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THE LIBRARY
OF
THE UNIVERSITY
OF CALIFORNIA
LOS ANGELES
OTTO HRRASSOH!TZ
BUCHHANDLUNG
LEIPZIG^
SOUTHERN BRANCH,
UNIVERSITY OK CALIFORNIA,
LIBRARY,
LOS ANGELES, CALIF.
DIE
THEORIE DER EBENEN KURVEN
DRITTER ORDNUM.
AUF SYNTHETISCH-GEOMETBISCHEM WEGE
ABGELEITET
VON
DR. HEINRICH SCHROETER,
PROFESSOR DER MATHEMATIK AX* DKR UNIVERSITAT ZU BRESLAU.
LEIPZIG,
VERLAG VON B. G. TEUBNER.
1888.
48750
Druck von B. G. Teubner in Drenden.
Engineering &
Mathematical
Sciences
Library
Vorrede,
Die zahlreichen und vielseitigen seit langer Zeit an-
. gestellten Untersuchungen iiber die ebenen Kurven dritter
% Ordnung von Newton, Maclaurin, Cramer, Pliicker,
^Salmon, Cayley, Sylvester, Hesse, Aronhold, Clebsch,
Poncelet, Chasles, Jonquieres, Moebius, GraBmann,
Steiner, Cremona, Battaglini u. v. a., denen sich neuere
^' Untersuchungen nach verschiedenen Richtungen hin an-
schlieBen von Hart, Em. Weyr, P. Serret, Milinowski,
Kiipper, Durege, Schoute, Reye, Sturm, Zeuthen,
x Harnack u. a., finden sich zumeist als Monographien in den
. v^verschiedensten wissenschaftlichen Zeitschriften zerstreut und
5 sind bisher nur in wenigen groBeren Werken zusammen-
j gefaBt, welchen die analytisch-geometrische Methode der Be-
lf handlung zu Grunde gelegt wird. Dies ist der Fall sowohl
<> in dem Werke von G. Salmon: A treatise on the higher
3 plane curves (Dublin 1852), deutsch bearbeitet von W. Fiedler:
** Analytische Geometric der hoheren ebenen Kurven (Leipzig
1873), als auch in dem von H. Durege herausgegebenen
Werke: Die ebenen Kurven dritter Ordnung (Leipzig 1871),
obwohl in letzteres mehrfach auch synthetische Betrachtungen
eingeflochten sind, wahrend das auf synthetischer Grundlage
entwickelte Werk von L. Cremona: Introduzione ad una
teoria geometrica delle curve piane (Bologna 1862) die
Kurve dritter Ordnung nur als ein Beispiel fur die voraus-
gehende allgemeine Theorie behandelt.
Es erschien wiinschenswert fur diejenigen, welche zu-
erst an das Studium der Kurven dritter Ordnung heran-
treten ohne andere Hilfsmittel, als die Bekanntschaft mit
den Elementen der synthetischen Geometrie und den Haupt-
eigenschaften der Kegelschnitte, eine naturgemaB sich an-
schlieBende und einheitliche rein synthetische Darstellung
jener hoheren geometrischen Gebilde mit ihren hauptsach-
IV Vorrede.
lichsten und charakteristischen Eigenschaften aus den ver-
schiedenen Erzeugungsweisen derselben abzuleiten, wozu hin-
reichend Vorarbeiten vorhanden waren.
Der Versuch einer solchen Darstellung wurde von dem
Verfasser zuerst in einer Vorlesung an der hiesigen Uni-
versitat geniacht und fiihrte dann zu der vollstandigeren
Ausarbeitung des vorliegenden Buches. Die darin gewon-
nenen Resultate, welche verschiedenen Zetten und verschie-
denen Urhebern angehoren, sind zum groBen Teil schon
Gemeingut der Wissenschaft geworden; die weniger bekann-
ten Quellen, aus welchen die Darstellung schopfte, sind an
betreffender Stelle angegeben. Riicksichtlicli der etwa feh-
lenden Litteraturangaben mag auf die oben genannten Werke
von Salmon, Cremona und Durege verwiesen werden,
sowie auf die kiirzlich erscbienene historische Monographic
von Gino Loria: II passato e il presente delle principal!
teorie geometriche (Torino 1887).
Die Eigenschaften der Kegelschnitte, von welchen
durchgehends der umfassendste Gebrauch gemacht wird,
nnden sich auseinandergesetzt in dem von dem Verfasser
herausgegebenen Buche: Jacob Steiners Vorlesungen iiber
synthetische Geometric, IT. Teil, ,,die Theorie der Kegel-
schnitte, gestiitzt auf projektivische Eigenschaften" (Zweite
Auflage, Leipzig 1876); wo auf dasselbe Bezug genommen
ist, wird es kurz mit ,,Th. d. K." angefiihrt. Der Gang der
Untersuchung geht aus der folgenden kurzen Inhaltsangabe
hervor:
Der Verfasser beginnt mit der Konstruktion der C {3 '>
aus drei Paaren konjugierter Punkte derselben, von welcher
Clebsch (Math. Ann. Bd. V, S. 422) erklarte, daB ,,sie an
Einfachheit das AuBerste leiste", und deren Ursprung bei
einer ausgearteten C< 3) in den Polareigenschaften des Kegel-
schnitts sich findet. Aus ihr entspringt die Erzeugung der
(7 (3) vermittelst zweier Strableninvolutionen in projektiver
Beziehung und halb-perspektiver Lage 7 wodurch eine ge-
legentliche Bemerkung Steiners bestatigt wird, , ; da6 das
eigentliche Wesen vieler Eigenschaften der Kurve dritten
Grades vornehmlich auf der sogenannten Involution beruhe"
(Crelles Journal fur r. u. a. Math. Bd. 47, S. 6: Allgemeine
Eigenschaften der algebraischen Kurven). * Man gelangt
Vorrede. V
hiernach ungezwungen sowohl zu der G >(3) als Tripelkurve
eines Kegelschnittnetzes, als auch zu den Chaslesschen
Erzeugungsweisen verrnittelst Kegelschnittbiiscliel und Strahl-
biischel pder zweier Kegelschnittbiischel in projektiver Ab-
hangigkeit und besonderer Lage, da eine Strakleninvolution
auch nur ein Biischel ausgearteter Kegelschnitte 1st. Hieran
reilien sich verschiedene Konstruktionen der C (3) aus neun
willkurlich und unabhangig voneinander gegebenen Punkten,
sowie der Hauptsatz (Schnittpunktsatz), welcher die Be-
dingung zwischen den neun Durchschnittspunkten zweier
Kurven 3. 0. enthiilt und die Konstruktion des neunten not-
weudigen Punktes einer Gruppe von neun associierten Punkten,
von denen acht willkiirlich gegeben sind.
Die Tangentenquadrupel aus drei in gerader Linie
liegenden Punkten der CW liefern eine eigentiimliche Kon-
figuration ihrer Beriinrungspunkte, sowie ihrer Durch-
schnittspunkte und zeigen den Salmonschen Satz von dem
konstanten Werte des Doppelverhiiltnisses eines Tangeuten-
quadrupels.
Die ursprungliche Erzeugung der C'< 3) vermittelst zweier
projektiver Strahleninvolutionen in halbperspektiver Lage
fiihrt nun zu der Einteilung der C^ in ihre zwei Haupt-
gattungen (die einziigige und die zweizugige), sowie zu den
acht verschiedenen Gestalten derselben, von denen drei der
ersten und fiinf der zweiten Gattung angehoren unter
Beriicksichtigung der unendlich-entfernten Kurvenpunkte
(Durege: , ; tJber die Formen der Kurven dritter Ordnung",
Borchardts Journal f. Math. Bd. 75, S. 153). Die Be-
dingungeii fur die Erzeugung der verschiedenen Gestalten
der CW werden aufgesucht. Die Betrachtung des Tangenten-
quadrupels aus einem Kurvenpunkte hatte schon zur ko-
nischen Polare desselben gefiihrt; die Erweiterung derselben
zeigt uns das ganze Kegelschnittnetz der konischen Polaren
fur samtliche Punkte der Ebene und eroffnet den Einblick
in die vielfach verschlungenen Polareigenschaften einer C (i)
und den Zusammenhang unter den konischen und geraden
Polaren mit den Polokoniken und deui begleitenden Kegel-
schnitt. Hier treten auch die metrischen Beziehungen auf,
welche bei Cremona den Ausgangspunkt bilden, von dem
er zu den Polareigenschaften der C< 3) gelangt. Die aus-
VI Vorrede.
gearteten Kegelschnitte des Netzes der konischen Polaren
zeigen uns die Hessesche und Cayleysche Kurve, deren
Zusammenhang schon bei der Einfuhrung des Kegelschnitt-
netzes hervortrat.
Die Hessesche Kurve bietet den unmittelbaren AnlaB
zur Untersuchung der Wendepunkte einer (7 (S) , ihrer Kon-
figuration und Realitat, sowie der Lagenbeziehung ihrer
harmonischen Polaren. Den SchluB der Untersuchungen
bilden einerseits die Steinerschen SchlieBungsprobleme fiir
die CW, welche nach dem Vorgange von Kupper und
Schoute eine synthetische Losung finden, und andererseits
die von St einer ohne Beweis angegebenen Eigenschaften
von mehrpunktig die (3) beriihrenden Kegelschnitten. Aus-
geschlossen von der Betrachtung blieb vorlaufig die Kurve
dritter Ordnung mit einem Doppelpunkt, sowie die Biischel
von Kurven dritter Ordnung.
Moge die Absicht des Verfassers, den Studierenden die
vielen schonen Eigenschaften der Kurven dritter Ordnung
ebenso leicht zuganglich zu machen, wie die der Kegel-
schnitte, die Zustimmung der Fachgenossen finden, und
moge zugleich den Freunden synthetisch-geometrischer For-
schung auf einem noch keineswegs erschopften Arbeitsfelde
Anregung und Stoff zu eigener Untersuchung, zur Vervoll-
standigung und Erweiterung der angestellten Betrachtungen
dargeboten sein.
SchlieBlich bleibt mir noch iibrig, meinen Freunden,
Herrn Professor Dr. H. Vogt und Herrn Dr. E. Toeplitz
fiir die bei der Korrektur mir geleistete Hilfe meinen ver-
bindlichsten Dank auszusprechen.
Breslau, im April 1888.
H. Schroeter.
InLaltsverzeichnis.
Seite
1. Einleitende Betrachtung 1
2. Erzeugung der (7( 3 ) durch Punktepaare 4
3. Erzeugung der (7(3) durch zwei Strahleninvolutionen in pro-
jektiver Beziehung und halbperspektiver Lage .... 11
4. Nachweis dafur, daB eine beliebige Gerade der (7(3) im all-
gemeinen in drei Punkten begegnet 19
5. Das Kegelschnittgewebe 27
6. Die $(3), umhullt von den Verbindungslinien konjugierter
Punkte der (7(3) 35
7. Das Kegelschnittnetz 41
8. Die (7() und () als Tripelkurven 49
9. Erzeugung der (7(3) vermittelst eines Kegelschnittbu'schels und
eines mit ihm projektiven Strahlbuschels 58
10. Konstruktion der (7(3) durch neun willkiirlich und unabhangig
voneinander gegebene Punkte 72
11. Eine andere Losung der vorhergehenden Aufgabe .... 81
12. Andere Erzeugungsweisen und daraus hervorgehende Kon-
struktionen der (7(3) 89
13. Beziehungen zwischen den Beruhrungspunkten der Tangenten-
quadrupel, welche aua Punkten der (7(3) an dieselbe gehen 95
14. Weitere Beziehungen und Folgerungen aus denselben . . . 107
15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren konjugierter Punkte
auf der (7(3) 115
16. Allgemeine Untersuchung der verschiedenen Gestalten, welche
eine (7( 3 ) annehmen kann 130
17. Drei Gestalten der einziigigen und funf der zweizugigen (7( 3i 137
18. Bedingungen fur die Erzeugung einer einziigigen (7( 3 ) (Ser-
pentine) durch zwei projektive Strahleninvolutionen in
halbperspektiver Lage 148
19. Bedingungen fur die Erzeugung einer zweizugigen (7(3) durch
zwei projektive Strahleninvolutionen in halbperspektiver
Lage 152
20. Untersuchung aller mo'glichen Falle bei der Erzeugung einer
(7(3) durch zwei projektive Strahleninvolutionen in halb-
perspektiver Lage 158
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
21 Zusammenhang zwischen den konischen Polaren von Punkten
der (7<.3) 169
22. Die konischen Polaren fur alle Punkte der Ebene rucksicht-
lich der CO) 181
23. Die konischen und die geraden Polaren rucksichtlich der
(7(3) von den Punkten der Ebene 187
24. Die Polokoniken von den Geraden in der Ebene rucksichtlich
der (7(3) 198
25. Der die konische Polare begleitende Kegelschnitt .... 204
2>. Metrische Beziehungen 210
27. Zusammenhang der Hesseschen Kurve .ff(3) und der Cayley-
schen K(^ mit der gegebenen (7(3) 224
28. Die Wendepunkte der Ctf) 229
29. Beziehungen zwischen den Wendepunkten , den Wendetan-
genten und den harmonischen Polaren der Wendepunkte 240
30. tiber den Zusammenhang der Punkte einer (7( 3 ) mit ihren
zugehorigen Tangentialpunkten 260
31. Das Steinersche SchlieBungsproblem fur die (7(3) .... 266
32. Kegelschnitte,welchedie(7(3)mehrpunktigberuhren(oskulieren) 271
Tkeorie der ebenen Kurven dritter Ordnimg.
1. Einleitende Betrachtung.
1. Man gelangt bekanntlich zur Erzeugung des Kegel-
schnitts durch zwei projektive Strahlbiischel, indem man
von einein ausgearteten Kegelschnitt, namlich einem Linien-
paar, ausgeht in folgender Weise: Seien I und g die beiden
das Linienpaar bildenden Geraden and nimmt man auf I
zwei beliebige Punkte S3 und S3 X an, welche man durch
Strahlen init einem auf g veranderlichen Punkte verbindet,
so erhalt man in 95 und ^8 l zwei projektive Strahlbuschel
in perspektiver Lage. 1st die Beziehung derselben durch
die perspektive Lage festgestellt und wird die letztere als-
dann aufgehoben, so gelangt man zur Erzeugung des Kegel-
schnitts.
2. In ahnlicher Weise kann man von einer ausgearteten
Kurve dritter Ordnung, welche aus einem Kegelschnitt und
einer Geraden zusammengesetzt wird, zur Erzeugung der
allgemeinen Kurve dritter Ordnung gelangen.
Sei ein Kegelschnitt $ (2) und cine Gerade g gegeben,
und sei ^ der Pol der Geraden g in Bezug auf den Kegel-
schnitt (2) , dann wird aus dem Punkte t) der Geraden ein
Tangentenpaar an den Kegelschnitt gehen, welches in und
j t beriihren moge; der Strahl : jj x , welcher bestandig durch
^5 geht, wird die Gerade g in einem Punkte t) t treffen,
und bei der Veranderung von t) wird sich sowohl das
Punktepaar t als auch das Punktepaar tjt^ verandern,
ersteres auf dem Kegelschnitt, letzteres auf der Geraden.
Das Punktepaar t) i) l beschreibt bekanntlich eine gerade
SchrOter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordu.
2 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Punktinvolution. Das Punktepaar jr^ liefert verbundeu
immer einen durch 9$ laufenden Strahl; auch umgekehrt
bestimmt jeder durch ty gehende Strahl auf (2) ein Punkte-
paar jr.,, welches entweder reell oder koiijugiert-imaginar
sein kann.
3. Bekamitlich heiBen je zwei solche Punkte \)\) l ein
Paar konjugierter Punkte fur den Kegelschnitt und be-
sitzen auBer der involutorischen Eigenschaft auch die, daB
wenn irgend ein Punkt D des Kegelschnitts mit l)^ ver-
bunden wird, die Strahlen
i Dt) | und Ci)i
den Kegelschnitt & (2) in zwei neuen Punkten i schneiden,
deren Verbindungslinie durch ^ gehen mu6. Wir wollen
auch ein solches Punktepaar jr^ ein Paar koujugierter
Punkte nennen.
4. Werden sie mit irgend einem Punkte C des Kegel-
schnitts yerbunden, so bildet das Strahlenpaar
eine Strahlenin volution, welche entweder hyperbolisch oder
elliptisch ist, je nachdem der Punkt 9$ auGerhalb oder
innerhalb des Kegelschnitts $ (2) liegt. Jedes Strahlenpaar
einer solchen Strahleninvolution trifft aber auch die Gerade g
in einem Punktepaar tjtjj der vorigen Punktinvolutiou.
Hieraus folgt umgekehrt, wenn wir irgend ein Punkte-
paar tyth auf g und irgend ein Punktepaar jr^ auf ( - }
nehmen, daB der Schnittpunkt
(*), IM = 1
auf dem Kegelschnitt (2) liegen muB; folglich muB auch
der Schnittpunkt
(9i, SiW-i
auf dem Kegelschnitt (2) liegen; und es niiissen 5 und ^
wiederum konjugierte Punkte sein, weil j r.ty , und | jt)J in
3 und ^ den ^ 2) schneiden.
5. Ferner wissen wir aus den Polareigenschaften des
Kegelschnitts, daB wenn wir auf (2) zwei Punktepaare
1. Einleitende Betrachtung.
nehmen, wo (r. 1; E'^'I) = $ ist, die beiden iibrigen Diagonal-
punkte des vollstandigen Vierecks Ei f 'i
auf </, der Polare von ^S, liegen miissen und ein Paar kon-
jugierter Punkte sind.
Ferner wissen wir, daB wenn irgend ein Punkt @ der
Geraden g mit dem veranderlichen Paar konjugierter Punkte r^
verbunden wird, das Strahlenpaar
eine Strableninvolution beschreibt, und zwar immer eine
hyperbolisclie, weil die beiden Strahlen
g und |$|
barmonisch getrennt werden durch da,s Strablenpaar
| @g | und | E! |.
Ein solches Strahlenpaar scbneidet den (2) allemal in einem
neuen Paar konjugierter Punkte.
6. Diese bekannten Polareigenscbaften aus der Theorie
der Kegelschnitte zeigen uus fur die besondere Kurve dritten
Grades , welche in einen Kegelscbiiitt und eine Gerade aus-
geartet ist, wie dieselbe aufgelost wird in eine unendliche
Menge von Paaren konjugierter Punkte, welche verteilt
liegen teils auf dem Kegelscbiiitt , teils auf der Geraden;
aus irgend zwei Punktepaaren, mogen sie der einen oder
der andern Gruppe angehoren, EEi un( i 99i> folgt allemal
durcb kreuzweises Verbinden ein drittes Punktepaar
zwei konjugierte Punkte auf dem Kegelschnitt haben alle-
mal die Eigenschaft, daB ihre Tangenten sich in einem
Punkte der Geraden schneiden.
Jeder Punkt sowohl des Kegelschnitts wie der Geraden
sendet nach samtlichen Paaren konjugierter Punkte Strahlen-
paare, welche einer und derselben ihm zugehorigen Strahlen-
involution angehoren.
1*
4 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Da durch zwei Strahlenpaare eine Strahleninvolution
vollstandig bestimmt ist, so erscheint unsere Kurve dritter
Ordnimg C (3 > = [ ( %] als der Ort solcher Punkte 36 in
der Ebene, welche nach drei Punktepaaren, die unabhangig
voneinander gegeben sind, Strahlenpaare einer Involution
senden. (Wir nennen drei Punktepaare unabhangig von-
einander, die nicht die drei Paar Gegenecken eines voll-
standigen Vierseits sind.)
7. Nehmen wir die zu zwei konjugierten Punkten DD t
zugehorigen Strahleninvolutionen, so lassen sich dieselben
in Abhangigkeit voneinander setzen dadurch, daB wir immer
zwei solche Strahlenpaare der beiden Involutionen einander
entsprechen lassen, welche nach demselben Paar konjugierter
Punkte jj x hingehen. Das Gesetz dieser Abhangigkeit tritt
schon hier hervor und wird spater naher untersucht werden;
die Kurve C f|3) erscheint dann als das Erzeugnis der beiden
Strahleninvolutionen.
2. Erzeugung der (7 (3) durch Punktepaare.
1. Nach der vorigen Betrachtung bietet sich jetzt die all-
gem einere Aufgabe dar:
Es sind drei Punktepaare
2393,, <<,
in der Ebene beliebig gegeben (welche nicht die drei
Paar Gegenecken eines und desselben vollstandigen
Vierseits sind); es soil ein Punkt 3 von der Beschaf-
fenheit gesucht werden, daB die drei Strahlenpaare
einer und derselben Strahleninvolution angehoren.
Punkte von der verlangten Beschaffenheit lassen sich zu-
nachst in groBer Menge erniitteln.
Nimmt man den Schnittpunkt
so besitzt er offenbar die geforderte Eigenschaft, derm von
ihm aus gehen zwei Strahlenpaare, die identisch in eines zu-
2. Erzeugung der CW durch Punktepaare. 5
sammenf alien, nach 21 und 21,, nach 93 und 93,; das Strahlen-
paar nach ( und S x ist also ein zweites, welches zur Bestim-
mung der Strahleninvolution notwendig und hinreichend ist.
2. In gleicher Weise geniigt der Schnittpunkt
(2193,, 2t,93)
der geforderten Bedingung, und hierzu treten noch die vier
Punkte :
Nennen wir die beiden neuen Punkte
(2T93, 21,33,) = S>, (2193,, 21,93) = 2> 1;
so sind 2l2t 1? 9393^ 2)2), die drei Paar Gegenecken eines
vollstandigen Vierseits ; sie erscheinen also von j e d e m
Punkte der Ebene aus gesehen unter drei Strahlenpaaren
einer Involution, daher wird der Schnittpunkt
auch der geforderten Bedingung geniigen, nach St^, 9393 1;
SSj Strahlenpaare einer Involution zu senden. Aus dem-
selben Grunde genugt auch der Schnittpunkt
(fc^, $!<)- fc,
der geforderten Bedingung.
Da aber SS S)^, @@i die drei Paar Gegenecken
eines vollstandigen Vierseits sind, nach welchen jeder Punkt
der Ebene Strahlenpaare einer Involution sendet, da ferner
auch 2l2l n 9393,, S)^ die drei Paar Gegenecken eines andern
vollstandigen Vierseits sind, so muB ein solcher besonderer
Punkt, welcher nach 31 2^, 9333,, SS, Strahlenpaare einer
Involution sendet, auch nach SDS), und (($:, Strahlenpaare
derselben Involution senden. Wir konnen also als Bedingung
fiir die gesuchten Punkte der Ebene die urspriingliche For-
derung dahin umandern, da6 wir verlangen Punkte zu er-
mitteln, welche nach St^, 9393,, ^ oder nach 151,, (C t
oder nach 51^, 6(5,, 2), oder nach 93S 1; GCS,
, u. s. f. Strahlenpaare einer Involution senden, indem
wir immer nur solche drei Punktepaare wahlen, welche
g Theorie der ebeuen Kurven dritter Ordnung.
nicht die drei Paar Gegenecken eines vollstandigen Vierseits
sind, weil f'iir diese die Bedingung von selbst erfiillt wird.
3. Wir konnen hiernach auch die Punktepaare
und
bestimmen und erkennen, daB solche Punkte in der Ebene,
welche nach 5(51 1; 35S3 1; ((&! Strahlenpaare einer Involution
senden, auch nach $)S) n $$ u i Strahlenpaare derselben
Involution senden miissen.
Wir konnen also an Stelle der urspriinglichen drei
Punktepaare M 1; 95 SB,, S^ drei neue Punktepaare 2)2),,
{$$!, ($($! setzen; ein Punkt 3, welcher der geforderten
Bedingung geniigt, muB auch der neuen Forderung der
Aufgabe geniigen.
4. DaB die urspriinglich gegebenen Punkte 2t2l 1; 5335^
(&! selbst der Forderung fur den Punkt X geniigen , ist
eo ipso klar; denn nehmen wir fur 3 z. B. 51, so bestimmen
die beiden Strahlenpaare
H23 | und | ! |; | 2te | und | 21^
eine Strahleninvolution, in welcher dem fiinften Strahl < $i^( l \
ein bestimmter sechster, durch SI gehender Strahl konjugiert
ist; also geniigt S( der geforderten Bedingung und ebenso
alle iibrigen gefundenen Punkte.
5. Durch diese sich endlos fortsetzende netzartige Ope-
ration* gelangen wir zu immer neuen Punkten und Punkte-
paaren, welche der geforderten Bedingung geniigen und deren
Anzahl sich unbegrenzt vermehren lalit. Wir konnen dem-
gemaB durch bloBes fortgesetztes Ziehen von geraden
Linien in unendlicher Menge diskret gelegene Punkte 3
des gesuchten Ortes ermitteln und uns schon dadurch ein
Bild niachen von dem Verlaufe der Punkte 3t*. Da hierbei
die Punkte iinrner paarweise aultreten, X und 2t' n so wollen
wir jedes solches Paar , ? konjugierte Punkte" des Ortes
* Vergl. A. Clebsch: n Ober zwei Erzeugungsarten der ebenen
Kurven dritter Ordnung", Math. Annalen, Bd. V, S. 422.
2. Erzeugung der CH 3 ' durch Punktepaare.
nennen, wie 5) 3^, @i, $3u @i u. s. w. (wir werden so-
gleich die charakteristische Eigenschaft eines Paares kon-
jugierter Punkte kennen lernen). Wir sind zu dieser Be-
nennung berechtigt, weil die beiden konjugierten Punkte
eines Paares untereinander vertauschbar sind wegen der
Vertausclibarkeit konjugierter Strahlen einer Strahlen-
involution.
Wir sehen ferner aus dem obigen ProzeB, daB jeder
Punkt 3 des gesuchten Ortes die Eigenschaft besitzen niuB,
nicht bloB nach 915^ , $833 17 S( 1; sondern nach samtlichen
Paaren konjugierter Punkte, welche durch die obige Konstruk-
tion gefunden werden, Strahlenpaare einer und derselben
Strahleninvolution zu senden. Wir nennen diese Strahlen-
involution die dein Punkte X zugehorige Strahlen-
involution, welche schon durch zwei Strahlenpaare be-
stimmt wird, von der wir aber weitere in beliebiger Menge
herstellen konnen.
6. Haben wir in der angegebenen Weise irgend ein
Paar konjugierter Punkte des Ortes
X und X x
ermittelt, so wird die zu zugehorige Strahleninvolution
z. B. durch die Strahlenpaare
und & $ und 3
bestiuinit; ziehen wir nun den funften Strahl
I
a< ^i I;
so muB sein konjugierter Strahl in der Strahleninvolution
von X aus durch den zu X t konjugierten Punkt gehen;
dieser ist aber selbst, also wird dieser sechste Involutions-
strahl | XX | die Tangente des gesuchten Ortes in dem
Punkte X.
7. Wir sind hiernach ini staiide in jedem Punkte des
gesuchten Ortes die Tangente zu konstruieren, indem wir
zu fiinf bekannten Strahleii eiuer Strahleninvolution den
sechsten Involutionsstrahl ermitteln, was bekanntlidi in
linearer Weise geschehen kanu.
g Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Bezeiehnen wir die Schnittpunkte
(ab, 8) = 3, (b, Sfl)-.^,
(ob, t 80-Si, (^a, 8 t b) = X,
so ist | X | = t die Tangente in X und | X^ j = ^ die
Tangente in X 17 denn die drei Paar Gegenecken des voll-
standigen Yierseits
2lb , | H93 |, [ dS5 |, | ob |
werden von 3 aus unter einer Strahleninvolution gesehen,
und ebenso werden die drei Paar Gegenecken des voll-
standigen Yierseits
von Xi aus unter einer Strahleninvolution gesehen.
Nennen wir den Schnittpunkt der beiden Tangenten t
und t t in den konjugierten Punkten X und X!
so erkennen wir sofort die charakteristische Eigenschaft
eines Paares konjugierter Punkte. Denn zwischen irgend
fiinf Punkten: ^ < ^ ^
gilt immer die identische Beziehung unter den Doppel-
verhaltnissen*:
i) 3e &!%&%] . x, [a^xaq . x [^^s aej = i.
Ebenso zwischen den fiinf Punkten:
X *\ X 51 8
die identische Beziehung
2) [2(23 3^] . X, [93X3] . X[8X3J = 1.
* Der Nachweis fur die Mobiussche Beziehung (Barycentr.
Kalkiil S. 257) kann so gefuhrt werden:
Sind a, b, c, b, e irgend fiinf Punkte in der Ebene, und bezeichnet
man die Schnittpunkte
(be, be) = o ll (co, be) = b 1 , (ob, be) = q,
so gilt fiir die fiinf Punkte der Geraden j be | die bekannte Identitiit
zwischen den Doppelverhaltnissen
(beb 1 c 1 ).(bec 1 o 1 ).(beo 1 b 1 )=i.
2. Erzeugung der C(s) durch Punktepaare. 9
Wegen der beiden den Punkten 3 uud Xj zugehorigen
Strahleninvolutionen haben wir aber:
daher ergiebt sich aus den Beziehungen 1) und 2) die dritte:
woraus folgt, daB die drei Strahlenpaare
251 undlSSlJ, 295 I und X33 1} I X3U und
einer Strahleninvolution angehoren, also der Punkt X dem
gesucbten Orte angehoren muB. Wir scblieBen hieraus:
Die Tangenten in zwei konjugierten Punkten des
Ortes haben ihren Schnittpunkt selbst auf dem Orte.
Dies ist die charakteristische Eigenschaft fiir zwei kon-
jugierte Punkte des Ortes.
8. DaB der gesainte Ort aller Punkte 3k* von der verlangten
Beschaffenheit eine Kurve dritter Ordnung C" 31 sein wird,
geht sckon daraus hervor, daB wir unzahlig viele gerade
Linien finden konnen, deren jede drei Punkte des Ortes
enthalt. Der Nachweis, daB auf jeder beliebigen Geraden
in der Ebene im allgemeinen drei Punkte des Ortes ent-
halten sind ; wird spater geliefert.
Zunachst konnen wir noch auf jeder Verbindungslinie
zweier konjugierter Punkte, z. B. auf 5l5t x : noch einen
dritten Punkt des Ortes ermitteln; denn ware ein solcher
irgendwo auf | 51$^ | vorhanden, so miiBte fiir die ihm zu-
gehorige Strahleninvolution der Strahl | 51^ | ein Doppel-
strahl sein; die Involution selbst miiBte also eine hyperbolische
sein und die beiden Doppelstrahlen miiBten jedes Paar kon-
jugierter Strahlen harmonisch trennen. Ziehen wir also
Projizieren wir nun diese drei Doppelverhaltnisse, das erste von a,
das zweite von b, das dritte von c aus, so erhalten wir die Doppel-
verhiiltnisse der drei StrahlMschel
a[bebc]. b [beca] . c [beab] = l,
wo a[bebcj das Doppelverhaltnis der vier Strahlen nb I, ae , ab|,
ac ' bedeutet u. s. w.
J0 Theorie der ebenen Kurven clritter Ordnung.
und suchen zu dem Schnittpunkt (519( I; 33 SBJ den
zugeordiieten vierten harmonischen Punkt riicksichtlich des
andern Paares S3S3 1; so miifite durch diesen vierten har-
monisclien Punkt der zweite Doppelstrahl hindurchgehen.
Machen wir dasselbe mit dem Punktepaar ,, suchen also
zum Schnittpunkt (^IS^, SS X ) den zugeordneten vierten
harmonisclien Punkt riicksichtlich des Paares (( J7 so miiSte
auch durch diesen der zweite Doppelstrahl der gesuchteu
hyperbolischen Strahleninvolution hindurchgehen. Die Ver-
bindungslinie der beiden gefundenen vierten harmonischen
Punkte trifft also | 3l5l x | in einem Punkte $,,, welcher offen-
bar dem Orte angehort und der gesuchte dritte Schnittpunkt
der Geraden | 3IS1 1 | mit der Ortskurve ist.
Wir haben zugleich die dem Punkte X x zugehorige hyper-
bolische Strahleninvolution gefunden, deren einer Doppelstrahl
| Sl^ | ist. Auf dem andern Doppelstrahl miissen daher samt-
liche vierte harmonische Punkte liegen, die in gleicher Weise
fur jedes Paar konjugierter Punkte XXj konstruiert werden,
wie vorhin fiir 93 S3 X und S S lt Wir erhalten dadurch den Satz :
Die festgehaltene Verbindungslinie zweier kon-
jugierten Punkte | 313^ | wircl von samtlichen Ver-
bindungslinien | X 3^ | eines veriinderlichen Paares
konjugierter Punkte in Punkten getroffen, zu
welchen die zugeordneten vierten harmonischen
Punkte rucksichtlich des Paares 36.^ ermittelt
werden; diese vierten harmonischen Punkte liegen
samtlich auf einer geradenLinie I, die ; 51^ | in dem
dritten Schnittpunkt der Verbindungslinie | 9( 2^ |
mit der Ortskurve trifft.
9. Ist auf diese Weise der Punkt X x gefunden, so er-
halten wir seinen konjugierten Punkt X dadurch ; daB wir
in der Strahleninvolution, welche durch die Strahlenpaare
und StJB 910: und
bestimmt wird, den konjugierten Strahl zu j 51 ^ | =
ermitteln, d. h. die Tangente in St oder | 3IX |; zweitens
wird in der durch die beiden Strahlenpaare
3. Erzeugung der (7( 3 ) clurcli zwei Strahleninvolutionen etc. 1 1
| 8^8 | mid | VA |, | 21,6 | und | 31, t I
bestimmten Strahleninvolution der konjugierte Strabl zu
| Slj^ I j 2^91 | ermittelt, d. li. die Tangente in ^ oder
91, X |; der Scbnittpunkt X der beiden Strablen \WZ\ und
| 3ljX | ist der gesucbte konjugierte Punkt zu SE^.
Wir finden also das vorige Resultat (7.) wieder und
erg'anzen es:
Der Scbnittpunkt der beiden Tangenten in zwei
konjugierten Punkten des Ortes liegt selbst auf
dem Orte und ist der konjugierte Punkt zu dem
dritten Scbnittpunkt, in welcbem die Verbindungs-
liuie der beiden konjugierten Punkte der Ortskurve
noch begegnet.
Diesem dritten Scbnittpunkte gebort allemal eine byper-
boliscbe Strableninvolution zu ; deren einer Doppelstrabl [21 5^ |
ist, wabrend der andere Doppelstrabl I alle jene oben kon-
struierten vierten barmoniscben Punkte entbalt (8).
3. Erzeugung der C (i) durch zwei Strahleninvolutionen
in projektiver Beziehung und halbperspektiver Lage.
1. Wir baben bis jetzt Punkte und Punktepaare der
Kurve (7 (31 in beliebig groBer Menge ermittelt, aber jedes
neugefundene Punktepaar liegt infolge des angewendeten
Prozesses getrennt von den fruberen Paaren; wir erbalten
daber imnier uur diskret liegende Punkte der Ortskurve,
in denen wir aucb die Tangenten konstruieren konnen; es
feblt uns aber nocb eine Konstruktion, welcbe den kontinuier-
licben Verlauf der Punkte der Ortskurve C (;i) zu veranscbau-
licben vermag. Hierzu fiibrt uns folgende Betracbtung:
Scbneiden sicb die Verbindungslmien der beiden Paare
konjugierter Punkte ^UHj und .V.V,^ in dein Punkte
und sei , der zu JL; zugeordnete vierte barnioniscbe Punkt
riicksicbtlicb des Paares ,\'.\'j, also der Wert des Doppel-
verbaltnisses
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
so lauft, wie wir wissen ( 2, s), bei Veranderung des
Paares 3 3^ der Punkt , auf einer Geraden I und bescbreibt
eine gerade Punktreihe; die beiden Strablen
| 21 t I und | 21^ |
bescbreiben also zwei perspektiv liegende Strablbiischel,
wahrend die Strahlenpaare
die beiden den Punkten 21 und 2^ zugehorigen Strahlen-
involutionen bescbreiben.
Die von dem Strahlenpaare | 2136 |> | 2(9^ | .bescbriebene
Strableninvolution steht aber in engem Zusammenbange mit
dem von dem einfacben Strabl | 2lj 1 | bescbriebenen Strahl-
biischel, namlicb | 21^ | ist allemal der zu | 21^ J | zugeordnete
vierte barmoniscbe Strabl riicksicbtlicb des Strablenpaares
| 2136 [, | 21 ^ |. Zu jedem Strablenpaar der Strableninvolution
gebort ein einziger bestimmter Strabl des Strablbiiscbels ;
aber auch umgekebrt zu jedem Strabl des Strablbiiscbels
ein einziges bestimmtes Strablenpaar der Strableninvolution 5
um dies zu finden, bediirfen wir nur der bekannten Aufgabe:
,,Fur zwei konzentriscb liegende Strableninvolutionen (deren
eine byperboliscb ist) das gerneinscbaftlicbe Strablenpaar zu
finden" (Th. d. K. S. 58).
Diese Abbangigkeit der beiden Gebilde (der Strablen-
involution und des Strablbuscbels) tritt nocb deutlicber ber-
vor durcb folgende Hilfskonstruktion:
Denken wir uns durcb 21 einen Kegelscbnitt gelegt,
welcher die Tangente | 21 ST | in 21 berubrt, so durcbbobrt jedes
Strablenpaar | 21 X |, | 21 X t | der Strableninvolution den Kegel-
schnitt in dem Punktepaar tyi^, und die Durcbbobrungssebne
jt)9il lauft durcb einen festen Punkt 9$, durcb welchen
aucb der Strabl | a^ | hindurcbgebt, weil | 21 X | und | 2l2t t
ein Strablenpaar der Involution bilden. Ist p die Polare
von ^$ in Bezug auf den Hilfskegelscbnitt und schneidet
| ^t)J dieselbe in , so sind tjt^^ vier barmoniscbe Punkte 7
folglicb | 21 1) |, | 21 9 X |, | 21$ j, | 2( | vier barmoniscbe Strahlen,
3. Erzeugung der COO dutch zwei Sttcihleninvolutionen etc. J3
also aueh | SIX I, 513^ |, | 515^ |, | 51 5 | solche, mithiu geht
| Stj | durch r^. Das von j l)i) 1 \ beschriebene Strahlbuschel (^)
liegt mit dem von | 21 j x | beschriebenen Strahlbuschel per-
spektiv (der perspektive Durchschnitt 1st p), und nun liefert
jeder Punkt 5 der Geraden p entsprechende Elemente der
beiden Gebilde, namlich den Strahl | Hj | S | 8C& | des Strahl-
biischels und das Strahlenpaar 51 1) |, 5lt) t | oder was das-
selbe ist | 313E |, | 5(3^ | der Strahleninvolution.
Wir reduzieren durch diese Hilfskonstruktion die Strahlen-
involution [51] auf ein einfaches Strahlbtischel (*$), welches
immer mit dem von | 51 t | beschriebenen Strahlbtischel pro-
jektiv ist, wie wir auch den Hilfskegelschnitt wahlen mogen.
Wir nennen demgemafi auch zwei Strahleninvolutionen pro-
jektiv, wenn die Strahlbtischel , auf welche sie reduziert
werden konnen, projektiv sind.
Nehmen wir daher die beiden den Punkten 51 und 2( 1
zugehorigen Strahleninvolutionen, so sind die Reduktions-
biischel derselben mit den von [ 51 r. t J und j Slj j t | beschriebenen
Strahlbiischeln projektiv, und da diese perspektiv liegen, weil
t auf der Geraden I sich bewegt, so sind die beiden Strahlen-
involutionen [51] und [5IJ selbst projektiv.
Durch diese projektive Beziehung der beiden Strahlen-
involutionen wird jedem Strahlenpaar der ein en ein einziges
bestimmtes Strahlenpaar der andern zugeordnet, und solche
entsprechende Strahlenpaare schneideii sich nicht bio 6 in
dem einen Punktepaar 33 1; sondern gleichzeitig noch in
einem zweiten Punktepaar ^) ), , welche beide als konjugierte
Punkte dem Orte angehoren. DaB das zweite Punktepaar ^)|) 1
auch ein Paar konjugierter Punkte der Ortskurve ist, folgt
aus der Vierseitskonstruktion ( 2).
2. Die beiden projektiven Strahleninvolutionen [51] und
[51J befinden sich in der eigentiimlichen Lage, da6 dem
Strahlenpaar
d Strahlenpaar
entspricht, weil die beiden perspektiven Strahlbiischel j 51 r^ |
und 51 X j, | in der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte zwei
14 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
entsprechende Strahlen vereinigt haben. Es fallen also in die
Verbindungslinie der Mittelpunkte beider projektiven Strahlen-
involutionen von zwei entsprechenden Strahlenpaaren je ein
Strahl zusammen; wir bezeichnen demgemaB diese Lage als
halbperspektive Lage der beiden projektiven
Strahleninvolutionen und konnen nunmehr die Orts-
kurve C (3) auffassen als Erzeugnis zweier projektiven Strahlen-
involutionen in halbperspektiver Lage, indem irnmer die
Durchschnittspunkte entsprechender Strahlenpaare zwei
Punktepaare der Ortskurve C (3) liefern.*
Die (7 (3) wird hiernach in kontinuierlicher Weise erzeugt,
indem wir ein Strahlenpaar kontinuierlich die eine Strahlen-
involution durchlaufen lassen, wodurch auch das entsprechende
Strahlenpaar kontinuierlich die andere durchlauft. Die oben
ausgefiihrte Hilfskonstruktion vermittelst eines Kegelschnitts,
der in 21 und 3l t die beiden Geraden | SIX | und | 21, | be-
ruhrt, giebt uns ein bequemes Mittel an die Hand, indeni
wir den veranderlichen Punkt t die Gerade I kontinuierlich
durchlaufen lassen, entsprechende Strahlenpaare in beliebiger
Menge herzustellen und dadurch die ganze Kurve C (3 ' in
ihrem Verlaufe zu konstruieren.
3. Zu dieser Erzeugung der C >3) durch zwei projektive
Strahleninvolutionen in halbperspektiver Lage gelangen wir
auch auf folgende Weise:
Gehen wir von den drei Paaven konjugierter Punkte
aus, so konnen wir ein vollstandiges Vierseit bilden aus
den vier Geraden
und die ganze Schar von Kegelschnitten, welche diese vier
Geraden zu gemeinschaftlichen Tangenten haben. Alle Tan-
gentenpaare aus einem festen Punkte an die Kegelschnitte
einer Schar bilden bekanntlich eine Strahleninvolution, der
* Vergl. des Verfassers Abhandlung: n Uber eine besondere Kurve
dritter Ordnung und eine einfache Erzeugungsart der allgemeinen Kurve
dritter Ordnung". Math. Annalen, Bd. V, S. SOflg.
3. Erzeugung der CW durch zwei Strahleninvolutionen etc. 15
insbesondere auch die drei Strahlenpaare angehoren, welche
yon dem festen Punkte nach den drei Paar Gegenecken des
vollstandigen Vierseits hingehen. (von denen SBS^ and (( x
zwei Paare sind). 1st nun $t (2) ein beliebiger Kegelschnitt
der Schar, so wird das Tangentenpaar aus 21 an denselben
der Strahleninvolution angehoren, welche durch die Strahlen-
paare
und sp^ [ ? | $i( | und
bestimint wird, und das Gleiche gilt von dern Tangenten-
paar, welches aus 2^ an den Kegelschnitt $ (2) geht. Durch
Veranderung desselben in der Kegelschnittschar erhalten
wir also in 21 und 2l : zwei Strahleuinvolutionen, die in der
Abhangigkeit voneinander stehen, da6 immer entsprechende
Strahlenpaare Tangentenpaare aus 21 und 2( : an denselben
Kegelschnitt $ <2) der Schar sind.
4. Unter den Kegelschnitten der Schar giebt es einen
und nur einen einzigen, welcher die fiinfte Gerade I2121J
beriihrt; von den beiden Tangentenpaaren, welche aus 21 und
2tj an diesen besonderen Kegelschnitt der Schar gehen, fallen
zwei Strahlen in | 21 2^! | zusammen. Die Strahleninvolutionen
[21] und [2(J befinden sich also in halbperspektiver Lage.
Die beiden Strahleninvolutionen [2(] und [2lJ befinden sich
aber auch in projektiver Beziehung; denn bezeichnen wir
die Gerade
mi,
= a,
so liegen bekanntlich die Pole der Geraden a in Bezug auf
samtliche Kegelschnitte der Schar auf einer Geraden a t und
bilden eine gerade Punktreihe % i} welche zu den Kegelschnitten
der Schar in projektiver Abhangigkeit steht. 1st also r. t der
Pol von a in Bezug auf ^-\ so liegt t auf a t und das Tan-
gentenpaar aus 21 an $ (2) wird harmonisch getrennt durch
das Stahlenpaar 2l2l x | = a und | St j t ]. Durchlauft 8 die
Kegelschnittschar, so durchlauft r^ die gerade Punktreihe
auf a 1} und | 2(j, | beschreibt ein einfaches Strahlbiischel,
welches projektiv ist mit der Strahleninvolution, die von
den Tangentenpaaren aus 2{ an die Kegelschnitte der Schar
gebildet wird (3.). Das Gleiche gilt von der Strahlen-
involution fur 2l t , und da die beiden von
Theorie der ebenen Kurven dritter Orclnung.
beschriebenen Strahlbiischel perspektiv liegen, so stehen
auch die beiden Involutionen [21] und [2lJ in projektiver
Beziehung. ,
Das Erzeugnis dieser beiden Strahleninvolutionen [21]
und [2lJ in projektiver Beziehung und halbperspektiver
Lage ist nun in der That unsere Kurve C (3) ; denn sei
das Tangentenpaar aus 21 an.$ <2 >: t und t\
21, $<: ^ und t\
und bezeichnen wir die Schnittpunkte
*, (,')- D,
so gehen aus X zwei Strahlen t und ^ nach 2( und 2( 1?
die der Strahleninvolution angehoren, welche durch die
-Strahlenpaare
| 3695 | und | 93, |, | X& | und | Xt, L
bestimmt wird; es geniigt also 9 den Forderungen der Auf-
gabe ( 2, 1.) und ebenso 3 u $ und ^^ diese Punkte gehoren
also dem gesuchten Orte (7 (3) an.
Die Gerade x ist nichts anderes als die von uns friiher
niit I bezeichnete Gerade ( 2, 8.), welche die projektive
Beziehung der beiden Strahleninvolutionen [21] und [2IJ
vermittelt.
Wir konnen also folgenden Satz aussprechen:
Wenn man eine Kegelschnittschar von vier ge-
meinschaftlichen Tangenten | 83<H | S3, |, | & l> ! ^A I
hat, und man legt von zwei festen Punkten (2( und
2lj) jedesmal die Tangentenpaare an einen und den-
selben Kegelschnitt der Schar, so durchschneiden
sich dieselben in zwei Punktepaaren, deren gesamter
Ort fiir alle Kegelschnitte der Schar eine C (3) ist.
Was hier fiir die beiden Mittelpunkte 212^ der er-
zeugenden Strahleninvolutionen nachgewiesen ist ? gilt in
gleicher Weise fiir irgend ein Paar konjugierter Punkte.
Es kann also dieselbe Kurve (7 (3) in der mannigfachsten
Weise erzeugt werden, indem man immer nur ein Paar
3. Erzeugung der C& dutch zwei Strahleninvolutionen etc. 17
konjugierter Punkte als Mittelpunkte erzeugender Strahlen-
involutionen wahlt und dieselben lierstellt. Dies entspricht
der Erzeugung des Kegelschnitts durch zwei projektive Strahl-
biischel, deren Mittelpunkte man beliebig auf dem Kegelschnitt
wahlen kann. Hier ist die Wahl der Mittelpunkte dadurch
beschrankt, daB ihre beiden Tangenten sich in einem Punkte
der Kurve selbst schneiden rutissen.
5. Was wir bisher fiir einzelne Punkte und Punktepaare
unsers Ortes erkannt haben, gilt jetzt fiir jeden beliebigenPunkt.
Demi sei 3 ein beliebigerPunkt des Ortes, welcher also dieEigen-
schaft besitzt, nach s 2l3l,, 3393,, ((, drei Strahlenpaare einer
Involution zu senden ; dann giebt es nur einen einzigen be-
stimmten Kegelscbnitt (2) , der die fiinf Tangenten hat
und dieser Kegelschnitt ffi' 2) muB auch die Gerade | H, |
beruhren, wegen der involutorischen Eigenschaft von .
Aus 5t und 91, gehen aber an (2) noch zwei andere Tan-
genten auBer | 913 | und | 2(, j; jene beiden schneiden sich
in ,, einem neuen Punkte der Ortskurve, und das Punktepaar
3 und ,
ist ein Paar konjugierter Punkte der C (3) in dem friiheren
Sinne und mit der charakteristischen Eigenschaft ; daB nun-
mehr ein beliebiger Punkt ty der (7 (3) nach 36 und 3 x ein
Paar konjugierter Strahlen derjenigen Strahleninvolution
senden wird, unter welcher die drei gegebenen Punktepaare
91^, 9333,, (Si erscheinen.
In der That, der Kegelschnitt ffi-^, welcher durch die
fiinf Tangenten | 93 |, | i > I $i 6 |, | 93^, [, | St3 be-
stimmt wird, beriihrt auch | 5t,X |, 213, |, | t,X, , hat also
acht Tangenten. Wenn ty ein beliebiger Punkt der C (B) ist,
so sendet er nach 5131,, 3333,, ((, drei Strahlenpaare einer
Involution, welche schon durch zwei Strahlenpaare bestimmt
wird. Dieser Involution muB das Tangentenpaar aus ^5 an
ffl 2 * angehoren, also wird die Strahleninvolution [ty] durch
dies Tangentenpaar und das Strahlenpaar | ^531 |,
bestimmt; folglich muB ihr auch das Strahlenpaar
SohrOter, Theorio der ebenen Kurven 3. Ordn. 2
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
spat; |
angehoren, denn dasselbe gehort einer Involution an, die
von alien Tangentenpaaren an die Kegelschnitte einer Sena*
gebildet wird, welche die vier gemeinschaftlichen Tan-
genten hat
I 91 I I 2f I I 21 HM I 21 I-
| -a* |, i -a*! |, | .* |, I *H**i. |j
zu diesen Kegelschnitten gehort aber C2 >. Ebenso ist auch
(ax, a, a-o-g) und tas a^-gh
ein Paar konjugierter Punkte der (7^.
Wir haben hierdurch eine Bediugung zwischen vier
(beliebigen) Paaren konjugierter Punkte gefunden, die sich
folgendernaaGen aussprechen laBt:
Hat man irgend vier Paare konjugierter Punkte
einer C (3) ermittelt
und zieht die Verbindungslinien
so beruhren diese acht Geraden einen und denselben
Kegelschnitt ^>.
6. Wir haben gesehen, daB es auf C (3) zu jedeni Punkte 3:
einen einzigen bestiinmten konjugierten Punkt 3k; giebt, wie
derselbe gefunden wird, und daB irgend ein Punkt 9$ der
(7 (3) mit 3 vmd X x verbunden zwei Strahlen liefert, welche
der C 1(3) in einem neuen Paare konjugierter Punkte ?) und
tyt begegnen.
Man kann also durch Festhalten eines Paares kon-
jugierter Punkte 93 1 und durch Veranderung des Punktes ty
auf (7 (3) samtliche Paare konjugierter Punkte in kontinuier-
licher Weise erhalten. Schneidet | ^53 | die C (3) zum dritten
Mai in 2) und | ^3k\ | in 3),, so ist
der konjugierte Punkt zu
4. Nachw. dafur, daB eine belieb. Gerade d. C^ 3 ' im allgem. etc. 19
Wenn wir von dem vollstandigen Vierseit, dessen drei
Paar Gegenecken 363^ , D^, ^P^ sind, das Paar XS^ fest-
halten, den willktirlichen Punkt 9$ der (3) aber so ver-
andern, daB er in den dritten Schnittpunkt der Verbindungs-
linie | 33t\ | mit der (7 (3) hineinruckt, dann wird ^) nach 3^
und ?) 1 nach X gelangen, also werden | 3)3^ \ und | 2)^ j
die Tangenten der C (3) in den beiden konjugierten Punkten 3t*
und 36 j werdeu, folglich wird der Punkt ^? 1 der Schnittpunkt
dieser beiden Tangenten und wir finden jetzt allgemein be-
stlitigt den friiheren Satz ( 2, 9):
Die beiden Tangenten in zwei konjugierten
Punkten der (7 (;!) schneiden sich allemal in einem
neuen Punkte derselben und der konjugierte Punkt
zu letzterem ist der dritte Schnittpunkt der C (3) mit
der Verbindungslinie der beiden ersten konjugierten
Punkte.
Die Strahlenin volution, welche diesem dritten Schnitt-
punkte angehort, ist allemal eine hyperbolische, weil ein
Doppelstrahl derselben die Verbindungslinie der beiden an-
fanglichen konjugierten Punkte ist.
4. Nachweis dafur, dafs eine beliebige Gerade der (7 (3)
im allgemeinen in drei Punkten begegnet.
1. Die Erzeugung der C (3) durch zwei Strahleninvolutionen
in projektiver Beziehung und halbperspektiver Lage liefert
uns nun auch den allgemeinen Nachweis dafiir, daB eine
beliebige Gerade g der C (3) im allgemeinen in drei Punkten
begegnet.
Ist g eine beliebige Gerade in der Ebene, und treffen
die beiden erzeugenden Strahleninvolutionen [5t] und [StJ
die Gerade g in den Punktinvolutionen, deren Punktepaare
und u t) und ty t
seien, so haben wir auf g zwei incidente Punktinvolutionen
in projektiver Abhaiigigkeit; die Punktepaare t und tjtjj
entsprechen einander eindeutig, ebenso wie die Strahlenpaare
20 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
der erzeugenden Strahleninvolutionen, mit denen sie perspek-
tiv liegen, und es wird auf die Frage ankommen:
Wie oft ereignet es sich, daB ein Punkt des
einen Paares JJ X mit einemPunkte des entsprechenden
Paares t)ty t zusammenfallt?
So oft dies eintritt, wird offenbar ein Schnittpunkt ent-
sprechender Strahlen auf g liegen, d. h. ein Punkt der Orts-
kurve sein.
Von vornherein ist ersichtlich, daB dies eimnal eintritt;
da namlich dem Strahlenpaar
| SIX |, | Mi | das Strahlenpaar | StjX |, | 8^ SI |
entspricht ( 3, 2), so trifft der Strahl | SIS^ | die Gerade g in
einem Punkte 0, welcher zwei entsprechende Punkte aus den
beiden Punktinvolutionen vereinigt. Dieser Punkt o fallt also
als nicht dem Orte C (3) angehorig selbstverstandlich heraus. Die
iibrigen zusammenfallenden Punkte lassen sich aber so ermitteln:
2. Jede der beiden auf g befmdlichen Punktinvolutionen
laBt sich auf eine einfache gerade Punktreihe reduzieren
durch ein Verfahren, welches dual gegenubersteht dem in
3, l angewendeten zur Reduktion einer Strahleninvolution
auf ein einf aches Strahlbuschel.
Nehmen wir namlich einen beliebigen die Gerade g im
Punkte D beriihrenden Kegelschnitt (2) und legen aus jedem
Punktepaar Jj t an denselben die beiden noch iibrigen Tan-
genten, welche sich in p schneiden, so wird bei der Ver-
anderung von ^^ der Ort von p eine gerade Linie 7, auf
welcher p eine gerade Punktreihe durchlauft (Th. d. K.
S. 152). Diese gerade Punktreihe ist projektiv mit dem
von den Polaren ihrer Punkte gebildeten Strahlbuschel,
also auch mit der von dem vierten harmonischen Punkte
zu und jjj beschriebenen Punktreihe, welche perspek-
tiv liegt mit dem von dem vierten harmonischen Strahl
zu | St^ | und | SI X|, |StXJ beschriebenen Strahlbuschel.
Das Strahlenpaar | 51 X | und | SISlj | liefert auf g das Punkte-
paar D! und 0; die iibrigen Tangenten aus und o x miissen
sich auf I schneiden, folglich muB
4. Nachw. dafur, dafl eine belieb. Gerade d. (7 (S) im allgem. etc. 21
sein, der Schnittpunkt von I und g.
Wir haben dadurch die erste Punktinvolution [jj auf
die gerade Punktreihe p (auf 1} reduziert; in gleicher Weise
reduzieren wir mittels desselben Hilfskegelschnitts (2) die
zweite Punktinvolution [t)t)J auf eine gerade Punktreihe [pj,
deren Trager eine bestimmte Gerade l t ist. Trifft das Strahlen-
paar | 21^ | und | 5^51 | die g in o\ und o, so wird
'i-(*i0)
sein. Die beiden von p und PJ auf den Tragern I und Z t
durchlaufenen geraden Punktreihen sind aber projektiv, weil
die Punktinvolutionen [jjj und [tj^J projektiv sind ( 3 7 l),
und ein besonderes Paar entsprechender Punkte dieser beiden
projektiven geraden Punktreihen werden die Punkte c^o^ sein.
Die Verbindungslinie je zwei entsprechender Punkte [ppj
muB daher einen Kegelschnitt jBT (2) umhiillen, und da auch
I i 'i I ~ 9 e i ne Tangente desselben ist , so haben die beiden
Kegelschnitte
bereits eine gemeinschaftliche Tangente, mithin im all-
gemeinen noch drei andere, von denen mindestens eine reell
sein muG ; die beiden iibrigen auch konjugiert - imaginar sein
konnen.
Diese drei iibrigen gemeinschaftlichen Tangenten der
Kegelschnitte ^ t2) und K (2) liefern nun die Losungen der
Aufgabe, denn sobald von dem Tangentenpaar aus p an (2)
und von dem Tangentenpaar aus )j) i an (2) zwei Tangenten
zusammenfallen in | ppj |, muB diese Gerade der g in einem
Punkte begegnen, in welchem ein Punkt des Paares J^
mit einem Punkte des entsprechenden Paares t)t)i zusammen-
fiillt. Wir schlieBen also das Resultat:
Eine beliebige Gerade g enthalt im allgemeiuen
drei Punkte des Ortes C (3) , von denen notwendig
einer reell sein muB, die beiden andern auch kon-
jugiert-imaginar sein konnen.
3. Wir haben hiermit zugleich eine allgemeinere funda-
mentale Aufgabe gelost, deren Hervorhebung niitzlich er-
22 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
scheint. Die Kegelschnitte (2) und K& ] liaben namlich im
allgemeinen vier gemeinschaftliche Tangenten, und nur in-
folge der besonderen halbperspektiven Lage der erzeugenden
Strahleninvolutionen tritt der Umstand ein, da6 eine der-
selben als illusorisch fiir die vorliegende Frage herausfallt.
Wenn wir also die Bediugung der halb-perspektiveu Lage
fortlassen, werden wir sagen miissen:
Bei zwei Punktinvolutionen [jjj und [t)t)J auf
demselben Trager g, in projektiver Abhangigkeit
komrat es im allgemeinen viermal vor, daB ein Punkt
des einen Paares r_r. t mit einem Punkte des ent*
sprechenden Paares t)^ zusammenfallt.
Lassen wir also fiir die beiden erzeugenden projektiven
Strahleninvolutionen [51] und [SIJ die Bedingung der halb-
perspektiven Lage fallen, so wird das Erzeugnis eine Kurve
vierten Grades, weil jede Gerade g im allgemeinen vier
Punkte des Ortes enthalt (es ist leicht zu sehen, da6 t
und SIj zwei Doppelpunkte derselben sein miissen) , und nur
fiir die halb-perspektive Lage fallt die Gerade | H5I 1 1 als
ein Teil dieser Kurve C w heraus, sodaB nur eine C (3) iibrig
bleibt. Nehmen wir auf demselben Trager g eine Punkt-
involution und eine einfache Punktreihe in projektiver Be-
ziehung und reduzieren, wie oben, die Punktinvolution [jr.,]
mittels des Hilfskegelschnitts $ (2) auf eine einfache gerade
Punktreihe [p] auf dem Trager /, welche mit der auf g ge-
gebenen Punktreihe [t)J projektiv sein wird, so erzeugen auch
die projektiven Punktreihen I [p] und g [t)] einen Kegel-
schnitt K ( -\ der mit $ (2) die gemeinschaftliche Tangente //
hat; die iibrigen drei gemeinschaftlichen Tangenten beider
Kegelschnitte liefern die incidenten entsprechenden Elemente
der beiden auf g gegebenen Gebilde, also:
Sind auf demselben Trager g eine Punkt-
involution [jjcj und eine einfache Punktreihe [9] in
projektiver Abhangigkeit gegeben, so konimt es im
allgemeinen dreimal vor, daB ein Punkt des Paares r.^
mit dem entsprechenden Punkte t) zusammenfallt;
von diesen drei incidenten Punkten ist immer einer
4. Nachw. dafiir, daB eine belieb. Gerade d. (7 ft) im allgem. etc. 23
reell, die beiden andern konnen auch konjugiert-
iraaginar sein.
Die dual - gegenuberstehenden Satze fiir Strableninvolu-
tionen besonders auszusprechen ist uberflussig.
4. Wir konnen nunmehr aucb vollstandig und allgemein
die Frage beantworten, welcbe uns in 2, 1 als Ausgangs-
punkt diente, namlich die Frage nach dem Ort eines Punktes BE,
welcber nacb drei voneinander unabbangig gegebenen Punkte-
paaren
Stralilenpaare einer Involution sendet. Die involutorische
Eigenscbaft laBt sicb namlicb aussprecben als Gleichbeit
der Doppelverbaltnisse zweier Strahlbiiscbel
Nun ist der Ort eines Punktes X, welcber nacb vier
gegebenen Punkten vier Strablen sendet, deren Doppelverbalt-
nis einen gegebenen Wert baben soil, bekanntlicb ein Kegel-
scbnitt, welcber durch die vier gegebenen Punkte selbst bin-
durcbgeht und vermittelst der Tangente in einem dieser
Punkte konstruiert werden kann. Soil das Doppelverhaltnis
sein, so konstruiere man durcb 3^ eine Gerade t, sodafi-
die vier Strahlen
t 121911 l2t$H I2ISI
*"> I . f H ;W -l> I.*4*P b r w i'* I
den Wert des Doppelverbaltnisses x liefern; dann ist ein
Kegelscbnitt vollstandig bestimmt, welcber durcb S^SlSiBS
geht und in S( 1 die Tangente t hat. Dieser Kegelscbnitt
ist der Ort fiir den gesuchten Punkt . Soil nun
sein, und legen wir diesen Doppelverbaltnissen irgend einen
Wert x bei, so wird 36 ein gemeinscbaftlicber Punkt zweier
Kegelscbnitte sein miissen, welcbe bereits 31 und ^ gemein
baben. Die iibrigen beideu Schnittpunkte erfiillen also die
Forderung der Aufgabe. Mit der Veranderung von x ver-
andern sich aucb die beiden Kegelscbnitte und beschreiben
zwei Kegelscbnittbiiscbel mit je vier festen Grundpunkten.
24 Tbeorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Diese beiden Kegelschuittbusebel steben infolge der obigen
Gleicbbeit in projektiver Abhangigkeit, die so bergestellt
werden kann:
Seien die Scbnittpunkte
und
[Be )-*,
und lassen wir auf I einen veranderlichen Punkt r. 1 auf en,
der eine gerade Punktreibe beschreibt, so findet offenbar
die Gleicbbeit der Doppel verbal tnisse statt
legen wir nun durcb
SjeSlSl, einen Kegelscbnitt K, der | 5(j | beruhrt,
und durcb
S,!^ einen Kegelscbnitt K&\ der ^j | berubrt,
so ist fur jeden Punkt 3E des ersten Kegelscbnitts
und flir jeden Punkt X t des zweiten Kegelscbnitts
folglicb fiir einen gemeinscbaftlicben Punkt beider Kegel-
scbnitte X = 3^ ist die geforderte Bediugung
X [!] -3B [8, (^OTi]
erfullt, und da die beiden Kegelscbnitte ^T (2) und JiT/ 2 ' auGer
31 und ^ ini allgemeinen nocb zwei gemeinscbaftlicbe Punkte
baben, so erbalten wir zwei Punkte, welcbe der Pordenmg
geniigen. Verandern wir aber den Punkt j auf der Ge-
raden /, so bescbreiben die beiden Kegelscbnitte K^ und
K^ zwei Kegelscbnittbiiscbel niit den je vier Grundpunkten
31586^ und 31,93^^,
und da die beiden Strablbiiscbel Stj | und | ty^i perspektiv
liegen, also projektiv sind, so steben aucb die beiden Kegel-
scbnittbiiscbel in projektiver Abhangigkeit voneinander wegen
der projektiven Beziebung ibrer Tangentenbtiscbel in je
einem festen Grundpunkte. Die beiden projektiven Kegel-
scbnittbiischel [^ (2) ] und [^ <2) ] erzeugen im allgemeinen
4. Nachw. dafiir, daB eine belieb. Gerade d. C< 8 ) im allgem. etc. 25
eine Kurve vierter Ordnung C (4) , well auf einer beliebigen
Geraden g die beiden von den Biischelu ausgeschnittenen
projektiven Punktinvolutionen viermal entsprechende Punkte
znsammenfallend liaben (3.). Aus der C w fallt aber die
Gerade | ^ISlj | als illusorisck heraus, denn fur die besondere
Lage des Punktes
S -(* **)
besteht der eine Kegelschnitt aus dem Linienpaar | 51 9^ |,
| 93S | und der entsprechende Kegelschnitt aus dem Linien-
paar j 5( x 3( , | ;$! Sj | , also haben beide die ganze Gerade
l^^ii gemeinschaftlich, von der nicht saintliche Punkte
der Forderung fur X geniigen. Es bleibt mithin nur eine
Kurve dritter Ordnung C t3) iibrig als Ort fiir die gesuchten
Punkte X.
(Wir haben hierdurch zugleich eine neue Konstruktion
fiir die Punkte X erhalten, auf die wir aber nicht weiter
eiugehen wollen.)
5. Dagegen wollen wir hier nachtraglich die Reduktion
eines Kegelschnittbiischels auf ein einfaches Strahl-
biischel oder auf eine gerade Puuktreihe geben, um
dadurch in den Stand gesetzt zu werden, zwei Kegelschnitt-
biischel aufeinander projektiv zu beziehen oder auch ein
Kegelschnittbiischel auf ein einfaches Strahlbiischel.
Die Polaren eines festen Punktes ^5 in Bezug auf siinit-
liche Kegelschnitte eines Biischels mit vier festen Grund-
punkten laufen bekanntlich durch einen und denselben Punkt ^
und bilden eiu einfaches Strahlbiischel; nimmt man von einem
zweiten Punkte O die Polaren in Bezug auf sarntliche Kegel-
schnitte des Biischels , Avelche durch den festen Punkt O 1
laufen, so miissen die beiden um ^ und D a beschriebenen
Strahlbiischel projektiv sein ; weil bekanntlich der Pol von
| $pQ I in Bezug auf samtliche Kegelschnitte des Biischels
einen Kegelschnitt beschreibt. Es sind also fiir samtliche
Punkte ^3 in der Ebene die zugehorigen Polarenbiischel
unter sich projektive Strahlbiischel; ist insbesondere ^ einer
der Grundpunkte des Kegelschnittbiischels, so geht das
Polareubiischel in das Tangentenbiischel in deniselben iiber.
26 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Auch unigekehrt entspricht jeder durch ^ gezogenen Ge-
raden p als Polare von 1J3 em einziger bestimmter Kegel-
schnitt des Biischels. Die Kegelschnitte des Biischels sind
also eindeutig auf die Strahlen des Strahlbiischels der Polaren
bezogen, also das Kegelschnittbuschel auf das Strahlbiiscbel
reduziert.
Ziebt man durch einen der Grundpunkte D des Kegel-
schnittbiiscbels eine beliebige Gerade g, welcbe den Kegel-
schnitten des Biischels in dein veranderlichen zweiten Punkte r,
begegnet, nimmt auf g einen festen Punkt ^ und den zu-
geordneteu vierten harmonischen Punkt I) riicksichtlicb des
Paares Oj, also (Dj $,)__,,
woraus foist
so beschreibt bei der Veranderung des Kegelscbiiitts ini
Biischel der Punkt t) eine mit dem Polarenbiiscbel [^J per-
spektive Punktreihe, folglicb auch j eine gerade Punktreihe
auf <7,-die wegen der obigen Bedingung niit der Punktreibe [tj]
projektiv ist ; also aucb bestandig mit jeder andern in gleicher
Weise konstruierten Punktreibe [j] projektiv bleibt. Das Kegel-
schnittbuscbel wird dadurcb auf eine gerade Punktreibe reduziert.
Scbneidet eine beliebige Gerade g die Kegelschnitte eines
Biischels in dem veranderlichen Punktepaar
und nimmt man von einein beliebigen festen Punkt ^ der Ge-
raden g den zugeordneten vierten harmonischen Punkt I) riick-
sichtlich des Paares also
so beschreibt 1) eine gerade Punktreihe auf g, die immer niit
jeder andern gleichartig konstruierten projektiv ist, weil sie
mit dem Polarenbiischel [^SJ perspektiv liegt. Das Kegelschnitt-
buschel wird dadurch auf eine gerade Punktreihe reduziert.
Schneiden zwei beliebige Gerade g und g' die Kegel-
schnitte des Biischels in den Punktepaaren j^ und r/r/j, so
sind auch die von denselben beschriebenen Punktinvolutionen
aufeinander projektiv bezogen, weil die einfachen geraden
5. Das Kegelschnittgewebe. 27
Punktreihen, auf welche sie reduziert werden konnen, zu-
eiuander projektiv sind. Samtliche Punktinvolutionen, die
auf beliebigen Geraden durch ein Kegelschnittbiischel aus-
geschnitten werden, sind also unter sich projektiv. Legt
man durch zwei Grundpunkte 0' eines Kegelschnittbiischels
einen beliebigen festen Kegelschnitt (2) , so schneidet der-
selbe jeden Kegelschnitt des Biischels noch in zwei ver-
aiiderlichen Punkten t), deren Verbindungslinie durch einen
festen Punkt ty lauft und ein einfaches Strahlbiischel [^5J
beschreibt (Th. d. K. S. 239).
Der Mittelpunkt ^ liegt auf der Verbindungslinie der
beiden iibrigen Grundpunkte des Buschels. Konstruiert man
den zugeordneten vierten harnionischen Punkt zu ^5 riick-
sichtlich des Paares Jt), also
so beschreibt j wegen des Kegelschnitts $ (2) eine gerade
Punktreihe, welche perspektiv liegt mit deni Strahlbiischel
T^iL gebildet von den Polaren des Punktes ty riicksichtlich
der Kegelschnitte des Buschels; folglich ist auch das Kegel-
schnittbiischel projektiv bezogen oder reduziert auf das
Strahlbiischel [^J.
Alle diese Reduktioneii (denen im dualen Gebiete ana-
loge gegeniiberstehen)' des Kegelschnittbiischels, eines Ge-
bildes zweiter Ordnung und einfach - unendlicher Machtigkeit,
auf ein Gebilde erster Ordnung und gleicher Machtigkeit
gestatten die projektive Beziehung dieser Gebilde unter-
einander, wovon vielfach Gebrauch gemacht wird. Wir
kehren nach dieser der Theorie der Kegelschnitte ent-
nommenen AbschAveifung zu der Betrachtung der (7 (3) zuriick.
5. Das Kegelschnittgewebe.
1. Sind ^^ und DOj irgend zwei Paare konjugierter
Punkte der (7 (3) , so bestininien die vier Verbindungslinien
als gemeiuschaftliche Tangenten eine Kegelschnittschar,
welcher die beiden in Punktepaare ausgearteten Kegelschnitte
28 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
schnitte [^S^J und [CDJ angehoren. Da die aus jedem
Punkte an die Kegelschnitte einer Schar gesendeten Tan-
gentenpaare einer Strahleninvolution angehoren, so wird auchf
wenn wir aus dieser Kegelschnittschar einen beliebigen Kegel-
schnitt
herausnehmen, das aus einem Punkte X der (3) an
gesendete Tangentenpaar der Strahleninvolution angehoren,
welche dem Punkte 3 riicksichtlich der C (3) zugehort.
Nehmen wir in gleicher Weise zwei andere Paare kon-
jugierter Punkte 9^9^ und @@j der C l - 3 \ ziehen die Ver-
bindungslinien
I *R@ I I SR(S ! I *ft <S I I yt (3 I
I ^^ I? I """'i I? I wH 1 \) \ Jh^i I
und nehmen aus der Kegelschnittschar mit diesen vier ge-
meinschaftlichen Tangenten einen beliebigen Kegelschnitt
heraus, so sendet auch an diesen der Punkt ein Tangenten-
paar der zugehorigen Strahleninvolution.
Nehmen wir endlich noch zwei beliebige Paare kon-
jugierter Punkte SS^ und SBSSi der C&\ ziehen die Ver-
bindungslinien
I 2S2B I I !K2B I $R 2B I 3? 2B I
I SJ <1J \) I <O '>~| |j OI^M \f SJj / >-*-'l I
und entnehmen der Kegelschnittschar, welche diese vier Geraden
zu gemeinschaftlichen Tangenten hat, einen beliebigen Kegel-
schnitt Q(t)
so sendet auch an diesen der Punkt X ein Tangentenpaar
der zugehorigen Strahleninvolution.
Es laBt sich daher die urspriingliche Bedingung fur
den Punkt X auch so umgestalten:
Der Ort eines Punktes X, welcher an drei Kegel-
schnitte U (2 \ B< 2 >, S< 2 >, die nicht derselben Kegel-
schnittschar angehoren, drei Tangentenpaare sendet,
die einer Strahleninvolution angehoren, ist eine
Kurve dritter Ordnung C (3 \
(Die drei urspriinglichen Punktepaare $l$ 17 9333^ SCS 1
sind nichts anderes, als drei besondere in Punktepaare aus-
geartete Kegelschnitte
5. Das Kegelschnittgewebe. 29
Wegen der Willkiirlicbkeit der Wahl von Paaren kon-
jugierter Punkte ^^ 1} OOj^ u. s. w. lassen sich solche
Kegelschnitte wie 2l (2) , 93 (2) , @X 2 ' in groBer Menge ausfindig
machen, die zur Erzeugung der Kurve C w verwendet werden
konnen. Nun gehort nach 3, 5 der Kegelschnitt 5l (2) auch
einer Schar an, welche die vier gemeinschaftlichen Tangenten
I m |, 1 93(5, |, i^ei, i^l
hat, weil die acht Geraden
einen mid denselben Kegelschnitt beriihren; ebenso gehort
der Kegelschnitt S3 (2) einer Schar mit den vier gemeinschaft-
lichen Tangenten
und der Kegelschnitt S (2) einer Schar mit den vier gemein-
schaftlichen Tangenten
I 2193 I 2193 I I 21 93 I I 91 93 I
I <v -<_> ; i -a -Oj | , | -aj <j | ; | -aj ^ i
an. Bezeichnen wir zur Abkiirzung diese drei Kegelschnitt-
scharen durch
(wo [93 S] bestimmt wird durch die beiden Kegelschnitte,
welche aus den Punktepaaren 935^ und S! bestehen als
ausgeartete Kegelschnitte u. s. w.), dann ist
der Schar [93S],
[5(93]
entnommen.
Da eine Kegelschnittschar durch zwei Kegelschnitte
bestimmt wird, und die Tangentenpaare aus einem Punkte
an die Kegelschnitte einer Schar immer einer und derselben
Strahleninvolution angehoren, so werden wir vermittelst der
aus den drei Scharen
[(], [(], [5T93J
entnommenen Kegelschnitte
51 <*>, 93 < 2) ,
drei neue Scharen bilden konnen
30 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
[ 21 < 2) S3 (2V J
und aus jeder derselben einen beliebigen neuen Kegelschnitt
entnehmen
2V 2 >, V, e/ 2 ';
jeder Punkt 36 des Ortes C (3) muG dann fur diese drei neuen
Kegelschnitte dieselbe Eigenschaft besitzen wie fiir die drei
friiheren, und indem wir in dieser Weise fortfahren, erkalten
wir eine grosse Menge von Kegelschnitten, die in einem
gewissen Zusammenhange miteinander stehen, indem zwei
dieser Kegelschnitte immer zu einer Schar von Kegelschnitten
fiihren und jeder Kegelschnitt derselben mit einem andern
ihr nicht angehorigen Kegelschnitt zur Bildung einer neuen
Schar fiihrt u. s. f.
Wir nennen die Gesamtheit aller dieser Kegelschnitte
ein Kegelschnittgewebe und konnen daher sagen, da6
fur jeden Punkt 3 der C (3) die Tangentenpaare an samtliche
Kegelschnitte des Gewebes einer und derselben Strahlen-
involution angehoren.
2. Um die Kegelschnitte eines Gewebes besser zu iiber-
sehen und die Machtigkeit desselben zu beurteilen, gehen
wir wieder von den drei Punktepaaren
aus und bestimmen zuerst die Kegelschnittschar [S3S], welche
die vier gemeinschaftlichen Tangenten hat
Nehmen wir aus dieser Kegelschnittschar einen ver-
anderlichen Kegelschnitt
(2)
heraus, legen aus 2( und ^ die Tangentenpaare an 3t (2) und
fassen dieselben als die gemeinschaftlichen Tangenten einer
neuen Kegelschnittschar auf (auch wenn das eine oder beide
Tangentenpaare konjugiert - imaginar sind, ist bekanntlich
durch die sie vertretenden Strahleninvolutionen die neue
Kegelschnittschar vollstandig bestimmt und reell konstruier-
bar, Th. d. K. S. 326), so wird jeder Kegelschnitt
5. Das Kegelschnittgewebe. 31
dieser Schar dem Gewebe angehoren, und unigekelirt muB
jeder Kegelsclmitt des Gewebes aus einer Schar [9l (2) (2) ]
entnommen sein 7 wo S( (2) = [51SIJ der in ein Punktepaar
ausgeartete Kegelscbnitt ist, und 3 (2) aus der Schar [93(]
genommen wird. Es giebt keine andern Kegelschnitte des
Gewebes als solcbe (2) .
