key: cord-0042233-thhghx6n authors: Rosenkranz, Sven title: Elementare Prädikatenlogik date: 2016-06-09 journal: Einführung in die Logik DOI: 10.1007/978-3-476-05048-9_3 sha: 6eaeace749f7269595565e9006349fcaa12eb82c doc_id: 42233 cord_uid: thhghx6n Die Regeln der Aussagenlogik erlauben uns bloß, solche logischen Folgebeziehungen zwischen Sätzen zu beweisen, für deren Vorliegen allein die aussagenlogische Form dieser Sätze entscheidend ist. Die aussagenlogische Form eines Satzes, so hatten wir gesagt, wird dann sichtbar, wenn man diesen Satz in seine Teilsätze zerlegt. Die aussagenlogische Analyse macht also auf der Ebene von Satzbestandteilen halt, die wiederum Sätze sind. Dabei werden nur solche Teilsätze als logisch relevante Elemente anerkannt, deren Wahrheitswert einen Einfluss auf den Wahrheitswert des ursprünglichen Satzes hat. Im Extremfall ist der einzige solche Teilsatz, aus dem ein gegebener Satz B aufgebaut ist, der Satz B selbst. Dies gilt zum Beispiel für den Satz »Paul ist wütend«. In solchen Fällen spricht man allerdings besser davon, der Satz B habe gar keine aussagenlogische Struktur. Wie wir gesehen haben, ist diese Auskunft durchaus damit verträglich, dass Satz B in aussagenlogischen Folgerungsbeziehungen zu Mengen von anderen Sätzen A(1) … A(n) steht — Mengen von Sätzen nämlich, von denen mindestens ein Satz den Satz B als Teilsatz enthält. Ein Beispiel hierfür ist die nachstehend behauptete Folgebeziehung: [Formula: see text] Wenn von zwei Sätzen A und B hingegen keiner den jeweils anderen als Teilsatz enthält, dann besteht zwischen diesen beiden Sätzen allein im Normalfall keine aussagenlogische Folgerungsbeziehung. Man sieht sofort, dass dieses Argumentschema nicht bloß logisch gültige Argumente zu generieren erlaubt, sondern unendlich viele ungültige. Hier ist ein Beispiel für ein solches ungültiges Argument: Kein Mensch hat Ahnung. Die Wahl ist nochmal gut ausgegangen. Also werde ich morgen nicht kommen. Offensichtlich gibt es keine aussagenlogischen Regeln, die dieses Argument legitimierten. Da aussagenlogische Regeln aber allgemeiner Natur sind, werden die eingangs genannten, intuitiv gültigen (1)-(2)-(3)-Argumente ebensowenig allein durch aussagenlogische Regeln legitimiert. Wie kann man nun aber erklären, dass die eingangs genannten (1)-(2)-(3)-Argumente allesamt gültig sind, wenn sie denn nicht aussagenlogisch gültig sind, wie das letzte Beispiel zeigt? Offensichtlich sind die Struktureigenschaften, die die aussagenlogische Form eines Satzes bestimmen, nicht die einzigen seiner logisch relevanten Struktureigenschaften. Die Sätze (1), (2) und (3) haben eine interne Struktur, aufgrund derer sie logisch aufeinander bezogen sind. Aber die Elemente dieser Struktur sind keine Teilsätze, sondern Prädikate, Namen und logische Zeichen. Die Prädikatenlogik hat es mit genau solchen logischen Strukturen zu tun, die sich erst unterhalb der Satzebene dingfest machen lassen. Darum spricht man auch von der prädikatenlogischen Form von Sätzen. Um die prädikatenlogische Form eines Satzes erkennen zu kçnnen, müssen wir mehr unterscheiden kçnnen als bloß Teilsätze und Operatoren, die sie verknüpfen oder sie -wie im Fall der Negation -modifizieren. Bevor wir uns der Frage zuwenden, worin die prädikatenlogische Struktur von Sätzen besteht und wie wir sie erkennen kçnnen, müssen wir uns zunächst mit einigen der Typen von Teilausdrücken vertraut machen, die die Elemente solcher Strukturen bilden. Zwei dieser Typen von Teilausdrücken sind bereits genannt worden: (1.) Namen und (2.) Prädikate. 1. Unter Namen wollen wir alle Individualausdrücke verstehen, also alle Ausdrücke, die, sofern sie etwas bezeichnen, einen individuellen Gegenstand bezeichnen. Individualausdrücke werden manchmal auch singuläre Terme genannt. Innerhalb der Gruppe der singulären Terme (also Namen) unterscheiden wir noch einmal zwischen Eigennamen und sogenannten definiten Kennzeichnungen. Eigennamen sind -grob gesagt -Individualausdrücke, die keinen beschreibenden Charakter haben. Wie man an den Beispielen sieht, bezeichnen Funktoren offenbar Funktionen, deren Input in der Regel individuelle Gegenstände und deren Output in der Regel wieder individuelle Gegenstände sind. Manchmal kommt es allerdings vor, dass es für einen Gegenstand als Input keinen Gegenstand als Output gibt. Zum Beispiel bezeichnet die definite Kennzeichnung, die man erhält, wenn man in den Funktor »der gegenwärtige Kaiser von -« den Eigennamen »Deutschland« einsetzt, glücklicherweise gar nichts. Prädikate kçnnen entsprechend als Ausdrücke verstanden werden, die Funktionen bezeichnen, deren Input Gegenstände und deren Output Wahrheitswerte sind. Dies hat man sich so vorzustellen: Vervollständigt man ein n-stelliges Prädikat durch n Individualausdrücke, dann erhält man einen wahrheitswertfähigen Satz; der Wahrheitswert dieses Satzes ist dann der Wert, den die von dem Prädikat bezeichnete Funktion ausspuckt, wenn man sie mit den Gegenständen füttert, die die Individualausdrücke bezeichnen. Wir werden später noch sehen, dass sich Sätze, in denen Funktoren vorkommen, systematisch in Sätze übersetzen lassen, die keine Funktoren mehr enthalten und stattdessen komplexe mehrstellige Prädikate. Funktoren als eigenständige Kategorie von Ausdrücken sind also für die Belange der logischen Analyse verzichtbar. Ebenso lassen sich auch Sätze, die definite Kennzeichnungen enthalten, in Sätze übersetzen, die keine definiten Kennzeichnungen mehr enthalten (siehe Kapitel 19) . Diese Mçglichkeit ist besonders dann sehr willkommen, wenn man es mit definiten Kennzeichnungen zu tun hat, die nichts bezeichnen. An dieser Stelle mag uns allerdings gestattet sein, bis auf weiteres definite Kennzeichnungen als nicht weiter zerlegt zu denken, sondern -ganz so wie Eigennamen auch -als nicht weiter analysierbare Namen zu behandeln. Funktoren werden demnach bis auf weiteres keine Rolle mehr spielen, definite Kennzeichnungen hingegen schon. Im weiteren Verlauf wird es nützlich sein, sowohl Prädikate als auch Namen (Eigennamen und definite Kennzeichnungen) zu formalisieren. Analog den aus der Aussagenlogik bereits hinlänglich bekannten schematischen Satzbuchstaben werden demnach schematische Buchstaben gebraucht, die jeweils Platzhalter für Prädikate oder Namen sind. Wir wollen für diese Zwecke die folgende Festsetzung treffen: Die Großbuchstaben »F«, »G«, »H«, …, »L« werden wir als Prädikatbuchstaben gebrauchen; hingegen werden die (kursiv gesetzten) Kleinbuchstaben »m«, »n«, und »o« künftig als Platzhalter für singuläre Terme dienen. Dabei gehen wir künftig stets davon aus, dass »m«, »n«, und »o« tatsächlich etwas bezeichnen. Sollte der Fall eintreten, dass wir im Rahmen unserer logischen Rekonstruktionsbemühungen mehr schematische Buchstaben für Prädikate bzw. singuläre Terme bençtigen, dann ist es uns hiermit erlaubt, die bereits genannten Buchstaben mit fortlaufenden Indizes zu versehen und auf diese Weise unbegrenzt viele Platzhalter zu generieren (»F 1 «, »F 2 «, »F 3 «, … bzw. »m 1 «, »m 2 «, »m 3 «, …). Die (2) Für die prädikatenlogische Form von Sätzen ist nun aber nicht nur entscheidend, dass sie aus singulären und generellen Termen bestehen. In den Prämissen aller (1)-(2)-(3)-Argumente und den Prämissen aller (4)-(5)-(6)-Argumente kommen neben Prädikaten, Eigennamen und Kennzeichnungen beispielsweise auch Ausdrücke wie »kein« und »jeder« vor. Und es ist unter anderem das Vorkommen dieser Ausdrücke, das für die logische Gültigkeit all dieser Argumente gleichermaßen verantwortlich zu sein scheint. Denn während in den jeweiligen (1)-(2)-(3)-Argumenten ganz unterschiedliche Prädikate, Eigennamen und Kennzeichnungen vorkommen, enthalten die (1)er-Prämissen allesamt in derselben Position das Wort »kein« bzw. »keine«. Entsprechendes gilt für die (4)-(5)-(6)-Argumente: In den (4)er-Prämissen kommt ausnahmslos an derselben Stelle das Wort »jeder« bzw. »jedes« vor, und in den (5) Wenn zur Vervollständigung eines offenen Satzes mehrere Quantoren erforderlich sind, werden wir -wie hier geschehen -pro Quantor stets eine jeweils verschiedene Variable wählen. Den Nutzen dieser Vorgehensweise macht man sich leicht klar, wenn man sich den folgenden Formalisierungsvorschlag ansieht: »"x"x(Gxx fi Hxx)«. Sätze, die mit einem Allquantor beginnen oder durch Sätze übersetzt werden, die mit einem Allquantor beginnen, heißen allquantifizierte Sätze oder Allsätze. Manchmal werden sie auch universelle Sätze, Allaussagen, Verallgemeinerungen oder Generalisierungen genannt. Auf unserer Liste mit klärungsbedürftigen prädikatenlogisch relevanten Ausdrücken stehen noch die Ausdrücke »niemand«, »nichts« und »kein« sowie die Ausdrücke »jemand«, »mindestens eine« und »einige«. Betrachten wir zunächst die ersten drei Ausdrücke und fragen uns, was