 1 als Grundpunkte eines Kegelschnittbiischels an, so wird jeder Kegelschnitt desselben deni ersten Kegelschnitt [5123G$)1] auBer in dem Punkte 1 noch in drei iibrigen Punkten be- gegnen, die ein Dreieck bilden. Die Seiten aller dieser Dreiecke urahullen bekanntlich (Th. d. K. S. 242) einen Kegelschnitt (2) , welcher auch dem Dreieck Sl^G^ ein- beschrieben ist. Nehmen wir in gleicher Weise den festeu Kegelschnitt [5(23 3) 2] und legen ein Kegelschnittbuschel durch die vier Grundpunkte 8 1 iB 1 ( t 2, so schneiden die Kegelschnitte des- selben den festen Kegelschnitt auBer in 2 noch in je drei Punkten, die ein Dreieck bilden. Die Seiten aller dieser Dreiecke umhiillen ebenfalls einen Kegelschnitt $t { *', der dem Dreieck < $i i ^8 l ^ l einbeschrieben ist. Nun haben die beiden Kegelschnitte $ (2) und $j (2) bereits drei gemeinschaftliche Tangenten j^su | HA I, I8AI, folglich noch eine vierte reelle gemeinschaftliche Tangente (/, die in linearer Weise zu konstruieren ist. Diese Gerade g muB die doppelte Eigenschaft besit/en, daB sowohl die beiden Schnittpunkte von g und [51S3SS)1] mit den vier Punkten 5l n 23j , S 17 1 auf einem Kegelschnitt liegen, als auch die beiden Schnittpunkte von g und [?(S3S2)2] mit den vier Punkten 51,, 23^ S n 2 auf einem Kegelschnitt liegen. Nennen wir diese beiden Kegelschnitte K?> und K^\ so werden sie auBer den drei gemeinschaftlicheri Punkten Sl u SSj, S, noch einen reellen vierten gemeinschaftlichen Punkt CTN haben, der in linearer Weise koustruiert werden kann. Jetzt besitzt also die gefundene Gerade g die verlangte Eigenschaft, daB die beiden Kegelschnittbuschel [3193] und r^SB^S),] auf der Geraden g dies el be Punktiuvolution ausschneiden, welche durch die vorigen beideu Punktepaare bestimmt 92 Theorie dei- ebenen Kurven dritter Ordnung. wird. Die iibrigen beiden Schnittpunkte je zweier ent- sprechender Kegelschnitte, welche durch dasselbe Punkte- paar der Involution auf g hindurchgehen, werden daher eine Kurve (7 (3) erfiillen, welche durch die gegebenen neun Punkte 21, 93, (, $), St 1; 93,, ,, 1, 2 hindurchgeht. (Diese Losung des Problems ist von Chasles in den Comptes rendus tome XXXVI, 30. Mai 1853 angegeben.) 3. Nehmen wir andererseits die neun Punkte , S3, <, 95,, < 1, 2, 3 beliebig und unabhangig voneinander an und legen die durch je funf Punkte bestimmten beiden Kegelschnitte [8 "2? 2 13. Beziehungen zwischen den Beruhrungapunkten etc. 97 Wir haben nunmehr die drei Geraden also bilden diese Punkte eine Gruppe von neun associierten Punkten ( 10, 2) ; da aber C 2 C 2 auf einer Geraden liegen ; well ( der Tangentialpunkt zu C 2 1st, so mussen die sechs Punkte or 01 t $, 23, a n b,, a 2 , b 2 auf einem Kegelschnitt liegen; nun liegen aber auch die drei Punkte Q, c : , c : auf einer Geraden, also bilden die neun Punkte or en 21, 23, , a,, b 1; c 17 a 2 , f> 2 , q wieder eine Gruppe von neun associierten Punkten; von diesen liegen aber 5193S auf einer Geraden, Ci^^ auf einer zweiten Geraden, folglich miisseu auch Q 2 b 2 C 1 auf einer dritten Geraden liegen. In gleicher Weise folgt, wenn wir einen der beiden noch iibrigen Punkte b 3 oder b 4 nehmen, dessen Verbindungs- linie niit d l ebenfalls durch einen der vier c- Punkte liin- durcligehen niuB, und denjenigen Punkt b 3 nennen, dessen Verbindungslinie nait QJ durch C 3 geht, also QI^CS in einer Geraden liegen, da6 die drei Geraden neun Punkte einer associierten Gruppe bilden, und da wieder C 3 C 3 auf einer Geraden liegen, so miissen die sechs Punkte 2(, 23, a,, a 3 , b,, b 3 auf einem Kegelschnitt liegen. Fiigen wir die drei in einer Geraden liegenden Punkte (, c 15 c, hinzu, so bilden auch die neun Punkte SchrSter, Thcorie der ebenen Kurven 3. Ordn 7 93 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. eine Gruppe von neun associierten Punkten, und da auf einer Geraden, d^C, auf einer zweiten Geraden liegen, so mussen auch rt t , u 3 u 3 4 auf einer Geraden liegen. Nehmen wir endlich den letzten Punkt b 4 und verbinden ihn mit Q u so rnuB auch diese Verbindungslinie durch einen der vier c-Punkte gehen. Es kann aber | fl^] nicht durch C x gehen, well l^cj schon b x enthalt, auch nicht durch (X 2 , weil | C^Ca : schon 6 2 enthalt, auch nicht durch C 3 , weil | c^Cg | schon b s enthalt, folglich muB | 0^4 durch C 4 gehen. Wir haben daher n h r krt+4 auf einer neuen Geraden, und hieraus folgt wieder in gleicher Weise, wie vorhin, daB auch a 4 b,q auf einer Geraden liegen mussen. Zu diesen zehn erhalteuen Geraden treten nun noch sechs weitere. Ziehen wir niim- lich |a 2 b 3 |, so kann diese Gerade weder durch c n noch durch C 2 , noch durch C 3 gehen, folglich mu6 sie durch C 4 gehen, also liegen fc 2 3 * auf einer Geraden; ziehen wir j Ct 2 b 4 |, so kann diese Gerade weder durch C 1? noch durch %, noch durch C 4 gehen, folglich muG sie durch C 3 gehen, also liegen 2 4 C 3 auf einer Geraden; ziehen wir j Q 3 B 2 |, so kann diese Gerade weder durch c u noch durch C 2 , noch durch c s gehen, folglich muB sie durch C 4 gehen, also liegen O 3 b 2 c 4 auf einer Geraden; ziehen wir | Q 3 b 4 |, so kann diese Gerade weder durch C 1? noch durch C 3 , noch durch C 4 gehen, muB also durch C 2 gehen, also liegen Q 3 6 4 C 2 auf einer Geraden; ziehen wir | Q 4 b 2 |, so kann diese Gerade weder durch C 1} noch durch C 2 , noch durch C 4 geheu, muB also durch C 3 gehen, also liegen 13. Beziehungen zwischen den Beruhrungspunkten etc. 99 a 4 b 2 c 3 auf einer Geraden; und ziehen wir endlich | Q 4 b 3 |, so kann diese Gerade weder durch c j; noch durch f 3 , noch durch C 4 gehen, muB also durch C 2 gehen, also liegen Q 4 b 3 c 2 auf einer Geraden. Mehr Verbindungslinien aus den Gruppen, die von den fruheren verschieden waren, lassen sich aber, wie leicht zu sehen ist, iiberhaupt nicht ziehen, also erhalten wir nach der gewahlten Bezeichnungsweise folgendes Schema von 16 Geraden: l a 2&l C 2i> l a 2&2 C ll> i^fy?^'? i a 2&4 C 3'> Dies liefert eine merkwiirdige Kon figuration von zwolf Punkten und 16 Geraden, indem auf jeder der 16 Geraden drei der zwolf Punkte liegen, und durch jeden der zwolf Punkte vier der 16 Geraden gehen.* 3. Diese Konfiguration fiihrt zu einer Menge von weiteren Beziehungen. Nehmen wir namlich von den zwolf Punkten flj b/, Cj (i = i, 2, 3, 4) irgend drei solche heraus, welche nicht in einer Geraden liegen, z. B. so schneiden die Verbindungslinien je zweier | aAl zum dritten Mai in C 2 , I **1 *-3 | 11 11 11 11 3) It. - I rt 2 C 3 I 11 11 11 11 "4 und es liegen nach unserm Schema (S) 4 b 3 C 2 auf einer Geraden. Dies giebt folgenden Satz: * Vergl. O.Hesse: ,,tJberKurven dritter Ordnung und die Kegel- schnitte, welche diese Kurven in drei verschiedeaen Punkten beriihren". (Crelle's Journal f. Math. Bd. XXXVI S. 153.) 7* 100 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Schneidet eine Gerade g die (7 (S) in den Punkten 21,23,, und man legt aus jedem derselben eine be- liebige Tangenfce an C (3) (aus jedem Tangenten- quadrupel je eine beliebige), welche in obc beriibren mogen, dann schneiden die drei Seiten dieses Drei- ecks | be |, | ca j, | rib | die C (y > in drei neuen Punkten, welche in einer Geraden liegen. Dies folgt auch daraus, daB a, b, C drei Punkte "sind, in welcben ein Kegelschnitt die (7 (3) beriihren kann (als spe- zieller Fall von dem Satze 9, 5). Wir wissen ferner, weil die drei Punkte 21, a 1} ^ auf einer Geraden liegen (denn 21 ist der Tangentialpunkt zu fl ') und durch 21 die Gerade i n i 2 2 geht, da6 die secbs Punkte 93, G, & q, 6 2 , C 2 auf einem Kegelscbnitt liegen miissen; stellen wir diese zu dem Pascalscben Sechseck zusammen ^86,^(4, so folgt, daB die drei Scbnittpunkte auf einer Geraden liegen miissen; aus gleicbem Grunde liegen aucb Cg), (95 6 4 , Sc 4 ), Q 2 auf einer Geraden, Cl ), 086 3 , Cc.), 3 (93b 2 , Sc 2 ), (93b 4 , ScJ, a 3 (93b 2 , c,), (93b 3 , c 3 ), a 4 Bezeicbnen wir daber die vier Punkte = a,, so baben wir gefunden 13. Beziehungen zwischen den Beriihrungspunkten etc. 101 in je einer Geraden, also (8^, 2 3 4 ) = Q 2; (8j8 3 , 8 2 8 4 ) Q 3 , (M4> Ms) = a 4> d. h. Q 2 Q 3 a 4 das Diagonaldreieck des vollstandigen Vierecks MM* Andererseits wissen wir auch, daS 9td 4 d 4 auf einer Geraden liegen (weil 51 Tangentialpunkt fiir a 4 ist), und es durch 51 die Gerade folglich liegen die sechs Punkte , , &i auf einem Kegelschnitt, und das Pascalsche Sechseck b^B^^Cg liefert die Pascalsche Gerade der drei Punkte (SSb,, s; 4 miissen auf einem Kegelschnitt liegen; die beiden Strahl- S3 (8,8, 3 8J A <& 8,8,84) miissen daher projektiv sein oder die mit ihnen identischen Strahlbiischel ^(bjb^bj A ^(q^CgCj, d. h. Legt man aus irgend zwei Punkten S3 und (5 die Tangentenquadrupel, so sind die aus ihnen ge- bildeten Doppelverhaltnisse einander gleich (in gehoriger Zuordnung), ein Satz, den wir schon friiher auf 102 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. andere Weise bewiesen haben ( 9, e). Hier zeigt sich zu- gleich, wie die Zuordmmg geschehen rnuB. Aus der bekannten Eigenschaft des Doppelverhaltnisses folgen noch die drei ubrigen Projektivitaten S3(b,b 2 b 3 b 4 ) A Sfe 4. Die beiden Tangentenquadrupel aus S3 und ( durch- schneiden sich im Ganzen in 16 Punkten, die wir in fol- gender Weise bezeichnen konnen (23 b,, (0 = ^5 (S3b 17 ec 2 ) = 12 ; (SSb,, Sc 3 ) = 3 13 ; (S3b 1? c 4 ) = /* (i, k = 1, 2, 3, 4), wobei aber ,-* und *,- wesentlich voneinander verschieden sind, indem der erste Index sich irnmer auf S3, der zweite auf S bezieht. Nach dieser Bezeichnung haben wir zwischen den 16 Durchschnittspunkten der beiden Tangentenquadrupel aus S3 und (, und den vier Punkten o u cu, a Q , 0., die 24 Geraden, welche je drei Punkte enthalten Q.Sjo^a, I, i Qo^nS, 1 12 ml If \ & 11 2 , 3 , (T) Mi 3^3 MAl, |Q2 23 04^12^ '34 1 7 Ferner ergiebt sich aus der Gleichheit der Doppel- verhaltnisse (3.) 23S n 22 J4 auf einem Kegelschnitt $t^, "3 ' S; (2) 13. Beziehungen zwischen den Beriikrungspunkten etc. 103 Folglich wird fur den Kegelsclmitt ^^, da (8n 227 3344) = fl 2; (811833, 2244) = 3 > (3 n 3 4 4, 22 33 ) = a 4 ist, Q 2 3 a 4 e i n Polardreieck (selbstkonjugiertes Drei- eck) sein. Fur den Kegelschnitt ^ 2) wird also 1st (12 34? 2143) = Q 4 (12 43? 21 34) = 3 ein Polardreieck. Fur den Kegelschnitt ft ist (1331> 2442) = a i> (1324> 31 42) = 0l> (13842? 3124) = Q 27 also ist 0^304 ein Polardreieck, und endlich fur den Kegel- schnitt tf ist: (14 415 23 32) = Q l (14 23? 41832 (814832? 41 23) Wir bemerken auch, weil die 3344 also OiQ 2 Q 3 ein Polardreieck. beiden Sehnen 811822! des Kegelschnitts $^ sich in Q 2 schneiden, daS alle durch Q 2 gezogenen Strahlen den Kegelschnitt in Punktepaaren treffen mussen, welche von S3 (oder () aus gesehen unter einer Strahleninvolution erscheinen; insbesondere ist ein Strahlen- paar der durch a. 2 gehende Strahl und die Tangente in S3 (oder (); da aber die Strahl enpaare und S3b und eine Strahleninvolution bestiminen, welcher auch das Strahlen- paar ] ^Bc^ | und | S3a 2 | angehoren muB, weil : und Q 27 14 und 23 , 41 und 32 die drei Paar Gegenecken eines vollstandigen Vierseits sind [Tab. (T;] ; so wird SSOi | die Tangente in S3 am Kegel- 104 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. schnitt $ x sein, und aus gleichem Grunde wird | Sc^ | die Tangente in (S am Kegelschnitt $ t (2) sein; mithin ist Q 1 der Pol von | 93 | fur den Kegelschnitt flf } . Wir konnen somit den vorigenResultaten noch hinzufiigen: Fiir den Kegelschnitt ft sind a, und |93&| Pol und Polare, 6(2) C 2 fcOO Zusammengefafit erhalten wir folgenden Satz: Schneidet eine Gerade g die 6 t(3) in den drei Punkten 51, 93, (, und haben die Tangentenquadrupel aus 5t, 93, an die (7 (3) bez. die Beruhrungspunkte a iM 3 4> BjBgBabj, C^CgC^ so schneiden sich die beiden Tangentenquadrupel aus 93 und ( in 16 Punkten, von denen viermal vier Durchschnittspunkte: 3,'* (i, &=1, 2, 3, 4) mit 93 und ( auf je einem Kegelschnitt liegen Fur diese vier Kegelschnitte sind die Pole der Geraden g die vier Beruhrungspunkte (a/) des Tan- gentenquadrupels aus SI; fur denjenigen Kegel- schnitt $| 2) , fur welchen a, und g Pol und Polare sind, bilden die drei iibrigen Punkte a ein Polar- dreieck, namlich das Diagonaldreieck desjenigen vollstandigen Vierecks, welches von den vier Punkten ,* gebildet wird und dem Kegelschnitt ^ 2) ein- beschrieben ist. Dieser Satz gilt natiirlich dreimal, da wir 51, 93, niit- einander vertauschen konnen. 5. Da nach Tabelle (T) die Punktepaare Oj und Q 2 , 14 und 23 , 8 41 und 32 die drei Paar Gegenecken eines vollstandigen Vierseits sind, also z. B. von dem Punkte 93 aus gesehen unter den drei 13. Beziehungen zwiscben den Beruhrungspunkten etc. 105 Strahlenpaaren einer Involution erscheinen, so erhalten wir die drei Strahlenpaare (SaJ und 23a 2 |, ; 33^1 = 1^ | und |3 88 |EE|b,|, | 41 |= 93b 4 l und |93 32 | = |S3B 3 , d. h. die drei Strahlenpaare | 23d, | und |S3a 2 |, I23BJ und |23B 2 |, $8B 3 | und |23B 4 | als einer Strahleninvolution angehorig. Andererseits sind aber infolge des Schema (S) (2.) auch die Punktepaare 0,02, B^.,, CjCg, die drei Paar Gegenecken eines vollstandigen Vierseits; also gehoren auch die drei Strahlenpaare jSoJ und |93o 2 |, ^ | und 93b 2 |, | Sc, | und | %% \ einer Involution an, welche mit der vorigen identisch ist, weil sie zwei Strahlenpaare mit ihr gemein hat. In gleicher Weise folgt aus der Tabelle (S) wegen des vollstandigen Yierseits, dessen drei Paare Gegenecken sind o x und 2 , B 3 und b 4 , C 3 und C 4 , da6 auch die Strahlenpaare SBflj und|93o 2 |, |S8B 3 und | S36 4 , 93c 3 und|S5c 4 | einer Involution angehoren, die ebenfalls mit der ersten identisch ist, weil sie zwei Strahlenpaare mit ihr gemein hat; und endlich wegen des vollstandigen Yierseits, dessen drei Paar Gegenecken o s und o 4 , B 3 und B 4 , q und C 2 sind, daB auch die Strahlenpaare |SBo 3 i und |S3o 4 |, |93B 3 | und |23BJ, jSBcJ und |S3c 2 | derselben Strahleninvolution angehoren. Wir haben derngemaB sechs Strahlenpaare einer und derselben Strahleninvolution \OQ Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. 93 0,| und 93b, 93 b 3 Sc, Es wiirde ermiidend sein, wollten wir dieselbe Betrachtung wiederholen, indem wir von andern vollstandigen Vierseiten ausgehen, wie sie die Tabelle (T) und das Schema (S) in groBer Menge darbieten. Es geniige, das leicht abzulesende Resultat anzugeben; es zeigt sich namlich, daB 93 gleich- zeitig der Mittelpunkt fur drei verschiedene Strahleninvo- lutionen wird, deren Strahlenpaare nach den Beriihrungs- punkten a.-, b,-, C t - hingehen; jede solche Strahleninvolution weist sechs Strahlenpaare auf Dasselbe gilt fur & und natiirlicli auch fiir SI, weil diese Punkte beliebig miteinander ver- tauscht werden diirfen. Wir erhalten demgemaB drei Gruppen von je drei Strahleninvolutionen, deren Strahlen- paare wir so zusammenstellen konnen: I. , II. 93oJ, 1930,1, 93o 3 |, |93o 4 |, 8BJ, |93b 2 |, 93 Cl U23c 2 , ,lC,lj So, |, I So, I, eaj, |ea 4 |, ^ ? 93o t |, | 80, |, 93a 2 |, 93o 4 |, 93b 2 |i |93b 4 |! fflcj, |93c 3 |, 93c 2 |, |93c 4 |; So, I, 6i , |Sb.|, ScJ, |c,|, c s , |6c 4 |; 14. Weitere Beziehungen uad Folgerungen aus denselben. 107 III. 2ta 4? 2lb 4 |. 21 c, 21 c 3 I) it, 95o 2 |, 1890,1, 95b,|, |95b 4 -, S3 b 3 1, |95b 3 , 95c,i, |95c 4 ], 95 c. Von solchen drei Strahleninvolutionen I, II, III, aus 2(, die bestimmt werden durch zwei Paare, welche auf drei Arten aus den vier Strahlen 5la 3 , bilden lassen, sind bekanntlich (wenn die vier Strahlen sind) immer zwei kyperbolisch und eine elliptisch. (Th. S. 56) (Siehe 15.) z. B. sich reell d. K. 14. Weitere Beziehungen und Folgerungen aus deuselben. 1 . Lassen wir in dem allgemeinen Satze ( 1 ,'5, 4) ins- besondere die Punkte 58 und (S zusammenfallen, so fallt das Tangentenquadrupel aus 95 auch mit dem Tangentenquadrupel aus ( zusammen und die Schnittpunkte 117 227 337 44 gehen in die Beriihrungspunkte iiber des Tangentenquadrupels aus 95 = S. 21 wird der Tangentialpunkt zu 95 = S. Der Kegelschnitt f ] geht in die konische Polare 95 (2) des Punktes 58 riicksichtlich der C^ 3) iiber, und das Diagonaldreieck fallt identisch zusamnien ( 13, 4) mit dem von den drei iibrigen Beriihrungspunkten der Tangenten aus 5t an die C (3) gebildeten Dreieck, wahrend die aus 51 gehende vierte Tangente | 5193 wir den Satz: den Beriihrungspunkt 58 hat; also erhalten 1Q8 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Geht aus einem Punkte 2( der C (3) das Tangenten- quadrupel ^^ ^^ ^^ , ^ an dieselbe, dessen Beriihrungspunkte d lf a 2 , a 3 , 4 sind, und legt man aus einem derselben, z B. aus Oj, aufs neue das Tangentenquadrupel 1*1*! , I M* I; I fl^s I, IMJ an die C (3) , dessen Beriihrungspunkte t 1; t 2 , t 3 , t 4 seien, so bilden dieselben ein vollstandiges Viereck r dessen Diagonaldreieck (tlt 2 , tgtj = 0,, (t^, t 2 t 4 ) = a 3 , (M 4 , t 2 t 3 ) = Q 4 identisch zusanimenfallt niit dem Dreieck, welches von den drei iibrigen Beruhrungspnnkten a. 2 , a 37 o 4 gebildet wird. Durch das vollstandige Viereck ^131314 gehen drei Linienpaare, deren Durchbohrungssehnen mit der C (3} (namlich die Tangenten in a 2 a 3 d 4 ) durch den Punkt SI laufen; folglich ist 21 der Gegenpunkt des Punktquadrupels 1^21314 ( 9, i). Geht nun durch 2( die beliebige Gerade j 193 1, wie friiher, so miissen auch die sechs Punkte 93, 6, t lf t 2 , t,, t 4 auf einem Kegelschnitt liegen. Wir haben also den Satz: Jeder durch die vier Beriihrungspunkte eines Tangentenquadrupels (aus a x ) gelegte Kegelschnitt schneidet die C (3) in zwei neuen Punkten, deren Ver- bindungslinie bestandig durch den Tangentialpunkt (21) desjenigen Kurvenpunktes lauft, von welchem das Tangentenquadrupel ausging. Oder auch: Der Gegenpunkt zu den vier Beriihrungspunkten eines Tangentenquadrupels ist der Tangentialpunkt desjenigen Punktes der C\ von welchem das Tan- gentenquadrupel ausging. 14. Weitere Beziehungen und Folgerungen aus denselben. 109 Oder auch: Geht aus einem Punkte a r der C" 3) ein Tangenten- quadrupel an dieselbe, so bilden die vier Beriihrungs- punkte desselben ein vollstandiges Viereck, dessen drei Diagonalpunkte Q 2 , d 3 , a 4 denselben Tangential- punkt 51 haben, wie 0^ Ziehen wir durch 51 die beliebige Gerade | 51SB& | und legen auch aus 23 und die Tangentenquadrupel an die C (S \ deren Durchschnittspunkte wie wir oben ( 13, 4) gesehen haben, mit 23 und ( auf einem Kegelschnitt liegen und ein vollstandiges Viereck bilden, dessen drei Diagonalpunkte ebenfalls d 2J 3 , a 4 sind, so sehen wir, da6 die beiden Kegelschnitte [SSt^tstJ und [S3e u 22 33 44 ] nicht nur die Punkte 33 und S gemein haben, sonJern auch ein gemeinschaftliehes Polardreieck O 2 a 3 a 4 , woraus folgt, daB sie identisch sein miissen, da es nur einen Kegelschnitt giebt, welcher durch zwei Punkte geht und ein gegebenes Dreieck zum Polardreieck hat; also liegen die zehn Punkte 33, , t 1; t 2 , tg, t 4 , g n , 22 , 33 , 44 auf einem und demselben Kegelschnitt. Wir konnen hier- nach zu dem in 13, 4 gefundenen Satze noch den Zusatz machen: Der Kegelschnitt $[ 2) hat nicht bloss o t und g zu Pol und Polare, Ci 2 a 3 a 4 zum Polardreieck, sondern geht auch durch die vier Beriihrungspunkte des- jenigen Tangentenquadrupels, welches aus o t an die (7(3) gelegt werden kann. 2. Da aus 51 das Tangentenquadrupel an die (7 (3) geht, dessen Beriihrungspunkte ci 1? 0.;, Q 3 , Ct 4 sind, so liegen die Punkte 5t, a a 2 , a 3 , a 4 auf einem Kegelschnitt (der konischen Polare 5t (2) ), welcher in 51 dieselbe Tangente hat, wie die (3) . Da ferner aus a 4 das Tangentenquadrupel an die C (3) geht, dessen Beriihrungspunkte t 1; t 2 , t 3 , t 4 sind, so liegeu HO Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. auch die Punkte a u t n t^, t 3 , t 4 auf einem Kegelschnitt (der konischen Polare a t (/) ), welcher in QJ dieselbe Tangente r namlich | a t 5t | hat, wie die C (3) . Sodann ist, wie wir wissen, 91 der Gegenpuiikt fiir das Punktquadrupel t^tgt^ d. h. samtliche Kegelschnitte des Buschels [t 1 t 2 t s t 4 ] schneiden auf der C (3) Sehnen aus, die durch 51 laufen. Dieses Kegelschnittbuschel mit den Grund- punkten t 1; t 2 , tg, t 4 schneidet auf der Geraden j^dj erne Punktin volution aus, deren einer Doppelpunkt o t ist, weil der besondere Kegelschnitt [ct, t^tgtj = a^ die Gerade | 51^ | in o x beruhrt. Uni den andern Doppelpunkt dieser Punktinvolution zu erinitteln, beriicksichtigen wir die gegen- seitige Lage der betrachteten Punkte. Es liegen namlich wegen des Diagonaldreiecks (t,t 3 sowohl Q 2 tit2 au ^ einer Geraden, als auch wegen der aus 51 und a t gelegten Tangenten a t t 4 t 4 auf einer Geraden, ^3 a 3 ,, n n ferner aber auch t 2 t 4 a 3 auf einer Geraden, folglich die iibrigen sechs Punkte *, ti, t 47 o 1; a 2 , a 3 notwendig auf einem Kegelschnitt. Ferner liegen a., t;, t : auf einer Geraden, ^i ts t 3 5t Q 3 a 3 n n n da nun auch t,t 3 3 auf einer Geraden liegen, so niiissen die iibrigen sechs Punkte 21, t 2 , t s , a lt a,, a, auf einem Kegelschnitt liegen. Aus den beiden Kegelschnitten [SfM^OgOs] und folgen die Projektivitaten 14. Weitere Beziehungen und Folgerungen aus denselben. a 2 (a^MJ A a 3 (o^t.t,), a 3 (a,2U 2 t 3 ) A a 2 (a^t 2 t 3 ) ; da nun aber , M , , , C^ra^MjEEEagCa^t^), so ist auch a 2 (o 1 2It 1 t 4 )Aa 2 (o 1 ?rt 3 t 2 ), also o 2 (a 1 2tt 1 t 4 )Aa 2 (a l 5(t 4 t 1 ). Hieraus ergiebt sich, daG das Quadrat des Doppel- verhaltnisses . , Of , ,N la K(ai*iOrrii also a 2 (a 1 5(t 1 t 4 ) = l sein muB; der Wert + 1 fallt als illusorisch heraus, well weder a t mit 5t, noch tj mit t 4 im allgemeinen zusammen- fallen wird; folglich muB a 2 (a 1 5lt 1 t 4 )=-l, sein, d. h. das Linienpaar durch a 2 , namlich | t^ | und | t 3 t 4 | trennt harmonisch die Punkte St und a r Dasselbe gilt in gleicher Weise von dem Linienpaar | t t ty und | t. 2 1 4 1 durch a 3 und auch von dem dritten Linien- paar; die Punktinvolution, welche das Kegelschnittbiischel [t 1 t 2 t 3 t 4 ] auf 5(0! ausschneidet, hat daher die Punkte S( und a t zu Doppelpunkten; von a, hatten wir diese Eigenschaft bereits erkannt. Da die Doppelpunkte dieser Involution konjugierte Punkte fur samtliche Kegelschnitte des Biischels sind, so konnen ^vir den Satz aussprechen: Legt man aus einem Punkte a t einer C (3) das Tangentenquadrupel an dieselbe, dessen Beriihrungs- punkte t, 7 t 2 , t 3 , t 4 seien, und ist 51 der Tangential- punkt zu ttj, so sind 31 und a x konjugierte Punkte fiir siimtliche Kegelschnitte des Biischels [t^tjtj; es giebt also insbesondere auch zwei Kegelschnitte dieses Biischels, welche in H und in a t die Geracle | 2la,| beriihren. 3. Da die Polaren von a t in Bezug auf samtliche Kegel- schnitte des Biischels [tjt^tj durch SI gehen miissen, weil a t und 2( konjugierte Punkte fiir dieselben sind, so be- schreiben diese Polaren ein Strahlbiischel, welches mit dt m J12 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Kegelschuittbiischel [t 1 t 2 t 3 tj bekanntlich projektiv ist. Die beiden projektiven Gebilde erzeugen also eine Kurve dritter Ordnung, dieselbe geht durch t 1 t 2 t 3 t 4 , den Gegenpunkt 5(, ferner durch c^ und beriihrt 51 c^ | in a u weil fiir den be- sonderen Kegelschnitt (t l t 2 t 3 t 4 a 1 ) die Polare von c^ die Tan- gente in Oj ist; sodann auch, weil dem Linienpaar (t^J, | t 3 t 4 | die Polare von a 1; d. h. die Gerade | 51 C^ | entspricht und die beiden Schnittpunkte derselben mit dem Linienpaar in c^ zusammenfallen, ist a 2 ein doppelt zu zahlender Punkt des Erzeugnisses, ebenso a 3 und a 4 . Das Erzeugnis ist da- her mit unserer Kurve (7 (8) identisch, weil es schon dreizehn Punkte mit ihr gemein hat. Die Polare von a x in Bezug auf einen Kegelschnitt des Biischels geht durch die beiden Beriihrungspunkte des Tangentenpaares, welches aus a t an den Kegelschnitt gelegt werden kann. Wir konnen also als Erganzung des letzten Satzes hinzufiigen: Wahlt man die Beriihrungspunkte eines Tan- gentenquadrupels (aus a z ) zu Grundpunkten eines erzeugenden Kegelschnittbiischels, so ist der Gegen- punkt der Tangentialpunkt 5( zu a r Die Kurve (3) selbst erscheint als der Ort der Beriihrungspunkte samtlicher Tangentenpaare, welche aus a x an die Kegelschnitte des Biischels gelegt werden konnen. Die C (3) geht auch durch die drei Diagonalpunkte des von den vier Grundpunkten gebildeten voll- standigen Vierecks, und diese Diagonalpunkte haben denselben Tangentialpunkt 31, welchen Q. t hat. Auch ist umgekehrt durch fiinf beliebig gewiihlte Punkte (von denen keine drei auf einer Geraden liegen) eine C (3) voll- standig und eindeutig bestimnit, wenn man verlangt, einer derselben, $1, soil der gemeinsame Tangentialpunkt fiir die vier ubrigen Q x , 2 , a 3 , 4 sein; denn da diese als Beriihrungs- punkte doppelt zu zahlen sind, so werden im ganzen neuii Punkte zur Bestimmung der (3) gegeben sein. Durch diese neun Punkte gehen aber keine zwei verschiedenen Kurven dritter Ordnung (d. h. sie bilden nicht die Gruiidpuukte eines Kurvenbiischels), denn sonst miiBten, da drei Puiikte 14. Weitere Beziehungen und Folgerungen aus denselben. H3 SI, 1? Oj auf einer Geraden liegen, die sechs iibrigen 2 , 0. 2 , 3 , 3 , 4 , 4 auf einem Kegelschnitt liegen, was nicht der Fall ist, weil sich nicht drei Tangenten eines Kegelschnitts Ci 2 n 2 ! , | 3 3 , 4 4 in einem Punkte St schneiden konnen. Man erzeugt diese Kurve (7 (3) dadurch, daB man das Kegel- schnittbiischel mit den vier Grundpunkten [OiOaOgOj bildet und von SI die Polaren riicksichtlich aller Kegelschnitte des Biischels nirnrnt, welche ein Strahlenbiischel bilden, pro- jektiv mit dem Kegelschnittbiischel; das Erzeugnis dieser beiden projektiven Gebilde ist die (7' 3) . 4. Aus dem vorhin bemerkten Resultat (2.), daB die sechs Punkte ^ ft, 17 Q 2 , 3 , l i} t 4 auf einem Kegelschnitt liegen miissen und daraus, daB die drei iibrigen Punkte 4; h> h auf einer Geraden liegen, folgt, daB die neun Punkte zusammen eine Gruppe von neun associierten Punkten bilden derart, daB jede Kurve dritter Ordnung, welche durch acht derselben gent, auch durch den neunten gehen muB; ( 10, 2) also: Ein Punkt o t der C (3] , sein Tangentialpunkt 21, die vier Beriihrungspunkte des Tangenteuquadrupels aus Oj und die drei Diagonalpunkte des von diesen vier Beriihrungspunkten gebildeten vollstandigen Vierecks sind eine Gruppe von neun associierten Punkten. Nimmt man nur die vier Punkte t u t 2 , t 3 , t 4 an und verlangt, daB sie Beriihrungspunkte eines Tangentenquadrupels sein sollen, dessen Ausgangspunkt nicht gegeben ist, dann ist die C^ dadurch noch nicht bestimnit, sondern man kann im allgemeinen noch zwei Punkte von ihr, ^ und p 2 , willkiirlich annehmen, weil auBer den vier Punkten t 1? tg, t s , t 4 noch die drei Diagonalpunkte des vollstandigen Vierecks SchrSter, Theorie der ebenen Ktirven 3. Ordn. 8 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. (M 2 , M 4 ) = a,, (tit 3 , t 2 t 4 ) = a 3 , (M 4 , t 2 t 3 ) = a 4 mit gegeben sind, also zusatamen sieben Punkte, zu denen noch zwei willkiirlich gewahlte p : und p 2 fiir die Bestimniung der Kurve hinzutreten diirfen. Nimmt man diese an, so ge- staltet sich die Konstruktion folgendermafien: Der Kegelschnitt fttgtgt^J liefert eine Tangente in p lr der Kegelschnitt [t 1 t 2 t 3 t 4 p 2 ] eine Tangente in p 2 ; der Schnitt- punkt beider Tangenten ist der gesuchte Punkt a 1; dessen Tangentenquadrupel die Beriihrungspunkte t n t 2 , t 3 , t 4 hat, (3.) und die C& ist nun nach dem Obigen vollstandig bestimmt. Eine Ausnahme hiervon macht der Fall, wenn ins- besondere ^) 1 und J) 2 konjugierte Punkte sind riicksichtlich des Kegelschnittbiischels mit den vier Grundpunkten t 1? t 2 , t 3 , t 4 . In diesem Falle wird namlich der Schnittpunkt a x unbestimmt, weil jene beiden Tangenten in p : und p 2 an den beiden vorigen Kegelschnitten in eine und dieselbe Ge- rade zusammenfallen, also ihr Schnittpunkt unbestimmt wird. Und in der That bilden dann alle dabei auftretenden C (3) ein Buschel von Kurven dritter Ordnung, wie wir eben gesehen haben; (ist p x = o n so wird p 2 = 5t). Wir schliefien hieraus umgekehrt: Alle Kurven dritter Ordnung, welche durch die vier Ecken eines vollstandigen Vierecks (t^tgtj, seine drei Diagonalpunkte (fl 2 3 Q 4 ) und noch einen willkurlich zu wahlenden achten Punkt p x hindurch- gehen, gehen noch durch den zu p t riicksichtlich des Kegelschnittbiischels [t 1 t 2 t 3 t 4 ] konjugierten Punkt ^) 2 und bilden ein Kurvenbiischel dritter Ordnung mit diesen neun Grundpunkten. Zwei besondere Kurven dieses Biischels erhalt man, indem man p x zum gemein- schaftlichen Tangentialpunkt fiir ^121314 wahlt, dann ist p 2 der gemeinschaftliche Tangentialpunkt fiir a 2 Q 3 Q 4 und pj , oder indem man p 2 zum gemeinschaftlichen Tangentialpunkt fiir tjtgtgt^. wahlt, dann wird p x der gemeinschaftliche Tangential- punkt fur Q 2 a 3 4 und p a . 15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. 115 15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren konjugierter Punkte auf der C (3) . 1. Geht aus einem Punkte 31 der C (3) ein Tangenten- quadrupel an dieselbe ( 9, e), dessen Beriihrungspunkte <*i, <*2, 3 > Q 4 seien, so lassen sich dieselben zu drei Paaren ordnen, indem durch die Wahl des einen Paares das andere mitbestimmt wird I. a x und o 2 , a 3 und a 4 , II. ^ a 3 , a. 2 4 , III. a t a 4 , Og o 3 . Jedes solches Paar kann, wie wir jetzt umgekehrt nach- weisen wollen, als ein Paar konjugierter Punkte fur die (7 (3) in dem fruheren Sinne ( 2) aufgefaBt werden, welcher den Ausgangspunkt unserer Betrachtungen bildete; und durch ein solches Paar werden dann unendlich viele andere Paare konjugierter Punkte mitbestimmt 7 welche diejenigen Eigenschaften besitzen, die wir ( 2 und 3) von ihnen gefunden haben. Da wir aber auf dreierlei Art (I. II. III.) solche Paare festlegen konnen, so erhalten wir nicht nur ein, sondern drei verschiedene Systeme von unendlich vielen Paaren kon- jugierter Punkte auf der C (3 \ und konnen eine und dieselbe Kurve C^ aus dem ersten, zweiten oder dritten System heraus koustruieren. Der Nachweis der Identitat mit der Erzeugung in 2 und 3 braucht sich nur auf eines dieser drei Systeme zu erstrecken, weil er in gleicher Weise fur die beiden iibrigen gefiihrt werden kann. Nehmen wir daher im Systeme I. von den Beriihrungs- punkten a Q 2 , 3 , 4 des Tangentenquadrupels aus SI die Paare (*! und a 2 , Q 3 und a 4 , so wissen wir aus 13, 2, da6 der beliebig gewahlte Punkt b : der C (3) mit a t und 0% verbunden zwei Strahlen | b t a x | und | B x 02 1 giebt, welche zum dritten Male in c t und C 2 8* 1 16 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. schneiden, und daB die Punkte C : und C 2 die Eigenschaft be- sitzen, denselben Tangentialpunkt & zu haben. Derselbe kann dadurch gefunden werden, da 6 wir 51 mit dem Tan- gentialpunkt S3 fur bj verbinden und den dritten Schnitt- punkt von | SI 33 | mit der C (a) aufsuchen. Wir erhalten also aus dem einen Paare fl^, indem wir b x verandern, un- endlich viele andere Paare C a c 2 auf der C (3) , welche samt- lich die gleiche Eigenschaft wie a x a 2 besitzen, namlich den- selben Tangentialpunkt zu haben. Da aber in 13, 5 nachgewiesen ist, daB die drei Strahlenpaare Sla, | und | SIo 2 1, | Sla 3 1 und | Sia 4 , | STq | und 5lc 2 1 einer Strahleninvolution angehoren, welche schon durch die beiden ersten Strahlenpaare vollstandig bestimmt ist, so er- kennen wir, daB der Punkt 51 nach samtlichen Punktepaaren CjCg, die aus dem ersten C^Og abgeleitet werden, Strahlen- paare einer und derselben Strahleninvolution sendet, welche dem Punkte 31 zugehort. Nehmen wir drei solche Punktepaare C^, c{c 2 , Cj"c 2 " beliebig heraus, so erkennen wir, daG die (7 (3) als der Ort solcher Punkte SI erscheint, welche nach diesen drei Punkte- paaren drei Strahlenpaare einer Involution sendet, und da- durch ist die Identitat unserer C (3) mit derjenigen Er- zeugungsweise, von welcher wir in 3 ausgingen, nach- gewiesen. Wir konnen demgemaB folgendes Resultat aus- sprechen: Wenn man von zwei solchen Punkten a : Q. 2 der C&\ welche denselben Tangentialpunkt haben und konjugierte Punkte heifien sollen, ausgeht, so wird durch dieselben ein ganzes System unendlich vieler Paare von konjugierten Punkten q C 2 in eindeutiger Weise festgelegt, indem man zu jedem neuen Paare dadurch gelangt, daB man einen beliebigen Punkt J der C (3J mit a x 2 verbindet und die dritten Schnitt- punkte c x C 2 aufsucht. Jeder Punkt SI der (7 (3) sendet nach alien Paaren konjugierter Punkte Strahlen- paare einer Involution. 15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. H7 Alle iibrigen Eigenschaften, z. B. daB auch jedes ab- geleitete Punktepaar mit einem neuen Kurvenpunkt ver- buuden, als dritte Schnittpunkte wieder ein Paar konjugierter Punkte liefert, daB die Strahleninvolutionen, welclie selbst zwei konjugierten Punkten zugehoren, in projektiver Be- ziehung und halb-perspektiver Lage sich befinden, daB man jedes beliebige Paar konjugierter Punkte zu Mittelpunkten der zugehorigen erzeugenden Strahleninvolutionen wahlen kann u. s. w. ; ist schon in 2 und 3 ausgefuhrt und braucht nicht wiederholt zu werden, obwohl es sich auch von hier aus direkt ableiten laBt. 2. Neu aber tritt uns hier das Resultat entgegen, daB auf einer gegebenen (7 (3) drei verschiedene Systeme von Paaren konjugierter Punkte, die in einem gewissen Zu- sammenhange miteinander stehen, auftreten, daB also auch dieselbe Kurve (7 (3) auf drei wesentlich verschiedene Arten durch zvrei Strahleninvolutionen in projektiver Beziehung und halb-perspektiver Lage erzeugt werden kann. Hat namlich das Tangentenquadrupel aus 1 die Be- riihrungspunkte i; Q 27 Q 3; 4 und seien die drei Diagonalpunkte dieses vollstandigen Vierecks , dann kann man entweder I. W, und SI' als Mittelpunkte der erzeugenden Strahlen- involutionen wahlen, wobei die nach a t und a 2; a 3 und a 4 hingehenden Strahlenpaare zur Bestimmung derselben dienen, in welchem Falle selbstverstandlich die Strahleninvolution [l'] eine hyperbolische ist; oder IT. St und SI" als Mittelpunkte. der erzeugenden Strahlen- involutionen, welche durch die Strahlenpaare nach a t und a 3 , Q 2 und a 4 bestimmt werden; oder Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. III. S( und 21'" als Mittelpunkte der erzeugenden Strahlen- involutionen, welche durcli die Strahlenpaare nach a t und a 4 , a 2 und a 3 bestimmt werden. In alien drei Fallen 1st die Strahleninvolution [ST], [SI"], [SI'"] eine hyperbolische, wahrend bekanntlich von den drei Strahleninvolutionen in SI zwei hyperbolisch sind und eine elliptisch ist. Dieselbe Kurve (7 (3) kann also zweimal durcli zwei hyperbolische Strahleninvolutionen und einmal durch eine hyperbolische und eine elliptische Strahleninvolution erzeugt werden. Zwischen den drei verschiedenen Systeinen von Paaren konjugierter Punkte auf der C (3) besteht ein gewisser Zusammenhang, fiber den folgende Betrachtuug Auskunft giebt: Ist SjS^j ein beliebiges Paar konjugierter Punkte init dem gemeinsamen Tangentialpunkt X in dem einen System, $P'^$j' ein Paar konjugierter Punkte mit dem gemein- samen Tangentialpunkt X' in dem zweiten System, und moge die Gerade !$$'| der C^ zum dritten Mai in $", die Gerade | $&$(${ | der (7 (3) zum dritten Mai in ty" begegnen, so miissen offenbar die Tangenten in ^P^S'^S" der C ((3) in den Punkten X, X', X" einer Geraden zum dritten Mai be- gegnen, ebenso die Tangenten in ^^5$" in den Punkten X, X', X" derselben Geraden. Der dritte Schnittpunkt X" der Geraden | XX' | ist also gemeinsamer Tangentialpunkt fiir $"$$,", und diese sind daher ein Paar konjugierter Punkte in einem der drei Systeme. Sie konnen aber weder dem ersten System angehoren, noch dem zweiten, mtissen also dem dritten angehoren. Denn gehorten ^S"^5" und demselben Systeme an, so miisste der Schnittpunkt auf der (7 (3) liegen, d. h. ^5' und ty[ rniissten zusammenfallen, was der Annahme gemaB nicht der Fall ist; also gilt der Satz: Sind ^5 und ^ ein Paar konjugierter Punkte in einem der drei Systeme, ^5' und ty[ ein Paar kon- jugierter Punkte in dem zweiten System, so sind 15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. H9 die dritten Schnittpunkte ty" und %[' der Ver- bindungslinien | $$' | und | ^[ \ mit der C ein Paar konjugierter Punkte in dem dritten System, und die drei Tangentialpunkte dieser drei Punkte- paare liegen auf einer Geraden. Aus zwei Paaren konjugierter Punkte zweier verschie- denen Systeme folgt also immer ein Paar konjugierter Punkte des dritten Systems. Wir haben hierbei stills chweigend vorausgesetzt, daB das Tangentenquadrupel von eineni Punkte 51 der (? (3) aus vier reellen Strablen bestebe, also auch vier reelle Beriibrungs- puukte babe. Dies braucht indessen keineswegs fiir alle Punkte der (7(3) (j er Yall zu sein, sondern die Tangenten konnen auch. paarweise konjugiert-imaginar sein, also es konnen aucb nur zwei oder keine der vier Tangenten reell sein. Dies ruft wesentlicbe Modifikatiouen der vorigen Untersucbungen ber- vor und fiibrt auf die verscbiedenen Gestalten, welcbe eine <7 (3) annebmen kann, sowie auf die Bedingungen fiir die Er- zeugung der einen oder der andern Gestalt. Diese Unter- sucbung bebalten wir mis fiir sp'ater vor ( 18). 