In der That, ist $ (2) ein beliebiger Kegelschnitt des
Gewebes, so muB er die Eigenschaft besitzen, da6 die beiden
Tangentenpaare aus 21 und 2^ an (2) den Strahleninvolutionen
angehoren, welche 91 und ^ nach den Punktepaaren 93 s $ t
und ((j senden. Die Tangentenpaare aus 31 und 3^ an
(1>) bestininien aber eine Kegelschnittschar, in weleher es
einen und nur einen bestimmten Kegelschnitt (2) giebt,
weleher I 93 I beriihrt. Da nun die drei Kegelschnitte:
1. das Punktepaar [SISlJ, 2. der Kegelschnitt < 2 > des Ge-
webes und 3. der Kegelschnitt X (z) derselben Schar an-
gehoren, so mtissen die drei Tangentenpaare aus $ an die-
selben einer Strahleninvolution angehoren, welche schon durch
die beiden ersten Tangentenpaare bestimmt wird und welche deni
Punkte S zugehort riicksichtlich der 6 1(3 '. Das Tangentenpaar
aus s -8 an { -\ von dem | 93S | ein Teil ist, muB daher auch
dieser Strahleninvolution angehoren, also muB | ^8^ | der
andere Teil sein, d. h. | 93^ | muB 3 (2) beriihren; in gleicher
Weise erkennen wir, daB auch | S93 t | und | S^i) den X (2)
beriihren miissen, woraus folgt, daB X (:!) die vier Tangenten
hat, also der Schar [ s -8(j angehort.
Wir schlieBen hieraus, daB der willkiirlich dem Gewebe
entnommene Kegelschnitt $ (2) in der That durch diejenige
Konstruktion hervorgeht, welche wir oben angegeben haben,
narnlich der veranderlichen Schar [?[36 ( ^] angehort, wo
X (2) aus der Schar [93 (2) S' 2) ] entnommen ist.
Hieraus konnen wir die Machtigkeit der Kegelschuitte
eines Gewebes beurteilen; die Kegelschnitte 3E (2) in der Schar
(<*)] sind von einfach-unendlicher Miichtigkeit, und jeder
32 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
derselben wird init 5l ( ' 2) zur Bildung einer neueii Schar von
eiufach-unendlicher Machtigkeit zusaniniengestellt, aus der
alle Kegelschnitte des Gewebes hervorgehen; folglich bilden
die samtlichen Kegelschnitte des Gewebes eine
doppelt-unendliclie Mannigfaltigkeit (co 2 ), liber welche
die vorige Konstruktion eine anschauliche Ubersicht gewahrt.
3. Wir baben die Gesamtbeit der Kegelscbnitte des
Gewebes bervorgeben lassen aus den drei urspriinglicben
voneinander unabhangigen Punktepaaren
17 3333,, (,,
welche als drei ausgeartete Kegelscbnitte des Gewebes auf-
zufassen sind. Wir nabmen aus der Schar [S3S] einen be-
liebigen Kegelscbnitt 3 ( ' 2) , verwendeten ibn rnit [SISCJ zur
Bildung einer veranderlichen Kegelschnittschar, aus der siiuit-
licbe Kegelscbnitte des Gewebes zu entnebmen sind. Wir
konnen aber die erste Scbar [33 (], aus der 9 (2) bervorgebt,
aucb als gegeben annebmen durcb zwei beliebige Kegelschnitte
derselben ^ und ^
und wir konnen das Punktepaar ^t 1 ^ ersetzen durcb einen
beliebigen Kegelschnitt
der mit 36 (2i verbunden die veranderliche Kegelschnittscbar
bestimnit.
Dann erbalten wir zur Bildung der samtlicben Kegel-
scbnitte (2 > des Gewebes drei beliebige voneinander im-
abhangige Kegelschnitte
von denen ausgebend wir durch Scbarenbildung vermittelst
je zweier zu samtlicben Kegelscbnitten des Gewebes gelangeu.
Durch drei unabbangig voneinander gegebene
Kegelschnitte ist das Gewebe bestimmt; zwischen vier
Kegelschnitten desselben muB also eine Bedingung obwalten.
Diese bestebt, wenn wir fur die vier Kegelschnitte
nehmen gemiiB der Entstebung des Gewebes, darin, daB
die beiden Scbaren
5. Das Kegelschnittgewebe. 33
und
einen gemeinschaftlichen Kegelschnitt (2) haben miissen.
(In dem besonderen Fall von vier Punktepaaren 1st diese
Bedingung in dem Satze 3, 5 enthalten.) Allgemein laBt
sich diese Bedingung so aussprechen:
Werden irgend vier Kegelschnitte aus einem
Gewebe genommen, von denen keine drei derselben
Scliar angehoren, und man verbindet beliebig zwei
derselben und die beiden iibrigen zur Bildung zweier
Kegelschnittscharen, so haben dieselben allemal
einen Kegelschnitt gemeinschaftlich.
Die Richtigkeit dieser Behauptung folgt daraus, daB,
3e ( ' 2 ' aus der Schar
entnommen sind, die drei veranderlichen Scharen
irnmer dieselben Kegelschnitte $ (2J des Gewebes liefern
niussen. Dies 1'aGt sich auch als besonderer Satz so aus-
sprechen:
Gehoren die drei Kegelschnitte Sl (2) , 93 (2) , fe^ einer
Kegelschnittschar und die drei Kegelschnitte I (2) >
S (2) ; S3/ 2 ) einer zweiten Kegelschnittschar an, welche
mit der ersten den Kegelschnitt 2t {2) gemein hat, so
haben auch die beiden Kegelschnittscharen
[$<*> ((S)] und [SjW/- 2 ^
einen Kegelschnitt gemeinschaftlich, sowie auch
[33(2)^(2)] un d [(2)^(8)]
einen gemeinschaftlichen Kegelschnitt.
Aus diesem allgemeinen Satze ergiebt sich, daB das
ganze Kegelschnittgewebe ebenso aus drei beliebigen seiner
Kegelschnitte
n-! , Ji 2 , <5V 3 ,
die nicht derselben Schar angehoren, hergeleitet werden kann,
wie es aus den drei Kegelschnitten 9X (2) , 33 (2) , S (2) hervorging.
Schruter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordu.
34 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Denn nehmen wir irgend einen vierten Kegelschnitt des
Gewebes $ 4 (2) , so miissen die beiden Kegelschnittscharen
[$!<> $ 8 < 21 ] und [ 3 < 2 > 4 < 2 >] einen gemeinschaftlichen Kegel-
schnitt 3 (2) haben; wir konnen daher von den drei Kegel-
schnitten ^< 2) , &j (2) , t s (2) , welche nicht derselben Schar an-
gehoren, zur Bestimmung des Gewebes ausgehen, aus der
Schar [^ (2) ^ 2 ( 2) ] einen veranderlichen Kegelschnitt <->
nehmen und ihn mit & 3 (2) zur Bildung einer neuen Schar
[ 3 (2) 3 (2) ] verbinden, aus welch er wir saintliche Kegel-
schnitte $ 4 (2) des Gewebes entnehmen.
4. Zieht man an irgend zwei Kegelschnitte des Ge-
webes ein Paar gemeinschaftlicher Tangenten, so besitzt der
Schnittpunkt derselben oflenbar die Eigenschaft, an samtliche
Kegelschnitte des Gewebes Tangentenpaare zu senden, welche
einer und derselben Strahleninvolution angehoren, also mu6
dieser Punkt ty auf der C (3) liegen; denn die Tangentenpaare
an die ersten beiden Kegelschnitte 5l (2) und 93 (:J) fallen in
eines zusammen, an einen dritten Kegelschnitt (' 2) des Ge-
webes geht also ein zweites Tangentenpaar, und diese beiden
bestimmen schon die Strahleninvolution fur s ^ 7 der samtliche
iibrigen Tangentenpaare angehoren miissen, weil 5( (2) , 23 (2) ; (E'- 1
das ganze Gewebe bestimmen. Wenn aber ein Paar gemein-
schaftlicher Tangenten von 2( (2) und 33 (2) sich in ^ schneidet,
so giebt es noch ein zweites Paar gemeinschaftlicher Tan-
genten, welche, wenn auch konjugiert-imaginar, sich in dein
immer reellen Punkte ^ schneiden, und das Punktepaar ^^
ist als ein ausgearteter Kegelschnitt der Schar [$l (2) 33 (2) ]
aufzufassen; es miissen also ^3 und ^ t ein Paar konjugierter
Punkte der C (:5) sein, weil sie als Mittelpunkte zweier er-
zeugenden Strahleninvolutiouen in projektiver Beziehung und
halbperspektiver Lage auftreten ( 3).
Wir schlieBen also:
Ein Punktepaar, in welches ein Kegelschnitt
des Gewebes ausartet, ist allemal ein Paar kon-
jugierter Punkte der 6 1(3) . Oder:
Die C (3) ist der Ort samtlicher Punktepaare, in
welche Kegelschnitte des Gewebes ausarten.
6. Die v\ umhiillt v. d. Verbindungsl. konjug. Punkte d. C. 35
Eine Kegelschnittscbar bat im allgemeinen drei inPunk|e-
paare ausgeartete Kegelscbnitte, die drei Paar Gegenecken
des von den vier gemeinscbaftlicben Tangenten gebildeten
vollstandigen Vierseits. Ein Kegelscknittgewebe bat deren
uuendlich viele (von einfacb - unendlicber Macbtigkeit) ; je
zwei Kegelscbnitte des Gewebes verbinden sicb zu einer
Scbar mit drei solcben Punktepaaren, die allemal ein voll-
stiindiges Vierseit mit seinen sechs Ecken bilden, welcbes
der C (3) einbescbrieben ist.
Da durcb drei willkiirlicb anzunebniende Kegelscbnitte
5l< 2 ) ; 93^, (-) das Kegelscbnittgewebe bestimmt wird, so
konnen wir folgenden besonderen Satz aussprecben:
Sind irgend drei Kegelscbnitte unabbangig von-
einander gegeben, so baben je zwei derselben vier
(reelle oder paarweise konjugiert-imaginare) gemeinscbaft-
liche Tangenten, die ein vollstandiges Vierseit
nait secbs Ecken bilden; die dadurch erhaltenen
3 . 6 = 18 Punkte liegen auf einer (7 (3) und bilden
neun Paare konjugierter Punkte derselben.
6. Die (3) , umhiillt von den Verbindungslinien
konjugierter Punkte der <3) .
1. Die Pole einer Geraden x in Bezug auf samtlicbe
Kegelscbnitte einer Scbar Hegen bekanntlicb auf einer Ge-
raden x l} welcbe die Eigenschaft bat 7 da6 ihre Pole wieder
auf x liegen, sodaB diese beiden Geraden konjugierte
Strablen riicksicbtlicb der Kegelscbnittschar beiGen. Nennen
wir nun die Verbindungslinie zweier konjugierten Punkte der C f(3)
^v ^1 *" ~~ w
und wablen die Kegelscbnittscbar [93 @] mit den vier gemein-
scbaftlicben Tangenten
welcbe als ausgeartete Kegelscbnitte die beiden Punktepaare
9399 1 und (S&j entbalt, so sind die Pole von x riicksichtlicb
dieser beiden Punktepaare die vierten barmoniscben Punkte
zu den Scbnittpunkten (363^, 93S3j) und(X3k' 1 , SSj) zugeordnet
8*
36 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
ru^ksichtlich der Punktepaare 33 95 j und (E& r Diese vierten
harinonischen Punkte liegen aber, wie wir wissen ( 2, s),
in einer Geraden mit dem dritten Schnittpunkte von | 33t\ {
und C (S} , welche wir friiher I genannt haben und jetzt mit
x l bezeichnen wollen. Diese Gerade x l enthalt nun aber
nicht nur die Pole der x riicksichtlich saintlicher Kegel-
schnitte der Schar [93 S], sondern iiberhaupt die Pole von x
riicksichtlich sarntlicher Kegelschnitte des Gewebes. Denn
da an Stelle der Kegelschnittschar [93(5] irgend eine andere
dem Gewebe angehorige Schar von Kegelschnitten [^ x (2) 2 (2 ^]
gesetzt werden kann, riicksichtlich weleher die Pole von x
ebenfalls auf einer Geraden liegen miissen, welche durch den
dritten Schnittpunkt der Geraden | S^ j mit C (3 > hindurch-
gehen mu6, da ferner die beiden Kegelschnittscharen [95 S]
und [i (2) $2 (2) ] einen gemeinschaftlichen Kegelschnitt haben,
riicksichtlich dessen der Pol von x derselbe bleibt, so wird
auch die durch diese beiden Punkte bestirnnite Gerade x t
die Pole von x enthalten riicksichtlich beider Kegelschnitt-
scharen [95 S] und [/ 2) ^ 2 <2) ]j a ^ so au ch riicksichtlich samt-
licher Kegelschnitte des Gewebes.
Nennen wir X 1; wie friiher , den dritten Schnittpunkt
der Geraden | 3^ | mit der (3) , so werden x und x t kon-
jugierte Strahlen sein riicksichtlich siimtlicher Kegelschnitte
des Gewebes, namlich die Doppelstrahlen derjenigen Strahlen-
involution, welche dem Punkte X x zugehort fiir die (7 (3) ,
und welche immer eine hyperbolische ist, weil fiir sie
| X^ | = x ein Doppelstrahl , x i der andere Doppelstrahl ist.
Wir schlieBen hieraus:
Wenn eine Gerade x in Bezug auf drei von ein-
ander unabhiingige Kegelschnitte $T 2) , 93 (2) , (2) des
Gewebes ihre drei Pole auf einer Geraden x i gelegen
hat, so hat sie auch fiir alle andern Kegelschnitte
des Gewebes ihre Pole auf derselben Geraden x l ]
der Schnittpunkt (xx^) liegt auf der C (3) und xx t sind
die Doppelstrahlen derjenigen Strahleninvolution,
welche dem Punkte (xx^ riicksichtlich der C (8) zu-
gehort.
6. Die ( 3) , umMllt v. d. Verbindungsl. konjug. Puntte d. CW. 37
2. Soldier Geraden x, deren drei Pole in Bezug auf
SI (2) , $8 (2 >, ( (2) wieder auf einer Geraden x 1 liegen, giebt es
aber im allgemeinen durch einen beliebigen Punkt der
Ebene nur drei; denn dreht sich x um D, so beschreiben
ihre Pole riicksichtlich 3{ (2) , S3 (2) ? ( (2) drei projektive Punkt-
reihen [a], [b], [c] auf den Geraden a, b, c, und es beschreiben die
Verbindungslinien | ab | und ac daher zwei Kegelschnitte,
welche auBer a noch drei gemeinschaftliche Tangenten haben ;
diese besitzen die verlangte Eigenschaft. Der Ort der Ge-
raden x ist also eine Kurve dritter Klasse (3) . Da nun
eine solche Gerade x immer die Verbindungslinie zweier
konjugierten Punkte der C (S> ist oder, was dasselbe sagt, ein
Doppelstrahl der einem Punkte der (7 (3) zugehorigen Strahlen-
involution, so konnen wir den Satz aussprechen:
Die samtlichen Verbindungslinien aller Paare
konjugierter Punkte 33, der G' (3) umhtillen eine
Kurve dritter Klasse < s >. Oder:
Die Doppelstrahlen samtlicher den Punkten
einer (7 (8) zugehorigen Strahleninvolutionen um-
hiillen dieselbe Kurve dritter Klasse (3) .
Wir wollen ein Paar solcher konjugierten Strahlen xx v
riicksichtlich samtlicher Kegelschnitte des Gewebes ein Paar
konjugierter Tangenten der Kurve (3) nennen.
3. Wir wollen jetzt den Beriihrungspunkt jedes solchen
Strahles x mit der von ihm umhullten Kurve (3) ermitteln.
Aus zwei beliebigen Paaren konjugierter Punkte
XX, und g)^
der (1) folgt bekanntlich immer ein drittes Paar
Gm ae^j und (xg,, ^^
lassen wir nun den Punkt 5) dem Punkte 36 sich unendlich
niihern, so wird auch 3) x dem 3k\ unendlich nahe riicken,
wie aus der Natur involutorischer Gebilde hervorgeht. Da-
bei wird nun | 3E|) | die Tangente der C (3) im Punkte X,
und | 3t\ ^)j | die Tangente der C (3) iui Punkte 3k\ ; der Schnitt-
punkt beider Tangenten heiGe < ^. i und hat zu seinem kon-
jugierten Punkte den dritten Schnittpunkt X des Strahles
| XXJ mit der C< 3 >; folglich wird
48750
38 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
und der dritte Diagonalpunkt dieses ausgearteten vollstandigen
Vierecks % 1 < JD < JD i namlich der Schnittpunkt
wird der Beriihrungspunkt d. h. der Schnittpunkt unendlich be-
nachbarter Tangenten der von | X^ | und D^ x | umhiillten
Kurve (3) . Dies ist aber nach bekannter Eigenschaft des voll-
standigen Vierecks der vierte harmonische zu X zugeordnete
Punkt % l riicksichtlich des Paares 33t\; also ist das Doppel-
verhaltnis
= -- 1,
und wir konnen den Satz aussprechen:
Die Verbindungslinie zweier k onj u giert en Punkt e
| 3Ej | beruhrt den von ihr umhullten Ort in dem
vierten harmonischenPunkt, der deni drittenSchnitt-
punkt X von | 36 3^ | init der (7 (3) zugeordnet ist.
Die Tangenten der $ (S) gruppiereii sich zu Paaren,
denn die dem Punkte X der C (3) zugehorige Strahleninvolution
ist eine hyperbolische und hat zu einem Doppelstrahtl | 33 x | =x,
folglich noch einen zweiten Doppelstrahl x l} der auch zwei
konjugierte Punkte H'H\ der C (b) verbinden muB (die aller-
dings auch konjugiert-imaginar sein konnen).
Da aus diesen beiden Paaren konjugierter Punkte das
dritte folgt p^ ^pj imd gp^ SiX ,)
und die beiden Bertihrungspunkte
%! und %{
auf den Strahlen | X^ | 7 | X'X^ die vierten harmonischeu
zu X zugeordneten sind, so folgt aus der bekannten Eigen-
schaft des vollstandigen Vierecks XXiX'X'u daB X x und X(
auf derselben Geraden liegen mit dem obigen dritten Paare
konjugierter Punkte, also ist auch | SEjX^ | eine Taugente der
^ (3) , und wir schlieBen:
Die Verbindungslinie der Bertihrungspunkte
zweier konjugierten Tangenten xx l der (3) (s. o. 2.)
ist selbst eine dritte Tangente der (3) .
4. Da der Schnittpunkt @ zweier konjugierten Tangenten
xxj_ der W auf der C H e gt und der Mittelpuukt einer
6. Die $(), umhiillt v. d. Verbindungsl. konjug. Punkte d. CW. 39
Strahleninvolutioii ist, deren Doppelstrahlen xx l sind, und
deren Strahlenpaare immer nach einem Paare konjugierter
Punkte der (7 1 - 31 hingehen, so konnen wir auch sageu:
Jedes Paar konjugierter Punkte der C (3) wird
durch jedes Paar konjugierter Taiigenten der il (!)
(oder durch jedes Paar konjugierter Strahlen xx v
des Gewebes) harmonisch getrennt.
Nehmen wir nun irgend drei solcher Paare xx^ kon-
jugierter Tangenten der $ (3) oder, was dasselbe sagt, von
drei Strahleninvolutionen beliebiger Punkte der (7' 3) die
Doppelstrahlen
a 1; Uu 1} cCj,
die nicht gerade die drei Seitenpaare eines vollstandigen
Vierecks sein mogen, so wird jede weitere Tangente der $ (3)
die Eigenschaft haben miissen, da6 jedes der drei Strahlen-
paare aa 1} bb i} cc x die Punkte SS^ harmonisch trennt, also
wird die Gerade x von den Strahlenpaaren aa 1} bb 1} cc in
drei Punktepaaren einer Punktinvolution getroffen, deren
Doppelpunkte XXj sind. Hierdurch wird der Ort der Geraden
x definiert als beschrieben von einer Geraden , auf welcher
drei Strahlenpaare aa lf bb i} cc Punktepaare einer Involution
ausschneiden; dies ist aber die dual gegeniiberstehende (rezi-
proke) Aufgabe von derjenigen, welche in 2, 1 den Aus-
gangspunkt unserer Untersuchung bildete; wenn dort also
eine Kurve dritter Ordnung C (3) resultierte, so mufi hier eine
Kurve dritter Klasse (3 > hervorgehen, wie wir sie bereits
(2.) in der That gefunden haben; und alle Eigenschaften
welche wir fur jene gefunden haben, mussen ins duale
Gebiet iibertragen auch fiir diese gelten. Die beiden
dual gegeniiberstehenden Gebilde C (3) und ^' (:i) treten
hier zusainmen auf, ohne aber wie beim Kegelschnitt (als
Punktgebilde und Tangentengebilde aufgefaBt) identisch zu sein.
Die hieraus hervorgehenden Eigenschaften und Er-
zeugungsweisen der il (3) zu wiederholen erscheint iiberfliissig,
da die Ubertragung ins duale Gebiet ohne Schwierigkeit ist.
40 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Auf den innigen Zusammenhang der Kurven (3) und
einzugehen, werden wir noch mehrfach Gelegenheit haben.
5. Wir beschranken uns bier zunachst darauf, drei solcbe
Strahlenpaare
aa i} oo 1} cc l}
wie sie zur Bestimmung der (3) notwendig und binreichend
sind, herzustellen, indem wir von drei urspriinglich gegebenen
von einander unabhangigen Punktepaaren
!, !, <&(
welch e zur Bestimmung der ,C^ dienen, ausgeben.
Seien die Scbnittpunkte
(5(5,) -a,
und werden die vierten barmoniscben Punkte durcb die
Werte der Doppelverbaltnisse bestimmt:
! CCj-- 1,
aa'J- -I,
die durcb folgende Konstruktion gefunden werden konnen:
;, SS^) = 3), (33^, S5 X ) = 3> n
l*i|.-fl,
(ea) = 6 1; (/?>) = c x ,
dann werden
I ^^1 = ^, j ^cM-
und
aa 1} bb 17 cc l
sind die drei Strahlenpaare, welcbe zur Bestimmung der (3)
notwendig und binreichend sind und die zum Ausgangspunkt
7. Das Kegelschnittnetz. 41
der dual gegeniiberstehenden Untersuchung dienen konnen,
wie die drei ursprimglichen Punktepaare
zu der Untersuchimg der Kurve (7 (3) und ihrer Eigenschaften
gefiihrt haben.
Umgekehrt kann man auch von den drei Strahlenpaaren
aa i> bb 1} cc i
ausgehend zu den Punktepaaren
gelangen, was wir nicht weiter ausfiihren wollen. Die Uber-
tragung der gewonnenen Resultate fuhrt aber auf ein dem
Kegelschnittgewebe dual gegeniiberstehendes Gebilde, welches
nodi besonders hervorgekoben werden soil.
7. Das Kegelschnittnetz.
1. Ebenso wie die drei Punktepaare
als drei ausgeartete Kegelschnitte aufgefaGt werden konnten
zur Bestimmung fiir ein ganzes Gewebe von doppelt-unend-
lich vielen Kegelschnitten, konnen die drei Linienpaare
aa 1} bb l} cc l
zu einem Gebilde von Kegelschnitten fiihren, welches man
ein Kegelschnittnetz nennt und welches in analoger Weise
mit der Kurve $ (3) zusammenhangt, wie das Kegelschnitt-
gewebe mit der (7 (3) . Beide Gebilde stehen aber auch unter-
einander in enger Verbindung, wie die C (3) und & i3 \
Die beiden Linienpaare
bb i und cc l
bestimnien namlich ein Kegelschnittbiischel, welches die vier
Grundpunkte hat
(fee), (fecj, (& x c), (fe^J;
einen beliebigen Kegelschnitt aus diesem Biischel wollen wir
nennen. Ebenso bestimmen die beiden Linienpaare
cq und acti
ein Kegelschnittbiischel niit den vier Grundpunkten
42 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
(ca), (cflj, foa), (qaj,
und ein beliebiger demselben entnommener Kegelschnitt heiBe
endlich bestimmen die beiden Linienpaare
aa t und bb t
ein Kegelschnittbiischel mit den vier Grundpunkten
(06), (a&,), (V), fo&J,
und ein beliebiger aus deniselben entnommener Kegelschuitt
heiBe (7 (2) ; dann bestimmen die drei Kegelschnitte
ein ganzes Kegelschnittnetz von doppelt-unendlicher Mannig-
faltigkeit (oo 2 ) oder eine einfach-unendliche Mannigfaltigkeit
von Kegelschnittbiischeln, deren Gesamtheit so zusammen-
gefaBt werden kann:
Ein veranderlicher Kegelschnitt X (2) werde aus dem
durch. die beiden Keelschnitte jB (2) und (7 (2) bestimmten
entnommen und zur Bildung eines neuen Kegelschnittbiischels
verwendet, dann erfiillen samtliche Kegelschnitte K (2i dieses
variablen Biischels das Kegelschnittnetz, und es giebt kerne
andern Kegelschnitte des Netzes weiter, als die auf diese
Weise konstruierten.
2. Drei voneinander unabhangige Kegelschnitte
(die nicht demselben Biischel angehoren) bestimmen voll-
standig das Kegelschnittnetz, welches durch fortgesetzte
Bildung von Biischeln aus je zweien hergestellt wird.
Irgend vier Kegelschnitte des Netzes sind der Bedinguug
unterworfen, da6 sie in irgend einer Weise zu zwei Paaren
vereinigt, zwei Kegelschnittbuschel bestimmen, welche alle-
uial einen gemeinschaftlichen Kegelschnitt haben (d. h. deren
acht Grundpunkte auf einem und demselben Kegelschnitt
liegen).
7. Das Kegelschnittnetz. 43
Die Gesamtheit der in Linienpaure zerfallenden Kegel-
schriitte des Netzes urnhullt die Kurve dritter Klasse & (:;) ,
und ein solches Linienpaar ist allemal ein Paar konjugierter
Tangenten der $l (3) .
Die Kurve dritter Klasse (3) ist der Ort einer Geraden,
welche durch drei voneinander unabhangige Kegelschnitte
des Netzes (und daher von samtlichen Kegelschnitten des
Netzes) in Punktepaaren geschnitten wird, die einer In-
volution angehoren. Die Doppelpunkte aller solchen Punkt-
involutionen liegen auf der Kurve dritter Ordnung C (3) und
sind allemal ein Paar konjugierter Punkte derselben.
Ist ein Kegelschnittbiischel und zwei Gerade a, a^ ge-
gebeu, auf welchen durch das Biischel zwei Punktinvolutionen
jjj und l)l) t in projektiver Beziehung und halbperspektiver
Lage ausgeschnitten werden, so umhiillen die Verbindungs-
linien entsprechender Punktepaare
I W I, I Mi I, I iV) I, i E9i i
die Kurve dritter Klasse il (:5) (vergl. 3).
Der Ort einer Geraden x, Der Ort eines Punktes X,
deren Pole in Bezug auf drei von- dessen Polaren in Bezug auf
einander unabhangige Kegel- drei voneinander unabhiingige
sclinitte W-\ # ( ' 2 \ S (2) (folg- Kegelschnitte A, B#\ V
lich in Bezug auf samtliche (folglich in Bezug auf samt-
durch dieselbeii bestimmten liche durch dieselben be-
Kegelschnitte eines Gewebes) stimmteii Kegelschnitte eines
wieder auf einer Geraden x^ Netzes) sich wieder in einem
liegen, ist eine Kurve dritter Punkte X x schneiden, ist eiue
Klasse R (3) , und die Strahl en xx^ Kurve dritter Ordnung (7 (3) ,
sind ein Paar konjugierter Tan- und die Punkte 363 x sind ein
genten derselben. Der 8chnitt- Paar konjugierter Punkte der-
punkt (xXi) beschreibt die selben. Die Verbindungslinie
Kurve dritter Ordnung C (9 \ | ^^i | umhullt die Kurve
dritter Klasse
Da aus zwei Paaren konjugierter Punkte der (7 (8) , nliua-
lich # und iniuier em drittes Paar
44 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
folgt ( 2, 2), so konnen die drei Verbindungslinien
\xXi\~xj IDDil-y, I83J-*
auch aufgefaBt werden als die Diagonalen eines vollstandigen
Vierseits, dessen drei Paar Gegenecken 363 17 2)^, 33t sind.
Dieses Diagonaldreiseit xyz ist aber bekanntlich ein gemein-
schaftliches Polardreiseit (selbstkonjugiertes Dreiseit) fur samt-
liche Kegelschnitte der Schar, welche dem vollstandigen Vier-
seit einbeschrieben werden konnen, und diese Kegelschnitt-
schar gehort dem Gewebe an. Wir konnen daher auch sagen:
Die Kurve $ (3) wird umhiillt Die Kurve C (3) wird erfullt
vonsamtlichenStralilentripeln, von samtlichen Punkttripeln ;
welche die je drei Seiten jedes welche die Ecken jedes Polar-
Polardreiseitsbilden ? dasirgend dreiecks bilden, das irgend
zwei Kegelschnitten des Ge- zweiKegelschnittendesNetzes
webes gemeinsam ist. gemeinsam ist.
Alle diese Resultate folgen durch duales Ubertragen
aus den bereits friiher abgeleiteten. Den vermittelnden Zu-
sammenhang der dual gegenuberstehenden Gebilde, einerseits
des Kegelschnittgewebes und des Kegelschnittnetzes , anderer-
seits der Kurven C (Z) und & l(3) , bildet der Satz:
Jedes Punktepaar, welches als ausgearteter
Kegelschnitt des Gewebes auftritt, ist ein Paar
konjugierter Punkte fur samtliche Kegelschnitte
des Netzes, und jedes Linienpaar, welches als aus-
gearteter Kegelschnitt des Netzes auftritt, ist ein
Paar konjugierter Strahlen fiir samtliche Kegel-
schnitte des Gewebes.
Je zwei konjugierte Punkte der C (3) (ausgearteter
Kegelschnitt des Gewebes) werden durch je zwei
konjugierte Tangenten der $ (3) (ausgearteter Kegel-
schnitt des Netzes) harmonisch getrennt.
3. Der Zusammenhang der Kegelschnitte (2) des Ge-
webes mit den Kegelschnitten JT (2) des Netzes tritt noch
vollstandiger hervor durch folgende Betrachtung:
7. Das Kegelschnittnetz. 45
Nehmen wir irgend drei Kegelschnitte
des Gewebes, welche dasselbe bestimmen, also nicht einer
Schar angehoren, so bestimmen die beiden Kegelschnitte
und <<>
eine Schar, die ein gemeinsames Polardreieck hat; wir be-
zeichnen die Ecken desselben mit
Si 9, 8
und die Seiten mit
! *) 1 = ^ Us = #> I 9 1 = *,
dann sind x,y,z Tangenten der (3) , wie wir wissen (denn
die drei Pole von x in Bezug auf St (2) , S5 ( ' 2) , (S I2) liegen auf
einer Geraden u. s. w.).
Sei also der Pol von x in Bezug auf 2l (:i) der Punkt J t
.,
* 91(3) j
T) n 11 * 11 11 11 11 01 1
dann werden
i Ei l = ^i, I ^i l = 2/i, I Ui l = i
die konjugierten Tangenten zu a?, i/, sein fur die Kurve
sodass also
xx lt yy lt 2Z l
drei Paare konjugierter Tangenten der (3) sind. Da nun
aber fur den Kegelschnitt 2l (2) das Dreieck r. x t), j t die
Polarfigur des Dreiseits ic/ ist, dessen Ecken (y#) = j,
(^a;) = t), (a;/) = z sind, so miissen sich nach einem be-
kannten Satze (Th. d. K. S. 155) die drei Verbindungslinien
I Hi I, Mil, l*Sil, d.h.
^1 ) ?/U ^1
in eineni Punkte t schneiden, weil ein Dreieck und seine
Polarfigur riicksichtlich eines Kegelschnitts allemal per-
spektiv liegen.
Wir haben daher folgende vier Punkte
= j,
4(3 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
(zxy^ = t),
Oi2Mi) = t, d.h.
die drei Linienpaare
gehoren als drei Seitenpaare einem vollstlindigen Viereck
(Etyjt) an, und da diese drei Linienpaare drei ausgeartete
Kegelschnitte des Netzes sind, so sind , 1), , t die vier
Grundpunkte eines Kegelschnittbuschels, welches dem Netze
angehort. Dies giebt folgenden Satz:
Wenn man von zwei Kegelschnitten des Gewebes
das gemeinsame Polardreieck errnittelt, dessen drei
Seiten Tangenten der $ >(3) sind, so schneiden sich
die zu denselben drei konjugierten Tangenten der
(3) in einem Punkte, und derselbe bildet mit den
drei Ecken des Polardreiecks ein vollstandiges Vier-
eck, die vier Grundpunkte eines Kegelschnitt -
biischels, welches dem Netze angehort.
Und dual gegenuber:
Wenn man von zwei Kegelschnitten des Netzes
das gemeinsame Polardreieck ermittelt, dessen drei
Ecken Punkte der C {3} sind, so schneiden die drei
Seiten desselben die (3) in drei neuen Punkten,
welche auf einer Geraden liegen (diese sind niimlich
die drei konjugierten Punkte der C l(3) zu den Ecken des
Polardreiecks). Diese neue Gerade bildet zusarnrnen
mit den drei Seiten des Polardreiecks die vier Seiten
eines vollstandigen Vierseits, dem eine Kegelschnitt-
schar einbeschrieben werden kann, welche dem Ge-
webe angehort.
4. Ebenso, wie wir in 3. nur die beiden Kegelschnitte
33 (2> und (E |2) des Gewebes in Betracht zogen, konnen wir
jetzt die beiden Kegelschnitte
(W und 2(< 2 >
nehmen und von ihnen ausgehend dieselbe Betrachtung an-
stellen; dann erhalten wir ein zweites Kegelschnittbuschel
des Netzes mit den vier Grundpunkten j', 1)', J r , t', und da
zwei Kegelschnitte des Netzes irnmer einen gemeinsamen
7. Das Kegelschnittuetz. 47
Kegelschnitt liaben miissen, cl. h. auch ihre Grundpuukte
selbst auf einem Kegelschnitt liegen (2.) so sehen wir, daB
die acht Punkte
i*> 9, I, t, r/, t) f , a', t'
auf einem Kegelschnitt des Netzes liegen miissen; dieser
ist schon durch die sechs Punkte
, 9, 5, ?', 0', i',
die Ecken zweier Polardreiecke rucksichtlich des Kegel-
schnitts ( (2) ; mehr als bestimmt; bekanntlich liegen solche
sechs Punkte immer auf einem Kegelschnitt. DaS dieser
nun dem Netze angehort, ist das gewonnene Resultat, durch
welches die Kegelschnitte des Gewebes zu denen des Netzes
in eine enge Verbindung treten, was sich folgendermafien
aussprechen liiBt:
Irgend zwei Kegelschnitte des Gewebes haben
ein gemeinsarnes Polardreieck; nimmt man zwei
solche Polardreiecke, so liegen die sechs Ecken
derselben auf einem Kegelschnitt des Netzes.
Und andererseits:
Irgend zwei Kegelschnitte des Netzes haben
ein gemeinsames Polardreieck; niinrnt man irgend
zwei solche Polardreiecke, so beriihren ihre sechs
Seiten allemal einen Kegelschnitt des Gewebes.
Hiernach lassen sich aus drei zur Bestimmung des Ge-
webes notwendigen und hinreichenden Kegelschnitten sofort
drei Kegelschnitte errnitteln, welche das zugehorige Netz
bestimmen oder umgekehrt, was keiner weiteren Ausfuhrung
bedarf.
5. Wir wollen noch auf einen unmittelbaren Zusammen-
hang der Kurven (7 (;i) und (3 > hinweisen.
Aus jedem Punkte ^ der (7 (3) gehen im allgemeinen
drei Tangenten an die $ (3) , niimlich die Verbindungslime
j ^^ t , welche ty mit seinem konjugierten Punkte ^ ver-
bindet und auBerdem die beiden Doppelstrahlen derjenigen
Strahlenin volution, welche dem Punkte ^ riicksichtlich
siimtlicher Paare konjugierter Punkte auf C (3) zugehort.
48 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnuiig.
Wir wollen jetzt nach solchen besonderen Punkten X
der (7 (3) fragen, fur welche der erste Strahl mit einem der
beiden letzteren zusarumenfallt. Ware dies der Fall und X x
der konjugierte Punkt zu X, so miiBte XX X | ein Doppel-
strahl der zu X zugehorigen Strahleninvolution sein; die
beiden iibrigen Punkte, in welchen dieser von X ausgehende
Doppelstrahl die 6 1(3) trifft, miiBten also konjugierte Punkte
sein; einer derselben ist nun X x , der andere miiSte seiu
konjugierter Punkt, d. h. X selbst sein 5 also naiiBte die Ge-
rade | XX X in X die <7 (3) beriihren; wenn also ein Punkt X
von der verlangten Art auf der C (y} existiert, so muB seine
Tangente als dritten Schnittpunkt mit der (7 (3) den kon-
jugierten Punkt X x haben.
Eine solche Gerade | XX X | ist aber zugleich Tangente
der (3) und hat ihren Beriihrungspunkt mit derselben in
dem vierten harmonischen zu X x zugeordneten Punkt ( 6, 3)
rucksichtlich des Paares XX^ Da nun von den vier har-
monischen Punkten in X zwei zusamrnenfallen, so muB auch
der dritte in denselben hineinfallen, wahrend der vierte X t
getrennt liegt. Hieraus erkennen wir, daB die Gerade | XX t |
in X auch die Kurve $ (3) beruhrt, also:
Die Kurven C (3) und (3) beriihren sich in den-
jenigen Punkten, in welchen sie sich begeguen
(d. h. sie haben in jedem solchen Punkte dieselbe
Tangente); die Anzahl ihrer gemeinschaftlichen
Punkte reduziert sich also, da sie paarweise zu-
sammenfallen, auf die Halfte ( = 9).
\ t f
Der zu einem solchen Punkte X konjugierte Punkt X x
der C (3> und die zu einer solchen Tangente t konjugierte
Tangente ^ der < 3) besitzen eine merkwiirdige Eigenschaft.
Die Tangenten in zwei konjugierten Punkten der (7 (8) miissen
sich bekanntlich wieder in einem Punkte auf der G' (3)
schneiden, also auch die beiden Tangenten in X und X t ;
die Tangente in X schneidet aber die 6' (3) nur noch in X x ,
also muB die Tangente in X x ihren dritten Schnittpuukt
mit der C (8) wieder in X haben, d. h. X t muB ein Wende-
8. Die (7( 3 ) und $cs) a ls Tripelkurven. 49
punkt der (7( 3) sein, oder die Tangente in demselben hat
mit der Kurve drei zusammenfallende Punkte gemein. Wir
schlieBen also:
Die zu den gemeinschaftlichen Punkten der C" S)
und $ (3) konjugierteii Punkte der (7 (3; sind die Wende-
punkte derselben, und ebenso:
Die zu den gemeinschaftlichen Tangenten der
$ (3) und C ( 'V konjugierten Tangenten der $ (3) sind die
Riickkehrtangenten derselben.
(Riickkehrtangente einer Kurve ist eine solche, fiir deren
Beriihrungspunkt drei uneadlich-benachbarte Tangenten in
eine zusammenfallen.) Tiber die Anzahl, Realitat und Kon-
figuration der Wendepunkte der (7 (3) (oder der Riickkehr-
tangenten der $( 3) ) wird uns eine spatere Untersuchung auf-
klaren. ( 28.)
8. Die CM uud &<> als Tripelkurven.
1. Wenn wir ein gemeinsames Polardreieck fiir irgend
zwei Kegelschnitte des Netzes, also auch fiir das ganze durch
dieselben bestimmte Biischel des Netzes ein Tripel von
Punkten nennen ; und wenn wir ein gemeinsames Polar-
dreiseit fiir irgend zwei Kegelschnitte des Gewebes, also.
auch fiir die ganze durch dieselben bestimmte Schar des
Gewebes ein Tripel von Strahlen nennen, so ordnen sich
sowohl die Punkte der C (3J als auch die Tangenten der $ (3)
zu Tripeln, in ahnlicher Weise wie sie friiher durch die
Paare konjugierter Punkte und konjugierter Tangenten sich
zu Paaren ordneten. Solche Punkttripel der (7 (3) und Strahlen-
tripel der - 3) besitzen ahnliche Eigenschaften, wie die
vorigen Punkt- und Tangentenpaare. Die durch weg parallel
laufende Betrachtung der dual gegeniiberstehenden Gebilde
doppelt durchzufiihren erscheint iiberfliissig; wir werden uns
daher vorzugsweise ,auf die Untersuchung der C (3) als Tripel-
kurve beschranken.
2. Wenn wir von eineni beliebigen Punkte ^ der C (3)
die Polaren in Bezug auf samtliche Kegelschnitte eines
Biischels
Schroter, Thcorie der ebeno.i Kur/en 3. Ordn. 4
50 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
welches dem Netze angehort, konstruieren, so laufen diese
bekanntlich durch einen festen Punkt ^ der (7 l3) und bilden ein
einfaches Strahlbiischel [$PJ, welches mit dem Kegelschnitt-
biischel projektiv 1st ( 4, 5), sodaB zu jedem Kegelschnitt des
Biischels ein bestimmter Strahl des Strahlbiischels [^SJ zu-
gehort; aber auch umgekehrt wird zu jedem beliebigen durch
$! gezogenen Strahl g ein einziger bestimmter Kegelschnitt
aus dem Buschel [2? (2 >C (iJ) J zugehoren, welcher durch die ge-
forderte Bedingung vollstandig und eindeutig bestimmt ist.
Sei nun dieser Kegelschnitt des Biischels
A (2)
-*i ?
fiir den ^ und g Pol und Polare sind; in gleicher Weise
konnen wir aus dem Buschel
[(700 j(2)]
des Netzes den bestimmten einzigen Kegelschnitt
BI&
ermitteln, fiir welch en Sj$ und g Pol und Polare sind; dann
haben die beiden Kegelschnitte
A^ und #/*>
gleichzeitig ^8 und g zu Pol und Polare, folglich auch das ganze
durch sie bestimmte Buschel
Mithin ist der willkiirliche Punkt ty der C e in Tripel-
punkt (Eckpunkt eines gemeinschaftlichen Polardreiecks) fiir
ein gewisses dem Neize angehoriges Kegelschnittbiischel,
und die beiden andern Tripelpunkte (die beiden iibrigen Ecken
des gemeinsameu Polardreiecks) miissen natiirlich auf g und
gleichzeitig auf C< 3) liegen; folglich sind sie die beiden iibrigen
Schnittpunkte der durch ^ t gezogenen Geraden g mit der C (3) .
Da die Gerade g iibrigens willkiirlich durch den Punkt
^5j angenommen wurde, so wird auch noch ein zweiter
Tripelpunkt auf der C (S) willkiirlich anzunehmen sein; der
dritte Tripelpunkt ist aber dann vollstandig und eindeutig be-
stimmt. Wir diirfen deinnach folgendes Resultat aussprechen:
Zwei Punkte ^S und D der (7 (3) diirfen beliebig
als Ecken eines Tripels derselben (gemeinsames
8. Die (7W und (s) als Tripelkurven. 51
Polardreieck fiir gewisse zwei Kegelschnitte des
Netzes) angenommen werden; der dritte Tripelpunkt
SR wird dann eindeutig dadurch bestimrnt, da6 man
D mit dem zu ty konjugierten Punkt ^ der C (3) ver-
bindet und den dritten Schnittpunkt SR ermittelt.
Hieraus folgt, da es nur einen dritten Tripelpunkt S <R
giebt, daB derselbe auch hervorgehen muB, wenn man ^ mit
dem zu konjugierten Punkte Q x verbindet und den dritten
Schnittpunkt dieser Verbindungslinie auf der C (3) aufsucht;
also muB
sein, was denn auch bekanntlich ein Punkt der C (3) ist,
weil yfityi und CD-! zwei Paare konjugierter Punkte der
(3) sind; der zu 91 konjugierte Punkt ist nun
und da sornit ty 1 O t 9^! in gerader Linie liegen, so konnen
wir den Satz aussprechen:
Schneidet eine beliebige Gerade die (7 (3) in den
drei Punkten ^ Q x fR so bilden die drei konjugierten
Punkte ^3, D, SR zu denselben allemal ein Tripel von
Punkten der C< 8) .
Hieraus schlieBen wir auf die Machtigkeit der Punkt-
tripel einer C' 3 "; sie ist namlich gleichgroB mit der Machtig-
keit der Geraden, welche sich in der Ebene ziehen lassen
(GO 2 ), eine doppelt-unendliche Mannigfaltigkeit.
Auch gilt der umgekehrte Satz:
Die zu drei Tripelpunkten einer (7 (3) konjugierten
Punkte liegen allemal auf einer Geraden und sind
nichts anderes, als die dritten Schnittpunkte der
drei Seiten des Tripeldreiecks mit der C (3) .
Da wir zwischen den sechs Punkten ^5^P 1; DD^, 319^ vier
Gerade
haben, so haben wir gleichzeitig vier Tripel
3. Hieraus folgt zugleich eine charakteristische Eigen-
schaft jedes Punkttripels einer (7 (S ).
4*
52 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Zuvorderst 1st nainlich klar, daB irgend zwei Tripel
der C (3) allemal sechs Punkte eines Kegelsclinitts
sein muss en, well zwei Biischel des Netzes irnrner einen
Kegelschnitt gemein haben und zwei Polardreiecke fur einen
Kegelschnitt selbst ihre sechs Ecken auf eineni andern
Kegelschnitt haben.
Gehen wir also von einem Tripel ^09^ der C (8) aus und
bestimmen ein zweites ^P'O'3t' dadurch, daB wir ty' un-
endlich nahe an ^8 und }' unendlich nahe an O heraii-
riicl<en lassen, dann muB auch 9t' unendlich nahe an 9ft heran-
riicken, denn es giebt nur einen dritten Tripelpunkt zu ty
und Q, der in $1 hineinfallen muB; der Kegelschnitt, welcher
in ty und D die C (S) beriihrt, wird sie daher auch in 9? be-
riihren miissen, und wir erhalten den Satz:
Ein Tripel von Punkten der (8) besitzt allemal
die Eigenschaft, daB ein Kegelschnitt die C (3) in
solchen drei Punkten beriihrt.
Nehmen wir insbesondere fur zwei von den willkiirlich
zu wahlenden Punkten eines Tripels der (7 (3) zwei konjugierte
Punkte $P und < ^ i , so wird der zugehorige dritte Tripelpunkt
nach dem Vorigen der zu dem dritten Schnittpunkt @ der
Kurve mit der Verbindungslinie | ^3^, | konjugierte Punkt S t
sein, d. h. derjenige, in welcheui sich die beiden Tangenten
an ty und ^ schneiden; und in der That bilden auch die
beiden Strahlen ' j 9$ \ und | @ x ^ | einen ausgearteten Kegel-
schnitt, von dem man sagen darf, daB er die (7 (3) in den
drei Punkten des Tripels ^S, ^, @ t beriihrt, weil @ t ein
Doppelpunkt dieses Kegelschnitts ist. Hiernach treteu also
die Tripel in gewissem Sinne als Erweiterung des Begriffes
der konjugierten Punktepaare auf.
Da zwei Punkte eines Tripels immer willkiirlich auf
der (7 (3) angenonimen werden konnen, so laBt sich der obige
Satz, wonach zwei Tripel sechs Punkte eines Kegelschnitts
sind, auch so umkehren:
Legt man durch drei Tripelpunkte der (3) einen
beliebigen Kegelschnitt, so schneidet derselbe die
C (3) allemal in drei neuen Punkten eines Tripels.
8. Die C i 3 > und f W als Tripelkurven. 53
Hieraus geht gleichfalls die doppelt-unenclliche Mannig-
faltigkeit (co 2 ) der Tripel hervor, und es lafit sich der Zu-
sammenhang derselben iibersehen.
Wir bemerken noch den aus dem Vorigen sich er-
gebenden Satz:
Halt man einen Punkt ^ der C (3) als Eckpunkt
eines Tripels fest, so giebt es zu ihm unendlich
viele Paare von Punkten O und SR 7 welche die
beiden ubrigen Ecken des Tripels sind; diese liegen
immer so auf der C y(3) , daB ihre Verbindungslinie |QSR|
durch einen und denselben festen Punkt der C (3) geht,
namlich den Punkt ^ , welcher zu 9$ konjugiert ist.
4. Geben wir von zwei Paaren konjugierter Punkte
und 5393 t aus, welche das dritte Paar
(, !,)- (5 und (! 8)-^
liefern, so bestimmen die vier Geraden
eine Kegelschnittschar des Gewebes und bilden ein voll-
standiges Vierseit, dessen drei Diagonalen
!,!, 3333, i, leej
sind; die Durchschnittspunkte derselben
(,, SSO = a, (<< a^) - b, (!, 3393,) = c
bilden ein gemeinsames Polardreieck fiir samtliche Kegel-
schnitte der Schar.
Xennen wir die dritten Schnittpunkte der (7 (3) mit
den Geraden
und nehmen aus der vorigen Kegelschnittschar, fiir welche
abc ein Polardreieck ist, denjenigen besonderen Kegel-
schnitt ^ (2) heraus, welcher die Verbindungslinie
beruhrt, dann geht aus p an ihn die eine Tangente | pq |
und das Paar konjugierter Strahlen pb | und 'pal rucksicht-
54 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
lich des Kegelschnitts $<>, well a der Pol von pb
1st; folglich 1st die andere Taugente t aus p an R^ der
vierte harinonische Strahl zu pq | zugeordnet riicksichtlich
des Paares | pb | und | pa |.
Ebenso geht aus q auBer der Tangente | qp noeh eine
zweite Tangente t' an $ 12 ), welche von jener harmonisch
getrennt wird durch das Strahlenpaar | qo | und | qb |.
Die beiden Tangenten t und t' schneiden sick in dem
vierten harmonischen Punkt auf | ab | = | ((, |, welcher
von dem Schnittpunkt (pq, ab) harmonisch getrennt wird
durch das Punktepaar ab.
Nennen wir diesen Schnittpunkt vorlaufig
(tt')-r';
dann inussen, weil die Seiten der beiden Dreiecke
StSe, und pqr'
denselben Kegelschnitt &W beriihren, ihre sechs Ecken auf
einem Kegelschnitt liegen. Die drei Punkte 51, $8, C^ bilden
aber ein Punktetripel der (7 (3) , weil ihre konjugierten Puukte
SljSS^ auf -einer Geraden liegen (2.), also muB dieser Kegel-
schnitt der (7 (3) in drei weiteren Punkten begegnen, die eben-
falls ein Tripel bilden; vou diesen sind p und q zwei Ecken;
zu ihnen giebt es nur einen einzigen bestimrnten dritten
Tripelpunkt und derselbe muB offenbar r' sein, also auf
j ab | = | SSj | liegen; es giebt aber auf J j | nur noch
einen dritten Punkt der C (3 \ namlich r, folglich muB identisch
r' = r
sein, und wir erhalten den Satz:
Schneidet eine beliebige Gerade die (7 (3) in drei
Punkten 51, S3, (, deren konjugierte Puukte ^ , 93^ G t
seien, so bilden die drei Punktepaare ?15( 17 9323^ ((,
die drei Paar Gegenecken eines vollstandigen Vier-
seits; die drei Diagonalen desselben | 5JC5l x |, IS393J,
[ SSj | begegnen der (7 (3) in drei neuen Punkten p, q, r,
welche ein Tripel der C (3} bilden.
Da p, q, r Tripelpunkte der C t(3) sind, so rniissen ihre
drei konjugierten Punkte p^q,,^ auf einer Geraden liegen.
8. Die C^ und $ '-) als Tripelkurven. 55
Dies sind aber bekanntlich diejenigen drei Punkte, in welche n
die Tangenten in 3193 (oder in $t 1 93 1 $i) zuin dritten Mai
der C (3) begegnen; wir erhalten daher den doppelten Satz:
Schneidet eine Gerade die (7 (3) in drei Punkten
21, 33, , so treffen die Tangenten in denselben die
O 3) zum dritten Mai in drei neuen Punkten, welche
wieder auf einer Geraden liegen, und:
Zieht man in drei Tripelpunkten 2lj, 93 n x einer
6 <(3) die drei Tangenten, so treffen dieselben die C (3) in
drei neuen Punkten, welche auf einer Geraden liegen.
(Sind insbesondere die drei Punkte 21, 93, auf der
unendlich entfernten Geraden g^ gelegen, werden also die
drei Tangenten in den unendlich entfernten Punkten der C (3)
die Asymptoten derselben, so miissen diese ebenfalls der G T(3)
in drei neuen Punkten begegnen, welche auf einer Geraden
liegen.)
5. Die letzten beiden Satze sind nur spezielle Falle
von etwas allgemeineren, zu denen wir auf folgende Weise
gelangen:
Schneide eine beliebige Gerade die C (3) in drei Punkten
21,93,, deren konjugierte 21 1 ,93,, 1 seien, und eine be-
liebige zweite Gerade die C (3) in den Punkten 2C, 93', ',
deren konjugierte 2l{, 33 j, ' seien, dann liegen bekauntlich
(2.) diese zwolf Punkte zu je dreieu auf folgenden acht Ge-
raden
| 2(93 | = rf, | 2C33'' |=rf',
:j = , 2C93;; [ = ',
U-6, 1 95';2t; \-v,
U = c , ic';ii-^
und diese acht Geraden beriihren eiuen und denselben Kegel-
schnitt des Gewebes, wie wir wissen ( 3, 5).
Aus sechs Tangenten des Kegelschnitts konneu wir
ein Brianchonsches Sechsseit bilden und fur dasselbe den
Brianchonschen Punkt (Durchschnittspunkt der drei Ver-
bindungslinien der Gegenecken) aufsuchen.
Wenn wir inimer das Brianchonsche Sechsseit voran
und den zugehorigeu Brianchonscheu Punkt als Durch-
56 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
schnittspunkt dreier Geraden darunter schreiben, so erhalten
wir folgendes Schema:
f adba'd'b'
2) I \ 9393 1
3 ) I | ' I, j 3131' |, i ca', ac'
{ j 3^31; !, i 93 t 93; |, | al', ba
f cabc'a'b'
\"im.
^ U
!> I i!i M
abca'b'c'
{
ab'ca'bc'
Hieraus wird nun ersichtlich, daB die beiden Dreiseite
| 3131' ', i 9393' |, | .6' | und
1 31^; i, 93^1, i Si; i
perspektive Lage haben, weil die drei Verbindungslinien
ihrer entsprechenden Ecken durch einen Punkt laufen [nach 7.)] ;
folglich miissen auch die drei Schnittpunkte ihrer ent-
sprechenden Seiten auf einer Geraden liegen; nennen wir
diese Schnittpunkte
(3131', 31^0 = 31",
(93 93', 93,930 = 93",
so sind dies offenbar die dritten Schnittpunkte der drei Ge-
raden | 3131' |, | 9393' |, | (' | mit der C< 8 >. Wir erhalten
also den doppelten Satz:
Trifft eiue Gerade g die C (3) in den drei Punkten
3(, 93, ( und eine beliebige zweite Gerade </ die (3)
in 31', 93', ', und man verbindet die drei ersten Punkte
in irgend welcher Weise mit den drei letzten durch
drei Gerade
8. Die Ci 3 ) und &(3)als Tripelkurven. 57
|, | 3393' |, | ((' |,
so treffeii diese drei Verbindungslinien die (7 (3) in
drei neuen Punkten einer Geraden.
(Die Zuordnung der drei ersten zu den drei andern
Punkten ist dabei ganz irrelevant.)
Andererseits :
Hat man zwei beliebige Trip el ^i l ^& 1 ^ l und
^iSBJ&l der C r(3 \ und man verbindet die drei ersten
Punkte in irgend welcher Weise mit den drei letzten
durch drei Gerade | 2^ , | ^^[ |, | &&[ |, so treffen
diese drei Verbindungslinien die C (3) in drei neuen
Punkten einer Geraden.
(Die Zuordnung der drei ersten Punkte zu den drei
andern ist dabei ganz irrelevant.)
Fallen in diesen beiden S'atzen insbesondere die ge-
strichenen Punkte mit den ungestrichenen zusammen, so
erhalten wir die Satze von 4. Ftigen wir noch zu den
obigen Punkten "SI", 93", g" ihre konjugierten %[', S3;', g{'
hinzu, namlich
(<<{, 6^') = ^",
so bilden ofifenbar %[', %[', S{' ein Tripel der C< 3 >, und wir
konnen den dritten Satz aussprechen:
Trif ft eine Gerade y die 6 >(3) in den drei Punkten
3(, 93, (, nimmt man ferner ein beliebiges Tripel
H{, 93j', (,' der C (3) , und verbindet die drei ersten
Punkte in irgend einer Weise mit den drei letzten
durch drei Gerade | 3131J |, 2393J |, | (<; , so treffen
diese drei Verbindungslinien die C (3) in drei neuen
Punkten, welche ein Tripel der C (3) bilden.
(Die Zuordnung der drei ersten Punkte zu den drei
andern ist dabei ganz irrelevant.)
Auch diese Satze sind nur spezielle Falle von noch
allgemeineren, zu denen wir im nachsten Paragraphen ge-
langen.
58 Theorie der ebenen Kuryen dritter Ordnung.
9. Erzeugung der C {3) vermittelst eines Kegelschnitt-
biischels und eines mit ihm projektiven Strahlbiischels.
1. Nehmen wir irgend vier Punkte der C (3)
, S3, <,
und ziehen die Geraden | 5133 | und j ( |, welche resp. in
q und C 2 der Kurve zum dritten Mai begegnen, so miissen
nach dem in 8, 5 bewiesenen Satze die drei Verbindungs-
linien | 5l( |, | S3 | und | C X C 2 1 der (7 (3) in drei Punkten einer
Geraden begegnen; ebenso mtissen auch | 51 |, | 33 ( | und
| CiC 2 | der (7 (3 ) in drei Punkten einer anderen Geraden begegnen;
treffen also die sechs Seiten des vollstandigeii Vierecks
5IS3S, namlich
51 S3 die Kurve C< 3 > in c
so miissen sich
n
in einem und demselben Punkte D der C (3) begegnen. Diese
drei Geraden sind also drei Strahlen eines Strahlbiischels D;
die drei Linienpaare
| ^33 | und | (5 |, | 51(5 | und | S3 |, | 95 | und | 5t |
konnen wir als drei ausgeartete Kegelschnitte des Biischels
mit den vier Grundpunkten 51 S3 (5 auffassen und den drei
Strahlen des Strahlbiischels O entsprechend setzen; durch
drei Paare entsprechender Elemente ist eine projektive Be-
ziehung zweier Gebilde gerade bestimmt. Wenn wir dem-
gemaB das Kegelschnittbiischel [5(53 (J auf die in 4,5
angegebene Weise auf ein einfaches Strahlbiischel reduzieren
und dasselbe mit dem Strahlbiischel D durch diese drei
Paare entsprechender Elemente in projektive Beziehung setzen,
so haben wir dadurch das Kegelschnittbiischel [5(33]
selbst auf das Strahlbiischel D projektiv bezogen, so daB
9. Erzeugung d. C^ 3 * vermittelst einea Kegelschnittbiischels etc. 59
den drei Linienpaaren desselben die drei Strahlen | Do^ ,
|Dbjb 2 |, jDCjCjjl des Strahlbiischels ) entsprechen. Nun
wird jedem Kegelschnitt des Biischels [5(93 S3)] ein be-
stimmter Strahl des Strahlbiischels C und umgekehrt ent-
sprechen, und wir konnen nach dem gesamten Orte der
Durchsehnittspunkte entsprechender Elemente der beiden
projektiven Gebilde fragen.
Dieser 1st eine Kurve dritter Ordnung Cf* , denn eine
beliebige Gerade g schneidet das Kegelschnittbiischel in einer
Punktinvolution, das Strahlbiischel O in einer einfachen
Punktreihe und beide Gebilde stehen in projektiver Beziehung;
sie haben aber, wie wir in 4, 3 gesehen haben, im All-
gemeinen drei incidente Punkte, in welch en ein Punkt der
Punktreihe mit einem Punkte des entsprechenden Punkte-
paares der Punktinvolution zusaramenfallen, und diese drei
Punkte gehoren deni gesuchten Orte an; derselbe ist also
von der dritten Ordnung. [Wir konnen uns auch in folgender
Weise davon iiberzeugen, daB das Erzeugnis beider pro-
jektiver Gebilde eine Kurve dritter Ordnung ist: Die be-
liebige Gerade g schneidet die Kegelschnitte des Biischels
[9(S3SS)] in den Punktepaaren jjj L> einer Punktinvolution;
die Strahlenpaave | OjJ, | Dj 2 | liefern eine Strahleninvolution;
ein beliebiger durch gelegter Kegelschnitt ^ (2) schneidet
das Strahlenpaar in l^t)., und die Durchbohrungssehne | t)^^,
lauft durch einen festen Punkt @ und beschreibt ein Strahl-
biischel, auf welches das Kegelschnittbiischel reduziert wird.
Dieses Strahlbiischel [<S] ist mit dem Strahlbiischel [O]
projektiv unserer Annahme gemilB, und die beiden projektiven
Strahlbiischel [@J und [C] erzeugen daher einen Kegel-
schnitt KV\ welcher mit dem vorigen ^ (2) auBer D noch
drei Punkte im allgenieinen gemeinschaftlich hat. Dieselben
mit C verbunden geben drei Strahlen, welche offenbar g in
den gesuchten drei Punkten des Ortes treffen, welche auf g
liegen. Der erzeugte Ort ist daher eine Kurve dritter Ord-
nung, weil er auf jeder beliebigen Geraden drei Punkte hat,
von denen iinnier einer reell sein rnuB, wuhrend die beiden
andern auch konjugiert-imagiuiir sein konnen.] Das <Er-
gO Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
zeugnis geht, wie unmittelbar einleuchtet, durch die vier
Grundpunkte 9(, 93, , 2) des Kegelschnittbiischels und durch.
den Mittelpunkt D des Strahlbuschels, und enthalt die
sechs Punkte d^, fc^? qCg, also schon elf Punkte unserer C (3) .
Da aber zwei Kurven dritter Ordnung nicht mehr als
3.3 = 9 Punkte gemein haben konnen, ohne identisch zu-
sammenzufallen, so ist die erzeugte Kurve C ( ^ mit unserer
C< 3) identisch. Hieraus erkennen wir den fundanientalen Satz:
Wenn wir durch irgend vier Punkte 5(, 93, ,
einer C< 3) ein Biischel von Kegelschnitten legen, von
denen jeder der Kurve noch in zwei weiteren Punkten
ia begegnet, so lauft die Sehne ' J t j 2 bestandig
durch einen festen Punkt C der C (3) und beschreibt
ein Strahlbiischel, welches mit dem Kegelschnitt-
biischel [SI S3 3)] projektiv ist.
Wir wollen den von 3(^8(5 abhangigen Punkt D der
(7 (3) , der schon durch zwei Linienpaare bestimmt wird, den
Gegenpunkt des Pu nktquadrupels ?(93S nennen.
2. Wir. konnen das gewonnene Resultat auch anders
auffassen:
Gehen wir von vier beliebigen Punkten der 6' (3) aus
SI, 93, und D
und mogen die Geraden
| 93 | der C (3) zum dritten Mai begegnen in a,,
21 6,
i }
1 DC i
I *^ v l 1 ;> ?7 ;> ?>
so werden nach dem obigen Satze (^ 8, 5), weil
SI, 93, C, auf einer Geraden liegen
und
n "i> *-' ?> ;> ?)
auch die dritten Schnittpunkte von
auf einer Geraden liegen miissen; der erste ist , der dritte C 2 ,
also schneiden sich . 93 6 2 und C 2 | in einem Punkte der C (?) .
9. Erzeugung d C w vermittelst einesKegelschnittbuschels etc. 61
Weil ebenso
93, CL Q, auf einer Geraden liegeu
und
c c ^
v n *-2 ^ )>
so miissen auch die dritten Schnittpunkte von
auf einer Geraden liegen; der erste ist 31, der dritte a 2 , also
schneiden sich Sc 2 und 3ld 2 j in einem Punkte der 6 1(3 >.
Der Strahl | ( C 2 enthalt aber nur noch einen dritten Kurven-
punkt 3), also schneiden sich
in einem und demselben Punkte 2) der Kurve C (3) . Jetzt
ist wiederum der Gegenpunkt des Punktquadrupels 3(33(52),
also jeder durch O gezogene Strahl des Strahl biischels muB
C (3) in zwei Punkten j,, . 2 begegnen, welche mit 31 S3 & 2)
auf einem Kegelschnitt des Biischels [31S5S3)] liegen, und
wir erhalten den Satz:
Nimmt man auf einer C 3) drei beliebige Punkte
31, S3, (, und zieht durch einen beliebigen vierten
Punkt C derselben Strahlen, deren jeder in zwei
weiteren Punkten J 1? J 2 der C (3) begegnet, so wird der
veranderliche Kegelschnitt [3tS3Sj, J 2 ], welcher durch
diese fiinf Punkte bestimmt wird, noch durch einen
vierten festen Punkt 2) der (3) laufen und ein
Kegelschnittbiischel beschreiben, welches mit dein
Strahlbiischel [0] projektiv ist.
3. Aus der Erzeugung der C (3) vermittelst eines Kegel-
schnittbusehels und eines mit demselben projektiven Strahl-
biischels konnen wir auch zuriickgelangen zur urspriinglichen
Erzeugung der C (3) ( 3) vermittelst zweier Strahleninvolu-
tionen in projektiver Beziehung und halb-perspektiver Lage,
wenn wir die Grundpunkte des Biischels zweckmafiig wahlen.
Seien die Grundpunkte des Kegelschnittbiischels StSS^5
und der zugehorige Gegenpunkt ^S n so wird dem besonderen
Kegelschnitt des Biischels, welcher durch ^ geht, als ent-
sprechender Strahl des Strahlbiischels ^j die Tangente der
(32 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
(7(8) im Punkte ^ zugehoren. Wenn also diese Tangente der
C (3) zum dritteu Male in X begegnet, so mussen die sechs
Punkte 51, 93, , ^5, ^$, , X auf einem Kegelschnitt liegen.
In gleicher Weise rnuBte, wenn wir fur die Grundpunkte
eines erzeugenden Kegelschnittbuschels 91 93(5^! wahlten und
ty der zugehorige Gegenpunkt ware, der durch 2(33 (5^, ^
gelegte Kegelschnitt als sechsten Schnittpunkt mit der O 3)
denjenigen Punkt haben, in welchem die Tangente in ty an
der C (3) derselben zum dritten Mai begegnet. Nun schneidet
aber der durch die fiinf Punkte &, 93, (5, ty, ^? t gelegte
Kegelschnitt die C< 3) nur noch in einem einzigen sechsten
Punkte X, also mussen die beiden Tangenten der C (3) in ^5
und ^|S 1 sich in einem Punkte X der C (3) begegnen.
Dies ist der Fall, wenn wir fur ty und ^ ein Paar
konjugierter Punkte der C (:<) wahlen ( 2, 7); nehraen wir dies
an, so hat sowohl das Biischel
den Gegenpunkt ^,, als auch
Da aber ^^S,X selbst ein Tripel von Punkten der C<>
bilden ( 8, 3) und der durch dieselben gelegte Kegelschnitt
der C (3) in 5193(5 begegnet, so mussen auch S(93S ein Tripel
der C (y > bilden ( 8, 3), und wir erhalten den Satz:
Legt man durch ein Punktetripel 3(93(5 der C'^ 8)
.und einen beliebigen Punkt ^8 derselben ein Biischel
von Kegelschnitten, deren jeder der C (:!) noch in
zwei weiteren Punkten begegnet, so lauft die un-
veranderliche Verbindungslinie der letzteren durch
einen festen Punkt ^S t der C (31 , den konjugierten zu
^3 und beschreibt daher ein einfaches Strahlbiischel
^Pi, welches mit dem Kegelschnittbuschel projektiv
ist; ebenso wie fur das Punktquadrupel [2193(5^] der Gegen-
punkt y$L ist, ist auch fur das Punktquadrupel [5(93S^SJ
der Gegenpunkt ^5. Wir erzeugen hierdurch die C (y> in
doppelter Weise vermittelst eines Kegelschnittbuschels und
eines mit ihm projektiven Strahlbiischels.
4. Legen wir nun durch 2193(5^3 einen beliebigen Kegel-
schnitt und lassen denselben von dem entsprechenden Strahle
9. Erzeugung d. C( s ) vermittelst eines Kegelschnittbiischels etc. 63
des Strahlbiischels ^S t in j t und r. 2 durchschneiden, so ge-
horen cliese Punkte vermoge der Erzeugung der C (3 ' aus deni
Kegelschnittbiischel und deni mit ihm projektiven Strahl -
biischel der C (3) an. Schneidet | ^?j x | die G' (3 > zum dritten
Mai in \) 2 und |^8j 2 ! die ^ (3) zum dritten Mai in t),, so
miissen infolge der zweiten Erzeugung auch
auf einem Kegelsclmitt liegen, dessen entsprechender Strahl
auf einern Kegelschnitt liegen, dessen entsprechender Strahl
I ^&9i ist -
Da aber ^^tj-j auf einer Geraden liegen, ^3^ auf
einer zweiten Geraden liegen, so werden nach unserm obigen
Satze auch die dritten Schnittpunkte der drei Verbindungs-
linien ^3^S |, ; >l> Qi^l au ^ einer dritten Geraden liegen
miissen. Nun ist | ^5 ^8 | die Tangente in $J, welche in X
schneidet; ,., | schneidet in ^ n also nauS | t) t ^ | durch
den dritten Schnittpunkt von | X^Sj | gehen; dieser ist aber
^! selbst, weil j X^5 t die Tangente in ^ sein soil; also
folgt, daB auch ^t)!!)., auf einer Geraden liegen, und mithin
9( 33 ^8 t)j tJ2 auf clem entsprechenden Kegelschnitt bei der
ersten Erzeugungsart.
Die vier Geraden
l&Si&l, l^i 9,9, I, l^ifel, l*&9il
bilden ein vollstandiges Vierseit, dessen drei Paar Gegen-
ecken ^S^Si, J,t) n i%t)., sind.
Weim wir nunniehr auf den vier Seiten zu ty und ^ die
zugeordneten vierten harmonischen Punkte aufsuchen, namlich
so bilden fofotjt^ ein Viereck, und es liegen bekanntHch
! J 3 ^3 auf einer Geraden,
n '2 -ri M ?>
und die Schnittpunkte
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
sind bekanntlich identisch (Fig. 1).
Lassen wir in die Figur die Bewegung eintreten, welche
durch die projektive Beziehung der erzeugenden Gebilde ge-
geben ist ; so verandern sich mit ^Jot)^ aucli fo&jtjt,, aber
es laufen | fo g 2 I durch den festen Punkt ty und | tj i 2 \
durch den festen Punkt S t .
Fig. 1 .
Wegen der harrnonischen Beziehung gebt durch j die
Polare von ^ riicksiehtlich des Kegelschnitts [^ISS^j^J,
und , selbst 1st der Schnittpunkt dieser Polare niit deni
entsprechenden Strahle | ^iJ!J 2 I- Da die Polaren von ^
in Bezug auf samtliche Kegelschnitte des Biischels [S(33S^S]
ein Strahlbiischel beschreiben, welches mit dem Kegelschnitt-
biischel prqjektiv ist, dieses aber mit dem Strahlbiischel
I ^PiEiEa I projektiv ist ; so folgt, daB der Punkt t bei der
Bewegung einen Kegelschnitt (das Erzeugnis zweier projek-
tiven Strahlbiischel) beschreibt. Denselben Kegelschnitt be-
schreibt offenbar auch ^; die veranderliche Sehne ' ^^ | dieses
Kegelschnitts lauft aber durch den festen Punkt $p, folglich
wird das Strahlenpaar
eine Strahleninvolution beschreiben; wir konnen also dea
Satz aussprechen:
9. Erzeugung d. C^ 3) vermittelst eines Kegelschnittbuscbelsetc. 65
Sind ty und ^ zwei Punkte der C (3) , dereu Tan-
genten sich in einein Punkte X der Kurve schneiden,
und dreht man um ty einen Strahl, welcher in , und
t) 2 der C (3 ' begegnet, so beschreibt das Strahlenpaar
I^Pii'i I? I s -Pityj eine Strahleninvolution.
In ganz gleicher Weise erkennen wir, daB das Strahlenpaar
j^tjE: $ Ei ; und l^lHi-l^l
bei der projektiven Bewegung eine Strahleninvolution be-
schreibt Diese beiden Strahleninvolutionen [^8] und [^J
sind beziehungsweise projektiv mit den von | ^5 1 t 1 t 2 | und
^P5iS-> I beschriebenen einfachen Strahlbiischeln. Diese beiden
Strahlbiischel selbst sind aber projektiv (und zwar perspektiv
gelegen); denn fiir die Strahleninvolution [^SJ wird jedes
Strahlenpaar | ^Sj t | und | ^5j 2 | durch den festen Strahl
1 ty^i | uiid den veranderlichen Strahl | ^Sg, 2 | harnionisch
getrennt; folglich ist das von j ^,&j | beschriebene Strahl-
biischel mit der von | ^8j t | und | ^j$r. 2 1 beschriebenen Strahlen-
involution projektiv; mit letzterer ist aber auch das Strahl-
biischel | ^Pjtjt^ | projektiv; folglich sind die beiden von
I s -PSi2 un d v on | ^tjtg beschriebenen Strahlbiischel pro-
jektiv und daher auch die beiden Strahleninvolutionen [$J$]
und [^].
Sie befinden sich aber auch in halbperspektiver Lage,
weil deni besonderen Kegelschnitt
welcher beiden Biischeln [StSS^J und [21236^ ] gleichzeitig
angehort, fiir das eine das Strahlenpaar | ^ X X | und | ^^S |,
fiir das andere das Strahlenpaar j ^3 | und j ^P^ | zugehort,
und da dies entsprechende Strahlenpaare der beiden pro-
jektiven Involutionen [ty] und [^5,] sind und den Strahl
| ^B$P! I ^E ^S t ^5 I gemein halfen, so befinden sich die In-
volutionen in halbperspektiver Lage.
Hierdurch ist der Nachweis geliefert fiir dieldentitat
der Erzeugnisse bei den beiden verschiedenen Er-
zeugungsweisen; die Punkte j. 2 , Q t t) 2 erscheinen in der
Weise geordnet:
SchrSter, Tlieorie der ebenon Kurven 3. Ordn. 5
QQ Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Ji& und *)i*)2
als Durchschnittspunkte entsprechender Elemente aus dem
Kegelschnittbiischel [5(93 ^8] und dem ihm projektiven
Strahlbiischel ^ t ; in der Weise geordnet:
als Durchschnittspunkte entsprechender Elemente aus dem
Kegelschnittbiischel [^SBS^] und dem ihm projektiven
Strahlbuschel ^3; in der Weise geordnet:
als Durchschnittspunkte entsprechender Strahlenpaare zweier
Strahleninvolutionen [^5] und [^,] in projektiver Beziehung
und halbperspektiver Lage.*
5. Aus dieser allgemeinen Erzeugungsweise der C (3) ver-
mittelst eines Kegelschnittbiischels und eines mit demselben
projektiven Strahlbtischels ergeben sich eine Menge Folge-
rungen, von denen wir einige hervorheben wollen.
Wenn wir einen beliebigen Kegelschnitt aus dem er-
zeugenden Biischel [5t33S] herausnehmen und seine beiden
tibrigen Schnittpunkte mit C (3) durch (, ^ bezeichnen, so
werden, weil auch das Linienpaar | 9(93 | und | S3) | dem
Biischel angehort, die beiden dritten Schnittpunkte auf diesen
Geraden in einer neuen Geraden liegen mit dem Gegenpunkt
des Punktquadrupels $93 3), also auch mit dem dritten
Schnittpunkt auf | @5 ! Dies giebt den Satz:
Schneidet ein Kegelschnitt die C (3) in sechs
Punkten $l f $, <S, $),<$, f und zieht man drei Sehnen
1 1 9(93 , | (35 |, |@$!, so schneiden dieselben die C< 3 >
in drei neuen Punkten, welche in einer Geraden
liegen. (Die Gruppierung der sechs Punkte zu je zweien
ist dabei vollig irrelevant); oder umgekehrt:
Schneidet eine Gerad'e die C (3) in drei Punkten,
durch deren jeden eine neue Gerade gezogen wird,
welche der C (8) in zwei weiteren Punkten begegnet,
* F. Schur, Synthetischer Beweis fiir die Identitat einer Tripel-
kurve etc. (Schlomilchs Zeitschr. Bd. XXIV.)
9. Erzeugung d. C^ vermittelst eines Kegelschnittbiischels etc. 67
so liegen die dadurch erhaltenen sechs neuen Punkte
auf eineni Kegelsclinitt.