ein Satz besagt, der wie der folgende das Wort »nichts« enthält: Jemand fängt an zu singen. $xFx Jeder, der singt, hçrt damit irgendwann auf. "x(Fx fi Gx) Jemand hçrt irgendwann zu singen auf. Um die prädikatenlogische Gültigkeit dieser Argumente zu demonstrieren, bençtigen wir dementsprechend prädikatenlogische Regeln, die es uns unter anderem erlauben, die nachstehenden Folgebeziehungen zu beweisen: Kartoffel nun einen grünlichen Schimmer hat, oder die Frage, ob sie von einer Bäuerin oder einem Bauern aufgelesen wurde. Diese Fragen lassen sich nicht bloß deshalb nicht beantworten, weil wir zu wenig wissen, sondern weil unser Szenario überhaupt gar keine Annahmen enthält, die eine eindeutige Antwort auf diese Fragen festlegten. In dem entworfenen Szenario, in dem wir irgendeine beliebige Kartoffel aus dem Sack herausgreifen, ist bezüglich des Gegenstands, den wir herausgreifen, bislang nicht mehr und nicht weniger festgelegt, als dass es sich jedenfalls um eine Kartoffel aus dem Sack handelt. Was aus unserem Szenario über den Gegenstand, den wir herausgreifen, folgt, geht also nicht über das hinaus, was aus seiner Eigenschaft, eine Kartoffel aus dem Sack zu sein, folgt -abgesehen natürlich davon, dass wir diesen Gegenstand auch noch herausgreifen und auf den Küchentisch legen. Wenn wir uns hier und jetzt vorstellen, wir griffen eine beliebige Kartoffel aus dem Sack, und nachher tatsächlich in die Küche gehen und aus dem dort befindlichen Sack eine mittelgroße Kartoffel herausgreifen, werden wir nicht sagen: »Jetzt ist ein Fall eingetreten, der zwar so ähnlich ist wie der, den wir uns vorhin vorgestellt haben, der sich aber dennoch aufgrund der Grçße der Kartoffel von ihm unterscheidet«. Im Gegenteil: Der Fall, den wir uns hier und jetzt vorstellen, tritt ein, wenn wir irgendeine beliebige Kartoffel aus dem Sack herausgreifen, gleichgültig von welcher Grçße sie tatsächlich ist. Natürlich kçnnen wir das Szenario schrittweise mit mehr Details füllen, indem wir weitere Annahmen über die Kartoffel machen, die wir herausgreifen. So kçnnen wir uns vorstellen, wir griffen eine beliebige Kartoffel aus dem Sack, und uns dann noch weitergehend vorstellen, diese Kartoffel wçge zweieinhalb Kilo und habe die Eigenschaft, die dickste Kartoffel Brandenburgs zu sein. Das ist immer noch etwas anderes, als sich von der Kartoffel, die diese Eigenschaft tatsächlich hatd. h. von der dicksten Kartoffel Brandenburgs -vorzustellen, wir griffen sie aus dem Sack. Wenn wir uns die dickste Kartoffel Brandenburgs vorstellen, dann stellen wir uns eine besondere Kartoffel vor und keine x-beliebige. In demselben Sinne bedeutet, mir vorzustellen, ich träfe irgendeinen beliebigen Kollegen, etwas anderes als mir von einem Kollegen -zum Beispiel Eduardo -vorzustellen, ich träfe ihn. So weit zunächst zur Unterscheidung zwischen der Rede von beliebigen oder, wie man auch sagen kann, beliebig gewählten Gegenständen und der Rede von besonderen Gegenständen. Gehen wir wieder an den Anfang zurück. Wir stellen uns vor, wir griffen eine beliebige Kartoffel aus dem Sack und legten sie auf den Küchentisch. Um unser Szenario mit mehr Details zu füllen, stellen wir uns weitergehend vor, wir griffen zwar irgendeine beliebige, jedenfalls aber eine grünlich schimmernde Kartoffel aus dem Sack heraus. Dass sich eine solche grünlich schimmernde Kartoffel in dem Sack befindet, haben wir in unserem Szenario nicht ausdrücklich ausgeschlossen; und insoweit sind derlei Zusatzannahmen auch ganz in Ordnung und untergraben noch nicht bereits die Vorstellung, die Kartoffel sei ansonsten beliebig gewählt. Aber was wir nicht länger voraussetzen dürfen, ist, dass der durch solche Zusatzannahmen näher charakterisierte Gegenstand eine typische Kartoffel aus dem Sack ist. Natürlich ist irgendeine beliebige, jedenfalls aber grünlich schimmernde Kartoffel ein typisches Exemplar grünlich schimmernder Kartoffeln. Aber so ist freilich auch irgendeine beliebig gewählte, jedenfalls aber tropfenfçrmige, mit Silberfarbe bemalte und von einem Neunjährigen aufgelesene Kartoffel ein typisches Exemplar tropfenfçrmiger, mit Silberfarbe bemalter und von Neunjährigen aufgelesener Kartoffeln. Was hier als typisches Exemplar gilt, ist eben relativ zu der charakterisierten Art von Gegenstand. Als wir unser ursprüngliches Szenario entwarfen, stellten wir uns eben einen Sack mit Kartoffeln vor, und nicht etwa einen Sack mit grünlich schimmernden Kartoffeln oder einen Sack mit tropfenfçrmigen, silbern bemalten und von Neunjährigen aufgelesenen Kartoffeln. Wenn wir uns also eine Art von Gegenständen vorstellen und uns dabei irgendein beliebiges Exemplar dieser Art denken -nennen wir es a -dann gilt a als ein für diese Art typisches Exemplar, solange wir keine Zusatzannahmen über a machen -also keine Annahmen, die über die Annahme, dass a Gegenstand der betreffenden Art ist, und deren logische Folgen hinausgehen. Nicht jede Eigenschaft eines beliebig gewählten Exemplars einer Art ist nämlich auch eine für Exemplare dieser Art typische Eigenschaft. Nachdem wir uns klar gemacht haben, dass zwischen der Rede von beliebig gewählten Gegenständen im Allgemeinen und der Rede von typischen Gegenständen (oder Exemplaren) im Speziellen zu unterscheiden ist, soll jetzt noch etwas genauer illustriert werden, wie wir über beliebig gewählte Gegenstände reden. Sich irgendeine beliebige Kartoffel vorzustellen, die über ihr Kartoffelsein hinaus auch noch andere Eigenschaften hat (z. B. die Eigenschaft, grün zu schim-III. 16 Die Rede von beliebigen, besonderen und typischen Gegenständen mern), bedeutet aufgrund dieser zusätzlichen Eigenschaften allein noch nicht bereits, sich eine besondere Kartoffel vorzustellen (z. B. die Kartoffel, die mir mein Nachbar gestern gezeigt hat, oder die tatsächlich dickste Kartoffel Brandenburgs). Wir kçnnen uns also irgendeine beliebige Kartoffel denken und anschließend weitere Annahmen über die in dieser Weise beliebig gewählte Kartoffel machen. Wir denken uns dann immer noch eine beliebige, keine besondere Kartoffel. Sobald wir dies tun, müssen wir freilich sicherstellen, dass wir uns fortan auf just diejenige Kartoffel beziehen, die wir ursprünglich beliebig gewählt haben -also auf dieselbe beliebig gewählte Kartoffel. Wenn wir zusätzlich annehmen, dass die beliebige Kartoffel, die wir aus dem Sack herausgreifen und auf den Küchentisch legen, von uns geschält wird, dann darf diese Zusatzannahme nun nicht lauten: »Und dann wird irgendeine beliebige Kartoffel von uns geschält«. Denn diese Annahme verriete gar nichts darüber, ob die Kartoffel, die wir herausgreifen und auf den Küchentisch legen, dieselbe ist wie die, die dann von uns geschält wird. Wir wollten ja aber zusätzlich annehmen, dass es dieselbe beliebig gewählte Kartoffel ist, die von uns auch noch geschält wird, und nicht etwa irgendeine beliebige andere. Diese Annahme betrifft einen fest, aber beliebig gewählten Gegenstand. (Diese Rede von »fest« hat offensichtlich Anklänge an unser Reden davon, jemand hielte etwas gedanklich fest.) Um von denselben beliebig gewählten Gegenständen zu sprechen -zum Beispiel von irgendeiner beliebigen, aber doch derselben Kartoffel oder von irgendeinem, aber doch demselben Kollegen -werden wir von besonderen Individualausdrücken Gebrauch machen müssen. Eigennamen oder definite Kennzeichnungen im üblichen Sinn taugen für diese Zwecke nämlich nicht. Denn so, wie Eigennamen oder definite Kennzeichnungen gebraucht werden, bezeichnen sie immer besondere Gegenstände, nicht beliebige. So bezeichnet »Eduardo« einen besonderen und nicht etwa einen beliebigen Kollegen. Ebenso bezeichnet die Kennzeichnung »die (tatsächlich) dickste Kartoffel Brandenburgs« eine besondere und nicht etwa eine beliebige Kartoffel (nicht einmal eine beliebige, jedenfalls aber mehr als zwei Kilo schwere Kartoffel). Bevor wir die spezielle Art von Individualausdrücken einführen, die wir bençtigen, um uns erfolgreich auf fest, aber beliebig gewählte Gegenstände zu beziehen, stellen wir folgende Überlegung an: Eine beliebige Kartoffel ist ein beliebiger Gegenstand des gesamten Redebereichs, der jedenfalls eine Kartoffel ist. Was hier für Kartoffeln gilt, gilt entsprechend für jede Art von Gegenstand. Der gesamte Redebereich ist hierbei als der Bereich all derjenigen Gegenstände zu verstehen, die den offenen Satz »x ist mit x identisch« erfüllen. (Da der Satz »"x(x ist mit x identisch)« wahr ist, sind also alle Gegenstände Gegenstände des gesamten Redebereichs.) Die Rede von irgendeiner beliebigen Kartoffel lässt sich dieser Überlegung zufolge durch die Rede von irgendeinem beliebigen Gegenstand des gesamten Redebereichs, der jedenfalls eine Kartoffel ist, systematisch ersetzen. Um anzuzeigen, dass wir über dieselben beliebigen Gegenstände bestimmter Art