3. Welcbes der drei Systeme von konjugierten Punkte- paaren auf der 6 r{3) wir aucb wablen mogen, in jedeni der- selben konnen wir nocb die Mittelpunkte der beiden er- zeugenden Strableninvolutionen in ein beliebiges Paar kon- jugierter Punkte bineinverlegen und daber auf unendlicb vielfache Weise die C (3) vermittelst zweier Strableninvolutionen erzeugeu. Solcbe zwei erzeugenden Strableninvolutionen be- balten nun fiir classelbe System binsicbtlicbibres byperboliscben oder elliptiscben Cbarakters Gleicbartigkeit oder Ungleicb- artigkeit bei, wie man aucb ibre Mittelpunkte verandern mag. In der Tbat, ob eine Strableninvolution byperboliscber oder elliptiscber Natur ist, laBt sicb durcb die Lage zweier beliebigen Strablenpaare x und x 1} y und y^ bekanntlicb so entscbeiden, daB man den Wert des Doppel- verbaltnisses 120 Theorie der ebenen Kuryen dritter Ordnung. betrachtet; 1st dasselbe positiv, so wird kein Elementen- paar durch das andere getrennt, also 1st die Involution hyperbolisch; ist das Doppelverhaltnis dagegen negativ, so wird jedes der beiden Elementenpaare durch das andere getrennt, also ist die Involutions lliptisch. Dieses konstante Vorzeichen des Doppelverhaltnisses bleibt erhalten, welche zwei Elementenpaare man auch herausnehmen mag, da sie durch zwei Elementenpaare gerade bestimmt wird und natiirlich ihren Charakter nicht andern kann bei anderer An- nahme von Elemeutenpaaren. Nehmen wir drei zur Bestimmung der C^ notwendige und hinreichende Paare von konjugierten Punkten ( 2) aa t , 9393,, ee, willkiirlich und unabhangig voneinander an, dann gilt fur die fiinf beliebigen Punkte SI, 93, S3 1; S, S x die Identitat zwischen den Doppelverhaltnissen ( 2, 7) ^(ee^so . 93 (ce^a) . 93, (ee^ffl) - 1, und ebenso zwischen den fiinf beliebigen Punkten 2( 1 , 58 , Sj , S, Si die Identitat ^((^23230 . JBCCCi^aj . ^ ($$&%) - 1, woraus durch Division folgt und in gleicher Weise wiirde sich auch die Identitat ergeben diese Relationen zeigen aber, da6 wenn die beiden den konjugierten Punkten SI und Stj zugehorigen Strahleninvo- lutionen gleichartig sind, d. h. entweder beide hyperbolisch oder beide elliptisch, auch die den beiden konjugierten Punkten 23 und 23! und ebenso die den beiden konjugierten Punkten S und &! zugehorigen Strahleninvolutionen gleichartig sein miissen; dagegen wenn die den beiden konjugierten Punkten 21 und Stj zugehorigen Strahleninvolutionen ungleichartig 15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. 121 sind, d. h. eine hyperbolisch und die andere elliptisch, dies aucli bei den beiden, den Punkten S3 und S3 X , sowie den Punkten und S r zugehorigen Strahleninvolutionen der Fall sein muB. An Stelle des Paares SB! kbnnen wir aber ein be- liebiges anderes Paar konjugierter Punkte S^ (desselben Systems) setzen, ohne daS die Strahleninvolutionen [31] und [21J dadurch geandert werden, also gilt fur jedes beliebige Paar konjugierter Punkte 3^ dasselbe, was fiir irgend ein Paar konjugierter Punkte desselben Systems gilt. Wir schlieBen daher den Satz: Wenn fiir irgend ein Paar konjugierter Punkte einer C (3) die zugehorigen Strahleninvolutionen gleichartig sind (d. h. entweder beide hyperbolisch oder beide elliptisch), so sind sie fiir samtliche Paare konjugierter Punkte gleichartig; wenn da- gegen fiir irgend ein Paar konjugierter Punkte (desselben Systems) einer C Y(3) die zugehorigen Strahleninvolutionen ungleichartig sind (d. h. eine elliptisch und die andere hyperbolisch), so ist dies auch bei samtlichen iibrigen Paaren konjugierter Punkte der Fall. 4. Nun ist die eine Moglichkeit, nanilich daG die den samtlichen Punkten einer C (3) zugehorigen Strahleninvolutionen alle elliptisch seien, von vornherein ausgeschlossen, sondern es giebt irnmer auf der C^ solche Punkte, deren zugehorige Strahleninvolutionen hyperbolisch sein miissen; denn waren 51^ ein Paar konjugierter Punkte, so schneidet die Verbindungslinie | 3l3fj | die C l(3) notwendig noch in einem dritten Punkte, fiir den die zugehorige Strahlen- involution eine hyperbolische ist, weil fiir ihn | 31^ | ein Doppelstrahl wird; und dies gilt fiir jeden Verbindungsstrahl zweier konjugierten Punkte. Der erste Fall teilt sich dein- nach in zwei Teile, und es konnen iiberhaupt nur drei Falle eiutreten, niimlich: a) Die den samtlichen Paaren konjugierter Punkte der C (3) zugehorigen Strahleninvolutionen sind gleichartig und allenial beide hyperbolisch; 122 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. /3) die den samtlichen Paaren konjugierter Punkte der C (3) zugehorigen Strahleninvolutionen sind gleichartig, aber fur einen Teil derselben sind beide hyperbolisch, fiir den iibrigen Teil von Paaren sind beide elliptisch; y) die jedeui Paare konjugierter Punkte der C (3) zu- gehorigen Strahleninvolutionen sind immer ungleichartig, d. h. eine hyperbolisch und die andere elliptisch. Wir wollen diese drei Falle nach dem Vorschlage Reye's (Geometric der Lage, 3. Auflage, S. 244) bezeichnen als a) den hyperbolischen , /3) den elliptischen und y) den dualen Fall. I}a6 der erste (hyperbolische) Fall wirklich eintreten kann, erkennen wir aus der Erzeugung der (3) vermittelst einer Kegelschnittschar und eines Punktepaares StSti ( 3, 4). Nehmen wir namlich eine Kegelschnittschar mit vier gemein- schaftlichen imaginaren Tangenten an ; so besitzt dieselbe bekanntlich die Eigenschaft, daB die Tangentenpaare aus jedem Punkte der Ebene an dieselbe eine hyperbolische Strahleninvolution bilden, folglich auch aus alien Punkten der C (3) . Punkte mit zugehorigen elliptischen Strahlen- involutionen giebt es also uberhaupt nicht. 5. Den Nachweis fiir die eben ausgesprochene Be- hauptung wollen wir der kiirzeren Aussprache wegen auf dem dual gegeniiberstehenden Gebiete fiihren, d. h. den Satz beweisen: , ; Jede Gerade wird von einem Kegelschnitt- biischel mit vier imaginaren Grundpunkten in einer hyperbolischen Punktinvolution geschnitten." In einem Kegelschnittbiischel mit vier imaginaren Grund- punkten giebt es namlich immer ein reelles Linienpaar be (ausgearteter Kegelschnitt des Biischels), die Trager zweier elliptischen Punktinvolutionen, die sarntlichen Kegelschnitten des Biischels zugehoren, d. h. aus Paaren konjugierter Punkte riicksichtlich samtlicher Kegelschnitte des Biischels bestehen. Schneidet nun eine beliebige Gerade g die Trager dieser beiden Punktinvolutionen in den Punkten 15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. 123 und sind die konjugierten Punkte derselben in den beiden Involutionen bez. und ihre Verbindunslinie ist ferner in dem Schnittpunkt der Trager ein Punkt der einen mit einem der andern vereinigt (6^ = 33 = ^, deren konjugierte Punkte fiir beide Involutionen bez. S3 X und seien, und heiBt endlicli die Verbindungslinie i^S -a, dann wird diejenige Punktinvolution, welche das Kegel- schnittbiischel auf der Geraden g ausschneidet, durch die beiden Punktepaare bestimrnt (gb)mid(gc), (go) und (g 9l ). [Th. d. K. S. 257.] Von den fiinf Geraden in der Ebene a, 6, c, g, g^ wird nun jede durch die vier iibrigen in vier Punkten geschnitten 7 die einen bestimmten Wert des Doppelverhaltnisses dar- bieten, und zwischen den dadurch erhaltenen Doppelverhalt- nissen gilt die bekannte Mobiussche Relation g (agj>c) . b (ag^ eg] . c (ag^gl] = 1 ( 2, ?), welche sich in die Form bringen laBt Wenn nun die beiden Punktiuvolutionen auf 6 und c elliptisch sind, so sind die Werte der beiden Doppelverhaltnisse und beide negativ, folglich g(bcag^) posititiv, d. h. die auf g ausgeschnittene Involution ist hyperbolisch w. z. b. w. In gleicher Weise komien wir zeigen, daB bei Ver- anderung von g, wodurch sich auch g verandert, das Linien- paar gg l auf der Geraden a Punktepaare einer und derselben 124 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. festen Involution ausschneidet; derm sei ein beliebiges zweites Geradenpaar der vorigen Art g'g'^ so ist identisch a(bcgg') .b(cagg'} .c(abgg'} = 1, wenn daher wegen der Involution auf I) b(cagg') = b und wegen der Involution auf c ist, so folgt auch folglich beschreiben die Punkte (ag) und (ag^) auf dem Trager a eine Punktinvolution. Aus dem Zusammenhange dieser drei Punktinvolutionen auf den festen Tragern a&c, welcher durch die Beziehung gegeben ist * a(bcggj . b (cagg^ .cfabgg^ = 1 folgt auch, da6 die Involution auf a hyperbolisch sein muB, wenn die beiden Involutionen auf b und c elliptisch sind, und iiberhaupt von den drei Involutionen inimer zwei elliptisch und eine hyperbolisch, oder alle drei hyperbolisch sein miissen (Th. d. K. S. 254). 6. Kehren wir nach dieser Abschweifung zu der Be- trachtung in 4. zuriick, so wissen wir hinsichtlich des hyper- bolischen oder elliptischen Charakters zweier erzeugender Strahleninvolutionen einer C (3) , da6 die Gleichartigkeit oder Ungleichartigkeit desselben zwar erhalten bleibt fiir dasselbe System konjugierter Punkte der C (3 \ daG aber dabei drei Falle, der hyperbolische, der elliptische und der duale auf- treten konnen. Dies fiihrt zwar nicht zu wesentlich ver- schiedenen Gattungen der <7 (3) , sondern z. B. bei derselben C (3) kann sowohl der elliptische, als auch der duale Fall auftreten, und wir werden erst spater die verschiedenen Gattungen der (7 (8) und die Bedingungen fiir ihre Erzeugung kennen lernen, allein mit der Kurve C (3) hangt eine be- stimmte Kurve $ (3) eng zusammen ( 6), welche ebenso durch Paare von Punktinvolutionen erzeugt wird, wie die 15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. 125 C (3) durch Paare von Strahleninvolutionen. Der hyperbolische, elliptisclie oder duale Charakter fur die (7 (S) steht mit dem fur die $ (3) in einein Zusammenhange, welchen wir jetzt untersuchen wollen. Halten wir eines der drei Systeme konjugierter Punkte auf der (3) fest, so sendet ein beliebiger Punkt derselben nach samtlichen Paaren konjugierter Punkte Strahlenpaare einer bestimmten ihm zugehorigen Strahleninvolution; zu zwei konjugierten Punkten selbst gehoren zwei bestimmte Strahleninvolutionen, die entweder gleichartigen oder un- gleichartigen Charakters sind. Die Verbindungsstrahlen aller Paare konjugierter Punkte umhullen eine bestinimte $ (3) , und zwar ist eine solche Verbindungslinie der eine Doppelstrahl einer jener Strahleninvolutionen, dem sich der zweite zugesellt, so daB der Schnittpunkt beider ein Punkt der C (3) wird (namlich der dritte Schnittpunkt jener ersten Verbindungslinie und der (7 (3) ). Wir konnen also auch sagen: die $ (3) wird urnhullt von samtlichen Doppelstrahlen der vorigen Strahleninvolutionen. Die Tangenten der $ (3) ordnen sich auf diese Weise selbst zu Paaren konjugierter Tangenten, und jede beliebige Tangente wird von diesen samtlichen Paaren konjugierter Tangenten in Punktepaaren einer Punktinvolution geschnitten; die Doppelpunkte dieser Punktinvolution erfiillen dann wiederum die C (8) und bilden die Paare konjugierter Punkte derselben. Dadurch wird der Kreis der Betrachtung geschlossen. Der friiher gefundene Zusammenhang zwischen den Paaren konjugierter Punkte der (7 (3) und Paaren konjugierter Tangenten der $ (3) ist aber der, daB immer das eine Paar durch das andere har- monisch getrennt wird ( 7, 2). Wenn nun bei der C (3) der hyperbolische, elliptische oder duale Fall eintritt, so wird auch in bestimmter Weise einer dieser drei Falle bei der $ (3) eintreten, hinsichtlich der Paare erzeugender Involutionen. 7. Gehen wir von drei zur Bestimmung der (7 (3) not- wendigen und hinreichenden, voneinander unabhangigen Paaren konjugierter Punkte 126 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. aus, so erhalten wir aus ihnen drei Strahleninvolutionen, durch je zwei Strahlenpaare bestimmt, die wir in ab- kiirzender aber niclit miGzuverstehender Weise so bezeichnen konnen 21 [23 ^eej, 23 [((^2121,], die drei Paare (reeller oder konjugiert-imaginarer) Doppel- strahlen der drei Strahleninvolutionen [91], [33], [] seien aa l} bb 1} cc und konnen als drei Paare konjugierter Strahlen zur Be- stimmung der $ (3) gewahlt werden. Fassen wir nun die drei Punktepaare 21 und U 1} S3 und lt und t als drei ausgeartete Kegelschnitte auf, so bestimmen je zwei derselben eine Kegelschnittschar; aus diesen drei Scharen leiten wir durch Vereinigung von je zwei Kegel- schnitten neue Scharen ab u. s. f., von den en die Gesamt- heit des ganzen Kegelschnittgewebes erfiillt wird ( 5). Fassen wir andererseits die drei Linienpaare a und Oj, b und 6,, c und c t als drei ausgeartete Kegelschnitte auf, so bestimmen je zwei derselben ein Kegelschnittbtischel, und aus diesen drei Btischeln leiten wir durch Vereinigung von je zwei Kegel- schnitten neue Buschel ab u. s. f. Die Gesamtheit aller dieser Kegelschnitte erfiillt das Kegelschnittnetz. Eine der einfachsten Erzeugungsweisen fur die C (3) war nun die ; daB wir aus dem Kegelsehnittgewebe eine beliebige Kegel- schnittschar herausnahmen, aus einem beliebigen Paar kon- jugierter Punkte %.%,! an jeden Kegelschnitt der Schar die Tangentenpaare legten und zum Durchschnitt brachten; die vier Durchschnittspunkte erfiillen dann die ganze (7 IS) ( 3, 4). Andererseits nehmen wir ein beliebiges Kegelschnittbuschel aus dem Netze heraus und lassen ein Paar konjugierter Strahlen aa 1 (einen ausgearteten Kegelschnitt des Netzes) 15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. 127 von jedem Kegelschnitte des Biischels in zwei Punktepaaren durchschneiden; die vier Verbindungslinien der Durchschnitts- punkte umhiillen dann die ganze Kurve (3) . Ueber den hyperbolischen, elliptischen oder dualen Charakter, welchen die (3) darbietet, entscheidet dann der Charakter der Strahleninvolutionen in 51 und tyt i} und iiber den hyperbolischen, elliptischen oder dualen Charakter der ' 3) ebenso der Charakter der beiden Punktinvolutionen auf a und a lt Da wir aus 5. wissen, da6 jedes Kegelschnitt- biischel mit vier imaginaren Grundpunkten eine beliebige Gerade in Punktepaaren einer hyperbolischen Punktinvolution schneidet, und andererseits an jede Kegelschnittschar mit vier imaginaren gemeinschaftlichen Tangenten ein beliebiger Punkt der Ebene Tangentenpaare sendet, die eine hyper- bolische Strahleninvolution bilden, so folgt z. B. daB, wenn unter samtlichen Kegelschnittscharen des Gewebes eine ein- zige vorkomrnt, die vier imaginare gemeinschaftliche Tan- genten besitzt, dann die zugehorige C^ notwendig hyper- bolischen Charakters sein muB, und, wenn unter samtlichen Kegelschnittbuscheln des Netzes ein einziges vorkornint, dessen vier Grundpunkte imaginar sind, dann notwendig die zugehorige (3) hyperbolischen Charakters sein niuB. 8. Betrachten wir nun den einen der beiden dual gegeniiberstehenden Falle, ein Kegelschnittbuschel, so ent- halt dasselbe bekanntlich im allgemeinen drei Linienpaare (ausgeartete Kegelschnitte); diese sind entweder alle drei reell, oder nur eines von ihnen ist reell und die beiden andern sind konjugiert-irnaginar; die Schnittpunkte (Doppel- punkte) dieser imaginaren Linienpaare sind entweder beide reell, oder keiner von beiden, aber ihre Verbindungslinie, auf welcher sie durch eine elliptische Punktinvolution ver- treten werden. Der erste Fall kann nur eintreten, wenn die Grundpunkte des Biischels alle vier reell sind. Der zweite Fall, dafi zwei Linienpaare reelle Schnittpunkte (Doppelpunkte) haben, aber selbst konjugiert-imaginar siud, tritt nur ein, wenn die Grundpunkte des Biischels alle vier imaginar sind. Der dritte Fall, daB von den beiden imaginaren 128 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Linienpaaren auch die beiden Schnittpunkte (Doppelpunkte) konjugiert-iinaginar sind, aber auf einer reellen Geraden durch eine elliptisclie Punktinvolution vertreten werden, tritt nur ein, wenn von den vier Grundpunkteu zwei reell und zwei konjugiert-imaginar sind, deren Verbindungsstrahlen das eine allein reelle Linienpaar des Biischels bilden (Th. d. K. S. 364). Das Analoge gilt fiir die Kegelschnittschar. Nehmen wir nun an, da6 auf einer C (S) zwei konjugierte Punkte 91, 5lj mit zugehorigen elliptischen Strahleninvolutionen vorhanden sind, also die (7 (3) elliptischen Charakters ist, dann miissen die konjugiert- imaginaren Doppelstrahlen dieser beiden elliptischen Strahleninvolutionen sich in vier imaginaren Punkten durchschneiden, die auf einem (reellen und in be- kannter Weise konstruierbaren) Linienpaar liegen und durch zwei (ebenfalls reell konstruierbare) elliptische Punktinvo- lutionen vertreten werden. Die vier imaginaren Durch- schnittspunkte sind aber die vier Grundpunkte eines Kegel- schnittbuschels, welches dem Netze angehort, aus deni die ^O) hervorgeht; also mu6 diese nach der obigen Benierkung hyperbolischen Charakters sein. Wir schlieBen hieraus den Doppelsatz: Wenn eine (7 (3) ellip- Wenn eine (3) ellip- tischen Charakters ist, so tischen Charakters ist, so inuB die zugehorige (3) muO die zugehorige C (3) hyperbolischen Gharak- hyperbolischen Charak- ters sein. ters sein. Dasselbe gilt auch, wenn von den beiden den kon- jugierten Punkten 5t und ?1 1 zugehorigen Strahleninvolutionen nur eine elliptisch und die andere hyperbolisch, also die (7 (3) dualen Charakters ist. Denn die beiden Linienpaare, gebildet von den Doppelstrahlen der Strahleninvolutionen, schneiden sich, da nur eines reell ist, in vier imaginaren Punkten, die durch zwei elliptische Punktinvolutionen auf den beiden reelleu Doppelstrahlen vertreten werden und reell konstruiert werden kounen. Die vier imaginaren Schnitt- punkte dieser beiden Linienpaare sind die Grundpunkte 15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. 129 eines Kegelschnittbiischels, welches dem Netze angehort, aus dem die $ (3) hervorgeht, also muB diese hyperbolischen Charakters sein. Wir schlieBen hieraus den Doppelsatz: Wenn eine C (3) dualen Wenn eine (3) dualen Charakters ist, so muB Charakters ist, so muB die zugehorige $ (3) hyper- die zugehorige (7 (3) hyper- bolischen Charakters bolischen Charakters sein. sein. Aus den vorigen beiden Doppelsatzen schliefien wir durch CJmkehrung: Wenn eiue C (3) hyper- Wenn eine $ (3) hyper tr / X bolischen Charakters ist, bolischen Charakters ist so muB die zugehorige $ (3) so muB die zugehorige (? (3) entweder dualen oder entweder dualen oder elliptischen Charakters elliptischen Charakters sein, und zwar dualen sein, und zwar dualen Charakters, sobald auf Charakters, sobald die den beiden Doppelstrah- beiden Doppelpunkte ir- len irgend einer der er- gend einer der erze.ugen- zeugenden Strahleninvo- den Punktinvolutionen lutionen die durch samt- nach alien iibrigen Dop- liche Doppelstrahlen- pelpunktpaaren zwei un- paare ausgeschnittenen gleichartige Strahlenin- Punktinvolutionen un- volutionen senden, da- gleichartig sind, dagegen gegen elliptischen Cha- elliptischen Charakters, rakters, sobald solche sobald sie gleichartig zwei Strahleninvolu- sind. tionen gleichartig sind. DaB menials zu einer C f(3) hyperbolischen Charakters wieder eine $ (3) hyperbolischen Charakters zugehoren kann und umgekehrt, folgt daraus, daB bei einer C (3) hyper- bolischen Charakters unter den Paaren konjugierter Punkte auch immer irnaginare Punkte auf reellem Trager vor- kommen miissen. Der directe Nachweis fur diese Behauptung erfordert aber eine eingehendere Untersuchung, zu der wir in den nachsten Paragraphen iibergehen wollen ( 16 20). Schriiter, Theoria der ebrnen Kurven 3. Ordn. 9 130 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. 16. Allgemeine Untersuchung der yerschiedenen Gestalten, welche eine O s) aniiehmen kjuni. 1. Die verschiedenen Erzeugungsweisen der (7 (3) , welche wir kennen gelernt haben, liefern immer einen geome- trischen Ort von (einfach) unendlich vielen Punkten, welche kontinuierlich aufeinander folgend die gesamte C f(3) erfiillen; diese besitzt die Eigenschaft, da8 aus einem beliebigen Punkte derselben entweder keine, oder zwei oder vier reelle Tangenten an die Kurve gehen ( 9, e), auBer der Tangente in selbst. Jede Gerade begegnet der C (3) im allgemeinen in drei Punkten, von denen einer irnmer reell sein muB, die beiden andern auch konjugiert-imaginar sein konnen. Gehen wir nun von einem beliebigen endlichen Punkt der Kurve aus (der kein Wendepunkt ist) und drehen um O einen Strahl s in der ganzen Ebene herum (um 180, oder als Halbstrahl um 360), so wird dieser Strahl s der 6 1(3) auBer in O noch in zwei weiteren Punkten > und 3' begegnen, welche entweder beide reell sind und getrennt voneinander liegen, oder in einen Punkt zusammenfallen (welcher dann ein Beriihrungspunkt wird) oder endlich konjugiert-imaginar sein konnen. Der mittlere Fall wird den Ubergang bilden vom ersten zum dritten und umgekehrt bei kontinuierlichem Verlauf der C (3) (ohne Doppelpunkt). Denken wir uns die vollstandige Drehung des Strahles s um den Punkt O vollzogen, so daB die Punkte von s nach und nach samtliche Punkte der Ebene erreichen, so wird die Annahme, daB ftir alle Lag en von s die beiden Punkte >>' immer konjugiert-imaginar seien, unzulassig sein, weil dann die ganze C (3) nur den einzigen reellen Punkt O haben wiirde, was gegen die Voraussetzung unserer Er- zeugungsweisen ist. Insbesondere wird schon die Tangente in O noch in einein dritten Punkte D t der 6 I(3) begegnen, dem Tangentialpunkt von O. Es bleiben also nur zwei Mbglichkeiten: 16. Allgemeine Untersuchung der versch. Gestalten etc. 131 ) Entweder schneidet der um D vollstandig herum- gedrehte Strahl s die (7 (3) immer in zwei reellen getrennt liegenden weiteren Punkten <', oder: /3) Der Stralil s schneidet fur gewisse Gebiete seiner uin O vollzogenen Drehung in zwei reellen Punkten g ', fur andere Gebiete in zwei konjugiert-imaginaren Punkten, und der Ubergang von dem einen zuni andern Fall findet statt beim Zusammenfallen der Punkte <', d. h. der ver- anderliche Strahl s wird Tangente aus an die C (3) , ge- hort dem Tangentenquadrupel aus O an. DaB in der That bei der Drehung des Strahles s um O solche Lagen ein- treten mussen, in welchen und ' reell und getrennt von- einander sind, geht auch daraus hervor, daB die Verbindungs- linie von ) mit irgend einem andern Punkte der C^ not- wendig noch in einem dritten reellen Punkte ' der (7 (3) begegnen muB, der unter Umstanden auch mit < zusamnien- fallen kann. 2. Fassen wir nun zunachst den ersten Fall ins Auge, in welcheni die Punkte 8 und ' immer reell und voneinander ge- trennt sind, so wird keine Tangente des von ) ausgehenden Quadrupels reell seinkonnen, \veil sons tfiirdiese zwei Punkte und s' zusammenfielen (was gegen die Annahme ist), und bei weiterer Drehung rnuBte der Fall zweier konjugiert-imaginarer Punkte 5 ' eintreten, was ebenfalls gegen die Annahme ist. Fiir die Tangente in D fallt einer der beiden Punkte ' nach D selbst, der andere ' ist der Tangentialpunkt D x zu D. In diesem ersten Falle muB daher die 6 1(3) aus zwei voneinander getrennten und in sich zusammen- hangenden Ziigen bestehen, deren einen der Punkt und den andern der Punkt >' durchlauft. Der eine der beiden Ziige geht durch D; wir wollen diesen als von beschrieben annehinen und den paaren Zug oder das Oval nennen, weil jeder Strahl s ihn in zwei Punkten, namlich in O und 5, trifft; den andern von >' beschriebenen Zug wollen wir den unpaaren Zug oder die Serpentine nennen, weil jeder Strahl s ihn nur in einem reellen Punkte trifft. Er enthalt notwendig den Tangentialpunkt O x zu 0. 9* 132 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Wir konrien in unserm Fall auch sagen: Jede Gerade s, welche durch einen Punkt des paaren Zuges einer zwei- ziigigen C (3) hindurchgeht, mu6 noch in zwei andern reellen Punkten der C' (3) begegnen, von denen der eine auf dem paaren, der andere auf dem unpaaren Zuge der Kurve liegt. Aus dem Punkte D 1; dem Tangentialpunkt zu D, geht die reelle Tangente | O x O | an die Kurve, folglich not- wendig noch eine zweite reelle Tangente; die iibrigen beiden Tangenten aus D t konnten reell oder auch konjugiert-ima- ginar sein; daB letzeres nicht der Fall ist, geht aus dem Folgenden hervor (5.). 3. Wenn auf dem um gedrehten Strahl s sowohl reelle als auch konjugiert-imaginare Punkte ' fur ver- schiedene Lagen von s vorkommen, so muB es Ubergangs- falle zwischen zwei solchen Gebieten bei der Drehung von s geben, d. h. es muB vorkommen, daB und ' zusammenfallen, also aus D eine reelle Tangente an die C (3) geht, rnithin also min- destens noch eine zweite reelle Tangente; die beiden iibrigen konnen reell oder auch konjugiert-imaginar sein. Wir wollen die erstere Annahme an dritter Stelle behandeln und jetzt annehmen, daB aus D nur zwei reelle Tangenten ^ und t. 2 an die C (3) gehen (die ubrigen beiden Tangenten aber kon- jugiert-imaginar seien). In diesem Falle teilen die beiden reellen Tangenteu den ganzen Raum der Ebene in vier Gebiete, zwei Scheitel- raunie und die beiden Nebenscheitelraume. Das eine Paar Scheitelraume enthalt sanitliche Punktepaare ', die auf einem durch gehenden Strahle s getrennt voneinander liegen; das andere Paar Scheitelraume enthalt iiberhaupt keinen reellen Punkt der Kurve weiter. In dem ersteii Paar Scheitelraume muB also die ganze C (3) verlaufen und einen zusammenhangenden Zug bilden; wir nennen sie eine einziigige C (3) oder Serpentine. Sie haDgt irn Un- endlichen zusammen, wie die Hyperbel, kann auch durch ihre unendlich entfernten Punkte in mehrere Zweige zer- 16. Allgemeine Untersuchung der versch. Gestalten etc. 133 fallen, die miteinander wie die Hyperbel zusammenhangen; iiber diesen Zusammenhang in den unendlich entfernten Punkten werden wir noch spater eine Uberlegung anstellen. Vorlaufig tritt uns diese C (3> im Gegensatz zur vorigen als eine einziigige entgegen, die durch den Punkt D selbst hindurchgelit (sobald namlich 8 nach D fallt, geht >' nach DJ und die charakteristisclie Eigenschaft besitzt, daB dieser eine Zug ein unpaarer Zug ist ; d. h. eine Gerade s ihm nur entweder in drei oder in einem reellen Punkte (D) be- geguen kann. 4. Es bleibt uns jetzt nur noch der dritte Fall ubrig, namlich die Annahme, daB von dem Punkte D der Kurve vier reelle Tangenten h> hi ^S) h an dieselbe gehen. In diesem Falle muB der Strahl s bei seiner Drehung um D jedesmal beim Durchgange durch jeden dieser vier Strahlen aus einem Gebiete, in welchem seine beiden iibrigen Schnittpunkte ' reell sind, in ein solches ubergehen, in wel- chem diese Punkte ' konjugiert-imaginar sind. Bezeichnen wir mm die vier Tangenten aus D in der Reihenfolge, daB bei der Drehung des Strahles s zuerst t 1} dann t 2} darauf t s und endlich f 4 erreicht wird, bis s wieder in die Lage von t t zuriickkehrt, und machen wir die zulassige Annahme, daB bei der Drehung der Strahl s in den beiden Scheitelraumen zwischen ^ und t 2 nur reelle Schnittpunkte 8' habe, so wird man in den beiden Scheitelraumen zwischen t 2 und t s nur konjugiert-iinaginare, zwischen t z und t wieder nur reelle und endlich zwischen t A und ^ wieder nur konjugiert-ima- ginare Schnittpunkte ' haben. Wir erhalten demgeniaB zwei Paar Scheitelraurne, in welch en nur reelle Punkte der C (3) sich befinden, in welch en also die ganze Kurve ver- lauft, und dazwischen liegend zwei Paar Scheitelraume, die keinen reellen Punkt der C (3) enthalten. Da diese Scheitel- raume riichts miteinander gemein haben, als den Punkt D, so muB die Kurve C T(3) eine zweiziigige sein, wie im ersten Falle (2.). Der eine Zug verlauft ganz in einem Paar der 134 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. betreffenden Scheitelraume und geht durch den Punkt D selbst hindurch; auf ihm liegt auch der Tangentialpunkt Oij wir wollen ihn den unpaaren Zug nennen, well jeder Strahl s, welcher in diese betreffenden Scheitelraume hinein- fallt, der C (3) in drei reellen Punkten begegnet. Der andere Zug geht nicht durch ), weil die (7 (3) keinen Doppelpunkt hat; wir wollen ihn den paaren Zug nennen, weil jede Gerade s ihm in zwei reellen Punkten begegnet, sobald sie in die betreffenden beiden Scheitelraume hineinfallt, zwischen denen er liegt, wahrend der dritte Schnittpunkt O auf dem andern Zuge liegt. Jede andere Gerade s durch O, welche in einen der iibrigen vier Scheitelraume hineinfallt, die keinen Punkt der C (3) enthalten, begegnet der (7 (3) auBer in dem reellen Punkte O nur noch in zwei konjugiert-imaginaren Punkten 88'. 5. Wir haben hierdurch alle Moglichkeiten erschopft und nur drei Falle I., IT., III. zu unterscheiden gehabt; in den Fallen I. und III. ist die 6 !(3) eine zweiziigige, in dem Falle II. eine einziigige. Die Falle I. und III. decken sich aber, wie wir sogleich sehen werden, so daG nur zwei wesentlich verschiedeue Gestalten der C' (3) hervorgehen. Wir wissen zunachst, daB wenn eine C (3) einen Punkt O besitzt, aus welchem keine oder vier reelle Tangenten an dieselbe gehen (I. und III.), dieselbe eine zweiziigige sein muB; dagegen wenn sie einen Punkt D besitzt, aus welcheni nur zwei reelle Tangenten an dieselbe gehen (II.), so muB die C (3) eine einziigige sein. Hieraus folgt in dem Falle I., weil die C (3) eine zweiziigige ist und aus dem Tan- gentialpunkt D! des Punktes D mindestens zwei reelle Tan- genten an dieselbe gehen, daB notwendig alle vier Tangenten aus D x an die (7 (3) reell sein miissen, denn sonst konnte sie nur eine einziigige sein. Die Falle 1. und III. unterscheiden sich nur dadurch voneinander, daB bei I. der Punkt ) auf dern paaren, bei III. der Punkt D auf dem unpaaren Zuge der C (3) liegt. Nehmen wir nun im Falle I. auf dem durch D gehenden Zuge (dem paaren Zuge) einen beliebigen andern Punkt ty 16. Allgemeine Untersuchung der versch. Gestalten etc. 135 an, so miissen aus ihm entweder vier oder keine reelle Tan- gente an die C (3) gehen, well diese eine zweiziigige ist. Die erste Moglichkeit trifft aber nicht zu, denn sonst miisste die Gerade | ty | der (3) in einem dritten Punkte begegnen, welcher nach III. auf demselben Zuge, der durch $P, also auch durch D geht, liegen miisste. Dies ist indessen bei I. nicht der Fall, wie wir wissen, sondern der dritte Schnitt- punkt von O^5 | mit der C (8) liegt auf dem andern Zuge (dem uupaaren), welcher nicht durch D geht. Also kann durch ty keine reelle Tangente an die C (3) gehen. In dem Falle I. haben also samtliche Punkte desjenigen Zuges, welcher durch O geht, des paaren Zuges, die Eigen- schaft, dafi keine reelle Tangente aus ihnen an die C (3) geht. Xehrnen wir dagegen im P'alle I. den zu D zugehorigen Tangentialpunkt Dj, welcher auf dem nicht durch D gehenden Zuge, dem unpaaren, liegen muB, so wird, weil die Kurve eine zweizugige ist, der Punkt D t vier reelle Tangenten an die C (3) senden miissen, und jeder durch Oj gezogene Strahl s, welcher noch einen zweiten Punkt ^ dieses Zuges ent- halt, muB nach III. auch seinen dritten Schnittpunkt auf diesem Zuge haben. Aus dem zweiten Punkte ^ gehen nun entweder vier reelle Tangenten an die C (3) oder keine, weil sie eine zweizugige ist. Die letztere Moglichkeit ist wiederum ausgeschlossen, denn sonst miisste | ^ 1 O 1 1 der (7' 3) in einem dritten Punkte begegnen, welcher nach I. auf dem andern nicht durch ty lf also auch nicht durch )j gehenden Zuge liegen miisste, was nicht der Fall ist. Also haben in dem Falle I. samtliche Punkte desjenigen Zuges, welcher nicht durch D geht, des unpaaren Zuges, die Eigenschaft, vier reelle Tangenten an die C (3) zu senden. Gehen wir andererseits von dem Falle III. aus, in welchem die (7 (3) ebenfalls eine zweizugige ist, so wissen wir, daB durch D auf dem, unpaaren Zuge vier reelle Tan- genten an die C f(3) gehen. Nehmen wir nun einen beliebigeu Punkt s $ desselben Zuges, so miissen durch ihn entweder vier oder keine reelle Tangente an die C (3) gehen. Die letztere Moglichkeit ist unzutreffend ; denn ginge keine reelle 136 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Tangente aus ty an die C (3) , so miisste nach I. jeder durcb $P gezogene Strahl s, welcher einen zweiten Punkt desselben Zuges enthalt, seinen dritten Schnittpunkt auf dem andern nicht durcli ^ gehenden Zug haben; nun hat aber der Strahl | $PD | seinen dritten Schnittpunkt auf demselben durch D und ^3 gehenden Zuge, folglich miissen aus ty vier reelle Tangenten an die C (3) gehen. In dem Falle III. haben also samtliche Punkte cles durch gehenden Zuges (des unpaaren Zuges) die Eigen- schaft, vier reelle Tangenten an die G'( 3) zu senden Nehmen wir endlich in dem Falle III. irgend einen Punkt ty des nicht durch O gehenden Zuges (des paaren Zuges), so muS der dritte Schnittpunkt von | 0^5 | ebenfalls auf demselben, dem paaren Zuge, liegen. Die Moglichkeit, da 6 *p vier reelle Tangenten an die (7 (8) senden konnte, ist dadurch wieder ausgeschlossen, denn sonst mtisste jeder durch 9$ gehende Strahl s, welcher einen zweiten Punkt desselben Zuges enthielte, auch seinen dritten Schnittpunkt auf demselben Zuge haben, was fur den Strahl | ^5O | nicht zutrifft; also kann aus ^3 keine reelle Tangente an die C (3) gehen. Im Falle III. haben also samtliche Punkte des nicht durch ) gehenden Zuges (des paaren Zuges) die Eigen- schaft, keine reelle Tangente an die C (3) zu senden. Aus diesen vier Resultaten ersehen wir, daB die fun- danientalen Eigenschaften der zweizugigen (7 (3) in den beiden Fallen I. und III. sich vollstandig decken und daB wir so- nach das Gesamtresultat aussprechen konnen: Eine allgemeine Kurve dritter Ordnung (ohne Doppelpunkt) kann nur zwei wesentlich voneinander verschiedene Gestalten haben; entweder besteht sie aus einem oder aus zwei kontinuierlich verlaufenden Ziigen. Die einziigige hat die charakteristische Eigenschaft, daB aus jedern ihrer Punkte nur zwei reelle Tangenten an dieselbe gehen (selbstverstand- lich auBer der Tangente in dem Punkte selbst), die beiden iibrigen Tangenten aber konjugiert-imaginar 17. Drei Gestalten d. einziigigen u. fiinf d. zweizugigen C (3) . 137 sind. Die zweiziigige C (3) liat die cliarakteristische Eigenschaft, daB aus samtlichen Punkten des einen Zuges (des paaren) keine reelle Tangente an die Kurve geht, dagegen aus jedem Punkte des andern Zuges (des unpaaren) vier reelle Tangenten an die- selbe gehen, von denen zwei den paaren und zwei den unpaaren Zug beriihren. Die einziigige C (3) bil- det selbstverstandlich einen unpaaren Zug, indem jede Gerade in der Ebene ihr entweder in einem oder in drei reellen Punkten begegnet. Die zwei- ziigige G <(3) wird von jeder Geraden in der Ebene immer so geschnitten, daB von den drei Schnitt- punkten eine gerade Anzahl (also oder 2) auf dem paaren Zuge und eine ungerade Anzahl (also 3 oder 1) auf dem unpaaren Zuge liegen. Die eingeflochtene Bemerkung, daB von den vier reellen Tangenten immer zwei den paaren und zwei den unpaaren Zug beriihren 7 folgt aus dem Falle III., weil der eine Zug ganz in dem einen Paar Scheitelraume, der andere ganz in dem andern Paare enthalten ist von denjenigen Scheitel- raumen zwischen t l t 2 t 3 t 4 , welche uberhaupt Punkte der Kurve enthalten. 17. Drei Gestalten der einziigigen und fiinf der zweizugigen (7 (3) . 1. Jede der beiden Hauptgestalten, in welch en die C (3) auftritt, die einziigige und die zweiziigige C (3) , bietet mehrere verschiedene Untergestalten dar, wenn man die unendlich entfernten Pimkte der C'' 3 ^ in Betracht zieht. Fassen wir zuerst die einziigige C" 3 ' ins Auge. Die unendlich entfernte Gerade g^ begegnet der C (3; im allgemeinen in drei Punkten, von denen einer immer reel! sein muB, die beiden andern entweder beide reell und voneinander getrennt sein konnen, oder beide in einen Punkt zusammenfallen, oder konjugiert- imaginar sein konnen. 138 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Analog der Terminologie bei den Kegelschnitten unter- scheiden wir daher drei Arten der einziigigen G H3) , iianilich 1. die elliptische Serpentine, . 2. die parabolische Serpentine, 3. die hyperbolische Serpentine. Die elliptiscbe Serpentine hat nur einen reellen unendlich entfernten Punkt; die Tangente an demselben ver- lauft im Endlicben und heiPt Asymptote. Die elliptiscbe Serpentine bat also nur eine reelle im Endlicben verlaufende Asymptote. Dieselbe begegnet der Kurve nocb in einem dritten reellen und im Endlicben liegenden Punkt. Denken wir uns diese Asymptote gezogen, so muB der kontinuier- licbe Zug von der einen Halbebene auf einer Seite von der reellen Asymptote durcb den dritten Scbnittpunkt in die andere Halbebene iibergeben und sicb der Asymptote in dem unendlicb entfernten Punkte derselben anscbliei^en von verscbiedenen Halbebenen aus nach Art der Hyperbel, welcbe sicb mit ibren beiden Zweigen an eine der Asymptoten an- scblieBt und dadurcb im Unendlicben zusammenhangt.