Man kann insbesondere von diesen sechs Punkten drei
in einen einzigen zusammenfallen lassen und erhalt dann
folgendes Eigebnis:
Schneidet eine Gerade die (7 (3) in drei Punkten 5(, 23, (,
und verbindet man dieselben mit eineni beliebigen Punkt ^
der C< 3) durch drei Gerade \ty%\, $93 |, | $( |, welche
niit der C (3) die dritten Schnittpunkte 3t 1; S 17 (Ej haben,
dann wird ein Kegelschnitt, welcher durch ^33^^ gehtundin
s $ die Tangente der C (s) beriihrt, notwendig in diesem Punkte
mit der C< 3) drei zusammenfallende Punkte, d. h. eine dreipunk-
tige Beriihrung haben. Der Kriimmungskreis dieses Kegel-
schnitts in ty wird also gleichzeitig Kriimmungskreis fiir die
(70) j m Punkte ty sein und kann demgemaB konstruiert werden.
). Sind 3(, 33, S, 3} die Grundpunkte des erzeugenden Kegel-
schnittbiischels und D der zugehorige Gegenpunkt, also der
Mittelpunkt des erzeugeuden Strahlbiischels, so wird, wie
schon in 4. bemerkt wurde, das Schnittpunktpaar J,J 2 eines
Biischelkegelschnitts niit deni entsprechenden Strahl des
Strahlbuschels harmoiiisch getrennt durch C und den Schnitt-
punkt der Polare von O riicksichtlich des entsprechenden Kegel-
schnitts. Da aber bekanntlich die Polaren von C in Bezug auf
samtliche Kegelschnitte des Buschels durch einen festenPunkt s ^
laufen und ein Strahlbuschel beschreiben, welches mit clem Kegel-
schnittbiischel projektiv ist, also auch mit dem erzeugenden
Strahlbuschel [D] projektiv sein muB, so erzeugen die Strahl-
buschel [D] und [^] einen Kegelschnitt und wir erhalten den Satz:
Zieht man durch einen Punkt D der C (3) Strahlen,
deren jeder in einem weiteren Punktepaare der C (3)
begegnet, und bestimnit man zu D den zugeordneten
vie r ten harmonischen Punkt riicksichtlich des
Punktepaars, so beschreibt derselbe einen Kegel-
schnitt, welcher durch 5 geht und dieselbe Tangente
in D hat, wie die C (3) .
Wir wollen diesen Kegelschnitt D (2) die konische
Polare des Punktes D nennen; da sie schon in D zwei
5*
gg Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
zusamuienfallende Punkte rait der C (3) gemein hat, so schneidet
sie dieselbe im allgemeinen noch in vier weiteren Punkten,
die mit O verbunden offenbar vier Tangenten aus an die
C (3) liefern, weil bei vier harmonischen Puiikten, wenn zwei
derselben zusammenfallen, auch der letzte in diesen hinein-
fallen mu6. Wir schlieBen also:
Es gehen im allgeineinen aus einem Punkte )
der C (3) auBer der Tangente in D selbst noch vier
Tangenten an die C' |3) ; die vier Beriihrungspunkte
derselben liegen auf einem Kegelschnitt D (;J) , der
konischen Polare von D, welcher in C dieselbe Tan-
gente hat mit C (3) .
Nehmen wir einen dein Punkte D unendlich nahen
Punkt O' der 6 T(3) und legen aus ihm die vier neuen Tan-
genten an die Kurve, so erhalten wir vier neue den vorigen
unendlich benachbarte Beriihrungspunkte , und der vorige
Kegelschnitt kann auch aufgefaBt werden als gelegt durch
die beiden Punkte D, )' und die vier Schnittpunkte je
zweier unendlich naher Tangenten aus O und )', weil der
Schnittpunkt zweier unendlich benachbarter Tangenten an
Stelle eines jeden der beiden Beriihrungspunkte gesetzt
werden darf. Da nun solche sechs Punkte auf einem Kegel-
schnitt liegen, so mu6 das Doppelverhaltnis des Tangenten-
quadrupels aus D dem Doppelverhaltnis des Tangenten-
quadrupels aus O f gleich sein; und gehen wir von )' zu
einem neuen unendlich benachbarten Punkt D" fiber und so
fort auf der C&\ so behalt das Doppelverhaltnis des Tangenten-
quadrupels bei festgehaltener Zuordnung immer denselben
Wert. Wir konnen also den Satz aussprechen:
Das Doppelverhaltnis des Tangentenquadrupels
aus einem Punkte O der C' (3) fur beliebige Zuordnung
behalt bei der Veranderung des Punktes C auf der
C^y aber festgehaltener Zuordnung, immer denselben
konstanten Wert. (Vergl. 13,3.)
Dies ist eine eigene charakteristische Konstante fiir die
Kurve dritter Ordnung, und je nachdem dieses Doppel-
verhaltnis ein harmonisches oder ein aquianharmonisches
9. Erzeugung d. C (3) vermittelst eines Kegelschnittbuschels etc. (39
ist, kann man eine solche C (3) erne harmonische oder aqui-
anharmonische nennen und die Eigenschaften dieser besonderen
Kurven C (3) aufsuchen. Auf die aus der Unveranderlichkeit
dieses Doppelverhaltnisses hervorgehenden weiteren Eigen-
schaften der allgemeinen G (3) werden wir noch spater Ge-
legenheit haben naher einzugehen.
7. Sind 51 und 5t t zwei konjugierte Punkte der C^\ und
konstruiert man in der angegebenen Weise ihre konischen
Polaren 5( |5!) und 51 [ 2) , so wird, wenn die Verbindungslinie
| 515^ | der 6 1(3) zum dritten Mai in 5( 2 begegnet, der Kegel-
schnitt 5l (2) durch. den vierten harmonischen Punkt ?('
gehen, wofern
ist, und der Kegelschnitt 51 1 ( " ) wird durch den vierten har-
monischen Punkt 51 { gehen, wofern
ist. Es ist also 51., sowohl der vierte harmonische zu 51
zugeordnete Punkt riicksichtlich des Paares SCjSl/, als auch
der vierte harmonische zu 5tj zugeordnete Punkt riicksicht-
lich des Paares 5151'. Die Polare von 51 riicksichtlich des
Kegelschnitts 5l| 2) geht also durch denselben Punkt 51 2J wie
die Polare von 5(j riicksichtlich des Kegelschnitts 5l (2) ,
namlich durch den dritten Schnittpunkt 51 2 von 5l5tj j mit
der C (3) .
Da ferner ein Strahlenpaar der zu 51 zugehorigen Strahlen-
involution und das entsprechende Strahlenpaar der zu 5t t
zugehorigen Strahleninvolution sich in zwei Paaren kon-
iugierter Punkte ^, , .,
i und 3: 5) und $ t
durchschneiden, der Schnittpunkt (Diagonalpunkt)
a her auf den vierten harmonischen Strahlen durch 51 und 5(
die dem gemeinsamen Strahl | 5t5tj zugeordnet sind riicksicht-
lich beider Strahlenpaare, liegen inuB, wie aus der bekannten
Eigenschaft des Vierseits folgt, so sind einerseits J, und 5( t
konjugierte Punkte fur den Kegelschnitt 51 ( % anderseits t
und 5t konjugierte Punkte fiir den Kegelschnitt 5^" . Es ist
70 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
also die Gerade j r, t ( 2 , sowohl die Polare von 2lj nach 2J ( %
als auch die Polare von 21 nach 2lj (2) . Wir erhalten also
den Satz:
Sind 21 und 2^ zwei konjugierte Punkte der C (3) ,
2l (2) und 2l ( t 2) die konischen Polaren jener Punkte, so
ist die Polare von 21 riicksichtlich des Kegelschnitts
2l{ 2) identisch mit der Polare von 21, riicksichtlich
des Kegelschnitts 2l< 2) .
Diese Gerade, welche durch den dritten Schnittpunkt
21 2 von | 2151! | mit der C< 3 > hindurchgeht
ist nichts anderes, als die uns bekannte gerade Linie /
( 3, l), welche die projektive Beziehung der beiden er-
zeugenden Strahleninvolutionen vermittelt und der wir hier
eine neue Bedeutung abgewonnen haben.
Die allgenieine Giltigkeit des vorigen Satzes fiir zwei
beliebige Punkte 21 und 33 werden wir spater bei der Unter-
suchuug der Polar eigenschaf ten der C (3) kennen lernen (21).
8. Schneidet ein durch die vier Grundpunkte ernes er-
zeugenden Kegelschnittbiischels [21 33 S S)] gelegter Kegel-
schnitt die (7 {3) noch in G und ^, so geht die Sehne
durch den Gegenpunkt D des Puuktquadrupels
sind nun @ und ^ t die konjugierten Punkte zu ( und ^
in dem alten Sinne, so ist der Schnittpunkt (($, i?5i) = );
folglich miissen auch 2133(52)^^ auf einem Kegelschnitt
liegen, also:
Liegen irgend sechs Punkte 21, 53, (, 5), @, 5* einer
6 I(3) auf einem Kegelschnitt, und ninimt man zu
irgend zweien derselben (etwa S und ^) die kon-
jugierten Punkte (! und $,), so liegen die vier
ubrigen 2t, S3, (E, *) auch mit diesen beiden neuen
Punkten ^ l ,^ l auf einem Kegelschnitt
Hieraus folgt, daB wenn ( u ( ^) l die konjugierteu Punkte
zu () sind, auch 21, S3, ( 17 ,, (S n & auf einem Kegel-
schnitt liegen miissen, und endlich, wenn 21,, 2^ die kon-
9. Erzeugung d. (7 C3) vermittelst eines Kegelschnittbiischels etc. 71
jugierten Punkte zu 3(33 sind, daB auch 3^ , ^ , ^ , $, , (, , &
auf einem Kegelschnitt liegen miissen; also gilt der Satz:
Liegen irgend sechs Punkte einer C (3) auf einem
Kegelschnitt, so liegen auch ihre sechs konjugierten
Punkte auf eineni Kegelschnitt.
Dies laBt sich auch anders auffassen:
Zu dem Punktquadrupel [3(33&)] ist der zugehorige
Gegenpunkt der dritte Schnittpunkt von | @^ | rnit der C (3) ;
zu dem Punktquadrupel [5l x < ^& 1 (^ J ist der zugehorige
Gegenpunkt der dritte Schnittpunkt von | @i^fi I m ^ ^ er ^ (3) 5
da aber | (S^ I und ^^ | sich in einem Punkte O der (7 (3)
schneiden, so folgt:
Ist zu einem beliebigen Punktquadrupel 3d8($)
auf der (7 (3) der zugehorige Gegenpunkt O, und nimnit
man die zu 3(93(12) konjugierten Punkte 8C 1; 33 1? 1; $) 17
so hat dieses Punktquadrupel als zugehorigen Gegen-
punkt denselben Punkt O der C (3) .
Suchen wir zu zwei Paarea konjugierter Punkte ^(^(j
und ^8^8^ als Punktquadrupel aufgefaBt, den zugehorigen
Gegenpunkt, so wird, weil das Linienpaar
selbst in einem Punkte der C (3) sich begegnet
die Tangente in ^ den Gegenpunkt enthalten; wenn daher
| Sl^ | und |S393 X die dritten Schnittpunkte ^ und S3,
haben, so muB auch | 31,^8., | diesen Gegenpunkt enthalten;
nennen wir ihn *$', so liegen 3^^^' auf einer Geraden,
und <$' ist der dritte Schnittpunkt der Tangente in ty.
Nehmen wir in gleicher Weise die Punkte
ha ben
! | den dritten Schnittpunkt
die Tanente in
72 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
so liegen sowohl 51 2 93 2 ^P' in einer Geraden,
als auch 2 2 Q'
und . 2 %,W ;
da aber ^, D, $t auf einer Geraden liegen, sobald 2(, 93, (5, 3), @, g
sich auf einem Kegelschnitt befinden (5.), da ferner auch
*$', O', 91' auf einer Geraden liegen mussen ( 8, 4) als die
dritten Schnittpunkte der Tangenten in den Punkten ^P,D,9l
einer Geraden, und da endlich durch ^5', O', 91' die drei Ge-
raden |$'2C 2 93 2 |, |Q',) 2 j, |9T@ 2 &I gehen, so iniissen
51 2 , 93 2 , (S 2 , 5) 2 , @ 2 , ^ 2 auf eineni Kegelschnitt liegen (5.)j
also gilt der Satz:
Liegen sechs Punkte S(, 95, , 3), @, ^ einer C< 3 '
auf einem Kegelschnitt, so liegen nicht nur ihre
sechs konjugierten Punkte 5t x , S3j, S 17 t , @j, ^ auf
einem zweiten Kegelschnitt, sondern auch die dritten
Schnittpunkte 5t a , 95 2 , S 2 , ^) 2 , @ 2 , ^ 2 der sechs Ver-
bindungslinien | 31^ |, | S3S3J, ((, |, | 5)J, | <, ,|^^J
auf einem dritten Kegelschnitt.
Die konjugierten Punkte zu 51 2 , 33 2 , S.,, 2) 2 , (S 2 , $- 2 sind
nun bekanntlich diejenigen Punkte 91', 93', . . ., $' der C 1 ' 31 , in
welchen die Tangentenpaare fiir 81^, S5 t , ..., ^^f, sich
treffen, und da St 2 , $8 2 , . .., $T 2 auf einem Kegelschnitt liegen,
so mussen nach dem vorigen Satze auch ihre konjugierten
Punkte 5T, 93', . . ., $' auf eineni Kegelschnitt liegen; also gilt
der Satz:
Liegen sechs Punkte ?(, 95, (, $), @, g einer (7^
auf eineni Kegelschnitt, so treffen die sechs Tan-
genten der C (3) in diesen Punkten die Kurve in sechs
neuen Punkten 51', 93', <', $', (', g', welche ebenfalls
auf einem Kegelschnitt liegen.
10. Konstruktioii der C ^ (lurch ueun willkurlich
und unabhiingig voneinander gegebeue Punkte.
1. Die Erzeugung einer C' (S) durch eiu Kegelschnitt-
biischel und ein niit demselben projektives Strahlbiischel
fuhrt zur Konstruktion der Kurve durch eine zu ihrer Be-
10. Konstruktion der (7 I s ) durch neun willkvirlich etc. Punkte. 73
stimniung notwendige Anzahl von Punkten; da die Kurve
durch die Grundpunkte des Biischels a, b, c, b imd den Mittel-
puiikt des erzeugenden Strahlbiischels selbst hindurchgeht,
und da drei Paare entsprechender Elemente der beiden Ge-
bilde die projektive Beziehung bestimmen, so erhalt man
dadurcb 4 + 1 + 3.2 = 11 Punkte der Kurve, die aber nicht
voneinander unabhangig sind; vielmehr ist scbon der Gegen-
punkt D durch die vier Grundpunkte 0, b, c, b bestimmt,
und auf drei durch ) gelegten Strahlen des Strahlbiischels
liegen je zwei Punkte mit auf einer Geraden. Wir konnen
daher nur die vier Grundpunkte a, b, C, b als unabhangig
voneinander gegeben annehmen und von den Durchschnitts-
punkten eines Kegelschnitts des Biischels mit dem ent-
sprechenden Strahl des erzeugenden Strahlbiischels immer
nur einen; nehrnen wir nur drei solcher Punkte, so ist fur
jede beliebige Annahme von O die projektive Beziehung der
beiden Gebilde gerade erst bestimmt.
Wir wollen daher vier Punkte
e, f, 13, *)
annehmen und den Punkt so zu bestimmen suchen, daB
fur ihn den vier Kegelschnitten :
[abcbe], [abcbfj, [abcbg], [abcb^],
die wir zur Abkiirzung so bezeichnen wollen
[abcb](efgf)) ;
vier Strahlen
| De|, | Of |, |Dg|, | Of, |
projektiv entsprechen, die wir, ebenfalls zur Abkiirzung, so
bezeichnen wollen
Durch die Projektivitat
[abcb](efgt,)AO(ef 9 {))
ist der Punkt D noch nicht bestiinmt, sondern auf einen
gewissen Ort beschrankt, einen Kegelschnitt, welcher durch
efgfy geht und ein bestimnites Doppelverhaltnis fafit. Der
Ort eines Punktes D, welcher nach vier gegebenen Punkten
e, f, g, () vier Strahlen sendet, die ein Doppelverhaltnis von
gegebenem Werte liefern, ist bekanntlich ein Kegelschnitt,
74 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
der so konstruiert werden kann: Man ziehe | ef |, | eg |, | ef) [
und bestimme dutch e denjenigen vierten Stralil t, welcher
mit den drei ersten Strahlen den gegebenen Wert des kon-
stanten Doppelverhiiltnisses liefert, dann wird der Kegel-
schnitt $ (2 \ welcher durch efgf) geht und in e die Gerade t
beriihrt, wodurch er gerade bestimmt ist, der Forderung
der Aufgabe geniigen, also der Ort von O sein.
Der Wert des Doppelverhaltnisses ist aber hier gegeben
durch die vier Kegelschnitte des Buschels
[abcb](efg$),
welches man auf ein Strahlbiischel reduzieren kann ( 4, 5),
indem man entweder in einem der vier Grundpunkte die
vier Tangenten an diesen Kegelschnitten zieht, oder auf eine
gerade Punktreihe, indem man durch einen der Grundpunkte
eine beliebige Transversale zieht, welche den Kegelschnitten
in vier Punkten begegnet, die den Wert des Doppelverhalt-
nisses liefern.
Aus dem Vorigen geht hervor, daB durch die acht
Punkte a, b, c, b, e, f, g, f) nicht nur eine C (3) gelegt werden
kann, sondern unendlich viele; denn jeder Punkt D des ge-
fundenen Kegelschnitts $ (21 darf als Mittelpunkt eines er-
zeugendea Strahlbiischels gewahlt werden, wodurch dann
die ganze Beziehung der beiden erzeugenden prqjektiven Ge-
bilde hergestellt ist, also die C (3) vollstandig bestimmt ist.
2. Nehrnen wir nun einen beliebigen Punkt des
gefundenen Kegelschnitts und konstruieren die durch ihn
vollstandig bestimmte C f(3) , so wird der Kegelschnitt ^ C2)
mit der C (3) auBer den fiinf Punkten e, f, g, t), D noch
einen notwendigen sechsten Schnittpunkt gemein haben,
sodaB die Projektivitat erfiillt wird
[abcbj(efgt)o) A C(efgf)o);
nehmen wir aber einen beliebigen andern Punkt D x des
Kegelschnitts ^ (2) , so erhalten wir dadurch eine andere C. ,
welche durch das Kegelschnittbuschel [obcb] und das Strahl-
biischel [)J erzeugt wird. Aus der Natur des Kegelschnitts
geht aber die Projektivitat hervor
10. Konstruktion der C& durch neun willkiirlich etc. Punkte. 75
O(efgf)o) AD
folglich gilt auch die Projektivitat:
[oucb](efgf)o) AO^efgfjo),
woraus folgt, daB auch die Kurve Of* durch den Punkt
hindurchgehen inuB. Dies gilt fiir samtliche Punkte 0, ) 1} . . .
des Kegelschnitts $ ' 2 \ folglich ergiebt sich der funda-
mentale Satz:
Samtliche Kurven dritter Ordnung C7 (3) , welche
durch acht willkiirlich und unabhangig voneinander
gegebene Punkte 7 b, (,, b, e, f, g, f) gelegt werden
konnen, mussen noch durch eiuen und denselben
notwendigen neunten Punkt hindurchgehen.
Sie bilden ein Kurvenbiischel dritter Ordnung
von gleicher Machtigkeit niit den Punkten eines Kegel-
schnitts & (2) , also von einfach-unendlicher Mannigfaltigkeit
(oe 1 ), wie das ebene Strahlbtischel oder die gerade Punktreihe.
Wir konnen den vorigen Satz auch so aussprechen:
Wenn zwei Kurven dritter Ordnung (7 (3) und Cf }
sich in neun Punkten begegnen, so mufi jede Kurve
dritter Ordnung^ welche durch acht dieser Punkte
hindurchgeht, auch durch den neunten gehen.
Solche neun Punkte bilden eine Gruppe von neun
associierten Punkten, indein jeder derselben als der neunte
notwendige fiir die iibrigen acht aufgefaBt werden kann.
Die vorige Betrachtung gestattet auch die Konstruktion
des notwendigen neunten Punktes 0, sobald die acht Punkte
a, b, c, b, e, \, 9, I) gegeben sind.
Man lege die vier Kegelschnitte:
und konstruiere in der oben angegebenen Weise denjenigen
Kegelschnitt & (2) , welcher durch efg^ geht und das
Doppelverhiiltnis der vier Kegelschnitte faBt; nun vertausche
man b und f) 7 lege also die vier Kegelschnitte:
[af>cl)](efgb)
und konstruiere denjenigen Kegelschnitt . ( *\ welcher durch
e f g b geht und das Doppelverhaltnis dieser vier Kegel-
76 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
schnitte faBt; die beiden Kegelschnitte $ I2) und [ 2 ', welche
die drei Punkte e, f, Q gemein haben, miissen noch einen
vierten gemeinschaftlichen Punkt o haben, welcher der ge-
suchte ist; er kann hiernach bekanntlich auf lineare Weise
konstruiert werden.
3. Der vorige allgemeine Satz liefert eine Menge von
speziellen Fallen, von denen wir nur zwei hervorheben
wollen:
Sind a, b, C, b, e, f irgend seeks Punkte eines Kegel-
schnitts, so konnen die drei Geraden
lab |, |cbf, |ef|
als eine ausgeartete Kurve dritter Ordnung aufgefaBt werden;
ebenso die drei Geraden
I be |, | fa |, |bc|.
Die neun Durchschnittspunkte dieser beiden Kurven
dritter Ordnung bilden also eine Gruppe von neun associ-
ierteri Punkten; sie sind
0, b, C 7 b, e, f und
(ab, be) = p, (cb, fa) = q, (be, ef) = r.
Da jede Kurve dritter Ordnung, welche durch acht
derselben geht, auch durch den neunten gehen mufi, so
muB die ausgeartete Kurve, welche aus dem Kegelschnitt
[obcbe] und der Geraden | pq | besteht, auch durch r gehen;
da aber r nicht auf dem Kegelschnitt liegen kann, weil er
auf der Sehne | ef | liegt, so miissen p, q, r auf einer Ge-
raden liegen, was den Pascalschen Satz giebt.
Wenn zwei tens drei Kegelschnitte &, f\ .f' zwei
gemeinschaftliche Punkte 1, 33 haben, so haben je zwei
derselben noch zwei weitere Punkte gemein, namlich
8 und'^f haben gemein die Punkte ?(, 33, a 1; b,;
(2) i (2) n* \ f <
jv 3 jv x -, -u, u 2 , u.j,
gif^ 1 @( 2 ) or qi ^ t.
*1 r> ^i ?7 ;; ^j ** U 3J v si
demgeniiiB liegen
10. Konstruktion der C ( - 3} durch neun willkiirlich etc. Punkte. 77
auf J 2) die sechs Punkte 51, 23, 2 , b 2 , a 3 , b 3 ;
Fassen wir nun den Kegelschnitt
[5lS3a 2 b 2 a 3 '6 3 ] und die Gerade | a^i |
als eine ausgeartete Kurve dritter Ordnung auf, ebenso den
Kegelschnitt
[^SSOgbgQjbi] und die Gerade | a 2 B 2 |
als eine zweite ausgeartete Kurve dritter Ordnung, so
bilden die neun Durchschnittspunkte derselben eine Gruppe
von neun associierten Punkten; diese sind aber
3t ; S3, a 1? b,, a 2 , b, 7 a 3 , b 3 und (a^ lf a,b 2 ) = o;
da nun von diesen die sechs Punkte
t, 33, a,, B 1; o 2 , b,
auf einem Kegelschnitt liegen, so miissen die drei iibrigen
d 3 , b 3 , auf einer Geraden liegen, d. h. Id-bj), |a 2 b 2 |, Ci 3 b 3 1
sich in einem Punkte schneiden, was den bekannten Satz
giebt:
Wenn drei Kegelschnitte eine gemeinschaftliche
Sekante haben, so miissen die drei iibrigen gemein-
schaftlichen Sekanten je zweier derselben sich in
einem Punkte schneiden.
4. Wenn wir zu den acht beliebig auf der C (3) an-
genommenen Punkten o, b, C, b, e, f, g, ^ die konjugierten
Punkte nehmen a 17 b 17 C 1; b x , C 1? f 17 g u ^ (in dem friiheren
Sinne 2,7), so konnen wir auch zu den letzteren den
notwendigen neunten Punkt konstruieren; schneiden nun die
vier Kegelschnitte
[o, b, c, b](e, f, g, b,)
die C' 3) in den sechsten Punkten e', f , g', b/, so miissen nach
9,8 auch die konjugierten Punkte derselben c,, f{, $[, f){
die sechsten Schnittpunkte der vier Kegelschnitte
[o t , b t , q, bJCej, f u g t , ^)
sein. Da die vier Sehnen
73 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
lee", |ff |, | 99' |, |WI
sich in einem Punkte D der G' (3) schneiden, so miissen, wie
aus dem Friiheren hervorgeht, auch die vier Sehnen
le^l, lf,f,|, llhg'J, IM'il
sich in demselben Punkte D der C (3) schneiden. Legen wir nun
durch e, f, 9, f), D einen Kegelschnitt, so ist sein sechster
Schnittpunkt mit der C (3) der notwendige neunte Punkt o fiir
die Gruppe abcbefgf), und legen wir durch e 1; f 1; g u ^ n O
einen Kegelschnitt, so ist sein sechster Schnittpunkt der
notwendige neunte Punkt fur die Gruppe ft^C^Cj^g}^.
Nun wissen wir aber ( 9,8), daB wenn die Punkte e, f, 9, &,
D, einer (7 (3) auf einem Kegelschnitt liegen, auch die
sechs Punkte e u fj, g u 6,, D, auf einem Kegelschnitt liegen
miissen; also schliefien wir:
Wenn man zu irgend acht Punkten einer G' (3) den
notwendigen neunten der Gruppe von neun associ-
ierten Punkten aufsucht, so ist derselbe identisch
mit dem notwendigen neunten Punkt der aus den
acht konjugierten Punkten der ersteren gebildeten
Gruppe.
5. Da durch acht unabhangig von einander gegebene
Punkte unendlich viele Kurven C (3) gehen, die ein Kurven-
buschel von einfach-unendlicher Mannigfaltigkeit bilden, so
wird durch einen willkiirlich hinzugefiigten neunten Punkt
nur eine C" (3) gehen und durch diese neun Punkte bestimmt
sein. In der That werden wir sie in folgender Weise kon-
struieren konnen:
Wahlen wir der Deutlichkeit wegen eine etwas ab-
geanderte Bezeichnung und nennen
51, S3, , 2), 1, 2, 3, 4, 5
neun willkiirlich und unabhangig voneinander gegebene
Punkte (d. h. solche, von denen keine drei auf einer Ge-
raden, keine sechs auf einem Kegelschnitt liegen und die
nicbt alle neun eine Gruppe von associierten Punkten bilden);
dann legen wir die vier Kegelschnitte
10. Komtruktion der C (S) durch neun willkurlich etc. Punkte. 79
, 2, 3, 4);
und bestimmen denjenigen durch 1,2,3,4 gebenden Kegel-
schnitt $ ( *\ welcher das Doppelverhaltnis dieser vier Kegel-
schnitte fa6t. Zweitens legen wir die vier Kegelschnitte
|$33&] (1235) und bestimmen denjenigen durcb 1235
gebenden Kegelscbnitt ft* , welcber das DoppelverLaltnis
dieser vier Kegelschnitte fa(?t Dann werden die beiden Kegel-
scbnitte SK 2 > und [->, welcbe bereits die drei Punkte 1, 2, 3
gemein baben, nur nocb einen einzigen reellen bestimmten
Punkt 5 gemein haben; derselbe ist der gesucbte Mittelpunkt
des erze ugenden Strahlbiischels, welcbes mit dern erzeugenden
Kegelschnittbiischel in der projektiven Beziebung stebt:
[TOSS)] (12345) A D(12345);
diese beiden projektiven Gebilde erzeugen dann diejenige
f (::) , welcbe durcb die neun gegebenen Punkte geht und
durcb dieselben bestimmt wird. Die Konstruktion des
Punktes C ist linear auszufiihren; er is-t der Gegenpunkt zu
dem Punktquadrupel 91 23 <$).*
6. Um eine Kurve C\ } mit einem Doppelpunkt zu er-
zeugen, konnen wir an Stelle des Kegelschnittbiischels
[S(936^)] eine Strableninvolution || O | setzen und dieselbe
in projektive Beziebung bringen mit einem einfachen Strabl-
biiscbel | O x j ; jedem Strahlenpaar der Strahleninvolution
|| D || entspricbt dann ein bestimmter Strabl des Strahl-
biiscbels | C x ', und der gesamte Ort der Durchschnittspunkte
entsprechender Eleniente dieser beiden erzeugenden Gebilde
ist die C^'\ Jeder Strabl durcb C, enthalt daber noch zwei
Punkte des Ortes, welcber offenbar selbst durch O, geht;
jeder Strahl durch ) enthalt aber nur noch einen Punkt
des Ortes, fur welchen offenbar D ein Doppelpunkt ist.
Dem Strahle | O t D als dem Strahlbiischel O t | angehorig
entspricht in der Strahleninvolution || O |J ein Strahlenpaar,
welches die Tangenten der C d in dem Doppelpunkte sind;
* Diese Konstruktion ist gegeben von C basics in den Comptes
rendus tome XXXVI p. 951 et suiv. Vergl. E. de Jonquieres: Essai
sur la generation des courbes geometriques et en particulier snr celle
de la courbe de quatrierae ordre. Paris 1858.
g() Theorie der ebenen Kurven d fitter Ordnung.
deui Strahle | OD l | als einem Teile eines Strahlenpaares
der Involution | O j| entspricht in dem Strahlbiischel | Oj | die
Tangente der (J d im Punkte O r Aus dieser Erzeugungs-
weise laBt sich die ganze Theorie der CJ 3) ableiten.
Wir wollen nur noch die Konstruktion der C^ geben,
sobald von ihr der Doppelpunkt und die zu ihrer Bestimmung
notwendige und hinreichende Anzahl von weiteren Punkten
gegeben ist; dies sind, wie wir sofort erkennen, noch sechs
Punkte, indem der Doppelpunkt drei in sich einschlieBt.
Denn geben wir den Doppelpunkt D und noch sechs ein-
fache Punkte ) abcbe
so konnen wir das Strahlbiischel
D! | abcbe |
ziehen und nach D eine Strahleninvolution verlegen, die
projektiv ist mit dem Strahlbiischel | O t |, sodaB von fiinf
Strahlenpaaren derselben Teile durch a, b, c, b, e gehen,
und solchen Strahlenpaaren die Strahlen des vorigen Strahl-
biiscfcels D, entsprechend sind. Die Bestimmung dieser
Strahleninvolution || || fiihrt sehr einfach wieder auf das
vorige Problem der Projektivitat zuriick. Wir ziehen namlich
die fiinf Strahlen O I obcbe
I
legen durch D einen beliebigen Hilfskegelschnitt .ff !2) ,
welchem diese fiinf Strahlen bez. in
a', b', c', b', e'
begegnen, und suchen sodann den eindeutig bestimmten
Punkt 9$ auf, fiir welchen die Projektivitat
^ |a'b'c'b'e f | A Oj |abcbe|
erfiillt wird. Die Konstruktion des Punktes ty ist obeu au-
gegeben. Ist ^5 gefunden, so treffen die Strahlen ^3|a'b'c'b'e'|
den Hilfskegelschnitt K^ in fiinf neuen Punkten a", b",
c", b", e", und es ist ersichtlich, daB die Strahlenpaare,
welche D nach o'a", b'b", c'c", b'b", e'e" sendet, eine
Strahleninvolution bilden; diese ist projektiv mit dem ein-
fachen Strahlbiischel | ^8 |, folglich auch mit dem Strahl-
biischel | D x |, und nun haben wir die beiden die C (/ er-
zeugenden Gebilde, das Strahlbiischel | Dj | und die Strahlen-
11. Eine andere Losung der vorhergehenden Aufgabe. 81
involution | O | in projektiver Beziehung, und das Erzeugnis
geniigt offenbar der Forderung der Aufgabe, durch die Punkte
a, B, C, b, e, den Mittelpunkt des erzeugenden Strahlbuschels
\ und den Doppelpunkt D hindurchzugehen.
11. Eine andere Losung der yorliergehenden
Aufgabe.
1. Hat man ein Kegelschnittbuschel [5193()] und ein
Strahlbuschel [D] in projektive Beziehung gesetzt zur Er-
zeugung einer C (3) , und entspricht einem beliebigen Kegel-
schnitt (2) des Biischels der Strahl x des Strahlbiischels [0],
so gehbren die beiden Schnittpunkte
von 3 (2) und x dem Erzeugnis C (3) an.
Zieht man durch einen der vier Grundpunkte des Kegel-
schnittbiischels, etwa durch 2), eine beliebige feste Gerade ?,
welche den Kegelschnitten des Biischels in der geraden
Punktreihe , ,
begegnet, so wird diese vom Punkte t) auf I beschriebene
Punktreihe mit dem Kegelschnittbuschel ( 4, 5), also auch
mit dern Strahlbuschel D | x \ projektiv sein.
Wir legen nun den besonderen Kegelschnitt 3^ 2) , welcher
durch die fiinf Punkte
, S3, S, 2),
geht und der Geraden I in t) begegnet, den veranderlichen
Strahl x aber in j' treffe, dann werden die drei Kegelschnitte
von denen der letzte ein Linienpaar ist, den gemeinschaft-
lichen Punkt 2) haben, also je zwei derselben noch drei
iibrige gemeinschaftliche Punkte, namlich
und < 2)
Xf [to]:ti
Schroter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordu.
82 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Nach einem bekannten Satze (Th. d. K. S. 242): ,,Wenn
drei Kegelschnitte einen Punkt gemein haben, so haben
je zwei derselben noch drei andere Punkte gemein, welche
ein Dreieck bilden; die neun Seiten der dadurch er-
haltenen drei Dreiecke beriihren einen und denselben Kegel-
schnitt", werden daher die Geraden
einen Kegelschnitt $ (2) beriihren.
Lassen wir nun die durch die projektive Beziehung der
beiden erzeugenden Biiscbel gegebene Bewegung in die Figur
eintreten, so verandert sich auch der Kegelschnitt $ (2) , er
wird aber bestandig die vier festen Tangenten behalten
i, ||, \m\, |09 |,
also eine Kegelschnittschar beschreiben; auf einer der vier
gemeinschaftlichen Tangenten dieser Kegelschnittschar be-
findet sich ein fester Punkt D, aus welchem an die Kegel-
schnitte der Schar die jedesmalige zweite veranderliche Tan-
gente x gelegt wird. Diese beschreibt daher ein Strahl-
biischel D|ic| ; welches offenbar projektiv ist mit der Kegel-
schnittschar und auch, wie wir gesehen haben, mit der Punkt-
reihe, welche t) auf I beschreibt; also ist auch die Kegel-
schnittschar projektiv mit der Punktreihe l(ty). Das Tangenten-
paar t) J L j und t) J 2 1 aus jedem Punkte ty an den entsprechenden
Kegelschnitt der Schar wird daher einen Ort umhiillen, der
das dual gegeniiberstehende Erzeugnis einer G' (3) ist, (erzeugt
durch ein Kegelschnittbiischel und ein mit dernselben pro-
jektives Strahlbiischel) also eine Kurve dritter Klasse
ft',
welche die vier gemeinschaftlichen Tangenten der Kegel-
schnittschar und den Triiger der erzeugenden geraden Punkt-
reihe selbst zu Tangenten hat. Hieraus ergiebt sich zugleich
eine andere Erzeugungsweise unserer C' 3 ', welche sich so
aussprechen laBt:
Hat man eine Kegelschnittschar (mit vier ge-
meinschaftlichen Tangenten) und eine mit derselben
projektive gerade Punktreihe (t)) auf dem Trager I,
11. Eine andere Losiing der vorhergehenden Aufgabe. 83
ferner einen auf einer der vier gemeinschaftlichen
Tangenten der Schar gelegenen festen Punkt D, und
legt man an jeden Kegelschnitt der Schar einerseits
aus O die noch iibrige zweite veranderliche Tan-
gente x, andererseits aus deni Punkte ty, welcher
dem Kegelschnitt der Schar entsprechend ist in der
Punktreihe Z(t)), das Tangentenpaar, welches dem
Strahle x in ^ und J 2 begegnet, so ist der gesamte
Ort dieser Schnittpunkte t , J 2 eine Kurve dritter
Ordnung C (3) , die selbst durch D geht, sowie durch
die drei Ecken des Dreiseits, das von den drei
iibrigen gemeinschaftlichen Tangenten der Schar,
die nicht D enthalten, gebildet wird. Nennen wir
dieses Dreieck 5123G, so laufen alle Kegelschnitte, welche
die je sechs Punkte ^)^3^9}Ciia enthalten, durch einen vierten
festen Punkt 2), der ebenfalls auf C r(3) liegt und gleichzeitig
auf I. Das Tangentenpaar | t) ^ | , | t) 2 1 umhiillt eine Kurve
dritter Klasse l3) , deren Zusammenhang mit der C (3) im
Obigen enthalten ist.
Da die Gerade I ganz willkiirlich durch den Grundpunkt
des urspriinglicheii erzeugenden Kegelschnittbiischels ge-
zogen war, so wird auch die zur Bestimmung der Kegel-
schnittschar dienende vierte gemeinschaftliche Tangente
eine frei zu wahlende sein, wenn wir die neue Erzeugung
der C (3) beabsichtigeu.
2. Wir konnen nun aus dieser eine zweite Kon-
struktion der C (3) durch neun willkiirlich und un-
abhangig voneinander gegebene Punkte ableiten, die
sich so gestalten wird:
Seien die neun gegebenen Punkte
H, 33, <, D, 1, 2, 3, 4, 5,
so ziehe man durch O eine beliebige Gerade y und be-
stimme funf Kegelschnitte, welche die vier gemeinsamen
Tangenten
6*
84 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
g
haben und auBerdem zu Tangenten je einen der funf
Strahlen
|01|, I 02 I, |03 , | 04 |, | 05 |;
sodann lege man an jeden dieser funf Kegelschnitte, die
einer Schar angehoren, aus den fiinf Punkten 1,2, 3, 4, 5,
die jedesmal noch iibrige zweite Tangente
HI h > t$ > h) *R
und suche eine Gerade I, welche diese fiinf Geraden t l} t 2 ,
^3; '4? ^5 i n solchen fiinf Punkten
9l> ^27 *)3> 94; 9o
schneidet, daB die Projektivitat erfiillt wird
UW 3 M 5 ) A 0(12345).
Dadurch ist die Gerade I vollstandig und eindeutig be-
stimmt nach dem Problem der Projektivitat, eine Aufgabe,
die dual gegeniibersteht der oben ( 10, b) gelosten, und
deren Ausfiihrung daher keiner Wiederholung bedarf.
Ist die Gerade I gefunden, so kann man in doppelter
Weise verfahren:
1. Jedem Punkt t) der Punktreihe auf I entspricht jetzt
ein bestimmter Strahl x des Stralilbiischels D x und ein
bestimmter Kegelschnitt 3t (2) aus der Schar mit den vier
festen Tangenten ! 2195 !, | SI |, | 93 S , g und der jedes-
maligen fiinften Tangente x. Legt man aus Q an diesen
Kegelschnitt 3 (2) das Tangentenpaar, so schneidet es den
Strahl x in einem Punktepaar J^, dessen gesamter Ort die
Kurve 6'( 3 ' erfiillt.
2. Man lege den b^sonderen Kegelschnitt ^\ welcher
durch die vier Punkte
, 93, 6, O
und den Schnittpunkt
& 9) - *)o
bestimmt wird; dieser schneidet I zum andern Mai in dem
Punkte 2), dem vierten Grundpunkte eines Kegelschnitt-
biischels [51 93 S 2)], welches mit dem Strahlbiischel | x \
projektiv ist, indem immer dem Kegelschnitt [51 93 3)t)] der
11. Eine andere Losung der vorhergehenden Aufgabe. 85
Strahl x entsprechend ist, welcher dem Punkte t) der geraden
Punktreihe auf I entspricht. Diese beiden projektiven Ge-
bilde des Kegelschnittbiischels [5133(5] und des Strahl-
biiscliels [D] erzeugen dann in der fruheren Weise die
Kurve C (z) , welche durch die gegebenen neun Punkte
51, S3, <S, D, 1, 2, 3, 4, 5
hindurchgeht. Durch die Konstruktion des Punktes $),
welche oben gegeben ist, wird zugleich die Aufgabe gelost:
Zu den gegebenen neun Punkten
21, 33, , 5, 1, 2, 3, 4, 5
einen solchen Punkt 3) zu finden, daB die Projektivitat er-
fiillt wird [H$B<3>] (12345) A D (12345).
Diese zweite Losung der Aufgabe nimmt also nicht,
wie die erste Losung, die vier Grundpunkte 21, S3, (E, 2) des
erzeugenden Kegelschnittbiischels als gegeben an und sucht
den zugehorigen Mittelpunkt des erzeugenden Strahlbiischels
(Gegenpunkt), sondern nimmt umgekehrt den Mittelpunkt
des erzeugenden Strahlbiischels und drei von den Grund-
punkten 21, S3, & des erzeugenden Kegelschnittbiischels als
gegeben an und sucht den zugehorigen vierten Grundpunkt
desselben. Die aus dieser Auffassung entspringende Losung
ist verschieden von derjenigen, welche de Jonquieres in
den Comptes rendus tome XLV, 7. September 1857 gegeben
hat. Sie findet sich von ChaslesinLiouville's Journal tome .
XIX pag. 366 ohne Beweis mitgeteilt.
3. Nehmen wir zur Bestimmung einer C (3) nur acht
Punkte an or en re n o Q
21, 93, 5, O, 1, 2, 3, 4,
so ist dieselbe nicht vollstiindig bestimmt, sondern es giebt
unendlich viele C (3 \ welche durch diese acht Punkte gehen;
denn die vorige Konstruktion zur Bestimmung der Geraden
I fiihrt auf die Bedingung
ZftWi) A 0(1234),
welcher nicht bios eine Gerade / geniigt, sondern unendlich
viele, die einen Kegelschnitt (2) umhiillen, der die vier
gg Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Geraden t lf t 2 ,t 3) t beriihrt und das Doppelverhaltnis O(1234)
faBt, d. h. jede Tangente desselben wird von t^t z t^ in vier
Punkten geschnitten, deren Doppelverhaltnis gleich ist
D (1234). Dieser Kegelschnitt < 2) ist dadurch vollstandig
und eindeutig bestimmt und kann in bekannter Weise kon-
straiert werden (s. o.).
Da nun fur I jede beliebige Tangente dieses Kegel-
schnitts $ (2) gewahlt werden kann, so giebt es unendlich
viele C (3) , die ein Biischel von einfach-unendlicher Mannig-
faltigkeit bilden, wie wir schon friiher ( 10, 2) gesehen
haben.
Mit der Kurve C r(3) hangt, wie wir gesehen haben, eine
bestimmte Kurve (3) (1.) zusammen, die von alien Tan-
gehtenpaaren | t)r. x |, | t) J 2 { umhiillt wird. Diese hat nun
mit dem Kegelschnitt (2) , wenn wir eine bestimmte Tan-
gente I als Trager der erzeugenden Punktreihe wahlen, be-
reits die fiinf Tangenten t 1} t 2 , 3 , t^ und I gemein, folglich
notwendig noch eine reelle sechste Tangente, die wir t
nennen wollen, und es muB daher auch die Projektivitat
gelten
Da aber fiir jede beliebige andere Tangente ?' des Kegel-
schnitts $ (2) wegen der projektiven Natur desselben
l&Wtti A l'(WM)
sein muB, so ist auch
d. h. diejenige neue Kurve (3) ', welche vermittelst der er-
zeugenden Punktreihe auf I' konstruiert wird, hat ebenfalls
die Gerade t Q zur Tangente.
Hieraus folgt, daB samtliche Kurven dritter Klasse,
welche die acht gemeinschaftlichen Tangenten haben
I m |, |<5|, m \, g , t lt t. 2) t s , t t ,
noch eine und dieselbe neunte notwendige Tangente haben
und eine Schar von Kurven dritter Klasse bilden, ein dem
friiheren dual gegeniiberstehendes Resultat.
11. Eine andere Losung der vorhergehenden Aufgabe. 87
Zu den vier Strahlen D ( 1 2 3 4) giebt es nun auch nur
einen einzigen bestiniinten Strahl x , welcher der Bedingung
/(M 2 Wo)A {| 01 1, | 02 |, |03 , 04|, * },
und ist derselbe ermittelt (in bekannter eindeutiger Weise),
so wird der Schnittpunkt
(f o; ) =
der neunte notwendige Punkt sein des Kurvenbiischels dritter
Ordnung, welches durch die achtPunkte SI, 93, S, O, 1, 2, 3, 4
bestimmt wird; denn der besondere Kegelschnitt, welcher
die ftinf Geraden
beruhrt, rnuB auch f beriihren, also miissen die beiden
Dreiecke or en re
VlSBli und ##
ihre sechs Ecken auf einem Kegelschnitt 3^ 2) haben; der
durch die Punkte
gehende Kegelschnitt schneidet aber t , wie wir oben ge-
sehen haben, zuin andern Mai in einem Punkte, welcher auf
C (3) Hegt, also liegt der Punkt
C*o*o) =
auf samtlichen Kurven (7 (3) des Kurvenbiischels dritter Ordnung
und ist der notwendige neunte Grundpunkt dieses Biischels,
weil t alien Kurven dritter Klasse ^' (3) der vorigen Schar
als neunte Tangente geineinschaftlich ist.
4. Wir sind also auch von dieser zweiten Erzeugung
der (7 (3) aus zu dem schon in 10,2 gefundenen Resultate ge-
langt; hier tritt aber noch eine andere fundamentale Eigen-
schaft eines solchen Kurvenbiischels dritter Ordnung hinzu,
die wir sogleich anschliefien wollen:
Ziehen wir namlich durch einen beliebigen, aber festen
Strahl #1, so wird jede Kurve C w des Kurvenbuschels demselben
auBer in O noch in einem Punktepaar J 1 j{ begegnen, welches so
bestimmt werden kann: Man nehme eine beliebige Tangente I
des oben ermittelten Kegelschnitts (2) , der t^t^ beriihrt
und der Projektivitat
88 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Z(WsO AD (1234)
geniigt. Dem Strahle x l durch D gehort dann auf I em
bestiinmter projektiv entsprechender Punkt t^ zu, sodaB die
Projektivitat erfiillt wird
l(*0 m W GO Mfi{|Dl| |02| !D3j 1041^};
durcli die fiinf Tangenten
!!, |<|, |S3!, 9t x,
ist ein bestiinmter Kegelschnitt K (2) fixiert, und das Tan-
gentenpaar aus t) l an denselben trifft, den Strahl x l in dem
gesuchten Punktepaar JiJj'. Verandern wir nun I langs des
Kegelschnitts ^! (2) , wahrend x lf also auch der Kegelschnitt
K^ unverandert bleibt, so wird nur der Punkt t) x sich ver-
andern und zwar, wie leicht zu sehen ist, auf einer Geraden
l lf welche Tangente an (2) ist; denn werden vier feste
Tangenten t l} t^, f 3 , t eines Kegelschnitts ^ (2) von einer
variablen Tangente / in vier Punkten getroffen und auf
letzterer allemal ein soldier Punkt t) bestimmt, da6 die
Punktreihe
. . . , ,
(It,} (lt a } (It,} M
immer mit sica projektiv bleibt, d. h. fiir jede andere Tan-
gente V auch
wird, so muB | tjjt)^ | = /j eine feste Tangente des Kegel-
schnitts $( 2) sein, wie aus der bekannten Grundeigenschaft
des Kegelschnitts, welcher durch zwei projektive Punkt-
reihen erzeugt wird
WWt&nl'&WM
unmittelbar sich ergiebt.
Hieraus folgt nun, daB man von den Punkten \) i einer
Geraden ^ die Tangentenpaare an einen festen Kegelschnitt
K (2) zu legen hat und die Schnittpunktpaare derselben mit
einer festen Tangente x t des Kegelschnitts K^' 2) aufzusuchen
sind, um das gesuchte Punktepaar r^rj zu erhalten. Nach
einem bekannten Satze (Th. d. K. S. 152) bilden aber diese
Schnittpunktpaare eine Punktinvolution, und wir erhalten
12. Andere Erzeugungsweisen und daraus hervorgehende etc. 89
eine charakteristische Eigenschaft fiir das Kurvenbiischel
dritter Ordnung:
Zieht man durch einen der neun Grundpunkte
eines Kurvenbiischels dritter Ordnung eine feste
Gerade, welche jeder Kurve des Biischels noch in
zwei weiteren Punkten begegnet, so bilden diese
Paare von Schnittpunkten auf der Geraden eine
Involution von Punktepaaren.
(Es giebt also insbesondere zwei Kurven des Buschels,
welche eine durch einen Grundpunkt gehende Gerade be-
ruhren, ferner lassen sich hiernach solche Kurvenbiischel
wieder in projektive Beziehung setzen zu anderen Gebilden
von gleicher Machtigkeit u. s. w.)
12. Andere Erzeugungsweisen und daraus hervor-
gehende Konstruktionen der C (3 >.
1. Die Erzeugung der C i3) durch zwei Strahleninvolutionen
in projektiver Beziehung und halbperspektiver Lage (3)
fuhrt uns zu einer Verallgemeinerung, welche wieder andere
Erzeugungsweisen und Konstruktionen der C (3) liefert.
Eine Strahleninvolution ist namlich nur ein spezieller
Fall eiues Kegelschnittbiischels, bei welchem samtliche
Kegelschnitte in Linienpaare ausgeartet sind.
Ein Kegelschnittbuschel wird bestimmt durch zwei
Kegelschnitte, deren vier gemeinschaftliche Punkte die
Grundpunkte des Buschels sind. Nehmen wir nun zwei
Linienpaare a 17 66, an, die denselben Doppelpunkt haben
(aaj = (66,) = D
zur Bestimmung eines Kegelschnittbiischels, so werden die
Grundpunkte desselben alle vier in einen und denselben
Punkt D hineinfallen; jeder weitere Kegelschnitt des Buschels
kann mit den beiden Kegelschnitten
t<> = [aaj und 33^) = [66,]
keine anderen Punkte als die vier in D zusammenfallenden ge-
mein haben, mu6 daher auch in ein Linienpaar ausarten,
90 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
welches in O seinen Doppelpunkt hat. Es inuB aber die
charakteristische Eigenschaft jedes Kegelschnittbiischels er-
halten bleiben, da6 namlich jede Gerade von den Kegel-
schnitten des Biischels in Punktepaaren einer Punktinvolution
geschnitten wird; folglich geht dies besondere Kegelschnitt-
buschel in eine Strahleninvolution [D] iiber, deren Strahlen-
paare ausgeartete Kegelschnitte des Biischels sind.
Wir konnen nun an Stelle der beiden erzeugenden
Strahleninvolutionen zwei allgemeine Kegelschnittbiischel
und SS
in projektive Beziehung setzen; ihr Erzeugnis wird dann
eine Kurve vierter Ordnung, weil die beiden auf einer be-
liebigen Geraden g ausgeschnittenen Punktinvolutionen im
allgenieinen vier solche Punkte liefern, in denen ein Punkt
des einen Paares init einein Punkte des entsprechenden
Paares koinzidiert ( 4, 3). Wir konnen es aber so ein-
richten, daB die erzeugte Kurve vierter Ordnung zerfallt,
indem ein Teil der Durchschnittspunkte entsprechender
Elemente eine gerade Linie erfiillt, also der ubrige Ort der
Uurchschnittspunkte eine C (3) erfiillen muB. Dies war auch
bei den beiden erzeugenden Strahleninvolutionen der Fall
wegen ihrer halbperspektiven Lage ; weil in der Verbindungs-
linie ihrer Mittelpunkte zwei Strahlen vereinigt wareu, die
entsprechenden Strahlenpaaren angehorten.
Zwei Kegelschnittbuschel [2193(5] und [^^6^,],
die auf einer Geraden g dieselbe Strahleninvolution aus-
schneiden und durch diese zugleich in projektive Beziehung
gesetzt werden, erfullen die geforderte Bedingung; die
iibrigen Schnittpunktpaare je zwei entsprechender Kegel-
schnitte der Biischel werden daher eine C (3) erzeugen mussen.
Solche Kegelschnittbuschel lassen sich nun auf verschiedene
Art herstelleu.
2. Nehmen wir die neun Punkte
, 93, 6, 2), 1; 93 1; e if 1, 2
beliebig und unabhangig voneinander an, legen den Kegel-
schnitt [SI 95 S 2)1], welcher durch diese fiinf Punkte gerade
12. Andere Erzeugungsweisen und daraus hervorgehende etc. 91
bestimmt wird , und nehmen wir die vier Punkte 5( 1 S3j j 1
als Grundpunkte eines Kegelschnittbiischels an, so wird jeder
Kegelschnitt desselben deni ersten Kegelschnitt [5123G$)1]
auBer in dem Punkte 1 noch in drei iibrigen Punkten be-
gegnen, die ein Dreieck bilden. Die Seiten aller dieser
Dreiecke urahullen bekanntlich (Th. d. K. S. 242) einen
Kegelschnitt (2) , welcher auch dem Dreieck Sl^G^ ein-
beschrieben ist.
Nehmen wir in gleicher Weise den festeu Kegelschnitt
[5(23 3) 2] und legen ein Kegelschnittbuschel durch die vier
Grundpunkte 8 1 iB 1 ( t 2, so schneiden die Kegelschnitte des-
selben den festen Kegelschnitt auBer in 2 noch in je drei
Punkten, die ein Dreieck bilden. Die Seiten aller dieser
Dreiecke umhiillen ebenfalls einen Kegelschnitt $t { *', der dem
Dreieck < $i i ^8 l ^ l einbeschrieben ist.
Nun haben die beiden Kegelschnitte $ (2) und $j (2) bereits
drei gemeinschaftliche Tangenten
j^su | HA I, I8AI,
folglich noch eine vierte reelle gemeinschaftliche Tangente
(/, die in linearer Weise zu konstruieren ist. Diese Gerade
g muB die doppelte Eigenschaft besit/en, daB sowohl die
beiden Schnittpunkte von g und [51S3SS)1] mit den vier
Punkten 5l n 23j , S 17 1 auf einem Kegelschnitt liegen, als
auch die beiden Schnittpunkte von g und [?(S3S2)2] mit
den vier Punkten 51,, 23^ S n 2 auf einem Kegelschnitt
liegen. Nennen wir diese beiden Kegelschnitte
K?> und K^\
so werden sie auBer den drei gemeinschaftlicheri Punkten
Sl u SSj, S, noch einen reellen vierten gemeinschaftlichen
Punkt CTN
haben, der in linearer Weise koustruiert werden kann.
Jetzt besitzt also die gefundene Gerade g die verlangte
Eigenschaft, daB die beiden Kegelschnittbuschel
[3193<S>] und r^SB^S),]
auf der Geraden g dies el be Punktiuvolution ausschneiden,
welche durch die vorigen beideu Punktepaare bestimmt
92 Theorie dei- ebenen Kurven dritter Ordnung.
wird. Die iibrigen beiden Schnittpunkte je zweier ent-
sprechender Kegelschnitte, welche durch dasselbe Punkte-
paar der Involution auf g hindurchgehen, werden daher eine
Kurve (7 (3) erfiillen, welche durch die gegebenen neun Punkte
21, 93, (, $), St 1; 93,, ,, 1, 2 hindurchgeht. (Diese Losung
des Problems ist von Chasles in den Comptes rendus tome
XXXVI, 30. Mai 1853 angegeben.)
3. Nehmen wir andererseits die neun Punkte
, S3, <, 95,, < 1, 2, 3
beliebig und unabhangig voneinander an und legen die durch
je funf Punkte bestimmten beiden Kegelschnitte
[8<E12] und [!!! 12],
so haben dieselben auBer 12 noch zwei weitere gemein-
schaftliche Punkte, deren immer reelle Verbindungslinie
die zweite gemeinschaftliche Sekante
9
der beiden Kegelschnitte ist. Nennen wir das (reelle oder
konjugiert-imaginare) Punktepaar auf g
dann schneiden die durch je vier Punkte als Grundpunkte
bestimmten beiden Kegelschnittbiischel
[5193(53] und [ t 93^! 3]
auf g zwei Punktinvolutionen aus, welche ein gemeinschaft-
liches (reelles oder konjugiert - imaginares) Punktepaar:
haben. qqi
Die beiden Punktepaare
pp! und qq,
bestimmen auf g eine neue Punktinvolution [j jj , und die
beiden Kegelschnitte
laufen daher jeder durch einen vierten festen Punkt
2) und 3) u
welche durch zwei dieser Kegelschnitte bestimmt werden.
12. Andere Erzeugungsweisen und daraus hervorgehende etc. 93
Die beiden Kegelschnittbiischel
[SI 93] und [Sl^A^i]
schneiden auf der Geraden g dieselbe Punk {involution aus
und sind vermittelst derselben in projektive Beziehung ge-
setzt. Der Ort der iibrigen beiden Schnittpunkte zweier
entsprechenden Kegelschnitte der projektiven Biischel wird
daber eine (7 (3) sein, welche durch die gegebenen neun Punkte
21, S3, , St n 93j, !, 1,2, 3 hindurchgeht. (Diese Losung
des Problems ist von Cbasles in den Comptes rendus tome
XLI, 24. Decembre 1855 angegeben.)
In dem Falle, daB das Punktepaar pp x konjugiert-
imaginar ist, wird es durch eine elliptiscbe Punktinvolution
vertreten, die den beiden Kegelscbnitten [91 23 12] und
[Sl^j Sj 12] gemeinsam zugehort. Auch das Punktepaar q,q t
kann konjugiert-imaginar sein, sobald namlich die beiden
Punktinvolutionen, welche [21 33 63] und [Hj&^S] auf g
ausschneiden, beide hyperbolisch sind, und ihre Doppelpunkte
sich trennen; diese beiden Paare von Doppelpunkten be-
stimmen aber dann eine neue elliptische Punktinvolution,
deren konjugiert-imaginare Doppelpunkte q, q x sind. Wir
haben also auf g zwei elliptische Punktinvolutionen, die
immer ein reelles gemeinsames Paar konjugierter Punkte
besitzen. Diese bilden alsdann die Doppelpunkte einer hyper-
bolischen Punktinvolution auf g, welche die gesuchte [jjj ist.
4. Es lafit sich noch in anderer Weise das Erzeugnis
zweier projektiven Kegelschnittbiischel (eine Kurve 4. 0.)
so zerf alien, daB eine gerade Linie herausfallt und nur noch
eine (7 (3) ubrig bleibt. Wenn wir namlich in den beiden
projektiven Kegelschnittbuseheln
und Sfc
denjenigen Kegelschnitt des ersten Bfischels, welcher aus
dem Linienpaar | 2193 und | 6 | besteht, demjenigen des
zweiten Biischels, welcher aus dem Linienpaar ISljSJ und
I ii I hesteht, entsprechen lassen und die Grundpunkte
so wahlen, daB die Strahlen
94 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
identisch zusammenfallen , dann werden samtliche Punkte
dieser Geraden der Bedingung des Ortes genugen und der
Ort der iibrigen Schnittpunkte entsprechender Elemente
beider projektiven Gebilde wird eine 6 r(3) sein. Wir er-
reichen dies am besten, indem wir identifizieren
= ! und 93 = S3 l5
dann werden aber die Punkte S und S 1 1 nicht mebr
unabhangig voneinander sein, denn da das Linienpaar 2193|
und j 3) | dem Linienpaare | 2193 | und | S,^ | entsprechen
soil, so muB der Schnittpunkt
dem Orte 6" (3) angehoren. Diese Punkte diirfen also nicht
mehr willkurlich gewahlt werden, sondern nur drei von
ihnen; wir wahlen ($) und S x und sucheii i dann so zu
bestimmen, daB das Erzeugnis auBerdem eine zu seiner Be-
stimmung notwendige und hinreichende Anzahl weiterer
Punkte enthalt. Wir werden sogleich sehen, daB hierzu
noch vier weitere Punkte
1, 2, 3, 4
notwendig und hinreichend sind, damit das Problem ein
vollig bestimmtes werde. Damit nun auch dem Linienpaar
| 91 S3 | und | ($ | das Linienpaar ! 2193 j und e^J ent-
sprecbend sei, miissen wir nocb einen iibrigens beliebigen
Punkt . . OTfl , ,
o auf I SlJo |
annehmen und konnen dann die Aufgabe so formulieren:
Es sind neun Punkte
, 93, <E, , (,, 1, 2, 3, 4
willkiirlicb und unabhangig voneinander gegeben; man nimmt
einen beliebigen Punkt 5 auf | 2193 an und verlangt
einen solchen Punkt S) t zu ermitteln, daB die Projektivitat
erfullt wird
[S3(3)](12345) A [21S3S,,] (12345),
in welcher allein der Punkt < S) l unbekannt, alle iibrigen ge-
geben sind. Denn da 2t, 93, 5 auf einer Geraden liegen, so
13. Beziehungen zwischen den Beriihrungspunkten etc. 95
muB der Kegelschnitt [S193&SD5] in ein Linienpaar aus-
arten | 3133 | und | ( |, und ebenso der entsprechende
Kegelsehnitt in das Linienpaar | 51 93 | und | (S t S) t | , und
beide Linienpaare haben die Gerade j SIS j gemeinschaftlich,
welche mithin aus dem Erzeugnis herausfallt, so da6 nur
die Kurve (7 (S) ubrig bleibt, welche durch die gegebenen
neun Punkte hindurchgehen wird.
Das durch die vorgeschriebene Projektivitat gegebene
Problem ist aber schon von uns gelost ( 11,2), denn das
Kegelscbnittbuschel [$$($)] (12345) ist auf ein bekanntes
einfaches Strahlbfischel zu reduzieren, z. B. durch die funf
Tangenten derselben in ein em der vier Grundpunkte, und
es bleibt also in dem Kegelschnittbuschel
[SI 23^$,] (12345)
mit dem noch unbekannten Grundpunkt S) t dieser so zu
bestimmen, da6 die funf Kegelschnitte den fiinf Strahlen
eines bekannten Strahlbuschels projektiv entsprechen.
Die in 11,2 gegebene Losung zeigt uns, da6 es nur
einen einzigen solchen Punkt SD X giebt und wie derselbe auf
lineare Weise konstruiert werden kann.
13. Beziehungen zwischen den Beriihrangspunkten
der Tangentenquadrupel, welche aus Punkten der <7< 3)
an dieselbe gehen.
1. Wir haben in 9, 6 gesehen, daB im allgemeinen
aus einem Punkte O der C (3) vier Tangenten an dieselbe
gehen (aufier der Tangente in O selbst), und daB die vier
Beruhrungspunkte derselben auf einem Kegelschnitte mit O
liegen, der in O dieselbe Tangente hat, wie die C (3) .
Nennen wir denjenigen Punkt, in welchem irgend eine
Tangente in einem Punkte SI der C (3) derselben zum dritten
Mai begegnet, den Tangentialpunkt zu dem Beruhrungs-
punkte SI, so konnen wir den vorigen Satz auch so aus-
sprechen, daB das Tangentenquadrupel denselben Tangential-
punkt D hat.
96 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Haben irgend zwei Punkte und b der C^ die Tan-
gentialpunkte 31 und S3, und schneidet | 2123 in (, | ab | in
c die Kurve zum dritten Mai, so muB auch der Tangential-
punkt fur C sein ( 8, 4). Wir konnen nun umgekehrt sagen:
Schneidet eine Gerade die C (3) in drei Punkten 51, 93, &,
deren jeder ein Tangentenquadrupel an die C (3) sendet, und
man niinmt irgend einen Beriihrungspunkt aus dem ersten Tan-
gentenquadrupel, verbindet ihn mit irgend einem Beriihrungs-
punkt aus dem zweiten Tangentenquadrupel, so muB die Verbin-
dungslinie durch einen gewissen Beriihrungspunkt aus dem
dritten Tangentenquadrupel hiudurchgeheu. Diesen Zusammen-
hang der zwolf Beriihrungspunkte wollen wir naher untersuchen.
2. Wir nehnien eine Gerade g, welche C (3) in den drei
Punkten 51, 93, ( begegnet, nennen die Beriihrungspunkte
der Tangentenquadrupel aus
31 93 <
0^0304, b^b^, c^c,,
indem wir uns die Anordnung der Bezeichnung noch vor-
behalten, und nennen
Cj den dritten Schnittpunkt von | a^j |,
dann. wird | a i 'b i \ nicht in Cj schneiden konnen, sondern
entweder in C 2 oder C 3 oder C 4 ; wir nennen
C 2 den dritten Schnittpunkt von | a^bj |
(ohne dadurch eine Beschrankung einzufiihren); wir ziehen
| C^B! |, deren dritter Schnittpunkt weder c : noch C 2 sein
kann, sondern nur noch entweder Cg oder C 4 (weil sonst vier
Punkte der C^ auf einer Geraden lagen); wir nennen
C 3 den dritten Schnittpunkt von | a 3 bj |,
dann muB notwendig
C 4 der dritte Schnittpunkt von | Qjbj |
sein. Nehmen wir nun einen der drei iibrigen b- Punkte,
so kann dies entweder nur b 2 oder b^ oder b 4 sein; verbinden
wir ihn mit Q 1; so muB diese Verbindungslinie durch einen
der c- Punkte gehen. Nennen wir denjenigen Puakt b 2 ,
dessen Verbindungslinie mit a x durch Cj geht, so haben wir
in einer Geraden. a i> "2? 2
13. Beziehungen zwischen den Beruhrungapunkten etc. 97
Wir haben nunmehr die drei Geraden
also bilden diese Punkte eine Gruppe von neun associierten
Punkten ( 10, 2) ; da aber C 2 C 2 auf einer Geraden liegen ;
well ( der Tangentialpunkt zu C 2 1st, so mussen die sechs
Punkte or 01 t
$, 23, a n b,, a 2 , b 2
auf einem Kegelschnitt liegen; nun liegen aber auch die drei
Punkte Q, c : , c : auf einer Geraden, also bilden die neun
Punkte or en
21, 23, , a,, b 1; c 17 a 2 , f> 2 , q
wieder eine Gruppe von neun associierten Punkten; von
diesen liegen aber 5193S auf einer Geraden, Ci^^ auf einer
zweiten Geraden, folglich miisseu auch
Q 2 b 2 C 1
auf einer dritten Geraden liegen.
In gleicher Weise folgt, wenn wir einen der beiden
noch iibrigen Punkte b 3 oder b 4 nehmen, dessen Verbindungs-
linie niit d l ebenfalls durch einen der vier c- Punkte liin-
durcligehen niuB, und denjenigen Punkt b 3 nennen, dessen
Verbindungslinie nait QJ durch C 3 geht, also
QI^CS
in einer Geraden liegen, da6 die drei Geraden
neun Punkte einer associierten Gruppe bilden, und da wieder
C 3 C 3 auf einer Geraden liegen, so miissen die sechs Punkte
2(, 23, a,, a 3 , b,, b 3
auf einem Kegelschnitt liegen. Fiigen wir die drei in einer
Geraden liegenden Punkte (, c 15 c, hinzu, so bilden auch
die neun Punkte
SchrSter, Thcorie der ebenen Kurven 3. Ordn 7
93 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
eine Gruppe von neun associierten Punkten, und da
auf einer Geraden, d^C, auf einer zweiten Geraden liegen,
so mussen auch rt t ,
u 3 u 3 4
auf einer Geraden liegen.
Nehmen wir endlich den letzten Punkt b 4 und verbinden
ihn mit Q u so rnuB auch diese Verbindungslinie durch einen
der vier c-Punkte gehen. Es kann aber | fl^] nicht durch
C x gehen, well l^cj schon b x enthalt, auch nicht durch (X 2 ,
weil | C^Ca : schon 6 2 enthalt, auch nicht durch C 3 , weil
| c^Cg | schon b s enthalt, folglich muB | 0^4 durch C 4 gehen.
Wir haben daher n h r
krt+4
auf einer neuen Geraden, und hieraus folgt wieder in
gleicher Weise, wie vorhin, daB auch
a 4 b,q
auf einer Geraden liegen mussen. Zu diesen zehn erhalteuen
Geraden treten nun noch sechs weitere. Ziehen wir niim-
lich |a 2 b 3 |, so kann diese Gerade weder durch c n noch
durch C 2 , noch durch C 3 gehen, folglich mu6 sie durch C 4
gehen, also liegen fc
2 3 *
auf einer Geraden; ziehen wir j Ct 2 b 4 |, so kann diese Gerade
weder durch C 1? noch durch %, noch durch C 4 gehen, folglich
muG sie durch C 3 gehen, also liegen
2 4 C 3
auf einer Geraden; ziehen wir j Q 3 B 2 |, so kann diese Gerade
weder durch c u noch durch C 2 , noch durch c s gehen, folglich
muB sie durch C 4 gehen, also liegen
O 3 b 2 c 4
auf einer Geraden; ziehen wir | Q 3 b 4 |, so kann diese Gerade
weder durch C 1? noch durch C 3 , noch durch C 4 gehen, muB
also durch C 2 gehen, also liegen
Q 3 6 4 C 2
auf einer Geraden; ziehen wir | Q 4 b 2 |, so kann diese Gerade
weder durch C 1} noch durch C 2 , noch durch C 4 geheu, muB
also durch C 3 gehen, also liegen
13. Beziehungen zwischen den Beruhrungspunkten etc. 99
a 4 b 2 c 3
auf einer Geraden; und ziehen wir endlich | Q 4 b 3 |, so kann
diese Gerade weder durch c j; noch durch f 3 , noch durch C 4
gehen, muB also durch C 2 gehen, also liegen
Q 4 b 3 c 2
auf einer Geraden. Mehr Verbindungslinien aus den Gruppen,
die von den fruheren verschieden waren, lassen sich aber,
wie leicht zu sehen ist, iiberhaupt nicht ziehen, also erhalten
wir nach der gewahlten Bezeichnungsweise folgendes Schema
von 16 Geraden:
l a 2&l C 2i> l a 2&2 C ll> i^fy?^'? i a 2&4 C 3'>
Dies liefert eine merkwiirdige Kon figuration von
zwolf Punkten und 16 Geraden, indem auf jeder der
16 Geraden drei der zwolf Punkte liegen, und durch
jeden der zwolf Punkte vier der 16 Geraden gehen.*
3. Diese Konfiguration fiihrt zu einer Menge von weiteren
Beziehungen. Nehmen wir namlich von den zwolf Punkten
flj b/, Cj (i = i, 2, 3, 4) irgend drei solche heraus, welche nicht
in einer Geraden liegen, z. B.
so schneiden die Verbindungslinien je zweier
| aAl zum dritten Mai in C 2 ,
I **1 *-3 | 11 11 11 11 3)
It. - I rt
2 C 3 I 11 11 11 11 "4
und es liegen nach unserm Schema (S)
4 b 3 C 2
auf einer Geraden. Dies giebt folgenden Satz:
* Vergl. O.Hesse: ,,tJberKurven dritter Ordnung und die Kegel-
schnitte, welche diese Kurven in drei verschiedeaen Punkten beriihren".
(Crelle's Journal f. Math. Bd. XXXVI S. 153.)
7*
100 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Schneidet eine Gerade g die (7 (S) in den Punkten
21,23,, und man legt aus jedem derselben eine be-
liebige Tangenfce an C (3) (aus jedem Tangenten-
quadrupel je eine beliebige), welche in obc beriibren
mogen, dann schneiden die drei Seiten dieses Drei-
ecks | be |, | ca j, | rib | die C (y > in drei neuen Punkten,
welche in einer Geraden liegen.
Dies folgt auch daraus, daB a, b, C drei Punkte "sind, in
welcben ein Kegelschnitt die (7 (3) beriihren kann (als spe-
zieller Fall von dem Satze 9, 5).
Wir wissen ferner, weil die drei Punkte 21, a 1} ^ auf
einer Geraden liegen (denn 21 ist der Tangentialpunkt zu
fl ') und durch 21 die Gerade
i n i 2 2
geht, da6 die secbs Punkte
93, G, & q, 6 2 , C 2
auf einem Kegelscbnitt liegen miissen; stellen wir diese zu
dem Pascalscben Sechseck zusammen
^86,^(4,
so folgt, daB die drei Scbnittpunkte
auf einer Geraden liegen miissen; aus gleicbem Grunde
liegen aucb
Cg), (95 6 4 , Sc 4 ), Q 2 auf einer Geraden,
Cl ), 086 3 , Cc.), 3
(93b 2 , Sc 2 ), (93b 4 , ScJ, a 3
(93b 2 , c,), (93b 3 , c 3 ), a 4
Bezeicbnen wir daber die vier Punkte
= a,,
so baben wir gefunden
13. Beziehungen zwischen den Beriihrungspunkten etc. 101
in je einer Geraden, also
(8^, 2 3 4 ) = Q 2; (8j8 3 , 8 2 8 4 ) Q 3 , (M4> Ms) = a 4>
d. h. Q 2 Q 3 a 4 das Diagonaldreieck des vollstandigen Vierecks
MM*
Andererseits wissen wir auch, daS 9td 4 d 4 auf einer
Geraden liegen (weil 51 Tangentialpunkt fiir a 4 ist), und es
durch 51 die Gerade
folglich liegen die sechs Punkte
, , &i
auf einem Kegelschnitt, und das Pascalsche Sechseck
b^B^^Cg
liefert die Pascalsche Gerade der drei Punkte
(SSb,, <c 4 ), (S3b 2 , (Scs), (b lCs , b 2 c 4 ) - Q 3 ;
da nun identisch
und auBerdem
a 3 =(^i g 3; 2^4);
so muB auch das Sechseck
gjSBS^tES,
ein Pascal sches sein, also die sechs Punkte
S3, , u 2 > s; 4
miissen auf einem Kegelschnitt liegen; die beiden Strahl-
S3 (8,8, 3 8J A <& 8,8,84)
miissen daher projektiv sein oder die mit ihnen identischen
Strahlbiischel ^(bjb^bj A ^(q^CgCj, d. h.
Legt man aus irgend zwei Punkten S3 und (5 die
Tangentenquadrupel, so sind die aus ihnen ge-
bildeten Doppelverhaltnisse einander gleich (in
gehoriger Zuordnung), ein Satz, den wir schon friiher auf
102
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
andere Weise bewiesen haben ( 9, e). Hier zeigt sich zu-
gleich, wie die Zuordmmg geschehen rnuB.
Aus der bekannten Eigenschaft des Doppelverhaltnisses
folgen noch die drei ubrigen Projektivitaten
S3(b,b 2 b 3 b 4 ) A Sfe
4. Die beiden Tangentenquadrupel aus S3 und ( durch-
schneiden sich im Ganzen in 16 Punkten, die wir in fol-
gender Weise bezeichnen konnen
(23 b,, (0 = ^5 (S3b 17 ec 2 ) = 12 ; (SSb,, Sc 3 ) = 3 13 ; (S3b 1? c 4 ) =
/* (i, k = 1, 2, 3, 4),
wobei aber ,-* und *,- wesentlich voneinander verschieden
sind, indem der erste Index sich irnmer auf S3, der zweite
auf S bezieht. Nach dieser Bezeichnung haben wir zwischen
den 16 Durchschnittspunkten der beiden Tangentenquadrupel
aus S3 und (, und den vier Punkten o u cu, a Q , 0., die
24 Geraden, welche je drei Punkte enthalten
Q.Sjo^a, I, i Qo^nS,
1 12 ml If \ & 11
2 , 3 ,
(T)
Mi 3^3
MAl, |Q2 23
04^12^
'34 1 7
Ferner ergiebt sich aus der Gleichheit der Doppel-
verhaltnisse (3.)
23S n 22 <o 33 > J4 auf einem Kegelschnitt $t^,
"3 '
S; (2)
13. Beziehungen zwischen den Beriikrungspunkten etc. 103
Folglich wird fur den Kegelsclmitt ^^, da
(8n 227 3344) = fl 2;
(811833, 2244) = 3 >
(3 n 3 4 4, 22 33 ) = a 4
ist, Q 2 3 a 4 e i n Polardreieck (selbstkonjugiertes Drei-
eck) sein.
Fur den Kegelschnitt ^ 2) wird
also 1st
(12 34? 2143) = Q 4
(12 43? 21 34) = 3
ein Polardreieck.
Fur den Kegelschnitt ft ist
(1331> 2442) = a i>
(1324> 31 42) = 0l>
(13842? 3124) = Q 27
also ist 0^304 ein Polardreieck, und endlich fur den Kegel-
schnitt tf ist:
(14 415 23 32) = Q l
(14 23? 41832
(814832? 41 23)
Wir bemerken auch, weil die
3344
also OiQ 2 Q 3 ein Polardreieck.
beiden Sehnen
811822!
des Kegelschnitts $^ sich in Q 2 schneiden, daS alle durch Q 2
gezogenen Strahlen den Kegelschnitt in Punktepaaren
treffen mussen, welche von S3 (oder () aus gesehen unter einer
Strahleninvolution erscheinen; insbesondere ist ein Strahlen-
paar der durch a. 2 gehende Strahl und die Tangente in S3
(oder (); da aber die Strahl enpaare
und
S3b und
eine Strahleninvolution bestiminen, welcher auch das Strahlen-
paar ] ^Bc^ | und | S3a 2 | angehoren muB, weil
: und Q 27 14 und 23 , 41 und 32
die drei Paar Gegenecken eines vollstandigen Vierseits
sind [Tab. (T;] ; so wird SSOi | die Tangente in S3 am Kegel-
104 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
schnitt $ x sein, und aus gleichem Grunde wird | Sc^ | die
Tangente in (S am Kegelschnitt $ t (2) sein; mithin ist Q 1 der
Pol von | 93 | fur den Kegelschnitt flf } .