sprechen, bedürfen wir also singulärer Terme, die es uns erlauben, uns auf fest, aber beliebig gewählte Gegenstände des gesamten Redebereichs zu beziehen. Wir reservieren für diese Zwecke die (kursiv gesetzten) Kleinbuchstaben »a«, »b«, »c« und »d«. Sei »F« das Prädikat »ist eine Kartoffel« und »G« das Prädikat »ist ein Kollege«, dann kürzen »Fa« und »Gb« jeweils einen der folgenden beiden Sätze ab: Der beliebig gewählte Gegenstand a ist eine Kartoffel. Der beliebig gewählte Gegenstand b ist ein Kollege. Individualausdrücke wie »a« und »b« sind also von den gewçhnlichen Namen »m«, »n« und »o« zu unterscheiden. Denn »m«, »n« und »o« sind stets Namen für besondere Gegenstände. Auf welche Gegenstände sie sich beziehen -ihre Referenz -steht bereits fest und ist keine Frage der Wahl mehr. Die Wahrheit der Sätze »Fm« und »Gn« hängt demnach allein davon ab, ob Gegenstand m tatsächlich eine Kartoffel und Gegenstand n tatsächlich ein Kollege ist. Anders als die Wahrheit der Sätze »Fa« und »Gb« lässt sich die Wahrheit der Sätze »Fm« und »Gn« nicht durch geschickte Wahl der Gegenstände, von denen in diesen Sätzen die Rede ist, herstellen. Wählen Eigennamen (»Joschka Fischer«) oder definite Kennzeichnungen (»der deutsche Außenminister«, »der Herr im grauen Anzug«). Es kann aber genauso gut sein, dass wir über ein beliebiges Regierungsmitglied reden wollen, gleichgültig, um wen es sich im Einzelfall handelt. Zu diesem Zweck wäre uns auch mit der folgenden Abbildung gedient, in der -bis auf die Positionalle individuellen Unterschiede verloren gehen: Ein Fotograf, der sich vorab Gedanken darüber macht, welche Aufstellung für das offizielle Foto der Bundesregierung die günstigste ist, mag zum Beispiel wie folgt überlegen: Die Regierungsmitglieder stellen sich am besten in zwei Reihen hintereinander auf. In der ersten Reihe stehen sieben Regierungsmitglieder. Zwischen dem vierten von links und dem dritten von rechts bleibt eine Lücke für den Bundespräsidenten. In der zweiten Reihe stehen ebenfalls sieben Regierungsmitglieder, und zwar so, dass mit Ausnahme des Regierungsmitglieds ganz rechts in der ersten Reihe hinter jedem Regierungsmitglied in der ersten Reihe und der Lücke je ein Regierungsmitglied steht. Hierbei ist die Rede von demjenigen Regierungsmitglied, das ganz rechts in der ersten Reihe steht, die Rede von einem beliebigen Mitglied der Bundesregierung, das jedenfalls als einziges Regierungsmitglied ganz rechts in der ersten Reihe steht. In diesem Zusammenhang spielt es gar keine Rolle, ob dieses Regierungsmitglied nun die Bundesministerin für wirtschaftliche Zusammenarbeit und Entwicklung ist oder der Bundesaußenminister. Wenn das obige Schaubild hingegen in einem Text zur politischen Bildung auftaucht, ist die Positionierung der Regierungsmitglieder vollkommen unerheblich. In einem solchen Text mag demgegenüber folgende Überlegung angestellt werden: Das Regierungsmitglied a ist wie alle anderen Regierungsmitglieder auch durch eine Wahl legitimiert. Sofern a durch eine Wahl legitimiert ist, ist a seinen Wählern Rechenschaft schuldig. […] Sofern a ein Ministeramt bekleidet, kann sich a durch einen seiner beiden Staatssekretäre, b oder c, vertreten lassen. Fällt b wegen Krankheit aus, dann übernimmt c die Aufgaben von b. Hier wird an Stelle einer definiten Kennzeichnung (»das Regierungsmitglied in der ersten Reihe ganz rechts«) mit Hilfe des Namens »a« auf ein beliebiges Regierungsmitglied Bezug genommen. Unter der Annahme, dass a ein Ministeramt bekleidet, werden die Namen »b« und »c« als Namen für zwei beliebige Staatssekretäre ein und desselben Bundesministeriums, dem a als Bundesminister vorsteht, eingeführt. Die Staatssekretäre b und c vertreten nicht irgendein beliebiges Regierungsmitglied, das ein Ministeramt bekleidet -b und c sind keine Tausendsassa mit variablem Arbeitsgebiet -vielmehr vertreten b und c jedenfalls Minister a. Wir sehen hier, wie wichtig es ist, über Namen für beliebige Gegenstände zu verfügen, die es einem erlauben, sich auf dieselben beliebig gewählten Gegenstände des Redebereichs zu beziehen. Wir werden auf die beweistheoretische Relevanz der in diesem Kapitel angestellten Überlegungen in Kürze zurückkommen. Hier ging es vorwiegend darum, uns mit der Rede von fest, aber beliebig gewählten Gegenständen vertraut zu machen und die Funktionsweise von Namen für beliebig gewählte Gegenstände zu erklären. Trotzdem sei an dieser Stelle bereits so viel verraten: Wenn man annimmt, dass ein beliebiger Gegenstand a eine bestimmte Eigenschaft hat -sagen wir, die Eigenschaft, grün zu sein -dann hat man bis dahin etwas Wahres angenommen, solange es nur im gesamten Redebereich irgendeinen grünen Gegenstand gibt. Dazu muss man a ja nur geschickt so wählen, dass a diese Eigenschaft jedenfalls hat. Wenn man hingegen folgernd zeigt, dass ein beliebiger Gegenstand a eine bestimmte Eigenschaft hat, ohne dies zu diesem Zweck bereits von a eigens anzunehmen -d. h. ohne a extra so zu wählen, dass a jedenfalls die betreffende Eigenschaft hat -dann hat man damit etwas geleistet, was nicht schon dadurch gesichert ist, dass es irgendeinen Gegenstand gibt, der die betreffende Eigenschaft hat. Man hat dann nämlich etwas Allgemeines gezeigt, sofern nämlich a dann als typischer Gegenstand des Redebereichs gelten kann. Was man in einem solchen Fall gezeigt hat, ist dies: Welchen Gegenstand des Redebereichs man auch immer wählt, er hat die relevante Eigenschaft. Und daraus kann man schließen, dass für jeden Gegenstand des Redebereichs gilt, dass er diese Eigenschaft hat. Dass dies ein legitimer Schluss ist, bezeugt die Gültigkeit prädikatenlogischer Regeln, denen wir uns jetzt zuwenden. In diesem Kapitel werden wir zunächst die Beseitigungsregel für den Allquantor und dann erst die entsprechende Einführungsregel kennenlernen. Im darauffolgenden Kapitel wird es dann um die Einführungs-und Beseitigungsregeln für den Existenzquantor gehen. Die Beseitigungsregel für den Allquantor »"x« -die "-Beseitigungsregelbesagt: Wenn man aus einer gegebenen Annahmenmenge logisch folgern kann, dass alle Gegenstände des gesamten Redebereichs die Eigenschaft F besitzen, dann gilt für jeden beliebigen Gegenstand des gesamten Redebereichs, dass man aus derselben Annahmenmenge logisch folgern kann, dass dieser Gegenstand die III.17 Regeln für den Allquantor Eigenschaft F besitzt. Was für beliebige Gegenstände gilt, gilt dabei freilich auch für besondere Gegenstände. In Kurzform erhalten wir demnach: Wir illustrieren die Art und Weise, in der die Regel der "-Beseitigung in unserer Formatvorlage dokumentiert wird, zunächst anhand zweier simpler Argumentschemata: Beispiele für Einsetzungsinstanzen dieser Schemata sind: (2) Eduardo ist eine Zahl v Eduardo ist 1, "-Beseitigung dreidimensional. (1) "x(x ist ein Vulkan fi x ist gefährlich). Annahme 1 (2) CitlaltØpetl ist ein Vulkan fi 1, "-Beseitigung CitlaltØpetl ist gefährlich. In welchen Kontexten es entscheidend ist, die "-Beseitigungsregel anzuwenden, um zu Aussagen über einen beliebig gewählten Gegenstand zu gelangen, werden wir einsehen, sobald erst einmal die "-Einführungsregel im Spiel ist. Dieser Regel wenden wir uns nun zu. Die Einführungsregel für den Allquantor »"x« -die "-Einführungsregelbesagt: Wenn aus einer gegebenen Annahmenmenge logisch folgt, dass ein aus dem gesamten Redebereich beliebig gewählter Gegenstand die Eigenschaft F hat, dann folgt aus derselben Annahmenmenge ebenfalls logisch, dass jeder Gegenstand aus dem gesamten Redebereich diese Eigenschaft hat. Hier kann für »F« wieder jedes Prädikat eingesetzt werden, ganz gleich wie prädikatenlogisch komplex es auch sein mag. Wieder gilt: Pro Quantor benutze man je verschiedene Variablen! Solange man dies im Hinterkopf behält, kçnnen wir es jedoch bei der obigen Formulierung der "-Einführungsregel belassen. (Sollte in diesem Prädikat die Variable »x« bereits gebunden vorkommen, müssen wir bei Anwendung der "-Einführungsregel -wie schon bei der Konstruktion von Allsätzen -den Term »m« bzw. »a« systematisch durch eine von »x« verschiedene Variable ersetzen. Sonst gibt es ein heilloses Durcheinander, und zwar eines, das Widersprüche generiert. Wäre »Fa« der wahre Satz »a ist ein Mensch fi $x(x ist die Mutter von a)«, dann erlaubte uns die Regel andernfalls, daraus den Satz »"x(x ist ein Mensch fi $x(x ist die Mutter von x)« zu folgern. Aber natürlich mag es Menschen geben, ohne dass irgendjemand die Mutter ihrer selbst ist.) Die "-Einführungsregel unterliegt allerdings, wie das Sternchen andeutet, einer wichtigen Einschränkung. Diese Einschränkung lautet: * Die "-Einführungsregel ist nur unter der Bedingung anwendbar, dass in der Menge X von Annahmen, von denen Fa abhängt, keine Annahme zu finden ist, in der »a« vorkommt. Diese Einschränkung wird verständlich, wenn wir uns in Erinnerung rufen, dass ein beliebig gewählter Gegenstand a nicht länger als typisches Exemplar des Redebereichs gelten kann, solange in Bezug auf diesen Gegenstand a Annahmen gemacht werden, die über die Annahme, dass a ein Gegenstand des Redebereichs ist, hinausgehen. Die Einschränkung besagt also, dass die Regel der "-Einführung nur anwendbar ist, solange der beliebig gewählte Gegenstand a als typisches Exemplar des Redebereichs gelten kann. Mit anderen Worten: Wenn die Wahrheit von »Fa« gezeigt werden kann, ohne bereits bestimmte Annahmen über a zu machen, dann kann damit gezeigt werden, dass auch jeder andere Gegenstand des Redebereichs die Eigenschaft F hat, und die "-Einführungsregel greift. Muss man hingegen, um die Wahrheit von »Fa« zu zeigen, spezifische Annahmen über a machen, so ist nicht länger gewährleistet, dass, wenn »Fa« wahr ist, dann auch jeder andere Gegenstand des Redebereichs die Eigenschaft F hat, und man darf die "-Einführungsregel nicht anwenden. In welche Schwierigkeiten uns die Regel der "-Einführung bringen würde, wenn man die genannte Einschränkung nicht machte, verdeutlicht das folgende Beispiel: (1) "x(x ist ein Junggeselle fi x ist männlich). Annahme 1 (2) a ist ein Junggeselle fi a ist männlich. 