* [Anmerkung. Wenn man in eineui gewohnlicheu Punkte einer Kurve (der nicbt Wendepunkt oder singular ist) die Tangente zieht, welche zwei benacbbarte Punkte derselben verbindet, so kann dies unendlicb kleine Kurven- stuck allemal ersetzt werden durcb ein gleicbes Stuck eines Kegelschnitts. Fur einen gewohnlicben Kurvenpunkt liegt also die Tangente zur Kurve genau so, wie fur einen Punkt des Kegelschnitts, d. b. die unmittelbar vorhergehenden und unmittelbar nachfolgenden Punkte der Kurve befinden sich in derselben Halbebene von der Tangente. Lassen wir durch Projektion oder durcb projektive Verwandlung den Kurvenpunkt in die Unendlichkeit geben, so wird die Art der Beriihrung bleiben wie beini Kegelscbnitt, namlicb wie die Beriibrung einer Asymptote mit der Hyperbel in einem unendlicb entfernten Punkte derselben, d. b. die beideii dem unendlich entfernten Punkte sich nahernden Zweige werden * H. Durege: ,,tiber die Formen der Kurven dritter Ordnung". Journal f. Math. v. Borchardt, Bd. 75 S. 157. 17. Drei Gestalten d. einziigigen u. funf d. zweizugigen <7( s) . 139 Fig. 2. in entgegengesetzten Halbebenen von der Asymptote liegeii und beide mit ihrer konvexen Seite dem unendlich entfernten Punkte zustreben.] Wir konnen uns ein anschauliches Bild von der ellip- tischen Serpentine machen, indem wir eine ausgeartete C (:1) nehmen, welche aus einer Ellipse und einer dieselbe in zwei reellen Punkten (Doppelpunkten) schneidenden Geraden be- steht; losen wir sodann die beiden Doppelpunkte in der Weise auf, wie es die nebenstehende Figur 2 zeigt, so entsteht die elliptische Serpentine mit ihrer einzigen reellen Asymptote. 2. Die parabolische Serpentine hat aufier dem einen reellen unend- lich entfernten Punkt mit endlicher Asymptote noch zwei zusammenfallende un- endlich entfernte Punkte, also die g^ selbst zur Tangente. Wir machen uns ein anschauliches Bild von derselben, indem wir an Stelle der vorigen Ellipse eine Parabel setzen, eine Gerade hinzufugen, welche derselben in zwei reellen Punkten begegnet, das Ensemble von Parabel uud Gerader als eine ausgeartete C (3) auffassen und die beiden Doppelpunkte in der Art, wie es die auf Seite 140 stehende Figur 3 zeigt, auf losen. Die parabolische Serpentine besteht daher aus zwei unend- lichen Zweigen, die aber einen zusammenhangenden Zug bilden, indem sie einmal die g^ beriihren und sich in einem unendlich entfernten Punkte derselben vereinigen, auBerdem aber in einem dritten unendlich entfernten Punkte an die endliche Asymptote sich von entgegengesetzten Halbebenen aus anschlieBen nach Art der Hyperbel und dadurch im Un- endlichen zusamnienhangen. 140 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Fig. 3. 3. Die hyperbolische Serpentine hat drei unendlich entfernte getrennt voneinander liegende Punkte, also auch drei im Endlichen verlaufende Asymptoten, Tangenten in den drei unendlich entfernten Punkten. Die drei Asymptoten bilden ein Dreiseit, an dessen Seiten sich die Serpentine in den unendlich entfernten Punkten asymptotisch anschliesst, nach Art der Hyperbel von verschiedenen Halbebenen aus dem unendlich entfernten Punkte sich nahernd, indem sie jede der drei Asymptoten noch in einem dritten end-* lichen Punkte trifft. Diese drei Punkte miissen in einer Geraden liegen ( 8, 4). Wir konnen uns ein an- schauliches Bild von der hyperbolischen Serpentine machen, indem wir drei Ge- rade in der Ebene als eine ausgeartete C (3) auffassen und die drei Doppelpunkte, wie in der auf Seite 141 stehenden Figur 4 a und 4b auflosen, namlich in dem von den drei Geraden gebildeten Dreieck entweder zwei innere Winkel und einen AuBen- winkel, oder alle drei AuBen- winkel. In beiden Fallen nimmtdie hyperbolische Serpentine eine gleiche Gestalt an; sie zerfallt namlich in drei Zweige, die im Unendlichen zusammen- hangen; der eine trifft keine der drei Asymptoten in einem endlichen Punkte ; der andere eine derselben, der dritte die beiden tibrigen. Der kontinuierliche Zusammenhang der drei Zweige, die sich zu einem Zuge zusammenschlieBen, ist in beiden Figuren durch die Pfeile angedeutet und beide Figuren sind in ihrer Gestaltung nicht wesentlich voneinander verschieden. 17. Drei Gestalten d. einziigigen u. fiinf d. zweiziigigen C&. 141 Fig. 4 a u. 4b. 4. Gehen wir nunmehr zur zweiziigigen C (3) iiber, so ergeben sich hier wiederum durch Betrachtung der unendlich entfernten Punkte meh- rere Arten der zwei- ziigigen C (3) ; die unend- lich entfernte Gerade g^ kann namlich dem paaren Zuge nur in einer geraden Anzahl von Punk ten (0 oder 2) dem unpaaren Zuge nur in einer ungeraden Anzahl von Punkten begegnen. Hieraus folgt, daB der unpaare Zug immer einen reellen unendlich ent- fernten Punkt haben muB, also in demselben auch eine reelle Tan- gente, Asymptote. Seine beiden andern unendlich entfernten Punkte kon- nen entweder konjugiert- imaginar sein, oder zu- sammenfallen, oder reell sein und getreunt von- einander liegen; der paare Zug kaim nur ent- weder zwei reelle, ge- trennt voneinander lie- gende Punkte cder zwei zusammenfallende, oder zwei konjugiert - imagi- nare Punkte haben. Da / aber die Anzahl der auf beiden Ziigen zusanimen enthaltenen Punkte immer nur drei sein kann, so ergeben sich nur folgende fiinf Moglichkeiten: 142 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Die g^ enthalt Punkte: auf dem paaren Zuge: auf dem unpaaren Zuge: 1. keinen, einen reellen und zwei konj ugiert - imaginare , 2. zwei zusammenfallende, einen reellen, 3. zwei reelle und getrennt einen reellen, liegende, 4. keinen, einen reellen und zwei zusammenfallende, 5. keinen, drei reelle und getrennt liegende. Nennen wir, wie es in 16 geschehen ist, den unpaaren Zug die Serpentine, den paaren Zug das Oval, so ergeben sich folgende fiinf Arten der zweiziigigen C (3) : 1. elliptische Serpentine mit elliptischem Oval, 2. elliptische Serpentine mit parabolischem Oval, 3. elliptische Serpentine mit hyperbolischem Oval, 4. parabolische Serpentine mit elliptischem Oval, 5. hyperbolische Serpentine mit elliptischem Oval. DaB keine parabolische oder hyperbolische Serpentine mit parabolischem oder hyperbolischem Oval existieren kann, ist selbstverstandlich, weil die 6 7(3) nicht mehr als drei reelle unendlich entfernte Punkte haben kann. Wir wollen nun diese fiinf Gestalten naher be- trachten. 5. Die elliptische Serpentine mit elliptischem Oval hat nur einen reellen Punkt und eine reelle Asymp- tote, an welche sich die Serpentine in gleicher Weise an- schlieBt, im Unendlichen zusammenhangend wie die in 1. betrachtete einziigige elliptische Serpentine. Wir machen uns wiederum ein anschauliches Bild von derselben, indem wir eine ausgeartete C' (3) nehmen, welche aus einer Ellipse und einer dieselbe in zwei reellen Punkten schneidenden Geraden besteht, diese beiden Doppelpunkte aber in anderer Weise auflosen, wie fruher, namlich so wie in der auf Seite 143 stehenden Figur 5. Fig. 5. 17. Drei Gestalten d. einziigigen u. fiinf d. zweiziigigen C< s ). 143 Das Oval bildet eine in sich geschlossene, durchweg im Endlichen verlaufende Gestalt, wie sie schematisch in der Figur angedeutet ist. Die elliptische Serpentine mit parabolischem Oval unterscheidet sich von der vorigen Gestalt nur dadurch, daB das Oval sich parabelartig bis in die Unendlichkeit erstreckt, die g^ beriihrt; wir gelangen zu einem anschaulichen Bild der- selben, indem wir eine ausgeartete C (3) nehmen, welche aus einer Parabel uud einer dieselbe in zwei reellen Punkten schneidenden Ge- raden besteht, diese beiden Doppel- punkte aber in anderer Weise auflosen Avie bei der einziigigen parabolischen Serpentine, nanilich so wie in der auf S^ite 144 stehen- den Figur 6. Die Kurve besteht aus zwei bis ins Unendliche sich erstreckenden Zweigen, deren jeder in sich zu- sanirnenhangt, der eine asymp- totisch an die einzige reelle end- liche Asymptote sich anschlieBend, der andere parabelartig die g x beriihrend. Die elliptische Serpentine mit hyperbolischom Oval hat drei reelle im Endlichen verlaufende Asymptoten; der einen Asymptote schlieBt sich die Serpentine im Un- endlichen an, wie in den beiden friiheren Fallen; dagegen spaltet sich das Oval in zwei Zweige, ebenso wie die Hyper- bel, und beide Zweige des Ovals schliefien sich den beiden iibrigen Asymptoten im Unendlichen an, ebenso wie die beiden Zweig^ einer Hyperbel an ihre beiden Asymptoten. Diese beiden Zweige hangen also im Unendlichen miteinander zusammen und bilden einen kontinuierlichen Zug. Die 144 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Fif? 6. Serpentine schneidet alle drei Asymptoten in je einem end- lichen Punkt. Die ganze Kurve besteht daher aus drei bis ins Unendliche verlaufenden Zweigen, von denen zwei unter sich zusammenhangen, der dritte mit sich selbst; der Zu- sammenhang der ersteren ist in der auf Seite 145 stthenden Figur 7 durch Pfeile angedtutet. Wir machen uns ein an- schauliches Bild von difser Kurve, indeni wir eine in drei Gerade ausgeartete C (3) nehmen und die drei Doppel- punkte in anderer Weise auf- losen, wie bei der einziigigen hyperbolischen Serpentine, namlich so wie die auf Seite 145 stehende Figur es zeigt, indeni wir einen inneren Winkel und zwei AuBen- winkel des Dreiecks auf- losen. 6. Die parabolische Serpentine mit ellip- tischem Oval unterscheidet sich von der einziigigen para- bolischen Serpentine dadurch, ~~^ daB zu derselben uoch ein ganz im Endlichen verlaufen- des Oval hinzutritt. Die Serpentine zerfallt in zwei unendliche Zweige, indeni sie einmal an die einzige endliche Asymptote nach Art der Hyperbel in dem unendlich entfernten Punkte sich anschlieBt und zusammenhangt und zwtitens gleichzeitig in einem andern uneudlich entfernten Punkte die g^ beriihrt, also parabel- artig in demselben zusammenhangt. Wir machen uns wieder ein anschauliches Bild der Kurve, indem wir von einer aus- gearteten C (3) ausgehen, die aus einer Parabel mid einer 17. Drei Gestalten d. einzugigen u. fiinf d. zweiziigigen C (3) . 145 Fig 7. dieselbe in zwei reellen Punkten schneidenden Geraden be- eteht, diese beiden Doppelpunkte aber in anderer Weise auflosen, wie bei der einztigigen parabolischen Serpentine, namlich so, wie die auf Seite 146 stehende Figur 8 es zeigt. Endlich bleibt uns als letzte Gestalt nock zu betrachten iibrig die hyperbolische Serpentine mit elliptischein Oval, welche drei unendlich entfernte getrennt voneinander liegende Punkte, also drei reelle im Endlichen verlau- fende Asyrnptoten hat. Sie unterscbeidet sicb von der einziigigen hyperboliscben Ser- pentine nur dadurch, daB zu den drei Zwei- gen, in welche die Serpentine zerfallt, noch ein vierter, namlich ein ganz im Endlichen verlaufendes Oval hinzutritt. Der Zusammenhang der Serpentine ist fur diesen Fall schon bei der einziigigen erlautert. Wir rnachen uns ein anschauliches Bild von dieser Gestalt, indem wir von einer in drei Gerade ausgearteten (7 (3) ausgehen und die drei Doppelpunkte derselben dergestalt auflosen, daB wir alle drei inneren Winkel des Dreiecks verschwinden lassen, wie es die auf Seite 147 stehende Figur 9 zeigt. 7. Hierdurch sind samtliche verschiedenen Gestalten, welche die (7 (3) iiberhaupt annehmen kann, erschopft; es giebt deren acht, von denen drei der einzugigen und fiinf der zweiziigigen C (3) angehoren; bei der einziigigen giebt es eine Ubergangsgestalt (parabolische), bei der zweiziigigen zwei tibergangsgestalten. Wir erkennen auch aus imserer Schroter, Theorie der ehenen Kurren 3. Ordn. 10 146 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Betrachtung, daB alle moglichen voneinander verschiedenen Gestalteu, welche durch die in mehrfacher Weise mogliche Auflosung der Doppelpunkte bei einer ausgearteten C (3} zum Vorschein kommen, hierin enthalten sind und daB keine neuen Gestalten durch anderweitige Auflosung der Doppelpunkte hervorgehen konnen.* Wir bemerken noch, * Dieses Prozesses erwahnt als von Plucker herstammend Herr F. Klein in seiner Abhandlung: t)ber Flachen dritter Ordnung. (Math. Ann., Bd. VI S. 551.) Vergl. auch Zeuthen: Sur les difFerentes formes des courbes planes du quatrieme ordre. (Math. Ann., Bd. VII S. 410.) Die Einteilung der allgemeinen Kurven dritter Ordnung in ihre beiden Gattungen, die einziigige und die zweizugige, ist von Cremona aufgestellt in der Abhandlung: Considerazioni sulle curve piane del terz' ordine (Battaglini, Giornale di matematiche, torn II pag. 78), von H. Duregebehandelt in der Abhandlung: tJberFormen der Kurven dritter Ordnung (Borchardt, Journal f. Math., Bd. 75 S. 153 und Bd. 76 S. 59.) 17. Drei Gestalten d. einziigigen u. fiinf d. zweiziigigen (7 (8) . 147 Fig. 9. daB die Figuren nicht' strenge, sondern nur schematisch die Gestalten veranschaulicheii. Es ware jetzt nur noch der Fall in Betracht zu ziehen, daB alle drei unendlich entfernten Punkte der C (y) in einen einzigen zusammenfallen; dieser miiBte dann eiu Wendepunkt der Kurve sein und die g a seine Wendetangeiite. Es wiirde dabei nur die Serpentine sich verandern, indein sie gleichzeitig eine para- bolische und eine hyper- bolische wird, also der (Ja sich parabolisch an- schJieBt und Aveiter keine endliche Asymptote be- sitzt. Bei der zweiziigigen (7(3) W u r de in diesem Fall noch ein endliches Oval, bei der einziigigen keines hinzutreten. 1st aber nur einer der drei unendlich entfernteu Punkte ein Wendepunkt, ohne daB die beiden andern unend- lich entfernten Punkte mit ihm zusammenf alien, so andert die Serpentine ihren Charakter, indern sie nicht, wie im allgemeinen, von verschiedenen Halbebenen aus dem unendlich entfernten Punkte der Asymptote sich n'abert uud im Unendlichen anschlieBt, sondern von einer und derselben Halbebene aus verlaufend sich dem unend- lich entfernten Punkte der endlichen Asymptote nahert; denn die Asymptote kann in diesem Fall keinen endlichen dritten Schnittpunkt mit der G' (3) weiter gemein haben, 10* 148 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. also auch nicht von einer Halbebene in die andere iiber- treten.* 18. Bedingungeu fur die Erzeugung einer einziigigeii C< 3) (Serpentine) durch zwei projektiye Strahlen- involutionen in halbperspektiver Lage. 1. Wir wissen nach 16, daB aus jedeni Punkte einer einziigigen 6 r(3) nur zwei reelle Tangenten t t und t 2 an die- selbe gehen, die beiden andern allemal konjugiert-imaginar sind. Beruhren nun t i und t 2 in den Punkten t x und t 2 , so konnen nur diese allein als ein Paar konjugierter Punkte aufgefaBt werden, durch welche das ganze System von Paaren konjugierter Punkte bestimmt wird, und wir haben also nur ein einziges System von Paaren konjugierter Punkte, anstatt, wie im allgemeinen, drei Systeme ( -15). Nehmen wir jetzt einen beliebigen Punkt 5t t der Kurve und legen aus ihm die beiden reellen Tangenten ^ und f 2 an dieselbe, welche in t : und t 2 beruhren, so ist der ganze Zug der Kurve, wie wir aus 16 wissen, mit seinen reellen Punkten in ein em Paar Scheitelraume zwischen den beiden Strahlen ^ und 2 enthalten, wahrend die beiden iibrigen Scheitelraume (Nebenscheitelraume) gar keinen reellen Punkt der C (S) enthalten. Die VerbinduDgslinie \tit 2 \ muB daher der Kurve in einem dritten reellen Punkt X 2 begegnen, welcher ebenfalls in den beideu ersten Scheitelraumen liegt. Wenn wir einen beliebigen Punkt unserer Kurve mit t t und t 2 verbinden und diese Verbindungsstrahlen zum dritten Mai in t x ' und t' 2 der Kurve begegnen, so mussen dieselben ebenfalls in den vorigen beiden Scheitelraumen enthalten sein, in welchen iiberhaupt Kurvenpunkte liegen. Da nun t{ und t 2 ein zweites Paar konjugierter Punkte sind, und die zu 2^ zugehorige Strahleninvolution durch die beiden Strahlenpaare * Vergl. H. Schroter: B t)ber Kurven dritter Ordnung" (Matb. Ann., Bd. VI S. 102). 18. Bedingungen f. d. Erzeugung einer einziigigen C w etc. 149 ISA | und ISA!, I Sit! | und l^tJI bestiinrnt wird, so muB, well das eine Strahlenpaar durch das andere nicht getrennt wird, die zu S x zugehorige Strahleninvolution notwendig eine hyperbolische sein. Zu j ist der konjugierte Punkt 2 , wie wir wissen, der dritte Schnittpuukt von | tj t, | niit der Kurve. Der durch X. 2 gehende Strahl | X 2 t 1 t 2 | verbindet zwei konjugierte Punkte der G 1(3) , ist also ein Doppelstrahl der zu X 2 zu- gehorigen Strahleninvolution, und diese ist daher ebenfalls eine hyperbolische. Da die den beiden konjugierteu Punkten x und X 2 zugehorigen Strahl eninvolutionen beide hyperbolisch sind, so miissen die den samtlichen Paaren konjugierter Punkte zugehorigen Strahleninvolutionen immer gleichartig sein ( 15, 3). Sie miissen aber in unserem Falle inimer beide hyperbolisch sein, weil das, was von deni will- kurlich auf der C (3) angenomnienen Punkte X x gilt, auch von jedem andern Punkte derselben gelten muB; mithin sind fiir eine einziigige C (3) zwei erzeugende projektive Strahlen- involutionen immer beide hyperbolisch. 2. Da die Doppelstrahlen der zu S^ zugehorigen hyper- bolischen Strahleninvolution durch jedes Paar konjugierter Strahlen derselben harinonisch getrennt werden, so muB einer dieser beiden Doppelstrahlen in diejenigen beiden Scheitelraume zwischen ^ und t 2 hineinfallen, welche die Punkte der Kurve enthalten und der andere Doppelstrahl in die Nebenscheitelraume, welche keinen reellen Punkt der Kurve enthalten. Der erste Doppelstrahl muB der Kurve in zwei reellen Punkten begegnen ( 16), der andere in zwei konjugiert-imaginiiren. Dasselbe gilt auch, wie von X,, von jedem andern Punkte der Kurve. Wir konnen demnach folgendes Resultat aussprechen: Eine einziigige Kurve dritter Ordnung (Serpen- tine) kann nur erzeugt werden von zwei Strahlen- involutionen in projektiver Beziehung und halb- perspektiver Lage, die beide hyperbolisch sind und eine derartige Lage haben, daB von jeder derselben ]50 Theorie der ebenen Kurvea dritter Ordnung. der eine Doppelstrahl der Kurve in zwei reellen, der andere in zwei konjugiert-imaginaren Punkten be- gegnet. (Die C (3) ist also hyperbolischeri Charakters, 15.) 3. Wir konnen die Bedingung fur die Lage der beiden erzeugenden hyperbolischen Strahleninvolutionen noch scharfer ausspreehen, wenn wir uns des Hilfsmittels bedienen, von dem wir schon friiher wiederholt Gebrauch gemacht haben ( 3), indeni wir jede der beiden Strahleninvolutionen ver- mittelst eines Hilfskegelschnitts auf em einfaches Strahl- biischel reduzieren. Seien D x und O 2 die Mittelpunkte der beiden erzeugenden hyperbolischen Strahleninvolutionen und | Dj |, | D 8 X | die Tangenten der Kurve in den Punkten Oj und O 2 , welche den gemeinschaftlichen Tangentialpuukt X haben. Ein Hilfs- kegelschnitt -ZT (2) , welcher durch D : und D 2 geht und in diesen Punkten dieselben Tangenten | D X X | und | O 2 X | hat, wie die (7 (3) , wird von den Strahlenpaaren einer jeden der beiden erzeugenden Strahleninvolutionen in Punktepaaren durch- bohrt, deren Sehnen bez. durch zwei feste Punkte (S J und 2 laufen und zwei einfache Strahlbuschel beschreiben. Diese stehen in projektiver Beziehung, weil die beiden er- zeugenden Strahleninvolutionen projektiv sind. Da diese ferner hyperbolisch sind, so rnussen die Mittelpunkte (5^ und ( 2 auBerhalb des Hilfskegelschnitts K (2} liegen. Wegen der halbperspektiven Lage mu6 dem Strahlenpaar |O,X| und (OjO, | das Strahlenpaar | O 2 X I und D 2 O, | entsprechend sein; die zugehorigen Durchbohrungssehnen mit K fallen daher zusammen in die Verbindungslinie 10,0,1, und die beiden Punkte (5, und ( 2 miissen folglich auf dieser Verbindungslinie liegen; zugleich folgt aber auch, dafi die beiden Strahlbuschel [&J und [S 2 ], welche projektiv sind, perspektive Lage haben, weil in die Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte zwei entsprechende Strahlen zusaninienfallen; 18. Bedingungen f. d. Erzeugung einer einzxigigen (7< 3 ) etc. 151 sie erzeugen daher eine gerade Linie /, von der jeder Punkt mit & L und (. 2 verbunden zwei entsprechende Strahlen der Reduktions-Strahlenbiischel [SJ und [CL,] liefert; 1st also diese Gerade I errnittelt, und ist ein beliebiger Punkt derselben, so schneidet | (E, I | den 7 ( - } in dem Punktepaar i)jt){, und die Strahlenpaare | D^j und | 0,1;; | 7 I 0,1)0 1 und |0 2 l) 2 | sind allemal entsprechende Strahlenpaare der beiden er- zeugenden Strahleninvolutionen, dereii projektive Abhangig- keit durch die gerade Punktreihe [j] auf I vermittelt wird. 4. Die Doppelstrahlen der beiden erzeugenden Strahlen- involutionen [0,] und [0 2 ] mogen die Gerade ? bez. in den Punktepaaren , . x { und 8,3, treffen, danu laBt sicb. die Bedingung fur die Erzeugung der einziigigen (7 (3) aus der Lage dieser beiden Punktepaare zueinander bestimmen. Sobald namlich jedes dieser beiden Punktepaare durcli das andere getrennt wird, inuB die erzeugte (7 (3) eine einziigige sein. In der That, liegen die vier Punkte 1? { und 2 , ^ so, daB das erste Paar durch das zweite getrennt wird, so wird auch das zweite durch das erste Paar getrennt. I Nun sind | ^^1 und | & L %[ \ die beiden Tangenteu aus Sj an den Hilfskegelschnitt K^, ebenso S 2 2 | und |S 2 g| die beiden Tangenten aus (., an den Hilfskegelschnitt " C2) ; daher wird von den beiden Strahlen : Sj 2 1 und S 1 2 | der eine dem K (2) in einem reellen Punktepaar, der andere in einem konjugiert-imaginaren Punktepaar begeguen miissen wegen der Lage der vier Punkte . Der eine Doppelstrahl 2 2 1 der erzeugenden Strahleniuvolution [0 2 ] wird also von dem entsprechenden Strahlenpaare der erzeugenden Strahleninvolution [OJ in zwei reellen Punkten, der andere 152 Theorie der ebenen Kurven dritter Orclnung. Doppelstrahl | O 2 2 1 i n zwe i konjugiert-imaginaren Punkten getroffen, und dasselbe gilt fur die beiden Doppelstrahlen der erzeugenden Strahlenin volution [DJ. Es findet also in der That die fur die einziigige (7 (3) charakteristische Eigenschaft statt, daB von den beiden Doppelstrahlen der erzeugenden Strahleninvolutionen der eine der C m in zwei reellen, der andere in zwei konjugiert-imaginaren Punkten begegnet; also ist die vorige Behauptung bestatigt. Was von dem willkiirlich gewahlten Paare konjugierter Punkte D! und D 2 auf der (7 (3) gilt als Mittelpunkten zweier erzeugenden Strahleninvolutionen, muB in gleicher Weise fiir jedes andere Paar konjugierter Punkte derselben Kurve gelten, weil alle die gleiche charakteristische Eigenschaft besitzen, nur zwei reelle Tangenten an die Kurve zu senden. 19. Bedingungen fur die Erzeugung einer zwei- zugigen C (3 > durcli zwei projektive Strahleninvolutionen in halbperspektiver Lage. 1. Wir haben in 16 als charakteristische Eigenschaft der zweiziigigen C (y) kennen gelernt, daB aus jedem Punkte des paaren Zuges derselben keine, aus jedem Punkte des unpaaren Zuges vier reelle Tangenten an dieselbe gehen. Nehmen wir daher einen Punkt O des unpaaren Zuges, so lassen sich die von ihm ausgehenden Tangenten t i} t%, t s , tj immer so bezeichnen, daS ^ und t 2 an den paaren Zug gehen und zugleich die beiden Scheitelraume fixieren, in denen der ganze paare Zug enthalten ist, t z und 4 an den unpaaren Zug gehen und ebenfalls zwei Scheitelraume fixieren, innerhalb deren der ganze unpaare Zug verlauft, daB ferner zwischen diesen vier Scheitelraumen vier andere sich hineinfugen, die keinen reellen Punkt der (3) enthalten, und endlich die vier Tangenten in der Reihenfolge h> h> h-> ** von einem urn O kontinuierlich gedrehten Strahl s erreicht werden ( 16). 19. Bedingungen f. d. Erzeugung einer zweizugigen (7< s > etc. 153 Dies vorausgesetzt, wird das Strahlenpaar t^ nicht ge- trennt durch das Strahlenpaar t 3 t, ebensowenig t 1 t i durch t 2 t s , dagegen wird t^t z durch t 2 t^ getrennt. Bezeichnen wir die Beriihruugspunkte der vier Tan- genten entsprechend mit *1J *2> *3> M? so lasseu sich dieselben auf dreierlei Art in Paare kon- jugierter Punkte (mit demselben Tangential punk t) zerlegen ( 15) 1) tj und t 2 , t 3 und t 4 als Paare konjugierter Punkte, ^) *i )> h> *2 *4 n n )) 3) *i }} M> ^2 )) ^3 J7 ?J JJ J> Gemafi unserer Annahme fiir die Lage der vier Tan- genten t l} t Z} t S} t wird dann im ersten Falle die zu D zu- gehorige Strahleninvolution eine hyperbolische, im zweiten Falle eine elliptische und im dritten Falle wieder eine hyperbolische sein, und fur jeden dieser drei Falle ist das ganze System der Paare konjugierter Punkte und der zugehorigen Strahleninvolutionen vollstandig bestiimnt. 2. Im ersten Falle ist nun, wie wir wissen ? der zu konjugierte Punkt ) 1 der Schnittpunkt C^t,, t,t 4 )^D 1; die ihm zugehorige Strahleninvolution eine hyperbolische, und | tjt^ ', t 3 t 4 | sind ihre beiden Doppelstrahlen; der erste begegnet dem paaren, der zweite dem unpaaren Zuge in je zwei reellen Punkten; folglich liegt der Punkt C : auf dem unpaaren Zuge.' Das Gleiche gilt von dem Punkte D und demgemaB von jedem Paare konjugierter Punkte, die auf dem unpaaren Zuge liegen. Dagegen muB jeder Punkt des paaren Zuges seinen konjugierten Punkt wieder auf dem paaren Zuge haben und jedem Punkte des paaren Zuges muB eine elliptische Strahleniuvolution zugehoren; denn sei ty ein solcher, und gehorte ihm eine hyperbolische Strahlen- involution zu, so miiBte ein reeller Doppelstrahl derselbeu der Kurve in zwei konjugierten Punkten begegnen, von denen einer auf dem paaren, der andere auf dem unpaaren 154 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Zuge liegen miiBte. Dies 1st aber nicht moglich, well in unserem Falle konjugierte Punkte immer auf demselben Zuge liegen; also kann auch die zu ty zugehorige Strahlen- involution keine hyperbolische sein. Wir erhalten also im ersten Falle folgendes Resultat: Wenn die beiden erzeugenden Strahleninvolu- tionen in projektiver Beziehung und halbperspek- tiver Lage beide hyperbolisck sind und jeder der vier Doppelstrahlen der beiden Involutionen der Kurve in je zwei reellen Punkten begegnet, so ist die von ihnen erzeugte C (3) eine zweiziigige. Die Mittelpunkte der beiden erzeugenden Strahleninvo- lutionen liegen auf dem unpaaren Zuge. Die Paare konjugierter Punkte der Kurve liegen so verteilt auf derselben, daB jedes Paar auf demselben Zuge sich befindet. Jedem Punkte des unpaaren Zuges gehort eine hyperbolische Strahleninvolution zu, deren Doppelstrahlen der Kurve in je zwei reellen Punkten begegnen. Jedem Punkte des paaren Zuges gehort eine elliptische Strahleninvolution zu. (Die CW ist also elliptischen Charakters, 15.) 3. Im zweiten Falle ist die zu D zugehorige Strahlen- involution eine elliptische; der zu D konjugierte Punkt D t ist der Schnittpunkt (tit., t,t 4 )-0,, die ihm zugehorige Strahleninvolution ist eine hyperbolische, uttd I M 3 1, I M*l sind ihre Doppelstrahlen; der Punkt Oj liegt daher auf dem paaren Zuge. Das Gleiche gilt von jedem Paare konjugierter Punkte, von denen immer der eine auf dem unpaaren, der andere auf dem paaren Zuge liegt. Die dem ersteren Punkte zugehorige Strahleninvolution ist immer eine elliptische, die dem zweiten zugehorige eine hyperbolische. Die Doppelstrahlen der letzteren begegnen beide der Kurve in reellen Punktepaareii. Wir schlieBen also fur den zweiten Fall folgendes Re- sultat: 19. Bedingungen f. d. Erzeugung einer zweiziigigen C& etc. 155 Wenn von den beiden erzeugenden Strahlen- involutionen in projektiver Beziehung und halb- perspektiver Lage die eine hyperbolisch, die andere elliptisch ist, so ist die von ihnen erzeugte C (y) eine zweiziigige. Der Mittelpunkt der elliptischen Strah- leninvolution liegt auf deni unpaaren, der Mittel- punkt der hyperbolischen auf dem paaren Zuge. Die Paare konjugierter Punkte liegen so verteilt auf der Kurve, daB jeder Punkt des einen Zuges seinen konjugierten Punkt auf dem andern Zuge hat. Jedem Punkte des unpaaren Zuges gehort eine ellip- tische, jedem Punkte des paaren Zuges eine hyper- bolische Strahleninvolution zu. Die Doppelstrahlen der letzteren begegnen beide der Kurve in reellen Punktepaaren. (Die C (8) ist also dualen Charakters, 15.) 4. Ini dritten Falle ist die zu D zugehorige Strahlen- involution eine hyperbolische, und der eine Doppelstralil derselben niuB in die Scheitelraume zwischen t. 2 und t 3 , der andere in die Scheitelraume zwischen 4 und ^ hineinfallen, welche beide keinen reellen Punkt der 6 t(3) enthalten, also beide Doppelstrahlen begegnen der Kurve in konjugiert- iniaginaren Punkten. Der zu O koujugierte Punkt O t ist der Schnittpunkt , , _ (***t) Wi) = ^n er liegt daher auf dem paaren Zuge, und die ihm zugehorige Strahleninvolution ist eine hyperbolische, deren beide Doppel- strahlen |t 2 t 3 | und tjtj | der Kurve in reellen Punkte- paaren begegnen. Das Gleiche gilt von jedem Paare kon- jugierter Punkte DC 1? von denen imnier der eine auf dem unpaaren, der andere auf dem paaren Zuge der C (8) liegt. Wir konnen demgemaB folgendes Resultat aussprechen: Wenn die beiden erzeugenden Strahleninvolu- tionen in projektiver Beziehung und halbperspek- tiver Lage hyperbolisch sind und die Doppelstrahlen der einen hyperbolischen Strahleninvolution in keinem reellen Punkte der Kurve begegnen, dann ist die von ihnen erzeugte C (3) eine zweiziigige. Der Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Mittelpunkt dieser Strahleninvolution, derenDoppel- strahlen in keinem reellen Punkte der Kurve begeg- nen, liegt auf dem unpaaren Zuge; der Mittelpunkt der andern Strahleninvolution des konjugierten Punktes dagegen liegt auf dem paaren Zuge, und die Doppel- strahlen derselben begegnen der Kurve in reellen Punktepaaren. Die Paare konjugierter Punkte liegen so verteilt auf der Kurve, dafi jeder Punkt des einen Zuges seinen konjugierten Punkt auf dem andern Zuge hat. Sanitlichen Punkten beider Ziige ge- horen hyperbolische Strahleninvolutionen zu, aber den Punkten des unpaaren Zuges solche, deren Doppelstrahleu der Kurve in keinem reellen Punkte begegnen, den Punkten des paaren Zuges solche, deren Doppelstrahlen beide in je zwei reellen Punkten der Kurve begegnen. (Die (7 (3) ist also hyper- bohschen Charakters, 15.) Der Fall, dafi fur zwei erzeugende hyperbolische Strahlen- involutionen keiner der vier Doppelstrahlen der Kurve in reellen Punkten begegnet, kann niemals eintreten. Denn sobald nur einer der Mittelpunkte beider erzeugenden Strahlen- involutionen auf dem unpaaren Zuge liegt, muB sein kon- jugierter Punkt immer eine hyperbolische Strahleninvolution aussenden, deren Doppelstrahlen beide der Kurve in reellen Punkten begegnen, weil bei der zweiziigigen C (3) von dem ersteren Punkte vier reelle Tangenten an dieselbe gehen. Liegt aber einer der beiden Mittelpunkte der erzeugenden Strahleninvolutionen auf dem paaren Zuge und ist diese eine hyperbolische, so muB ein reeller Doppelstrahl der- selben, weil er einen Punkt des paaren Zuges enthalt, noch einen zweiten reellen Punkt desselben enthalten und den dritten Schnittpunkt auf dem unpaaren Zuge haben; jed en- falls muB es ein Doppelstrahl sein, welcher der Kurve in zwei reellen Punkten begegnet; also ist es nicht moglich, dafi von zwei erzeugenden hyperbolischen Strahleninvolutionen der zweiziigigen C (3) alle vier Doppelstrahlen keinen weiteren reellen Punkt der Kurve enthalten. 19. Bedingungen f. cl. Erzeugung einer zweizugigen 0'^ etc. 157 5. Wir mussen aber nun noch einmal zu deni ersten Falle zuriickkehren, bei welchem Paare konjugierter Punkte immer auf demselben Zuge der zweizugigen C (3) enthalten sind. Wir haben namlich nur die Voraussetzung gemacht, daB der Punkt D, von welchem wir ausgingen, auf dem unpaaren Zuge (1.) liege. Nehmen wir dagegen einen Punkt ^8 des paaren Zuges an, so bestimmen die Strahlenpaare 1 t immer hyperbolischen Charakters, weil reelle Doppel- strahlen in diesen Fallen in reellen Punktepaaren der (7 (3) begegnen. 20. Untersuchung aller moglichen FSlle bei der Erzeugung einer C (3) dnrch zwei projektive Strahlen- involut ionen in halbperspektiver Lage. 1. Gehen wir umgekehrt, wie in den beiden vorigen Paragraphen, von der Erzeugung einer G' |3) durch zwei pro- jektive Strahleninvolutionen in halbperspektiver Lage aus, so treten uns zunachst drei Moglichkeiten entgegen, namlich ) beide erzeugende Strahleninvolutionen sind elliptisch, /3) die eine ist elliptisch, die andere hyperbolisch, y) beide sind hyperbolisch. 20. Untersuchung aller niogl. Falle b. d. Erzeugung einer C( 8 ) etc. 159 Wir wenden nunmehr die Hilfsbetrachtung an, we]che bereits in 18,3 auseinander gesetzt ist, indem wir die projektive Abhangigkeit der beiden erzeugenden Strahlen- involutionen O x und > 2 durch die Punkte einer Geraden I vermitteln und die Strahleninvolutionen selbst auf zwei einfache Strahlbiischel (^ und (., reduzieren verniittelst eines Hilfskegelschnitts K (2 \ welcher durch ) : und D 2 geht- und die Tangenten der (7 (3) in diesen Punkten beriihrt; die Punkte (5^ und 2 miissen dann auf der Verbindungslinie | D! Dg. | Hegen und entweder innerhalb oder auBerhalb des Kegelschnitts K&, je nachdem die Strahleninvolutionen [CJ und [D 2 ] elliptisch oder hyperbolisch sind. Irgend ein Punkt r. der Geraden I liefert dann zwei entsprechende Strahlen (j | und | (., , welche K^ in den Punktepaaren t)j t^'und t) 2 ^ schneiden, und die Strahlenpaare sind entsprechende Strahlenpaare der beiden erzeugenden Strahleninvolutionen. Entspricht einem Doppelstrahl der einen Involution ein reelles Strahlenpaar der andern, so sind die beiden Schnittpunkte desselben niit dem ersteren die Beriihrungspunkte zweier reellen Tangenten, welche vom Mittelpunkte der zweiten Involution an die Kurve gehen. 