Wir konnen somit den vorigenResultaten noch hinzufiigen:
Fiir den Kegelschnitt ft sind a, und |93&| Pol und Polare,
6(2)
C 2
fcOO
Zusammengefafit erhalten wir folgenden Satz:
Schneidet eine Gerade g die 6 t(3) in den drei
Punkten 51, 93, (, und haben die Tangentenquadrupel
aus 5t, 93, an die (7 (3) bez. die Beruhrungspunkte
a iM 3 4> BjBgBabj, C^CgC^
so schneiden sich die beiden Tangentenquadrupel
aus 93 und ( in 16 Punkten, von denen viermal vier
Durchschnittspunkte:
3,'* (i, &=1, 2, 3, 4)
mit 93 und ( auf je einem Kegelschnitt liegen
Fur diese vier Kegelschnitte sind die Pole der
Geraden g die vier Beruhrungspunkte (a/) des Tan-
gentenquadrupels aus SI; fur denjenigen Kegel-
schnitt $| 2) , fur welchen a, und g Pol und Polare
sind, bilden die drei iibrigen Punkte a ein Polar-
dreieck, namlich das Diagonaldreieck desjenigen
vollstandigen Vierecks, welches von den vier Punkten
,* gebildet wird und dem Kegelschnitt ^ 2) ein-
beschrieben ist.
Dieser Satz gilt natiirlich dreimal, da wir 51, 93, niit-
einander vertauschen konnen.
5. Da nach Tabelle (T) die Punktepaare
Oj und Q 2 , 14 und 23 , 8 41 und 32
die drei Paar Gegenecken eines vollstandigen Vierseits sind,
also z. B. von dem Punkte 93 aus gesehen unter den drei
13. Beziehungen zwiscben den Beruhrungspunkten etc. 105
Strahlenpaaren einer Involution erscheinen, so erhalten wir
die drei Strahlenpaare
(SaJ und 23a 2 |,
; 33^1 = 1^ | und |3 88 |EE|b,|,
| 41 |= 93b 4 l und |93 32 | = |S3B 3 ,
d. h. die drei Strahlenpaare
| 23d, | und |S3a 2 |, I23BJ und |23B 2 |, $8B 3 | und |23B 4 |
als einer Strahleninvolution angehorig.
Andererseits sind aber infolge des Schema (S) (2.) auch
die Punktepaare
0,02, B^.,, CjCg,
die drei Paar Gegenecken eines vollstandigen Vierseits; also
gehoren auch die drei Strahlenpaare
jSoJ und |93o 2 |, ^ | und 93b 2 |, | Sc, | und | %% \
einer Involution an, welche mit der vorigen identisch ist,
weil sie zwei Strahlenpaare mit ihr gemein hat.
In gleicher Weise folgt aus der Tabelle (S) wegen des
vollstandigen Yierseits, dessen drei Paare Gegenecken sind
o x und 2 , B 3 und b 4 , C 3 und C 4 ,
da6 auch die Strahlenpaare
SBflj und|93o 2 |, |S8B 3 und | S36 4 , 93c 3 und|S5c 4 |
einer Involution angehoren, die ebenfalls mit der ersten
identisch ist, weil sie zwei Strahlenpaare mit ihr gemein
hat; und endlich wegen des vollstandigen Yierseits, dessen
drei Paar Gegenecken
o s und o 4 , B 3 und B 4 , q und C 2
sind, daB auch die Strahlenpaare
|SBo 3 i und |S3o 4 |, |93B 3 | und |23BJ, jSBcJ und |S3c 2 |
derselben Strahleninvolution angehoren.
Wir haben derngemaB sechs Strahlenpaare einer und
derselben Strahleninvolution
\OQ Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
93 0,| und
93b,
93 b 3
Sc,
Es wiirde ermiidend sein, wollten wir dieselbe Betrachtung
wiederholen, indem wir von andern vollstandigen Vierseiten
ausgehen, wie sie die Tabelle (T) und das Schema (S) in
groBer Menge darbieten. Es geniige, das leicht abzulesende
Resultat anzugeben; es zeigt sich namlich, daB 93 gleich-
zeitig der Mittelpunkt fur drei verschiedene Strahleninvo-
lutionen wird, deren Strahlenpaare nach den Beriihrungs-
punkten a.-, b,-, C t - hingehen; jede solche Strahleninvolution weist
sechs Strahlenpaare auf Dasselbe gilt fur & und natiirlicli
auch fiir SI, weil diese Punkte beliebig miteinander ver-
tauscht werden diirfen. Wir erhalten demgemaB drei
Gruppen von je drei Strahleninvolutionen, deren Strahlen-
paare wir so zusammenstellen konnen:
I.
,
II.
93oJ, 1930,1,
93o 3 |, |93o 4 |,
8BJ, |93b 2 |,
93 Cl U23c 2 ,
,lC,lj
So, |, I So, I,
eaj, |ea 4 |,
^ ?
93o t |, | 80, |,
93a 2 |, 93o 4 |,
93b 2 |i |93b 4 |!
fflcj, |93c 3 |,
93c 2 |, |93c 4 |;
So, I,
6i , |Sb.|,
ScJ, |c,|,
c s , |6c 4 |;
14. Weitere Beziehungen uad Folgerungen aus denselben. 107
III.
2ta 4?
2lb 4 |.
21 c,
21 c
3 I)
it,
95o 2 |, 1890,1,
95b,|, |95b 4 -,
S3 b 3 1, |95b 3 ,
95c,i, |95c 4 ],
95 c.
Von solchen drei Strahleninvolutionen I, II, III,
aus 2(, die bestimmt werden durch zwei Paare, welche
auf drei Arten aus den vier Strahlen
5la
3 ,
bilden lassen, sind bekanntlich (wenn die vier Strahlen
sind) immer zwei kyperbolisch und eine elliptisch. (Th.
S. 56) (Siehe 15.)
z. B.
sich
reell
d. K.
14. Weitere Beziehungen und Folgerungen
aus deuselben.
1 . Lassen wir in dem allgemeinen Satze ( 1 ,'5, 4) ins-
besondere die Punkte 58 und (S zusammenfallen, so fallt das
Tangentenquadrupel aus 95 auch mit dem Tangentenquadrupel
aus ( zusammen und die Schnittpunkte
117 227 337 44
gehen in die Beriihrungspunkte iiber des Tangentenquadrupels
aus 95 = S. 21 wird der Tangentialpunkt zu 95 = S. Der
Kegelschnitt f ] geht in die konische Polare 95 (2) des Punktes
58 riicksichtlich der C^ 3) iiber, und das Diagonaldreieck
fallt identisch zusamnien ( 13, 4) mit dem von den drei
iibrigen Beriihrungspunkten der Tangenten aus 5t an die
C (3) gebildeten Dreieck, wahrend die aus 51 gehende vierte
Tangente | 5193
wir den Satz:
den Beriihrungspunkt 58 hat; also erhalten
1Q8 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Geht aus einem Punkte 2( der C (3) das Tangenten-
quadrupel ^^ ^^ ^^ , ^
an dieselbe, dessen Beriihrungspunkte d lf a 2 , a 3 , 4
sind, und legt man aus einem derselben, z B. aus
Oj, aufs neue das Tangentenquadrupel
1*1*! , I M* I; I fl^s I, IMJ
an die C (3) , dessen Beriihrungspunkte t 1; t 2 , t 3 , t 4
seien, so bilden dieselben ein vollstandiges Viereck r
dessen Diagonaldreieck
(tlt 2 , tgtj = 0,,
(t^, t 2 t 4 ) = a 3 ,
(M 4 , t 2 t 3 ) = Q 4
identisch zusanimenfallt niit dem Dreieck, welches
von den drei iibrigen Beruhrungspnnkten
a. 2 , a 37 o 4
gebildet wird.
Durch das vollstandige Viereck ^131314 gehen drei
Linienpaare, deren Durchbohrungssehnen mit der C (3}
(namlich die Tangenten in a 2 a 3 d 4 ) durch den Punkt SI laufen;
folglich ist 21 der Gegenpunkt des Punktquadrupels 1^21314
( 9, i). Geht nun durch 2( die beliebige Gerade j 193 1, wie
friiher, so miissen auch die sechs Punkte
93, 6, t lf t 2 , t,, t 4
auf einem Kegelschnitt liegen. Wir haben also den Satz:
Jeder durch die vier Beriihrungspunkte eines
Tangentenquadrupels (aus a x ) gelegte Kegelschnitt
schneidet die C (3) in zwei neuen Punkten, deren Ver-
bindungslinie bestandig durch den Tangentialpunkt
(21) desjenigen Kurvenpunktes lauft, von welchem
das Tangentenquadrupel ausging.
Oder auch:
Der Gegenpunkt zu den vier Beriihrungspunkten
eines Tangentenquadrupels ist der Tangentialpunkt
desjenigen Punktes der C\ von welchem das Tan-
gentenquadrupel ausging.
14. Weitere Beziehungen und Folgerungen aus denselben. 109
Oder auch:
Geht aus einem Punkte a r der C" 3) ein Tangenten-
quadrupel an dieselbe, so bilden die vier Beriihrungs-
punkte desselben ein vollstandiges Viereck, dessen
drei Diagonalpunkte Q 2 , d 3 , a 4 denselben Tangential-
punkt 51 haben, wie 0^
Ziehen wir durch 51 die beliebige Gerade | 51SB& | und
legen auch aus 23 und die Tangentenquadrupel an die
C (S \ deren Durchschnittspunkte
wie wir oben ( 13, 4) gesehen haben, mit 23 und ( auf
einem Kegelschnitt liegen und ein vollstandiges Viereck
bilden, dessen drei Diagonalpunkte ebenfalls d 2J 3 , a 4 sind,
so sehen wir, da6 die beiden Kegelschnitte
[SSt^tstJ und [S3e u 22 33 44 ]
nicht nur die Punkte 33 und S gemein haben, sonJern auch
ein gemeinschaftliehes Polardreieck O 2 a 3 a 4 , woraus folgt, daB
sie identisch sein miissen, da es nur einen Kegelschnitt giebt,
welcher durch zwei Punkte geht und ein gegebenes Dreieck
zum Polardreieck hat; also liegen die zehn Punkte
33, , t 1; t 2 , tg, t 4 , g n , 22 , 33 , 44
auf einem und demselben Kegelschnitt. Wir konnen hier-
nach zu dem in 13, 4 gefundenen Satze noch den Zusatz
machen:
Der Kegelschnitt $[ 2) hat nicht bloss o t und g zu
Pol und Polare, Ci 2 a 3 a 4 zum Polardreieck, sondern
geht auch durch die vier Beriihrungspunkte des-
jenigen Tangentenquadrupels, welches aus o t an die
(7(3) gelegt werden kann.
2. Da aus 51 das Tangentenquadrupel an die (7 (3) geht,
dessen Beriihrungspunkte ci 1? 0.;, Q 3 , Ct 4 sind, so liegen die
Punkte 5t, a a 2 , a 3 , a 4 auf einem Kegelschnitt (der konischen
Polare 5t (2) ), welcher in 51 dieselbe Tangente hat, wie die
(3) . Da ferner aus a 4 das Tangentenquadrupel an die C (3)
geht, dessen Beriihrungspunkte t 1; t 2 , t 3 , t 4 sind, so liegeu
HO Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
auch die Punkte a u t n t^, t 3 , t 4 auf einem Kegelschnitt (der
konischen Polare a t (/) ), welcher in QJ dieselbe Tangente r
namlich | a t 5t | hat, wie die C (3) .
Sodann ist, wie wir wissen, 91 der Gegenpuiikt fiir das
Punktquadrupel t^tgt^ d. h. samtliche Kegelschnitte des
Buschels [t 1 t 2 t s t 4 ] schneiden auf der C (3) Sehnen aus, die
durch 51 laufen. Dieses Kegelschnittbuschel mit den Grund-
punkten t 1; t 2 , tg, t 4 schneidet auf der Geraden j^dj erne
Punktin volution aus, deren einer Doppelpunkt o t ist, weil
der besondere Kegelschnitt [ct, t^tgtj = a^ die Gerade
| 51^ | in o x beruhrt. Uni den andern Doppelpunkt dieser
Punktinvolution zu erinitteln, beriicksichtigen wir die gegen-
seitige Lage der betrachteten Punkte.
Es liegen namlich wegen des Diagonaldreiecks
(t,t 3
sowohl Q 2 tit2 au ^ einer Geraden, als auch wegen der aus 51
und a t gelegten Tangenten
a t t 4 t 4 auf einer Geraden,
^3 a 3 ,, n n
ferner aber auch t 2 t 4 a 3 auf einer Geraden, folglich die
iibrigen sechs Punkte
*, ti, t 47 o 1; a 2 , a 3
notwendig auf einem Kegelschnitt.
Ferner liegen
a., t;, t : auf einer Geraden,
^i ts t 3
5t Q 3 a 3 n n n
da nun auch t,t 3 3 auf einer Geraden liegen, so niiissen die
iibrigen sechs Punkte
21, t 2 , t s , a lt a,, a,
auf einem Kegelschnitt liegen. Aus den beiden Kegelschnitten
[SfM^OgOs] und
folgen die Projektivitaten
14. Weitere Beziehungen und Folgerungen aus denselben.
a 2 (a^MJ A a 3 (o^t.t,), a 3 (a,2U 2 t 3 ) A a 2 (a^t 2 t 3 ) ;
da nun aber , M , , ,
C^ra^MjEEEagCa^t^),
so ist auch
a 2 (o 1 2It 1 t 4 )Aa 2 (o 1 ?rt 3 t 2 ),
also
o 2 (a 1 2tt 1 t 4 )Aa 2 (a l 5(t 4 t 1 ).
Hieraus ergiebt sich, daG das Quadrat des Doppel-
verhaltnisses . , Of , ,N la
K(ai*iOrrii
also
a 2 (a 1 5(t 1 t 4 ) = l
sein muB; der Wert + 1 fallt als illusorisch heraus, well
weder a t mit 5t, noch tj mit t 4 im allgemeinen zusammen-
fallen wird; folglich muB
a 2 (a 1 5lt 1 t 4 )=-l,
sein, d. h. das Linienpaar durch a 2 , namlich | t^ | und | t 3 t 4 |
trennt harmonisch die Punkte St und a r
Dasselbe gilt in gleicher Weise von dem Linienpaar
| t t ty und | t. 2 1 4 1 durch a 3 und auch von dem dritten Linien-
paar; die Punktinvolution, welche das Kegelschnittbiischel
[t 1 t 2 t 3 t 4 ] auf 5(0! ausschneidet, hat daher die Punkte S( und
a t zu Doppelpunkten; von a, hatten wir diese Eigenschaft
bereits erkannt. Da die Doppelpunkte dieser Involution
konjugierte Punkte fur samtliche Kegelschnitte des Biischels
sind, so konnen ^vir den Satz aussprechen:
Legt man aus einem Punkte a t einer C (3) das
Tangentenquadrupel an dieselbe, dessen Beriihrungs-
punkte t, 7 t 2 , t 3 , t 4 seien, und ist 51 der Tangential-
punkt zu ttj, so sind 31 und a x konjugierte Punkte fiir
siimtliche Kegelschnitte des Biischels [t^tjtj; es
giebt also insbesondere auch zwei Kegelschnitte
dieses Biischels, welche in H und in a t die Geracle
| 2la,| beriihren.
3. Da die Polaren von a t in Bezug auf samtliche Kegel-
schnitte des Biischels [tjt^tj durch SI gehen miissen, weil
a t und 2( konjugierte Punkte fiir dieselben sind, so be-
schreiben diese Polaren ein Strahlbiischel, welches mit dt m
J12 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Kegelschuittbiischel [t 1 t 2 t 3 tj bekanntlich projektiv ist. Die
beiden projektiven Gebilde erzeugen also eine Kurve dritter
Ordnung, dieselbe geht durch t 1 t 2 t 3 t 4 , den Gegenpunkt 5(,
ferner durch c^ und beriihrt 51 c^ | in a u weil fiir den be-
sonderen Kegelschnitt (t l t 2 t 3 t 4 a 1 ) die Polare von c^ die Tan-
gente in Oj ist; sodann auch, weil dem Linienpaar (t^J,
| t 3 t 4 | die Polare von a 1; d. h. die Gerade | 51 C^ | entspricht
und die beiden Schnittpunkte derselben mit dem Linienpaar
in c^ zusammenfallen, ist a 2 ein doppelt zu zahlender Punkt
des Erzeugnisses, ebenso a 3 und a 4 . Das Erzeugnis ist da-
her mit unserer Kurve (7 (8) identisch, weil es schon dreizehn
Punkte mit ihr gemein hat. Die Polare von a x in Bezug
auf einen Kegelschnitt des Biischels geht durch die beiden
Beriihrungspunkte des Tangentenpaares, welches aus a t
an den Kegelschnitt gelegt werden kann. Wir konnen also
als Erganzung des letzten Satzes hinzufiigen:
Wahlt man die Beriihrungspunkte eines Tan-
gentenquadrupels (aus a z ) zu Grundpunkten eines
erzeugenden Kegelschnittbiischels, so ist der Gegen-
punkt der Tangentialpunkt 5( zu a r Die Kurve (3)
selbst erscheint als der Ort der Beriihrungspunkte
samtlicher Tangentenpaare, welche aus a x an die
Kegelschnitte des Biischels gelegt werden konnen.
Die C (3) geht auch durch die drei Diagonalpunkte
des von den vier Grundpunkten gebildeten voll-
standigen Vierecks, und diese Diagonalpunkte haben
denselben Tangentialpunkt 31, welchen Q. t hat.
Auch ist umgekehrt durch fiinf beliebig gewiihlte Punkte
(von denen keine drei auf einer Geraden liegen) eine C (3) voll-
standig und eindeutig bestimnit, wenn man verlangt, einer
derselben, $1, soil der gemeinsame Tangentialpunkt fiir die
vier ubrigen Q x , 2 , a 3 , 4 sein; denn da diese als Beriihrungs-
punkte doppelt zu zahlen sind, so werden im ganzen neuii
Punkte zur Bestimmung der (3) gegeben sein. Durch diese
neun Punkte gehen aber keine zwei verschiedenen Kurven
dritter Ordnung (d. h. sie bilden nicht die Gruiidpuukte
eines Kurvenbiischels), denn sonst miiBten, da drei Puiikte
14. Weitere Beziehungen und Folgerungen aus denselben. H3
SI, 1? Oj auf einer Geraden liegen, die sechs iibrigen 2 , 0. 2 ,
3 , 3 , 4 , 4 auf einem Kegelschnitt liegen, was nicht der
Fall ist, weil sich nicht drei Tangenten eines Kegelschnitts
Ci 2 n 2 ! , | 3 3 , 4 4 in einem Punkte St schneiden konnen.
Man erzeugt diese Kurve (7 (3) dadurch, daB man das Kegel-
schnittbiischel mit den vier Grundpunkten [OiOaOgOj bildet
und von SI die Polaren riicksichtlich aller Kegelschnitte
des Biischels nirnrnt, welche ein Strahlenbiischel bilden, pro-
jektiv mit dem Kegelschnittbiischel; das Erzeugnis dieser
beiden projektiven Gebilde ist die (7' 3) .
4. Aus dem vorhin bemerkten Resultat (2.), daB die
sechs Punkte ^
ft, 17 Q 2 , 3 , l i} t 4
auf einem Kegelschnitt liegen miissen und daraus, daB die drei
iibrigen Punkte
4; h> h
auf einer Geraden liegen, folgt, daB die neun Punkte
zusammen eine Gruppe von neun associierten Punkten bilden
derart, daB jede Kurve dritter Ordnung, welche durch acht
derselben gent, auch durch den neunten gehen muB;
( 10, 2) also:
Ein Punkt o t der C (3] , sein Tangentialpunkt 21,
die vier Beriihrungspunkte des Tangenteuquadrupels
aus Oj und die drei Diagonalpunkte des von diesen
vier Beriihrungspunkten gebildeten vollstandigen
Vierecks sind eine Gruppe von neun associierten
Punkten.
Nimmt man nur die vier Punkte t u t 2 , t 3 , t 4 an und
verlangt, daB sie Beriihrungspunkte eines Tangentenquadrupels
sein sollen, dessen Ausgangspunkt nicht gegeben ist, dann
ist die C^ dadurch noch nicht bestimnit, sondern man
kann im allgemeinen noch zwei Punkte von ihr, ^ und
p 2 , willkiirlich annehmen, weil auBer den vier Punkten
t 1? tg, t s , t 4 noch die drei Diagonalpunkte des vollstandigen
Vierecks
SchrSter, Theorie der ebenen Ktirven 3. Ordn. 8
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
(M 2 , M 4 ) = a,,
(tit 3 , t 2 t 4 ) = a 3 ,
(M 4 , t 2 t 3 ) = a 4
mit gegeben sind, also zusatamen sieben Punkte, zu denen
noch zwei willkiirlich gewahlte p : und p 2 fiir die Bestimniung
der Kurve hinzutreten diirfen. Nimmt man diese an, so ge-
staltet sich die Konstruktion folgendermafien:
Der Kegelschnitt fttgtgt^J liefert eine Tangente in p lr
der Kegelschnitt [t 1 t 2 t 3 t 4 p 2 ] eine Tangente in p 2 ; der Schnitt-
punkt beider Tangenten ist der gesuchte Punkt a 1; dessen
Tangentenquadrupel die Beriihrungspunkte t n t 2 , t 3 , t 4 hat,
(3.) und die C& ist nun nach dem Obigen vollstandig bestimmt.
Eine Ausnahme hiervon macht der Fall, wenn ins-
besondere ^) 1 und J) 2 konjugierte Punkte sind riicksichtlich
des Kegelschnittbiischels mit den vier Grundpunkten t 1? t 2 ,
t 3 , t 4 . In diesem Falle wird namlich der Schnittpunkt a x
unbestimmt, weil jene beiden Tangenten in p : und p 2 an
den beiden vorigen Kegelschnitten in eine und dieselbe Ge-
rade zusammenfallen, also ihr Schnittpunkt unbestimmt
wird. Und in der That bilden dann alle dabei auftretenden
C (3) ein Buschel von Kurven dritter Ordnung, wie wir eben
gesehen haben; (ist p x = o n so wird p 2 = 5t). Wir schliefien
hieraus umgekehrt:
Alle Kurven dritter Ordnung, welche durch die
vier Ecken eines vollstandigen Vierecks (t^tgtj,
seine drei Diagonalpunkte (fl 2 3 Q 4 ) und noch einen
willkurlich zu wahlenden achten Punkt p x hindurch-
gehen, gehen noch durch den zu p t riicksichtlich
des Kegelschnittbiischels [t 1 t 2 t 3 t 4 ] konjugierten Punkt
^) 2 und bilden ein Kurvenbiischel dritter Ordnung
mit diesen neun Grundpunkten. Zwei besondere Kurven
dieses Biischels erhalt man, indem man p x zum gemein-
schaftlichen Tangentialpunkt fiir ^121314 wahlt, dann ist p 2
der gemeinschaftliche Tangentialpunkt fiir a 2 Q 3 Q 4 und pj , oder
indem man p 2 zum gemeinschaftlichen Tangentialpunkt fiir
tjtgtgt^. wahlt, dann wird p x der gemeinschaftliche Tangential-
punkt fur Q 2 a 3 4 und p a .
15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. 115
15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren
konjugierter Punkte auf der C (3) .
1. Geht aus einem Punkte 31 der C (3) ein Tangenten-
quadrupel an dieselbe ( 9, e), dessen Beriihrungspunkte
<*i, <*2, 3 > Q 4
seien, so lassen sich dieselben zu drei Paaren ordnen, indem
durch die Wahl des einen Paares das andere mitbestimmt
wird
I. a x und o 2 , a 3 und a 4 ,
II. ^ a 3 , a. 2 4 ,
III. a t a 4 , Og o 3 .
Jedes solches Paar kann, wie wir jetzt umgekehrt nach-
weisen wollen, als ein Paar konjugierter Punkte fur die
(7 (3) in dem fruheren Sinne ( 2) aufgefaBt werden, welcher
den Ausgangspunkt unserer Betrachtungen bildete; und
durch ein solches Paar werden dann unendlich viele andere
Paare konjugierter Punkte mitbestimmt 7 welche diejenigen
Eigenschaften besitzen, die wir ( 2 und 3) von ihnen
gefunden haben.
Da wir aber auf dreierlei Art (I. II. III.) solche Paare
festlegen konnen, so erhalten wir nicht nur ein, sondern
drei verschiedene Systeme von unendlich vielen Paaren kon-
jugierter Punkte auf der C (3 \ und konnen eine und dieselbe
Kurve C^ aus dem ersten, zweiten oder dritten System
heraus koustruieren.
Der Nachweis der Identitat mit der Erzeugung in 2
und 3 braucht sich nur auf eines dieser drei Systeme zu
erstrecken, weil er in gleicher Weise fur die beiden iibrigen
gefiihrt werden kann.
Nehmen wir daher im Systeme I. von den Beriihrungs-
punkten a Q 2 , 3 , 4 des Tangentenquadrupels aus SI die
Paare
(*! und a 2 , Q 3 und a 4 ,
so wissen wir aus 13, 2, da6 der beliebig gewahlte Punkt
b : der C (3) mit a t und 0% verbunden zwei Strahlen | b t a x |
und | B x 02 1 giebt, welche zum dritten Male in c t und C 2
8*
1 16 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
schneiden, und daB die Punkte C : und C 2 die Eigenschaft be-
sitzen, denselben Tangentialpunkt & zu haben. Derselbe
kann dadurch gefunden werden, da 6 wir 51 mit dem Tan-
gentialpunkt S3 fur bj verbinden und den dritten Schnitt-
punkt von | SI 33 | mit der C (a) aufsuchen. Wir erhalten
also aus dem einen Paare fl^, indem wir b x verandern, un-
endlich viele andere Paare C a c 2 auf der C (3) , welche samt-
lich die gleiche Eigenschaft wie a x a 2 besitzen, namlich den-
selben Tangentialpunkt zu haben.
Da aber in 13, 5 nachgewiesen ist, daB die drei
Strahlenpaare
Sla, | und | SIo 2 1, | Sla 3 1 und | Sia 4 , | STq | und 5lc 2 1
einer Strahleninvolution angehoren, welche schon durch die
beiden ersten Strahlenpaare vollstandig bestimmt ist, so er-
kennen wir, daB der Punkt 51 nach samtlichen Punktepaaren
CjCg, die aus dem ersten C^Og abgeleitet werden, Strahlen-
paare einer und derselben Strahleninvolution sendet, welche
dem Punkte 31 zugehort.
Nehmen wir drei solche Punktepaare C^, c{c 2 , Cj"c 2 "
beliebig heraus, so erkennen wir, daG die (7 (3) als der Ort
solcher Punkte SI erscheint, welche nach diesen drei Punkte-
paaren drei Strahlenpaare einer Involution sendet, und da-
durch ist die Identitat unserer C (3) mit derjenigen Er-
zeugungsweise, von welcher wir in 3 ausgingen, nach-
gewiesen. Wir konnen demgemaB folgendes Resultat aus-
sprechen:
Wenn man von zwei solchen Punkten a : Q. 2 der
C&\ welche denselben Tangentialpunkt haben und
konjugierte Punkte heifien sollen, ausgeht, so wird
durch dieselben ein ganzes System unendlich vieler
Paare von konjugierten Punkten q C 2 in eindeutiger
Weise festgelegt, indem man zu jedem neuen Paare
dadurch gelangt, daB man einen beliebigen Punkt J
der C (3J mit a x 2 verbindet und die dritten Schnitt-
punkte c x C 2 aufsucht. Jeder Punkt SI der (7 (3) sendet
nach alien Paaren konjugierter Punkte Strahlen-
paare einer Involution.
15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. H7
Alle iibrigen Eigenschaften, z. B. daB auch jedes ab-
geleitete Punktepaar mit einem neuen Kurvenpunkt ver-
buuden, als dritte Schnittpunkte wieder ein Paar konjugierter
Punkte liefert, daB die Strahleninvolutionen, welclie selbst
zwei konjugierten Punkten zugehoren, in projektiver Be-
ziehung und halb-perspektiver Lage sich befinden, daB man
jedes beliebige Paar konjugierter Punkte zu Mittelpunkten
der zugehorigen erzeugenden Strahleninvolutionen wahlen
kann u. s. w. ; ist schon in 2 und 3 ausgefuhrt und braucht
nicht wiederholt zu werden, obwohl es sich auch von hier aus
direkt ableiten laBt.
2. Neu aber tritt uns hier das Resultat entgegen, daB
auf einer gegebenen (7 (3) drei verschiedene Systeme von
Paaren konjugierter Punkte, die in einem gewissen Zu-
sammenhange miteinander stehen, auftreten, daB also auch
dieselbe Kurve (7 (3) auf drei wesentlich verschiedene Arten
durch zvrei Strahleninvolutionen in projektiver Beziehung
und halb-perspektiver Lage erzeugt werden kann.
Hat namlich das Tangentenquadrupel aus 1 die Be-
riihrungspunkte
i; Q 27 Q 3; 4
und seien die drei Diagonalpunkte dieses vollstandigen
Vierecks ,
dann kann man entweder
I. W, und SI' als Mittelpunkte der erzeugenden Strahlen-
involutionen wahlen, wobei die nach
a t und a 2; a 3 und a 4
hingehenden Strahlenpaare zur Bestimmung derselben dienen,
in welchem Falle selbstverstandlich die Strahleninvolution
[l'] eine hyperbolische ist; oder
IT. St und SI" als Mittelpunkte. der erzeugenden Strahlen-
involutionen, welche durch die Strahlenpaare nach
a t und a 3 , Q 2 und a 4
bestimmt werden; oder
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
III. S( und 21'" als Mittelpunkte der erzeugenden Strahlen-
involutionen, welche durcli die Strahlenpaare nach
a t und a 4 , a 2 und a 3
bestimmt werden.
In alien drei Fallen 1st die Strahleninvolution [ST], [SI"],
[SI'"] eine hyperbolische, wahrend bekanntlich von den drei
Strahleninvolutionen in SI zwei hyperbolisch sind und eine
elliptisch ist. Dieselbe Kurve (7 (3) kann also zweimal durcli
zwei hyperbolische Strahleninvolutionen und einmal durch
eine hyperbolische und eine elliptische Strahleninvolution
erzeugt werden. Zwischen den drei verschiedenen Systeinen
von Paaren konjugierter Punkte auf der C (3) besteht ein
gewisser Zusammenhang, fiber den folgende Betrachtuug
Auskunft giebt:
Ist SjS^j ein beliebiges Paar konjugierter Punkte init
dem gemeinsamen Tangentialpunkt X in dem einen System,
$P'^$j' ein Paar konjugierter Punkte mit dem gemein-
samen Tangentialpunkt X' in dem zweiten System, und
moge die Gerade !$$'| der C^ zum dritten Mai in $",
die Gerade | $&$(${ | der (7 (3) zum dritten Mai in ty" begegnen,
so miissen offenbar die Tangenten in ^P^S'^S" der C ((3) in
den Punkten X, X', X" einer Geraden zum dritten Mai be-
gegnen, ebenso die Tangenten in ^^5$" in den Punkten
X, X', X" derselben Geraden. Der dritte Schnittpunkt X"
der Geraden | XX' | ist also gemeinsamer Tangentialpunkt
fiir $"$$,", und diese sind daher ein Paar konjugierter Punkte
in einem der drei Systeme. Sie konnen aber weder dem
ersten System angehoren, noch dem zweiten, mtissen also
dem dritten angehoren. Denn gehorten ^S"^5" und
demselben Systeme an, so miisste der Schnittpunkt
auf der (7 (3) liegen, d. h. ^5' und ty[ rniissten zusammenfallen,
was der Annahme gemaB nicht der Fall ist; also gilt der Satz:
Sind ^5 und ^ ein Paar konjugierter Punkte in
einem der drei Systeme, ^5' und ty[ ein Paar kon-
jugierter Punkte in dem zweiten System, so sind
15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. H9
die dritten Schnittpunkte ty" und %[' der Ver-
bindungslinien | $$' | und | ^[ \ mit der C ein
Paar konjugierter Punkte in dem dritten System,
und die drei Tangentialpunkte dieser drei Punkte-
paare liegen auf einer Geraden.
Aus zwei Paaren konjugierter Punkte zweier verschie-
denen Systeme folgt also immer ein Paar konjugierter Punkte
des dritten Systems.
Wir haben hierbei stills chweigend vorausgesetzt, daB
das Tangentenquadrupel von eineni Punkte 51 der (? (3) aus
vier reellen Strablen bestebe, also auch vier reelle Beriibrungs-
puukte babe.
Dies braucht indessen keineswegs fiir alle Punkte der
(7(3) (j er Yall zu sein, sondern die Tangenten konnen auch.
paarweise konjugiert-imaginar sein, also es konnen aucb nur
zwei oder keine der vier Tangenten reell sein. Dies ruft
wesentlicbe Modifikatiouen der vorigen Untersucbungen ber-
vor und fiibrt auf die verscbiedenen Gestalten, welcbe eine
<7 (3) annebmen kann, sowie auf die Bedingungen fiir die Er-
zeugung der einen oder der andern Gestalt. Diese Unter-
sucbung bebalten wir mis fiir sp'ater vor ( 18).
3. Welcbes der drei Systeme von konjugierten Punkte-
paaren auf der 6 r{3) wir aucb wablen mogen, in jedeni der-
selben konnen wir nocb die Mittelpunkte der beiden er-
zeugenden Strableninvolutionen in ein beliebiges Paar kon-
jugierter Punkte bineinverlegen und daber auf unendlicb
vielfache Weise die C (3) vermittelst zweier Strableninvolutionen
erzeugeu. Solcbe zwei erzeugenden Strableninvolutionen be-
balten nun fiir classelbe System binsicbtlicbibres byperboliscben
oder elliptiscben Cbarakters Gleicbartigkeit oder Ungleicb-
artigkeit bei, wie man aucb ibre Mittelpunkte verandern mag.
In der Tbat, ob eine Strableninvolution byperboliscber
oder elliptiscber Natur ist, laBt sicb durcb die Lage zweier
beliebigen Strablenpaare
x und x 1} y und y^
bekanntlicb so entscbeiden, daB man den Wert des Doppel-
verbaltnisses
120 Theorie der ebenen Kuryen dritter Ordnung.
betrachtet; 1st dasselbe positiv, so wird kein Elementen-
paar durch das andere getrennt, also 1st die Involution
hyperbolisch; ist das Doppelverhaltnis dagegen negativ,
so wird jedes der beiden Elementenpaare durch das andere
getrennt, also ist die Involutions lliptisch. Dieses konstante
Vorzeichen des Doppelverhaltnisses bleibt erhalten, welche
zwei Elementenpaare man auch herausnehmen mag, da sie
durch zwei Elementenpaare gerade bestimmt wird und
natiirlich ihren Charakter nicht andern kann bei anderer An-
nahme von Elemeutenpaaren.
Nehmen wir drei zur Bestimmung der C^ notwendige
und hinreichende Paare von konjugierten Punkten ( 2)
aa t , 9393,, ee,
willkiirlich und unabhangig voneinander an, dann gilt fur
die fiinf beliebigen Punkte SI, 93, S3 1; S, S x die Identitat
zwischen den Doppelverhaltnissen ( 2, 7)
^(ee^so . 93 (ce^a) . 93, (ee^ffl) - 1,
und ebenso zwischen den fiinf beliebigen Punkten 2( 1 , 58 , Sj ,
S, Si die Identitat
^((^23230 . JBCCCi^aj . ^ ($$&%) - 1,
woraus durch Division folgt
und in gleicher Weise wiirde sich auch die Identitat ergeben
diese Relationen zeigen aber, da6 wenn die beiden den
konjugierten Punkten SI und Stj zugehorigen Strahleninvo-
lutionen gleichartig sind, d. h. entweder beide hyperbolisch
oder beide elliptisch, auch die den beiden konjugierten Punkten
23 und 23! und ebenso die den beiden konjugierten Punkten
S und &! zugehorigen Strahleninvolutionen gleichartig sein
miissen; dagegen wenn die den beiden konjugierten Punkten
21 und Stj zugehorigen Strahleninvolutionen ungleichartig
15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. 121
sind, d. h. eine hyperbolisch und die andere elliptisch, dies
aucli bei den beiden, den Punkten S3 und S3 X , sowie den Punkten
und S r zugehorigen Strahleninvolutionen der Fall sein muB.
An Stelle des Paares SB! kbnnen wir aber ein be-
liebiges anderes Paar konjugierter Punkte S^ (desselben
Systems) setzen, ohne daS die Strahleninvolutionen [31] und
[21J dadurch geandert werden, also gilt fur jedes beliebige
Paar konjugierter Punkte 3^ dasselbe, was fiir irgend ein
Paar konjugierter Punkte desselben Systems gilt. Wir
schlieBen daher den Satz:
Wenn fiir irgend ein Paar konjugierter Punkte
einer C (3) die zugehorigen Strahleninvolutionen
gleichartig sind (d. h. entweder beide hyperbolisch
oder beide elliptisch), so sind sie fiir samtliche
Paare konjugierter Punkte gleichartig; wenn da-
gegen fiir irgend ein Paar konjugierter Punkte
(desselben Systems) einer C Y(3) die zugehorigen
Strahleninvolutionen ungleichartig sind (d. h. eine
elliptisch und die andere hyperbolisch), so ist dies
auch bei samtlichen iibrigen Paaren konjugierter
Punkte der Fall.
4. Nun ist die eine Moglichkeit, nanilich daG die den
samtlichen Punkten einer C (3) zugehorigen Strahleninvolutionen
alle elliptisch seien, von vornherein ausgeschlossen,
sondern es giebt irnmer auf der C^ solche Punkte, deren
zugehorige Strahleninvolutionen hyperbolisch sein miissen;
denn waren 51^ ein Paar konjugierter Punkte, so schneidet
die Verbindungslinie | 3l3fj | die C l(3) notwendig noch in
einem dritten Punkte, fiir den die zugehorige Strahlen-
involution eine hyperbolische ist, weil fiir ihn | 31^ | ein
Doppelstrahl wird; und dies gilt fiir jeden Verbindungsstrahl
zweier konjugierten Punkte. Der erste Fall teilt sich dein-
nach in zwei Teile, und es konnen iiberhaupt nur drei Falle
eiutreten, niimlich:
a) Die den samtlichen Paaren konjugierter Punkte der
C (3) zugehorigen Strahleninvolutionen sind gleichartig und
allenial beide hyperbolisch;
122 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
/3) die den samtlichen Paaren konjugierter Punkte der
C (3) zugehorigen Strahleninvolutionen sind gleichartig, aber
fur einen Teil derselben sind beide hyperbolisch, fiir den
iibrigen Teil von Paaren sind beide elliptisch;
y) die jedeui Paare konjugierter Punkte der C (3) zu-
gehorigen Strahleninvolutionen sind immer ungleichartig,
d. h. eine hyperbolisch und die andere elliptisch.
Wir wollen diese drei Falle nach dem Vorschlage
Reye's (Geometric der Lage, 3. Auflage, S. 244) bezeichnen
als a) den hyperbolischen , /3) den elliptischen und y) den
dualen Fall.
I}a6 der erste (hyperbolische) Fall wirklich eintreten
kann, erkennen wir aus der Erzeugung der (3) vermittelst
einer Kegelschnittschar und eines Punktepaares StSti ( 3, 4).
Nehmen wir namlich eine Kegelschnittschar mit vier gemein-
schaftlichen imaginaren Tangenten an ; so besitzt dieselbe
bekanntlich die Eigenschaft, daB die Tangentenpaare aus
jedem Punkte der Ebene an dieselbe eine hyperbolische
Strahleninvolution bilden, folglich auch aus alien Punkten
der C (3) . Punkte mit zugehorigen elliptischen Strahlen-
involutionen giebt es also uberhaupt nicht.
5. Den Nachweis fiir die eben ausgesprochene Be-
hauptung wollen wir der kiirzeren Aussprache wegen auf
dem dual gegeniiberstehenden Gebiete fiihren, d. h. den
Satz beweisen:
, ; Jede Gerade wird von einem Kegelschnitt-
biischel mit vier imaginaren Grundpunkten in einer
hyperbolischen Punktinvolution geschnitten."
In einem Kegelschnittbiischel mit vier imaginaren Grund-
punkten giebt es namlich immer ein reelles Linienpaar be
(ausgearteter Kegelschnitt des Biischels), die Trager zweier
elliptischen Punktinvolutionen, die sarntlichen Kegelschnitten
des Biischels zugehoren, d. h. aus Paaren konjugierter
Punkte riicksichtlich samtlicher Kegelschnitte des Biischels
bestehen.
Schneidet nun eine beliebige Gerade g die Trager dieser
beiden Punktinvolutionen in den Punkten
15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. 123
und sind die konjugierten Punkte derselben in den beiden
Involutionen bez.
und
ihre Verbindunslinie
ist ferner in dem Schnittpunkt der Trager ein Punkt der
einen mit einem der andern vereinigt
(6^ = 33 = ^,
deren konjugierte Punkte fiir beide Involutionen bez.
S3 X und
seien, und heiBt endlicli die Verbindungslinie
i^S -a,
dann wird diejenige Punktinvolution, welche das Kegel-
schnittbiischel auf der Geraden g ausschneidet, durch die
beiden Punktepaare bestimrnt
(gb)mid(gc), (go) und (g 9l ). [Th. d. K. S. 257.]
Von den fiinf Geraden in der Ebene a, 6, c, g, g^ wird
nun jede durch die vier iibrigen in vier Punkten geschnitten 7
die einen bestimmten Wert des Doppelverhaltnisses dar-
bieten, und zwischen den dadurch erhaltenen Doppelverhalt-
nissen gilt die bekannte Mobiussche Relation
g (agj>c) . b (ag^ eg] . c (ag^gl] = 1
( 2, ?), welche sich in die Form bringen laBt
Wenn nun die beiden Punktiuvolutionen auf 6 und c
elliptisch sind, so sind die Werte der beiden Doppelverhaltnisse
und
beide negativ, folglich g(bcag^) posititiv, d. h. die auf g
ausgeschnittene Involution ist hyperbolisch w. z. b. w.
In gleicher Weise komien wir zeigen, daB bei Ver-
anderung von g, wodurch sich auch g verandert, das Linien-
paar gg l auf der Geraden a Punktepaare einer und derselben
124 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
festen Involution ausschneidet; derm sei ein beliebiges zweites
Geradenpaar der vorigen Art g'g'^ so ist identisch
a(bcgg') .b(cagg'} .c(abgg'} = 1,
wenn daher wegen der Involution auf I)
b(cagg') = b
und wegen der Involution auf c
ist, so folgt auch
folglich beschreiben die Punkte (ag) und (ag^) auf dem
Trager a eine Punktinvolution. Aus dem Zusammenhange
dieser drei Punktinvolutionen auf den festen Tragern a&c,
welcher durch die Beziehung gegeben ist
*
a(bcggj . b (cagg^ .cfabgg^ = 1
folgt auch, da6 die Involution auf a hyperbolisch sein muB,
wenn die beiden Involutionen auf b und c elliptisch sind,
und iiberhaupt von den drei Involutionen inimer zwei
elliptisch und eine hyperbolisch, oder alle drei hyperbolisch
sein miissen (Th. d. K. S. 254).
6. Kehren wir nach dieser Abschweifung zu der Be-
trachtung in 4. zuriick, so wissen wir hinsichtlich des hyper-
bolischen oder elliptischen Charakters zweier erzeugender
Strahleninvolutionen einer C (3) , da6 die Gleichartigkeit oder
Ungleichartigkeit desselben zwar erhalten bleibt fiir dasselbe
System konjugierter Punkte der C (3 \ daG aber dabei drei
Falle, der hyperbolische, der elliptische und der duale auf-
treten konnen. Dies fiihrt zwar nicht zu wesentlich ver-
schiedenen Gattungen der <7 (3) , sondern z. B. bei derselben
C (3) kann sowohl der elliptische, als auch der duale Fall
auftreten, und wir werden erst spater die verschiedenen
Gattungen der (7 (8) und die Bedingungen fiir ihre Erzeugung
kennen lernen, allein mit der Kurve C (3) hangt eine be-
stimmte Kurve $ (3) eng zusammen ( 6), welche ebenso
durch Paare von Punktinvolutionen erzeugt wird, wie die
15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. 125
C (3) durch Paare von Strahleninvolutionen. Der hyperbolische,
elliptisclie oder duale Charakter fur die (7 (S) steht mit dem
fur die $ (3) in einein Zusammenhange, welchen wir jetzt
untersuchen wollen.
Halten wir eines der drei Systeme konjugierter Punkte
auf der (3) fest, so sendet ein beliebiger Punkt derselben
nach samtlichen Paaren konjugierter Punkte Strahlenpaare
einer bestimmten ihm zugehorigen Strahleninvolution; zu
zwei konjugierten Punkten selbst gehoren zwei bestimmte
Strahleninvolutionen, die entweder gleichartigen oder un-
gleichartigen Charakters sind. Die Verbindungsstrahlen
aller Paare konjugierter Punkte umhullen eine bestinimte
$ (3) , und zwar ist eine solche Verbindungslinie der eine
Doppelstrahl einer jener Strahleninvolutionen, dem sich der
zweite zugesellt, so daB der Schnittpunkt beider ein Punkt
der C (3) wird (namlich der dritte Schnittpunkt jener ersten
Verbindungslinie und der (7 (3) ). Wir konnen also auch
sagen: die $ (3) wird urnhullt von samtlichen Doppelstrahlen
der vorigen Strahleninvolutionen. Die Tangenten der $ (3)
ordnen sich auf diese Weise selbst zu Paaren konjugierter
Tangenten, und jede beliebige Tangente wird von diesen
samtlichen Paaren konjugierter Tangenten in Punktepaaren
einer Punktinvolution geschnitten; die Doppelpunkte dieser
Punktinvolution erfiillen dann wiederum die C (8) und bilden
die Paare konjugierter Punkte derselben. Dadurch wird
der Kreis der Betrachtung geschlossen. Der friiher gefundene
Zusammenhang zwischen den Paaren konjugierter Punkte
der (7 (3) und Paaren konjugierter Tangenten der $ (3) ist
aber der, daB immer das eine Paar durch das andere har-
monisch getrennt wird ( 7, 2).
Wenn nun bei der C (3) der hyperbolische, elliptische
oder duale Fall eintritt, so wird auch in bestimmter Weise
einer dieser drei Falle bei der $ (3) eintreten, hinsichtlich
der Paare erzeugender Involutionen.
7. Gehen wir von drei zur Bestimmung der (7 (3) not-
wendigen und hinreichenden, voneinander unabhangigen
Paaren konjugierter Punkte
126 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
aus, so erhalten wir aus ihnen drei Strahleninvolutionen,
durch je zwei Strahlenpaare bestimmt, die wir in ab-
kiirzender aber niclit miGzuverstehender Weise so bezeichnen
konnen
21 [23 ^eej, 23 [((^2121,],
die drei Paare (reeller oder konjugiert-imaginarer) Doppel-
strahlen der drei Strahleninvolutionen [91], [33], [] seien
aa l} bb 1} cc
und konnen als drei Paare konjugierter Strahlen zur Be-
stimmung der $ (3) gewahlt werden. Fassen wir nun die
drei Punktepaare
21 und U 1} S3 und lt und t
als drei ausgeartete Kegelschnitte auf, so bestimmen je
zwei derselben eine Kegelschnittschar; aus diesen drei
Scharen leiten wir durch Vereinigung von je zwei Kegel-
schnitten neue Scharen ab u. s. f., von den en die Gesamt-
heit des ganzen Kegelschnittgewebes erfiillt wird ( 5).
Fassen wir andererseits die drei Linienpaare
a und Oj, b und 6,, c und c t
als drei ausgeartete Kegelschnitte auf, so bestimmen je
zwei derselben ein Kegelschnittbtischel, und aus diesen drei
Btischeln leiten wir durch Vereinigung von je zwei Kegel-
schnitten neue Buschel ab u. s. f. Die Gesamtheit aller
dieser Kegelschnitte erfiillt das Kegelschnittnetz. Eine
der einfachsten Erzeugungsweisen fur die C (3) war nun die ;
daB wir aus dem Kegelsehnittgewebe eine beliebige Kegel-
schnittschar herausnahmen, aus einem beliebigen Paar kon-
jugierter Punkte %.%,! an jeden Kegelschnitt der Schar die
Tangentenpaare legten und zum Durchschnitt brachten; die
vier Durchschnittspunkte erfiillen dann die ganze (7 IS) ( 3, 4).
Andererseits nehmen wir ein beliebiges Kegelschnittbuschel
aus dem Netze heraus und lassen ein Paar konjugierter
Strahlen aa 1 (einen ausgearteten Kegelschnitt des Netzes)
15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. 127
von jedem Kegelschnitte des Biischels in zwei Punktepaaren
durchschneiden; die vier Verbindungslinien der Durchschnitts-
punkte umhiillen dann die ganze Kurve (3) .
Ueber den hyperbolischen, elliptischen oder dualen
Charakter, welchen die (3) darbietet, entscheidet dann der
Charakter der Strahleninvolutionen in 51 und tyt i} und iiber
den hyperbolischen, elliptischen oder dualen Charakter der
' 3) ebenso der Charakter der beiden Punktinvolutionen auf
a und a lt Da wir aus 5. wissen, da6 jedes Kegelschnitt-
biischel mit vier imaginaren Grundpunkten eine beliebige
Gerade in Punktepaaren einer hyperbolischen Punktinvolution
schneidet, und andererseits an jede Kegelschnittschar mit
vier imaginaren gemeinschaftlichen Tangenten ein beliebiger
Punkt der Ebene Tangentenpaare sendet, die eine hyper-
bolische Strahleninvolution bilden, so folgt z. B. daB, wenn
unter samtlichen Kegelschnittscharen des Gewebes eine ein-
zige vorkomrnt, die vier imaginare gemeinschaftliche Tan-
genten besitzt, dann die zugehorige C^ notwendig hyper-
bolischen Charakters sein muB, und, wenn unter samtlichen
Kegelschnittbuscheln des Netzes ein einziges vorkornint,
dessen vier Grundpunkte imaginar sind, dann notwendig die
zugehorige (3) hyperbolischen Charakters sein niuB.
8. Betrachten wir nun den einen der beiden dual
gegeniiberstehenden Falle, ein Kegelschnittbuschel, so ent-
halt dasselbe bekanntlich im allgemeinen drei Linienpaare
(ausgeartete Kegelschnitte); diese sind entweder alle drei
reell, oder nur eines von ihnen ist reell und die beiden
andern sind konjugiert-irnaginar; die Schnittpunkte (Doppel-
punkte) dieser imaginaren Linienpaare sind entweder beide
reell, oder keiner von beiden, aber ihre Verbindungslinie,
auf welcher sie durch eine elliptische Punktinvolution ver-
treten werden. Der erste Fall kann nur eintreten, wenn
die Grundpunkte des Biischels alle vier reell sind. Der
zweite Fall, dafi zwei Linienpaare reelle Schnittpunkte
(Doppelpunkte) haben, aber selbst konjugiert-imaginar siud,
tritt nur ein, wenn die Grundpunkte des Biischels alle vier
imaginar sind. Der dritte Fall, daB von den beiden imaginaren
128 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Linienpaaren auch die beiden Schnittpunkte (Doppelpunkte)
konjugiert-iinaginar sind, aber auf einer reellen Geraden
durch eine elliptisclie Punktinvolution vertreten werden, tritt
nur ein, wenn von den vier Grundpunkteu zwei reell und
zwei konjugiert-imaginar sind, deren Verbindungsstrahlen
das eine allein reelle Linienpaar des Biischels bilden (Th. d.
K. S. 364).
Das Analoge gilt fiir die Kegelschnittschar.
Nehmen wir nun an, da6 auf einer C (S) zwei konjugierte
Punkte 91, 5lj mit zugehorigen elliptischen Strahleninvolutionen
vorhanden sind, also die (7 (3) elliptischen Charakters ist,
dann miissen die konjugiert- imaginaren Doppelstrahlen dieser
beiden elliptischen Strahleninvolutionen sich in vier imaginaren
Punkten durchschneiden, die auf einem (reellen und in be-
kannter Weise konstruierbaren) Linienpaar liegen und durch
zwei (ebenfalls reell konstruierbare) elliptische Punktinvo-
lutionen vertreten werden. Die vier imaginaren Durch-
schnittspunkte sind aber die vier Grundpunkte eines Kegel-
schnittbuschels, welches dem Netze angehort, aus deni die
^O) hervorgeht; also mu6 diese nach der obigen Benierkung
hyperbolischen Charakters sein. Wir schlieBen hieraus den
Doppelsatz:
Wenn eine (7 (3) ellip- Wenn eine (3) ellip-
tischen Charakters ist, so tischen Charakters ist, so
inuB die zugehorige (3) muO die zugehorige C (3)
hyperbolischen Gharak- hyperbolischen Charak-
ters sein. ters sein.
Dasselbe gilt auch, wenn von den beiden den kon-
jugierten Punkten 5t und ?1 1 zugehorigen Strahleninvolutionen
nur eine elliptisch und die andere hyperbolisch, also die
(7 (3) dualen Charakters ist. Denn die beiden Linienpaare,
gebildet von den Doppelstrahlen der Strahleninvolutionen,
schneiden sich, da nur eines reell ist, in vier imaginaren
Punkten, die durch zwei elliptische Punktinvolutionen auf
den beiden reelleu Doppelstrahlen vertreten werden und reell
konstruiert werden kounen. Die vier imaginaren Schnitt-
punkte dieser beiden Linienpaare sind die Grundpunkte
15. Drei Systeme von unendlich vielen Paaren etc. 129
eines Kegelschnittbiischels, welches dem Netze angehort, aus
dem die $ (3) hervorgeht, also muB diese hyperbolischen
Charakters sein. Wir schlieBen hieraus den Doppelsatz:
Wenn eine C (3) dualen Wenn eine (3) dualen
Charakters ist, so muB Charakters ist, so muB
die zugehorige $ (3) hyper- die zugehorige (7 (3) hyper-
bolischen Charakters bolischen Charakters
sein. sein.
Aus den vorigen beiden Doppelsatzen schliefien wir
durch CJmkehrung:
Wenn eiue C (3) hyper- Wenn eine $ (3) hyper
tr / X
bolischen Charakters ist, bolischen Charakters ist
so muB die zugehorige $ (3) so muB die zugehorige (? (3)
entweder dualen oder entweder dualen oder
elliptischen Charakters elliptischen Charakters
sein, und zwar dualen sein, und zwar dualen
Charakters, sobald auf Charakters, sobald die
den beiden Doppelstrah- beiden Doppelpunkte ir-
len irgend einer der er- gend einer der erze.ugen-
zeugenden Strahleninvo- den Punktinvolutionen
lutionen die durch samt- nach alien iibrigen Dop-
liche Doppelstrahlen- pelpunktpaaren zwei un-
paare ausgeschnittenen gleichartige Strahlenin-
Punktinvolutionen un- volutionen senden, da-
gleichartig sind, dagegen gegen elliptischen Cha-
elliptischen Charakters, rakters, sobald solche
sobald sie gleichartig zwei Strahleninvolu-
sind. tionen gleichartig sind.
DaB menials zu einer C f(3) hyperbolischen Charakters
wieder eine $ (3) hyperbolischen Charakters zugehoren kann
und umgekehrt, folgt daraus, daB bei einer C (3) hyper-
bolischen Charakters unter den Paaren konjugierter Punkte
auch immer irnaginare Punkte auf reellem Trager vor-
kommen miissen. Der directe Nachweis fur diese Behauptung
erfordert aber eine eingehendere Untersuchung, zu der wir
in den nachsten Paragraphen iibergehen wollen ( 16 20).
Schriiter, Theoria der ebrnen Kurven 3. Ordn. 9
130 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
16. Allgemeine Untersuchung der yerschiedenen
Gestalten, welche eine O s) aniiehmen kjuni.
1. Die verschiedenen Erzeugungsweisen der (7 (3) , welche
wir kennen gelernt haben, liefern immer einen geome-
trischen Ort von (einfach) unendlich vielen Punkten, welche
kontinuierlich aufeinander folgend die gesamte C f(3) erfiillen;
diese besitzt die Eigenschaft, da8 aus einem beliebigen
Punkte derselben entweder keine, oder zwei oder vier
reelle Tangenten an die Kurve gehen ( 9, e), auBer der
Tangente in selbst. Jede Gerade begegnet der C (3) im
allgemeinen in drei Punkten, von denen einer irnmer reell
sein muB, die beiden andern auch konjugiert-imaginar sein
konnen.
Gehen wir nun von einem beliebigen endlichen Punkt
der Kurve aus (der kein Wendepunkt ist) und drehen um
O einen Strahl s in der ganzen Ebene herum (um 180,
oder als Halbstrahl um 360), so wird dieser Strahl s der
6 1(3) auBer in O noch in zwei weiteren Punkten > und 3'
begegnen, welche entweder beide reell sind und getrennt
voneinander liegen, oder in einen Punkt zusammenfallen
(welcher dann ein Beriihrungspunkt wird) oder endlich
konjugiert-imaginar sein konnen. Der mittlere Fall wird
den Ubergang bilden vom ersten zum dritten und umgekehrt
bei kontinuierlichem Verlauf der C (3) (ohne Doppelpunkt).
Denken wir uns die vollstandige Drehung des Strahles
s um den Punkt O vollzogen, so daB die Punkte von s
nach und nach samtliche Punkte der Ebene erreichen, so
wird die Annahme, daB ftir alle Lag en von s die beiden
Punkte >>' immer konjugiert-imaginar seien, unzulassig
sein, weil dann die ganze C (3) nur den einzigen reellen Punkt
O haben wiirde, was gegen die Voraussetzung unserer Er-
zeugungsweisen ist. Insbesondere wird schon die Tangente
in O noch in einein dritten Punkte D t der 6 I(3) begegnen,
dem Tangentialpunkt von O. Es bleiben also nur zwei
Mbglichkeiten:
16. Allgemeine Untersuchung der versch. Gestalten etc. 131
) Entweder schneidet der um D vollstandig herum-
gedrehte Strahl s die (7 (3) immer in zwei reellen getrennt
liegenden weiteren Punkten <', oder:
/3) Der Stralil s schneidet fur gewisse Gebiete seiner
uin O vollzogenen Drehung in zwei reellen Punkten g ',
fur andere Gebiete in zwei konjugiert-imaginaren Punkten,
und der Ubergang von dem einen zuni andern Fall findet
statt beim Zusammenfallen der Punkte <', d. h. der ver-
anderliche Strahl s wird Tangente aus an die C (3) , ge-
hort dem Tangentenquadrupel aus O an. DaB in der That
bei der Drehung des Strahles s um O solche Lagen ein-
treten mussen, in welchen und ' reell und getrennt von-
einander sind, geht auch daraus hervor, daB die Verbindungs-
linie von ) mit irgend einem andern Punkte der C^ not-
wendig noch in einem dritten reellen Punkte ' der (7 (3)
begegnen muB, der unter Umstanden auch mit < zusamnien-
fallen kann.
2. Fassen wir nun zunachst den ersten Fall ins Auge, in
welcheni die Punkte 8 und ' immer reell und voneinander ge-
trennt sind, so wird keine Tangente des von ) ausgehenden
Quadrupels reell seinkonnen, \veil sons tfiirdiese zwei Punkte
und s' zusammenfielen (was gegen die Annahme ist), und bei
weiterer Drehung rnuBte der Fall zweier konjugiert-imaginarer
Punkte 5 ' eintreten, was ebenfalls gegen die Annahme ist.
Fiir die Tangente in D fallt einer der beiden Punkte '
nach D selbst, der andere ' ist der Tangentialpunkt D x zu D.
In diesem ersten Falle muB daher die 6 1(3) aus zwei
voneinander getrennten und in sich zusammen-
hangenden Ziigen bestehen, deren einen der Punkt und
den andern der Punkt >' durchlauft. Der eine der beiden
Ziige geht durch D; wir wollen diesen als von beschrieben
annehinen und den paaren Zug oder das Oval nennen,
weil jeder Strahl s ihn in zwei Punkten, namlich in O und
5, trifft; den andern von >' beschriebenen Zug wollen wir
den unpaaren Zug oder die Serpentine nennen, weil
jeder Strahl s ihn nur in einem reellen Punkte trifft. Er
enthalt notwendig den Tangentialpunkt O x zu 0.
9*
132 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Wir konrien in unserm Fall auch sagen: Jede Gerade
s, welche durch einen Punkt des paaren Zuges einer zwei-
ziigigen C (3) hindurchgeht, mu6 noch in zwei andern reellen
Punkten der C' (3) begegnen, von denen der eine auf dem
paaren, der andere auf dem unpaaren Zuge der Kurve liegt.
Aus dem Punkte D 1; dem Tangentialpunkt zu D, geht
die reelle Tangente | O x O | an die Kurve, folglich not-
wendig noch eine zweite reelle Tangente; die iibrigen beiden
Tangenten aus D t konnten reell oder auch konjugiert-ima-
ginar sein; daB letzeres nicht der Fall ist, geht aus dem
Folgenden hervor (5.).
3. Wenn auf dem um gedrehten Strahl s sowohl
reelle als auch konjugiert-imaginare Punkte ' fur ver-
schiedene Lagen von s vorkommen, so muB es Ubergangs-
falle zwischen zwei solchen Gebieten bei der Drehung von s
geben, d. h. es muB vorkommen, daB und ' zusammenfallen,
also aus D eine reelle Tangente an die C (3) geht, rnithin also min-
destens noch eine zweite reelle Tangente; die beiden iibrigen
konnen reell oder auch konjugiert-imaginar sein. Wir
wollen die erstere Annahme an dritter Stelle behandeln und
jetzt annehmen, daB aus D nur zwei reelle Tangenten
^ und t. 2
an die C (3) gehen (die ubrigen beiden Tangenten aber kon-
jugiert-imaginar seien).
In diesem Falle teilen die beiden reellen Tangenteu
den ganzen Raum der Ebene in vier Gebiete, zwei Scheitel-
raunie und die beiden Nebenscheitelraume. Das eine Paar
Scheitelraume enthalt sanitliche Punktepaare ', die auf
einem durch gehenden Strahle s getrennt voneinander
liegen; das andere Paar Scheitelraume enthalt iiberhaupt
keinen reellen Punkt der Kurve weiter. In dem ersteii
Paar Scheitelraume muB also die ganze C (3) verlaufen und
einen zusammenhangenden Zug bilden; wir nennen sie
eine einziigige C (3) oder Serpentine. Sie haDgt irn Un-
endlichen zusammen, wie die Hyperbel, kann auch durch
ihre unendlich entfernten Punkte in mehrere Zweige zer-
16. Allgemeine Untersuchung der versch. Gestalten etc. 133
fallen, die miteinander wie die Hyperbel zusammenhangen;
iiber diesen Zusammenhang in den unendlich entfernten
Punkten werden wir noch spater eine Uberlegung anstellen.
Vorlaufig tritt uns diese C (3> im Gegensatz zur vorigen als
eine einziigige entgegen, die durch den Punkt D selbst
hindurchgelit (sobald namlich 8 nach D fallt, geht >' nach
DJ und die charakteristisclie Eigenschaft besitzt, daB dieser
eine Zug ein unpaarer Zug ist ; d. h. eine Gerade s ihm
nur entweder in drei oder in einem reellen Punkte (D) be-
geguen kann.
4. Es bleibt uns jetzt nur noch der dritte Fall ubrig,
namlich die Annahme, daB von dem Punkte D der Kurve
vier reelle Tangenten
h> hi ^S) h
an dieselbe gehen.
In diesem Falle muB der Strahl s bei seiner Drehung
um D jedesmal beim Durchgange durch jeden dieser vier
Strahlen aus einem Gebiete, in welchem seine beiden iibrigen
Schnittpunkte ' reell sind, in ein solches ubergehen, in wel-
chem diese Punkte ' konjugiert-imaginar sind. Bezeichnen
wir mm die vier Tangenten aus D in der Reihenfolge, daB bei
der Drehung des Strahles s zuerst t 1} dann t 2} darauf t s und
endlich f 4 erreicht wird, bis s wieder in die Lage von t t
zuriickkehrt, und machen wir die zulassige Annahme, daB
bei der Drehung der Strahl s in den beiden Scheitelraumen
zwischen ^ und t 2 nur reelle Schnittpunkte 8' habe, so
wird man in den beiden Scheitelraumen zwischen t 2 und t s nur
konjugiert-iinaginare, zwischen t z und t wieder nur reelle
und endlich zwischen t A und ^ wieder nur konjugiert-ima-
ginare Schnittpunkte ' haben. Wir erhalten demgeniaB
zwei Paar Scheitelraurne, in welch en nur reelle Punkte der
C (3) sich befinden, in welch en also die ganze Kurve ver-
lauft, und dazwischen liegend zwei Paar Scheitelraume, die
keinen reellen Punkt der C (3) enthalten. Da diese Scheitel-
raume riichts miteinander gemein haben, als den Punkt D,
so muB die Kurve C T(3) eine zweiziigige sein, wie im ersten
Falle (2.). Der eine Zug verlauft ganz in einem Paar der
134 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
betreffenden Scheitelraume und geht durch den Punkt D
selbst hindurch; auf ihm liegt auch der Tangentialpunkt
Oij wir wollen ihn den unpaaren Zug nennen, well jeder
Strahl s, welcher in diese betreffenden Scheitelraume hinein-
fallt, der C (3) in drei reellen Punkten begegnet. Der andere
Zug geht nicht durch ), weil die (7 (3) keinen Doppelpunkt
hat; wir wollen ihn den paaren Zug nennen, weil jede
Gerade s ihm in zwei reellen Punkten begegnet, sobald sie
in die betreffenden beiden Scheitelraume hineinfallt, zwischen
denen er liegt, wahrend der dritte Schnittpunkt O auf dem
andern Zuge liegt. Jede andere Gerade s durch O, welche
in einen der iibrigen vier Scheitelraume hineinfallt, die keinen
Punkt der C (3) enthalten, begegnet der (7 (3) auBer in dem
reellen Punkte O nur noch in zwei konjugiert-imaginaren
Punkten 88'.
5. Wir haben hierdurch alle Moglichkeiten erschopft
und nur drei Falle I., IT., III. zu unterscheiden gehabt; in
den Fallen I. und III. ist die 6 !(3) eine zweiziigige, in dem
Falle II. eine einziigige. Die Falle I. und III. decken sich
aber, wie wir sogleich sehen werden, so daG nur zwei
wesentlich verschiedeue Gestalten der C' (3) hervorgehen.
Wir wissen zunachst, daB wenn eine C (3) einen Punkt O
besitzt, aus welchem keine oder vier reelle Tangenten an
dieselbe gehen (I. und III.), dieselbe eine zweiziigige sein
muB; dagegen wenn sie einen Punkt D besitzt, aus welcheni
nur zwei reelle Tangenten an dieselbe gehen (II.), so
muB die C (3) eine einziigige sein. Hieraus folgt in dem
Falle I., weil die C (3) eine zweiziigige ist und aus dem Tan-
gentialpunkt D! des Punktes D mindestens zwei reelle Tan-
genten an dieselbe gehen, daB notwendig alle vier Tangenten
aus D x an die (7 (3) reell sein miissen, denn sonst konnte sie
nur eine einziigige sein.
Die Falle 1. und III. unterscheiden sich nur dadurch
voneinander, daB bei I. der Punkt ) auf dern paaren, bei
III. der Punkt D auf dem unpaaren Zuge der C (3) liegt.
Nehmen wir nun im Falle I. auf dem durch D gehenden
Zuge (dem paaren Zuge) einen beliebigen andern Punkt ty
16. Allgemeine Untersuchung der versch. Gestalten etc. 135
an, so miissen aus ihm entweder vier oder keine reelle Tan-
gente an die C (3) gehen, well diese eine zweiziigige ist. Die
erste Moglichkeit trifft aber nicht zu, denn sonst miisste
die Gerade | ty | der (3) in einem dritten Punkte begegnen,
welcher nach III. auf demselben Zuge, der durch $P, also
auch durch D geht, liegen miisste. Dies ist indessen bei
I. nicht der Fall, wie wir wissen, sondern der dritte Schnitt-
punkt von O^5 | mit der C (8) liegt auf dem andern Zuge
(dem uupaaren), welcher nicht durch D geht. Also kann
durch ty keine reelle Tangente an die C (3) gehen.
In dem Falle I. haben also samtliche Punkte desjenigen
Zuges, welcher durch O geht, des paaren Zuges, die Eigen-
schaft, dafi keine reelle Tangente aus ihnen an die C (3) geht.
Xehrnen wir dagegen im P'alle I. den zu D zugehorigen
Tangentialpunkt Dj, welcher auf dem nicht durch D gehenden
Zuge, dem unpaaren, liegen muB, so wird, weil die Kurve
eine zweizugige ist, der Punkt D t vier reelle Tangenten an
die C (3) senden miissen, und jeder durch Oj gezogene Strahl
s, welcher noch einen zweiten Punkt ^ dieses Zuges ent-
halt, muB nach III. auch seinen dritten Schnittpunkt auf
diesem Zuge haben. Aus dem zweiten Punkte ^ gehen
nun entweder vier reelle Tangenten an die C (3) oder keine,
weil sie eine zweizugige ist. Die letztere Moglichkeit ist
wiederum ausgeschlossen, denn sonst miisste | ^ 1 O 1 1 der (7' 3)
in einem dritten Punkte begegnen, welcher nach I. auf dem
andern nicht durch ty lf also auch nicht durch )j gehenden
Zuge liegen miisste, was nicht der Fall ist. Also haben in
dem Falle I. samtliche Punkte desjenigen Zuges, welcher
nicht durch D geht, des unpaaren Zuges, die Eigenschaft,
vier reelle Tangenten an die C (3) zu senden.
Gehen wir andererseits von dem Falle III. aus, in
welchem die (7 (3) ebenfalls eine zweizugige ist, so wissen
wir, daB durch D auf dem, unpaaren Zuge vier reelle Tan-
genten an die C f(3) gehen. Nehmen wir nun einen beliebigeu
Punkt s $ desselben Zuges, so miissen durch ihn entweder
vier oder keine reelle Tangente an die C (3) gehen. Die
letztere Moglichkeit ist unzutreffend ; denn ginge keine reelle
136 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Tangente aus ty an die C (3) , so miisste nach I. jeder durcb
$P gezogene Strahl s, welcher einen zweiten Punkt desselben
Zuges enthalt, seinen dritten Schnittpunkt auf dem andern
nicht durcli ^ gehenden Zug haben; nun hat aber der
Strahl | $PD | seinen dritten Schnittpunkt auf demselben
durch D und ^3 gehenden Zuge, folglich miissen aus ty vier
reelle Tangenten an die C (3) gehen.
In dem Falle III. haben also samtliche Punkte cles
durch gehenden Zuges (des unpaaren Zuges) die Eigen-
schaft, vier reelle Tangenten an die G'( 3) zu senden
Nehmen wir endlich in dem Falle III. irgend einen
Punkt ty des nicht durch O gehenden Zuges (des paaren
Zuges), so muS der dritte Schnittpunkt von | 0^5 | ebenfalls
auf demselben, dem paaren Zuge, liegen. Die Moglichkeit,
da 6 *p vier reelle Tangenten an die (7 (8) senden konnte, ist
dadurch wieder ausgeschlossen, denn sonst mtisste jeder
durch 9$ gehende Strahl s, welcher einen zweiten Punkt
desselben Zuges enthielte, auch seinen dritten Schnittpunkt
auf demselben Zuge haben, was fur den Strahl | ^5O | nicht
zutrifft; also kann aus ^3 keine reelle Tangente an die C (3)
gehen.
Im Falle III. haben also samtliche Punkte des nicht
durch ) gehenden Zuges (des paaren Zuges) die Eigen-
schaft, keine reelle Tangente an die C (3) zu senden.
Aus diesen vier Resultaten ersehen wir, daB die fun-
danientalen Eigenschaften der zweizugigen (7 (3) in den beiden
Fallen I. und III. sich vollstandig decken und daB wir so-
nach das Gesamtresultat aussprechen konnen:
Eine allgemeine Kurve dritter Ordnung (ohne
Doppelpunkt) kann nur zwei wesentlich voneinander
verschiedene Gestalten haben; entweder besteht sie
aus einem oder aus zwei kontinuierlich verlaufenden
Ziigen. Die einziigige hat die charakteristische
Eigenschaft, daB aus jedern ihrer Punkte nur zwei
reelle Tangenten an dieselbe gehen (selbstverstand-
lich auBer der Tangente in dem Punkte selbst), die
beiden iibrigen Tangenten aber konjugiert-imaginar
17. Drei Gestalten d. einziigigen u. fiinf d. zweizugigen C (3) . 137
sind. Die zweiziigige C (3) liat die cliarakteristische
Eigenschaft, daB aus samtlichen Punkten des einen
Zuges (des paaren) keine reelle Tangente an die
Kurve geht, dagegen aus jedem Punkte des andern
Zuges (des unpaaren) vier reelle Tangenten an die-
selbe gehen, von denen zwei den paaren und zwei
den unpaaren Zug beriihren. Die einziigige C (3) bil-
det selbstverstandlich einen unpaaren Zug, indem
jede Gerade in der Ebene ihr entweder in einem
oder in drei reellen Punkten begegnet. Die zwei-
ziigige G <(3) wird von jeder Geraden in der Ebene
immer so geschnitten, daB von den drei Schnitt-
punkten eine gerade Anzahl (also oder 2) auf
dem paaren Zuge und eine ungerade Anzahl (also
3 oder 1) auf dem unpaaren Zuge liegen.
Die eingeflochtene Bemerkung, daB von den vier reellen
Tangenten immer zwei den paaren und zwei den unpaaren
Zug beriihren 7 folgt aus dem Falle III., weil der eine Zug
ganz in dem einen Paar Scheitelraume, der andere ganz in
dem andern Paare enthalten ist von denjenigen Scheitel-
raumen zwischen t l t 2 t 3 t 4 , welche uberhaupt Punkte der
Kurve enthalten.
17. Drei Gestalten der einziigigen und fiinf
der zweizugigen (7 (3) .
1. Jede der beiden Hauptgestalten, in welch en die C (3)
auftritt, die einziigige und die zweiziigige C (3) , bietet mehrere
verschiedene Untergestalten dar, wenn man die unendlich
entfernten Pimkte der C'' 3 ^ in Betracht zieht. Fassen wir
zuerst die einziigige C" 3 ' ins Auge. Die unendlich entfernte
Gerade g^ begegnet der C (3; im allgemeinen in drei Punkten,
von denen einer immer reel! sein muB, die beiden andern
entweder beide reell und voneinander getrennt sein konnen,
oder beide in einen Punkt zusammenfallen, oder konjugiert-
imaginar sein konnen.
138 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Analog der Terminologie bei den Kegelschnitten unter-
scheiden wir daher drei Arten der einziigigen G H3) , iianilich
1. die elliptische Serpentine,
. 2. die parabolische Serpentine,
3. die hyperbolische Serpentine.
Die elliptiscbe Serpentine hat nur einen reellen
unendlich entfernten Punkt; die Tangente an demselben ver-
lauft im Endlicben und heiPt Asymptote. Die elliptiscbe
Serpentine bat also nur eine reelle im Endlicben verlaufende
Asymptote. Dieselbe begegnet der Kurve nocb in einem
dritten reellen und im Endlicben liegenden Punkt. Denken
wir uns diese Asymptote gezogen, so muB der kontinuier-
licbe Zug von der einen Halbebene auf einer Seite von der
reellen Asymptote durcb den dritten Scbnittpunkt in die
andere Halbebene iibergeben und sicb der Asymptote in
dem unendlicb entfernten Punkte derselben anscbliei^en von
verscbiedenen Halbebenen aus nach Art der Hyperbel, welcbe
sicb mit ibren beiden Zweigen an eine der Asymptoten an-
scblieBt und dadurcb im Unendlicben zusammenhangt.*
[Anmerkung. Wenn man in eineui gewohnlicheu
Punkte einer Kurve (der nicbt Wendepunkt oder singular
ist) die Tangente zieht, welche zwei benacbbarte Punkte
derselben verbindet, so kann dies unendlicb kleine Kurven-
stuck allemal ersetzt werden durcb ein gleicbes Stuck eines
Kegelschnitts. Fur einen gewohnlicben Kurvenpunkt liegt
also die Tangente zur Kurve genau so, wie fur einen Punkt
des Kegelschnitts, d. b. die unmittelbar vorhergehenden und
unmittelbar nachfolgenden Punkte der Kurve befinden sich
in derselben Halbebene von der Tangente. Lassen wir
durch Projektion oder durcb projektive Verwandlung den
Kurvenpunkt in die Unendlichkeit geben, so wird die Art
der Beriihrung bleiben wie beini Kegelscbnitt, namlicb wie
die Beriibrung einer Asymptote mit der Hyperbel in einem
unendlicb entfernten Punkte derselben, d. b. die beideii dem
unendlich entfernten Punkte sich nahernden Zweige werden
* H. Durege: ,,tiber die Formen der Kurven dritter Ordnung".
Journal f. Math. v. Borchardt, Bd. 75 S. 157.
17. Drei Gestalten d. einziigigen u. funf d. zweizugigen <7( s) . 139
Fig. 2.
in entgegengesetzten Halbebenen von der Asymptote liegeii
und beide mit ihrer konvexen Seite dem unendlich entfernten
Punkte zustreben.]