1, "-Beseitigung 3 (3) a ist ein Junggeselle. Annahme 1,3 (4) a ist männlich. 2, 3, MPP * 1,3 (5) "x(x ist männlich). 4, "-Einführung * Wenn dieses Argument gültig wäre, dann kçnnte man aus der Annahme, dass alle Junggesellen männlich sind -Zeile (1) -und der Annahme, dass der beliebig gewählte Gegenstand a Junggeselle und also männlich ist -Zeile (3) -folgern, dass alle Objekte männlich sind. Das Argument ist aber nicht gültig, weil die Anwendung der "-Einführungsregel im Übergang von Zeile (4) zu Zeile (5) A fi B, B fi C £ A fi C Der Beweisschritt, der uns von den Zeilen (3) und (4) zu Zeile (5) führt, ist also aussagenlogisch gültig. Die Anwendung der "-Einführungsregel auf Zeile (5) liefert uns dann wieder einen Allsatz, nämlich die Konklusion aus Zeile (6) . Indem wir also von Allsätzen zu Sätzen über beliebige Gegenstände hinabsteigen und von Sätzen über beliebige Gegenstände wieder zu Allsätzen hinaufsteigen, kçnnen wir uns in der Prädikatenlogik das gesamte aussagenlogische Regelwerk zunutze machen. Dass es bei diesem Ab-und Aufsteigen mit rechten Dingen zugeht, wird durch die Gültigkeit der "-Einführungsund der "-Beseitigungsregel garantiert. Diese Regeln gelten -so wie die Regeln der Aussagenlogik auch -per definitionem. Mit anderen Worten: Der Allquantor ist so zu verstehen, dass diese Regeln von ihm gelten; und wer die Gültigkeit dieser Regeln bezweifelt, der ist nur unzulänglich oder gar nicht mit der Bedeutung des Allquantors vertraut. Allerdings kçnnen wir nun zum Zwecke der Erläuterung nicht einfach Wahrheitstafeln für Allsätze angeben, wie wir von der Erläuterung aussagenlogischer Regeln gewohnt sind. Es lässt sich also nicht in der gewohnten Weise die Wahrheitsfunktion angeben, die der Allquantor bezeichnet. Dies liegt nicht allein daran, dass Allsätze keine vollwertigen Sätze als Satzteile enthalten. Es liegt vor allem daran, dass es unendlich viele Gegenstände gibt, die den offenen Satz »x ist mit x identisch« erfüllen und demnach zu dem gehçren, was wir den gesamten Redebereich genannt haben. Diese Bemerkungen sind selbst erläuterungsbedürftig. Stellen wir uns vor, wir schränkten kurzzeitig unseren Redebereich auf drei Gegenstände ein -sagen wir, auf drei Personen. Wir geben diesen drei Personen Namen, nämlich »o 1 «, »o 2 « und »o 3 «. Wir kçnnen also sagen, dass im angenommenen Fall o 1 , o 2 und o 3 zusammen alle Gegenstände unseres Redebereichs sind. Vergleichen wir nun unter dieser Voraussetzung die beiden folgenden Aussagen Unter der gemachten Voraussetzung folgte aus der Wahrheit des Allsatzes logisch nicht mehr als das, was bereits aus der Wahrheit der Konjunktion logisch folgt. Denn dass alle Gegenstände weiblich sind, erfordert laut Voraussetzung nicht mehr, als dass o 1 und o 2 und o 3 weiblich sind. Und umgekehrt folgte alles, was aus der Wahrheit der Konjunktion folgt, auch aus der Wahrheit des Allsatzes. Denn die Wahrheit der Konjunktion folgt jedenfalls aus der Wahrheit des Allsatzes. Die "-Beseitigungsregel entspricht demnach ganz der &-Beseitigungsregel, wonach aus der Wahrheit einer Konjunktion die Wahrheit jedes ihrer Konjunkte logisch folgt. Und die "-Einführungsregel entspräche unter der besonderen Voraussetzung, die wir hier gemacht haben, ebenfalls der &-Einführungsregel, wonach die Wahrheit einer Konjunktion aus der Wahrheit all ihrer Konjunkte logisch folgt. Bei einem auf drei Gegenstände beschränkten Redebereich funktionieren Allsätze also wie Konjunktionen mit drei Konjunkten. Entsprechend funktionieren Allsätze bei einem auf 35 Gegenstände beschränkten Redebereich wie Konjunktionen mit 35 Konjunkten. Und Entsprechendes gilt für jede endliche Anzahl von Gegenständen, auf die der Redebereich eingeschränkt wird. Mit anderen Worten: Solange der Redebereich nur endlich viele Gegenstände umfasst, ließen sich die Wahrheitsbedingungen von Allsätzen im Prinzip als Wahrheitsbedingungen von Konjunktionen auffassen. Im gedachten Fall sähe eine Wahrheitstafel für den Allquantor so aus: Um die verbleibenden Argumente als gültig zu erweisen, bedürfen wir prädikatenlogischer Regeln für den Existenzquantor. Diese Regeln werden wir im nächsten Kapitel kennenlernen. Bevor wir dies jedoch tun, wollen wir uns einige der bereits bewiesenen Folgebeziehungen, auf die wir mittels der Folge-Einführungsregel künftig zurückgreifen kçnnen, noch einmal kurz vergegenwärtigen und sieder Einfachheit halber -in Form abgeleiteter Regeln darstellen. Um diesen abgeleiteten Regeln Namen zu geben, die wir uns leichter merken kçnnen, beziehen wir sie auf die aussagenlogischen Regeln, die wir bei ihrer Ableitung nach Anwendung der "-Beseitigungsregel -also nach Abstieg vom Level des Allgemeinen -gebrauchen. Betrachten wir den folgenden Beweis: (1) "x(Fx fi Gx) Annahme 2 (2) Fm Annahme 1 (3) Fm fi Gm 1, "-Beseitigung 1,2 Den Zusatz »allquantifiziert« kçnnen wir der Kürze halber künftig auch weglassen. Im letzten Kapitel haben wir zuerst die "-Beseitigungsregel und anschließend die "-Einführungsregel kennen gelernt. Dies hatte damit zu tun, dass die "-Beseitigungsregel wesentlich einfacher zu verstehen ist als die "-Einführungsregel. In diesem Kapitel, in dem wir die Grundregeln für den Existenzquantor kennen lernen, werden wir in umgekehrter Reihenfolge verfahren. Zunächst machen wir uns mit der $-Einführungsregel vertraut und erst im Anschluß daran mit der $-Beseitigungsregel. Die $-Einführungsregel besagt: Wenn für einen beliebig gewählten Gegenstand und eine gegebene Annahmenmenge gilt, dass aus diesen Annahmen logisch folgt, dass dieser Gegenstand die Eigenschaft F besitzt, dann folgt aus derselben Annahmenmenge logisch, dass es mindestens einen Gegenstand des gesamten Redebereichs gibt, der die betreffende Eigenschaft F hat. Was für beliebige Gegenstände Elementare Prädikatenlogik gilt, gilt ebenso für besondere Gegenstände. Wenn also aus einer gegebenen Annahmenmenge logisch folgt, dass ein besonderer Gegenstand die Eigenschaft F besitzt, dann folgt aus derselben Annahmenmenge ebenfalls logisch, dass es mindestens einen Gegenstand des gesamten Redebereichs gibt, der die Eigenschaft F hat. In Kurzform erhalten wir demnach: Man kann also die $-Einführungsregel wiederholt anwenden, bis man alle Namen des Ausgangssatzes durch Variablen ersetzt hat, die jeweils durch Existenzquantoren gebunden werden. Man gelangt so zu Existenzsätzen mit mehreren Existenzquantoren. In welchen Kontexten es entscheidend sein kann, die $-Einführungsregel auf Sätze über beliebig gewählte Gegenstände -also Sätze der Form »Fa« -anzuwenden, wird vor dem Hintergrund der $-Beseitigungsregel noch einsichtig werden. Das folgende Schema, das ausnahmslos prädikatenlogisch gültige Einsetzungsinstanzen besitzt, illustriert eine derartige Anwendung der $-Einführungsregel: (1) "xFx Annahme 1 (2) Fa 1, "-Beseitigung 1 (3) $xFx 2, $-Einführung Das folgende Argument ist ein Beispiel für eine solche prädikatenlogisch gültige Einsetzungsinstanz: 1 (1) "x(x ist abstrakt v~(x ist eine Zahl)). Annahme 1 (2) a ist abstrakt v~(a ist eine Zahl). 