2. Dies vorausgeschickt nehmen wir nun den ersten Fall an, da 6 die beiden erzeugenden Strahleninvolutionen elliptisch sind, dann liegen (5 X und ( 2 beide innerhalb des Hilfskegelschnitts K (2) . Jeder Strahl durch (5^, wie auch durch ( 2 , begegnet dem 7T' 2) in zwei reellen, getrennt von- einander liegenden Punkten; es giebt daher weder aus \ noch aus 2 reelle Tangenten an die erzeugte 6 T(3) , diese muB daher eine zweiziigige sein, und die Mittelpunkte der erzeugenden Strahleninvolutionen Dj) 2 miissen auf dem paaren Zuge derselben liegen. Wir erhalten ferner nur reelle Strahlenpaare in den beiden erzeugenden Strahlen- involutioneu, die einander entsprechen. Zwei solche x 1 x[ und x 2 x' z schneideu sich in vier Punkten, die zwei Paare konjugierter Punkte der C (3) liefern, namlich 1(50 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Da nun Oj und D 2 auf dem paaren Zuge der Kurve liegen, so mussen p x und q 1 auf verschiedenen Ztigen der Kurve liegen; nehmen wir also an, ^ liegt auf dem paaren, so muB q x auf dem unpaaren liegen, folglich trifft D^qJ die C (3) in p 2; einem Punkte des paaren Zuges, und D^ in q 2 , einem Punkte des unpaaren Zuges; es liegen also die kon- jugierten Punkte p 1; p 2 beide auf dem paaren, q : , q 2 beide auf dem unpaaren Zuge. Weil die Verbindungslinie j p, U 2 und ebenso auch die Verbindungslinie | q x q 2 allemal die (7 (3) in einem Punkte des unpaaren Zuges treffen muB und fur einen solchen Punkt diese Verbindungslinie ein Doppel- strabl der zugehorigen Strahleninvolution ist, so sind die zu samtlichen Punkten des unpaaren Zuges zugehorigen Strahleninvolutionen hyperbolisch; einem Punkte des paaren Zuges muB aber immer eine elliptische Strahleninvolution zugehoren, weil die Verbindungslinie zweier konjugierten Punkte der (7 (3) in diesem Falle niemals ihren dritten Schnittpunkt auf dern paaren Zuge haben kann. Wir haben also hier den in 19, 5 beschriebenen Fall vor uns. 3. Ist von den beiden erzeugenden Strahleninvolutiouen die eine [DJ elliptisch und die andere [D 2 ] hyperbolisch, so liegt G^ innerhalb und ( 2 auBerhalb des Hilfskegel- schnitts K^; die beiden reellen Tangenten aus ( 2 an K^ ] haben zwei Beriihrungspunkte, welche mit O 2 verbunden die Doppelstrahlen der zugehorigen Strahleninvolution liefern. Schneiden dieselben die vermittelnde Gerade I in 2 und 2 , und verbinden wir den innerhalb 2 (2) liegenden Punkt (^ mit 2 und 2 , so schneidet jeder der beiden Strahlen ^^1 und 6^; | den K (2) in zwei reellen Punkten, welche mit D : verbunden diejenigen Strahlenpaare liefern, die den Doppelstrahlen |O 2 2 | und |O 2 8 2 ! entsprechen. Jeder der Doppelstrahlen der Involution [O 2 ] wird daher in zwei reellen Punkten von 20. Untersuchung aller mogl. Falle b. d. Erzeugung einer (7(3) etc. 161 dem entsprecbenden Strablenpaar der Involution [D,] ge- scbnitten. Diese beiden Strablenpaare aus O t sind also vier reelle Tangenten an die C (3) . Die erzeugte C (3) ist mitbin eine zweiziigige und der Punkt Dj liegt auf ibreni unpaaren Zuge. Der Punkt 2 muB aber auf dem paaren Zuge liegen, weil die Strableninvolution [DJ keine reellen Doppelstrablen bat, also aucb der Punkt X keine reellen Tangenten an die C r(3) sendet. Die elliptiscbe Strablen- involution [DJ entbalt nur reelle Strablenpaare, die hyper- boliscbe [D 2 ] reelle, aucb konjugiert-imaginare Strablenpaare. Entsprecben sicb nun zwei reelle Strablenpaare 1 i UJ.LCI JL o -/ Q so liefern die vier Schnittpunkte zwei Paare konjugierter Punkte p t p 2 und q^. Da nun D, auf dem unpaaren und D 2 auf dem paaren Zuge der C^ } liegt, so miissen pj und q 2 auf verscbiedenen Ziigen der Kurve liegen; nebmen wir p t auf dem unpaaren Zuge an, so liegt q 2 auf dem paaren; folglicb trifft JD^I die C^ in p.,, einem Punkte des paaren Zuges, und | D 2 p._> | in q 17 einera Punkte des unpaaren Zuges; die beiden konjugierten Punkte p, , p 2 und ebenso q, , q 2 liegen also immer auf verscbiedenen Kurvenziigen. Die Verbindungslinie | p x p 2 1 und ebenso auch die Verbindungslinie | q t q 2 | trifft die C (3) allemal in einem Punkte des paaren Zuges und ist fiir einen solcben Punkt ein Doppelstrabl der zugeborigen Strableninvolution. Daher sind die zu samtlicben Punkten des Zuges zugehorigen Strableninvolutionen byperboliscb. Einem Punkte des un- paaren Zuges muB aber immer eine elliptiscbe Strablen- involution zugeboren, weil die Verbindungslinie zweier kon- jugierten Punkte der C (3) in diesem Falle menials ibren dritten Scbnittpunkt auf dem unpaaren Zuge baben kann. Wir baben also bier den in 19, 3 bescbriebenen Fall vor uns. 4. Sind endlicb beide erzeugende Strableninvolutionen [DJ und [0 2 ] byperboliscb, so liegen die Punkte S, und Schroter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordu. IQ2 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. C.j beide auBerhalb des Hilfskegelschnitts K (2 \ senden also reelle Tangentenpaare an denselben, deren Beriihrungspunkte mit O 1 und D 2 bez. verbunden die vier Doppelstrahlen der Involutionen [DJ und [O 2 ] liefern. Hier werden wir nun mehrere Falle zu unterscheiden haben je nach der Lage der vermittelnden Geraden / (S. 151), auf welcher diejenigen Gebiete voneinander zu trennen sind, in denen ein Punkt liegt, der mit C^ und (L, verbunden solche Strahlen liefert, die X (2) in reellen Punktepaaren begegnen oder nicht. Gehen namlich von einem Punkte (S zwei reelle Tan- genten an einen Kegelschnitt K^ und treffen eine Gerade I in dem Punktepaar 3$', so trennen dieselben auf der Ge- raden I zwei Gebiete voneinander; in dem einen liegen solche Punkte j, deren Verbindungsstrahlen mit S dem K^ in zwei reellen Punkten begegnen , in dem andern solche Punkte , deren Verbindungsstrahlen mit S dem K w in keinem reellen Punkt begegnen. Wir wollen diese beiden Gebiete durch die Zeichen + und - voneinander unterscheiden. Nun kann entweder das +Gebiet zwischen und ' liegen und das Gebiet auBerhalb der Strecke ' oder umgekehrt, je nach der Lage der Geraden I zu dem Kegel- schnitt 7$T (2) . Haben wir aus zwei Punkten Sj und ( 2 zwei reelle Tangentenpaare an K (2 \ welche in den Punktepaaren M; und ,; der Geraden I begegnen, so haben wir auf derselben zwei- mal + Gebiete und Gebiete, die einander zum Teil decken oder nicht decken, je nach der Lage der Punkte % 1} >[,%%, 2 zueinander, und hier konnen drei verschiedene Falle ein- treten: a) jedes der beiden Paare wird durch das andere ge- trennt ; /3) das eine Paar liegt ganz innerhalb des andern (d. h. alle Punkte der einen Strecke sind gleichzeitig Punkte der andern, aber nicht umgekehrt); 20. Untersuchung aller m6gl. Falle b. d. Erzeugung einer C 1 *) etc. 163 y) das eine Paar liegt ganz auBerhalb des andern Paares (d. h. die beiden Strecken haben keinen Punkt miteinander gemein). Da nun eiu Punkt r, in einem -J- Gebiete mit S, oder ( 2 verbunden eine Gerade liefert, die dem Kegelschnitt K^ in zwei reellen Punkten begegnet, so werden diese mit ) l oder D 2 verbunden auch reelle Strahlenpaare der beiden Invo- lutionen [DJ oder [D 2 ] liefern, die einander entsprechend sind. Wir konnen also beurteilen, ob reelle Strahlenpaare einander entsprechen oder konjugiert - imaginare oder ein reelles einem konjugiert -imaginaren oder umgekehrt. 5. Betrachten wir daher den ersten Fall, in welchem jedes des beiden Paare ^gj und % tiS %! 2 dureh das andere ge- trennt wird, und bezeichnen wir die + und Gebiete fur das erste Paar gjg,' oberhalb der Geraden /, fur das zweite Paar 2 .' unterhalb der Geraden /, so haben wir im ersten Fall die vier Moglichkeiten: ~l~ -a I \. S II. III. IV. In alien diesen vier Fallen kommen entsprechende -f Gebiete zur Deckung; es giebt also immer entsprechende reelle Strahlenpaare der beiden erzeugenden Involutiouen. Suchen wir die den Doppelstrahlen der erzeugenden hyper- bolischen Involutionen entsprechenden Strahlenpaare auf, so erkennen wir folgendes Verhalten: In I. entspricht: 11* 164 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. dem Doppelstrahl | D x x | ein imag. Strahlenpaar in DS a mag. In II. entspricht: dem Doppelstrahl ; D ^ 2 2 ein reelles Strahlenpaar in w ima g- n reelles In III. entspricht: dem Doppelstrahl j O ein imag. Strahlenpaar in reelles imag reelles In IV. entspricht: dem Doppelstrahl | Dj ein reelles Strahlenpaar in ima g- [D 2 ] , rn i IVsJ 5 IAL [DJ. [D 2 ] , M; [Oj, [DJ. [O 2 ], [O 2 ], [DJ, [D 2 ] , m>2" reelles [DJ. Da aber die Durchschnittspunkte eines Doppelstrahles mit jedem der beiden Strahlen des entsprechenden Strahlen- paares die Beriihrungspunkte des letzteren mit der (7 (3) sind, so sehen wir, daB in alien vier Fallen (I., II., III., IV.) aus jedem der beiden Mittelpunkte der erzeugenden Strahlen- involutionen nur zwei reelle Tangenten an die C (3) gehen, wahrend die beiden iibrigen konjugiert-imaginar sind. Von den Doppelstrahlen jeder der beiden erzeugenden hyper- bolischen Strahleninvolutionen schneidet der eine in zwei reellen, der andere in zwei konjugiert-imaginaren Punkten die (7 (3) . Wir haben also den in 18, 2 beschriebenen Fall vor uns. 6. Wir gehen jetzt zu dem zweiten zu untersuchenden Hauptfalle iiber, daB namlich das eine Paar 2 2 ganz 20. Untersuchung aller mogl. Falle b. d. Erzeugung einer (7( 8 ) etc. 165 innerhalb des andern !<{ gelegen ist. Wir haben hier wiederum vier Moglichkeiten: - +_ ., - i. ; ^ :: ^ . a + - g ^ n. rzrzn.i^: IV. In den Fallen I., II., IV. giebt es immer entsprechende -f-Gebiete, die sich decken, also auch immer reelle ent- sprechende Strahlenpaare der beiden erzeugenden Invo- lutionen. Nur in dem Falle III. kommen keine solchen vor. Wir erhalten also in diesem Falle iiberhaupt keine reellen Punkte der C (3) , weil immer, wo wir auch den Punkt j auf / annehmen mogen, entweder einem reellen Strahlenpaar in [CJ ein konjugiert-imaginares Strahlenpaar in [O 2 ] oder umgekehrt, oder einem imaginaren Strahlenpaar in [D x ] wieder ein imaginares Strahlenpaar in [D 2 ] entspricht. Wir konnen also diesen Fall als illusorisch ganz fortlassen, weil wir dabei iiberhaupt keine reellen Punkte der C (3) (auBer C^ und O 2 ) erhalten. Suchen wir jetzt die den Doppelstrahlen der beiden er- zeugenden hyperbolischen Involutionen entsprechenden Strah- lenpaare auf, so erkennen wir folgendes Verhalten: In I. entspricht: dem Doppelstrahl | O 1 1 | ein imag. Strahlenpaar in [) 2 ], ^1*1 I n iPw; O 2 2 ! reelles [Dj, Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. In II. entspricht: dem Doppelstrahl D^l ein reelles Strahlenpaar in [C 2 j, 77 77 I ^2] 7 rr> i 77 77 L^-'lJ; In III. entspricht: dem Doppelstrahl | O ein imag. Strahlenpaar in [O 2 ], 7, [O f ], 7, [OJ, w n 77 77 In IV. entspricht: dem Doppelstrahl > 1 ^ 1 \ ein reelles Strahlenpaar in |"O 2 ], 77 77 imag. 77 n [OJ, Wir sehen hieraus, daB in dem Falle 1. der Mittel- punkt O t vier reelle Tangenten, der Mittelpunkt C 2 keine reelle Tangente an die C^ sendet; im Falle IV. ist es um- gekehrt. Die beiden Doppelstrahlen der einen erzeugenden Strahleninvolution begegnen also der C (3) in vier reellen Punkten, die der andern in keinem. Wir haben also den Fall 19, 4 vor uns. Im Falle II. sendet jeder der beiden Punkte D 1? &., vier reelle Tangenten an die (7 !3) und jeder der vier Doppel- strahlen der beiden erzeugenden hyperbolischen Involutionen begegnet der C (3) in zwei reellen Punkten. Wir haben also den Fall 19, 2 vor uns. Der Fall III. ist schon als illu- sorisch erkannt worden, was auch mit der Bemerkung in 19, 4 S. 156 iibereinstimmt. 7. Es bleibt jetzt nur noch der dritte Hauptfall zu untersuchen iibrig, der indessen nichts neues bietet, sondern nur eine Wiederholung des vorigeu. 20. Untersuchung aller mogl. Falle b. d. Erzeugung einer C?< 3 ) etc. 1(37 Liegt namlich das Punktepaar $j %[ ganz getreunt von dem Punktepaar 2 ^a? so dafi beide Strecken keinen geuiein- schaftlichen Punkt haben, so gestalten sich die Moglich- keiten folgendermaBen: si- *!_!,*;. I Hier geht nun der Fall I. als illusorisch heraus, weil iiberhaupt fiir keinen Punkt der Geraden / eineni reellen Strahlenpaare der Involution [OJ wieder ein reelles Strahlen- paar in [0 2 ] entpricht; wir erhalten also iiberhaupt keine reellen Punkte der (3) bei dieser Erzeugung. In den drei iibrigen Fallen II., III., IV. giebt es entsprechende +Gebiete, die sich decken, also auch reelle entsprechende Strahlen- paare der beiden erzeugenden Involutionen. Suchen wir die den Doppelstrahlen der beiden erzeugenden hyperbolischen Involutionen entsprechenden Strahlenpaare auf, so ergiebt sich folgendes Verhalten: In I. entspricht: dem Doppelstrahl j D^^ ein imag. Strahlenpaar in [O 2 ], !T) ^- 168 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. In II. entspricht: dem Doppelstrahl | D In III. entspricht: dem Doppelstrahl (D ein reelles Strahlenpaar in [D 2 ], ein imag. Strahlenpaar in [O 2 J ; 77 77 77 77 L^2J7 reelles [D, 1. In IV. entspricht: dem Doppelstrahl | & 1 0,8; ein reelles Strahlenpaar in [D 2 J, Da diese vier Moglichkeiten genau dasselbe Bild dar- bieten, wie im vorigen Falle (6.), so brauchen wir die Fol- gerungen daraus nicht zu wiederholen. Es eriibrigt aber noch der Ubergangsfalle Erwiihnung zu thun, in welchen die beiden Strecken t j und 2 2 in einem ihrer Endpunkte zusammenstofien oder mit beiden zusammenfallen. In einem solchen Falle muGte einem Dop- pelstrahl der einen erzeugenden Involution gerade ein Doppel- strahl der andern entsprechen, und der Schnittpunkt beider miiBte daher ein Doppelpunkt der Kurve, die beiden Doppelstrahlen die Tangenten in demselben sein. Eine CW mit Doppelpunkt ziehen wir aber hier nicht in den Kreis unserer Betrachtung. Sie tritt nur auf, so bald zwei kon- jugierte Punkte der (3) zusammenfallen, was im allgemeinen nicht der Fall ist. Fallen die beiden Strecken t { und 2 2 identisch aufeinander, so wiirde die C' (3) zwei Doppel- punkte erhalten und daher ausarten in eine Gerade und einen Kegelschnitt. 20. Untersuchung aller mb'gl. Falle b. d. Erzeugung einer C W etc. 169 Ein Uberblick fiber die gewonnenen Resultate, welche in vollkommener Ubereinstimraung sind mit den in 18 und 19 ausgesprochenen, zeigt uns ; daB bei der Erzeugung der C (3> dutch zwei projektive Strahleninvolutionen in halb- perspektiver Lage die einziigige C (3! ; welche immer hyper- bolischen Charakters ist, nur in einer einzigen bestimmten Weise auftritt, die zweiziigige, wenn sie elliptischen Cha- rakters ist ; auf zwei verschiedene Weisen erzeugt werden kann, wenn sie aber dualen oder hyperbolischen Charakters ist, wieder nur auf eine einzige Weise hervorgeht. Zu diesen Resultaten gelangt auf ganzlich verschiedene Weise auch Herr A. Harnack in seiner Abhandlung: ,,Uber die Ver- wertung der elliptischen Funktionen in der Geometrie der Kurven dritten Grades" (Math. Ann. Bd. IX S. 10).*) 21. Zusammenhang zwischen den konischen Polaren YOU Punkten der (3) . 1. Wir haben in 9, 6 den Satz kenneii gelernt: ,,Zieht man durch einen Punkt 51 der C f(3) Strahlen, deren jeder in eineni Paar weiterer Punkte der C (3) begegnet und bestimmt zu 51 den zugeordneten vierten harmonischen Punkt riick- sichtlich des Punktepaares, so beschreibt derselbe bei der Drehung des Strahles urn 51 einen Kegelschnitt 5t (2) ; welcher durch 51 selbst hindurchgeht und dieselbe Tangente in 51 hat, wie die C (31 . Dieser Kegelschnitt 5t - 2) begegnet der C' 3 ' im allgemeinen in vier weiteren Punkten, welche mit 51 ver- bunden das Tangentenquadrupel aus 51 an die C (3) bilden. Die vier Beriihrungspunkte liegen eben mit den beiden zu- sammenfallenden Beriihrungspunkten der Tangente in 51 auf eineni und demselben Kegelschnitt 5( (:;) . Derselbe heiBt die konische Polare des Punktes 51 riicksichtlich der (7 (3) , oder auch die erste Polare von 51." Nehruen wir nun einen beliebigen zweiten Punkt 93 der C^ 3) und bestimmen seine konische Polare S3 (2) , so wird die *) Vergl. auch die Abhandlung von Herrn R. Sturm: Uber die ebenen Kurven dritter Ordnung, Borchardt's Journal f.Math.Bd.90. S.85ff. 1 70 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Verbindungslinie |5{23| der Kurve in eineni dritten Punkte S begegnen, und ist 5l x der vierte zu 51 zugeordnete harnio- nische Punkt riicksichtlich des Paares S3&, ferner 53, der vierte zu S3 zugeordnete harmonische Punkt riicksichtlich des Paares (51, also (!() = -1, (S3 33^51) = ~1, dann geht 5t< 2 > durch 51 und 31,, <'> durch und 1 ; die gewohnliche Polare von 51 in Bezug auf den Kegelschnitt S3 (2) geht also durch (, und die Polare von 33 uach 5( (2) geht auch durch (, wie aus diesen harmonischen Beziehungen hervorgeht. Denken wir uns den Strahl i 3I53S j unendlich wenig um 51 gedreht, so wird sich S3 nach dem unendlich nahen Punkte S3', (5 nach dem unendlich nahen Punkte ' bewegen, sodaB die Tangenten in den Punkten s -8 und der C (3} werden. Wenn wir sodann den vierten harmonischen Punkt zu 21 $'(', der 51 zugeordnet ist, aufsuchen, so wird sich derselbe, 5([, unendlich wenig von 5^ entfernen, sodaB I **{!- 4 die Taogente in 5t, an der konischen Polare des Punktes 51, d. h. an dem Kegelschnitt 5( (2) wird, welcher durch 51 und 51, geht. Da die beiden harmonischen Punktreihen 5t ^ 93 6 perspektive Lage haben, so miissen sich |5l,5l[ , d. h. die drei Tangenten in einem Punkte schneiden, und umgekehrt, ziehen wir die beiden Tangenten t%. t% in den beiden Punkten S3 und ( der (7 (3) , verbinden ihren Schnittpunkt mit 51, , so ist diese Ver- bindungslinie die Tangente fo, im Punkte 51, der konischen Polare 51 < 2 >. Da der Punkt 93 auf der Geraden 5151! liegt, so wird die Polare von S3 nach 5l (2) durch den Schnittpunkt 21. Zusammenhang zwischen den konischen Polaren etc. der(7W. 171 der beiden Tangenten % und t% l gehen miissen, weil durch 21 und 21, geht; bezeichnen wir also den Schnittpunkt: so ist nach der vorigen Bemerkung | a 6 | die Polare von 93 nach 2l l2) . In gleicher Weise konstruieren wir die Polare von 21 nach 93 (2) . Nachdem wir den vierten harmonischen Punkt 93j ermittelt haben durch die Bedingung (9393,621) = -! und die Tangenten in 6 und 21 an der C (3) verbindeii wir ihren Schnittpunkt mit 93,; diese Verbindungs- linie ist **> die Tangente in 93, an der konischen Polare 93 U ' } ; ist dann der Schnittpunkt der beiden Tangenten so wird |b6| die gesuchte Polare von 21 nach 93 ' 2) sein. Nehmen wir nun die drei Schnittpunkte der Geraden y = | 21936 | und die drei Tangenten der C (3) in diesen Punkten und nennen die Schnittpunkte derselben so bilden die vier Geraden tx, t%, ^g, g ein vollstandiges Vierseit 7 dessen drei Diagonalpunkte sind I = (S93 2 , 6( 2 ); t, - (66,, ,); 8 = (*,, ,). Nun sind bekanntlich E9l, I?S , iE' )l > IS. vier harnionische Strahlen, folglich die vier Durchschnitts- punkte derselben mit g vier harnionische Punkte 6, 93, 21, ,, folglich geht S 21 2 1 durch 2l n und da | Sl^ j die Tangente in 2tj an der konischen Polare 2T' 2) ist, so geht dieselbe 172 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. auch durch J; der Punkt = (% fo,) ist also der vierte har- monische Punkt zu 3193 2 ( 2 , namlich und wir haben auch die vier harmonischen Strahlen (S (8, , 93 (2) einen gemeinschaftlichen Punkt <3 haben, so schneide die Gerade @5l i die C< 3 > noch in 5T und 51", (S93 S3' 33" 11 i v ~' '*-' ' 7? ?; 77 ~ 7? '*-' 7 dann m(issen ? weil S( ; 93, S auf einer Geraden liegen, die sects Punkte W, ", 93', 93", (', " auf eineni Kegelschnitt liegen ( 9, 5). Fur diesen Kegelschnitt sind @ und g Pol und Polare, weil @ sowohl auf der konischen Polare 5l (2) , als auch auf der konischen Polare 93 (2) liegt; folglich miissen auch S' und (" durch @ und g harmonisch getrennt werden und daher muB (> auch auf der konischen Polare S (2 ' liegen; dies gilt fiir jeden der vier gemeinschaftlichen Punkte der beiden konischen Polaren ?t (2) und 93 (2) . Wir sprechen so- mit den Satz aus: Wenn eine Gerade g der C (3) in den drei Punkten 21, 93, ( begegnet, so gehoren die drei konischen Polaren von denselben, 5l (2) , 93 (2) , (- 2) , eineni Kegel- schnittbiischel an, d. h. haben dieselben vier ge- meinsamen Grundpunkte. Dieser Satz gilt allgemein, unabhangig von der Realitat der Grundpunkte, wie aus folgender Betrachtung hervorgeht: Sei X ein beliebiger Punkt der C (3) und 3E (2) seine konische Polare, dann ist nach dem in 1. bewiesenen Satze die Polare von 51 nach 3E< 2 ) identisch mit der Polare a von 36 nach 5l (2 \ ebenso die Polare von 93 nach 3' 2) identisch mit der Polare b von 3 nach 93 (2) und endlich die Polare von (5 nach 3 (2) identisch mit der Polare c von X nach ( (2) . Da nun die drei Punkte SI, 93, ( auf einer Geraden g liegen, so miissen ihre drei Polaren a, b, c nach 3 (2) sich in einem Punkte schneiden (abc) == 36j, und es miissen 3 und 9j konjugierte Punkte fiir Sl (8) , 93 (2) , gleichzeitig sein. Hiernach miissen entweder 51 (21 , 93 (2) , 174 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. S (2) einem Biischel angehoren, in welchem Falle danu zu jedem Punkte der Ebene die drei Polaren nach 2l< 2 >, S3 (2) , S (2) sich in einem Punkte schneiden; oder es gehoren Sl (!j) , SS^', ( (2) nicht einem Biischel an, dann bestimmen $l (2) , 95 (2) , S (i) ein Kegel- schnittnetz, fiir welches nur besondere Punkte der Ebene, welche die Tripelkurve erfiillen, diese Eigenschaft besitzen. (7 (3) miiBte also die Tripelkurve dieses Netzes sein und 33, ein Paar konjugierter Punkte der C (8 > ( 7). Die letztere An- nahme ist aber unstatthaft. Denn unter Festhaltung der Bezeichnung in 1. ist die Polare von SI nach 2t (2) die Tan- gente t% = 31 a j, die Polare von 31 nach S3 (2) , wie wir ge- sehen haben, die Gerade | Sba und ebenso die Polare von 51 nach ( (2) die Gerade | 93 c a |; also schneiden sich auch die drei Polaren von 31 nach 3l (2 ^ 23 ( % S (2) in einem Punkte 0. Es sind demgemaB SI uud a, ebenso 58 und b, ( und c konjugierte Punkte fiir die C (3) . Da aber 31, S3, auf einer Geraden liegen, so miiBten o, 6, c ein Tripel der Tripelkurve C (8) bilden und auf derselben liegen. Andererseits sind aber a, b, c die drei Tangentialpunkte zu 3t, S3, & und miiBten also, da diese auf einer Geraden liegen, ebenfalls auf einer Ge- raden liegen. Drei Tripelpunkte liegen aber im allgemeinen niemals auf einer Geraden; dies wird also bei willkiirlicher Annahrne der Geraden g nicht eintreten, und es folgt daraus, daB die von uns geinachte Annahme unstatthaft ist, mithin die drei Kegelschnitte 2l (2) , S3 (2) , (5 (2) einem Biischel an- gehoren miissen. 3. Das Biischel der drei Kegelschnitte 2l (2 >, 33< 2 >, (' 2 > schneidet auf der Geraden g die drei Punktepaare * S3S3,, S^ aus, welche einer Punktinvolution angehoren. Dies ist auch an sich erkennbar, denn aus den drei Bedingungen durch welche die Punkte St n S3j, ^ bestimmt werden, folgt durch bekannte Umformung 21. Zusammenhang zwischen den konischenPolaren etc. der(7 (3) . 175 = (IBM*.)- 8, terner aus (aa^O = 3 (31 a t ( S3) = - , (,)- -3 und in gleicher Weise zwei analoge Beziehungen woraus hervorgeht, daB von den drei Punktepaaren aa,, , , <<, jedes durch das andere getrennt wird, well der Wert ihres Doppelverhaltnisses negativ ist. Ferner folgt aus 33) - f ^ (a^SS^) - + also woraus hervorgeht, daB die drei Punktepaare einer Involution angehoren und zwar einer elliptischen Punktinvolution, weil jedes Paar durch ein anderes ge- trennt wird. Die beiden Doppelpunkte S 7 Si dieser elliptiscben Punkt- involution sind konjugiert-imaginar. Eine solche Gruppe yon fUnf Punkten ^ ^ ^ ^ g _ nennt man ein aquianharmonisches System; ein solches zeigt wegen der harmonischen Eigenschaft der Doppelpunkte OSiaa,) = (ss^,) - oSiSs,) - - 1 die drei Projektivitaten (aSBCSS,) A ((a33,) A (CaSSSO; denn weil 31^ sowohl S3 als auch SSi harmonisch trennt, so sind ^l^lj die Doppelpunkte einer Involution, von der 1 76 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. und 33>i zwei Paare konjugierter Punkte sind; also haben wir ebenso 2) (51333) = (51(5333,) und 3) (5I33S3) = (3351(53!); aus 1) und 3) folgt aber (33(5513) = ((5335(3,) = ((551333) oder (5i 33 (53) = (33 (5 513) u. s. f. Wir erkennen hieraus, daB wenn wir aus den drei Punkten 51, 33, (5 eine cykliscne Projektivitat berstellen, indem wir den Trager als doppelt auffassen und den drei Punkten ^^. g entsprechen lassen S3, (5, oder, was daraus folgt, <, a, , alsdann die beiden cyklisch - projektiven Punktreihen die konjugiert -imaginaren Doppelpunkte CV CN 'vJ j ">S\ haben. Ein aquianharmoniscb.es System von fiinf Punkten kommt also iiberein mit einer cykliscben Projektivitat, und wir konnen den Satz aussprecben: Wenn man aus drei reellen Punkten 51, 33, (S einer Geraden eine cyklische Projektivitat berstellt, in- dem man den Trager als doppelt auffafit und den Punkten St, S3, < die Punkte S, S, 51 oder <, , S3 entsprecben laBt, wobei durcb drei Paare ent- sprechender Elemente die projektive Beziehung 21. Zusammenhang zwischen den koniachen Polarenetc. derOW. 177 festgelegt wird, dann sind die Doppelpunkte 3, 3i der projektiven Punktreihen konjugiert-imaginar und werden bestimmt als die konjugiert-imaginaren Doppelpunkte einer elliptischen Punktinvolution, welcher die drei Punktepaare W.^, 3333 X , S^ an- gehoren, wo S1 1; 33 1? S t die vierten harmonischen Punkte bedeuten. Wollen wir die Werte der Doppelverhaltnisse (5t95S3) und (^33^) berechnen, so findet sich aus 1,33^)= -3, (8^83). (5151,3^)= -3, (21 31,339) = -3. Nehmen wir so folgt - 3, und in gleicher Weise Die Werte der beiden Doppelverhaltnisse (51 33 S3) i) gehen also als die imaginaren dritten Wurzeln aus der negativen Einheit hervor. Schr6ter, Theorie der ebeuen Kurven 3. Ordn. 12 178 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. 4. Der Zusammenhang zwischen den Punkten laGt noch ein weiteres Resultat erkennen. Aus der (.-Jleichheit folgt eine Punktinvolution, der die Punktepaare angehoren 3<, 3^ mithin ^ S3) = (932130, = (^33,93), andererseits auch (33, !)-(< 3,), -(^i9HB>j also ist (33^33) = (3^,393) = (^3^ und in gleicher Weise finden wir (33! SW = (3^! 3 (5) = (^33 also haben wir die cyklischen Projektivitaten (33i !) A (S^^SC) A (aiSSi und hieraus folgt, dafi S3S als die Doppelpunkte fur eine cyklische Projektivitat auftreten, welche durch die drei Elemente 33i$li bestimmt wird. Wiiren also 33i S #i reell, so miiBten 93 und ( konjugiert-imaginar sein und wtirden durch eine reell konstruierbare elliptische Punktinvolution vertreten. Wir wollen jetzt uingekehrt $8 und (S vertreten lassen durch eine gegebene Punktinvolution, unabhangig davon, ob dieselbe hyperbolisch oder elliptisch ist, und dann die zu- gehorigen Punkte 3> 3i konstruieren oder vielniehr durch eine reell konstruierte Punktinvolution vertreten lassen, welche entweder elliptisch oder hyperbolisch sein wird. Sei aufier dem reellen Punkt 51 auf y eine Punkt- involution gegeben, deren (reelle oder konjugiert-imaginiire) Doppelpunkte 93, seien; da 1 und 5( x durch SB und harmonisch getrennt werden, so ist W l der zu 31 konjugierte 20. Zusammenhang zwischen den konischen Polaren etc. derC^. 179 Punkt in dieser gegebenen Punktinvolution; sie wird voll- standig bestimmt durch ein zweites gegebenes Paar kon- jugierter Punkte ty und ty', also die beiden Punktepaare 3131,, $$' bestiminen sie und es gilt die Gleichheit der Doppel- Die Involution, deren Doppelpuukte S, Si sind, wird bestimmt durch die beiden Punktepaare 3131, , 3333,, welche der Beuingung geniigen (5131,3593,)= -3. Sei nun der zu ty konjugierte Punkt in dieser zweiten Involution ^, genannt, also dann folgt aus den vorigen beiden die Beziehung (51 21^' S3) = (5131, und, da = -3 ist, (5131^'^) = -3 oder = -3- Diese Beziehung liefert uns den gesuchten Zusammenhang zwischen 8' und $ wir konnen sie auch so schreiben = -3 dann zeigt sie den Zusammenhang zwischen derjenigen Punktin volution ? welche durch die Punktepaare 3131, und %<$' bestimmt wird (deren Doppelpunkte 33 und ( sind), und derjenigen Involution, welche durch die Punktepaare 3131, und ^, bestimmt wird (deren Doppelpunkte 3 und 3i sind). Es geht nun aus der Beziehung hervor, daB, wenn die eine Involution hyperbolisch ist, die andere elliptisch sein rnuB und umgekehrt. 12* 180 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Es ergiebt sich auch eine leichte Konstruktion der einen Involution, sobald die andere gegeben ist; 2t2l t ist das gemeinschaftliche Paar konjugierter Punkte fiir beide Involutionen ; die zu SjS in der einen und andem Involution konjugierten Punkte sind ^8' und ^S^ Die Beziehung (2121, TO) = -3 laBt sich so schreiben 1 = 4 und vermittelst eines Hilfspunktes D Wir konnen dann iiber den Hilfspunkt D so ver- fiigen, daB (2l$'2l x B) = 2 und ($'&$,) = 2, also wird. Aus diesen harmonischen Beziehungen ist es leicht, z. B. ^ zu konstruieren, sobald *$' gegeben ist: Man suche zu a, $!,!$' den vierten harmonischen Punkt D, sodaB wird, und zu 21, B, 5)3' wieder den vierten harmonischen Punkt sodaB wird; dann ist ^, der gesuchte Punkt derart, daB durch die Punktepaare 2l2l t und SP^ diejenige Involution bestimmt wird, deren Doppelpunkte SSi sind. Im umgekehrten Fall, wenn ^j gegeben ist, werden wir ty' vermittelst des Hilfspunktes Oj aus den Beziehungen konstruieren (2t^^D x ) = -l und (a i D 1 ?p 1 ^)- -1; es tritt dabei nur Sl x an die Stelle von 21. Dies ist denn auch in Ubereinstimmung mit dem fruheren Resultat; in dem einen Falle operiert man mit 21 und den Punkten 93, S (oder der sie vertretenden Involution), in dem andern Falle mit 2l x und den Punkten 3, Si (oder der 22. Die konischen Polaren fur alle Punkte der Ebene. sie vertretenden Involution) in gleicher Weise vermittelst cyklischer Projektivitat.* 22. Die konischen Folaren fiir alle Punkte der Ebene riicksichtlich der (3) . i 1 . Nach dieser Abschweifung iiber das aquianharmonische System und cyklisch- projektive Punktreihen, wovon wir spater noch Gebrauch machen werden, kehren wir zur Betrachtung der konischen Polaren zuriick und erweitern die erlangten Resultate.** Wir haben gesehen, daB zu den drei Punkten 31, S3, &, in welchen eine Gerade g der C (3) begegnet, drei be- stimmte Kegelschnitte 3( (2) , 23 (2) , ( <2) gehoren, die konischen Polaren der Punkte, und daB diese eineni Kegelschnitt- biischel angehoren. Wir konnen nun die Punkte der Ge- raden g und die Kegelschnitte des Biischels als Elemente zweier projektiven Gebilde einander entsprechen lassen und die projektive Beziehung derselben durch diese drei Paare entsprechender Elemente festsetzen, wodurch die projektive Beziehung gerade bestimmt wird. Dann wird jedem Punkte ty der Geraden g ein bestimmter Kegelschnitt $J$ (2) des Kegelschnittbvischels eindeutig entsprechen, welchen wir die konische Polare des Punktes ty nennen wollen. Die pro- jektive Beziehung beider Gebilde konnen wir in gleicher Weise, wie in 4,5 herstellen, indem wir das Kegelschnitt- biischel auf ein Strahlbuschel reduzieren (gebildet von den Polaren eines beliebigen festen Punktes in Bezug auf die Kegelschnitte des Biischels) und dieses Strahlbuschel auf die von $P beschriebene gerade Punktreihe projektiv beziehen. Dies vorausgeschickt nehmen wir auf der Geraden g = \ 51 SB & | einen beliebigen Punkt 9$ und nennen die Polaren von 1 nach * Vergl. H. Schroter: r Zur Konstruktion eines aquianhar- monischen Systems" (Math. Annalen, Bd. X S. 240). ** Siehe A.Milinowski: n Zur synthetischenBehandlung derebenen Kurven dritter Ordnung" (Schlomilchs Zeitschrift fiir Math. u. Phys., 21. Jahrg. S. 427 flg.). 182 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. <*', 93< 2 >, < (2 >, $< bez. a, 6, c, p, welche ein Strahlbiischel bilden, projektiv mit dem Kegel- schnittbiischel W 2 \ 93 (2) , ( (2) , ^8 (2) . Nennen wir andererseits die Polaren der Punkte a, S3, c, sp nach dem Kegelschnitt 5l (2) bez. a, V, c', /, so bilden auch diese ein Strahlbiischel, projektiv mit der Punktreihe 51, S3, S, ty. Da nun Punktreihe und Kegel- schnittbiischel selbst projektiv zueinander sind, so folgt (abcp) A (ab'c'p'); es ist aber nach unserem fundamentalen Satze 21, l 6 = b', c = c', folglich ist auch l)=y, d. h.: Die Polare von 51 nach ^ (L)) ist identisch mit der Polare von ty nach 5l (2) . Nehmen wir weiter zwei beliebige Punkte ^5 und O der Geraden g und nennen ihre konischen Polaren ^5 (2) und D (2) , so werden die Polaren von ^ nach bez. a, 6, c, j>, g ein Strahlbiischel bilden, welches mit dem Kegelschnitt- buschel KWSBWC^^WDW projektiv ist, und die Polaren der Punkte , S3, C, ^, O nach S|$ (2) bez. a', 6', c', p, q' werden ein Strahlbiischel bilden, welches mit der Punkt- reihe $fS3($BG projektiv ist. Da nun Punktreihe und Kegel- schnittbiischel selbst projektiv zueinander sind, so folgt (abcpq) A (a'b'c'pq 1 ). 22. Die konischen Polaren fur alle Punkte der Ebene. 183 Nach dem vorigen Satze ist aber a ~- a', b = b', c ~ c', folglich muB auch q~q' sein, d. h.: Die Polare von ty nach Q (2) ist identisch mit der Polare von D nach $$ (2) . Nehmen wir einen beliebigen Punkt ^ in der Ebene imd ziehen durch ihn eine Gerade g, welche der (7 (3) in den Punkten 81, 33, ( begegnet, wiihlen sodann einen beliebigen Punkt X der (7 (3) aus und konstruieren die konischen Polaren >, S3 (i) , < 3) , $ 12 >, (2) > so gehoren eineni Biischel von Kegelschnitten an, in Bezug auf welche die Polaren von X seien a, b,.c, p, die ein Strahlbiischel bilden, projektiv mit dem Kegel- schnittbuschel %& S3 (2 >6 (2) ^ (2) . Nehmen wir andererseits von , 93, e, ? die Polaren nach 36 (2) bez. a' 1)' r' ' " > i c t P ) so bilden diese ein Strahlbiischel, projektiv mit der Punkt- reihe 51 S3 S ty. Da aber Kegelschnittbiischel und Punktreihe selbst projektiv zueinander sind, so folgt (abcjt) A (a'b'c'p')] es ist aber nach dem Fundamentalsatz ( 21, i) M' rr^: d + mr C ^^ C folglich ist auch j> = j) f , d. h.: Die Polare von 3 nach ty w ist identisch mit der Polare von 9$ nach 3 (2) . Halten wir jetzt den Punkt ^S fest, ziehen aber durch ihn eine andere Gerade welche der Kurve (7 (3) in den 184 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Punkten SI,, 95,, (, begegnet, so konnte die konische Polare von ty in gleicher Weise fiir diese Gerade g i konstruiert, moglicherweise ein anderer Kegelschnitt ^S, werden. Die Polare von 3 nach 9$^ muBte aber wieder identisch werden mit der Polare von ty nach 3E (2) , und da diese ungeandert bleibt, so miiBte 3 dieselbe Polare haben fiir beide ver- schieden angenommene Kegelschnitte ty (2 > und ^[ 2) . Dies gilt aber fiir jeden Punkt 36 der C^\ was nicht anders mog- lich ist, als wenn die Kegelschnitte SJ$ (2) und ty selbst identisch sind. Wir haben also den Satz gefunden: Fiir alle durch einen Punkt ty in der Ebene ge- zogenen Strahlen q, q 1} q 2 . . . , welche in den Punkte- tripeln ST93S, %&& S1 2 93 2 S 2 , ... der C& begegnen, ist die in der oben angedeuteten Weise konstruierte konische Polare immer ein und derselbe Kegel- schnitt $P (2) . Die konische Polare ^$ (2) des beliebigen Punktes ^ in der Ebene ist also unabhangig von dem durch ty gezogenen Strahle g = S199S . 3. Die konische Polare ^S (2) eines Punktes ^ in der Ebene ist vollstandig bestimmt, sobald es durch ty eine Gerade g giebt, welche der C ( ^ in drei reellen Punkten SI, 95, 6 begegnet. Ob es aber durch einen willkiirlich in der Ebene angenommenen Punkt ^5 immer solche Gerade g giebt, bleibt dahingestellt. Wir konnen uns vermittelst des vorigen Satzes in folgender Weise helfen: Nehmen wir drei beliebige Punkte SI, 95, ( der C (3 \ die nicht auf einer Geraden liegen, und konstruieren die drei konischen Polaren so ist, wie wir wissen, die Polare von nach Sl (2) identisch mit der von St nach n (J(2) n ^ ?; r> se nun fl die p okre yon ^ nach 51 ( ft i 93 (2) f; n n j> T 5 >? "" ; C W 77 ^T 77 ^ 7 22. Die konischen Polaren fur alle Punkte der Ebene. so sind mit ^ auch a, b, c gegeben und fur den zu suchen- den Kegelschnitt ^8 (2) mussen 3( und a, 93 und b, ( und c Pole und Polaren sein, wodurch ^ (2) schon mehr als be- stimmt 1st (Th. d. Keg. S. 433). Wir erreichen dasselbe Ziel auch auf folgende Art: Nehmen wir drei beliebige Gerade g 1} g 2} g S) die nicht durch denselben Punkt gehen, aber die Eigenschaft besitzen, daB jede der C (3) in drei reellen Punkten begegnet ft- Bestimmen wir von diesen neun reellen Punkten die ko- nischen Polaren Q(<) 5g(2) ff(2) or (2) ^(2) g (8) (*) ^(2) g () **! > "^1 ; ^1 7 ^2 > ^2 ? ^2 } **& ) "3 > ^3 und ziehen durch den gegebenen Punkt 9$ eine beliebige Gerade g, welche g l} g 2) g 3 in den Punkten ^8 1; ^S 2 , ^S 3 trifft, dann mussen die konischen Polaren dieser drei Punkte drei Kegelschnitte sein, die einem Biischel angehoren und projektiv entsprechen den Punkten ty l} ^5 2 , ^ 3 der geraden Punktreihe auf g. Aus diesem Biischel nehmen wir jetzt den einzigen vollig bestimmten Kegelschnitt ^P {2) ? welcher der Projektivitat geniigt und dadurch gefunden ist. Die vorige Behauptung, auf welche wir uns stiitzen, daB ${ 2 ', ^ 2 (2) , ^ 2) einem Kegelschnittbuschel angehoren, ergiebt sich namlich so: Da die konische Polare ^P (2) eines Punktes ^ unabhangig von der durch *$ gezogenen Geraden g ist, so gilt der fun- damentale Satz, welcher friiher nur fur zwei Punkte ty und O einer Geraden g erhartet war, die in den reellen Punkten S(, S3, S die C (3) schneidet, jetzt allgemein: jgg Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Sind irgend zwei Punkte ty und D in der Ebene gegeben und ty ( *\ Q (2/ ihre konischen Polaren, so ist die Polare von ty nach D (:JI identisch mit der Polare von G nach ^5 <2) . Nehmen wir nun drei Punkte ^, s $ 2 , ^5 3 auf einer beliebigen Geraden y irgendwie an und sind ihre konischen Polaren ^f', $f } , $.[ 2) ; ist ferner G ein beliebiger Punkt der Ebene und G^ seine konische Polare, so wird die Po- lare von tyi nach C (2) identisch mit der von d nach *$['', . Ps ;> i *- i J? 11 11 n "^ it 1*8 5 seien diese drei Geraden p lt p. 2j p 3 , so schneiden sie sich als Polaren von drei Punkten einer Geraden y in Bezug auf denselben Kegelschnitt O (2) in einem Puukte, und daher haben auch die drei Kegelschnitte $J 2) , <$ ( *\ $f' die Eigenschaft, daB fur jeden Punkt O in der Ebene seine drei Polaren sich in einem Punkte schneiden; daraus folgt aber, daB die drei Kegelschnitte ty ( *\ *$f\ ^f } einem Biischel angehoren miissen. Wir konnen also jetzt den Satz allgemein aussprechen: Die konischen Polaren zu samtlichen Punkten $P einer beliebigen Geraden y bilden ein Kegel- schnittbiischel mit denselben vier reellen oder paarweise konjugiert-imaginaren Grundpunkten. 4. Wir nennen die vier Grundpunkte dieses zu der Ge- raden g gehorigen Kegelschnittbiischels die Pole der Ge- raden y riicksichtlich der C (3) , und konnen mit dieser Be- zeichnung den vorhin bewiesenen Satz (2.), welcher die Unabhangigkeit der konischen Polare ^5 (2) des Punktes 'p von der durch ty gezogenen Geraden g ausspricht, so for- mulieren : Fiir alle Geraden g, die durch einen uud deij- selben Punkt ty gehen, liegen die je vier Pole riick- sichtlich der C (3) auf einem und demselben Kegel- schnitt, namlich auf der konischen Polare ^S (2) des Punktes . 