Wir konnen uns ein anschauliches Bild von der ellip-
tischen Serpentine machen, indem wir eine ausgeartete C (:1)
nehmen, welche aus einer Ellipse und einer dieselbe in zwei
reellen Punkten (Doppelpunkten) schneidenden Geraden be-
steht; losen wir sodann
die beiden Doppelpunkte
in der Weise auf, wie es
die nebenstehende Figur 2
zeigt, so entsteht die
elliptische Serpentine mit
ihrer einzigen reellen
Asymptote.
2. Die parabolische
Serpentine hat aufier
dem einen reellen unend-
lich entfernten Punkt mit
endlicher Asymptote noch
zwei zusammenfallende un-
endlich entfernte Punkte,
also die g^ selbst zur Tangente. Wir machen uns ein
anschauliches Bild von derselben, indem wir an Stelle der
vorigen Ellipse eine Parabel setzen, eine Gerade hinzufugen,
welche derselben in zwei reellen Punkten begegnet, das
Ensemble von Parabel uud Gerader als eine ausgeartete
C (3) auffassen und die beiden Doppelpunkte in der Art, wie
es die auf Seite 140 stehende Figur 3 zeigt, auf losen.
Die parabolische Serpentine besteht daher aus zwei unend-
lichen Zweigen, die aber einen zusammenhangenden Zug
bilden, indem sie einmal die g^ beriihren und sich in einem
unendlich entfernten Punkte derselben vereinigen, auBerdem
aber in einem dritten unendlich entfernten Punkte an die
endliche Asymptote sich von entgegengesetzten Halbebenen
aus anschlieBen nach Art der Hyperbel und dadurch im Un-
endlichen zusamnienhangen.
140
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Fig. 3.
3. Die hyperbolische Serpentine hat drei unendlich
entfernte getrennt voneinander liegende Punkte, also auch
drei im Endlichen verlaufende Asymptoten, Tangenten in
den drei unendlich entfernten Punkten. Die drei Asymptoten
bilden ein Dreiseit, an dessen Seiten sich die Serpentine in
den unendlich entfernten Punkten asymptotisch anschliesst,
nach Art der Hyperbel von verschiedenen Halbebenen aus
dem unendlich entfernten
Punkte sich nahernd, indem
sie jede der drei Asymptoten
noch in einem dritten end-*
lichen Punkte trifft. Diese
drei Punkte miissen in einer
Geraden liegen ( 8, 4).
Wir konnen uns ein an-
schauliches Bild von der
hyperbolischen Serpentine
machen, indem wir drei Ge-
rade in der Ebene als eine
ausgeartete C (3) auffassen
und die drei Doppelpunkte,
wie in der auf Seite 141
stehenden Figur 4 a und 4b
auflosen, namlich in dem von
den drei Geraden gebildeten
Dreieck entweder zwei innere
Winkel und einen AuBen-
winkel, oder alle drei AuBen-
winkel. In beiden Fallen
nimmtdie hyperbolische Serpentine eine gleiche Gestalt an; sie
zerfallt namlich in drei Zweige, die im Unendlichen zusammen-
hangen; der eine trifft keine der drei Asymptoten in einem
endlichen Punkte ; der andere eine derselben, der dritte die beiden
tibrigen. Der kontinuierliche Zusammenhang der drei Zweige,
die sich zu einem Zuge zusammenschlieBen, ist in beiden Figuren
durch die Pfeile angedeutet und beide Figuren sind in ihrer
Gestaltung nicht wesentlich voneinander verschieden.
17. Drei Gestalten d. einziigigen u. fiinf d. zweiziigigen C&. 141
Fig. 4 a u. 4b.
4. Gehen wir nunmehr zur zweiziigigen C (3) iiber, so
ergeben sich hier wiederum durch Betrachtung der unendlich
entfernten Punkte meh-
rere Arten der zwei-
ziigigen C (3) ; die unend-
lich entfernte Gerade
g^ kann namlich dem
paaren Zuge nur in einer
geraden Anzahl von
Punk ten (0 oder 2) dem
unpaaren Zuge nur in
einer ungeraden Anzahl
von Punkten begegnen.
Hieraus folgt, daB der
unpaare Zug immer einen
reellen unendlich ent-
fernten Punkt haben
muB, also in demselben
auch eine reelle Tan-
gente, Asymptote. Seine
beiden andern unendlich
entfernten Punkte kon-
nen entweder konjugiert-
imaginar sein, oder zu-
sammenfallen, oder reell
sein und getreunt von-
einander liegen; der
paare Zug kaim nur ent-
weder zwei reelle, ge-
trennt voneinander lie-
gende Punkte cder zwei
zusammenfallende, oder
zwei konjugiert - imagi-
nare Punkte haben. Da /
aber die Anzahl der auf
beiden Ziigen zusanimen enthaltenen Punkte immer nur drei
sein kann, so ergeben sich nur folgende fiinf Moglichkeiten:
142 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Die g^ enthalt Punkte:
auf dem paaren Zuge: auf dem unpaaren Zuge:
1. keinen, einen reellen und zwei
konj ugiert - imaginare ,
2. zwei zusammenfallende, einen reellen,
3. zwei reelle und getrennt einen reellen,
liegende,
4. keinen, einen reellen und zwei
zusammenfallende,
5. keinen, drei reelle und getrennt
liegende.
Nennen wir, wie es in 16 geschehen ist, den unpaaren
Zug die Serpentine, den paaren Zug das Oval, so ergeben
sich folgende fiinf Arten der zweiziigigen C (3) :
1. elliptische Serpentine mit elliptischem Oval,
2. elliptische Serpentine mit parabolischem Oval,
3. elliptische Serpentine mit hyperbolischem Oval,
4. parabolische Serpentine mit elliptischem Oval,
5. hyperbolische Serpentine mit elliptischem Oval.
DaB keine parabolische oder hyperbolische Serpentine
mit parabolischem oder hyperbolischem Oval existieren kann,
ist selbstverstandlich, weil die 6 7(3) nicht mehr als drei
reelle unendlich entfernte Punkte haben kann.
Wir wollen nun diese fiinf Gestalten naher be-
trachten.
5. Die elliptische Serpentine mit elliptischem
Oval hat nur einen reellen Punkt und eine reelle Asymp-
tote, an welche sich die Serpentine in gleicher Weise an-
schlieBt, im Unendlichen zusammenhangend wie die in 1.
betrachtete einziigige elliptische Serpentine. Wir machen
uns wiederum ein anschauliches Bild von derselben, indem
wir eine ausgeartete C' (3) nehmen, welche aus einer Ellipse
und einer dieselbe in zwei reellen Punkten schneidenden
Geraden besteht, diese beiden Doppelpunkte aber in anderer
Weise auflosen, wie fruher, namlich so wie in der auf
Seite 143 stehenden Figur 5.
Fig. 5.
17. Drei Gestalten d. einziigigen u. fiinf d. zweiziigigen C< s ). 143
Das Oval bildet eine in sich geschlossene, durchweg im
Endlichen verlaufende Gestalt, wie sie schematisch in der
Figur angedeutet ist.
Die elliptische Serpentine mit parabolischem
Oval unterscheidet sich von der vorigen Gestalt nur dadurch,
daB das Oval sich parabelartig
bis in die Unendlichkeit erstreckt,
die g^ beriihrt; wir gelangen zu
einem anschaulichen Bild der-
selben, indem wir eine ausgeartete
C (3) nehmen, welche aus einer
Parabel uud einer dieselbe in zwei
reellen Punkten schneidenden Ge-
raden besteht, diese beiden Doppel-
punkte aber in anderer Weise
auflosen Avie bei der einziigigen
parabolischen Serpentine, nanilich
so wie in der auf S^ite 144 stehen-
den Figur 6.
Die Kurve besteht aus zwei bis
ins Unendliche sich erstreckenden
Zweigen, deren jeder in sich zu-
sanirnenhangt, der eine asymp-
totisch an die einzige reelle end-
liche Asymptote sich anschlieBend,
der andere parabelartig die g x
beriihrend.
Die elliptische Serpentine mit hyperbolischom
Oval hat drei reelle im Endlichen verlaufende Asymptoten;
der einen Asymptote schlieBt sich die Serpentine im Un-
endlichen an, wie in den beiden friiheren Fallen; dagegen
spaltet sich das Oval in zwei Zweige, ebenso wie die Hyper-
bel, und beide Zweige des Ovals schliefien sich den beiden
iibrigen Asymptoten im Unendlichen an, ebenso wie die
beiden Zweig^ einer Hyperbel an ihre beiden Asymptoten.
Diese beiden Zweige hangen also im Unendlichen miteinander
zusammen und bilden einen kontinuierlichen Zug. Die
144
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Fif? 6.
Serpentine schneidet alle drei Asymptoten in je einem end-
lichen Punkt. Die ganze Kurve besteht daher aus drei bis
ins Unendliche verlaufenden Zweigen, von denen zwei unter
sich zusammenhangen, der dritte mit sich selbst; der Zu-
sammenhang der ersteren ist in der auf Seite 145 stthenden
Figur 7 durch Pfeile angedtutet.
Wir machen uns ein an-
schauliches Bild von difser
Kurve, indeni wir eine in
drei Gerade ausgeartete C (3)
nehmen und die drei Doppel-
punkte in anderer Weise auf-
losen, wie bei der einziigigen
hyperbolischen Serpentine,
namlich so wie die auf
Seite 145 stehende Figur es
zeigt, indeni wir einen inneren
Winkel und zwei AuBen-
winkel des Dreiecks auf-
losen.
6. Die parabolische
Serpentine mit ellip-
tischem Oval unterscheidet
sich von der einziigigen para-
bolischen Serpentine dadurch,
~~^ daB zu derselben uoch ein
ganz im Endlichen verlaufen-
des Oval hinzutritt. Die
Serpentine zerfallt in zwei
unendliche Zweige, indeni
sie einmal an die einzige endliche Asymptote nach Art der
Hyperbel in dem unendlich entfernten Punkte sich anschlieBt
und zusammenhangt und zwtitens gleichzeitig in einem andern
uneudlich entfernten Punkte die g^ beriihrt, also parabel-
artig in demselben zusammenhangt. Wir machen uns wieder
ein anschauliches Bild der Kurve, indem wir von einer aus-
gearteten C (3) ausgehen, die aus einer Parabel mid einer
17. Drei Gestalten d. einzugigen u. fiinf d. zweiziigigen C (3) . 145
Fig 7.
dieselbe in zwei reellen Punkten schneidenden Geraden be-
eteht, diese beiden Doppelpunkte aber in anderer Weise
auflosen, wie bei der einztigigen parabolischen Serpentine,
namlich so, wie die auf Seite 146 stehende Figur 8 es zeigt.
Endlich bleibt uns
als letzte Gestalt nock
zu betrachten iibrig
die hyperbolische
Serpentine mit
elliptischein Oval,
welche drei unendlich
entfernte getrennt
voneinander liegende
Punkte, also drei reelle
im Endlichen verlau-
fende Asyrnptoten hat.
Sie unterscbeidet sicb
von der einziigigen
hyperboliscben Ser-
pentine nur dadurch,
daB zu den drei Zwei-
gen, in welche die
Serpentine zerfallt,
noch ein vierter, namlich ein ganz im Endlichen verlaufendes
Oval hinzutritt. Der Zusammenhang der Serpentine ist
fur diesen Fall schon bei der einziigigen erlautert. Wir
rnachen uns ein anschauliches Bild von dieser Gestalt, indem
wir von einer in drei Gerade ausgearteten (7 (3) ausgehen
und die drei Doppelpunkte derselben dergestalt auflosen,
daB wir alle drei inneren Winkel des Dreiecks verschwinden
lassen, wie es die auf Seite 147 stehende Figur 9 zeigt.
7. Hierdurch sind samtliche verschiedenen Gestalten,
welche die (7 (3) iiberhaupt annehmen kann, erschopft; es
giebt deren acht, von denen drei der einzugigen und fiinf
der zweiziigigen C (3) angehoren; bei der einziigigen giebt es
eine Ubergangsgestalt (parabolische), bei der zweiziigigen
zwei tibergangsgestalten. Wir erkennen auch aus imserer
Schroter, Theorie der ehenen Kurren 3. Ordn.
10
146
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Betrachtung, daB alle moglichen voneinander verschiedenen
Gestalteu, welche durch die in mehrfacher Weise mogliche
Auflosung der Doppelpunkte bei einer ausgearteten C (3}
zum Vorschein kommen, hierin enthalten sind und daB
keine neuen Gestalten durch anderweitige Auflosung der
Doppelpunkte hervorgehen konnen.* Wir bemerken noch,
* Dieses Prozesses erwahnt als von Plucker herstammend Herr
F. Klein in seiner Abhandlung: t)ber Flachen dritter Ordnung. (Math.
Ann., Bd. VI S. 551.)
Vergl. auch Zeuthen: Sur les difFerentes formes des courbes
planes du quatrieme ordre. (Math. Ann., Bd. VII S. 410.)
Die Einteilung der allgemeinen Kurven dritter Ordnung in ihre
beiden Gattungen, die einziigige und die zweizugige, ist von Cremona
aufgestellt in der Abhandlung: Considerazioni sulle curve piane del
terz' ordine (Battaglini, Giornale di matematiche, torn II pag. 78), von
H. Duregebehandelt in der Abhandlung: tJberFormen der Kurven dritter
Ordnung (Borchardt, Journal f. Math., Bd. 75 S. 153 und Bd. 76 S. 59.)
17. Drei Gestalten d. einziigigen u. fiinf d. zweiziigigen (7 (8) . 147
Fig. 9.
daB die Figuren nicht' strenge, sondern nur schematisch die
Gestalten veranschaulicheii. Es ware jetzt nur noch der
Fall in Betracht zu ziehen, daB alle drei unendlich entfernten
Punkte der C (y) in einen
einzigen zusammenfallen;
dieser miiBte dann eiu
Wendepunkt der Kurve
sein und die g a seine
Wendetangeiite. Es wiirde
dabei nur die Serpentine
sich verandern, indein sie
gleichzeitig eine para-
bolische und eine hyper-
bolische wird, also der
(Ja sich parabolisch an-
schJieBt und Aveiter keine
endliche Asymptote be-
sitzt. Bei der zweiziigigen
(7(3) W u r de in diesem Fall
noch ein endliches Oval,
bei der einziigigen keines
hinzutreten. 1st aber nur
einer der drei unendlich
entfernteu Punkte ein
Wendepunkt, ohne daB
die beiden andern unend-
lich entfernten Punkte
mit ihm zusammenf alien,
so andert die Serpentine
ihren Charakter, indern
sie nicht, wie im allgemeinen, von verschiedenen Halbebenen
aus dem unendlich entfernten Punkte der Asymptote sich
n'abert uud im Unendlichen anschlieBt, sondern von einer
und derselben Halbebene aus verlaufend sich dem unend-
lich entfernten Punkte der endlichen Asymptote nahert;
denn die Asymptote kann in diesem Fall keinen endlichen
dritten Schnittpunkt mit der G' (3) weiter gemein haben,
10*
148 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
also auch nicht von einer Halbebene in die andere iiber-
treten.*
18. Bedingungeu fur die Erzeugung einer einziigigeii
C< 3) (Serpentine) durch zwei projektiye Strahlen-
involutionen in halbperspektiver Lage.
1. Wir wissen nach 16, daB aus jedeni Punkte einer
einziigigen 6 r(3) nur zwei reelle Tangenten t t und t 2 an die-
selbe gehen, die beiden andern allemal konjugiert-imaginar
sind. Beruhren nun t i und t 2 in den Punkten t x und t 2 , so
konnen nur diese allein als ein Paar konjugierter Punkte
aufgefaBt werden, durch welche das ganze System von
Paaren konjugierter Punkte bestimmt wird, und wir haben
also nur ein einziges System von Paaren konjugierter
Punkte, anstatt, wie im allgemeinen, drei Systeme ( -15).
Nehmen wir jetzt einen beliebigen Punkt 5t t der Kurve
und legen aus ihm die beiden reellen Tangenten ^ und f 2
an dieselbe, welche in t : und t 2 beruhren, so ist der ganze
Zug der Kurve, wie wir aus 16 wissen, mit seinen reellen
Punkten in ein em Paar Scheitelraume zwischen den beiden
Strahlen ^ und 2 enthalten, wahrend die beiden iibrigen
Scheitelraume (Nebenscheitelraume) gar keinen reellen Punkt
der C (S) enthalten. Die VerbinduDgslinie \tit 2 \ muB daher
der Kurve in einem dritten reellen Punkt X 2 begegnen,
welcher ebenfalls in den beideu ersten Scheitelraumen liegt.
Wenn wir einen beliebigen Punkt unserer Kurve mit
t t und t 2 verbinden und diese Verbindungsstrahlen zum
dritten Mai in t x ' und t' 2 der Kurve begegnen, so mussen
dieselben ebenfalls in den vorigen beiden Scheitelraumen
enthalten sein, in welchen iiberhaupt Kurvenpunkte liegen.
Da nun t{ und t 2 ein zweites Paar konjugierter Punkte sind,
und die zu 2^ zugehorige Strahleninvolution durch die beiden
Strahlenpaare
* Vergl. H. Schroter: B t)ber Kurven dritter Ordnung" (Matb.
Ann., Bd. VI S. 102).
18. Bedingungen f. d. Erzeugung einer einziigigen C w etc. 149
ISA | und ISA!, I Sit! | und l^tJI
bestiinrnt wird, so muB, well das eine Strahlenpaar durch
das andere nicht getrennt wird, die zu S x zugehorige
Strahleninvolution notwendig eine hyperbolische sein.
Zu j ist der konjugierte Punkt 2 , wie wir wissen,
der dritte Schnittpuukt von | tj t, | niit der Kurve. Der
durch X. 2 gehende Strahl | X 2 t 1 t 2 | verbindet zwei konjugierte
Punkte der G 1(3) , ist also ein Doppelstrahl der zu X 2 zu-
gehorigen Strahleninvolution, und diese ist daher ebenfalls
eine hyperbolische. Da die den beiden konjugierteu
Punkten x und X 2 zugehorigen Strahl eninvolutionen beide
hyperbolisch sind, so miissen die den samtlichen Paaren
konjugierter Punkte zugehorigen Strahleninvolutionen immer
gleichartig sein ( 15, 3). Sie miissen aber in unserem Falle
inimer beide hyperbolisch sein, weil das, was von deni will-
kurlich auf der C (3) angenomnienen Punkte X x gilt, auch
von jedem andern Punkte derselben gelten muB; mithin sind
fiir eine einziigige C (3) zwei erzeugende projektive Strahlen-
involutionen immer beide hyperbolisch.
2. Da die Doppelstrahlen der zu S^ zugehorigen hyper-
bolischen Strahleninvolution durch jedes Paar konjugierter
Strahlen derselben harinonisch getrennt werden, so muB
einer dieser beiden Doppelstrahlen in diejenigen beiden
Scheitelraume zwischen ^ und t 2 hineinfallen, welche die
Punkte der Kurve enthalten und der andere Doppelstrahl
in die Nebenscheitelraume, welche keinen reellen Punkt der
Kurve enthalten. Der erste Doppelstrahl muB der Kurve
in zwei reellen Punkten begegnen ( 16), der andere in zwei
konjugiert-imaginiiren. Dasselbe gilt auch, wie von X,, von
jedem andern Punkte der Kurve. Wir konnen demnach
folgendes Resultat aussprechen:
Eine einziigige Kurve dritter Ordnung (Serpen-
tine) kann nur erzeugt werden von zwei Strahlen-
involutionen in projektiver Beziehung und halb-
perspektiver Lage, die beide hyperbolisch sind und
eine derartige Lage haben, daB von jeder derselben
]50 Theorie der ebenen Kurvea dritter Ordnung.
der eine Doppelstrahl der Kurve in zwei reellen, der
andere in zwei konjugiert-imaginaren Punkten be-
gegnet. (Die C (3) ist also hyperbolischeri Charakters, 15.)
3. Wir konnen die Bedingung fur die Lage der beiden
erzeugenden hyperbolischen Strahleninvolutionen noch scharfer
ausspreehen, wenn wir uns des Hilfsmittels bedienen, von
dem wir schon friiher wiederholt Gebrauch gemacht haben
( 3), indeni wir jede der beiden Strahleninvolutionen ver-
mittelst eines Hilfskegelschnitts auf em einfaches Strahl-
biischel reduzieren.
Seien D x und O 2 die Mittelpunkte der beiden erzeugenden
hyperbolischen Strahleninvolutionen und | Dj |, | D 8 X | die
Tangenten der Kurve in den Punkten Oj und O 2 , welche
den gemeinschaftlichen Tangentialpuukt X haben. Ein Hilfs-
kegelschnitt -ZT (2) , welcher durch D : und D 2 geht und in diesen
Punkten dieselben Tangenten | D X X | und | O 2 X | hat, wie
die (7 (3) , wird von den Strahlenpaaren einer jeden der beiden
erzeugenden Strahleninvolutionen in Punktepaaren durch-
bohrt, deren Sehnen bez. durch zwei feste Punkte (S J und
2 laufen und zwei einfache Strahlbuschel beschreiben.
Diese stehen in projektiver Beziehung, weil die beiden er-
zeugenden Strahleninvolutionen projektiv sind. Da diese
ferner hyperbolisch sind, so rnussen die Mittelpunkte (5^
und ( 2 auBerhalb des Hilfskegelschnitts K (2} liegen. Wegen
der halbperspektiven Lage mu6 dem Strahlenpaar
|O,X| und (OjO, |
das Strahlenpaar
| O 2 X I und D 2 O, |
entsprechend sein; die zugehorigen Durchbohrungssehnen
mit K fallen daher zusammen in die Verbindungslinie
10,0,1,
und die beiden Punkte (5, und ( 2 miissen folglich auf dieser
Verbindungslinie liegen; zugleich folgt aber auch, dafi die
beiden Strahlbuschel [&J und [S 2 ], welche projektiv sind,
perspektive Lage haben, weil in die Verbindungslinie ihrer
Mittelpunkte zwei entsprechende Strahlen zusaninienfallen;
18. Bedingungen f. d. Erzeugung einer einzxigigen (7< 3 ) etc. 151
sie erzeugen daher eine gerade Linie /, von der jeder Punkt
mit & L und (. 2 verbunden zwei entsprechende Strahlen
der Reduktions-Strahlenbiischel [SJ und [CL,] liefert; 1st
also diese Gerade I errnittelt, und ist ein beliebiger Punkt
derselben, so schneidet
| (E, I | den 7 ( - } in dem Punktepaar i)jt){,
und die Strahlenpaare
| D^j und | 0,1;; | 7 I 0,1)0 1 und |0 2 l) 2 |
sind allemal entsprechende Strahlenpaare der beiden er-
zeugenden Strahleninvolutionen, dereii projektive Abhangig-
keit durch die gerade Punktreihe [j] auf I vermittelt wird.
4. Die Doppelstrahlen der beiden erzeugenden Strahlen-
involutionen [0,] und [0 2 ] mogen die Gerade ? bez. in den
Punktepaaren , .
x { und 8,3,
treffen, danu laBt sicb. die Bedingung fur die Erzeugung
der einziigigen (7 (3) aus der Lage dieser beiden Punktepaare
zueinander bestimmen. Sobald namlich jedes dieser
beiden Punktepaare durcli das andere getrennt
wird, inuB die erzeugte (7 (3) eine einziigige sein.
In der That, liegen die vier Punkte 1? { und 2 , ^ so,
daB das erste Paar durch das zweite getrennt wird, so wird
auch das zweite durch das erste Paar getrennt.
I
Nun sind | ^^1 und | & L %[ \ die beiden Tangenteu aus
Sj an den Hilfskegelschnitt K^, ebenso S 2 2 | und |S 2 g|
die beiden Tangenten aus (., an den Hilfskegelschnitt " C2) ;
daher wird von den beiden Strahlen : Sj 2 1 und S 1 2 | der
eine dem K (2) in einem reellen Punktepaar, der andere in
einem konjugiert-imaginaren Punktepaar begeguen miissen
wegen der Lage der vier Punkte . Der eine Doppelstrahl
2 2 1 der erzeugenden Strahleniuvolution [0 2 ] wird also
von dem entsprechenden Strahlenpaare der erzeugenden
Strahleninvolution [OJ in zwei reellen Punkten, der andere
152 Theorie der ebenen Kurven dritter Orclnung.
Doppelstrahl | O 2 2 1 i n zwe i konjugiert-imaginaren Punkten
getroffen, und dasselbe gilt fur die beiden Doppelstrahlen der
erzeugenden Strahlenin volution [DJ. Es findet also in der
That die fur die einziigige (7 (3) charakteristische Eigenschaft
statt, daB von den beiden Doppelstrahlen der erzeugenden
Strahleninvolutionen der eine der C m in zwei reellen, der
andere in zwei konjugiert-imaginaren Punkten begegnet;
also ist die vorige Behauptung bestatigt.
Was von dem willkiirlich gewahlten Paare konjugierter
Punkte D! und D 2 auf der (7 (3) gilt als Mittelpunkten zweier
erzeugenden Strahleninvolutionen, muB in gleicher Weise
fiir jedes andere Paar konjugierter Punkte derselben Kurve
gelten, weil alle die gleiche charakteristische Eigenschaft
besitzen, nur zwei reelle Tangenten an die Kurve zu senden.
19. Bedingungen fur die Erzeugung einer zwei-
zugigen C (3 > durcli zwei projektive Strahleninvolutionen
in halbperspektiver Lage.
1. Wir haben in 16 als charakteristische Eigenschaft
der zweiziigigen C (y) kennen gelernt, daB aus jedem Punkte
des paaren Zuges derselben keine, aus jedem Punkte des
unpaaren Zuges vier reelle Tangenten an dieselbe gehen.
Nehmen wir daher einen Punkt O des unpaaren Zuges, so
lassen sich die von ihm ausgehenden Tangenten
t i} t%, t s , tj
immer so bezeichnen, daS ^ und t 2 an den paaren Zug
gehen und zugleich die beiden Scheitelraume fixieren, in
denen der ganze paare Zug enthalten ist, t z und 4 an den
unpaaren Zug gehen und ebenfalls zwei Scheitelraume
fixieren, innerhalb deren der ganze unpaare Zug verlauft,
daB ferner zwischen diesen vier Scheitelraumen vier andere
sich hineinfugen, die keinen reellen Punkt der (3) enthalten,
und endlich die vier Tangenten in der Reihenfolge
h> h> h-> **
von einem urn O kontinuierlich gedrehten Strahl s erreicht
werden ( 16).
19. Bedingungen f. d. Erzeugung einer zweizugigen (7< s > etc. 153
Dies vorausgesetzt, wird das Strahlenpaar t^ nicht ge-
trennt durch das Strahlenpaar t 3 t, ebensowenig t 1 t i durch
t 2 t s , dagegen wird t^t z durch t 2 t^ getrennt.
Bezeichnen wir die Beriihruugspunkte der vier Tan-
genten entsprechend mit
*1J *2> *3> M?
so lasseu sich dieselben auf dreierlei Art in Paare kon-
jugierter Punkte (mit demselben Tangential punk t) zerlegen
( 15)
1) tj und t 2 , t 3 und t 4 als Paare konjugierter Punkte,
^) *i )> h> *2 *4 n n ))
3) *i }} M> ^2 )) ^3 J7 ?J JJ J>
Gemafi unserer Annahme fiir die Lage der vier Tan-
genten t l} t Z} t S} t wird dann im ersten Falle die zu D zu-
gehorige Strahleninvolution eine hyperbolische, im zweiten
Falle eine elliptische und im dritten Falle wieder eine
hyperbolische sein, und fur jeden dieser drei Falle ist
das ganze System der Paare konjugierter Punkte und der
zugehorigen Strahleninvolutionen vollstandig bestiimnt.
2. Im ersten Falle ist nun, wie wir wissen ? der zu
konjugierte Punkt ) 1 der Schnittpunkt
C^t,, t,t 4 )^D 1;
die ihm zugehorige Strahleninvolution eine hyperbolische,
und | tjt^ ', t 3 t 4 | sind ihre beiden Doppelstrahlen; der erste
begegnet dem paaren, der zweite dem unpaaren Zuge in
je zwei reellen Punkten; folglich liegt der Punkt C : auf
dem unpaaren Zuge.' Das Gleiche gilt von dem Punkte D
und demgemaB von jedem Paare konjugierter Punkte, die
auf dem unpaaren Zuge liegen. Dagegen muB jeder Punkt
des paaren Zuges seinen konjugierten Punkt wieder auf dem
paaren Zuge haben und jedem Punkte des paaren Zuges
muB eine elliptische Strahleniuvolution zugehoren; denn sei
ty ein solcher, und gehorte ihm eine hyperbolische Strahlen-
involution zu, so miiBte ein reeller Doppelstrahl derselbeu
der Kurve in zwei konjugierten Punkten begegnen, von
denen einer auf dem paaren, der andere auf dem unpaaren
154 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Zuge liegen miiBte. Dies 1st aber nicht moglich, well in
unserem Falle konjugierte Punkte immer auf demselben
Zuge liegen; also kann auch die zu ty zugehorige Strahlen-
involution keine hyperbolische sein.
Wir erhalten also im ersten Falle folgendes Resultat:
Wenn die beiden erzeugenden Strahleninvolu-
tionen in projektiver Beziehung und halbperspek-
tiver Lage beide hyperbolisck sind und jeder der
vier Doppelstrahlen der beiden Involutionen der
Kurve in je zwei reellen Punkten begegnet, so ist
die von ihnen erzeugte C (3) eine zweiziigige. Die
Mittelpunkte der beiden erzeugenden Strahleninvo-
lutionen liegen auf dem unpaaren Zuge. Die Paare
konjugierter Punkte der Kurve liegen so verteilt
auf derselben, daB jedes Paar auf demselben Zuge
sich befindet. Jedem Punkte des unpaaren Zuges
gehort eine hyperbolische Strahleninvolution zu,
deren Doppelstrahlen der Kurve in je zwei reellen
Punkten begegnen. Jedem Punkte des paaren Zuges
gehort eine elliptische Strahleninvolution zu. (Die
CW ist also elliptischen Charakters, 15.)
3. Im zweiten Falle ist die zu D zugehorige Strahlen-
involution eine elliptische; der zu D konjugierte Punkt D t
ist der Schnittpunkt
(tit., t,t 4 )-0,,
die ihm zugehorige Strahleninvolution ist eine hyperbolische,
uttd I M 3 1, I M*l sind ihre Doppelstrahlen; der Punkt Oj
liegt daher auf dem paaren Zuge. Das Gleiche gilt von
jedem Paare konjugierter Punkte, von denen immer der eine
auf dem unpaaren, der andere auf dem paaren Zuge liegt.
Die dem ersteren Punkte zugehorige Strahleninvolution ist
immer eine elliptische, die dem zweiten zugehorige eine
hyperbolische. Die Doppelstrahlen der letzteren begegnen
beide der Kurve in reellen Punktepaareii.
Wir schlieBen also fur den zweiten Fall folgendes Re-
sultat:
19. Bedingungen f. d. Erzeugung einer zweiziigigen C& etc. 155
Wenn von den beiden erzeugenden Strahlen-
involutionen in projektiver Beziehung und halb-
perspektiver Lage die eine hyperbolisch, die andere
elliptisch ist, so ist die von ihnen erzeugte C (y) eine
zweiziigige. Der Mittelpunkt der elliptischen Strah-
leninvolution liegt auf deni unpaaren, der Mittel-
punkt der hyperbolischen auf dem paaren Zuge.
Die Paare konjugierter Punkte liegen so verteilt
auf der Kurve, daB jeder Punkt des einen Zuges
seinen konjugierten Punkt auf dem andern Zuge hat.
Jedem Punkte des unpaaren Zuges gehort eine ellip-
tische, jedem Punkte des paaren Zuges eine hyper-
bolische Strahleninvolution zu. Die Doppelstrahlen
der letzteren begegnen beide der Kurve in reellen
Punktepaaren. (Die C (8) ist also dualen Charakters, 15.)
4. Ini dritten Falle ist die zu D zugehorige Strahlen-
involution eine hyperbolische, und der eine Doppelstralil
derselben niuB in die Scheitelraume zwischen t. 2 und t 3 , der
andere in die Scheitelraume zwischen 4 und ^ hineinfallen,
welche beide keinen reellen Punkt der 6 t(3) enthalten, also
beide Doppelstrahlen begegnen der Kurve in konjugiert-
iniaginaren Punkten. Der zu O koujugierte Punkt O t ist
der Schnittpunkt , , _
(***t) Wi) = ^n
er liegt daher auf dem paaren Zuge, und die ihm zugehorige
Strahleninvolution ist eine hyperbolische, deren beide Doppel-
strahlen |t 2 t 3 | und tjtj | der Kurve in reellen Punkte-
paaren begegnen. Das Gleiche gilt von jedem Paare kon-
jugierter Punkte DC 1? von denen imnier der eine auf dem
unpaaren, der andere auf dem paaren Zuge der C (8) liegt.
Wir konnen demgemaB folgendes Resultat aussprechen:
Wenn die beiden erzeugenden Strahleninvolu-
tionen in projektiver Beziehung und halbperspek-
tiver Lage hyperbolisch sind und die Doppelstrahlen
der einen hyperbolischen Strahleninvolution in
keinem reellen Punkte der Kurve begegnen, dann
ist die von ihnen erzeugte C (3) eine zweiziigige. Der
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Mittelpunkt dieser Strahleninvolution, derenDoppel-
strahlen in keinem reellen Punkte der Kurve begeg-
nen, liegt auf dem unpaaren Zuge; der Mittelpunkt der
andern Strahleninvolution des konjugierten Punktes
dagegen liegt auf dem paaren Zuge, und die Doppel-
strahlen derselben begegnen der Kurve in reellen
Punktepaaren. Die Paare konjugierter Punkte liegen
so verteilt auf der Kurve, dafi jeder Punkt des einen
Zuges seinen konjugierten Punkt auf dem andern
Zuge hat. Sanitlichen Punkten beider Ziige ge-
horen hyperbolische Strahleninvolutionen zu, aber
den Punkten des unpaaren Zuges solche, deren
Doppelstrahleu der Kurve in keinem reellen Punkte
begegnen, den Punkten des paaren Zuges solche,
deren Doppelstrahlen beide in je zwei reellen
Punkten der Kurve begegnen. (Die (7 (3) ist also hyper-
bohschen Charakters, 15.)
Der Fall, dafi fur zwei erzeugende hyperbolische Strahlen-
involutionen keiner der vier Doppelstrahlen der Kurve in
reellen Punkten begegnet, kann niemals eintreten. Denn
sobald nur einer der Mittelpunkte beider erzeugenden Strahlen-
involutionen auf dem unpaaren Zuge liegt, muB sein kon-
jugierter Punkt immer eine hyperbolische Strahleninvolution
aussenden, deren Doppelstrahlen beide der Kurve in reellen
Punkten begegnen, weil bei der zweiziigigen C (3) von dem
ersteren Punkte vier reelle Tangenten an dieselbe gehen.
Liegt aber einer der beiden Mittelpunkte der erzeugenden
Strahleninvolutionen auf dem paaren Zuge und ist diese
eine hyperbolische, so muB ein reeller Doppelstrahl der-
selben, weil er einen Punkt des paaren Zuges enthalt, noch
einen zweiten reellen Punkt desselben enthalten und den
dritten Schnittpunkt auf dem unpaaren Zuge haben; jed en-
falls muB es ein Doppelstrahl sein, welcher der Kurve in
zwei reellen Punkten begegnet; also ist es nicht moglich,
dafi von zwei erzeugenden hyperbolischen Strahleninvolutionen
der zweiziigigen C (3) alle vier Doppelstrahlen keinen weiteren
reellen Punkt der Kurve enthalten.
19. Bedingungen f. cl. Erzeugung einer zweizugigen 0'^ etc. 157
5. Wir mussen aber nun noch einmal zu deni ersten
Falle zuriickkehren, bei welchem Paare konjugierter Punkte
immer auf demselben Zuge der zweizugigen C (3) enthalten
sind. Wir haben namlich nur die Voraussetzung gemacht,
daB der Punkt D, von welchem wir ausgingen, auf dem
unpaaren Zuge (1.) liege. Nehmen wir dagegen einen Punkt
^8 des paaren Zuges an, so bestimmen die Strahlenpaare
1 t <t und t t
3) |?tj |$t 4 l. |$t,| |*t,|
drei Strahleninvolutionen, von denen fcekanntlich iuimer
zwei hyperbolisch sein miissen und die dritte elliptisch ist.
Da nun in den Fallen 2) und 3) die jedem Punkt ty des
paaren Zuges zugehorige Strahleninvolution eine hyper-
bolische ist, so muB sie in dem Falle 1) eine elliptische
sein. Also miissen in dem ersten Falle, wenn wir zwei
konjugierte Punkte auf dem paaren Zuge der (7 (3) (und in
diesem Falle liegen immer zwei konjugierte Punkte auf
demselben Zuge der Kurve) als Mittelpunkte erzeugender
Strahleninvolutionen wahlen, dieselben beide elliptisch sein.
Wir mussen daher dem ersten Falle noch ein zweites Re-
sultat hinzufiigen:
Wenn die beiden erzeugenden Strahleninvolu-
tionen in projektiver Beziehung und halbperspek-
tiver Lage elliptisch sind, so ist die von ihnen er-
zeugte C&) eine zweiziigige, und die Mittelpunkte
beider Strahleninvolutionen liegen auf dem paaren
Zuge. Die Paare konjugierter Punkte liegen so ver-
teilt auf derselben, daB jedes Paar auf demselben
Zuge sich befindet. Jedem Punkte des paaren Zuges
gehort eine elliptische Strahleninvolution zu; jedem
Punkte des unpaaren Zuges eine hyperbolische,
deren Doppelstrahlen der Kurve in je zwei reellen
Punkten begegnen. (Die C (3) ist also elliptischen Cha-
rakters.) Bierdurch sind alle Moglichkeiteu fur die Er-
zeugung einer C (3) durch zwei projektive Strahleninvolutioneu
158 Theorie cler ebenen Kurven dritter Ordnung.
in halbperspektiver Lage erschopft, wie aus der Unter-
suchung des folgenden Paragraphen hervorgeht.
Fassen wir die in 18 und 19 gewonnenen Resultate
zusammen, so sehen wir, daB eine (7 (3) dualen Charakters
nur auf eine Weise hervortritt und zwar als zweizugige
( 19, 3), dagegen eine C^ elliptischen Charakters auf zwei
Weisen hervorgeht, beidemal als zweizugige und init dem
Unterschiede, da6 das eine Mai die Mittelpunkte der er-
zeugenden Strahleninvolutionen auf dem paaren Zuge, das
andere Mai auf dem unpaaren Zuge angenommen werden
( 19, 5 und 19, 2), endlich eine (3) hyperbolischen Cha-
rakters auf zwei Weisen auftritt, einmal als einziigige
( 18,2) und zweitens als zweizugige ( 19,4). Da in den
beiden letzten Fallen den Punkten des unpaaren Zuges
hyperbolische Strahleninvolutionen zugehoren, von deren
Doppelstrahlen entweder der eine oder beide der G' (3) in
konjugiert-imaginaren Punkteu begegnen, so ist die zu einer
6 r(3) hyperbolischen Charakters zugehorige (3) entweder
dualen oder elliptischen Charakters, niemals hyperbolischen
Charakters, wodurch die am Ende von 15 gemachte Be-
merkung bestatigt wird. In den drei iibrigen Fallen ist die
$< 3 > immer hyperbolischen Charakters, weil reelle Doppel-
strahlen in diesen Fallen in reellen Punktepaaren der (7 (3)
begegnen.
20. Untersuchung aller moglichen FSlle bei der
Erzeugung einer C (3) dnrch zwei projektive Strahlen-
involut ionen in halbperspektiver Lage.
1. Gehen wir umgekehrt, wie in den beiden vorigen
Paragraphen, von der Erzeugung einer G' |3) durch zwei pro-
jektive Strahleninvolutionen in halbperspektiver Lage aus,
so treten uns zunachst drei Moglichkeiten entgegen, namlich
) beide erzeugende Strahleninvolutionen sind elliptisch,
/3) die eine ist elliptisch, die andere hyperbolisch,
y) beide sind hyperbolisch.
20. Untersuchung aller niogl. Falle b. d. Erzeugung einer C( 8 ) etc. 159
Wir wenden nunmehr die Hilfsbetrachtung an, we]che
bereits in 18,3 auseinander gesetzt ist, indem wir die
projektive Abhangigkeit der beiden erzeugenden Strahlen-
involutionen O x und > 2 durch die Punkte einer Geraden
I vermitteln und die Strahleninvolutionen selbst auf zwei
einfache Strahlbiischel (^ und (., reduzieren verniittelst
eines Hilfskegelschnitts K (2 \ welcher durch ) : und D 2 geht-
und die Tangenten der (7 (3) in diesen Punkten beriihrt; die
Punkte (5^ und 2 miissen dann auf der Verbindungslinie
| D! Dg. | Hegen und entweder innerhalb oder auBerhalb des
Kegelschnitts K&, je nachdem die Strahleninvolutionen [CJ
und [D 2 ] elliptisch oder hyperbolisch sind.
Irgend ein Punkt r. der Geraden I liefert dann zwei
entsprechende Strahlen (j | und | (., , welche K^ in
den Punktepaaren t)j t^'und t) 2 ^ schneiden, und die Strahlenpaare
sind entsprechende Strahlenpaare der beiden erzeugenden
Strahleninvolutionen. Entspricht einem Doppelstrahl der
einen Involution ein reelles Strahlenpaar der andern, so sind
die beiden Schnittpunkte desselben niit dem ersteren die
Beriihrungspunkte zweier reellen Tangenten, welche vom
Mittelpunkte der zweiten Involution an die Kurve gehen.
2. Dies vorausgeschickt nehmen wir nun den ersten
Fall an, da 6 die beiden erzeugenden Strahleninvolutionen
elliptisch sind, dann liegen (5 X und ( 2 beide innerhalb des
Hilfskegelschnitts K (2) . Jeder Strahl durch (5^, wie auch
durch ( 2 , begegnet dem 7T' 2) in zwei reellen, getrennt von-
einander liegenden Punkten; es giebt daher weder aus \
noch aus 2 reelle Tangenten an die erzeugte 6 T(3) , diese
muB daher eine zweiziigige sein, und die Mittelpunkte der
erzeugenden Strahleninvolutionen Dj) 2 miissen auf dem
paaren Zuge derselben liegen. Wir erhalten ferner nur
reelle Strahlenpaare in den beiden erzeugenden Strahlen-
involutioneu, die einander entsprechen. Zwei solche
x 1 x[ und x 2 x' z
schneideu sich in vier Punkten, die zwei Paare konjugierter
Punkte der C (3) liefern, namlich
1(50 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Da nun Oj und D 2 auf dem paaren Zuge der Kurve liegen,
so mussen p x und q 1 auf verschiedenen Ztigen der Kurve
liegen; nehmen wir also an, ^ liegt auf dem paaren, so
muB q x auf dem unpaaren liegen, folglich trifft D^qJ die C (3)
in p 2; einem Punkte des paaren Zuges, und D^ in q 2 ,
einem Punkte des unpaaren Zuges; es liegen also die kon-
jugierten Punkte p 1; p 2 beide auf dem paaren, q : , q 2 beide
auf dem unpaaren Zuge. Weil die Verbindungslinie j p, U 2
und ebenso auch die Verbindungslinie | q x q 2 allemal die
(7 (3) in einem Punkte des unpaaren Zuges treffen muB und
fur einen solchen Punkt diese Verbindungslinie ein Doppel-
strabl der zugehorigen Strahleninvolution ist, so sind die
zu samtlichen Punkten des unpaaren Zuges zugehorigen
Strahleninvolutionen hyperbolisch; einem Punkte des paaren
Zuges muB aber immer eine elliptische Strahleninvolution
zugehoren, weil die Verbindungslinie zweier konjugierten
Punkte der (7 (3) in diesem Falle niemals ihren dritten
Schnittpunkt auf dern paaren Zuge haben kann. Wir haben
also hier den in 19, 5 beschriebenen Fall vor uns.
3. Ist von den beiden erzeugenden Strahleninvolutiouen
die eine [DJ elliptisch und die andere [D 2 ] hyperbolisch,
so liegt G^ innerhalb und ( 2 auBerhalb des Hilfskegel-
schnitts K^; die beiden reellen Tangenten aus ( 2 an K^ ]
haben zwei Beriihrungspunkte, welche mit O 2 verbunden
die Doppelstrahlen der zugehorigen Strahleninvolution liefern.
Schneiden dieselben die vermittelnde Gerade I in
2 und 2 ,
und verbinden wir den innerhalb 2 (2) liegenden Punkt (^
mit 2 und 2 , so schneidet jeder der beiden Strahlen
^^1 und 6^; |
den K (2) in zwei reellen Punkten, welche mit D : verbunden
diejenigen Strahlenpaare liefern, die den Doppelstrahlen
|O 2 2 | und |O 2 8 2 ! entsprechen. Jeder der Doppelstrahlen
der Involution [O 2 ] wird daher in zwei reellen Punkten von
20. Untersuchung aller mogl. Falle b. d. Erzeugung einer (7(3) etc. 161
dem entsprecbenden Strablenpaar der Involution [D,] ge-
scbnitten. Diese beiden Strablenpaare aus O t sind also
vier reelle Tangenten an die C (3) . Die erzeugte C (3) ist
mitbin eine zweiziigige und der Punkt Dj liegt auf ibreni
unpaaren Zuge. Der Punkt 2 muB aber auf dem paaren
Zuge liegen, weil die Strableninvolution [DJ keine reellen
Doppelstrablen bat, also aucb der Punkt X keine reellen
Tangenten an die C r(3) sendet. Die elliptiscbe Strablen-
involution [DJ entbalt nur reelle Strablenpaare, die hyper-
boliscbe [D 2 ] reelle, aucb konjugiert-imaginare Strablenpaare.
Entsprecben sicb nun zwei reelle Strablenpaare
1 i UJ.LCI JL o -/ Q
so liefern die vier Schnittpunkte
zwei Paare konjugierter Punkte p t p 2 und q^. Da nun D,
auf dem unpaaren und D 2 auf dem paaren Zuge der C^ } liegt,
so miissen pj und q 2 auf verscbiedenen Ziigen der Kurve
liegen; nebmen wir p t auf dem unpaaren Zuge an, so liegt
q 2 auf dem paaren; folglicb trifft JD^I die C^ in p.,,
einem Punkte des paaren Zuges, und | D 2 p._> | in q 17 einera
Punkte des unpaaren Zuges; die beiden konjugierten Punkte
p, , p 2 und ebenso q, , q 2 liegen also immer auf verscbiedenen
Kurvenziigen. Die Verbindungslinie | p x p 2 1 und ebenso auch
die Verbindungslinie | q t q 2 | trifft die C (3) allemal in einem
Punkte des paaren Zuges und ist fiir einen solcben Punkt
ein Doppelstrabl der zugeborigen Strableninvolution. Daher
sind die zu samtlicben Punkten des Zuges zugehorigen
Strableninvolutionen byperboliscb. Einem Punkte des un-
paaren Zuges muB aber immer eine elliptiscbe Strablen-
involution zugeboren, weil die Verbindungslinie zweier kon-
jugierten Punkte der C (3) in diesem Falle menials ibren
dritten Scbnittpunkt auf dem unpaaren Zuge baben kann.
Wir baben also bier den in 19, 3 bescbriebenen Fall vor uns.
4. Sind endlicb beide erzeugende Strableninvolutionen
[DJ und [0 2 ] byperboliscb, so liegen die Punkte S, und
Schroter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordu.
IQ2 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
C.j beide auBerhalb des Hilfskegelschnitts K (2 \ senden also
reelle Tangentenpaare an denselben, deren Beriihrungspunkte
mit O 1 und D 2 bez. verbunden die vier Doppelstrahlen der
Involutionen [DJ und [O 2 ] liefern.
Hier werden wir nun mehrere Falle zu unterscheiden
haben je nach der Lage der vermittelnden Geraden / (S. 151),
auf welcher diejenigen Gebiete voneinander zu trennen sind,
in denen ein Punkt liegt, der mit C^ und (L, verbunden
solche Strahlen liefert, die X (2) in reellen Punktepaaren
begegnen oder nicht.
Gehen namlich von einem Punkte (S zwei reelle Tan-
genten an einen Kegelschnitt K^ und treffen eine Gerade I
in dem Punktepaar 3$', so trennen dieselben auf der Ge-
raden I zwei Gebiete voneinander; in dem einen liegen
solche Punkte j, deren Verbindungsstrahlen mit S dem
K^ in zwei reellen Punkten begegnen , in dem andern
solche Punkte , deren Verbindungsstrahlen mit S dem
K w in keinem reellen Punkt begegnen. Wir wollen diese
beiden Gebiete durch die Zeichen + und - voneinander
unterscheiden.
Nun kann entweder das +Gebiet zwischen und '
liegen und das Gebiet auBerhalb der Strecke ' oder
umgekehrt, je nach der Lage der Geraden I zu dem Kegel-
schnitt 7$T (2) . Haben wir aus zwei Punkten Sj und ( 2 zwei
reelle Tangentenpaare an K (2 \ welche in den Punktepaaren
M; und ,;
der Geraden I begegnen, so haben wir auf derselben zwei-
mal + Gebiete und Gebiete, die einander zum Teil decken
oder nicht decken, je nach der Lage der Punkte % 1} >[,%%,
2 zueinander, und hier konnen drei verschiedene Falle ein-
treten:
a) jedes der beiden Paare wird durch das andere ge-
trennt ;
/3) das eine Paar liegt ganz innerhalb des andern (d. h.
alle Punkte der einen Strecke sind gleichzeitig Punkte der
andern, aber nicht umgekehrt);
20. Untersuchung aller m6gl. Falle b. d. Erzeugung einer C 1 *) etc. 163
y) das eine Paar liegt ganz auBerhalb des andern Paares
(d. h. die beiden Strecken haben keinen Punkt miteinander
gemein).
Da nun eiu Punkt r, in einem -J- Gebiete mit S, oder ( 2
verbunden eine Gerade liefert, die dem Kegelschnitt K^ in
zwei reellen Punkten begegnet, so werden diese mit ) l oder
D 2 verbunden auch reelle Strahlenpaare der beiden Invo-
lutionen [DJ oder [D 2 ] liefern, die einander entsprechend
sind. Wir konnen also beurteilen, ob reelle Strahlenpaare
einander entsprechen oder konjugiert - imaginare oder ein
reelles einem konjugiert -imaginaren oder umgekehrt.
5. Betrachten wir daher den ersten Fall, in welchem
jedes des beiden Paare ^gj und % tiS %! 2 dureh das andere ge-
trennt wird, und bezeichnen wir die + und Gebiete fur
das erste Paar gjg,' oberhalb der Geraden /, fur das zweite
Paar 2 .' unterhalb der Geraden /, so haben wir im ersten
Fall die vier Moglichkeiten:
~l~ -a I
\. S
II.
III.
IV.
In alien diesen vier Fallen kommen entsprechende
-f Gebiete zur Deckung; es giebt also immer entsprechende
reelle Strahlenpaare der beiden erzeugenden Involutiouen.
Suchen wir die den Doppelstrahlen der erzeugenden hyper-
bolischen Involutionen entsprechenden Strahlenpaare auf, so
erkennen wir folgendes Verhalten: In I. entspricht:
11*
164 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
dem Doppelstrahl | D x x | ein imag. Strahlenpaar in
DS
a mag.
In II. entspricht:
dem Doppelstrahl ; D
^
2 2
ein reelles Strahlenpaar in
w ima g- n
reelles
In III. entspricht:
dem Doppelstrahl j O
ein imag. Strahlenpaar in
reelles
imag
reelles
In IV. entspricht:
dem Doppelstrahl | Dj
ein reelles Strahlenpaar in
ima g-
[D 2 ] ,
rn i
IVsJ 5
IAL
[DJ.
[D 2 ] ,
M;
[Oj,
[DJ.
[O 2 ],
[O 2 ],
[DJ,
[D 2 ] ,
m>2" reelles [DJ.
Da aber die Durchschnittspunkte eines Doppelstrahles
mit jedem der beiden Strahlen des entsprechenden Strahlen-
paares die Beriihrungspunkte des letzteren mit der (7 (3) sind,
so sehen wir, daB in alien vier Fallen (I., II., III., IV.) aus
jedem der beiden Mittelpunkte der erzeugenden Strahlen-
involutionen nur zwei reelle Tangenten an die C (3) gehen,
wahrend die beiden iibrigen konjugiert-imaginar sind. Von
den Doppelstrahlen jeder der beiden erzeugenden hyper-
bolischen Strahleninvolutionen schneidet der eine in zwei
reellen, der andere in zwei konjugiert-imaginaren Punkten
die (7 (3) . Wir haben also den in 18, 2 beschriebenen Fall
vor uns.
6. Wir gehen jetzt zu dem zweiten zu untersuchenden
Hauptfalle iiber, daB namlich das eine Paar 2 2 ganz
20. Untersuchung aller mogl. Falle b. d. Erzeugung einer (7( 8 ) etc. 165
innerhalb des andern !<{ gelegen ist. Wir haben hier
wiederum vier Moglichkeiten:
- +_ ., -
i. ; ^ :: ^ .
a +
- g ^
n. rzrzn.i^:
IV.
In den Fallen I., II., IV. giebt es immer entsprechende
-f-Gebiete, die sich decken, also auch immer reelle ent-
sprechende Strahlenpaare der beiden erzeugenden Invo-
lutionen. Nur in dem Falle III. kommen keine solchen vor.
Wir erhalten also in diesem Falle iiberhaupt keine reellen
Punkte der C (3) , weil immer, wo wir auch den Punkt j auf
/ annehmen mogen, entweder einem reellen Strahlenpaar in
[CJ ein konjugiert-imaginares Strahlenpaar in [O 2 ] oder
umgekehrt, oder einem imaginaren Strahlenpaar in [D x ]
wieder ein imaginares Strahlenpaar in [D 2 ] entspricht. Wir
konnen also diesen Fall als illusorisch ganz fortlassen, weil
wir dabei iiberhaupt keine reellen Punkte der C (3) (auBer
C^ und O 2 ) erhalten.
Suchen wir jetzt die den Doppelstrahlen der beiden er-
zeugenden hyperbolischen Involutionen entsprechenden Strah-
lenpaare auf, so erkennen wir folgendes Verhalten: In I.
entspricht:
dem Doppelstrahl | O 1 1 | ein imag. Strahlenpaar in [) 2 ],
^1*1 I n iPw;
O 2 2 ! reelles [Dj,
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
In II. entspricht:
dem Doppelstrahl D^l ein reelles Strahlenpaar in [C 2 j,
77 77 I ^2] 7
rr> i
77 77 L^-'lJ;
In III. entspricht:
dem Doppelstrahl | O
ein imag. Strahlenpaar in [O 2 ],
7, [O f ],
7, [OJ,
w
n
77 77
In IV. entspricht:
dem Doppelstrahl > 1 ^ 1 \ ein reelles Strahlenpaar in |"O 2 ],
77 77
imag.
77 n
[OJ,
Wir sehen hieraus, daB in dem Falle 1. der Mittel-
punkt O t vier reelle Tangenten, der Mittelpunkt C 2 keine
reelle Tangente an die C^ sendet; im Falle IV. ist es um-
gekehrt. Die beiden Doppelstrahlen der einen erzeugenden
Strahleninvolution begegnen also der C (3) in vier reellen
Punkten, die der andern in keinem. Wir haben also den
Fall 19, 4 vor uns.
Im Falle II. sendet jeder der beiden Punkte D 1? &., vier
reelle Tangenten an die (7 !3) und jeder der vier Doppel-
strahlen der beiden erzeugenden hyperbolischen Involutionen
begegnet der C (3) in zwei reellen Punkten. Wir haben also
den Fall 19, 2 vor uns. Der Fall III. ist schon als illu-
sorisch erkannt worden, was auch mit der Bemerkung in
19, 4 S. 156 iibereinstimmt.
7. Es bleibt jetzt nur noch der dritte Hauptfall zu
untersuchen iibrig, der indessen nichts neues bietet, sondern
nur eine Wiederholung des vorigeu.
20. Untersuchung aller mogl. Falle b. d. Erzeugung einer C?< 3 ) etc. 1(37
Liegt namlich das Punktepaar $j %[ ganz getreunt von
dem Punktepaar 2 ^a? so dafi beide Strecken keinen geuiein-
schaftlichen Punkt haben, so gestalten sich die Moglich-
keiten folgendermaBen:
si-
*!_!,*;.
I
Hier geht nun der Fall I. als illusorisch heraus, weil
iiberhaupt fiir keinen Punkt der Geraden / eineni reellen
Strahlenpaare der Involution [OJ wieder ein reelles Strahlen-
paar in [0 2 ] entpricht; wir erhalten also iiberhaupt keine
reellen Punkte der (3) bei dieser Erzeugung. In den drei
iibrigen Fallen II., III., IV. giebt es entsprechende +Gebiete,
die sich decken, also auch reelle entsprechende Strahlen-
paare der beiden erzeugenden Involutionen. Suchen wir die
den Doppelstrahlen der beiden erzeugenden hyperbolischen
Involutionen entsprechenden Strahlenpaare auf, so ergiebt
sich folgendes Verhalten:
In I. entspricht:
dem Doppelstrahl j D^^ ein imag. Strahlenpaar in [O 2 ],
!T)
^-
168
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
In II. entspricht:
dem Doppelstrahl | D
In III. entspricht:
dem Doppelstrahl (D
ein reelles Strahlenpaar in [D 2 ],
ein imag. Strahlenpaar in [O 2 J ;
77 77 77 77 L^2J7
reelles [D, 1.
In IV. entspricht:
dem Doppelstrahl | & 1
0,8;
ein reelles Strahlenpaar in [D 2 J,
Da diese vier Moglichkeiten genau dasselbe Bild dar-
bieten, wie im vorigen Falle (6.), so brauchen wir die Fol-
gerungen daraus nicht zu wiederholen.
Es eriibrigt aber noch der Ubergangsfalle Erwiihnung
zu thun, in welchen die beiden Strecken t j und 2 2 in
einem ihrer Endpunkte zusammenstofien oder mit beiden
zusammenfallen. In einem solchen Falle muGte einem Dop-
pelstrahl der einen erzeugenden Involution gerade ein Doppel-
strahl der andern entsprechen, und der Schnittpunkt beider
miiBte daher ein Doppelpunkt der Kurve, die beiden
Doppelstrahlen die Tangenten in demselben sein. Eine CW
mit Doppelpunkt ziehen wir aber hier nicht in den Kreis
unserer Betrachtung. Sie tritt nur auf, so bald zwei kon-
jugierte Punkte der (3) zusammenfallen, was im allgemeinen
nicht der Fall ist. Fallen die beiden Strecken t { und
2 2 identisch aufeinander, so wiirde die C' (3) zwei Doppel-
punkte erhalten und daher ausarten in eine Gerade und
einen Kegelschnitt.
20. Untersuchung aller mb'gl. Falle b. d. Erzeugung einer C W etc. 169
Ein Uberblick fiber die gewonnenen Resultate, welche
in vollkommener Ubereinstimraung sind mit den in 18
und 19 ausgesprochenen, zeigt uns ; daB bei der Erzeugung
der C (3> dutch zwei projektive Strahleninvolutionen in halb-
perspektiver Lage die einziigige C (3! ; welche immer hyper-
bolischen Charakters ist, nur in einer einzigen bestimmten
Weise auftritt, die zweiziigige, wenn sie elliptischen Cha-
rakters ist ; auf zwei verschiedene Weisen erzeugt werden
kann, wenn sie aber dualen oder hyperbolischen Charakters
ist, wieder nur auf eine einzige Weise hervorgeht. Zu diesen
Resultaten gelangt auf ganzlich verschiedene Weise auch
Herr A. Harnack in seiner Abhandlung: ,,Uber die Ver-
wertung der elliptischen Funktionen in der Geometrie der
Kurven dritten Grades" (Math. Ann. Bd. IX S. 10).*)
21. Zusammenhang zwischen den konischen Polaren
YOU Punkten der (3) .
1. Wir haben in 9, 6 den Satz kenneii gelernt: ,,Zieht
man durch einen Punkt 51 der C f(3) Strahlen, deren jeder in
eineni Paar weiterer Punkte der C (3) begegnet und bestimmt
zu 51 den zugeordneten vierten harmonischen Punkt riick-
sichtlich des Punktepaares, so beschreibt derselbe bei der
Drehung des Strahles urn 51 einen Kegelschnitt 5t (2) ; welcher
durch 51 selbst hindurchgeht und dieselbe Tangente in 51
hat, wie die C (31 . Dieser Kegelschnitt 5t - 2) begegnet der C' 3 '
im allgemeinen in vier weiteren Punkten, welche mit 51 ver-
bunden das Tangentenquadrupel aus 51 an die C (3) bilden.
Die vier Beriihrungspunkte liegen eben mit den beiden zu-
sammenfallenden Beriihrungspunkten der Tangente in 51 auf
eineni und demselben Kegelschnitt 5( (:;) . Derselbe heiBt die
konische Polare des Punktes 51 riicksichtlich der (7 (3) ,
oder auch die erste Polare von 51."
Nehruen wir nun einen beliebigen zweiten Punkt 93 der
C^ 3) und bestimmen seine konische Polare S3 (2) , so wird die
*) Vergl. auch die Abhandlung von Herrn R. Sturm: Uber die
ebenen Kurven dritter Ordnung, Borchardt's Journal f.Math.Bd.90. S.85ff.
1 70 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Verbindungslinie |5{23| der Kurve in eineni dritten Punkte S
begegnen, und ist 5l x der vierte zu 51 zugeordnete harnio-
nische Punkt riicksichtlich des Paares S3&, ferner 53, der
vierte zu S3 zugeordnete harmonische Punkt riicksichtlich
des Paares (51, also
(!() = -1,
(S3 33^51) = ~1,
dann geht 5t< 2 > durch 51 und 31,, <'> durch und 1 ; die
gewohnliche Polare von 51 in Bezug auf den Kegelschnitt
S3 (2) geht also durch (, und die Polare von 33 uach 5( (2)
geht auch durch (, wie aus diesen harmonischen Beziehungen
hervorgeht.
Denken wir uns den Strahl i 3I53S j unendlich wenig
um 51 gedreht, so wird sich S3 nach dem unendlich nahen
Punkte S3', (5 nach dem unendlich nahen Punkte ' bewegen,
sodaB
die Tangenten in den Punkten s -8 und der C (3} werden.
Wenn wir sodann den vierten harmonischen Punkt zu 21 $'(',
der 51 zugeordnet ist, aufsuchen, so wird sich derselbe, 5([,
unendlich wenig von 5^ entfernen, sodaB
I **{!- 4
die Taogente in 5t, an der konischen Polare des Punktes 51,
d. h. an dem Kegelschnitt 5( (2) wird, welcher durch 51 und
51, geht. Da die beiden harmonischen Punktreihen
5t ^ 93 6
perspektive Lage haben, so miissen sich |5l,5l[ ,
d. h. die drei Tangenten
in einem Punkte schneiden, und umgekehrt, ziehen wir die
beiden Tangenten t%. t% in den beiden Punkten S3 und ( der
(7 (3) , verbinden ihren Schnittpunkt mit 51, , so ist diese Ver-
bindungslinie die Tangente fo, im Punkte 51, der konischen
Polare 51 < 2 >. Da der Punkt 93 auf der Geraden 5151! liegt,
so wird die Polare von S3 nach 5l (2) durch den Schnittpunkt
21. Zusammenhang zwischen den konischen Polaren etc. der(7W. 171
der beiden Tangenten % und t% l gehen miissen, weil
durch 21 und 21, geht; bezeichnen wir also den Schnittpunkt:
so ist nach der vorigen Bemerkung | a 6 | die Polare von
93 nach 2l l2) .
In gleicher Weise konstruieren wir die Polare von
21 nach 93 (2) . Nachdem wir den vierten harmonischen Punkt
93j ermittelt haben durch die Bedingung
(9393,621) = -!
und die Tangenten in 6 und 21 an der C (3)
verbindeii wir ihren Schnittpunkt mit 93,; diese Verbindungs-
linie ist
**>
die Tangente in 93, an der konischen Polare 93 U ' } ; ist dann
der Schnittpunkt der beiden Tangenten
so wird |b6| die gesuchte Polare von 21 nach 93 ' 2) sein.
Nehmen wir nun die drei Schnittpunkte der Geraden
y = | 21936 | und die drei Tangenten der C (3) in diesen
Punkten
und nennen die Schnittpunkte derselben
so bilden die vier Geraden tx, t%, ^g, g ein vollstandiges
Vierseit 7 dessen drei Diagonalpunkte sind
I = (S93 2 , 6( 2 ); t, - (66,, ,); 8 = (*,, ,).
Nun sind bekanntlich
E9l, I?S , iE' )l > IS.
vier harnionische Strahlen, folglich die vier Durchschnitts-
punkte derselben mit g vier harnionische Punkte
6, 93, 21, ,,
folglich geht S 21 2 1 durch 2l n und da | Sl^ j die Tangente
in 2tj an der konischen Polare 2T' 2) ist, so geht dieselbe
172 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
auch durch J; der Punkt = (% fo,) ist also der vierte har-
monische Punkt zu 3193 2 ( 2 , namlich
und wir haben auch die vier harmonischen Strahlen
(S (8, <ga) - - 1.
In gleicher Weise sind
vier harraonische Strahlen; folglich schneidet | t)93 2 1 die g
in dem vierten harmonischen Punkte 93 1; sodaB
((519333,) = -!
wird, und | t)93 2 93! \ ist die Tangente in ^ an der konischen
Polare 93 (2) . Der Puukt 6 = (/s B,) ist also der vierte har-
monische Punkt zu 93( 2 21 2 , namlich
und wir haben auch die vier harmonischen Strahlen
(5(
Aus der Gleichheit
&(33 2 (
aber, da
|(33 2 EE]
ist. folgt endlich
d. h. (Sab liegen auf einer und derselben Geraden; also die
beiden Geraden j d i und Sb fallen identisch zusammen.
Wir haben daher den fundamentalen Satz:
Sind $1 und 93 zwei beliebige Punkte der C w
und ?l (2) und 93 (2) die konischen Polaren derselben,
so ist die (gewohnliche) Polare des Punktes 31 in
Bezug auf den Kegelschnitt 93 (2) identisch mit der
Polare von 93 in Bezug auf 2l/ 2) .
(Einen speziellen Fall dieses Satzes, namlich wenn 31
und 93 konjugierte Punkte der C T(3) sind, haben wir bereits
in 9, 7 S. 70 kennen gelernt.)
21. Zusammenhang zwischen den konischen Polaren etc. der C^. 1 73
2. Wenn wir von den drei Punkten 51, 93, (, in welchen
die Gerade g der C (3) begegnet, die konischen Polaren 5l (2) ,
93< 2) , ((2) herstellen, und die beiden Kegelschnitte 51 (2 >, 93 (2)
einen gemeinschaftlichen Punkt <3 haben, so schneide
die Gerade @5l i die C< 3 > noch in 5T und 51",
(S93 S3' 33"
11 i v ~' '*-' ' 7? ?; 77 ~ 7? '*-' 7
dann m(issen ? weil S( ; 93, S auf einer Geraden liegen, die
sects Punkte W, ", 93', 93", (', " auf eineni Kegelschnitt
liegen ( 9, 5). Fur diesen Kegelschnitt sind @ und g Pol
und Polare, weil @ sowohl auf der konischen Polare 5l (2) ,
als auch auf der konischen Polare 93 (2) liegt; folglich miissen
auch S' und (" durch @ und g harmonisch getrennt werden
und daher muB (> auch auf der konischen Polare S (2 ' liegen;
dies gilt fiir jeden der vier gemeinschaftlichen Punkte der
beiden konischen Polaren ?t (2) und 93 (2) . Wir sprechen so-
mit den Satz aus:
Wenn eine Gerade g der C (3) in den drei Punkten
21, 93, ( begegnet, so gehoren die drei konischen
Polaren von denselben, 5l (2) , 93 (2) , (- 2) , eineni Kegel-
schnittbiischel an, d. h. haben dieselben vier ge-
meinsamen Grundpunkte.
Dieser Satz gilt allgemein, unabhangig von der Realitat
der Grundpunkte, wie aus folgender Betrachtung hervorgeht:
Sei X ein beliebiger Punkt der C (3) und 3E (2) seine
konische Polare, dann ist nach dem in 1. bewiesenen Satze
die Polare von 51 nach 3E< 2 ) identisch mit der Polare a von
36 nach 5l (2 \ ebenso die Polare von 93 nach 3' 2) identisch
mit der Polare b von 3 nach 93 (2) und endlich die Polare
von (5 nach 3 (2) identisch mit der Polare c von X nach
( (2) . Da nun die drei Punkte SI, 93, ( auf einer Geraden g
liegen, so miissen ihre drei Polaren a, b, c nach 3 (2) sich in
einem Punkte schneiden
(abc) == 36j,
und es miissen 3 und 9j konjugierte Punkte fiir Sl (8) , 93 (2) ,
gleichzeitig sein. Hiernach miissen entweder 51 (21 , 93 (2) ,
174 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
S (2) einem Biischel angehoren, in welchem Falle danu zu jedem
Punkte der Ebene die drei Polaren nach 2l< 2 >, S3 (2) , S (2) sich in
einem Punkte schneiden; oder es gehoren Sl (!j) , SS^', ( (2) nicht
einem Biischel an, dann bestimmen $l (2) , 95 (2) , S (i) ein Kegel-
schnittnetz, fiir welches nur besondere Punkte der Ebene, welche
die Tripelkurve erfiillen, diese Eigenschaft besitzen. (7 (3)
miiBte also die Tripelkurve dieses Netzes sein und 33, ein
Paar konjugierter Punkte der C (8 > ( 7). Die letztere An-
nahme ist aber unstatthaft. Denn unter Festhaltung der
Bezeichnung in 1. ist die Polare von SI nach 2t (2) die Tan-
gente t% = 31 a j, die Polare von 31 nach S3 (2) , wie wir ge-
sehen haben, die Gerade | Sba und ebenso die Polare von
51 nach ( (2) die Gerade | 93 c a |; also schneiden sich auch
die drei Polaren von 31 nach 3l (2 ^ 23 ( % S (2) in einem Punkte 0.
Es sind demgemaB SI uud a, ebenso 58 und b, ( und c
konjugierte Punkte fiir die C (3) . Da aber 31, S3, auf einer
Geraden liegen, so miiBten o, 6, c ein Tripel der Tripelkurve
C (8) bilden und auf derselben liegen. Andererseits sind aber
a, b, c die drei Tangentialpunkte zu 3t, S3, & und miiBten also,
da diese auf einer Geraden liegen, ebenfalls auf einer Ge-
raden liegen. Drei Tripelpunkte liegen aber im allgemeinen
niemals auf einer Geraden; dies wird also bei willkiirlicher
Annahrne der Geraden g nicht eintreten, und es folgt daraus,
daB die von uns geinachte Annahme unstatthaft ist, mithin
die drei Kegelschnitte 2l (2) , S3 (2) , (5 (2) einem Biischel an-
gehoren miissen.
3. Das Biischel der drei Kegelschnitte 2l (2 >, 33< 2 >, (' 2 >
schneidet auf der Geraden g die drei Punktepaare
* S3S3,, S^
aus, welche einer Punktinvolution angehoren. Dies ist auch
an sich erkennbar, denn aus den drei Bedingungen
durch welche die Punkte St n S3j, ^ bestimmt werden, folgt
durch bekannte Umformung
21. Zusammenhang zwischen den konischenPolaren etc. der(7 (3) . 175
=
(IBM*.)- 8,
terner aus
(aa^O = 3
(31 a t ( S3) = -
, (,)- -3
und in gleicher Weise zwei analoge Beziehungen
woraus hervorgeht, daB von den drei Punktepaaren
aa,, , , <<,
jedes durch das andere getrennt wird, well der Wert ihres
Doppelverhaltnisses negativ ist.
Ferner folgt aus
33) - f ^ (a^SS^) - +
also
woraus hervorgeht, daB die drei Punktepaare
einer Involution angehoren und zwar einer elliptischen
Punktinvolution, weil jedes Paar durch ein anderes ge-
trennt wird.
Die beiden Doppelpunkte S 7 Si dieser elliptiscben Punkt-
involution sind konjugiert-imaginar. Eine solche Gruppe
yon fUnf Punkten ^ ^ ^ ^ g _
nennt man ein aquianharmonisches System; ein solches
zeigt wegen der harmonischen Eigenschaft der Doppelpunkte
OSiaa,) = (ss^,) - oSiSs,) - - 1
die drei Projektivitaten
(aSBCSS,) A ((a33,) A (CaSSSO;
denn weil 31^ sowohl S3 als auch SSi harmonisch trennt,
so sind ^l^lj die Doppelpunkte einer Involution, von der
1 76 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
und 33>i zwei Paare konjugierter Punkte sind; also
haben wir
ebenso
2) (51333) = (51(5333,)
und
3) (5I33S3) = (3351(53!);
aus 1) und 3) folgt aber
(33(5513) = ((5335(3,) = ((551333)
oder
(5i 33 (53) = (33 (5 513)
u. s. f.
Wir erkennen hieraus, daB wenn wir aus den drei
Punkten 51, 33, (5 eine cykliscne Projektivitat berstellen,
indem wir den Trager als doppelt auffassen und den drei
Punkten ^^. g
entsprechen lassen
S3, (5,
oder, was daraus folgt,
<, a, ,
alsdann die beiden cyklisch - projektiven Punktreihen die
konjugiert -imaginaren Doppelpunkte
CV CN
'vJ j ">S\
haben.
Ein aquianharmoniscb.es System von fiinf Punkten
kommt also iiberein mit einer cykliscben Projektivitat, und
wir konnen den Satz aussprecben:
Wenn man aus drei reellen Punkten 51, 33, (S einer
Geraden eine cyklische Projektivitat berstellt, in-
dem man den Trager als doppelt auffafit und den
Punkten
St, S3, <
die Punkte
S, S, 51
oder
<, , S3
entsprecben laBt, wobei durcb drei Paare ent-
sprechender Elemente die projektive Beziehung
21. Zusammenhang zwischen den koniachen Polarenetc. derOW. 177
festgelegt wird, dann sind die Doppelpunkte 3, 3i
der projektiven Punktreihen konjugiert-imaginar
und werden bestimmt als die konjugiert-imaginaren
Doppelpunkte einer elliptischen Punktinvolution,
welcher die drei Punktepaare W.^, 3333 X , S^ an-
gehoren, wo S1 1; 33 1? S t die vierten harmonischen
Punkte
bedeuten.
Wollen wir die Werte der Doppelverhaltnisse
(5t95S3) und (^33^)
berechnen, so findet sich aus
1,33^)= -3, (8^83). (5151,3^)= -3,
(21 31,339) = -3.
Nehmen wir
so folgt
- 3,
und in gleicher Weise
Die Werte der beiden Doppelverhaltnisse (51 33 S3)
i) gehen also als die imaginaren dritten Wurzeln
aus der negativen Einheit hervor.
Schr6ter, Theorie der ebeuen Kurven 3. Ordn. 12
178 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
4. Der Zusammenhang zwischen den Punkten
laGt noch ein weiteres Resultat erkennen.
Aus der (.-Jleichheit
folgt eine Punktinvolution, der die Punktepaare angehoren
3<, 3^
mithin
^ S3) = (932130,
= (^33,93),
andererseits auch
(33, !)-(< 3,),
-(^i9HB>j
also ist
(33^33) = (3^,393) = (^3^
und in gleicher Weise finden wir
(33! SW = (3^! 3 (5) = (^33
also haben wir die cyklischen Projektivitaten
(33i !) A (S^^SC) A (aiSSi
und hieraus folgt, dafi S3S als die Doppelpunkte fur eine
cyklische Projektivitat auftreten, welche durch die drei
Elemente 33i$li bestimmt wird. Wiiren also 33i S #i reell,
so miiBten 93 und ( konjugiert-imaginar sein und wtirden
durch eine reell konstruierbare elliptische Punktinvolution
vertreten.
Wir wollen jetzt uingekehrt $8 und (S vertreten lassen
durch eine gegebene Punktinvolution, unabhangig davon, ob
dieselbe hyperbolisch oder elliptisch ist, und dann die zu-
gehorigen Punkte 3> 3i konstruieren oder vielniehr durch
eine reell konstruierte Punktinvolution vertreten lassen,
welche entweder elliptisch oder hyperbolisch sein wird.
Sei aufier dem reellen Punkt 51 auf y eine Punkt-
involution gegeben, deren (reelle oder konjugiert-imaginiire)
Doppelpunkte 93, seien; da 1 und 5( x durch SB und
harmonisch getrennt werden, so ist W l der zu 31 konjugierte
20. Zusammenhang zwischen den konischen Polaren etc. derC^. 179
Punkt in dieser gegebenen Punktinvolution; sie wird voll-
standig bestimmt durch ein zweites gegebenes Paar kon-
jugierter Punkte ty und ty', also die beiden Punktepaare
3131,, $$'
bestiminen sie und es gilt die Gleichheit der Doppel-
Die Involution, deren Doppelpuukte S, Si sind, wird
bestimmt durch die beiden Punktepaare 3131, , 3333,, welche
der Beuingung geniigen
(5131,3593,)= -3.