1, "-Beseitigung 1 ( Im Vergleich zur $-Einführungsregel ist die $-Beseitigungsregel etwas schwieriger nachzuvollziehen. Und dies liegt nicht zuletzt daran, dass ihre Gültigkeit -wie schon die der "-Einführungsregel -einer wichtigen Einschränkung unterliegt. Die $-Beseitigungsregel besagt: Wenn es wahr ist, dass es mindestens einen Gegenstand des gesamten Redebereichs gibt, der die Eigenschaft F hat, und wenn aus der Annahme, irgendein beliebiger Gegenstand dieses Bereichs habe F, der Satz C logisch folgt, dann ist Satz C jedenfalls auch wahr. Mit anderen Worten: Wenn daraus, dass irgendein Gegenstand a F hat, C folgt -gleichgültig welcher Gegenstand a auch ist -dann folgt C bereits aus der Annahme, dass es überhaupt einen Gegenstand gibt, der F hat. Etwas präziser schreiben wir diese Regel so: Die Einschränkung der Anwendungsbedingungen für die $-Beseitigungsregel erklärt sich also auch hier wieder daraus, dass wir ohne sie etwas, was wir eigens bezüglich des Gegenstandes a annehmen, später als etwas deklarieren kçnnten, das nicht länger den Status einer Extra-Annahme hat, und sogar für alle Gegenstände des Redebereichs typisch ist. Wie man nämlich anhand des -wohlgemerkt, ungültigen -Arguments leicht sieht, würde uns die uneingeschränkte Anwendbarkeit der $-Beseitigungsregel erlauben, eine mittels der Annahme-Einführungsregel allererst ins Spiel gebrachte und entsprechend gekennzeichnete Prämisse zunächst als Annahme aufzugeben, nur um sie anschließend folgernd wieder einzuführen, wobei sie ihren Status als Extra-Annahme jedoch einbüßte. So kçnnte man dann also genausogut auch aus den beiden -sicherlich wahren -Annahmen »$x(x ist rund)« und »$x~(x ist rund)« folgern, dass der beliebig gewählte Gegenstand a sowohl rund als auch nicht rund ist. Reductio ad absurdum würde uns dann zu dem Schluss nçtigen, dass es, sofern es etwas Rundes gibt, nicht einen Gegenstand gibt, der nicht rund ist, bzw. dass es, sofern es etwas gibt, was nicht rund ist, nicht einen runden Gegenstand gibt. Und dies wäre freilich ein vollkommen inakzeptables Ergebnis. Ferner ist zu beobachten: Wäre die $-Beseitigungsregel uneingeschränkt anwendbar, dann würde damit auch die Einschränkung der "-Einführungsregel systematisch unterlaufen. Denn diese Einschränkung sollte ja ausschließen, dass wir einen Allsatz einfach aus einer Annahme folgern kçnnen, deren Wahrheit wir schon dadurch herstellen kçnnen, dass wir den Gegenstand a, von dem sie handelt, geschickt wählen. Um dies zu verhindern, wurde verlangt, dass der Satz über a, auf den die "-Einführungsregel »zugreift«, weder selbst eine bloße Annahme noch eine Folgerung aus Annahmen sein dürfe, die spezielle Annahmen über a sind. In dem soeben gezeigten -und ungültigen -Argument würde Prämisse (3) diesen Anforderungen zweifellos genügen, und der Anwendung der "-Einführungsregel stünde dann nichts mehr im Wege. Aber wie schon gesagt, gelangten wir zu Zeile (3) ja nur aufgrund eines Etikettenschwindels: Die -freilich illegitime -Anwendung der $-Beseitigungsregel im Übergang von Zeile (2) zu Zeile (3) münzt die explizite Annahme aus Zeile (2) in etwas um, was in Zeile (3) nicht länger als eine solche Annahme erscheint. Bislang haben wir uns nur mit Beispielen für unerlaubte Anwendungen der $-Beseitigungsregel beschäftigt. Und dabei haben wir uns ebensowenig darum geschert zu erläutern, wie Anwendungen der $-Beseitigungsregel in unserer For- (1) wahr ist, erfüllt also auch a den offenen Satz »Fx fi Gx«. Mit Hilfe der "-Beseitigungsregel gelangen wir also zu Zeile (4). Auf Zeile (3) und (4) kçnnen wir nun in vertrauter Weise die aussagenlogische Regel Modus ponendo ponens anwenden und gelangen so zu Zeile (5) . Zeile (5) besagt, dass der beliebig gewählte Gegenstand a den offenen Satz »Gx« erfüllt. Wenn nun aber der beliebig gewählte Gegenstand a den offenen Satz »Gx« erfüllt, dann gibt es also im gesamten Redebereich mindestens einen Gegenstand, der den offenen Satz »Gx« erfüllt. Aus Zeile (5) kçnnen wir also mit Hilfe der $-Einführungsregel die Zeile (6) ableiten. So weit, so gut. Aber was passiert denn nun beim letzten Schritt, der uns zur Zeile (7) führt? Inwiefern ist es eine Anwendung der $-Beseitigungsregel, die uns Zeile (7) abzuleiten erlaubt? Kommt in Zeile (7) nicht wieder ein Existenzsatz vor? Und warum machen wir eigentlich nicht einfach in Zeile (6) Schluss? Zunächst einmal fällt auf, dass in der linken Spalte der Zeilen (6) und (7) verschiedene Annahmen genannt sind. Zeile (6) ist von der Annahme aus Zeile (2) vollkommen unabhängig. Ja, wie die Eintragungen in der rechten Spalte dokumentieren, spielt Zeile (2) nirgends bei der schrittweisen Ableitung von Zeile (6) eine Rolle. Stattdessen hängt aber, wie man links sehen kann, Zeile (6) von der Annahme aus Zeile (3) ab. Bei Zeile (7) verhält es sich umgekehrt. Zeile (7) hängt von der Annahme aus Zeile (2) ab, nicht aber von der Annahme aus Zeile (3). Die Ableitung von Zeile (6) beweist, dass die nachstehende logische Folgebeziehung besteht: Wenn in Zeile (7) in der Tat alles mit rechten Dingen zugeht und unsere Eintragungen stimmen, dann haben wir im Zuge der Ableitung dieser Zeile (7) bewiesen, dass die nachstehende Folgebeziehung gilt: Wie wir uns bereits an anderer Stelle klargemacht haben, gilt für jedweden Satz A: Insbesondere gilt dann auch: Vor diesem Hintergrund ist nun leicht zu sehen, inwiefern der Übergang zu Zeile (7) gerechtfertigt ist. Denn es gilt ja die $-Beseitigungsregel: Wir müssen uns nun bloß »X« durch »$xFx« und »Y« durch »"x(Fx fi Gx)« ersetzt denken und feststellen, dass weder in »$xFx« noch in »"x(Fx fi Gx)« von dem beliebigen Gegenstand a die Rede ist. Wir kçnnen jetzt zu einer Beantwortung unserer Fragen kommen. Die Folgerung von Zeile (7) ist in der Tat legitim. Obwohl nun der Satz aus Zeile (7) derselbe ist wie der, der bereits in Zeile (6) steht, zeigt erst der Übergang zu Zeile (7), dass die Wahrheit dieses Satzes nur von allgemeinen Annahmen abhängt. Er hängt von dem Allsatz aus Zeile (1) und von dem Existenzsatz aus Zeile (2) ab. So wie ein Allsatz drückt auch ein Existenzsatz eine allgemeine Annahme aus und nicht etwa eine Annahme über einen individuellen Gegenstand. Der Zwischenbeweis, der zur Zeile (6) führte, gestattete die Anwendung aussagenlogischer Regeln, der eine Anwendung der "-Beseitigungsregel vorausging und eine Anwendung der $-Einführungsregel folgte. Die Anwendung aussagenlogischer Regeln war dabei unproblematisch, insofern sie nämlich auf quantorenfreie Sätze »zugriffen«, nämlich auf Sätze über den beliebig gewählten Gegenstand a. Die Ableitbarkeit der Zeile (7) verdeutlicht somit einmal mehr, dass wir uns aussagenlogische Folgebeziehungen prädikatenlogisch zunutze machen kçnnen. Denn sie zeigt, dass der Satz aus Zeile (7) auch aus quantifizierten Sätzen folgt. Bleibt noch die Frage, inwiefern hier von einer $-Beseitigung die Rede sein kann, wenn uns doch die Anwendung der genannten Regel einen Existenzsatz folgern lässt -nämlich den Satz aus Zeile (7), d. h. »$xGx«. Die Antwort lautet: Der Existenzsatz, der hier im Zuge der Anwendung der $-Beseitigungsregel »beseitigt« wird, ist der Satz aus Zeile (2), d. h. »$xFx«. In diesem Zusammenhang ist eine Warnung angebracht: Das Beseitigen, von dem hier die Rede ist, darf nicht mit dem Aufgeben von Annahmen verwechselt werden! Zeile (7) hängt immer noch von der Annahme aus Zeile (2) ab, d. h. von »$xFx«. Trotzdem haben wir beim Übergang zu Zeile (7) auf einen Satz geschlossen, der den Satz »$xFx« nicht mehr enthält. In diesem Sinne haben wir den Satz »$xFx« bzw. den darin vorkommenden Existenzquantor beseitigt. Auf unsere Darstellungsweise logischer Regeln gemünzt lässt sich dieser Unterschied kurz und knapp so markieren: Ein Satz S bzw. ein in S vorkommendes logisches Zeichen wird im Zuge einer Regelanwendung beseitigt, wenn S vor Anwendung der Regel rechts des Folgezeichens »£« vorkommt, nach Anwendung der Regel aber nicht mehr rechts des Folgezeichens »£« vorkommt. Eine Annahme wird im Zuge einer Regelanwendung aufgegeben, wenn sie vor Anwendung der Regel links des Folgezeichens »£« vorkommt, nach Anwendung der Regel aber nicht mehr links des Folgezeichens »£« vorkommt. In diesem Sinne haben wir also die Annahme aus Zeile (3), d. h. »Fa«, aufgegeben. Kehren wir zu unserem Beweisschema zurück und vergegenwärtigen wir uns, welche Eintragungen uns die Formatvorlage abverlangt, sobald wir die $-Beseitigungsregel anwenden. (1) "x(Fx fi Gx) Annahme 2 (2) $xFx Annahme 3 (3) Fa Annahme 1 (4) Fa fi Ga 1, "-Beseitigung 1,3 (5) Ga 3, 4, MPP 1,3 (6) $xGx 5, $-Einführung 1,2 (7) $xGx 2, 3, 6, $-Beseitigung Was in Zeile (7) in der linken Spalte steht, ergibt sich unmittelbar aus der $-Beseitigungsregel: Zunächst werden dort diejenigen Annahmen angeführt, von denen der beseitigte Existenzsatz abhängt. Da wir den Existenzsatz, der abschließend beseitigt wird, mittels der Annahmeregel eingeführt haben, ist dies die Annahme des Existenzsatzes selbst, d. h. die Annahme aus Zeile (2). Des Weiteren müssen die Zusatzannahmen genannt werden, die wir bençtigen, um unsere Konklusion aus dem Satz über den beliebig gewählten Gegenstand a abzuleiten -abgesehen natürlich von diesem Satz selbst, dessen Annahme wir ja wieder aufgeben. In unserem Falle ist die einzig relevante Zusatzannahme die aus Zeile (1). In der rechten Spalte von Zeile (7) tragen wir nun die folgenden drei Nummern ein: -Die Nummer der Zeile, in welcher der zu beseitigende Existenzsatz steht, -die Nummer der Zeile, in welcher der relevante Satz über den beliebigen Gegenstand steht, -die Nummer der Zeile, in welcher die Konklusion aus dem relevanten Satz über den beliebigen Gegenstand gefolgert wird. In unserem Schema ist der zu beseitigende Existenzsatz der Satz »$xFx«. Er steht in Zeile (2) . Der relevante Satz über den beliebigen Gegenstand ist bei uns der Satz »Fa«. Er steht in Zeile (3). Die Konklusion ist der Satz »$xGx«. Er wird (vor dem Hintergrund einer weiteren Annahme) in Zeile (6) aus »Fa« gefolgert. Demnach tragen wir in die rechte Spalte von Zeile (7) die Nummern »2«, »3« und »6« ein. Das nachstehende Beispielargument ist eine Einsetzungsinstanz des bislang betrachteten Schemas: (1) "x(x ist korrupt fi x ist erfolgreich). Annahme 2 (2) $x(x ist korrupt). Annahme 3 (3) a ist korrupt. Annahme 1 (4) a ist korrupt fi a ist erfolgreich. 