23. Die konischen und die geraden Polaren etc. 187 Fallen insbesondere von den Schnittpunkten $, 33, & einer durch 9$ gezogenen Geraden g zwei zusammen, d. h. wird der durch ^ gezogene Strahl g eine Tangente der C (3 \ so fa] It von ihren vier Polen offenbar einer nach S3 = (, denn der Kegelschnitt 3l (2) geht durch 9^, welcher Punkt in diesem Falle niit 33 und zusammenfallt, und der Kegelschnitt 33 (2) geht auch durch 93, folglich geht auch die konische Polare ^ (2) durch jeden Beriihrungspunkt einer aus ty an die G'< 3) gelegten Tangente, und da der Kegel- schnitt $P (2) die G Y(3) im allgemeinen in sechs Punkten schnei- det, so erhalten wir den Satz: Aus einem beliebigen Punkte ty der Ebene gehen im allgemeinen sechs Tangenten an die C (3) ; ihre sechs Beriihrungspunkte liegen auf einem Kegel- schnitt $|5 (2) , der konischen Polare des Punktes ^5. Liegt der Punkt ty insbesondere auf der (7 (3) selbst, so fallen zwei von den sechs Tangenten in die eine Tangente fur ^5 selbst hinein und es bleiben nur noch vier weitere Tangenten iibrig, was der friihere von uns erbrterte Fall ist. 23. Die konischen und die geraden Folaren riick- sichtlich der C (3 > von den Punkten der Ebeue. 1. Wir haben gesehen, da6 zu jedem Punkte ty der Ebene ein bestimmter Kegelschnitt $|3 (2) gehort, seine ko- nische Polare riicksichtlich der C (3) , die reell konstruiert werden kann. Nehmen wir von demselben Punkte ^5 die gewohnliche Polare in Bezug auf den Kegelschnitt ^ (2) und nennen diese Gerade die gerade Polare von ^ riicksichtlich der C (3) oder die zweite Polare des Punktes ^5, so stehen diese drei zu- sarninengehorigen Elemente ?, ? (2) , P in enger Verbindung initeinander, die wir jetzt naher unter- suchen wolleu. Liegt ^8 insbesondere auf der C (3) selbst, Theorie der ebenen Kurren dritter Ordnnng. so ist seine gerade Polare p die Tangente in ty an der Nehmen wir auf der Geraden p einen beliebigen Punkt Q an, dessen konische Polare O (2) sei, dann sind offenbar $P und Q konjugierte Punkte riicksichtlich des Kegelschnitts $ (2) , also mu6 die Polare von Q nach $P (2) durch ty gehen. Nach dem Fundamentalsatz ( 22, 3) ist aber die Polare von $P nach D (2) identisch mit der Polare von Q nach $P (2) , also muB auch die Polare von $P nach Q, (2> durch ty gehen; wenn aber die Polare von 9$ nach O (2) durch $P selbst geht, so muB 9$ ein Punkt des Kegelschnitts D (2) sein und die Polare von $P die Tangente an D (2) in diesem Punkte, also gilt der Satz: Wird auf der geraden Polare p eines beliebigen Punktes $P riicksichtlich der C (3) irgend ein Punkt D angenommen, so geht seine konische Polare D (2) allemal durch den anfanglichen Punkt $p. Nehmen wir andererseits auf der konischen Polare $P (2) eines Punktes ty einen beliebigen Punkt D an, dessen ko- nische Polare >Q (2) sei, dann wird, weil D auf ^ (2) liegt, die Polare von D nach ^5 (2) durch O selbst gehen, namlich die Tangente in Q am Kegelschnitt ^S (2) sein. Da aber die Polare von D nach ^8 (2) identisch ist mit der Polare von ^5 nach Q (2) , so liegt D auch auf der Polare von ^S nach D (2) . Die Punkte ^5 und D sind daher konjugierte Punkte fur den Kegelschnitt O {2) , also muB ^5 auf der Polare von Q nach D (2) , d. h. auf der geraden Polare q liegen, und wir erhalten den Satz: Wird auf der konischen Polare s $ (2) eines belie- bigen Punktes $P riicksichtlich der C (3) irgend ein Punkt D angenommen, so geht die gerade Polare q desselben allemal durch den anfanglichen Punkt ty. Hiernach 1'aBt sich zu einer gegebenen konischen Polare ^P <2) derjenige Punkt ty ermitteln, dessen konische Polare die gegebene ist; wir brauchen nur auf ^S {2) zwei beliebige Punkte D und Q' anzunehmen und deren gerade Polaren 23. Die konischen und die geraden Polaren etc. 189 q und q' zu konstruieren, um ihren Schnittpunkt (qq 1 ) = ty zu finden. Wir konnen den vorletzten Satz auch umkehren: Nehmen wir auf einer Geraden p zwei Punkte d und D! an, so miissen ihre konischen Polaren d (2) und d| 2) durch denjenigen Punkt gehen, dessen gerade Polare p ist. Da sich aber die beiden Kegelschnitte d (:2) und df im all- gemeinen in vier Punkten ty, ty l} *>$ 2 , S|3 3 schneiden, so mu8 fur jeden derselben p die gerade Polare sein; wir schlieBen also : Eine beliebige Gerade p in der Ebene besitzt die Eigenschaft, dafi fiir jeden ihrer vier Pole die gerade Polare diese Gerade p ist. 2. Gehen wir von drei beliebigen Punkten der Ebene aus, die nicht auf einer Geraden liegen, und bestimmen die konischen Polaren derselben nehmen sodann einen beliebigen vierten Punkt 36 der Ebene und seine konische Polare 3 (2) , so werden die beiden Geraden sich in einem Punkte ^) schneiden, dessen konische Polare ^) (2) sowohl dem Kegelschnittbiischel angehort, welches durch die beiden Kegelschnitte ^ 2) und 3 (2) bestimmt wird, als auch dem Kegelschnittbiischel, welches durch die beiden Kegelschnitte ^ 2) und ^^ bestimmt wird, weil die drei konischen Polaren von drei Punkten einer Geraden immer einem Kegelschnittbiischel angehoren ( 22, 4). Wir konnen demnach zu dem Kegelschnitt 3 (2) so gelangen von den drei gegebenen Kegelschnitten aus daB wir aus dem Biischel [^8.[ 2) ^Pg" 1 ] einen beliebigen Kegel- schnitt 9) (s!) herausnehmen, ihn mit ^, (2) zur Bildung eines neuen veriinderlichen Kegelschnittbiischels [^P{ S) ) C2< ] zusam- 190 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. menstellen und aus diesem Biischel den Kegelschnitt 3 (:i) herausnehmen. Aus dieser Bildungsweise erkennen wir nach 7 : Die konischen Polaren zu samtlichen Punkten der Ebene bilden ein Kegelschnittnetz, die koni- schen Polaren zu den Punkten einer Geraden ein Kegelschnittbiisehel, welches dem Netze angehort, und je zwei Kegelschnittbtischel des Netzes haben einen gemeinschaftlichen Kegelschnitt, namlich die konische Polare desjenigen Punktes, in welchem sich die beiden Geraden schneiden ; deren Punkte die Kegelschnitte der beiden Biischel zu konischen Polaren haben. 3. Wenn wir von alien Punkten Q einer Geraden p die konischen Polaren O (x) aufsuchen, so bilden dieselben, wie wir wissen, ein Kegelschnittbiischel mit vier Grund- punkten. In diesem Kegelschnittbiischel giebt es im allge- meinen drei Linienpaare; suchen wir insbesondere diejenigeu drei ausgezeichneten Punkte der Geraden p D lf O,, D 3 auf, deren konische Polaren in Linienpaare ausarten, und bezeichnen diese Linienpaare D(2) r; ;M cM 2 > r; ?M cM 2 ) r; ;' i ! =lh / iJ> O a "L*VJi ^a =L* 3 '3J- Die Doppelpunkte (Schnittpunkte) der drei Linienpaare (W = <\>, (W = ^ (?. = q, und bilden ein gemeinsames Polardreieck (selbstkonjugiertes Dreieck) fiir alle Kegelschnitte des Biischels. Da nun nach unserm Fundamentalsatz die Polare von Dj nach dem Kegelschnitt [? 2 ^] identisch ist mit der Polare von O 2 nach dem Kegelschnitt [^^J, die erstere aber durch den Punkt q 2 , die letztere durch den Punkt qj gehen muB, so ist sie die Verbindungslinie Ptq^!? un( ^ es mussen daher die vier Strahlen / 2 , l[ vier harmonische Strahlen, l l v ^ er harmonische Strahlen sein. 23. Die konischen und die geraden Polaren etc. 19 i Ferner bilden die Punkte q,, q.,, q 3 das Diagonaldreieck des vollstandigen Vierecks, (lessen drei Seitenpaare /, l[ , / 2 / 2 ', / 3 /,', sind; folglich muB der vierte harmonische Strahl zu /i/j und der Diagonale q x q 2 1, letzterer zugeordnet, durch q 3 gehen, also niiissen ^ &2 auf einer Geraden liegen, ebenso auf einer Geraden, und in gleicher Weise erkennen wir, daB auch <\i, ^3 zerfallen, liegen derartig auf dieser Geraden p, da6 2 G 3 durcb das Linieupaar /^J, *"*3 *-*! )7 r> ^2 ^2 > **i ^ n )> 's ^s harmoniscb getrennt werden. 4. Wir sucben jetzt umgekebrt zu den Punkten q,, q 2; q 3 , den Doppelpunkten der drei in Linienpaare ausgearteten konischen Polaren, selbst ibre koniscben Polaren (*) (2) ') HI Hj > HS auf. Da die gerade Polare von Oj , d. b. die Polare von Q x rucksicbtlich des Linienpaares l^ durch qj gebt, so muB die koniscbe Polare q[ 2) durcb den Punkt D 1 geben (1.); ferner sind q x und q^al Pol und Polare fiir alle Kegel- scbuitte des Biiscbels von konischen Polaren samtlicber Punkte O der Geraden p. Nun ist nacb unserem Funda- mentalsatz die Polare von O nach q : identiscb niit der Polare von q t nacb D (2) , d. b. mit der Geraden | qaqs^ | = q^ also muB der noch unbekannte, durch l x gehende Kegel- scbnitt q| 2) die Eigenschaft besitzen, daB fiir alle Punkte O der durch O 1 gehenden Geraden p die Polaren in eine und dieselbe Gerade q l zusammenfallen. Dies ist nicbt anders inoglich, als wenn der Kegelscbnitt (|* in ein Linienpaar ausartet, welches in C^ seinen Doppelpunkt bat und bar- moniscb getrennt wird durch die Geraden p und q r Wir baben also das Resultat gewonnen: Wenn die koniscbe Polare eines Punktes Oj in ein Linienpaar ausartet, dessen Doppelpunkt q t ist, 23. Die konischen und die geraden Polaren etc. 193 so muB auch die konische Polare von q t in ein Linienpaar ausarten, dessen Doppelpunkt O 1 ist. Da nun die samtlichen konischen Polaren 3 (2) aller Punkte 3 der Ebene ein Kegelschnittnetz bilden (2.) und die Doppelpunkte der in Linienpaare ausartenden Kegel- schnitte eines Netzes auf einer Kurve dritter Ordnung lie- gen ( 5, 4), so folgt: Diejenigen Punkte in der Ebene einer C i3 \ deren konische Polaren in Linienpaare ausarten, sowie auch die Doppelpunkte dieser Linienpaare liegen samtlich auf einer neuen Kurve dritter Ordnung H^, welche die Hessesche Kurve von der gegebenen <7 (3) genannt wird. Die umgekehrte Aufgabe, wenn ein Netz von Kegel- schnitten gegeben ist, zu jedem derselben denjenigen Punkt zu finden, dessen konische Polare er sein soil, d. h. ein gegebenes Kegelschnittnetz als ein Netz konischer Polaren herzustellen, wird so gelost: Wir diirfen drei in Linienpaare ausgeartete Kegelschnitte des Netzes welche nicht die drei Seitenpaare eines und desselben voll- standigen Vierecks sind, als zur Bestimrnung des Netzes notwendig und hinreichend, willkurlich annehmen. Es wiirden dann die drei Punkte 3l u 5I 2 , $ 3 zu ermitteln sein, deren konische Polaren die gegebenen Linienpaare 51 sind. Bezeichnen wir die Schnittpunkte (W=7i, () = *, (7.'J)-a,, die Verbindungslinien I a 2 3 !=5 u \Wi\ = %, \*i*9\ = Ss die vierten harmonischen Strahlen s[t[, s^t' 2 , s' 3 t^ so muB, wie wir wissen, die Polare von 5I X nach 31^ iden- tisch sein mit der Polare von 21 2 nach 21^ sie geht aber SchrOter, Theorie der ebenen Kurren 8. Ordn. 13 ]94 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. notwendig, weil beide Kegelschnitte Linienpaare sind, so- wohl durch 02 als auch durch a 1? ist folglich die Gerade s. d und ihr Pol nach 51^ ? d. n - der Punkt 5l t liegfc auf der vierten Harmonischen s' s , ihr Pol nach 9l| 2) liegt auf der vierten Harmonischen t' 3 > a ^ so 9lj liegt auf sj, $2 liegt auf t' 3 -, ebenso folgt: S1 2 liegt auf s[, 51 3 liegt auf t[, 91 ' 91 /' ^3 H n *2 ? *1 7) ' ? folglich sind die drei Punkte gefunden. Wir kbnnen jetzt zu jedem beliebigen Kegelschnitt des Netzes 3 (2) denjenigen Punkt X finden, dessen konische Po- lare 3 ist; da die Polare von 3^ nach 3 (2) bekannt ist und identisch mit der Polare von X nach 21J" , so ist ihr Pol X nach dem bekannten Kegelschnitt 8^ auf der vierten har- monischen zu der bekannten Geraden riicksichtlich des Linien- paares l^ gelegen, ebenso fiir 5(., ; der Durchschnittspunkt beider vierten Harmonischen ist also der gesuchte Pol 36. Auch umgekehrt lafit sich zu jedem Punkte die ko- nische Polare 3 (2) aus dem Netze herstellen. (Vergl. die von Cremona in der Abhandlung: ,,Sopra alcune question! nella teoria delle curve piane" [Annali di Matematica pura ed applicata torn. VII N. 4] gegebene Lo- sung dieses Problems.) Wollen wir die Punkte der Fundamentalkurve (7 (3) er- mitteln, fiir welche das gegebene Kegelschnittnetz das Netz der konischen Polaren ist, so werden wir fur irgend ein in dem Netze enthaltenes Biischel von Kegelschnitten die Punkte bestimmen, deren konische Polaren die Kegelschnitte des Biischels sind. Diese Punkte liegen auf einer Geraden g und bilden eine gerade Punktreihe, die projektiv ist mit dem Kegelschnittbuschel. Die drei incidenten Elemeute der beideu projektiven Gebilde auf der Geraden g sind die drei Punkte der Fundamentalkurve 6 1(3) auf dieser Geraden. 23. Die konischen und die geraden Polaren etc. 195 5. Wir erkenuen leicht, daB fur die Hessesche Kurve die Punktepaare Dj und q u C 2 und q 2 , O 3 und q 3 konjugierte Punkte in deru friiheren Sinne sind ( 2, 5), denn q t und | q 2 q 3 di | siud Pol und Polare fur das ganze Biischel von Kegelschnitten, welches dem Netze angehort und aus den konischen Polaren der Punkte von der Geraden p be- steht: ferner geht die Polare von q t in Bezug auf den dem Netze angehorenden Kegelschuitt q>, der in ein Linienpaar mit dem Doppelpunkt Qj ausartet, auch durch den Punkt G t , also sind q t und G t konjugierte Punkte fur drei nicht. demselben Biischel angehorende Kegelschnitte des Netzes, mithin fur samtliche Kegelschnitte desselben, d. h. konju- gierte Punkte fiir die H (s \ Wir konnen also dem vorigen dies neue Resultat hinzufugen: Wenn fiir einen Punkt D x in der Ebene der (7 (3) die konische Polare in ein Linienpaar mit dem Doppelpunkt q t ausartet, so sind Cj und q r ein Paar konjugierter Punkte der Hesseschen Kurve jH (3) , welche von siimtlichen Punkten O, und qj erfiillt wird. Aus einem Paar koujugierter Punkte der JE/ (3) lassen sich in bekannter Weise unendlich viele weitere Paare der- selben ableiten. Fiir jedes solche Paar gilt nun auch der umgekehrte Satz: Jedes Paar konjugierter Punkte der H (3) besitzt die Eigenschaft, daB der eine dieser Punkte zur konischen Polare riicksichtlich der (7 (3) ein Linien- paar hat, dessen Doppelpunkt der andere ist. <>. Diejenigen besonderen Punkte der Kurve C (3 \ deren konische Polaren in Linienpaare ausarten, miissen nach dem Vorigen gleichzeitig auf der Kurve # (3) liegen, also die Durchschnittspunkte der beiden Kurven C< 3) und H (3 sein, deren Anzahl im allgemeinen neun ist. Diese Punkte haben eine besondere Eigentiimlichkeit. Nennen wir 28 einen solchen Punkt der C (S \ dessen konische Polare in ein Linienpaar zerfallt, so mu6 die Tangente % der (3) im Punkte 2S, weil sie auch die konische Polare in 2B beriihrt, entweder 1.3* 196 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. ein Teil derselben sein, oder 28 muB der Doppelpunkt des Linienpaares sein, in welches 223 (2) ausartet. Letzteres ist aber nicht der Fall, denn jeder durch den Doppelpunkt des Linienpaares gehende Strahl kann keinen weiteren Punkt desselben enthalten. Durch 28 gehen aber offenbar unend- lich viele Strahlen, welche noch andere Punkte von 28 (2) enthalten; also umB fa ein Teil des Linienpaares sein, und alle iibrigen Punkte von 2B (2) miissen auf dern andem Teil des Linienpaares, d. h. auf einer Geraden liegen. Nennen wir diese Gerade w, dann ist die konische Polare SB< [fowl Die Gerade w schneidet nun im allgemeinen die C (3) in den drei Punkten tt^, tt) 2 , tt) 3 ; der Punkt 28 sendet aber im allgemeinen ein Tangentenquadrupel an die C {S) , von dem I 28tt), I, i 2Btt) 9 I, ! 2Btt) I drei Tangenten sind, die vierte muB x I / i 31/1 o i o / daher ihren Beruhrungspunkt auf fa, dem andern Teile des Linienpaares haben; fa beriihrt C (3) selbst in 28; der dritte Schnittpunkt von fa kann nicht von 28 verschieden sein, denn sonst muBte, wenn er 225' ware, | 2828' | auch Tangente in 28' sein, also fa Doppeltangente, was widersinnig ist; es muB also 228' in 28 hineinfallen, folglich fa eine Wende- tangente sein, welche die C (3) in drei zusammenfallenden Punkten 28 schneidet, und 28 selbst ein Wendepunkt der C (3) . ,Wir haben also dies Ergebnis: Wenn fiir einen Punkt 28 der C (3 ~> die konische Polare in ein Linienpaar ausarten soil, so muB 28 ein Wendepunkt der C (3) sein; seine konische Polare zerfallt alsdann in zwei Gerade, von denen eine die Wendetangente t& ist und die andere w die harmo- nische Polare des Wendepunktes genannt wird, namlich der Ort der vierten harmonischen Punkte auf alien durch 28 gezogenen Strahlen zu 28 zu- geordnet, rucksichtlich des iibrigen Paares von Schnittpunkten mit der C (3) . Aus dem vorigen Resultat folgt somit: Eine gegebene Kurve C (S) wird von ihrer Hesse- schen Kurve H (S) (d. h. dem Ort der Doppelpunkte 23. Die konischen und die geraden Polaren etc. 197 aller in Linienpaare ausgearteten konischen Polaren fur die C (3) ) in den Wendepunkten der (7< 3) durch- schnitten. Da filr den Wendepunkt 28 die konische Polare in das Linieupaar zerfallt, dessen einer Teil % (die Wendetangente) und dessen anderer Teil die Gerade w (die harmonische Po- lare des Wendepunktes) ist, so wird der Schnittpunkt (fc, w) = 28 X der Doppelpunkt dieses Linienpaares sein, also auch ein Puukt der H (3) sein, und zwar sind (nach 5.) 235 und 2B t konjugierte Punkte fiir die H (3 \ Es muB also auch die konische Polare von 28 1 in ein Linienpaar zerfallen, dessen Doppelpunkt 28 ist. Die Verbindungslinie | 28 2B t | wird nun die H (3) noch in einem dritten Punkte 28 2 schneiden, dessen konische Polare riieksichtlich der C (3) in ein drittes Linien- paar zerfallen muB. Die beiden Linienpaare fur 28 und SB^ bestimmen aber ein vollstandiges Viereck, fiir dessen drittes Linienpaar der Doppelpunkt der konjugierte Punkt beziig- lich der H (3) zum Punkt 28 2 ist. Dieses vollstandige Vier- eck artet selbst aus ? indem das dritte Linienpaar mit dem Linienpaar, dessen Doppelpunkt 28 ist, zusamnaenfallt ; also muB auch der konjugierte Punkt zu 28, d. h. der Punkt 2B t mit 28 2 zusammenfallen; mithin ist die Gerade | 2828! | die Tangente an der H &) im Punkte 28j, wie sie die Tangente der C& im Punkte 28 ist. Fur die Kurve H ist mithin der Punkt 28 gleichzeitig der Tangentialpunkt und der kon- jugierte Punkt zu 2B r Wir haben nun in 7, 5 gesehen, daB ein solcher Punkt einer Kurve dritter Ordnung, welcher der Tangentialpunkt seines konjugierten Punktes ist, ein Wendepunkt der Kurve sein muB. Hieraus folgt, daB der Punkt 28 zugleich ein Wendepuukt fiir die Kurve H (3) sein muB, wie er schon ein Wendepunkt fiir die C (3) ist; also: Die gegebene <7 (3) und ihre Hessesche -H (3) schnei- den sich in solchen neun Punkten, welche fiir jede derselben die Wendepunkte sind. Wir konnen die Hessesche Kurve H^ wieder als eine gegebene C auffassen und dann von ihr die Hessesche Kurve 198 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. suchen u. s. f., dann erhalten wir ein ganzes Biischel von Kurven dritter Ordnung, die samtlich dieselben neun Grund- punkte haben ( 11) und wir schlieBen hieraus: Alle Kurven dritter Ordnung, welche durch die neun Wendepunkte einer C (S) hindurchgehen, haben diese Punkte selbst zu ihren Wendepunkten. Wir kommen auf ein solches Biischel von Kurven dritter Ordnung, welches ein syzygetisches Biischel genannt wird, noch bei spaterer Gelegenheit zuriick. 24. Die Polokoniken von den Geraden in der Ebene riicksichtlich der 1. Wir haben gesehen, daB zu jedem Punkte Q in der Ebene nicht bloB eine konische Polare Q, (2) , also ein Kegel- schnitt, sondern auch eine gerade Polare q, namlich die Polare von Q nach sQ (:!) gehort. Suchen wir jetzt zu alien Punkten C einer Geraden p den von ihren geraden Polaren q umhtillten Ort auf. Da die zu den Punkten C der Geraden p gehorigen konischen Polaren O (!!) , wie wir wissen, ein Kegelschnittbiischel bilden, welches projektiv ist mit der von Q, beschriebenen geraden Punktreihe auf dem Trager p, so nehmen wir auf p die Punkte DI, Q 2 , 3 , . . . an, bestimmen die konischen Polaren derselben D (2) n (2) n (2) ^1 > ^2 > ^3 ' welche einem Kegelschnittbtischel angehoren, und nennen die Polare von D! nach O^ 2 ' die gerade Polare q^ n r> (2) >? )> *^ie ?). '*~ i -2 n n 27 Q n (2) a r> ^S M x ^3 T> n 13 U. S. f. Ferner wissen wir, daB die Polaren irgend eines Punktes d in Bezug auf samtliche Kegelschnitte eines Biischels durch einen festen Punkt q laufen und ein einfaches Strahlbiischel beschreiben, projektiv mit dem Kegelschnittbiischel. Wir 24. Die Polokoniken von den Geraden in der Ebene etc. 199 nennen q den konjugierten Punkt zu D rucksichtlich des Kegelschnittbuschels, well D und q konjugierte Punkte fUr samtliche Kegelschnitte des Biischels sind. Sei also der zu O x rucksichtl. des Kegelschnittbuschels konjug. Punkt q u 77 77 ^2 7> 77 7' 77 77 "'27 77 77 **3 '7 7' 77 77 77 *13 u. s. f. Nennen wir ferner den Pol der Geraden p rucksichtlich des Kegelschnitts D* den Punkt p 1; n (2) h 77 77 77 "*;} 77 77 T 2 7 SV 2) n 7? 77 77 ^S 77 77 r37 U. S. f., dann erfullen die samtlichen Punkte q 1; q 2 , q s , ... und Pi 7 Pa 7 37 einen und denselben Kegelschnitt jiff) den Polarkegelschnitt der Geraden p rucksichtlich des Kegel- schnittbiischels der konischen Polaren. Denn nehmen wir von irgend zwei festgehaltenen Punkten D ( und l* der Ge- raden p die Polaren rucksichtlich aller Kegelschnitte des Btischels, so erhalten wir zwei projektive Strahlbiischel mit den Mittelpunkten q, und q^, weil beide Strahlbiischel mit dem Kegelschnittbiischel projektiv sind. Der Schnittpunkt zweier entsprechender Strahlen dieser beiden projektiven Strahlbuschel ist aber ein Punkt p, der Pol von p = \ D;D* in Bezug auf einen Kegelschnitt des Buschels; das Erzeugnis der beiden projektiven Strahlbuschel, d. h. der Ort der Punkte p ist ein Kegelschnitt p ( -\ welcher selbst durch q, und q t . geht, also auch durch samtliche Punkte q 1? q 2 , q s , . . ., wodurch die vorige Behauptung erwiesen ist. 2. Nehmen wir nun von einem beliebigen Punkte 1, der Geraden p die Polare in Bezug auf O^, irgend einen Kegelschnitt des Buschels der konischen Polaren, so muB dieselbe durch p A gehen, weil D; auf p liegt; sie muB auch durch q,- gehen, weil q,- der konjugierte Punkt zu D, ruck- sichtlich aller Kegelschnitte des Buschels ist, also ist die 200 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Polare von d ( - nach d* 2) die Verbindungslinie | q,- p t | , und insbesondere ist die Polare von d nach d t (2) die Verbindungslinie | q,-p.-|. Da aber nach unserm Fundainentalsatze die Polare von d/ nach i^ identisch ist mit der Polare von d* nach D ( W so muB h-p* -h*p/| sein, und alle vier Punkte nmssen auf derselben Geraden liegen; sie miissen aber auch, wie wir gesehen haben, alle vier auf dem Kegelschnitt p (2) liegen, was nicht anders mog- lich ist, als wenn q.- = q* = p* ist (denn solange d/ und d* verschieden angenoniniene Punkte sind, kann nicht q ( mit q t identisch sein, auch nicht p,- mit p*), Dies ergiebt folgenden Satz: Der Pol p,- der Geraden p in Bezug auf einen Kegelschnitt D* des Buschels der konischen Po- laren fallt zusammen mit demjenigen Punkt q,-, welcher der konjugierte Punkt zu d,- ist riicksicht- lich des Kegelschnittbiischels (wahrend O. die ko- nische Polare zu Q, ist). Da allgemein die Polare von D, nach O^ } immer die Gerade | q,-^-| ist (oder q*p,-|), wo q ( - und p* beide auf dein Kegelschnitt jp (2) liegeii, so wird, wenn wir D^ 2) in D ( . iibergehen lassen, weil alsdann p,- mit q t - zusammenfallt, die Gerade | p,- q t - | in die Tangente am Kegelschnitt p & iui Punkte p,- oder q, iibergehen miissen, und wir gelangen zu dem Resultat: Die Polare g, eines beliebigen Punktes d,- der Geraden p in Bezug auf die zugehorige konische Polare df } ist die Tangente am Kegelschnitt p (Z) in demjenigen Punkte q,, welcher dem Punkte d,- in Bezug auf das Biischel der konischen Polaren kon- jugiert ist und der zusammenfallt mit dem Pol der Geraden p in Bezug auf den Kegelschnitt d| 2) . 24. Die Polokoniken von den Geraden in der Ebene etc. 201 Wir schlieBen hieraus: Die geraden Polaren von samtlichen Punkten einer geraden Linie p umhiillen einen Kegelschnitt pW, welcher identisch 1st mit dem Polarkegel- schnitt der Geraden p riicksichtlich des Kegel- schnittbiischels, gebildet von den konischen Polaren der Punkte von p. Diesen Kegelschnitt p {2} nennt man die Polokonik der Geraden p, weil er alle Pole der Geraden p riicksicht- lich des Biischels der konischen Polaren enthalt. Die Polo- konik geht daher insbesondere durch die Ecken des gemein- samen Polardreiecks fur alle Kegelschnitte des Biischels. Sie geht ferner durch die beiden besonderen Punkte der Geraden p, in welchen diese von zwei Kegelschnitten des Biischels beriihrt wird. 3. Bezeichnen wir die beiden Punkte, in welchen die Gerade p von ihrer Polokonik getroffen wird, durch O. und DJ, so muB unter den Kegelschnitten des Biischels von konischen Polaren einer vorkornmen, fur den Q und p Pol und Polare sind, und da diese incident sind, so muB er in 1 die p beriihren; ein zweiter Kegelschnitt des Biischels wird in DO die p beriihren. Die Polare von D in Bezug auf den ersten Kegelschnitt ist p selbst, in Bezug auf den zweiten Kegelschnitt muB sie durch den Beriihrungspunkt D. 2. Der Punkt J durch die Bedingungen --, dann mussen sich wegen der Gleichheit der Doppelverhaltnisse 1221 I %.'%.' I I @ @ I I *'o * I > I *o * I j I w o w I in einem Punkte schneiden, welcher offenbar auf der Polare p des Punktes ^ riicksichtlich ^< 2) liegt. Mit der von dem Punkte S -( e X, **<) beschriebenen geraden Punktreihe auf ^) liegt nun perspektiv das Strahlbiischel, welches der Strahl | @ @ | bei der Drehung um den festen Punkt @ beschreibt. Aus der Gleichheit der Doppelverhaltnisse folgt aber auch, daB sich die drei Strahlen I ST'ST 2 ST' @' ^o^-^ I in einem Punkte schneiden, und dieser Schnittpunkt 9 - (Xi*, X X') beschreibt ebenfalls eine gerade Punktreihe auf derselben Geraden p, der Polare von ^5 nach ^W. Mit dieser Punkt- reihe liegt das von | ' denselben Kegelschnitt durchlaufen. Fur diesen Kegelschnitt @ (2) ist das Dreieck ^$jt) ein Polardreieck (selbstkonjugiertes Dreieck) ebenso wie fur den Kegelschnitt $ (2) , und da und t) sich auf der festen Ge- raden p bewegen und eine Punktinvolution beschreiben, die beiden Kegelschnitten gemeinschaftlich zugehort, so sehen wir, daB die beiden Kegelschnitte @ (2) und $( 2) eine doppelte Beriihrung haben, indem fiir sie gleichzeitig ^ und p Pol und Polare sind und die ihnen zugehorigen Punkt- und Strahleninvolutionen zusammenfallen. Wir konnen so- mit als Resultat der vorigen Untersuchung den Satz aus- sprechen: Aus einem Punkte ^ in der Ebene gehen im all- genieinen sechs Tangenten an die C (S> , deren Be- ruhrungspunkte auf einem Kegelschnitt ^S (2) ; der konischen Polare von $P, liegen. Jede dieser sechs Tangenten schiieidet die 6 Y(3) noch in einem dritten Punkte; diese sechs dritten Punkte liegen auf einem neuen Kegelschnitt @ (2) , welcher der begleitende Kegelschnitt der konischen Polare heiBt. Die ko- nische Polare ^ 2) und ihr begleitender Kegelschnitt @ (2) haben eine doppelte Beruhrung, indem fiir beide der Punkt ^5 und seine Polare p riicksichtlich ^ (2) oder <3 (2) dieselben sind, sowie die den Tragern p und ^5 zugehorigen Punkt- und Strahleninvolutionen riicksichtlich beider Kegelschnitte zusammenfallen.* Ist % ein Beriihrungspunkt einer aus ^ an die C (3) gelegten Tangente und @ der Tangentialpunkt derselben, * Andere Beweise dieses Satzes sind gegeben worden von R. Slawyk: ,,Die Polareigenschaften der allgemeinen ebenen Kurve dritter Ordnung." Inaug.-Diss. Breslau 1872. A. Milinowski: ,,Zur Polarentheorie der Kurven und Flachen dritter Ordnung." Borchardts Journ. f. Mathematik. Bd. 89 S. 136 flg. SclirOter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordn. 14 210 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. ferner ' der zweite Schnittpunkt des Strahles | ^5X | in it der konischen Polare, so wird der Punkt @ durch die Be- dingung gefunden Der Strahl | ^$X | schneidet den begleitenden Kegel- schnitt @ (2) noch in einem zweiten Punkt, und fur jeden dureh ty gehenden Strahl behalt das Doppelverhaltnis den von ^5 unabhangigeu konstanten Wert 9, welcher aus- sagt, daB die Punkte $, $' niemals durch die Punkte @, @' getrennt werden, weil jener Wert positiv ist, wie dies auch aus der Natur zweier sich doppelt beruhrender Kegel- schnitte hervorgeht. Aus der Bedingung folgt, daB wenn ^ ein solcher besonderer, der Hesseschen Kurve H ( ^ angehorender Pimkt ist, daB seine konische Po- lare ^5 (2) in ein Linienpaar ausartet, dann auch sein be- gleitender Kegelschnitt @ (2) in ein Linienpaar ausarten wird, welches mit dem vorigen denselben Doppelpunkt haben muB. Diese beiden Linienpaare liefern ein Doppelverhaltnis, welches den konstanten Wert 9 besitzt. 26. Metrische Beziehungen. 1. Wenn man durch einen Punkt ^5 in der Ebene der C (3) eine Gerade g zieht, welche der Kurve in den Punkten 21, 93, begegnet, so gehoren die konischen Polaren der vier Punkte $, , 95, , namlich einem Kegelschnittbiischel an, welches mit der von ty, 21, 99, gebildeten geraden Punktreihe auf dem Trager g pro- jektiv ist ( 23, 3). 26. Metrische Beziekungen. 211 Nach unserm Fundamentalsatz ist nun die Polare von 9$ nach 5l (2) identisch mit der Polare von 51 nach ^S (2) , nehmen wir noch die Polare von ty nach ^|S (2 > hinzu und nennen die Durchschnittspunkte dieser vier Polaren mit der Geraden g bez. P7 7 ^7 , so lassen sich dieselben in einfacher Weise ermitteln durch die Doppelvernaltnisse -!, ((!) = - 1, (<(,) --i, ^a)- -i, (SS^B)- -i, (ce^O- -i, und wir haben, weil die Polaren von 21, S3, (, ^ nach $P (2) ein Strahlbiischel bilden, welches mit der Punktreihe projektiv ist, Aus den sechs vorigen harnionischen Beziehungen folgen drei hyperbolische Involutionen mit den Punktepaaren I. 5193, und aus diesen die gleichen Doppelverhaltnisse = (93 51 Cc), und hieraus ((S3a) = Aus den beiden Gleichheiten ergiebt sich folglich gehoren die Punktepaare 14* 212 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. HO, 93b, GC einer Involution an, und well ist, gehbrt auch das Punktepaar $Pp derselben an, also die vier Punktepaare 5la, 23b, c, $p gehbren einer und derselben Involution an. [Es treten auch noch andere Involutionen hinzu, nain- lich aus (W93a) = (HS3c<) = (abc) = (bacS) folgt, daB die drei Punktepaare &, S3c, o einer Involution angehbren; und aus (6o) = (23(b2f) = (bco) - (cba) folgt, daB die drei Punktepaare tc, 23a, (5b ebenfalls einer Punktinvolution angehbren.] 2. Ob die Involution, deren vier Punktepaare Ha, S3b, _ 1 a ^ 8B- "*" 216 Theorie der ebenen Kurven dritter Onlnung. Multiplizieren wir die Gleichungen 1) bez mit 3(p, 93 p, Sp, und addieren sie dann ; so folgt nach 10) also auch 12) multiplizieren wir dagegen die Gleichungen 6) bez. mit a b$P, C^S und addieren sie, so folgt in gleicher Weise 13) S + ** + <*_o ap H bp + cp also 3 Da der Punkt p auf der Polare des Punktes ^3 riick- sichtlich seiner konischen Polare ^5 (2) liegt, d. h. auf der geraden Polare p des Punktes ^ riicksichtlich der (3) , so konnen wir die Punkte der geraden Polare p von 9$ direkt durch folgende metrische Beziehung bestimmen: Dreht man um einen Punkt ty in der Ebene der C (3) einen Strahl, welcher der C (3) in den drei Punkten 5( 7 35, ( begegnet und bestimnit auf diesem Strahle allemal einen Punkt p durch die Bedingung 3111 fp ** fl + $" + $6* so ist der Ort des Punktes p eine gerade Linie, namlich die gerade Polare des Punktes ^3 riicksicht- lich der C (3) , oder die gewohnliche Polare des Punktes ty rucksichtlich seiner konischen Polare ^5 (2) . 4. Schneidet die konische Polare ^ (2) des Punktes ^8 rucksichtlich der C^ den Strahl g = | ^H93S | in den Punkten D und Dj, so gilt fiir den Schnittpunkt p der geraden Polare von ^ nach $j$ (2 ' bekanntlich die harmonische Beziehung 26. Metrische Beziehungen. 217 (von welcher die oben gefundene Beziehung eine unmittel- bare Erweiterung fiir die C (Z) ist). Wir haben nach dem vorigen Resultat Wenn wir noch das Produkt 1 kennten, so hatten wir zwei GroBen (Summe und Produkt), durch welche die Punkte D und Dj vermittelst einer quadra- tischen Gleichung zu ermitteln waren. Da nun durch ~ der Punkt p bereits bekannt ist, so brauchen wir nur die wo m die Mitte zwiscnen OO X bedeutet, zu ermitteln, um auch das gesuchte Produkt zu erhalten. Der Punkt m kanu aber auf folgende Weise gefunden werden: Die vier konischen Polaren schneiden die Gerade g in den Punktepaaren und gehoren einem Kegelschnittbuschel an ; folglich diese Punktepaare einer Punktinvolution. Nehmen wir von dem unendlicn entfernten Punkte ^5^, die Polaren riicksichtlich der vier Kegelschnitte 2l (2 >, S3 (2 >, 6< 8 >, ^P (2) , so schneiden die- selben die Gerade g in den vier Mitten der Strecken SIS1 DO 1; und bezeichnen wir diese vier Punkte die Mitte zwischen SIS1 m 218 Theorie der ebenen Kurven. dritter Ordnung. so miissen sie projektiv entsprechen den Punkten 51, $8, S- ; ^5 ; dadurch wird m vollstandig bestimmt. Wir haben also in den hyperbolischen Involutionen die Punktepaare ,,, m, sp.oo, 7 35,33,, _ A + Oder O , p = o b O O C G ebenso b c b a o . o _ c o c b woraus durch Addition folgt o-- o- - U b a c J n iB c ^b o l n lc a C b also nach 5) woraus folgt 23b Sc _ StD.SBD KD fi a D + 670 + C D - 6 ' mithin wird die vorige Beziehung 11) + + . 3 b c c a a b Die Beziehung 10) Ia6t sich aber wegen der Gleichheit auch so schreiben 12) O 5t 2 + D S3 2 + D e 2 = 6 . D^ . O m, woraus folgt, daB die Involution, deren Punktepaare %*, 99b , ^c sind, eine hyperbolische ist, weil ihre Potenz als die Summe dreier Quadrate einen positiven Wert hat. Dies laBt sich auch in folgender'Weise direkt zeigen: 222 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Aus der Gleichheit der Doppelverhaltnisse (8 folgt durch Multiplikation also 21 S3 2 93 (P + CT 2 -(%.(% SI S3 2 also also positiv, mithin die Involution eine hyperbolische. Wir bemerken noch die aus dem Werte dieses Doppel- verhaltnisses hervorgehende Beziehung (Sta b 93) + (S3b c (s;) + (c Q 2t) - 2. Kehren wir aber zu der Beziehung 12) zuriick, so folgt, weil nach 7) DSl + OS + ) = ist 13) DS3.D( + D(.DSl + )9l.>S3 = - Die linke Seite lafit sich auch so schreiben also ist 023.^6 + )(. $21 =-3. 0^5. Dm, osr . ^e + D93 . ^a + o . ^93 - - 3 . o$ . Dm, welcne Beziehungen in die Gestalt ubergefiihrt werden konnen , woraus endlich auch durch Addition nach 8) hervorgeht 16) 26. Metrische Beziehungen. 223 Indem wir weitere metrische Beziehungen, die sich hieraus ableiten lassen, iibergehen, betrachten wir allein die Beziehungen 15), welche allein zwischen den Punkten S(, S3, <, % und m obwalten, da es uns vornehmlich darauf ankam, die Ab- hangigkeit des Punktes in von den gegebenen Punkten 21, 23, (, $ zu ermitteln. Schreiben wir die Beziehungen 15) in der Gestalt: in 21 in S3 m i en re cvi on "T" oder " ' so ergiebt sich die symmetrischere Gestalt und da nach dem Frtiheren (S. 216) 1 J_ 1 3 I rf\ rn \^ war, so folgt jetzt Nun ist aber, wie wir oben (S. 217) gesehen haben, 1 folglich haben wir die beiden Beziehungen T" 1 wo 0, und Dj die beiden Schnittpunkte des durch $ ge- zogenen Strahles mit der konischen Polare $ (2) bedeuten. Hierdurch sind die Punkte D, D x vermittelst einer quadrati- schen Gleichung bestimmt, und indem wir einen verander- lichen Strahl um den festen Punkt $ drehen, erhalten wir 224 Theorie der ebeneii Kurven clritter Ordnung. samtliche Punkteder konischen Polare ^5 (2) . Die syranietrische Form der Ausdriicke rechts vom Gleichheitszeichen zeigt uns, daB die Koeffizienten der quadratischen Gleichung auch bekannt sind, sobald nicht alle drei Schnittpunkte 21, 93, (5 reell, sondern nur einer reell und die beiden andern kon- jugiert-imaginar sind. 27. /u sain men hang der Hesseschen Kurve # (3) und der Cayleyschen K I3) mit der gegebenen C (3) . 