Sei nun der zu ty konjugierte Punkt in dieser zweiten
Involution ^, genannt, also
dann folgt aus den vorigen beiden die Beziehung
(51 21^' S3) = (5131,
und, da
= -3
ist,
(5131^'^) = -3
oder
= -3-
Diese Beziehung liefert uns den gesuchten Zusammenhang
zwischen 8' und $ wir konnen sie auch so schreiben
= -3
dann zeigt sie den Zusammenhang zwischen derjenigen
Punktin volution ? welche durch die Punktepaare
3131, und %<$'
bestimmt wird (deren Doppelpunkte 33 und ( sind), und
derjenigen Involution, welche durch die Punktepaare
3131, und ^,
bestimmt wird (deren Doppelpunkte 3 und 3i sind). Es
geht nun aus der Beziehung hervor, daB, wenn die eine
Involution hyperbolisch ist, die andere elliptisch sein rnuB
und umgekehrt.
12*
180 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Es ergiebt sich auch eine leichte Konstruktion der
einen Involution, sobald die andere gegeben ist; 2t2l t ist
das gemeinschaftliche Paar konjugierter Punkte fiir beide
Involutionen ; die zu SjS in der einen und andem Involution
konjugierten Punkte sind ^8' und ^S^
Die Beziehung
(2121, TO) = -3
laBt sich so schreiben
1 = 4
und vermittelst eines Hilfspunktes D
Wir konnen dann iiber den Hilfspunkt D so ver-
fiigen, daB
(2l$'2l x B) = 2 und ($'&$,) = 2,
also
wird. Aus diesen harmonischen Beziehungen ist es leicht,
z. B. ^ zu konstruieren, sobald *$' gegeben ist: Man suche
zu a, $!,!$' den vierten harmonischen Punkt D, sodaB
wird, und zu 21, B, 5)3' wieder den vierten harmonischen
Punkt sodaB
wird; dann ist ^, der gesuchte Punkt derart, daB durch die
Punktepaare 2l2l t und SP^ diejenige Involution bestimmt
wird, deren Doppelpunkte SSi sind.
Im umgekehrten Fall, wenn ^j gegeben ist, werden
wir ty' vermittelst des Hilfspunktes Oj aus den Beziehungen
konstruieren
(2t^^D x ) = -l und (a i D 1 ?p 1 ^)- -1;
es tritt dabei nur Sl x an die Stelle von 21.
Dies ist denn auch in Ubereinstimmung mit dem fruheren
Resultat; in dem einen Falle operiert man mit 21 und den
Punkten 93, S (oder der sie vertretenden Involution), in
dem andern Falle mit 2l x und den Punkten 3, Si (oder der
22. Die konischen Polaren fur alle Punkte der Ebene.
sie vertretenden Involution) in gleicher Weise vermittelst
cyklischer Projektivitat.*
22. Die konischen Folaren fiir alle Punkte der Ebene
riicksichtlich der (3) .
i
1 . Nach dieser Abschweifung iiber das aquianharmonische
System und cyklisch- projektive Punktreihen, wovon wir spater
noch Gebrauch machen werden, kehren wir zur Betrachtung
der konischen Polaren zuriick und erweitern die erlangten
Resultate.**
Wir haben gesehen, daB zu den drei Punkten 31, S3,
&, in welchen eine Gerade g der C (3) begegnet, drei be-
stimmte Kegelschnitte 3( (2) , 23 (2) , ( <2) gehoren, die konischen
Polaren der Punkte, und daB diese eineni Kegelschnitt-
biischel angehoren. Wir konnen nun die Punkte der Ge-
raden g und die Kegelschnitte des Biischels als Elemente
zweier projektiven Gebilde einander entsprechen lassen und
die projektive Beziehung derselben durch diese drei Paare
entsprechender Elemente festsetzen, wodurch die projektive
Beziehung gerade bestimmt wird. Dann wird jedem Punkte
ty der Geraden g ein bestimmter Kegelschnitt $J$ (2) des
Kegelschnittbvischels eindeutig entsprechen, welchen wir die
konische Polare des Punktes ty nennen wollen. Die pro-
jektive Beziehung beider Gebilde konnen wir in gleicher
Weise, wie in 4,5 herstellen, indem wir das Kegelschnitt-
biischel auf ein Strahlbuschel reduzieren (gebildet von den
Polaren eines beliebigen festen Punktes in Bezug auf die
Kegelschnitte des Biischels) und dieses Strahlbuschel auf die
von $P beschriebene gerade Punktreihe projektiv beziehen.
Dies vorausgeschickt nehmen wir auf der Geraden g = \ 51 SB & |
einen beliebigen Punkt 9$ und nennen die Polaren von 1 nach
* Vergl. H. Schroter: r Zur Konstruktion eines aquianhar-
monischen Systems" (Math. Annalen, Bd. X S. 240).
** Siehe A.Milinowski: n Zur synthetischenBehandlung derebenen
Kurven dritter Ordnung" (Schlomilchs Zeitschrift fiir Math. u. Phys.,
21. Jahrg. S. 427 flg.).
182 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
<*', 93< 2 >, < (2 >, $<
bez.
a, 6, c, p,
welche ein Strahlbiischel bilden, projektiv mit dem Kegel-
schnittbiischel W 2 \ 93 (2) , ( (2) , ^8 (2) . Nennen wir andererseits
die Polaren der Punkte
a, S3, c, sp
nach dem Kegelschnitt 5l (2) bez.
a, V, c', /,
so bilden auch diese ein Strahlbiischel, projektiv mit der
Punktreihe 51, S3, S, ty. Da nun Punktreihe und Kegel-
schnittbiischel selbst projektiv zueinander sind, so folgt
(abcp) A (ab'c'p');
es ist aber nach unserem fundamentalen Satze 21, l
6 = b', c = c',
folglich ist auch
l)=y,
d. h.:
Die Polare von 51 nach ^ (L)) ist identisch mit
der Polare von ty nach 5l (2) .
Nehmen wir weiter zwei beliebige Punkte ^5 und O
der Geraden g und nennen ihre konischen Polaren ^5 (2) und
D (2) , so werden die Polaren von ^ nach
bez.
a, 6, c, j>, g
ein Strahlbiischel bilden, welches mit dem Kegelschnitt-
buschel KWSBWC^^WDW projektiv ist, und die Polaren
der Punkte
, S3, C, ^, O
nach S|$ (2) bez.
a', 6', c', p, q'
werden ein Strahlbiischel bilden, welches mit der Punkt-
reihe $fS3($BG projektiv ist. Da nun Punktreihe und Kegel-
schnittbiischel selbst projektiv zueinander sind, so folgt
(abcpq) A (a'b'c'pq 1 ).
22. Die konischen Polaren fur alle Punkte der Ebene. 183
Nach dem vorigen Satze ist aber
a ~- a', b = b', c ~ c',
folglich muB auch
q~q'
sein, d. h.:
Die Polare von ty nach Q (2) ist identisch mit
der Polare von D nach $$ (2) .
Nehmen wir einen beliebigen Punkt ^ in der Ebene
imd ziehen durch ihn eine Gerade g, welche der (7 (3) in den
Punkten 81, 33, ( begegnet, wiihlen sodann einen beliebigen
Punkt X der (7 (3) aus und konstruieren die konischen Polaren
>, S3 (i) , < 3) , $ 12 >, (2) > so gehoren
eineni Biischel von Kegelschnitten an, in Bezug auf welche
die Polaren von X seien
a, b,.c, p,
die ein Strahlbiischel bilden, projektiv mit dem Kegel-
schnittbuschel %& S3 (2 >6 (2) ^ (2) .
Nehmen wir andererseits von
, 93, e, ?
die Polaren nach 36 (2) bez.
a' 1)' r' '
" > i c t P )
so bilden diese ein Strahlbiischel, projektiv mit der Punkt-
reihe 51 S3 S ty. Da aber Kegelschnittbiischel und Punktreihe
selbst projektiv zueinander sind, so folgt
(abcjt) A (a'b'c'p')]
es ist aber nach dem Fundamentalsatz ( 21, i)
M' rr^: d + mr C ^^ C
folglich ist auch
j> = j) f ,
d. h.:
Die Polare von 3 nach ty w ist identisch mit der
Polare von 9$ nach 3 (2) .
Halten wir jetzt den Punkt ^S fest, ziehen aber durch
ihn eine andere Gerade welche der Kurve (7 (3) in den
184 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Punkten SI,, 95,, (, begegnet, so konnte die konische Polare
von ty in gleicher Weise fiir diese Gerade g i konstruiert,
moglicherweise ein anderer Kegelschnitt ^S, werden. Die
Polare von 3 nach 9$^ muBte aber wieder identisch werden
mit der Polare von ty nach 3E (2) , und da diese ungeandert
bleibt, so miiBte 3 dieselbe Polare haben fiir beide ver-
schieden angenommene Kegelschnitte ty (2 > und ^[ 2) . Dies
gilt aber fiir jeden Punkt 36 der C^\ was nicht anders mog-
lich ist, als wenn die Kegelschnitte SJ$ (2) und ty selbst
identisch sind. Wir haben also den Satz gefunden:
Fiir alle durch einen Punkt ty in der Ebene ge-
zogenen Strahlen q, q 1} q 2 . . . , welche in den Punkte-
tripeln ST93S, %&& S1 2 93 2 S 2 , ... der C& begegnen,
ist die in der oben angedeuteten Weise konstruierte
konische Polare immer ein und derselbe Kegel-
schnitt $P (2) . Die konische Polare ^$ (2) des beliebigen
Punktes ^ in der Ebene ist also unabhangig von
dem durch ty gezogenen Strahle g = S199S .
3. Die konische Polare ^S (2) eines Punktes ^ in der
Ebene ist vollstandig bestimmt, sobald es durch ty eine
Gerade g giebt, welche der C ( ^ in drei reellen Punkten
SI, 95, 6 begegnet. Ob es aber durch einen willkiirlich in
der Ebene angenommenen Punkt ^5 immer solche Gerade g
giebt, bleibt dahingestellt. Wir konnen uns vermittelst des
vorigen Satzes in folgender Weise helfen:
Nehmen wir drei beliebige Punkte SI, 95, ( der C (3 \
die nicht auf einer Geraden liegen, und konstruieren die
drei konischen Polaren
so ist, wie wir wissen, die Polare von
nach Sl (2) identisch mit der von St nach
n
(J(2)
n ^ ?; r>
se nun fl die p okre yon ^ nach 51 (
ft i 93 (2)
f; n n j> T 5 >? "" ;
C W 77 ^T 77 ^ 7
22. Die konischen Polaren fur alle Punkte der Ebene.
so sind mit ^ auch a, b, c gegeben und fur den zu suchen-
den Kegelschnitt ^8 (2) mussen
3( und a, 93 und b, ( und c
Pole und Polaren sein, wodurch ^ (2) schon mehr als be-
stimmt 1st (Th. d. Keg. S. 433).
Wir erreichen dasselbe Ziel auch auf folgende Art:
Nehmen wir drei beliebige Gerade g 1} g 2} g S) die nicht
durch denselben Punkt gehen, aber die Eigenschaft besitzen,
daB jede der C (3) in drei reellen Punkten begegnet
ft-
Bestimmen wir von diesen neun reellen Punkten die ko-
nischen Polaren
Q(<) 5g(2) ff(2) or (2) ^(2) g (8) (*) ^(2) g ()
**! > "^1 ; ^1 7 ^2 > ^2 ? ^2 } **& ) "3 > ^3
und ziehen durch den gegebenen Punkt 9$ eine beliebige
Gerade g, welche g l} g 2) g 3 in den Punkten ^8 1; ^S 2 , ^S 3 trifft,
dann mussen die konischen Polaren dieser drei Punkte
drei Kegelschnitte sein, die einem Biischel angehoren und
projektiv entsprechen den Punkten ty l} ^5 2 , ^ 3 der geraden
Punktreihe auf g. Aus diesem Biischel nehmen wir jetzt
den einzigen vollig bestimmten Kegelschnitt ^P {2) ? welcher
der Projektivitat geniigt
und dadurch gefunden ist.
Die vorige Behauptung, auf welche wir uns stiitzen,
daB ${ 2 ', ^ 2 (2) , ^ 2) einem Kegelschnittbuschel angehoren,
ergiebt sich namlich so:
Da die konische Polare ^P (2) eines Punktes ^ unabhangig
von der durch *$ gezogenen Geraden g ist, so gilt der fun-
damentale Satz, welcher friiher nur fur zwei Punkte ty und
O einer Geraden g erhartet war, die in den reellen Punkten
S(, S3, S die C (3) schneidet, jetzt allgemein:
jgg Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Sind irgend zwei Punkte ty und D in der Ebene
gegeben und ty ( *\ Q (2/ ihre konischen Polaren, so
ist die Polare von ty nach D (:JI identisch mit der
Polare von G nach ^5 <2) .
Nehmen wir nun drei Punkte ^, s $ 2 , ^5 3 auf einer
beliebigen Geraden y irgendwie an und sind ihre konischen
Polaren ^f', $f } , $.[ 2) ; ist ferner G ein beliebiger Punkt
der Ebene und G^ seine konische Polare, so wird die Po-
lare von
tyi nach C (2) identisch mit der von d nach *$['',
.
Ps ;> i *- i J? 11 11 n "^ it 1*8 5
seien diese drei Geraden p lt p. 2j p 3 , so schneiden sie sich als
Polaren von drei Punkten einer Geraden y in Bezug auf
denselben Kegelschnitt O (2) in einem Puukte, und daher haben
auch die drei Kegelschnitte $J 2) , <$ ( *\ $f' die Eigenschaft,
daB fur jeden Punkt O in der Ebene seine drei Polaren sich
in einem Punkte schneiden; daraus folgt aber, daB die drei
Kegelschnitte ty ( *\ *$f\ ^f } einem Biischel angehoren miissen.
Wir konnen also jetzt den Satz allgemein aussprechen:
Die konischen Polaren zu samtlichen Punkten
$P einer beliebigen Geraden y bilden ein Kegel-
schnittbiischel mit denselben vier reellen oder
paarweise konjugiert-imaginaren Grundpunkten.
4. Wir nennen die vier Grundpunkte dieses zu der Ge-
raden g gehorigen Kegelschnittbiischels die Pole der Ge-
raden y riicksichtlich der C (3) , und konnen mit dieser Be-
zeichnung den vorhin bewiesenen Satz (2.), welcher die
Unabhangigkeit der konischen Polare ^5 (2) des Punktes 'p
von der durch ty gezogenen Geraden g ausspricht, so for-
mulieren :
Fiir alle Geraden g, die durch einen uud deij-
selben Punkt ty gehen, liegen die je vier Pole riick-
sichtlich der C (3) auf einem und demselben Kegel-
schnitt, namlich auf der konischen Polare ^S (2) des
Punktes .
23. Die konischen und die geraden Polaren etc. 187
Fallen insbesondere von den Schnittpunkten $, 33, &
einer durch 9$ gezogenen Geraden g zwei zusammen,
d. h. wird der durch ^ gezogene Strahl g eine Tangente
der C (3 \ so fa] It von ihren vier Polen offenbar einer nach
S3 = (, denn der Kegelschnitt 3l (2) geht durch 9^, welcher
Punkt in diesem Falle niit 33 und zusammenfallt, und
der Kegelschnitt 33 (2) geht auch durch 93, folglich geht auch
die konische Polare ^ (2) durch jeden Beriihrungspunkt einer
aus ty an die G'< 3) gelegten Tangente, und da der Kegel-
schnitt $P (2) die G Y(3) im allgemeinen in sechs Punkten schnei-
det, so erhalten wir den Satz:
Aus einem beliebigen Punkte ty der Ebene gehen
im allgemeinen sechs Tangenten an die C (3) ; ihre
sechs Beriihrungspunkte liegen auf einem Kegel-
schnitt $|5 (2) , der konischen Polare des Punktes ^5.
Liegt der Punkt ty insbesondere auf der (7 (3) selbst, so
fallen zwei von den sechs Tangenten in die eine Tangente
fur ^5 selbst hinein und es bleiben nur noch vier weitere
Tangenten iibrig, was der friihere von uns erbrterte Fall ist.
23. Die konischen und die geraden Folaren riick-
sichtlich der C (3 > von den Punkten der Ebeue.
1. Wir haben gesehen, da6 zu jedem Punkte ty der
Ebene ein bestimmter Kegelschnitt $|3 (2) gehort, seine ko-
nische Polare riicksichtlich der C (3) , die reell konstruiert
werden kann. Nehmen wir von demselben Punkte ^5 die
gewohnliche Polare in Bezug auf den Kegelschnitt ^ (2) und
nennen diese Gerade
die gerade Polare von ^ riicksichtlich der C (3) oder die
zweite Polare des Punktes ^5, so stehen diese drei zu-
sarninengehorigen Elemente
?, ? (2) , P
in enger Verbindung initeinander, die wir jetzt naher unter-
suchen wolleu. Liegt ^8 insbesondere auf der C (3) selbst,
Theorie der ebenen Kurren dritter Ordnnng.
so ist seine gerade Polare p die Tangente in ty an
der
Nehmen wir auf der Geraden p einen beliebigen Punkt
Q an, dessen konische Polare O (2) sei, dann sind offenbar
$P und Q konjugierte Punkte riicksichtlich des Kegelschnitts
$ (2) , also mu6 die Polare von Q nach $P (2) durch ty gehen.
Nach dem Fundamentalsatz ( 22, 3) ist aber die Polare von
$P nach D (2) identisch mit der Polare von Q nach $P (2) , also
muB auch die Polare von $P nach Q, (2> durch ty gehen; wenn
aber die Polare von 9$ nach O (2) durch $P selbst geht, so
muB 9$ ein Punkt des Kegelschnitts D (2) sein und die Polare
von $P die Tangente an D (2) in diesem Punkte, also gilt
der Satz:
Wird auf der geraden Polare p eines beliebigen
Punktes $P riicksichtlich der C (3) irgend ein Punkt D
angenommen, so geht seine konische Polare D (2)
allemal durch den anfanglichen Punkt $p.
Nehmen wir andererseits auf der konischen Polare $P (2)
eines Punktes ty einen beliebigen Punkt D an, dessen ko-
nische Polare >Q (2) sei, dann wird, weil D auf ^ (2) liegt,
die Polare von D nach ^5 (2) durch O selbst gehen, namlich
die Tangente in Q am Kegelschnitt ^S (2) sein. Da aber die
Polare von D nach ^8 (2) identisch ist mit der Polare von
^5 nach Q (2) , so liegt D auch auf der Polare von ^S nach D (2) .
Die Punkte ^5 und D sind daher konjugierte Punkte fur
den Kegelschnitt O {2) , also muB ^5 auf der Polare von Q
nach D (2) , d. h. auf der geraden Polare q liegen, und wir
erhalten den Satz:
Wird auf der konischen Polare s $ (2) eines belie-
bigen Punktes $P riicksichtlich der C (3) irgend ein
Punkt D angenommen, so geht die gerade Polare q
desselben allemal durch den anfanglichen Punkt ty.
Hiernach 1'aBt sich zu einer gegebenen konischen Polare
^P <2) derjenige Punkt ty ermitteln, dessen konische Polare
die gegebene ist; wir brauchen nur auf ^S {2) zwei beliebige
Punkte D und Q' anzunehmen und deren gerade Polaren
23. Die konischen und die geraden Polaren etc. 189
q und q' zu konstruieren, um ihren Schnittpunkt (qq 1 ) = ty
zu finden.
Wir konnen den vorletzten Satz auch umkehren:
Nehmen wir auf einer Geraden p zwei Punkte d und
D! an, so miissen ihre konischen Polaren d (2) und d| 2)
durch denjenigen Punkt gehen, dessen gerade Polare p ist.
Da sich aber die beiden Kegelschnitte d (:2) und df im all-
gemeinen in vier Punkten ty, ty l} *>$ 2 , S|3 3 schneiden, so mu8
fur jeden derselben p die gerade Polare sein; wir schlieBen
also :
Eine beliebige Gerade p in der Ebene besitzt
die Eigenschaft, dafi fiir jeden ihrer vier Pole die
gerade Polare diese Gerade p ist.
2. Gehen wir von drei beliebigen Punkten
der Ebene aus, die nicht auf einer Geraden liegen, und
bestimmen die konischen Polaren derselben
nehmen sodann einen beliebigen vierten Punkt 36 der Ebene
und seine konische Polare 3 (2) , so werden die beiden Geraden
sich in einem Punkte ^) schneiden, dessen konische Polare
^) (2) sowohl dem Kegelschnittbiischel angehort, welches durch
die beiden Kegelschnitte ^ 2) und 3 (2) bestimmt wird, als
auch dem Kegelschnittbiischel, welches durch die beiden
Kegelschnitte ^ 2) und ^^ bestimmt wird, weil die drei
konischen Polaren von drei Punkten einer Geraden immer
einem Kegelschnittbiischel angehoren ( 22, 4). Wir konnen
demnach zu dem Kegelschnitt 3 (2) so gelangen von den drei
gegebenen Kegelschnitten aus
daB wir aus dem Biischel [^8.[ 2) ^Pg" 1 ] einen beliebigen Kegel-
schnitt 9) (s!) herausnehmen, ihn mit ^, (2) zur Bildung eines
neuen veriinderlichen Kegelschnittbiischels [^P{ S) ) C2< ] zusam-
190 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
menstellen und aus diesem Biischel den Kegelschnitt 3 (:i)
herausnehmen.
Aus dieser Bildungsweise erkennen wir nach 7 :
Die konischen Polaren zu samtlichen Punkten
der Ebene bilden ein Kegelschnittnetz, die koni-
schen Polaren zu den Punkten einer Geraden ein
Kegelschnittbiisehel, welches dem Netze angehort,
und je zwei Kegelschnittbtischel des Netzes haben
einen gemeinschaftlichen Kegelschnitt, namlich die
konische Polare desjenigen Punktes, in welchem
sich die beiden Geraden schneiden ; deren Punkte
die Kegelschnitte der beiden Biischel zu konischen
Polaren haben.
3. Wenn wir von alien Punkten Q einer Geraden p
die konischen Polaren O (x) aufsuchen, so bilden dieselben,
wie wir wissen, ein Kegelschnittbiischel mit vier Grund-
punkten. In diesem Kegelschnittbiischel giebt es im allge-
meinen drei Linienpaare; suchen wir insbesondere diejenigeu
drei ausgezeichneten Punkte der Geraden p
D lf O,, D 3
auf, deren konische Polaren in Linienpaare ausarten, und
bezeichnen diese Linienpaare
D(2) r; ;M cM 2 > r; ?M cM 2 ) r; ;' i
! =lh / iJ> O a "L*VJi ^a =L* 3 '3J-
Die Doppelpunkte (Schnittpunkte) der drei Linienpaare
(W = <\>, (W = ^ (?. = q,
und bilden ein gemeinsames Polardreieck (selbstkonjugiertes
Dreieck) fiir alle Kegelschnitte des Biischels.
Da nun nach unserm Fundamentalsatz die Polare von
Dj nach dem Kegelschnitt [? 2 ^] identisch ist mit der Polare
von O 2 nach dem Kegelschnitt [^^J, die erstere aber durch
den Punkt q 2 , die letztere durch den Punkt qj gehen muB,
so ist sie die Verbindungslinie Ptq^!? un( ^ es mussen daher
die vier Strahlen
/ 2 , l[ vier harmonische Strahlen,
l l v ^ er harmonische Strahlen sein.
23. Die konischen und die geraden Polaren etc. 19 i
Ferner bilden die Punkte q,, q.,, q 3 das Diagonaldreieck
des vollstandigen Vierecks, (lessen drei Seitenpaare /, l[ ,
/ 2 / 2 ', / 3 /,', sind; folglich muB der vierte harmonische Strahl
zu /i/j und der Diagonale q x q 2 1, letzterer zugeordnet, durch
q 3 gehen, also niiissen
<h> ^ &2
auf einer Geraden liegen, ebenso
auf einer Geraden, und in gleicher Weise erkennen wir,
daB auch
<\i, <fe &3
auf einer Geraden liegen mussen; da nun aber auch O D 2 , Q 3
auf der Geraden p liegen, so bilden diese drei Punktepaare
Djq,, O 2 q 2 , O 3 q 3 die drei Paar Gegenecken eines vollstan-
digen Vierseits, und die gesuchten Punkte O 1; D 2 , D 3 sind
dadurch gefunden als die drei Durchschnittspunkte der Ge-
raden p mit den drei Seiten des Diagonaldreiecks q 1? q 2 , q 3 ,
welches das gemeinsame Polardreieck des Kegelschnitt-
biischels ist, gebildet von den konischen Polaren der Punkte
von p.
Wir sprechen demgenuiB folgenden Satz aus:
Diejenigen drei Punkte einer Geraden, deren
konische Polaren in Linienpaare ausarten, bilden
mit den drei Doppelpunkten der drei Linienpaare
die sechs Ecken eines vollstandigen Vierseits, in-
dem je zwei der letzteren mit eineru der ersteren
auf je einer Geraden liegen. Die zu einem solchen
Punkte der Geraden zugehorige Gegenecke des
vollstandigen Vierseits ist der Doppelpunkt der
ausgearteten konischen Polare.
Oder wir konnen uns auch so ausdrucken:
Die drei Diagonalen des von den vier Polen
einer Geraden p gebildeten vollstandigen Vierecks
treffen diese Gerade p in solchen drei Punkten
deren konische Polaren in Linienpaare ausarten.
192 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Wir bemerken noch, well
K&, , !q,q,l, / l\
vier harmonische Strahlen sind und
ist, folgt der Satz:
Die drei besonderen Punkte Q 1; Q 2 , D 3 auf der
Geraden p, deren konische Polaren in Linienpaare
W\j Ms> ^3 zerfallen, liegen derartig auf dieser
Geraden p, da6
2 G 3 durcb das Linieupaar /^J,
*"*3 *-*! )7 r> ^2 ^2 >
**i ^ n )> 's ^s
harmoniscb getrennt werden.
4. Wir sucben jetzt umgekebrt zu den Punkten q,, q 2; q 3 ,
den Doppelpunkten der drei in Linienpaare ausgearteten
konischen Polaren, selbst ibre koniscben Polaren
(*) (2) ')
HI Hj > HS
auf. Da die gerade Polare von Oj , d. b. die Polare von Q x
rucksicbtlich des Linienpaares l^ durch qj gebt, so muB
die koniscbe Polare q[ 2) durcb den Punkt D 1 geben (1.);
ferner sind q x und q^al Pol und Polare fiir alle Kegel-
scbuitte des Biiscbels von konischen Polaren samtlicber
Punkte O der Geraden p. Nun ist nacb unserem Funda-
mentalsatz die Polare von O nach q : identiscb niit der
Polare von q t nacb D (2) , d. b. mit der Geraden | qaqs^ | = q^
also muB der noch unbekannte, durch l x gehende Kegel-
scbnitt q| 2) die Eigenschaft besitzen, daB fiir alle Punkte O
der durch O 1 gehenden Geraden p die Polaren in eine und
dieselbe Gerade q l zusammenfallen. Dies ist nicbt anders
inoglich, als wenn der Kegelscbnitt (|* in ein Linienpaar
ausartet, welches in C^ seinen Doppelpunkt bat und bar-
moniscb getrennt wird durch die Geraden p und q r Wir
baben also das Resultat gewonnen:
Wenn die koniscbe Polare eines Punktes Oj in
ein Linienpaar ausartet, dessen Doppelpunkt q t ist,
23. Die konischen und die geraden Polaren etc. 193
so muB auch die konische Polare von q t in ein
Linienpaar ausarten, dessen Doppelpunkt O 1 ist.
Da nun die samtlichen konischen Polaren 3 (2) aller
Punkte 3 der Ebene ein Kegelschnittnetz bilden (2.) und
die Doppelpunkte der in Linienpaare ausartenden Kegel-
schnitte eines Netzes auf einer Kurve dritter Ordnung lie-
gen ( 5, 4), so folgt:
Diejenigen Punkte in der Ebene einer C i3 \ deren
konische Polaren in Linienpaare ausarten, sowie
auch die Doppelpunkte dieser Linienpaare liegen
samtlich auf einer neuen Kurve dritter Ordnung
H^, welche die Hessesche Kurve von der gegebenen
<7 (3) genannt wird.
Die umgekehrte Aufgabe, wenn ein Netz von Kegel-
schnitten gegeben ist, zu jedem derselben denjenigen Punkt
zu finden, dessen konische Polare er sein soil, d. h. ein
gegebenes Kegelschnittnetz als ein Netz konischer
Polaren herzustellen, wird so gelost:
Wir diirfen drei in Linienpaare ausgeartete Kegelschnitte
des Netzes
welche nicht die drei Seitenpaare eines und desselben voll-
standigen Vierecks sind, als zur Bestimrnung des Netzes
notwendig und hinreichend, willkurlich annehmen. Es wiirden
dann die drei Punkte 3l u 5I 2 , $ 3 zu ermitteln sein, deren
konische Polaren die gegebenen Linienpaare 51
sind.
Bezeichnen wir die Schnittpunkte
(W=7i, () = *, (7.'J)-a,,
die Verbindungslinien
I a 2 3 !=5 u \Wi\ = %, \*i*9\ = Ss
die vierten harmonischen Strahlen s[t[, s^t' 2 , s' 3 t^
so muB, wie wir wissen, die Polare von 5I X nach 31^ iden-
tisch sein mit der Polare von 21 2 nach 21^ sie geht aber
SchrOter, Theorie der ebenen Kurren 8. Ordn. 13
]94 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
notwendig, weil beide Kegelschnitte Linienpaare sind, so-
wohl durch 02 als auch durch a 1? ist folglich die Gerade s. d
und ihr Pol nach 51^ ? d. n - der Punkt 5l t liegfc auf der
vierten Harmonischen s' s , ihr Pol nach 9l| 2) liegt auf der
vierten Harmonischen t' 3 > a ^ so
9lj liegt auf sj, $2 liegt auf t' 3 -,
ebenso folgt:
S1 2 liegt auf s[, 51 3 liegt auf t[,
91 ' 91 /'
^3 H n *2 ? *1 7) ' ?
folglich sind die drei Punkte
gefunden.
Wir kbnnen jetzt zu jedem beliebigen Kegelschnitt des
Netzes 3 (2) denjenigen Punkt X finden, dessen konische Po-
lare 3 ist; da die Polare von 3^ nach 3 (2) bekannt ist und
identisch mit der Polare von X nach 21J" , so ist ihr Pol X
nach dem bekannten Kegelschnitt 8^ auf der vierten har-
monischen zu der bekannten Geraden riicksichtlich des Linien-
paares l^ gelegen, ebenso fiir 5(., ; der Durchschnittspunkt
beider vierten Harmonischen ist also der gesuchte Pol 36.
Auch umgekehrt lafit sich zu jedem Punkte die ko-
nische Polare 3 (2) aus dem Netze herstellen.
(Vergl. die von Cremona in der Abhandlung: ,,Sopra
alcune question! nella teoria delle curve piane" [Annali di
Matematica pura ed applicata torn. VII N. 4] gegebene Lo-
sung dieses Problems.)
Wollen wir die Punkte der Fundamentalkurve (7 (3) er-
mitteln, fiir welche das gegebene Kegelschnittnetz das Netz
der konischen Polaren ist, so werden wir fur irgend ein in
dem Netze enthaltenes Biischel von Kegelschnitten die Punkte
bestimmen, deren konische Polaren die Kegelschnitte des
Biischels sind. Diese Punkte liegen auf einer Geraden g
und bilden eine gerade Punktreihe, die projektiv ist mit dem
Kegelschnittbuschel. Die drei incidenten Elemeute der beideu
projektiven Gebilde auf der Geraden g sind die drei Punkte
der Fundamentalkurve 6 1(3) auf dieser Geraden.
23. Die konischen und die geraden Polaren etc. 195
5. Wir erkenuen leicht, daB fur die Hessesche Kurve
die Punktepaare Dj und q u C 2 und q 2 , O 3 und q 3
konjugierte Punkte in deru friiheren Sinne sind ( 2, 5), denn
q t und | q 2 q 3 di | siud Pol und Polare fur das ganze Biischel
von Kegelschnitten, welches dem Netze angehort und aus
den konischen Polaren der Punkte von der Geraden p be-
steht: ferner geht die Polare von q t in Bezug auf den dem
Netze angehorenden Kegelschuitt q>, der in ein Linienpaar
mit dem Doppelpunkt Qj ausartet, auch durch den Punkt
G t , also sind q t und G t konjugierte Punkte fur drei nicht.
demselben Biischel angehorende Kegelschnitte des Netzes,
mithin fur samtliche Kegelschnitte desselben, d. h. konju-
gierte Punkte fiir die H (s \ Wir konnen also dem vorigen
dies neue Resultat hinzufugen:
Wenn fiir einen Punkt D x in der Ebene der (7 (3)
die konische Polare in ein Linienpaar mit dem
Doppelpunkt q t ausartet, so sind Cj und q r ein Paar
konjugierter Punkte der Hesseschen Kurve jH (3) ,
welche von siimtlichen Punkten O, und qj erfiillt
wird.
Aus einem Paar koujugierter Punkte der JE/ (3) lassen
sich in bekannter Weise unendlich viele weitere Paare der-
selben ableiten. Fiir jedes solche Paar gilt nun auch der
umgekehrte Satz:
Jedes Paar konjugierter Punkte der H (3) besitzt
die Eigenschaft, daB der eine dieser Punkte zur
konischen Polare riicksichtlich der (7 (3) ein Linien-
paar hat, dessen Doppelpunkt der andere ist.
<>. Diejenigen besonderen Punkte der Kurve C (3 \ deren
konische Polaren in Linienpaare ausarten, miissen nach dem
Vorigen gleichzeitig auf der Kurve # (3) liegen, also die
Durchschnittspunkte der beiden Kurven C< 3) und H (3 sein, deren
Anzahl im allgemeinen neun ist. Diese Punkte haben eine
besondere Eigentiimlichkeit. Nennen wir 28 einen solchen
Punkt der C (S \ dessen konische Polare in ein Linienpaar
zerfallt, so mu6 die Tangente % der (3) im Punkte 2S,
weil sie auch die konische Polare in 2B beriihrt, entweder
1.3*
196 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
ein Teil derselben sein, oder 28 muB der Doppelpunkt des
Linienpaares sein, in welches 223 (2) ausartet. Letzteres ist
aber nicht der Fall, denn jeder durch den Doppelpunkt des
Linienpaares gehende Strahl kann keinen weiteren Punkt
desselben enthalten. Durch 28 gehen aber offenbar unend-
lich viele Strahlen, welche noch andere Punkte von 28 (2)
enthalten; also umB fa ein Teil des Linienpaares sein, und
alle iibrigen Punkte von 2B (2) miissen auf dern andem Teil
des Linienpaares, d. h. auf einer Geraden liegen. Nennen
wir diese Gerade w, dann ist die konische Polare
SB< [fowl
Die Gerade w schneidet nun im allgemeinen die C (3) in
den drei Punkten tt^, tt) 2 , tt) 3 ; der Punkt 28 sendet aber im
allgemeinen ein Tangentenquadrupel an die C {S) , von dem
I 28tt), I, i 2Btt) 9 I, ! 2Btt) I drei Tangenten sind, die vierte muB
x I / i 31/1 o i o /
daher ihren Beruhrungspunkt auf fa, dem andern Teile des
Linienpaares haben; fa beriihrt C (3) selbst in 28; der dritte
Schnittpunkt von fa kann nicht von 28 verschieden sein,
denn sonst muBte, wenn er 225' ware, | 2828' | auch Tangente
in 28' sein, also fa Doppeltangente, was widersinnig ist;
es muB also 228' in 28 hineinfallen, folglich fa eine Wende-
tangente sein, welche die C (3) in drei zusammenfallenden
Punkten 28 schneidet, und 28 selbst ein Wendepunkt der C (3) .
,Wir haben also dies Ergebnis:
Wenn fiir einen Punkt 28 der C (3 ~> die konische
Polare in ein Linienpaar ausarten soil, so muB 28
ein Wendepunkt der C (3) sein; seine konische Polare
zerfallt alsdann in zwei Gerade, von denen eine die
Wendetangente t& ist und die andere w die harmo-
nische Polare des Wendepunktes genannt wird,
namlich der Ort der vierten harmonischen Punkte
auf alien durch 28 gezogenen Strahlen zu 28 zu-
geordnet, rucksichtlich des iibrigen Paares von
Schnittpunkten mit der C (3) .
Aus dem vorigen Resultat folgt somit:
Eine gegebene Kurve C (S) wird von ihrer Hesse-
schen Kurve H (S) (d. h. dem Ort der Doppelpunkte
23. Die konischen und die geraden Polaren etc. 197
aller in Linienpaare ausgearteten konischen Polaren
fur die C (3) ) in den Wendepunkten der (7< 3) durch-
schnitten.
Da filr den Wendepunkt 28 die konische Polare in das
Linieupaar zerfallt, dessen einer Teil % (die Wendetangente)
und dessen anderer Teil die Gerade w (die harmonische Po-
lare des Wendepunktes) ist, so wird der Schnittpunkt
(fc, w) = 28 X
der Doppelpunkt dieses Linienpaares sein, also auch ein
Puukt der H (3) sein, und zwar sind (nach 5.) 235 und 2B t
konjugierte Punkte fiir die H (3 \ Es muB also auch die
konische Polare von 28 1 in ein Linienpaar zerfallen, dessen
Doppelpunkt 28 ist. Die Verbindungslinie | 28 2B t | wird nun
die H (3) noch in einem dritten Punkte 28 2 schneiden, dessen
konische Polare riieksichtlich der C (3) in ein drittes Linien-
paar zerfallen muB. Die beiden Linienpaare fur 28 und SB^
bestimmen aber ein vollstandiges Viereck, fiir dessen drittes
Linienpaar der Doppelpunkt der konjugierte Punkt beziig-
lich der H (3) zum Punkt 28 2 ist. Dieses vollstandige Vier-
eck artet selbst aus ? indem das dritte Linienpaar mit dem
Linienpaar, dessen Doppelpunkt 28 ist, zusamnaenfallt ; also
muB auch der konjugierte Punkt zu 28, d. h. der Punkt 2B t
mit 28 2 zusammenfallen; mithin ist die Gerade | 2828! | die
Tangente an der H &) im Punkte 28j, wie sie die Tangente
der C& im Punkte 28 ist. Fur die Kurve H ist mithin
der Punkt 28 gleichzeitig der Tangentialpunkt und der kon-
jugierte Punkt zu 2B r Wir haben nun in 7, 5 gesehen,
daB ein solcher Punkt einer Kurve dritter Ordnung, welcher
der Tangentialpunkt seines konjugierten Punktes ist, ein
Wendepunkt der Kurve sein muB. Hieraus folgt, daB der
Punkt 28 zugleich ein Wendepuukt fiir die Kurve H (3) sein
muB, wie er schon ein Wendepunkt fiir die C (3) ist; also:
Die gegebene <7 (3) und ihre Hessesche -H (3) schnei-
den sich in solchen neun Punkten, welche fiir jede
derselben die Wendepunkte sind.
Wir konnen die Hessesche Kurve H^ wieder als eine
gegebene C auffassen und dann von ihr die Hessesche Kurve
198 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
suchen u. s. f., dann erhalten wir ein ganzes Biischel von
Kurven dritter Ordnung, die samtlich dieselben neun Grund-
punkte haben ( 11) und wir schlieBen hieraus:
Alle Kurven dritter Ordnung, welche durch die
neun Wendepunkte einer C (S) hindurchgehen, haben
diese Punkte selbst zu ihren Wendepunkten.
Wir kommen auf ein solches Biischel von Kurven dritter
Ordnung, welches ein syzygetisches Biischel genannt
wird, noch bei spaterer Gelegenheit zuriick.
24. Die Polokoniken von den Geraden in der Ebene
riicksichtlich der
1. Wir haben gesehen, daB zu jedem Punkte Q in der
Ebene nicht bloB eine konische Polare Q, (2) , also ein Kegel-
schnitt, sondern auch eine gerade Polare q, namlich die
Polare von Q nach sQ (:!) gehort.
Suchen wir jetzt zu alien Punkten C einer Geraden p
den von ihren geraden Polaren q umhtillten Ort auf. Da
die zu den Punkten C der Geraden p gehorigen konischen
Polaren O (!!) , wie wir wissen, ein Kegelschnittbiischel bilden,
welches projektiv ist mit der von Q, beschriebenen geraden
Punktreihe auf dem Trager p, so nehmen wir auf p die Punkte
DI, Q 2 , 3 , . . .
an, bestimmen die konischen Polaren derselben
D (2) n (2) n (2)
^1 > ^2 > ^3 '
welche einem Kegelschnittbtischel angehoren, und nennen
die Polare von D! nach O^ 2 ' die gerade Polare q^
n r> (2)
>? )> *^ie ?). '*~ i -2 n n 27
Q n (2) a
r> ^S M x ^3 T> n 13
U. S. f.
Ferner wissen wir, daB die Polaren irgend eines Punktes
d in Bezug auf samtliche Kegelschnitte eines Biischels durch
einen festen Punkt q laufen und ein einfaches Strahlbiischel
beschreiben, projektiv mit dem Kegelschnittbiischel. Wir
24. Die Polokoniken von den Geraden in der Ebene etc. 199
nennen q den konjugierten Punkt zu D rucksichtlich des
Kegelschnittbuschels, well D und q konjugierte Punkte fUr
samtliche Kegelschnitte des Biischels sind. Sei also
der zu O x rucksichtl. des Kegelschnittbuschels konjug. Punkt q u
77 77 ^2 7> 77 7' 77 77 "'27
77 77 **3 '7 7' 77 77 77 *13
u. s. f.
Nennen wir ferner den Pol der Geraden p
rucksichtlich des Kegelschnitts D* den Punkt p 1;
n (2) h
77 77 77 "*;} 77 77 T 2 7
SV 2) n
7? 77 77 ^S 77 77 r37
U. S. f.,
dann erfullen die samtlichen Punkte q 1; q 2 , q s , ... und
Pi 7 Pa 7 37 einen und denselben Kegelschnitt
jiff)
den Polarkegelschnitt der Geraden p rucksichtlich des Kegel-
schnittbiischels der konischen Polaren. Denn nehmen wir
von irgend zwei festgehaltenen Punkten D ( und l* der Ge-
raden p die Polaren rucksichtlich aller Kegelschnitte des
Btischels, so erhalten wir zwei projektive Strahlbiischel mit
den Mittelpunkten q, und q^, weil beide Strahlbiischel mit
dem Kegelschnittbiischel projektiv sind. Der Schnittpunkt
zweier entsprechender Strahlen dieser beiden projektiven
Strahlbuschel ist aber ein Punkt p, der Pol von p = \ D;D*
in Bezug auf einen Kegelschnitt des Buschels; das Erzeugnis
der beiden projektiven Strahlbuschel, d. h. der Ort der Punkte
p ist ein Kegelschnitt p ( -\ welcher selbst durch q, und
q t . geht, also auch durch samtliche Punkte q 1? q 2 , q s , . . .,
wodurch die vorige Behauptung erwiesen ist.
2. Nehmen wir nun von einem beliebigen Punkte 1,
der Geraden p die Polare in Bezug auf O^, irgend einen
Kegelschnitt des Buschels der konischen Polaren, so muB
dieselbe durch p A gehen, weil D; auf p liegt; sie muB auch
durch q,- gehen, weil q,- der konjugierte Punkt zu D, ruck-
sichtlich aller Kegelschnitte des Buschels ist, also ist die
200 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Polare von d ( - nach d* 2) die Verbindungslinie | q,- p t | ,
und insbesondere ist die
Polare von d nach d t (2) die Verbindungslinie | q,-p.-|.
Da aber nach unserm Fundainentalsatze die Polare von
d/ nach i^ identisch ist mit der Polare von d* nach D ( W
so muB
h-p* -h*p/|
sein, und alle vier Punkte nmssen auf derselben Geraden
liegen; sie miissen aber auch, wie wir gesehen haben, alle
vier auf dem Kegelschnitt p (2) liegen, was nicht anders mog-
lich ist, als wenn
q.- =
q* = p*
ist (denn solange d/ und d* verschieden angenoniniene Punkte
sind, kann nicht q ( mit q t identisch sein, auch nicht p,- mit p*),
Dies ergiebt folgenden Satz:
Der Pol p,- der Geraden p in Bezug auf einen
Kegelschnitt D* des Buschels der konischen Po-
laren fallt zusammen mit demjenigen Punkt q,-,
welcher der konjugierte Punkt zu d,- ist riicksicht-
lich des Kegelschnittbiischels (wahrend O. die ko-
nische Polare zu Q, ist).
Da allgemein die Polare von D, nach O^ } immer die
Gerade | q,-^-| ist (oder q*p,-|), wo q ( - und p* beide auf dein
Kegelschnitt jp (2) liegeii, so wird, wenn wir D^ 2) in D ( .
iibergehen lassen, weil alsdann p,- mit q t - zusammenfallt, die
Gerade | p,- q t - | in die Tangente am Kegelschnitt p & iui
Punkte p,- oder q, iibergehen miissen, und wir gelangen zu
dem Resultat:
Die Polare g, eines beliebigen Punktes d,- der
Geraden p in Bezug auf die zugehorige konische
Polare df } ist die Tangente am Kegelschnitt p (Z) in
demjenigen Punkte q,, welcher dem Punkte d,- in
Bezug auf das Biischel der konischen Polaren kon-
jugiert ist und der zusammenfallt mit dem Pol der
Geraden p in Bezug auf den Kegelschnitt d| 2) .
24. Die Polokoniken von den Geraden in der Ebene etc. 201
Wir schlieBen hieraus:
Die geraden Polaren von samtlichen Punkten
einer geraden Linie p umhiillen einen Kegelschnitt
pW, welcher identisch 1st mit dem Polarkegel-
schnitt der Geraden p riicksichtlich des Kegel-
schnittbiischels, gebildet von den konischen Polaren
der Punkte von p.
Diesen Kegelschnitt p {2} nennt man die Polokonik
der Geraden p, weil er alle Pole der Geraden p riicksicht-
lich des Biischels der konischen Polaren enthalt. Die Polo-
konik geht daher insbesondere durch die Ecken des gemein-
samen Polardreiecks fur alle Kegelschnitte des Biischels.
Sie geht ferner durch die beiden besonderen Punkte der
Geraden p, in welchen diese von zwei Kegelschnitten des
Biischels beriihrt wird.
3. Bezeichnen wir die beiden Punkte, in welchen die
Gerade p von ihrer Polokonik getroffen wird, durch
O. und DJ,
so muB unter den Kegelschnitten des Biischels von konischen
Polaren einer vorkornmen, fur den Q und p Pol und Polare
sind, und da diese incident sind, so muB er in 1 die p
beriihren; ein zweiter Kegelschnitt des Biischels wird in
DO die p beriihren. Die Polare von D in Bezug auf den
ersten Kegelschnitt ist p selbst, in Bezug auf den zweiten
Kegelschnitt muB sie durch den Beriihrungspunkt D<J gehen;
der Schnittpunkt beider ist also l' Q , d. h. D und D^ sind
konjugierte Punkte in Bezug auf das Biischel sanitlicher
konischen Polaren. Da nun nach dem in 2. bewiesenen
Satze der zu O konjugierte Punkt riicksichtlich des Biischels
(d. h. der Punkt D^) der Pol von p sein muB in Bezug auf
die konische Polare D^ 2) , welche zu Q gehort, so muB der
Kegelschnitt des Biischels, welcher p in D^ beriihrt, die
konische Polare O ' sein, also haben wir das Ergebnis:
Wenn die Gerade p von ihrer Polokonik p ( in
den beiden Punkten Q und O^ getroffen wird, so
beriihrt die konische Polare von D die Gerade p in
202 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
DO und die konische Polare von O ( ' beriihrt die p
in G d .
Die Eigenschaft, welch e hier bei den beiden besonderen
Punkten Q und ^ der Polokonik hervortritt, namlich daB
ihre konischen Polaren die Gerade p beriihren, gilt, wie
leicht zu sehen ist, allgeniein ~von jedem Punkte der Polo-
konik.
Sei namlich q, ein beliebiger Punkt der Polokonik, nam-
lich der konjugierte Punkt zu O ( riicksichtlich des Buschels
konischer Polaren, so ist q, identisch mit p,, dem Pol von
p riicksichtlich der konischen Polare O| 2) und die Tangente
in q,-(EEp,-) ist die gerade Polare q, von Q/.
Um nun von dem Punkte q, die konische Polare
qf
zu ermitteln, bemerken wir, daB nach deni Fundamentalsatz
die Polare von D/ nach q* identisch sein muB mit der
Polare von q , nach Q ; nun ist aber q ,- = p , und die Polare
von p, nach D, 2) ist die Gerade p, also ist p auch die Polare
von D,- nach (\f\ Der Kegelschnitt q| 2) muB aber durch
D,- hindurchgehen, weil q, auf der geraden Polare g t - liegt
nach dem Satze in 23, l, folglich muB p die Tangente im Punkt
D; fur den Kegelschnitt q|. 2) sein, und wir erhalten den Satz:
Die konischen Polaren q^ 2) samtlicher Punkte q,
der Polokonik von p beriihren diese Gerade p in
denjenigen Punkten, welche zu q,- die konjugierten
sind rucksichtlich des Buschels konischer Polaren
Q/ 2) ? die zu den Punkten von p gehoren.
Wir konnen uns auch so ausdrucken:
Die Polokonik der Geraden p ist der Ort aller
derjenigen Punkte, deren konische Polaren die
Gerade p beriihren.
4. Schneidet die Gerade p die C (Z) in den drei Punkten
St, SB, (5, und sind die Tangenten der (7 (3) in diesen Punkten
tfffl, t%, ^G, so bilden diese ein Dreiseit ?I 2 S3.,(S 2 (21, l) S. 171,
welchem die Polokonik p' 2) einbeschrieben ist. Die drei
Beriihrungspunkte werden die konjugierten Punkte von
24. Die Polokoniken von den Geraden in der Ebene etc. 203
$, S3, sein riicksichtlich des Bdschels der konischen Polaren
von p, also diejenigen Punkte, welche in 21, l mit a, b, C
bezeichnet wurden, d. h. die vierten harmonischen Punkte
zu SI, S3, zugeordnet riicksichtlich je zweier Ecken des
Dreiseits t^t^t^.
Insbesondere ist daher die Polokonik von g^ derjenige
Kegelschnitt, welcher die Seiten des von den drei Asym-
ptoten der (7 (3) gebildeten Dreiseits in ihren Mitten beruhrt.
Nehmen wir eine beliebige Gerade g in der Ebene und
ihre Polokonik g&\ auBerdem einen beliebigen Punkt 9$ und
seine konische Polare *$ (2 \ und moge die Gerade g den
Kegelschnitt SJ$ (2) in den Punkten
D und D'
treffen, so miissen nach 21, l die geraden Polaren q und
q' der Punkte D und D' durch den Punkt SJ5 gehen; diese
geraden Polaren sind aber Tangenten der Polokonik g { ' 2 \
also sehen wir:
Das Tangentenpaar aus irgend einem Punkte ^5
an eine beliebige Polokonik g& } ist ein Paar von
geraden Polaren derjenigen beiden Punkte, in wel-
chen die Gerade g die konische Polare $P (2) schneidet.
Fallen insbesondere die beiden Punkte Q = D' zusammen,
so iniissen auch q = q' zusammenfallen, also sehen wir:
Beruhrt eine Gerade g irgend eine konische
Polare ^S (2) in X, so geht die Polokonik # (2) durch
den Punkt ^5, dessen konische Polare $JS (2) ist, und
die Tangente t der Polokonik in ^5 ist die gerade
Polare des Beriihrungspunktes X.
5. Zerfallt insbesondere die konische Polare O (2) eines
Punktes Q in ein Linienpaar [/?'] = O (2) , dessen Doppel-
punkt q sei, sodaB also D und q konjugierte Punkte der
Hesseschen Kurve H (3) sind ( 23,4,5), und nehmen wir
fur die vorhin g genannte Gerade eine der beiden ?, V, z. B.
I, so wird I eine Tangente der konischen Polare [II 1 ] = O (2)
sein, deren Beruhrungspunkt unbestimmt wird, namlich
jeder Punkt von I sein kann. Die Polokonik von I muB
204 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
aber durch O gehen und die geraden Polaren aller Punkte
von I miissen in Q die Polokonik l (2) beruhren. Dies ist
nicht anders moglich, als wenn Z (2) selbst in ein Linienpaar
zerfallt, dessen Doppelpunkt 1 ist, also:
Wenn eine konische Polare O (2) in ein Linien-
paar Z?! ausartet, so sind die Polokoniken l (2 \ I
dieser beiden Geraden selbst Linienpaare mit dem
gemeinsamen Doppelpunkt D, dessen konische Po-
lare [Hi] ist.
Aber auch umgekehrt, wenn die Polokonik einer Ge-
raden / in ein Linienpaar ausartet, dessen Doppelpunkt
ist, so miissen die geraden Polaren aller Punkte von I Tan-
genten der Polokonik sein, also alle durch O gehen, folglich
inufi auch uach 23, 1 die konische Polare von O durch
alle Punkte von I gehen, d. h. selbst in ein Linienpaar zer-
fallen, dessen einer Teil I ist. Wir schlieBen also:
Alle in Linienpaare ausartenden Polokoniken
haben ihre Doppelpunkte auf der Hesseschen Kurve
H der gegebenen (7 (3) .
Wir bemerken schliefilich noch, daB die Polokonik
<7 (2) einer Geraden g, welche der (7 (3) in den Punkten 51, 95,
6 begegnet, durch die beiden Doppelpunkte O und DQ der-
jenigen Punktinvolution auf g hindurchgeht, welche durch
die Punktepaare
bestimmt wird ( 21, 3), die mit SI, 93, ein aquianharmo-
nisches System bilden (s. d.). Also sind d Oo konjugiert-
imaginar, sobald 21, 93, S alle drei reell sind, dagegen reell,
sobald einer der drei Punkte 51, S3, S reell ist und die beiden
andern konjugiert-imaginar sind.
25. Der die konische Polare begleitende
Kegelschnitt.
1. Wir haben in 22, 4 gesehen, daB aus einem Punkt
ty in der Ebene im allgemeinen sechs Tangenten an die
(7(3) gehen, deren Beruhrungspunkte auf einem Kegelschnitt,
der konischen Polare S$ (2) des Punktes ^5, liegen.
25. Der die konische Polare begleitende Kegelechnitt. 205
Eine solche Tangente aus ?$, welche in X beruhrt,
muB der (7 (3) noch in einem dritten Punkte @ begegnen und
dieser dritte Schnittpunkt @ kann auf folgende Weise er-
mittelt werden:
Die konische Polare von @ muB bekanntlicli durch @
und durch 5E gehen, weil auch | @X | in X die C (3) beriihrt.
Nennen wir diesen Kegelschnitt <S (2) , so niuB nach dem
Fundamentalsatze die Polare von ty nach <5 l2) identisch sein
mit der Polare von @ nach *J$( 2) ; nennen wir den Schnitt-
punkt dieser Polare mit dem Strahle | $] | den Punkt j,
so ist er durch die Bedingung bestimmt
da nun auch die Polare von @ nach ^5 (2) durch j gehen
muB und ^5 (2) durch X geht, auBerdem aber noch in einem
zweiten Punkt X' von dem Strahle | SJSSX | getrofien wird,
so muB auch
sein. Hieraus folgt aber
und da
so folgt
=-2,
also
Durch diese Bedingung ist der Punkt <S vollstandig
bestimmt, denn $ ist gegeben, X und X' sind die beiden
Schnittpunkte der konischen Polare ty mit dem Beruhrungs-
strahl | ^5X | und @ ist der dritte Schnittpunkt desselben
mit der G'< 3 >.
2. Der Punkt <S ist nichts anderes, als der zu X zu-
gehorige Tangentialpunkt. Nun gehen aus ty im allgemeinen
sechs Tangenten an die C (3) und ihre sechs Beruhrungs-
punkte SE haben daher auch sechs Tangentialpunkte @.
Wir konnen aber anstatt der sechs Beriihrungspunkte X
auf der konischen Polare S (i!) samtliche Punkte derselben
206 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
ins Auge fassen und auf dem urn den festgehaltenen Puukt
ty gedrehten Strahle ^5X | allemal eirien zugehorigen Punkt
@ aus der obigen Bedingung konstruieren. Dann wird, da
der Strahl | $$ | noch einen zweiten Punkt ' der konischen
Polare enthalt, auf ihm auch noch ein zweiter Punkt @'
sich vorfinden, der durch die Bedingung bestimmt wird
oder
und der gesamte Ort der Punkte <3, @ ' wird offenbar die Eigen-
schaft haben, durch die sechs Tangentialpunkte der sechs
Beriihrungspunkte von den Tangenten aus ty an die C' A)
hindurchzugehen. Es wircl sich zeigen, daB dieser Ort ein
neuer Kegelschnitt ist, welcher der begleitende Kegel-
schnitt dei konischen Polare ^ (2) genannt wird und zu
diesem in naher Beziehung steht.
Aus den beiden Bedingungen, durch welche @ und '
gefunden werden, ergiebt sich
daher bestimmen die beiden Punktepaare
und
eine Punktinvolution, von welcher $P ein Doppelpunkt sein
muB; der andere Doppelpunkt dieser hyperbolischen Punkt-
involution heiBe p und Hegt daher auf der Polare von ty
nach ty< 2 \ weil
= -1,
sein muB. Wenn daher der Ort der Punkte @, @', wie wir
sogleich sehen werden, ein Kegelschuitt ist, so mussen
fur ihn ty und p konjugierte Punkte sein, ebenso wie fur
die konische Polare ^3 (2) . Von dieser Bemerkung werden
wir spater Gebrauch machen.
3. Wir stehen also jetzt vor der Aufgabe:
Es sind ein Punkt ^ und ein Kegelschnitt ^5 (2) gegeben;
auf jedem durch ty gezogenen Strahle, welcher in X und
25. Der die konische Polare begleitende Kegelschnitt. 207
' dem Kegelschnitt begegnet, werden die Punkte @ und
<&' durch die Bedingungen
bestimiut; es soil der Ort der Punkte @, ' erniittelt
werden bei Drehung des Strahles um ty.
Zur Auflosung ziehen wir durch ^ einen festen Strahl,
welcher $p( 2) in den Punkten X , XQ, treffe, und bestimmen die
Punkte @ >J durch die Bedingungen
--,
dann mussen sich wegen der Gleichheit der Doppelverhaltnisse
1221 I %.'%.' I I @ @ I
I *'o * I > I *o * I j I w o w I
in einem Punkte schneiden, welcher offenbar auf der
Polare p des Punktes ^ riicksichtlich ^< 2) liegt. Mit der
von dem Punkte
S -( e X, **<)
beschriebenen geraden Punktreihe auf ^) liegt nun perspektiv
das Strahlbiischel, welches der Strahl | @ @ | bei der Drehung
um den festen Punkt @ beschreibt.
Aus der Gleichheit der Doppelverhaltnisse
folgt aber auch, daB sich die drei Strahlen
I ST'ST 2 ST' @'<S I
I ^o* 1 ? *o* > ^o^-^ I
in einem Punkte schneiden, und dieser Schnittpunkt
9 - (Xi*, X X')
beschreibt ebenfalls eine gerade Punktreihe auf derselben
Geraden p, der Polare von ^5 nach ^W. Mit dieser Punkt-
reihe liegt das von | <S^(S | beschriebene Strahlbiischel per-
spektiv bei der Drehung um den festen Punkt @^.
Die beiden von r. und I) auf demselben Trager p be-
schriebenen Punktreihen sind nun selbst projektiv (und
involutorisch liegend), weil r. und 1) konjugierte Punkte sind
riicksichtlich des Kegelscbnitts ^5 (2) und mit ty zusammen
208 Theorie der ebenen Kuryen dritter Ordnung.
allemal ein Tripel konjugierter Punkte (Polardreieck) fur
$|3 (2) bilden; folglich sind auch die von den Strahlen
| @ <5 | und @i@ |
beschriebenen Strahlbiischel projektiv, und der Ort von
ist daher ein Kegelschnitt, welcher durch die Mittelpunkte
@ , @o der beiden erzeugenden Strahlbiischel selbst hindurch-
geht. In gleicher Weise sehen wir, daB auch
@'| und |@J@'|
zwei projektive Strahlbiischel beschreiben, also einen Kegel-
schnitt erzeugen, den der Punkt <3' durchlauft. Wir er-
kennen aber auch leicht ; daB diese beiden Kegelschnitte
identisch sind. Denn wegen der Gleichheit der Doppel-
verhaltnisse
"
liegt der Punkt J auch auf dem Strahle j @y@' |, und wegen
der Gleichheit
liegt der Punkt t) auch auf dem Strahle | @ @' |; da hiernach
(@ @, @i') - I,
(@i@, @ ') - 9
ist, so folgt
Wegen der involutorischen Lage der beiden von r. und
t) beschriebenen projektiven Punktreihen auf p sind die Punkte
j und ty vertauschbar, also sind die von @ und ' be-
schriebenen Orte identisch.
Dies ist denn auch von vornherein ersichtlich, weil aus
den beiden Bedingungen
folgt
(22'') - -}-
oder
(22'') = 9.
25 Der die konische Polare begleitende Kegelschnitt. 209
Weil nun die beiden Punkte X, X' die Schnittpunkte
des durch ^5 gezogenen Strahles mit der konischen Polare
sind und durch Vertauschung derselben nur @ in @' iiber-
geht oder umgekehrt, miissen auch @ und <>' denselben
Kegelschnitt durchlaufen.
Fur diesen Kegelschnitt @ (2) ist das Dreieck ^$jt) ein
Polardreieck (selbstkonjugiertes Dreieck) ebenso wie fur den
Kegelschnitt $ (2) , und da und t) sich auf der festen Ge-
raden p bewegen und eine Punktinvolution beschreiben, die
beiden Kegelschnitten gemeinschaftlich zugehort, so sehen
wir, daB die beiden Kegelschnitte @ (2) und $( 2) eine
doppelte Beriihrung haben, indem fiir sie gleichzeitig ^
und p Pol und Polare sind und die ihnen zugehorigen Punkt-
und Strahleninvolutionen zusammenfallen. Wir konnen so-
mit als Resultat der vorigen Untersuchung den Satz aus-
sprechen:
Aus einem Punkte ^ in der Ebene gehen im all-
genieinen sechs Tangenten an die C (S> , deren Be-
ruhrungspunkte auf einem Kegelschnitt ^S (2) ; der
konischen Polare von $P, liegen. Jede dieser sechs
Tangenten schiieidet die 6 Y(3) noch in einem dritten
Punkte; diese sechs dritten Punkte liegen auf einem
neuen Kegelschnitt @ (2) , welcher der begleitende
Kegelschnitt der konischen Polare heiBt. Die ko-
nische Polare ^ 2) und ihr begleitender Kegelschnitt
@ (2) haben eine doppelte Beruhrung, indem fiir beide
der Punkt ^5 und seine Polare p riicksichtlich ^ (2)
oder <3 (2) dieselben sind, sowie die den Tragern p
und ^5 zugehorigen Punkt- und Strahleninvolutionen
riicksichtlich beider Kegelschnitte zusammenfallen.*
Ist % ein Beriihrungspunkt einer aus ^ an die C (3)
gelegten Tangente und @ der Tangentialpunkt derselben,
* Andere Beweise dieses Satzes sind gegeben worden von
R. Slawyk: ,,Die Polareigenschaften der allgemeinen ebenen Kurve
dritter Ordnung." Inaug.-Diss. Breslau 1872.
A. Milinowski: ,,Zur Polarentheorie der Kurven und Flachen dritter
Ordnung." Borchardts Journ. f. Mathematik. Bd. 89 S. 136 flg.
SclirOter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordn. 14
210 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
ferner ' der zweite Schnittpunkt des Strahles | ^5X | in it
der konischen Polare, so wird der Punkt @ durch die Be-
dingung gefunden
Der Strahl | ^$X | schneidet den begleitenden Kegel-
schnitt @ (2) noch in einem zweiten Punkt, und fur jeden
dureh ty gehenden Strahl behalt das Doppelverhaltnis
den von ^5 unabhangigeu konstanten Wert 9, welcher aus-
sagt, daB die Punkte $, $' niemals durch die Punkte @,
@' getrennt werden, weil jener Wert positiv ist, wie dies
auch aus der Natur zweier sich doppelt beruhrender Kegel-
schnitte hervorgeht.
Aus der Bedingung
folgt, daB wenn ^ ein solcher besonderer, der Hesseschen
Kurve H ( ^ angehorender Pimkt ist, daB seine konische Po-
lare ^5 (2) in ein Linienpaar ausartet, dann auch sein be-
gleitender Kegelschnitt @ (2) in ein Linienpaar ausarten wird,
welches mit dem vorigen denselben Doppelpunkt haben muB.
Diese beiden Linienpaare liefern ein Doppelverhaltnis, welches
den konstanten Wert 9 besitzt.
26. Metrische Beziehungen.
1. Wenn man durch einen Punkt ^5 in der Ebene der
C (3) eine Gerade g zieht, welche der Kurve in den Punkten
21, 93,
begegnet, so gehoren die konischen Polaren der vier Punkte
$, , 95, , namlich
einem Kegelschnittbiischel an, welches mit der von ty, 21,
99, gebildeten geraden Punktreihe auf dem Trager g pro-
jektiv ist ( 23, 3).
26. Metrische Beziekungen. 211
Nach unserm Fundamentalsatz ist nun die Polare
von 9$ nach 5l (2) identisch mit der Polare von 51 nach ^S (2) ,
nehmen wir noch die Polare von ty nach ^|S (2 > hinzu und
nennen die Durchschnittspunkte dieser vier Polaren mit der
Geraden g bez.
P7 7 ^7 ,
so lassen sich dieselben in einfacher Weise ermitteln durch
die Doppelvernaltnisse
-!, ((!) = - 1, (<(,) --i,
^a)- -i, (SS^B)- -i, (ce^O- -i,
und wir haben, weil die Polaren von 21, S3, (, ^ nach $P (2)
ein Strahlbiischel bilden, welches mit der Punktreihe
projektiv ist,
Aus den sechs vorigen harnionischen Beziehungen folgen
drei hyperbolische Involutionen mit den Punktepaaren
I.
5193,
und aus diesen die gleichen Doppelverhaltnisse
= (93 51 Cc),
und hieraus
((S3a) =
Aus den beiden Gleichheiten
ergiebt sich
folglich gehoren die Punktepaare
14*
212 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
HO, 93b, GC
einer Involution an, und well
ist, gehbrt auch das Punktepaar $Pp derselben an, also die
vier Punktepaare
5la, 23b, c, $p
gehbren einer und derselben Involution an.
[Es treten auch noch andere Involutionen hinzu, nain-
lich aus
(W93a) = (HS3c<) = (abc) = (bacS)
folgt, daB die drei Punktepaare
&, S3c, o
einer Involution angehbren; und aus
(6o) = (23(b2f) = (bco) - (cba)
folgt, daB die drei Punktepaare
tc, 23a, (5b
ebenfalls einer Punktinvolution angehbren.]
2. Ob die Involution, deren vier Punktepaare
Ha, S3b, <c, ^p
sind, eine hyperbolische oder elliptische ist, dariiber ent-
scheidet der positive oder negative Wert des Dopp elver-
haltnisses
welchen wir ermitteln wollen.
(0aC) - (e$S8) - .
folgt durch Multiplikation
und
der Ausdruck im Zahler rechts la(3t folgende Umforruung zu:
26. Metrische Beziehungen. 213
3133 2 . (? 2 + (5133 + 33?)
51 S3 2 . (? 2 + 33? 2 . (31 . 33 + 33? . SI 93 . (51 . (33,
3133 2 . (? 2 + 33? 2 . (51 ((51 + 3133) + 33? . 5133 . (51 . (533,
TO 2 . (? 2 + (5l 2 . 33? 2 + 33? . (5( . 5133 (33? + (33),
3133 2 . (? 2 + S51 2 . 33? 2 + 33? . ? . (K . 5133,
(5(33 . ? + 51 . ?33) 2 - ?(5 . ?33 . 5133 . (51
oder, da identisch
5133 . ? + 33(5 . ?5l + (51 . ?33 = 0,
ist
dieser Ausdruck zu dem vorletzten hinzugefiigt und die
halbe Summe beider genommen erhalten wir
i (5t33 2 . ? 2 + 33S 2 . ?51 2 + 651 2 . ?33 2 ),
mithin wird der Wert des Doppelverhaltnisses der sym-
metrisehe Ausdruck
, 5I33 2 . ?^ 2 + 33( 2 . ?5I 2 + (5I 2 . ?33 2
und als Summe von lauter Quadraten ein positiver. Wir
erhalten in gleicher Weise
, . ?5I 2 + .
33 (5 2 . ?5l 2
l . ?33 2 + 5I33 2 . ?( 2 + 33< 2 . ?5I 2
woraus die Beziehung zwischen den drei Doppelverhaltnissen
entspringt
(3Iab33) + (33bc() + (Sca5l) == 2.
Das Resultat der Rechnung ist also, daB die Involution
deren Punktepaare
5lo, 33b, c, ?p
sind, eine hyperbolische ist.
Wir bemerken noch, weil, wie wir oben (1.) geseheu
haben, auch die Punktepaare
5tc, 33a, Sb
einer Involution angehoren, also
214
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
1st und positiv sein muB, daB die Involution, deren Punkte-
paare
c, 33a, Gb
sind, ebenfalls eine hyperbolische ist; und aus der Gleichheit
folgt endlich, daB auch die Involution, deren Punktepaare
Hb, 33c, a
sind, eine hyperbolische sein muB.
Auch bemerken wir, weil
a) = (acb)
und
ist, daB
(abcp) = (ac!
sein muB, ebenso
(bcap) = (bacSB),
(cabp) - (cba();
wir erhalten hieraus drei neue hyperbolische Involutionen,
deren Punktepaare sind
ao, be, p3l,
II. bb, ca, p23,
cc, ab, p (E,
welche den Involutionen 1. (in 1.) gegeniiberstehen.
3. Aus alien diesen Involutionen gehen nun eine Menge
metrischer Beziehungen hervor, zu denen wir gelangen aus
den bekannten metrischen Beziehuugen harmonischer Ele-
mente.
Es folgt zunachst aus den Involutionen I. in (1.)
21111
1)
~i cw rr
5193
1
1
1
1
93
1
93
woraus durch Addition folgt
26. Metriscbe Beziehungen.
1 1 1
215
2)
3)
rnultiplizieren wir die Gleichungen 1) der Reihe nach mit
und addiereu sie dann, so folgt
LJ.-A--.; L + i + J_
2la 23b (c
oder
4)
4- 2- -4- --~ =
1^ <x\ < i^ rr u )
bf C^S _
r < r 1 rf **
Aus den Involutionen II. in 2. ergiebt sich in gleicher
Weise
( 1 1 1 1
6)
- + ~ =
ca cb c
woraus durch Addition folgt
1 1 1
woraus in Verbindung mit 3) sich die Beziehung ergiebt
^jSSl $P$8 S ^S ap bp cp'
multiplizieren wir aber die Beziehungen 6) der Reihe nach
mit dp, bp, Cp und addieren sie dann, so folgt
dp bp Cp
aH b$8 c('
oder
9)
10)
?. 4. b l 4- i? -
ar ken""" ^IT >
_
1 a ^ 8B- "*"
216 Theorie der ebenen Kurven dritter Onlnung.
Multiplizieren wir die Gleichungen 1) bez mit 3(p, 93 p,
Sp, und addieren sie dann ; so folgt nach 10)
also auch
12)
multiplizieren wir dagegen die Gleichungen 6) bez. mit a
b$P, C^S und addieren sie, so folgt in gleicher Weise
13) S + ** + <*_o
ap H bp + cp
also
3
Da der Punkt p auf der Polare des Punktes ^3 riick-
sichtlich seiner konischen Polare ^5 (2) liegt, d. h. auf der
geraden Polare p des Punktes ^ riicksichtlich der (3) , so
konnen wir die Punkte der geraden Polare p von 9$ direkt
durch folgende metrische Beziehung bestimmen:
Dreht man um einen Punkt ty in der Ebene der
C (3) einen Strahl, welcher der C (3) in den drei Punkten
5( 7 35, ( begegnet und bestimnit auf diesem Strahle
allemal einen Punkt p durch die Bedingung
3111
fp ** fl + $" + $6*
so ist der Ort des Punktes p eine gerade Linie,
namlich die gerade Polare des Punktes ^3 riicksicht-
lich der C (3) , oder die gewohnliche Polare des Punktes
ty rucksichtlich seiner konischen Polare ^5 (2) .
4. Schneidet die konische Polare ^ (2) des Punktes ^8
rucksichtlich der C^ den Strahl g = | ^H93S | in den Punkten
D und Dj,
so gilt fiir den Schnittpunkt p der geraden Polare von ^
nach $j$ (2 ' bekanntlich die harmonische Beziehung
26. Metrische Beziehungen. 217
(von welcher die oben gefundene Beziehung eine unmittel-
bare Erweiterung fiir die C (Z) ist).
Wir haben nach dem vorigen Resultat
Wenn wir noch das Produkt
1
kennten, so hatten wir zwei GroBen (Summe und Produkt),
durch welche die Punkte D und Dj vermittelst einer quadra-
tischen Gleichung zu ermitteln waren. Da nun durch
~
der Punkt p bereits bekannt ist, so brauchen wir nur die
wo m die Mitte zwiscnen OO X bedeutet, zu ermitteln, um
auch das gesuchte Produkt zu erhalten. Der Punkt m kanu
aber auf folgende Weise gefunden werden:
Die vier konischen Polaren
schneiden die Gerade g in den Punktepaaren
und gehoren einem Kegelschnittbuschel an ; folglich diese
Punktepaare einer Punktinvolution. Nehmen wir von dem
unendlicn entfernten Punkte ^5^, die Polaren riicksichtlich
der vier Kegelschnitte 2l (2 >, S3 (2 >, 6< 8 >, ^P (2) , so schneiden die-
selben die Gerade g in den vier Mitten der Strecken SIS1
DO 1; und bezeichnen wir diese vier Punkte
die Mitte zwischen SIS1
m
218 Theorie der ebenen Kurven. dritter Ordnung.
so miissen sie projektiv entsprechen den Punkten 51, $8, S- ; ^5 ;
dadurch wird m vollstandig bestimmt.
Wir haben also in den hyperbolischen Involutionen die
Punktepaare
,,, m, sp.oo,
7 35,33,, <K, ^b ,
6A, SB, ^c ,
und diese Involutionen sind dieselben wie in (1.) S. 211.
Hieraus folgt die Gleicliheit der Doppelverhaltnisse
also
Aus den beiden Gleichheiten
(88(500) =
folgt durch Multiplikation
(5t33c a ) =
mithin gehoren die Punktepaare
einer Involution an, und in dieser Involution ist wegen der
Projektivitat
auch ^ und m ein Paar konjugierter Punkte.
Nennen wir in dieser Involution den dem unendlich
entfernten Punkte ^^ entsprechenden Punkt, d. h. den
Mittelpunkt dieser Involution D, so haben wir die funf
Punktepaare derselben
tto, 33 B , (c , $, ^m,
und nach bekannten involutorischen Eigenschaften
26. Metrische Beziehungen.
Aus den Involutionen I. folgt
21 9
aus der letzten Involution aber
folglich ist auch
(a b c 0) -
mithin gehoren die drei Punktepaare
einer neuen hyperbolischen Involution an, und in gleicher
Weise finden wir die drei Punktepaare der drei Involutionen
II.
a a 07 b c c , Og,
6 b , c a , OSS,
cc
00 ,
5. Ans diesen Involutionen I. und II. flieGen eine Menge
metrischer Beziehungen, namlich aus I.
1)
1
i
e g + s 95'
woraus durch Addition folgt
1 1
und wenn wir von den drei Gleichungen 1) die erste mit
210, die zweite mit 95 O, die dritte mit (SO multiplizieren
und addieren
3) ?J? + & _
oder
Oa , Ob , Oco_ a
220 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Aus den Involutionen II. folgt
ci O a 2l o b o c
_i_ i
t PS i c en t. ~ t ^ '
= - + -^
c 0o c b
woraus durch Addition folgt mit Riicksicht auf 2)
6) Oo + F + Dc = a
Wegen der Beziehungen
OH. 000 = 023. Ob = 0(.0c
ergiebt sich zugleich
7) 03l + 023 + O( = 0,
was nichts anderes aussagt, als daB O der Schwerpunkt der
drei gleich belastet gedachten Punkte 31, S3, ( ist, also fiir
jeden andern Punkt ^ der Geraden g die Bedingung, welche
aus der vorigen hervorgeht, erftillt wird
.8) 3.$O = ^5l + ^93 + $(L
(Nimmt man fiir ^ insbesondere ^5^,, so geht p in
iiber und man erhalt den speziellen Satz: Bestimmt man
auf einem System paralleler Sehnen einer C 1(3) zu den drei
Schnittpunkten auf jeder den Schwerpunkt, so ist der Ort
desselben eine gerade Linie, ein Durchmesser der (7 (3) ).