1, "-Beseitigung 1,3 (5) a ist erfolgreich. 3, 4, MPP 1,3 (6) $x(x ist erfolgreich). 5, $-Einführung 1,2 (7) $x(x ist erfolgreich). Ein weiteres, allerdings etwas komplizierteres Beweisschema ist das nachfolgende: Auch hier erklären sich die Eintragungen in der letzten Zeile nach dem bereits bekannten Muster. In der linken Spalte sind die Annahmen aufgeführt, von denen der beseitigte Existenzsatz abhängt -hier Annahme 2 -sowie die Zusatzannahmen, die nçtig sind, um aus der Annahme über den beliebig gewählten Gegenstand auf die Konklusion zu schließen -hier Annahme 1. In der rechten Spalte sind die Prämissen aufgeführt, auf die die $-Beseitigungsregel »zugreift«: Prämisse 2 (der zu beseitigende Existenzsatz), Prämisse 3 (die Annahme über den beliebigen Gegenstand), Prämisse 9 (die aus dieser Annahme gefolgerte Konklusion). Eine Einsetzungsinstanz des zweitgenannten Beweisschemas ist das nachstehende Argument: Auch hier wird wieder deutlich, welchen beweistheoretischen Nutzen die prädikatenlogischen Grundregeln haben. Ganz so wie die Regeln für den Allquantor erlauben auch die Regeln für den Existenzquantor den Abstieg vom Allgemeinen zum Individuellen und den Aufstieg vom Individuellen zum Allgemeinen. Dank dieser Erlaubnis, ab-und wiederzuaufsteigen, kçnnen wir nun prädikatenlogische Folgebeziehungen unter Zuhilfenahme aussagenlogischer Mittel beweisen. Zwei solche prädikatenlogischen Folgebeziehungen haben wir in der Tat soeben bewiesen: Und damit sind auch die aus Kapitel 15 noch verbliebenen Argumente allesamt als gültig erwiesen: Der letzte Gast mçchte Kaffee. Mindestens einer mçchte Kaffee. Alle Frçsche sind Amphibien. Einige Frçsche haben gelbe Hälse. Einige Amphibien haben gelbe Hälse. Jemand fängt an zu singen. Jeder, der singt, hçrt irgendwann zu singen auf. Jemand hçrt irgendwann zu singen auf. Diese Argumente sind logisch gültig, insofern neben den beiden Grundregeln für den Allquantor auch die beiden Grundregeln für den Existenzquantor logische Regeln sind. Tatsächlich gelten die Grundregeln für den Existenzquantor ebenfalls per definitionem: Der Existenzquantor ist so zu verstehen, dass von Sätzen, in denen er vorkommt, diese Regeln gelten. Allerdings kçnnen wir auch in diesem Fall die Bedeutung des Existenzquantors nicht mit Hilfe einer Wahrheitstafel angeben. Stattdessen müssen wir uns darauf beschränken, die Wahrheitsbedingungen wie folgt zu spezifizieren: Ein Satz der Form »$xFx« ist wahr, wenn mindestens ein Gegenstand des gesamten Redebereichs den offenen Satz »Fx« erfüllt, und ansonsten ist ein Satz der Form »$xFx« falsch. (Auch hier sei wieder daran erinnert, dass der Prädikatbuchstabe »F« ein Platzhalter für beliebig komplexe Prädikate ist.) Diese Beschränkung hat wieder etwas damit zu tun, dass unendlich viele Gegenstände in unseren Redebereich gehçren. Gäbe es hingegen nur endlich viele Gegenstände -sagen wir, allein die drei Objekte o 1 , o 2 und o 3 -dann fielen die Wahrheitsbedingungen des Existenzsatzes »$xFx« mit den Wahrheitsbedingungen der Disjunktion »(Fo 1 v Fo 2 ) v Fo 3 « zusammen, und wir kçnnten sie demnach mit Hilfe der folgenden Wahrheitstafel darstellen: Bei einem auf drei Gegenstände beschränkten Redebereich funktionieren Existenzsätze also wie Disjunktionen mit drei Disjunkten. Ebenso funktionieren Existenzsätze bei einem auf 35 Gegenstände beschränkten Redebereich wie Disjunktionen mit 35 Disjunkten. Und Entsprechendes gilt für jede endliche Anzahl von Gegenständen, auf die der Redebereich eingeschränkt wird. Bei einem Redebereich mit unendlich vielen Gegenständen funktionieren Existenzsätze entsprechend wie unendlich lange Disjunktionen -nämlich wie Disjunktionen mit unendlich vielen Disjunkten. Es lassen sich aber keine Wahrheitstafeln für Disjunktionen mit unendlich vielen Disjunkten angeben. Genauso wäre es ein Trugschluss zu glauben, alles, was sich mit Hilfe prädikatenlogischer Mittel ausdrücken lässt, ließe sich auch ohne Hilfe dieser Mittel ausdrücken. Die ¾ußerung einer Disjunktion mit unendlich vielen Disjunkten kommt nie zu einem Ende. Wir erreichen also nie einen Punkt, an dem wir diese III.18 Regeln für den Existenzquantor Disjunktion geäußert haben. Aber solange wir einen solchen Punkt nicht erreichen, haben wir auch noch nichts Bestimmtes gesagt, das auf seinen Wahrheitswert hin zu untersuchen wäre. Entsprechendes gilt für Konjunktionen mit unendlich vielen Konjunkten. Existenzsätze und Allsätze sind sprachliche Mittel, die es uns gestatten, in endlicher Zeit über unendlich Vieles zu sprechen. In diesem Kapitel haben wir die zwei Grundregeln für den Existenzquantor kennen gelernt, ihre Anwendungsbedingungen erläutert sowie die Dokumentation ihrer Anwendung in der Formatvorlage geklärt. Wir haben gesehen, wie sich mit ihrer Hilfe prädikatenlogische Folgebeziehungen beweisen lassen. Bevor wir im nächsten Kapitel zur Betrachtung von Sätzen übergehen, in denen mehrere Quantoren -Allquantoren und Existenzquantoren -vorkommen, wollen wir hier den bereits bewiesenen Folgebeziehungen noch weitere an die Seite stellen. Die Ergebnisse dieser Bemühungen werden später durch die Beweise in Kapitel 22 komplettiert. Zunächst beweisen wir die nachstehenden Folgebeziehungen: Diese Folgebeziehungen sind paarweise geordnet. Das hat seinen Grund darin, dass sie jeweils zusammengenommen ergeben, dass zwei Sätze auseinander logisch folgen, diese Sätze also logisch äquivalent sind. Alle Folgebeziehungen zusammen zeigen, dass man alles, was man mit Hilfe des Existenzquantors ausdrücken kann, stattdessen auch mit Hilfe des Allquantors ausdrücken kann und dass man umgekehrt alles, was man mit Hilfe des Allquantors ausdrücken kann, genauso gut auch ausdrücken kann, indem man stattdessen den Existenzquantor gebraucht. Die beiden Quantoren sind also wechselseitig definierbar. Wir listen hier die Beweise der Folgebeziehungen kurzerhand auf. Diese Beweise sind nicht ganz einfach, aber es lohnt sich, sie einmal nachzuvollziehen -unter anderem, um sich zu vergegenwärtigen, wieviel man mittels weniger Regeln erreichen kann. In der Tat brauchen wir nämlich zu diesem Zweck neben den vier prädikatenlogischen Grundregeln nur noch drei weitere, die &-Einführungsregel, Reductio ad absurdum und Doppelte-Negations-Beseitigung. Nachdem wir diese Beweise hier einmal nachvollzogen haben, wird es künftig in erster Linie darauf ankommen zu wissen, dass die Folgebeziehungen, die sie beweisen, tatsächlich gelten, und nicht so sehr darauf, diese Beweise selbst zu erinnern. Wir kçnnen in Zukunft einfach die Folge-Einführungsregel gebrauchen, wenn wir beim Argumentieren auf die fraglichen Folgebeziehungen zurückgreifen. Wie man sehen kann, ist der in 31b von Zeile (2) bis (7) geführte Unterbeweis mit 34b identisch, und der in 32b von Zeile (2) bis (8) geführte Unterbeweis ist mit 33b identisch. Ebenso ist der in 33a von Zeile (1) bis (7) geführte Unterbeweis mit 32a identisch und der in 34a von Zeile (1) bis (7) geführte Unterbeweis ist mit 31a identisch. Wir hätten die ganze Angelegenheit also durch geschicktes Anwenden der Folge-Einführungsregel abkürzen kçnnen. Diese wechselseitige Definierbarkeit der beiden Quantoren hat zur Konsequenz, dass auch die folgenden zu Gruppen geordneten Sätze der Umgangssprache jeweils in Hinsicht auf ihre logische Formalisierung äquivalent sind: »Alle sind beleidigt« »Jeder ist beleidigt« »Es gibt nicht einen, der nicht beleidigt ist« »Es gibt keinen, der nicht beleidigt ist« »Alle sind damit nicht einverstanden« »Jeder ist damit nicht einverstanden« »Es gibt nicht einen, der damit einverstanden ist« »Keiner ist damit einverstanden« »Nicht alle sind beleidigt« »Nicht jeder ist beleidigt« »Es gibt einige, die nicht beleidigt sind« »Manche sind nicht beleidigt« »Nicht