1. Wir haben in 23, 4., 5. gesehen, daB in dem Netz von Kegelscbnitten ty (2 \ welcbes die konischen Polaren zu saintlichen Punkten der Ebene riicksichtlich einer (7 (S) bil- den, unendlich viele vorkommen, die in Linienpaare aus- arten, daB die Doppelpunkte dieser Linienpaare eine neue Kurve dritter Ordnung IH S \ die Hessesche der gegebenen (7 (3) , erfiillen und daB ein Punkt O, dessen konische Polare in ein Linienpaar mit dem Doppelpunkte q zerfallt, mit q zusammen ein Paar konjugierter Punkte D und q, fur die jT (3) bildet. Wir wissen ferner aus 6, daB fur eine Kurve dritter Ordnung H (y) die Verbindungslinien | Oq | zweier konjugierten Punkte eine Kurve dritter Klasse K (Z) unihullen, welche die zu H& zugehorige Cayleysche Kurve heiBt; auch ist der Zusamnienhang von H ( ' A) und K^ oben angegeben worden; wir wollen nunmehr den Zusammenhang dieser beiden Kurven mit der gegebenen C (3) , von der sie abhangen, untersuchen. Auf der Hesseschen Kurve H'^ giebt es unendlich viele Paare von konjugierten Punkten Qq, welche die Eigenschaft besitzen, daB jeder Punkt der Kurve Strahlen- paare nach ihnen sendet, die eine ihm zugehorige Strahlen- involution bilden. Die Doppelstrahlen derselben umhiillen die K (Z) und sind solche Verbindungslinien Dq je eines Paares konjugierter Punkte der H (3 \ Tn der zu q gehorigen Strahleninvolution entspricht dem Strahle qD | die Tangente in q an der H^' und diese beiden Strahlen durch q tren- nen die Doppelstrahlen harmonisch. Diese Doppelstrahlen 27. Zusammenhang der Hesseschen Kurve fl"' 8 ) etc. 225 bilden aber aucb, wie wir wissen ( 6), einen ausgearteten Kegelsehnitt des Netzes, und zwar denjenigen, welcher die koniscbe Polare von D 1st. Die Tangente in q an H (3) wird von | qO durcb die Doppelstrablen der Involution barmoniscb getrennt, ist also die Polare von Q in Bezug auf das von den Doppelstrahlen gebildete Linienpaar; sie ist mitbin die gerade Polare von Q rucksicbtlicb der C (3 \ uud wir seblieBen den Satz: Die geraden Polaren solcber Punkte O, welcbe die H (3} erfiillen, rticksicbtlicb der C (3) sind Tangen- ten der H^\ und zwar in dem jedesmaligen konju- gierten Punkte q zu D, d. h. in dem Doppelpunkte des Linienpaares, in welcbes D (2) ausartet. Bewegt sicb also D auf der H\ so umblillt seine gerade Polare q rucksicbtlicb der C (3) dieselbe Hessesche Kurve H^ und beriibrt in dein jedesmaligen konjugierten Punkte q zu Q. 2. Wir baben in 23, 3. geseben, daB wenn eine Ge- rade y der H (S] in den drei Punkten D 1; D 2 , O 3 begegnet, deren koniscbe Polaren in Linienpaare ausarten mit den Doppelpunkten q q 2 , q 3; die letzteren paarweise mit je einein der ersteren auf den drei Geraden liegen, also die drei Paare konjugierter Punkte D^, O 2 q. 2 , O 3 q 3 die secbs Ecken eines der H^ einbescbriebenen voll- standigen Vierseits bilden. Aus 24, 2. wissen wir, daB die geraden Polaren q l} q 2} q s der Punkte D 1? l 2 , D 3 die Polo- konik ^r (2) der Geraden g beriihren und zwar bez. in den- jenigen drei Punkten q t , q 2 , q 3 , welcbe den Punkten D 1? O 2 , O 3 konjugiert sind rucksicbtlicb der # (3) ; da nun nacb dem vorigen Satze (1.) diese Tangenten q lf q 2 , g s aucb die H (3) beriihren in denselben Punkten q u q 2 , q 3; so folgt der Satz: Die Polokonik g ( ' 2) einer Geraden g rucksicbt- licb der C' (3) beriibrt die Hessescbe Kurve H^ in denjenigen drei Punkten q 1; q 2 , q 3 , welcbe konjugiert sind rucksicbtlicb derselben den drei Scbnitt- punkten der Geraden g mit der C (3) . Sehr&ter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordn. 15 226 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Die Polokoniken aller Geraden g in der Ebene sind also immer solche Kegelschnitte, welche die H^ im allge- meinen in drei Punkten beriihren und zwar in drei Punkten eines Tripels, wenn die H (3} als Tripelkurve aufgefaBt wird ( 8). Diejenigen Eigenschaften, welche wir friiher fiir Tripel- punkte einer C f(3) gefunden haben, gelten also jetzt fiir die Beriihrungspunkte einer Polokonik niit der # (3) . 3. Fallen insbesondere von den drei Schnittpunkten O 1; D 2 , D 3 einer Geraden g niit der HW zwei zusammen, Qj= Q 2 , so wird die Polokonik # (2) eine vierpunktige Beriihrung mit H (z) haben in demjenigen Punkte q t = q 2 , welch er dem Punkte D! = Q 2 konjugiert ist. Die Polokoniken von alien Tangenten der H (5) haben also eine vierpunktige Beruhrung mit dieser Kurve. Fallen alle drei Schnittpunkte Qj = D 2 = O 3 zusanimen, d. h. ist g eine Wendetangente der H ( *\ so wird die Polo- konik # (2) riicksichtlich der (7 (3) eine sechspunktige Beruhrung mit der H (3) haben und zwar in demjenigen Punkte der- selben, welcher dem Wendepunkte konjugiert ist. Aus dem in 24 7 5. bewiesenen Satze, daB fiir jede der beiden Geraden /, L 1} in welche die konische Polare eines Punktes D zerfallt, auch die Polokoniken / (2) und Z (2) in zwei Linienpaare zerfallen miissen mit dem gemeinsamen Doppelpunkte D, ergiebt sich jetzt, weil alle Polokoniken die H {3 ~> beriihren, der Satz: Das Tangentenquadrupel aus einem Punkte Q der ^ (3) an dieselbe besteht aus den beiden Linien- paaren, in welche die Polokoniken derjenigen beiden Geraden ausarten, aus denen die in ein Linienpaar ausartende konische Polare des Punktes D besteht. Wir konnen dies Resultat auch so aussprechen: Von samtlichen Tangenten der Cayleyschen Kurve K (a) sind die Polokoniken riicksichtlich der (7 (3) Kegelschnitte, welche in Linienpaare ausarten und die Hessesche Kurve H (S) beriihren. Fiir zwei konjugierte Tangenten der K^ (d. h. zwei solche, deren Beriihrungssehne wieder eine Tan- 27. Zusammenhang der Hesseschen Kurve H(*1 etc. 227 gente der K^ ist) haben die beiden in Linienpaare aus- artenden Polokoniken denselben Doppelpunkt, der auf H (3) liegt und diese vier Strahlen als Tangenten an die H (S} sendet. 4. Zu jeder Geraden y, welche im allgemeinen der (3) in drei Punkten 21, 33, ( begegnet, gehort allemal eine zweite sie begleitende Ge^rade y', auf welcher die drei Tangentialpunkte 51', 23', (' liegen, in denen die Tangenten an 51, S3, (5 der C zum dritten Male begegnen ( 8, 4 ), ebenso wie zu jeder konischen Polare, welche der C (3) in sechs Punkten begegnet, der sie begleitende Kegelschnitt gehort, auf dem die sechs Tangentialpunkte von jenen liegen. Wir haben nun in 25 gesehen, da6 wenn eine ko- nische Polare zerfallt, auch der begleitende Kegelschnitt in ein Linienpaar mit demselben Doppelpunkt ausartet, konnen also jetzt sagen: Die beiden Geraden, in welche eine konische Polare ausartet, haben zwei begleitende Gerade, deren Schnittpunkt auf der H (Z) liegt und der- jenige Punkt ist, in welchem die ersteren beiden sich schneiden. Nennen wir den Punkt, in welcheni eine Gerade g von der sie begleitenden Geraden g' getroffen wird, den be- gleitenden Punkt der Geraden g, so konnen wir auch sageu : Die beiden Geraden, in welche die konische Po- lare eines Punktes D der H (3) ausartet, haben beide ihren begleitenden Punkt auf der J? (3) in demjenigen Punkte q, welcher dem Punkte O konjugiert ist, dessen konische Polare in das Linienpaar ausartet. Da jede der beiden Geraden eines Linienpaares, in welches eine konische Polare ausartet, Tangente der C ay- ley schen Kurve X (3) ist, so konnen wir das vorige Resultat auch so aussprechen: Jede Tangente der Cayleyschen Kurve K^ hat ihren begleitenden Punkt auf der Hesseschen Kurve H (3 \ und dieser ist der dritte Schnittpunkt der Tan- 15* 228 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. gente der Cayleyschen Kurve K (3 \ welche zwei kon- jugierte Punkte der H (3) verbindet. Umhiillt also eine Gerade die Cayleysche Kurve K&\ so beschreibt der sie begleitende Punkt die Hessesche Kurve H (Z \ oder was dasselbe sagt, die Hessesche Kurve f (3) 1st der Ort der begleitenden Punkte fiir alle Tangenten der Cayleyschen Kurve K (3) . Hiernach kann zu einer Tangente der K (S) die sie be- gleitende Gerade immer reell konstruiert werden, auch weun die Schnittpunkte derselben mit der 6' (3) nicht immer alle drei reell sind. Denn die Tangente t der K w verbindet zwei konjugierte Punkte der H (3) und hat einen immer reellen Schnittpunkt q mit derselben; sie hat ferner mit der (3) mindestens einen reellen Schnittpunkt SI, dessen Tan- gentialpunkt ST sei; dann ist | qSl'| = t' die begleitende Ge- rade zu t. 5. Wahrend zu einer gegebenen (7 (3) nur eine einzige bestimmte H (3) zugehort, namlich der Ort solcher Punkte, deren konische Polaren in Linienpaare ausarten und zu- gleich der Ort der Doppelpunkte dieser Linienpaare, findet das Umgekehrte nicht statt. Nehmen wir eine H^ als ge- gebene Kurve dritter Ordnung an, so giebt es nicht bloss eine, sondern im allgemeinen drei verschiedene Fundamen- talkurven C (3) , fur welche die gegebene H (y) die Hessesche Kurve ist. Denn die gegebene H (3 *> hat im allgemeinen nicht bloss ein, sondern drei verschiedene Systeme von Paaren konjugierter Punkte ( 15). Da ein beliebiger Punkt SI der jtf (3) im allgemeinen vier Tangenten an die Kurve sendet, deren Beriihrungspunkte a l} 2 , a 3 , a 4 seien, die ein voll- standiges Viereck mit den drei auf der C (3) liegenden Dia- gonalpunkten. (^02,030^ = 51', (OjOg, O 2 o 4 ) = SI", (0^4,0203) = SI'" bilden, so erhalten wir die drei Systeme, in denen Paare konjugierter Punkte sind I. 0,02, * 3 o 4 , m> > %"%'", II. 0,03, 020 4 , SISt", STST, III. o t o 4 , 0203, StSl'", Sl'Sl". 28. Die Wendepunkte der C. 229 Durch ein Paar konjugierter Punkte ist das ganze System derselben vollstandig und eindeutig bestimmt. Jeder Punkt der Kurve sendet nach den Paaren konjugierter Punkte Strahlenpaare einer Involution. Die Doppelstrahlen derselben bilden einen ausgearteten Kegelschnitt, welcher, wenn die Kurve die Hessesche H (S) fur eine noch unbekannte Fun- damentalkurve 6 1(8) sein soil, die konische Polare desjenigen Punktes riicksichtlich der C (3) sein mu6, der dem Schnitt- punkt des Linienpaares auf der H (3) konjugiert ist (1.). Wir konnen also dem Punkte 31 entweder das Linien- paar o^ ,, io 3 Q 4 | mit dem Doppelpunkte 51' als konische Polare riicksichtlich der zu suchenden Fundamentalkurve C (3) entsprechen lassen (System 1), oder das Linienpaar a i a 3i? I a 2 a . 1. Wir sind bereits von zwei verschiedenen Seiten zu den Wendepunkten der C t3) gelangt; einmal sahen wir in 7, da6 die beiden Kurven C (3) und $ (3) (letztere umhullt von den Doppelstrahlen aller den Punkten der C (8) zuge- 230 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. horigen Strahleninvolutionen) sich in neun Punkten beriihren und die zu diesen Beriihrungspunkten konjugierten Punkte die Wendepunkte der (7 (3) sind; zweitens sahen wir in 23, 6., daB eine (7 (3) und ihre Hessesche Kurve H (3} sich in den Wendepunkten schneiden. Wir wollen nun den Zusammen- hang der neun Wendepunkte unter einander aufsuchen und dadurch zugleich die Frage nach der Realitat derselben beantworten. Nennen wir einen gemeinschaftlichen Punkt der beiden Kurven (7 (8) und $ (3) den Punkt X 7 dann ist sein konju- gierter Punkt X x = 28 ein Wendepunkt der (7< 3 > ( 7). Sei ferner X' und 28' ein zweites derartiges Paar konjugierter Punkte der G' ( % so folgt aus ihnen allemal ein drittes, wie wir wissen, namlich (ix 1 , 2828') = 28" und (X2B', X'28) = X". Da aber 28 gleichzeitig der Tangeiitialpunkt von X ist ( 7), d. h. die Tangente in X der C' (3) in dem dritten Punkt 3B begegnet, ebenso die Tangente in X' der C (3) in 3S' be- gegnet, so mu6 auch die Tangente in dem dritten Schnitt- punkte von | XX' | niit der C< d. h in 2B" der C i n demjenigen Punkte begegnen, in welchem | 233S23' sie zuni dritten Mai schneidet, d. h. in 223" selbst, also ist 3B" ein dritter Wendepunkt der C (3) , weil seine Tangente drei zu- sammenfallende Punkte mit derselben gemein hat. Da ferner die Tangente in X der C (S) in 28 begegnet, die Tangente in 28' der C (3) wieder in 28' begegnet, so muB die Tangente in X" der C^ in dem dritten Schnittpunkte von 28 28' | mit der C&\ d. h. in dem Punkte 28" begegnen; ,also ist 28" der Tangentialpunkt zu X" und zugleich der konjugierte Punkt, niithin X" einer der gemeinschaftlichen Punkte von C (3) und (3) , in dem sich diese beiden Kurven beruhren; mithin gilt der doppelte Satz: Die Verbindungslinie zweier verschiedenen Wendepunkte einer C (3) trifft dieselbe allemal in einein dritten W T endepunkte derselben. Die Ver- 28. Die Wendepunkte der CC 8 >. 231 bindungslinie zweier verschiedenen gemeinsamen Punkte der C und < 3 > trifft die C^ allemal in einem Wendepunkte derselben. Wir konnen hiernach sowohl aus zwei Wendepunkten der C (3) allemal einen dritten ableiten, als auch aus zwei gemeinschaftlichen (Beriihrungs-) Punkten der (7 (3) und $ (3) einen Wendepunkt derselben finden, oder auch als konju- gierten Punkt zu letzterem einen dritten Beruhrungspunkt der Kurven (7 (3) und $ (3) erinitteln. 2. Da die Wendepunkte der C (3) nach dem vorigen Satze iinnier zu je dreien auf einer Geraden liegen, so konnen durch einen Wendepunkt nicht mehr als vier solcher Ge- raden gehen, deren jede auBer dem ersten noch zwei weitere Wendepunkte der (7 {3) enthalt; denn es giebt nur neun Wende- punkte, also auBer dem zuerst angenommenen nur noch acht. Hiernach scheint es 9 . 4 == 36 solcher Geraden zu geben, die je drei Wendepunkte enthalten; da aber jede Gerade hierbei dreimal auftreten muB, namlich bei jedem der drei Wendepunkte, welche sie enthalt, einmal, so reduziert sich die vorige Anzahl auf zwolf, also: Die neun Wendepunkte einer (7 (3) liegen zu je dreien auf zwolf Geraden ( Wendepunktslinien), in dem durch jeden Wendepunkt vier Wendepunkts- linien gehen. Gehen wir von einer Wendepunktslinie aus, auf welcher die drei Wendepunkte 28 * 28 2 28 3 liegen niogen, so gehen durch 28} noch drei iibrige Wende- punktslinien, deren jede zwei weitere Wendepunkte enthalt; ebenso durch 28 \ und durch 28 3 ; wir haben also schon zehn Wendepunktslinien und es bleiben also nur noch zwei ubrig, die durch keinen der drei Wendepunkte 28}, 28 *, 28^ gehen konnen; sei eine derselben diejenige, welche drei Wende- punkte * 2 7 enthalt, dann haben wir jetzt elf Wendepunktslinien, namlich die beiden 232 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. und die neun Verbindungslinien je eines der drei ersten mit einem der drei letzten Punkte; es bleibt daher nur noch eine einzige, zwolfte Wendepunktslinie ubrig, die durch keinen der frtiheren sechs Wendepunkte gehen kann, folglich die drei letzten Wendepunkte 2B 1 28 2 2B 3 enthalten muB. Ein solches Dreiseit, welches von den drei Geraden gebildet wird, wollen wir ein Wendepunktsdreiseit nennen von der Beschaifenheit, daB jede Seite desselben drei ver- schiedene Wendepunkte enthalt, also samtliche Wendepunkte erschopft werden und zu je dreien in den Seiten des Drei- seits liegen. Aus diesem Wendepunktsdreiseit erhalten wir nun die neun- noch fehlenden Wendepunktslinien auf folgende Art: Die Verbindungslinie | 28 {282 | muB noch einen dritten Wendepunkt enthalten, der auf der dritten Seite des Wende- punktsdreiseits liegen muB; wir konnen ihn 28?, nennen; ebenso wird die Verbindungslinie |2B 2 28rj| einen dritten Wendepunkt enthalten, den wir 28* nennen und von dem vorigen 28^ verschieden annehmen dtirfen; endlich wird | 28 3 28 jj | noch einen dritten Wendepunkt enthalten, den wir 2B 3 , nennen konnen; jetzt sind aber alle Wendepunkte erschopft; ziehen wir also |2BJ2S.^| 7 so kann die Verbin- dungslinie als dritten Wendepunkt weder 28 3 noch 28 jj ent- halten, weil sonst vier Wendepunkte auf einer Geraden liegen wiirden, was widersinnig ist; es muB also 28^28! | den dritten Wendepunkt 28 jj enthalten; ebenso muB | 2B}28 3 ! den dritten Wendepunkt 28*, 3 ' 8 1 1 I 2B 2 -2 \ n )) n ^ s > 2 ' 1 28. Die Wendepunkte der CW. 233 enthalten. Wir erhalten hiernach folgende zwolf Wende- punktslinien, welche wir gleichzeitig als vier Wendepunkts- dreiseite ordnen SJSBJSS; jaB'SBJ i 1 ^ 2 ^ 3 '3 *3 W 8 \**wi i'SB'SBJ (1993*9938 ' | 'W g /W O jssmaflngi ' i /W a 'VV Q Saggiggs 'i '"'2 ' U3 3; d. h.: Die neun Wendepunkte einer (7 (3) liegen zu je dreien auf zwolf Geraden, von denen immer vier durch jeden der neun Wendepunkte gehen. Diese zwolf Wendepunktslinien lassen sich auf vier Arten zu je dreien so ordnen, da6 diese ein Wendepunkts- dreiseit bilden, dessen drei Seiten je drei, also samtliche neun Wendepunkte enthalten. Es giebt also vier Wendepunktsdreiseite. Diese merkwiirdige Eon- figuration von Punkten und Geraden in der Ebene ist leider nicht vollst'andig reell, wie wir sogleich sehen werden. 3. Nennen wir die drei Seiten eines Wendepunkts- dreiseits '3 und die Ecken desselben so befinden sich auf jeder Seite fiinf Punkte, namlich die beiden Ecken des Wendepunktsdreiseits und die drei Wende- punkte, welche diese Seite enthalt. Projizieren wir diese funf Punkte der Seite S 2 9S 1 9B 2 2B 3 21 21 'S'W O 'W ., 'N-^r 7 Q ^^9 t J ^*~9 von den drei Wendepunkten SBJ, 35^, SS der Seite Sj aus auf die Seite s s , so erhalten wir auf der- selben drei projektive Punktreihen desselben Tragers, die so lauten 234 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. T\ f^ft 2 ^ 1 2B 3 9 A {jx> 3 <&> 3 -u> o die sich auch so schreiben lassen Wir erkennen hieraus die cyklischen Projektivitaten (2B 3 2 2 3 S;r) A (SB J SB S SB 5) 7\ (SBjaBSSB!), deren Doppelpunkte 21 31 und 5I 32 sind; also bilden diese fiinf Punkte auf der Geraden s 3 ein aquianharmonisches System, wie wir in 21, 3. gesehen haben, und von deni wir wissen, daB wenn die drei bestimmenden Punkte SS. 1 , , 3Sg, 2B 3 reell sind ; die beiden Doppelpunkte 51 317 21 3 , kon- jugiert-imaginar sein niiissen; dagegen wenn von den drei Punkten 28 J, SB?, SBg nur einer reell und die beiden andern konjugiert-imaginar sind, die beiden Doppelpunkte S1 31 , 5( 32 reell sein miissen. Wir haben also das Ergebnis: Auf jeder der drei Seiten eines Wendepunkts- dreiseits bilden die drei in ikr liegenden Wende- punkte und die beiden Ecken des Dreiseits ein aquianharmoniscbes System von fiinf Punkten. Oder: Bildet man aus den drei auf einer Wendepunkts- linie liegenden Wendepunkten eine cyklische Pro- jektivitat, so sind die Doppelpunkte derselben die Scbnittpunkte der beiden iibrigen Wendepunkts- linien, welcbe mit der ersteren ein Wendepunkts- dreiseit bilden. 3. Aus der Natur eines aquianharnioniscken Systems, welche wir in 21, 3. naber studiert haben, geht hervor, daB mehr als drei Wendepunkte nicht reell sein konnen und diese auf einer Geraden liegen miissen; denn waren drei Wendepunkte reell, die nicht auf einer Geraden lagen, so wiirden die drei Verbindungslinien je zweier drei neue reelle Wendepunkte liefern, und diese mit den ersteren in der einzig noch moglichen Weise verbunden, die drei letzten 28. Die Wendepunkte der 235 Wendepunkte; es muBten also samtliche neun Wendepunkte reell sein, mithin aucb samtliche vier Wendepunktsdreiseite und deren Ecken; dann batten wir aber aquianharmonische Systeme von fiinf reellen Elementen, was unmoglich ist, also ist unsere Annahme unzutreffend, und es konnen hochstens drei auf einer Geraden liegende Wende- punkte reell sein. Aus ahnlichen Griinden ka.nn auch hochstens nur ein Wendepunktsdreiseit vollstandig reell sein. Denn waren zwei Wendepunktsdreiseite vollstandig reell, so waren auch ihre sechs Ecken reell; die drei Punkte, in welchen eine Seite des zweiten den drei Seiten des ersten begegnet, sind aber drei Wendepunkte; also batten wir auf derselben fiinf reelle Elemente eines aquianharmonischen Systems, was wider- sinnig ist; also es kann hochstens ein Wendepunkts- dreiseit vollstandig reell sein; dann enthalt jede Seite desselben nur einen reellen und zwei kon- jugiert-imaginare Wendepunkte, und die drei reellen Wendepunkte liegen auf einer Geraden; es kann also hochstens nur vier reelle Wendepunktslinien geben, von denen drei das reelle Wendepunktsdreiseit bilden. 4. DaB nun diese einzig nioglichen Falle wirklich ein- treten, wollen wir unter der Voraussetzung, daB inindestens ein Wendepunkt der C (3] immer reell sein muB, nachweisen. Die Existenz mindestens eines reellen Wendepunktes wird nachtraglich erwiesen werden. Gruppieren wir, wie in 2. die neun Wendepunkte auf den zwolf Wendepunktslinien, die wir jetzt besonders bezeichnen wollen, um ihre Realitat zu erkennen, in folgender Weise = So = t 9 so folgt hieraus 236 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. und hierdurch ist die gauze Konfiguration gegeben. Nehmen wir nun an, daB wenigstens einer der neun Wendepunkte reell sei, namlich x dann gehen von ihm aus nach den Punkten SB 1 SB 2 SB 3 die drei Strahlen *i> u i> v i, welche in cyklisch-projektive Beziehung gesetzt zwei Doppel- strahlen liefern, von denen der eine s l sein muB und der andere den Schnittpunkt (s 3 s 2 ) mit dem Punkte SB} ver- bindet; diese wollen wir zur Abkiirzung nennen. Die fimf Strahlen i f eines aquianharmonischen Strahlensystems mussen von der Beschaffenheit sein, daB entweder t t , u^ , v l reell, s t , s[ konjugiert- imaginar sind, oder s l} s[ reell und von t i} u lf v t nur einer reell und die beiden andern konjugiert-imaginar sind. Die erstere Annahme ist, wie wir jetzt sehen werden, unzulassig; denn waren t l) u 1) v l alle drei reelle Strahlen, so konnte doch nur einer derselben drei reelle Wendepunkte enthalten, die beiden andern miiBten auGer dem reellen Wendepunkt SB} je zwei konjugiert-imaginare Wendepunkte enthalten; seien diese MI = | SBJiSBg | und v 1 =|SB 2 SB|!. Die vier imaginaren Punkte SB 2 , SB 3 und SB!, SB* liegen also auf einem reellen Linienpaar und bilden ein imaginares vollstandiges Viereck, von dem bekanntlich die drei Diagonalpunkte reell sein miissen und von dem ein Seitenpaar reell ist, die beiden andern konjugiert-imaginiir sind; die reellen Diagonalpunkte konnen in bekannter Weise konstruiert werden, sie sind nun 28. Die Wendepunkte der 0^. 237 (2B 2 2B 3 203 a 2B 3> > = fs 2 x> ->) 3 3' U3 3/ V 6 2 6 3^; (28-2B- 2B 8 2B 3N > = (ft V v^a^s* **i **f / v* *8/j der Punkt (s 2 s 3 ) miiBte also reell sein, folglich auch der Strahl s' l} mi thin auch der andere Doppelstrahl Sj der cyklisch-projektiven Biischel, also alle fiinf Elemente des aquianharmonischen Systems muBten reell sein, was wider - sinnig ist. In gleicher Weise wiirden wir auf einen Widerspruch kommen, wenn wir annehmen, daB t t und v i oder ^ und 1 zwei reelle Strahlen waren, welche je zwei konjugiert- imaginare Wendepunkte enthalten; es ist also die Annahme, da.B alle drei Strahlen t lf u l} v l gleichzeitig reell sind, un- zulassig und es bleibt nur die Moglichkeit iibrig, da6 einer derselben reell, die beiden andern konjugiert-imaginar sind. Dann miissen die beiden Doppelstrahlen Sj , s[ reell sein. Da dies fur den reellen Wendepunkt SS} nachgewiesene Resultat fiir jeden reellen Wendepunkt gelten muB, so konnen wir den Satz aussprechen: Durch einen reellen Wendepunkt der (7 (3) gehen immer vier Wendepunktslinien, von denen zwei reell und die beiden andern konjugiert-imaginar sein miissen. 5. Wir schliefien weiter, indem wir von den drei Strahlen ti> u i> V D ^ en ersten ^ als den reellen und die beiden andern u lf v l als die konjugiert-imaginaren annehmen, und betrachten das von den vier imaginaren Wendepunkten auf u l} v i SS 2 2S 3 23S 3 2B 2 * M 2> I ***$ gebildete vollstandige Viereck, welches durch ein imaginares Linienpaar verbunden wird; dasselbe hat drei reelle Diagonal- punkte (^2^3); in dem ersten kreuzt sich ein imaginares Seitenpaar dieses vollstandigen Vierecks, folglich muB sich in dem zweiten auch ein imaginares und in dem dritten ein reelles Seiten- paar kreuzen, denn das dritte Seitenpaar ist immer eine Folge der beiden ersten, und sind diese beiden konjugiert- 238 Theorie der ebenen Kurren dritter Ordnung. imaginar (vertreten durch zvvei elliptisehe Strahleninvolutionen), so muB das dritte Seitenpaar reell sein, als Doppelstrahlen einer in bekannter Weise zu konstruierenden hyperbolischen Strahleninvolution. Es muB also von den beiden Strahlenpaaren s 2 und s 3 , / 2 und t s das eine reell, das andere konjngiert- imaginar sein; nennen wir das reelle s 2 und s 3 , dann niuB auch auf s 2 der dritte Wenclepunkt 233 2 und auf s s der dritte Wendepunkt SOB* reell sein und wir haben die reelle Wendepunktslinie t = I SB 1 1 1 I 'i I ^i *a *&3 \t also die vier reellen Wendepunktslinien s \y s '2) S 3> h von denen s lf s 2 , s 3 ein reelles Wendepunktsdreiseit bilden. Von den neun Wendepunkten sind also nur die drei j, K, 8B1 reell, welche auf der Wendepunktslinie ^ liegen, die iibrigen sechs milssen paarweise konjugiert- imaginar sein, njimlich 2 2B 3 auf s i *JJ I tllll oj ^ 3 ^ 3 S 3 ' Von den zwolf Wendepunktslinien sind die vier S l) S 2) S 3> h reell; die iibrigen miissen auch paarweise konjugiert -imaginiir sein, namlich t 2 und t s haben nur den einen reellen Schnitt- und es ist (u v } 2B 1 (it r } 9B 1 (u v } = 2B 1 \1*lV t } "tw 17 V"2 t 2/ **?> l$S V fcJ ' CU 25 die elliptischen Strahleninvolutionen, cleren imaginare Doppel- strahlen ti l v 1) 2 r 2 , t* 3 v 3 sind, lassen sich aber reell kon- struieren. Wir haben demgemaB unter der Voraussetzung, daB immer mindestens einer (228 {) der neun Wendepunkte einer 6 1<3) reell sei, was spater ( 30) nachgewiesen werden soil, fol- gende Lage der Wendepunkte ermittelt: 28. Die Wendepunkte der 0< s \ 239 Von den neun Wendepunkten sind drei reell and liegen auf einer Geraden (Wendepunktslinie), die iibrigen sechs sind paarweise konjugiert-ima- ginar und liegen auf drei reellen Geraden, deren jede durch einen der drei reellen Wendepunkte geht und auBer diesem zwei weitere koujugiert- imaginare Wendepunkte enthalt. Diese drei reellen Wendepunktslinien bilden das einzige reelle Wende- punktsdreiseit; es giebt also, indem wir zu ihnen die erste Wendepunktslinie hinzufiigen, nur vier reelle Wendepunktslinien, die iibrigen acht sind paarweise konjugiert-imaginar, mimlich durch jeden der drei reellen Wendepunkte gehen auBer den beiden reellen Wendepunktslinien noch je zwei konjugiert-imaginare Wendepunktslinien, was zu- sammen sechs macht. Das letzte Paar zweier kon- jugiert - imaginiirer Wendepunktslinien hat zum reellen Doppelpunkt denjenigen gegeniiberliegenden Eckpunkt eines Wendepunktsdreiseits, von welchem nur eine Seite reell ist, auf der die drei reellen Wendepunkte liegen, und die beiden andern Seiten konjugiert-imaginar sind. Da6 von den neun Wendepunkten einer C (3) mindestens einer reell sein muB, folgt schon daraus, daB ihre Anzahl eine ungerade ist und sie die Durchschnittspunkte der beiden reellen Kurven (7 |3) und H^ sind; doch wird der strengere Nachweis spater ( 30) geliefert warden.* * Die hier gegebene Ableitung der gegenseitigen Lage der neun Wendepunkte let aus einer Bemerkung von A. Clebsch entsprungen in seiner Abhandlung: ,,t)ber einen Satz von Steiner und einige Punkte der Theorie der Kurven dritter Ordnung" (Borchardts Journal f. Math. Bd. 63 S. 120). Vergl. auch die neuerdings erschienene In- augural-Dissertation von A. Witting: ,,t!Tber eine der Hesseschen Konfiguration der ebenen Kurve dritter Ordnung analoge Konfiguration im Eaume" (Dresden 1887). 240 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. 29. Beziehungen zwischen den Wendepunkten, den Wendetangenten und den harmonischen Polaren der Wendepunkte. 1. Wir haben in 10, 1. gesehen, da6 die neun Durch- schnittspunkte zweier Kurven dritter Ordnung eine Gruppe von neun associierten Punkten bilden, d. h. die Eigen- schaft besitzen, dafi jede Kurve dritter Ordnung, welche durch acht derselben geht, auch durch den neunten (not- wendigen) Punkt hindurchgehen muB. Da nun die drei Seiten des einen reellen Wendepunktsdreiseits ( 28, 5.) eine spezielle Kurve dritter Ordnung bilden, die durch die Wende- punkte der C^ hindurchgeht, so folgt: Die neun Wendepunkte der C (3) bilden eine Gruppe von neun associierten Punkten. (S. 198.) Wir haben ferner in 23, 6. gesehen, da6 fur einen Wendepunkt 293 einer (7 (3) seine konische Polare in ein Linienpaar ausartet, dessen einer Teil die Tangente t& im Wendepunkt und dessen anderer Teil eine bestimmte Gerade w, die harmonische Polare des Wendepunkts 1st, der Ort der vierten harmonischen Punkte auf alien durch 28 ge- zogenen Strahlen, welche von 28 harmonisch getremit werden durch jedes Paar von den beiden iibrigen Schnittpunkten des Strahles mit der C (8) . (Diese vierten harmonischen Punkte sind immer reell, sobald 28 reell ist, auch wenn die beiden iibrigen Schnittpunkte des Strahles mit der (7 (3; konjugiert-imaginar sind.) Auch gilt das Umgekehrte: Wenn fur einen Punkt 28 der C r(3) die konische Polare in ein Linienpaar ausartet, so ist 28 ein Wendepunkt, und das Linienpaar die Wendetangente tw und die harmonische Polare w. Da nun in dem Biischel von Kurven dritter Ordnung, dessen neun Grundpunkte die Wendepunkte der (7 (3) sind, durch jeden Wendepunkt 28 vier Wendepunktslinien gehen, welche in je zwei weiteren Wendepunkten der C< 3) begegnen, so liegen die zugeordneten vierten harmonischen Punkte auf der harmonischen Polare w. Fur jede andere Kurve dritten 29. Beziekungen zwischen den Wendepunkten etc. 241 Grades, die dera Biischel angehort, bleibt also die harmonische Polare w ungeandert, folglich muB auch fiir diese der Punkt 2B ein Wendepunkt sein, weil seine konische Polare in ein Linienpaar ausartet, also: Fiir jede Kurve dritter Ordnung des Biischels, dessen Grundpunkte die neun Wendepunkte einer C (3) sind, sind diese Punkte gleichzeitig die Wende- punkte derselben. Unter den Kurven dieses Biischels , welches ein syzy- getisches genannt wird, kommen insbesondere vier Linien- tripel vor, die Seiten der vier Wendepunktsdreiseite, sowie auch die Hessesche Kurve H&> ( 23,6.). 2. Die harmonische Polare w eines Wendepunktes 2B enthalt, wie wir wissen, die Beriihrungspunkte der drei iibrigen Tangenten (auBer der Wendetangente gg selbst), welche sich von 28 an die C^ legen lassen. Ziehen wir nun durch 28 zwei beliebige Strahlen, welche in ao t und bb : der (7 (3) noch begegnen mogen, dann wird die har- nionische Polare w dadurch zu finden sein, daB wir die beiden Punkte (ab, a^J und (ab 1? OjB) ermitteln, deren Verbindungslinie bekanntlich durch die vierten harmonischen Punkte zu CN^ und Bb 17 dem 2B zu- geordnet, gehen muB, also die harmonische Polare w ist. Lassen wir aber dem Strahle ! dC^ | den Strahl | bb x | unendlich nahe riicken, so geht ab | in die Tangente fiir 0, | a^ | in die Tangente fiir c^ an der C iS) iiber, der Schnitt- punkt beider Tangenten liegt also auf der harmonischen Polare , und es gilt der Satz: Zieht man durch einen Wendepunkt 2B der C {3) einen veranderlichen Strahl und in den beiden tibrigen Schnittpunkten desselben mit der (8) die beiden Tangenten, so bewegt sich der Schnittpunkt derselben auf einer Geraden, der harmonischen Polare des Wendepunktes 2B. Rucksichtlich eines Wendepunktes besitzt also die C (y> dieselbe Eigenschaft, wie der Kegelschnitt rucksichtlich Sohr3ter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordn. 16 242 Theorie der ebenen KuiTen dritter Ordnung. jedes Punktes der Ebene und der ihm zugehorigen Polare. Zieht man insbesondere durch SB eine Wendepunktslinie, welch e also zwei weitere Wendepunkte der (7 (3) enthalt, so miissen die Wendetangenten derselben sich auf der har- monischen Polare des ersten Wendepunkts schneiden, also: Der Schnittpunkt zweier Wendetangenten liegt auf der harmonischen Polare des dritten Wende- punkts, in welchem die Verbindungslinie der beiden ersten Wendepunkte der C (3) begegnet. Zieht man durch einen Wendepunkt SB der C< 3) drei beliebige Sekanten so konnen diese als eine ausgeartete Kurve dritter Ordnung aufgefaBt werden; die neun Durchschnittspunkte derselben mit der C (3) haben nun die drei Punkte SB, SB, SB (zusammen- fallend) auf einer Geraden, folglich miissen die sechs iibrigen auf einem Kegelscnnitt liegen, also: Zieht man durch einen Wendepunkt einer C (3 ' drei beliebige Sekanten 2821231, ISBUMB'!, |2B2l"93"!, so liegen die sechs iibrigen Durchschnittspunkte derselben mit der 6 r(3) auf einem Kegelschnitt ; dessen Polare von dem Punkte SB die harmonische Polare des Wendepunkts 233 ist. Liegen insbesondere S(, 51 ', 21" auf einer Geraden, so miissen auch 33, S3', 93" auf einer Geraden liegen. Hieraus ergiebt sich der Satz: Schneidet eine beliebige Gerade die C (3) in den drei Punkten $ ; 2l f , 21" und werden dieselben mit einem Wendepunkt SB durch drei Strahlen ver- bunden, so liegen deren dritte Schnittpunkte auf einer zweiten Geraden, und der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist ein Punkt der harmonischen Polare des Wendepunkts SB. 3. Ist SB ein Wendepunkt der C (8) und w seine har- monische Polare, so wird fur einen durch SB gezogenen 29. Beziehungen zwischen den Wendepunkten etc. 243 Strahl | $321$ die Tangente in 21 die Gerade w in dem- selben Punkte 9$ treffen, wie die Tangente in 93, wie wir in 2. gesehen haben; also wird auch umgekehrt, wenn von einem Punkte ty der Geraden w eine Tangente | $P31 | an die G T|3) geht, noch eine zweite Tangente | $$93 | an dieselbe gehen miissen, so daB die Beriihrungssehne | 3193 | durch 3B geht. Geht aus 9$ noch eine andere Tangente |^52l f | an die C (3) , so wird auch noch eine weitere Tangente | SJS93' an die C (3) gehen, sodaB | 2('93' ebenfalls durch S93 geht, und geht endlich aus 9$ noch eine dritte Tangente | SJS31" | an die (,' (y) , so wird noch eine andere Tangente | ^593"| an dieselbe gehen, sodaB |3I"93"| auch durch 223 geht. Die sechs Tangenten, welche sich im allgemeineu aus einem Punkte ty der Geraden w an die 6'< 3) legen lassen, zerfallen also in drei Paare ||3l 'und | $8, |$'|und ^JB'|, |^"| und |$93"|, und die drei Beriihrungssehnen !3I$ , 3l'93'|, |3("93 r '| gehen durch denselben Puukt 925. Da nun, wie wir wissen, die sechs Punkte 31, 93, 31', 93', 31", 53" auf einem Kegelschnitt liegen miissen (2.), der die konische Polare ^S (2) des Punktes ty ist, so bilden die vorigen drei Strahlenpaare eine Strahlenin volution, deren Doppel- strahlen die beiden Geraden | $J$2B | und w sind. Fur diesen Kegelschnitt sind also 393 und w Pol und Polare. Wir konnen also den Satz aussprechen: Fur alle Punkte 9$ der harmonischeu Polare w eines Wendepuiikts 923 bilden die konischen Polaren ^ (2) ein Kegelschnittbiischel, welches 993 und iv ge- meinsam zu Pol und Polare hat. Die geraden Po- laren fur alle Punkte ^5 von iv laufen daher sarnt- lich durch den Wendepunkt 203. 4. Aus der Konfiguration der Wendepunkte, Wende- punktslinien und Wendepunktsdreiseite, wie wir sie in 28, 4. zusammengestellt haben, lassen sich nun auch die harmonischen Polaren der neun Wendepunkte herstellen 16* 244 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. vermittelst der Eigenscbaften des vollstandigen Vierecks. Da namlicb durcb 28} die beiden Strablen geben, so miissen in dem vollstandigen Viereck die beiden Diagonalpunkte verbunden die harmonische Polare des Wendepunkts 28} geben, weil sie zwei Punkte von demOrte aller vierten harmo- niscben Punkte auf den durcb 25} gezogenen Strablen sind. Diese Punkte (w. ? tO, (v 9 v) sind aber gleicbzeitig zwei \ 6 O/ / \ S Os O Ecken von Wendepunktsdreiseiten, deren wir die vier haben Bezeichnen wir daher die zwolf Ecken dieser vier Wendepunktsdreiseite so werden sicb aus diesen zwolf Punkten zu je vieren die harmoniscben Polaren * der Wendepunkte 28 ; " zusammeusetzen lassen, wie folgt ^,3 = j ^Xgllg^., , ^3 = , (g^gll^! Hieraus geben aber wieder die zwolf Punkte @,, U,-. S3 i in der Weise bervor 29. Beziehungen zwischen den Wendepunkten etc. 245 l> / 1 8 2 \ \5 l = (W^ M'g Z/3 ) , Dies laBt sich in Worten folgendermaBen aussprechen: Die neun harruonischen Polaren der Wende- punkte einer G'' 3) gehen zu je dreien durch die zwolf Ecken der vier Wendepunktsdreiseite, sodaB jede harmonische Polare vier von den Ecken der Wende- punktsdreiseite enthalt. Die harmonischen Polaren solcher drei Wendepunkte, welche auf einer Geraden (Wendepunktslinie) liegen, schneiden sich allemal in einem Punkte, namlich in der Gegenecke des- jenigen Wendepunktsdreiseits, von welcheni jene Gerade eine Seite ist. Die neun harmonischen Po- laren bilden eine ganz analoge Konfiguration, wie die Wendepunkte selbst, indem nur die eine der andern dual gegeniibersteht. Der Zusammenhang beider Konfigurationen ist derartig, daB die Wende- punktsdreiseite der urspriinglichen Konfiguration identisch zusanimenfallen mit den analogen Drei- ecken der dual gegenuberstehenden, indeni die Ecken dieser vier Dreiecke die Gegenecken jener vier Dreiseite sind. Hieraus folgt denn auch, daB die neun harmonischen Polaren hinsichtlich ihrer Realitat und gegenseitigen Lage sich genau ebenso verhalten, wie die Wendepunkte selbst, also z. B.: Die drei harmonischen Polaren, welche durch eine Ecke eines Wendepunktsdreiseits gehen, bil- den mit den beiden Seiten des Dreiseits in dieser Ecke ein aquianharmonisches System von fiinf Strahlen, indem die drei ersteren die cyklisch-pro- jektiven Elemente und die beiden letzteren die Doppelelemente des Systems sind. 5. Betrachten wir ein Wendepunktsdreiseit und eine der iibrigen Wendepunktslinien, z. B. 246 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Sj, s 2; S 3 und t lf so bilden dieselben ein vollstandiges Vierseit, dessen drei Paar Gegenecken sind @ t und SB}, . ) gftti. 