Multipliziert man die drei Beziehungen 5) bez. mit Oa ,
Ob , Oc und addiert, so folgt die schon bekannte Be-
ziehung 4); multiplizieren wir dagegen die Beziehungen 5)
bez. mit OSl, OSS, OS und addieren, so folgt wegen 3)
Og OSB O(E = aa3 S3@ (%
Oa + O6 + Oc ~ a 6 + B c + c o 7
nun folgt aber aus den beiden Beziehungen 2) und 4)
Oa OQ O OQ O
+ "
durch Abziehen
26. Metrische Beziehungen. 221
Q ofro , M> _ A
+
Oder
O , p =
o b O O C G
ebenso
b c b a
o . o _
c o c b
woraus durch Addition folgt
o-- o- -
U b a c J n iB c ^b o l n lc a C b
also nach 5)
woraus folgt
23b Sc _
StD.SBD KD fi
a D + 670 + C D - 6 '
mithin wird die vorige Beziehung
11) + + . 3
b c c a a b
Die Beziehung 10) Ia6t sich aber wegen der Gleichheit
auch so schreiben
12) O 5t 2 + D S3 2 + D e 2 = 6 . D^ . O m,
woraus folgt, daB die Involution, deren Punktepaare
%*, 99b , ^c
sind, eine hyperbolische ist, weil ihre Potenz als die
Summe dreier Quadrate einen positiven Wert hat. Dies
laBt sich auch in folgender'Weise direkt zeigen:
222 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Aus der Gleichheit der Doppelverhaltnisse
(8<Eb ) -(*$)- |f >
folgt durch Multiplikation
also
21 S3 2
93 (P + CT 2 -(%.(%
SI S3 2
also
also positiv, mithin die Involution eine hyperbolische.
Wir bemerken noch die aus dem Werte dieses Doppel-
verhaltnisses hervorgehende Beziehung
(Sta b 93) + (S3b c (s;) + (c Q 2t) - 2.
Kehren wir aber zu der Beziehung 12) zuriick, so folgt,
weil nach 7) DSl + OS + ) = ist
13) DS3.D( + D(.DSl + )9l.>S3 = -
Die linke Seite lafit sich auch so schreiben
also ist
023.^6 + )(. $21 =-3. 0^5. Dm,
osr . ^e + D93 . ^a + o . ^93 - - 3 . o$ . Dm,
welcne Beziehungen in die Gestalt ubergefiihrt werden konnen
,
woraus endlich auch durch Addition nach 8) hervorgeht
16)
26. Metrische Beziehungen. 223
Indem wir weitere metrische Beziehungen, die sich
hieraus ableiten lassen, iibergehen, betrachten wir allein die
Beziehungen 15), welche allein zwischen den Punkten
S(, S3, <, % und m
obwalten, da es uns vornehmlich darauf ankam, die Ab-
hangigkeit des Punktes in von den gegebenen Punkten
21, 23, (, $ zu ermitteln. Schreiben wir die Beziehungen
15) in der Gestalt:
in 21 in S3 m
i en re cvi on "T"
oder
" '
so ergiebt sich die symmetrischere Gestalt
und da nach dem Frtiheren (S. 216)
1 J_ 1 3
I rf\ rn \^
war, so folgt jetzt
Nun ist aber, wie wir oben (S. 217) gesehen haben,
1
folglich haben wir die beiden Beziehungen
T"
1
wo 0, und Dj die beiden Schnittpunkte des durch $ ge-
zogenen Strahles mit der konischen Polare $ (2) bedeuten.
Hierdurch sind die Punkte D, D x vermittelst einer quadrati-
schen Gleichung bestimmt, und indem wir einen verander-
lichen Strahl um den festen Punkt $ drehen, erhalten wir
224 Theorie der ebeneii Kurven clritter Ordnung.
samtliche Punkteder konischen Polare ^5 (2) . Die syranietrische
Form der Ausdriicke rechts vom Gleichheitszeichen zeigt
uns, daB die Koeffizienten der quadratischen Gleichung auch
bekannt sind, sobald nicht alle drei Schnittpunkte 21, 93, (5
reell, sondern nur einer reell und die beiden andern kon-
jugiert-imaginar sind.
27. /u sain men hang der Hesseschen Kurve # (3) und
der Cayleyschen K I3) mit der gegebenen C (3) .
1. Wir haben in 23, 4., 5. gesehen, daB in dem Netz
von Kegelscbnitten ty (2 \ welcbes die konischen Polaren zu
saintlichen Punkten der Ebene riicksichtlich einer (7 (S) bil-
den, unendlich viele vorkommen, die in Linienpaare aus-
arten, daB die Doppelpunkte dieser Linienpaare eine neue
Kurve dritter Ordnung IH S \ die Hessesche der gegebenen
(7 (3) , erfiillen und daB ein Punkt O, dessen konische Polare
in ein Linienpaar mit dem Doppelpunkte q zerfallt, mit q
zusammen ein Paar konjugierter Punkte D und q, fur die
jT (3) bildet. Wir wissen ferner aus 6, daB fur eine Kurve
dritter Ordnung H (y) die Verbindungslinien | Oq | zweier
konjugierten Punkte eine Kurve dritter Klasse K (Z) unihullen,
welche die zu H& zugehorige Cayleysche Kurve heiBt; auch
ist der Zusamnienhang von H ( ' A) und K^ oben angegeben
worden; wir wollen nunmehr den Zusammenhang dieser
beiden Kurven mit der gegebenen C (3) , von der sie abhangen,
untersuchen.
Auf der Hesseschen Kurve H'^ giebt es unendlich
viele Paare von konjugierten Punkten Qq, welche die
Eigenschaft besitzen, daB jeder Punkt der Kurve Strahlen-
paare nach ihnen sendet, die eine ihm zugehorige Strahlen-
involution bilden. Die Doppelstrahlen derselben umhiillen
die K (Z) und sind solche Verbindungslinien Dq je eines
Paares konjugierter Punkte der H (3 \ Tn der zu q gehorigen
Strahleninvolution entspricht dem Strahle qD | die Tangente
in q an der H^' und diese beiden Strahlen durch q tren-
nen die Doppelstrahlen harmonisch. Diese Doppelstrahlen
27. Zusammenhang der Hesseschen Kurve fl"' 8 ) etc. 225
bilden aber aucb, wie wir wissen ( 6), einen ausgearteten
Kegelsehnitt des Netzes, und zwar denjenigen, welcher die
koniscbe Polare von D 1st.
Die Tangente in q an H (3) wird von | qO durcb die
Doppelstrablen der Involution barmoniscb getrennt, ist also
die Polare von Q in Bezug auf das von den Doppelstrahlen
gebildete Linienpaar; sie ist mitbin die gerade Polare von Q
rucksicbtlicb der C (3 \ uud wir seblieBen den Satz:
Die geraden Polaren solcber Punkte O, welcbe
die H (3} erfiillen, rticksicbtlicb der C (3) sind Tangen-
ten der H^\ und zwar in dem jedesmaligen konju-
gierten Punkte q zu D, d. h. in dem Doppelpunkte
des Linienpaares, in welcbes D (2) ausartet. Bewegt
sicb also D auf der H\ so umblillt seine gerade Polare q
rucksicbtlicb der C (3) dieselbe Hessesche Kurve H^ und
beriibrt in dein jedesmaligen konjugierten Punkte q zu Q.
2. Wir baben in 23, 3. geseben, daB wenn eine Ge-
rade y der H (S] in den drei Punkten D 1; D 2 , O 3 begegnet,
deren koniscbe Polaren in Linienpaare ausarten mit den
Doppelpunkten q q 2 , q 3; die letzteren paarweise mit je einein
der ersteren auf den drei Geraden
liegen, also die drei Paare konjugierter Punkte D^, O 2 q. 2 ,
O 3 q 3 die secbs Ecken eines der H^ einbescbriebenen voll-
standigen Vierseits bilden. Aus 24, 2. wissen wir, daB die
geraden Polaren q l} q 2} q s der Punkte D 1? l 2 , D 3 die Polo-
konik ^r (2) der Geraden g beriihren und zwar bez. in den-
jenigen drei Punkten q t , q 2 , q 3 , welcbe den Punkten D 1?
O 2 , O 3 konjugiert sind rucksicbtlicb der # (3) ; da nun nacb
dem vorigen Satze (1.) diese Tangenten q lf q 2 , g s aucb die
H (3) beriihren in denselben Punkten q u q 2 , q 3; so folgt
der Satz:
Die Polokonik g ( ' 2) einer Geraden g rucksicbt-
licb der C' (3) beriibrt die Hessescbe Kurve H^ in
denjenigen drei Punkten q 1; q 2 , q 3 , welcbe konjugiert
sind rucksicbtlicb derselben den drei Scbnitt-
punkten der Geraden g mit der C (3) .
Sehr&ter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordn. 15
226 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Die Polokoniken aller Geraden g in der Ebene sind
also immer solche Kegelschnitte, welche die H^ im allge-
meinen in drei Punkten beriihren und zwar in drei Punkten
eines Tripels, wenn die H (3} als Tripelkurve aufgefaBt
wird ( 8).
Diejenigen Eigenschaften, welche wir friiher fiir Tripel-
punkte einer C f(3) gefunden haben, gelten also jetzt fiir die
Beriihrungspunkte einer Polokonik niit der # (3) .
3. Fallen insbesondere von den drei Schnittpunkten O 1;
D 2 , D 3 einer Geraden g niit der HW zwei zusammen, Qj= Q 2 ,
so wird die Polokonik # (2) eine vierpunktige Beriihrung mit
H (z) haben in demjenigen Punkte q t = q 2 , welch er dem Punkte
D! = Q 2 konjugiert ist.
Die Polokoniken von alien Tangenten der H (5) haben
also eine vierpunktige Beruhrung mit dieser Kurve.
Fallen alle drei Schnittpunkte Qj = D 2 = O 3 zusanimen,
d. h. ist g eine Wendetangente der H ( *\ so wird die Polo-
konik # (2) riicksichtlich der (7 (3) eine sechspunktige Beruhrung
mit der H (3) haben und zwar in demjenigen Punkte der-
selben, welcher dem Wendepunkte konjugiert ist.
Aus dem in 24 7 5. bewiesenen Satze, daB fiir jede
der beiden Geraden /, L 1} in welche die konische Polare eines
Punktes D zerfallt, auch die Polokoniken / (2) und Z (2) in
zwei Linienpaare zerfallen miissen mit dem gemeinsamen
Doppelpunkte D, ergiebt sich jetzt, weil alle Polokoniken
die H {3 ~> beriihren, der Satz:
Das Tangentenquadrupel aus einem Punkte Q
der ^ (3) an dieselbe besteht aus den beiden Linien-
paaren, in welche die Polokoniken derjenigen beiden
Geraden ausarten, aus denen die in ein Linienpaar
ausartende konische Polare des Punktes D besteht.
Wir konnen dies Resultat auch so aussprechen:
Von samtlichen Tangenten der Cayleyschen Kurve
K (a) sind die Polokoniken riicksichtlich der (7 (3) Kegelschnitte,
welche in Linienpaare ausarten und die Hessesche Kurve
H (S) beriihren. Fiir zwei konjugierte Tangenten der K^
(d. h. zwei solche, deren Beriihrungssehne wieder eine Tan-
27. Zusammenhang der Hesseschen Kurve H(*1 etc. 227
gente der K^ ist) haben die beiden in Linienpaare aus-
artenden Polokoniken denselben Doppelpunkt, der auf H (3)
liegt und diese vier Strahlen als Tangenten an die H (S}
sendet.
4. Zu jeder Geraden y, welche im allgemeinen der (3)
in drei Punkten 21, 33, ( begegnet, gehort allemal eine
zweite sie begleitende Ge^rade y', auf welcher die drei
Tangentialpunkte 51', 23', (' liegen, in denen die Tangenten
an 51, S3, (5 der C zum dritten Male begegnen ( 8, 4 ),
ebenso wie zu jeder konischen Polare, welche der C (3) in
sechs Punkten begegnet, der sie begleitende Kegelschnitt
gehort, auf dem die sechs Tangentialpunkte von jenen liegen.
Wir haben nun in 25 gesehen, da6 wenn eine ko-
nische Polare zerfallt, auch der begleitende Kegelschnitt in
ein Linienpaar mit demselben Doppelpunkt ausartet, konnen
also jetzt sagen:
Die beiden Geraden, in welche eine konische
Polare ausartet, haben zwei begleitende Gerade,
deren Schnittpunkt auf der H (Z) liegt und der-
jenige Punkt ist, in welchem die ersteren beiden
sich schneiden.
Nennen wir den Punkt, in welcheni eine Gerade g von
der sie begleitenden Geraden g' getroffen wird, den be-
gleitenden Punkt der Geraden g, so konnen wir auch
sageu :
Die beiden Geraden, in welche die konische Po-
lare eines Punktes D der H (3) ausartet, haben beide
ihren begleitenden Punkt auf der J? (3) in demjenigen
Punkte q, welcher dem Punkte O konjugiert ist,
dessen konische Polare in das Linienpaar ausartet.
Da jede der beiden Geraden eines Linienpaares, in
welches eine konische Polare ausartet, Tangente der C ay-
ley schen Kurve X (3) ist, so konnen wir das vorige Resultat
auch so aussprechen:
Jede Tangente der Cayleyschen Kurve K^ hat
ihren begleitenden Punkt auf der Hesseschen Kurve
H (3 \ und dieser ist der dritte Schnittpunkt der Tan-
15*
228 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
gente der Cayleyschen Kurve K (3 \ welche zwei kon-
jugierte Punkte der H (3) verbindet.
Umhiillt also eine Gerade die Cayleysche Kurve K&\
so beschreibt der sie begleitende Punkt die Hessesche
Kurve H (Z \ oder was dasselbe sagt, die Hessesche Kurve
f (3) 1st der Ort der begleitenden Punkte fiir alle Tangenten
der Cayleyschen Kurve K (3) .
Hiernach kann zu einer Tangente der K (S) die sie be-
gleitende Gerade immer reell konstruiert werden, auch weun
die Schnittpunkte derselben mit der 6' (3) nicht immer alle
drei reell sind. Denn die Tangente t der K w verbindet
zwei konjugierte Punkte der H (3) und hat einen immer
reellen Schnittpunkt q mit derselben; sie hat ferner mit der
(3) mindestens einen reellen Schnittpunkt SI, dessen Tan-
gentialpunkt ST sei; dann ist | qSl'| = t' die begleitende Ge-
rade zu t.
5. Wahrend zu einer gegebenen (7 (3) nur eine einzige
bestimmte H (3) zugehort, namlich der Ort solcher Punkte,
deren konische Polaren in Linienpaare ausarten und zu-
gleich der Ort der Doppelpunkte dieser Linienpaare, findet
das Umgekehrte nicht statt. Nehmen wir eine H^ als ge-
gebene Kurve dritter Ordnung an, so giebt es nicht bloss
eine, sondern im allgemeinen drei verschiedene Fundamen-
talkurven C (3) , fur welche die gegebene H (y) die Hessesche
Kurve ist. Denn die gegebene H (3 *> hat im allgemeinen nicht
bloss ein, sondern drei verschiedene Systeme von Paaren
konjugierter Punkte ( 15). Da ein beliebiger Punkt SI der
jtf (3) im allgemeinen vier Tangenten an die Kurve sendet,
deren Beriihrungspunkte a l} 2 , a 3 , a 4 seien, die ein voll-
standiges Viereck mit den drei auf der C (3) liegenden Dia-
gonalpunkten.
(^02,030^ = 51', (OjOg, O 2 o 4 ) = SI", (0^4,0203) = SI'"
bilden, so erhalten wir die drei Systeme, in denen Paare
konjugierter Punkte sind
I. 0,02, * 3 o 4 , m> > %"%'",
II. 0,03, 020 4 , SISt", STST,
III. o t o 4 , 0203, StSl'", Sl'Sl".
28. Die Wendepunkte der C. 229
Durch ein Paar konjugierter Punkte ist das ganze
System derselben vollstandig und eindeutig bestimmt. Jeder
Punkt der Kurve sendet nach den Paaren konjugierter Punkte
Strahlenpaare einer Involution. Die Doppelstrahlen derselben
bilden einen ausgearteten Kegelschnitt, welcher, wenn die
Kurve die Hessesche H (S) fur eine noch unbekannte Fun-
damentalkurve 6 1(8) sein soil, die konische Polare desjenigen
Punktes riicksichtlich der C (3) sein mu6, der dem Schnitt-
punkt des Linienpaares auf der H (3) konjugiert ist (1.).
Wir konnen also dem Punkte 31 entweder das Linien-
paar o^ ,, io 3 Q 4 | mit dem Doppelpunkte 51' als konische
Polare riicksichtlich der zu suchenden Fundamentalkurve
C (3) entsprechen lassen (System 1), oder das Linienpaar
a i a 3i? I a 2 a <il m it d em Doppelpunkt 51" (System II), oder
endlich das Linienpaar j 1 Q 4 |, Q 2 C1 3 | m it dem Doppelpunkt
3T" (System III).
Nehmen wir jetzt einen zweiten Punkt S3 der H (3) und
uiachen dieselbe Operation, so ist in jedem der drei
Systeme sein konjugierter Punkt S3' (oder S3" oder S3'")
eindeutig bestimmt und ebenso auch seine konische Polare
riicksichtlich der zu suchenden Fundamentalkurve ( 13 u.14).
Wir erhalten also den drei Systemen I, II, III entsprechend drei
bestimmte Netze von konischen Polaren. Zu jedem derselben
konneu wir nuninehr nach 24, 4. die Fundamentalkurve C (3)
herstellen, fiir welche das Netz das der konischen Polaren
ist. Wir schlieBen also das Resultat:
Zu einer gegebenen Kurve dritter Ordnung, als
Hessesche Kurve H (i) aufgefaBt, giebt es im allge-
meinen drei Fundamentalkurven C (3) , fiir welche die
gegebene die zugehorige Hessesche ist.
28. Die Wendepunkte der 0< 3 >.
1. Wir sind bereits von zwei verschiedenen Seiten zu
den Wendepunkten der C t3) gelangt; einmal sahen wir in
7, da6 die beiden Kurven C (3) und $ (3) (letztere umhullt
von den Doppelstrahlen aller den Punkten der C (8) zuge-
230 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
horigen Strahleninvolutionen) sich in neun Punkten beriihren
und die zu diesen Beriihrungspunkten konjugierten Punkte
die Wendepunkte der (7 (3) sind; zweitens sahen wir in 23, 6.,
daB eine (7 (3) und ihre Hessesche Kurve H (3} sich in den
Wendepunkten schneiden. Wir wollen nun den Zusammen-
hang der neun Wendepunkte unter einander aufsuchen
und dadurch zugleich die Frage nach der Realitat derselben
beantworten.
Nennen wir einen gemeinschaftlichen Punkt der beiden
Kurven (7 (8) und $ (3) den Punkt X 7 dann ist sein konju-
gierter Punkt X x = 28 ein Wendepunkt der (7< 3 > ( 7). Sei
ferner X' und 28' ein zweites derartiges Paar konjugierter
Punkte der G' ( % so folgt aus ihnen allemal ein drittes, wie
wir wissen, namlich
(ix 1 , 2828') = 28"
und
(X2B', X'28) = X".
Da aber 28 gleichzeitig der Tangeiitialpunkt von X ist
( 7), d. h. die Tangente in X der C' (3) in dem dritten Punkt
3B begegnet, ebenso die Tangente in X' der C (3) in 3S' be-
gegnet, so mu6 auch die Tangente in dem dritten Schnitt-
punkte von | XX' | niit der C< d. h in 2B" der C i n
demjenigen Punkte begegnen, in welchem | 233S23' sie zuni
dritten Mai schneidet, d. h. in 223" selbst, also ist 3B" ein
dritter Wendepunkt der C (3) , weil seine Tangente drei zu-
sammenfallende Punkte mit derselben gemein hat.
Da ferner die Tangente in X der C (S) in 28 begegnet,
die Tangente in 28' der C (3) wieder in 28' begegnet, so muB
die Tangente in X" der C^ in dem dritten Schnittpunkte
von 28 28' | mit der C&\ d. h. in dem Punkte 28" begegnen;
,also ist 28" der Tangentialpunkt zu X" und zugleich der
konjugierte Punkt, niithin X" einer der gemeinschaftlichen
Punkte von C (3) und (3) , in dem sich diese beiden Kurven
beruhren; mithin gilt der doppelte Satz:
Die Verbindungslinie zweier verschiedenen
Wendepunkte einer C (3) trifft dieselbe allemal in
einein dritten W T endepunkte derselben. Die Ver-
28. Die Wendepunkte der CC 8 >. 231
bindungslinie zweier verschiedenen gemeinsamen
Punkte der C und < 3 > trifft die C^ allemal in
einem Wendepunkte derselben.
Wir konnen hiernach sowohl aus zwei Wendepunkten
der C (3) allemal einen dritten ableiten, als auch aus zwei
gemeinschaftlichen (Beriihrungs-) Punkten der (7 (3) und $ (3)
einen Wendepunkt derselben finden, oder auch als konju-
gierten Punkt zu letzterem einen dritten Beruhrungspunkt
der Kurven (7 (3) und $ (3) erinitteln.
2. Da die Wendepunkte der C (3) nach dem vorigen Satze
iinnier zu je dreien auf einer Geraden liegen, so konnen
durch einen Wendepunkt nicht mehr als vier solcher Ge-
raden gehen, deren jede auBer dem ersten noch zwei weitere
Wendepunkte der (7 {3) enthalt; denn es giebt nur neun Wende-
punkte, also auBer dem zuerst angenommenen nur noch acht.
Hiernach scheint es 9 . 4 == 36 solcher Geraden zu geben,
die je drei Wendepunkte enthalten; da aber jede Gerade
hierbei dreimal auftreten muB, namlich bei jedem der drei
Wendepunkte, welche sie enthalt, einmal, so reduziert sich
die vorige Anzahl auf zwolf, also:
Die neun Wendepunkte einer (7 (3) liegen zu je
dreien auf zwolf Geraden ( Wendepunktslinien), in
dem durch jeden Wendepunkt vier Wendepunkts-
linien gehen.
Gehen wir von einer Wendepunktslinie aus, auf welcher
die drei Wendepunkte
28 * 28 2 28 3
liegen niogen, so gehen durch 28} noch drei iibrige Wende-
punktslinien, deren jede zwei weitere Wendepunkte enthalt;
ebenso durch 28 \ und durch 28 3 ; wir haben also schon zehn
Wendepunktslinien und es bleiben also nur noch zwei ubrig,
die durch keinen der drei Wendepunkte 28}, 28 *, 28^ gehen
konnen; sei eine derselben diejenige, welche drei Wende-
punkte
*
2 7
enthalt, dann haben wir jetzt elf Wendepunktslinien, namlich
die beiden
232 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
und die neun Verbindungslinien je eines der drei ersten mit
einem der drei letzten Punkte; es bleibt daher nur noch
eine einzige, zwolfte Wendepunktslinie ubrig, die durch keinen
der frtiheren sechs Wendepunkte gehen kann, folglich die
drei letzten Wendepunkte
2B 1 28 2 2B 3
enthalten muB.
Ein solches Dreiseit, welches von den drei Geraden
gebildet wird, wollen wir ein Wendepunktsdreiseit nennen
von der Beschaifenheit, daB jede Seite desselben drei ver-
schiedene Wendepunkte enthalt, also samtliche Wendepunkte
erschopft werden und zu je dreien in den Seiten des Drei-
seits liegen.
Aus diesem Wendepunktsdreiseit erhalten wir nun die
neun- noch fehlenden Wendepunktslinien auf folgende Art:
Die Verbindungslinie | 28 {282 | muB noch einen dritten
Wendepunkt enthalten, der auf der dritten Seite des Wende-
punktsdreiseits liegen muB; wir konnen ihn 28?, nennen;
ebenso wird die Verbindungslinie |2B 2 28rj| einen dritten
Wendepunkt enthalten, den wir 28* nennen und von dem
vorigen 28^ verschieden annehmen dtirfen; endlich wird
| 28 3 28 jj | noch einen dritten Wendepunkt enthalten, den
wir 2B 3 , nennen konnen; jetzt sind aber alle Wendepunkte
erschopft; ziehen wir also |2BJ2S.^| 7 so kann die Verbin-
dungslinie als dritten Wendepunkt weder 28 3 noch 28 jj ent-
halten, weil sonst vier Wendepunkte auf einer Geraden
liegen wiirden, was widersinnig ist; es muB also 28^28! |
den dritten Wendepunkt 28 jj enthalten; ebenso muB
| 2B}28 3 ! den dritten Wendepunkt 28*,
3
' 8 1
1 I 2B 2
-2 \ n )) n ^ s >
2 ' 1
28. Die Wendepunkte der CW. 233
enthalten. Wir erhalten hiernach folgende zwolf Wende-
punktslinien, welche wir gleichzeitig als vier Wendepunkts-
dreiseite ordnen
SJSBJSS;
jaB'SBJ
i 1 ^ 2 ^ 3
'3 *3 W 8
\**wi
i'SB'SBJ
(1993*9938
' | 'W g /W O
jssmaflngi
' i /W a 'VV Q
Saggiggs
'i '"'2 ' U3 3;
d. h.:
Die neun Wendepunkte einer (7 (3) liegen zu je
dreien auf zwolf Geraden, von denen immer vier
durch jeden der neun Wendepunkte gehen. Diese
zwolf Wendepunktslinien lassen sich auf vier Arten
zu je dreien so ordnen, da6 diese ein Wendepunkts-
dreiseit bilden, dessen drei Seiten je drei, also
samtliche neun Wendepunkte enthalten. Es giebt
also vier Wendepunktsdreiseite. Diese merkwiirdige Eon-
figuration von Punkten und Geraden in der Ebene ist leider
nicht vollst'andig reell, wie wir sogleich sehen werden.
3. Nennen wir die drei Seiten eines Wendepunkts-
dreiseits
'3
und die Ecken desselben
so befinden sich auf jeder Seite fiinf Punkte, namlich die
beiden Ecken des Wendepunktsdreiseits und die drei Wende-
punkte, welche diese Seite enthalt.
Projizieren wir diese funf Punkte der Seite S 2
9S 1 9B 2 2B 3 21 21
'S'W O 'W ., 'N-^r 7 Q ^^9 t J ^*~9
von den drei Wendepunkten
SBJ, 35^, SS
der Seite Sj aus auf die Seite s s , so erhalten wir auf der-
selben drei projektive Punktreihen desselben Tragers, die
so lauten
234 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
T\ f^ft 2 ^ 1 2B 3 9
A {jx> 3 <&> 3 -u> o
die sich auch so schreiben lassen
Wir erkennen hieraus die cyklischen Projektivitaten
(2B 3 2 2 3 S;r) A (SB J SB S SB 5) 7\ (SBjaBSSB!),
deren Doppelpunkte 21 31 und 5I 32 sind; also bilden diese
fiinf Punkte auf der Geraden s 3 ein aquianharmonisches
System, wie wir in 21, 3. gesehen haben, und von deni
wir wissen, daB wenn die drei bestimmenden Punkte SS. 1 , ,
3Sg, 2B 3 reell sind ; die beiden Doppelpunkte 51 317 21 3 , kon-
jugiert-imaginar sein niiissen; dagegen wenn von den drei
Punkten 28 J, SB?, SBg nur einer reell und die beiden andern
konjugiert-imaginar sind, die beiden Doppelpunkte S1 31 , 5( 32
reell sein miissen. Wir haben also das Ergebnis:
Auf jeder der drei Seiten eines Wendepunkts-
dreiseits bilden die drei in ikr liegenden Wende-
punkte und die beiden Ecken des Dreiseits ein
aquianharmoniscbes System von fiinf Punkten. Oder:
Bildet man aus den drei auf einer Wendepunkts-
linie liegenden Wendepunkten eine cyklische Pro-
jektivitat, so sind die Doppelpunkte derselben die
Scbnittpunkte der beiden iibrigen Wendepunkts-
linien, welcbe mit der ersteren ein Wendepunkts-
dreiseit bilden.
3. Aus der Natur eines aquianharnioniscken Systems,
welche wir in 21, 3. naber studiert haben, geht hervor,
daB mehr als drei Wendepunkte nicht reell sein konnen
und diese auf einer Geraden liegen miissen; denn waren drei
Wendepunkte reell, die nicht auf einer Geraden lagen, so
wiirden die drei Verbindungslinien je zweier drei neue reelle
Wendepunkte liefern, und diese mit den ersteren in der
einzig noch moglichen Weise verbunden, die drei letzten
28. Die Wendepunkte der
235
Wendepunkte; es muBten also samtliche neun Wendepunkte
reell sein, mithin aucb samtliche vier Wendepunktsdreiseite
und deren Ecken; dann batten wir aber aquianharmonische
Systeme von fiinf reellen Elementen, was unmoglich ist,
also ist unsere Annahme unzutreffend, und es konnen
hochstens drei auf einer Geraden liegende Wende-
punkte reell sein.
Aus ahnlichen Griinden ka.nn auch hochstens nur ein
Wendepunktsdreiseit vollstandig reell sein. Denn waren zwei
Wendepunktsdreiseite vollstandig reell, so waren auch ihre
sechs Ecken reell; die drei Punkte, in welchen eine Seite
des zweiten den drei Seiten des ersten begegnet, sind aber
drei Wendepunkte; also batten wir auf derselben fiinf reelle
Elemente eines aquianharmonischen Systems, was wider-
sinnig ist; also es kann hochstens ein Wendepunkts-
dreiseit vollstandig reell sein; dann enthalt jede
Seite desselben nur einen reellen und zwei kon-
jugiert-imaginare Wendepunkte, und die drei reellen
Wendepunkte liegen auf einer Geraden; es kann also
hochstens nur vier reelle Wendepunktslinien geben,
von denen drei das reelle Wendepunktsdreiseit bilden.
4. DaB nun diese einzig nioglichen Falle wirklich ein-
treten, wollen wir unter der Voraussetzung, daB inindestens
ein Wendepunkt der C (3] immer reell sein muB, nachweisen.
Die Existenz mindestens eines reellen Wendepunktes wird
nachtraglich erwiesen werden.
Gruppieren wir, wie in 2. die neun Wendepunkte auf den
zwolf Wendepunktslinien, die wir jetzt besonders bezeichnen
wollen, um ihre Realitat zu erkennen, in folgender Weise
= So
= t 9
so folgt hieraus
236 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
und hierdurch ist die gauze Konfiguration gegeben. Nehmen
wir nun an, daB wenigstens einer der neun Wendepunkte
reell sei, namlich x
dann gehen von ihm aus nach den Punkten
SB 1 SB 2 SB 3
die drei Strahlen
*i> u i> v i,
welche in cyklisch-projektive Beziehung gesetzt zwei Doppel-
strahlen liefern, von denen der eine s l sein muB und der
andere den Schnittpunkt (s 3 s 2 ) mit dem Punkte SB} ver-
bindet; diese wollen wir zur Abkiirzung
nennen. Die fimf Strahlen
i f
eines aquianharmonischen Strahlensystems mussen von der
Beschaffenheit sein, daB entweder t t , u^ , v l reell, s t , s[ konjugiert-
imaginar sind, oder s l} s[ reell und von t i} u lf v t nur einer reell
und die beiden andern konjugiert-imaginar sind. Die erstere
Annahme ist, wie wir jetzt sehen werden, unzulassig; denn
waren t l) u 1) v l alle drei reelle Strahlen, so konnte doch nur
einer derselben drei reelle Wendepunkte enthalten, die beiden
andern miiBten auGer dem reellen Wendepunkt SB} je zwei
konjugiert-imaginare Wendepunkte enthalten; seien diese
MI = | SBJiSBg | und v 1 =|SB 2 SB|!.
Die vier imaginaren Punkte SB 2 , SB 3 und SB!, SB*
liegen also auf einem reellen Linienpaar und bilden ein
imaginares vollstandiges Viereck, von dem bekanntlich die
drei Diagonalpunkte reell sein miissen und von dem ein
Seitenpaar reell ist, die beiden andern konjugiert-imaginiir
sind; die reellen Diagonalpunkte konnen in bekannter Weise
konstruiert werden, sie sind nun
28. Die Wendepunkte der 0^. 237
(2B 2 2B 3 203 a 2B 3> > = fs <? )
\ x >2 x> ->) 3 3' U3 3/ V 6 2 6 3^;
(28-2B- 2B 8 2B 3N > = (ft V
v^a^s* **i **f / v* *8/j
der Punkt (s 2 s 3 ) miiBte also reell sein, folglich auch der
Strahl s' l} mi thin auch der andere Doppelstrahl Sj der
cyklisch-projektiven Biischel, also alle fiinf Elemente des
aquianharmonischen Systems muBten reell sein, was wider -
sinnig ist.
In gleicher Weise wiirden wir auf einen Widerspruch
kommen, wenn wir annehmen, daB t t und v i oder ^ und 1
zwei reelle Strahlen waren, welche je zwei konjugiert-
imaginare Wendepunkte enthalten; es ist also die Annahme,
da.B alle drei Strahlen t lf u l} v l gleichzeitig reell sind, un-
zulassig und es bleibt nur die Moglichkeit iibrig, da6 einer
derselben reell, die beiden andern konjugiert-imaginar sind.
Dann miissen die beiden Doppelstrahlen Sj , s[ reell sein.
Da dies fur den reellen Wendepunkt SS} nachgewiesene
Resultat fiir jeden reellen Wendepunkt gelten muB, so konnen
wir den Satz aussprechen:
Durch einen reellen Wendepunkt der (7 (3) gehen
immer vier Wendepunktslinien, von denen zwei reell
und die beiden andern konjugiert-imaginar sein
miissen.
5. Wir schliefien weiter, indem wir von den drei Strahlen
ti> u i> V D ^ en ersten ^ als den reellen und die beiden andern
u lf v l als die konjugiert-imaginaren annehmen, und betrachten
das von den vier imaginaren Wendepunkten auf u l} v i
SS 2 2S 3 23S 3 2B 2
* M 2> I<M S) * M 2 > ***$
gebildete vollstandige Viereck, welches durch ein imaginares
Linienpaar verbunden wird; dasselbe hat drei reelle Diagonal-
punkte <!K . 1 . , .
i-C%iX ( S 2 S 3 )> (^2^3);
in dem ersten kreuzt sich ein imaginares Seitenpaar dieses
vollstandigen Vierecks, folglich muB sich in dem zweiten
auch ein imaginares und in dem dritten ein reelles Seiten-
paar kreuzen, denn das dritte Seitenpaar ist immer eine
Folge der beiden ersten, und sind diese beiden konjugiert-
238 Theorie der ebenen Kurren dritter Ordnung.
imaginar (vertreten durch zvvei elliptisehe Strahleninvolutionen),
so muB das dritte Seitenpaar reell sein, als Doppelstrahlen
einer in bekannter Weise zu konstruierenden hyperbolischen
Strahleninvolution.
Es muB also von den beiden Strahlenpaaren
s 2 und s 3 , / 2 und t s
das eine reell, das andere konjngiert- imaginar sein; nennen
wir das reelle s 2 und s 3 , dann niuB auch auf s 2 der dritte
Wenclepunkt 233 2 und auf s s der dritte Wendepunkt SOB* reell
sein und wir haben die reelle Wendepunktslinie
t = I SB 1 1 1 I
'i I ^i *a *&3 \t
also die vier reellen Wendepunktslinien
s \y s '2) S 3> h
von denen s lf s 2 , s 3 ein reelles Wendepunktsdreiseit bilden.
Von den neun Wendepunkten sind also nur die drei
j, K, 8B1
reell, welche auf der Wendepunktslinie ^ liegen, die iibrigen
sechs milssen paarweise konjugiert- imaginar sein, njimlich
2 2B 3 auf s
i *JJ I tllll oj
^ 3 ^ 3 S 3 '
Von den zwolf Wendepunktslinien sind die vier
S l) S 2) S 3> h
reell; die iibrigen miissen auch paarweise konjugiert -imaginiir
sein, namlich t 2 und t s haben nur den einen reellen Schnitt-
und es ist
(u v } 2B 1 (it r } 9B 1 (u v } = 2B 1
\1*lV t } "tw 17 V"2 t 2/ **?> l$S V fcJ ' CU 25
die elliptischen Strahleninvolutionen, cleren imaginare Doppel-
strahlen ti l v 1) 2 r 2 , t* 3 v 3 sind, lassen sich aber reell kon-
struieren.
Wir haben demgemaB unter der Voraussetzung, daB immer
mindestens einer (228 {) der neun Wendepunkte einer 6 1<3)
reell sei, was spater ( 30) nachgewiesen werden soil, fol-
gende Lage der Wendepunkte ermittelt:
28. Die Wendepunkte der 0< s \ 239
Von den neun Wendepunkten sind drei reell
and liegen auf einer Geraden (Wendepunktslinie),
die iibrigen sechs sind paarweise konjugiert-ima-
ginar und liegen auf drei reellen Geraden, deren
jede durch einen der drei reellen Wendepunkte
geht und auBer diesem zwei weitere koujugiert-
imaginare Wendepunkte enthalt. Diese drei reellen
Wendepunktslinien bilden das einzige reelle Wende-
punktsdreiseit; es giebt also, indem wir zu ihnen
die erste Wendepunktslinie hinzufiigen, nur vier
reelle Wendepunktslinien, die iibrigen acht sind
paarweise konjugiert-imaginar, mimlich durch jeden
der drei reellen Wendepunkte gehen auBer den
beiden reellen Wendepunktslinien noch je zwei
konjugiert-imaginare Wendepunktslinien, was zu-
sammen sechs macht. Das letzte Paar zweier kon-
jugiert - imaginiirer Wendepunktslinien hat zum
reellen Doppelpunkt denjenigen gegeniiberliegenden
Eckpunkt eines Wendepunktsdreiseits, von welchem
nur eine Seite reell ist, auf der die drei reellen
Wendepunkte liegen, und die beiden andern Seiten
konjugiert-imaginar sind.
Da6 von den neun Wendepunkten einer C (3) mindestens
einer reell sein muB, folgt schon daraus, daB ihre Anzahl
eine ungerade ist und sie die Durchschnittspunkte der beiden
reellen Kurven (7 |3) und H^ sind; doch wird der strengere
Nachweis spater ( 30) geliefert warden.*
* Die hier gegebene Ableitung der gegenseitigen Lage der neun
Wendepunkte let aus einer Bemerkung von A. Clebsch entsprungen
in seiner Abhandlung: ,,t)ber einen Satz von Steiner und einige
Punkte der Theorie der Kurven dritter Ordnung" (Borchardts Journal
f. Math. Bd. 63 S. 120). Vergl. auch die neuerdings erschienene In-
augural-Dissertation von A. Witting: ,,t!Tber eine der Hesseschen
Konfiguration der ebenen Kurve dritter Ordnung analoge Konfiguration
im Eaume" (Dresden 1887).
240 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
29. Beziehungen zwischen den Wendepunkten, den
Wendetangenten und den harmonischen Polaren der
Wendepunkte.
1. Wir haben in 10, 1. gesehen, da6 die neun Durch-
schnittspunkte zweier Kurven dritter Ordnung eine Gruppe
von neun associierten Punkten bilden, d. h. die Eigen-
schaft besitzen, dafi jede Kurve dritter Ordnung, welche
durch acht derselben geht, auch durch den neunten (not-
wendigen) Punkt hindurchgehen muB. Da nun die drei
Seiten des einen reellen Wendepunktsdreiseits ( 28, 5.) eine
spezielle Kurve dritter Ordnung bilden, die durch die Wende-
punkte der C^ hindurchgeht, so folgt:
Die neun Wendepunkte der C (3) bilden eine
Gruppe von neun associierten Punkten. (S. 198.)
Wir haben ferner in 23, 6. gesehen, da6 fur einen
Wendepunkt 293 einer (7 (3) seine konische Polare in ein
Linienpaar ausartet, dessen einer Teil die Tangente t& im
Wendepunkt und dessen anderer Teil eine bestimmte Gerade
w, die harmonische Polare des Wendepunkts 1st, der Ort
der vierten harmonischen Punkte auf alien durch 28 ge-
zogenen Strahlen, welche von 28 harmonisch getremit werden
durch jedes Paar von den beiden iibrigen Schnittpunkten
des Strahles mit der C (8) . (Diese vierten harmonischen
Punkte sind immer reell, sobald 28 reell ist, auch wenn
die beiden iibrigen Schnittpunkte des Strahles mit der (7 (3;
konjugiert-imaginar sind.) Auch gilt das Umgekehrte:
Wenn fur einen Punkt 28 der C r(3) die konische Polare in
ein Linienpaar ausartet, so ist 28 ein Wendepunkt, und das
Linienpaar die Wendetangente tw und die harmonische
Polare w.
Da nun in dem Biischel von Kurven dritter Ordnung,
dessen neun Grundpunkte die Wendepunkte der (7 (3) sind,
durch jeden Wendepunkt 28 vier Wendepunktslinien gehen,
welche in je zwei weiteren Wendepunkten der C< 3) begegnen,
so liegen die zugeordneten vierten harmonischen Punkte auf
der harmonischen Polare w. Fur jede andere Kurve dritten
29. Beziekungen zwischen den Wendepunkten etc. 241
Grades, die dera Biischel angehort, bleibt also die harmonische
Polare w ungeandert, folglich muB auch fiir diese der Punkt
2B ein Wendepunkt sein, weil seine konische Polare in ein
Linienpaar ausartet, also:
Fiir jede Kurve dritter Ordnung des Biischels,
dessen Grundpunkte die neun Wendepunkte einer
C (3) sind, sind diese Punkte gleichzeitig die Wende-
punkte derselben.
Unter den Kurven dieses Biischels , welches ein syzy-
getisches genannt wird, kommen insbesondere vier Linien-
tripel vor, die Seiten der vier Wendepunktsdreiseite, sowie
auch die Hessesche Kurve H&> ( 23,6.).
2. Die harmonische Polare w eines Wendepunktes 2B
enthalt, wie wir wissen, die Beriihrungspunkte der drei
iibrigen Tangenten (auBer der Wendetangente gg selbst),
welche sich von 28 an die C^ legen lassen. Ziehen wir
nun durch 28 zwei beliebige Strahlen, welche in ao t und
bb : der (7 (3) noch begegnen mogen, dann wird die har-
nionische Polare w dadurch zu finden sein, daB wir die
beiden Punkte
(ab, a^J und (ab 1? OjB)
ermitteln, deren Verbindungslinie bekanntlich durch die
vierten harmonischen Punkte zu CN^ und Bb 17 dem 2B zu-
geordnet, gehen muB, also die harmonische Polare w ist.
Lassen wir aber dem Strahle ! dC^ | den Strahl | bb x |
unendlich nahe riicken, so geht ab | in die Tangente fiir 0,
| a^ | in die Tangente fiir c^ an der C iS) iiber, der Schnitt-
punkt beider Tangenten liegt also auf der harmonischen
Polare , und es gilt der Satz:
Zieht man durch einen Wendepunkt 2B der C {3)
einen veranderlichen Strahl und in den beiden
tibrigen Schnittpunkten desselben mit der (8) die
beiden Tangenten, so bewegt sich der Schnittpunkt
derselben auf einer Geraden, der harmonischen
Polare des Wendepunktes 2B.
Rucksichtlich eines Wendepunktes besitzt also die C (y>
dieselbe Eigenschaft, wie der Kegelschnitt rucksichtlich
Sohr3ter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordn. 16
242 Theorie der ebenen KuiTen dritter Ordnung.
jedes Punktes der Ebene und der ihm zugehorigen
Polare.
Zieht man insbesondere durch SB eine Wendepunktslinie,
welch e also zwei weitere Wendepunkte der (7 (3) enthalt, so
miissen die Wendetangenten derselben sich auf der har-
monischen Polare des ersten Wendepunkts schneiden, also:
Der Schnittpunkt zweier Wendetangenten liegt
auf der harmonischen Polare des dritten Wende-
punkts, in welchem die Verbindungslinie der beiden
ersten Wendepunkte der C (3) begegnet.
Zieht man durch einen Wendepunkt SB der C< 3) drei
beliebige Sekanten
so konnen diese als eine ausgeartete Kurve dritter Ordnung
aufgefaBt werden; die neun Durchschnittspunkte derselben mit
der C (3) haben nun die drei Punkte SB, SB, SB (zusammen-
fallend) auf einer Geraden, folglich miissen die sechs iibrigen
auf einem Kegelscnnitt liegen, also:
Zieht man durch einen Wendepunkt einer C (3 '
drei beliebige Sekanten
2821231, ISBUMB'!, |2B2l"93"!,
so liegen die sechs iibrigen Durchschnittspunkte
derselben mit der 6 r(3) auf einem Kegelschnitt ;
dessen Polare von dem Punkte SB die harmonische
Polare des Wendepunkts 233 ist.
Liegen insbesondere S(, 51 ', 21" auf einer Geraden, so
miissen auch 33, S3', 93" auf einer Geraden liegen. Hieraus
ergiebt sich der Satz:
Schneidet eine beliebige Gerade die C (3) in den
drei Punkten $ ; 2l f , 21" und werden dieselben mit
einem Wendepunkt SB durch drei Strahlen ver-
bunden, so liegen deren dritte Schnittpunkte auf
einer zweiten Geraden, und der Schnittpunkt dieser
beiden Geraden ist ein Punkt der harmonischen
Polare des Wendepunkts SB.
3. Ist SB ein Wendepunkt der C (8) und w seine har-
monische Polare, so wird fur einen durch SB gezogenen
29. Beziehungen zwischen den Wendepunkten etc. 243
Strahl | $321$ die Tangente in 21 die Gerade w in dem-
selben Punkte 9$ treffen, wie die Tangente in 93, wie wir
in 2. gesehen haben; also wird auch umgekehrt, wenn von
einem Punkte ty der Geraden w eine Tangente | $P31 | an
die G T|3) geht, noch eine zweite Tangente | $$93 | an dieselbe
gehen miissen, so daB die Beriihrungssehne | 3193 | durch 3B
geht. Geht aus 9$ noch eine andere Tangente |^52l f | an
die C (3) , so wird auch noch eine weitere Tangente | SJS93'
an die C (3) gehen, sodaB | 2('93' ebenfalls durch S93 geht,
und geht endlich aus 9$ noch eine dritte Tangente | SJS31" |
an die (,' (y) , so wird noch eine andere Tangente | ^593"| an
dieselbe gehen, sodaB |3I"93"| auch durch 223 geht. Die
sechs Tangenten, welche sich im allgemeineu aus einem
Punkte ty der Geraden w an die 6'< 3) legen lassen, zerfallen
also in drei Paare
||3l 'und | $8, |$'|und ^JB'|, |^"| und |$93"|,
und die drei Beriihrungssehnen
!3I$ , 3l'93'|, |3("93 r '|
gehen durch denselben Puukt 925.
Da nun, wie wir wissen, die sechs Punkte 31, 93, 31', 93',
31", 53" auf einem Kegelschnitt liegen miissen (2.), der die
konische Polare ^S (2) des Punktes ty ist, so bilden die vorigen
drei Strahlenpaare eine Strahlenin volution, deren Doppel-
strahlen die beiden Geraden | $J$2B | und w sind. Fur diesen
Kegelschnitt sind also 393 und w Pol und Polare. Wir
konnen also den Satz aussprechen:
Fur alle Punkte 9$ der harmonischeu Polare w
eines Wendepuiikts 923 bilden die konischen Polaren
^ (2) ein Kegelschnittbiischel, welches 993 und iv ge-
meinsam zu Pol und Polare hat. Die geraden Po-
laren fur alle Punkte ^5 von iv laufen daher sarnt-
lich durch den Wendepunkt 203.
4. Aus der Konfiguration der Wendepunkte, Wende-
punktslinien und Wendepunktsdreiseite, wie wir sie in
28, 4. zusammengestellt haben, lassen sich nun auch die
harmonischen Polaren der neun Wendepunkte herstellen
16*
244
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
vermittelst der Eigenscbaften des vollstandigen Vierecks.
Da namlicb durcb 28} die beiden Strablen
geben, so miissen in dem vollstandigen Viereck
die beiden Diagonalpunkte
verbunden die harmonische Polare des Wendepunkts 28}
geben, weil sie zwei Punkte von demOrte aller vierten harmo-
niscben Punkte auf den durcb 25} gezogenen Strablen sind.
Diese Punkte (w. ? tO, (v 9 v) sind aber gleicbzeitig zwei
\ 6 O/ / \ S Os O
Ecken von Wendepunktsdreiseiten, deren wir die vier haben
Bezeichnen wir daher die zwolf Ecken dieser vier
Wendepunktsdreiseite
so werden sicb aus diesen zwolf Punkten zu je vieren die
harmoniscben Polaren
*
der Wendepunkte 28 ; " zusammeusetzen lassen, wie folgt
^,3 = j ^Xgllg^., ,
^3 = , (g^gll^!
Hieraus geben aber wieder die zwolf Punkte @,,
U,-. S3 i in der Weise bervor
29. Beziehungen zwischen den Wendepunkten etc. 245
l> / 1 8 2 \
\5 l = (W^ M'g Z/3 ) ,
Dies laBt sich in Worten folgendermaBen aussprechen:
Die neun harruonischen Polaren der Wende-
punkte einer G'' 3) gehen zu je dreien durch die zwolf
Ecken der vier Wendepunktsdreiseite, sodaB jede
harmonische Polare vier von den Ecken der Wende-
punktsdreiseite enthalt. Die harmonischen Polaren
solcher drei Wendepunkte, welche auf einer Geraden
(Wendepunktslinie) liegen, schneiden sich allemal
in einem Punkte, namlich in der Gegenecke des-
jenigen Wendepunktsdreiseits, von welcheni jene
Gerade eine Seite ist. Die neun harmonischen Po-
laren bilden eine ganz analoge Konfiguration, wie
die Wendepunkte selbst, indem nur die eine der
andern dual gegeniibersteht. Der Zusammenhang
beider Konfigurationen ist derartig, daB die Wende-
punktsdreiseite der urspriinglichen Konfiguration
identisch zusanimenfallen mit den analogen Drei-
ecken der dual gegenuberstehenden, indeni die
Ecken dieser vier Dreiecke die Gegenecken jener
vier Dreiseite sind.
Hieraus folgt denn auch, daB die neun harmonischen
Polaren hinsichtlich ihrer Realitat und gegenseitigen Lage
sich genau ebenso verhalten, wie die Wendepunkte selbst,
also z. B.:
Die drei harmonischen Polaren, welche durch
eine Ecke eines Wendepunktsdreiseits gehen, bil-
den mit den beiden Seiten des Dreiseits in dieser
Ecke ein aquianharmonisches System von fiinf
Strahlen, indem die drei ersteren die cyklisch-pro-
jektiven Elemente und die beiden letzteren die
Doppelelemente des Systems sind.
5. Betrachten wir ein Wendepunktsdreiseit und eine der
iibrigen Wendepunktslinien, z. B.
246 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Sj, s 2; S 3 und t lf
so bilden dieselben ein vollstandiges Vierseit, dessen drei
Paar Gegenecken sind
@ t und SB},
<S 2B 1
^2 '" 3 >. )
gftti.
3 n *$)
die Strahlenpaare, welche von X L nach diesen drei Paar
Gegenecken gehen, bilden bekanntlich eine Strahleninvolution,
deren Strahlenpaare sind
w\ und
die G erade ^ = 2B } SB !, SS * | wird also von den drei har-
monischen Polaren w[ } tvl, w% in solchen drei Punkten ge-
troffen, welche konjugiert sind den Punkten SB{, 2Bi, SBg
und mit diesen drei Punktepaare eine Punktinvolutioii
bilden, also:
Eine Wendepunktslinie, welche drei Wende-
punkte enthalt, wird von den drei harmonischen
Polaren derselben in drei neuen. Punkten getroffen;
die drei Punktepaare gehoren einer Involution an.
Diejenigen neun Punkte, in welchen die Tangenten der
Wendepunkte (Wendetangenten) von den ihnen zugehorigen
harmonischen Polaren getroffen werden, liegen bekanntlich auf
der Hesseschen Kurve H (3 \ weil sie die Doppelpunkte
solcher Linienpaare sind, in welche die konischen Polaren
der Wendepunkte ausarten; und es sind imrner ein Wende-
punkt 2S und der Schnittpunkt (%, w) ein Paar konjugierte
Punkte fur die H.
Wir haben aber gesehen, daB die Wendepunkte der C' (3)
gleichzeitig Wendepuukte der H^ sind und daB ein Wende-
punkt der H (3) ein solcher Punkt ist, welcher gleichzeitig
Tangentialpunkt fur seinen konjugierten Punkt ist. Hieraus
folgt, daB der Weuclepunkt 2B Tangentialpunkt sein niuB
zu dem Schnittpunkte (%, ui) . filr die H\ also niuB die
29. Beziehungen zwischen den Wendepunkten etc. 247
Tangente fo$ die Hessesche Kurve _H (3) . in diesem Schnitt-
punkte (/SB, iv) beruhren. * Daher erhalten wir den Satz:
Die Wendetangenten der (3) beruhren ihre H (S)
in denjenigen Punkten, in welchen jede Wende-
tangente von der harmonischen Polare ihres Wende-
punkts getroffen wird.
Die Hessesche Kurve f (3) und die Cayleysche Kurve
K^ } stehen in derselben Beziehung zueinander, wie die
friiher von uns betrachtete urspriingliche Kurve (7 (3) und
die zu ihr gehorige $ (3) ( 1, 5.).
Die Kurven H^ und K*- 3) beruhren sich also- in
den neun Punkten, in welchen sie sich begegnen,
niimlich in den konjugierten Punkten zu den Wende-
punkten der H (3 \ welche zugleich die Wendepunkte
der C< 3) sind.
Die zu den gemeinschaftlichen Tangenten der 7? (3) und
K { " >} in ihren neun Beriihrungspunkten konjugierten Tan-
genten sind, wie wir wissen ; die Riickkehrtangenten der
-E" (3) . Da nun die Wendetangenten der (7 (3) in denjenigen
Punkten berahren, in denen sich H (sy und K (y) begegnen,
und die konjugierten Tangenten zu den Wendepunkten der
(7 (3) fur die K ( ' A) die harmonischen Polaren iv der Wende-
punkte 28 sind, so schlieBen wir:
Die harmonischen Polaren w der Wendepunkte
28 einer C (y> sind die Riickkehrtangenten der Cay-
leyschen Kurve K (3 \ und die Beriihrungspunkte
(Riickkehrpunkte der .ff( 3) ) derselben sind diejenigen
neun Punkte, in welchen die Wendetangenten % der
O (3) von den harmonischen Polaren ihrer Wende-
punkte getroffen werden.
Hieraus folgt auch eine Bestatigung der schon vorhin
(4.) gemachten Bemerkung, da6 die neun harmonischen Po-
laren eine analoge, nur dual gegeniiberstehende Konfiguration
bilden, wie die neun Wendepunkte selbst, weil die beiden
Kurven Zf (;i) und 7 (3) einander dual gegeniiberstehen und
den Wendepunkten der H (3) die Riickkehrtangenten der K (y)
gegeniiberstehen.
248 Theorie der cbenen Kurven dritter Ordnung.
6. Nehmen wir einen beliebigen Wendepunkt der 6 r(3)
und moge seine harmonische Polare die Wendetangente fiir
233 in dem Punkte mi!
Vi
schneiden, dann sind SB. und ty. nicht allein ein Paar kon-
jugierter Punkte der Hesseschen Kurve H (3} , sondern es ist
auch SB. der Tangentialpunkt zu ty r Da man nun durch
zwei solcher Paare konjugierter Punkte allemal ein drittes
Paar konjugierter Punkte ableitet, so gelangt man zu einem
innigen Zusammenhange zwischen den Punkten SB ; und ^$ .
(if k = 1, 2, 3), z. B. aus SB{ und SB 2 , deren konjugierte
$} und %* sind, folgt
woraus hervorgeht, da6 je drei Punkte
auf einer Geraden liegen miissen.
Wir erhalten hierdurch im ganzen 36 Gerade, deren
jede zwei Punkte ^5 und einen Wendepunkt SB enth'alt, was
aus folgendem Schema hervorgeht:
ongsogsqgs
*^ 1 T* 2 -T 3 .>
i ;
!*;*;,
a :>
29. Beziehungen zwischen den Wendepunkten etc. 249
von diesen 36 Geraden gehen durch jeden der neun Wende-
punkte vier, dagegen durch jeden der neun Punkte ty* acht
Gerade, namlich seine Verbindungslinien mit den acht tibrigen
^5.; die 36 Geraden sind daher die "'., = 36 Verbindungs-
linien je zweier der neun Punkte ty . , und wir konnen sagen :
Jede Verbindungslinie zweier Punkte ^ k auf
der H (3} trifft dieselbe zum dritten Mai in einem
Wendepunkte derselben, welcher zugleich ein Wende-
punkt der Fundamentalkurve (7 (3) ist. Diese 36 Ver-
bindungslinien schneiden sich zu je vier in den
neun Wendepunkten der C (3) .
Wir konnen demgemaB das vorige Tableau auch kiirzer
so darstellen:
wo die Verbindungslinie zweier ^3. aus einer beliebigen
Horizontal- und Vertikalreihe genommen den betreffenden
Wendepunkt SS* aufweist, der auf dieser Geraden liegt.
1. Ferner wissen wir, da6 wenn drei Punkte einer Kurve
dritten Grades H (3) auf einer Geraden liegen, ihre drei kon-
jugierten Punkte derartig beschaffen sind, daB in ihnen ein
Kegelschnitt die H ( * } dreimal beriihren kaim, oder anders
ausgedriickty daB sie ein Tripel von Punkten der H {3) bildeu;
aus der Lage der Wendepunkte S&* schlieBen wir also auf
250 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
die Lage der Punkte $*' (i, Jc = 1, 2, 3), welch e sicli so zu
zwolf Tripeln orduen
Da die sechs Punkte zweier beliebigen Tripel allemal
auf einem Kegelschnitt liegen, so liegen die neun Puukte
ty. 66mal (= 1 ' g ) zu je sechs auf einem Kegelschnitt.
Es bilden auch noch auf andere Weise, nainlich iininer
zwei Wendepunkte und der zu dem dritten auf ihrer Ver-
bindungsliuie liegenden Wendepunkt konjugierte Punkt ein
Tripel, z. B.
"
u. s. f.
Wir erhalten also auf diese Weise 12.3 = 36 neue
Tripel, und wenn wir diese untereinander oder niit den
vorigeu zu je zweien verbinden, so erhalten wir Kegel-
schnitte, welche entweder vier Wendepunkte und zwei Punkte
98* oder zwei Wendepunkte und gewisse vier Punkte 5)3*
enthalten, woraus eine groOe Menge neuer Kegelschnitte
hervorgeht.
30. t)ber den Zusammenhang der Punkte einor C (3)
mit ihren zugehorigen Tangentialpunkten.
1. Wir haben uns iiber die Lage und Realitat der
Wendepunkte einer C (3) ( 28 und 29) orientiert unter der
Voraussetzung, da6 die Kurve niindestens eiueii reellen
Wendepunkt habe. Der Nachweis hierfiir soil jetzt nach-
traglich geliefert werden durch die Untersuchung des Zu-
sammenhanges zwischen den Punkten der f (3) und ihren
zugehorigen Tangentialpunkten.
30. Uber den Zusammenhang cler Punkte einer C7 (3) etc. 251
Aus den allgemeinen Betrachtungen in 16 geht her-
vor, daB zunachst bei der einziigigen 6' (3) , wenn wir in
einem Punkte C derselben die Tangente tz ziehen, welche
zum dritten Mai in )', dem zu 5 gehorigen Tangential-
punkte, der C (3) begegnet, bei der Veranderung von O langs
des ganzen kontinuierlich zusammenhungenden Zuges, auch
der Punkt )' langs desselben sich fortbewegen wird.
Der Punkt C' durchlauft aber den Zug zweimal, wah-
rend O ihn einmal durchlauft, weil aus jedem Punkte des
Zuges zwei und nur zwei reelle Tangenten an denselben
gehen. Halten wir namlich einen Punkt )' der C (3) fest
und legen aus ihm die beiden reellen Tangenten an dieselbe,
welche in ) l und D 2 beriihren, so teilen die beiden Punkte
Cj und D 2 den ganzen kontinuierlich zusammenhangenden
Zug in zwei Gebiete; wahrend der Punkt O das eine der-
selben durchlauft von D : bis Oj,, wird der zugehorige Tan-
gentialpunkt von C^ ausgehend wieder nach 5^ zuriick-
kehren, indeni er den ganzen Zug durchlauft, und wenn O
das andere Gebiet von 2 nach O x durchlauft, wird der
zugehorige Tangential punkt O' nochmals von D^ ausgehend
den ganzen Zug durchlaufen und wieder nach O^ zuriick-
kehren.
Um diese Behauptung zu rechtfertigen, wollen wir das
eine Gebiet des Zuges zwischen > 1 und D 2 das Gebiet (^4)
und das iibrige von D 2 bis D x das Gebiet (J5) nennen.
Wenn nun ein veranderlicher Punkt 36 auf dem Zuge
das eine Gebiet (A) von D x nach D 2 kontinuierlich durch-
lauft, so muB der zugehorige Tangentialpunkt 36' von OQ
ausgehend wieder nach D,' zuriickkehren, also entweder den
ganzen Zug kontinuierlich durchlaufen oder nur einen Teil
desselben und dann wieder umkehren, um nach D<J zuruck-
gelangen zu konnen; wenn aber K f etwa nur bis 3^ gelaugte
und dann wieder umkehrte, so wiirde er die von ihm durch-
laufen en Punkte des Zuges zweimal erreichen, die iibrigen
gar nicht, d. h. aus jenen Punkten des Zuges gingen zwei
reelle Tangenten an denselben, aus diesen keine; lassen wir
dann den veranderlichen Punkt das iibrige Gebiet (B)
252 Theorie der ebenen Kuryen dritter Ordnung.
durchlaufen, so konnen wiederurn zwei Falle eintreten, der
zugehorige Tangentialpunkt ' durchlauft entweder von D^
ausgehend den ganzen Zug, was nicht moglich ware, weil
er dann auch das friihere Stuck nochmals durchlaufen rniiBte,
welches alle Punkte enthielte, aus denen drei Tangenten an
die (7 (8) gingen, . oder zweitens der Punkt 3' lauft von >' Q
ausgehend nur ein Stiick auf dem noch freien Teile des Zuges
und kame umkehrend wieder nach D,J zuriick. Dies ist aber
auch nicht moglich; denn sonst blieben offenbar auf dem
Zuge Punkte iibrig, die keinmal von ' erreicht wiirden,
aus denen also keine reelle Tangente an den Zug ginge.
Hieraus folgt, da6 die friihere Annahme unzutreffend ist;
vielmehr wird in der That, wahrend 3 das Gebiet (^4)
kontinuierlich durchlauft, der zugehorige Tangentialpunkt
3' den ganzen Zug kontinuierlich durchlaufen, ohne seine
Bewegungsrichtung umzukehren, von D^ ausgehend und nach
Dp wieder zuruckkehrend; und wahrend 36 das tibrige Ge-
biet (.B) durchlauft, wird sein Tangentialpunkt 3c f dieselbe
Bewegung zum zweiten Mai ausfiihren.
2. Nun liegt der den beiden Punkten Oj und D 2 ge-
nieinschaftliche Tangentialpunkt D^ entweder in dem Ge-
biete (.4) oder in dem Gebiete (I?) des Zuges. Liegt der
Punkt DO in dern Gebiete (J5), so mu6, wenn 3c das Ge-
biet (A) durchlauft, der Tangentialpunkt 3' um von D'^ aus-
gehend und ohne seine Bewegungsrichtung andern zu konnen,
nach DO zuruckkehrend notwendig das ganze Gebiet (A~)
durchstreifen, mi thin auch mindestens einmal mit 36 zu-
sammentreffen auf diesem Gebiete. Wenn ein Punkt der
C (3) mit seinem zugehorigen Tangentialpunkt zusammentrifft,
so wird er offenbar ein Wendepunkt der Kurve.
Liegt also D^ auf dem Gebiete (-B), so enthalt das Ge-
biet (A) mindestens einen reellen Wendepunkt, und liegt
umgekehrt DJ auf dem Gebiete (^4), so enthalt notwendig
das Gebiet (i?) mindestens einen reellen Wendepunkt der
Kurve.
Unter alien Umstanden enthalt also der ganze Zug der
einziigigen C (3) mindestens einen reellen Wendepunkt;
30. tiber den Zusammenhang der Punkte einer C' s ' etc. 253
daraus folgt aber, wie wir in 28 gesehen, die Realitat
dreier und alles Ubrige. Ein Wendepunkt der (7 ty) hat die
charakteristische Eigenschaft, drei unendlich nahe aufeinan-
der folgende Punkte 1, 2, 3 der Kurve und die Wende-
tangente in demselben, zwei aufeinander folgende unendlicb
nahe Tangenten 1 2 | und | 2 3 | zu vereinigen. Fur die
Tangente | 12 | ist 3 der zugehorige Tangentialpunkt, fur
die Tangente 2 3 wird 1 der zugehorige Tangentialpunkt.
Jndem beim Durchgange durch den Wendepunkt Beruhrungs-
punkt und Tangentialpunkt zusainmenfallen, wird also, wenn
der Beriihrungspunkt die Bewegungsrichtung von 1 durch 2
nach 3 einschlagt, der. zugehorige Tangentialpunkt die Be-
wegungsrichtung von 3 durch 2 nach 1, d. h. die entgegen-
gesetzte Bewegungsrichtung einschlagen mussen. Da nun,
wie wir gesehen haben, bei der Bewegung eines Punktes
langs des ganzen kontinuierlichen (im Unendlichen zusammen-
hangenden) Zuges in einer bestimmten Bewegungsrichtung
mit seiner Tangente, auch der zugehorige Tangentialpunkt
eine bestimmte Bewegungsrichtung einschlagt und dieselbe
nicht umkehren kann, so wird tiberhaupt, wie ( dies beim
Durchgange durch den Wendepunkt der Fall ist, bei kon-
tinuierlicher Bewegung der Tangente langs des Zuges, der
Tangentialpunkt die entgegengesetzte Bewegungsrichtung
haben, wie der Beriihrungspunkt.
Da nun die Punkte \ und O 2 , welche denselben Tan-
gentialpunkt 0,J haben, den ganzen Zug in die beiden Ge-
biete (A) und (-B) zerlegen, so wird, falls der Punkt DJ auf
dem Gebiete (B) liegt, wenn der Punkt X das Gebiet (A)
von D t nach 2 durchlauft, der Tangentialpunkt 36' in ent-
gegengesetzter Bewegungsrichtung das Gebiet von D 2 nach
D! durchlaufen, also nur einmal mit dem Punkte 3 zu-
sammentreffen kbnnen; das Gebiet (2?) dagegen wird durch
den Punkt C^ in zwei Teile zerlegt, zwischen C^ und ) l
und zwischen C^ und ) 2 ; in jedem der beiden Teile mu6
der Punkt X seinem in entgegengesetzter Richtung laufenden
Tangentialpunkte 3t' einmal begegnen. Es liegen also auf
dem Gebiete (J5) zwei Wendepunkte, auf dem Gebiete (A)
254 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
ein Wendepunkt, und dies sind die drei einzig reellen
Wendepunkte (welche in gerader Lime liegen). In dem
andern Falle, wenn D,', auf dein Gebiete (A} liegt, ist es
gerade umgekehrt.
Die Punkte D t und D 2 sind konjugierte Punkte der
einziigigen C {3) , weil sie denselben Tangentialpunkt haben,
und zwar des einzigen Systems, welches auf ihr reell
existiert. Wir schlieBen also:
Zwei konjugierte Punkte der einzugigen (7 (3) zer-
legen den ganzen kontinuierlichen (im Unendlichen
zusammenhangenden) Zug derselben in zwei Ge-
biete, deren eines den gemeinsarnen Tangential-
punkt enthalt. Auf dem Gebiete, das diesen nicht
enthalt, liegt allemal nur ein reeller Wendepunkt
der 6" 3 >5 das andere Gebiet wird durch den Tangen-
tialpunkt in zwei Teile zerlegt, deren jeder einen
reellen Wendepunkt enthalt. Dies sind die drei
einzig reellen Wendepunkte der einzugigen C (3 >.
Wir bemerken noch, daB bei der einzugigen 6' (3) wah-
rend der Bewegung einer Tangente langs des kontinuier-
lichen Zuges Beriihrungspunkt und Tangentialpunkt immer
entgegengesetzte Bewegungsrichtung haben, wie wir ge-
sehen haben; dagegen haben zwei konjugierte Punkte immer
dieselbe Bewegungsrichtung auf dem Zuge. Denn mit
einem Punkte, der sich kontinuierlich auf dem Zuge in
einer bestimmten Bewegungsrichtung fortbewegt, wird sich
auch der konjugierte Punkt in bestimmter Bewegungsrichtung
kontinuierlich fortbewegen, ohne dieselbe umkehren zu
konnen.
Wenn diese beiden Bewegungsrichtungen entgegenge-
setzt waren, so rnuBten sich daher notwendig die beiden
konjugierten Punkte einmal begegnen, also zusammenfallen,
was bei einer C (3) ohne Doppelpunkt, wie wir sie voraus-
setzen, nicht moglich ist. Teilt also einmal ein Paar kon-
jugierter Punkte D 1? D 2 den Zug in die Gebiete (A) und (B} }
so hat jeder Punkt auf dem Gebiete (A) seinen konjugierten
Punkt auf dem Gebiete (B} und umgekehrt.
30. tfber den Zusammenhang der Punkte einer C( 3 > etc. 255
3. Bei der zweiziigigen C (3) , welche aus einem paaren
Zuge (Oval) und einem unpaaren Zuge (Serpentine) besteht,
wird jede Tangente des paaren Zuges ihren Tangentialpunkt
auf dem unpaaren Zuge haben; es kann also niemals ein
Beriihrungspunkt auf einer Tangente des paaren Zuges mit
seinem Tangentialpunkt zusammenfallen, und daher auch
niemals ein Wendepunkt auf dem paaren Zuge liegen. Da-
gegen hat jeder Punkt des unpaaren Zuges seinen Tangen-
tialpunkt wieder auf dem unpaaren Zuge; die reellen Wende-
punkte der zweiziigigen C (S) konnen also nur auf dem un-
paaren Zuge liegen. Da nun durch jeden Punkt des un-
paaren Zuges zwei reelle Tangenten an den paaren Zug
gehen, welche hier nicht in Betracht kommen, und zwei
reelle Tangenten an den unpaaren Zug gehen ( 16), wie
bei der einziigigen (7 (3) , so findet hier fur den un-
paareu Zug der zweiziigigen (7 (3) genau dasselbe Verhaltnis
statt wie vorhin bei der einziigigen, nur mit dem Unter-
schiede, daB die Beriihrungspunkte des aus einem Punkte
des unpaaren Zuges an denselben gehenden Tangentenpaares
nur in einem der drei Systeme konjugierter Punkte auf der
zweiziigigen 6 r(3) enthalten sind. Das Ergebnis der Unter-
suchung riicksichtlich der Ermittelung der drei reellen
Wendepunkte bleibt aber bestehen, namlich:
Eine zweiziigige (7 (3) hat ihre drei reellen Wende-
punkte nur auf dem unpaaren Zuge; aus einem be-
liebigen Punkte D desselben gehen zwei reelle
Tangenten an ihn, welche in D x und D 2 beriihren
und den Zug in zwei Gebiete zerlegen, deren eines
den Punkt O enthalt; dasjenige, welches ihn nicht
enthalt, hat einen reellen Wendepunkt, das andere
zwei reelle Wendepunkte, deren einer auf dem
Teile zwischen und Dj, der andere auf dem Teile
zwischen und O 2 liegt.*
* Vergl. H. Durege: ,,Uber die Formen der Kurven dritter
Ordnung", Borchardta Journal f. Math. Bd. 76, S. 153.
256 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
31. Das Steinersche Schliefsungsprobleni
fiir die C&.
1. In einer am 27. November 1845 in der Akademie
der Wissenschaften zu Berlin gehaltenen Vorlesung stellte
Steiner* einige Satze tiber die Kurve dritter Ordnung auf,
welche wenig Beachtung fanden, bis sie durch Clebsch**
eine ebenso elegante, wie durch. die angewendeten Prinzipieii
bedeutungsvolle analytische Losung erhielten. Eine rein
geometrische Behandlung und Erweiterung wurde ihnen erst
zu Teil durch Kiipper*** und Schoute ', endlich eine Uber-
tragung auf die raumliche C (4) durch Eberhard. 1 ' Der
wohl zuerst durch Kiipper aufgedeckte einfache geome-
trische Ursprung dieser Satze schliefit sich so naturgeniaB
an die hier entwickelten Fundamentaleigenschaften der G' l3)
an, daB wir auf ihre Darstellung nicht verzichten diirfen.
Gehen wir von zwei festen Fundamentalpunkten ty
und D der C (y> aus und beginnen ein Polygon, 2n-Eck, der
C (3) einzubeschreiben, dessen Seiten abwechselnd durch ty
und D gehen, so konstruieren wir folgendermaBen:
Von eineni beliebigen Anfangspunkte 5t x der C (5) ziehen
wir | K!^ |, welche Gerade die Kurve zum dritten Mai in
33 X trifft, dann ziehen wir die Gerade | 23jD |, welche in $1 2
die (7< 3> triffb, weiter : St^ |, die in S3 2 triffb, | S3 2 O , die
* J. Steiner: ,,Geometrische Lehrsatze", Crelles Journal f. Math.
Bd. XXXII, S. 182.
** A, Clebsch: ,,t)ber einen Satz von Steiner und einige Punkte
der Theorie der Kurven dritter Ordnung", Borchardts Journal f. Math.
Bd. LXIII, S. 94.
*** K. Kiipper: ,,t)ber die Steinerschen Polygone auf einer Kurve
dritter Ordnung und damit zusammenhangende Satze aus der Geometrie
der Lage", Klein u. Mayer, Math. Ann. Bd. XXIV, S. 1.
f P. H. Schoute: ,,Die Steinerschen Polygone", Kroneckers
Journal f. Math. Bd. XCV, S. 105.
ft V. Eberhard: ,,Die Raumkurven vierter Ordnung erster und
zweiter Species in ihrem Zusammenhang mit den Steinerschen Schliefi-
ungsproblemen bei den ebenen Kurven dritter Ordnung", Schlomilcha
Zeitschr. f. Math. u. Phys. Bd. XXXII, S. 65.
31. Das Steinersche SchlieBungsproblem fur die (7 (S) . 257
in 9JC 3 trifft u. s. f., bis | 2l n $ | in 23,, und | S3 W Q | in 2I,, 41
der (7( 3) begegnet. Dann wird im allgemeinen bei beliebiger
Wahl der Fundamentalpunkte ^3, O und des willkiirlichen
Anfangspunktes der letzte Punkt 5t + i niit dem ersten Sl x
nicht zusammenf alien; der Steinersche Satz sagt aber
aus, daB weun dies einnial stattfindet, es immer
stattfinden niuB, wo man aucli den Anfangspunkt
Slj auf der C (3) wahlen mag bei festgehaltenen Fun-
damentalpunkten ty, O. Das 2w-Eck
91 j>R 91 2ft 91 9i $W
vv^ -vJ^ <V^ ">-'2 **3 **re *W<|
schliefit sich also immer , wenn es sich einmal schlieBt.
2. Der Beweis dieses schonen Satzes ist eine unmittel-
bare Folge des bekannten Satzes (S. 56):
,,Schneidet eine Gerade die (7 (3) in den drei Punkten
9J(, ^P, S3 und eine zweite in SI', D, 93', so treffen die drei
Verbindungslinien | SttC' , ^5D , S3S3'! die C& i n drei
neuen Punkten einer Geraden."
Konstruieren wir namlich ebenso wie vorhin das 2w-Eck
9T flft 9T ga 9jf 35
**! '^1 2 2 '' ^n' < -'7
indem wir von 5lj ausgingen, ein zweites 2w-Eck
;a;ajj... aii,
indem wir von einem andern Punkte Sl{ ausgehen, und
nehmen wir an, daB das erste 2w-Eck sich schlieBt, also
2( nfl = 2l 1 wird, so zeigt sich, daB auch das zweite sich
schlieBen niuB und zwar mit gleicher Anzahl der Ecken.
Denn wir haben nach der angegebenen Konstruktion
immer folgende je drei Punkte der C (3) auf einer Geraden
83,D9I 4
t+i
Schr5ter, Theorie der ebenen Kurven 8. Ordn. 17
258 Theorie der ebenen Kuryen dritter Ordnung.
Jetzt folgt aus den beiden Geraden
nach dein obigen Satze, daB die dritten Schnittpunkte der
Geraden iSI^i, $G , j S^SJ mit der <> auf einer
neuen Geraden liegen mussen, und ebenso aus den beiden
Geraden
daB die dritten Schnittpunkte der Geraden 5l 2 2l{; ;
i SBjSSj' j mit der C^ auf einer neuen Geraden liegen miissen;
diese ist aber mit der vorigen identisch, weil sie zwei
Punkte mit ihr gemein hat; ihr dritter Schnittpunkt mit
der C (3) muB also sowohl auf ^^'2,, als auch auf j %%%[ .
liegen, folglich muB der Schnittpunkt
(2,2i 2 2i;) = or
ein Punkt der C (3) sein.
In gleicher Weise folgern wir, daB der Schnittpunkt
(W, .i) - ^
ein Punkt der C' (3) sein muB.
Aus den Geraden
91 D 21' I I 91 D 2['l
**l x -'l w |> I ^3 ^2^1?
I 9I'O 9t I I 2t'D 21 I
f **'$*-' *-8 I > I a i~ J l a 2l
folgern wir in gleicher Weise, daB auch der Schnittpunkt
[!;,,;)->.
ein Punkt der C (3) sein muB. Ferner sehen wir, wie vor-
tin, daB (.;, a 4 aj)-o 4
ein Punkt der (7 (3) sein muB und schlieBen aus den Geraden
21 O 21' ! 21 O 21'
*4 ^3 *4 J ^4 ^4 ^0 ?