alle sind damit nicht einverstanden« »Nicht jeder ist damit nicht einverstanden« »Es gibt einige, die damit einverstanden sind« »Manche sind damit einverstanden« Diese bereits in der Umgangssprache mçglichen ¾quivalenzumformungen lassen sich verallgemeinern. Allerdings sparen wir uns hier eine allgemeine Formulierung, weil man dabei nämlich auf zu viele syntaktische Feinheiten der Umgangssprache achten muss. Man sieht auch so schon, wie der Hase läuft. Dass diese ¾quivalenzumformungen erlaubt sind, ist bei der logischen Rekonstruktion umgangssprachlicher Argumente sehr hilfreich. Denn es entscheidet sich schon bei der Formalisierung der Prämissen und der Konklusion, welche prädikatenlogischen Regeln zuerst zum Einsatz kommen müssen, wenn es darum geht, die Gültigkeit des betreffenden Arguments nachzuweisen. Nun kann man natürlich jederzeit auf die Beweise 31a bis 34b zurückgreifen; und in diesem Sinne ist es ganz gleich, welchen Quantor man bei der Formalisierung gebraucht. Aber je nachdem, welche prädikatenlogischen Regeln zuerst greifen, fällt der Nachweis, dass das Argument gültig ist, kürzer oder umständlicher aus. Darum empfiehlt es sich, schon bei der Formalisierung vorauszudenken und die umgangssprachlichen Sätze noch in der Umgangssprache entsprechend zu paraphrasieren. Þ Übungen I und J In diesem Kapitel werden wir Sätze, in denen mehrere Quantoren vorkommen, einer genaueren Betrachtung unterziehen. Insbesondere werden wir unser Augenmerk dabei auf Sätze richten, die jeweils eine Kombination aus Existenz-und Allquantor enthalten. Mit diesen Betrachtungen sind zwei Ziele verbunden: Einer-III.19 Sätze mit mehreren Quantoren seits wird es darum gehen, einen subtilen Bedeutungsunterschied herauszupräparieren, dessen Missachtung desastrçse Konsequenzen haben kann und der etwas mit der Reihenfolge zu tun hat, in der Existenz-und Allquantoren hintereinandergeschaltet werden. Andererseits wird es darum gehen, die geniale Auflçsung eines Problems vorzustellen und zu erläutern, das unsere bisherigen Bemühungen um einen Kanon logisch gültiger Regeln auf den ersten Blick zu untergraben droht. Doch bevor wir uns diesem Problem und seiner erfolgreichen Auflçsung zuwenden, wollen wir uns zunächst der erstgenannten Aufgabe widmen und herausarbeiten, was sich Instruktives über die Bedeutung von Sätzen sagen lässt, in denen mehrere Quantoren vorkommen. Wir haben bereits Sätze mit mehreren Allquantoren und Sätze mit mehreren Existenzquantoren kennen gelernt. Unsere Beispiele waren: "x"y(x verursacht y fi x geht y zeitlich voraus). $x$y(x hat y gestohlen). Betrachten wir den zweiten Satz. Diesen Satz gewinnen wir, indem wir zunächst sukzessive alle Vorkommnisse singulärer Terme in dem folgenden Satz der Form »Gmn« durch Variablen ersetzen: Der Fuchs hat die Gans gestohlen. Wir erhalten so den offenen Satz: x hat y gestohlen. Die ungebundenen Variablen werden nun durch jeweils einen Existenzquantor gebunden, und wir erhalten schließlich den fraglichen Existenzsatz: $x$y(x hat y gestohlen). Nichts hält uns jedoch davon ab, ausgehend von dem gerade angeführten offenen Satz stattdessen die folgenden Sätze zu bilden: (i) $x"y(x hat y gestohlen). (ii) "x$y(x hat y gestohlen). Diese Sätze gehen aus dem genannten offenen Satz hervor, indem man dessen ungebundene Variablen durch je verschiedene Quantoren bindet. Stattdessen kçnnen wir den genannten offenen Satz aber auch wie folgt vervollständigen: (iii) $x$y(x hat y gestohlen). (iv) "x"y(x hat y gestohlen). Die Sätze (i) bis (iv) unterscheiden sich in ihrer Bedeutung voneinander. Was diese vier Sätze jeweils besagen, lässt sich umgangssprachlich etwa so fassen: (i) $x"y(x hat y gestohlen). Û Es gibt jemanden, der alles gestohlen hat. (ii) "x$y(x hat y gestohlen). Û Jeder hat etwas gestohlen. (iii) $x$y(x hat y gestohlen). Û Es gibt jemanden, der etwas gestohlen hat. (iv) "x"y(x hat y gestohlen). Û Alle haben alles gestohlen. Die Bedeutungsunterschiede zwischen diesen Sätzen sind eine unmittelbare Konsequenz der Tatsache, dass in ihnen verschiedene Kombinationen von Quantoren vorkommen, die die zwei Variablen ein und desselben offenen Satzes binden: x hat y gestohlen. Daran ist nichts Bemerkenswertes. Im Gegenteil: Dass sich aus dem Gebrauch unterschiedlicher Quantoren Bedeutungsunterschiede ergeben, ist gerade zu erwarten. Allerdings gibt es noch ein Paar von Sätzen, die sich in ihrer Bedeutung sowohl voneinander als auch von allen bereits genannten Sätzen unterscheiden, obwohl in ihnen dieselben Quantoren jeweils dieselben Variablen binden wie in den beiden erstgenannten Sätzen, (i) und (ii). Sie unterscheiden sich von diesen Sätzen allein in der Reihenfolge der dem offenen Satz vorgeschalteten Quantoren. Die beiden fraglichen Sätze und ihre jeweiligen umgangssprachlichen Paraphrasen sind: (v) "y$x(x hat y gestohlen). Û Alles ist von jemanden gestohlen worden. (vi) $y"x(x hat y gestohlen). Û Es gibt etwas, das alle gestohlen haben. Satz (v) unterscheidet sich von Satz (i) allein in der Reihenfolge der Quantoren. In beiden Fällen wird die x-Variable durch einen Existenzquantor und die y-Variable durch einen Allquantor gebunden. Ebenso unterscheidet sich Satz (vi) von Satz (ii) allein in der Reihenfolge der Quantoren. Bei beiden Sätzen wird die x-Variable durch einen Allquantor und die y-Variable durch einen Existenzquantor gebunden. Vor diesem Hintergrund kçnnen wir die vier Sätze (i), (ii), (v) und (vi) neu gruppieren, indem wir sie jeweils zu Paaren zusammenfassen: (i) $x"y(x hat y gestohlen). Û Es gibt jemanden, der alles gestohlen hat. (v) "y$x(x hat y gestohlen). Û Alles ist von jemanden gestohlen worden. und (ii) "x$y(x hat y gestohlen). Û Jeder hat etwas gestohlen. (vi) $y"x(x hat y gestohlen). Û Es gibt etwas, das alle gestohlen haben. Welche logischen Beziehungen bestehen jeweils zwischen den Sätzen dieser Paare? Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir zunächst die folgenden umgangssprachlichen Argumente, die jeweils unterschiedliche Folgebeziehungen zwischen den Sätzen (ii) und (vi) unterstellen: Es gibt da etwas, das wir alle gestohlen haben. Also hat jeder von uns etwas gestohlen. Jeder von uns hat etwas gestohlen. Also gibt es da etwas, das wir alle gestohlen haben. Das erste dieser Argumente ist sicher intuitiv gültig. Wenn es da etwas gibt, das wir alle gestohlen haben -z. B. wenn wir alle an ein und demselben Raub der Kronjuwelen beteiligt gewesen sind -dann hat jeder von uns etwas gestohlen - Vor dem Hintergrund dieser Analyse ist es nun sehr leicht zu verstehen, warum die Sätze »Der gegenwärtige Kaiser von Deutschland säuft« und »Odysseus hat Hunger« nicht etwa weder wahr noch falsch, sondern schlicht falsch sind. Denn es gibt einfach niemanden, der alle in der Odyssee beschriebenen Heldentaten begangen hat. Und ebensowenig gibt es einen Gegenstand, der das Prädikat »ist gegenwärtiger Kaiser von Deutschland« erfüllt. Die aus diesen Sätzen gebildeten Disjunktionen der Form »A v~A« stellen sich dementsprechend als wahr heraus. Die Gültigkeit unserer logischen Regeln ist damit bewahrt. Russell sei Dank! In der Tat lassen sich alle definiten Kennzeichnungen in der von Russell vorgeschlagenen Weise analysieren, also auch solche, die erfolgreich einen Gegenstand bezeichnen. Damit reduziert sich die Gruppe der singulären Terme auf die Gruppe der Eigennamen, entgegen unserer anfänglichen Klassifikation (siehe Kapitel 15.2). So wie sich definite Kennzeichnungen im Zuge der logischen Analyse zum Verschwinden bringen lassen, so lassen sich auch Sätze, deren Analyse auf den ersten Blick auf Funktoren als Bauteile nicht verzichten zu kçnnen scheint, als quantifizierte Sätze analysieren, in denen anstelle von Funktoren komplexe mehrstellige Prädikate vorkommen. Statt also zu behaupten, der Satz Die Leibspeise des Hauptmanns von Kçpenick ist fettig. sei aus den für die prädikatenlogische Analyse relevanten Funktoren »Die Leibspeise von x«, »der Hauptmann von x« sowie dem Eigennamen »Kçpenick« und dem Prädikat »x ist fettig« aufgebaut, kçnnen wir ihn wie folgt analysieren: $x 1 $y 1 (x 1 ist Hauptmann von Kçpenick & y 1 ist eine Leibspeise von x 1 & y 1 ist fettig & "x 2 (x 2 ist Hauptmann von Kçpenick fi x 2 = x 1 ) & "y 2 (y 2 ist Leibspeise von x 1 fi y 2 = y 1 )) In diesem Existenzsatz kommen statt der Funktoren nur mehrstellige Prädikate vor. Die Gruppe der generellen Terme reduziert sich also entgegen unserer anfänglichen Klassifikation auf die Prädikate. Bevor wir dieses Kapitel mit einer kleinen Übung abschließen, wollen wir uns noch kurz vergewissern, dass uns Russells Analyse keine beweistheoretischen Probleme bereitet, nur weil bei den formalsprachlichen Sätzen plçtzlich ein Allquantor innerhalb des offenen Satzes vorkommt, dessen Variablen der Existenzquantor bindet. Wir