3 n *$) die Strahlenpaare, welche von X L nach diesen drei Paar Gegenecken gehen, bilden bekanntlich eine Strahleninvolution, deren Strahlenpaare sind w\ und die G erade ^ = 2B } SB !, SS * | wird also von den drei har- monischen Polaren w[ } tvl, w% in solchen drei Punkten ge- troffen, welche konjugiert sind den Punkten SB{, 2Bi, SBg und mit diesen drei Punktepaare eine Punktinvolutioii bilden, also: Eine Wendepunktslinie, welche drei Wende- punkte enthalt, wird von den drei harmonischen Polaren derselben in drei neuen. Punkten getroffen; die drei Punktepaare gehoren einer Involution an. Diejenigen neun Punkte, in welchen die Tangenten der Wendepunkte (Wendetangenten) von den ihnen zugehorigen harmonischen Polaren getroffen werden, liegen bekanntlich auf der Hesseschen Kurve H (3 \ weil sie die Doppelpunkte solcher Linienpaare sind, in welche die konischen Polaren der Wendepunkte ausarten; und es sind imrner ein Wende- punkt 2S und der Schnittpunkt (%, w) ein Paar konjugierte Punkte fur die H. Wir haben aber gesehen, daB die Wendepunkte der C' (3) gleichzeitig Wendepuukte der H^ sind und daB ein Wende- punkt der H (3) ein solcher Punkt ist, welcher gleichzeitig Tangentialpunkt fur seinen konjugierten Punkt ist. Hieraus folgt, daB der Weuclepunkt 2B Tangentialpunkt sein niuB zu dem Schnittpunkte (%, ui) . filr die H\ also niuB die 29. Beziehungen zwischen den Wendepunkten etc. 247 Tangente fo$ die Hessesche Kurve _H (3) . in diesem Schnitt- punkte (/SB, iv) beruhren. * Daher erhalten wir den Satz: Die Wendetangenten der (3) beruhren ihre H (S) in denjenigen Punkten, in welchen jede Wende- tangente von der harmonischen Polare ihres Wende- punkts getroffen wird. Die Hessesche Kurve f (3) und die Cayleysche Kurve K^ } stehen in derselben Beziehung zueinander, wie die friiher von uns betrachtete urspriingliche Kurve (7 (3) und die zu ihr gehorige $ (3) ( 1, 5.). Die Kurven H^ und K*- 3) beruhren sich also- in den neun Punkten, in welchen sie sich begegnen, niimlich in den konjugierten Punkten zu den Wende- punkten der H (3 \ welche zugleich die Wendepunkte der C< 3) sind. Die zu den gemeinschaftlichen Tangenten der 7? (3) und K { " >} in ihren neun Beriihrungspunkten konjugierten Tan- genten sind, wie wir wissen ; die Riickkehrtangenten der -E" (3) . Da nun die Wendetangenten der (7 (3) in denjenigen Punkten berahren, in denen sich H (sy und K (y) begegnen, und die konjugierten Tangenten zu den Wendepunkten der (7 (3) fur die K ( ' A) die harmonischen Polaren iv der Wende- punkte 28 sind, so schlieBen wir: Die harmonischen Polaren w der Wendepunkte 28 einer C (y> sind die Riickkehrtangenten der Cay- leyschen Kurve K (3 \ und die Beriihrungspunkte (Riickkehrpunkte der .ff( 3) ) derselben sind diejenigen neun Punkte, in welchen die Wendetangenten % der O (3) von den harmonischen Polaren ihrer Wende- punkte getroffen werden. Hieraus folgt auch eine Bestatigung der schon vorhin (4.) gemachten Bemerkung, da6 die neun harmonischen Po- laren eine analoge, nur dual gegeniiberstehende Konfiguration bilden, wie die neun Wendepunkte selbst, weil die beiden Kurven Zf (;i) und 7 (3) einander dual gegeniiberstehen und den Wendepunkten der H (3) die Riickkehrtangenten der K (y) gegeniiberstehen. 248 Theorie der cbenen Kurven dritter Ordnung. 6. Nehmen wir einen beliebigen Wendepunkt der 6 r(3) und moge seine harmonische Polare die Wendetangente fiir 233 in dem Punkte mi! Vi schneiden, dann sind SB. und ty. nicht allein ein Paar kon- jugierter Punkte der Hesseschen Kurve H (3} , sondern es ist auch SB. der Tangentialpunkt zu ty r Da man nun durch zwei solcher Paare konjugierter Punkte allemal ein drittes Paar konjugierter Punkte ableitet, so gelangt man zu einem innigen Zusammenhange zwischen den Punkten SB ; und ^$ . (if k = 1, 2, 3), z. B. aus SB{ und SB 2 , deren konjugierte $} und %* sind, folgt woraus hervorgeht, da6 je drei Punkte auf einer Geraden liegen miissen. Wir erhalten hierdurch im ganzen 36 Gerade, deren jede zwei Punkte ^5 und einen Wendepunkt SB enth'alt, was aus folgendem Schema hervorgeht: ongsogsqgs *^ 1 T* 2 -T 3 .> i ; !*;*;, a :> 29. Beziehungen zwischen den Wendepunkten etc. 249 von diesen 36 Geraden gehen durch jeden der neun Wende- punkte vier, dagegen durch jeden der neun Punkte ty* acht Gerade, namlich seine Verbindungslinien mit den acht tibrigen ^5.; die 36 Geraden sind daher die "'., = 36 Verbindungs- linien je zweier der neun Punkte ty . , und wir konnen sagen : Jede Verbindungslinie zweier Punkte ^ k auf der H (3} trifft dieselbe zum dritten Mai in einem Wendepunkte derselben, welcher zugleich ein Wende- punkt der Fundamentalkurve (7 (3) ist. Diese 36 Ver- bindungslinien schneiden sich zu je vier in den neun Wendepunkten der C (3) . Wir konnen demgemaB das vorige Tableau auch kiirzer so darstellen: wo die Verbindungslinie zweier ^3. aus einer beliebigen Horizontal- und Vertikalreihe genommen den betreffenden Wendepunkt SS* aufweist, der auf dieser Geraden liegt. 1. Ferner wissen wir, da6 wenn drei Punkte einer Kurve dritten Grades H (3) auf einer Geraden liegen, ihre drei kon- jugierten Punkte derartig beschaffen sind, daB in ihnen ein Kegelschnitt die H ( * } dreimal beriihren kaim, oder anders ausgedriickty daB sie ein Tripel von Punkten der H {3) bildeu; aus der Lage der Wendepunkte S&* schlieBen wir also auf 250 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. die Lage der Punkte $*' (i, Jc = 1, 2, 3), welch e sicli so zu zwolf Tripeln orduen Da die sechs Punkte zweier beliebigen Tripel allemal auf einem Kegelschnitt liegen, so liegen die neun Puukte ty. 66mal (= 1 ' g ) zu je sechs auf einem Kegelschnitt. Es bilden auch noch auf andere Weise, nainlich iininer zwei Wendepunkte und der zu dem dritten auf ihrer Ver- bindungsliuie liegenden Wendepunkt konjugierte Punkt ein Tripel, z. B. " u. s. f. Wir erhalten also auf diese Weise 12.3 = 36 neue Tripel, und wenn wir diese untereinander oder niit den vorigeu zu je zweien verbinden, so erhalten wir Kegel- schnitte, welche entweder vier Wendepunkte und zwei Punkte 98* oder zwei Wendepunkte und gewisse vier Punkte 5)3* enthalten, woraus eine groOe Menge neuer Kegelschnitte hervorgeht. 30. t)ber den Zusammenhang der Punkte einor C (3) mit ihren zugehorigen Tangentialpunkten. 1. Wir haben uns iiber die Lage und Realitat der Wendepunkte einer C (3) ( 28 und 29) orientiert unter der Voraussetzung, da6 die Kurve niindestens eiueii reellen Wendepunkt habe. Der Nachweis hierfiir soil jetzt nach- traglich geliefert werden durch die Untersuchung des Zu- sammenhanges zwischen den Punkten der f (3) und ihren zugehorigen Tangentialpunkten. 30. Uber den Zusammenhang cler Punkte einer C7 (3) etc. 251 Aus den allgemeinen Betrachtungen in 16 geht her- vor, daB zunachst bei der einziigigen 6' (3) , wenn wir in einem Punkte C derselben die Tangente tz ziehen, welche zum dritten Mai in )', dem zu 5 gehorigen Tangential- punkte, der C (3) begegnet, bei der Veranderung von O langs des ganzen kontinuierlich zusammenhungenden Zuges, auch der Punkt )' langs desselben sich fortbewegen wird. Der Punkt C' durchlauft aber den Zug zweimal, wah- rend O ihn einmal durchlauft, weil aus jedem Punkte des Zuges zwei und nur zwei reelle Tangenten an denselben gehen. Halten wir namlich einen Punkt )' der C (3) fest und legen aus ihm die beiden reellen Tangenten an dieselbe, welche in ) l und D 2 beriihren, so teilen die beiden Punkte Cj und D 2 den ganzen kontinuierlich zusammenhangenden Zug in zwei Gebiete; wahrend der Punkt O das eine der- selben durchlauft von D : bis Oj,, wird der zugehorige Tan- gentialpunkt von C^ ausgehend wieder nach 5^ zuriick- kehren, indeni er den ganzen Zug durchlauft, und wenn O das andere Gebiet von 2 nach O x durchlauft, wird der zugehorige Tangential punkt O' nochmals von D^ ausgehend den ganzen Zug durchlaufen und wieder nach O^ zuriick- kehren. Um diese Behauptung zu rechtfertigen, wollen wir das eine Gebiet des Zuges zwischen > 1 und D 2 das Gebiet (^4) und das iibrige von D 2 bis D x das Gebiet (J5) nennen. Wenn nun ein veranderlicher Punkt 36 auf dem Zuge das eine Gebiet (A) von D x nach D 2 kontinuierlich durch- lauft, so muB der zugehorige Tangentialpunkt 36' von OQ ausgehend wieder nach D,' zuriickkehren, also entweder den ganzen Zug kontinuierlich durchlaufen oder nur einen Teil desselben und dann wieder umkehren, um nach D' Q ausgehend nur ein Stiick auf dem noch freien Teile des Zuges und kame umkehrend wieder nach D,J zuriick. Dies ist aber auch nicht moglich; denn sonst blieben offenbar auf dem Zuge Punkte iibrig, die keinmal von ' erreicht wiirden, aus denen also keine reelle Tangente an den Zug ginge. Hieraus folgt, da6 die friihere Annahme unzutreffend ist; vielmehr wird in der That, wahrend 3 das Gebiet (^4) kontinuierlich durchlauft, der zugehorige Tangentialpunkt 3' den ganzen Zug kontinuierlich durchlaufen, ohne seine Bewegungsrichtung umzukehren, von D^ ausgehend und nach Dp wieder zuruckkehrend; und wahrend 36 das tibrige Ge- biet (.B) durchlauft, wird sein Tangentialpunkt 3c f dieselbe Bewegung zum zweiten Mai ausfiihren. 2. Nun liegt der den beiden Punkten Oj und D 2 ge- nieinschaftliche Tangentialpunkt D^ entweder in dem Ge- biete (.4) oder in dem Gebiete (I?) des Zuges. Liegt der Punkt DO in dern Gebiete (J5), so mu6, wenn 3c das Ge- biet (A) durchlauft, der Tangentialpunkt 3' um von D'^ aus- gehend und ohne seine Bewegungsrichtung andern zu konnen, nach DO zuruckkehrend notwendig das ganze Gebiet (A~) durchstreifen, mi thin auch mindestens einmal mit 36 zu- sammentreffen auf diesem Gebiete. Wenn ein Punkt der C (3) mit seinem zugehorigen Tangentialpunkt zusammentrifft, so wird er offenbar ein Wendepunkt der Kurve. Liegt also D^ auf dem Gebiete (-B), so enthalt das Ge- biet (A) mindestens einen reellen Wendepunkt, und liegt umgekehrt DJ auf dem Gebiete (^4), so enthalt notwendig das Gebiet (i?) mindestens einen reellen Wendepunkt der Kurve. Unter alien Umstanden enthalt also der ganze Zug der einziigigen C (3) mindestens einen reellen Wendepunkt; 30. tiber den Zusammenhang der Punkte einer C' s ' etc. 253 daraus folgt aber, wie wir in 28 gesehen, die Realitat dreier und alles Ubrige. Ein Wendepunkt der (7 ty) hat die charakteristische Eigenschaft, drei unendlich nahe aufeinan- der folgende Punkte 1, 2, 3 der Kurve und die Wende- tangente in demselben, zwei aufeinander folgende unendlicb nahe Tangenten 1 2 | und | 2 3 | zu vereinigen. Fur die Tangente | 12 | ist 3 der zugehorige Tangentialpunkt, fur die Tangente 2 3 wird 1 der zugehorige Tangentialpunkt. Jndem beim Durchgange durch den Wendepunkt Beruhrungs- punkt und Tangentialpunkt zusainmenfallen, wird also, wenn der Beriihrungspunkt die Bewegungsrichtung von 1 durch 2 nach 3 einschlagt, der. zugehorige Tangentialpunkt die Be- wegungsrichtung von 3 durch 2 nach 1, d. h. die entgegen- gesetzte Bewegungsrichtung einschlagen mussen. Da nun, wie wir gesehen haben, bei der Bewegung eines Punktes langs des ganzen kontinuierlichen (im Unendlichen zusammen- hangenden) Zuges in einer bestimmten Bewegungsrichtung mit seiner Tangente, auch der zugehorige Tangentialpunkt eine bestimmte Bewegungsrichtung einschlagt und dieselbe nicht umkehren kann, so wird tiberhaupt, wie ( dies beim Durchgange durch den Wendepunkt der Fall ist, bei kon- tinuierlicher Bewegung der Tangente langs des Zuges, der Tangentialpunkt die entgegengesetzte Bewegungsrichtung haben, wie der Beriihrungspunkt. Da nun die Punkte \ und O 2 , welche denselben Tan- gentialpunkt 0,J haben, den ganzen Zug in die beiden Ge- biete (A) und (-B) zerlegen, so wird, falls der Punkt DJ auf dem Gebiete (B) liegt, wenn der Punkt X das Gebiet (A) von D t nach 2 durchlauft, der Tangentialpunkt 36' in ent- gegengesetzter Bewegungsrichtung das Gebiet von D 2 nach D! durchlaufen, also nur einmal mit dem Punkte 3 zu- sammentreffen kbnnen; das Gebiet (2?) dagegen wird durch den Punkt C^ in zwei Teile zerlegt, zwischen C^ und ) l und zwischen C^ und ) 2 ; in jedem der beiden Teile mu6 der Punkt X seinem in entgegengesetzter Richtung laufenden Tangentialpunkte 3t' einmal begegnen. Es liegen also auf dem Gebiete (J5) zwei Wendepunkte, auf dem Gebiete (A) 254 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. ein Wendepunkt, und dies sind die drei einzig reellen Wendepunkte (welche in gerader Lime liegen). In dem andern Falle, wenn D,', auf dein Gebiete (A} liegt, ist es gerade umgekehrt. Die Punkte D t und D 2 sind konjugierte Punkte der einziigigen C {3) , weil sie denselben Tangentialpunkt haben, und zwar des einzigen Systems, welches auf ihr reell existiert. Wir schlieBen also: Zwei konjugierte Punkte der einzugigen (7 (3) zer- legen den ganzen kontinuierlichen (im Unendlichen zusammenhangenden) Zug derselben in zwei Ge- biete, deren eines den gemeinsarnen Tangential- punkt enthalt. Auf dem Gebiete, das diesen nicht enthalt, liegt allemal nur ein reeller Wendepunkt der 6" 3 >5 das andere Gebiet wird durch den Tangen- tialpunkt in zwei Teile zerlegt, deren jeder einen reellen Wendepunkt enthalt. Dies sind die drei einzig reellen Wendepunkte der einzugigen C (3 >. Wir bemerken noch, daB bei der einzugigen 6' (3) wah- rend der Bewegung einer Tangente langs des kontinuier- lichen Zuges Beriihrungspunkt und Tangentialpunkt immer entgegengesetzte Bewegungsrichtung haben, wie wir ge- sehen haben; dagegen haben zwei konjugierte Punkte immer dieselbe Bewegungsrichtung auf dem Zuge. Denn mit einem Punkte, der sich kontinuierlich auf dem Zuge in einer bestimmten Bewegungsrichtung fortbewegt, wird sich auch der konjugierte Punkt in bestimmter Bewegungsrichtung kontinuierlich fortbewegen, ohne dieselbe umkehren zu konnen. Wenn diese beiden Bewegungsrichtungen entgegenge- setzt waren, so rnuBten sich daher notwendig die beiden konjugierten Punkte einmal begegnen, also zusammenfallen, was bei einer C (3) ohne Doppelpunkt, wie wir sie voraus- setzen, nicht moglich ist. Teilt also einmal ein Paar kon- jugierter Punkte D 1? D 2 den Zug in die Gebiete (A) und (B} } so hat jeder Punkt auf dem Gebiete (A) seinen konjugierten Punkt auf dem Gebiete (B} und umgekehrt. 30. tfber den Zusammenhang der Punkte einer C( 3 > etc. 255 3. Bei der zweiziigigen C (3) , welche aus einem paaren Zuge (Oval) und einem unpaaren Zuge (Serpentine) besteht, wird jede Tangente des paaren Zuges ihren Tangentialpunkt auf dem unpaaren Zuge haben; es kann also niemals ein Beriihrungspunkt auf einer Tangente des paaren Zuges mit seinem Tangentialpunkt zusammenfallen, und daher auch niemals ein Wendepunkt auf dem paaren Zuge liegen. Da- gegen hat jeder Punkt des unpaaren Zuges seinen Tangen- tialpunkt wieder auf dem unpaaren Zuge; die reellen Wende- punkte der zweiziigigen C (S) konnen also nur auf dem un- paaren Zuge liegen. Da nun durch jeden Punkt des un- paaren Zuges zwei reelle Tangenten an den paaren Zug gehen, welche hier nicht in Betracht kommen, und zwei reelle Tangenten an den unpaaren Zug gehen ( 16), wie bei der einziigigen (7 (3) , so findet hier fur den un- paareu Zug der zweiziigigen (7 (3) genau dasselbe Verhaltnis statt wie vorhin bei der einziigigen, nur mit dem Unter- schiede, daB die Beriihrungspunkte des aus einem Punkte des unpaaren Zuges an denselben gehenden Tangentenpaares nur in einem der drei Systeme konjugierter Punkte auf der zweiziigigen 6 r(3) enthalten sind. Das Ergebnis der Unter- suchung riicksichtlich der Ermittelung der drei reellen Wendepunkte bleibt aber bestehen, namlich: Eine zweiziigige (7 (3) hat ihre drei reellen Wende- punkte nur auf dem unpaaren Zuge; aus einem be- liebigen Punkte D desselben gehen zwei reelle Tangenten an ihn, welche in D x und D 2 beriihren und den Zug in zwei Gebiete zerlegen, deren eines den Punkt O enthalt; dasjenige, welches ihn nicht enthalt, hat einen reellen Wendepunkt, das andere zwei reelle Wendepunkte, deren einer auf dem Teile zwischen und Dj, der andere auf dem Teile zwischen und O 2 liegt.* * Vergl. H. Durege: ,,Uber die Formen der Kurven dritter Ordnung", Borchardta Journal f. Math. Bd. 76, S. 153. 256 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. 31. Das Steinersche Schliefsungsprobleni fiir die C&. 1. In einer am 27. November 1845 in der Akademie der Wissenschaften zu Berlin gehaltenen Vorlesung stellte Steiner* einige Satze tiber die Kurve dritter Ordnung auf, welche wenig Beachtung fanden, bis sie durch Clebsch** eine ebenso elegante, wie durch. die angewendeten Prinzipieii bedeutungsvolle analytische Losung erhielten. Eine rein geometrische Behandlung und Erweiterung wurde ihnen erst zu Teil durch Kiipper*** und Schoute ', endlich eine Uber- tragung auf die raumliche C (4) durch Eberhard. 1 ' Der wohl zuerst durch Kiipper aufgedeckte einfache geome- trische Ursprung dieser Satze schliefit sich so naturgeniaB an die hier entwickelten Fundamentaleigenschaften der G' l3) an, daB wir auf ihre Darstellung nicht verzichten diirfen. Gehen wir von zwei festen Fundamentalpunkten ty und D der C (y> aus und beginnen ein Polygon, 2n-Eck, der C (3) einzubeschreiben, dessen Seiten abwechselnd durch ty und D gehen, so konstruieren wir folgendermaBen: Von eineni beliebigen Anfangspunkte 5t x der C (5) ziehen wir | K!^ |, welche Gerade die Kurve zum dritten Mai in 33 X trifft, dann ziehen wir die Gerade | 23jD |, welche in $1 2 die (7< 3> triffb, weiter : St^ |, die in S3 2 triffb, | S3 2 O , die * J. Steiner: ,,Geometrische Lehrsatze", Crelles Journal f. Math. Bd. XXXII, S. 182. ** A, Clebsch: ,,t)ber einen Satz von Steiner und einige Punkte der Theorie der Kurven dritter Ordnung", Borchardts Journal f. Math. Bd. LXIII, S. 94. *** K. Kiipper: ,,t)ber die Steinerschen Polygone auf einer Kurve dritter Ordnung und damit zusammenhangende Satze aus der Geometrie der Lage", Klein u. Mayer, Math. Ann. Bd. XXIV, S. 1. f P. H. Schoute: ,,Die Steinerschen Polygone", Kroneckers Journal f. Math. Bd. XCV, S. 105. ft V. Eberhard: ,,Die Raumkurven vierter Ordnung erster und zweiter Species in ihrem Zusammenhang mit den Steinerschen Schliefi- ungsproblemen bei den ebenen Kurven dritter Ordnung", Schlomilcha Zeitschr. f. Math. u. Phys. Bd. XXXII, S. 65. 31. Das Steinersche SchlieBungsproblem fur die (7 (S) . 257 in 9JC 3 trifft u. s. f., bis | 2l n $ | in 23,, und | S3 W Q | in 2I,, 41 der (7( 3) begegnet. Dann wird im allgemeinen bei beliebiger Wahl der Fundamentalpunkte ^3, O und des willkiirlichen Anfangspunktes der letzte Punkt 5t + i niit dem ersten Sl x nicht zusammenf alien; der Steinersche Satz sagt aber aus, daB weun dies einnial stattfindet, es immer stattfinden niuB, wo man aucli den Anfangspunkt Slj auf der C (3) wahlen mag bei festgehaltenen Fun- damentalpunkten ty, O. Das 2w-Eck 91 j>R 91 2ft 91 9i $W vv^ -vJ^ -'2 **3 **re *W<| schliefit sich also immer , wenn es sich einmal schlieBt. 2. Der Beweis dieses schonen Satzes ist eine unmittel- bare Folge des bekannten Satzes (S. 56): ,,Schneidet eine Gerade die (7 (3) in den drei Punkten 9J(, ^P, S3 und eine zweite in SI', D, 93', so treffen die drei Verbindungslinien | SttC' , ^5D , S3S3'! die C& i n drei neuen Punkten einer Geraden." Konstruieren wir namlich ebenso wie vorhin das 2w-Eck 9T flft 9T ga 9jf 35 **! '^1 2 2 '' ^n' < -'7 indem wir von 5lj ausgingen, ein zweites 2w-Eck ;a;ajj... aii, indem wir von einem andern Punkte Sl{ ausgehen, und nehmen wir an, daB das erste 2w-Eck sich schlieBt, also 2( nfl = 2l 1 wird, so zeigt sich, daB auch das zweite sich schlieBen niuB und zwar mit gleicher Anzahl der Ecken. Denn wir haben nach der angegebenen Konstruktion immer folgende je drei Punkte der C (3) auf einer Geraden 83,D9I 4 t+i Schr5ter, Theorie der ebenen Kurven 8. Ordn. 17 258 Theorie der ebenen Kuryen dritter Ordnung. Jetzt folgt aus den beiden Geraden nach dein obigen Satze, daB die dritten Schnittpunkte der Geraden iSI^i, $G , j S^SJ mit der <> auf einer neuen Geraden liegen mussen, und ebenso aus den beiden Geraden daB die dritten Schnittpunkte der Geraden 5l 2 2l{; ; i SBjSSj' j mit der C^ auf einer neuen Geraden liegen miissen; diese ist aber mit der vorigen identisch, weil sie zwei Punkte mit ihr gemein hat; ihr dritter Schnittpunkt mit der C (3) muB also sowohl auf ^^'2,, als auch auf j %%%[ . liegen, folglich muB der Schnittpunkt (2,2i 2 2i;) = or ein Punkt der C (3) sein. In gleicher Weise folgern wir, daB der Schnittpunkt (W, .i) - ^ ein Punkt der C' (3) sein muB. Aus den Geraden 91 D 21' I I 91 D 2['l **l x -'l w |> I ^3 ^2^1? I 9I'O 9t I I 2t'D 21 I f **'$*-' *-8 I > I a i~ J l a 2l folgern wir in gleicher Weise, daB auch der Schnittpunkt [!;,,;)->. ein Punkt der C (3) sein muB. Ferner sehen wir, wie vor- tin, daB (.;, a 4 aj)-o 4 ein Punkt der (7 (3) sein muB und schlieBen aus den Geraden 21 O 21' ! 21 O 21' *4 ^3 *4 J ^4 ^4 ^0 ? I 2I'D 2t ! Sf'D 21 I I ^^^S 1? I W l ^3^3 I? daB auch der Schnittpunkt (,!, 4 a/) ein Punkt der (7 (3) sein muB. Indem wir auf diese Weise zu schlieBen fortfahren, erkennen wir endlich, dass der Schnittpunkt 31. Das Steinersche Schliefhmgsproblem fur die C&. 259 ein Punkt der C' (3) sein muB. Wenn nun das erste 2w-Eck sich schlieBt, also , + ! = ! wird, so kann die Gerade | O^+i^ | nur noch in eineni einzigen dritten Punkte der (3) begegnen, es muB also ai+i - 2t; sein, d. h. auch das zweite Polygon muB sich mit gleicher Seitenzahl 2w schlieBen, und da der neue Anfangspunkt *&.[ ganz willkiirlieh auf der (7 (3) angenommen war, so schlieBt sich jedes in der angegebenen Weise konstruierte 2n-Eck, sobald sich nur einmal ein solches schlieBt, wodurch der Steinersche Satz bewiesen ist. 3. Fur zwei beliebig auf der C (3) gewahlte Fundamental- punkte ty, ), wird offenbar ein SchlieBen des Steinerschen 2-Ecks nicht stattfinden, sondern die Punkte ^, D sind einer gewissen Bedingimg unterworfen, damit ein SchlieBen stattfinde, welches dann unabhangig ist von der Wahl des Anfangspunktes fur das 2w-Eck. Wir konnen aber, wenn wir einmal ein Punktepaar ty, O von der verlangten Eigen- schaft haben, unendlich viele andere Paare von gleicher Eigenschaft ableiten, indem wir irgend einen Punkt . 261 von einem beliebigen Punkte @ der C (3) aus in ein neues Punktepaar $P'Q', so besitzt dieses die gleiche Eigenschaft wie ^SD. Man kann also aus einem Punktepaar $)3D unendlich viele andere ableiten. Gleichzeitig ersehen wir, daB die Punkte $]3 und D eines Paares miteinander vertauschbar sind; denn schneidet die Verbindungslinie j $j$D die G' t3) zum dritten Mai in @, und projizieren wir von @ aus den Punkt ty auf die C <(3) , so erhalten wir den Punkt O; pro- jizieren \vir aber d, so erhalten wir $, also geht das Paar ^3O in das neue Paar d^S iiber, was auch selbstverstandlich ist, weil fiir 5l w +i = S^ bei Vertauschung von ^ und O das 2?z-Eck nur in entgegengesetztem Sinne durchlaufen wird. Wir sehen ferner aus unserm Schema weil s $ und O von 93! aus in die Punkte < $i l und S( 2 pro- jiziert werden, daB auch 31^2 ein Steinersches Punkte- paar in dem friiheren Sinne ist, ebenso 2I 2 und 51 3 , 2( 3 und .H,, u. s. f., 3I rt und STjj ferner weil ^8 und O von 51 2 aus in die Punkte 93j und 93., projiziert werden, so sind auch 9^ und 93 2 , ebenso 93., und 93 3 u. s. f., 93 n und 93 t Steinersche Punktepaare, wie die urspriinglichen ^ und O. Aus der vorigen Herleitung ergiebt sich noch ein weiteres Resultat, welches einen gewissen Zusamnienhang liefert zwischen zwei beliebigen in der geforderten Art konstruierien 2n- Ecken 21 99 21 SB 91 !sB I " < - J 2' auf der C^ 3 * schneiden, und dies ist die gesuchte Bedingung fur das Punktepaar ^D: Sind fiir ^ und O die zugehorigen Tangential- punkte ^ und D n und liegt der Schnittpunkt auf der C' (3) , so sind ^5O die Fundamentalpunkte fiir ein Steinersches Sechseck. Wir sehen, wie sich diese Betrachtung fortsetzen laBt und sich die von St einer noch fur das Zehneck angegebene Bedingung in analoger Weise ergiebt. 6. Zwischen den Fundamentalpunkten ^5, O fiir ein 2n-Eck und fiir ein 4n-Eck besteht ein sehr einfacher Zu- sammenhang, sodaB sich aus einem solchen Paar das andere und umgekehrt ableiten laBt, wie wir jetzt sehen wollen. Ist ^ der Tangentialpunkt zu *>$ und Dj der Tan- gentialpunkt zu O, und ziehen wir die folgenden Ver- bindungslinien, deren jedesmaligen dritten Schnittpunkt mit der C (3 ) wir aufsuchen so folgt, da wir uoch die Geraden 266 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. !$$$! und haben, aus den beiden Geraden die dritte Gerade I @ $ wo @ den dritten Schnittpunkt von ^i \ bezeichnet. Aus den beiden Geraden folgt die dritte Gerade also mu6 9l t (5 a durch Q, gehen, oder Si D durch lj , was dasselbe sagt; mithin muB $=E&1 sein, und wir haben fblgende beiden Reihenfolgen von Geraden i) -la^Bi , A^, 2) ^D^ ,'(^^1, i^D,!, (g^^.; beide fiihren von 21 1 nach 51 2 , die erste durch das Paar von Fundamentalpunkten ^iDt, indem jeder nur eimnal verwendet wird, die zweite durch das Paar von Fundamental- punkten ^8D 7 indem jeder zweimal in der vorgeschriebenen Weise verwendet wird. Wenn wir also auf diese Art fortgehen von 21 2 zu 31 3 , S1 4 , . . ., 3l n und wir gelangen wieder zu 5^ zuriick, so er- halten wir fur das Paar von Fundamentalpunkten ^Dj ein Steinersches 2w-Eck und fur das Paar von Fundamental- punkten Q^jS ein Steinersches 4^-Eck. In diesen diirfen wir aber die Punkte 9$ und O miteinander vertauschen, wodurch nur das geschlossene Polygon in umgekehrter Richtung durchlaufen wird; also erhalten wir den Satz: Sind $PJ und Oj die Tangentialpunkte zu ^8 und D, und ist fur erstere ein Steinersches 2-Eck moglich, so sind letztere die Fundamentalpunkte fiir ein Steinersches 4-Eck ; und umgekehrt. 31. Das Steinersche SchlieDungsproblem fiir die C^>. 267 Da < $ l und & L die Tangentialpunkte zu ty und O sind, so wird die Gerade | ^3D j die C (3> in einem dritten Punkte 9? schneiden, dessen Tangentialpunkt 91 1 mit < ^ 1 und Q x auf derselben Geraden liegen muB. Projizieren wir das Punkte- paar ty und !Q von ^5 aus, so erhalten wir ein neues Punkte- paar ^ und 91 von gleicher Beschaffenheit; 'Si ist aber der Beriihrungspunkt einer aus 9^ an die f' (3) gelegten Tangente, also konnen wir auch sagen: Sind ^Q! ein Paar von Fun- damentalpunkten fiir ein 2-Eck, schneidet l^jGj] in 91,, wird endlich aus 9^ eine Tangente an die C r(3) gelegt, welche in 91 beriihrt, so sincl ^3 X und 91 ein Punktepaar fiir ein Steinersches 4w-Eck ; ebenso O 1 und 91. In dieser Form hat St einer das Theorem ausgesprochen, die obige mehr symmetrische riihrt von Schoute her. 7. Das Steinersche SchlieBungsproblem laBt sich er- weitern, wenn wir statt zweier Fundamentalpunkte ^$, O mehrere annehmen und ein der C' (3) einbeschriebenes Polygon bilden, dessen Seiten der Reihe iiach durch die gegebenen Fundamentalpunkte hindurchgehen. Nehmen wir zunachst drei Fundamentalpunkte $1, &, ?3 und beginnen mit einem beliebigen Punkte 5l : der (7 (3) als erster Ecke eiiies Polygons die Seiten desselben zu konstruieren wo X der letzte Punkt ist, dann zeigt sich aus den Geraden 910 und daB der dritte Schnittpunkt derjenigen Geraden, welche die beiden Schnittpunkte von ^^2 1 un( ^ ! ^2 ^ i ,vereinigt, sowohl auf 1^5(^1, als auch auf 2t 3 H 4 liegen muB; da aber der dritte Schnittpunkt von | 51 3 5I 4 ! der Punkt ^5 3 ist, so miissen auf einer Geraden liegen, also 5t 6 ^3 ! mu ^ durch Slj gehen; folglich ist 268 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. V 9t * a i J und wir erhalten ein Sechseck, welches sich in $lj schliefit ^fct^iwk wo auch der Anfangspunkt 5lj gewahlt sein mag, also gilt der Satz: Nehmen wir drei beliebige Fundamentalpunkte ^,^27^3 au f der G T(3) und beginnen mit einem belie- bigenPunkte^ einPolygon der (7 (3) einzubeschreiben, dessen Seiten der Reihe nach durch ^5 n ^5 2 , ty 3 gehen ? so schlieBt sich dasselbe nach zweimaligem Durch- gange durch die drei Fundamentalpunkte und bildet also immereingeschlossenesder C T(3) einbeschriebenes Sechseck. Dieser Satz laOt eine Erweiterung zu fur eine beliebige ungerade Anzahl von Fundamentalpunkten *Pi> ^2> ^3> -, %* ( m ungerade). Beginnen wir namlich mit einem beliebig auf der 6 r(3) gewahlten Anfangspunkt 5l x das Polygon in der vor- geschriebenen Weise zu konstruieren, so sind seine Seiten 3t9B2Iil2I9B3M ! 2I9S2I! *4 "T I a 2 j 7 I ^2 -T2 a 3 1 1 I ^3 "T3 ^4 1 dann folgt aus den beiden Geraden weil i ^ 2 ^s I durch den festen Punkt ^]S 2 geht, wenn wir den dritten Schnittpunkt von | ^^3 mit der C (3) durch S3 X bezeichnen, da6 S^SIJ durch den dritten Schnittpunkt der Geraden | S5j ^5 2 i hindurchgehen muB. Dieser Punkt hangt aber nur ab von den drei festen Punkten ^ , ^ 2 , ^5 3 ; es wird namlich der dritte Schnittpunkt von j ^ ^ 3 1 niit dem Punkt ?$ 2 verbunden und auf dieser Verbindungslinie der dritte Schnittpunkt Oj ermittelt; dann geht j^^j notwendig durch diesen festen Punkt Oj, wie auch der Anfangspunkt 5l t gewahlt werde auf der C (3) , wobei natiirlich auch der Endpunkt ?1 4 sich verandert. 31. Das Steinersche SchlieDungsproblem fur die C^. 269 Ferner folgt aus den beiden Geraden well 31 4 9( 5 durch den festen Punkt ^ 4 geht, und der dritte Schnittpunkt von j D!^! auch ein fester 95 2 1st, daB durch den dritten Schnittpunkt von | S3 2 ^ 4 1 ; welcher ein fester Punkt sein wird, die veranderliche Sehne j ^Slg hindurch- gehen muB, wie wir auch den Anfangspunkt 9^ wahlen mogen. Fahren wir in dieser Weise zn schlieBen fort, so sehen wir, daB auch | f^^Cg j u. s. f. durch feste und nur von den ^5 abhangige Punkte laufen, unabhangig von der Wahl des Anfangspunktes 3l r 1st nun m eine ungerade Zahl, so muB auch | ^^+1] durch einen festen Punkt D laufen, weil (m + 1) gerade ist. Beginnen wir jetzt die Reihe von neuem und kon- struieren anstatt von 5lj auszugehen, von 5l m +i aus in gleicher Weise das Polygon so wird die Verbindungslinie J ^Sim+i^m+i durch denselben festen Punkt gehen miissen, der vorhin gefunden wurde und nur allein von den in bestimmter Reihenfolge zu ver- wendenden Punkten ^5 abhing, also ist der Schnittpunkt ein Punkt der (3) . Da aber die Gerade D5l m +i nur noch in einem einzigen dritten Punkte der (7 (3) begegnen kann, so folgt Sl^mi durch einen festen r nur von den Fundamentalpunkten ^ , $J$ 2 , . . ., ^ m abhangigen Punkt gehen niuB. Verlangen wir jetzt, daB schon 5l m +i Mi werden, also das w-Eck sich schlieBen soil, dann miifite der feste, allein von den ^ abhangige Punkt O, durch welchen j Slj^Ui gehen muB, mit ^ TO koinzidieren; es wiirde also dadurch eine Bedingung zwischen den Fun- damentalpunkten $P 1; ^5 2; . . ., tym gegeben sein. 1st dieselbe einmal erfiillt, dann wird das m-Eck sich unabhangig von der Wahl seines Anfangspunktes immer schlieBen, im all- gemeinen bei willkiirlicher Wahl der Fundanientalpunkte auf der (3) aber nicht. Die Bedingung dafiir, daB ein SchlieBen stattfinde, konnen wir aus der Konstruktion der festen Punkte D selbst ab- leiten; dieselben wurden namlich so konstruiert (S. 268, 269) Bil Dj | ... | 21^4 geht durch Dj, ibi n I 21 21 D 4 ^2 I : ^1 ^6 ! )) ^-2) 3 | MB iB O .1 21 21 ) I ""a 'Pe -^3 I "i * 1 n n ^z u. s. f., also fiir ein gerades m 32. Kegelschnitte, welche die C (S) mehrpunktig beriihren. 271 | 93,,, $_! | ... I 3l x 3I m j geht durch D* v- y- if- 1 ' also niiiBte sein Hinsichtlich der umfangreichen weiteren Untersuchun- gen, welche sich an das Steinersche SchlieBungsproblem anschlieBen, miissen wir auf die oben angegebenen Quellen verweisen. 32. Kegelschnitte, welch e die (7 (3) mehrpunktig beriihren (oskulieren). 1. Durch fiinf Punkte ist ein Kegelschnitt im allge- meinen bestimmt; legen wir nun durch fiinf Punkte 31 1? 31 2 , 3( 3 , 31 4 , 51 3 einer (7 (3) einen Kegelschnitt, so begegnet der- selbe noch in eineni sechsten Punkte 93 der Kurve, welcher in verschiedener Weise gefunden werden kann; zieht man ! 5LSL L welche Gerade in 3(' zum dritten Mai die C (3) treffen X B I / moge, 51 3 51 4 , welche in W' treffen moge, 5l'3l"|, welche in 31'" treffe, dann muB 31 5 SI'" ! in 95, dem gesuchten Punkte treffen; denn weil die drei Geraden I 91 21 21' I I **i **-2 ** I neun associierte Punkte (Grundpunkte eines Kurvenbuschels dritter Ordnung, 10, 2.) ausschneiden und ', 31", 31'" auf einer Geraden liegen, so miissen die iibrigen sechs 31^ 3t 2 , 31 8 , 3t 4 , 31 5 , 99 auf einem Kegelschnitt liegen. Wir konnen nun die fiinf Punkte 3l t , 31 2 , 3t 3 , 31 4 , 31 5 einander unendlich nahe riicken d. h. zusammenfallen lassen, also einen Kegelschnitt bestimmen, welcher in eineni Punkte 31 die C (3) ftinfpunktig beriihrt; dann wird die Konstruktion des sechsten Schnittpunktes folgende: Da 3t u 3( 2 zusammenfallen in 3t, so wird 31' der Tan- gen tialpunkt zu 31; da auch 3l s , 31 4 nach 31 hineinfallen, so wird auch 31" der Tangentialpunkt zu 3t; also 31' und 31" fallen zusammen, mithin wird 31'" der Tangentialpunkt zu 272 Theorie der ebenen Kuryen dritter Ordnung. 2T, und jetzt schneidet j 2151'" in dem gesuchten Punkte 93, also: Eine Kurve (7 (3) kann im allgemeinen in jedem ihrer Punkte 21 fiinfpunktig von einem Kegelschnitt beriihrt werden; der sechste Schnittpunkt 93 des Kegelschnitts mit der C' (3) wird dann so gefunden: Man bestimme zu 21 den Tangentialpunkt 2I U zu 2t t den Tangentialpunkt 21 2 , und ziehe j 2121 2 , welche Gerade in dem gesuchten Punkte 93 der (3) begeg- nen wird.* Hierdurch wird jedem Punkte 21 der C (S) ein bestimmter Punkt 93 zugeordnet. Nehmen wir drei Punkte 21, 21', 21" der C (3) , konstruieren in jedern derselben den fiinfpunktig beriihrenden Kegelschnitt und nennen den jedesmaligen sechsten Schnittpunkt 93, 93', 93", so haben wir, um diese Punkte zu ermitteln, die drei Tan- gentialpunkte von 21, 21', 21" aufzusuchen 21 21' 21" cij, -a 1 , ^ , yon diesen wieder die drei Tangentialpunkte 9T 9[' 9T" ^2> -^2? ^2 und auf den drei Verbindungslinien I 2t2l 2 j, j 2l'2l^ |, | 2T2l';j die dritten Schnittpunkte 93, 93' 93". Werden 21, 21', 21" auf der C (3 > so gewahlt, daB sie in gerader Linie liegen, so miissen bekanntlich auch 2l t , 2l{, 2({' auf einer Geraden liogen, und folglich auch 2t 2 , 21^, 21 "j aus den beiden Geraden 212T2T |2T 2 ^21 2 ' folgt aber die dritte 9393'93" also: * J Steiner: ,,Satze fiber Kurven zweiter und dritter Ordnung", Crelles Journal f. Math. Bd. XXXII, S. 301. 32. Kegelschnitte, welche die C (3) mehrpunktig beriihren. 273 Konstruiert man in drei auf einer Geraden lie- genden Punkten der (3) die fiinfpunktig beriihren- den Kegelschnitte, so liegen ihre drei sechsten Schnittpurikte wieder auf einer Geraden. Werden 21, 21', 21" so gewahlt auf der C&\ daB in ihnen ein Kegelschnitt dreimal die Kurve zweipunktig be- riihrt, d. h. bilden 21, 2T, 21" ein Tripel von Punkten der T'(3) ( g ? 3 ^ so Hegen ebenfalls die drei Tangentialpunkte 2l t , 2l{, 21" auf einer Geraden, denn die drei Geraden 21212^ j, !''! , !"";'< schneiden die 6^ 3 > in einer Gruppe von neun associierten Punkten, folglich miissen, da SI, St, SI', SI', 21", SI" auf einem Kegelschnitt liegen, die drei iibrigen 2^, 2l{, 21" auf einer Geraden liegen; hieraus folgt, daB auch 21 2 , 2^, ^" un( ^ en ^" lich auch 93, 53', 93" auf einer Geraden liegen, also: Beriihrt ein Kegelschnitt die C^ in drei ver- schiedenen Punkten, und konstruiert man in jedem derselben den fiinfpunktig beriihrenden Kegel- schnitt, so liegen die drei sechsten Schnittpunkte dieser drei Kegelschnitte auf einer Geraden. 2. Suchen wir nunmehr auf der (7 (3) einen solchen be- sonderen Punkt 21 auf, daB fur den in SI fiinfpunktig be- riihrenden Kegelschnitt auch noch der sechste Schnittpunkt 93 nach H hineinfallt. Dann miiBte nach unserer Kon- struktion 21 2 der Tangentialpunkt von 21 werden, weil 219321 2 in einer Geraden liegen. Der Tangentialpunkt von 21 ist aber 21 17 also miifite 2l t mit 2t 2 zusammenfallen, und da 21 2 auch der Tangential- punkt von 2-ti ist, so miiBte 2l t mit seinem Tangentialpunkte zusammenfallen, folglich miiBte 2l x = SS ein Wendepunkt der C (3) sein, und der gesuchte Punkt 21 der Beriihrungs- punkt einer aus dem Wendepunkte 28 an die (3) gelegten Tangente; auch umgekehrt zeigt sich, daB, wenn dies der Fall ist, in dem so gefundenen Punkte 21 ein Kegelschnitt die C (3) sechspunktig beriihren muB. Da aus jedem Wende- punkte der C (3) im allgemeinen drei Tangenten an die C (3) gehen und es neun Wendepunkte giebt, so schlieBen wir: Sohriiter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordn. 18 274 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Es giebt 27 Punkte auf der C (3) , in welchen Kegelschnitte dieselbe sechspunktig beriihren. Dies sind diejenigen Punkte, in welchen die neun har- monischen Polaren der Wendepunkte die C (3) schnei- den, oder, was dasselbe sagt, diejenigen Punkte, welche die konjugierten sind zu den neun Wendepunkten in jedem der drei Systeme von konjugierten Punktepaaren auf der G' (3) . Da von den neun Wendepunkten nur drei reell und sechs imaginar sind, die drei reellen Wendepunkte aber auf dem unpaaren Zuge der G' (3) liegen, ferner aus jedem Punkte dieses unpaaren Zuges vier reelle Tangenten an die Kurve gehen, so schlieBen wir, im Falle dieser Punkt ein reeller Wendepunkt ist, also eine der vier reellen Tangenten in die Wendetangente hineinfallt, daB die drei tibrigen Tangenten aus ihm reell sind, und zwar eine derselben an den un- paaren, die andern beiden an den paaren Zug gehen; im Falle der zweiziigigen C (3) sind also von den obigen 27 Punkten 9 reell und 18 imaginar.