I 2I'D 2t ! Sf'D 21 I
I ^^^S 1? I W l ^3^3 I?
daB auch der Schnittpunkt
(,!, 4 a/)
ein Punkt der (7 (3) sein muB. Indem wir auf diese Weise
zu schlieBen fortfahren, erkennen wir endlich, dass der
Schnittpunkt
31. Das Steinersche Schliefhmgsproblem fur die C&. 259
ein Punkt der C' (3) sein muB. Wenn nun das erste 2w-Eck
sich schlieBt, also
, + ! = !
wird, so kann die Gerade | O^+i^ | nur noch in eineni
einzigen dritten Punkte der (3) begegnen, es muB also
ai+i - 2t;
sein, d. h. auch das zweite Polygon muB sich mit gleicher
Seitenzahl 2w schlieBen, und da der neue Anfangspunkt *&.[
ganz willkiirlieh auf der (7 (3) angenommen war, so schlieBt
sich jedes in der angegebenen Weise konstruierte 2n-Eck,
sobald sich nur einmal ein solches schlieBt, wodurch der
Steinersche Satz bewiesen ist.
3. Fur zwei beliebig auf der C (3) gewahlte Fundamental-
punkte ty, ), wird offenbar ein SchlieBen des Steinerschen
2-Ecks nicht stattfinden, sondern die Punkte ^, D sind
einer gewissen Bedingimg unterworfen, damit ein SchlieBen
stattfinde, welches dann unabhangig ist von der Wahl des
Anfangspunktes fur das 2w-Eck. Wir konnen aber, wenn
wir einmal ein Punktepaar ty, O von der verlangten Eigen-
schaft haben, unendlich viele andere Paare von gleicher
Eigenschaft ableiten, indem wir irgend einen Punkt <S der
C (3) nehmen, ihn mit ^ und O verbinden und die dritten
Schnittpunkte ty 1 und D f aufsuchen. Liegen namlich je drei
Punkte
auf einer Geraden, und bilden wir von einem Anfangspunkte
^ aus riicksichtlich des Punktepaares ^SD das Steiner-
sche 2w-Eck, welches sich schliessen soil, und von einem
beliebigen andern Anfangspunkte SI A ' aus riicksichtlich des
Punktepaares 'p'Q' nach gleicher Vorschrift ein Polygon,
so niuB, wie wir sofort sehen, auch dieses sich schlieBen
und ein 2w-Eck sein.
Wir haben namlich gemaB der vorgeschriebenen Kon-
struktion je drei Punkte auf einer Geraden
17*
260 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
+l
Dann folgt aus den Paaren von Geraden
I 21 n SB !
U W
weil S|5$'j und ! DO' denselben dritteu Schnittpunkt S
auf der 6 r(3) liaben sollen, daB auch der Punkt
(21 21' 21 21'") = D
^<4.j <4.j j <tj, Cig / ~-'
auf der (7 (3) liegen inuB; in gleicher Weise folgt, daS auch
der Schnittpunkt
(2t 2 2t_:, 8 o
auf der C (3) liegen muB, also derselbe Punkt D sein wild,
weil I 2T 2 ^2 I nur nocn i n einem dritten Punkte die (7 (3)
schneiden kann, und indem wir so fortfahren, erkennen wir,
daB auoh der Schnittpunkt
( t a;, a. f ii+0
derselbe Punkt D der C r(3J sein muB; wenn nun das erste
2w-Eck sich schlieBt, also
-+i a t
wird, so uiuB, weil die Verbiudungslinie jenes Punktes mit
$! nur noch in einem dritten Punkte der (3) begegnen
kann, auch r ,
in, also muB auch das zweite Polygon fur das Paar von
Fundamentalpunkten ^5'O' sich schlieBen; mithin haben
^5', D' die gleiche Eigenschaft wie $$, D, also gilt
der Satz:
Wenn ein Punktepaar ^50 der C^ die Eigen-
schaft besitzt, ein Steinersches 2-Eck zu liefern,
welches sich schlieBt gemaB der vorgeschriebenen
Konstruktion, wie auch sein Anfangspunkt ge-
wahlt werde, und man projiciert das Punktepaar
31. Dae Steinersche SchlieOungsproblem fur die (7< 3 >. 261
von einem beliebigen Punkte @ der C (3) aus in
ein neues Punktepaar $P'Q', so besitzt dieses die
gleiche Eigenschaft wie ^SD.
Man kann also aus einem Punktepaar $)3D unendlich
viele andere ableiten. Gleichzeitig ersehen wir, daB die
Punkte $]3 und D eines Paares miteinander vertauschbar
sind; denn schneidet die Verbindungslinie j $j$D die G' t3)
zum dritten Mai in @, und projizieren wir von @ aus den
Punkt ty auf die C <(3) , so erhalten wir den Punkt O; pro-
jizieren \vir aber d, so erhalten wir $, also geht das Paar
^3O in das neue Paar d^S iiber, was auch selbstverstandlich
ist, weil fiir 5l w +i = S^ bei Vertauschung von ^ und O das
2?z-Eck nur in entgegengesetztem Sinne durchlaufen wird.
Wir sehen ferner aus unserm Schema
weil s $ und O von 93! aus in die Punkte < $i l und S( 2 pro-
jiziert werden, daB auch 31^2 ein Steinersches Punkte-
paar in dem friiheren Sinne ist, ebenso 2I 2 und 51 3 , 2( 3 und
.H,, u. s. f., 3I rt und STjj ferner weil ^8 und O von 51 2 aus in
die Punkte 93j und 93., projiziert werden, so sind auch 9^
und 93 2 , ebenso 93., und 93 3 u. s. f., 93 n und 93 t Steinersche
Punktepaare, wie die urspriinglichen ^ und O. Aus der
vorigen Herleitung ergiebt sich noch ein weiteres Resultat,
welches einen gewissen Zusamnienhang liefert zwischen
zwei beliebigen in der geforderten Art konstruierien 2n-
Ecken
21 99 21 SB 91 !sB
<A.j -<Jj -2 <J 2 . . . -<\ n <Jn
und
von denen das erste aus dem Steinerschen Punktepaar
das zweite aus ty'i' hervorgeht, wo $j$', C' durch Pro-
jektion von <3 aus gefunden sind, indem je drei Kurvenpunkte
262 Theorie der ebenen Kin-yen dritter Ordnung.
auf einer Geraden liegen. Sind die Anfangspunkte 5l t und
Sl{ willkiirlicli auf der G'( 3) gewahlt, so sclmeiden sich. alle
Verbindungsl inien
! 91 91' 1 ! 91 91' ! j 91 91' ' 9f 9I f
I *4**1 b : ^2 <*2 7 ^3^3 iJ '? "n'^/i
in einem und demselben Punkte 5( der Kurve; und ebenso
auch alle Verbindungslinien
I SB 9V ' SB 2V ' ! HR 9V 5 9V
I * y l*'l !> I " < - J 2' <J 2 1 \ ^3 ^3 t ) "UnOn
in einem und demselben Punkte 93 der Kurve, und die drei
Punkte 51 , 93 , @ liegen auf einer Geraden, denn aus den
vorigen Paaren von Geraden
folgt, daB der dritte Schnittpunkt der Verbindungslinie
| 31 @ |, den wir S3 nennen wollen, auf SSjSj ! liegen muB;
in gle.icher Weise aber auch auf 93 2 S3J , | S3 3 S3.; u. s. f.
Die, ungeradstelligen Ecken beider 2n-Ecke bilden also
fur sich zwei w-Ecke, welche perspektiv liegen riicksicht-
lich eines gewissen Punktes der C^ und die geradstelligen
ebenfalls zwei perspektiv liegende w-Ecke.
4. Aus der eigentiimlichen Lage eines soldi en 2w-Ecks,
wie wir es vernaittelst zweier Fundamentalpunkte ty, O kon-
struiert haben .
ergiebt sich ein weiterer Zusammenhang 2wischen den
geradstelligen und ungeradstelligen Ecken; denn wir haben
allgemein je drei Kurvenpunkte auf einer Geraden:
woraus folgt, daB der Schnittpunkt
31. Das Steinersche SchlieBungsproblem fur die
263
1) (<
auf der 6 T(3) liegen muB; ebenso folgt aus den Geraden
da 8 der Schnittpunkt
2)
(/*+!, **+l)
ebenfalls ein Punkt der C (3) sein muB; und endlich folgt
aus den Geraden
, |* +1 D*|,
daB der Schnittpunkt
3) (8,x, S3 ,-+ !* + !)
ebenfalls auf der C (3) liegen muB, wie auch die Indices
i, k innerhalb der Zahlenreihe 1 ; 2, 3, . .., n gewahlt werden
inogen.
Aus 1) folgt fur /; = / + 1, daB der dritte Schnittpunkt
der Verbindungslinie St,-S( I -+ 2 ; der Tangentialpunkt zu
51, + 1 sein muB 7 aus 2), daB in gleicher Weise der Schnitt-
punkt von '. 35 ,-95 ,-+2 der Tangentialpunkt zu SB ,4.1 sein
muB. Aus 3) folgt, daB die Verbindungslinien
samtlich durch einen und denselben festen Punkt der C l(3)
gehen miissen.
5. Fur ein willkiirlich gewahltes Punktepaar ^O auf
der C* <8) wird sich im allgemeinen ein nach der vor-
geschriebenen Art konstruiertes Stein ersches 2n-Eck nicht
schlieBen. Die Bedingung dafiir, daB es sich einmal, also
inimer schlieBt, wo auch der Anfangspunkt gewahlt werden
mag, geht aus der Konstruktion selbst hervor; in dem ein-
fachsten Falle fiir n , = 2, also fur ein Viereck haben wir
das Punktepaar die Seiten des Vierecks
264 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Da es sich immer schlieBt, wo wir auch den Anfangs-
punkt wahlen mogen, so wollen wir den Anfangspunkt tyi t
nach ^5 verlegen, dann wird Sj :z ^ der Tangentialpunkt
zu $$; wegen : SSjOSlg ! schneidet ^D | in $ 2 , und
wegen I^D^J schneidet ; ^SO : in $8 2 . Da also die
beiden Geraden
die C (3) in je drei Punkten durchschneiden, der dritte Schnitt-
punkt von j 3J 2 33 2 aber ^ ist , der dritte Schnittpunkt von
i tyity ebenfalls ty ist, so muB die Verbindungslinie | OO |
in ^ schneiden, also ^ auch der Tangentialpunkt O 1 fur
D sein; mithin ^ = O 1? also ^ und Q. miissen denselben
Tangentialpunkt haben. Dies ist die Bedingung fiir das
Punktepaar ^8D, damit ein Steinersches Viereck moglich
sei; und umgekehrt: Wenn $|3 und Q denselben Tan-
gentialpunkt haben (oder wie wir uns friiher ausgedriickt
haben, ein Paar konjugierter Punkte der (7 (3) sind), dann
ist fiir dieselben immer ein Steinersches Viereck
moglich.
Fiir das Sechseck haben wir
das Punktepaar die Seiten des Seehsecks
&DW.I
Verlegen wir auch hier den willkiirlich zu wahlenden
Anfangspunkt ^ nach $J$, also 2l x z^ ^5, dann folgt Si ^8 1?
Tangentialpunkt zu ^5; und aus ^DSSg! folgt 23 3 als der
dritte Schnittpunkt von [ ^50 , also haben wir die beiden
Geraden
Nennen wir also Oj den Tangentialpunkt zu O und
@ den dritten Schnittpunkt von S1 2 93 3 j, so folgt, da6
^P, Oj, @ auf einer Geraden liegen miissen. Nun wissen wir
aber aus 4., daG die drei Geraden
31. Das Steinersche SchlieBungsproblem fur die (7 (S) . 265
sich in demselben Punkte der C' (3) schneiden miissen,
also liegen
auf je einer Geraden; da aber j ^@ | in D A schneidet, so muB
^ = 0,
sein, und da | $P93 2 ' in $1 2 schneidet, so muB
sein, und da ^@ EE & 21 2 1 EE | 93 t S( 2 ! in D schneidet,
so muB _ _
sein; folglich miissen sich ^D und | ^5O 1 1 in > auf der
C^ 3 * schneiden, und dies ist die gesuchte Bedingung fur das
Punktepaar ^D:
Sind fiir ^ und O die zugehorigen Tangential-
punkte ^ und D n und liegt der Schnittpunkt
auf der C' (3) , so sind ^5O die Fundamentalpunkte
fiir ein Steinersches Sechseck.
Wir sehen, wie sich diese Betrachtung fortsetzen laBt
und sich die von St einer noch fur das Zehneck angegebene
Bedingung in analoger Weise ergiebt.
6. Zwischen den Fundamentalpunkten ^5, O fiir ein
2n-Eck und fiir ein 4n-Eck besteht ein sehr einfacher Zu-
sammenhang, sodaB sich aus einem solchen Paar das andere
und umgekehrt ableiten laBt, wie wir jetzt sehen wollen.
Ist ^ der Tangentialpunkt zu *>$ und Dj der Tan-
gentialpunkt zu O, und ziehen wir die folgenden Ver-
bindungslinien, deren jedesmaligen dritten Schnittpunkt mit
der C (3 ) wir aufsuchen
so folgt, da wir uoch die Geraden
266 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
!$$$! und
haben, aus den beiden Geraden
die dritte Gerade
I @ $
wo @ den dritten Schnittpunkt von ^i \ bezeichnet.
Aus den beiden Geraden
folgt die dritte Gerade
also mu6 9l t (5 a durch Q, gehen, oder Si D durch lj ,
was dasselbe sagt; mithin muB
$=E&1
sein, und wir haben fblgende beiden Reihenfolgen von
Geraden
i) -la^Bi , A^,
2) ^D^ ,'(^^1, i^D,!, (g^^.;
beide fiihren von 21 1 nach 51 2 , die erste durch das Paar
von Fundamentalpunkten ^iDt, indem jeder nur eimnal
verwendet wird, die zweite durch das Paar von Fundamental-
punkten ^8D 7 indem jeder zweimal in der vorgeschriebenen
Weise verwendet wird.
Wenn wir also auf diese Art fortgehen von 21 2 zu 31 3 ,
S1 4 , . . ., 3l n und wir gelangen wieder zu 5^ zuriick, so er-
halten wir fur das Paar von Fundamentalpunkten ^Dj ein
Steinersches 2w-Eck und fur das Paar von Fundamental-
punkten Q^jS ein Steinersches 4^-Eck. In diesen diirfen
wir aber die Punkte 9$ und O miteinander vertauschen,
wodurch nur das geschlossene Polygon in umgekehrter
Richtung durchlaufen wird; also erhalten wir den Satz:
Sind $PJ und Oj die Tangentialpunkte zu ^8 und
D, und ist fur erstere ein Steinersches 2-Eck
moglich, so sind letztere die Fundamentalpunkte
fiir ein Steinersches 4-Eck ; und umgekehrt.
31. Das Steinersche SchlieDungsproblem fiir die C^>. 267
Da < $ l und & L die Tangentialpunkte zu ty und O sind,
so wird die Gerade | ^3D j die C (3> in einem dritten Punkte
9? schneiden, dessen Tangentialpunkt 91 1 mit < ^ 1 und Q x auf
derselben Geraden liegen muB. Projizieren wir das Punkte-
paar ty und !Q von ^5 aus, so erhalten wir ein neues Punkte-
paar ^ und 91 von gleicher Beschaffenheit; 'Si ist aber der
Beriihrungspunkt einer aus 9^ an die f' (3) gelegten Tangente,
also konnen wir auch sagen: Sind ^Q! ein Paar von Fun-
damentalpunkten fiir ein 2-Eck, schneidet l^jGj] in 91,,
wird endlich aus 9^ eine Tangente an die C r(3) gelegt, welche
in 91 beriihrt, so sincl ^3 X und 91 ein Punktepaar fiir ein
Steinersches 4w-Eck ; ebenso O 1 und 91. In dieser Form
hat St einer das Theorem ausgesprochen, die obige mehr
symmetrische riihrt von Schoute her.
7. Das Steinersche SchlieBungsproblem laBt sich er-
weitern, wenn wir statt zweier Fundamentalpunkte ^$, O
mehrere annehmen und ein der C' (3) einbeschriebenes Polygon
bilden, dessen Seiten der Reihe iiach durch die gegebenen
Fundamentalpunkte hindurchgehen. Nehmen wir zunachst
drei Fundamentalpunkte
$1, &, ?3
und beginnen mit einem beliebigen Punkte 5l : der (7 (3) als
erster Ecke eiiies Polygons die Seiten desselben zu konstruieren
wo X der letzte Punkt ist, dann zeigt sich aus den Geraden
910 und
daB der dritte Schnittpunkt derjenigen Geraden, welche die
beiden Schnittpunkte von ^^2 1 un( ^ ! ^2 ^ i ,vereinigt,
sowohl auf 1^5(^1, als auch auf 2t 3 H 4 liegen muB; da
aber der dritte Schnittpunkt von | 51 3 5I 4 ! der Punkt ^5 3 ist,
so miissen
auf einer Geraden liegen, also 5t 6 ^3 ! mu ^ durch Slj gehen;
folglich ist
268 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
V 9t
* a i J
und wir erhalten ein Sechseck, welches sich in $lj schliefit
^fct^iwk
wo auch der Anfangspunkt 5lj gewahlt sein mag, also gilt
der Satz:
Nehmen wir drei beliebige Fundamentalpunkte
^,^27^3 au f der G T(3) und beginnen mit einem belie-
bigenPunkte^ einPolygon der (7 (3) einzubeschreiben,
dessen Seiten der Reihe nach durch ^5 n ^5 2 , ty 3 gehen ?
so schlieBt sich dasselbe nach zweimaligem Durch-
gange durch die drei Fundamentalpunkte und bildet
also immereingeschlossenesder C T(3) einbeschriebenes
Sechseck.
Dieser Satz laOt eine Erweiterung zu fur eine beliebige
ungerade Anzahl von Fundamentalpunkten
*Pi> ^2> ^3> -, %* ( m ungerade).
Beginnen wir namlich mit einem beliebig auf der 6 r(3)
gewahlten Anfangspunkt 5l x das Polygon in der vor-
geschriebenen Weise zu konstruieren, so sind seine Seiten
3t9B2Iil2I9B3M ! 2I9S2I!
*4 "T I a 2 j 7 I ^2 -T2 a 3 1 1 I ^3 "T3 ^4 1
dann folgt aus den beiden Geraden
weil i ^ 2 ^s I durch den festen Punkt ^]S 2 geht, wenn wir
den dritten Schnittpunkt von | ^^3 mit der C (3) durch S3 X
bezeichnen, da6 S^SIJ durch den dritten Schnittpunkt der
Geraden | S5j ^5 2 i hindurchgehen muB. Dieser Punkt hangt
aber nur ab von den drei festen Punkten ^ , ^ 2 , ^5 3 ; es wird
namlich der dritte Schnittpunkt von j ^ ^ 3 1 niit dem Punkt
?$ 2 verbunden und auf dieser Verbindungslinie der dritte
Schnittpunkt Oj ermittelt; dann geht j^^j notwendig
durch diesen festen Punkt Oj, wie auch der Anfangspunkt
5l t gewahlt werde auf der C (3) , wobei natiirlich auch der
Endpunkt ?1 4 sich verandert.
31. Das Steinersche SchlieDungsproblem fur die C^. 269
Ferner folgt aus den beiden Geraden
well 31 4 9( 5 durch den festen Punkt ^ 4 geht, und der dritte
Schnittpunkt von j D!^! auch ein fester 95 2 1st, daB durch
den dritten Schnittpunkt von | S3 2 ^ 4 1 ; welcher ein fester
Punkt sein wird, die veranderliche Sehne j ^Slg hindurch-
gehen muB, wie wir auch den Anfangspunkt 9^ wahlen
mogen. Fahren wir in dieser Weise zn schlieBen fort, so
sehen wir, daB auch | f^^Cg j u. s. f. durch feste und nur von
den ^5 abhangige Punkte laufen, unabhangig von der Wahl
des Anfangspunktes 3l r
1st nun m eine ungerade Zahl, so muB auch | ^^+1]
durch einen festen Punkt D laufen, weil (m + 1) gerade ist.
Beginnen wir jetzt die Reihe von neuem und kon-
struieren anstatt von 5lj auszugehen, von 5l m +i aus in
gleicher Weise das Polygon
so wird die Verbindungslinie J ^Sim+i^m+i durch denselben
festen Punkt gehen miissen, der vorhin gefunden wurde
und nur allein von den in bestimmter Reihenfolge zu ver-
wendenden Punkten ^5 abhing, also ist der Schnittpunkt
ein Punkt der (3) . Da aber die Gerade D5l m +i nur noch
in einem einzigen dritten Punkte der (7 (3) begegnen kann,
so folgt
<Jl2m + l = !,
und wir haben ein geschlossenes 2w-Eck
Wir haben also folgenden Satz gewonnen:
Nehmen wir eine ungerade Anzahl vonFundamen-
talpunkten ^ 1} ^ 2 , ^8 3 , ..., ty m und beginnen mit einem
beliebigen SKnfangspunkte 5lj ein Polygon der (7 (8)
einzubeschreiben, dessen Seiten der Reihe nach
durch ^, ^5 2 , ^5 3 ,... ; ^S m gehen, indem wir nach Er-
270 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
schopfung dieser Reihe dieselbe noch einmal in
gleicher Reihenfolge verwenden, so schlieBt sich
das Polygon nach zweimaligem Durchgange durch
die Fundanientalpunkte und bildet also immer ein
geschlossenes, der C (3) einbeschriebenes 2w-Eck.
Verlangt man dagegen, es solle schon 5l m -|_i rnit ^
koinzidieren, so miiBte der allein von den Fundamental-
punkten ^5 abhangige Punkt D der Tangentialpunkt zu 2l x
sein; da aber im allgemeinen aus D vier Tangenten an die
C (3) gehen, so giebt es auch nur vier Lagen fiir den Punkt
3lj, damit schon ein von ihm ausgehendes, in der vorge-
scbriebenen Weise zu konstruierendes w-Eck sicb schlieBe
nach einmaligem Durchlaufen der Fundanientalpunkte.
8. Nehmen wir andererseits m gerade an, so folgt aus
dem Vorigen (7.), daft bei beliebiger Wahl des Anfangs-
punktes Slj die Verbindungslinie > Sl^mi durch einen festen r
nur von den Fundamentalpunkten ^ , $J$ 2 , . . ., ^ m abhangigen
Punkt gehen niuB. Verlangen wir jetzt, daB schon
5l m +i Mi werden, also das w-Eck sich schlieBen soil,
dann miifite der feste, allein von den ^ abhangige Punkt
O, durch welchen j Slj^Ui gehen muB, mit ^ TO koinzidieren;
es wiirde also dadurch eine Bedingung zwischen den Fun-
damentalpunkten $P 1; ^5 2; . . ., tym gegeben sein. 1st dieselbe
einmal erfiillt, dann wird das m-Eck sich unabhangig von
der Wahl seines Anfangspunktes immer schlieBen, im all-
gemeinen bei willkiirlicher Wahl der Fundanientalpunkte
auf der (3) aber nicht.
Die Bedingung dafiir, daB ein SchlieBen stattfinde, konnen
wir aus der Konstruktion der festen Punkte D selbst ab-
leiten; dieselben wurden namlich so konstruiert (S. 268, 269)
Bil
Dj | ... | 21^4 geht durch Dj,
ibi
n I 21 21 D
4 ^2 I : ^1 ^6 ! )) ^-2)
3 |
MB iB O .1 21 21 )
I ""a 'Pe -^3 I "i * 1 n n ^z
u. s. f., also fiir ein gerades m
32. Kegelschnitte, welche die C (S) mehrpunktig beriihren. 271
| 93,,, $_! | ... I 3l x 3I m j geht durch D*
v- y- if- 1 '
also niiiBte sein
Hinsichtlich der umfangreichen weiteren Untersuchun-
gen, welche sich an das Steinersche SchlieBungsproblem
anschlieBen, miissen wir auf die oben angegebenen Quellen
verweisen.
32. Kegelschnitte, welch e die (7 (3) mehrpunktig
beriihren (oskulieren).
1. Durch fiinf Punkte ist ein Kegelschnitt im allge-
meinen bestimmt; legen wir nun durch fiinf Punkte 31 1? 31 2 ,
3( 3 , 31 4 , 51 3 einer (7 (3) einen Kegelschnitt, so begegnet der-
selbe noch in eineni sechsten Punkte 93 der Kurve, welcher
in verschiedener Weise gefunden werden kann; zieht man
! 5LSL L welche Gerade in 3(' zum dritten Mai die C (3) treffen
X B I /
moge, 51 3 51 4 , welche in W' treffen moge, 5l'3l"|, welche
in 31'" treffe, dann muB 31 5 SI'" ! in 95, dem gesuchten
Punkte treffen; denn weil die drei Geraden
I 91 21 21' I
I **i **-2 ** I
neun associierte Punkte (Grundpunkte eines Kurvenbuschels
dritter Ordnung, 10, 2.) ausschneiden und ', 31", 31'" auf
einer Geraden liegen, so miissen die iibrigen sechs 31^ 3t 2 , 31 8 ,
3t 4 , 31 5 , 99 auf einem Kegelschnitt liegen.
Wir konnen nun die fiinf Punkte 3l t , 31 2 , 3t 3 , 31 4 , 31 5
einander unendlich nahe riicken d. h. zusammenfallen lassen,
also einen Kegelschnitt bestimmen, welcher in eineni Punkte
31 die C (3) ftinfpunktig beriihrt; dann wird die Konstruktion
des sechsten Schnittpunktes folgende:
Da 3t u 3( 2 zusammenfallen in 3t, so wird 31' der Tan-
gen tialpunkt zu 31; da auch 3l s , 31 4 nach 31 hineinfallen, so
wird auch 31" der Tangentialpunkt zu 3t; also 31' und 31"
fallen zusammen, mithin wird 31'" der Tangentialpunkt zu
272 Theorie der ebenen Kuryen dritter Ordnung.
2T, und jetzt schneidet j 2151'" in dem gesuchten Punkte
93, also:
Eine Kurve (7 (3) kann im allgemeinen in jedem
ihrer Punkte 21 fiinfpunktig von einem Kegelschnitt
beriihrt werden; der sechste Schnittpunkt 93 des
Kegelschnitts mit der C' (3) wird dann so gefunden:
Man bestimme zu 21 den Tangentialpunkt 2I U zu 2t t
den Tangentialpunkt 21 2 , und ziehe j 2121 2 , welche
Gerade in dem gesuchten Punkte 93 der (3) begeg-
nen wird.*
Hierdurch wird jedem Punkte 21 der C (S) ein bestimmter
Punkt 93 zugeordnet. Nehmen wir drei Punkte
21, 21', 21"
der C (3) , konstruieren in jedern derselben den fiinfpunktig
beriihrenden Kegelschnitt und nennen den jedesmaligen
sechsten Schnittpunkt
93, 93', 93",
so haben wir, um diese Punkte zu ermitteln, die drei Tan-
gentialpunkte von 21, 21', 21" aufzusuchen
21 21' 21"
cij, -a 1 , ^ ,
yon diesen wieder die drei Tangentialpunkte
9T 9[' 9T"
^2> -^2? ^2
und auf den drei Verbindungslinien I 2t2l 2 j, j 2l'2l^ |, | 2T2l';j
die dritten Schnittpunkte 93, 93' 93".
Werden 21, 21', 21" auf der C (3 > so gewahlt, daB sie in
gerader Linie liegen, so miissen bekanntlich auch 2l t , 2l{, 2({'
auf einer Geraden liogen, und folglich auch 2t 2 , 21^, 21 "j
aus den beiden Geraden
212T2T
|2T 2 ^21 2 '
folgt aber die dritte
9393'93"
also:
* J Steiner: ,,Satze fiber Kurven zweiter und dritter Ordnung",
Crelles Journal f. Math. Bd. XXXII, S. 301.
32. Kegelschnitte, welche die C (3) mehrpunktig beriihren. 273
Konstruiert man in drei auf einer Geraden lie-
genden Punkten der (3) die fiinfpunktig beriihren-
den Kegelschnitte, so liegen ihre drei sechsten
Schnittpurikte wieder auf einer Geraden.
Werden 21, 21', 21" so gewahlt auf der C&\ daB in
ihnen ein Kegelschnitt dreimal die Kurve zweipunktig be-
riihrt, d. h. bilden 21, 2T, 21" ein Tripel von Punkten der
T'(3) ( g ? 3 ^ so Hegen ebenfalls die drei Tangentialpunkte
2l t , 2l{, 21" auf einer Geraden, denn die drei Geraden
21212^ j, !''! , !"";'<
schneiden die 6^ 3 > in einer Gruppe von neun associierten
Punkten, folglich miissen, da SI, St, SI', SI', 21", SI" auf einem
Kegelschnitt liegen, die drei iibrigen 2^, 2l{, 21" auf einer
Geraden liegen; hieraus folgt, daB auch 21 2 , 2^, ^" un( ^ en ^"
lich auch 93, 53', 93" auf einer Geraden liegen, also:
Beriihrt ein Kegelschnitt die C^ in drei ver-
schiedenen Punkten, und konstruiert man in jedem
derselben den fiinfpunktig beriihrenden Kegel-
schnitt, so liegen die drei sechsten Schnittpunkte
dieser drei Kegelschnitte auf einer Geraden.
2. Suchen wir nunmehr auf der (7 (3) einen solchen be-
sonderen Punkt 21 auf, daB fur den in SI fiinfpunktig be-
riihrenden Kegelschnitt auch noch der sechste Schnittpunkt
93 nach H hineinfallt. Dann miiBte nach unserer Kon-
struktion 21 2 der Tangentialpunkt von 21 werden, weil
219321 2 in einer Geraden liegen.
Der Tangentialpunkt von 21 ist aber 21 17 also miifite
2l t mit 2t 2 zusammenfallen, und da 21 2 auch der Tangential-
punkt von 2-ti ist, so miiBte 2l t mit seinem Tangentialpunkte
zusammenfallen, folglich miiBte 2l x = SS ein Wendepunkt
der C (3) sein, und der gesuchte Punkt 21 der Beriihrungs-
punkt einer aus dem Wendepunkte 28 an die (3) gelegten
Tangente; auch umgekehrt zeigt sich, daB, wenn dies der
Fall ist, in dem so gefundenen Punkte 21 ein Kegelschnitt
die C (3) sechspunktig beriihren muB. Da aus jedem Wende-
punkte der C (3) im allgemeinen drei Tangenten an die C (3)
gehen und es neun Wendepunkte giebt, so schlieBen wir:
Sohriiter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordn. 18
274 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Es giebt 27 Punkte auf der C (3) , in welchen
Kegelschnitte dieselbe sechspunktig beriihren. Dies
sind diejenigen Punkte, in welchen die neun har-
monischen Polaren der Wendepunkte die C (3) schnei-
den, oder, was dasselbe sagt, diejenigen Punkte, welche die
konjugierten sind zu den neun Wendepunkten in jedem der
drei Systeme von konjugierten Punktepaaren auf der G' (3) .
Da von den neun Wendepunkten nur drei reell und
sechs imaginar sind, die drei reellen Wendepunkte aber auf
dem unpaaren Zuge der G' (3) liegen, ferner aus jedem Punkte
dieses unpaaren Zuges vier reelle Tangenten an die Kurve
gehen, so schlieBen wir, im Falle dieser Punkt ein reeller
Wendepunkt ist, also eine der vier reellen Tangenten in die
Wendetangente hineinfallt, daB die drei tibrigen Tangenten
aus ihm reell sind, und zwar eine derselben an den un-
paaren, die andern beiden an den paaren Zug gehen; im
Falle der zweiziigigen C (3) sind also von den obigen 27
Punkten 9 reell und 18 imaginar.*
Zwischen den 27 Punkten, in welchen Kegelschnitte
die C' (3) sechspunktig bertihren, bestehen infolge der Lage
der neun Wendepunkte mehrfache Beziehungen. Legen wir
namlich aus einem Wendepunkte 28 der (7 (3) eine Tangente
an dieselbe rait dem Beriihrungspunkt 21, so miissen, weil
$8 und 21 denselben Tangentialpunkt 28 haben, diese ein
Paar konjugierter Punkte fur die C r(3) sein; durch ein solches
Paar ist ein ganzes System unendlich vieler Paare konju-
gierter Punkte eindeutig bestimmt und wird erhalten, indem
man einen beliebigen Kurvenpunkt mit dem ersten Paare
verbindet und als dritte Schnittpunkte dieser beiden Ver-
bindungsstrahlen ein neues Paar konjugierter Punkte des-
selben Systems findet.
Nun giebt es aber drei solcher Systeme konjugierter
Punktepaare auf der 6 1(3) ( 15). Gehen also aus 28 die
drei iibrigen Tangenten 2821 , j 2895 , ; 203 j an die <7< 3 >,
* J. Steiner: ,,Satze fiber Kurven z welter und dritter Ordnung",
Crelles Journal Bd. XXXII, S. 300.
32. Kegelschnitte, welche die C& mehrpunktig bervihren. 275
so bestimmt das Punktepaar SB und 21 das eine System,
SB und 93 das zweite System, 203 und das dritte System
von Paaren konjugierter Punkte auf der C (3) . Was von dem
Wendepunkte SB gilt, gilt von jedem der neun Wendepunkte
3B ( . (i, Ic = 1, 2, 3) ( 28). Gehen daher aus einem zweiten
Wendepunkte SB' die drei Tangenten 2B'2T , SB'93' ,
| SB''! an die C, so gehoren SB' und 2T als ein Paar
konjugierter Punkte einem ganz bestimmten der drei Systeme
an, ebenso SB' und S3', SB' und ', und es ist keine Frei-
heit mehr in der Zuordnung der konjugierten Punkte ge-
stattet, sobald von dem ersten Wendepunkt aus die drei
Systeme konjugierter Punktepaare bereits festgelegt sind.
Wir wissen aber aus 15, daB aus zwei Paaren kon-
jugierter Punkte desselben Systems allemal ein drittes Paar
dieses Systems abgeleitet werden kann durch doppeltes kreuz-
weises Verbinden der Punkte; gehoren namlich SB und 51,
SB' und 2T als Paare konjugierter Punkte demselben System
an, so werden die Schnittpunkte
(SB2T, 21SB') = 51"
ein drittes Paar konjugierter Punkte SB" und 21" dieses
Systems sein.
Ferner wissen wir, daB aus zwei Paaren konjugierter
Punkte, deren eines dem ersten, das andere dem zweiten
Systeme angehort, allemal ein neues Paar konjugierter Punkte,
welches dem dritten Systeme angehoren muB, gefunden wird
(S. 118); gehoren namlich SB und 21 dem ersten, SB' und
93' dem zweiten System an, so schneiden
3BSB' und 2193'
die C (8) in einem neuen Paare konjugierter Punkte
SB" und (",
welches dem dritten Systeme angehort.
Aus diesen beiden Eigenschaften ergiebt sich der Zu-
sammenhang zwischen den 27 Punkten, in welchen Kegel-
schnitte die C^ sechspunktig beruhren. Diese Punkte
paaren sich namlich mit den neun Wendepunkten zu je
18*
276 Theprie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
neun Paaren konjugierter Punkte in den drei Systemen der-
selben.
Aus dem ersten Satze folgt, da die Verbindungslinie
zweier Wendepunkte 2828'i bekanntlich die C (3) inimer in
einem dritten Wendepunkte 28" treffen mufi, da8 auch die
Yerbindungslinie I 5151' j durch den Wendepunkt 28", ebenso
5131" durch 28', : 5l'5l": durch 28 gehen muB, also:
Verbindet man von den 27 Punkten, in welchen
Kegelschnitte die (7 (3) sechspunktig beriihren, zwei
solche, deren Tangentialpunkte zugleich ihre kon-
jugierten Punkte sind (d. h. ist zu 51 der Wende-
punkt 28, zu 5T der Wendepunkt 28' der konju-
gierte, gehoren also 5128, 51'28' demselben Systeine
an), so geht diese Verbindungslinie allemal durch
einen dritten Wendepunkt. Solcher Geraden giebt es
also im allgerneinen 3 . -~'^ = 108.
Aus dem zweiten Satze folgt, da 2828' die r (3) in
dem dritten Wendepunkte 28" schneidet, daB auch die Ver-
bindungslinie 5133'j in einem Punkte (" schneiden muB,
welcher mit 2S" ein Paar konjugierter Punkte des dritten
Systems bildet, wenn 51 und 28 dem ersten, 39' und 28'
dem zweiten System angehoren, also:
Die 27 Punkte, in welchen Kegelschnitte die
C (3) sechspunktig beriihren, liegen zu je dreien auf
geraden Linien, namlich immer ein Punkt 51, welcher
mit seinem Tangentialpunkt 28 dem einen System,
ein Punkt S3', welcher mit seinem Tangentialpunkt
28' dem zweiten System, und ein Punkt (", welcher
mit seinem Tangentialpunkt 28" dem dritten System
konjugierter Punkte angehort, wobei 28, 225' 28" drei
in gerader Linie liegende Wendepunkte der (7 (3) sind.
Solcher Geraden giebt es im allgemeinen 81.
Zu ihnen gehoren auch die neun harmonischen Polaren
der Wendepunkte. Die iibrigen 72 entspringen aus den 12
Wendepunktslinien, deren jede drei Wendepunkte 2B, 28', 28"
enthalt; sind namlich aus jedem derselben die drei iibrigen
Tangenten gelegt, deren Beriihrungspunkte seien 51 33 S,
32. Kegelschnitte, welche die (7 (8) mehrpunktig beruhren. 277
21 '$'(', 2i"23"(", so konnen wir nur SI mit S3' oder 21 mit
(' verbinden, denn die Verbindungslinie 2(21' j geht durcb
einen Wendepunkt; die Verbindungslinie j 5193' : mu8 aber
einen bestimmten Punkt C" enthalten ; ! 2l(' ! den bestimni-
ten Punkt 23"; ebenso ; W2T , 332t'(" |,
(83'$";, also giebt es fur die Wendepunktslinie
nur secbs solcher Linien j 2123& , mithin im ganzen nur
12.6 = 72, zu denen die neun barmonischen Polaren binzu-
treten.
Aus dem in 9, 8. bewiesenen Satze, daB wenn secbs
Punkte einer C (S} auf einem Kegelschnitt liegen, auch ibre
secbs konjugierten Punkte in einem der drei Systeme allemal
auf einem Kegelscbnitt liegen miissen, folgt eine weitere
Beziebung zwiscben unsern 27 Punkten ; welcbe in den drei
Systemen den neun Wendepunkten konjugiert sind. Die
Wendepunkte liegen namlicb zu dreien auf den zwolf Wende-
punktsgeraden ( 28), und diese lassen sicb paarweise als
ausgeartete Kegelscbnitte auffassen, was -j-^- == 66 Linieu-
paare giebt, also:
Von den 27 Punkten, in welcben Kegelscbnitte
die C (Z> secbspunktig berubren, liegen imnier ge-
wisse secbs auf einem Kegelscbnitte, namlicb
solcbe secbs, deren Tangentialpunkte gleicbzeitig
die konjugierten Punkte in einem und demselben
Systeme auf der C (3) sind und zwar secbs Wende-
punkte, die zu je dreien auf zwei Wendepunkts-
linien liegen. Solcber Kegelscbnitte giebt es im allge-
meinen 66.
Hieraus folgt, daB solcbe neun Punkte, welcbe die
konjugierten Punkte der neun Wendepunkte sind in einem
der drei Systeme von konjugierten Punktepaaren auf der C f < 3) ,
menials eine Gruppe von neun associierten Punkten bilden;
denn in diesem Falle miiBten, da secbs von ibnen auf einem
Kegelscbnitt liegen, die drei ubrigen auf einer Geraden
liegen. Dies ist aber nicbt der Fall, denn die Verbindungs-
linie zweier gebt immer durcb einen W T endepunkt, kann also
keinen vierten Punkt inebr enthalten.
278 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
3. Wahrend in jedem Punkte die 6 1(3) von einem Kegel-
schnitt fiinfpunktig beriihrt werden kann und nur in aus-
gezeichneten (27) Punkten Kegelschnitte dieselbe sechspunktig
beriihren, giebt es unendlich viele Kegelschnitte, welche in
einem gegebenen Punkte ty dieselbe vierpunktig beriihren.
Durch vier Punkte der (7' 3) als Grundpunkte eines Biischels
gehen iiberhaupt unendlich viele Kegelschnitte, welche noch
in je zwei iibrigen Punkten der C (3) begegnen, deren Ver-
bindungslinien samtlich durch einen festen Punkt der (7 (3)
laufen ( 9, i.), den Gegenpunkt zu den Grundpunkten des
Buschels.
LaBt man die vier Grundpunkte des Biischels einander
unendlich nahe riicken, sodaB sie in einen einzigen Punkt
ty der (3) zusammenf alien, so nimmt das Kegelschnittbiischel
einen besonderen Charakter an und besteht aus samtlichen
Kegelschnitten, welche die 6 y(3) in $)3 vierpunktig beriihren.
Der Gegenpunkt Q, durch welchen alle von den Kegel-
schnitte'n ausgeschnittenen Sehnen (Verbindungslinien der
beiden iibrigen Schnittpunkte der C (S> mit einem in ^8 vier-
punktig beriihrenden Kegelschnitt) laufen, wird gefunden
durch den besonderen Kegelschnitt, welcher aus der doppelt
zu zahlenden Tangente in ^5 besteht; schneidet diese Tan-
gente in dem Tangentialpunkt ^5 17 so fallen in ^ zwei
Punkte zusammen, die eins der vorigen Paare bilden; die
Tangente in ^ schneide zum dritten Mai in O, dann ist
offenbar D der gesuchte Gegenpunkt.
Da durch O auBer der Tangente | D^ j im allgemeinen
noch drei andere Tangenten an die 6 T(3) gehen, so folgt:
Soil in einem Punkte ^5 der (7 (3) ein Kegelschnitt
dieselbe vierpunktig beriihren, so giebt es unter
alien diesen Kegelschnitten im allgemeinen drei,
welche auBerdem noch in einem andern Punkte die
O (3) zweipunktig beriihren. Die Beriihrungspunkte
dieser drei Kegelschnitte werden gefunden, indem
man in ^5 die Tangente zieht, ihren Tangential-
punkt ^ aufsucht, in < $ l aufs neue die Tangente
zieht, deren Tangentialpunkt D sei, und aus O die
32. Kegelschnitte, welche die C& mehrpunktig beriihren. 279
drei noch iibrigen Tangenten an die (7 (3) legt, deren
Beriihrungspunkte die drei gesuchten sind.
Man kann die drei Beriihrungspunkte auch noch in
anderer Weise finden; geht uamlich eine Tangeute aus O
an die (7 (3) , welche in X beriihre, und zieht man $PX ,
welche in 9ft zum dritten Mai der C (3) begegnet, so wird,
weil zu ty der Tangentialpunkt $|3 17 zu X der Tangential-
punkt d ist, auch der Tangentialpunkt zu 91 auf '>, D^
liegen miissen; der dritte Schnittpunkt von D^ ist aber
$P,, folglich muB ^ auch der Tangentialpunkt zu 91 sein.
Hieraus folgt:
Legt man aus dem Tangentialpunkt ^ fur den ge-
gebenen Punkt ^ die drei noch ubrigen Tangenten an die
r (:!) und verbindet die drei Beriihrungspunkte derselben mit
^S, so schneiden diese drei Geraden die C^ 3) in den drei
neuen Punkten X, X', X", welche die gesuchten Beriihrungs-
punkte der drei Kegelschnitte sind, die in ^5 vierpunktig
und in X (bez. X' ; X") zweipunktig die (7 (3) beriihren.
Die Aufgabe: ,,in einem gegebenen Punkte ^3 der C (8)
einen vierpunktig beriihrenden Kegelschnitt zu legen, der
noch in einem andern Punkte die Kurve zweipunktig be-
riihrt", hat also im allgemeinen drei Losungen.
Will man umgekehrt in einem Punkte X einen zwei-
punktig beriihrenden Kegelschnitt konstruieren, der noch in
eineni andern Punkte ^5 vierpunktig beriihren soil, so nehme
man zu X den Tangentialpunkt Q, lege aus Q eine Tan-
gente an die C (3) , welche in ^ beriihrt (deren es nur noch
drei giebt), und ziehe aus dem Beriihrungspunkt ^ eine
Tangente an die C (3) , welche in ty beriihrt (deren es vier
giebt), dann ist ^5 der gesuchte Punkt.
Die Aufgabe: ,,in eineni gegebenen Punkte X der (7 (3)
einen zweipunktig beriihrenden Kegelschnitt zu legen, welcher
noch in einem andern Punkte die Kurve vierpunktig beriihrt",
hat also im allgemeinen zwolf Losungen.
Will man durch zwei Punkte 91 und S3 einer f' (3) einen
Kegelschnitt legen, welcher auBerdem die Kurve in einem
dritten Punkte ^ vierpunktig beriihren soil, so ziehe man
280 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
2193 und ermittele ihren dritten Schnittpunkt D, lege aus
C eine Tangente an die 6 T(:il , welche in ^ beriihre (deren
es vier giebt), und aus ^ eine neue Tangente an die G' (3) ,
welche in 9$ beriihrt (deren es ebenfalls vier giebt), dann
ist ein solcher Punkt ^? der gesuchte; diese Aufgabe hat
also im allgemeinen sechszehn Losungen.
4. In einem Punkte 21 der C' (3) kann man doppelt un-
endlich viele dreipunktig beriihrende Kegelschnitte legen,
welche auBerdem im allgemeinen noch in drei iibrigen
Punkten ^5, Q, 3ft die C (3) schneiden. Verlangt man, daB
auch die drei iibrigen Punkte ^$, Q, 9ft in einen einzigen 93
zusammenriicken sollen, also ein Kegelschnitt die G' (3) in
zwei verschiedenen Punkten 21 und 93 dreipunktig beriihren
soil, so sind die Punkte 21 und 93 einer Bedingung unter-
worfen, die so gefunden werden kann. Denkt man sich drei
benachbarte Gerade 21SS93 |, 2t'2B'93' , 81" SB" S3" |, deren
neun Schnittpunkte mit der C'( 3) eine Gruppe von neun as-
sociierten Punkten bilden, und laBt man sodann die drei
Geraden zusammenf alien, sodaB 21 = 21' = 21" und 93 =93' =93"
die beiden Beriihrungspunkte eines zweimal dreipunktig be-
riihrenden Kegelschnitts werden, dann mussen die drei Punkte
2B, SK', 28" auf einer Geraden liegen, also der dritte Schnitt-
punkt von | 2193 mit der (3) muB ein Wendepunkt 3S der
^-' (3) sein, und auch umgekehrt, also:
Zieht man durch einen Wendepunkt 223 der C^
eine beliebige Gerade, welche in den beiden Punkten
21 und 93 der G' (3) tegegnet, so giebt es allemal einen
Kegelschnitt, welcher gleichzeitig sowohl in 21 wie
in 93 die Kurve dreipunktig beriihrt.
Ist 21 gegeben, so findet man also, da es neuii Wende-
punkte giebt, neun Kegelschnitte, welche auBer in 21 noch
in einem zweiten Punkte 93 die Kurve dreipunktig beriihren.
(Von diesen sind drei reell und sechs imaginar.)
Nimmt man drei Wendepunkte SSj, SS 2 , SS 3 , welche auf
einer Geraden (Wendepunktslinie) liegen, und projiciert die-
selben von einem Punkte ^5 der C (3) aus in die drei Punkte
21, 93, 6, sodaB
32. Kegelschnitte, welche die (7 (3 > mehrpunktig beriihren. 281
auf je einer Geraden liegen, so giebt es drei Kegelschnitte,
von denen der eine in ty und 5t, der andere in ty und S3,
der dritte in ^5 und ( die Kurve zweimal dreipunktig be-
ruhrt. Die drei Punkte 51, 93, ( stehen dann in einer eigen-
tiinilichen Verbindung mit einander; da namlich die neun
Durchschnittspunkte der drei Geraden
eine Gruppe von neun associierten Punkten bilden, und die
drei Punkte 2S 1; 28 2 , 28 3 auf einer Geraden liegen, so miissen
die sechs iibrigen auf einem Kegelschnitt liegen; es giebt
also einen Kegelschnitt, welcher in ty die 6 r(3) dreipunktig
beruhrt und auBerdem durch die drei Punkte 2(, S3, S geht.
Aus den beiden in je sechs Punkten schneidenden Kegel-
folgt, daB der Gegenpunkt fiir das Kegelschnittbiischel mit
den vier Grundpunkten ^3, ^5, ^S, ^(, sowohl der Tangential-
punkt 5l : zu 21, als auch der dritte Schnittpunkt von S3S
mit der C (3) sein muB, also liegen
S3, <, ^
und ebenso
(, 31, S3 t
a, SB, e,
auf einer Geraden, wenn St u 93 U S x die Tangentialpunkte fiir
$(, S3, bedeuten.
Die drei Punkfce 51, S3, ( haben also eine solche
Lage, daB die Verbindungslinie zweier in dem Tan-
gentialpunkt des dritten der Kurve begegnet.
Haben die drei Punkte 21, S3, eine solche eigentuni-
liche Lage, so haben die drei neuen Punkte 51 17 S3 U (S u ihre
Tangentialpunkte, eine gleiche Lage, denn aus den beiden
Geraden
folgt, weil 93 ( in 5^ schneidet und die Tangente 5151
auch in 5t u daB der Tangentialpunkt 51 2 des Punktes 1
auf der Geraden SSjC^ | liegen muB| es liegen also
282 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
und ebenso
*i i
D -^u ^2
auf je einer Geraden; es sind also auch fur die drei Punkte
21 1; 23 1; i die Schnittpunkte von den Verbindungslinien je
zweier die Tangentialpunkte des dritten. Wir konnen soniit
aus einer solchen Gruppe von drei Punkten 21, 23, immer
eine neue von gleicher Beschaffenheit ableiten u. s. f. Auch
umgekehrt zeigt sich, daB wenn drei Punkte 21, 23, S der CW
die angegebene Eigenschaft besitzen, sie die Projektionen
dreier in gerader Linie liegenden Wendepunkte von einem
beliebigen Kurvenpunkte aus sein miissen.
Durch einen willkiirlich auf der C (8) zu wahlenden
Punkt 21 sind die beiden iibrigen der Gruppe 2123 schon
bestirnmt, aber mehrdeutig. Verbinden wir namlich 21 mit
deni Wendepunkt 28 1; nennen den dritten Schnittpunkt
^ und nehmen die Wendepunktslinie | 2Bi2B 2 SS 3 1, so be-
stimmen | ^28., j und j^SBsl die beiden iibrigen Punkte
23, der Gruppe.
Wir konnen aber auch 21 init 2B 2 verbinden und er-
halten dann den Projektionspunkt ^S 2 ; da wir nun die vier
Geraden haben
so folgt aus den beiden Geraden
die dritte Gerade I sju 5m i
I 'W 1 .w J I,
und da SS^ ein Wendepunkt ist, also | 2B 1 2B 1 SB 1 j auf der-
selben Geraden liegen, daB | ^3 2 S | durch 28 1 gehen muB;
wir haben also die neue Gerade
ferner folgt aus den beiden Geraden
die Gerade
32. Kegelschnitte, welche die CK) mehrpunktig beriihren. 283
ziehen wir endlich die Verbindungslinie | 51 28 3 j , welche in
1j$ 3 der Kurve begegneu mag, also
so folgen in gleicher Weise die beiden neuen Geraden
und
Wir haben also folgende eigentumliche Konfiguration
von neun Geraden
woraus hervorgeht, daB dieselben Punkte SI, S3, Q von
drei verschiedeneii Punkten ^S 1; $P 2 , ^5 3 aus als die
Projektionen der drei in gerader Linie liegenden
Wendepunkte auf die Kurve erscheinen, und zwar in
cykliacher Reihenfolge; auch bilden die Projektions-
centra ty 1} ^5. 2 , ^ a eine neue Gruppe von gleicher Be-
schaffenheit, weil sie als die Projektionen derselben
Wendepunkte von 51, oder von $8, oder von ( aus
erscheinen.
Aus den drei Geraden
geht zugleich hervor, weil ^SBgSBg auf einer Geraden
liegen, daB die sechs Punkte der beiden voneinander ab-
hangigen Gruppen Vt, S3, ( und ^ l} ^S 2 , ^5 3 auf einem Kegel-
schnitt liegen miissen.*
Die sechs Punkte St, 33, S, ^5 U p a , ^5 3 liegen der-
artig auf dem Kegelschnitt, daB die drei Sechsecke
* Diese Satze stammen nach einer Mitteilung von Herrn Durege,
,,Die ebenen Kurven dritter Ordnung", S. 288, vou Herrn Ku'pper her.
284 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
eine und dieselbe Pascalsclie Linie haben, welche
dieselben drei Durchschnittspunkte der Gegenseiten
enthalt.
5. Wir gingen von einer beliebigen Wendepunktslinie
| SBj 28 2 28 3 1 dreier in einer Geraden liegenden Wendepunkte
aus und fanden durch Projektion derselben von einem be-
liebigen Kurvenpunkte ty aus die Gruppe 51 S3 (, wobei sich
zeigte, dafi dieselbe Gruppe auftrat nicht bio 6 von dem
einzigen Punkte ty aus, sondern von drei verschiedenen
Punkten $&, $ 2 , $ s aus.
Dieselbe Gruppe 3133& tritt aber auch auf fur neue
Projektionscentra, wenn wir zwei andere Wendepunktslinien
an Stelle der ersten setzen.
Aus dem Zusammenhange zwischen den Wendepunkten
223)" (*/&=!, 2, 3) ergeben sich namlich ( 28) fur die
Wendepunktslinie
I}*|H
und den Projektionspunkt ty[
drei Gerade mit je drei Punkten. Yerbinden wir nun SI
rnit einem der iibrigen sechs Wendepunkte, z. B. 225^, und
nennen den dritten Schnittpunkt ty^ , so haben wir die Gerade
I *?*!!.
Aus den beiden Geraden
folgt
\%$IWI$&1\.
Da nun SS^28^2B^ auf einer Geraden und auch 28{3B!|2
auf einer Geraden liegen, so miissen
?;ssjffl
auf einer Geraden liegen. Ebenso folgt aus den Geraden
32. Kegelschnitte, welche die C&) mehrpnnktig beriihren. 285
S 6
I SB J SB* SB*
daB
auf einer Geraden liegen mussen. Mithin geht die Gruppe
51 S3 & aus den drei in einer Geraden liegenden Wendepunkten
28 1, 28!, SB 3 hervor durch Projektion von ^ aus.
Zu den beiden Wendepunktslinien ISBJSBgSBgi und
| 28 I 28 2 28 y gehort als dritte Seite eines Wendepunkts-
dreiseits diejenige Gerade, auf welcher die drei iibrigeu
Wendepunkte liegen
3
a ?
und wir erkennen in gleicher Weise, wie vorhin, daB die-
selbe Gruppe SIS9S aucn hervorgeht durch Projektion dieser
drei Wendepunkte von einem Punkte ^5f aus, indem je drei
Punkte auf der Geraden liegen
I*;B;I, i!aB;i, I ??;( i;
wir haben also den Satz:
Dieselbe Gruppe von Punkten 5(, S3, laBt sich
aus drei verscbiedenen Wendepunktslinien, welche
die Seiten eines Wendepunktsdreiseits bilden, als
die Projektion der drei in einer dieser Geraden lie-
genden Wendepunkte von einem Kurvenpunkte aus
ableiten.
Die drei Projektionscentra ^S \ , ^ , ty I bilden selbst wieder
eine Gruppe von gleicher Beschaffenheit, wie 5133(5, weil
sie als die Projektionen der drei in gerader Linie liegenden
Wendepunkte SB}, 28^, 2Bj von SI aus erscheinen.
Nun haben wir aber fur jede dieser Wendepunktslinien
nicht nur ein sondern drei Projektionscentra gefunden (4.),
sodaB wir im ganzen neun Projektionscentra haben, die wir
entsprechend bezeichnen konnen
$Pi$5$Pi, $?$;$;, **;$;$s.
Diese sind nichts anderes, als die Projektionen der neun
Wendepunkte von 51 aus auf die C (8) , oder auch von S3 aus,
286
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
oder von aus, aber in cyklischer Folge, sodaB wir die
Geraden haben
orggiqgi' 2128 1 9B 1 SISS 1 ^ 1
t xv } 3? ] , a.^u 2 43 2 , *^w 3 4? 3
'3 If
SBj*s!, ;<&8Bj<pj
KJBglKLi
aas;?;
ass;?
3 I
3 l>
**IWIi
Die neun Projektionscentra 5)3* (i, A; = 1, 2, 3), fur deren
jedes die Gruppe von Punkten 21, S3, als die Projektionen
von drei in gerader Linie liegenden Wendepunkten erscheint,
bilden selbst wieder unter sich Gruppen zu je dreien von
gleicher Beschaifenheit, und zwar gehort jeder dieser Punkte
vier solchen Gruppen an, z. B.
die ubrigen Gruppen sind, wie sich unmittelbar aus der
Lage der Wendepunkte ( 28) ergiebt, der analog sie zu
bilden sind, folgende
6. Das gewonnene Resultat sagt aus, daB wenn wir die
neun Wendepunkte 28* von einem Punkte 21 der Kurve aus
auf dieselbe projicieren, die dadurch erhaltenen neun Punkte
^B. sich auf zwolf Arten zu je dreien einer Gruppe ver-
einigen, welche dieselbe Eigenschaft besitzt, wie die ur-
spriingliche Gruppe 21S3S, da6 immer vier solche Gruppen
einen Punkt gemein haben und daG dieselben Punkte $.
hervorgehen, wenn wir von 33 oder aus die Wendepunkte
auf die Kurve projicieren.
Wir konnen jetzt auch unigekehrt, anstatt von SI aus-
zugehen, von ^5} ausgehen und finden dann nicht nur die
32. Kegelschnitte , welche die C (3) mebrpunktig beriihren. 287
eine Gruppe 21S5S, sondern dazu noch zwei andere, also im
ganzen neun Punkte, die sich wiederum wie die ty zu je
dreien in zwolf Gruppen ordnen, von denen immer vier einen
Punkt gemein haben; fuhren wir zur deutlicheren Uber-
sicht eine etwas veranderte Bezeichnung ein, indem wir
statt 2t . . . 21*
statt S3 ... 21*,
statt ( ... 21*
setzen und die iibrigen sechs Punkte als dritte Schnittpunkte
der Verbindungslinien erhalten
so Ia6t sich erkennen, durch welche von den Wendepunkten
die 81 Verbindungslinien der Punkte
3P und $* (m, n = 1, 2, 3; i, k = 1, 2, 3)
hindurehgehen miissen aus folgender Tabelle
SB!
Um den Wendepunkt zu ermitteln, durch welchen die
Verbindungslinie von SJ5* mit 21 " t hindurchgeht, suchen wir
den in der Vertikalreihe SjS* und in der Horizontalreihe 21 ? "
stehenden Buchstaben auf. In jeder Vertikalreihe und in
jeder Horizontalreihe stehen samtliche Wendepunkte, nur in
anderer Anordnung; die 81 Verbindungslinien |$|3*2l^|
schneiden sich also zu je neun in den neun Wendepunkten.
288 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Nimmt man von den samtlichen in einer beliebigen
Vertikalreihe stehenden Wendepunkten drei solche heraus,
welche in einer Geraden (Wendepunktslinie) liegen und pro-
jiciert sie von dem iiber der Vertikalreihe stehenden Punkte
^5 aus, so erhalt man die drei vor den entsprechenden
Horizontalreihen stehenden Punkte 51 , welche eine Gruppe
bilden von der Beschaffenheit, wie die besprochene Gruppe
51236. Durch einen der neun Punkte 51* sind die iibrigen
ach^ vollstandig und eindeutig bestimmt.
7. Die drei Punkte 51, 23, 6 einer Gruppe, welehe als
die Projektionen dreier in gerader Linie liegenden Wende-
punkte von einem Kurvenpunkte aus erscheinen, und welche
gleichzeitig, wie wir gesehen haben (4.), die Eigenschaft
besitzen, daB der Tangentialpunkt zu 51 auf | 236 ', der Tan-
gentialpunkt zu 23 auf 651 und der Tangentialpunkt zu
6 auf 5123 | liegt, besitzen noch eine weitere Eigenschaft.
Schneidet nainlich irgend ein in 51 dreipunktig beruhrender
Kegelschnitt die (7 (3) auBerdem in den drei Punkten ^5, Q,
91, so wird das Kegelschnittbuschel [5l^$Q$R] zum Gegen-
punkt den Tangentialpunkt 5l t zu 51 haben, weil die sechs Punkte
[51, ^5, Q, 91, 51, 51] auf einem Kegelschnitt liegen. Da aber
5lj auch auf J 236 liegt, so miissen 51, 23, 6, *$, D, 91 auf einem
Kegelschnitt liegen; das Kegelschnittbuschel [23$)3l$R] wird
also zum Gegenpunkt den dritten Schnittpunkt von 516) mit
der Kurve haben, d. h. den Punkt 23 n welcher Tangential-
punkt zu^ 23 ist. Hieraus folgt, daB auch die sechs Punkte
23, ^S, d, 9ft, 23, 23 auf einem Kegelschnitt liegen miissen,
oder was dasselbe sagt, daB es einen zweiten Kegelschnitt
durch ^5, Q, 91 giebt, welcher in 23 dreipunktig beruhrt, und
einen dritten, welcher in 6 dreipunktig beruhrt, also:
Bilden die Punkte 51, 23, 6 eine solche Gruppe
von Punkten auf der C |3) , welche als die Projektionen
dreier in gerader Linie liegenden Wendepunkte von
einem Kurvenpunkte aus erscheinen, und legt man
durch 21 einen dreipunktig beriihrenden Kegelschnitt,
welcher auBerdem in ^5, D, 9t der C (S) begegnet, dann
giebt es durch $P, O, 91 noch einen zweiten Kegel-
32. Kegelschnitte , welche die C^ 3 ' mehrpunktig beruhren. 289
schnitt, welcher in S3, und einen dritten, welcher in
( die Kurve dreipunktig beriihrt.
Wir konnen jetzt die Frage umkehren und durch drei
gegebene Punkte $)B, G, 9ft einen solchen Kegelschnitt zu legen
versuchen, welcher auBerdem die C (3) noch in einem andern
Punkte dreipunktig beruhrt. Hatten wir einen solchen
Punkt 51 gefunden, welcher die Eigenschaft besaBe, da6 ein
durch $|$, D, 9ft gelegter Kegelschnitt in $ die Kurve drei-
punktig beriihrte, so konnten wir aus 51 noch andere Punkte
von gleicher Beschaffenheit ermitteln; denn ware S3 ein ge-
suchter zweiter Punkt von derselben Beschaffenheit, so miiBte
wegen des Kegelschnitts [ty D 9ft SI 51 51] zu dem Kegelschnitt-
biischel mit den Grundpunkten [$pQ9ft5l] der Gegenpunkt
5t x der Tangentialpunkt zu 51 sein, und ebenso zu dem Kegel-
schnittbuschel mit den vier Grundpunkten [^3 D 9ft 23] der
Gegenpunkt ^& 1 der Tangentialpunkt zu S3 sein. Legt man
aber den beiden Biischeln angehorigen Kegelschnitt durch
die fiinf Punkte ^5, Q, 9ft, 51, S3, welcher noch in einem
sechsten Punkte der Kurve begegnet, so muBte [ S3 |
durch 5l x und | 51 (S j durch S^ geheii. Hieraus folgt aber,
wenn S x der Tangentialpunkt zu ist, daB auch (^ auf
| 51 S3 | liegen ruuB; denn aus den vier Geraden
J23CT! |, 515151,, 51SS3! , S3S3S3 X
folgt, wenn wir die beiden zusaaimenstellen
| 51 5l x 51 |
S3, S3 S3 |
!.,( ( S, |,
d. h. wenn (S t der Tangentialpunkt zu ( ist, so muB S t auf
5133 | liegen. Die drei Punkte 51, S3, S besitzen also die
Eigenschaft, daB der Tangentialpunkt eines jeden von ihnen
auf der Verbindungslinie der beiden iibrigen liegt; sie bil-
den daher eine solche Gruppe, welche als Projektionen
dreier in gerader Linie liegenden Wendepunkte von einem
Kurvenpunkte aus erscheinen. Da nun 51 die Eigenschaft
besitzt, daB ein durch ^5, l. 9ft gehender Kegelschnitt die
Schroter, Theorie der ebenen Kurven 3. Ordu.
290 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
Kurve in ?l dreipunktig beriihrt, so miissen nach dem
vorigen Satze auch 23 und ( die gleiche Eigenschaft be-
sitzen.
Die vorgelegte Frage lauft jetzt also darauf hinaus, wie
viele solcher Paare von Punkten 23 und ( es giebt, die mit
51 zusammen eine Gruppe SIS3S von der angegebenen Eigen-
schaft bilden. Diese Frage beantwortet aber die Tabelle
in 6., denn sie zeigt, daB es mit dem gemeinsamen Punkt
91* vier solche Gruppen giebt
3)
[1 2(2513
mithin im Ganzen neun solcher Punkte, wir schlieBen also:
Durch drei willkiirlich zu wahlende Punkte ^S,
<Q, 9ft einer C (3 ~> giebt es im allgemeinen neun Kegel-
schnitte, welche die C (3) auBerdem noch in je einem
Punkte dreipunktig beriihren. Die neun Beruhrungs-
punkte dieser Kegelschnitte erscheinen als die Pro-
jektionen der neun Wendepunkte der (7 (3) von einem
gewissen Kurvenpunkte 9$. aus, und es giebt neun
solcher Kurvenpunkte, welche dieselben neun Be-
ruhrungspunkte liefern. Durch einen dieser Beruh-
rungspunkte siud die iibrigen acht vollstandig be-
stimmt.
(Da von den neun Wendepunkten drei reell und sechs
imaginar sind, so sind auch von den neun Kegelschnitten
drei reell und sechs imaginar.)
Da wir oben gesehen haben, dass die drei gegebenen
Punkte $P, C, 9ft allemal mit den drei Punkten 91, S3, einer
Gruppe auf einem Kegelschnitte liegen, und da sich die
neun Beruhrungspunkte 51 1 . in zwolf solcher Gruppen, ent-
sprechend den zwolf Wendepunktslinien ordnen lassen (ebenso
wie oben 5. die neun Punkte ^5.), so folgt:
Die neun Beruhrungspunkte der vorigen neun
Kegelschnitte liegen zu je dreien mit den gegebenen
Punkten $P, Q, 9ft auf zwolf Kegelschnitten, und
32. Kegelschnitte, welche die C^ mehrpunktig beruhren. 291
diese gruppieren sicli auf vier verschiedene Arten
zu je drei Kegelschnitten, welche zusammen alle
neun Beriihrungspunkte enthalten.
Dies entspricht den vier Wendepunktsdreiseiten, deren
jedes alle neun Wendepunkte enthalt; auch zeigt sich, well
von den zwolf Wendepunktslinien vier reell und acht ima-
ginar sind, daB von den letzten zwolf Kegelschnitten vier
reell und acht imaginar sein werden.
1st 3t der Beriihrungspunkt eines durch ^G3R gehenden
und in $1 dreipunktig beriihrenden Kegelschnitts, so miissen
offenbar die drei Geraden | W$ ', j 91D |, | HSR | die C i n
drei neuen Punkten treffen, welche auf einer Geraden liegen,
weil die sechs Punkte ty, Q, SR, 31, 31, ?l auf einein Kegel-
schnitt sich befinden. Die vorliegende Aufgabe laBt sich
also auch so fassen:
,,Drei auf der C (3) gegebene Punkte ^5, O, 91 von
eiuem gesuchten Punkte der Kurve aus so auf die-
selbe zu projicieren 7 daB die drei erhaltenen Punkte
auf einer Geraden liegen."
Diese Aufgabe hat also die neun Losungen 31 f , welche
wir vorhin ermittelt haben.
8. VVenn wir von den neun Losungen 3l ( A des Problems
drei solche herausnehmen, welche eine Gruppe 3193S bilden,
d. h. als die drei Projektionen dreier in gerader Linie lie-
genden Wendepunkte von einein Kurvenpunkte aus erschei-
nen, so liegen, wie wir gesehen haben 7 die sechs Punkte
, &, 91, ?t, ^8, auf eineni Kegelschnitt. Da das Kegel-
schnittbuschel [^ISSS^S] zum Gegenpunkt den dritten Schnitt-
punkt von | QSR | mit der C (3) hat, welcher ^, genannt
werde, so muB auch, wenn wir durch ^ eine beliebige
andere Gerade | SjJj Q.J Sftj | ziehen, ein Kegelschnitt des Bii-
schels durch L I und 91, gehen; also die sechs Punkte
a, s, ,^, G U m,
miissen auf eineni Kegelschnitt liegen.
Hieraus folgt wieder, daB das Kegelschnittbiischel
j^tJ zum Gegenpunkt den dritten Schnittpunkt von
mit der Kurve haben muB. Dieser dritte Schnitt-
292 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
punkt ist aber 3t 1; der Tangentialpunkt zu SI, well
eine Gruppe von der oben angegebenen Art bilden, also
mu6 es aucli einen Kegelschnitt des letzten Biischels geben,
welcher in SI dreipunktig beriihrt, und daher, wie oben
nachgewiesen 1st, auch einen, der in 23, und einen dritten,
der in ( dreipunktig beriihrt.
Dies heiBt aber nichts anderes als: Wenn wir an-
statt von den drei Punkten $P, l, 9ft, wie es anfanglich
geschah, auszugehen, von den drei Punkten ^3, Q 1? 9ft 1
ausgegangen waren, wodurch ein neues Problem gleicher
Art gestellt ware, so waren wir zu denselben neun
Losungen SL gekommen, denn es giebt zu jeden drei an-
genommenen Punkten $|$, Q, 9ft nur ein solches System von
Losungen und durch eine derselben 51 sind die iibrigen acnt
vollstandig und eindeutig bestimmt (6.). Hieraus folgt, da 6
es unendlich viele Tripel von Punkten ^5, D, 9ft giebt,
fur die das vorgelegte Problem zu demselben System
von neun Losungen fiihrt. Um aus einem solcnen
^5 9ft ein neues zu erhalten, brauchen wir uns nur zwei
dieser Punkte d und 9ft zu verbinden und durch den dritten
Schnittpunkt < ^ i von O9ft eine beliebige Gerade zu ziehen,
welche in Oj und 9ft x der C T(3) begegnet; dann sind ^5, Oj,
9ft x ein neues derartiges Tripel. Dies kann auf drei Arten
ausgefiihrt werden; aus diesen kann man wieder neue Tripel
ableiten u. s. f.
Man sieht hieraus, da6 um ein neues Tripel zu er-
halten, welchem die gleiche Eigenschaft zukommt, wie
deni urspriinglichen ^5, O, 9ft, man zwei Punkte, etwa ^3 2
und D n willkurlich auf der C^ annehmen und dann den
dritten zugehorigen Punkt 9ft 2 wie folgt konstruieren kann:
Die Gerade ; O9ft ! schneide in ^ zum dritten Mai; man
ziehe O^!,, welche Gerade in 9ft! schneide; dann ist
^P Oj 9ft : ein neues Tripe! ; man ziehe $ 9ftj ; , welche Gerade
in O 2 treffe, und j D 2 ^8 2 ', die in 9ft 2 treffe, dann ist
.Oifc*
ein neues Tripel, von welchem die beiden Punkte D x und 1$ 2
willkurlich auf der C'( 3) gewahlt sind.
32. Kegelschnitte, welche die <7 (S) mehrpunktig beruhren. 293
9. Nachdem wir Kegelschnitte aufgesucht haben, welche
die C {3) sechspunktig, fiinfpunktig , vierpunktig oder drei-
punktig beruhren, bleibt nur noch iibrig, solche Kegelschnitte
zu betrachten, welche die Kurve zweipunktig beruhren, und
dadurch kehren wir zu dem Ausgangspunkte zuriick, von
dem aus wir die Untersuchung der C< 3) begonnen haben.
Nehmen wir zwei beliebige Punkte 9$ und d der C^
und ziehen die beiden Tangenten der Kurve in diesen Punkten,
so giebt es ein ganzes Biischel von Kegelschnitten, welche
die Kurve in ^ und 'O zweipunktig beruhren. In diesem
besonderen Kegelschnittbusehel [^^5OD] mit vier Grund-
punkten, die paarweise zusammenf alien, kommt insbesondere
auch der Kegelschnitt vor, welcher aus der doppelt zu zah-
lenden Geraden $|3D j besteht; schneidet dieselbe also die
(7 (3) zum dritten Mai in 9ft 1; so wird die Tangente in 9ft x die
Verbindungslinie der beiden ubrigen Schnittpunkte dieses
Kegelschnitts mit der C^ sein. Die Tangente in 9ftj moge
in X zum dritten Mai schneiden, dann ist X der Gegen-
punkt des Biischels [ty ty DO], indem alle Kegelschnitte dieses
Biischels aus der (3) Punktepaare ausschneiden, deren Ver-
bindungslinien durch X gehen. Da X der Tangentialpunkt
fur Sftj ist, so gehen von X im allgemeinen noch drei weitere
Tangenten an die C (3 \ also giebt es unter alien Kegel-
schnitten, welche eine C (3) in zwei verschiedenen
Punkten ^ und O (zweipunktig) beruhren, im all-
gemeinen drei, welche dieselbe noch in eineni dritten
Punkte (zweipunktig) beruhren.
Sei eine der drei noch ubrigen Tangenten aus X an die
Kurve X9ft | mit dem Beriihrungspunkt 9ft, sodaB 9ft und 9ft t
denselben Tangentialpunkt haben, dann haben wir die sechs
Punkte eines Kegelschnitts
$, $, O, O, W, 9ft.
Da nun | ^5O in 9ft : schneidet, so werden, wenn die Gerade
| $p9ft i in D! und die Gerade O9ft in ^ schneidet, die
drei Geraden
294 Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung.
neun associierte Punkte aus der C^ ausschneiden, und da
die seeks Punkte ty, ty, D, D 7 9ft, 9ft auf einem Kegelschnitt
liegen, so mussen die drei iibrigen $J5 n O 1; 9ft x auf einer Ge-
raden sich befinden; also wenn ein Kegelschnitt die
C (3) in drei verschiedenen Punkten (zweipunktig)
beriihrt, so hat das von denselben gebildete Drei-
eck drei Seiten, welche auBerdem der Kurve in drei
Punkten begegnen, die auf einer Geraden liegen.
^3$P U DG I7 9ft 9ft} sind also die drei Paar Gegenecken
eines vollstandigen Vierseits, welches ganz der C ( ^ ein-
beschrieben ist.
Aus den beiden Geraden
folgt aber, daB der Tangentialpunkt von D mit dem Tan-
gentialpunkt von Oj identisch ist, und aus den beiden
Geraden
folgt in gleicher Weise, da6 der Tangentialpunkt von ty
mit dem Tangentialpunkt von ^ identisch ist. Die drei
Punktepaare ^S und ^ 1? O und d n 9t und 9^ sind also
konjugierte Punkte der C (3) in dem alten Sinne ( 2), indem
zwei konjugierte Punkte allemal denselben Tangentialpunkt
haben.
Aus eineni Paar konjugierter Punkte ty, ^ konnen wir
aber unendlich viele weitere Paare ableiten; verbinden wir
namlich einen beliebigen Kurvenpunkt 36 mit ^3 und ^5 1 durch
Strahlen, welche der C' (3) zum dritten Mai in @ und @,
begegnen, so folgt aus den Geradenpaaren
(wo X den gemeinschaftlichen Tangentialpunkt fiir ^5 und ^
bezeichnet), daG der dritte Schnittpunkt von ^ | mit dem
32. Kegelschnitte, welche die C (3) mehrpunktig beriihren. 295
dritten Schnittpunkt von ^ | koinzidieren muB; nennen
wir ihn 9 1; so sitid wiederum 33 1? $P^Pi> @@ t die drei
Paar Gegenecken eines der C (3) einbeschriebenen vollstandigen
Vierseits, folglich miissen, da ^3^! ein Paar konjugierter
Punkte sind, auch @ < B i ein solches Paar sein ; sowie %!.
Hieraus ergiebt sich ein ganzes System von Paaren
konjugierter Punkte auf der C (3 \ Wir ernalten aber im
allgemeinen drei solcher Systeme, wenn wir statt einer alle
drei Tangenten beriicksichtigen, die sich, wie oben fur eine
geschehen ist, aus dem Gegenpunkt des Biischels [^S^DD-J
an die Kurve legen lassen. Damit sind wir aber zu unserem
Ausgangspunkte zuriickgelangt.
Seite 9 Zeile 8 v. u.
15 7 u.
20 4 u.
28 1 o.
38 1 o.
45 10 u.
48 16 o.
50 15 u.
62 12 u.
100 3 u.
123 5 u.
124 10 0.
142 10 u.
167 5 0.
167 13 u.
183 7 0.
225 1 u.
246
271
16 o.
1 o.
Verbesserungen.
Das Wort n noch" ist zu streichen.
Statt n Stahlenpaar" lies n Strahlenpaar".
Statt nXSj" lies J&.
Das Wort w schnitte" ist zu streichen.
Statt % t lies '.
Statt z lies j.
Statt % l lies %.
Statt JBj ; lies S^.
Die Silbe B un-" ist zu streichen.
Statt 33 lies SB.
Statt r posititiv u lies n positiv".
Statt a 1 lies a.
Hinter n reellen" erganze r unendlich entfernten'
Statt lies | .
Statt w entpricht" lies fl entspricht a .
Erganze 2.
Statt (70) lies HW.
Statt n eine u lies n einer".
Statt 38m -i lies 5B-2.
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