kçnnen nämlich den Allquantor, der in diesem offenen Satz vorkommt, auch exportieren und direkt hinter den Existenzquantor schalten. Ebenso kçnnen wir ihn wieder importieren, indem wir ihn dem Teil des Prädikats vorschalten, dessen Variable er bindet. Denn es gelten die nachstehenden logischen Folgebeziehungen: Demnach kçnnen wir also getrost davon ausgehen, dass wir es jeweils mit einem und nur einem, allerdings komplexen offenen Satz zu tun haben, der zwei Variablen enthält, die je durch einen Existenzquantor bzw. Allquantor gebunden werden. Um das Verständnis dafür zu schärfen, welche logische Struktur Sätze mit definiten Kennzeichnungen haben, und sich noch einmal klarzumachen, dass aus einem Satz der Form »$x"yFxy« ein Satz der Form »"y$xFxy« logisch folgt, nicht aber umgekehrt, betrachten wir die umseitige Abbildung und fragen uns, welche der Sätze (1) bis (28) durch welche der dargestellten Szenarien (a) bis (d) wahr gemacht werden. Dabei setzen wir der Einfachheit halber voraus, dass es im Universum nur drei Kollegen gibt. Bei dieser Übung wird es nicht darum gehen, die Sätze (1) bis (28) zu formalisieren und somit ihre prädikatenlogische Form anzugeben. Vielmehr geht es hier allein darum, diejenigen sprachlichen und logischen Fähigkeiten zu trainieren, die einen allererst dazu befähigen, sich an derartige Formalisierungen zu machen. Neben der Unterscheidung zwischen bestimmten und unbestimmten Artikeln ist bei dieser Übung auch die Funktionsweise von Personalpronomina wichtig, die sich auf einen zuvor identifizierten Gegenstand rückbeziehen. Solche Personalpronomina erfüllen dieselbe Funktion wie gebundene Variablen. Und noch etwas: Man denke bei der Bearbeitung dieser Aufgabe daran, dass im Deutschen manche Relativpronomina -nämlich »der«, »die« und »das« -zwar genauso aussehen wie die bestimmten Artikel, aber natürlich eine andere Funktion erfüllen. Insbesondere versteckt sich hinter Relativpronomina -im Gegensatz zu den bestimmten Artikeln -keine Einzigkeitsbehauptung: Wenn ich sage »Dort geht ein Mann, den ich kenne«, dann impliziere ich damit keineswegs, dass es einen und nur einen Mann gibt, den ich kenne. Also: Aufgepasst! Þ Übungen K -N 20. Übersicht prädikatenlogischer Regeln und Folgebeziehungen "-Einführung "-Beseitigung X £ Fa ¾¾¾¾¾¾¾ * X £ "xFx * sofern »a« in X nicht vorkommt (allquantifizierter) Modus ponendo ponens (allquantifizierte) Transitivität Interdefinitionen der Quantoren $xFx £~"x~Fx~"x~Fx £ $xFx $x~Fx £~"xFx~"xFx £ $x~Fx "xFx £~$x~Fx~$x~Fx £ "xFx "x~Fx £~$xFx~$xFx £ "x~Fx (einseitige) Quantoren-Vertauschung $x"yFxy £ "y$xFxy Wie wir gesehen haben, ermçglichen uns die Quantorenregeln, von quantifizierten Sätzen zu aussagenlogischen Verknüpfungen hinabzusteigen, auf diese dann aussagenlogische Regeln anzuwenden, um anschließend wieder zu quantifizierten Sätzen aufzusteigen. Zwar ist dieser Ab-und Wiederaufstieg nicht immer mçglich, weshalb die "-Einführungsregel und die $-Beseitigungsregel gewissen Beschränkungen unterliegen. Trotz dieser Beschränkungen bleibt es jedoch dabei, dass in prädikatenlogische Beweise aussagenlogische Beweise eingebaut sind. Aus diesem Grund ist der in Kapitel 13 entwickelte Leitfaden fürs aussagenlogische Beweisen auch für die Prädikatenlogik einschlägig. Womit wir uns hier demnach nur befassen müssen, ist die Frage, wie wir den Abstieg von und Wiederaufstieg zu quantifizierten Sätzen am geschicktesten einleiten -insbesondere dann, wenn wir es mit Sätzen zu tun haben, die mehrere Quantoren enthalten. Zu diesem Zweck stellen wir eine Reihe von Es gibt einen Ast, auf dem alle Kollegen sitzen Es gibt einen Ast, auf dem ein Kollege sitzt Es gibt einen Kollegen, der auf einem Ast sitzt, den ein Kollege absägt Es gibt einen Kollegen, der auf einem Ast sitzt Es gibt keinen Ast, den ein Kollege, der auf ihm sitzt, absägt Es gibt einen Ast, den kein Kollege, der auf ihm sitzt, absägt Auf jedem Ast sitzt ein Kollege, der ihn absägt Auf jedem Ast, den ein Kollege absägt, sitzt ein Kollege Der Kollege, der auf dem Ast sitzt, den alle Kollegen absägen Den Ast, auf dem alle Kollegen sitzen Alle Kollegen sägen den Ast ab, auf dem ein Kollege sitzt Jeder Kollege sägt den Ast ab, auf dem jeder Kollege sitzt Alle Kollegen sägen einen Ast ab, auf dem ein Kollege sitzt Jeder Kollege sägt den Ast ab, auf dem er sitzt Sätze mit mehreren Quantoren Jeder Kollege sitzt auf einem Ast, den ein Kollege absägt Es gibt Kollegen, die einen Ast absägen, auf dem sie nicht sitzen Alle Kollegen, die auf einem Ast sitzen, sägen ihn ab Jeder Kollege sitzt auf einem Ast, den nicht alle Kollegen absägen Es gibt einen Kollegen, der auf einem Ast sitzt, auf dem nicht alle Kollegen sitzen Es gibt Kollegen, die auf einem Ast sitzen, den sie nicht absägen Jeder Kollege sägt einen Ast ab, auf dem nicht alle Kollegen sitzen Jeder Kollege sägt einen Ast ab, auf dem er nicht sitzt Es gibt einen Kollegen, der einen Ast absägt, den alle Kollegen absägen, die nicht auf ihm sitzen Nicht auf jedem Ast sitzt ein Kollege, der ihn absägt Wer zum Abschluss noch zwei Nüsse knacken will, der bemühe sich um die Beantwortung der folgenden beiden Fragen: Frage 1: Welcher umgangssprachliche Satz wird durch die Szenarien (a) und (d), nicht aber durch die Szenarien (b) und (c) wahr gemacht? Frage 2: Welcher umgangssprachliche Satz wird durch die Szenarien (b) und (c) Beweise einiger wichtiger Theoreme Beweis 28: "x(Fx fi Gx), "x(Gx fi Hx) £ "x(Fx fi Hx Beweis 43b:~"x(Fx fi~Gx) £ $x(Fx & Gx) Wenn es keine Teppiche gibt, die fliegen kçnnen, dann sind alle Teppiche flugunfähig (2) Fm Annahme 1(3) Fm fi Gm 1, "-Beseitigung 1,2 (4) Gm 2, 3, MPP Jeder, der teilnehmen will, muss einen Beitrag leisten. Du willst teilnehmen. Also musst Du einen Beitrag leisten. Jeder ist ungeeignet. Kurz, es gibt nicht einen, der geeignet ist.Es ist nicht der Fall, dass es etwas Lohnendes gibt. Das heißt: Alles, was es gibt, lohnt nicht.Alles, was schiefgehen kann, geht auch schief. Alles kann schiefgehen. Also geht alles schief.Jeder, der ungeschützt Sex hat, hat ein erhçhtes Ansteckungsrisiko. Wenn also alle ungeschützt Sex haben, dann haben auch alle ein erhçhtes Ansteckungsrisiko.Wer anderen eine Grube gräbt, fällt selbst hinein. Wenn es also jemanden gibt, der anderen eine Grube gräbt, dann gibt es auch jemanden, der in eine Grube fällt. Alles ist schrecklich, aber unabänderlich. Demnach ist alles schrecklich. Und alles ist unabänderlich.Alles ist sowohl unausweichlich als auch unabänderlich. Denn einerseits ist alles unausweichlich und andererseits ist alles unabänderlich.Es gibt hier manche, die lügen oder sich einen Scherz erlauben. Also mindestens eines von beidem trifft zu: Einige lügen, oder einige erlauben sich einen Scherz.Beweis 39b:Manche haben wirklich Angst oder verhalten sich wenigstens so, als hätten sie Angst. Denn entweder stimmt es, dass es hier einige gibt, die wirklich Angst haben, oder es stimmt, dass es hier wenigstens einige gibt, die sich so verhalten, als hätten sie Angst. Nicht jeder, der arbeitslos ist, will nicht arbeiten. Es gibt also manche, die zwar keine Arbeit haben, aber gleichwohl arbeiten wollen.Wenn es Leute gibt, die obdachlos werden, obwohl sie eine akademische Ausbildung hinter sich haben, dann ist nicht jeder, der obdachlos wird, ein ungebildeter Mensch.1,2,fi-EinführungWenn nicht jeder Alkoholiker unfähig ist, einer geregelten Arbeit nachzugehen, dann gibt es einige Alkoholiker, die einer geregelten Arbeit nachzugehen fähig sind. Manche, die sich um Arbeit bemühen, sind nicht erfolgreich. Also sind nicht alle, die sich um Arbeit bemühen, erfolgreich. (2) "yFay Annahme 2(3) Fab 2, "-Beseitigung 2 (4) $xFxb 3, $-Einführung 2 (5) "y$xFxy 4, "-Einführung 1 (6) "y$xFxy 1, 2, 5, $-BeseitigungEs gibt ein Virus, das allen gefährlich werden kann. Also gibt es für jeden Menschen ein Virus, das ihm gefährlich werden kann.Beweis 50: £ $x"yFxy fi "y$xFxy 1 (1) $x"yFxy Annahme 1(2) "y$xFxy 1, Folge, Beweis 49 (3) $x"yFxy fi "y$xFxy 1, 2, fi-EinführungWenn es eine Sorge gibt, die alle umtreibt, dann treibt jeden eine Sorge um.Beweis 51a: "x$(Fx fi Gxy) £ "x(Fx fi $yGxy) ( $-Importation) (1) "x$y(Fx fi Gxy) Annahme 1(2) $y(Fa fi Gay) 1 , "-Beseitigung 3(3) Fa fi Gab Annahme 4 (4) Fa Annahme 3,4 (5) Gab 3, 4, MPP 3,4 (6) $yGay 5, $-Einführung 3 (7) Fa fi $yGay 4, 6, fi-Einführung 1 (8) Fa fi $yGay 2, 3, 7, $-Beseitigung 1 (9) "x(Fx fi $yGxy) 8 , "-EinführungZu jedem Gegenstand gibt es etwas, das, wenn er ein Topf ist, ein Deckel ist, der zu ihm passt. Also gibt es für jeden Topf einen Deckel, der zu ihm passt.Beweis 51b: "x(Fx fi $yGxy) £ "x$y(Fx fi Gxy) ( $-Exportation) (1) "x(Fx fi $yGxy) Annahme 1(2) Fa fi $yGay 1, "-Beseitigung 3(3)~$y(Fa fi Gay) Annahme 3(4) "y~(Fa fi Gay) 3, Folge, Beweis 34b 3 (5)~(Fa fi Gab) 4 , "-Beseitigung