* Zwischen den 27 Punkten, in welchen Kegelschnitte die C' (3) sechspunktig bertihren, bestehen infolge der Lage der neun Wendepunkte mehrfache Beziehungen. Legen wir namlich aus einem Wendepunkte 28 der (7 (3) eine Tangente an dieselbe rait dem Beriihrungspunkt 21, so miissen, weil $8 und 21 denselben Tangentialpunkt 28 haben, diese ein Paar konjugierter Punkte fur die C r(3) sein; durch ein solches Paar ist ein ganzes System unendlich vieler Paare konju- gierter Punkte eindeutig bestimmt und wird erhalten, indem man einen beliebigen Kurvenpunkt mit dem ersten Paare verbindet und als dritte Schnittpunkte dieser beiden Ver- bindungsstrahlen ein neues Paar konjugierter Punkte des- selben Systems findet. Nun giebt es aber drei solcher Systeme konjugierter Punktepaare auf der 6 1(3) ( 15). Gehen also aus 28 die drei iibrigen Tangenten 2821 , j 2895 , ; 203 j an die <7< 3 >, * J. Steiner: ,,Satze fiber Kurven z welter und dritter Ordnung", Crelles Journal Bd. XXXII, S. 300. 32. Kegelschnitte, welche die C& mehrpunktig bervihren. 275 so bestimmt das Punktepaar SB und 21 das eine System, SB und 93 das zweite System, 203 und das dritte System von Paaren konjugierter Punkte auf der C (3) . Was von dem Wendepunkte SB gilt, gilt von jedem der neun Wendepunkte 3B ( . (i, Ic = 1, 2, 3) ( 28). Gehen daher aus einem zweiten Wendepunkte SB' die drei Tangenten 2B'2T , SB'93' , | SB''! an die C, so gehoren SB' und 2T als ein Paar konjugierter Punkte einem ganz bestimmten der drei Systeme an, ebenso SB' und S3', SB' und ', und es ist keine Frei- heit mehr in der Zuordnung der konjugierten Punkte ge- stattet, sobald von dem ersten Wendepunkt aus die drei Systeme konjugierter Punktepaare bereits festgelegt sind. Wir wissen aber aus 15, daB aus zwei Paaren kon- jugierter Punkte desselben Systems allemal ein drittes Paar dieses Systems abgeleitet werden kann durch doppeltes kreuz- weises Verbinden der Punkte; gehoren namlich SB und 51, SB' und 2T als Paare konjugierter Punkte demselben System an, so werden die Schnittpunkte (SB2T, 21SB') = 51" ein drittes Paar konjugierter Punkte SB" und 21" dieses Systems sein. Ferner wissen wir, daB aus zwei Paaren konjugierter Punkte, deren eines dem ersten, das andere dem zweiten Systeme angehort, allemal ein neues Paar konjugierter Punkte, welches dem dritten Systeme angehoren muB, gefunden wird (S. 118); gehoren namlich SB und 21 dem ersten, SB' und 93' dem zweiten System an, so schneiden 3BSB' und 2193' die C (8) in einem neuen Paare konjugierter Punkte SB" und (", welches dem dritten Systeme angehort. Aus diesen beiden Eigenschaften ergiebt sich der Zu- sammenhang zwischen den 27 Punkten, in welchen Kegel- schnitte die C^ sechspunktig beruhren. Diese Punkte paaren sich namlich mit den neun Wendepunkten zu je 18* 276 Theprie der ebenen Kurven dritter Ordnung. neun Paaren konjugierter Punkte in den drei Systemen der- selben. Aus dem ersten Satze folgt, da die Verbindungslinie zweier Wendepunkte 2828'i bekanntlich die C (3) inimer in einem dritten Wendepunkte 28" treffen mufi, da8 auch die Yerbindungslinie I 5151' j durch den Wendepunkt 28", ebenso 5131" durch 28', : 5l'5l": durch 28 gehen muB, also: Verbindet man von den 27 Punkten, in welchen Kegelschnitte die (7 (3) sechspunktig beriihren, zwei solche, deren Tangentialpunkte zugleich ihre kon- jugierten Punkte sind (d. h. ist zu 51 der Wende- punkt 28, zu 5T der Wendepunkt 28' der konju- gierte, gehoren also 5128, 51'28' demselben Systeine an), so geht diese Verbindungslinie allemal durch einen dritten Wendepunkt. Solcher Geraden giebt es also im allgerneinen 3 . -~'^ = 108. Aus dem zweiten Satze folgt, da 2828' die r (3) in dem dritten Wendepunkte 28" schneidet, daB auch die Ver- bindungslinie 5133'j in einem Punkte (" schneiden muB, welcher mit 2S" ein Paar konjugierter Punkte des dritten Systems bildet, wenn 51 und 28 dem ersten, 39' und 28' dem zweiten System angehoren, also: Die 27 Punkte, in welchen Kegelschnitte die C (3) sechspunktig beriihren, liegen zu je dreien auf geraden Linien, namlich immer ein Punkt 51, welcher mit seinem Tangentialpunkt 28 dem einen System, ein Punkt S3', welcher mit seinem Tangentialpunkt 28' dem zweiten System, und ein Punkt (", welcher mit seinem Tangentialpunkt 28" dem dritten System konjugierter Punkte angehort, wobei 28, 225' 28" drei in gerader Linie liegende Wendepunkte der (7 (3) sind. Solcher Geraden giebt es im allgemeinen 81. Zu ihnen gehoren auch die neun harmonischen Polaren der Wendepunkte. Die iibrigen 72 entspringen aus den 12 Wendepunktslinien, deren jede drei Wendepunkte 2B, 28', 28" enthalt; sind namlich aus jedem derselben die drei iibrigen Tangenten gelegt, deren Beriihrungspunkte seien 51 33 S, 32. Kegelschnitte, welche die (7 (8) mehrpunktig beruhren. 277 21 '$'(', 2i"23"(", so konnen wir nur SI mit S3' oder 21 mit (' verbinden, denn die Verbindungslinie 2(21' j geht durcb einen Wendepunkt; die Verbindungslinie j 5193' : mu8 aber einen bestimmten Punkt C" enthalten ; ! 2l(' ! den bestimni- ten Punkt 23"; ebenso ; W2T , 332t'(" |, (83'$";, also giebt es fur die Wendepunktslinie nur secbs solcher Linien j 2123& , mithin im ganzen nur 12.6 = 72, zu denen die neun barmonischen Polaren binzu- treten. Aus dem in 9, 8. bewiesenen Satze, daB wenn secbs Punkte einer C (S} auf einem Kegelschnitt liegen, auch ibre secbs konjugierten Punkte in einem der drei Systeme allemal auf einem Kegelscbnitt liegen miissen, folgt eine weitere Beziebung zwiscben unsern 27 Punkten ; welcbe in den drei Systemen den neun Wendepunkten konjugiert sind. Die Wendepunkte liegen namlicb zu dreien auf den zwolf Wende- punktsgeraden ( 28), und diese lassen sicb paarweise als ausgeartete Kegelscbnitte auffassen, was -j-^- == 66 Linieu- paare giebt, also: Von den 27 Punkten, in welcben Kegelscbnitte die C (Z> secbspunktig berubren, liegen imnier ge- wisse secbs auf einem Kegelscbnitte, namlicb solcbe secbs, deren Tangentialpunkte gleicbzeitig die konjugierten Punkte in einem und demselben Systeme auf der C (3) sind und zwar secbs Wende- punkte, die zu je dreien auf zwei Wendepunkts- linien liegen. Solcber Kegelscbnitte giebt es im allge- meinen 66. Hieraus folgt, daB solcbe neun Punkte, welcbe die konjugierten Punkte der neun Wendepunkte sind in einem der drei Systeme von konjugierten Punktepaaren auf der C f < 3) , menials eine Gruppe von neun associierten Punkten bilden; denn in diesem Falle miiBten, da secbs von ibnen auf einem Kegelscbnitt liegen, die drei ubrigen auf einer Geraden liegen. Dies ist aber nicbt der Fall, denn die Verbindungs- linie zweier gebt immer durcb einen W T endepunkt, kann also keinen vierten Punkt inebr enthalten. 278 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. 3. Wahrend in jedem Punkte die 6 1(3) von einem Kegel- schnitt fiinfpunktig beriihrt werden kann und nur in aus- gezeichneten (27) Punkten Kegelschnitte dieselbe sechspunktig beriihren, giebt es unendlich viele Kegelschnitte, welche in einem gegebenen Punkte ty dieselbe vierpunktig beriihren. Durch vier Punkte der (7' 3) als Grundpunkte eines Biischels gehen iiberhaupt unendlich viele Kegelschnitte, welche noch in je zwei iibrigen Punkten der C (3) begegnen, deren Ver- bindungslinien samtlich durch einen festen Punkt der (7 (3) laufen ( 9, i.), den Gegenpunkt zu den Grundpunkten des Buschels. LaBt man die vier Grundpunkte des Biischels einander unendlich nahe riicken, sodaB sie in einen einzigen Punkt ty der (3) zusammenf alien, so nimmt das Kegelschnittbiischel einen besonderen Charakter an und besteht aus samtlichen Kegelschnitten, welche die 6 y(3) in $)3 vierpunktig beriihren. Der Gegenpunkt Q, durch welchen alle von den Kegel- schnitte'n ausgeschnittenen Sehnen (Verbindungslinien der beiden iibrigen Schnittpunkte der C (S> mit einem in ^8 vier- punktig beriihrenden Kegelschnitt) laufen, wird gefunden durch den besonderen Kegelschnitt, welcher aus der doppelt zu zahlenden Tangente in ^5 besteht; schneidet diese Tan- gente in dem Tangentialpunkt ^5 17 so fallen in ^ zwei Punkte zusammen, die eins der vorigen Paare bilden; die Tangente in ^ schneide zum dritten Mai in O, dann ist offenbar D der gesuchte Gegenpunkt. Da durch O auBer der Tangente | D^ j im allgemeinen noch drei andere Tangenten an die 6 T(3) gehen, so folgt: Soil in einem Punkte ^5 der (7 (3) ein Kegelschnitt dieselbe vierpunktig beriihren, so giebt es unter alien diesen Kegelschnitten im allgemeinen drei, welche auBerdem noch in einem andern Punkte die O (3) zweipunktig beriihren. Die Beriihrungspunkte dieser drei Kegelschnitte werden gefunden, indem man in ^5 die Tangente zieht, ihren Tangential- punkt ^ aufsucht, in < $ l aufs neue die Tangente zieht, deren Tangentialpunkt D sei, und aus O die 32. Kegelschnitte, welche die C& mehrpunktig beriihren. 279 drei noch iibrigen Tangenten an die (7 (3) legt, deren Beriihrungspunkte die drei gesuchten sind. Man kann die drei Beriihrungspunkte auch noch in anderer Weise finden; geht uamlich eine Tangeute aus O an die (7 (3) , welche in X beriihre, und zieht man $PX , welche in 9ft zum dritten Mai der C (3) begegnet, so wird, weil zu ty der Tangentialpunkt $|3 17 zu X der Tangential- punkt d ist, auch der Tangentialpunkt zu 91 auf '>, D^ liegen miissen; der dritte Schnittpunkt von D^ ist aber $P,, folglich muB ^ auch der Tangentialpunkt zu 91 sein. Hieraus folgt: Legt man aus dem Tangentialpunkt ^ fur den ge- gebenen Punkt ^ die drei noch ubrigen Tangenten an die r (:!) und verbindet die drei Beriihrungspunkte derselben mit ^S, so schneiden diese drei Geraden die C^ 3) in den drei neuen Punkten X, X', X", welche die gesuchten Beriihrungs- punkte der drei Kegelschnitte sind, die in ^5 vierpunktig und in X (bez. X' ; X") zweipunktig die (7 (3) beriihren. Die Aufgabe: ,,in einem gegebenen Punkte ^3 der C (8) einen vierpunktig beriihrenden Kegelschnitt zu legen, der noch in einem andern Punkte die Kurve zweipunktig be- riihrt", hat also im allgemeinen drei Losungen. Will man umgekehrt in einem Punkte X einen zwei- punktig beriihrenden Kegelschnitt konstruieren, der noch in eineni andern Punkte ^5 vierpunktig beriihren soil, so nehme man zu X den Tangentialpunkt Q, lege aus Q eine Tan- gente an die C (3) , welche in ^ beriihrt (deren es nur noch drei giebt), und ziehe aus dem Beriihrungspunkt ^ eine Tangente an die C (3) , welche in ty beriihrt (deren es vier giebt), dann ist ^5 der gesuchte Punkt. Die Aufgabe: ,,in eineni gegebenen Punkte X der (7 (3) einen zweipunktig beriihrenden Kegelschnitt zu legen, welcher noch in einem andern Punkte die Kurve vierpunktig beriihrt", hat also im allgemeinen zwolf Losungen. Will man durch zwei Punkte 91 und S3 einer f' (3) einen Kegelschnitt legen, welcher auBerdem die Kurve in einem dritten Punkte ^ vierpunktig beriihren soil, so ziehe man 280 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. 2193 und ermittele ihren dritten Schnittpunkt D, lege aus C eine Tangente an die 6 T(:il , welche in ^ beriihre (deren es vier giebt), und aus ^ eine neue Tangente an die G' (3) , welche in 9$ beriihrt (deren es ebenfalls vier giebt), dann ist ein solcher Punkt ^? der gesuchte; diese Aufgabe hat also im allgemeinen sechszehn Losungen. 4. In einem Punkte 21 der C' (3) kann man doppelt un- endlich viele dreipunktig beriihrende Kegelschnitte legen, welche auBerdem im allgemeinen noch in drei iibrigen Punkten ^5, Q, 3ft die C (3) schneiden. Verlangt man, daB auch die drei iibrigen Punkte ^$, Q, 9ft in einen einzigen 93 zusammenriicken sollen, also ein Kegelschnitt die G' (3) in zwei verschiedenen Punkten 21 und 93 dreipunktig beriihren soil, so sind die Punkte 21 und 93 einer Bedingung unter- worfen, die so gefunden werden kann. Denkt man sich drei benachbarte Gerade 21SS93 |, 2t'2B'93' , 81" SB" S3" |, deren neun Schnittpunkte mit der C'( 3) eine Gruppe von neun as- sociierten Punkten bilden, und laBt man sodann die drei Geraden zusammenf alien, sodaB 21 = 21' = 21" und 93 =93' =93" die beiden Beriihrungspunkte eines zweimal dreipunktig be- riihrenden Kegelschnitts werden, dann mussen die drei Punkte 2B, SK', 28" auf einer Geraden liegen, also der dritte Schnitt- punkt von | 2193 mit der (3) muB ein Wendepunkt 3S der ^-' (3) sein, und auch umgekehrt, also: Zieht man durch einen Wendepunkt 223 der C^ eine beliebige Gerade, welche in den beiden Punkten 21 und 93 der G' (3) tegegnet, so giebt es allemal einen Kegelschnitt, welcher gleichzeitig sowohl in 21 wie in 93 die Kurve dreipunktig beriihrt. Ist 21 gegeben, so findet man also, da es neuii Wende- punkte giebt, neun Kegelschnitte, welche auBer in 21 noch in einem zweiten Punkte 93 die Kurve dreipunktig beriihren. (Von diesen sind drei reell und sechs imaginar.) Nimmt man drei Wendepunkte SSj, SS 2 , SS 3 , welche auf einer Geraden (Wendepunktslinie) liegen, und projiciert die- selben von einem Punkte ^5 der C (3) aus in die drei Punkte 21, 93, 6, sodaB 32. Kegelschnitte, welche die (7 (3 > mehrpunktig beriihren. 281 auf je einer Geraden liegen, so giebt es drei Kegelschnitte, von denen der eine in ty und 5t, der andere in ty und S3, der dritte in ^5 und ( die Kurve zweimal dreipunktig be- ruhrt. Die drei Punkte 51, 93, ( stehen dann in einer eigen- tiinilichen Verbindung mit einander; da namlich die neun Durchschnittspunkte der drei Geraden eine Gruppe von neun associierten Punkten bilden, und die drei Punkte 2S 1; 28 2 , 28 3 auf einer Geraden liegen, so miissen die sechs iibrigen auf einem Kegelschnitt liegen; es giebt also einen Kegelschnitt, welcher in ty die 6 r(3) dreipunktig beruhrt und auBerdem durch die drei Punkte 2(, S3, S geht. Aus den beiden in je sechs Punkten schneidenden Kegel- folgt, daB der Gegenpunkt fiir das Kegelschnittbiischel mit den vier Grundpunkten ^3, ^5, ^S, ^(, sowohl der Tangential- punkt 5l : zu 21, als auch der dritte Schnittpunkt von S3S mit der C (3) sein muB, also liegen S3, <, ^ und ebenso (, 31, S3 t a, SB, e, auf einer Geraden, wenn St u 93 U S x die Tangentialpunkte fiir $(, S3, bedeuten. Die drei Punkfce 51, S3, ( haben also eine solche Lage, daB die Verbindungslinie zweier in dem Tan- gentialpunkt des dritten der Kurve begegnet. Haben die drei Punkte 21, S3, eine solche eigentuni- liche Lage, so haben die drei neuen Punkte 51 17 S3 U (S u ihre Tangentialpunkte, eine gleiche Lage, denn aus den beiden Geraden folgt, weil 93 ( in 5^ schneidet und die Tangente 5151 auch in 5t u daB der Tangentialpunkt 51 2 des Punktes 1 auf der Geraden SSjC^ | liegen muB| es liegen also 282 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. und ebenso *i i D -^u ^2 auf je einer Geraden; es sind also auch fur die drei Punkte 21 1; 23 1; i die Schnittpunkte von den Verbindungslinien je zweier die Tangentialpunkte des dritten. Wir konnen soniit aus einer solchen Gruppe von drei Punkten 21, 23, immer eine neue von gleicher Beschaffenheit ableiten u. s. f. Auch umgekehrt zeigt sich, daB wenn drei Punkte 21, 23, S der CW die angegebene Eigenschaft besitzen, sie die Projektionen dreier in gerader Linie liegenden Wendepunkte von einem beliebigen Kurvenpunkte aus sein miissen. Durch einen willkiirlich auf der C (8) zu wahlenden Punkt 21 sind die beiden iibrigen der Gruppe 2123 schon bestirnmt, aber mehrdeutig. Verbinden wir namlich 21 mit deni Wendepunkt 28 1; nennen den dritten Schnittpunkt ^ und nehmen die Wendepunktslinie | 2Bi2B 2 SS 3 1, so be- stimmen | ^28., j und j^SBsl die beiden iibrigen Punkte 23, der Gruppe. Wir konnen aber auch 21 init 2B 2 verbinden und er- halten dann den Projektionspunkt ^S 2 ; da wir nun die vier Geraden haben so folgt aus den beiden Geraden die dritte Gerade I sju 5m i I 'W 1 .w J I, und da SS^ ein Wendepunkt ist, also | 2B 1 2B 1 SB 1 j auf der- selben Geraden liegen, daB | ^3 2 S | durch 28 1 gehen muB; wir haben also die neue Gerade ferner folgt aus den beiden Geraden die Gerade 32. Kegelschnitte, welche die CK) mehrpunktig beriihren. 283 ziehen wir endlich die Verbindungslinie | 51 28 3 j , welche in 1j$ 3 der Kurve begegneu mag, also so folgen in gleicher Weise die beiden neuen Geraden und Wir haben also folgende eigentumliche Konfiguration von neun Geraden woraus hervorgeht, daB dieselben Punkte SI, S3, Q von drei verschiedeneii Punkten ^S 1; $P 2 , ^5 3 aus als die Projektionen der drei in gerader Linie liegenden Wendepunkte auf die Kurve erscheinen, und zwar in cykliacher Reihenfolge; auch bilden die Projektions- centra ty 1} ^5. 2 , ^ a eine neue Gruppe von gleicher Be- schaffenheit, weil sie als die Projektionen derselben Wendepunkte von 51, oder von $8, oder von ( aus erscheinen. Aus den drei Geraden geht zugleich hervor, weil ^SBgSBg auf einer Geraden liegen, daB die sechs Punkte der beiden voneinander ab- hangigen Gruppen Vt, S3, ( und ^ l} ^S 2 , ^5 3 auf einem Kegel- schnitt liegen miissen.* Die sechs Punkte St, 33, S, ^5 U p a , ^5 3 liegen der- artig auf dem Kegelschnitt, daB die drei Sechsecke * Diese Satze stammen nach einer Mitteilung von Herrn Durege, ,,Die ebenen Kurven dritter Ordnung", S. 288, vou Herrn Ku'pper her. 284 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. eine und dieselbe Pascalsclie Linie haben, welche dieselben drei Durchschnittspunkte der Gegenseiten enthalt. 5. Wir gingen von einer beliebigen Wendepunktslinie | SBj 28 2 28 3 1 dreier in einer Geraden liegenden Wendepunkte aus und fanden durch Projektion derselben von einem be- liebigen Kurvenpunkte ty aus die Gruppe 51 S3 (, wobei sich zeigte, dafi dieselbe Gruppe auftrat nicht bio 6 von dem einzigen Punkte ty aus, sondern von drei verschiedenen Punkten $&, $ 2 , $ s aus. Dieselbe Gruppe 3133& tritt aber auch auf fur neue Projektionscentra, wenn wir zwei andere Wendepunktslinien an Stelle der ersten setzen. Aus dem Zusammenhange zwischen den Wendepunkten 223)" (*/&=!, 2, 3) ergeben sich namlich ( 28) fur die Wendepunktslinie I}*|H und den Projektionspunkt ty[ drei Gerade mit je drei Punkten. Yerbinden wir nun SI rnit einem der iibrigen sechs Wendepunkte, z. B. 225^, und nennen den dritten Schnittpunkt ty^ , so haben wir die Gerade I *?*!!. Aus den beiden Geraden folgt \%$IWI$&1\. Da nun SS^28^2B^ auf einer Geraden und auch 28{3B!|2 auf einer Geraden liegen, so miissen ?;ssjffl auf einer Geraden liegen. Ebenso folgt aus den Geraden 32. Kegelschnitte, welche die C&) mehrpnnktig beriihren. 285 S 6 I SB J SB* SB* daB auf einer Geraden liegen mussen. Mithin geht die Gruppe 51 S3 & aus den drei in einer Geraden liegenden Wendepunkten 28 1, 28!, SB 3 hervor durch Projektion von ^ aus. Zu den beiden Wendepunktslinien ISBJSBgSBgi und | 28 I 28 2 28 y gehort als dritte Seite eines Wendepunkts- dreiseits diejenige Gerade, auf welcher die drei iibrigeu Wendepunkte liegen 3 a ? und wir erkennen in gleicher Weise, wie vorhin, daB die- selbe Gruppe SIS9S aucn hervorgeht durch Projektion dieser drei Wendepunkte von einem Punkte ^5f aus, indem je drei Punkte auf der Geraden liegen I*;B;I, i!aB;i, I ??;( i; wir haben also den Satz: Dieselbe Gruppe von Punkten 5(, S3, laBt sich aus drei verscbiedenen Wendepunktslinien, welche die Seiten eines Wendepunktsdreiseits bilden, als die Projektion der drei in einer dieser Geraden lie- genden Wendepunkte von einem Kurvenpunkte aus ableiten. Die drei Projektionscentra ^S \ , ^ , ty I bilden selbst wieder eine Gruppe von gleicher Beschaffenheit, wie 5133(5, weil sie als die Projektionen der drei in gerader Linie liegenden Wendepunkte SB}, 28^, 2Bj von SI aus erscheinen. Nun haben wir aber fur jede dieser Wendepunktslinien nicht nur ein sondern drei Projektionscentra gefunden (4.), sodaB wir im ganzen neun Projektionscentra haben, die wir entsprechend bezeichnen konnen $Pi$5$Pi, $?$;$;, **;$;$s. Diese sind nichts anderes, als die Projektionen der neun Wendepunkte von 51 aus auf die C (8) , oder auch von S3 aus, 286 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. oder von aus, aber in cyklischer Folge, sodaB wir die Geraden haben orggiqgi' 2128 1 9B 1 SISS 1 ^ 1 t xv } 3? ] , a.^u 2 43 2 , *^w 3 4? 3 '3 If SBj*s!, ;<&8Bj **IWIi Die neun Projektionscentra 5)3* (i, A; = 1, 2, 3), fur deren jedes die Gruppe von Punkten 21, S3, als die Projektionen von drei in gerader Linie liegenden Wendepunkten erscheint, bilden selbst wieder unter sich Gruppen zu je dreien von gleicher Beschaifenheit, und zwar gehort jeder dieser Punkte vier solchen Gruppen an, z. B. die ubrigen Gruppen sind, wie sich unmittelbar aus der Lage der Wendepunkte ( 28) ergiebt, der analog sie zu bilden sind, folgende 6. Das gewonnene Resultat sagt aus, daB wenn wir die neun Wendepunkte 28* von einem Punkte 21 der Kurve aus auf dieselbe projicieren, die dadurch erhaltenen neun Punkte ^B. sich auf zwolf Arten zu je dreien einer Gruppe ver- einigen, welche dieselbe Eigenschaft besitzt, wie die ur- spriingliche Gruppe 21S3S, da6 immer vier solche Gruppen einen Punkt gemein haben und daG dieselben Punkte $. hervorgehen, wenn wir von 33 oder aus die Wendepunkte auf die Kurve projicieren. Wir konnen jetzt auch unigekehrt, anstatt von SI aus- zugehen, von ^5} ausgehen und finden dann nicht nur die 32. Kegelschnitte , welche die C (3) mebrpunktig beriihren. 287 eine Gruppe 21S5S, sondern dazu noch zwei andere, also im ganzen neun Punkte, die sich wiederum wie die ty zu je dreien in zwolf Gruppen ordnen, von denen immer vier einen Punkt gemein haben; fuhren wir zur deutlicheren Uber- sicht eine etwas veranderte Bezeichnung ein, indem wir statt 2t . . . 21* statt S3 ... 21*, statt ( ... 21* setzen und die iibrigen sechs Punkte als dritte Schnittpunkte der Verbindungslinien erhalten so Ia6t sich erkennen, durch welche von den Wendepunkten die 81 Verbindungslinien der Punkte 3P und $* (m, n = 1, 2, 3; i, k = 1, 2, 3) hindurehgehen miissen aus folgender Tabelle SB! Um den Wendepunkt zu ermitteln, durch welchen die Verbindungslinie von SJ5* mit 21 " t hindurchgeht, suchen wir den in der Vertikalreihe SjS* und in der Horizontalreihe 21 ? " stehenden Buchstaben auf. In jeder Vertikalreihe und in jeder Horizontalreihe stehen samtliche Wendepunkte, nur in anderer Anordnung; die 81 Verbindungslinien |$|3*2l^| schneiden sich also zu je neun in den neun Wendepunkten. 288 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Nimmt man von den samtlichen in einer beliebigen Vertikalreihe stehenden Wendepunkten drei solche heraus, welche in einer Geraden (Wendepunktslinie) liegen und pro- jiciert sie von dem iiber der Vertikalreihe stehenden Punkte ^5 aus, so erhalt man die drei vor den entsprechenden Horizontalreihen stehenden Punkte 51 , welche eine Gruppe bilden von der Beschaffenheit, wie die besprochene Gruppe 51236. Durch einen der neun Punkte 51* sind die iibrigen ach^ vollstandig und eindeutig bestimmt. 7. Die drei Punkte 51, 23, 6 einer Gruppe, welehe als die Projektionen dreier in gerader Linie liegenden Wende- punkte von einem Kurvenpunkte aus erscheinen, und welche gleichzeitig, wie wir gesehen haben (4.), die Eigenschaft besitzen, daB der Tangentialpunkt zu 51 auf | 236 ', der Tan- gentialpunkt zu 23 auf 651 und der Tangentialpunkt zu 6 auf 5123 | liegt, besitzen noch eine weitere Eigenschaft. Schneidet nainlich irgend ein in 51 dreipunktig beruhrender Kegelschnitt die (7 (3) auBerdem in den drei Punkten ^5, Q, 91, so wird das Kegelschnittbuschel [5l^$Q$R] zum Gegen- punkt den Tangentialpunkt 5l t zu 51 haben, weil die sechs Punkte [51, ^5, Q, 91, 51, 51] auf einem Kegelschnitt liegen. Da aber 5lj auch auf J 236 liegt, so miissen 51, 23, 6, *$, D, 91 auf einem Kegelschnitt liegen; das Kegelschnittbuschel [23$)3l$R] wird also zum Gegenpunkt den dritten Schnittpunkt von 516) mit der Kurve haben, d. h. den Punkt 23 n welcher Tangential- punkt zu^ 23 ist. Hieraus folgt, daB auch die sechs Punkte 23, ^S, d, 9ft, 23, 23 auf einem Kegelschnitt liegen miissen, oder was dasselbe sagt, daB es einen zweiten Kegelschnitt durch ^5, Q, 91 giebt, welcher in 23 dreipunktig beruhrt, und einen dritten, welcher in 6 dreipunktig beruhrt, also: Bilden die Punkte 51, 23, 6 eine solche Gruppe von Punkten auf der C |3) , welche als die Projektionen dreier in gerader Linie liegenden Wendepunkte von einem Kurvenpunkte aus erscheinen, und legt man durch 21 einen dreipunktig beriihrenden Kegelschnitt, welcher auBerdem in ^5, D, 9t der C (S) begegnet, dann giebt es durch $P, O, 91 noch einen zweiten Kegel- 32. Kegelschnitte , welche die C^ 3 ' mehrpunktig beruhren. 289 schnitt, welcher in S3, und einen dritten, welcher in ( die Kurve dreipunktig beriihrt. Wir konnen jetzt die Frage umkehren und durch drei gegebene Punkte $)B, G, 9ft einen solchen Kegelschnitt zu legen versuchen, welcher auBerdem die C (3) noch in einem andern Punkte dreipunktig beruhrt. Hatten wir einen solchen Punkt 51 gefunden, welcher die Eigenschaft besaBe, da6 ein durch $|$, D, 9ft gelegter Kegelschnitt in $ die Kurve drei- punktig beriihrte, so konnten wir aus 51 noch andere Punkte von gleicher Beschaffenheit ermitteln; denn ware S3 ein ge- suchter zweiter Punkt von derselben Beschaffenheit, so miiBte wegen des Kegelschnitts [ty D 9ft SI 51 51] zu dem Kegelschnitt- biischel mit den Grundpunkten [$pQ9ft5l] der Gegenpunkt 5t x der Tangentialpunkt zu 51 sein, und ebenso zu dem Kegel- schnittbuschel mit den vier Grundpunkten [^3 D 9ft 23] der Gegenpunkt ^& 1 der Tangentialpunkt zu S3 sein. Legt man aber den beiden Biischeln angehorigen Kegelschnitt durch die fiinf Punkte ^5, Q, 9ft, 51, S3, welcher noch in einem sechsten Punkte der Kurve begegnet, so muBte [ S3 | durch 5l x und | 51 (S j durch S^ geheii. Hieraus folgt aber, wenn S x der Tangentialpunkt zu ist, daB auch (^ auf | 51 S3 | liegen ruuB; denn aus den vier Geraden J23CT! |, 515151,, 51SS3! , S3S3S3 X folgt, wenn wir die beiden zusaaimenstellen | 51 5l x 51 | S3, S3 S3 | !.,( ( S, |, d. h. wenn (S t der Tangentialpunkt zu ( ist, so muB S t auf 5133 | liegen. Die drei Punkte 51, S3, S besitzen also die Eigenschaft, daB der Tangentialpunkt eines jeden von ihnen auf der Verbindungslinie der beiden iibrigen liegt; sie bil- den daher eine solche Gruppe, welche als Projektionen dreier in gerader Linie liegenden Wendepunkte von einem Kurvenpunkte aus erscheinen. Da nun 51 die Eigenschaft besitzt, daB ein durch ^5, l. 9ft gehender Kegelschnitt die Schroter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordu. 290 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. Kurve in ?l dreipunktig beriihrt, so miissen nach dem vorigen Satze auch 23 und ( die gleiche Eigenschaft be- sitzen. Die vorgelegte Frage lauft jetzt also darauf hinaus, wie viele solcher Paare von Punkten 23 und ( es giebt, die mit 51 zusammen eine Gruppe SIS3S von der angegebenen Eigen- schaft bilden. Diese Frage beantwortet aber die Tabelle in 6., denn sie zeigt, daB es mit dem gemeinsamen Punkt 91* vier solche Gruppen giebt 3) [1 2(2513 mithin im Ganzen neun solcher Punkte, wir schlieBen also: Durch drei willkiirlich zu wahlende Punkte ^S, giebt es im allgemeinen neun Kegel- schnitte, welche die C (3) auBerdem noch in je einem Punkte dreipunktig beriihren. Die neun Beruhrungs- punkte dieser Kegelschnitte erscheinen als die Pro- jektionen der neun Wendepunkte der (7 (3) von einem gewissen Kurvenpunkte 9$. aus, und es giebt neun solcher Kurvenpunkte, welche dieselben neun Be- ruhrungspunkte liefern. Durch einen dieser Beruh- rungspunkte siud die iibrigen acht vollstandig be- stimmt. (Da von den neun Wendepunkten drei reell und sechs imaginar sind, so sind auch von den neun Kegelschnitten drei reell und sechs imaginar.) Da wir oben gesehen haben, dass die drei gegebenen Punkte $P, C, 9ft allemal mit den drei Punkten 91, S3, einer Gruppe auf einem Kegelschnitte liegen, und da sich die neun Beruhrungspunkte 51 1 . in zwolf solcher Gruppen, ent- sprechend den zwolf Wendepunktslinien ordnen lassen (ebenso wie oben 5. die neun Punkte ^5.), so folgt: Die neun Beruhrungspunkte der vorigen neun Kegelschnitte liegen zu je dreien mit den gegebenen Punkten $P, Q, 9ft auf zwolf Kegelschnitten, und 32. Kegelschnitte, welche die C^ mehrpunktig beruhren. 291 diese gruppieren sicli auf vier verschiedene Arten zu je drei Kegelschnitten, welche zusammen alle neun Beriihrungspunkte enthalten. Dies entspricht den vier Wendepunktsdreiseiten, deren jedes alle neun Wendepunkte enthalt; auch zeigt sich, well von den zwolf Wendepunktslinien vier reell und acht ima- ginar sind, daB von den letzten zwolf Kegelschnitten vier reell und acht imaginar sein werden. 1st 3t der Beriihrungspunkt eines durch ^G3R gehenden und in $1 dreipunktig beriihrenden Kegelschnitts, so miissen offenbar die drei Geraden | W$ ', j 91D |, | HSR | die C i n drei neuen Punkten treffen, welche auf einer Geraden liegen, weil die sechs Punkte ty, Q, SR, 31, 31, ?l auf einein Kegel- schnitt sich befinden. Die vorliegende Aufgabe laBt sich also auch so fassen: ,,Drei auf der C (3) gegebene Punkte ^5, O, 91 von eiuem gesuchten Punkte der Kurve aus so auf die- selbe zu projicieren 7 daB die drei erhaltenen Punkte auf einer Geraden liegen." Diese Aufgabe hat also die neun Losungen 31 f , welche wir vorhin ermittelt haben. 8. VVenn wir von den neun Losungen 3l ( A des Problems drei solche herausnehmen, welche eine Gruppe 3193S bilden, d. h. als die drei Projektionen dreier in gerader Linie lie- genden Wendepunkte von einein Kurvenpunkte aus erschei- nen, so liegen, wie wir gesehen haben 7 die sechs Punkte , &, 91, ?t, ^8, auf eineni Kegelschnitt. Da das Kegel- schnittbuschel [^ISSS^S] zum Gegenpunkt den dritten Schnitt- punkt von | QSR | mit der C (3) hat, welcher ^, genannt werde, so muB auch, wenn wir durch ^ eine beliebige andere Gerade | SjJj Q.J Sftj | ziehen, ein Kegelschnitt des Bii- schels durch L I und 91, gehen; also die sechs Punkte a, s, ,^, G U m, miissen auf eineni Kegelschnitt liegen. Hieraus folgt wieder, daB das Kegelschnittbiischel j^tJ zum Gegenpunkt den dritten Schnittpunkt von mit der Kurve haben muB. Dieser dritte Schnitt- 292 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. punkt ist aber 3t 1; der Tangentialpunkt zu SI, well eine Gruppe von der oben angegebenen Art bilden, also mu6 es aucli einen Kegelschnitt des letzten Biischels geben, welcher in SI dreipunktig beriihrt, und daher, wie oben nachgewiesen 1st, auch einen, der in 23, und einen dritten, der in ( dreipunktig beriihrt. Dies heiBt aber nichts anderes als: Wenn wir an- statt von den drei Punkten $P, l, 9ft, wie es anfanglich geschah, auszugehen, von den drei Punkten ^3, Q 1? 9ft 1 ausgegangen waren, wodurch ein neues Problem gleicher Art gestellt ware, so waren wir zu denselben neun Losungen SL gekommen, denn es giebt zu jeden drei an- genommenen Punkten $|$, Q, 9ft nur ein solches System von Losungen und durch eine derselben 51 sind die iibrigen acnt vollstandig und eindeutig bestimmt (6.). Hieraus folgt, da 6 es unendlich viele Tripel von Punkten ^5, D, 9ft giebt, fur die das vorgelegte Problem zu demselben System von neun Losungen fiihrt. Um aus einem solcnen ^5 9ft ein neues zu erhalten, brauchen wir uns nur zwei dieser Punkte d und 9ft zu verbinden und durch den dritten Schnittpunkt < ^ i von O9ft eine beliebige Gerade zu ziehen, welche in Oj und 9ft x der C T(3) begegnet; dann sind ^5, Oj, 9ft x ein neues derartiges Tripel. Dies kann auf drei Arten ausgefiihrt werden; aus diesen kann man wieder neue Tripel ableiten u. s. f. Man sieht hieraus, da6 um ein neues Tripel zu er- halten, welchem die gleiche Eigenschaft zukommt, wie deni urspriinglichen ^5, O, 9ft, man zwei Punkte, etwa ^3 2 und D n willkurlich auf der C^ annehmen und dann den dritten zugehorigen Punkt 9ft 2 wie folgt konstruieren kann: Die Gerade ; O9ft ! schneide in ^ zum dritten Mai; man ziehe O^!,, welche Gerade in 9ft! schneide; dann ist ^P Oj 9ft : ein neues Tripe! ; man ziehe $ 9ftj ; , welche Gerade in O 2 treffe, und j D 2 ^8 2 ', die in 9ft 2 treffe, dann ist .Oifc* ein neues Tripel, von welchem die beiden Punkte D x und 1$ 2 willkurlich auf der C'( 3) gewahlt sind. 32. Kegelschnitte, welche die <7 (S) mehrpunktig beruhren. 293 9. Nachdem wir Kegelschnitte aufgesucht haben, welche die C {3) sechspunktig, fiinfpunktig , vierpunktig oder drei- punktig beruhren, bleibt nur noch iibrig, solche Kegelschnitte zu betrachten, welche die Kurve zweipunktig beruhren, und dadurch kehren wir zu dem Ausgangspunkte zuriick, von dem aus wir die Untersuchung der C< 3) begonnen haben. Nehmen wir zwei beliebige Punkte 9$ und d der C^ und ziehen die beiden Tangenten der Kurve in diesen Punkten, so giebt es ein ganzes Biischel von Kegelschnitten, welche die Kurve in ^ und 'O zweipunktig beruhren. In diesem besonderen Kegelschnittbusehel [^^5OD] mit vier Grund- punkten, die paarweise zusammenf alien, kommt insbesondere auch der Kegelschnitt vor, welcher aus der doppelt zu zah- lenden Geraden $|3D j besteht; schneidet dieselbe also die (7 (3) zum dritten Mai in 9ft 1; so wird die Tangente in 9ft x die Verbindungslinie der beiden ubrigen Schnittpunkte dieses Kegelschnitts mit der C^ sein. Die Tangente in 9ftj moge in X zum dritten Mai schneiden, dann ist X der Gegen- punkt des Biischels [ty ty DO], indem alle Kegelschnitte dieses Biischels aus der (3) Punktepaare ausschneiden, deren Ver- bindungslinien durch X gehen. Da X der Tangentialpunkt fur Sftj ist, so gehen von X im allgemeinen noch drei weitere Tangenten an die C (3 \ also giebt es unter alien Kegel- schnitten, welche eine C (3) in zwei verschiedenen Punkten ^ und O (zweipunktig) beruhren, im all- gemeinen drei, welche dieselbe noch in eineni dritten Punkte (zweipunktig) beruhren. Sei eine der drei noch ubrigen Tangenten aus X an die Kurve X9ft | mit dem Beriihrungspunkt 9ft, sodaB 9ft und 9ft t denselben Tangentialpunkt haben, dann haben wir die sechs Punkte eines Kegelschnitts $, $, O, O, W, 9ft. Da nun | ^5O in 9ft : schneidet, so werden, wenn die Gerade | $p9ft i in D! und die Gerade O9ft in ^ schneidet, die drei Geraden 294 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung. neun associierte Punkte aus der C^ ausschneiden, und da die seeks Punkte ty, ty, D, D 7 9ft, 9ft auf einem Kegelschnitt liegen, so mussen die drei iibrigen $J5 n O 1; 9ft x auf einer Ge- raden sich befinden; also wenn ein Kegelschnitt die C (3) in drei verschiedenen Punkten (zweipunktig) beriihrt, so hat das von denselben gebildete Drei- eck drei Seiten, welche auBerdem der Kurve in drei Punkten begegnen, die auf einer Geraden liegen. ^3$P U DG I7 9ft 9ft} sind also die drei Paar Gegenecken eines vollstandigen Vierseits, welches ganz der C ( ^ ein- beschrieben ist. Aus den beiden Geraden folgt aber, daB der Tangentialpunkt von D mit dem Tan- gentialpunkt von Oj identisch ist, und aus den beiden Geraden folgt in gleicher Weise, da6 der Tangentialpunkt von ty mit dem Tangentialpunkt von ^ identisch ist. Die drei Punktepaare ^S und ^ 1? O und d n 9t und 9^ sind also konjugierte Punkte der C (3) in dem alten Sinne ( 2), indem zwei konjugierte Punkte allemal denselben Tangentialpunkt haben. Aus eineni Paar konjugierter Punkte ty, ^ konnen wir aber unendlich viele weitere Paare ableiten; verbinden wir namlich einen beliebigen Kurvenpunkt 36 mit ^3 und ^5 1 durch Strahlen, welche der C' (3) zum dritten Mai in @ und @, begegnen, so folgt aus den Geradenpaaren (wo X den gemeinschaftlichen Tangentialpunkt fiir ^5 und ^ bezeichnet), daG der dritte Schnittpunkt von ^ | mit dem 32. Kegelschnitte, welche die C (3) mehrpunktig beriihren. 295 dritten Schnittpunkt von ^ | koinzidieren muB; nennen wir ihn 9 1; so sitid wiederum 33 1? $P^Pi> @@ t die drei Paar Gegenecken eines der C (3) einbeschriebenen vollstandigen Vierseits, folglich miissen, da ^3^! ein Paar konjugierter Punkte sind, auch @ < B i ein solches Paar sein ; sowie %!. Hieraus ergiebt sich ein ganzes System von Paaren konjugierter Punkte auf der C (3 \ Wir ernalten aber im allgemeinen drei solcher Systeme, wenn wir statt einer alle drei Tangenten beriicksichtigen, die sich, wie oben fur eine geschehen ist, aus dem Gegenpunkt des Biischels [^S^DD-J an die Kurve legen lassen. Damit sind wir aber zu unserem Ausgangspunkte zuriickgelangt. Seite 9 Zeile 8 v. u. 15 7 u. 20 4 u. 28 1 o. 38 1 o. 45 10 u. 48 16 o. 50 15 u. 62 12 u. 100 3 u. 123 5 u. 124 10 0. 142 10 u. 167 5 0. 167 13 u. 183 7 0. 225 1 u. 246 271 16 o. 1 o. Verbesserungen. Das Wort n noch" ist zu streichen. Statt n Stahlenpaar" lies n Strahlenpaar". Statt nXSj" lies J&. Das Wort w schnitte" ist zu streichen. Statt % t lies '. Statt z lies j. Statt % l lies %. Statt JBj ; lies S^. Die Silbe B un-" ist zu streichen. Statt 33 lies SB. Statt r posititiv u lies n positiv". Statt a 1 lies a. Hinter n reellen" erganze r unendlich entfernten' Statt lies | . Statt w entpricht" lies fl entspricht a . Erganze 2. Statt (70) lies HW. Statt n eine u lies n einer". Statt 38m -i lies 5B-2. University of California SOUTHERN REGIONAL LIBRARY FACILITY 405 Hilgard Avenue, Los Angeles, CA 90024-1388 Return this material to the library from which it was borrowed. ring* Mathe; Sere Ubr ' WJX1LIAIW CK -WL72 A 000165657 8 JFORNIA, &